определение, алгоритм и методы решения, примеры

В математике большая часть задач ориентирована на решение стандартных уравнений, в которых представлена одна переменная. Однако, некоторые из них, помимо числовых выражений, содержат одновременно две неизвестные. Перед тем как приступить к решению такого уравнения, стоит изучить его определение.

Определение

Итак, уравнением с двумя неизвестными называют любое равенство следующего типа:

a*x + b*y =с, где a, b, c — числа, x, y — неизвестные переменные.

Ниже приведены несколько примеров:

• 10x + 25y = 180.
• x — y = 6.
• -6x + y = 7.

Уравнение с двумя неизвестными точно так же, как и с одной, имеет решение. Однако такие выражения, как правило, имеют бесконечное множество разных решений, поэтому в алгебре их принято называть неопределенными.

Решение задач

Чтобы решить подобные задачи, необходимо отыскать любую пару значений x и y, которая удовлетворяла бы его, другими словами, обращала бы уравнение с неизвестными x и y в правильное числовое равенство. Найти удовлетворяющую пару чисел можно при помощи метода подбора.

Для наглядности объяснений подберем корни для выражения: y-x = 6.

При y=5 и x=-1 равенство становится верным тождеством 5- (-1) = 6. Поэтому пару чисел (-1; 5) можно считать корнями выражения y-x = 6. Ответ: (-1; 5).

Необходимо отметить, что записывать полученный ответ по правилам необходимо в скобках через точку с запятой. Первым указывается значение х, вторым — значение y.

У равенств такого вида может и не быть корней. Рассмотрим такой случай на следующем примере: x+y = x+y+9

Приведем исходное равенство к следующему виду:

В результате мы видим ошибочное равенство, следовательно, это выражение не имеет корней.

При решении уравнений можно пользоваться его свойствами. Первое их них: каждое слагаемое можно вынести в другую часть выражения. Вместе с этим обязательно нужно поменять знак на обратный. Получившееся равенство будет равнозначно исходному.

Например, из выражения 20y — 3x = 16 перенесем неизвестное y в другую его часть.

• 20y — 3x = 16;
• -3x = 16−20y.

Оба равенства равносильны.

Второе свойство: допустимо умножать или делить части выражения на одинаковое число, не равное нолю. В итоге получившиеся равенства будут равнозначны.

Пример:

• y — x = 6*2;
• 2y — 2x = 12.

Оба уравнения также равносильны.

Система уравнений с двумя неизвестными

Система уравнений представляет собой некоторое количество равенств, выполняющихся одновременно. В большинстве задач приходится находить решение системы, состоящей из двух равенств с двумя переменными.

Для решения системы уравнений необходимо найти

пару чисел, обращающих оба уравнения системы в правильное равенство. Решением может служить одна пара чисел, несколько пар чисел или вовсе их отсутствие.

Решить подобные системы уравнений можно, применяя следующие методы.

Метод подстановки

Последовательность действий:

1. Выражаем неизвестное из любого равенства через вторую переменную.
2. Подставляем получившееся выражение неизвестного во второе равенство и решаем его.
3. Делаем подстановку полученного значения неизвестного и вычисляем значение второго неизвестного.

Метод сложения

Этапы решения:

1. Приводим к равенству модули чисел при каком-либо неизвестном.
2. Производим вычисление одной из переменных, произведя сложение или вычитание полученных выражений.
3. Подставляем найденное значение в какое-либо уравнение в первоначальной системе и вычисляем вторую переменную.

Графический метод

1. Выражаем в каждом равенстве одну переменную через другую.
2. Строим графики двух имеющихся уравнений в одной координатной плоскости.
3. Определяем точку их пересечения и ее координаты. На этом шаге у вас может получиться три варианта: графики пересекаются — у системы единственно верный вариант решения; прямые параллельны друг другу — система решений не имеет; графики совпадают — у системы бесконечно много решений.
4. Делаем проверку, подставив полученные значения в исходную систему равенств.

При нахождении корней у одной системы всеми этими способами у вас обязательно должен получиться одинаковый результат, если вы, конечно, все сделали правильно.

В настоящее время есть возможность решения подобных задач с помощью встроенных средств офисной программы Excel, а также на специализированных онлайн-ресурсах и калькуляторах. С помощью них вы легко можете проверить правильность своих вычислений и результатов.

Надеемся, что наша статья помогла вам в освоении этой базовой темы школьной математики. Если же вы пока не можете справиться с решением уравнений такого вида, не расстраивайтесь. Для понимания и закрепления изученной темы рекомендуется как можно больше практиковаться, и тогда у вас без труда получится решать задачи любой сложности. Желаем вам удачи в покорении математических вершин!

Видео

Из этого видео вы узнаете, как решать уравнения с двумя неизвестными.

