Линейное уравнение с двумя переменными
Вопросы занятия:
· повторить что такое линейное уравнение с одной переменной и сколько решений может иметь такое уравнение;
· ввести понятия «линейное уравнение с двумя переменными», «решение уравнения с двумя переменными», «равносильные уравнения».
Материал урока
Ранее мы с вами рассматривали линейное уравнение с одной переменной.
Вспомним, что:
Сегодня на уроке мы познакомимся с линейным уравнением, но уже с двумя неизвестными.
Давайте рассмотрим ситуацию
Полученное равенство содержит две переменные. А поэтому такие равенства называют
Посмотрите на примеры уравнений с двумя переменными
Сформулируем определение:
Определение.
Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида:
Вернёмся к задаче
То есть пара значений переменных (x = 60, y = 110) является решением этого уравнения. Отметим, что эти корни были найдены методом подбора, причём это не единственная пара чисел, удовлетворяющих нашему уравнению.
Определение.
Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, которая обращает это уравнение в верное равенство.
Вспомним, что при изучении уравнений с одной переменной, мы говорили о равносильных уравнениях, то есть уравнениях, которые имеют одни и те же корни.
Аналогично можем сказать, что уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными.
Причем уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также являются равносильными
Равносильные уравнения обладают следующими свойствами:
Свойство 1.
Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнения, равносильное данному;
Свойство 2.
Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Снова вернёмся к нашему уравнению
Но здесь важно знать, значение какой из переменных стоит на первом месте, а какой – на втором. Так в нашем случае сначала записано значение переменной x, а затем переменной y.
При этом пара чисел (150; — 25) являясь решением уравнения, не удовлетворяет условию задачи, так как скорость автомобиля не может быть отрицательной.
И давайте рассмотрим ещё одну задачу.
Пример.
Решение уравнений в целых числах, то есть когда надо найти только целые значения переменных, подробно рассматривал древнегреческий математик Диофант.
Поэтому уравнения с несколькими переменными, которые надо решить в целых числах, называют диофантовыми уравнениями. То есть уравнение, составленное в предыдущей задаче, является диофантовым, так как для него мы отыскивали только натуральные решения.
И давайте рассмотрим примеры.
Пример.
И ещё пример.
Пример.
Итоги урока
Итак, на этом уроке мы рассмотрели линейное уравнение с двумя переменными и один из способов решения таких уравнений.
Линейные уравнения с двумя переменными
Линейные уравнения с двумя переменными.
Цели урока:
Задачи, которые должен решать учитель, на уроке:
учить выделять главную мысль в тексте;
учить задавать вопросы учителю, самому себе или ученикам;
учить использовать приобретённые знания для решения нестандартных задач;
учить умению математически правильно высказать свою мысль.
Задачи, которые должны решать ученики на данном уроке:
знать определение линейного уравнения с двумя переменными;
уметь составлять простые линейные уравнения;
уметь правильно находить значения переменных а, в и с;
уметь выделять среди уравнений линейные уравнения с двумя переменными;
ответить на вопрос: что является решением линейного уравнения с двумя переменными?
как узнать: является ли пара чисел решением уравнения?
уметь выразить одну переменную через другую.
Тип урока: урок усвоения нового материала.
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
II. Повторение пройденного материала
1) На доске записи: 2х, 2х + 5 , 2х + 5 = 17.
2) Вопросы к классу:
– Дайте определение этим выражениям.
– Что называется уравнением?
– Уравнение нужно…? (Решать)
– Что значит «решить уравнение»?
– Что является корнем уравнения?
– Какие уравнения являются равносильными?
– Какие свойства равносильности уравнений вы знаете?
III. Актуализация знаний учащихся
3) Задание всему классу:
– Преобразуйте выражения:(двое работают у доски).
а) 2(х + 8) + 4(2х – 4) = б) 4(х – 2) + 2(3у + 4) =
После преобразования получили: а) 10х; б) 4х + 6у:
– С помощью их составьте уравнения (ученики предлагают – учитель записывает уравнения на доске): 10х = 30; 4х + 6у = 28.
Вопросы:
– Как называется первое уравнение?
– Почему линейное?
