Модуль в модуле

Среди примеров на модули часто встречаются уравнения где нужно найти корни модуля в модуле, то есть уравнение вида
||a*x-b|-c|=k*x+m.
Если k=0, то есть правая сторона равна постоянной (m) то проще искать решение уравнения с модулями графически. Ниже приведена методика раскрытия двойных модулей на распространенных для практики примерах. Хорошо разберите алгоритм вычисления уравнений с модулями, чтобы не иметь проблем на контрольных, тестах, и просто, чтобы знать.

Пример 1. Решить уравнение модуль в модуле |3|x|-5|=-2x-2.
Решение: Всегда начинают раскрывать уравнения с внутреннего модуля
|x|=0 <-> x=0.
В точке x=0 уравнения с модулем разделяется на 2.
При x < 0 подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
|-3x-5|=-2x-2.
При x>0 или равно, раскрывая модуль получим
|3x-5|=-2x-2.
Решим уравнение для отрицательных переменных (x < 0). Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе — раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная — меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).

Из первого уравнения получим что решение не должно превышать (-1), т.е.

Это ограничение полностью принадлежит области в которой решаем. Перенесем переменные и постоянные по разные стороны равенства в первой и второй системе

и найдем решение


Оба значения принадлежат промежутку что рассматривается, то есть являются корнями.
Рассмотрим уравнение с модулями при положительных переменных
|3x-5|=-2x-2.
Раскрывая модуль получим две системы уравнений

Из первого уравнения, которое является общим для двух сиcтем, получим знакомое условие

которое в пересечении с множеством, на котором ищем решение дает пустое множество (нет точек пересечения). Итак единственными корнями модуля с модулем являются значения
x=-3; x=-1,4.

 

Пример 2. Решить уравнение с модулем ||x-1|-2|=3x-4.
Решение: Начнем с раскрытия внутреннего модуля
|x-1|=0 <=> x=1.
Подмодульная функция меняет знак в единице. При меньших значениях она отрицательная, при больших — положительная. В соответствии с этим при раскрытии внутреннего модуля получим два уравнения с модулем
x |-(x-1)-2|=3x-4;
x>=1 -> |x-1-2|=3x-4.
Обязательно проверяем правую сторону уравнения с модулем, она должна быть больше нуля.
3x-4>=0 -> x>=4/3.
Это означает, что первое из уравнений нет необхидноcти решать, поcкольку оно выпиcано для x< 1,что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
|x-3|=3x-4 ->
x-3=3x-4 или x-3=4-3x;
4-3=3x-x или x+3x=4+3;
2x=1 или 4x=7;
x=1/2 или x=7/4.
Получили два значения, первое из которых отвергаем, поскольку не принадлежит нужному интервалу. Окончательно уравнение имеет одно решение x=7/4.

 

Пример 3. Решить уравнение с модулем ||2x-5|-1|=x+3.
Решение: Раскроем внутренний модуль
|2x-5|=0 <=> x=5/2=2,5.
Точка x=2,5 разбивает числовую ось на два интервала. Соответственно, подмодульная функция меняет знак при переходе через 2,5. Выпишем условие на решение с правой стороны уравнения с модулем.
x+3>=0 -> x>=-3.
Итак решением могут быть значения, не меньше (-3). Раскроем модуль для отрицательного значения внутреннего модуля
|-(2x-5)-1|=x+3;
|-2x+4|=x+3.
Этот модуль также при раскрытии даст 2 уравнения
-2x+4=x+3 или 2x-4=x+3;
2x+x=4-3 или 2x-x=3+4;
3x=1; x=1/3 или x=7.
Значение x=7 отвергаем, поскольку мы искали решение на промежутке [-3;2,5]. Теперь раскрываем внутренний модуль для x>2,5. Получим уравнение с одним модулем
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
При раскрытии модуля получим следующие линейные уравнения
-2x+6=x+3 или 2x-6=x+3;
2x+x=6-3 или 2x-x=3+6;
3x=3; x=1 или x=9.
Первое значение x=1 не удовлетворяет условие x>2,5. Так что на этом интервале имеем один корень уравнения с модулем x=9, а всего их два (x=1/3).Подстановкой можно проверять правильность выполненных вычислений
Ответ: x=1/3; x=9.

 

Пример 4. Найти решения двойного модуля ||3x-1|-5|=2x-3.
Решение: Раскроем внутренний модуль уравнения
|3x-1|=0 <=> x=1/3.
Точка x=2,5 делит числовую ось на два интервала, а заданное уравнение на два случая. Записываем условие на решение, исходя из вида уравнения с правой стороны
2x-3>=0 -> x>=3/2=1,5.
Отсюда следует, что нас интересуют значения >=1,5. Таким образом модульное уравнения рассматриваем на двух интервалах
[1,5; 2,5], [2,5; +бесконечность).
Раскроем модуль при отрицательных значениях внутреннего модуля [1,5; 2,5]
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3.
Полученный модуль при раскрытии делится на 2 уравнения
-3x-4=2x-3 или 3x+4=2x-3;
2x+3x=-4+3 или 3x-2x=-3-4;
5x=-1; x=-1/5 или x=-7.
Оба значения не попадают в промежуток [1,5; 2,5], то есть не являются решениями уравнения с модулями. Далее раскроем модуль для x>2,5. Получим следующее уравнение
|3x-1-5|=2x-3;
|3x-6|=2x-3.
Раскрывая модуль, получим 2 линейные уравнения
3x-6=2x-3 или –(3x-6)=2x-3;
3x-2x=-3+6 или 2x+3x=6+3;
x=3 или 5x=9; x=9/5=1,8.
Второе значение из найденных не соответствует условию x>2,5, его мы отвергаем.
Наконец имеем один корень уравнения с модулями x=3.
Выполняем проверку
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3.
Корень уравнения с модулем вычислено правильно.
Ответ: x=1/3; x=9.

Примеров с модулями где есть один или несколько вложенных модулей в интернете или методичке можно найти немало. Схема их вычислений ничем не отличается от приведенной выше. Для проверки знаний прошу решить следующие задачи.

Равнение на модуль в модуле:

• ||3x-3|-2|=5-2x;
• ||5x-3|-3|=3x-1;
• ||2x-7|-4|=x-2;
• ||5x-4|-8|=x+4;
• ||2x-2|-3|=1;
• ||x-2|-3|=4-x.

Похожие материалы:

1 x модуль

Вы искали 1 x модуль? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 1 модуль x, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «1 x модуль».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 1 x модуль,1 модуль x,1 модуль x 2,1 модуль x 3,1 модуль х,2 модуль x,2 модуль х,2 х модуль,2х 3 5 модуль,3 модуль x,3 модуль х,4 x 5 модуль,4 модуль х,5 модуль,5 модуль x,5 модуль х,7 класс уравнения модулями с,f x модуль x,x 2 модуль,x 3 модуль,x 5 модуль,x модуль,x модуль 2,y модуль 1 x 1,выражения с модулем,действия с модулем,действия с модулями,задания с модулем,задачи с модулем,задачи с модулями,икс модуль,как избавиться от модуля,как модуль умножить на модуль,как раскрывается модуль,как раскрывать модули,как раскрывать модуль,как раскрывать модуль в уравнении,как раскрыть модуль в уравнении,как решается модуль,как решать квадратные уравнения с модулем,как решать модули,как решать модуль,как решать модуль в модуле,как решать модуль равен модулю,как решать модульные уравнения,как решать модульные уравнения 7 класс,как решать примеры с модулем,как решать примеры с модулями,как решать с модулем,как решать уравнение с двойным модулем,как решать уравнение с модулем,как решать уравнение с модулем 7 класс,как решать уравнение с модулями,как решать уравнения 6 класс с модулями,как решать уравнения с двойным модулем,как решать уравнения с двумя модулями,как решать уравнения с модулем,как решать уравнения с модулем 10 класс,как решать уравнения с модулем 7 класс,как решать уравнения с модулем 9 класс,как решать уравнения с модулями,как решать уравнения с модулями 10 класс,как решать уравнения с модулями 7 класс,как решаются модули,как решаются уравнения с модулем,как решаются уравнения с модулями,как решить квадратное уравнение с модулем,как решить модуль,как решить модуль в модуле,как решить модульное уравнение,как решить уравнение квадратное с модулем,как решить уравнение с двумя модулями,как решить уравнение с модулем,как решить уравнение с модулем 7 класс,как решить уравнение с модулями,как решить уравнения с модулем,как убрать модуль в уравнении,как умножить модуль на модуль,калькулятор модулей уравнений,калькулятор решение уравнений с модулем,калькулятор уравнений с модулем,калькулятор уравнений с модулями,калькулятор уравнений с модулями онлайн,калькулятор уравнения с модулем,квадратное уравнение с модулем,квадратные уравнения с модулем,квадратные уравнения с модулем как решать,линейные уравнения с модулем,минус модуль х равен минус х решить,модули как раскрывать,модули как решать,модули как решаются,модули примеры,модули решение,модули решение уравнений,модули уравнения,модуль 1 x,модуль 1 х,модуль 1 х больше 2,модуль 2 x,модуль 2 х,модуль 2 х 3,модуль 3 x,модуль 3 равен х,модуль 3 х,модуль 4 х,модуль 5 x 4,модуль 5 х,модуль x,модуль x 1,модуль x 1 3,модуль x 2,модуль x 2 3,модуль x 3,модуль x 4,модуль x 4 3,модуль x 4 x,модуль x 5,модуль x 5 x,модуль x равен,модуль x равен x,модуль в модуле,модуль в модуле как решать,модуль в модуле как решить,модуль в модуле решение,модуль в модуле уравнение,модуль в уравнении как раскрыть,модуль в уравнениях,модуль выражения,модуль икс,модуль икс равен икс,модуль как раскрыть,модуль как решается,модуль как решать,модуль как решить,модуль квадратного уравнения,модуль минус икс,модуль минус икс равен икс,модуль плюс модуль равно модуль,модуль примеры,модуль примеры решения,модуль равен 2,модуль равен x,модуль равен модулю как решать,модуль равен модулю уравнение,модуль раскрыть,модуль решение,модуль решение уравнений,модуль уравнение,модуль уравнения,модуль х,модуль х 1,модуль х 1 х 3,модуль х 1 х 3 1,модуль х 2,модуль х 2 5,модуль х 3,модуль х 3 2,модуль х 4,модуль х 4 х,модуль х 5,модуль х 5 2,модуль х 8 5,модуль х минус х,модуль х модуль у 1,модуль х модуль у 3,модуль х равен 3,модуль числа решение уравнений,модуль числа уравнения,модульное уравнение,модульное уравнение решить онлайн,модульные уравнения,модульные уравнения 10 класс,модульные уравнения 7 класс,модульные уравнения 7 класс как решать,модульные уравнения как решать,модульные уравнения решение,модуля решение,онлайн раскрытие модуля,онлайн решение модулей,онлайн решение модульных уравнений,онлайн решение уравнение с модулем,онлайн решение уравнений с модулем,онлайн решение уравнений с модулем с подробным решением,онлайн решение уравнений с модулями,онлайн решение уравнения с модулем,онлайн решить уравнение с модулем,онлайн решить уравнения с модулем,онлайн уравнения с модулем,правила модуля,правила раскрытия модуля,правило модуля,правило раскрытия модуля,примеры как решать модули,примеры модули,примеры модуль,примеры решения квадратные уравнения с модулем,примеры с модулем,примеры с модулем как решать,примеры с модулями,примеры с модулями 7 класс,примеры с модулями как решать,примеры с модулями примеры решений,простейшие уравнения с модулем,равен модуль 2,раскрытие модулей,раскрытие модуля,раскрытие модуля в уравнении,раскрытие модуля онлайн,раскрыть модуль,раскрыть модуль онлайн,решение задач с модулем,решение квадратных уравнений с модулем,решение линейных уравнений с модулем 7 класс примеры,решение модулей,решение модулей онлайн,решение модули,решение модуль в модуле,решение модульные уравнения,решение модульных уравнений,решение модульных уравнений 7 класс,решение модульных уравнений онлайн,решение модуля,решение онлайн модулей,решение примеров с модулем,решение примеров с модулями,решение с модулем,решение уравнение онлайн с модулем,решение уравнение с модулем,решение уравнение с модулем онлайн,решение уравнений модули,решение уравнений модуль,решение уравнений модуль числа,решение уравнений онлайн с модулем,решение уравнений онлайн с модулями,решение уравнений онлайн с подробным решением с модулем,решение уравнений с двойным модулем,решение уравнений с двумя модулями,решение уравнений с модулем,решение уравнений с модулем 7 класс,решение уравнений с модулем 7 класс примеры,решение уравнений с модулем калькулятор,решение уравнений с модулем онлайн,решение уравнений с модулем онлайн с подробным решением,решение уравнений с модулем с подробным решением,решение уравнений с модулем с подробным решением онлайн,решение уравнений с модулями,решение уравнений с модулями онлайн,решение уравнения онлайн с модулем,решение уравнения с модулем,решение уравнения с модулем онлайн,решение уравнения с модулем онлайн калькулятор,решения уравнений с модулем,решения уравнений с модулями,решите уравнение с модулем,решить модульное уравнение онлайн,решить онлайн уравнение с модулем,решить уравнение модуль х равен минус х,решить уравнение модуль х равен х,решить уравнение онлайн с модулем,решить уравнение с модулем,решить уравнение с модулем онлайн,решить уравнение с модулем онлайн с решением,решить уравнения онлайн с модулем,решить уравнения с модулем онлайн,рівняння з модулем,рівняння з модулями,с двумя модулями уравнение,сложные уравнения с модулем,у 2 модуль х,у 3 модуль х,у модуль х 2,уравнение модуль,уравнение модуль в модуле,уравнение модуль равен модулю,уравнение с двойным модулем как решать,уравнение с двумя модулями,уравнение с модулем,уравнение с модулем 7 класс,уравнение с модулем как решать,уравнение с модулем как решать 7 класс,уравнение с модулем квадратное,уравнение с модулем квадратное уравнение,уравнение с модулем онлайн,уравнение с модулем онлайн решение,уравнение с модулем примеры,уравнение с модулем решение,уравнение с модулем решение онлайн,уравнение с модулями,уравнение с модулями 7 класс,уравнение с модулями как решать,уравнения в модуле,уравнения модули,уравнения модуль,уравнения модуль числа,уравнения онлайн с модулем,уравнения с двойным модулем как решать,уравнения с двумя модулями,уравнения с двумя модулями как решать,уравнения с модулем,уравнения с модулем 10 класс как решать,уравнения с модулем 7 класс,уравнения с модулем 7 класс примеры решения,уравнения с модулем 8 класс примеры решения,уравнения с модулем как решать,уравнения с модулем как решать 7 класс,уравнения с модулем как решить,уравнения с модулем калькулятор,уравнения с модулем калькулятор онлайн,уравнения с модулем онлайн,уравнения с модулем онлайн калькулятор,уравнения с модулем примеры,уравнения с модулем примеры решения,уравнения с модулем простейшие,уравнения с модулем решение,уравнения с модулем решение онлайн,уравнения с модулем решить онлайн,уравнения с модулем с двойным модулем,уравнения с модулем сложные,уравнения с модулями,уравнения с модулями 10 класс,уравнения с модулями 7 класс,уравнения с модулями 7 класс в ответе 0,уравнения с модулями 7 класс объяснение,уравнения с модулями как решать,уравнения с модулями примеры решений,уравнения содержащие модуль,х 1 модуль,х 2 модуль,х 2 модуль 3,х 3 2 модуль,х 5 модуль,х модуль. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 1 x модуль. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, 1 модуль x 2).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 1 x модуль Онлайн?

Решить задачу 1 x модуль вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля

Е.П. Нелин, В.А. Лазарев

 АЛГЕБРА

и начала математического

анализа

10 класс

Учебник для

общеобразовательных

учреждений. Базовый и

профильный уровень

§ 5. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля

(Оформление и автор интерактивных технологий Морозова Е.)

Объяснение и обоснование

     Решать любое уравнение или неравенство, содержащее знак модуля, можно одним из трех основных способов: по определению модуля, исходя из геометрического смысла модуля или по общей схеме. Некоторые уравнения или неравенства с модулем могут быть также решены с использованием специальных соотношений.

        В зависимости от выбранного способа решения получаем разные записи решения.

Пример            Решите уравнение | 2x – 4 | = 6.

I способ (по определению модуля)

II способ (использование геометрического смысла модуля)

     Замечание. При решении уравнения с использованием геометрического смысла модуля знак модуля раскрывается неявно, то есть определение модуля в явном виде не применяется.

     Общая схема решения уравнений и неравенств, содержащих знак модуля — это фактически немного измененный метод интервалов. Поясним содержание этой схемы на примере уравнения с двумя модулями вида

|f (x)| + |g (x)| = a  (a > 0).

     Чтобы решить это уравнение, необходимо раскрыть знаки модулей, а для этого необходимо знать, где функции f (x) и g (x) будут положительными, а где — отрицательными. То есть фактически мы должны решить неравенства

f (x) ≥ или ≤0,                              (1)

g (x) ≥ или ≤0.                             (2)

     Каждое из этих неравенств мы умеем решать методом интервалов. Перестроим прием решения неравенств методом интервалов таким образом, чтобы он давал возможность одновременно решать каждое из последних неравенств. Как известно, решение неравенства (1) методом интервалов начинается с нахождения его ОДЗ (то есть области определения функции f (x)), а решение неравенства (2) — с нахождения его ОДЗ (то есть области определения функции g (x)). Чтобы начать одновременно решать оба неравенства, необходимо найти общую область определения для функций f (x) и g (x), то есть найти ОДЗ данного уравнения (это и есть первый из ориентиров необходимой схемы).

     Чтобы продолжить решение неравенств f (x) ≥или≤0 и g (x) ≥или≤ 0 методом интервалов, необходимо найти нули функций f (x) и g (x), то есть найти нули всех подмодульных функций (это и есть второй ориентир).

     Если далее применить схему метода интервалов одновременно для двух неравенств, необходимо на ОДЗ отметить нули подмодульных функций и разбить ОДЗ на промежутки (это третий ориентир).

     В каждом из полученных промежутков знаки функций f (x) и g (x) не могут измениться. Тогда мы можем найти знаки подмодульных функций на каждом промежутке (в любой точке этого промежутка), раскрыть знаки модулей и найти решение данного уравнения в каждом из этих промежутков (это и есть четвертый ориентир общей схемы). 

     Обоснование возможности применения приведенной схемы к решению неравенств с модулями проводится аналогично.

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Вопросы для контроля

1. Объясните, какими способами можно решать уравнения и неравенства, содержащие знак модуля. Проиллюстрируйте эти способы на примерах.
2. Обоснуйте специальные соотношения. Проиллюстрируйте их применение к решению уравнений и неравенств, содержащих знак модуля.
3. Обоснуйте обобщения использования геометрического смысла модуля. Проиллюстрируйте их применение к решению уравнений и неравенств, содержащих знак модуля.

Упражнения

Решите уравнения и неравенства, содержащие знак модуля (1–15).

Постройте график функции

ТЕСТ

Уравнения и неравенства

 

 

 

19. Уравнения с модулем | Контрольные работы по математике и другим пре

Модулем (Абсолютной величиной) Числа называется неотрицательное число:

(3.9)

Геометрическая интерпретация модуля: – это расстояние от точки А до точки Х на координатной оси, в частности, – это расстояние от точки 0 до точки Х.

Свойства модуля:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

Пусть – некоторое алгебраическое выражение. Тогда, используя определение модуля (3.9) при соответствующих предположениях, можно раскрыть знак абсолютной величины данного выражения:

Уравнение, содержащее выражение с неизвестной Х под знаком модуля, называется Уравнением с модулем. Рассмотрим основные типы уравнений с модулем и методы их решения.

I тип: уравнение вида

(3.10)

Где А – число, – некоторое выражение с неизвестной Х.

1. Если уравнение (3.10) решений не имеет.

2. Если уравнение (3.10) равносильно уравнению

3. Если уравнение (3.10) равносильно совокупности уравнений:

II тип: Уравнение вида

Где – некоторые выражения с неизвестной Х.

Решать это уравнение можно несколькими способами.

1-й способ – используя определения модуля:

2-й способ – используя подход к решению, как к уравнениям I типа с дополнительным условием на знак выражения

З а м е ч а н и е. 1-й или 2-й способ решения таких уравнений выбирают в зависимости от того, какое из неравенств или решается легче.

3-й способ – метод интервалов. Необходимо:

1) найти те значения Х, для которых

2) нанести полученные значения Х на числовую ось;

3) определить знаки для каждого из полученных интервалов;

4) нарисовать кривую знаков;

5) решить уравнение на каждом промежутке в отдельности, раскрывая модуль согласно рисунку;

6) для каждого конкретного промежутка проверить, принадлежат ли полученные корни этому промежутку;

7) в ответе указать совокупность всех полученных корней.

III тип: Уравнения, содержащие несколько модулей. Если их два, то это уравнение вида

(3.11)

Где – некоторые выражения с неизвестной Х.

1-й способ – можно использовать определение модуля и рассматривать 4 случая возможных знаков Этот способ, как правило, не является рациональным.

2-й способ – Метод интервалов. Необходимо нарисовать столько числовых осей и кривых знаков, сколько модулей в уравнении. Для уравнения (3.11) рисуют две оси, располагая их одна под другой (одна ось для вторая – для ). Для каждого выражения и следует изобразить кривую знаков на соответствующей оси. Затем раскрывают модули, используя рисунок, и решают уравнение отдельно на каждом промежутке. Подходят только те корни, которые принадлежат рассматриваемому промежутку. В ответе необходимо указать совокупность полученных корней.

IV тип: Уравнение вида

(3.12)

Где – некоторые выражения с неизвестной Х;

1-й способ – решение уравнения (3.12) сводится к решению совокупности уравнений:

2-й способ – метод интервалов (не рационально).

3-й способ – после возведения уравнения в квадрат и использования свойства модуля уравнение сводится к равносильному:

Полученное уравнение решается в зависимости от его типа.

V тип: Уравнения, решаемые заменой переменной, например:

Где – некоторые выражения с неизвестной Х;

По свойству модуля оно записывается в виде

Вводят замену и решают полученное квадратное уравнение относительно неизвестной У. Затем необходимо вернуться к старой переменной. В случае 2-х различных корней квадратного уравнения это будет совокупность уравнений I типа:

Если корень единственный, то остается решить уравнение

Необходимо помнить, что в случае отрицательного значения уравнение с модулем не имеет решений.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Это уравнение I типа. Его ОДЗ:

Уравнение записывается в виде

На ОДЗ можно сократить и получаем

откуда т. е.

Получаем корни которые подходят по ОДЗ.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Это уравнение II типа. Его ОДЗ: Оно имеет решение, если т. е. при Таким образом, для получаем:

(3.13)

Решим отдельно полученные дробно-рациональные уравнения. Первое уравнение сводится к виду

откуда

Это квадратное уравнение решений не имеет, так как

Из второго уравнения совокупности (3.13) получаем

т. е.

Квадратное уравнение имеет корни:

Т. е. первый корень не принадлежит множеству на котором решали уравнение, следовательно, ответом является только

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Имеем уравнение II типа, которое решим по определению модуля:

(3.14)

Решаем первую систему совокупности (3.14):

Значение не подходит по условию Следовательно, корнем является

Решаем вторую систему совокупности (3.14):

Получили ответ

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Поскольку то уравнение записывается в виде

Это уравнение относится к III типу уравнений.

Его ОДЗ: Решим методом интервалов.

Нулями выражений, стоящих под модулем, являются и Эти значения разбивают числовую ось на три промежутка (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Раскрыв модули на каждом из полученных промежутков, с учетом их знаков, получим совокупность систем:

Решим отдельно системы:

III.

Решением данного уравнения являются значения и

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Запишем уравнение в виде

Оно относится к IV типу. Возведем обе его части в квадрат:

После упрощения имеем:

т. е.

Получаем – корень.

Пример 6. Решить уравнение

Решение. ОДЗ: т. е.

Преобразуем данное уравнение к виду

Заменяем

Уравнение приобретает вид

Решаем его как дробно-рациональное и получаем:

Последнее квадратное уравнение имеет корни:

Возвращаясь к переменной Х, получаем:

Второе уравнение совокупности решений не имеет, так как слева положительное выражение, а справа – отрицательное.

Первое уравнение совокупности сводится к I типу уравнений с модулем и равносильно совокупности при условии

Приходим к совокупности

т. е.

Решение имеет только второе уравнение совокупности, его корни:

Оба они подходят по ОДЗ.

Пришли к ответу:

Пример 7. Решить уравнение

Решение. ОДЗ:

С учетом ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению:

Используя свойства модуля (имеем сумму двух неотрицательных величин), получаем:

Т. е. – решение полученной системы, оно подходит по ОДЗ.

Получили ответ:

< Предыдущая		Следующая >

Простейшие уравнения с модулем. Тест

Определение. Геометрический смысл

 

Модуль (или абсолютная величина)   числа   (обозначается как )— неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа  

А именно:

Мы будем называть данное правило правилом раскрытия модуля.

Например, так как , попадаем в первую строку (ситуацию).

так как попадаем во вторую ситуацию.

С геометрической точки зрения,  – есть расстояние между числом   и началом координат.

Решением уравнения, например,  являются числа и , потому что расстояние от точки координатной прямой до нуля равно , и расстояние от точки   до нуля также равно 6.

|| с геометрической точки зрения означает расстояние между точками и .

 

Полезные примеры

 

1) Раскрыть модуль:

Так как больше, чем , то , а значит согласно правилу раскрытия модуля.

2) Раскрыть модуль:

Так как больше нуля при всех значениях , то согласно правилу раскрытия модуля.

3) Раскрыть модуль:

Так как , то , а значит, согласно правилу раскрытия модуля.

Решение уравнений

 

1) Решить уравнение .

Модуль – всегда неотрицательная величина, поэтому уравнение решений не имеет.

Ответ: { }

2) Решить уравнение: .

Модуль раскрывается таким образом в случае, когда  .

Ответ:

3) Решить уравнение:

Согласно геометрическому смыслу модуля левая и правая части равенства представляют из себя одно и то же.

Ответ:

4)  Решить уравнение:

Раскрываем модуль согласно правилу раскрытия модуля:

а)

Имеем: ,     

Откуда .

Поскольку мы находимся в ситуации , то подходит только корень .

б)

Имеем: ,    

Откуда или .

Поскольку мы находимся в ситуации , то ни один корень из найденных в пункте (б) нам не подходит.

Ответ: .

Коротко можно было бы решение оформить так:

5) Решить уравнение:

Раскрываем модуль согласно правилу раскрытия модуля:

a) Первый случай:

Что равносильно .

б) Второй случай:

Что равносильно

Ответ:

6) Решить уравнение:

Можно было бы действовать согласно правилу раскрытия модуля, но проще будет в данном случае рассуждать так:

Внутри модуля может «скрываться» как так и .

Поэтому или

или

Из первого уравнения или , а второе уравнение корней не имеет.

Ответ:

 

7) Решить уравнение:

Раскрываем модуль согласно правилу раскрытия модуля:

а) Первый случай:

Рассмотрим отдельно первую строку системы:

Рассмотрим уравнение из системы:

или

Разложим на множители левую часть уравнения способом группировки, предварительно разбив среднее слагаемое на два:

Откуда (трехчлен в скобках корней не имеет).

Данный корень удовлетворяет первой строке системы, он пойдет  в ответ.

б) Второй случай:

Решение неравенства системы:

Корень удовлетворяет решению неравенства системы.

Собираем решения.

Ответ:

 

Также, смотрите «Модуль. Простейшие неравенства с модулем» здесь.

Вы можете пройти тест  по теме «Модуль. Раскрытие модуля. Простешие уравнения с модулем»

Модуль числа. Простое уравнение с модулем. Корень уравнения с модулем.

Наиболее часто возникают ошибки при решении уранений с модулем. Давайте разберем решение простейших уравнений с модулем. Чтобы решить уранения с модулем, надо знать определение модуля. Модуль обозначает абсолютное значение числа и записывается вертикальными черточками:

\(|a|\) — читается как модуль числа \(a\).

Определение модуля:

---

Модуль числа  \(|-5|\) из определения является расстоянием от \(-5\) до \(0\).

---

• Если модуль числа равен положительному значению, то уравнение имеет два корня.
• Если модуль числа равен нулю, то уравнение имеет один корень.
• Если модуль равен отрицательному значению,  то уравнение не имеет корней.

Пример 1. Решите \(|x|=3\)

Решение: 

\(|x|=3\)

\(x = 3\) или \(x = -3\)

Уранение имеет два корня 

Ответ: \(x = 3\) или \(x = -3\).

Пример 2. Решите \(|x|=0\)

Решение: 

\(|x|=0\)

\(x = 0\)

Уравнение имеет один корень

Ответ: \(x = 0\).

---

Пример 3.  Решите \(|x|=-3\)

Решение: 

Модуль не может быть равен отрицательному значению!!!

корней нет

Ответ: корней нет.

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку

Репетитор по математике

Брестский государственный университет им. А.С. Пушкина

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-11 классов. Индивидуальный подход к каждому ученику. Объясняю материал доступным языком. Привожу реальные примеры и показываю, где в жизни понадобится математика и на сколько она важна. Смогу дать Вашему ребёнку необходимые знания по предмету. Жду Вас на своих занятиях!

Оставить заявку

Репетитор по математике

Таразский государственный педагогический институт

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-9 классов. Математика — отличная гимнастика для ума, она тренирует мозги, и помогает решать не только абстрактные задачи, но и вполне жизненные. Если ребёнок увлекается математикой, любит думать, рассуждать, формулировать свои мысли, то это может пригодиться в любой профессии. Приёмы подачи материала и содержание заданий подбираются в зависимости от индивидуальных особенностей ученика в каждом конкретном случае. В соответствии с ними составляется не только план на ближайший урок, но и общая стратегия моих действий.

Оставить заявку

Репетитор по математике

БГПУ им. Танка

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 1-6 классов. Математика сложна, но интересна и увлекательна! При обучении настраиваю на позитивное восприятие всего нового и непонятного и впоследствии мои ученики испытывают радость новых открытий в этом удивительном мире цифр и знаков.

Решение уравнений

• — Индивидуальные занятия
• — В любое удобное для вас время
• — Бесплатное вводное занятие

Математика 11 класс

• — Индивидуальные занятия
• — В любое удобное для вас время
• — Бесплатное вводное занятие

Похожие статьи

Записаться на бесплатный урок

Как решать уравнения с модулем

Одна из самых сложных тем для учащихся  – это решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. Давайте разберемся для начала с чем же это связано? Почему, например, квадратные уравнения большинство детей щелкает как орешки, а с таким далеко не самым сложным понятием как модуль имеет столько проблем?

На мой взгляд, все эти сложности связаны с отсутствием четко сформулированных правил для решения уравнений с модулем. Так, решая квадратное уравнение, ученик точно знает, что ему нужно сначала применять формулу дискриминанта, а затем формулы корней квадратного уравнения. А что делать, если в уравнении встретился модуль? Постараемся четко описать необходимый план действий на случай, когда уравнение содержит неизвестную под знаком модуля. К каждому случаю приведем несколько примеров.

Но для начала вспомним определение модуля. Итак,  модулем числа a называется само это число, если a неотрицательно и  -a, если  число a меньше нуля. Записать это можно так:

|a| = a, если a ≥ 0 и |a| = -a, если a < 0

Говоря о геометрическом смысле модуля, следует помнить, что каждому действительному числу соответствует определенная точка на числовой оси – ее  координата. Так вот, модулем или абсолютной величиной числа называется расстояние от этой точки до начала отсчета числовой оси. Расстояние всегда задается положительным числом. Таким образом, модуль любого отрицательного числа есть число положительное. Кстати, даже на этом этапе многие ученики начинают путаться. В модуле может стоять какое угодно число, а вот результат применения модуля всегда число положительное.

Теперь перейдем непосредственно к решению уравнений.

1. Рассмотрим уравнение вида |x| = с, где с – действительное число. Это уравнение можно решить с помощью определения модуля.

Все действительные числа разобьем на три группы: те, что больше нуля, те, что меньше нуля, и третья группа – это число 0. Запишем решение в виде схемы:

                             {±c, если с > 0

 Если |x| = c, то x = {0, если с = 0

                             {нет корней, если с < 0

Примеры:

1) |x| = 5, т.к. 5 > 0, то x = ±5;

2) |x| = -5, т.к. -5 < 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, то x = 0.

2. Уравнение вида |f(x)| = b, где b > 0. Для решения данного уравнения необходимо избавиться от модуля. Делаем это так: f(x) = b или f(x) = -b. Теперь необходимо решить отдельно каждое из полученных уравнений. Если в исходном уравнении b< 0, решений не будет.

Примеры:

1) |x + 2| = 4, т.к. 4 > 0, то

x + 2 = 4 или x + 2 = -4

x = 2             x = -6

2) |x² – 5| = 11, т.к. 11 > 0, то

x² – 5 = 11 или x² – 5 = -11

x² = 16            x² = -6

x = ± 4             нет корней

3) |x² – 5x| = -8 , т.к. -8 < 0, то уравнение не имеет корней.

3. Уравнение вида |f(x)| = g(x). По смыслу модуля такое уравнение будет иметь решения, если его правая часть больше или равна нулю, т.е. g(x) ≥ 0. Тогда будем иметь:

f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).

Примеры:

1) |2x – 1| = 5x – 10. Данное уравнение будет иметь корни, если 5x – 10 ≥ 0. Именно с этого и начинают решение таких уравнений.

1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0

              5x ≥ 10  

               x ≥ 2.  

2. Решение:

2x – 1 = 5x – 10 или 2x – 1 = -(5x – 10)

3x = 9                     7x = 11

x = 3                       x = 11/7

3. Объединяем О.Д.З. и решение, получаем:

Корень x = 11/7 не подходит по О.Д.З., он меньше 2, а x = 3 этому условию удовлетворяет.

Ответ: x = 3  

2) |x – 1| = 1 – x².

1. О.Д.З. 1 – x² ≥ 0. Решим методом интервалов данное неравенство:

             (1 – x)(1 + x) ≥ 0

             -1 ≤ x ≤ 1  

2. Решение:

x – 1 = 1 – x²      или   x – 1 = -(1 – x²)

x² + x – 2 = 0            x² – x = 0

x = -2 или x = 1         x = 0 или x = 1

3. Объединяем решение и О.Д.З.:

Подходят только корни x = 1 и x = 0.

Ответ: x = 0, x = 1. 

4. Уравнение вида |f(x)| = |g(x)|. Такое уравнение равносильно двум следующим уравнениям f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).

Пример:

1) |x² – 5x + 7| = |2x – 5|. Данное уравнение равносильно двум следующим:

x² – 5x + 7  = 2x – 5 или x² – 5x +7  = -2x + 5   

x² – 7x + 12  = 0            x² – 3x + 2  = 0

x = 3 или x = 4             x = 2 или x = 1  

Ответ: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Уравнения, решаемые методом подстановки (замены переменной). Данный метод решения проще всего объяснить на конкретном примере. Так, пусть дано квадратное уравнение с модулем:

 x² – 6|x| + 5 = 0. По свойству модуля x² = |x|², поэтому уравнение можно переписать  так:

|x|² – 6|x| + 5 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда будем иметь:

t² – 6t + 5 = 0. Решая данное уравнение, получаем, что t = 1 или t = 5. Вернемся к замене:

|x| = 1 или |x| = 5

x = ±1        x = ± 5

Ответ: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5. 

Рассмотрим еще один пример:

x² + |x| – 2 = 0. По свойству модуля  x² = |x|², поэтому

|x|² + |x| – 2 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда:

t² + t – 2 = 0. Решая данное уравнение, получаем, t = -2 или t = 1. Вернемся к замене:

|x| = -2   или |x| = 1

Нет корней     x = ± 1

Ответ: x = -1, x = 1.

6. Еще один вид уравнений – уравнения со «сложным» модулем. К таким уравнениям относятся уравнения, в которых есть «модули в модуле». Уравнения данного вида можно решать, применяя свойства модуля.

Примеры:

1) |3 – |x|| = 4. Будем действовать так же, как и в уравнениях второго типа. Т.к. 4 > 0, то получим два уравнения:

3 – |x| = 4 или  3 – |x| = -4.

Теперь выразим в каждом уравнении модуль х, тогда |x| = -1 или |x| = 7.

Решаем каждое из полученных уравнений. В первом уравнении нет корней, т.к. -1 < 0, а во втором x = ±7.

Ответ x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Решаем это уравнение аналогичным образом:

3 + |x + 1| = 5      или     3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2                       |x + 1| = -8

x + 1 = 2 или x + 1 = -2.   Нет корней.

x = 1            x = -3

Ответ: x = -3, x = 1.

Существует еще и универсальный метод решения уравнений с модулем. Это метод интервалов. Но мы его рассмотрим в дальнейшем.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Модуль 1

Модуль 1 Модуль 1: Критические вопросы математики в средней школе Нить Дата Блок 1.1: Порядок операций с дробями 5 октября — 12 ноября Math Content Strand 15 октября English Learners Strand 29 октября Обучающие стратегии по использованию студенческих досок Strand 12 ноября Подача проекта плана урока Драфт: 29 октября Финал: 12 ноября Блок 1.2: Подходы к пропорциональным рассуждениям 15 ноября — 17 декабря Math Content Strand 26 ноября Обучающие стратегии Strand 10 декабря Стратегии оценки Strand 17 декабря Подача проекта плана урока Драфт: 3 декабря Финал: 17 декабря Блок 1.3: Абсолютные неравенства 27 декабря — 28 января Math Content Strand 7 января Обучающие стратегии Strand 14 января Использование учебника Strand 28 января Подача черновика проекта плана урока: 14 января Финал: 28 января ЦЕЛИ И АКТУАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ По мере выполнения каждого раздела вы разработаете свой проект плана урока, а также рассмотрите следующие темы: Блок 1.1: ПОРЯДОК РАБОТЫ Этот блок фокусируется на проблеме CAHSEE : 11/12 — (1/3 + 1/4) =? Только 40% студентов, прошедших в 2002 г. администрацию CAHSEE были успешны по этому вопросу. Калифорнийская математика Стандарты содержания, рассматриваемые в этом вопросе, включают : Number Sense (6-й) 1,0 Учащиеся вычисляют и решают задачи на сложение, вычитание, умножение и деление: 2.1 Решайте задачи, связанные со сложением, вычитанием, умножением и делением положительных дробей, и объясните, почему конкретная операция использовалась в данной ситуации. 2,4 Определить наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель целых чисел; используйте их для решения задач с дробями (напр.g., чтобы найти общий знаменатель для сложения двух дробей или найти сокращенную форму для дроби). Алгебра и функции (6) 1.0 Студенты записывают словесные выражения и предложения в виде алгебраических выражений и уравнений; они оценивают алгебраические выражения, решают простые линейные уравнения, строят графики и интерпретируют свои результаты: 1,3 Применять алгебраический порядок операций и свойства коммутативности, ассоциативности и распределения для вычисления выражений; и обосновывать каждый шаг в этом процессе. По мере прохождения этого отряда вы будете : углубите свое понимание математических концепций алгебры, в том числе эквивалентных долей наименьший общий знаменатель порядок операций сложные двухэтапные задачи с дробями и порядком операций изучить стратегии поддержки и вовлечения изучающих английский язык, в том числе подчеркивая естественные способы, которыми математика и то, что происходит в классах математики, выгодны для EL увеличивающийся понятный ввод Увеличение взаимодействия студентов; и развитие навыков мышления сосредоточены на новых стратегиях обучения и оценки, которые позволяют эффективно использовать доски учащихся в классе через Управление использованием доски студентами с использованием стратегий мониторинга прогресса и повторного обучения при необходимости создание способов для студентов записывать важную информацию Блок 1.2: ПОДХОДЫ К ПРОПОРЦИОНАЛЬНОМУ РАЗУМУ Этот блок фокусируется на проблеме CAHSEE : Диаметр ствола дерева напрямую зависит от возраста дерева. У 45-летнего дерева диаметр ствола составляет 18 дюймов. Каков возраст дерева с диаметром ствола 20 дюймов? Только 35% студентов, прошедших в 2002 г. администрацию CAHSEE были успешны по этому вопросу. Калифорнийская математика Стандарты содержания, рассматриваемые в этом вопросе, включают: Number Sense (6-й) 1,0 Учащиеся сравнивают и упорядочивают положительные и отрицательные дроби, десятичные дроби и смешанные числа.Студенты решают задачи на дроби, соотношения, пропорции и проценты 1,3 Используйте пропорции для решения задач (например, определите значение N, если 4/7 = N / 21, найдите длину стороны многоугольника, подобного известному многоугольнику). Используйте перекрестное умножение как метод решения таких задач, понимая его как умножение обеих частей уравнения на мультипликативную обратную величину. Алгебра и функции (6) 1,0 Студенты записывают словесные выражения и предложения в виде алгебраических выражений и уравнений; они оценивают алгебраические выражения, решают простые линейные уравнения, строят графики и интерпретируют свои результаты: 1.1 Напишите и решите одношаговые линейные уравнения с одной переменной. 1,2 Напишите и оцените алгебраическое выражение для данной ситуации, используя до трех переменных. По мере прохождения этого отряда вы будете : углубите свое понимание математических концепций в алгебре, в том числе Удельная стоимость Передаточные числа Пропорции сосредоточены на новых стратегиях обучения, в том числе важность потока урока использование стихов и литературы для поддержки преподавания и изучения математики; и словарный запас рассматривают начальный уровень, мониторинг прогресса и итоговые оценки, включая с использованием рубрики частичного кредита для решения проблем Блок 1.3: АБСОЛЮТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА СТОИМОСТИ Этот блок фокусируется на проблеме CAHSEE : Если x — целое число, каково решение / x — 3 / <1? Только 39% студентов, принявших администрацию 2002 г. CAHSEE были успешны по этому вопросу. Калифорнийские стандарты содержания математики, рассматриваемые в этом вопросе, включают: Алгебра 1 Стандарт 3.0: Учащиеся решают уравнения и неравенства с абсолютными значениями . По мере прохождения этого отряда вы будете : углубите свое понимание математических концепций в алгебре, в том числе изображений неравенства; решение неравенств; включая только целочисленные решения; проверка решений и разъяснение учащимся понимания уравнений абсолютных значений; и альтернативные методы решения абсолютных уравнений и неравенств. сосредоточены на нескольких новых стратегиях обучения, которые помогут учащимся улучшить свои стратегии решения проблем, в том числе реальных примеров и через предварительные организаторы изучить дополнительные вопросы, связанные с использованием учебника, в том числе: подборка задач для практики и домашнего задания; рассмотрение целей и процедур назначения, подачи и оценки домашних заданий; и дополнительных ресурсов, предоставленных издателями учебников PD-ROM находится в ведении Калифорнийского государственного университета в Фуллертоне.Проект стал возможным благодаря финансированию из Государственной программы грантов по повышению качества учителей, администрируемой Комиссией по послешкольному образованию Калифорнии (ITQ № 240). Это совместная работа факультетов математики и среднего образования Университета штата Калифорния Фуллертон, Департамента образования округа Ориндж и Корпорации сетевых инициатив в области образования в Калифорнии (CENIC). Эта страница поддерживается Педагогическим колледжем Фуллертона штата Калифорния.Сообщайте о проблемах (только на этом сайте) Викки Коста, доктору философии. Калифорнийский государственный университет, Фуллертон © 2003. Все права защищены. Этот сайт может содержать ссылки на веб-сайты, не администрируемые Калифорнийским государственным университетом, Фуллертоном или одним из его подразделений, школ, департаментов, подразделений или программ. Университет штата Калифорния, Фуллертон, не несет ответственности за точность или содержание связанных страниц.

Математические модули для биотехнологии Ohlone | Колледж Олоне

Добро пожаловать в модули математики биотехнологии! Эти модули призваны дать учащимся основные математические навыки, необходимые им для успешного завершения занятий по биотехнологии.

Если вам нужна помощь с научным представлением, удобно выражающим очень большие и очень маленькие числа в стандартном формате, ознакомьтесь с модулем Module 1 . Для более глубокого изучения научных обозначений перейдите к Module 1.5 .

Работая с pH, и вы могли бы напомнить, как работают логарифмы? Ознакомьтесь с Module 2 .

Модуль 3 — отличное введение в преобразование единиц измерения и метрическую систему.

Работаете с разведениями, хотите понять концентрацию в терминах «частей», ломаете голову над разницей между разведением 1: 5 и разбавлением 1/5? Модуль 4 предоставит введение в терминологию, используемую для разведения.

Когда вы познакомитесь с терминологией разведения, пора выяснить, как делать разведения из концентрированных исходных растворов. Модуль 5 дает введение в вычисления, которые упрощают это: C ₁ V ₁ = C ₂ V ₂

Модуль 6 дает введение в построение графиков — элементы графика, как правильно маркировать графики и определять масштаб, как создать линию наилучшего соответствия. Модуль 7 объясняет, как найти уравнение линии, определить наклон и экстраполировать данные. Эти модули удобны, когда вы используете стандартную кривую для анализа данных, например, в спектрофотометрических экспериментах.

Модуль 8 полезен, если вы пытаетесь понять, как приготовить раствор, когда пропорции описываются в терминах «частей» — например, как бы вы приготовили 400 мл раствора 1: 3 глицерин: вода?

Если вам предложили уравнение и попросили решить неизвестное, модуль Module 9 может помочь вам со стратегиями решения уравнений.

Если вы готовите растворы с концентрациями, описанными в процентах, например, 10% (об. / Об.) Этанола, или 2% (мас. / Об.) NaCl, или 15% (мас. / Мас.) Смолы, Модуль 10 предоставит вам информацию, необходимую для успешного выполнения этих расчетов.

Ссылки на все модули находятся в левой части этого экрана, а решения для практических упражнений находятся в конце каждого модуля.

Пожалуйста, дайте нам знать, если у вас есть отзывы. Свяжитесь с Лори Иссель-Тарвер из отдела биотехнологии Ohlone в Lisseltarver @ ohlone.edu.

Отдел биотехнологии Ohlone благодарит спонсора этого проекта: Инициатива TAACCCT Design It — Build It — Ship It.

Описание модулей — Университет Рединга

MA2DE-Дифференциальные уравнения

Поставщик модуля: Математика и статистика
Количество кредитов: 20 [10 кредитов ECTS]
Уровень: 5
Срок обучения: Осенний / весенний / летний модуль
Предварительные требования: MA1CA Calculus MA1LA Linear Algebra
Немодульные предварительные требования:
Дополнительные требования:
Исключенные модули:
Текущие с: 2019/01

Руководитель модуля: Dr Peter Sweby

Электронная почта: стр[email protected]

Краткое описание модуля:
В этом модуле мы продолжаем работу по ODE из части 1 и рассматриваем более сложные темы, такие как ODE с непостоянными коэффициентами, интегральные и серийные решения, ряды Фурье и теория краевых задач. Затем это распространяется на изучение уравнений в частных производных, в частности уравнения диффузии, волнового уравнения и уравнения Лапласа, для которых изучаются соответствующие методы решения.

Цели:
Дальнейшее развитие изучения обыкновенных дифференциальных уравнений на основе ОДУ, представленных в Части 1, а также введение и развитие исследования дифференциальных уравнений в частных производных и их приложений.

Оцениваемые результаты обучения:

Ожидается, что к концу модуля студент сможет:

• Решать ОДУ с непостоянными коэффициентами;

• Построить и использовать функцию Грина для решения соответствующих задач ODE и PDE;

• Использовать методы последовательного решения для ODE;

• Используйте методы интегрального преобразования для решения IVP для ODE и PDE;

• Вывести ряд Фурье функции;

• Используйте разложения по собственным функциям для решения соответствующих BVP для ODE и PDE;

• Использование принципа Дюамеля и теплового ядра для решения однородных и неоднородных задач диффузии;

• Решите волновое уравнение, используя формулу Даламбера;

• надлежащим образом использовать принципы максимума;

• Решите различные PDE, используя метод разделения переменных.

Дополнительные исходы:
Студент также достигнет более глубокого понимания проблем существования и уникальности решений, а также сможет дать физическую интерпретацию своей математики.

Контурное содержание:
Дифференциальные уравнения лежат в основе современной прикладной математики. Что касается ОДУ, мы продолжаем работу части 1 и рассматриваем более сложные темы, такие как ОДУ с непостоянными коэффициентами, преобразование Лапласа и решения рядами, ряды Фурье и теория краевых задач, включая методы разложения по собственным функциям для простых задач Штурма-Лиувилля.Для PDE модуль использует уравнения диффузии, волны и уравнения Лапласа в качестве примеров. Исследуются их свойства решения, включая различные типы задач (IVP, IBVP и BVP), для которых они хорошо сформулированы, а также такие вопросы, как принципы максимума для эллиптических и параболических УЧП. Представлены методы решения, такие как тепловое ядро, принцип Дюамеля, разделение переменных и решение Д’Аламбера, а также расширение преобразования Лапласа, функций Грина и разложения по собственным функциям на задачи в частных производных.Подчеркивается связь PDE с математическим моделированием физических наук.

Краткое описание методики преподавания и обучения:
Лекции, сопровождаемые списками задач и еженедельными учебными пособиями.

Суммарные методы оценки:

Метод	В процентах
Письменный экзамен	70
Комплекс упражнений	30

Суммарное тестирование — Экзамены:
3 часа.

Итоговая оценка — Курсовые и аудиторные тесты:
Шесть оцененных работ.

Формирующие методы оценивания:
Проблемные листы.

Штрафы за несвоевременную отправку:

Штрафы за несвоевременную отправку по этому модулю соответствуют политике университета.

Требования для аттестации:
Общая оценка 40%.

Порядок переоценки:
Одна экзаменационная работа продолжительностью 3 часа в августе / сентябре — оценка за модуль повторной сдачи будет высшей из оценок за экзамен (100% экзамен) и оценки за экзамен плюс предыдущие оценки курсовой работы (70% экзамен, 30% курсовая работа).

Дополнительные расходы (указаны, если применимо):
1) Необходимые учебники:
2) Специальное оборудование или материалы:
3) Специальная одежда, обувь или головные уборы:
4) Печать и переплет:
5) Компьютеры и устройства с определенной спецификацией:
6) Проезд, проживание и питание:

Последнее обновление: 8 апреля 2019

ИНФОРМАЦИЯ, СОДЕРЖАЩАЯСЯ В ДАННОМ ОПИСАНИИ МОДУЛЯ, НЕ ЯВЛЯЕТСЯ НИКАКОЙ ЧАСТЬЮ СТУДЕНЧЕСКОГО ДОГОВОРА.

Модули для дифференциальных уравнений

Модули для дифференциальных уравнений

Содержание

Учебник по вспомогательному приложению
Численные решения дифференциальных уравнений
Спринты мирового класса
Модель логистического роста
Модели хищника-жертвы
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Движение пружины
Системы с принудительной пружиной I
Матричные операции
Собственные значения и собственные векторы
Траектории линейных систем
Маятник
Ведет в теле
Усиление и фазовый сдвиг
Система Ван дер Поля

Учебное пособие по вспомогательному приложению

Назначение: Чтобы изучить основы Maple V, Release 4 или Release 5 для использования в модулях дифференциальных уравнений.

Предварительные требования: Никто

Доступно для: Клен

Численные решения дифференциальных уравнений.

Назначение: Чтобы получить опыт работы с численными методами аппроксимации решение для задачи начального значения первого порядка.

Предварительные требования: Изучите базовое руководство для своей системы компьютерной алгебры.

Доступно для: Клен

Спринты мирового класса

Назначение: Чтобы исследовать применимость линейного дифференциала уравнение как модель для процесс спринта, и чтобы проиллюстрировать важность параметров в моделировании.

Предварительные требования: Учебник для вашего вспомогательного приложения и способность решать линейный дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

Доступно для: Клен

Модель логистического роста

Назначение: Изучить стандартную модель роста населения в стесненная среда.

Предварительные требования: Разделение переменных.

Доступно для: Клен

Модели Хищник-Жертва

Назначение: Разработать и изучить модель Лотки-Вольтерры. для взаимодействий хищник-жертва в качестве прототипа первого порядка система дифференциальных уравнений.

Предварительные требования: Модуль по численным решениям дифференциальные уравнения.

Доступно для: Клен

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Назначение: Чтобы исследовать качественное поведение решения начальных задач вида

 y "+ ay '+ by = 0,
                         у (0) = у0,
                        у '(0) = у1.

В частности, чтобы определить, как решения зависят от знаков и величин коэффициентов a и b и на первоначальные условия.

Предварительные требования: Учебник по вспомогательному приложению и знание символической формы решений дифференциала уравнения вида y «+ ay ‘+ by = 0 .

Доступно для: Клен

Пружинное движение

Назначение: Чтобы исследовать математическая модель y » + (c / m) y ‘+ (K / m) y = 0 для пружинного движения и изучения эффекта повышенного демпфирования.

Предварительные требования: Знание линейных однородных дифференциальные уравнения с постоянной коэффициенты.

Доступно для: Клен

Системы с принудительной пружиной I

Назначение: Чтобы изучить эффекты внешней движущей силы на простом линейном осцилляторе, с демпфированием или без него.

Предварительные требования: Модуль Spring Motion и знания символической формы решений дифференциальной уравнения вида y «+ ay ‘+ by = f (t) , где f — функция синуса или косинуса.

Доступно для: Клен

Матричные операции

Назначение: Поэкспериментировать с матричные операции, особенно умножение, инверсия и детерминанты, и исследовать приложения к решению систем линейные уравнения. В процессе изучая эти матричные операции, мы научится пользоваться помощником приложение для проведения матрицы вычисления.

Предварительные требования: Базовое понимание линейных комбинаций векторов, знакомство с матричным умножением.

Доступно для: Клен

Собственные значения и собственные векторы

Назначение: Чтобы поэкспериментировать и изучить свойства собственные значения и собственные векторы и их применение к дифференциальные уравнения.

Предварительные требования: Модуль матричных операций и концепция приведенной формы эшелона строк.

Доступно для: Клен

Траектории линейных систем.

Назначение: Для исследования траекторий на фазовой плоскости однородных линейных систем 2×2 первого порядка дифференциальные уравнения вида X ‘= AX.

Предварительные требования: Модуль матричных операций и понимание смысла собственных значений и собственные векторы матрицы A.

Доступно для: Клен

Маятник

Назначение: Чтобы исследовать фазовую плоскость для второго порядка нелинейное дифференциальное уравнение, в частности стандартное модель для демпфированных и незатухающих маятников.

Предварительные требования: Модуль Spring Motion.

Доступно для: Клен

Свинец в теле

Назначение: Разработать и изучить модель отсека на количество свинца в организме человека и изучить трехмерная управляемая линейная система.

Предварительные требования: Модуль по траекториям линейных Уравнения.

Доступно для: Клен

Усиление и фазовый сдвиг

Назначение: Чтобы изучить взаимосвязь между частотой внешняя движущая сила и параметры затухающей линейный осциллятор.

Предварительные требования: Модуль по принудительному пружинному движению.

Доступно для: Клен

Система ван дер Поля

Назначение: Чтобы исследовать модель Ван дер Поля для нелинейного электрическая схема — в частности, для изучения предельного цикла явление.

Предварительные требования: Модуль по принудительному пружинному движению.

Доступно для: Клен

---

---

| CCP Home | Ресурсы | Ресурсы для учителей |

Вычислительное моделирование электромагнетизма: какой модуль использовать?

Нам все время задают вопрос: «Какие продукты COMSOL следует использовать для моделирования конкретного электромагнитного устройства или приложения?» В дополнение к возможностям основного пакета программного обеспечения COMSOL Multiphysics® в настоящее время существует шесть модулей в ветви «Электромагнитные модули» нашего дерева продуктов, а еще шесть модулей распределены по остальной структуре продукта, которые обращаются к различным формам уравнений Максвелла. в сочетании с другой физикой.Давайте посмотрим на них и посмотрим, что они предлагают.

Примечание. Эта запись в блоге была первоначально опубликована 10 сентября 2013 года. С тех пор она была обновлена ​​дополнительной информацией и примерами.

Вычислительная электромагнетизм: уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла связывают плотность электрического заряда \ rho; электрическое поле, \ mathbf {E}; электрическое поле смещения, \ mathbf {D}; и текущий, \ mathbf {J}; а также напряженность магнитного поля \ mathbf {H} и плотность магнитного потока \ mathbf {B}:

\ nabla \ cdot \ mathbf {D} = \ rho	\ набла \ cdot \ mathbf {B} = 0
\ nabla \ times \ mathbf {E} = — \ frac {\ partial} {\ partial t} \ mathbf {B}	\ nabla \ times \ mathbf {H} = \ mathbf {J} + \ frac {\ partial} {\ partial t} \ mathbf {D}

Для решения этих уравнений нам понадобится набор граничных условий, а также материальные определяющие отношения, которые связывают \ mathbf {E} с полем \ mathbf {D}, \ mathbf {J} с \ mathbf { E}, а поле \ mathbf {B} — в поле \ mathbf {H}.При различных предположениях эти уравнения решаются и связываются с другими физическими данными в различных модулях пакета продуктов COMSOL.

Примечание. Большинство представленных здесь уравнений показаны в сокращенной форме для передачи основных понятий. Чтобы увидеть полную форму всех определяющих уравнений и увидеть все различные определяющие отношения, пожалуйста, обратитесь к документации по продукту.

Давайте начнем с нескольких концепций …

Устойчивое состояние, время или частотная область?

Решая уравнения Максвелла, мы стараемся делать как можно больше допущений, насколько это разумно и правильно, с целью облегчить нашу вычислительную нагрузку.Хотя уравнения Максвелла могут быть решены для любых произвольных изменяющихся во времени входных данных, мы часто можем разумно предположить, что входные данные и вычисленные решения являются либо установившимися, либо изменяющимися во времени синусоидально. Первый также часто называют случаем постоянного тока (DC), а второй — случаем переменного (переменного тока) или частотной области.

Допущение об установившемся состоянии (DC) выполняется, если поля вообще не меняются во времени или изменяются настолько незначительно, что не имеют значения.То есть мы бы сказали, что члены, производные по времени в уравнениях Максвелла, равны нулю. Например, если ваше устройство подключено к аккумулятору (для его значительного разряда может потребоваться несколько часов или больше), это будет очень разумным предположением. Более формально мы бы сказали, что: \ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t} = \ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t} = 0, что сразу пропускает два члена из Уравнения Максвелла.

Допущение частотной области выполняется, если возбуждения в системе изменяются синусоидально и если отклик системы также изменяется синусоидально на той же частоте.{j \ omega t} \ mathbf {E_c (x)} \ right), где \ mathbf {E} (\ mathbf {x}, t) — поле, изменяющееся во времени и пространстве; \ mathbf {E_c (x)} — пространственно-переменное комплексное поле; а \ omega — угловая частота. Решение уравнений Максвелла на наборе дискретных частот очень эффективно с вычислительной точки зрения по сравнению с временной областью, хотя вычислительные требования растут пропорционально количеству различных частот, для которых решаются (с некоторыми оговорками, которые мы обсудим позже).

Решение во временной области необходимо, когда решение произвольно изменяется во времени или когда реакция системы нелинейна (хотя даже в этом случае есть исключения, которые мы обсудим).Моделирование во временной области является более сложным с вычислительной точки зрения, чем моделирование в установившемся режиме или в частотной области, потому что время их решения увеличивается пропорционально длительности интересующего временного интервала и рассматриваемых нелинейностей. При решении во временной области полезно думать о частотном составе вашего входного сигнала, особенно о самой высокой частоте, которая присутствует и важна.

Электрические поля, магнитные поля или и то, и другое?

Хотя мы можем решить уравнения Максвелла как для электрического, так и для магнитного полей, часто достаточно пренебречь тем или другим, особенно в случае постоянного тока.Например, если токи довольно малы по величине, магнитные поля будут небольшими. Даже в тех случаях, когда токи велики, мы можем не беспокоиться о результирующих магнитных полях. С другой стороны, иногда есть только магнитное поле, но не электрическое, как в случае устройства, состоящего только из магнитов и магнитных материалов.

Однако во временной и частотной областях мы должны быть немного осторожнее. Первое количество, которое мы захотим проверить здесь, — это глубины скин-слоя материалов в нашей модели.Глубина скин-слоя металлического материала обычно приблизительно равна \ delta = \ sqrt {2 / {\ omega \ mu \ sigma}}, где \ mu — проницаемость, а \ sigma — проводимость. Если глубина скин-слоя на больше, чем на характерный размер объекта, то разумно сказать, что скин-эффектом можно пренебречь, и можно решить только для электрических полей. Однако, если глубина скин-слоя равна размеру объекта или меньше, тогда важны индукционные эффекты, и нам необходимо учитывать как электрические, так и магнитные поля.Перед тем, как приступить к моделированию, хорошо бы быстро проверить глубину кожи.

По мере увеличения частоты возбуждения также важно знать первый резонанс устройства. На этой основной резонансной частоте энергия в электрических и магнитных полях точно сбалансирована, и мы бы сказали, что мы находимся в высокочастотном режиме . Хотя обычно трудно оценить резонансную частоту, хорошим практическим правилом является сравнение характерного размера объекта L_c с длиной волны \ lambda = c / f.Если размер объекта приближается к значительной части длины волны, L_c \ приблизительно \ lambda / 100, то мы приближаемся к высокочастотному режиму. В этом режиме мощность течет в основном через излучение через диэлектрические среды, а не через токи в проводящих материалах. Это приводит к несколько иной форме определяющих уравнений. Частоты, значительно меньшие, чем первый резонанс, часто называют низкочастотным режимом .

Давайте теперь посмотрим, как эти различные предположения применяются к уравнениям Максвелла, и дадим нам разные наборы уравнений для решения, а затем посмотрим, какие модули нам нужно будет использовать для каждого из них.

Моделирование стационарного электрического поля

В предположении стационарных условий мы можем далее предположить, что имеем дело исключительно с проводящими материалами или идеально изолирующими материалами. В первом случае мы можем предположить, что ток течет во всех областях, и уравнения Максвелла можно переписать как:

\ nabla \ cdot \ left (- \ sigma \ nabla V \ right) = 0

Это уравнение решает электрическое потенциальное поле V, которое дает нам электрическое поле \ mathbf {E} = — \ nabla V и ток \ mathbf {J} = \ sigma \ mathbf {E}.Это уравнение может быть решено с помощью основного пакета COMSOL Multiphysics и решено во вводном примере к программе. Модуль AC / DC и модуль MEMS расширяют возможности основного пакета, например, предлагая терминальные условия, которые упрощают настройку модели и граничные условия для моделирования относительно тонких проводящих и изолирующих областей, а также отдельные физические интерфейсы для моделирования ток протекает исключительно через геометрически тонкие, возможно, многослойные структуры.

С другой стороны, в предположении, что нас интересуют электрические поля в идеально изолирующей среде с диэлектрической проницаемостью материала \ epsilon, мы можем решить уравнение:

\ nabla \ cdot \ left (- \ epsilon \ nabla V \ right) = 0

Это вычисляет напряженность электрического поля в диэлектрических областях между объектами с разными электрическими потенциалами. Это уравнение также можно решить с помощью основного пакета COMSOL Multiphysics, и, опять же, модули AC / DC и MEMS расширяют возможности, например, с помощью конечных условий, граничных условий для моделирования тонких диэлектрических областей и тонких зазоров в диэлектрических материалах.Кроме того, эти два продукта дополнительно предлагают формулировку граничного элемента, которая решает одно и то же основное уравнение, но имеет некоторые преимущества для моделей, состоящих только из проводов и поверхностей, как обсуждалось в этом предыдущем сообщении блога.

Моделирование электрического поля во временной и частотной областях

Как только вы захотите смоделировать изменяющиеся во времени электрические поля, будут присутствовать как токи проводимости, так и токи смещения, и вы захотите использовать либо модуль AC / DC, либо модуль MEMS. Уравнения здесь лишь немного отличаются от первого уравнения, приведенного выше, и в случае временной области записываются как:

\ nabla \ cdot \ left (\ mathbf {J_c + J_d} \ right) = 0

Это переходное уравнение решает как токи проводимости, \ mathbf {J} _c = \ sigma \ mathbf {E}, так и токи смещения, \ mathbf {J} _d = \ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t}.Это подходит для использования, когда исходные сигналы негармонические, и вы хотите отслеживать реакцию системы с течением времени. Вы можете увидеть пример этого в переходном моделировании конденсатора в модели цепи.

В частотной области мы можем вместо этого решить стационарное уравнение:

\ nabla \ cdot \ left (- \ left (\ sigma + j \ omega \ epsilon \ right) \ nabla V \ right) = 0

Токи смещения в этом случае равны \ mathbf {J} _d = j \ omega \ epsilon \ mathbf {E}. Примером использования этого уравнения является моделирование модели конденсатора в частотной области.

Имейте в виду, что при моделировании только электрических полей индуктивные эффекты, такие как вихревые токи, не учитываются. Чтобы учесть эти эффекты, мы также должны найти переменное во времени магнитное поле.

Моделирование магнитного поля с помощью модуля переменного / постоянного тока

Моделирование магнитных полей в установившемся режиме, во временной области или в низкочастотном режиме рассматривается в модуле AC / DC.

Для моделей, в которых нигде не течет ток, например моделей магнитов и магнитных материалов, можно упростить уравнения Максвелла и решить для V_m, магнитного скалярного потенциала:

\ nabla \ cdot \ left (- \ mu \ nabla V_m \ right) = 0

Это уравнение может быть решено либо методом конечных элементов, либо методом граничных элементов.{-1} \ nabla \ times \ mathbf {A} \ right) = \ mathbf {J}

Этот магнитный векторный потенциал используется для вычисления \ mathbf {B} = \ nabla \ times \ mathbf {A}, а ток, \ mathbf {J}, может быть либо наложен, либо одновременно вычислен путем увеличения с предыдущим уравнением для электрический скалярный потенциал и ток. {-1} \ nabla \ times \ mathbf {A} \ right) = — \ sigma \ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}

, где \ mathbf {E} = — \ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}.

Это уравнение учитывает только токи проводимости и индуцированные токи, но не токи смещения. Это разумно, если передача энергии происходит в основном за счет проводимости, а не излучения. Одним из сильных мотивов решения этого уравнения является наличие нелинейностей материала, таких как нелинейный материал B-H, как в этом примере трансформатора с E-сердечником. Тем не менее, следует отметить, что существуют альтернативные способы решения нелинейных материалов B-H с помощью подхода с использованием эффективных кривых H-B.2 \ epsilon \ mathbf {A}, и начинает выглядеть очень похожим на волновое уравнение. Фактически, это уравнение может быть решено до и вокруг резонанса конструкции в предположении, что существует незначительное излучение, как показано в этом примере: Моделирование трехмерного индуктора.

Для более полного ознакомления с использованием приведенных выше наборов уравнений для моделирования магнитного поля см. Также нашу серию лекций по моделированию электромагнитной катушки.

Также можно смешивать уравнения магнитного скалярного потенциала и векторного потенциала, и это имеет приложения для моделирования двигателей и генераторов.

В дополнение к приведенным выше уравнениям статики, переходного процесса и частотной области в терминах магнитного векторного потенциала и скалярного потенциала, также существует отдельная формулировка в терминах магнитного поля, которая подходит для моделирования сверхпроводящих материалов, как в это пример сверхпроводящего провода.

Моделирование волновых уравнений в частотной и временной областях с помощью модулей РЧ или волновой оптики

Когда мы переходим в высокочастотный режим, электромагнитные поля приобретают волнообразный характер, как при моделировании антенн, микроволновых цепей, оптических волноводов, микроволнового нагрева и рассеяния в свободном пространстве, а также рассеяния от объекта. 2 \ epsilon_0 \ mu_0 \ left (\ epsilon_r — j \ sigma / \ omega \ epsilon_0 \ right) \ mathbf {E} = 0

Это уравнение записано в терминах электрического поля, \ mathbf {E}, а магнитное поле вычисляется по формуле j \ omega \ mathbf {B} = \ nabla \ times \ mathbf {E}.Ее можно решить либо на заданном наборе частот, либо как задачу на собственные частоты, которая решает непосредственно для резонансной частоты устройства. Примеры анализа собственных частот включают несколько тестов замкнутых полостей, катушек и полостей Фабри – Перо, и такие модели вычисляют как резонансные частоты, так и добротность.

При решении для отклика системы в диапазоне заданных частот можно непосредственно решить в наборе дискретных частот, и в этом случае вычислительные затраты линейно масштабируются с количеством заданных частот.Вместо этого можно использовать аппаратный параллелизм как на отдельных компьютерах, так и на кластерах для распараллеливания и ускорения решений. Существуют также решатели частотной модальной и адаптивной частотной развертки (также называемые оценкой асимптотической формы волны), которые ускоряют решения некоторых типов проблем, как это в общем смысле представлено в этом сообщении в блоге и продемонстрировано в этом примере волноводного фильтра диафрагмы. {-1} \ nabla \ times \ mathbf {A} \ right) + \ mu_0 \ sigma \ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t} + \ mu_0 \ frac {\ partial} {\ partial t} \ left (\ epsilon_0 \ epsilon_r \ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t} \ right) = 0

Это уравнение снова решает вектор магнитного потенциала, но включает в себя как первую, так и вторую производные по времени, таким образом учитывая токи проводимости и смещения.Он может применяться при моделировании оптических нелинейностей, дисперсионных материалов и распространения сигналов. Результаты во временной области также можно преобразовать в частотную с помощью решающей программы быстрого преобразования Фурье, как показано в этом примере.

Вычислительные требования для этих уравнений с точки зрения памяти также вызывают озабоченность. Интересующее устройство и пространство вокруг него дискретизируются через сетку конечных элементов, и эта сетка должна быть достаточно мелкой, чтобы разрешить волну. То есть как минимум должен выполняться критерий Найквиста.На практике это означает, что размер домена примерно 10 x 10 x 10 длин волн (независимо от рабочей частоты) представляет собой верхний предел того, что адресуется на настольном компьютере с 64 ГБ ОЗУ. По мере увеличения размера домена (или увеличения частоты) требования к памяти будут расти пропорционально количеству решаемых кубических длин волн. Это означает, что приведенное выше уравнение хорошо подходит для структур, характерный размер которых примерно не превышает 10-кратную длину волны на самой высокой рабочей частоте, представляющей интерес.Однако есть два способа обойти это ограничение.

Одним из подходов к решению волновых полей вокруг объекта, который намного меньше длины волны, является формулировка Time Explicit. Это решает другую форму зависимых от времени уравнений Максвелла, которые могут быть решены с использованием гораздо меньшего объема памяти. Он в первую очередь предназначен для линейного моделирования материалов и может быть привлекательным в некоторых случаях, например, для расчета широкополосного рассеяния от объекта в фоновом поле.

Другая альтернатива существует для определенных типов оптических волноводных структур, решаемых в частотной области, где известно, что электрическое поле довольно медленно изменяется в направлении распространения.2 \ epsilon_0 \ mu_0 \ left (\ epsilon_r — j \ sigma / \ omega \ epsilon_0 \ right) \ mathbf {E_e} = 0

Где электрическое поле равно \ mathbf {E} = \ mathbf {E_e} \ exp \ left (-i \ phi \ right), а \ mathbf {E_e} — это огибающая электрического поля.

Дополнительное поле \ phi — это так называемая фазовая функция, которая должна быть известна, по крайней мере приблизительно, и указана в качестве входных данных. К счастью, для многих задач оптического волновода это действительно так. Одновременно возможно решение для одного или двух таких полей огибающей луча.Преимущество этого подхода, когда его можно использовать, состоит в том, что требования к памяти намного ниже, чем для двухполупериодного уравнения, представленного в начале этого раздела. Другие примеры его использования включают модели направленного ответвителя, а также моделирование самофокусировки в оптическом стекле.

Выбор между модулем переменного / постоянного тока, радиочастотным модулем и модулем волновой оптики

Разделительная линия между модулем переменного / постоянного тока и радиочастотным модулем представляет собой нечто вроде нечеткой линии. Полезно задать себе несколько вопросов:

1. Излучают ли устройства, с которыми я работаю, значительное количество энергии? Интересуюсь вычислением резонансов? Если да, то RF-модуль более подходит.
2. Являются ли устройства намного меньше длины волны на самой высокой рабочей длине волны? Меня в первую очередь интересуют магнитные поля? Если да, то модуль AC / DC более подходит.

Если вы находитесь прямо на границе между ними, то может быть даже разумным включить оба продукта в ваш набор модулей.

Выбор между модулем RF и модулем волновой оптики включает в себя вопрос о ваших приложениях. Хотя есть много общего в функциональности с точки зрения полноволновой формы уравнений Максвелла во временной и частотной областях, есть некоторые небольшие различия в граничных условиях.Существуют так называемые граничные условия с сосредоточенным портом и сосредоточенным элементом, применимые для моделирования микроволновых устройств, которые являются исключительно частью радиочастотного модуля. Также имейте в виду, что только модуль волновой оптики содержит формулировку огибающих луча.

Что касается свойств материалов, два продукта поставляются с разными библиотеками материалов: RF-модуль предлагает набор общих диэлектрических подложек, а модуль волновой оптики включает показатели преломления более тысячи различных материалов в оптическом и инфракрасном диапазонах.Дополнительные сведения об этом и других доступных библиотеках материалов см. В этом сообщении в блоге. Конечно, если у вас есть конкретные вопросы о потребностях в моделировании вашего устройства, свяжитесь с нами.

Примерные разделительные линии между этими модулями приведены на рисунке ниже.

Трассировка лучей с помощью модуля Ray Optics

Если вы моделируете устройства, размер которых во много тысяч раз превышает длину волны, тогда невозможно определить длину волны с помощью сетки конечных элементов.В таких случаях мы также предлагаем подход геометрической оптики в модуле Ray Optics Module. Этот подход не решает напрямую уравнения Максвелла, а вместо этого отслеживает лучи в пространстве моделирования. Этот подход требует, чтобы были объединены только отражающие поверхности и диэлектрические домены, но не однородное свободное пространство. Он применим для моделирования линз, телескопов, больших лазерных резонаторов, а также для анализа структурно-термооптических характеристик (STOP). Его можно даже комбинировать с результатами полноволнового анализа, как показано в этой учебной модели.

Мультифизическое моделирование

Помимо решения уравнений Максвелла самостоятельно, одной из основных сильных сторон COMSOL Multiphysics является решение задач, в которых существует взаимосвязь между несколькими физиками. Одним из наиболее распространенных является связь между уравнениями Максвелла и температурой, при которой повышение температуры влияет на электрические (а также тепловые) свойства. Обзор способов решения подобных электротермических проблем см. В этом сообщении в блоге.

Также принято связывать структурные деформации с электрическими и магнитными полями. Иногда это просто деформация, но иногда это также связано с пьезоэлектрическим, пьезорезистивным или магнитострикционным откликом материала или даже с оптическим откликом на напряжение. Модуль MEMS имеет специальный пользовательский интерфейс для электростатически активируемых резонаторов, в которых приложенное электрическое поле смещает устройство. Структурный контакт и протекание тока между контактирующими частями также можно рассматривать в контексте моделирования электрических токов.

Однако помимо температуры и деформации, вы также можете связать уравнения Максвелла для электрического тока с химическими процессами, как это предусмотрено модулями «Электрохимия», «Конструирование батарей», «Электроосаждение» и «Коррозия». В модуле Plasma вы даже можете подключиться к химии плазмы, а с модулем отслеживания частиц вы можете отслеживать заряженные частицы через электрические и магнитные поля. Наконец (пока!) Наш полупроводниковый модуль решает проблему переноса заряда с использованием уравнений дрейфа-диффузии.Каждый из этих модулей является отдельной темой, поэтому мы не будем пытаться рассматривать их все прямо здесь.

Конечно, если вы хотите более подробно обсудить какой-либо из этих модулей и узнать, как он применим к вашему интересующему устройству, не стесняйтесь обращаться к нам с помощью кнопки ниже.

Математический модуль Python

..........................

Метод	Описание
math.acos ()	Возвращает арккосинус числа
математ.acosh ()	Возвращает обратный гиперболический косинус числа
math.asin ()	Возвращает арксинус числа
math.asinh ()	Возвращает обратный гиперболический синус числа
math.atan ()	Возвращает арктангенс числа в радианах.
math.atan2 ()	Возвращает арктангенс y / x в радианах.
математ.Атан ()	Возвращает обратный гиперболический тангенс числа
math.ceil ()	Округляет число до ближайшего целого
math.comb ()	Возвращает количество способов выбрать k элементов из n элементов без повторения и порядка
math.copysign ()	Возвращает число с плавающей запятой, состоящее из значения первого параметра и знака второго параметра.
математ.cos ()	Возвращает косинус числа
math.cosh ()	Возвращает гиперболический косинус числа
математ. Град. ()	Преобразует угол из радианов в градусы
math.dist ()	Возвращает евклидово расстояние между двумя точками (p и q), где p и q — координаты этой точки
math.erf ()	Возвращает функцию ошибки числа
математ.erfc ()	Возвращает дополнительную функцию ошибки числа
math.exp ()	Возвращает E в степени x
math.expm1 ()	Возврат E x — 1
math.fabs ()	Возвращает абсолютное значение числа
математический фактор ()	Возвращает факториал числа
math.floor ()	Округляет число до ближайшего целого
математ.fmod ()	Возвращает остаток от x / y
math.frexp ()	Возвращает мантиссу и показатель степени указанного числа
math.fsum ()	Возвращает сумму всех элементов в любой итерации (кортежи, массивы, списки и т. Д.).
math.gamma ()	Возвращает гамма-функцию в x
math.gcd ()	Возвращает наибольший общий делитель двух целых чисел
математ.гипотеза ()	Возвращает евклидову норму
math.isclose ()	Проверяет, близки ли два значения друг к другу или нет
математ. Конечн. ()	Проверяет, является ли число конечным или нет
math.isinf ()	Проверяет, является ли число бесконечным
math.isnan ()	Проверяет, является ли значение NaN (не числом) или нет.
математ.isqrt ()	Округляет квадратный корень в меньшую сторону до ближайшего целого числа
math.ldexp ()	Возвращает значение, обратное math.frexp (). что является x * (2 ** i) заданных чисел x и i
math.lgamma ()	Возвращает логарифмическое значение гаммы x
math.log ()	Возвращает натуральный логарифм числа или логарифм числа по основанию
math.log10 ()	Возвращает десятичный логарифм числа
математ.log1p ()	Возвращает натуральный логарифм 1 + x
math.log2 ()	Возвращает логарифм по основанию 2 x
математическое задание ()	Возвращает количество способов выбрать k элементов из n элементов с порядком и без повторения
math.pow ()	Возвращает значение x в степени y
math.prod ()	Возвращает произведение всех элементов в итерации
математ.радианы ()	Преобразует значение градуса в радианы
математ. Остаток ()	Возвращает ближайшее значение, при котором числитель полностью делится на знаменатель.
math.sin ()	Возвращает синус числа
math.sinh ()	Возвращает гиперболический синус числа
math.sqrt ()	Возвращает квадратный корень из числа
математ.загар ()	Возвращает тангенс числа
math.tanh ()	Возвращает гиперболический тангенс числа
math.trunc ()	Возвращает усеченные целые части числа

Математический модуль Python

Некоторые из самых популярных математических функций определены в математическом модуле. К ним относятся тригонометрические функции, функции представления, логарифмические функции, функции преобразования углов и т. Д.Кроме того, в этом модуле определены две математические константы.

Пи — хорошо известная математическая константа, которая определяется как отношение длины окружности к диаметру круга, и ее значение составляет 3,141592653589793.

  >>> импорт математики
>>> math.pi
3,141592653589793
  

Другая известная математическая константа, определенная в математическом модуле, — это e .Оно называется числом Эйлера и является основанием натурального логарифма. Его значение составляет 2,718281828459045.

  >>> импорт математики
>>> math.e
2,718281828459045
  

Математический модуль содержит функции для вычисления различных тригонометрических соотношений для заданного угла. Для функций (sin, cos, tan и т. Д.) В качестве аргумента требуется угол в радианах.Мы же, с другой стороны, привыкли выражать угол в градусах. Математический модуль представляет две функции преобразования углов: градусов () и радиан () , для преобразования угла из градусов в радианы и наоборот. Например, следующие инструкции преобразуют угол 30 градусов в радианы и обратно (Примечание: π радиан эквивалентно 180 градусам).

  >>> импорт математики
>>> математика.радианы (30)
0,5235987755982988
>>> math.degrees (math.pi / 6)
29.999999999999996
  

Следующие утверждения показывают отношения sin, cos и tan для угла 30 градусов (0,5235987755982988 радиан):

  >>> импорт математики
>>> math.sin (0.5235987755982988)
0,49999999999999994
>>> math.cos (0.5235987755982988)
0.8660254037844387
>>> math.tan (0,5235987755982988)
0,57735026257
  

Вы можете вспомнить, что sin (30) = 0,5 , cos (30) = 32 (что составляет 0,8660254037844387 ) и tan (30) = 13 (что составляет 0, 57735026257 ).

math.log ()

Метод math.log () возвращает натуральный логарифм заданного числа.Натуральный логарифм вычисляется по основанию e .

  >>> импорт математики
>>> math.log (10)
2,302585092994046
  

math.log10 ()

Метод math.log10 () возвращает десятичный логарифм заданного числа. Это называется стандартным логарифмом.

  >>> импорт математики
>>> математика.log10 (10)
1.0
  

math.exp ()

Метод math.exp () возвращает число с плавающей запятой после возведения e в степень данного числа. Другими словами, exp (x) дает e ** x .

  >>> импорт математики
>>> math.exp (10)
22026.465794806718
  

Это можно проверить с помощью оператора экспоненты.

  >>> импорт математики
>>> math.e ** 10
22026.465794806703
  

math.pow ()

Метод math.pow () получает два аргумента с плавающей запятой, повышает значение первого до второго и возвращает результат. Другими словами, pow (4,4) эквивалентно 4 ** 4.

  >>> импорт математики
>>> математика.пау (2,4)
16.0
>>> 2 ** 4
16
  

math.sqrt ()

Метод math.sqrt () возвращает квадратный корень из заданного числа.

  >>> импорт математики
>>> math.sqrt (100)
10.0
>>> math.sqrt (3)
1.7320508075688772
  

Следующие две функции называются функциями представления.Функция ceil () приближает заданное число к наименьшему целому числу, которое больше или равно заданному числу с плавающей запятой. Функция floor () возвращает наибольшее целое число, меньшее или равное заданному числу.