Как решать уравнение с разными степенями – Обобщающий урок по теме «Показательные уравнения и методы их решения с применением компьютерных технологий», 11-й класс — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 11.03.202030.12.2019 by alexxlab

Содержание

Обобщающий урок по теме «Показательные уравнения и методы их решения с применением компьютерных технологий», 11-й класс

Ключевые слова: применение компьютерных технологий , углубленное изучение математики

Цели:

обобщение и систематизация знаний,
раскрытие связей и отношений в изучаемом материале,
учить применять знания при решении базовых и нестандартных задач,
подготовить учащихся к ЕГЭ.

Оборудование:

компьютер,
мультимедийный проектор,
экран,
Приложение 1 (слайдовая презентация в PowerPoint) “Методы решения показательных уравнений”
Приложение 2 (Решение уравнения типа “Три разных основания степеней” в Word)
Приложение 3 (раздаточный материал в Word для практической работы).
Приложение 4 (раздаточный материал в Word для домашнего задания).

Ход урока

1. Организационный этап

сообщение темы урока (записана на доске),
необходимость проведения обобщающего урока в 10-11 классах:

в 10 классе – после прохождения темы с целью систематизации знаний;

в 11 классе – итоговое повторение с целью подготовки к ЕГЭ.

Этап подготовки учащихся к активному усвоению знаний

Повторение

Определение.

Показательным уравнением называется уравнение, содержащее переменную в показателе степени (отвечает учащийся).

Замечание учителя. Показательные уравнения относятся к классу трансцендентных уравнений. Это труднопроизносимое название говорит о том, что такие уравнения, вообще говоря, не решаются в виде формул.

Их можно решать только приближенно численными методами на компьютерах. А как же быть с экзаменационными задачами? Вся хитрость состоит в том, что экзаменатор так составляет задачу, что она как раз допускает аналитическое решение. Иными словами, Вы можете (и должны!) проделать такие тождественные преобразования, которые сводят данное показательное уравнение к самому простому показательному уравнению. Это самое простое уравнение так и называется: простейшее показательное уравнение. Оно решается логарифмированием.

Ситуация с решением показательного уравнения напоминает путешествие по лабиринту, который специально придуман составителем задачи. Из этих весьма общих рассуждений следуют вполне конкретные рекомендации.

Для успешного решения показательных уравнений необходимо:

1. Не только активно знать все показательные тождества, но и находить множества значений переменной, на которых эти тождества определены, чтобы при использовании этих тождеств не приобретать лишних корней, а тем более, – не терять решений уравнения.

2. Активно знать все показательные тождества.

3. Четко, подробно и без ошибок проделывать математические преобразования уравнений (переносить слагаемые из одной части уравнения в другую, не забыв про смену знака, приводить к общему знаменателю дроби и тому подобное). Это называется математической культурой. При этом сами выкладки должны делаться автоматически руками, а голова должна думать об общей путеводной нити решения. Делать преобразования надо как можно тщательней и подробней. Только это даст гарантию верного безошибочного решения. И помнить: небольшая арифметическая ошибка может просто создать трансцендентное уравнение, которое в принципе не решается аналитически. Выходит, Вы сбились с пути и уперлись в стенку лабиринта.

4. Знать методы решения задач (то есть знать все пути прохода по лабиринту решения). Для правильного ориентирования на каждом этапе Вам придется (сознательно или интуитивно!):

определить тип уравнения;
вспомнить соответствующий этому типу метод решения задачи.

Этап обобщения и систематизации изученного материала.

Учителем совместно с учащимися с привлечением компьютера проводится обзорное повторение всех видов показательных уравнений и методов их решения, составляется общая схема. (Используется обучающая компьютерная программа Л.Я. Боревского «Курс математики – 2000», автор презентации в PowerPoint – Т.Н. Купцова .)

Приложение 1

Рис. 1. На рисунке представлена общая схема всех типов показательных уравнений.

Как видно из этой схемы стратегия решения показательных уравнений состоит в том, чтобы привести данное показательное уравнение к уравнению, прежде всего, с одинаковыми основаниями степеней, а затем – и с одинаковыми показателями степеней.

Получив уравнение с одинаковыми основаниями и показателями степеней, Вы заменяете эту степень на новую переменную и получаете простое алгебраическое уравнение (обычно, дробно-рациональное или квадратное) относительно этой новой переменной.

Решив это уравнение и сделав обратную замену, Вы в результате приходите к совокупности простейших показательных уравнений, которые решаются в общем виде с помощью логарифмирования.

Особняком стоят уравнения, в которых встречаются лишь произведения (частные) степеней. Воспользовавшись показательными тождествами, удается эти уравнения привести сразу к одному основанию, в частности, – к простейшему показательному уравнению.

Рассмотрим, как решается показательное уравнение с тремя разными основаниями степеней.

