Как решать модуль в модуле уравнения: Модуль в модуле

Содержание

Модуль в модуле

Среди примеров на модули часто встречаются уравнения где нужно найти корни модуля в модуле, то есть уравнение вида
||a*x-b|-c|=k*x+m.
Если k=0, то есть правая сторона равна постоянной (m) то проще искать решение уравнения с модулями графически. Ниже приведена методика раскрытия двойных модулей на распространенных для практики примерах. Хорошо разберите алгоритм вычисления уравнений с модулями, чтобы не иметь проблем на контрольных, тестах, и просто, чтобы знать.

Пример 1. Решить уравнение модуль в модуле |3|x|-5|=-2x-2.
Решение: Всегда начинают раскрывать уравнения с внутреннего модуля
|x|=0 <-> x=0.
В точке x=0 уравнения с модулем разделяется на 2.
При x < 0 подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
|-3x-5|=-2x-2.
При x>0 или равно, раскрывая модуль получим
|3x-5|=-2x-2.
Решим уравнение для отрицательных переменных (x < 0). Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе - раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная - меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).


Из первого уравнения получим что решение не должно превышать (-1), т.е.

Это ограничение полностью принадлежит области в которой решаем. Перенесем переменные и постоянные по разные стороны равенства в первой и второй системе

и найдем решение


Оба значения принадлежат промежутку что рассматривается, то есть являются корнями.
Рассмотрим уравнение с модулями при положительных переменных
|3x-5|=-2x-2.
Раскрывая модуль получим две системы уравнений

Из первого уравнения, которое является общим для двух сиcтем, получим знакомое условие

которое в пересечении с множеством, на котором ищем решение дает пустое множество (нет точек пересечения). Итак единственными корнями модуля с модулем являются значения
x=-3; x=-1,4.

 

Пример 2. Решить уравнение с модулем ||x-1|-2|=3x-4.
Решение: Начнем с раскрытия внутреннего модуля
|x-1|=0 <=> x=1.
Подмодульная функция меняет знак в единице. При меньших значениях она отрицательная, при больших - положительная. В соответствии с этим при раскрытии внутреннего модуля получим два уравнения с модулем

x |-(x-1)-2|=3x-4;
x>=1 -> |x-1-2|=3x-4.
Обязательно проверяем правую сторону уравнения с модулем, она должна быть больше нуля.
3x-4>=0 -> x>=4/3.
Это означает, что первое из уравнений нет необхидноcти решать, поcкольку оно выпиcано для x< 1,что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
|x-3|=3x-4 ->
x-3=3x-4 или x-3=4-3x;
4-3=3x-x или x+3x=4+3;
2x=1 или 4x=7;
x=1/2 или x=7/4.
Получили два значения, первое из которых отвергаем, поскольку не принадлежит нужному интервалу. Окончательно уравнение имеет одно решение x=7/4.

 

Пример 3. Решить уравнение с модулем ||2x-5|-1|=x+3.
Решение: Раскроем внутренний модуль
|2x-5|=0 <=> x=5/2=2,5.
Точка x=2,5 разбивает числовую ось на два интервала. Соответственно, подмодульная функция меняет знак при переходе через 2,5. Выпишем условие на решение с правой стороны уравнения с модулем.
x+3>=0 -> x>=-3.
Итак решением могут быть значения, не меньше (-3). Раскроем модуль для отрицательного значения внутреннего модуля

|-(2x-5)-1|=x+3;
|-2x+4|=x+3.
Этот модуль также при раскрытии даст 2 уравнения
-2x+4=x+3 или 2x-4=x+3;
2x+x=4-3 или 2x-x=3+4;
3x=1; x=1/3 или x=7.
Значение x=7 отвергаем, поскольку мы искали решение на промежутке [-3;2,5]. Теперь раскрываем внутренний модуль для x>2,5. Получим уравнение с одним модулем
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
При раскрытии модуля получим следующие линейные уравнения
-2x+6=x+3 или 2x-6=x+3;
2x+x=6-3 или 2x-x=3+6;
3x=3; x=1 или x=9.
Первое значение x=1 не удовлетворяет условие x>2,5. Так что на этом интервале имеем один корень уравнения с модулем x=9, а всего их два (x=1/3).Подстановкой можно проверять правильность выполненных вычислений
Ответ: x=1/3; x=9.

 

Пример 4. Найти решения двойного модуля ||3x-1|-5|=2x-3.
Решение: Раскроем внутренний модуль уравнения
|3x-1|=0 <=> x=1/3.
Точка x=2,5 делит числовую ось на два интервала, а заданное уравнение на два случая. Записываем условие на решение, исходя из вида уравнения с правой стороны
2x-3>=0 -> x>=3/2=1,5.

Отсюда следует, что нас интересуют значения >=1,5. Таким образом модульное уравнения рассматриваем на двух интервалах
[1,5; 2,5], [2,5; +бесконечность).
Раскроем модуль при отрицательных значениях внутреннего модуля [1,5; 2,5]
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3.
Полученный модуль при раскрытии делится на 2 уравнения
-3x-4=2x-3 или 3x+4=2x-3;
2x+3x=-4+3 или 3x-2x=-3-4;
5x=-1; x=-1/5 или x=-7.
Оба значения не попадают в промежуток [1,5; 2,5], то есть не являются решениями уравнения с модулями. Далее раскроем модуль для x>2,5. Получим следующее уравнение
|3x-1-5|=2x-3;
|3x-6|=2x-3.
Раскрывая модуль, получим 2 линейные уравнения
3x-6=2x-3 или –(3x-6)=2x-3;
3x-2x=-3+6 или 2x+3x=6+3;
x=3 или 5x=9; x=9/5=1,8.
Второе значение из найденных не соответствует условию x>2,5, его мы отвергаем.
Наконец имеем один корень уравнения с модулями x=3.
Выполняем проверку
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3.
Корень уравнения с модулем вычислено правильно.
Ответ: x=1/3; x=9.

Примеров с модулями где есть один или несколько вложенных модулей в интернете или методичке можно найти немало. Схема их вычислений ничем не отличается от приведенной выше. Для проверки знаний прошу решить следующие задачи.

Равнение на модуль в модуле:

  • ||3x-3|-2|=5-2x;
  • ||5x-3|-3|=3x-1;
  • ||2x-7|-4|=x-2;
  • ||5x-4|-8|=x+4;
  • ||2x-2|-3|=1;
  • ||x-2|-3|=4-x.

Похожие материалы:

Уравнения и неравенства с модулем

Эта статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.

Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,
вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,
занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.

Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.

Прежде всего вспомним, что

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем. (К неравенствам перейдём позже.)

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Решим уравнение

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:

или

Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.

Ответ: 0; 5.

Переменная как под модулем, так и вне модуля

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

1.

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

   

Решение первой системы: . У второй системы решений нет.
Ответ: 1.

2.

Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:

Число , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число . Для этого составим разность и определим её знак:

Значит, больше трёх и потому является корнем исходного уравнения

Второй случай: x < 3. Снимаем модуль:

Число . больше, чем , и потому не удовлетворяет условию x < 3. Проверим :

Значит, . является корнем исходного уравнения.

Ответ:

3.

Снимать модуль по определению? Страшно даже подумать об этом, ведь дискриминант — не полный квадрат. Давайте лучше воспользуемся следующим соображением: уравнение вида |A| = B равносильно совокупности двух систем:

   

То же самое, но немного по-другому:

Иными словами, мы решаем два уравнения, A = B и A = −B, а потом отбираем корни, удовлетворяющие условию B ≥ 0.

Приступаем. Сначала решаем первое уравнение:



Затем решаем второе уравнение:

Теперь в каждом случае проверяем знак правой части:

Стало быть, годятся лишь и .

Ответ:

Квадратные уравнения с заменой |x| = t

Решим уравнение:

Поскольку , удобно сделать замену |x| = t. Получаем:

Ответ: ±1.

Модуль равен модулю

Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

Например, рассмотрим уравнение: . Оно равносильно следующей совокупности:

Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.

Два или несколько модулей

Решим уравнение:

Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.

Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении.)

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.

Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:

Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.

Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:

Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.

Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.

Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.

Ответ: [1; 2] ∪ {5}.

Модуль в модуле

Решим уравнение:

Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.

1) x ≤ 3. Получаем:

Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.

1.1) Получаем в этом случае:

Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.

1.2) . Тогда:

Это значение x также не годится.

Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.

2) x ≥ 3. Имеем:

Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается «с плюсом»:

Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.

Ответ: 4.

Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.

Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.

Как решать уравнения с модулем

Одна из самых сложных тем для учащихся  – это решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. Давайте разберемся для начала с чем же это связано? Почему, например, квадратные уравнения большинство детей щелкает как орешки, а с таким далеко не самым сложным понятием как модуль имеет столько проблем?

На мой взгляд, все эти сложности связаны с отсутствием четко сформулированных правил для решения уравнений с модулем. Так, решая квадратное уравнение, ученик точно знает, что ему нужно сначала применять формулу дискриминанта, а затем формулы корней квадратного уравнения. А что делать, если в уравнении встретился модуль? Постараемся четко описать необходимый план действий на случай, когда уравнение содержит неизвестную под знаком модуля. К каждому случаю приведем несколько примеров.

Но для начала вспомним определение модуля. Итак,  модулем числа a называется само это число, если a неотрицательно и  -a, если  число a

меньше нуля. Записать это можно так:

|a| = a, если a ≥ 0 и |a| = -a, если a < 0

Говоря о геометрическом смысле модуля, следует помнить, что каждому действительному числу соответствует определенная точка на числовой оси – ее  координата. Так вот, модулем или абсолютной величиной числа называется расстояние от этой точки до начала отсчета числовой оси. Расстояние всегда задается положительным числом. Таким образом, модуль любого отрицательного числа есть число положительное. Кстати, даже на этом этапе многие ученики начинают путаться. В модуле может стоять какое угодно число, а вот результат применения модуля всегда число положительное.

Теперь перейдем непосредственно к решению уравнений.

1. Рассмотрим уравнение вида |x| = с, где с – действительное число. Это уравнение можно решить с помощью определения модуля.

Все действительные числа разобьем на три группы: те, что больше нуля, те, что меньше нуля, и третья группа – это число 0. Запишем решение в виде схемы:

                             {±c, если с > 0

 Если |x| = c, то x = {0, если с = 0

                             {нет корней, если с < 0

Примеры:

1) |x| = 5, т.к. 5 > 0, то x = ±5;

2) |x| = -5, т.к. -5 < 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, то x = 0.

2. Уравнение вида |f(x)| = b, где b > 0. Для решения данного уравнения необходимо избавиться от модуля. Делаем это так: f(x) = b или f(x) = -b. Теперь необходимо решить отдельно каждое из полученных уравнений. Если в исходном уравнении b< 0, решений не будет.

Примеры:

1) |x + 2| = 4, т.к. 4 > 0, то

x + 2 = 4 или x + 2 = -4

x = 2             x = -6

2) |x2 – 5| = 11, т.к. 11 > 0, то

x2 – 5 = 11 или x2 – 5 = -11

x2 = 16            x2 = -6

x = ± 4             нет корней

3) |x2 – 5x| = -8 , т.к. -8 < 0, то уравнение не имеет корней.

3. Уравнение вида |f(x)| = g(x). По смыслу модуля такое уравнение будет иметь решения, если его правая часть больше или равна нулю, т.е. g(x) ≥ 0. Тогда будем иметь:

f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).

Примеры:

1) |2x – 1| = 5x – 10. Данное уравнение будет иметь корни, если 5x – 10 ≥ 0. Именно с этого и начинают решение таких уравнений.

1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0

              5x ≥ 10  

               x ≥ 2.  

2. Решение:

2x – 1 = 5x – 10 или 2x – 1 = -(5x – 10)

3x = 9                     7x = 11

x = 3                       x = 11/7

3. Объединяем О.Д.З. и решение, получаем:

Корень x = 11/7 не подходит по О.Д.З., он меньше 2, а x = 3 этому условию удовлетворяет.

Ответ: x = 3  

2) |x – 1| = 1 – x2.

