Урок алгебры «Решение задач с помощью систем уравнений» (7-й класс)

Цели:

• научить детей решать задачи с помощью составления систем уравнений;
• познакомить и литературным наследием родного края, вспоминая творчество П.П.Бажова;
• использовать при решении задач факты окружающей действительности.

ХОД УРОКА

1. Подготовка к восприятию материала (проверка опорных знаний)

Учитель, используя медиапроектор, восстанавливает изученную ранее тему. Детям задаются вопросы их предполагаемые ответы, воспроизводятся на экране.

Вопросы:

• Посмотрите на экран, что вы видите? (Презентация. Слайд 1)
• Что такое система уравнений? (Презентация. Слайд 2)
• Какие способы решения систем уравнений вы знаете? ( Презентация. Слайд 3)
• Давайте вспомним суть применения каждого способа  (Презентация. Слайды 4, 5, 6).

– Система уравнений не только позволяет установить общие корни уравнений, содержащихся в ней, но и становится хорошим помощником при решении задач. В таких задачах неизвестных компонентов более одного и они связаны друг с другом условием. Сегодня мы рассмотрим задачи, в которых неизвестно два каких либо элемента и будем учиться решать такие задачи с помощью составления системы уравнений.

Дети записывают в тетрадях число, тему урока. (Презентация. Слайд 7)

2. Изучение новой темы

Задача 1

– Рассмотрим для примера такую задачу.
Я знаю, что в классе 20 учеников. Среди них есть девочки и мальчики.  А еще я знаю, что девочек больше чем мальчиков на 4 человека. Сколько мальчиков и девочек в этом классе? Ответ можно узнать двумя способами: 1) просто пересчитать; 2) решить такую задачу: (

Презентация. Слайд 8)
Пусть     х – количество девочек
y – количество мальчиков
Т.к. мальчиков и девочек вместе – 20. Получим уравнение: х + у = 20
С другой стороны девочек больше чем мальчиков на 4
Значит можно получить следующее уравнение      х – у = 4
Объединим оба эти уравнения в систему, т.к в каждом уравнении речь идет об одних и те же детях., получим:
Далее дети самостоятельно решают систему уравнений, на листочках под копирку.

Ответ: В классе 8 мальчиков и 12 девочек.

3. Самостоятельная работа в парах

У вас на партах лежат цветные карточки. На экране появятся условия задач. Вы выбираете для решения ту задачу, которая расположена на таком же цветном фоне, что и цвет вашей карточки. (Слайд 9)

Записывают составленную систему на тех же листочках под копирку.

Задача 2

1) В Зоопарке г. Екатеринбурга, живет много разных животных. Среди них есть медведи – бурые и белые. Известно, что всего в зоопарке живет 9 медведей, а бурых на 5 медведей больше, чем белых. Сколько белых и бурых медведей живет в зоопарке г. Екатеринбурга?

Решение:  

Ответ: В зоопарке 2 белых медведя и 7 бурых медведей.

2) В Зоопарке г. Екатеринбурга, живет много разных животных. Среди них есть лисы – черные и рыжие. Известно, что всего в зоопарке живет 7 лис, а черных на 3 лисы меньше, чем рыжих. Сколько черных и рыжих лис живет в зоопарке г. Екатеринбурга?

Решение

Ответ: В зоопарке 5 рыжих лисиц и 2 черные лисицы.

После того как дети самостоятельно составили систему уравнений – листочки сдают, проверка. Решать эти системы они будут дома.

– Вы должны поднять карточку в том случае, если система составлена правильно. (Презентация. Слайд 10)

4. Закрепление материала

– А сейчас, я хочу рассказать вам об очень интересном человеке. Он родился в 28 января 1879 году, в семье мастера Сысертского завода. И отец, и дед его, и прадед всю жизнь провели на медеплавильных заводах Сысертского горного округа. В 1899 году он стал народным учителем и трудовой свой путь начал в глухой уральской деревне Шайдурихе, возле старинного города Невьянска.
С детства он прислушивался к рассказам рабочих об их тяжелой жизни, позже изучил много документов, рассказывающих о горнозаводском Урале. В летние каникулы он пешком или на велосипеде путешествовал по уральским заводам и деревням, по реке Чусовой, изучал труд камнерезов и гранильщиков, сталеваров и литейщиков, беседовал с ними о тайнах их ремесла

Люди говорили, что живет в горах Малахитница (Хозяйка Медной горы), охраняет камни, рядом с ней всегда много ящериц, а иногда и сама ящерицей оборачивается.
А звали этого интересного человека Павел Петрович Бажов. (Презентация. Слайд 11)

Колдун уральский бородатый,
Бажов дарит нам новый сказ.
«Живинка в деле» – сказ богатый
И поучительный для нас.
В нем слово каждое лучится,
Его направленность мудра,
Найдут, чему здесь поучиться,
Любого дела мастера
Важны в работе ум и чувство,

В труде двойное естество
«Живинкой в деле» мастерство
Преображается искусство,
И нет тогда ему границ.
И совершенству нет предела,
Не оторвать тогда от дела
Ни мастеров, ни мастериц.
Их вдохновение безмерно,
Глаза их пламенем горят.
Они работают? Неверно.
Они – творят.

Демьян Бедный

– Вы знаете его сказы или повести?
– Что означает слово «сказ»?

Сказ – это литературное произведение, в котором рассказчиком является не сам писатель, а другой, вымышленный им человек.

– В сказах Бажова живет хранительница недр, покровительница уральских рудокопов. Как ее зовут?

– Хозяйка Медной горы. (Презентация. Слайд 12)
– В каких сказах Бажова встречается Хозяйка Медной горы?

• Малахитовая шкатулка,
• Каменный цветок
• Горный мастер
• Хрупкая веточка
• Таюткино зеркальце
• Две ящерки
• Приказчиковы подошвы
• Сочневы камешки

– В сказах Бажова главными героями выступали и дети (Презентация. Слайд 13), это такие сказы как:

• Тяжелая витушка
• Серебряное копытце
• Хрупкая веточка
• Каменный цветок
• Огневушка-Поскакушка
• Таюткино зеркальце
• Малахитовая шкатулка
• Жабреев ходок
• Голубая змейка

– У меня в руках книга, в которой собраны произведения П.П.Бажова. Она называется «Малахитовая шкатулка». В этой книге разное количество сказов и повестей. Книга большая и в ней много страниц.

Задача 3 (Презентация. Слайд 15)

Я знаю, что 2 сказа о Хозяйке Медной горы и 3 сказа о героях-детях занимают 94 страницы. А 3 сказа о Хозяйке Медной горы и и 4 сказа о героях детях занимают 133 страниц. Помогите мне узнать, сколько страниц может занимать 1 сказ о Хозяйке Медной горы и 1 сказ о героях-детях?

Х стр. – о Х. М.г.                     2х + 3у = 94
У стр. – о Д.                             3х + 4у = 133
Получим систему

Ответ: 1 сказ о ХМг занимает 23 страницы; 1 сказ о детях занимает 16 страниц

Задача 4 (дополнительно) (Презентация. Слайд17)

Старик Кокованя приютил у себя сироту. Девочка Даренка была смышленая и чудная. Встретилась она с волшебным козлом, которого прозвали Серебряное копытце. При каждой встрече с ним можно было собрать много каменьев.  При первой встрече Даренка собрала два мешочка гранатов и три мешочка малахита, всего 1300 гр. А при второй встрече один мешочек  гранатов и два мешочка малахит, всего 800 грамм. Сколько грамм самоцветов содержится в каждом мешочке с малахитом и в каждом мешочке с гранатом?

Хгр – 1 мешочек малахита                    2у + 3х = 1300
Угр – 1 мешочек граната                       у + 2х = 800

Получим систему

Ответ: В 1 мешочке 300гр малахита и 200гр. граната

– Я предлагаю каждому из вас, вернувшись, домой, прочитать сказы Бажова, ведь он писал их для нас.

5. Подведение итогов урока, выставление оценок.

– Итак, подведем итоги. Какая сегодня у нас была тема урока?

– Что нового вы узнали, чему научились?
– Остались ли у вас вопросы, на которые учитель должен будет ответить на следующем уроке?

6. Домашнее задание

1. Решить задачу 1 графическим способом.
2. Составить и решить задачу, в которой вы можете узнать возраст своих родителей, с помощью системы уравнений.

urok.1sept.ru

Как решать систему уравнений за 7 класс

Понять сущность этого способа проще всего на примере решения одной из типичных систем, включающей в себя два уравнения и требующей нахождения значений двух неизвестных. Так, в этом качестве может выступить следующая система, состоящая из уравнений x + 2y = 6 и x — 3y = -18. Для того чтобы решить ее методом подстановки, требуется в любом из уравнений выразить один член через другой. Например, это можно сделать, используя первое уравнение: x = 6 — 2y.

Затем необходимо подставить полученное выражение во второе уравнение вместо x. Результатом такой подстановки станет равенство вида 6 — 2y — 3y = -18. Произведя простые арифметические вычисления, это уравнение легко привести к стандартному виду 5y = 24, откуда y = 4,8. После этого полученное значение следует подставить в выражение, использованное для подстановки. Отсюда x = 6 — 2*4,8 = -3,6.

Затем целесообразно осуществить проверку полученных результатов, подставив их в оба уравнения первоначальной системы. Это даст следующие равенства: -3,6 + 2*4,8 = 6 и -3,6 — 3*4,8 = -18. Оба этих равенства являются верными, благодаря чему можно сделать вывод о том, что система решена правильно.

Второй способ решения подобных систем уравнений носит название способа сложения, который можно проиллюстрировать на основании того же примера. Для его использования следует все члены одного из уравнений умножить на определенный коэффициент, в результате чего один из них станет противоположным другому. Выбор такого коэффициента осуществляется методом подбора, причем одну и ту же систему можно правильно решить, используя разные коэффициенты.

В данном случае целесообразно произвести умножение второго уравнения на коэффициент -1. Таким образом, первое уравнение сохранит свой первоначальный вид x + 2y = 6, а второе приобретет вид -x + 3y = 18. Затем необходимо сложить полученные уравнения: x + 2y — x + 3y = 6 + 18.

Произведя простые вычисления, можно получить уравнение вида 5y = 24, которое аналогично уравнению, ставшему результатом решения системы способом подстановки. Соответственно, корни такого уравнения также окажутся теми же величинами: x = -3,6, y = 4,8. Это наглядно демонстрирует, что оба способа являются одинаково применимыми для решения систем подобного рода, и оба дают одинаковые правильные результаты.

Выбор того или иного способа может зависеть от личных предпочтений ученика или от конкретного выражения, в котором проще выразить один член через другой или подобрать коэффициент, который сделает члены двух уравнений противоположными.

www.kakprosto.ru

Конспект урока алгебры в 7 классе по теме «Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными»

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА АЛГЕБРЫ В 7 КЛАССЕ

Тема урока: «Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными»

Цель урока:

Образовательная: изучить способы решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Развивающая: развивать учебно-познавательную и коммуникативную компетентность, способствовать формированию умений анализировать, делать выводы.

Воспитательная: воспитывать самостоятельность, культуру общения.

Оборудование: учебник для общеобразовательных учреждений в 2 ч. А. Г. Мордкович. «Алгебра 7 класс», компьютер, проектор.

Средства обучения: презентация Power Point «Решение систем уравнений»; карточки для работы в группе; сигнальные карточки.

Тип урока: урок изучения новой темы

Ход урока:

№

Этапы урока

Деятельность

Средства обучения

(презентация)

учителя

учащихся

1

Организационный

момент

Здравствуйте! Садитесь.

Сегодня мы работаем под девизом….

Приветствуют учителя.

Читают девиз урока

Слайд 1.

Девиз урока:

Где есть желание, найдется путь.

2

Актуализация опорных знаний (устная работа)

Сегодня на уроке мы повторим понятие уравнение и расширим эту тему. Устно выполните задание.

Чем отличаются эти уравнения?

Какое уравнение называется линейным уравнением с двумя переменными?

Что является решением линейного уравнения с двумя переменными?

Сколько решений имеет данная задача?

Отвечают на вопросы

Составляют математическую модель: х+у=10

Отвечают на вопрос.

Слайд 2.

1) Выберите из данных равенств уравнения:

а)2х+5=10;

б) 8у-6=3у+5;

в)(56+25):9=3*3;

г) 2у=6х+4;

2) Составив математическую модель этой задачи, найдите решение: Сумма двух натуральных чисел равна 10.

3

Создание проблемной ситуации

Мы получили два уравнения с двумя неизвестными, эти уравнения объединены одним условием. В алгебре говорят, что получили систему уравнений. Фигурная скобка означает, что оба уравнения должны выполняться одновременно.

Составляют математическую модель:

Слайд 3.

Решите задачу, составив математическую модель: У двух подруг были конфеты. У Оли было на 2 конфеты больше, чем у Маши. Всех конфет было 14.Сколько конфет было у каждой девочки?

4

Постановка учебной задачи

Итак, что мы должны сделать, чтобы решить задачу?

Вы умеете решать системы уравнений?

Решить систему линейных уравнений с двумя переменными, это значит, надо найти пару точек (х,у), которая одновременно является решением и первого, и второго уравнений системы.

Значит, цель нашего урока заключается

Отвечают: решить систему уравнений.

Отвечают: нет.

Отвечают: научиться решать системы линейных уравнений с двумя переменными

Слайд 4.

Тема урока: Система линейных уравнений с двумя неизвестными

Цель урока: Научиться решать системы линейных уравнений с двумя переменными

5

Изучение новой темы

Сегодня вы изучите способы решения систем уравнений с двумя неизвестными. Будете работать в группах. Соблюдайте правила работы в группе. У каждой группы свой способ решения и план изучения темы.

Затем каждая группа рассказывает о своем способе решения у доски.

Выполняют работу в группе:

1 группа — графический способ

2 группа – способ подстановки

3 группа – способ сложения.

Слайд 5.

Правила работы в группе

1. Прочитайте задание самостоятельно и приступайте к работе.

2. Если что-то непонятно, обсудите в группе.

3. Не перекрикивайте своего напарника, выслушайте его, а потом предлагайте свою версию.

4. Примите общее решение, выполняйте задание.

5. Помогите друг другу.

6. Поблагодарите друг друга

Приложение. Карточки для работы в группе

6

Первичное усвоение новых знаний

Учитель проверяет, помогает при составлении алгоритма

Рассказывает о своем методе решения у доски 1 человек от группы.

Слайд 6-8

Алгоритм решения системы уравнений

6

Первичная проверка понимания

Решите систему уравнений наиболее удобным для вас способом.

Решают систему уравнений.

Слайд 9

Решить систему уравнений:

7

Подведение итогов урока

Урок подходит к концу. Давайте вспомним, какую цель мы пытались достичь на уроке.

Откуда возникла потребность в изучении данной темы?

А теперь вы можете решить это задание?

Отвечают на вопросы. Делают выводы

Проверяют ответ задачи.

Слайд 10

Ответ : (8, 6)

У Оли было 8 конфет, у Маши 6 конфет.

8

Домашнее задание

Домашнее задание: решить систему уравнений всеми способами, которым вы научились сегодня на уроке.

Записывают домашнее задание.

Слайд 12

№

9

Рефлексия учебной деятельности на уроке

Покажите свои сигнальные карточки

согласно того, как вы поняли тему урока.

Показывают сигнальные карточки

Слайд 11

Рефлексия

Зеленый — мне очень понравился урок. Все было интересно. Я понял тему, готов идти дальше в изучении математики.

Желтый – урок мне понравился, но я не очень активно в нем участвовал.

Красный – мне на уроке было не интересно! (Тревога! Остановись, подумай — и вперед!)

Приложение.

Группа 1.

1. Изучите решение системы линейных уравнений по данному образцу:

а)

Решение: Построим графики уравнений в одной системе координат.

х – у = 1;

х + 3у = 9;

Координаты точки пересечения графиков – решение системы.

Ответ: ( 3 ; 2 )

2. Аналогичным способом выполните в тетради решение системы уравнений:

б)

Ответ: ( ; ).

3. Попробуйте сформулировать алгоритм решения системы.

4. Предложите название своего метода решения системы.

Группа 2.

1. Изучите решение системы линейных уравнений по данному образцу:

а)

Решение: Выразим из первого уравнения переменную х.

Подставим во второе уравнение вместо х полученное выражение:

Преобразуем второе уравнение

Ответ: ( 3; 2 )

2. Аналогичным способом выполните в тетради решение системы уравнений:

б)

Ответ: ( ; ).

3. Попробуйте сформулировать алгоритм решения системы.

4. Предложите название своего метода решения системы.

Группа 3.

5. Изучите решение системы линейных уравнений по данному образцу:

а)

Решение: Умножим первое уравнение на 3.

Получим . Теперь мы видим, что коэффициенты при переменной у являются противоположными числами.

Сложим почленно эти два уравнения: +

Получим (3х-3у) + (х+3у) = 3+9;

4х=12;

х=3.

Подставим найденное значение переменной х в первое уравнение и найдем значение переменной у: 3 — у = 1; -у = 1 -3; -у = -2; у = 2.

Ответ: ( 3; 2 )

6. Аналогичным способом выполните в тетради решение системы уравнений:

б)

Ответ: ( ; ).

7. Попробуйте сформулировать алгоритм решения системы.

8. Предложите название своего метода решения системы.

infourok.ru