Решение уравнений с модулями

«Решить уравнение с модулями» или «Найти решения уравнения с модулем» – одни из самых популярных заданий в школьном курсе математики, у многих на первом курсе в ВУЗах при изучении модулей. Примеры легко сводятся к обычным уравнениям при знании правил — а они достаточно просты. При раскрытии модуля требуется найти точки в которых подмодульная функция принимает нулевое значение. Истинную ось разбить найденными точками на интервалы и установить знаки функции на каждом из них. Дальше раскрывают модули по правилу:
Если подмодульная функция положительная то модули раскрывают без изменений. Если отрицательная то раскрывая модуль функцию берут со знаком минус.
Все это напрямую следует из определения модуля числа:

После вычислений проверяют принадлежит найденное решение рассматриваемому интервалу или нет. Таким образом отсеивают лишние результаты.
Для наглядности перейдем к вычислениям .

Пример 1. Найти решение уравнения

Решение:
Этот пример является простейшим типом уравнений с модулями. В первую очередь уравнение содержит модуль один раз и переменная входит линейно.
Находим точку в которой выражение под знаком модуля обращается в нуль

Справа от этой точки выражение под модулем принимает положительное значение, слева — отрицательное.
Раскрывая модуль получим два уравнения с условиями на неизвестную

Находим решения уравнения


Такого типа уравнение с модулем можно решить графическим методом. В результате получим следующий вид функций

Пример 2. Найти решение уравнения

Решение: Решаем по схеме предыдущего примера.
Находим точки в которых модули превращаются в ноль.


Обе точки разделяют действительную ось на интервалы.

Обозначаем знаки подмодульных функций на найденных интервалах. Знаки устанавливаем простой подстановкой точек из интервала



Для удобства можете обозначать интервалы графически, некоторым это очень помогает, но можно обойтись только приведенными выше записями.
Раскрываем модули учитывая знаки и находим решения.



Последнее решение не имеет смысла, поскольку не принадлежит промежутку на котором его находим. Таким образом уравнения удовлетворяют значения

Графики модуль-функций приведены ниже, точки их пересечения и являются решением.

Пример 3.Найти решение уравнения

Решение: Находим точки, которые разбивают ось на области знакопостоянства


Определяем знаки подмодульных функций на этих областях



Раскрываем модули и вычисляем



Второе и третье значение не принадлежат области, следовательно уравнению отвечает только x=-4.
Ниже модули изображены графически

Пример 4. Найти решение уравнения

Решение: Есть квадратный трехчлен который сводится к решению двух уравнений


Решаем каждое из квадратных уравнений . Дискриминант у них будет одинаковый

Находим корни первого уравнения

yukhym.com

Решение уравнений с модулями и параметрами

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель урока. Решение уравнений с параметрами и модулями, применяя свойства функций в неожиданных ситуациях и освоение геометрических приемов решения задач. Нестандарные уравнения.

Задачи:

• Образовательные: научить решать некоторые виды  уравнений уравнений модулями и параметрами;
• Развивающие: развивать культуру мысли, культуру речи и умение работать с тетрадью и доской.
• Воспитательные: воспитывать самостоятельность и умение преодолевать трудности.

Оборудование: наглядный материал для устного счёта и объяснения новой темы. Интерактивная доска, мультимедийное оборудование урока.

Структура урока:

1. Повторение изученного материала (устный счёт).
2. Изучение нового материала.
3. Закрепление изученного материала.
4. Итог урока.
5. Домашнее задание.

ХОД УРОКА

1. Повторение  важнейшего теоретического материала по темам: «Уравнения, содержащие модуль»,  «Решение уравнений с параметрами»

1) «Уравнения, содержащие модуль»

Абсолютной величиной или модулем числа a называется число a, если a > 0, число – a, если a < 0, нуль, если a = 0. Или

| a | ={	a, если a > 0
	0, если a = 0
	– a, если a < 0

Из определения следует, что | a |  > 0 и | a | > a для всех a  € R .
Неравенство | x |  < a,  (если a > 0) равносильно двойному неравенству – a < х < a.
Неравенство | x | < a,  (если a < 0) не имеет смысла, так как | х | >0.
Неравенство | x | > a,  (если a > 0) равносильно двум неравенствам
Неравенство | x | > a,  (если a < 0) справедливо для любого х € R.

2) «Решение уравнений с параметрами» 

Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и  каковы они.