1. О.Д.З. 1 – x2 ≥ 0. Решим методом интервалов данное неравенство:

             (1 – x)(1 + x) ≥ 0

             -1 ≤ x ≤ 1  

2. Решение:

x – 1 = 1 – x2      или   x – 1 = -(1 – x2)

x2 + x – 2 = 0            x2 – x = 0

x = -2 или x = 1         x = 0 или x = 1

3. Объединяем решение и О.Д.З.:

Подходят только корни x = 1 и x = 0.

Ответ: x = 0, x = 1. 

4. Уравнение вида |f(x)| = |g(x)|. Такое уравнение равносильно двум следующим уравнениям f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).

Пример:

1) |x2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Данное уравнение равносильно двум следующим:

x2 – 5x + 7  = 2x – 5 или x2 – 5x +7  = -2x + 5   

x2 – 7x + 12  = 0            x2 – 3x + 2  = 0

x = 3 или x = 4             x = 2 или x = 1  

Ответ: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Уравнения, решаемые методом подстановки (замены переменной). Данный метод решения проще всего объяснить на конкретном примере. Так, пусть дано квадратное уравнение с модулем:

 x2 – 6|x| + 5 = 0. По свойству модуля x2 = |x|2, поэтому уравнение можно переписать  так:

|x|2 – 6|x| + 5 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда будем иметь:

t2 – 6t + 5 = 0. Решая данное уравнение, получаем, что t = 1 или t = 5. Вернемся к замене:

|x| = 1 или |x| = 5

x = ±1        x = ± 5

Ответ: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5. 

Рассмотрим еще один пример:

x2 + |x| – 2 = 0. По свойству модуля  x2 = |x|2, поэтому

|x|2 + |x| – 2 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда:

t2 + t – 2 = 0. Решая данное уравнение, получаем, t = -2 или t = 1. Вернемся к замене:

|x| = -2   или |x| = 1

Нет корней     x = ± 1

Ответ: x = -1, x = 1.

6. Еще один вид уравнений – уравнения со «сложным» модулем. К таким уравнениям относятся уравнения, в которых есть «модули в модуле». Уравнения данного вида можно решать, применяя свойства модуля.

Примеры:

1) |3 – |x|| = 4. Будем действовать так же, как и в уравнениях второго типа. Т.к. 4 > 0, то получим два уравнения:

3 – |x| = 4 или  3 – |x| = -4.

Теперь выразим в каждом уравнении модуль х, тогда |x| = -1 или |x| = 7.

Решаем каждое из полученных уравнений. В первом уравнении нет корней, т.к. -1 < 0, а во втором x = ±7.

Ответ x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Решаем это уравнение аналогичным образом:

3 + |x + 1| = 5      или     3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2                       |x + 1| = -8

x + 1 = 2 или x + 1 = -2.   Нет корней.

x = 1            x = -3

Ответ: x = -3, x = 1.

Существует еще и универсальный метод решения уравнений с модулем. Это метод интервалов. Но мы его рассмотрим в дальнейшем.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Модули - Математика - Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Базовые сведения о модуле

К оглавлению...

Определение модуля может быть дано следующим образом: Абсолютной величиной числа a (модулем) называется расстояние от точки, изображающей данное число a на координатной прямой, до начала координат. Из определения следует, что:

Таким образом, для того чтобы раскрыть модуль необходимо определить знак подмодульного выражения. Если оно положительно, то можно просто убирать знак модуля. Если же подмодульное выражение отрицательно, то его нужно умножить на "минус", и знак модуля, опять-таки, больше не писать.

Основные свойства модуля:

 

Некоторые методы решения уравнений с модулями

К оглавлению...

Существует несколько типов уравнений с модулем, для которых имеется предпочтительный способ решения. При этом данный способ не является единственным. Например, для уравнения вида:

Предпочтительным способом решения будет переход к совокупности:

А для уравнений вида:

Также можно переходить к почти аналогичной совокупности, но так как модуль принимает только положительные значения, то и правая часть уравнения должна быть положительной. Это условие нужно дописать в качестве общего ограничения для всего примера. Тогда получим систему:

Оба этих типа уравнений можно решать и другим способом: раскрывая соответствующим образом модуль на промежутках где подмодульное выражение имеет определённый знак. В этом случае будем получать совокупность двух систем. Приведем общий вид решений получающихся для обоих типов уравнений приведённых выше:

Для решения уравнений в которых содержится более чем один модуль применяется метод интервалов, который состоит в следующем:

  • Сначала находим точки на числовой оси, в которых обращается в ноль каждое из выражений, стоящих под модулем.
  • Далее делим всю числовую ось на интервалы между полученными точками и исследуем знак каждого из подмодульных выражений на каждом интервале. Заметьте, что для определения знака выражения надо подставить в него любое значение x из интервала, кроме граничных точек. Выбирайте те значения x, которые легко подставлять.
  • Далее на каждом полученном интервале раскрываем все модули в исходном уравнении в соответствии с их знаками на данном интервале и решаем полученное обычное уравнение. В итоговый ответ выписываем только те корни этого уравнения, которые попадают в исследуемый промежуток. Еще раз: такую процедуру проводим для каждого из полученных интервалов.

Модуль числа. Простое уравнение с модулем. Корень уравнения с модулем.

Наиболее часто возникают ошибки при решении уранений с модулем. Давайте разберем решение простейших уравнений с модулем. Чтобы решить уранения с модулем, надо знать определение модуля. Модуль обозначает абсолютное значение числа и записывается вертикальными черточками:

\(|a|\) - читается как модуль числа \(a\).

Определение модуля:


Модуль числа  \(|-5|\) из определения является расстоянием от \(-5\) до \(0\).


  • Если модуль числа равен положительному значению, то уравнение имеет два корня.
  • Если модуль числа равен нулю, то уравнение имеет один корень.
  • Если модуль равен отрицательному значению,  то уравнение не имеет корней.

Пример 1. Решите \(|x|=3\)

Решение: 

\(|x|=3\)

\(x = 3\) или \(x = -3\)

Уранение имеет два корня 

Ответ: \(x = 3\) или \(x = -3\).

Пример 2. Решите \(|x|=0\)

Решение: 

\(|x|=0\)

\(x = 0\)

Уравнение имеет один корень

Ответ: \(x = 0\).


Пример 3.  Решите \(|x|=-3\)

Решение: 

Модуль не может быть равен отрицательному значению!!!

корней нет

Ответ: корней нет.

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы "Альфа". Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку

Репетитор по математике

Полтавский государственный педагогический университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-11 классов. Цель моих занятий - объяснить, а не заучить, поэтому даже после прохождения курса у ученика остаются знания, ведь понимание - ключ к дальнейшему развитию. Индивидуальный подход к ученикам разного возраста и уровня начальных знаний. Процент успешных прохождений экзаменов моими учениками - более 80%. Моя работа - будущее ваших детей. Математика - это гимнастика ума, в любом возрасте ! Она необходима каждому, как лечение от депрессии, физической усталости и начертания планов для достижения успехов. Учить математики ребенка-это учить жизни !

Оставить заявку

Репетитор по математике

Донецкий государственный университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 7-11 классов. Математика двигает человечество вперёд. Она помогает учёным познать окружающий мир. Я люблю математику за то, что она дисциплинирует и воспитывает ум. Это очень важно в современном быстроменяющемся мире. Недаром говорят, что математика – это гимнастика ума. Приоритетом для меня является всестороннее развитие умственных способностей своих учеников, в особенности логического и творческого мышления на основе глубокого знания и понимания предмета. Мне важно видеть реальную позитивную динамику роста моего ученика от урока к уроку, применять индивидуальный подход для достижения необходимого результата. Самое главное в работе с детьми - настроиться на их волну. Для меня главное, чтобы обучение проходило в непринужденной и доброжелательной атмосфере, чтобы, получая новые знания, ребенок раскрыл и приумножил свои способности, чтобы полученный результат порадовал его и послужил основой для дальнейшего развития.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Рудненский индустриальный институт, Карагандинский государственный технический университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 4-11 класс. Математика - интересна и увлекательна! Чтобы она стала для вас таковой, необходимо ее понимать. Поэтому на своих уроках я стремлюсь достичь того, чтобы ученик вникал в задания, акцентирую его на важные моменты, обращаю внимание на возможность решения задачи разными способами.

Математика 10 класс

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие

Похожие статьи

Записаться на бесплатный урок

19. Уравнения с модулем | Контрольные работы по математике и другим пре

Модулем (Абсолютной величиной) Числа называется неотрицательное число:

(3.9)

Геометрическая интерпретация модуля: – это расстояние от точки А до точки Х на координатной оси, в частности, – это расстояние от точки 0 до точки Х.

Свойства модуля:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

Пусть – некоторое алгебраическое выражение. Тогда, используя определение модуля (3.9) при соответствующих предположениях, можно раскрыть знак абсолютной величины данного выражения:

Уравнение, содержащее выражение с неизвестной Х под знаком модуля, называется Уравнением с модулем. Рассмотрим основные типы уравнений с модулем и методы их решения.

I тип: уравнение вида

(3.10)

Где А – число, – некоторое выражение с неизвестной Х.

1. Если уравнение (3.10) решений не имеет.

2. Если уравнение (3.10) равносильно уравнению

3. Если уравнение (3.10) равносильно совокупности уравнений:

II тип: Уравнение вида

Где – некоторые выражения с неизвестной Х.

Решать это уравнение можно несколькими способами.

1-й способ – используя определения модуля:

2-й способ – используя подход к решению, как к уравнениям I типа с дополнительным условием на знак выражения

З а м е ч а н и е. 1-й или 2-й способ решения таких уравнений выбирают в зависимости от того, какое из неравенств или решается легче.

3-й способ – метод интервалов. Необходимо:

1) найти те значения Х, для которых

2) нанести полученные значения Х на числовую ось;

3) определить знаки для каждого из полученных интервалов;

4) нарисовать кривую знаков;

5) решить уравнение на каждом промежутке в отдельности, раскрывая модуль согласно рисунку;

6) для каждого конкретного промежутка проверить, принадлежат ли полученные корни этому промежутку;

7) в ответе указать совокупность всех полученных корней.

III тип: Уравнения, содержащие несколько модулей. Если их два, то это уравнение вида

(3.11)

Где – некоторые выражения с неизвестной Х.

1-й способ – можно использовать определение модуля и рассматривать 4 случая возможных знаков Этот способ, как правило, не является рациональным.

2-й способМетод интервалов. Необходимо нарисовать столько числовых осей и кривых знаков, сколько модулей в уравнении. Для уравнения (3.11) рисуют две оси, располагая их одна под другой (одна ось для вторая – для ). Для каждого выражения и следует изобразить кривую знаков на соответствующей оси. Затем раскрывают модули, используя рисунок, и решают уравнение отдельно на каждом промежутке. Подходят только те корни, которые принадлежат рассматриваемому промежутку. В ответе необходимо указать совокупность полученных корней.

IV тип: Уравнение вида

(3.12)

Где – некоторые выражения с неизвестной Х;

1-й способ – решение уравнения (3.12) сводится к решению совокупности уравнений:

2-й способ – метод интервалов (не рационально).

3-й способ – после возведения уравнения в квадрат и использования свойства модуля уравнение сводится к равносильному:

Полученное уравнение решается в зависимости от его типа.

V тип: Уравнения, решаемые заменой переменной, например:

Где – некоторые выражения с неизвестной Х;

По свойству модуля оно записывается в виде

Вводят замену и решают полученное квадратное уравнение относительно неизвестной У. Затем необходимо вернуться к старой переменной. В случае 2-х различных корней квадратного уравнения это будет совокупность уравнений I типа:

Если корень единственный, то остается решить уравнение

Необходимо помнить, что в случае отрицательного значения уравнение с модулем не имеет решений.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Это уравнение I типа. Его ОДЗ:

Уравнение записывается в виде

На ОДЗ можно сократить и получаем

откуда т. е.

Получаем корни которые подходят по ОДЗ.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Это уравнение II типа. Его ОДЗ: Оно имеет решение, если т. е. при Таким образом, для получаем:

(3.13)

Решим отдельно полученные дробно-рациональные уравнения. Первое уравнение сводится к виду

откуда

Это квадратное уравнение решений не имеет, так как

Из второго уравнения совокупности (3.13) получаем

т. е.

Квадратное уравнение имеет корни:

Т. е. первый корень не принадлежит множеству на котором решали уравнение, следовательно, ответом является только

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Имеем уравнение II типа, которое решим по определению модуля:

(3.14)

Решаем первую систему совокупности (3.14):

Значение не подходит по условию Следовательно, корнем является

Решаем вторую систему совокупности (3.14):

Получили ответ

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Поскольку то уравнение записывается в виде

Это уравнение относится к III типу уравнений.

Его ОДЗ: Решим методом интервалов.

Нулями выражений, стоящих под модулем, являются и Эти значения разбивают числовую ось на три промежутка (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Раскрыв модули на каждом из полученных промежутков, с учетом их знаков, получим совокупность систем:

Решим отдельно системы:

III.

Решением данного уравнения являются значения и

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Запишем уравнение в виде

Оно относится к IV типу. Возведем обе его части в квадрат:

После упрощения имеем:

т. е.

Получаем – корень.

Пример 6. Решить уравнение

Решение. ОДЗ: т. е.

Преобразуем данное уравнение к виду

Заменяем

Уравнение приобретает вид

Решаем его как дробно-рациональное и получаем:

Последнее квадратное уравнение имеет корни:

Возвращаясь к переменной Х, получаем:

Второе уравнение совокупности решений не имеет, так как слева положительное выражение, а справа – отрицательное.

Первое уравнение совокупности сводится к I типу уравнений с модулем и равносильно совокупности при условии

Приходим к совокупности

т. е.

Решение имеет только второе уравнение совокупности, его корни:

Оба они подходят по ОДЗ.

Пришли к ответу:

Пример 7. Решить уравнение

Решение. ОДЗ:

С учетом ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению:

Используя свойства модуля (имеем сумму двух неотрицательных величин), получаем:

Т. е. – решение полученной системы, оно подходит по ОДЗ.

Получили ответ:

< Предыдущая   Следующая >

Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля

Е.П. Нелин, В.А. Лазарев

 АЛГЕБРА

и начала математического

анализа

10 класс

Учебник для

общеобразовательных

учреждений. Базовый и

профильный уровень

§ 5. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля

(Оформление и автор интерактивных технологий Морозова Е.)

Объяснение и обоснование

     Решать любое уравнение или неравенство, содержащее знак модуля, можно одним из трех основных способов: по определению модуля, исходя из геометрического смысла модуля или по общей схеме. Некоторые уравнения или неравенства с модулем могут быть также решены с использованием специальных соотношений.

        В зависимости от выбранного способа решения получаем разные записи решения.

Пример            Решите уравнение | 2x – 4 | = 6.

I способ (по определению модуля)

II способ (использование геометрического смысла модуля)

     Замечание. При решении уравнения с использованием геометрического смысла модуля знак модуля раскрывается неявно, то есть определение модуля в явном виде не применяется.

     Общая схема решения уравнений и неравенств, содержащих знак модуля — это фактически немного измененный метод интервалов. Поясним содержание этой схемы на примере уравнения с двумя модулями вида

|f (x)| + |g (x)| = a  (a > 0).

     Чтобы решить это уравнение, необходимо раскрыть знаки модулей, а для этого необходимо знать, где функции f (x) и g (x) будут положительными, а где — отрицательными. То есть фактически мы должны решить неравенства

f (x) ≥ или ≤0,                              (1)

g (x) ≥ или ≤0.                             (2)

     Каждое из этих неравенств мы умеем решать методом интервалов. Перестроим прием решения неравенств методом интервалов таким образом, чтобы он давал возможность одновременно решать каждое из последних неравенств. Как известно, решение неравенства (1) методом интервалов начинается с нахождения его ОДЗ (то есть области определения функции f (x)), а решение неравенства (2) — с нахождения его ОДЗ (то есть области определения функции g (x)). Чтобы начать одновременно решать оба неравенства, необходимо найти общую область определения для функций f (x) и g (x), то есть найти ОДЗ данного уравнения (это и есть первый из ориентиров необходимой схемы).

     Чтобы продолжить решение неравенств f (x) ≥или≤0 и g (x) ≥или≤ 0 методом интервалов, необходимо найти нули функций f (x) и g (x), то есть найти нули всех подмодульных функций (это и есть второй ориентир).

     Если далее применить схему метода интервалов одновременно для двух неравенств, необходимо на ОДЗ отметить нули подмодульных функций и разбить ОДЗ на промежутки (это третий ориентир).

     В каждом из полученных промежутков знаки функций f (x) и g (x) не могут измениться. Тогда мы можем найти знаки подмодульных функций на каждом промежутке (в любой точке этого промежутка), раскрыть знаки модулей и найти решение данного уравнения в каждом из этих промежутков (это и есть четвертый ориентир общей схемы). 

     Обоснование возможности применения приведенной схемы к решению неравенств с модулями проводится аналогично.

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Вопросы для контроля

  1. Объясните, какими способами можно решать уравнения и неравенства, содержащие знак модуля. Проиллюстрируйте эти способы на примерах.
  2. Обоснуйте специальные соотношения. Проиллюстрируйте их применение к решению уравнений и неравенств, содержащих знак модуля.
  3. Обоснуйте обобщения использования геометрического смысла модуля. Проиллюстрируйте их применение к решению уравнений и неравенств, содержащих знак модуля.

Упражнения

Решите уравнения и неравенства, содержащие знак модуля (1–15).

Постройте график функции

ТЕСТ

Уравнения и неравенства

 

 

 

Все, что вам нужно знать - настоящий Python

В этой статье вы узнаете все о модуле Python math . Математические вычисления являются неотъемлемой частью большинства разработок Python. Независимо от того, работаете ли вы над научным проектом, над финансовым приложением или над любым другим видом программирования, вам просто не избежать математики.

Для простых математических вычислений в Python вы можете использовать встроенные математические операторы , такие как сложение ( + ), вычитание (), деление (/) и умножение ( * ). .Но более сложные операции, такие как экспоненциальные, логарифмические, тригонометрические или степенные функции, не встроены. Означает ли это, что вам нужно реализовать все эти функции с нуля?

К счастью, нет. Python предоставляет модуль, специально разработанный для математических операций более высокого уровня: модуль math .

К концу этой статьи вы узнаете:

  • Что такое модуль Python math
  • Как использовать функции модуля math для решения реальных задач
  • Какие константы модуля math , включая пи, тау и число Эйлера
  • В чем разница между встроенными функциями и функциями math
  • В чем разница между math , cmath и NumPy

Здесь вам пригодится математический опыт, но не волнуйтесь, если математика не ваша сильная сторона.Эта статья объяснит основы всего, что вам нужно знать.

Итак, приступим!

Знакомство с Python

math Модуль

Модуль Python math - важная функция, предназначенная для работы с математическими операциями. Он поставляется в стандартной версии Python и был там с самого начала. Большинство функций модуля math представляют собой тонкие оболочки математических функций платформы C.Поскольку его основные функции написаны на CPython, модуль math эффективен и соответствует стандарту C.

Модуль Python math предлагает вам возможность выполнять общие и полезные математические вычисления в вашем приложении. Вот несколько практических применений модуля math :

  • Вычисление комбинаций и перестановок с использованием факториалов
  • Расчет высоты столба с помощью тригонометрических функций
  • Расчет радиоактивного распада с использованием экспоненциальной функции
  • Расчет кривой подвесного моста с использованием гиперболических функций
  • Решение квадратных уравнений
  • Моделирование периодических функций, таких как звуковые и световые волны, с использованием тригонометрических функций

Поскольку модуль math входит в состав версии Python, вам не нужно устанавливать его отдельно.Для использования достаточно импортировать модуль:

Вы можете импортировать модуль Python math , используя указанную выше команду. После импорта вы можете сразу использовать его.

Константы модуля

math

Модуль Python math предлагает множество предопределенных констант . Доступ к этим константам дает несколько преимуществ. Во-первых, вам не нужно вручную жестко закодировать их в свое приложение, что сэкономит вам много времени.Кроме того, они обеспечивают согласованность всего кода. Модуль включает в себя несколько известных математических констант и важных значений:

  • Пи
  • Тау
  • Число Эйлера
  • бесконечность
  • Не число (NaN)

В этом разделе вы узнаете о константах и ​​о том, как их использовать в коде Python.

Пи

Пи (π) - это отношение длины окружности ( c ) к ее диаметру ( d ):

π = с / д

Это соотношение всегда одинаково для любого круга.

Пи - это иррациональное число , что означает, что его нельзя выразить простой дробью. Следовательно, у пи бесконечное количество десятичных знаков, но оно может быть приблизительно равно 22/7 или 3,141.

Интересный факт: Пи - самая признанная и известная математическая константа в мире. У него есть своя собственная дата празднования, называемая Днем Пи, которая приходится на 14 марта (3/14).

Вы можете получить доступ к pi следующим образом:

>>>
  >>> математ.Пи
3,1415589793
  

Как видите, число пи в Python дается с точностью до пятнадцати десятичных знаков. Количество предоставленных цифр зависит от базового компилятора C. Python по умолчанию печатает первые пятнадцать цифр, а math.pi всегда возвращает значение с плавающей запятой.

Итак, каковы некоторые из способов, которыми пи может быть вам полезен? Вы можете рассчитать длину окружности, используя 2π r , где r - радиус окружности:

>>>
  >>> г = 3
>>> окружность = 2 * математика.пи * р
>>> f "Окружность круга = 2 * {math.pi: .4} * {r} = {окружность: .4}"
'Окружность круга = 2 * 3,142 * 3 = 18,85'
  

Вы можете использовать math.pi для вычисления длины окружности. Вы также можете рассчитать площадь круга по формуле π r ² следующим образом:

>>>
  >>> г = 5
>>> площадь = math.pi * r * r
>>> f "Площадь круга = {math.pi: .4} * {r} * {r} = {area: .4}"
«Площадь круга = 3.142 * 5 * 5 = 78,54 '
  

Вы можете использовать math.pi для вычисления площади и длины окружности. Когда вы выполняете математические вычисления с помощью Python и сталкиваетесь с формулой, в которой используется π, рекомендуется использовать значение пи, заданное модулем math , вместо жесткого кодирования значения.

Тау

Тау (τ) - отношение длины окружности к ее радиусу. Эта константа равна 2π, или примерно 6,28. Как и пи, тау - иррациональное число, потому что оно просто пи умноженное на два.

Во многих математических выражениях используется 2π, и использование тау вместо этого может помочь упростить ваши уравнения. Например, вместо вычисления длины окружности с 2π r , мы можем подставить тау и использовать более простое уравнение τ r .

Однако использование тау в качестве постоянной окружности все еще обсуждается. Вы можете свободно использовать 2π или τ по мере необходимости.

Вы можете использовать тау, как показано ниже:

>>>
  >>> математ.тау
6,283185307179586
  

Подобно math.pi , math.tau возвращает пятнадцать цифр и является значением с плавающей запятой. Вы можете использовать тау для вычисления длины окружности с τ r , где r - радиус, следующим образом:

>>>
  >>> г = 3
>>> окружность = math.tau * r
>>> f "Окружность круга = {math.tau: .4} * {r} = {окружность: .4}"
'Окружность круга = 6,283 * 3 = 18,85'
  

Вы можете использовать math.tau вместо 2 * math.pi , чтобы привести в порядок уравнения, содержащие выражение 2π.

Число Эйлера

Число Эйлера

( e ) - это константа, являющаяся основанием натурального логарифма , математической функции, которая обычно используется для расчета скорости роста или убывания. Как и в случае с пи и тау, число Эйлера - иррациональное число с бесконечным числом десятичных знаков. Значение e часто приблизительно равно 2,718.

Число Эйлера

является важной константой, поскольку оно имеет множество практических применений, таких как расчет роста населения с течением времени или определение скорости радиоактивного распада.Вы можете получить доступ к числу Эйлера из модуля math следующим образом:

>>>
  >>> math.e
2,718281828459045
  

Как и math.pi и math.tau , значение math.e дается с точностью до пятнадцати десятичных знаков и возвращается как значение с плавающей запятой.

бесконечность

Бесконечность не может быть определена числом. Скорее, это математическая концепция, представляющая что-то бесконечное или безграничное.Бесконечность может идти в любом направлении, в положительном или отрицательном.

Вы можете использовать бесконечность в алгоритмах , если вы хотите сравнить заданное значение с абсолютным максимальным или минимальным значением. Значения положительной и отрицательной бесконечности в Python следующие:

>>>
  >>> f "Положительная бесконечность = {math.inf}"
'Положительная бесконечность = бесконечность'
>>> f "Отрицательная бесконечность = {-math.inf}"
'Отрицательная бесконечность = -inf'
  

Бесконечность не является числовым значением.Вместо этого он определяется как math.inf . Python представил эту константу в версии 3.5 как эквивалент float ("inf") :

>>>
  >>> float ("inf") == math.inf
Правда
  

И float ("inf") , и math.inf представляют концепцию бесконечности, что делает math.inf больше любого числового значения:

>>>
  >>> х = 1e308
>>> math.inf> x
Правда
  

В приведенном выше коде math.inf больше, чем значение x , 10 308 (максимальный размер числа с плавающей запятой), которое является числом с двойной точностью.

Аналогично, -math.inf меньше любого значения:

>>>
  >>> y = -1e308
>>> y> -math.inf
Правда
  

Отрицательная бесконечность меньше значения y , что составляет -10 308 . Никакое число не может быть больше или меньше отрицательной бесконечности.Вот почему математические операции с math.inf не изменяют значение бесконечности:

>>>
  >>> math.inf + 1e308
инф
>>> math.inf / 1e308
инф
  

Как видите, ни сложение, ни деление не изменяют значение math.inf .

Не число (NaN)

Не число или NaN, на самом деле, не является математическим понятием. Он возник в области информатики как ссылка на значения, которые не являются числовыми.Значение NaN может быть связано с недопустимыми входными данными или может указывать на то, что переменная, в которой должно быть числовым, была повреждена текстовыми символами или символами.

Всегда рекомендуется проверять, является ли значение NaN. Если это так, то это может привести к недопустимым значениям в вашей программе. Python представил константу NaN в версии 3.5.

Вы можете увидеть значение math.nan ниже:

NaN не является числовым значением. Как видите, значение math.nan - это nan , то же значение, что и float ("nan") .

Арифметические функции

Теория чисел - это раздел чистой математики, изучающий натуральные числа. Теория чисел обычно имеет дело с положительными целыми числами или целыми числами.

Модуль Python math предоставляет функции, которые полезны в теории чисел, а также в теории представлений , связанной области. Эти функции позволяют рассчитать ряд важных значений, включая следующие:

  • факториалов числа
  • Наибольший общий делитель двух чисел
  • Сумма итераций

Найдите факториалы с помощью Python

factorial ()

Вы могли видеть математические выражения вроде 7! или 4! перед.Восклицательные знаки не означают, что числа взволнованы. Скорее, "!" - это факториал , символ . Факториалы используются при поиске перестановок или комбинаций. Вы можете определить факториал числа, умножив все целые числа от выбранного числа до 1.

В следующей таблице показаны значения факториала для 4, 6 и 7:

Символ Словами Выражение Результат
4! Четыре факториала 4 х 3 х 2 х 1 24
6! Шесть факториалов 6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 720
7! Семь факториал 7 х 6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 5040

Из таблицы видно, что 4 !, или четырехфакториал, дает значение 24 путем умножения диапазона целых чисел от 4 до 1.Аналогично 6! и 7! дают значения 720 и 5040 соответственно.

Вы можете реализовать факториальную функцию в Python, используя один из нескольких инструментов:

  1. для петель
  2. Рекурсивные функции
  3. math.factorial ()

Сначала вы рассмотрим факториальную реализацию с использованием цикла для . Это относительно простой подход:

  def fact_loop (число):
    если число <0:
        возврат 0
    если num == 0:
        возврат 1

    факториал = 1
    для i в диапазоне (1, num + 1):
        факториал = факториал * я
    возврат факториала
  

Вы также можете использовать рекурсивную функцию, чтобы найти факториал.Это более сложно, но и более элегантно, чем использование цикла для . Вы можете реализовать рекурсивную функцию следующим образом:

  def fact_recursion (число):
    если число <0:
        возврат 0
    если num == 0:
        возврат 1

    return num * fact_recursion (число - 1)
  

Примечание: В Python существует ограничение на глубину рекурсии, но эта тема выходит за рамки данной статьи.

В следующем примере показано, как можно использовать для циклических и рекурсивных функций :

>>>
  >>> fact_loop (7)
5040

>>> fact_recursion (7)
5040
  

Несмотря на то, что их реализации различны, их возвращаемые значения одинаковы.

Однако реализация собственных функций только для получения факториала числа занимает много времени и неэффективно. Лучше использовать math.factorial () . Вот как можно найти факториал числа с помощью math.factorial () :

. >>>
  >>> math.factorial (7)
5040
  

Этот подход возвращает желаемый результат с минимальным объемом кода.

factorial () принимает только положительные целые числа.Если вы попытаетесь ввести отрицательное значение, вы получите ValueError :

. >>>
  >>> math.factorial (-5)
Отслеживание (последний вызов последний):
  Файл "", строка 1, в 
ValueError: factorial () не определен для отрицательных значений
  

Ввод отрицательного значения приведет к ошибке ValueError при чтении factorial (), не определенного для отрицательных значений .

factorial () также не принимает десятичные числа.Это даст вам ValueError :

>>>
  >>> math.factorial (4.3)
Отслеживание (последний вызов последний):
  Файл "", строка 1, в 
ValueError: factorial () принимает только целые значения
  

Ввод десятичного значения приводит к ошибке ValueError при чтении factorial () принимает только целые значения .

Вы можете сравнить время выполнения для каждого из методов факториала, используя timeit () :

>>>
  >>> импортное время
>>> timeit.timeit ("fact_loop (10)", globals = globals ())
1,063997201999996

>>> timeit.timeit ("fact_recursion (10)", globals = globals ())
1,815312818999928

>>> timeit.timeit ("math.factorial (10)", setup = "import math")
0,10671788000001925
  

Пример выше иллюстрирует результаты timeit () для каждого из трех факторных методов.

timeit () при каждом запуске выполняет один миллион циклов. В следующей таблице сравнивается время выполнения трех факториальных методов:

Тип Время выполнения
С петлями 1.0640 с
С рекурсией 1,8153 с
С факториалом () 0,1067 с

Как видно из времени выполнения, factorial () быстрее, чем другие методы. Это из-за его базовой реализации C. Метод, основанный на рекурсии, самый медленный из трех. Хотя вы можете получить разные тайминги в зависимости от вашего CPU , порядок функций должен быть одинаковым.

factorial () не только быстрее, чем другие методы, но и более стабилен. Когда вы реализуете свою собственную функцию, вы должны явно кодировать случаев бедствия , например, обработку отрицательных или десятичных чисел. Одна ошибка в реализации может привести к ошибкам. Но при использовании factorial () вам не нужно беспокоиться о случаях катастрофы, потому что функция обрабатывает их все. Поэтому рекомендуется по возможности использовать factorial () .

Найдите максимальное значение с помощью

ceil ()

math.ceil () вернет наименьшее целочисленное значение, которое больше или равно заданному числу. Если число является положительным или отрицательным десятичным числом, функция вернет следующее целочисленное значение, превышающее данное значение.

Например, вход 5,43 вернет значение 6, а вход -12,43 вернет значение -12. math.ceil () может принимать положительные или отрицательные действительные числа в качестве входных значений и всегда будет возвращать целочисленное значение.

Когда вы вводите целое число в ceil () , оно вернет то же число:

>>>
  >>> math.ceil (6)
6
>>> math.ceil (-11)
-11
  

math.ceil () всегда возвращает одно и то же значение, если на входе задано целое число. Чтобы увидеть истинную природу ceil () , вы должны ввести десятичные значения:

>>>
  >>> math.ceil (4.23)
5
>>> math.ceil (-11,453)
-11
  

Если значение положительное (4.23), функция возвращает следующее целое число, большее значения (5). Если значение отрицательное (-11,453), функция также возвращает следующее целое число, большее значения (-11).

Функция вернет TypeError , если вы введете значение, которое не является числом:

>>>
  >>> math.ceil ("x")
Отслеживание (последний вызов последний):
  Файл "", строка 1, в 
TypeError: должно быть действительное число, а не str
  

Вы должны ввести число в функцию.Если вы попытаетесь ввести любое другое значение, вы получите TypeError .

Найдите минимальную стоимость с

этажом ()

floor () вернет ближайшее целое значение, которое меньше или равно заданному числу. Эта функция ведет себя противоположно ceil () . Например, ввод 8,72 вернет 8, а ввод -12,34 вернет -13. floor () может принимать как положительные, так и отрицательные числа в качестве входных данных и возвращает целочисленное значение.

Если ввести целочисленное значение, функция вернет то же значение:

>>>
  >>> math.floor (4)
4
>>> math.floor (-17)
-17
  

Как и в случае с ceil () , когда вход для floor () является целым числом, результат будет таким же, как входное число. Вывод отличается от ввода только при вводе десятичных значений:

>>>
  >>> math.floor (5.532)
5
>>> math.floor (-6.432)
-7
  

Когда вы вводите положительное десятичное значение (5.532), оно возвращает ближайшее целое число, которое меньше введенного числа (5). Если вы введете отрицательное число (-6,432), оно вернет следующее наименьшее целочисленное значение (-7).

Если вы попытаетесь ввести значение, не являющееся числом, функция вернет TypeError :

>>>
  >>> math.floor ("x")
Отслеживание (последний вызов последний):
  Файл "", строка 1, в 
TypeError: должно быть действительное число, а не str
  

Вы не можете вводить нечисловые значения в качестве входных данных для ceil () .Это приведет к ошибке TypeError .

Усечение чисел с усечением

()

Когда вы получаете число с десятичной точкой, вы можете оставить только целую часть и исключить десятичную часть. В модуле math есть функция trunc () , которая позволяет вам делать именно это.

Удаление десятичного значения - это тип округления. При использовании trunc () отрицательные числа всегда округляются в большую сторону до нуля, а положительные числа всегда округляются в меньшую сторону до нуля.

Вот как функция trunc () округляет положительные или отрицательные числа:

>>>
  >>> math.trunc (12.32)
12
>>> math.trunc (-43,24)
-43
  

Как видите, 12,32 округляется вниз до 0, что дает результат 12. Таким же образом -43,24 округляется вверх до 0, что дает значение -43. trunc () всегда округляется до нуля независимо от того, положительное или отрицательное число.

При работе с положительными числами trunc () ведет себя так же, как floor () :

>>>
  >>> математ.trunc (12.32) == math.floor (12.32)
Правда
  

trunc () ведет себя так же, как floor () для положительных чисел. Как видите, возвращаемое значение обеих функций одинаково.

При работе с отрицательными числами trunc () ведет себя так же, как ceil () :

>>>
  >>> math.trunc (-43.24) == math.ceil (-43.24)
Правда
  

Если число отрицательное, floor () ведет себя так же, как ceil () .Возвращаемые значения обеих функций одинаковы.

Найдите близость чисел с помощью Python

isclose ()

В определенных ситуациях - особенно в области науки о данных - вам может потребоваться определить, близки ли два числа друг к другу. Но для этого сначала нужно ответить на важный вопрос: насколько близко, , близко, ? Другими словами, каково определение слова «закрыть»?

Что ж, Мерриам-Вебстер скажет вам, что близость означает «близость во времени, пространстве, эффекте или градусе».«Не очень-то полезно, правда?

Например, возьмите следующий набор чисел: 2.32, 2.33 и 2.331. Когда вы измеряете близость по двум десятичным знакам, 2,32 и 2,33 близки. Но на самом деле 2.33 и 2.331 ближе. Таким образом, близость - понятие относительное. Невозможно определить близость без какого-то порога.

К счастью, модуль math предоставляет функцию под названием isclose () , которая позволяет вам установить свой собственный порог или допуск для близости.Он возвращает True , если два числа находятся в пределах установленного вами допуска близости, и в противном случае возвращает False .

Давайте посмотрим, как сравнить два числа, используя допуски по умолчанию:

  • Относительный допуск или rel_tol - это максимальная разница, которая считается «близкой» по отношению к величине входных значений. Это процент толерантности. Значение по умолчанию - 1e-09 или 0,000000001.
  • Абсолютный допуск или abs_tol - это максимальная разница, которая считается «близкой» независимо от величины входных значений.Значение по умолчанию - 0,0.

isclose () вернет True , если выполняется следующее условие:

абс (a-b) <= max (rel_tol * max (abs (a), abs (b)), abs_tol).

isclose использует приведенное выше выражение для определения близости двух чисел. Вы можете подставить свои собственные значения и посмотреть, близки ли какие-либо два числа.

В следующем случае 6 и 7 не близки к :

>>>
  >>> математ.isclose (6, 7)
Ложь
  

Числа 6 и 7 не считаются близкими, поскольку относительный допуск установлен для девяти десятичных знаков. Но если вы введете 6,999999999 и 7 с одинаковым допуском, тогда они будут считаться близкими:

>>>
  >>> math.isclose (6.999999999, 7)
Правда
  

Вы можете видеть, что значение 6.999999999 находится в пределах девяти десятичных знаков 7. Следовательно, исходя из относительного допуска по умолчанию, 6.999999999 и 7 считаются близкими.

Вы можете отрегулировать относительный допуск, как хотите, в зависимости от ваших потребностей. Если установить для rel_tol значение 0,2, то 6 и 7 считаются близкими:

>>>
  >>> math.isclose (6, 7, rel_tol = 0.2)
Правда
  

Вы можете заметить, что 6 и 7 сейчас близки. Это потому, что они находятся в пределах 20% друг от друга.

Как и в случае с rel_tol , вы можете настроить значение abs_tol в соответствии с вашими потребностями. Чтобы считаться близкими, разница между входными значениями должна быть меньше или равна значению абсолютного допуска.Вы можете установить abs_tol следующим образом:

>>>
  >>> math.isclose (6, 7, abs_tol = 1.0)
Правда
>>> math.isclose (6, 7, abs_tol = 0,2)
Ложь
  

Когда вы устанавливаете абсолютный допуск на 1, числа 6 и 7 близки, потому что разница между ними равна абсолютному допуску. Однако во втором случае разница между 6 и 7 не меньше или равна установленному абсолютному допуску 0,2.

Вы можете использовать abs_tol для очень малых значений:

>>>
  >>> математ.isclose (1, 1.0000001, abs_tol = 1e-08)
Ложь
>>> math.isclose (1, 1.00000001, abs_tol = 1e-08)
Правда
  

Как видите, вы можете определить близость очень маленьких чисел с помощью isclose . Несколько особых случаев, касающихся близости, можно проиллюстрировать с использованием значений nan и inf :

>>>
  >>> math.isclose (math.nan, 1e308)
Ложь
>>> math.isclose (math.nan, math.nan)
Ложь

>>> math.isclose (math.inf, 1e308)
Ложь
>>> math.isclose (math.inf, math.inf)
Правда
  

Из приведенных выше примеров видно, что nan не близко ни к какому значению, даже самому себе. С другой стороны, inf не близок ни к каким числовым значениям, даже к очень большим, а близко к себе .

Функции питания

Степенная функция принимает любое число x в качестве входных данных, увеличивает x до некоторой степени n и возвращает x n в качестве выходных данных.Модуль Python math предоставляет несколько функций, связанных с питанием. В этом разделе вы узнаете о степенных функциях, экспоненциальных функциях и функциях извлечения квадратного корня.

Вычислить степень числа с помощью

pow ()

Степенные функции имеют следующую формулу, где переменная x является основанием , переменная n является степенью , а a может быть любой константой :

Степенная функция

В приведенной выше формуле значение основания x возведено в степень n .

Вы можете использовать math.pow () , чтобы получить степень числа. Имеется встроенная функция pow () , которая отличается от math.pow () . Вы узнаете разницу позже в этом разделе.

math.pow () принимает два следующих параметра:

>>>
  >>> math.pow (2, 5)
32,0
>>> math.pow (5, 2.4)
47,546789696
  

Первый аргумент - это базовое значение, а второй аргумент - это значение мощности.В качестве входных данных можно указать целое или десятичное значение, и функция всегда возвращает значение с плавающей запятой. Есть несколько особых случаев, определенных в math.pow () .

Когда основание 1 возводится в степень любого числа n, это дает результат 1.0:

>>>
  >>> math.pow (1.0, 3)
1.0
  

Когда вы увеличиваете базовое значение 1 до любого значения мощности, вы всегда получите в результате 1,0. Точно так же любое базовое число, возведенное в степень 0, дает результат 1.0:

>>>
  >>> math.pow (4, 0,0)
1.0
>>> math.pow (-4, 0,0)
1.0
  

Как видите, любое число, возведенное в степень 0, даст в результате 1.0. Вы можете увидеть этот результат, даже если база равна нан :

>>>
  >>> math.pow (math.nan, 0,0)
1.0
  

Возведение нуля в степень любого положительного числа даст в результате 0,0:

>>>
  >>> math.pow (0.0, 2)
0,0
>>> math.pow (0,0, 2,3)
0,0
  

Но если вы попытаетесь возвести 0,0 в отрицательную степень, результатом будет ValueError :

>>>
  >>> math.pow (0,0, -2)
Отслеживание (последний вызов последний):
  Файл "", строка 1, в 
ValueError: ошибка математического домена
  

ValueError возникает только тогда, когда основание равно 0. Если основание - любое другое число, кроме 0, тогда функция вернет допустимое значение мощности.

Помимо math.pow () , в Python есть два встроенных способа определения степени числа:

  1. х ** у
  2. pow ()

Первый вариант прост. Возможно, вы уже использовали его раз или два. Тип возвращаемого значения определяется входными данными:

>>>
  >>> 3 ** 2
9
>>> 2 ** 3,3
9,8406759329
  

Когда вы используете целые числа, вы получаете целочисленное значение.Когда вы используете десятичные значения, тип возвращаемого значения изменяется на десятичное значение.

Второй вариант - универсальная встроенная функция. Вам не нужно использовать импорт, чтобы использовать его. Встроенный метод pow () имеет три параметра:

  1. База номер
  2. мощность номер
  3. Модуль упругости число

Первые два параметра являются обязательными, а третий - необязательным. Вы можете вводить целые или десятичные числа, и функция вернет соответствующий результат на основе ввода:

>>>
  >>> pow (3, 2)
9
>>> pow (2, 3.3)
9,8406759329
  

Встроенная функция pow () имеет два обязательных аргумента, которые работают так же, как base и power в синтаксисе x ** y . pow () также имеет третий необязательный параметр: модуль . Этот параметр часто используется в криптографии. Встроенный pow () с дополнительным параметром модуля эквивалентен уравнению (x ** y)% z . Синтаксис Python выглядит так:

>>>
  >>> pow (32, 6, 5)
4
>>> (32 ** 6)% 5 == pow (32, 6, 5)
Правда
  

pow () возводит основание (32) в степень (6), а затем результат делится по модулю на число модуля (5).В этом случае результат равен 4. Вы можете подставить свои собственные значения и увидеть, что и pow () , и данное уравнение дают одинаковые результаты.

Несмотря на то, что все три метода расчета мощности делают одно и то же, между ними есть некоторые различия в реализации. Время выполнения для каждого метода следующее:

>>>
  >>> timeit.timeit ("10 ** 308")
1,0078728999942541

>>> timeit.timeit ("pow (10, 308)")
1.047615700008464

>>> timeit.timeit ("math.pow (10, 308)", setup = "import math")
0,1837239999877056
  

В следующей таблице сравнивается время выполнения трех методов, измеренное с помощью timeit () :

.
Тип Время выполнения
x ** y 1.0079 с
pow (x, y) 1.0476 с
math.pow (x, y) 0.1837 с

Из таблицы видно, что math.pow () быстрее, чем другие методы, а встроенный pow () - самый медленный.

Причина эффективности math.pow () заключается в том, как она реализована. Он полагается на базовый язык C. С другой стороны, pow () и x ** y используют собственную реализацию объекта ввода оператора ** . Однако math.pow () не может обрабатывать комплексные числа (что будет объяснено в следующем разделе), тогда как pow () и ** могут.

Найдите натуральную экспоненту с помощью

exp ()

Вы узнали о силовых функциях в предыдущем разделе. С экспоненциальными функциями дело обстоит немного иначе. Вместо основания, являющегося переменной, переменной становится мощность. Выглядит это примерно так:

Общая экспоненциальная функция

Здесь a может быть любой константой, а x , которое является значением мощности, становится переменной.

Так что же такого особенного в экспоненциальных функциях? Значение функции быстро растет по мере увеличения значения x .Если основание больше 1, тогда значение функции непрерывно увеличивается по мере увеличения x . Особое свойство экспоненциальных функций состоит в том, что наклон функции также непрерывно увеличивается по мере увеличения x .

Вы узнали о числе Эйлера в предыдущем разделе. Это основание натурального логарифма. Он также играет роль с экспоненциальной функцией. Когда число Эйлера включается в экспоненциальную функцию, оно становится естественной экспоненциальной функцией :

Естественная экспоненциальная функция

Эта функция используется во многих реальных ситуациях.Возможно, вы слышали о термине экспоненциальный рост , который часто используется в отношении роста человеческой популяции или скорости радиоактивного распада. Оба они могут быть вычислены с использованием естественной экспоненциальной функции.

Модуль Python math предоставляет функцию exp () , которая позволяет вычислять натуральную экспоненту числа. Вы можете найти значение следующим образом:

>>>
  >>> math.exp (21)
1318815734,4832146
>>> математика.ехр (-1,2)
0,301194211214
  

Входное число может быть положительным или отрицательным, и функция всегда возвращает значение с плавающей запятой. Если число не является числовым значением, метод вернет TypeError :

. >>>
  >>> math.exp ("x")
Отслеживание (последний вызов последний):
  Файл "", строка 1, в 
TypeError: должно быть действительное число, а не str
  

Как видите, если ввод является строковым значением, тогда функция возвращает TypeError , чтение должно быть действительным числом, а не str .

Вы также можете вычислить показатель степени, используя выражение math.e ** x или используя pow (math.e, x) . Время выполнения этих трех методов следующее:

>>>
  >>> timeit.timeit ("math.e ** 308", setup = "import math")
0,17853009998701513

>>> timeit.timeit ("pow (math.e, 308)", setup = "import math")
0,21040189999621361

>>> timeit.timeit ("math.exp (308)", setup = "import math")
0,125878200007719
  

В следующей таблице сравнивается время выполнения вышеуказанных методов, измеренное с помощью timeit () :

.
Тип Время выполнения
e ** x 0.1785 с
pow (e, x) 0,2104 с
math.exp (x) 0,1259 с

Вы можете видеть, что math.exp () быстрее, чем другие методы, а pow (e, x) - самый медленный. Это ожидаемое поведение из-за базовой реализации C модуля math .

Также стоит отметить, что e ** x и pow (e, x) возвращают одинаковые значения, но exp () возвращает немного другое значение.Это связано с различиями в реализации. В документации Python отмечается, что exp () более точен, чем два других метода.

Практический пример с

exp ()

Радиоактивный распад происходит, когда нестабильный атом теряет энергию из-за испускания ионизирующего излучения. Скорость радиоактивного распада измеряется с помощью периода полураспада, который представляет собой время, необходимое для распада половины количества родительского ядра. Вы можете рассчитать процесс распада по следующей формуле:

Уравнение радиоактивного распада

Вы можете использовать приведенную выше формулу для расчета оставшегося количества радиоактивного элемента через определенное количество лет.Переменные данной формулы следующие:

  • N (0) - исходное количество вещества.
  • N (t) - это количество, которое еще остается и еще не разложилось по прошествии некоторого времени ( t ).
  • T - период полураспада распадающегося количества.
  • e - число Эйлера.

Научные исследования определили период полураспада всех радиоактивных элементов.Вы можете подставить значения в уравнение, чтобы рассчитать оставшееся количество любого радиоактивного вещества. Давай попробуем сейчас.

Радиоизотоп стронций-90 имеет период полураспада 38,1 года. В пробе содержится 100 мг Sr-90. Вы можете рассчитать оставшиеся миллиграммы Sr-90 через 100 лет:

>>>
  >>> half_life = 38,1
>>> начальный = 100
>>> время = 100
>>> оставшийся = начальный * math.exp (-0,693 * время / период полураспада)
>>> f "Оставшееся количество Sr-90: {осталось}"
«Оставшееся количество Sr-90: 16.22044604811303 '
  

Как видите, период полураспада установлен на 38,1, а продолжительность установлена ​​на 100 лет. Вы можете использовать math.exp , чтобы упростить уравнение. Подставляя значения в уравнение, вы можете обнаружить, что через 100 лет остается 16,22 мг Sr-90.

Логарифмические функции

Логарифмические функции можно рассматривать как инверсию экспоненциальных функций. Они обозначаются в следующей форме:

Общая логарифмическая функция

Здесь a - основание логарифма, которое может быть любым числом.Вы узнали об экспоненциальных функциях в предыдущем разделе. Экспоненциальные функции могут быть выражены в виде логарифмических функций и наоборот.

Python Natural Log с

журналом ()

Натуральный логарифм числа - это его логарифм по основанию математической константы e или числа Эйлера:

Натуральная логарифмическая функция

Как и экспоненциальная функция, натуральный логарифм использует константу e . Обычно это обозначается как f (x) = ln (x), где e неявно.

Вы можете использовать натуральный логарифм так же, как экспоненциальную функцию. Он используется для расчета таких величин, как скорость роста населения или скорость радиоактивного распада элементов.

log () имеет два аргумента. Первый является обязательным, а второй - необязательным. С одним аргументом вы можете получить натуральный логарифм (с основанием e ) входного числа:

>>>
  >>> math.log (4)
1,3862943611198906
>>> математика.журнал (3.4)
1,2237754316221157
  

Однако функция возвращает ValueError , если вы вводите неположительное число:

>>>
  >>> math.log (-3)
Отслеживание (последний вызов последний):
  Файл "", строка 1, в 
ValueError: ошибка математического домена
  

Как видите, в log () нельзя ввести отрицательное значение. Это связано с тем, что значения журнала не определены для отрицательных чисел и нуля.

С двумя аргументами вы можете вычислить логарифм от первого аргумента до основания второго аргумента:

>>>
  >>> математ.журнал (math.pi, 2)
1.651496129472319
>>> math.log (math.pi, 5)
0,711260668712669
  

Вы можете увидеть, как значение изменяется при изменении базы журнала.

Понять

log2 () и log10 ()

Модуль Python math также предоставляет две отдельные функции, которые позволяют вычислять значения журнала с основанием 2 и 10:

.
  1. log2 () используется для вычисления значения журнала по основанию 2.
  2. log10 () используется для вычисления значения журнала по основанию 10.

С помощью log2 () вы можете получить значение журнала с основанием 2:

>>>
  >>> math.log2 (math.pi)
1.6514961294723187
>>> math.log (math.pi, 2)
1.651496129472319
  

Обе функции преследуют одну и ту же цель, но в документации Python отмечается, что log2 () более точен, чем использование log (x, 2) .

Вы можете вычислить логарифмическое значение числа по основанию 10 с помощью log10 () :

>>>
  >>> математ.log10 (math.pi)
0,4971498726941338
>>> math.log (math.pi, 10)
0,4971498726941338
  

В документации Python также упоминается, что log10 () более точен, чем log (x, 10) , хотя обе функции преследуют одну и ту же цель.

Практический пример с натуральным бревном

В предыдущем разделе вы видели, как использовать math.exp () для вычисления оставшегося количества радиоактивного элемента через определенный период времени. С математик.log () , вы можете определить период полураспада неизвестного радиоактивного элемента, измерив массу через определенный интервал. Следующее уравнение можно использовать для расчета периода полураспада радиоактивного элемента:

Уравнение радиоактивного распада

Переставив формулу радиоактивного распада, вы можете сделать период полураспада ( T ) предметом формулы. Переменные данной формулы следующие:

  • T - период полураспада распадающегося количества.
  • N (0) - исходное количество вещества.
  • N (t) - это количество, которое остается и еще не разложилось по прошествии определенного периода времени ( t ).
  • ln - натуральное бревно.

Вы можете подставить известные значения в уравнение для расчета периода полураспада радиоактивного вещества.

Например, представьте, что вы изучаете образец неопознанного радиоактивного элемента.Когда это было обнаружено 100 лет назад, размер образца составлял 100 мг. После 100 лет распада осталось всего 16,22 мг. Используя формулу выше, вы можете рассчитать период полураспада этого неизвестного элемента:

>>>
  >>> начальное = 100
>>> Осталось = 16,22
>>> время = 100
>>> half_life = (-0,693 * время) / math.log (оставшееся / начальное)
>>> f "Период полураспада неизвестного элемента: {half_life}"
'Период полураспада неизвестного элемента: 38.09942398335152'
  

Как видите, неизвестный элемент имеет период полураспада примерно 38.1 год. Основываясь на этой информации, вы можете идентифицировать неизвестный элемент как стронций-90.

Прочие важные

math Функции модуля

Модуль Python math имеет множество полезных функций для математических вычислений, и в этой статье подробно рассмотрены только некоторые из них. В этом разделе вы кратко узнаете о некоторых других важных функциях, доступных в модуле math .

Вычислить наибольший общий делитель

Наибольший общий делитель (НОД) двух положительных чисел - это наибольшее положительное целое число, которое делит оба числа без остатка.

Например, НОД 15 и 25 равно 5. Вы можете разделить 15 и 25 на 5 без остатка. Нет большего числа, делающего то же самое. Если взять 15 и 30, то НОД будет 15, потому что и 15, и 30 можно разделить на 15 без остатка.

Для расчета GCD не нужно реализовывать собственные функции. Модуль Python math предоставляет функцию под названием math.gcd () , которая позволяет вычислить НОД двух чисел.В качестве входных данных можно указать положительные или отрицательные числа, и он вернет соответствующее значение НОД. Однако вы не можете ввести десятичное число.

Вычислить сумму итераций

Если вы когда-нибудь захотите найти сумму значений итерируемого объекта без использования цикла, то, вероятно, самый простой способ сделать это - math.fsum () . Вы можете использовать итерации, такие как массивы, кортежи или списки, в качестве входных данных, и функция возвращает сумму значений. Встроенная функция sum () также позволяет вычислить сумму итераций, но fsum () более точна, чем sum () .Подробнее об этом можно прочитать в документации.

Вычислить квадратный корень

Квадратный корень числа - это значение, которое при умножении на себя дает число. Вы можете использовать math.sqrt () , чтобы найти квадратный корень из любого положительного действительного числа (целого или десятичного). Возвращаемое значение всегда является значением с плавающей запятой. Функция выдаст ValueError , если вы попытаетесь ввести отрицательное число.

Преобразовать значения углов

В реальных сценариях, а также в математике, вы часто сталкиваетесь со случаями, когда вам нужно измерять углы для выполнения вычислений.Углы можно измерять в градусах или радианах. Иногда приходится переводить градусы в радианы и наоборот. Модуль math предоставляет функции, которые позволяют это делать.

Если вы хотите преобразовать градусы в радианы, вы можете использовать math.radians () . Он возвращает значение введенного градуса в радианах. Аналогичным образом, если вы хотите преобразовать радианы в градусы, вы можете использовать math.degrees () .

Расчет тригонометрических значений

Тригонометрия - это изучение треугольников.Он касается отношения между углами и сторонами треугольника. Тригонометрия в основном интересует прямоугольные треугольники (в которых один внутренний угол равен 90 градусам), но ее также можно применить к другим типам треугольников. Модуль Python math предоставляет очень полезные функции, которые позволяют выполнять тригонометрические вычисления.

Вы можете рассчитать значение синуса угла с помощью math.sin () , значение косинуса с помощью math.cos () и значение тангенса с помощью math.загар () . Модуль math также предоставляет функции для вычисления арксинуса с math.asin () , арккосинуса с math.acos () и арктангенса с math.atan () . Наконец, вы можете вычислить гипотенузу треугольника, используя math.hypot () .

Новые дополнения к модулю

math в Python 3.8

С выпуском Python версии 3.8 в модуль math было внесено несколько новых дополнений и изменений.Новые дополнения и изменения заключаются в следующем:

  • comb (n, k) возвращает количество способов выбора k элементов из n элементов без повторения и без определенного порядка .

  • perm (n, k) возвращает количество способов выбора k элементов из n элементов без повторения и с заказом .

  • isqrt () возвращает целочисленный квадратный корень неотрицательного целого числа.

  • prod () вычисляет произведение всех элементов во входной итерации. Как и в случае fsum () , этот метод может принимать итерации, такие как массивы, списки или кортежи.

  • dist () возвращает евклидово расстояние между двумя точками p и q , каждая из которых задана как последовательность (или итерация) координат. Две точки должны иметь одинаковый размер.

  • hypot () теперь обрабатывает более двух измерений.Ранее он поддерживал максимум два измерения.

cmath и math

Комплексное число - это комбинация действительного и мнимого числа. Он имеет формулу a + bi , где a - действительное число, а bi - мнимое число. Действительные и мнимые числа можно объяснить следующим образом:

  • Действительное число - это буквально любое число, которое вы только можете придумать.
  • Мнимое число - это число, возведение которого в квадрат дает отрицательный результат.

Действительным числом может быть любое число. Например, 12, 4,3, -19,0 ​​- все действительные числа. Мнимые числа отображаются как i . На следующем изображении показан пример комплексного числа:

. Комплексное число

В приведенном выше примере 7 - действительное число, а 3i - мнимое число. Комплексные числа в основном используются в геометрии, исчислении, научных расчетах и ​​особенно в электронике.

Функции модуля Python math не приспособлены для обработки комплексных чисел. Однако Python предоставляет другой модуль, который может специально работать с комплексными числами, модуль cmath . Модуль Python math дополняется модулем cmath , который реализует многие из тех же функций, но для комплексных чисел.

Вы можете импортировать модуль cmath следующим образом:

Поскольку модуль cmath также входит в пакет Python, вы можете импортировать его так же, как импортировали модуль math .Прежде чем работать с модулем cmath , вы должны знать, как определить комплексное число. Вы можете определить комплексное число следующим образом:

>>>
  >>> c = 2 + 3j
>>> c
(2 + 3j)

>>> тип (c)
<класс 'сложный'>
  

Как видите, вы можете определить, что число действительно сложное, используя type () .

Примечание: В математике мнимая единица обычно обозначается i . В некоторых полях более привычно использовать j для того же самого.В Python вы используете j для обозначения мнимых чисел.

Python также предоставляет специальную встроенную функцию под названием complex () , которая позволяет создавать комплексные числа. Вы можете использовать complex () следующим образом:

>>>
  >>> c = комплекс (2, 3)
>>> c
(2 + 3j)

>>> тип (c)
<класс 'сложный'>
  

Вы можете использовать любой метод для создания комплексных чисел. Вы также можете использовать модуль cmath для вычисления математических функций для комплексных чисел следующим образом:

>>>
  >>> cmath.sqrt (c)
(1.8581072140693775 + 0.6727275964137814j)

>>> cmath.log (c)
(1,3622897515267103 + 0,6947382761967031j)

>>> cmath.exp (c)
(-16.0

670844 + 12.02063434789931j)

В этом примере показано, как вычислить квадратный корень, логарифмическое значение и экспоненциальное значение комплексного числа. Вы можете прочитать документацию, если хотите узнать больше о модуле cmath .

NumPy против

math

Для математических вычислений можно использовать несколько известных библиотек Python.Одна из самых известных библиотек - Numerical Python или NumPy. Он в основном используется в научных вычислениях и в областях науки о данных. В отличие от модуля math , который является частью стандартной версии Python, вам необходимо установить NumPy для работы с ним.

Сердце NumPy - это высокопроизводительная структура данных N -мерного (многомерного) массива. Этот массив позволяет выполнять математические операции со всем массивом без циклического перебора элементов.Все функции библиотеки оптимизированы для работы с объектами N-мерного массива.

И модуль math , и библиотека NumPy могут использоваться для математических вычислений. NumPy имеет несколько общих черт с модулем math . NumPy имеет подмножество функций, похожих на функции модуля math , которые имеют дело с математическими вычислениями. И NumPy, и math предоставляют функции, которые имеют дело с тригонометрическими, экспоненциальными, логарифмическими, гиперболическими и арифметическими вычислениями.

Есть также несколько фундаментальных различий между math и NumPy. Модуль Python math больше ориентирован на работу со скалярными значениями, тогда как NumPy лучше подходит для работы с массивами, векторами и даже матрицами.

При работе со скалярными значениями функции модуля math могут быть быстрее, чем их аналоги в NumPy. Это связано с тем, что функции NumPy преобразуют значения в массивы под капотом, чтобы выполнять над ними вычисления.NumPy работает намного быстрее при работе с размерными массивами N из-за оптимизации для них. За исключением fsum () и prod () , функции модуля math не могут обрабатывать массивы.

Заключение

Из этой статьи вы узнали о модуле Python math . Модуль предоставляет полезные функции для выполнения математических вычислений, которые имеют множество практических приложений.

Из этой статьи вы узнали:

  • Что такое модуль Python math
  • Как использовать math функций с практическими примерами
  • Какие константы модуля math , включая пи, тау и число Эйлера, равны
  • В чем разница между встроенными функциями и функциями math
  • В чем разница между math , cmath и NumPy

Понимание того, как использовать математические функции , - это первый шаг.Пришло время применить полученные знания в реальных жизненных ситуациях. Если у вас есть какие-либо вопросы или комментарии, оставьте их в разделе комментариев ниже.

Решение уравнений

- Использование Solve [] внутри модуля

Вам действительно нужно возвращать x из вашей функции (даже как часть более крупного выражения)? Просто нет хорошего способа сделать это, если x имеет глобальное значение, так как x = 1; x -> 2 немедленно оценивается как 1 -> 2 .

Вы можете вернуть только значение решения ( val вместо x -> val ):

  SolveIt [a_, b_]: =
  Модуль [{x, soln},
   soln = Решить [a x + b == 0, {x}];
   Икс /. Soln
  ]

SolveIt [3, 4]
(* {- (4/3)} *)
  

Использование формальных переменных. Их преимущество в том, что они имеют статус Protected , поэтому гарантированно не имеют присвоенного значения. Так что вы можете рассмотреть

  Очистить [SolveIt]
SolveIt [a_, b_]: = \ [FormalX] /.Решите [a \ [FormalX] + b == 0, \ [FormalX]]

SolveIt [3, 4]
(* {- (4/3)} *)
  

(Примечание: вы можете ввести \ [FormalX] , используя ESC $ x ESC.)

Но с этим есть большая проблема. Это отлично работает:

  SolveIt [a, 1]
(* {- (1 / a)} *)
  

А как насчет этого?

  SolveIt [\ [FormalX], 1]
(* {-I, I} *)
  

Мы передали в функцию символ, и этот символ уже используется внутри компании.2 + 1 == 0 сейчас (сравните с a x + 1 == 0 раньше).

Та же проблема появляется с Блок :

  Очистить [SolveIt]
SolveIt [a_, b_]: =
  Блок [{x, soln},
   soln = Решить [a x + b == 0, {x}];
   Икс /. Soln
   ];

SolveIt [y, 1]
(* {- (1 / y)} *)

SolveIt [x, 1]
(* {-I, I} *)
  

Таким образом, важно использовать Module (а не Block или формальную переменную), если вы хотите сделать возможным передачу символов в функцию.Если вы передаете только числа, это не проблема, но тогда вы можете рассмотреть возможность определения функции как SolveIt [a_? NumericQ, b_? NumericQ] .


Если вы не уверены в разнице между Module и Block , см. Здесь:

Короче говоря, обе локализуют переменные, но модуль делает это, переименовывая их в уникальное имя (так, что x становится чем-то вроде x 123 $ ), а Block просто временно удаляет все определения, которые могут быть связаны с x (но x по-прежнему тот же символ, что и раньше).Модуль эмулирует лексическую область видимости , а блок выполняет динамическую область видимости.

Solveset - документация SymPy 1.8

Функция для решения трансцендентных уравнений. Это помощник solutionset и должен использоваться внутри компании. _transolve в настоящее время поддерживает следующий класс уравнений:

  • Экспоненциальные уравнения

  • Логарифмические уравнения

Параметры

f : Любое трансцендентное уравнение, которое необходимо решить.

Это должно быть выражение, которое предполагается быть равным 0 .

символ : переменная, для которой решается уравнение.

Это должен быть класс , символ .

домен : набор, по которому решается уравнение.

Это должен быть класс Установить .

Возвращает

Набор

Набор значений для символа , для которого f равно нуль. EmptySet возвращается, если f не имеет решений в соответствующем домене. ConditionSet возвращается как нерешенный объект, если алгоритмы для оценки полного решения не пока не реализовано.

Как использовать _transolve

_transolve не следует использовать как независимую функцию, потому что предполагается, что уравнение ( f ) и символ происходит от набор решений и, возможно, претерпел несколько модификаций.Чтобы использовать _transolve как независимую функцию, уравнение ( f ) и символ должен быть пропущен как , как если бы они были набор решений .

Примеры

 >>> from sympy.solvers.solveset import _transolve as transolve
>>> from sympy.solvers.solvers import _tsolve as tsolve
>>> из символов импорта sympy, S, pprint
>>> x = symbols ('x', real = True) # добавлено предположение
>>> transolve (5 ** (x - 3) - 3 ** (2 * x + 1), x, S.Реалы)
FiniteSet (- (журнал (3) + 3 * журнал (5)) / (- журнал (5) + 2 * журнал (3)))
 

Как работает _transolve

_transolve использует два типа вспомогательных функций для решения уравнений особого класса:

Определение помощников: чтобы определить, подходит ли данное уравнение принадлежит определенному классу уравнений или нет. Возврат либо Верно или Неверно .

Помощники по решению: после определения уравнения соответствующее помощник либо решает уравнение, либо возвращает форму уравнения с этим набором решений , возможно, лучше справится.

Назначение _transolve - взять уравнения, которые не являются уже полиномиальны в своем генераторе (ах) и либо переделать их как таковые посредством действительного преобразования или для их прямого решения. Пара вспомогательных функций для каждого класса поддерживаемых Для этого используются трансцендентные функции. Один определяет трансцендентную форму уравнения, а другой либо решает ее, либо преобразует ее в удобную форму, которая может быть решено с помощью набора решений .{g (x)} = 0 \) можно преобразовать в \ (\ журнал (а) + е (х) \ журнал (б) - \ журнал (с) - г (х) \ журнал (г) = 0 \) (при определенных предположениях), и это можно решить с помощью набора решений если \ (f (x) \) и \ (g (x) \) находятся в полиномиальной форме.

Чем _transolve лучше _tsolve

  1. Лучшая производительность

_transolve предоставляет выражения в более упрощенной форме.

Рассмотрим простое экспоненциальное уравнение

 >>> f = 3 ** (2 * x) - 2 ** (x + 3)
>>> pprint (transolve (f, x, S.Reals), use_unicode = False)
    -3 * журнал (2)
{------------------}
 -2 * журнал (3) + журнал (2)
>>> pprint (tsolve (f, x), use_unicode = False)
     / 3 \
     | -------- |
     | журнал (2/9) |
[-log \ 2 /]
 
  1. Расширяемый

API _transolve разработан таким образом, что его легко расширяемый, то есть код, который решает данный класс уравнения заключены в помощник и не смешиваются с код _transolve сам.

  1. Модульный

_transolve разработан как модульный, т.е. для каждого класса уравнение отдельным помощником для идентификации и решения является реализовано. Это позволяет легко изменять или модифицировать любой из метод реализован прямо в хелперах, не мешая с фактической структурой API.

  1. Более быстрые вычисления

Решение уравнения с помощью _transolve выполняется намного быстрее по сравнению с _tsolve , решайте , предпринимаются попытки вычислить все возможные чтобы получить решения. Эта серия попыток немного усложняет решение. медленный. В _transolve вычисление начинается только после определенного определяется тип уравнения.

Как добавить новый класс уравнений

Добавление нового класса решателя уравнений представляет собой трехэтапную процедуру:

  • Определите тип уравнений

    Определите тип класса уравнений, к которому они принадлежат: это может быть Добавить , Pow и т. д.типы. Отдельные внутренние функции используются для каждого типа. Напишите помощников по идентификации и решению и использовать их из подпрограммы для данного типа уравнения (при необходимости после добавления). Что-то вроде:

     def add_type (lhs, rhs, x):
        ....
        если _is_exponential (lhs, x):
            new_eq = _solve_exponential (левый, правый, х)
    ....
    rhs, lhs = eq.as_independent (x)
    если lhs.is_Add:
        результат = add_type (lhs, rhs, x)
     
  • Определите помощника по идентификации.

  • Определите помощника по решению.

Кроме этого, необходимо позаботиться о некоторых других вещах, пока добавление решателя уравнений:

  • Условные обозначения: Имя помощника по идентификации должно быть как _is_class , где класс - это имя или аббревиатура. класса уравнения. Помощник по решению будет называться _solve_class . Например: для экспоненциальных уравнений это становится _is_exponential и _solve_expo .

  • Идентифицирующие помощники должны принимать два входных параметра, проверяемое уравнение и переменная, для которой решение ищется, а помощники по решению потребуют дополнительных параметр домена.

  • Обязательно учитывайте угловые случаи.

  • Добавьте тесты для каждого помощника.

  • Добавьте в помощник строку документации, описывающую метод реализовано. В документации помощников должно быть указано:

    • назначение помощника,

    • метод, используемый для идентификации и решения уравнения,

    • подтверждение правильности

    • возвращаемые значения помощников

Первый модуль

Первый модуль

Модуль 1: Критические вопросы математики в средней школе
Нить Дата
Блок 1.1: Порядок операций с дробями 5 октября - 12 ноября
Math Content Strand 15 октября
English Learners Strand 29 октября
Обучающие стратегии по использованию студенческих досок Strand 12 ноября
Подача проекта плана урока
График: 29 октября
Финал: 12 ноября
Блок 1.2: Подходы к пропорциональным рассуждениям 15 ноября - 17 декабря
Math Content Strand 26 ноября
Обучающие стратегии Strand 10 декабря
Стратегии оценки Strand 17 декабря
Подача проекта плана урока Проект: 3 декабря
Финал: 17 декабря
Блок 1.3: Неравенства абсолютных значений 27 декабря - 28 января
Math Content Strand 7 января
Обучающие стратегии Strand 14 января
Использование учебника 28 января
Подача черновика проекта плана урока:
14 января
Финал: 28 января

ЦЕЛИ И АКТУАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

По мере выполнения каждого раздела вы разработаете свой проект плана урока, а также рассмотрите следующие темы:

Блок 1.1: ПОРЯДОК РАБОТЫ

Этот модуль посвящен проблеме CAHSEE :

11/12 - (1/3 + 1/4) =?

Только 40% студентов, прошедших в 2002 г. администрацию CAHSEE
были успешны по этому вопросу.
Калифорния по математике Стандарты содержания, рассматриваемые в этом вопросе, включают :
Смысл числа (6)
1,0 Учащиеся вычисляют и решают задачи на сложение, вычитание, умножение и деление:
2.1 Решите задачи, включающие сложение, вычитание, умножение и деление положительных дробей, и объясните, почему конкретная операция использовалась в данной ситуации.
2,4 Определить наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель целых чисел; используйте их для решения задач с дробями (напр.g., чтобы найти общий знаменатель для сложения двух дробей или найти сокращенную форму для дроби).
Алгебра и функции (шестой)
1.0 Студенты записывают словесные выражения и предложения в виде алгебраических выражений и уравнений; они оценивают алгебраические выражения, решают простые линейные уравнения, строят графики и интерпретируют свои результаты:
1,3 Применяйте алгебраический порядок операций и свойства коммутативности, ассоциативности и распределения для вычисления выражений; и обосновывать каждый шаг в этом процессе.
По мере прохождения этого отряда вы будете :
  • углубите свое понимание математических концепций алгебры, в том числе
    • долей эквивалента
    • наименьший общий знаменатель
    • порядок операций
    • сложные двухэтапные задачи с дробями и порядком операций
  • изучить стратегии поддержки и вовлечения изучающих английский язык, в том числе
    • подчеркивая естественные способы, которыми математика и то, что происходит в классах математики, выгодны для EL
    • увеличивающийся понятный ввод
    • Расширение взаимодействия студентов; и
    • развитие навыков мышления
  • сосредоточены на новых стратегиях обучения и оценивания, которые позволяют эффективно использовать доски учащихся в классе через
    • Управление использованием доски студентом
    • с использованием стратегий мониторинга прогресса и повторного обучения при необходимости
    • создание способов для студентов записывать важную информацию
Блок 1.2: ПОДХОДЫ К ПРОПОРЦИОНАЛЬНОМУ РАЗУМУ

Этот модуль посвящен проблеме CAHSEE :

Диаметр ствола дерева напрямую зависит от возраста дерева. У 45-летнего дерева диаметр ствола составляет 18 дюймов. Каков возраст дерева с диаметром ствола 20 дюймов?

Только 35% студентов, прошедших в 2002 году администрацию CAHSEE
были успешны по этому вопросу.

Калифорния Математика Стандарты содержания, рассматриваемые в этом вопросе, включают:
Number Sense (6-й)
1,0 Студенты сравнивают и упорядочивают положительные и отрицательные дроби, десятичные дроби и смешанные числа.Студенты решают задачи на дроби, соотношения, пропорции и проценты
1,3 Используйте пропорции для решения задач (например, определите значение N, если 4/7 = N / 21, найдите длину стороны многоугольника, подобного известному многоугольнику). Используйте перекрестное умножение как метод решения таких задач, понимая его как умножение обеих частей уравнения на мультипликативную обратную величину.
Алгебра и функции (шестой)
1,0 Студенты записывают словесные выражения и предложения в виде алгебраических выражений и уравнений; они оценивают алгебраические выражения, решают простые линейные уравнения, строят графики и интерпретируют свои результаты:
1.1 Напишите и решите одношаговые линейные уравнения с одной переменной.
1,2 Напишите и оцените алгебраическое выражение для данной ситуации, используя до трех переменных.
По мере прохождения этого отряда вы будете :
  • углубите свое понимание математических концепций в алгебре, в том числе
    • Стоимость единицы
    • Передаточные числа
    • Пропорции
  • сосредоточены на новых стратегиях обучения, в том числе
    • важность потока урока
    • использование стихов и литературы для поддержки преподавания и изучения математики; и
    • словарный запас
  • рассматривает начальный уровень, мониторинг прогресса и итоговые оценки, включая
    • с использованием рубрики частичного кредита для решения проблем
Блок 1.3: АБСОЛЮТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА СТОИМОСТИ

Этот модуль посвящен проблеме CAHSEE :

Если x - целое число, каково решение / x - 3 / <1?

Только 39% студентов, принявших администрацию 2002 г. CAHSEE
были успешны по этому вопросу.

California Mathematics Content Стандарты содержания, рассматриваемые в этом вопросе, включают:
Алгебра 1
Standard 3.0: Учащиеся решают уравнения и неравенства с абсолютными значениями .
По мере прохождения этого отряда вы будете :
  • углубите свое понимание математических концепций в алгебре, в том числе
    • изображений неравенства;
    • решение неравенств;
    • , включая только целочисленные решения;
    • проверка решений и разъяснение учащимся понимания уравнений абсолютных значений; и
    • альтернативные методы решения абсолютных уравнений и неравенств.
  • сосредоточены на нескольких новых стратегиях обучения, которые помогут учащимся улучшить свои стратегии решения проблем, в том числе
      ,
    • реальных примеров и
    • через предварительные организаторы
  • изучить дополнительные вопросы, касающиеся использования учебника, в том числе
    • подборка задач для практики и домашних заданий;
    • рассмотрение целей и процедур назначения, подачи и оценки домашних заданий; и
    • дополнительные ресурсы предоставлены издателями учебников

PD-ROM находится в ведении Калифорнийского государственного университета в Фуллертоне.Проект стал возможным благодаря финансированию из Государственной программы грантов по повышению качества учителей, администрируемой Комиссией по послешкольному образованию Калифорнии (ITQ № 240). Это совместная работа факультетов математики и среднего образования Университета штата Калифорния Фуллертон, Департамента образования округа Ориндж и Корпорации сетевых инициатив в области образования в Калифорнии (CENIC).


Эта страница поддерживается Педагогическим колледжем Фуллертона штата Калифорния.Сообщайте о проблемах (только на этом сайте) Викки Коста, доктору философии.


Калифорнийский государственный университет, Фуллертон © 2003. Все права защищены.
Этот сайт может содержать ссылки на веб-сайты, не администрируемые Калифорнийским государственным университетом, Фуллертоном или одним из его подразделений, школ, департаментов, подразделений или программ. Университет штата Калифорния, Фуллертон, не несет ответственности за точность или содержание связанных страниц.

Как решить модуль

Модуль - это абсолютное значение выражения.Скобки используются для обозначения модуля. Значения, заключенные в них, считаются взятыми по модулю. Решение модуля заключается в раскрытии модульных скобок по определенным правилам и нахождении набора значений выражений. В большинстве случаев модуль открывается таким образом, что субмодульное выражение получает ряд положительных и отрицательных значений, включая нулевое значение. На основе этих свойств модуля в дальнейшем составляются и решаются уравнения и неравенства исходного выражения.

Инструкция по эксплуатации

1

Запишите исходное уравнение с модулем. Чтобы решить эту проблему, откройте модуль. Рассмотрим каждое субмодульное выражение. Определите, при каком значении включенных в него неизвестных величин обращается в нуль выражение в модульных скобках.

2

Для этого приравняйте субмодульное выражение к нулю и найдите решение полученного уравнения. Запишите найденные значения. Таким же образом определите значения неизвестной переменной для каждого модуля в данном уравнении.

3

Рассмотрим существование переменных, когда они не равны нулю. Для этого запишите систему неравенств для всех модулей исходного уравнения. Неравенства должны охватывать все возможные значения переменной в числовой строке.

4

Нарисуйте числовую линию и нанесите на нее полученные значения. Значения переменной в нулевом модуле будут служить ограничениями при решении модульного уравнения.

5

В исходном уравнении необходимо открыть модульные скобки, изменив знак выражения так, чтобы значения переменной соответствовали значениям, отображаемым в числовой строке.Решите полученное уравнение. Проверить найденное значение переменной на ограничение, установленное модулем. Если решение удовлетворяет условию, то оно верно. Неудовлетворительные корни следует отбросить.

6

Аналогичным образом разверните модули исходного выражения с учетом знака и вычислите корни полученного уравнения. Запишите все корни, удовлетворяющие неравенствам ограничений.

Модули для математической биотехнологии Ohlone | Колледж Олоне

Добро пожаловать в модули математической биотехнологии! Эти модули призваны дать учащимся основные математические навыки, необходимые им для успешного завершения занятий по биотехнологии.

Если вы можете использовать справку по экспоненциальному представлению, удобно выражая очень большие и очень маленькие числа в стандартном формате, ознакомьтесь с Module 1 . Для более глубокого изучения научных обозначений перейдите к Модуль 1.5 .

Работая с pH, и вы могли бы напомнить, как работают логарифмы? Ознакомьтесь с Module 2 .

Модуль 3 - отличное введение в преобразование единиц измерения и метрическую систему.

Работаете с разведениями, хотите понять концентрацию в терминах «частей», ломаете голову над разницей между разведением 1: 5 и разбавлением 1/5? Модуль 4 предоставит введение в терминологию, используемую для разведения.

Когда вы познакомитесь с терминологией разведения, пора выяснить, как делать разведения из концентрированных исходных растворов. Модуль 5 дает введение в расчеты, которые упрощают это: C 1 V 1 = C 2 V 2

Модуль 6 дает введение в построение графиков - элементы графика, как правильно маркировать графики и определять масштаб, как создать линию наилучшего соответствия. Модуль 7 объясняет, как найти уравнение прямой, определить наклон и экстраполировать данные. Эти модули удобны, когда вы используете стандартную кривую для анализа данных, например, в спектрофотометрических экспериментах.

Модуль 8 полезен, если вы пытаетесь понять, как приготовить растворы, когда пропорции описываются в терминах «частей» - например, как бы вы приготовили 400 мл раствора 1: 3 глицерин: вода?

Если вам предложили уравнение и попросили решить неизвестное, модуль Module 9 может помочь вам со стратегиями решения уравнений.

Если вы готовите растворы с концентрациями, описанными в процентах, например, 10% (об. / Об.) Этанола, 2% (мас. / Об.) NaCl или 15% (мас. / Мас.) Смолы, Модуль 10 предоставит вам информацию, необходимую для успешного выполнения этих расчетов.

Ссылки на все модули находятся в левой части этого экрана, а решения для практических упражнений находятся в конце каждого модуля.

Пожалуйста, дайте нам знать, если у вас есть отзывы. Свяжитесь с Лори Иссель-Тарвер из отдела биотехнологии Ohlone в Lisseltarver @ ohlone.edu.

Отдел биотехнологии Ohlone благодарит спонсора этого проекта: Инициатива TAACCCT Design It - Build It - Ship It.

CAMCLE: Модули | Хофстра | Нью-Йорк

Сегменты каждого модуля следующие.

Модуль A: Основы алгебры и решение уравнений
Решение полиномиальных уравнений; Решение уравнений с рациональными выражениями; Решение уравнений с радикальными выражениями; Разрешение неравенств; Решение системы уравнений

Модуль 1: Основы готовности к исчислению
Алгебраическая готовность к исчислению; Понимание функций; Состав функций; Графики типичных функций; Преобразования функций

Модуль 2: Основы тригонометрии
Круговое определение триггерных функций; Тригонометрические идентичности и отношения *; Графики функций синуса, косинуса и касания; Преобразования графиков тригонометрических функций; Графики взаимных тригонометрических функций; Использование обратных тригонометрических функций *; Приложения прямоугольной тригонометрии; Области треугольников и законы синусов и косинусов; Решение тригонометрических уравнений *

Модуль 3: Моделирование с помощью математики
Преобразование обычных ситуаций в математические уравнения или решения неравенств; Создание функций, моделирующих ситуацию и интерпретацию их графиков; Определение экстремальных значений ситуации на основе графика функции моделирования; Перевод задач, связанных с оценками, в математические модели

Модуль 4: Начало исчисления
Предел функции при приближении x к константе; Предел функции при приближении x к бесконечности; Признание непрерывности функции в точке или на интервале: определение вертикальных и горизонтальных асимптот; Средняя и мгновенная скорость изменения функции; Определение производной функции, включая синус и косинус *; Касательные линии *

Модуль 5 *: Готовность к расчетам не только
Правило силы, правило продукта и правила отношения для производных финансовых инструментов; Цепное правило дифференцирования композиции функций; Нахождение экстремальных значений функции; Теорема о среднем значении; Неявная дифференциация; Решение связанных проблем скорости

Модуль 6 *: Опережая вычисления
Поиск первообразных; U-замещение; Основная теорема исчисления; Приложения, использующие определенные интегралы; Аппроксимация площади под кривой; Нахождение точного значения площади, ограниченной двумя кривыми;

Модуль 7: Предгорья исчисления II
Работа с выражениями и уравнениями, содержащими экспоненциальные функции; Обратные функции; Понимание логарифма как обратной функции при решении экспоненциального уравнения; Понимание экспоненциальных функций; Функция логарифма как обратная функция

Модуль 8: Прогресс в исчислении II
Производные и интегралы, включая экспоненциальные функции; Производные и интегралы, включая логарифмические функции; Производные и интегралы, включая обратные тригонометрические функции; Сигма-нотация; Геометрические последовательности и серии

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *