Как решать корень степени n: Корень n-й степени из действительного числа — урок. Алгебра, 11 класс.

Содержание

« Корень степени n. Корни чётной и нечётной степени»

I Мотивация к учебной деятельности

Слайд 1       Здравствуйте, ребята. Сегодня мы продолжим изучение темы «Степенная функция» и познакомимся ещё с одной алгебраической операцией. Эпиграфом к уроку послужат слова К.Э. Циолковского. «Сначала я открывал то, что известно многим, затем то, что известно некоторым,  а потом — то, что неизвестно никому».

Историческая справка : Константин Эдуардович Циолковский (5 (17) сентября 1857 – 19 сентября 1935) – русский ученый и изобретатель, основоположник космонавтики и теории освоения космического пространства. Автор десятков трудов по ракетодинамике, аэронавтике и космонавтике.

 

 

Слайд2 Решить уравнение:           х2 =0,49

                                                        х3

= 0,000343

                                                        х5 = -32

                                                        х4 = -256

 

Читают эпиграф

Устно решают уравнения

Эпиграф: «Сначала я открывал то, что известно многим, затем то, что известно некоторым,  а потом — то, что неизвестно никому».

К.Э. Циолковский

 

 

II   Актуализация знаний и фиксация затруднения в пробном действии

(ЧТО ЗНАЮ)

Предлагаю вспомнить то, что вы уже знаете.

 

1 Какая кривая является графиком степенной функции ?

 

2. Всегда ли можно решить уравнение вида х

п =а?

 

3.  Как называется операция, обратная возведению в квадрат?

  

4.  Что называется квадратным корнем из числа а?  

  

5.  Всегда ли существует квадратный корень?

 

Слайд 3 Устно: Вычислите и объясните:

…, т.к. …2 = 4,     …, т.к. …2 = 144,  

…, т.к. ……     …, т.к. …2 = 0,25,    ……..

;    ; .

 

 

 

    

1.       Парабола или кубическая парабола

 

  2.   Нет, уравнение при четном п и отрицательном а не имеет корней

 

3.      Извлечение квадратного корня

 

4. Квадратным корнем из числа  называется такое число, квадрат которого равен .

 

5. Квадратный корень из отрицательного числа не существует

  

 

 

Коллективная форма работы

Устно отвечают на поставленные вопросы

III  Постановка проблемы хочу узнать

 

Слайд 4   По мере развития общества появлялись новые задачи. В какой-то момент времени человечеству надоело перемножать долго и нудно одинаковые числа и… появилось понятие степени.

Но вскоре появилась новая задача,: а как найти то число, которое при возведении в степень дало известный результат?.

 

1. Итак, требуется найти корни данных уравнений

х7 = 5

х8 =5

х10 = -5

 

Решим эти уравнения графически

2.      Найти ребро куба, объем которого равен 216 см3

 

Так подошли к понятию корня

 

 

 

Слайд 5. Вычислите                , .

  — Проверьте  истинность  ваших вычислений с помощью обратного  действия.

  — Проанализируйте полученные результаты и сформулируйте свои  наблюдения .

 

Слайд 6      Итак, теперь можно сформулировать тему сегодняшнего урока

Какие цели вы ставите для освоения темы?

 

 

 

Строят графики на макетах

Делают вывод, что таких чисел не знают, проводят аналогию с квадратным корнем

 

 

 

 

 

 

 

 

Учащиеся озвучивают свои гипотезы.

 

   

Работа в парах

Коллективная форма работы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Слайд 6 Формулируют тему урока

Ставят цели:

ввести понятие корня n – й степени;

научиться вычислять корни n – й степени; находить значения выражений, содержащих корни n-й степени;

найти задания по теме в открытом банке заданий ЕГЭ

 

 

 

IV Построение выхода из затруднения

«Открытие» нового знания

 

Слайд 7 Как вы думаете, что мы будем называть корнем n-ой степени из числа b?

Корнем n-ой степени из числа b называют такое число а(если оно существует), n-ая степень которого равна b.

 

 

 

Запись:

 

Показатель

корня            – корень п-й степени из  числа а                                      

                                       Подкоренное выражение «а»

 

 

 

Слайд 8

 

 

Слайд 9

Теорема 1. Существует, и притом единственный, корень нечётной степени из любого действительного числа b, при этом корень нечётной степени:  из положительного числа есть число положительное; б) из отрицательного числа есть число отрицательное; в) из нуля есть нуль.

 

 

Теорема 2. Существует два и только два корня чётной степени из любого положительного числа, которые отличаются друг от друга только знаками. Корень чётной степени из нуля единственный и равен нулю.

Корня чётной степени из отрицательного числа не существует.

 

Вывод: Формулируют определение корня n – й степени

1.      Если n – нечетное число, то а может принимать……..значения

2.      Если nчетное число, то  а может принимать……..значения …

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Слайд 10

Делают вывод

 

 

.

 

V  Первичное закрепление во внешней речи

Слайд 11-12

 1. Устно: Прочитайте корень n-й степени и назовите, чему равен показатель корня и подкоренное выражение.

а) ;               в) ;               д) ;

б) ;              г) ;                е) .

 

2.Устно: имеет ли смысл выражение

а) ;             в) ; д) ;

б) ;               г) ;      е) ?

 

Ответы учащихся

Коллективная форма работы

 

V I Самостоятельная работа  с самопроверкой по эталону

Слайд 13  Самостоятельная работа.

 

Индивидуально, работа в парах

Слайд 14 Видео-физкультминутка для глаз «Осень»

VII  Включение в систему знаний и повторение

 

Слайд 15 Это интересно

 

 

 

Слайд 16 Закрепление материла (из учебника)

  № 3. 27, 3.28 , 3.42 устно

 

 

 

 

 

 

VIII Рефлексия учебной деятельности

Узнал

Слайд 17 Ответить на вопросы:

– Что называется корнем п-й степени из числа а?

– Приведите пример корня, у которого показатель является нечетным числом, а подкоренное выражение отрицательно.

– Имеет ли смысл выражение ? Почему?

– При каких значениях а выражение  имеет смысл, если п – четное число; п – нечетное число?

– Верно ли, что  = –7;  = –7? Почему?

 

 

Коллективная форма работы

 

IX  Итог занятия

Выставление оценок.

Слайд 18 Домашнее задание.

П.3.3-3.4, №3.46,3.47

 

Задания из ЕГЭ

1. Задание 4 № 26735

Найдите значение выражения 

 

2. Задание 4 № 26736

Найдите значение выражения 

3. Задание 4 № 26737

Найдите значение выражения 

 

4. Задание 4 № 26744

Найдите значение выражения 

5. Задание 4 № 26750

Найдите значение выражения 

Слайд 19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  Достигли ли вы своей цели?

  Чему вы научились?

  Оцените свою деятельность на уроке , выбрав вариант ответа из предложенных

 

 

 

Спасибо всем за урок!

 

 

Корни и степени [Love Soft]

Корень — степень с дробным показателем: $$a^\frac{1}{n}=\sqrt[n]{a}, \quad a \ge 0$$

$$a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}, \quad a > 0, \quad n \in \mathbb{N}\quad (n \ge 2),\quad m \in \mathbb{Z} $$

5 копеек = 50 копеек

$$5\text{ копеек} = \sqrt{25\text{ копеек}} = \sqrt{\frac 1 4\text{ рубля}} = \frac 1 2\text{ рубля} = 50\text{ копеек}$$

Свойства корней

$\sqrt{a}$ существует только при $a \ge 0 $

$\sqrt[2k]{a}$ существует только при $a \ge 0, ~ k \in \mathbb{N}; $

$\sqrt[2k+1]{a}$ существует при любых значениях $a$

Для нечетных степеней:

Для четных степеней:

Учебники:
алгебра 7 класс
алгебра 10 класс — Корни. Степень с дробным показателем

День квадратного корня

День квадратного корня — праздник, отмечаемый девять раз в столетие: в день, когда и число, и порядковый номер месяца являются квадратными корнями из двух последних цифр года (например, 2 февраля 2004 года: 02-02-04). Впервые этот праздник отмечался 9 сентября 1981 года (09-09-81). Главным блюдом на «праздничном столе» обычно являются вареные кубики из корнеплодов и выпечка в форме математического знака квадратного корня.