– Сравните второе уравнение с первым. Попробуйте сформулировать определение второго уравнения (Ожидаемый ответ: уравнение с двумя переменными; акцентируется внимание учащихся на вид уравнения – линейное).
IV. Изучение нового материала
1) Объявляется тема урока. Запись темы в тетрадях. Самостоятельное формулирование учащимися определения уравнения с двумя переменными, линейного уравнения с двумя переменными (по аналогии с определением линейного уравнения с одной переменной), примеры уравнений с двумя переменными. Обсуждение проходит в форме фронтальной беседы, диалога – рассуждения.
2) Задание классу:
а) Напишите по два линейных уравнения с двумя переменными (учитель и ученики прослушивают ответы нескольких учеников; по выбору учителя один из них записывает свои уравнения на доске).
б) Совместно с учениками определяются задачи и вопросы, на которые они должны получить ответ на данном уроке. Каждый ученик получает карточки с этими вопросами.
в) Работа с учащимися по решению этих вопросов и задач:
– Определите, какие из этих уравнений являются линейными уравнениями с двумя переменными а) 6х
– Линейные уравнения с двумя переменными, как и все уравнения нужно решать. Что же является решением линейных уравнений с двумя переменными? (Дети дают определение).
Пример: Найдите решения уравнения: а) х – у = 12, ответы запишем в виде (х; у) или х = …; у = …. Сколько решений имеет уравнение?
Примеры: Найдите решения следующих уравнений а) 2х + у = 7; б) 5х – у = 4. Как вы нашли решения этих уравнений? (Подбирали).
– Как узнать, является ли пара чисел решением линейного уравнения с двумя переменными?
3) Работа с учебником.
– Найти в учебнике те места, где выделена главная мысль темы данного урока
а) Устное выполнение заданий: №1092, №1094.
б) Решение примеров №1096 (для слабых учащихся), №1097 (для сильных).
в) Повторить свойства равносильности уравнений.
Задание: применяя свойства равносильности уравнений, выразите переменную У через переменную Х в уравнении 5х + 2у = 12 («минута» на самостоятельное решение, затем общий обзор решения на доске с последующим объяснением).
г) Выполнение примера № 1099 (один из учащихся выполняет задание у доски).
Историческая справка
1. Ребята, уравнения, с которыми мы сегодня познакомились на уроке, называются Диофантовыми линейными уравнениями с двумя переменными, по имени древнегреческого учёного и математика Диофанта, жившего около 3,5 тысяч лет тому назад. Древние математики сначала составляли задачи, а затем трудились над их решением. Таким образом, было составлено множество задач, с которыми мы и знакомимся, и учимся их решать.
2. А также эти уравнения называются неопределёнными уравнениями. Над решением таких уравнений трудились многие математики. Одним из них является Пьер Ферма – французский математик. Он занимался теорией решения неопределённых уравнений.
V. Итог урока
1) Обобщение пройденного материала на уроке. Ответы на все вопросы, поставленные перед учениками в начале урока:
– Какие уравнения называются линейными с двумя переменными?
– Что называется решением линейного уравнения с двумя переменными?
– Как записывается это решение?
– Какие уравнения называются равносильными?
– Назовите свойства равносильности уравнений?
– Какие задачи мы на уроке решали, на какие вопросы отвечали?
2) Выполнение самостоятельной работы.
Для слабых:
– Найдите значения переменных а, в и с в уравнении –1,1х + 3,6у = – 34?
– Найдите хотя бы одно решение уравнения х – у = 35?
– Являются ли пара чисел (3; 2) решением данного линейного уравнения с двумя переменными 2х – у = 4?
Для сильных:
– Составьте линейное уравнение с двумя переменными к задаче Диофанта: Во дворе дома ходят фазаны и кролики. Количество всех ног оказалось равным 26.
– Выразите переменную у через х в уравнении 3х – 5у = 8.
VI. Сообщение домашнего задания
Линейное уравнение с двумя переменными: решение и свойства
Линейное уравнение с двумя переменными — любое уравнение, которое имеет следующий вид: a*x + b*y =с. Здесь x и y есть две переменные, a,b,c – некоторые числа.
Ниже представлены несколько примеров линейных уравнений.
1. 10*x + 25*y = 150;
2. x-y=5;
3. -7*x +y = 5;
Как и уравнения с одним неизвестным, линейное уравнение с двумя переменными (неизвестными) тоже имеет решение. Например, линейное уравнение x-y=5, при x=8 и y=3 превращается в верное тождество 8-3=5. В таком случае говорят, что пара чисел x=8 и y=3 является решением линейного уравнения x-y=5. Еще можно говорить, что пара чисел x=8 и y=3 удовлетворяет линейному уравнению x-y=5.
Решение линейного уравнения
Таким образом, решением линейного уравнения a*x + b*y = с , называется, любая пара чисел (x,y) которая удовлетворяет этому уравнению, то есть обращает уравнение с переменными x и y в верное числовое равенство. Обратите внимание, как здесь записана пара чисел х и у. Такая запись короче и удобнее. Следует только помнить, что на первом месте в такой записи стоит значение переменной х, а на втором – значение переменной у.
Обратите внимание на то, что числа x=11 и y=8, x=205 и y=200 x= 4.5 и y= -0.5 тоже удовлетворяют линейному уравнению х-у=5, а следовательно являются решениями этого линейного уравнения.
Решение линейного уравнения с двумя неизвестными не является единственным. Каждое линейное уравнение с двумя неизвестными имеет бесконечно много различных решений. То есть существует бесконечно много различных двух чисел х и у, которые обращают линейное уравнение в верное тождество.
Если несколько уравнений с двумя переменными имеют одинаковые решения, то такие уравнения называются равносильными уравнениями. Следует отметить, что если уравнения с двумя неизвестными не имеют решений, то их тоже считают равносильными.
Основные свойства линейных уравнений с двумя неизвестными
1. Любое из слагаемых в уравнении можно перенести из одной части в другую, при этом необходимо изменить его знак на противоположный. Полученное уравнение будет равносильно исходному.
2. Обе части уравнения можно разделить на любое число, которое не равно нулю. В результате получим уравнение равносильное исходному.
Нужна помощь в учебе?
Предыдущая тема: Применение различных способов для разложения на множители
Следующая тема:   График линейного уравнения с двумя переменными: алгоритм построения
Все неприличные комментарии будут удаляться.
«Линейные уравнения с двумя переменными».
7 класс.
Тема урока: «Линейные уравнения с двумя переменными».
Тип урока: урок изучения нового.
Цели урока:
Образовательные: ввести понятия линейного уравнения с двумя переменными, решения уравнения.
Развивающие: Сформировать умение осознанно проводить обобщение и анализ.
Воспитательные: воспитывать интерес к математике.
Структура урока:
Актуализация знаний.
Мобилизующее начало урока, сообщение учителя о планируемой работе на уроке. (1 мин)
Устный опрос с целью проверки домашней работы, и актуализации опорных знаний. (4 мин)
Обсуждение задачи с практическим содержанием с целью построения модели, и создания проблемной ситуации. (5 мин)
Подведение итогов, постановка проблемы и учебной задачи. (1 мин)
Формирование новых знаний и способов действий.
Беседа, с целью подготовки и введения определения линейного уравнения с двумя переменными.(6 мин)
Устное решение задач с целью усвоения определения (5 мин)
Эвристическая беседа, с целью подготовки и введения определения решения линейного уравнения с двумя переменными. (4 мин)
Устное решение задач с целью усвоения понятия «решение уравнения с двумя переменными».(2 мин.)
Эвристическая беседа, с целью получения алгоритма решения линейного уравнения с двумя переменными. (6 мин)
Беседе, с целью введения понятия графика линейного уравнения с двумя переменными и отыскания способа построения графика этого уравнения. (5 мин)
Применение знаний, формирование умений и навыков.
Решение задач, с целью усвоения материала. (если останется время)
Подведение итогов, постановка домашнего задания (2 мин)
Ход урока
Актуализация знаний.
Мобилизующее начало урока, сообщение учителя о планируемой работе на уроке.
Учитель: Здравствуйте ребята! (проверка отсутствующих).
Сегодняшний урок мы построим следующим образом, сначала проверим домашнее задание, затем приступим к изучению новой темы, а если останется время, то порешаем задачи по новой теме.
Проверка домашнего задания с целью актуализации опорных знаний,
Учитель: Домой вам было задано 3 задачи. Есть ли какие-то вопросы по домашнему заданию? Все ли справились с домашним заданием?
Проверим №695, как выполняли и какой ответ? (спрашиваю 1 ученика). У кого не так?
Проверим №698, как выполняли и какой ответ? (спрашиваю 1 ученика). У кого не так?
Проверим №799, какая фигура получилась? (спрашиваю 1 ученика) У кого не так?
Обсуждение задачи с практическим содержанием и построение модели, с дальнейшим созданием проблемной ситуации.
Учитель: Ребята, в математике существует много видов уравнений. Уравнения помогают нам решать задачи. И с некоторыми вы уже знакомы, например, уравнения 5х-2=0 или 0,3х + 9=0 Умеете ли вы решать такие уравнения?
Ученики: Да, умеем.
Учитель: В математике для того, чтобы дать определение какому-либо виду уравнения его записывают в общем виде.
Чтобы это сделать уравнения нужно сравнить, т.е. выявить их сходство и различия. Посмотрим на эти уравнения у каждого из них первое слагаемое в левой части – число, умноженное на х, второе слагаемое – просто число, а в правой части – 0. Это их общие свойства. А различия в том, что числа эти разные. Если теперь эти числа мы обозначим буквами а и в, то получим уравнение вида ах+в=0. Чем в данном уравнение являются а,в, чем х?
Ученики: а и в — это числа, х- неизвестное (переменная).
Учитель: Верно! Такое уравнение, т.е. уравнение вида ах+b=0 называется линейным уравнением с одной переменной.
Мы с вами знаем, что линейные уравнения могут являться математической моделью реальной ситуации. Сегодня мы убедимся в том, что математической моделью могут быть не только линейные уравнения с одной переменной.
Решим такую задачу: Из городов А и В, расстояние между которыми 500 км, навстречу друг другу вышли 2 поезда, каждый со своей постоянной скоростью. Известно, что первый поезд вышел на 2 ч раньше второго. Через 3ч после выхода второго поезда они встретились. Чему равны скорости поездов?
Составим математическую модель задачи. Пусть х км/ч- скорость 1-го поезда, у км/ч – скорость 2-го поезда. Первый был в пути 5ч и, значит прошел путь 5х км. Второй поезд был в пути 3ч т.е. прошел путь 3у км. Их встреча произошла в пункте С. (можно изобразить рисунок). На алгебраическом языке эту задачу можно записать в виде следующего уравнения: 5х+3у=500
Можем ли мы его решить?
Ученики: Нет.
Учитель: Почему не можем решить, что в нем нового?
Ученики: в этом уравнение уже 2 переменные, а мы умеем решать только уравнения с одной переменной.
Учитель: верно.
Подведение итогов, постановка учебной задачи.
Учитель: Так вот задача нашего урока – изучить этот новый вид уравнений, дать ему определение и научиться его решать.
Формирование новых знаний и способов действий.
Беседа, с целью подготовки и введения определения линейного уравнения с двумя переменными.
Учитель: вернемся к полученному уравнению, 5х+3у-500=0.
Назовите неизвестные этого уравнения.
Ученики: неизвестные х,у.
Учитель: Какие известные числа имеются в этом уравнении?
Назовите их.
Ученики: Три. 5, 3, 500.
Как связаны эти числа с неизвестными?
— 5 и 3 это коэффициенты при неизвестных.
Учитель: Посмотрите на такое уравнение 3х+7у+18=0
И сравните его с предыдущим. Что у них общего? Чем они отличаются?
Ученики: В этом уравнении тоже 2 неизвестных х и у, и тоже 3 числа, два из которых коэффициенты (т.е. множители) при неизвестных, только числа другие.
Учитель: Можем ли мы обобщить вид таких уравнений, т.е. записать их в общем виде? Что для этого нужно сделать?
Ученики: Обозначить числа в этом уравнении буквами.
Учитель: Если мы обозначим множитель перед х – через а, множитель перед у – в, и оставшееся число через с. Какое уравнение получим?
Ученики: Получим уравнение ах+ву+с=0
Учитель: Мы получили новый вид уравнения, такой вид уравнения называется линейным уравнением с двумя переменными. Давайте попробуем дать определение такому уравнению. Какое уравнение будем называть линейным уравнением с двумя переменными?
Ученики: Уравнение вида ах+ву+с=0 где а,в,с,- числа и а,в не равны 0 называется линейным уравнением с двумя переменными.(1 ученик повторяет)
Устное решение задач.
Учитель: Теперь нам нужно научиться узнавать такие уравнения.
Задачи: на распознавание. №803-804
Задачи: а= 5, в= 7, с=6, (а=-2, в= 1, с= -9) составить лин.ур. с двумя переменными.
Эвристическая беседа, с целью подготовки и введения определения решения линейного уравнения с двумя переменными.
Учитель: вспомним, что значит решить линейное уравнение с одной переменной?
Ученики: Это значит, что нам нужно найти такое х, при подстановке которого в наше уравнение получится верное равенство.
Учитель: Как мы решали например уравнение 3х-15=0
Ученики: …..
Учитель: Хорошо. Можно ли таким же способом найти решение линейного уравнение с двумя переменными?
Ученики: нет, у нас ведь ещё есть одно неизвестное.
Учитель: верно ребята, тут нам нужно найти уже 2 значения и х, и у. Если мы подберем такие х,у что наше равенство будет верно, можно ли сказать что мы нашли решение линейного уравнения с двумя неизвестными?
Ученики: Да.
Учитель: Давайте проверим и подберем решения уравнения
3х+4у=24 Какой х и у нужно взять чтобы получилось верное равенство?
Ученики: х=4 и у=3
Учитель: А ещё можно подобрать?
Ученики: да, (0,6) или( 8,0)
Учитель: Из этого мы видим что решение данного уравнения будет не единственное. Давайте же сделаем вывод и дадим определение решению линейного уравнения с 2 переменными.
Ученики: Решением уравнения вида ах+ву+с=0 называется пара чисел, при подстановке которых в уравнение мы получаем верное равенство, и эта пара будет не единственная.
Учитель: Проверим, является ли пара (1;4) решением уравнения 7х+5у=23?
Ученики: …..
Учитель: Как найти решение уравнения 2х+3у=24? Можно заметить, что угадывать решения линейного уравнения с двумя неизвестными совсем не просто. Поэтому нам нужно научиться находить их решения.
Эвристическая беседа, с целью поиска решения линейного уравнения с двумя переменными.
Учитель: Вспомните, что нужно сделать, чтобы решить уравнение с одной переменной. Ну, например, уравнение 10х+4=14
Какие шаги надо выполнить, чтобы получить х?
Ученики: Надо 1)4 перенести в левую часть с противоположным знаком.
2)затем из 14 вычесть 4
3)обе части уравнения поделить на 10
Получается х=1
Учитель: Верно! Можно ли таким алгоритмом пользоваться и при решении уравнения вида ах+ву+с=0?
Ученики: нет т.к. у нас 2 неизвестных.
Учитель: верно. Для того чтобы решить уравнение вида ах+ву+с=0 нам необходимо знать значение одной переменной, это значение мы можем брать произвольно (т.е. как хотим), а затем, подставив выбранное значение этой переменной в уравнение мы сможем найти вторую переменную.
Учитель: Рассмотрим такой пример: Решите уравнение 8х+6у-11=0
Значение какой либо переменной нам не дано, поэтому сами произвольно его выбираем. Пусть х=2.
Тогда мы в наше уравнение вместо х подставляем 2 , что получили?
Ученики: 16+6у-11=0
6у+5=0 т.е. мы получили линейное уравнение с одной переменной.
Учитель: такой вид уравнения вы уже умеете решать, что получилось? Чему равен у?
Ученики: у=-5/6
Учитель: Правильно. А если бы мы взяли значение у. Что тогда надо было бы сделать?
Ученики: Надо было вместо у поставить это значение, посчитать и найти х.
Учитель: хорошо. Проделайте это самостоятельно возьмите у=3 Что получилось?
Построение графика линейного уравнения с двумя переменными.
Учитель: Мы с вами выяснили. Что решением линейного уравнения с двумя переменными является множество пар чисел (х;у).
Давайте вспомним, что можно задать с помощью пары чисел?
Ученики: Можно задать точку в координатной плоскости.
Учитель: Следовательно, любое решение уравнения с двумя переменными можно изобразить в виде соответствующей точки в координатной плоскости. Т.е. решения уравнения задают координаты точек координатной плоскости. Это обстоятельство позволяет получить график такого уравнения.
Учитель:. Вернемся к заданию где вы находили решения уравнения 2х+3у=24 вы получили пары (3,6), (6,4), (0,8), (-3,10). Построим координатную плоскость и отметим на ней эти точки.
Посмотрите внимательно, как расположены эти точки друг относительно друга?
Соединим отмеченные точки. Что получилось?
Ученики: Прямая.
Учитель: Нам нужно выяснить, будут ли координаты всех точек полученной прямой удовлетворять данному уравнению. Возьмём какую-то другую точку на полученной прямой, будет эта точка являться решением нашего уравнения. Проверьте. Например точку (4,5; 5)
Ученики: Да и эта точка является решением нашего уравнения.
Учитель: Тогда можно предположить, что какую бы точку мы не взяли на этой прямой ее координаты будут решением уравнения 2х+3у=24. Это действительно так.
Итак, множество всех решений линейного уравнения с двумя переменными можно изобразить в координатной плоскости в виде прямой линии.
Полученную таким образом прямую называют графиком линейного уравнения с двумя переменными.
Подумаем, что нужно сделать, чтобы построить график линейного уравнения с двумя переменными?
Но надо ли нам строить много точек для того чтобы построить прямую на плоскости? Сколько достаточно иметь точек, чтобы можно было построить прямую?
Ученики: Для того чтобы построить прямую на плоскости нам достаточно 2 точек.
Учитель: Верно.
Выполним такое задание: Изобразить график линейного уравнения х+у-3=0 на координатной плоскости.
Надо найти решения этого уравнения. Мы сегодня выяснили, что решением такого вида уравнения является пара чисел, и при том, она не единственная. Но мы уже знаем что графиком линейного уравнения с двумя неизвестными является прямая и поэтому нам надо найти только 2 решения. Найдём их. Как мы будем это делать?
Ученики: Дадим конкретное значение х, например х=3, затем выразим у. Получим пару чисел (3,0)
Дадим второе конкретное значение х, например х=6, выразим у. Получим (6,3)
Учитель: верно, так мы с вами получили координаты двух точек.
Теперь нам эти точки нужно изобразить на координатной плоскости.
Провести прямую, через полученные точки.
Итак, мы получили прямую, которая является графиком линейного уравнения с двумя неизвестными х+у-3=0
Сделаем вывод. Чтобы построить график линейного уравнения с двумя переменными нужно:
Ученики:
Дать конкретное значение х и выразить у через х. Так мы получили координаты первой точки.
2. Аналогично найти координаты второй точки.
3. Провести через эти точки прямую.
Итак подведем итог нашего сегодняшнего урока, вспомним что нового мы сегодня изучили, а для этого вам предстоит ответит на следующие вопросы:
1.Какое уравнение называется линейное уравнение с 1 переменной?
2. Какое уравнение называется линейное уравнение с 2 переменными?
3. Что является решением линейного уравнения с 2 переменными?
4.Что является графиком линейного уравнения с 2 переменными?
5. Повторим алгоритм построения графика линейного уравнения с 2 переменными.
3. Применение знаний, формирование умений и навыков.
3.1. Решение задач, с целью усвоения материала. (если останется время) №816, №820(б,в)
3.2. Подведение итогов, постановка домашнего задания.
Учитель: Какой новый вид уравнения вы сегодня узнали?
Что является решением такого уравнения?
Что является графиком такого уравнения?
Молодцы ребята, спасибо за работу!
Запишите домашнее задание: №805,№810,813( а,б), №820(а,г)