liveposts.ru

как решаются системы уравнений в 7 классе

В 7 классе изучаются системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Это системы вида a1x + b1y + c1 = 0 a2x + b2y + c2 = 0 Решением такой системы называется пара чисел (x0,y0), при подстановке которой вместо пары чисел (x,y), то есть x0 вместо x, y=0 вместо y получаются два верных числовых равенства. Любая такая система может иметь единственное решение, бесконечно много различных решений, не иметь решений. В 7 классе рассматриваются следующие способы решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными: 1. Способ алгебраического сложения. Суть способа состоит в том, что каждое уравнение системы умножают на некоторое число так, чтобы при одной из неизвестной оказались коэффициенты, равные по модулю и противоположные по знаку. Затем, полученные уравнения складывают и получают уравнение с одним неизвестным, которое легко решается. Полученное значение неизвестного подставляют в любое из двух уравнений и решают его относительно второго неизвестного. Пример Решить систему 7х — 2у = 3 2х + 5у = 12 Умножим первое уравнение системы на 5, а второе на 2 35х — 10у = 15 4х + 10у = 24 Сложим полученные уравнения 35х — 10у + 4х + 10у = 15 + 24 39х = 39 х = 1 Подставим это значение х, например, в первое уравнение 7 — 2у = 3 4 = 2у у = 2 Ответ: х = 1, у = 2 2. Способ подстановки Суть способа состоит в том, что в одном из уравнений выражают одну из переменных через другую, т. е. преобразовывают его так, чтобы в левой части содержалась чистое неизвестное, без коэффициентов, а правая часть не зависела от этого неизвестного. Полученное выражение подставляют в другое уравнение вместо неизвестной и решают уравнение с одним неизвестным. По выражению для другой неизвестной через найденную определяют второе неизвестное. Данный способ является самым распространённым среди семиклассников. Пример Решить систему (та же самая система) 7х — 2у = 3 2х + 5у = 12 Выразим из первого уравнения у через х 2у = 7х — 3 у = (7х — 3)/2 Подставим это выражение вместо у во второе уравнение. 2х + 5*(7х — 3)/2 = 12 2х + 17,5х — 7,5 = 12 19,5х = 19,5 х = 1 Из выражения у = (7х — 3)/2 найдём н н = (7*1 — 3)/2 = 4/2 = 2 Ответ: х = 1, у = 2 3. Графический способ Суть способа состоит в том, что в каждом уравнении выражают одну переменную через другую, например, у через х, и строят в одной системе координат графики двух полученных линейных функций. Это будут две прямые. Координаты точки пересечения этих прямых (если они есть) составят ответ. Можно и не выражать одну переменную через другую, а просто выбрать два каких нибудь значения х, подставить каждое из них в первое уравнение и решить его относительно у. Получатся две точки, через которые можно провести прямую. Таким же способом построить и вторую прямую. Этот способ является самым наглядным, потому что он показывает, сколько решений имеет система. Пример Решить систему (та же самая система) 7х — 2у = 3 2х + 5у = 12 Пусть х =0, тогда из первого уравнения определяем у = -1,5, из второго — у = 2,4. Пусть х =2, тогда из первого уравнения определяем у = 5,5, из второго — у =1,6. Значит первая прямая проходит через точки (0; -1,5) и (2; 5,5), а вторая — через точки (0; 2,4) и (2; 1,6). Строим эти прямые на одном графике: <img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/047da14d4f6ad70142043e9c6b0f5052_i-140.jpg» > Из полученного рисунка видно, что прямые пересекаются в единственной точке с координатами (1; 2), значит система имеет единственное решение х = 1; у = 2. Ответ: х = 1, у = 2.

touch.otvet.mail.ru

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Вопросы занятия:

·  ввести понятие «система линейных уравнений»;

·  рассмотреть графический способ решения систем линейных уравнений.

Материал урока

Прежде, чем приступить к рассмотрению новой темы вспомним, что:

А теперь давайте рассмотрим задачу. Сумма двух чисел равна 25, а их разность – 17. Чему равны эти числа?

Пусть икс – первое число, а игрек – второе.

Так как по условию задачи сумма этих чисел равна 25, то можно составить уравнение:

Также известно, что разность чисел равна 17, а тогда можем записать следующее уравнение:

Таким образом, мы получили два уравнения с двумя переменными.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нам надо найти такие значения переменных

x и y, которые обращают каждое из уравнений в верное равенство, то есть найти общие решения уравнений.

Говорят, что требуется решить систему уравнений и записывают вот таким образом:

Теперь подбором найдём пару значений переменных:

Действительно, эта пара является решением каждого уравнения системы, так при подстановке этих значений мы получаем верные равенства.

Такая пара чисел называется решением системы.

Сформулируем определение.

Определение.

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство.

Решить систему уравнений – значит найти все её решения или доказать, что их нет.

Существует несколько способов решения систем уравнений с двумя переменными. И сейчас мы познакомимся с одним из них.

Возьмём следующую систему

Вам уже известно, как строить график линейного уравнения с двумя переменными. Давайте построим график каждого уравнения нашей системы.

Из каждого уравнения системы выразим переменную у через переменную х.

Так как графиком каждого из уравнений будет прямая, то для его построения нам достаточно указать две точки.

Отметим эти точки на координатной плоскости и проведём через них линии.

Обратите внимание, что построенные графики пересекаются в точке:

Координаты этой точки удовлетворяют обоим уравнениям, то есть являются решением системы уравнений. В этом можете убедиться самостоятельно, подставив эти значения в уравнения системы.

Таким образом, система имеет единственное решение:

Такой способ решения системы называется графическим.

Возникает вопрос: всегда ли система уравнений с двумя переменными имеет решения и если имеет, то сколько?

На примере мы с вами увидели, что если прямые (то есть графики уравнений) пересекаются, то система имеет единственное решение. А вот если прямые параллельны, то система не имеет решений. Если же прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений.

Рассмотрим пример, в котором надо выяснить, сколько решений имеет система.

Но сначала вспомним, что:

Пример.

Пример.

Пример.

Итоги урока

Итак, сегодня на уроке мы рассмотрели одни из способов решения систем линейных уравнений с двумя переменными. Но следует отметить, что графический способ позволяет чаще всего находить решения лишь приближённо.

videouroki.net