(Если у учителя есть обучающая компьютерная программа Л.Я. Боревского «Курс математики – 2000» , то естественно работаем с диском, если нет – можно на каждую парту сделать распечатку такого типа уравнения из нее, представленную ниже.)

Приложение 2

Рис. 2. План решения уравнения.

Рис. 3. Начало решения уравнения

Рис. 4. Окончание решения уравнения.

Выполнение практической работы

Приложение 3 (раздаточный материал в Word для практической работы).

Задание: из списка уравнений выбрать уравнения указанного типа (№ ответа занести в таблицу) и решить их (ответ занести в таблицу):

Три разных основания степеней
Два разных основания – разные показатели степени
Основания степеней – степени одного числа
Одинаковые основания – разные показатели степеней
Одинаковые основания степеней – одинаковые показатели степеней
Произведение степеней
Два разных основания степеней – одинаковые показатели
Простейшие показательные уравнения

Фамилия
№ шага	A	B	C	D	E	F	G	H
№ соотв.типа уравнения
ответ

Выполняется попарная взаимопроверка с выставлением оценок.

Нормы оценок:

«5» – 100%
«4» – 1 ош. – 88%
2 ош. – 75%
«3» – 3 ош. – 63%
«2» – 4 ош. – 50%.

Решение нестандартного показательного уравнения

А теперь решим с вами одно из нестандартных показательных уравнений, которые необходимо научиться решать при подготовке к ЕГЭ (задание уровня С).

№218* (См. А.В. Столин. Комплексные упражнения по математике с решениями, 7-11 классы. Харьков, ИМП “Рубикон”, 1995)

Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Этап информации о домашнем задании

Домашнее задание.

Приложение 4

Определить тип уравнения и решить его.

Подведение итогов урока

Выставление оценок за урок.

Окончание урока

Для учителя

Схема ответов практической работы.

Задание: из списка уравнений выбрать уравнения указанного типа (№ ответа занести в таблицу):
Три разных основания степеней

Два разных основания – разные показатели степени

Основания степеней – степени одного числа

Одинаковые основания – разные показатели степеней

Одинаковые основания степеней – одинаковые показатели степеней

Произведение степеней

Два разных основания степеней – одинаковые показатели

Простейшие показательные уравнения

1. (произведение степеней)
2. (одинаковые основания – разные показатели степеней)
3. (три разных основания степеней)
4. (два разных основания степеней – одинаковые показатели)
5. (одинаковые основания – одинаковые показатели степеней)
6. ( (простейшее показательное уравнение)
7. (два разных основания – разные показатели степени)
8. (основания степеней – степени одного числа)

№ шага A B C D E F G H
№ соотв.типа уравнения 3 7 8 2 5 1 4 6
ответ -2; 4 -1 -0,5; 0,5 ; 0 -1 0; 2
Домашнее задание
1) (три разных основания степеней)

Ответ:

2) (два разных основания – разные показатели степени)

Ответ: х = 1,5

3) 0,125 (произведение степеней)

Ответ: х = 6

4) (одинаковые основания – разные показатели степеней)

Ответ: х = 1

5) (основания степеней – степени одного числа)

Ответ:

В зависимости от уровня подготовленности класса и, соответственно, темпа урока в оставшееся время можно познакомить учащихся с обучающей компьютерной с программой Л.Я. Боревского «Курс математики – 2000» и с её помощью рассмотреть решение показательного уравнения № 8.41. (Учитель проводит беседу с привлечением компьютера и разбор уравнения типа «Три разных основания степеней».)
urok.1sept.ru
Решение показательных уравнений. Видеоуроки
В этой статье вы познакомитесь со всеми типами показательных уравнений и алгоритмами их решения, научитесь распознавать, к какому типу принадлежит показательное уравнение, которое вам надо решить, и применять для его решения соответствующий метод. Подробное решение примеров показательных уравнений каждого типа вы сможете посмотреть в соответствующих ВИДЕОУРОКАХ.
Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени.
Прежде чем начать решать показательное уравнение, полезно сделать несколько предварительных действий, которые могут значительно облегчить ход его решения. Вот эти действия:
1. Разложите все основания степеней на простые множители.
2. Корни представьте в виде степени.
3. Десятичные дроби представьте в виде обыкновенных.
4. Смешанные числа запишите в виде неправильных дробей.

Пользу этих действий вы осознаете в процессе решения уравнений.
Рассмотрим основные типы показательных уравнений и алгоритмы их решения.
1. Уравнение вида
$a^{f(x)}=a^{g(x)}$
Это уравнение равносильно уравнению
Посмотрите в этом ВИДЕОУРОКЕ решение уравнения $1/27root{4}{9^{3x-1}}=27^{-{2/3}}$ этого типа.

2. Уравнение вида
$A_1a^{kx+b_1}+A_2a^{kx+b_2}+A_3a^{kx+b_3}+...=C$
В уравнениях этого типа:
а) все степени имеют одинаковые основания
б) коэффициенты при неизвестном в показателе степени равны.
Чтобы решить это уравнение, нужно вынести за скобку множитель в наименьшей степени.
Пример решения уравнения этого типа:
$3^{12x-1}-9^{6x-1}-27^{4x-1}+81^{3x+1}=2192$
посмотрите в ВИДЕОУРОКЕ.

3. Уравнение вида
$A_1a^{k_1x+b_1}+A_2a^{k_2x+b_2}+A_3a^{k_3x+b_3}+...=c$
Уравнения этого типа отличаются тем, что
а) все степени имеют одинаковые основания
б) коэффициенты при неизвестном в показателе степени разные.
Уравнения такого типа решаются с помощью замены переменных. Прежде чем вводить замену, желательно освободиться от свободных членов в показателе степени. (, , и т.д)
Посмотрите в ВИДЕОУРОКЕ решение уравнения этого типа:
$4^{x^2-x}-17*2^{x^2-x+2}+256=0$

4. Однородные уравнения вида
$A{{(a^{f(x)})}^2}+B{a^{f(x)}b^{g(x)}}+C{{(b^{g(x)})}^2}=0$
Отличительные признаки однородных уравнений:
а) все одночлены имеют одинаковую степень,
б) свободный член равен нулю,
в) в уравнении присутствуют степени с двумя различными основаниями.
Однородные уравнения решаются по сходному алгоритму.
Чтобы решить уравнение такого типа, разделим обе части уравнения на ${(b^{g(x)})}^2$ (можно разделить на $a^{f(x)}b^{g(x)}$ или на ${(a^{f(x)})}^2$ )
Внимание! При делении правой и левой части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять корни. Поэтому необходимо проверить, не являются ли корни того выражения, на которое мы делим обе части уравнения, корнями исходного уравнения.
В нашем случае, поскольку выражение ${(b^{g(x)})}^2$ не равно нулю ни при каких значениях неизвестного, мы можем делить на него без опаски. Разделим левую часть уравнения на это выражение почленно. Получим:
$A{{(a^{f(x)})}^2}/{{(b^{g(x)})}^2}+B{a^{f(x)}b^{g(x)}}/{{(b^{g(x)})}^2}+C{{(b^{g(x)})}^2}/{{(b^{g(x)})}^2}=0$
Сократим числитель и знаменатель второй и третьей дроби:
$A({{a^{f(x)}/{b^{g(x)}})}^2}+B({{a^{f(x)}/{b^{g(x)}})}}+C=0$
Введем замену:
$t={a^{f(x)}}/{b^{g(x)}}$ , причем при всех допустимых значениях неизвестного.
Получим квадратное уравнение:
Решим квадратное уравнение, найдем значения , которые удовлетворяют условию , а затем вернемся к исходному неизвестному.
Смотрите в ВИДЕОУРОКЕ подробное решение однородного уравнения:

5. Уравнение вида
${f(x)}^{g(x)}={f(x)}^{h(x)}$
При решении этого уравнения будем исходить из того, что
Исходное равенство выполняется в двух случаях:
1. Если , поскольку 1 в любой степени равна 1,
или
2. При выполнении двух условий:
Посмотрите в ВИДЕОУРОКЕ подробное решение уравнения
${(1-x^2)}^{{(2+x)}^2}={(1-x^2)}^{(8x-2)(x+2)}$

И.В. Фельдман, репетитор по математике.
ege-ok.ru
Уравнения со степенями | Логарифмы

Рассмотрим показательные уравнения со степенями, содержащими две степени с разными основаниями и одинаковыми показателями:

(где a и b — положительные числа, отличные от единицы).
Уравнения такого вида называются однородными показательными уравнениями первой степени. Однородные уравнения решаются делением на одну из степеней:

(так как b>0, то

при любом показателе f(x), то есть деление на степень не приводит к потере корней).

В результате деление получаем с одной стороны частное степеней с одинаковыми показателями, с другой — единицу:

По свойству степеней,

а единицу можно представить как степень с любым основанием и показателем 0:

Приравниваем показатели:

Рассмотрим примеры решений такого вида уравнений со степенями.

ОДЗ: x∈R.
Разделим обе части уравнения на степень, стоящую в правой части уравнения:

Преобразуем левую часть уравнения

и представим единицу в виде степени с таким же основанием, что и степень в левой части

Из равенства степеней с одинаковыми основаниями следует равенство показателей этих степеней:

Ответ: 2,5.

ОДЗ: x∈R.
Делим обе части уравнения на степень, стоящую в правой части:

Приравняв показатели степеней, приходим к квадратному уравнению

корни которого —

Ответ: 1; 5.

ОДЗ: x∈R.

Это — простейшее тригонометрическое уравнение, корни которого

Ответ: πn, n∈Z.
www.logarifmy.ru