Праздник отмечается всегда в одни и те же дни:

1 января хх01 года
2 февраля хх04 года
3 марта хх09 года
4 апреля хх16 года
5 мая хх25 года
6 июня хх36 года
7 июля хх49 года
8 августа хх64 года
9 сентября хх81 года

Когда будет ближайший день квадратного корня? Кстати, День сурка отмечается 2 февраля.

Квадратный корень

Математики на каждое действие стараются найти противодействие. Есть сложение — есть и вычитание. Есть умножение — есть и деление. Есть возведение в квадрат… Значит есть и извлечение квадратного корня!

Как извлечь (или посчитать) корень квадратный из 4? Нужно просто сообразить: какое число в квадрате даст нам 4? Да конечно же 2: $$ \sqrt4=2 $$

А сколько будет квадратный корень из 9? из 1? из нуля?

Сам значок называется красивым словом «радикал».

Возвести в квадрат можно любое число без особых проблем. Умножить число само на себя столбиком — да и все дела. А вот для извлечения корня такой простой и безотказной технологии нет. Приходится подбирать ответ и проверять его на попадание возведением в квадрат.

Этот сложный творческий процесс — подбор ответа — сильно упрощается, если вы помните квадраты популярных чисел. Как таблицу умножения. Если, скажем, надо умножить 4 на 6 — вы же не складываете четверку 6 раз? Сразу выплывает ответ 24. Хотя, не у всех он выплывает, да…

Для свободной и успешной работы с корнями достаточно знать квадраты чисел от 1 до 20. Причём туда и обратно. Т.е. вы должны легко называть как, скажем, 11 в квадрате, так и корень квадратный из 121. Чтобы добиться такого запоминания, есть два пути. Первый — выучить таблицу квадратов. Это здорово поможет решать примеры. Второй — решать побольше примеров. Это здорово поможет запомнить таблицу квадратов.

Из каких чисел можно извлекать квадратные корни? Да почти из любых. Проще понять, из чего нельзя их извлекать.

Попробуем вычислить вот такой корень: $$ \sqrt{-4} = ? $$ Для этого нужно подобрать число, которое в квадрате даст нам -4. Подбираем.

Что, не подбирается? 2² даёт +4. (-2)² даёт опять +4! Вот-вот… Нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дадут нам отрицательное число! Хотя я такие числа знаю. Но вам не скажу. Поступите в институт — сами узнаете.

Такая же история будет с любым отрицательным числом.

Выражение, в котором под знаком квадратного корня стоит отрицательное число — не имеет смысла! Это запретная операция. Такая же запретная, как и деление на ноль.

Квадратные корни из отрицательных чисел извлечь нельзя!

Корень квадратный из двух — это число, которое при возведении в квадрат даст нам двойку. Только число это совсем неровное… Вот оно: $$ \sqrt2 = 1{,}4142135 \dots $$

Что интересно, эта дробь не кончается никогда… Такие числа называются иррациональными. В квадратных корнях это — самое обычное дело. Кстати, именно поэтому выражения с корнями называют иррациональными. Понятно, что писать всё время такую бесконечную дробь неудобно. Поэтому вместо бесконечной дроби так и оставляют: $ \sqrt2$.

Конечно, если корень из числа извлекается ровно, вы обязаны это сделать. Ответ задания в виде, например $ x = \sqrt{16}$ никто не оценит… Надо корень посчитать и написать $х = 4$.

А вот $ x = \sqrt{11}$ вполне себе полноценный ответ.

И, конечно, надо знать на память приблизительные значения: $$ \sqrt{2} = 1{,}4\\ \sqrt{3} = 1{,}7$$

Это знание здорово помогает оценить ситуацию в сложных заданиях.

Арифметический квадратный корень

Для начала опять извлечём квадратный корень их четырёх. Какое число даст в квадрате 4? Два.

Верно. Два. Но ведь и минус два даст в квадрате 4… А между тем, ответ $\sqrt4=2$ правильный, а ответ $\sqrt4=-2$ грубейшая ошибка. Вот так.

Так в чём же дело?

Действительно, (-2)² = 4. И под определение корня квадратного из четырёх минус два вполне подходит… Это тоже корень квадратный из четырёх.

Но! В школьном курсе математики принято считать за квадратные корни только неотрицательные числа! Т.е ноль и все положительные. Даже термин специальный придуман: арифметический квадратный корень из числа а — это неотрицательное число, квадрат которого равен а. Отрицательные результаты при извлечении арифметического квадратного корня попросту отбрасываются. В школе все квадратные корни — арифметические. Хотя особо об этом не упоминается.

Путаница начинается при решении квадратных уравнений. Например, надо решить вот такое уравнение. 2 = 5$$ Уравнение простое, пишем ответ (как учили): $$ x = \pm \sqrt5$$ Такой ответ (совершенно правильный, кстати) — это просто сокращённая запись двух ответов: $ x = + \sqrt5$ и $ x = — \sqrt5$. Сам корень — число неотрицательное! А знаки — это результат решения уравнения. Ведь при решении любого уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат. В наше уравнение подходит корень из пяти (положительный!) как с плюсом, так и с минусом.

  • Если вы просто извлекаете квадратный корень из чего-либо, вы всегда получаете один неотрицательный результат.

  • Но если вы решаете какое-нибудь квадратное уравнение, то всегда получается два ответа (с плюсом и минусом) потому, что это — решение уравнения.

См. также Свойства квадратных корней

Доказательство иррациональности некоторых квадратных корней

http://janka-x.livejournal.com/159823.html

статья Л. 2$ оканчиваются нулем. Это единственная общая цифра наборов (2) и (3). Но в этом случае каждое из чисел m и n должно делиться на 5, а это противоречит несократимости дроби $m/n$.

Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше допущение неверно, и число $\sqrt2$ — иррациональное.

Аналогично и легко доказывается иррациональность, к примеру, $\sqrt3$ или $\sqrt7$.

Ноль в степени ноль

Ноль в любой степени = 0.

Любое число в нулевой степени = 1.

Ноль в степени ноль?

Это как в известном парадоксе: если снаряд, способный пробить любую броню, столкнётся с бронёй, которую не способен пробить ни один снаряд, что получится?

см также Zero to the power of zero — Wikipedia

Как возводить в иррациональную степень

Как возводить в иррациональную степень | Ботай со мной #017 | Борис Трушин + — YouTube

Объясняет почему ввели степени с целым отрицательным показателем.

Далее захотелось обобщить на нецелые числа. x = -1$ На множестве целых чисел есть единственное решение -1. На множестве вещественных чисел решений нет, так операция возведения в степень определена только для положительных оснований.