а) определить  множество допустимых значений неизвестного и параметров;

б) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующие множества решений уравнения.

2. Устные упражнения

1. Решить уравнение | x – 2 | = 5;  Ответ: 7; – 3

| x – 2 | = – 5; Ответ:  решения нет

| x – 2 | = х + 5; Ответ:  решения нет; 1,5

| x – 2 | = | x + 5 |; Ответ:  решения нет; – 1,5; решения нет; – 1,5;

2. Решить уравнение: | x + 3 | + | y – 2 | = 4;

Расcмотрим четыре случая 

1.

{	x + 3 > 0	{	x > – 3
	y – 2 > 0		y > 2
	x + 3 + y – 2 = 4		y = – x + 3

2.

{	x + 3 > 0	{	x > – 3
	y – 2 < 0		y < 2
	x + 3 – y + 2 = 4		y = x + 1

3.

{	x + 3 < 0	{	x < – 3
	y + 2 > 0		y > – 2
	– x – 3 – y – 2 = 4		y = x + 9

4.

{	x + 3 < 0	{	x < – 3
	y + 2 < 0		y < – 2
	– x – 3 – y – 2 = 4		y = –  x – 9

В результате мы получаем квадрат,  центр которого (–3; 2), а длина диагонали равна 8, причем диагонали параллельны осям координат.

Из наглядных соображений можно сделать вывод: что уравнение вида | х + a | + | у + b | =  с; задает на плоскости квадрат с центром в точке (– а; – b), диагоналями параллельными осям OX и ОУ, и длина каждой диагонали равна 2с. Ответ:  (– 3; 2).

2. Решить уравнение aх = 1

Ответ: если a = 0, то нет решения; если

a = 0, то х = 1/ a

3. Решить уравнение (а² – 1) х = а + 1.

Решение.

Нетрудно сообразить, что при решении этого уравнения достаточно рассмотреть такие случаи:

1) а = 1; тогда уравнение принимает вид ОX = 2 и не имеет решения

2) а = – 1; получаем ОX = О , и очевидно х – любое.

                                       1
3) если а = + 1, то х = –––
                                    а – 1

Ответ:
если а = – 1, то х – любое;
если а = 1, то нет  решения;

                                    1
если а = + 1 , то х = –––
                                 а – 1

3. Решения примеров  (из вариантов С)

1. При каком значении параметра р  уравнение | х² – 5х + 6 | + | х² – 5х + 4 | = р имеет четыре корня.

Решение.

Рассмотрим функцию у = | х² – 5х + 6 | + | х² – 5х + 4 |

Так как х² – 5х + 6 = (х – 2)(х – 3) и х² – 5х + 4 = (х – 1)(х – 4), то y = | (х – 2)(х – 3) | + | (х – 1)(х – 4) |, корни квадратных трехчленов отметим  на числовой прямой

        1        2       3       4                           х

Числовая прямая при этом разбивает на 5 промежутков

1. 

{	x < 1	{	x < 1
	y = x2 – 5x + 6 + x2 – 5x + 4		y = 2x2 – 10x + 10

2.

{	1 < x < 2	{	1 < x < 2
	y  = x2 – 5x + 6 –  x2 + 5x – 4		y = 2

3.

{	2 < x < 3	{	2 < x <3
	y = – 2 x2 + 10x – 10		y = – x2 + 5x – 6 –  x2 + 5x – 4

4.

{	3 < x < 4	{	3 < x < 4
	y = 2		y = x2 – 5x + 6 – x2 + 5x – 4

5.

{	x > 4	{	x > 4
	y = 2x2 – 10x + 10		y= x2 – 5x + 6 + x2 –5x + 4

Для случая 3) х₀ = – b | 2a = 2, y₀ = 25 : 2 + 25 – 10 = 2,5

Итак, (2,5; 2,5) – координаты вершины параболы y = – 2x² + 10x – 10.

Построим график функции, заданной равенством

Как видно из рисунка, исходное уравнение имеет четыре корня, если 2 < а < 2,5

Ответ: при  2 < а < 2,5

4. Самостоятельная работа по уровням

1 уровень

1.  Решить уравнение х² – | x | = 6
2. При каких целых значениях а имеет единственное решение уравнение ах² – (а + 1) + а² + а = 0?

2 уровень

1. Решить уравнение: | x – 5 | – | 2x + 3 | = 10
2. Найти все  значениях параметра а, при  которых  уравнение (

а –12) х² + 2 = 2(12 – а) имеет два различных корня?

3 уровень

1. Решить уравнение | x – 5 | – | 2x + 3| = 10
2. Найти все  значениях параметра а, при  которых уравнение (а – 12) х² + 2 = 2(12 – а) имеет два различных корня?

5. Итог урока

1. Определение модуля.
2. Что значит решить уравнение с параметром?

6. Задание на дом. C5 варианта №11 Ф.Ф. Лысенко. Математика, 2012

urok.1sept.ru

Линейные уравнения с модулем

Просмотр содержимого документа
«Линейные уравнения с модулем»

Уравнения с модулем

Определение модуля числа: Модуль числа есть всегда неотрицательное число. Модуль положительного числа есть само число, а отрицательного – противоположное. Модуль нуля – ноль.

Рассмотрим простейшие уравнения с модулем

1.Решить уравнение |x|= 3. Из определения модуля корнем уравнения может быть либо само число 3 или противоположное ему -3. Вот и все.

Ответ: x₁= 3, x₂= 3.

1.Решить уравнение |x|= -3. Уравнение решения не имеет, модуль любого числа неотрицателен, а правая часть уравнения отрицательна.

3. Решить уравнение |x – 5|= 3. Снова решаем на основании определения, может быть снова два варианта 1) x – 5 = 3, 2) x – 5 = — 3. Получаем x₁ = 8, x₂ = 2.

Ответ: x₁= 8, x₂= 2. Числа 8 и 2 находятся на расстоянии 3 от числа 5 на координатной прямой.

Метод интервалов при решении уравнений с модулем

4. Решить уравнение |x – 5|+|x – 1|= 10.

Рассмотрим промежутки на числовой оси между точками, где модули равны нулю.

Первый промежуток . На этом числовом промежутке |x – 5|=-(x – 5) = -x + 5;

|x – 1|= -(x – 1) = — x + 1. Упростим уравнение -x + 5 — x + 1 = 10  -2x + 6 = 10  x = — 2. . Значит – 2 корень этого уравнения. Второй промежуток Упрощаем из определения модуля |x – 5|=-(x – 5) = -x + 5; |x – 1|= x – 1. Упрощаем -x + 5 + x — 1 = 10  4 = 10 не верно, значит на этом промежутке корней нет. Третий промежуток по аналогии x – 5 + x – 1 = 10  2x= 16  x = 8.

Ответ: x₁ = -2; x₂ = 8.

5. Решить уравнение|x+1| — |x -2| + |x -3| = 6.

Аналогично решаем уравнение методом интервалов, здесь интервалов уже 4.

1) x x – 1 + x — 2 – x + 3 = 6  x = — 6, корень уравнения -6

2) -1 ≤ x x + 1 + x – 2 – x + 3 = 6  x = 4, решения нет — 1 ≤ 4

3) 2 ≤ x x + 1 –x + 2 – x + 3 = 6  x = 0, решения нет 2 ≤ 0

4) x ≥ 3, x + 1 – x + 2 + x – 3 = 6  x = 6, корень уравнения 6 ≥ 3 верное,

Ответ: x₁ = — 6, x₂ = 6.

При решении методом интервалов важно, чтобы полученное значение на решение было из своего интервала.

6. Решить уравнение |x – 5|=|x – 1|. Из определения модуля следует

Ответ: x = 3.

Можно решить и другим способом:

Примеры для самостоятельного решения уравнений с модулем.

|x + 1|+ |x+5| = 6;

|x — 2|+|x — 3| = 8;

|x — 4|- |x — 3| = 7;

multiurok.ru

Модуль в модуле. Графический метод

Распространенными примерами с модулями является уравнение типа модуль в модуле. Двойной модуль можно записать в виде формулы
||a*x-b|-c|=k*x+m.
Если k=0 то такое уравнение с модулем легче решать графическим методом. Классическое раскрытия модулей в таких ситуациях громоздкое и не дает желаемого эффекта (экономии времени) на контрольных и тестах. Графический метод позволяет за короткое время выполнить построение модульных функций и найти количество корней уравнения.

Алгоритм построения двойного, тройного модуля достаточно прост и из приведенных ниже примеров понравится многим. Для закрепления методики внизу приведены примеры для самостоятельного вычисления.

