Как решать линейные уравнения — формулы и примеры решения простейших уравнений
Понятие уравнения
Понятие уравнения обычно проходят в самом начале школьного курса алгебры. Его определяют, как равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.
В школьной программе за 7 класс впервые появляется понятие переменных. Их принято обозначать латинскими буквами, которые принимают разные значения. Исходя из этого можно дать более полное определение уравнению.
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. |
Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.
Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.
Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.
Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.
Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.
Какие бывают виды уравнений
Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.
Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.
| Линейное уравнение выглядит так | ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Что поможет в решении:
|
|---|---|
| Квадратное уравнение выглядит так: | ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0. |
Система уравнений — это несколько уравнений, для которых нужно найти значения неизвестных. Она имеет вид ax + by + c = 0 и называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.
Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому выражению и является верным числовым равенством.
Числовой коэффициент
Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:
- кубические
- уравнение четвёртой степени
- иррациональные и рациональные
- системы линейных алгебраических уравнений
Как решать простые уравнения
Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.
1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.
Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5
Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.
Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.
Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.
Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.
Как решаем:
- Перенесем 6x из левой части в правую. Знак меняем на противоположный, то есть минус. 6x −5x = 10
- Приведем подобные и завершим решение.
x = 10
Ответ: x = 10.
2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.
Применим правило при решении примера: 4x=8.
При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4.
Их объединяет действие — умножение.
Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.
Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:
Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:
Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12
Как решаем:
- Сократим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.
−4x = 12 | :(−4)
x = −3
Ответ: x = −3.
Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.
Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.
Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.
| Алгоритм решения простого линейного уравнения |
|---|
|
Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте схему-подсказку — храните ее в телефоне, учебники или на рабочем столе.
А вот и видео «Простейшие линейные уравнения» для тех, кто учиться в 5, 6 и 7 классе.
Примеры линейных уравнений
Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных.
Давайте решать вместе!
Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.
Решаем так:
- Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.
- Выполнить вычитание.
6х = 18
- Разделить обе части на общий множитель, то есть 6.
х = 2
Ответ: х = 2.
Пример 2. Как решить уравнение: 5(х — 3) + 2 = 3 (х — 4) + 2х — 1.
Решаем так:
- Раскрыть скобки
5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1
- Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены.
5х — 3х — 2х = — 12 — 1 + 15 — 2
- Приведем подобные члены.
0х = 0
Ответ: х — любое число.
Пример 3. Решить: 4х = 1/8.
Решаем так:
- Найти неизвестную переменную.
х = 1/8 : 4
х = 1/12
Ответ: 1/12 или 0,83. О десятичных дробях можно почитать здесь.
Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 — 7х.
Решаем так:
- 4х + 8 = 6 — 7х
- 4х + 7х = 6 — 8
- 11х = −2
- х = −2 : 11
- х = — 0, 18
Ответ: — 0,18.
Пример 5. Решить:
Решаем так:
- 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
- 9х — 12 = 28х + 24
- 9х — 28х = 24 + 12
- -19х = 36
- х = 36 : (-19)
- х = — 36/19
Ответ: 1 17/19.
Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.
Решаем так:
- Раскрыть скобки
5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1
- Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:
х — х = 4 — 7
- Приведем подобные члены.
0 * х = — 3
Ответ: нет решений.
Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 — 7х..
Решаем так:
- 2х + 6 = 5 — 7х
- 2х + 6х = 5 — 7
- 8х = −2
- х = −2 : 8
- х = — 0,25
Ответ: — 0,25.
Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в современную онлайн-школу Skysmart. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.
Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем. А еще развивающие игры, квесты и головоломки на любой возраст и уровень.
Как научиться решать простые и сложные уравнения
Как научиться решать простые и сложные уравнения
Уважаемые родители!
Без базовой математической подготовки невозможна постановка образования современного человека.
В школе математика служит опорным предметом для многих смежных дисциплин. В послешкольной жизни реальной необходимостью становится непрерывное образование, что требует базовой общешкольной подготовки, в том числе и математической.
В начальной школе закладываются не только знания по основным темам, но и развивается логическое мышление, воображение и пространственные представления, а также формируется интерес к данному предмету.
Соблюдая принцип преемственности, мы сделаем упор на важнейшую тему, а именно «Взаимосвязь компонентов действий при решении составных уравнений».
С помощью данного урока можно без труда научиться решать усложненные уравнения. На уроке вы подробно познакомитесь с пошаговой инструкцией решения усложненных уравнений.
Многих, родителей ставит в тупик вопрос – как же заставить детей научиться решать простые и сложные уравнения. Если уравнения простые — это еще пол беды, но ведь бывают и сложные – например интегральные.
Кстати, для сведения, есть и такие уравнения, над решением которых бьются лучшие умы нашей планеты и за решение которых выдаются очень весомые денежные премии. Например, если вспомнить Перельмана и невостребованную им денежную премию в размере нескольких миллионов.
Однако вернемся для начала к простым математическим уравнениям и повторим виды уравнений и названия компонентов. Небольшая разминка:
_________________________________________________________________________
РАЗМИНКА
Найди лишнее число в каждом столбике:
2) Какого слова не хватает в каждом столбике?
3) Соедините слова из первого столбика со словами из 2 столбика.
«Уравнение» «Равенство»
4) Как вы объясните, что такое «равенство»?
5) А «уравнение»? Это равенство? Что в нем особенного?
слагаемое сумма
уменьшаемое разность
вычитаемое произведение
множитель равенство
делимое
уравнение
Вывод: Уравнение – это равенство с переменной, значение которой надо найти.
_______________________________________________________________________
Предлагаю каждой группе написать на листке фломастером уравнения: (на доску)
1 группе — с неизвестным слагаемым; 2 группе — с неизвестным уменьшаемым; 3 группе – с неизвестным вычитаемым; 4 группе – с неизвестным делителем; 5 группе – с неизвестным делимым; 6 группе – с неизвестным множителем. | 1 группа х + 8 = 15 2 группа х – 8 = 7 3 группа 48 – х = 36 4 группа 540 : х = 9 5 группа х : 15 = 9 6 группа х * 10 = 360 |
Один из группы должен на математическом языке прочитать свое уравнение и прокомментировать их решение, т.
е. проговорить выполняемую операцию с известными компонентами действий (алгоритм).
Вывод: Умеем решать простые уравнения всех видов по алгоритму, читать и записывать буквенные выражения.
_____________________________________________________________________________
Предлагаю решить задачу, в которой появляется новый тип уравнений.
Х + 2кг 5кг и 3 кг | С какой величиной связан рисунок? Составьте и запишите по этому рисунку уравнение: Подберите для полученного уравнения подходящее уравнение: х + а = в а : х = в х : а = в х * а = в х – а = в а – х = в |
Вывод: Познакомились с решением уравнений, в одной из частей которых содержится числовое выражение, значение которого надо найти и получить простое уравнение.
________________________________________________________________________
Рассмотрим еще один вариант уравнения, решение которого сводится к решению цепочки простых уравнений. Вот один из введения составных уравнений.
а + в * с (х – у) : 3 2 * d + (m – n) Являются ли уравнениями записи? Почему? Как называют такие действия? Прочитайте их, называя последнее действие: | Нет. Это не уравнения, т. к. в уравнении должен быть знак «=». Выражения а + в * с — сумма числа а и произведения чисел в и с; (х – у) : 3 — частное разности чисел х и у; 2 * d + (m – n) — сумма удвоенного числа d и разности чисел m и n. |
Предлагаю каждому записать на математическом языке предложение:
Произведение разности чисел х и 4 и числа 3 равно 15.
Запишите на математическом языке предложение: произведение разности чисел х и 4 и числа 3 равно 15 | (х – 4) * 3 = 15 |
ВЫВОД: Возникшая проблемная ситуация мотивирует постановку цели урока: научиться решать уравнения в которых неизвестный компонент является выражением. Такие уравнения являются составными уравнениями.
__________________________________________________________________________
А может нам помогут уже изученные виды уравнений? (алгоритмы)
На какое из известных уравнений похоже наше уравнение? Х * а = в
ОЧЕНЬ ВАЖНЫЙ ВОПРОС: Чем является выражение в левой части – суммой, разностью, произведением или частным?
(х – 4) * 3 = 15 (Произведением)
Почему? (т.к. последнее действие – умножение)
Вывод: Такие уравнения еще не рассматривались. Но можно решить, если на выражение х – 4 наложить карточку (у — игрек), и получится уравнение, которое легко можно решить, используя простой алгоритм нахождения неизвестного компонента.