mat/algebra/radical.txt · Последние изменения: 2019/06/04 01:16 — kc

Корни и степени — презентация онлайн

\
\
1.Составляем очень краткий конспект (теоремы, формулы,
примеры). На экзамене можно пользоваться своим конспектом,
поэтому пишите только ту информацию, которая пригодится при
решении экзаменационных заданий. Большая часть теории дана
для общего обозрения.
2.Многие примеры даны с решением, необходимо самостоятельно
их решать и только потом сверяться с ответом. При
необходимости провести работу над ошибками. Примеры, в
которых дано решение на проверку отправлять не надо,
остальные надо отправлять.
Корнем n-ой степени из числа a называется
такое число, n-я степень которого равна a.
n
x,
a
то есть x n a
Устно:
Вычислите:
16 2
5
32 2
10
1 1
4
4
81 3
0 256 0 2 2
3
4
125 81 5 3 8
64 5 243 8 3 5
7
6
8
64 4 625 2 5 7
Теорема 1. Корень n-ой степени (n = 2, 3, 4, …)
из произведения двух неотрицательных чисел
равен произведению корней n-ой степени из
этих чисел.
n
1.
3
ab a b
27 64
2. 4 108 192
n
n
Теорема 1. Корень n-ой степени (n = 2, 3, 4, …)
из произведения двух неотрицательных чисел
равен произведению корней n-ой степени из
этих чисел.
n
1.
2.
3
ab a b
n
n
27 64 3 27 3 64 3 4 12
4
108 192 4 34 4 4 3 43
4 33 4 3 43 4 34 4 4
4
3 4
4
3 4 12
Теорема 2. Корень n-ой степени из отношения
неотрицательного числа a и положительного
числа b равен отношению корней n-ой степени
из этих чисел.
n
3.
3
27
8
4
405
4. 4
80
19
5. 7 32
5
a
b
n
a
n
b
Теорема 2. Корень n-ой степени из отношения
неотрицательного числа a и положительного
числа b равен отношению корней n-ой степени
из этих чисел.
n
3.
3
27
8
a
b
n
a
n
b
27 3
1,5
3
2
8
3
4. 405 4 405 4 5 81 4 81 3 1,5
4
4
80
80
5. 5 7 19 5 243
32
32
5 16
16
2
243 3
1,5
5
2
32
5
Теорема 3. Чтобы возвести корень n-ой
степени из неотрицательного числа a в
натуральную степень k, надо в эту степень
возвести подкоренное выражение.
a
n
6.
2
3
6
k
a
n
k
Теорема 3. Чтобы возвести корень n-ой
степени из неотрицательного числа a в
натуральную степень k, надо в эту степень
возвести подкоренное выражение.
a
k
n
6.
2
3
6
2
3
6
a
n
3
2
2 3
k
3 43 4
Теорема 4. Чтобы извлечь корень n-ой
степени из корня k-ой степени из
неотрицательного числа a, надо извлечь
корень kn-ой степени из этого числа.
n k
a
nk
a
Упростить выражение:
а)
б)
3
4 3
а
а
Теорема 4. Чтобы извлечь корень n-ой
степени из корня k-ой степени из
неотрицательного числа a, надо извлечь
корень kn-ой степени из этого числа.
a
n k
nk
a
Упростить выражение:
а)
б)
3
4 3
а 3 2 а 6 а
а 4 3 а 12 а
Теорема 5. Если показатели корня и
подкоренного выражения умножить
или разделить на одно и то же число,
то значение корня не изменится.
mp
a
а)
kp
12
a
m
а16 б )
k
3
а
с) а 3 а 4 а
Теорема 5. Если показатели корня и
подкоренного выражения умножить
или разделить на одно и то же число,
то значение корня не изменится.
mp
а)
12
a
kp
a
а16 3 а 4
m
б)
k
3
а 6 а2
с) а 3 а 4 а 12 а 6 12 а 4 12 а 3
12 а 6 а 4 а 3 12 а13
Действия над степенями.
1
2
49 7
2
2
8 8 1
0,2 5 1
10
10 : 10 100
4
2
9
1 3
3
9
Выучить
Преобразование выражений.
(диктант )
3
27a
6
9x
4
2 3
6
a b
6
3
12
2c 4c
3
Верны ли равенства
3
27 3
100 10
32 2
5
4
32a 2a
8
24
2
9 3
3
3
I. «Повторенье – мать ученья!»
По горизонтали:
2
1.Так называют корень третьей
степени.
2. Есть у любого слова, у растения,
может быть у уравнения, может
быть n-й степени.
3.Так называют степень корня,
кратную двум.
4.Так называют степень корня вида
2k+1.
По вертикали:
1.Так называют корень второй
степени.
2.Действие, посредством которого
отыскивают корень.
3.Положительный корень.
4.Другое название корня.
Кроссворд выполнять по желанию
3
1
4
2
3
4
Кроссворд

з


о
у
б
и
ч
ё

л
р
е
с
к
и
й
в
ч
ф
а
е
м

д
н
е
а
и
т
д
е
и
и
ч
к
р
е
н
ь
а

в
т
н
ы
й
н
а
я
Молодцы!
Так
держать!

е
ч
е
с
к
и
й
т
н
а
л
я
Практика (сдать на проверку)
Задание-1
14
9 4 9
3
32
243
5
2 8 81
3
4
1
1
3 11 3
4 3
4
3 4 12
Практика (продолжение)
Вариант 1.
Вариант 2.
2. Вычислите:
а)
б)
3
3
3 3 9
;
4
16
а)
3
3 .
8
б)
3
4
2 3 4
;
4
81
1
5 .
16
3. Упростите выражение:
а а а .
3
2
4
3
3
а2 4 а 5 а3 .
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
http://png.clipart.me/previews/f71/abstract-geometric-shapes-colorful-background-vectorillustration-21227.jpg разноцветный фон
http://png.clipart.me/previews/8dd/abstract-bokeh-stars-background-22079.jpg звездный фон
http://png.clipart.me/previews/3c2/abstract-curves-spiral-lines-background-29040.jpg
спиральные линии
http://png.clipart.me/previews/55d/geometric-flower-colorful-geometric-flower-37615.jpg
разноцветный геометрический цветок
http://png.clipart.me/previews/613/full-blossom-bright-flower-with-bokeh-28910.jpg яркий
цветок желтый
http://forumsmile.ru/u/e/2/5/e254945922c4f1013d20ea0624e17a53.png девочка читает книгу
http://s22.postimg.org/igfto04a9/0_94205_c1a601b5_XL. png чертежные инструменты
http://pandia.ru/text/79/302/images/image005_98.jpg читают книгу девочка и мальчик
http://www.playcast.ru/uploads/2015/06/13/13966223.png глобус, учебники, звонок
http://150st-mnsc.edusite.ru/images/00696116.png будильник
http://flatik.ru/flax/620/619215/619215_html_569b7b33.jpg девочка измеряет
http://alexandrbykadorov.ru/wp-content/uploads/2013/12/15.jpg чертежнве инструменты 2
http://wallpapers1920.ru/img/picture/Dec/25/093f9009d19ebd9799e9cf8bc3737d24/5.jpg
карандашик
http://easyen.ru/load/math/11_klass/svojstva_kornja_n_oj_stepeni/42-1-0-34205
15. .http://fs1.ppt4web.ru/uploads/ppt/5418/4d938a2e82c192bf86491d3127175299.pptx
16..https://yandex.ru/search/?lr=54&clid=1989615&msid=1466610169.9554.22889.5478&text
=мартышова презентация арифметический корень

свойства корня n степени, примеры решения, презентация

Дата публикации: .

Свойства корня n-ой степени.

n$.
Степени двух неотрицательных чисел и их показатели равны, тогда и сами основания степеней равны. Значит $x=y*z$, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Если $а≥0$, $b>0$ и n – натуральное число, которое большее 1, тогда выполняется следующее равенство: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.

То есть корень n-ой степени частного равен частному корней n-ой степени.

Доказательство.
Для доказательства воспользуемся упрощенной схемой в виде таблицы:

Примеры вычисления корня n-ой степени


Пример.
Вычислить: $\sqrt[4]{16*81*256}$.
Решение. Воспользуемся теоремой 1: $\sqrt[4]{16*81*256}=\sqrt[4]{16}*\sqrt[4]{81}*\sqrt[4]{256}=2*3*4=24$.

Пример.
Вычислить: $\sqrt[5]{7\frac{19}{32}}$.
Решение. Представим подкоренное выражение в виде неправильной дроби: $7\frac{19}{32}=\frac{7*32+19}{32}=\frac{243}{32}$.
Воспользуемся теоремой 2: $\sqrt[5]{\frac{243}{32}}=\frac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[5]{32}}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$. 4}$.

термины / Арифметический и алгебраический корни / Математика

По определению, арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число в, n-я степень которого равна а. Что касается алгебраического корня, то здесь понятие шире, поскольку нет требования неотрицательности: алгебраическим корнем n-й степени из числа а называется число в, n-я степень которого равна а. Вроде все ясно. А вопрос такой: а в каких случаях какой корень используется? Скажем попалось уравнение с корнями — так какой именно корень имеется в виду? Как это узнать?

Перенесено из ответа. При извлечении алгебраического корня слева и справа получаются четыре возможных варианта, из которых различных только два — икс равен плюс-минус единице. Теперь такой вопрос — скорее, качественный. При решении уравнения икс в квадрате равен единице можно использовать как арифметический, так и алгебраический корни. n = a$% поступают так: выбирают из них один (который нам больше нравится, обозначим его за $%s_0$%), а остальные выражают через него. Как выбирают? Если можно — берут положительный корень (его называют арифметическим). Если нет положительного — действительный (отрицательный). Если нет и действительного, никакой и не выбирают (в «школьной» математике говорят, что корня нет).