Пример 1. Решить уравнение модуль в модуле ||x-3|-5|=3.
Решение: Решим уравнение с модулями классическим методом и графически. Найдем ноль внутреннего модуля
x-3=0 x=3.
В точке x=3 уравнения с модулем разделяется на 2. Кроме того, ноль внутреннего модуля является точкой симметрии графика модулей и если правая сторона уравнения равна постоянной, то корни лежат на одинаковом расстоянии от этой точки. То есть можно решить одно уравнение из двух, а остальные корней вычислить из этого условия.
Раскроем внутренний модуль для x>3
|x-3-5|=3; |x-8|=3.
Полученное уравнение при раскрытии модуля делится на 2
Под модульная функция >0
x-8=3; x=3+8=11;
и для значений < 0 получим
-(x-8)=3; x=8-3=5.
Оба корня уравнения удовлетворяют условию x>3, то есть являются решениями.
Учитывая записано выше правило симметрии решений уравнения с модулями, можно не искать корни уравнения для x< 3, которое имеет вид
|-(x-3)-5|=3; |-x-2|=3,
а вычислить их.
Значение симметрично относительно x=3 для x=11 равно
x=3-(11-3)=6-11=-5.
По той же формуле находим второе решение
x=3-(5-3)=6-5=1.
Заданное уравнение модуля в модуле имеет 4 решения
x=-5; x=1; x=5; x=11.
Теперь найдем решения уравнения с модулями графическим методом. С внутреннего модуля |x-3| следует что график стандартной модуль функции является смещен по оси Ох вправо на 3.
Дальше — отнять 5 означает что график необходимо опустить на 5 клеток по оси Oy. Чтобы получить модуль полученной функции симметрично отражаем все что находится ниже оси Ox.
И напоследок выполняем построение прямой y=3, параллельной оси Ox. Лучше всего для вычислений уравнений с модулями графически использовать тетрадь в клеточку, поскольку в ней удобно строить графики.
Окончательный вид графика модулей имеет вид

Точки пересечения модуль функции и прямой y=3 и является искомыми решениями x=-5;x=1; x=5;x=11.

Преимущество графического метода над раскрытием модулей для простых уравнений очевидно. Однако графически неудобно искать корни когда правая сторона имеет вид k*x+m, то есть является прямой наклоненной к оси абсцисс под углом.
Здесь таких уравнений рассматривать не будем.

 

Пример 2. Сколько корней имеет уравнение ||2x-3|-2|=2?
Решение: Правая сторона равна постоянной, поэтому скорее найти решение можно графическим методом. Внутренний модуль обращается в нуль
|2x-3|=0 x=3/2=1,5
в точке x=1,5.
Значит в эту точку смещаем график функции y=|2x|. Для того, чтобы его построить подставьте несколько точек и проведите через них прямые. От полученной функции вычитаем 2 то есть график опускаем на двойку вниз и, чтобы получить модуль переносим отрицательные значения (y< 0) симметрично относительно оси Ox.

Далее остается построить правую сторону (прямую y=2) и подсчитать количество точек пересечения. График модуль функции и прямой приведен ниже

Видим, что заданное уравнение имеет три решения.

 

Пример 3. При каком значении параметра a уравнение с модулем |||x+1|-2|-5|=a имеет 5 решений?
Решение: Имеем уравнение с тремя вложенными модулями. Найдем ответ с графического анализа. Начнем, как всегда, из внутреннего модуля. Он обращается в нуль
|x+1|=0 x=-1
в точке x=-1.
Строим график модуль функции в этой точке

Далее график опускаем вниз на двойку и отрицательные значения (y< 0) симметрично переносим вверх. Получим график функции
y=||x+1|-2|

Повторно выполним смещение графика модуль функции вниз на 5 и симметрично переносим отрицательные значения функции. В результате получим левую сторону уравнения с модулями
y=|||x+1|-2|-5|.

Параметр а соответствует значению параллельной прямой, которая должна пересечь график модуль функции в 5 точках. Сначала проводим такую прямую, далее ищем точку пересечения ее с осью Oy.
Это прямая y=3, то есть искомый параметр равен a=3.
Методом раскрытия модулей данную задачу можно было решать целый урок, если не больше. Здесь все свелось к нескольким графикам.
Ответ: a=3.

 

Пример 4. Сколько решений имеет уравнение |||3x-3|-2|-7|=x+5 ?
Решение: Раскроем внутренний модуль уравнения
|3x-3|=0 <=> x=3/3=1.
Строим график функции y=|3x-3|. Для этого на одну клетки изменения x от найденной точки добавляем 3 клетки по y. Выполняйте построение корней уравн

yukhym.com