При решении составных уравнений необходимо на каждом шаге осуществлять выбор действия на автоматизированном уровне, комментируя, называя компоненты действия.
↓
↓
↓
↓
| (у – 5) * 4 = 28 |
Вывод: В классах с разной подготовкой эта работа может быть организована по-разному.
В более подготовленных классах даже для первичного закрепления могут быть использованы выражения, в которых не два, а три и более действий, но их решение требует большего числа шагов с каждым шагом упрощая уравнение, до тех пор пока не получится простое уравнение. И каждый раз можно наблюдать, как меняется неизвестный компонент действий.
_____________________________________________________________________________
ЗАКЛЮЧЕНИЕ:
Когда речь идёт о чём-нибудь очень простом, понятном, мы часто говорим: «Дело ясно, как дважды два — четыре!».
А ведь прежде чем додуматься до того, что дважды два — четыре, людям пришлось учиться много, много тысяч лет.
Многие правила из школьных учебников арифметики и геометрии были известны древним грекам две с лишним тысячи лет назад.
Всюду, где надо что-то считать, измерять, сравнивать, без математики не обойтись.
А чем дальше, тем больше и точнее нужно было считать.
С каждым десятилетием математика становилась всё нужнее людям.
Трудно представить, как жили бы люди, если бы не умели считать, измерять, сравнивать. Этому учит математика.
Сегодня Вы окунулись в школьную жизнь, побывали в роли учеников и я предлагаю Вам, уважаемые родители, оценить свои умения по шкале.
Мои умения | Дата и оценка |
Компоненты действий. | |
Составление уравнения с неизвестным компонентом. | |
Чтение и запись выражений. | |
Находить корень уравнения в простом уравнении. | |
Находить корень уравнения, в одной из частей которых содержится числовое выражение. | |
Находить корень уравнения, в которых неизвестный компонент действия является выражением. |
Уравнения 5 класса | Математика
Сегодня мы рассмотрим более сложные уравнения 5 класса, содержащие несколько действий. Чтобы найти неизвестную переменную, в таких уравнениях надо применить не одно, а два правила.
1) x:7+11=21
Выражение, стоящее в левой части — сумма двух слагаемых
| x:7 | + | 11 | = | 21 |
1сл. | 2сл. | сум. |
Таким образом, переменная x является частью первого слагаемого. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое:
x:7=21-11
x:7=10
Получили простое уравнение 5 класса, из которого надо найти неизвестное делимое. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель:
x=10∙7
x=70
Ответ: 70.
2) 65-5z=30
Правая часть уравнения представляет собой разность:
| 65 | — | 5z | = | 30 |
| ум. | в. | р. |
Переменная z является частью неизвестного вычитаемого.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность:
5z=65-30
5z=35
Получили простое уравнение, в котором z — неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель:
z=35:5
z=7
Ответ: 7.
3) 120:y-23=17
В правой части уравнения — разность. Переменная y является частью неизвестного уменьшаемого.
| 120:y | — | 23 | = | 17 |
| ум. | в. | р. |
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое:
120:y=17+23
120:y=40
Здесь y — неизвестный делитель. Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное:
y=120:40
y=3
Ответ: 3.
4) (48+k)∙8=400
Левая часть уравнения представляет собой произведение. Переменная k — часть первого множителя:
| (48+k) | · | 8 | = | 400 |
| 1мн | 2мн | пр |
Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель:
48+k=400:8
48+k=50
В новом уравнении k — неизвестное слагаемое:
k=50-48
k=2
Ответ: 2.
Здесь мы решали уравнения 5 класса без использования свойств сложения и вычитания. В 6 классе правила раскрытия скобок упрощаются, и решать такие уравнения становится проще.
Как научить ребенка решать уравнения
Одна и самых сложных тем в начальной школе — решение уравнений.
Усложняется она двумя фактами:
Во-первых, дети не понимают смысл уравнения. Зачем цифру заменили буквой и что это вообще такое?
Во-вторых, объяснение, которое предлагается детям в школьной программе, непонятно в большинстве случаев даже взрослому:
Для того чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
Для того чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
Для того чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к вычитаемому прибавить разность.
И вот, придя домой ребенок чуть ли не плачет.
На помощь приходят родители. И посмотрев в учебник, решают научить ребенка решать «проще».
Нужно же всего лишь перекинуть на одну сторону цифры, поменяв знак на противоположный, понимаешь?
Смотри, х-3=7
Минус три переносим с плюсом к семерке, считаем и получается х=10
В этом месте у детей обычно происходит сбой программы.
Знак? Поменять? Перенести? Что?
— Мама, папа! Вы ничего не понимате! Нам в школе по-другому объясняли!!!
— Тогда и решай как объясняли!
А в школе, тем временем, продолжается тренировка темы.
1. Вначале нужно определить какой компонент действия нужно найти
5+х=17 — нужно найти неизвестное слагаемое.
х-3=7 — нужно найти неизвестное уменьшаемое.
10-х=4 — нужно найти неизвестное вычитаемое.
2. Теперь нужно вспомнить правило, упомянутое выше
Для того чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно…
Как Вы думаете, трудно ли маленькому ученику все это запомнить?
А еще нужно добавить сюда тот факт, что с каждым классом уравнения становятся все сложнее и больше.
В итоге и получается что уравнения для детей одна из самых сложных тем математики в начальной школе.
И даже если ребенок уже в четвертом классе, но у него трудности с решением уравнениями, скорее всего у него проблема с пониманием сути уравнения.
И надо просто вернуться назад, к основам.
Сделать это можно за 2 простых шага:
Шаг первый — Надо научить детей понимать уравнения.
Нам потребуется простая кружка.
Напишите пример 3 + 5 = 8
А на дне кружки «х». И, перевернув кружку, закройте цифру «5»
Что под кружкой?
Уверены, ребенок сразу угадает!
Теперь закройте цифру «5». Что под кружкой?
Так можно писать примеры на разные действия и играть. У ребенка происходи понимание, что х = это не просто непонятный знак, а «спрятанная цифра»
Подробнее о технике — в видео
Шаг второй — Научите определять, х в уравнении является целым или частью? Самым большим или «маленьким»?
Для этого нам подойдет техника «Яблоко»
Задайте ребенку вопрос, где в данном уравнении самое большое?
5+х=17
Ребенок ответит «17».
Отлично! Это будет наше яблоко!
Самое большое число — это всегда целое яблоко. Обведем в кружок.
А целое всегда состоит из частей. Давай подчеркнем части.
5 и х — части яблока.
А раз х — это часть. Она больше или меньше? х большое — или маленькое? Как его найти?
Важно отметить, что в таком случае ребенок думает, и понимает, почему, чтобы найти х в данном примере, нужно из 17 вычесть 5.
Умничка!
После того, как ребенок поймет, что ключем к правильному решению уравнений является определить, х — целое или часть, он легко будет решать уравнения.
Потому что запомнить правило, когда понимаешь его гораздо проще, чем наоборот: вызубрить и учиться применять.
Данные техники «Кружка» и «Яблоко» позволяют научить ребенка понимать, что он делает и зачем.
Когда ребенок понимает предмет, он у него начинает получаться.
Когда у ребенка получается, ему это нравится.
Когда нравится, появляется интерес, желание и мотивация.
Когда появляется мотивация — ребенок учится сам.
Учите ребенка понимать программу и тогда процесс учебы станет отнимать у Вас значительно меньше времени и сил.
Вам понравилось объяснение данной темы?
Именно так, просто и легко, мы учим родителей объяснять школьную программу в «Школе умных детей».
Хотите научиться объяснять материалы ребенку также доступно и легко, как в этой статье?
Тогда регистрируйтесь бесплатно на 40 уроков школы умных детей прямо сейчас по кнопке ниже.
Получить 40 уроков Школы умных детей бесплатно>>
Вам понравилась статья? Сохраните себе на стену, чтобы не потерять
ПохожееРешение уравнений, неравенств, систем с помощью графиков функций (ЕГЭ — 2021)
Итак, теперь приступим к решению квадратного уравнения. Допустим, тебе нужно найти корни у этого уравнения:
\( \displaystyle {{x}^{2}}+2{x} -8=0\)
Конечно, ты можешь сейчас начать считать через дискриминант, либо по теореме Виета, но многие на нервах ошибаются при умножении или возведении в квадрат, особенно, если пример с большими числами, а калькулятора, как ты знаешь, у тебя на экзамене не будет…
Поэтому давай попробуем немного расслабиться и порисовать, решая данное уравнение.
{2}}-4\cdot \left( -8 \right)}{4}=-\frac{4+32}{4}=-9\)
Точно такой же ответ? Молодец!
И вот мы знаем уже координаты вершины, а для построения параболы нам нужно еще … точек. Как ты думаешь, сколько минимум точек нам необходимо? Правильно, \( \displaystyle 3\).
Ты знаешь, что парабола симметрична относительно своей вершины, например:
Совет №16: как решить уравнение с помощью OneNote – Новости и истории Microsoft
Нужно срочно решить математическое уравнение, а голова не хочет включаться после зимних каникул? Помочь ребенку подготовиться к школе и объяснить базовые алгебраические принципы? OneNote на Windows 10 — цифровой помощник, который даст пошаговые инструкции по решению математических задач.
Как это работает?
Шаг 1.
- Напишите пером или наберите на клавиатуре уравнение, которое нужно решить.
Примечание: OneNote настроен так, что способен распознавать рукописный текст, который вы напишете с помощью стилуса или пальцем на планшете.
- Кликните на вкладку Рисование и выберите пишущий инструмент, который хотите использовать.
- С помощью маленькой стрелки выберите цвет чернил и ширину обводки пера.
- Затем напишите уравнение.
Примечание: если вы используете ПК, то введите уравнение с помощью клавиатуры.
Шаг 2.
- Выберите уравнение.
- Выделите только тот фрагмент, который нужно распознать.
- Во вкладке Рисование выберите Произвольное выделение.
Шаг 3.
- Нажмите на кнопку Математика. Она находится во вкладке Рисование.
- Когда откроется панель Математика, убедитесь, что OneNote правильно распознал уравнение.
- Если необходимо, то выберите пункт Исправить.
С помощью инструмента Произвольное выделение можно выбрать любой неправильно распознанный фрагмент. OneNote предложит альтернативные варианты.
Примечание: если вам нужно переключиться между решением уравнений с действительными или комплексными числами, или же вам нужно начертить график, перевести градусы в радианы, то нажмите кнопку Параметры.
- Выделите уравнение и выберите то, что нужно сделать с ним.
- Посмотрите решение уравнения для того действия, которое вы выбрали.
- Чтобы понять, как OneNote решил уравнение, кликните на Показать действия и выберите нужные действия. Вы увидите несколько вариантов решения для одного и того же уравнения.
Tags: OneNote, Советы по Windows 10 и Office 365
Как решать уравнения со скобками?
Не все уравнения, содержащие скобки, решаются одинаково. Конечно, чаще всего в них требуется раскрыть скобки и привести подобные слагаемые (при этом способы раскрытия скобок разняться). Но иногда скобки раскрывать не нужно. Рассмотрим все эти случаи на конкретных примерах:
- 5х — (3х — 7) = 9 + (-4х + 16).
- 2х — 3(х + 5) = -12.
- (х + 1)(7х — 21) = 0.
Решение уравнений через раскрытие скобок
Данный метод решения уравнений встречается наиболее часто, но и он при всей своей кажущейся универсальности, делится на подвиды в зависимости от способа раскрытия скобок.
1) Решение уравнения 5х — (3х — 7) = 9 + (-4х + 16).
В данном уравнении перед скобками стоят знаки минус и плюс. Чтобы раскрыть скобки в первом случае, где перед ними стоит знак минус, следует все знаки внутри скобок поменять на противоположные. Перед второй парой скобок стоит знак плюс, который на знаки в скобках никах не повлияет, значит их можно просто опустить. Получаем:
5х — 3х + 7 = 9 — 4х + 16.
Слагаемые с х перенесем в левую часть уравнения, а остальные в правую (знаки переносимых слагаемых будут меняться на противоположные):
5х — 3х + 4х = 9 + 16 — 7.
Приведем подобные слагаемые:
6х = 18.
Чтобы найти неизвестный множитель х, разделим произведение 18 на известный множитель 6:
х = 18 / 6 = 3.
2) Решение уравнения 2х — 3(х + 5) = -12.
В этом уравнении также сначала нужно раскрыть скобки, но применив распределительное свойство: чтобы -3 умножить на сумму (х + 5) следует -3 умножить на каждое слагаемое в скобках и сложить полученные произведения:
2х — 3х — 15 = -12
-х = -12 + 15
-х = 3
х = 3 / (-1) = 3.
Решение уравнений без раскрытия скобок
Третье уравнение (х + 1)(7х — 21) = 0 тоже можно решить раскрыв скобки, но гораздо проще в таких случаях воспользоваться свойством умножения: произведение равно нулю тогда, когда один из множителей равен нулю. Значит:
х + 1 = 0 или 7х — 21 = 0.
а) х + 1 = 0
х1 = -1.
б) 7х — 21 = 0
7х = 21
х = 21 / 7
х2 = 3.
Порядок операций — Бесплатная математическая справка
Введение
Порядок операций — очень простая концепция, жизненно важная для правильного понимания математики. В отличие от чтения, где мы всегда работаем слева направо, иногда с математикой нам нужно проработать одну часть задачи перед другой, иначе окончательный ответ может быть неверным! Мы используем термин «порядок операций», чтобы описать, с какой частью проблемы нужно работать в первую очередь. В качестве примера возьмем это уравнение:
$$ 4 + 6 \ div 2 * 11 =? $$Если бы вы просто решали слева направо, ответ был бы неверным.Давайте сделаем это сейчас: 4 + 6 = 10. Разделите это на 2, чтобы получить 5. Умножьте 5 на 11, чтобы получить 55. К сожалению, хотя это казалось нормальным, этот ответ неверен.
Правильный порядок действий
Порядок действий позволит вам решить эту проблему правильно. Порядок следующий: Скобка , Показатели , Умножение и деление и, наконец, Сложение и вычитание . Всегда сначала выполняйте операции внутри круглых скобок, а затем выполняйте операции с показателями.После этого выполните все умножение и деление слева направо и, наконец, все операции сложения и вычитания слева направо.
Популярным способом запоминания порядка является аббревиатура PEMDAS. Круглые скобки, экспоненты, умножение и деление, сложение и вычитание. Вы также можете создать небольшую фразу, например: « P lease E xcuse M y D ear A Unt S ally». Что бы вы ни выбрали, убедитесь, что вы хорошо знаете все шесть этапов порядка действий.
Давайте попробуем решить это уравнение еще раз, на этот раз с помощью PEMDAS.
$$ 4 + 6 \ div 2 * 11 =? $$Шаг 1) Круглые скобки. Нет ни одного. Двигаться дальше.
Шаг 2) Показатели. Никто. Продолжайте …
Шаг 3) Умножение и деление. Идите слева направо, выполняя все операции умножения и деления по мере того, как вы сталкиваетесь с этим, поэтому разделите 6 на 2, чтобы получить 3, и умножьте это на 11, чтобы получить 33.
Шаг 4) Сложение и вычитание. Слева направо 4 + 33 = 37.2 \ div 5 $$ $$ 5 + 144 \ div 5 $$ $$ 5 + 28,8 $$ 33,8 $ $
К настоящему времени вы должны иметь базовое представление о порядке операций. Чтобы продолжить изучение этой темы, вы можете продолжать просматривать наш сайт или попробовать поискать в Интернете на Yahoo или Google. MathGoodies.com также предлагает отличный урок о порядке операций.
Введение в алгебру | SkillsYouNeed
Многие люди думают, что уравнений и алгебра им недоступны — мысль о необходимости работать с уравнениями наполняет их страхом.Однако не стоит бояться уравнений.
Хорошая новость заключается в том, что уравнения на самом деле являются относительно простыми концепциями, и с небольшой практикой и применением некоторых простых правил вы можете научиться управлять ими и решать их.
Эта страница призвана познакомить вас с основами алгебры и, надеюсь, позволит вам чувствовать себя более комфортно при решении простых уравнений.
Что такое уравнение?
Уравнение — это два выражения по обе стороны от символа, указывающего на их взаимосвязь.
Это отношение может быть равно (=), меньше (<) или больше (>), или может иметь некоторую комбинацию. Например, меньше или равно (≤) или даже не равно (≠) или приблизительно равно (≈). Это известно как , равенство символов.
Таким образом, простые уравнения включают 2 + 2 = 4 и 5 + 3> 3 + 4.
Однако, когда большинство людей говорят об уравнениях, они имеют в виду алгебраические уравнения.
Это уравнения, в которых используются как буквы, так и числа.Буквы используются для замены некоторых чисел, если числовое выражение было бы слишком сложным или если вы хотите обобщить, а не использовать конкретные числа. Их также можно использовать, когда вы знаете значения в части уравнения, но другие значения неизвестны, и вам нужно их вычислить.
Алгебраические уравнения решаются путем определения чисел, обозначенных буквами.
Мы можем превратить два простых уравнения выше в алгебраические, подставив \ (x \) вместо одного из чисел:
2 + 2 = \ (\ boldsymbol {x} \)
Мы знаем, что 2 + 2 = 4, а это значит, что \ (x \) должно быть равно 4.Таким образом, решение уравнения: \ (\ boldsymbol {x} \) = 4 .
5 + 3> 3 + \ (\ boldsymbol {x} \)
Мы знаем, что 5 + 3 = 8. Уравнение говорит нам, что 8 больше, чем (>) 3 + \ (x \).
Нам нужно переставить уравнение так, чтобы \ (x \) находился с одной стороны, а все числа — с другой, иначе мы не сможем найти значение \ (x \). Правило перестановки уравнений: : что вы делаете с одной стороной, вы также должны делать с другой .Подробнее об этом ниже.
Возьмите 3 с обеих сторон (8 — 3 = 5), тогда уравнение станет
5> \ (\ boldsymbol {x} \)
Мы видим, что \ (x \) должно быть меньше 5 ( \ (x \) <5 ).
Мы не можем сказать более точно, что такое \ (x \) с информацией, которую нам дают. Однако в исходном уравнении, которое мы использовали в качестве нашего примера, мы заменили 4 на \ (x \), что действительно меньше 5.
Нет никакого волшебства в использовании фигурного символа «x» (\ ({x} \)).Вы можете использовать любую букву, хотя \ ({x} \) и \ ({y} \) обычно используются для обозначения неизвестных элементов уравнений.
Переменные и константы
Буква, используемая для замены числа в алгебре, называется переменной , потому что каждый раз, когда вы ее используете, она обозначает разные числа.
Это отличается от конкретной буквы, которая всегда используется для замены одного и того же числа, например \ (\ pi \) (pi), которое всегда равно 3.142. Такая буква называется константой .
В алгебраическом уравнении любые заданные числа также являются константами, потому что они всегда остаются неизменными.
Если вам нужно решить уравнение, содержащее константу, вам всегда сообщат ее значение.
Члены уравнения
Член — это часть уравнения, которая отделена от других частей, обычно символом сложения (+) или вычитания (-).
Группа терминов называется выражением, скорее как математическое предложение или описание.Некоторые математические выражения могут выглядеть довольно устрашающе, полные цифр и букв, некоторые из которых могут быть даже греческими. Однако главное — рассматривать каждый термин отдельно и разбивать его на вещи, которые вам известны или которые вы можете решить. Если вы сделаете это, вы начнете понимать, что это не всегда так сложно, как вы думали вначале.
Термины могут быть просто числами, буквами или комбинацией букв и цифр, например 2 \ (\ boldsymbol {x} \), 3 \ (\ boldsymbol {xy} \) или 4 \ (\ boldsymbol {x} \) 2 .
В термине, состоящем из букв и цифр, число известно как коэффициент , а буква — это переменная . Коэффициент — это просто «множитель» — он говорит вам, сколько чего-то (переменной) у вас есть в этом термине.
Термины, которые имеют точно такую же переменную, называются , как и термины , и вы можете складывать, вычитать, умножать или делить их, как если бы они были простыми числами. Например:
Уравнение 2 \ (x \) + 3 \ (x \) равно 5 \ (x \), просто 2 лота \ (x \) плюс 3 лота \ (x \), чтобы получить 5 лотов \ (х \) (5 \ (х \)).2 $$
Вы, , не можете, , складывать или вычитать «непохожие термины». Однако вы можете умножить их, комбинируя переменные и умножая коэффициенты вместе.
Так, например, 3 \ (y \) × 2 \ (x \) = 6 \ (xy \) (потому что 6 \ (xy \) просто означает 6 раз \ (x \) раз \ (y \)) .
Вы можете разделить непохожие члены, превратив их в дроби и сократив их. Начните с цифр, затем с букв.
Так, например:
\ (\ large {6xy ÷ 3x} \)
| $$ \ frac {6xy} {3x} $$ | = | $$ \ frac {2xy} {x} $$ | = | $$ \ frac {2y} {1} $$ | = | $$ 2г $$ |
| Разделить верхний и нижний на 3 | Разделите верхний и нижний на x | 1 можно игнорировать , потому что все, что делится на на 1, само по себе |
Преобразование и решение уравнений
Во многих случаях для решения уравнения вам, вероятно, потребуется переставить его .Это означает, что вам нужно переместить термины так, чтобы в итоге вы получили только термины, содержащие \ (x \) с одной стороны символа равенства (например, =,> или <), и все числа с другой.
Этот процесс иногда называют изолирующим \ (x \) .
Вы можете переставлять уравнения с помощью набора простых правил:
Что бы вы ни делали с одной стороной уравнения, вы, , должны, сделать то же самое с другой. Таким образом вы сохраните отношения между ними.Неважно, что вы делаете, убираете ли вы 2, прибавляете 57, умножаете на 150 или делите на \ (x \). Пока вы делаете это с обеих сторон, уравнение остается правильным. Можно представить себе уравнение как набор весов или качелей, которые всегда должны балансировать.
На нашей странице Дополнение объясняется, что не имеет значения, в каком порядке вы добавляете, ответ все тот же. Это означает, что вы можете переставить выражение, чтобы объединить термины , похожие на термины , и упростить сложение.Это относится и к вычитанию , если вы помните на нашей странице о положительных и отрицательных числах , что вычитание аналогично добавлению отрицательного числа . Так, например, 10-3 = 10 + (-3).
Уравнения также работают в соответствии с BODMAS , поэтому не забывайте выполнять вычисления в правильном порядке.
- Всегда приводите уравнение в простейшей возможной форме: умножайте скобки, делите вниз, сокращайте дроби и складывайте / вычитайте все подобные члены.
Рабочих примеров:
Попытайтесь решить эти уравнения для \ (x \), щелкните поля, чтобы увидеть работу и ответы.
$$ \ large {x + 3 = 5 × 4} $$- Как и в любом другом вычислении, сначала произведите умножение. 5 × 4 = 20
- Итак \ (x \) + 3 = 20
- Следующий шаг — убрать по три с обеих сторон
- \ (х \) + 3 — 3 = 20 — 3
- 20 — 3 = 17.
Это оставляет вам ответ: \ (x \) = 17
$$ \ large {5 + x + 21 = 3 + 6 × 5} $$- Сначала выполните вычисления с правой стороны, потому что в нем нет букв.Скобок нет, поэтому сначала умножение, затем сложение.
- 6 × 5 = 30 и 30 + 3 = 33.
- Вычисление слева является сложением, поэтому вы можете перемещать члены, пока не соберете все числа вместе:
5 + \ (x \) + 21 = \ (x \) + 5 + 21
и 5 + 21 = 26. - Итак, теперь у вас есть 26 + \ (x \) = 33
- Теперь можно убрать 26 с обеих сторон
- 26 + \ (х \) — 26 = \ (х \) = 33 — 26
- И 33 — 26 = 7.2 + 5 = 13 — 4} $$
- Переставьте так, чтобы все числа были на одной стороне, убрав по пять с каждой стороны.
- Теперь у вас есть
\ (x \) 2 = 13-4-5, поэтому - \ (х \) 2 = 4
- Теперь вам нужно извлечь квадратный корень из обеих частей, потому что вы хотите найти значение \ (x \), а не \ (x \) 2 .
- Вы знаете, что 2 × 2 = 4, что означает, что квадратный корень из 4 = 2
\ (х \) = 2
Уравнения и графики
Любое уравнение, в котором существует связь только между двумя переменными, \ (x \) и \ (y \), можно нарисовать в виде линейного графика, где \ (x \) идет вдоль горизонтальной оси (иногда называемой x- ось) и \ (y \) по вертикальной оси (иногда называемой осью y).
Вы можете вычислить точки на графике, решив уравнение для конкретных значений \ (x \).
Примеры:
\ (\ large {y = 2x + 3} \)
\ (х \) 0 1 2 3 4 5 6 расчет 2 (0) + 3 2 (1) + 3 2 (2) + 3 2 (3) + 3 2 (4) + 3 2 (5) + 3 2 (6) + 3 \ (г \) 3 5 7 9 11 13 15 Преимущество построения графика уравнения состоит в том, что затем вы можете использовать его для вычисления значения \ (y \) для любого заданного значения \ (x \) или, действительно, \ (x \) для любого заданного значения. \ (y \), глядя на график.2 + х + 4} \)
Когда \ (x \) = 0, \ (y \) = 0 + 0 + 4 = 4
, когда \ (x \) = 1, \ (y \) = 1 + 1 + 4 = 6
, когда \ ( x \) = 2, \ (y \) = 4 + 2 + 4 = 10
и так далее …\ (х \) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 \ (г \) 4 6 10 16 24 34 46 60 76 94 114 Экстраполировать
Еще одно преимущество построения уравнения на графике состоит в том, что вы можете экстраполировать свои данные (числовую информацию), чтобы получить большие значения \ (x \) или \ (y \).Экстраполяция означает, что вы расширяете свой график, продолжая линию, которую вы нарисовали из своих данных, чтобы оценить значения \ (x \) и \ (y \) за пределами диапазона данных, которые у вас уже есть.
В первом примере уравнение дает прямую линию, поэтому экстраполировать этот график несложно. Однако следует соблюдать осторожность при экстраполяции графика, который не является прямой линией, как во втором примере.
Заключение
На этой странице объясняется, как решать простые уравнения, а также взаимосвязь между уравнениями и графиками, что дает вам альтернативный способ решения уравнений.
Теперь вы готовы перейти к более сложным уравнениям, включая одновременные уравнения и квадратные уравнения.
Решение уравнений
Что такое уравнение?
Уравнение говорит, что две вещи равны. Он будет иметь знак равенства «=», например:
.Это уравнение говорит: то, что слева (x — 2) равно тому, что справа (4)
Таким образом, уравнение похоже на оператор «, это равно , что »
Что такое решение?
Решение — это значение, которое мы можем ввести вместо переменной (например, x ), которая делает уравнение истинным .
Пример: x — 2 = 4
Когда мы ставим 6 вместо x, получаем:
6–2 = 4
, что соответствует действительности
Итак, x = 6 — решение.
Как насчет других значений x?
- Для x = 5 мы получаем «5−2 = 4», что неверно , поэтому x = 5 не является решением .
- Для x = 9 мы получаем «9−2 = 4», что неверно , поэтому x = 9 не является решением .
- и т. Д.
В этом случае x = 6 — единственное решение.
Вы можете попрактиковаться в решении некоторых анимированных уравнений.
Более одного решения
Может быть более одного решения .
Пример: (x − 3) (x − 2) = 0
Когда x равно 3, получаем:
(3−3) (3−2) = 0 × 1 = 0
, что соответствует действительности
А когда x равно 2, получаем:
(2−3) (2−2) = (−1) × 0 = 0
, что также соответствует истинному
Итак, решения:
x = 3 , или x = 2
Когда мы собираем все решения вместе, он называется набором решений
Приведенный выше набор решений: {2, 3}
Решения везде!
Некоторые уравнения верны для всех допустимых значений и называются Identities
Пример:
sin (−θ) = −sin (θ) является одним из тригонометрических тождествПопробуем θ = 30 °:
sin (-30 °) = -0.5 и
−sin (30 °) = −0,5
Значит, истинно для θ = 30 °
Попробуем θ = 90 °:
sin (−90 °) = −1 и
−sin (90 °) = −1
Так же истинно для θ = 90 °
Верны ли для все значения θ ? Попробуйте сами!
Как решить уравнение
Не существует «единого идеального способа» решить все уравнения.
Полезная цель
Но мы часто добиваемся успеха, когда наша цель — получить:
Другими словами, мы хотим переместить все, кроме «x» (или любого другого имени переменной), в правую часть.
Пример: Решить 3x − 6 = 9
Начать с: 3x − 6 = 9
Добавьте 6 к обеим сторонам: 3x = 9 + 6
Разделить на 3: x = (9 + 6) / 3
Теперь у нас x = что-то ,
и короткий расчет показывает, что x = 5
Как головоломка
На самом деле решение уравнения похоже на решение головоломки.И, как и в случае с головоломками, есть вещи, которые мы можем (и не можем) делать.
Вот что мы можем сделать:
Пример: Решить √ (x / 2) = 3
Начать с: √ (x / 2) = 3
Квадрат с двух сторон: x / 2 = 3 2
Вычислить 3 2 = 9: x / 2 = 9
Умножьте обе стороны на 2: x = 18
И чем больше «трюков» и приемов вы изучите, тем лучше вы получите.
Специальные уравнения
Есть специальные способы решения некоторых типов уравнений.Узнайте, как …
Проверьте свои решения
Вы всегда должны проверять, что ваше «решение» действительно — это решение.
Как проверить
Возьмите решения и поместите их в исходное уравнение , чтобы увидеть, действительно ли они работают.
Пример: найти x:
2x x — 3 + 3 = 6 x — 3 (x ≠ 3)
Мы сказали x ≠ 3, чтобы избежать деления на ноль.
Умножим на (x — 3):
2x + 3 (x − 3) = 6
Переместите 6 влево:
2x + 3 (x − 3) — 6 = 0
Развернуть и решить:
2x + 3x — 9-6 = 0
5x — 15 = 0
5 (х — 3) = 0
х — 3 = 0
Это можно решить, если x = 3
Проверим:
2 × 3 3–3 + 3 = 6 3–3
Держись!
Это означает деление на ноль!И вообще, мы сказали вверху, что x ≠ 3, так что…
x = 3 на самом деле не работает, поэтому:
Есть Нет Решение!
Это было интересно … мы, , думали, что нашли решение, но когда мы оглянулись на вопрос, мы обнаружили, что это запрещено!
Это дает нам моральный урок:
«Решение» дает нам только возможные решения, их нужно проверять!
подсказок
- Запишите, где выражение не определено (из-за деления на ноль, квадратного корня из отрицательного числа или по какой-либо другой причине)
- Покажите все шаги , чтобы их можно было проверить позже (вами или кем-то еще)
Решение одностадийных линейных уравнений: сложение и вычитание
Purplemath
«Линейные» уравнения — это уравнения с простой старой переменной, такой как « x », а не с чем-то более сложным, например, x 2 или x / y , или квадратными корнями, или другими более сложные выражения.Линейные уравнения — это самые простые уравнения, с которыми вам придется столкнуться.
Вы, наверное, уже решили линейные уравнения; ты просто не знал этого. В ранние годы, когда вы учились сложению, ваш учитель, вероятно, дал вам рабочие листы для выполнения, в которых были упражнения вроде следующих:
Заполните поле: & квадрат; + 3 = 5
Заполните поле: & квадрат; + 3 = 5
Как только вы достаточно хорошо усвоили факты сложения, вы знали, что вам нужно поставить цифру «2» внутри квадрата.
MathHelp.com
Решение уравнений работает примерно так же, но теперь мы должны выяснить, что входит в x , а не то, что входит в коробку.Однако, поскольку сейчас мы старше, чем когда заполняли поля, уравнения также могут быть намного сложнее, и поэтому методы, которые мы будем использовать для решения уравнений, будут немного более продвинутыми.
В общем, чтобы решить уравнение для данной переменной, нам нужно «отменить» все, что было сделано с переменной. Мы делаем это для того, чтобы получить переменную сама по себе; технически мы «изолируем» переменную. Это приводит к тому, что уравнение изменяется так, чтобы говорить «(переменная) равно (некоторому числу)», где (некоторое число) — это ответ, который они ищут.Например:
Переменная — это буква x . Чтобы решить это уравнение, мне нужно получить x отдельно; то есть мне нужно получить x с одной стороны от знака «равно» и какое-то число с другой стороны.
Поскольку я хочу только x с одной стороны, это означает, что мне не нравится «плюс шесть», которая в настоящее время находится на той же стороне, что и x . Поскольку 6 — это , добавленное к x , мне нужно вычесть из этого 6, чтобы избавиться от него.То есть мне нужно будет вычесть 6 из x , чтобы «отменить» их добавление к нему 6.
Это вызывает самое важное соображение с уравнениями:
Неважно, с каким уравнением мы имеем дело — линейным или каким-либо другим — что бы мы ни делали с одной стороной уравнения, мы должны сделать то же самое, что и , с другой стороной уравнения. В этом отношении уравнения похожи на малышей:
Мы должны быть полностью, полностью честными по отношению к обеим сторонам, иначе последует несчастье!
Что бы вы ни делали с уравнением, проделайте ТОЧНО ТАК ЖЕ с ОБЕИМИ сторонами этого уравнения!
Вероятно, лучший способ отследить это вычитание 6 с обеих сторон — это отформатировать свою работу следующим образом:
Изображение выше анимировано на «живой» странице.
Здесь вы видите, что я вычел 6 с обеих сторон, нарисовал горизонтальную полосу «равно» под всем уравнением, а затем сложил. В левой части (LHS) уравнения это дает мне:
x плюс ничего — x , а 6 минус 6 — ноль
В правой части (RHS) уравнения у меня:
Решение — последнее направление моей работы; а именно:
Та же процедура «отмены» работает для уравнений, в которых переменная была объединена в пару с вычитанием.
Переменная находится в левой части (LHS) уравнения в паре с оператором «вычесть три». Поскольку я хочу получить x отдельно, мне не нравится вычитаемая из него цифра «3». Противоположность вычитанию — это сложение, поэтому я отменю «вычитание 3», добавив 3 к обеим сторонам уравнения, а затем добавлю вниз, чтобы упростить, чтобы получить свой ответ:
Тогда мой ответ:
Вас могут попросить «проверить свои решения», по крайней мере, на ранних этапах обучения решению уравнений.Чтобы выполнить эту «проверку», вам нужно только подставить свой ответ в исходное уравнение и убедиться, что в итоге вы получили верное утверждение. (В конце концов, это определение решения уравнения; а именно, решение — это любое значение или набор значений [для более сложных уравнений, позже], что делает исходное уравнение истинным.)
Итак, чтобы проверить мое решение вышеприведенного уравнения, вы должны подставить «–2» вместо x в левой части (LHS) исходного уравнения и проверить, что это упрощает, чтобы получить исходное значение. для правой части (RHS) уравнения:
Проверок:
LHS: (–2) — 3 = –5
RHS: –5
Поскольку каждая сторона исходного уравнения теперь дает одно и то же значение, это подтверждает, что решение действительно правильное.
Решите 4 =
x — 3 и проверьте свое решение.
На этот раз переменная находится в правой части (RHS) уравнения. Это нормально; не имеет значения, где находится переменная, пока я могу изолировать ее (то есть, пока я могу получить ее отдельно от знака «равно»).
В этом уравнении у меня есть тройка, вычтенная из переменной.Чтобы отменить вычитание, я добавлю по три с каждой стороны уравнения.
4 = х — 3
+3 + 3
———-
7 = х(Я мог бы записать правую часть после добавления как « x + 0», но «плюс ноль» обычно игнорируется. Вот почему я перенес только x с правой стороны .)
Теперь, в рамках моей практической работы, мне нужно показать, что я проверил это решение, вставив его обратно в правую часть исходного уравнения и подтвердив, что я получил левую часть исходного уравнения; то есть я получаю 4:
«Проверка» — это то, что я сделал выше.Я постарался четко обозначить вещи, чтобы оценщик смог найти мой «чек» (так что я получу полную оценку за упражнение). Мой окончательный ответ:
Когда я решил последнее упражнение выше, переменная оказалась справа от знака «равно». Но в своем решении я написал ответ с помощью переменной слева от знака «равно». Это довольно стандартно. Когда вы решаете, переменная окажется там, где она окажется.Когда вы записываете решение, переменная идет слева. Почему? Так как.
Это уравнение почти решено. Но не совсем так. У меня нет простого старого x с правой стороны; вместо этого у меня — x . Что делать?
Я могу представить — x как 0 — x . Итак, что произойдет, если я добавлю x к каждой стороне уравнения?
2 = –x
+ х + х
——-
х + 2 = 0Хорошо; это помогло.Взяв переменную и «добавив ее на другую сторону», я получил переменную в том формате, который мне нравится. И это также преобразовало исходное уравнение в простое одношаговое уравнение. Я избавлюсь от двойки в левой части, «вычтя ее» в правой части:
х + 2 = 0
-2 = -2
———-
х = -2Этот ответ имеет смысл.Если отрицательное значение переменной равняется положительным двум, то положительное значение переменной должно равняться отрицательным двум. Итак, мой ответ:
Технически последний пример представлял собой двухэтапное уравнение, потому что для его решения требовалось прибавить одно к обеим сторонам уравнения, а затем вычесть другое к обеим сторонам. Важно отметить, что вы можете добавлять и вычитать переменные к другой стороне уравнения, точно так же, как вы можете складывать и вычитать числа с другой стороны.Точно такие же методы работают как с переменными, так и с числами.
Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении линейного уравнения путем сложения или вычитания. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или пропустите виджет и продолжите урок.)
(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)
URL: https://www.purplemath.com/modules/solvelin.htm
Как решать уравнения с порядком операций «Math :: WonderHowTo
В математике порядок операций определяет приоритет, в котором решаются сложные уравнения. Наивысший приоритет — скобки, затем показатели, затем умножение и деление и, наконец, сложение и вычитание (PEMDAS).В этом видеоуроке демонстрируется порядок работы с различными примерами и объясняется соответствующая методология. От Рамануджана до соавтора математических вычислений Готфрида Лейбница многие из лучших и ярких математических умов мира принадлежали к самодидактам. А благодаря Интернету стало проще, чем когда-либо, пойти по их стопам (или просто закончить домашнее задание или подготовиться к следующему серьезному испытанию).
(1) Часть 1 из 2 — Как решать уравнения с порядком операций, (2) Часть 2 из 2 — Как решать уравнения с порядком операцийХотите освоить Microsoft Excel и взять свою работу из- перспективы домашней работы на новый уровень? Начните свою карьеру с помощью нашего пакета обучения Microsoft Excel Premium A-to-Z из нового магазина гаджетов и получите пожизненный доступ к более чем 40 часам инструкций от базового до расширенного по функциям, формулам, инструментам и многому другому.
Купить сейчас (97% скидка)>
Другие выгодные предложения, которые стоит проверить:
Решение линейных уравнений с использованием Zero Soln’s, No Soln и «All-x» Soln
Purplemath
Есть три типа решений, которые могут вызвать путаницу.Мы рассмотрим по одному примеру каждого из них, и я объясню различия. Затем мы поработаем над смесью типов уравнений, чтобы вам было удобнее различать типы решений.
Чтобы решить это уравнение, мне сначала нужно упростить левую часть, взяв «минус» в скобки и объединив «похожие» термины:
MathHelp.com
5 — (3 x + 4)
5 — 1 (3 x ) — 1 (+4)
5 — 3 x — 4
5 — 4 — 3 x
1-3 x
Теперь я могу решить обычным способом:
1–3x = 1
-1 -1
————
-3x = 0
— —
-3-3х = 0
Является ли « x = 0″ допустимым решением? Да, действительно, потому что ноль — допустимое число.Дело не в том, что решение — «ничто»; дело в том, что решение — это «что-то», а это «что-то» равно нулю. Итак, мой ответ:
Студенты, как правило, могут привыкнуть к тому, что ноль является решением уравнения, но разница между решением «ноль» (это решение является числовым значением) и «ничего» (возможно, является физической мерой чего-то вроде «без яблок» или «нет денег») может вызвать недоумение.
Убедитесь, что вы понимаете, что «ноль» сам по себе не является «ничем». Ноль — это числовое значение, которое (в «реальной жизни» или в контексте словесной проблемы) может указывать на , что нет «ничего» чего-то или другого, но сам ноль — реальная вещь; это существует; это что-то».
Решить 11 + 3
x -7 = 6 x + 5-3 x
Во-первых, объедините одинаковые термины; затем решите:
Гм… подожди минутку …
С каких это пор четыре когда-либо равняются пяти? Никогда! Есть ли какое-нибудь возможное значение x , которое «исправит» это уравнение, чтобы оно говорило что-то, имеющее какой-то смысл? Будет ли любое значение x когда-либо заставить это уравнение работать?
Нет; это просто невозможно. Я выполнил все свои шаги правильно, но эти шаги привели к тому, что уравнение (а) не содержало переменных и (б) не имело смысла.Поскольку не существует значения x , которое заставило бы это уравнение работать, то у него нет решения. Вот мой ответ на это упражнение:
.Вот логика для приведенного выше примера: когда вы пытаетесь решить уравнение, вы исходите из (неустановленного) предположения, что на самом деле — это решение. Когда вы в конечном итоге получаете бессмыслицу (например, бессмысленное уравнение «4 = 5» выше), это означает, что ваше первоначальное предположение (а именно, что исходное уравнение действительно имело решение) было неверным; на самом деле решения нет.Поскольку утверждение «4 = 5» совершенно неверно, и с момента нет значения x, которое когда-либо могло бы сделать его истинным , то это уравнение не имеет решения.
Advisory: этот ответ полностью отличается от ответа на первое упражнение в верхней части этой страницы, где было , значение x , что будет работать (это значение решения равно нулю). Не путайте эти две очень разные ситуации : «решение существует и имеет нулевое значение» никоим образом не то же самое, что «никакого значения решения не существует вообще».
И не путайте приведенное выше уравнение типа «без решения» со следующим типом уравнения:
Решить 6
x + 5-2 x = 4 + 4 x + 1
Сначала я объединю похожие термины; тогда решу:
Для предыдущего уравнения я получил «5 = 4», и не было никакого значения x , которое могло бы сделать уравнение истинным. Этот результат противоположен этому. Для этого уравнения существует ли какое-либо возможное значение x , которое могло бы сделать приведенное выше утверждение ложным? Нет; 5 — это , всегда будет равно 5. Фактически, поскольку в последней строке вычислений нет « x », значение x явно не имеет отношения к уравнению; x может быть чем угодно, и уравнение останется верным. Итак, решение:
Это решение также может быть указано как «все действительные числа», «все действительные числа», «вся числовая строка», «(–∞, + ∞)» или « x ∈ & reals;» (последнее означает « x является членом набора действительных чисел»).Вы должны ожидать увидеть некоторые вариации в жаргоне от одного учебника к другому, поэтому не удивляйтесь различиям в форматировании.
Обратите внимание: если бы я решил уравнение вычитанием 5 из любой части исходного уравнения, я бы получил:
Другими словами, я бы получил еще одно тривиально верное утверждение. Я также мог бы вычесть 4 x с любой стороны, или я мог бы разделить обе стороны приведенного выше уравнения на 4, или я мог бы разделить на 4, а затем вычесть x с любой стороны, или я мог бы вычесть и 4 x , и 5 с обеих сторон исходного уравнения.Каждый из них — это еще один способ получить другой тривиально верный результат, например «0 = 0». Но независимо от конкретных предпринятых шагов результат (тривиально верное уравнение) всегда будет одним и тем же, и решение останется тем же: «все x ».
Поскольку (как я перечислил выше) существует множество способов прийти к одному и тому же выводу для этого типа уравнения, вы не должны удивляться, если для уравнений «все действительные числа» или «без решения» вы не используйте те же шаги, что и некоторые из ваших одноклассников.Существует бесконечно много всегда верных уравнений (например, «0 = 0») и бесконечно много бессмысленных уравнений (например, «3 = 4»), также будет много способов (правильно) прийти к этим ответам.
Основным выводом из приведенных выше примеров должны быть следующие правила:
x = 0: регулярное решение регулярного уравнения
ерунда (например, 3 = 4): нет решения
тривиально истинно (например, 0 = 0): решение — все действительные числа
К сожалению, хотя вы почти наверняка встретите хотя бы один из этих вопросов типа «нет решения» или «все реально» в следующем тесте (и, вероятно, также в финале), их обычно не так много в наборе домашних заданий, и ваш инструктор, вероятно, предоставил только по одному образцу каждого типа.Это не дает вам большой практики в интерпретации решений такого типа, поэтому давайте еще несколько примеров.
Сначала я умножу 3 на скобку в левой части. Тогда я решу.
3x + 12 = 3x + 11
-3x -3x
——————
12 = 11Моя математика верна, но результат — ерунда.Двенадцать никогда не будет равняться одиннадцати. Итак, мой ответ:
Решите 6 — 2 (
x + 3) = –2 x
Я буду умножать и упрощать в левой части. Тогда я решу.
6-2 (x + 3) = -2x
6 — 2x — 6 = -2x
6-6 — 2x = -2x
0 — 2x = -2x
-2x = -2x
+ 2x + 2x
———
0 = 0Ноль всегда будет равняться нулю, и в последней строке моей работы нет даже какой-либо переменной, поэтому переменная явно не имеет значения.Это уравнение верно независимо от значения x . Итак, мой ответ:
Решить 2 (
x + 1) + x = 3 ( x + 2) — 2
Мне нужно перемножить и упростить каждую часть этого уравнения.
2 (х + 1) + х = 3 (х + 2) — 2
2х + 2 + х = 3х + 6-2
2х + х + 2 = 3х + 4
3х + 2 = 3х + 4
-3x -3x
———————-
2 = 4Нет; никогда не правда.
Решить 5
x + 7 = 4 (2 x + 1) — 3 x — 2
Мне нужно упростить правую часть, а затем посмотреть, к чему это приведет.
5x + 7 = 4 (2x + 1) — 3x — 2
5х + 7 = 8х + 4 — 3х — 2
5х + 7 = 8х — 3х + 4-2
5х + 7 = 5х + 2
-5x -5x
——————
7 = 2Нет; никогда не правда.
Я разверну левую часть и решу.
8 (x + 2) = 2x + 16
8х + 16 = 2х + 16
-2x -2x
——————
6х + 16 = 16
-16-16
——————
6x + 0 = 0
—— —
6 6х = 0
Это уравнение имеет значение решения, равное нулю.
Решить 1,5
x + 4 = 4 ( x + 1) — 2,5 x
Я расширяю и упрощаю в правой части, а затем решаю.
1,5x + 4 = 4 (x + 1) — 2,5x
1,5x + 4 = 4x + 4 — 2,5x
1,5x + 4 = 4x — 2,5x + 4
1.5х + 4 = 1,5х + 4
-1,5x -1,5x
———————
4 = 4Это всегда так, поэтому мой ответ:
Я разверну левую часть и решу.
2 (х + 5) = 2x + 5
2х + 10 = 2х + 5
-2x -2x
——————
10 = 5Нет; никогда не правда.
URL: https://www.purplemath.com/modules/solvelin5.htm
Примените стратегию решения проблем к основным проблемам Word
Результаты обучения
- Практикуйте внимательность в отношении словесных проблем
- Примените общую стратегию решения проблем для решения текстовых задач
Подходите к проблемам со словами с позитивным отношением
В мире полно словесных проблем.Сколько денег мне нужно, чтобы заправить машину бензином? Сколько я должен давать чаевые официанту в ресторане? Сколько носков нужно взять с собой в отпуск? Какого размера мне нужно купить индейку на ужин в честь Дня Благодарения и во сколько нужно поставить ее в духовку? Если мы с сестрой купим маме подарок, сколько каждый из нас заплатит?
Теперь, когда мы можем решать уравнения, мы готовы применить наши новые навыки к текстовым задачам. Вы знаете кого-нибудь, у кого в прошлом был негативный опыт проблем со словами? Были ли у вас мысли, как у ученика из мультфильма ниже?Негативные мысли о проблемах со словами могут быть препятствием на пути к успеху.
Когда мы чувствуем, что у нас нет контроля, и продолжаем повторять негативные мысли, мы создаем препятствия на пути к успеху. Нам нужно успокоить свои страхи и изменить свои негативные чувства.
Начните с чистого листа и начните думать позитивно, как ученик из мультфильма ниже. Прочтите положительные мысли и произнесите их вслух.Когда дело доходит до словесных задач, позитивное отношение — большой шаг к успеху.
Если мы возьмем на себя управление и поверим, что сможем добиться успеха, мы сможем справиться со словесными проблемами.
Подумайте о том, что вы можете сделать сейчас, но не могли сделать три года назад. Будь то вождение автомобиля, катание на сноуборде, приготовление изысканной еды или разговор на новом языке, вы смогли изучить и овладеть новым навыком. Проблемы со словами ничем не отличаются. Даже если в прошлом вы боролись с проблемами со словами, вы приобрели много новых математических навыков, которые помогут вам добиться успеха сейчас!Используйте стратегию решения проблем с Word
В предыдущих главах вы переводили словосочетания в алгебраические выражения, используя базовый математический словарь и символы.С тех пор вы расширили свой математический словарный запас, изучив больше алгебраических процедур, и у вас появилось больше практики в переводе слов в алгебру.
Вы также перевели словесные предложения в алгебраические уравнения и решили несколько словесных задач. С помощью словесных задач математика применялась к повседневным ситуациям. Вам нужно было переформулировать ситуацию в одном предложении, присвоить переменную, а затем написать уравнение для решения. Этот метод работает, если ситуация вам знакома и математика не слишком сложна.
Теперь мы разработаем стратегию, с помощью которой вы сможете решить любую словесную задачу. Эта стратегия поможет вам добиться успеха в решении текстовых задач. Продемонстрируем стратегию при решении следующей задачи.Пример
Пит купил рубашку на распродаже за 18 долларов [латекс], что составляет половину первоначальной цены. Какова была первоначальная цена рубашки?
Решение:
Шаг 1. Прочтите о проблеме. Убедитесь, что вы понимаете все слова и идеи. Возможно, вам придется прочитать задачу два или более раз.Если есть слова, которых вы не понимаете, поищите их в словаре или в Интернете.- В этой проблеме вы понимаете, о чем идет речь? Вы понимаете каждое слово?
Шаг 2. Определите , что вы ищете. Трудно найти что-то, если не знаешь, что это такое! Прочтите задачу еще раз и поищите слова, которые говорят вам, что вы ищете!
- В этой задаче слова «какова была первоначальная цена рубашки» говорят вам, что вы ищете: первоначальную цену рубашки.
Шаг 3. Назовите то, что вы ищете. Выберите переменную, чтобы представить это количество. Вы можете использовать любую букву для переменной, но можно выбрать ту, которая поможет вам запомнить, что она представляет.
- Пусть [latex] p = [/ latex] первоначальная цена рубашки
Шаг 4. Переведите в уравнение. Может быть полезно сначала сформулировать проблему одним предложением со всей важной информацией. Затем переведите предложение в уравнение.
Шаг 5. Решите уравнение, используя хорошие методы алгебры. Даже если вы знаете ответ сразу, использование алгебры лучше подготовит вас к решению задач, на которые нет очевидных ответов.Напишите уравнение. [латекс] 18 = \ frac {1} {2} p [/ латекс] Умножьте обе стороны на 2. [латекс] \ color {красный} {2} \ cdot18 = \ color {красный} {2} \ cdot \ frac {1} {2} p [/ латекс] Упростить. [латекс] 36 = п [/ латекс] Шаг 6. Проверьте ответ на проблему и убедитесь, что он имеет смысл.
- Мы обнаружили, что [латекс] p = 36 [/ latex], , что означает, что исходная цена была [латекс] \ text {\ $ 36} [/ latex]. Имеет ли смысл [латекс] \ text {\ $ 36} [/ latex] в проблеме? Да, потому что [латекс] 18 [/ латекс] составляет половину от [латекс] 36 [/ латекс], , а рубашка продавалась за половину первоначальной цены.
Шаг 7. Ответьте на вопрос полным предложением.
- Задача спросила: «Какова была первоначальная цена рубашки?» Ответ на вопрос: «Первоначальная цена рубашки была [латекс] \ text {\ 36 $} [/ латекс]».
Если бы это было домашнее задание, наша работа могла бы выглядеть так:
Мы перечисляем шаги, которые мы предприняли для решения предыдущего примера.
Стратегия решения проблем
- Прочтите слово «проблема». Убедитесь, что вы понимаете все слова и идеи.Возможно, вам придется прочитать задачу два или более раз. Если есть слова, которых вы не понимаете, поищите их в словаре или в Интернете.
- Определите , что вы ищете.
- Имя то, что вы ищете. Выберите переменную, чтобы представить это количество.
- Переведите в уравнение. Может быть полезно сначала сформулировать проблему в одном предложении перед переводом.
- Решите уравнение, используя хорошие методы алгебры.
- Отметьте ответ в задаче. Убедитесь, что это имеет смысл.
- Ответьте на вопрос полным предложением.
Чтобы узнать, как переводить алгебраические утверждения в слова, посмотрите следующее видео.
Давайте воспользуемся этим подходом на другом примере.
Пример
Яш принес на пикник яблоки и бананы. Количество яблок было на три больше, чем в два раза больше бананов.Яш принес на пикник [latex] 11 [/ latex] яблок. Сколько бананов он принес?
Показать решениеРешение:
Шаг 1. Прочтите , в чем проблема. Шаг 2. Определите , что вы ищете. Сколько бананов он принес? Шаг 3. Назовите то, что вы ищете. Выберите переменную для представления количества бананов.
Пусть [latex] b = \ text {количество бананов} [/ latex] Шаг 4. Перевести. Переформулируйте проблему одним предложением, указав всю важную информацию. Переведите в уравнение.
[латекс] 11 \ enspace \ Rightarrow [/ latex] Количество яблок [latex] = \ enspace \ Rightarrow [/ latex] было
.[латекс] 3 \ enpace \ Rightarrow [/ латекс] три
[латекс] + \ Enspace \ Rightarrow [/ latex] более
[латекс] 2b \ enspace \ Rightarrow [/ latex] в два раза больше бананов
Шаг 5. Решите уравнение. [латекс] 11 = 2b + 3 [/ латекс] Вычтите по 3 с каждой стороны. [латекс] 11 \ color {red} {- 3} = 2b + 3 \ color {red} {- 3} [/ latex] Упростить. [латекс] 8 = 2b [/ латекс] Разделите каждую сторону на 2. [латекс] \ frac {8} {\ color {red} {2}} = \ frac {2b} {\ color {red} {2}} [/ latex] Упростить. [латекс] 4 = b [/ латекс] Шаг 6. Проверка: Во-первых, разумен ли наш ответ? Да, разумно принести на пикник четыре банана.Проблема гласит, что количество яблок на три больше, чем бананов, более чем в два раза. Если есть четыре банана, получается одиннадцать яблок? Дважды 4 банана — 8. Три больше, чем 8 — 11. Шаг 7. Ответьте на вопрос. Яш принес на пикник 4 банана. В следующем примере мы применим нашу стратегию решения проблем к процентным приложениям.
пример
Страховой взносNga увеличился на [latex] \ text {\ 60} [/ latex], что составляло [latex] \ text {8%} [/ latex] от первоначальной стоимости.Какова была первоначальная стоимость страхового взноса?
Показать решениеРешение:
Шаг 1. Прочтите о проблеме. Помните: если есть слова, которых вы не понимаете, ищите их. Шаг 2. Определите , что вы ищете. первоначальная стоимость премиум Шаг 3. Имя. Выберите переменную для представления первоначальной стоимости страхового взноса. Пусть [латекс] c = \ text {стоимость оригинала} [/ латекс] Шаг 4. Перевести. Перефразировать одним предложением. Переведите в уравнение. Шаг 5. Решите уравнение. [латекс] 60 = 0,08c [/ латекс] Разделите обе стороны на [латекс] 0,08 [/ латекс]. [латекс] \ frac {60} {\ color {red} {0,08}} = \ frac {0,08c} {\ color {red} {0,08}} [/ latex] Упростить. [латекс] c = 750 [/ латекс] Шаг 6. Проверить: Разумен ли наш ответ? Да, страховая премия [latex] \ text {\ $ 750} [/ latex] является разумной.А теперь давайте проверим нашу алгебру. 8% от 750 равно [латексу] 60 [/ латексу]? [латекс] 750 = c [/ латекс]
[латекс] 0,08 (750) = 60 [/ латекс]
[латекс] 60 = 60 \ квадратик \ галочка [/ латекс]
Шаг 7. Ответьте на вопрос. Первоначальная стоимость премии Nga составляла [latex] \ text {\ 750} [/ latex].