Как выражают остальные решения через выбранное? По заранее доказанным правилам. Для четного n — берем $%s_0$% и $%-s_0$%. Если n нечетно — только $%s_0$%. В случае комплексных корней правила сложнее.

Почему получаем правильное решение? Потому что эта задача решена математиками, описанные выше правила доказаны и внесены в школьную программу.

Как решить многочлен. Python-реализация Ньютона… | Ревати Суриядипан | Analytics Vidhya

В этой статье объясняется, как решить полиномиальное уравнение любой степени.

У нас нет заранее определенной формулы для решения многочлена степени выше 3. Численные методы — это математические инструменты, которые можно использовать для нахождения приближенных корней многочлена.

Итак, мы реализуем алгоритм, сочетающий численный метод и синтетическое деление для решения полиномиального уравнения.Проверьте мой код здесь.

Наша реализация принимает список коэффициентов многочлена в качестве входных данных и возвращает все его корни.

Мы можем использовать метод деления пополам, чтобы найти корень многочлена. Но мы не использовали метод деления пополам в этой задаче. Прежде чем обсуждать, почему давайте сначала рассмотрим, что такое метод деления пополам.

Дана функция f(x) и два числа a и b

Предположения

1. f(x) непрерывна между интервалами (a,b)
2.И f(a) * f(b)<0

Решение

  1. Найдите среднюю точку ‘a’ и ‘b’, скажем, c
  2. Если f(c)=0, то c является корнем
  3. Иначе:
    1. Если f(a)*f(c) < 0, то корень лежит между (a, c). Повторите шаги с новым интервалом (a, c)
    2. Иначе f(b)*f(c) < 0, тогда корень лежит между (b, c). Повторите шаги с новым интервалом (b, c)

Преимущества

Мы знаем, насколько мы близки к решению, поскольку повторяем процедуру с интервалом, который становится все меньше и меньше, приближая нас к решению.

Недостатки

Недостатком метода деления пополам является то, что мы не можем найти несколько корней многочлена.

Другим серьезным недостатком является нахождение интервалов (a,b). Интервалы должны быть несколько ближе к корню. Самое главное, чтобы в этот интервал попадал только один корень. Например, если мы задаем большой интервал и если в один и тот же интервал попадает более одного корня, алгоритм останавливается.

Следовательно, нам нужен лучший алгоритм для эффективного решения этой задачи.

Поскольку метод деления пополам нам не подходит, мы используем метод Ньютона, чтобы найти один из корней любого заданного многочлена.

Существуют и другие числовые методы, такие как метод секущей, для нахождения корня многочлена. Но метод Ньютона сравнительно проще и не требует дополнительных входных данных.

Теперь давайте обсудим, что такое метод Ньютона.

Предположим, мы хотим найти решение функции f(x) (в данном случае полиномиальной функции любой степени), и предположим, что мы нашли начальное приближение к этому решению, скажем, x0.Это начальное предположение почти всегда неверно, поэтому мы хотели найти лучшее приближение. Это можно сделать, нарисовав касательную к f(x) в точке x0.

Уравнение касательной в точке x0:

y = f(x0) + f′(x0) (x−x0)

Ниже приведен график, показывающий касательную

Мы видим, что касательная при x0 намного ближе к решению. Назовем эту новую точку x1 (это наше новое приближение).

Теперь мы знаем координаты нового приближения.т. е. (x1, 0). Подставим это значение в наше исходное уравнение и оценим x1 следующим образом:

x1 = x0 − f(x0) / f′(x0)

Следовательно, мы можем найти решение, если f'(x0) != 0.

Теперь повторим эту процедуру еще раз, чтобы найти лучшее приближение к x1 следующим образом. Допустим, следующее приближение равно x2. Мы вычисляем x2 следующим образом:

x2 = x1 − f(x1) / f′(x1)

Метод Ньютона, если задана функция f(x)=0, а xn является аппроксимацией f(x) и f’ (x) != 0 , то следующее приближение вычисляется как:

x{n+1} = xn − f(xn) / f′(xn)

Методом Ньютона находим один корень заданного уравнения .Метод Ньютона носит итеративный характер. Он работает в цикле, все ближе и ближе приближаясь к наиболее оптимальному решению.

Недостатком использования метода Ньютона является

1. f'(x) не должно быть равно нулю и
2. Нужно как-то найти начальное приближение (x0)
3. Нужно найти производную от f(x ) для каждого приближения

Теперь давайте посмотрим, как мы используем метод Ньютона в этой задаче.

  1. Входная функция (в основном список коэффициентов) преобразуется в символьное выражение с помощью функции symbolic_fn() .
 def symbolic_fn(coef): 
"""
Генерация функции с использованием коэффициентов
Функция принимает список входных коэффициентов и генерирует символьную функцию
"""
sym_fun=0
x=sym. Symbol('x')
для i,val в enumerate(coef):
sym_fun=sym_fun+coef[-1-i]*x**i
return sym_fun

2. Символьное выражение оценивается с помощью Assessment_sym_exp() .

 def Assessment_sym_exp(exp, value): 
"""Вычисление символьной функции"""
return exp.subs(list(exp.free_symbols)[0], value)

3. Функция newtons_method() представляет собой реализацию метода Ньютона, которая выводит корень символьного выражения. Мы используем sympy , чтобы найти первую производную от f(x).

 def newtons_method(fn): 
"""
Метод Ньютона
Функция принимает символьное выражение в качестве входных данных и дает один корень функции в качестве выходных данных
"""
n=0
x=1
в то время как n < 10:
fn_val=evaluate_sym_exp(fn, x)
dif_fn_val=evaluate_sym_exp(sym.diff(fn), x)
x = x - (fn_val/dif_fn_val)
n = n + 1
return round(x)y=symbolic_fn([1,-9,26,-24])
newtons_method(y)

Теперь у нас есть уравнение и один его корень.

4. Используя метод Ньютона, мы находим корень x, скажем, x=5. Мы преобразуем этот корень в множитель х-5 (для синтетического деления).

5. Используя множитель из предыдущего шага, мы можем уменьшить полином степени n до степени n-1, используя синтетическое деление.

Что такое синтетическое деление?

Синтетическое деление — это метод полиномиального деления.В этом случае мы используем синтетическое деление, чтобы каждый раз уменьшать степень многочлена на одну степень с корнями, которые мы получаем из метода Ньютона.

Возьмем пример многочлена трех степеней, чтобы объяснить, как работает синтетическое деление:

x³-9x²+26x-24=0

Допустим, наш метод Ньютона идентифицирует 3 как один из корней этого многочлена

общее деление многочлена выглядит следующим образом:

Теперь давайте посмотрим, как работает синтетическое деление для того же примера:

Сначала мы должны взять все коэффициенты многочлена и записать их внутри символа деления в форме буквы «L»:

Ставим множитель 3 слева

Вынимаем первый коэффициент (старший коэффициент) без изменений.

Теперь умножьте это значение переноса на коэффициент 3 и поместите результат в следующий столбец (внутри символа деления). Теперь добавьте столбец и поместите сумму внизу символа деления.

Теперь умножьте предыдущее значение переноса на коэффициент, чтобы получить следующее значение.

Повторяйте это, пока не дойдете до последнего числа.

Если значение последнего столбца равно 0, то x-3 является множителем этого полинома. т. е. 3 на самом деле является корнем этого многочлена.

 def synthetic_division(coef,root): 
"""
Synthetic Division
Берет один из корней полинома n-й степени и выводит полином n-1 степени
"""
quotient=[]
val= coef[0]
для i,j в enumerate(coef):
, если i==0: частное
.append(coef[i])
else:
val=val*root+coef[i]
quotient.append(val)
quotient.pop()
return (частное)

Значение частного будет x²-6x+ 8 (что на одну степень меньше фактического многочлена)

Теперь мы даем этот многочлен (n-1=2) второй степени в качестве входных данных для метода Ньютона, чтобы получить один корень этого уравнения.

Повторяем синтетическое деление для нового многочлена второй степени с корнем, заданным методом Ньютона, чтобы получить многочлен более низкой степени.

Повторяем это до тех пор, пока не получим все корни многочлена.

 defsolve_any_poly(coef): 
"""
Решение полинома
Функция берет список коэффициентов полинома любой степени
и выводит список всех корней данного полинома
"""
roots=[]
для i,j в enumerate(coef):
, в то время как len(coef)>2:
fn = symbolic_fn(coef)
root=newtons_method(fn)
roots.append(root)
coef=synthetic_division(coef,root)
вернуть корни + [-coef[-1]]
 python3solve_any_poly.py# Введите коэффициенты уравнения (через запятую):1,-9,26,-24 
# [2, 3, 4]
Выводsolve_any_poly.py

1. Matplotlib : для визуализации полинома с решения
2. Sympy : Чтобы получить первую производную функции для реализации метода Ньютона. Мы можем удалить зависимость Sympy, используя метод конечных разностей .
3. Numpy
4. Krita для рисования

Этот проект можно расширить для решения уравнений с нелинейными членами, такими как синус, косинус и экспонента, используя разложение в ряд Тейлора.

Не стесняйтесь оставлять комментарии.

Как определить количество комплексных корней многочлена степени n?

Основная теорема алгебры

Основная теорема алгебры (FTOA) говорит нам, что любой непостоянный многочлен от одной переменной с комплексными (возможно, действительными) коэффициентами имеет ноль в #CC# (множестве комплексных чисел).

Прямым следствием этого (часто упоминаемого как часть FTOA) является то, что многочлен степени #n# с комплексными (возможно, действительными) коэффициентами имеет ровно #n# комплексных (возможно, вещественных) нулей с учетом кратности.

Таким образом, простым ответом на ваш вопрос было бы то, что многочлен степени #n# имеет ровно #n# комплексных нулей с учетом кратности.

#color(white)()#
Сколько из этих #n# нулей являются действительными и сколько недействительными?

Если многочлен имеет вещественные коэффициенты, то любые комплексные нули будут встречаться в комплексно-сопряженных парах. Таким образом, количество ненастоящих нулей будет четным.

#color(white)()#
Правило знаков Декарта

Если коэффициенты действительны, то мы можем узнать кое-что еще о нулях, взглянув на знаки коэффициентов.

Если #f(x)# записывается в стандартной форме с убывающими степенями #x#, то посмотрите на схему знаков коэффициентов. Количество изменений дает вам максимально возможное количество положительных действительных нулей. Если положительных действительных нулей меньше, то их меньше на четное число.

Чтобы определить возможное количество отрицательных действительных нулей, посмотрите на знаки коэффициентов #f(-x)#. Это то же самое, что поменять знак в терминах нечетной степени.

Например, рассмотрим:

#f(x) = x^4+x^3-x^2+x-2#

Знаки коэффициентов имеют вид #+ + — + -#

Так как есть #3# смены знака, есть #3# или #1# положительные Действительные нули. 2-х-2#

имеет коэффициенты со знаками #+ — — — -#

Поскольку происходит #1# изменение знака, #f(x)# имеет ровно #1# отрицательный действительный нуль.

Поскольку общее количество нулей #f(x)# равно #4#, это означает, что оно имеет #0# или #2# не вещественных комплексных нулей.

#color(white)()#
Дискриминанты

Дискриминанты — еще один полезный инструмент, о котором я расскажу в другом ответе.

Основная теорема алгебры

Основная теорема алгебры

Основная теорема алгебры

Теорема: Многочлен степени n может иметь не более n различных действительных корней.

Полезность Фундаментальной теоремы проистекает из установленных ею ограничений. Самое большее говорит нам, что нужно прекратить искать всякий раз, когда мы находим n корней многочлена степени n . Больше нет.

Например, методом проб и ошибок, глядя на график или другими способами, мы можем обнаружить, что многочлен P(x) = 2 x 3 + x 2 – x  имеет три действительных корня:

P(–1) = 0       P(0) = 0       P(1/2) = 0 .

Так как полином имеет степень 3, мы будем тратить время на поиски других.

Наличие не более n корней, конечно, не является гарантией того, что многочлен действительно пересечет ось X максимально допустимое количество раз. Например, кубический многочлен P(x) = x 3 – x 2 + x – 1 имеет только один действительный корень. (Можете ли вы найти это?)

Возможное количество корней между 0 и n зависит от того, как мы считаем.

Если считать различные корни (как мы обычно делаем), то:

Многочлен четной степени может иметь любое число от 0 до n  различных действительных корней.
Многочлен нечетной степени может иметь любое число от 1 до n  различных действительных корней.

Это мало поможет, если не считать того, что многочлены нечетной степени должны иметь по крайней мере один действительный корень.

Если считать корни по их кратности (см. Теорему о множителях), то:

Многочлен степени n может иметь только четное число меньше , чем n действительных корней.

Таким образом, при подсчете кратности кубический многочлен может иметь только три корня или один корень; квадратичный многочлен может иметь только два корня или нулевые корни. Это полезно знать, когда разлагают на множители многочлен.

Основная теорема в ее самой общей форме (включающей комплексные числа) имеет долгую историю. Нахождение корней многочленов — занятие, которым математики занимались на протяжении многих веков.

4.9: Метод Ньютона — Математика LibreTexts

Во многих областях чистой и прикладной математики нас интересует нахождение решений уравнения вида \(f(x)=0.\). Однако для большинства функций это трудно — если не невозможно — явно вычислить их нули.В этом разделе мы рассмотрим метод, обеспечивающий очень эффективный способ аппроксимации нулей функций . Этот метод использует аппроксимацию касательной и стоит за методом, часто используемым калькуляторами и компьютерами для нахождения нулей.

Описание метода Ньютона

Рассмотрим задачу нахождения решения \(f(x)=0.\) Если \(f\) — многочлен первой степени \(f(x)=ax+b\), то решение \(f(x)=ax+b\) (f(x)=0\) задается формулой \(x=−\frac{b}{a}\).3−2x−7.\номер\]

Не существует формулы, позволяющей найти решения уравнения \(f(x)=0.\). Аналогичные трудности существуют и для неполиномиальных функций. Например, рассмотрим задачу поиска решений \(tan(x)−x=0.\) Для решений этого уравнения не существует простой формулы. В таких случаях мы можем использовать метод Ньютона для аппроксимации корней.

Метод Ньютона использует следующую идею для аппроксимации решений \(f(x)=0.\). Нарисовав график \(f\), мы можем оценить корень \(f(x) =0\).Назовем эту оценку \(x_0\). Затем мы проводим касательную к \(f\) в точке \(x_0\). Если \(f′(x_0)≠0\), эта касательная пересекает ось \(x\) в некоторой точке \((x_1,0)\). Теперь пусть \(x_1\) будет следующим приближением к фактическому корню. Как правило, \(x_1\) ближе, чем \(x_0\) к фактическому корню. Затем мы проводим касательную к \(f\) в точке \(x_1\). Если \(f′(x_1)≠0\), эта касательная также пересекает ось \(x\), создавая другое приближение, \(x_2\). Продолжаем в том же духе, получая список приближений: \(x_0,\, x_1,\, x_2,\, ….*\). Приближения получаются, глядя на касательные линии к графику \(f\).

Теперь давайте посмотрим, как вычислить приближения \(x_0,\, x_1,\, x_2,\, ….\) Если \(x_0\) является нашим первым приближением, приближение \(x_1\) определяется следующим образом: \((x_1,0)\) будет точкой пересечения \(x\) касательной к \(f\) в точке \(x_0\). 3−3x+1.2−3\). Используя уравнение \ref{Ньютона} с \(n=1\) (и калькулятор, который отображает \(10\) цифр), мы получаем

\[x_1=x_0−\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}=2−\frac{f(2)}{f'(2)}=2−\frac{3}{9 }≈1.666666667.\номер\]

Чтобы найти следующее приближение, \(x_2\), мы используем уравнение с \(n=2\) и значением \(x_1\), сохраненным в калькуляторе. Мы находим, что

\[x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}≈1,548611111.\номер\]

Продолжая в том же духе, получаем следующие результаты:

  • \(x_1≈1.3−3x+1\) на интервале \([0,1]\) путем вычисления \(x_1\) и \(x_2\).

    Подсказка

    Используйте уравнение \ref{Ньютона}.

    Ответить

    \(x_1≈0,33333333\)
    \(x_2≈0,347222222\)

    Метод Ньютона также можно использовать для аппроксимации квадратных корней. Здесь мы покажем, как аппроксимировать \(\sqrt{2}\). Этот метод можно модифицировать для аппроксимации квадратного корня любого положительного числа. 2_{n−1}−2}{2x_{n−1}}\\[4pt]
    &=\frac{1}{2}x_{n−1}+\frac{1}{x_{n− 1}}\\[4pt]
    &=\frac{1}{2}\left(x_{n−1}+\frac{2}{x_{n−1}}\right).\end{align *} \]

    Следовательно,

    \(x_1=\frac{1}{2}\left(x_0+\frac{2}{x_0}\right)=\frac{1}{2}\left(2+\frac{2}{2} \справа)=1,5\)

    \(x_2=\frac{1}{2}\left(x_1+\frac{2}{x_1}\right)=\frac{1}{2}\left(1.5+\frac{2}{1.5} \справа)≈1.416666667.\)

    Продолжая в том же духе, находим, что

    \(x_1=1.5\)

    \(x_2≈1.2−3\), уравнение \ref{Ньютона} сводится к \(x_n=\frac{x_{n−1}}{2}+\frac{3}{2x_{n−1}}\).

    Ответить

    \(x_1=2\)
    \(x_2=1,75\)

    При использовании метода Ньютона каждое приближение после первоначального предположения определяется в терминах предыдущего приближения с использованием той же формулы. В частности, определяя функцию \(F(x)=x−\left[\frac{f(x)}{f′(x)}\right]\), мы можем переписать уравнение \ref{Newton} как \(x_n=F(x_{n−1})\). Этот тип процесса, в котором каждый \(x_n\) определяется в терминах \(x_{n−1}\) путем повторения одной и той же функции, является примером итеративного процесса. Вкратце рассмотрим другие итерационные процессы. Во-первых, давайте рассмотрим причины, по которым метод Ньютона не смог найти корень.

    Ошибки метода Ньютона

    Обычно метод Ньютона используется для достаточно быстрого нахождения корней. Однако что-то может пойти не так. Некоторые причины, по которым метод Ньютона может не сработать, включают следующее:

    1. В одном из приближений \(x_n\) производная \(f′\) равна нулю при \(x_n\), но \(f(x_n)≠0\).В результате касательная к \(f\) в точке \(x_n\) не пересекает ось \(x\). Поэтому мы не можем продолжать итеративный процесс.
    2. Аппроксимации \(x_0,\, x_1,\, x_2,\, …\) могут приближаться к другому корню. Если функция \(f\) имеет более одного корня, возможно, наши приближения не приближаются к тому, который мы ищем, а приближаются к другому корню (см. 3−2x+2\).2−2\). Следовательно,

      \[x_1=x_0−\frac{f(x_0)}{f′(x_0)}=0−\frac{f(0)}{f′(0)}=−\frac{2}{−2 }=1. \номер\]

      На следующем этапе

      \[x_2=x_1−\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}=1−\frac{f(1)}{f′(1)}=1−\frac{1}{1 }=0. \номер\]

      Следовательно, числа \(x_0,\, x_1,\, x_2,\, …\) продолжают прыгать туда-сюда между \(0\) и \(1\) и никогда не приближаются к корню \( f\), который находится над интервалом \([−2,−1]\) (рисунок \(\PageIndex{5}\)). К счастью, если мы выберем начальное приближение \(x_0\) ближе к фактическому корню, мы можем избежать этой ситуации.3−2x+2,\) пусть \(x_0=−1,5\) и найти \(x_1\) и \(x_2\).

      Подсказка

      Используйте уравнение \ref{Ньютона}.

      Ответить

      \(x_1≈−1,842105263\)
      \(x_2≈−1,772826920\)

      Из примера \(\PageIndex{3}\) видно, что метод Ньютона не всегда работает. Однако, когда это работает, последовательность приближений очень быстро приближается к корню. Обсуждения того, как быстро последовательность приближений приближается к корню, найденному с помощью метода Ньютона, включены в тексты по численному анализу.

      Другие итерационные процессы

      Как упоминалось ранее, метод Ньютона представляет собой разновидность итеративного процесса. Теперь рассмотрим пример другого типа итеративного процесса.

      Рассмотрим функцию \(F\) и начальное число \(x_0\). Определим последующие числа \(x_n\) по формуле \(x_n=F(x_{n−1})\). Этот процесс представляет собой итеративный процесс, который создает список чисел \(x_0,\, x_1,\, x_2,\, …,\, x_n,\, ….*\) по мере того, как \(n\) становится больше, а может и нет. В Примере \(\PageIndex{4}\) мы видим пример функции \(F\) и начального предположения \(x_0\), так что результирующий список чисел приближается к конечному значению.

      Пример \(\PageIndex{4}\): поиск предела для итеративного процесса

      Пусть \(F(x)=\frac{1}{2}x+4\) и пусть \(x_0=0\). Для всех \(n≥1\) пусть \(x_n=F(x_{n−1})\). Найдите значения \(x_1,\, x_2,\, x_3,\, x_4,\, x_5\). Сделайте предположение о том, что происходит с этим списком чисел \(x_1,\, x_2,\, x_3,\, …,\, x_n,\, …\) при \(n→∞\).*\) называется неподвижной точкой \(F\).

      Раствор

      Если \(x_0=0\), то

      • \(x_1=\frac{1}{2}(0)+4=4\)
      • \(x_2=\frac{1}{2}(4)+4=6\)
      • \(x_3=\frac{1}{2}(6)+4=7\)
      • \(x_4=\frac{1}{2}(7)+4=7,5\)
      • \(x_5=\frac{1}{2}(7,5)+4=7,75\)
      • \(x_6=\frac{1}{2}(7,75)+4=7,875\)
      • \(x_7=\frac{1}{2}(7,875)+4=7,9375\)
      • \(x_8=\frac{1}{2}(7,9375)+4=7,96875\)
      • \(x _9=\frac{1}{2}(7.96875)+4=7,984375.\)

      Исходя из этого списка, мы предполагаем, что значения \(x_n\) приближаются к \(8\).

      На рисунке \(\PageIndex{6}\) представлено графическое доказательство того, что значения приближаются к \(8\) при \(n→∞\). Начиная с точки \((x_0,x_0)\, проводим вертикальную линию до точки \((x_0,F(x_0))\). Следующее число в нашем списке — \(x_1=F(x_0)\). Мы используем \(x_1\) для вычисления \(x_2\). Поэтому мы проводим горизонтальную линию, соединяющую \((x_0,x_1)\) с точкой \((x_1,x_1)\) на линии \(y=x\), а затем проводим вертикальную линию, соединяющую \(( x_1,x_1)\) в точку \((x_1,F(x_1))\).Выход \(F(x_1)\) становится \(x_2\). Продолжая таким образом, мы могли бы создать бесконечное количество отрезков линии. Эти отрезки захвачены между линиями \(F(x)=\frac{x}{2}+4\) и \(y=x\). Отрезки линий приближаются к точке пересечения этих двух линий, что происходит, когда \(x=F(x)\). Решая уравнение \(x=\frac{x}{2}+4,\), заключаем, что они пересекаются в точке \(x=8\). Следовательно, наше графическое свидетельство согласуется с нашим числовым свидетельством того, что список чисел \(x_0,\, x_1,\, x_2,\, …\) приближается к \(x*=8\) при \(n→∞\).

      Рисунок \(\PageIndex{6}\): Этот итеративный процесс приближается к значению \(x*=8.\)

      Упражнение \(\PageIndex{4}\)

      Рассмотрим функцию \(F(x)=\frac{1}{3}x+6\). Пусть \(x_0=0\) и пусть \(x_n=F(x_{n−1})\) для \(n≥2\). Найдите \(x_1,\, x_2,\, x_3,\, x_4,\, x_5\). Сделайте предположение о том, что происходит со списком чисел \(x_1,\, x_2,\, x_3,\, …\, x_n,\, … \) при \(n→∞.\)

      Подсказка

      Рассмотрим точку пересечения прямых \(y=x\) и \(y=F(x)\).*=9\)

      Итерационные процессы и хаос

      Итерационные процессы могут давать очень интересное поведение. В этом разделе мы видели несколько примеров итерационных процессов, которые сходятся к фиксированной точке. Мы также видели в примере \(\PageIndex{4}\), что итеративный процесс прыгал туда-сюда между двумя значениями. Мы называем такое поведение 2-циклом. Итерационные процессы могут сходиться к циклам с различной периодичностью, например, к 2-циклам, 4-циклам (где итерационный процесс повторяет последовательность из четырех значений), 8-циклам и так далее.

      Некоторые повторяющиеся процессы приводят к тому, что математики называют хаосом. В этом случае итеративный процесс переходит от значения к значению, казалось бы, случайным образом и никогда не сходится и не превращается в цикл. Хотя полное исследование хаоса выходит за рамки этого текста, в этом проекте мы рассмотрим одно из ключевых свойств хаотического итеративного процесса: чувствительную зависимость от начальных условий. Это свойство относится к концепции, согласно которой небольшие изменения начальных условий могут привести к совершенно другому поведению в итеративном процессе.

      Вероятно, самым известным примером хаоса является множество Мандельброта (см. рисунок), названное в честь Бенуа Мандельброта (1924–2010), который исследовал его свойства и помог популяризировать теорию хаоса. Множество Мандельброта обычно генерируется компьютером и показывает захватывающие детали при увеличении, включая самовоспроизведение множества. Несколько раскрашенных версий набора были выставлены в музеях, их можно найти в Интернете и в популярных книгах по этой теме.

      Рисунок \(\PageIndex{7}\): Множество Мандельброта — хорошо известный пример множества точек, порожденных итеративным хаотическим поведением относительно простой функции.

      В этом проекте мы используем логистическую карту

      \[f(x)=rx(1−x)\]

      , где \(x∈[0,1]\) и \(r>0\)

      в качестве функции в нашем итеративном процессе. Логистическая карта — обманчиво простая функция; но, в зависимости от значения \(r\), результирующий итеративный процесс демонстрирует очень интересное поведение. Это может привести к фиксированным точкам, циклам и даже хаосу.

      Чтобы визуализировать долгосрочное поведение итеративного процесса, связанного с логистической картой, мы будем использовать инструмент, называемый паутинной диаграммой.Как и в случае с итеративным процессом, рассмотренным ранее в этом разделе, мы сначала проводим вертикальную линию от точки \((x_0,0)\) до точки \((x_0,f(x_0))=(x_0,x_1 )\). Затем мы проводим горизонтальную линию от этой точки до точки \((x_1,x_1),\), затем проводим вертикальную линию до \((x_1,f(x_1))=(x_1,x_2)\) и продолжаем до тех пор, пока долгосрочное поведение системы не станет очевидным. На рисунке показано долгосрочное поведение логистической карты при \(r=3,55\) и \(x_0=0,2\). (Первые \(100\) итераций не отображаются.) Долговременное поведение этого итерационного процесса представляет собой \(8\)-цикл.

      Рисунок \(\PageIndex{8}\): здесь представлена ​​паутинная диаграмма для \(f(x)=3,55x(1−x)\). Последовательность значений приводит к 8-циклу.
      1. Пусть \(r=0,5\) и выберите \(x_0=0,2\). Либо вручную, либо с помощью компьютера вычислите первые \(10\) значений в последовательности. Последовательность кажется сходящейся? Если да, то до какого значения? Получается цикл? Если да, то какой цикл (например, \(2\)-цикл, \(4\)-цикл.)?
      2. Что произойдет, если \(r=2\)?
      3. Для \(r=3,2\) и \(r=3,5\) вычислить первые \(100\) значения последовательности. Создайте диаграмму паутины для каждого итеративного процесса. (В Интернете доступно несколько бесплатных апплетов, которые генерируют паутинные диаграммы для логистической карты.) Каково долгосрочное поведение в каждом из этих случаев?
      4. Теперь пусть \(r=4. 2 + 3x = 0 $

        Обратите внимание, что в нашем уравнении теперь только два члена, поэтому теперь мы можем использовать , разлагая на множители.2 = \ гидроразрыв {3} {2} \\ x_1x_2 = \ pm \ sqrt {\ frac {3} {2}} \end{выровнено} $$

        корней многочлена | Реальная статистика с использованием Excel

        Полином принимает форму

        для некоторого неотрицательного целого числа N (называемый градусов

          2 полинома) и некоторых постоянных A 0 , …, A N , где A N ≠ 0 (если n = 0). Полином линейный если n = 1, квадратичный если n = 2 и т.д.

          Корень полинома – это любое значение x , которое решает уравнение

          .

          Таким образом, 1 и -1 являются корнями многочлена x 2 – 1, так как 1 2 – 1 = 0 и (-1) 2 – 1 = 0.

          По Фундаментальной теореме алгебры любой многочлен n й степени имеет n корней. К сожалению, не все эти корни должны быть реальными; некоторые могут включать «мнимые» числа, такие как , которые обычно обозначаются буквой i .Например, уравнение x 2  + 1 имеет корни i и – i , как можно увидеть, подставив любое из этих значений вместо x  в уравнение x 2 9030 = 0.

          Сложные корни

          Класс всех чисел, который включает действительные и мнимые числа, называется комплексными числами

          Теперь мы опишем три свойства комплексных чисел, которые помогут нам избежать дальнейшего обсуждения мнимых чисел:

          • Все комплексные числа могут быть представлены в виде a + bi , где a и b — действительные числа; a называется реальной частью , а b называется мнимой частью
          • Если a + bi является корнем многочлена n th степени, то таким же является и его сопряженное a – bi
          • Если z = a + bi  , то абсолютное значение из z определяется | из | = 

          Поскольку a и b — действительные числа, не включающие , нам нужно иметь дело только с действительными числами.

          Обратите внимание, что комплексное число a + bi  действительно, если b = 0. Если a + bi  является действительным числом, то определение абсолютного значения, данное выше, согласуется с обычным определением, поскольку | и | =

          Квадратичные многочлены

          Корни квадратичных полиномиальных A 2 x 2 + A 0 1
          1 x + A
          + A 0 даны квадратичной формулой , а именно

          Если значение внутри символа квадратного корня отрицательное, то оба корня являются мнимыми, а если значение внутри символа квадратного корня неотрицательно, то оба корня действительны.

          Факторизация

          По Фундаментальной теореме алгебры не только каждый n й многочлен степени имеет n корней, но мы можем использовать эти корни как факторизацию многочлена. Более конкретно, если r 1 , r 2 , …, r n являются этими корнями, то мы можем разложить полином следующим образом:

          Или короче

          Здесь мы включаем несколько корней , т.е.е. корни, повторяющиеся более одного раза при факторизации. Например. квадратичный многочлен x 2 + 2 x + 1 = ( x +1)( x +1), поэтому -1 является корнем два раза.

          В многочлене

          , если a 0 = 0, то легко видеть, что ноль является корнем, и на самом деле многочлен можно разложить как

          и так N корней ноль плюс корни N- 1 градусов полиномиал A

          0 N x N -1

        8 + A
        0 N -1 x n -2 +…+  a 1 .На самом деле, если a 1 = 0, то ноль является двойным корнем, и многочлен можно разложить как

        .

        Если мы вынесем за скобки все нулевые корни многочлена, мы можем считать, что постоянный коэффициент оставшегося многочлена отличен от нуля.

        Если нас интересуют только корни полинома, мы можем предположить, что первый коэффициент равен 1, так как

        имеет те же корни, что и наш исходный полином, а есть n / и n = 1.Таким образом, когда нас интересуют только корни, мы можем считать, что наш исходный многочлен принимает форму

        .

        Кубические многочлены

        Как правило, для нахождения корней полинома требуется использование итеративного метода (например, метода Ньютона или метода Бэрстоу, как описано ниже). Как мы видели выше, в этом нет необходимости для линейных и квадратных уравнений. Оказывается, существует безытеративный подход к нахождению корней кубического многочлена.См. Кубические многочлены.

        Метод реальной статистики

         Следующая функция реальной статистики реализует метод Бэрстоу для нахождения всех корней многочлена.

        Функция реальной статистики : Ресурсный пакет реальной статистики предоставляет следующую функцию массива, где R1 представляет собой диапазон n +1 × 1, содержащий коэффициенты многочлена, где a 0 находится в первой позиции, а a n находится на последней позиции.

        КОРНИ (R1): возвращает диапазон n × 2, где каждая строка содержит один корень, и где первый столбец состоит из действительной части корней, а второй столбец состоит из мнимой части корней

        Обратите внимание, что значение в последней позиции R1 (соответствующее a n ) не обязательно должно быть равно единице, но оно не может быть равно нулю. Значение в любом другом положении R1 может быть равно нулю.

        Пример 1 : Найдите корни числа

        Результаты показаны на рисунке 1

        Рисунок 1 – Нахождение корней многочлена

        Здесь диапазон D6:E9 содержит формулу массива =ROOTS(B6:B10).

        Как видите, четыре корня равны 2 i , -2 i , -5 и 3.

        Пример 2 : Найдите корни числа

        Результаты показаны на рис. 2

        Рисунок 2 – Нахождение корней многочлена

        На этот раз корни 0, 1, -1 (дважды).

        Наблюдение : функция КОРНИ фактически принимает ряд необязательных параметров

                 КОРНИ (R1, prec, iter, r, s )

        prec = точность результата, т.е.е. насколько близко к нулю приемлемо. По умолчанию это значение равно 0,00000001.

        iter = максимальное количество итераций, выполняемых при выполнении метода Бэрстоу. По умолчанию 50.

        r, s = начальные начальные значения при использовании метода Бэрстоу. По умолчанию они равны нулю.

        Артикул

        Кумар, Р. (2002) Численный анализ
        https://nptel.ac.in/content/storage2/courses/122104019/numerical-analysis/Rathish-kumar/ratish-1/f3index. html

        Найти корни многочленов с помощью Numpy в Python

        Мы часто решаем полиномиальные уравнения в математике, чтобы найти корни уравнений. Вы когда-нибудь задумывались, как решить эти математические уравнения с помощью программирования? Ну, без использования Python было бы немного сложно решать эти уравнения. Позвольте мне рассказать вам об удивительной библиотеке под названием numpy. В сегодняшнем уроке мы рассмотрим numPy в python и проведем подробный анализ numpy и его использования.

        Внедрение Numpy в Python

        Numpy расшифровывается как Numerical Python. Это библиотека научных вычислений с открытым исходным кодом для языка программирования Python. NumPy — это библиотека числовых процедур, которая помогает решать научные задачи. Массив Numpy — очень известный пакет в библиотеке numpy. Он также имеет функции в области линейной алгебры, преобразований Фурье и матриц.

        Зачем использовать numpy в python?

        В предыдущем уроке мы узнали о списках. Списки похожи на массивы в Python, но это более медленный процесс. С другой стороны, массивы NumPy хранятся в одном непрерывном месте в памяти, поэтому к ним легко получить доступ и очень эффективно манипулировать ими.

        Что такое корни Numpy в Python?

        Корень Numpy помогает найти корни полиномиального уравнения с коэффициентами в python. Его можно найти с помощью нескольких методов. Давайте обсудим их подробно. Полиномиальное уравнение записывается как: –

           p[0] * x  n  + p[1] * x  (n-1)  + … + p[n-1]*x + p[n]  

        Метод 1: Использование np.функция root() в python

        В этом методе мы рассмотрим, как использовать функцию корня numpy и распечатать данную справку по функции функции печати в python. Функция numpy.roots() возвращает корни многочлена с коэффициентами, указанными в p . Коэффициенты многочлена должны быть помещены в массив numpy в последовательности.

        Синтаксис

          Синтаксис:  numpy.roots(p) 

        Параметр

        Принимает коэффициенты заданного многочлена.

        Возвращаемое значение

        Функция вернет корни многочлена.

        Давайте напишем код, чтобы понять.

        Пример 1:

        Рассмотрим уравнение: х 2 + 5*х + 6

        Коэффициенты 1, 5 и 6.

         импортировать numpy как np
        р = [1, 5, 6]
        корни = np.roots(p)
        печать (корни)
         
          ВЫХОД:  - [3. 2.] 

        Расшифровка кода

        1. Чтобы использовать библиотеку numpy в python, нам нужно ее импортировать.
        2. np — псевдоним numpy.
        3. p — список с коэффициентами.
        4. Чтобы найти корни уравнения, мы использовали np.roots с передачей коэффициентов в качестве параметра.
        5. Печать корней.
        Пример 2:

        Рассмотрим теперь следующий многочлен для кубического уравнения:

        Коэффициенты 1, -6 , 11 и -6.

         импортировать numpy как np
        коэфф = [1, -6, 11, -6]
        печатать (сущ.корни (коэфф))
         
          ВЫХОД:-  [3. 2. 1.] 

        Расшифровка кода

        1. Чтобы использовать библиотеку numpy в python, нам нужно ее импортировать.
        2. np — псевдоним numpy.
        3. coeff содержит список коэффициентов.
        4. Чтобы найти корни уравнения, мы использовали np.roots, передавая коэффициенты в качестве параметра и печатая его.

        Также прочтите | Квадратный корень Numpy | Пример использования Math Toolkit

        Метод 2: использование функции poly1D() в python

        poly1D помогает нам определить полиномиальную функцию в Python.Мы используем эту функцию, так как она упрощает применение операций над полиномами. Коэффициенты многочлена должны быть помещены в массив numpy в последовательности.

        Синтаксис

         numpy.poly1d (арр, корень, переменная) 

        Параметр

        arr:- [array_like]  Коэффициенты полинома расположены в порядке убывания степеней. Таким образом, если второму параметру, т. е. корню, присвоить значение True, то значения массива будут корнями полиномиального уравнения.

        root:   — [bool, необязательный] Значение root по умолчанию — False. True означает полиномиальные корни.

        var:   — такие переменные, как x, y, z, которые нам нужны в виде полинома. Переменная по умолчанию — х.

        Возвращаемое значение

        poly1D возвращает полиномиальное уравнение вместе с примененной к нему операцией.

        например, пусть многочлен будет x 2 + 5 * x + 6 , тогда массив будет [1, 5 , 6] соответственно.

         импортировать numpy как np
        р = np.poly1d([1, 5, 6])
        корень = п.р.
        печать (р)
        печать (корень)
         
          ВЫХОД:-  x  2  + 5x +6
                            [-3. -2.] 

        Расшифровка кода

        1. Чтобы использовать библиотеку numpy, нам нужно ее импортировать.
        2. np — псевдоним numpy.
        3. Ввел коэффициенты многочлена в массив.
        4. Умножаем на r , чтобы получить корни.
        5. Отображение уравнения полинома и корней уравнения.

        Также прочтите | Как вычислить квадратный корень в Python

        Как numpy решает уравнение матрицы-компаньона?

        Python даже помогает нам решить сопутствующую матрицу с помощью numpy. Метод, который мы используем для решения этой проблемы, — np.legcompanion() . np.legcompanion() вернет сопутствующую матрицу.

        Синтаксис:
         np.legcompanion(c) 

        Параметр

        c : [array_like] Одномерные массивы коэффициентов рядов Лежандра, упорядоченные от младших к старшим.

        Возвращаемое значение

        Возвращает ndarray Companion матрицу размеров (степень, степень).

         импортировать numpy как np
        импортировать numpy. polynomial.legendre как npl
        с = (1, 2, 3, 4, 5)
        res = npl.legcompanion(s)
        печать (разрешение)
         

        ВЫХОД:-

         [ [ 0,0,57735027 0,-0,30237158]
          [0,57735027 0,0,51639778 -0,34914862]
          [ 0, 0,51639778 0, 0,10141851]
          [ 0. 0. 0.50709255 -0.4571428] ] 

        Расшифровка кода

        1. Импорт numpy с псевдонимом как np.
        2. Импорт модуля numpy.polynomial.legendre как npl.
        3. Сохранение коэффициентов ряда Лежандра в переменной s.
        4. Использование метода np.legcompanion().
        5. Печать результирующей сопутствующей матрицы.

        Заключение

        Numpy — важная библиотека Python. Он используется во многих приложениях для специалистов по данным и инженеров по машинному обучению. В этой статье обсуждались некоторые его функции, такие как корневая функция и функция polynomial.legendre.

        Если у вас есть какие-либо сомнения, оставьте комментарий в разделе комментариев ниже.

        .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск