Как решать уравнения системы: Решение систем уравнений — метод как решить систему линейных уравнений

Содержание

100 ballov.kz образовательный портал для подготовки к ЕНТ и КТА

В 2021 году казахстанские школьники будут сдавать по-новому Единое национальное тестирование. Помимо того, что главный школьный экзамен будет проходить электронно, выпускникам предоставят возможность испытать свою удачу дважды. Корреспондент zakon.kz побеседовал с вице-министром образования и науки Мирасом Дауленовым и узнал, к чему готовиться будущим абитуриентам.

— О переводе ЕНТ на электронный формат говорилось не раз. И вот, с 2021 года тестирование начнут проводить по-новому. Мирас Мухтарович, расскажите, как это будет?

— По содержанию все остается по-прежнему, но меняется формат. Если раньше школьник садился за парту и ему выдавали бумажный вариант книжки и лист ответа, то теперь тест будут сдавать за компьютером в электронном формате. У каждого выпускника будет свое место, огороженное оргстеклом.

Зарегистрироваться можно будет электронно на сайте Национального центра тестирования. Но, удобство в том, что школьник сам сможет выбрать дату, время и место сдачи тестирования.

Кроме того, в этом году ЕНТ для претендующих на грант будет длиться три месяца, и в течение 100 дней сдать его можно будет два раза.

— Расскажите поподробнее?

— В марте пройдет тестирование для желающих поступить на платной основе, а для претендующих на грант мы ввели новые правила. Школьник, чтобы поступить на грант, по желанию может сдать ЕНТ два раза в апреле, мае или в июне, а наилучший результат отправить на конкурс. Но есть ограничение — два раза в один день сдавать тест нельзя. К примеру, если ты сдал ЕНТ в апреле, то потом повторно можно пересдать его через несколько дней или в мае, июне. Мы рекомендуем все-таки брать небольшой перерыв, чтобы еще лучше подготовиться. Но в любом случае это выбор школьника.

— Система оценивания останется прежней?

— Количество предметов остается прежним — три обязательных предмета и два на выбор. Если в бумажном формате закрашенный вариант ответа уже нельзя было исправить, то в электронном формате школьник сможет вернуться к вопросу и поменять ответ, но до того, как завершил тест.

Самое главное — результаты теста можно будет получить сразу же после нажатия кнопки «завершить тестирование». Раньше уходило очень много времени на проверку ответов, дети и родители переживали, ждали вечера, чтобы узнать результат. Сейчас мы все автоматизировали и набранное количество баллов будет выведено на экран сразу же после завершения тестирования.
Максимальное количество баллов остается прежним — 140.

— А апелляция?

— Если сдающий не будет согласен с какими-то вопросами, посчитает их некорректными, то он сразу же на месте сможет подать заявку на апелляцию. Не нужно будет ждать следующего дня, идти в центр тестирования, вуз или школу, все это будет электронно.

— С учетом того, что школьникам не придется вручную закрашивать листы ответов, будет ли изменено время сдачи тестирования?

— Мы решили оставить прежнее время — 240 минут. Но теперь, как вы отметили, школьникам не нужно будет тратить час на то, чтобы правильно закрасить лист ответов, они спокойно смогут использовать это время на решение задач.

— Не секрет, что в некоторых селах и отдаленных населенных пунктах не хватает компьютеров. Как сельские школьники будут сдавать ЕНТ по новому формату?

— Задача в том, чтобы правильно выбрать время и дату тестирования. Центры тестирования есть во всех регионах, в Нур-Султане, Алматы и Шымкенте их несколько. Школьники, проживающие в отдаленных населенных пунктах, как и раньше смогут приехать в город, где есть эти центры, и сдать тестирование.

— На сколько процентов будет обновлена база вопросов?

— База вопросов ежегодно обновляется как минимум на 30%. В этом году мы добавили контекстные задания, то что школьники всегда просили. Мы уделили большое внимание истории Казахстана и всемирной истории — исключили практически все даты. Для нас главное не зазубривание дат, а понимание значения исторических событий. Но по каждому предмету будут контекстные вопросы.

— По вашему мнению система справится с возможными хакерскими атаками, взломами?

— Информационная безопасность — это первостепенный и приоритетный вопрос. Центральный аппарат всей системы находится в Нур-Султане. Связь с региональными центрами сдачи ЕНТ проводится по закрытому VPN-каналу. Коды правильных ответов только в Национальном центре тестирования.

Кроме того, дополнительно через ГТС КНБ (Государственная техническая служба) все тесты проходят проверку на предмет возможного вмешательства. Здесь все не просто, это специальные защищенные каналы связи.

— А что с санитарными требованиями? Нужно ли будет школьникам сдавать ПЦР-тест перед ЕНТ?

— ПЦР-тест сдавать не нужно будет. Требование по маскам будет. При необходимости Центр национального тестирования будет выдавать маски школьникам во время сдачи ЕНТ. И, конечно же, будем измерять температуру. Социальная дистанция будет соблюдаться в каждой аудитории.

— Сколько человек будет сидеть в одной аудитории?

— Участники ЕНТ не за семь дней будут сдавать тестирование, как это было раньше, а в течение трех месяцев. Поэтому по заполняемости аудитории вопросов не будет.

— Будут ли ужесточены требования по дисциплине, запрещенным предметам?

— Мы уделяем большое внимание академической честности. На входе в центры тестирования, как и в предыдущие годы, будут стоять металлоискатели. Перечень запрещенных предметов остается прежним — телефоны, шпаргалки и прочее. Но, помимо фронтальной камеры, которая будет транслировать происходящее в аудитории, над каждым столом будет установлена еще одна камера. Она же будет использоваться в качестве идентификации школьника — как Face ID. Сел, зарегистрировался и приступил к заданиям. Мы применеям систему прокторинга.

Понятно, что каждое движение абитуриента нам будет видно. Если во время сдачи ЕНТ обнаружим, что сдающий использовал телефон или шпаргалку, то тестирование автоматически будет прекращено, система отключится.

— А наблюдатели будут присутствовать во время сдачи тестирования?

— Когда в бумажном формате проводили ЕНТ, мы привлекали очень много дежурных. В одной аудитории было по 3-4 человека. При электронной сдаче такого не будет, максимум один наблюдатель, потому что все будет видно по камерам.

— По вашим наблюдениям школьники стали меньше использовать запрещенные предметы, к примеру, пользоваться телефонами?

— Практика показывает, что школьники стали ответственнее относиться к ЕНТ. Если в 2019 году на 120 тыс. школьников мы изъяли 120 тыс. запрещенных предметов, по сути у каждого сдающего был телефон. То в прошлом году мы на 120 тыс. школьников обнаружили всего 2,5 тыс. телефонов, и у всех были аннулированы результаты.

Напомню, что в 2020 году мы также начали использовать систему искусственного интеллекта. Это анализ видеозаписей, который проводится после тестирования. Так, в прошлом году 100 абитуриентов лишились грантов за то, что во время сдачи ЕНТ использовали запрещенные предметы.

— Сколько средств выделено на проведение ЕНТ в этом году?

Если раньше на ЕНТ требовалось 1,5 млрд тенге из-за распечатки книжек и листов ответов, то сейчас расходы значительно сокращены за счет перехода на электронный формат. Они будут, но несущественные.

— Все-таки почему именно в 2021 году было принято решение проводить ЕНТ в электронном формате. Это как-то связано с пандемией?

— Это не связано с пандемией. Просто нужно переходить на качественно новый уровень. Мы апробировали данный формат на педагогах школ, вы знаете, что они сдают квалификационный тест, на магистрантах, так почему бы не использовать этот же формат при сдаче ЕНТ. Тем более, что это удобно, и для школьников теперь будет много плюсов.

Решение систем уравнений второй степени и решение задач с помощью таких систем 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком

Тема 8.

Решение систем уравнений второй степени и решение задач с помощью таких систем.

Какие основные способы решения систем уравнений вы знаете? (методы сложения, подстановки, графический)

Каким способом можно решить систему, одно из уравнений которой – уравнение второй степени?

Такие системы всегда можно решить способом подстановки. Для этого поступают следующим образом:

  1. Выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;
  2. Подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;
  3. Решают получившееся уравнение с одной переменной;
  4. Находят соответствующие значения второй переменной.

Рассмотрим пример:

Решим систему уравнений:

x2+y=14,y-x=8;

Выразим из первого уравнения переменную y и подставим во второе:

y=14-x2,14-x2-x=8;

Решим второе уравнение, относительно х:

x2 + x — 6 = 0, корни которого равны (– 3) и 2.

Вернемся к системе:

x1=-3,y1=14—32;

x1=-3,y1=14—32;

x1=-3,y1=5;

x2=2,y2=10;

Рассмотрим еще один пример, решим систему

x2-y2=17,x-y=2;

Эту систему так же можно решить методом подстановки, выразив переменную x, но можно упростить первое уравнение.

Заметим, что левую часть первого уравнения можно разложить на множители по формуле разности квадратов, получим:

x-yx+y=17,x-y=2;

Из второго уравнения разность xy = 2. Поэтому вместо первой скобки в первое уравнение подставим число 2, получим:

2x+y=17,x-y=2;

2x+y=17,x-y=2;

Разделим обе части первого уравнения на 2, получим:

x+y=8,5,x-y=2;

А эту систему давай решим методом сложения, сложим два уравнения, а затем из первого уравнения вычтем второе, получим:

2x=10,5,2y=6,5;

x=5,25,y=3,25.

А теперь решим несколько задач с помощью систем: уравнений второй системы:

Сумма двух чисел равна 12, а их произведение равно 35. Найдите эти числа.

Пусть число x – первое число, а y – второе число. Тогда получим:

x+y=12,x∙y=35;

Выразим из первого уравнения переменную х и подставим во второе, получим:

x=12-y,x∙y=35;

x=12-y,12-yy=35;

Решим уравнение:

12yy2 — 35 = 0

y2 — 12y + 35 = 0

Получим корни 5 и 7.

Возвращаемся к нашей системе:

y1=55x=35

y2=7,7x=35;

y1=5×1=7

y2=7×2=5

Ответ: (7;5) и (5;7)

Рассмотрим еще одну задачу:

Площадь прямоугольного треугольника равен 24 см2, а его гипотенуза равна 10 см. Каковы катеты треугольника?

Пусть a – длина одного катета, а b – длина второго катета.

Вспомним формулу площади прямоугольного треугольника и теорему Пифагора:

Итак, площадь равна половине произведения катетов.

А квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

12ab=24a2+b2=100

Решим эту систему, первое уравнение домножим на 2, получим:

ab=48a2+b2=100

Выразим переменную а из первого уравнения и подставим во второе, получим:

a=48b48b2+b2=100

Решим второе уравнение системы:

2304b2+b2-100=0,

b4-100b2+2304=0, решим это биквадратное уравнение:

Пусть b2 = t, тогда получим:

t2 — 100t + 2304 = 0, отсюда

t1 = 64, t2 = 36

Возвращаемся к нашей замене, получим:

b1,2=±8,b3,4=±6, так как b – это длина катета, то она не может быть отрицательной, следовательно, b равно 6 или 8, тогда второй катет равен 8 или 6 соответственно.

Рациональные уравнения и системы — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Формулы сокращенного умножения

К оглавлению…

При выполнении различных алгебраических преобразований часто удобно пользоваться формулами сокращенного умножения. Зачастую эти формулы применяются не столько для того чтобы сократить процесс умножения, а наоборот скорее для того, чтобы по результату понять, что его можно представить как произведение некоторых множителей. Таким образом, данные формулы нужно уметь применять не только слева направо, но и справа налево. Перечислим основные формулы сокращенного умножения. Квадрат суммы:

Квадрат разности:

Предыдущие две формулы также иногда записывают в несколько другом виде, который даёт нам какое-то выражение для суммы квадратов:

Также нужно понимать, что будет получаться если в скобках в квадрате знаки будут расставлены «нестандартным» способом:

Теперь идём далее. Формула сокращенного умножения разность квадратов:

Разность кубов:

Сумма кубов:

Куб суммы:

Куб разности:

Последние две формулы также часто удобно использовать в виде:

 

Квадратное уравнение и квадратный трехчлен

К оглавлению…

Пусть квадратное уравнение имеет вид:

Тогда дискриминант находят по формуле:

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формуле:

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень (его кратность: 2), который ищется по формуле:

Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней. В случае когда квадратное уравнение имеет два корня, соответствующий квадратный трехчлен может быть разложен на множители по следующей формуле:

Если квадратное уравнение имеет один корень, то разложение соответствующего квадратного трехчлена на множители задается следующей формулой:

Только в случае если квадратное уравнение имеет два корня (т.е. дискриминант строго больше ноля) выполняется Теорема Виета. Согласно Теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения равна:

Произведение корней квадратного уравнения согласно теореме Виета может быть вычислено по формуле:

График параболы задается квадратичной функцией:

При этом координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины (или точка в которой квадратный трехчлен достигает своего наибольшего или наименьшего значения):

Игрек вершины параболы или максимальное, если ветви параболы направлены вниз (a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a > 0), значение квадратного трехчлена:

 

Основные свойства степеней

К оглавлению…

У математических степеней есть несколько важных свойств, перечислим их. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя:

При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются:

Если перемножаются числа с одинаковой степенью, но разным основанием, то можно сначала перемножить числа, а затем произведение возвести в эту степень. Обратная процедура также возможна, если имеется произведение в степени, то можно каждое из умножаемых возвести в эту степень по отдельности а результаты перемножить:

Также, если делятся числа с одинаковой степенью, но разным основанием, то можно сначала поделить числа, а затем частное возвести в эту степень (обратная процедура также возможна):

Несколько простых свойств степеней:

Последнее свойство выполняется только при n > 0. Ноль можно возводить только в положительную степень. Ну а основное свойство отрицательной степени записывается следующим образом:

 

Основные свойства математических корней

К оглавлению…

Математический корень можно представить в виде обычной степени, а затем пользоваться всеми свойствами степеней приведёнными выше. Для представления математического корня в виде степени используют следующую формулу:

Тем не менее можно отдельно выписать ряд свойств математических корней, которые основываются на свойствах степеней описанных выше:

Для арифметических корней выполняется следующее свойство (которое одновременно можно считать определением корня):

Последнее справедливо: если n – нечетное, то для любого a; если же n – четное, то только при неотрицательном a. Для корня нечетной степени выполняется также следующее равенство (из под корня нечетной степени можно выносить знак «минус»):

Так как значение корня четной степени может быть только неотрицательным, то для таких корней имеется следующее важное свойство:

 

Некоторые дополнительные сведения из алгебры

К оглавлению…

Если x0 – корень многочлена n-ой степени Pn(x), то выполняется следующее равенство (здесь Qn-1(x) – некоторый многочлен (n – 1)-ой степени):

Процедура в рамках которой квадратный трехчлен представляется как скобка в квадрате и еще некоторое слагаемое называется выделением полного квадрата. И хотя операцию выделения полного квадрата проще выполнять каждый раз «с ноля» в конкретных цифрах, тем не менее имеется и общая формула, с помощью которой можно записывать сразу результат выделения полного квадрата:

Существует операция, обратная операции сложения дробей с одинаковыми знаменателями, и которая называется почленным делением. Она заключается в том, чтобы наоборот каждое слагаемое из суммы в числителе некоторой дроби, записать отдельно над знаменателем этой дроби. Для операции почленного деления также можно записать общую формулу:

Существует также формула для разложения суммы квадратов на множители:

 

Решение рациональных уравнений

К оглавлению…

Решить уравнение – значит найти все его корни. Основной метод решения – путем алгебраических преобразований или замены переменных свести уравнение к равносильному, которое решается просто (например, к квадратному). Если свести уравнение к равносильному не получается, то могут возникать побочные корни. Сомневаетесь – проверяйте корни подстановкой.

Для многих уравнений важно понятие области допустимых значений для корней, далее – ОДЗ. На данном этапе (в рациональных уравнениях, т.е. тех, которые не содержат арифметических корней, тригонометрических функций, логарифмов и т.д.), основное условие которому должны отвечать корни уравнения, это чтобы при их подстановке в изначальный вид уравнения знаменатели дробей не обращались в ноль, т.к. на ноль делить нельзя. Таким образом, ОДЗ включает все возможные значения кроме тех которые обращают в ноль знаменатели дробей.

При решении уравнений (а в дальнейшем и неравенств) нельзя сокращать множители с переменной в левой и правой части уравнения (неравенства), в этом случае Вы потеряете корни. Нужно переносить все выражения налево от знака равно и выносить «сокращающийся» множитель за скобки, в дальнейшем нужно учесть корни, которые он дает.

Для того чтобы произведение двух или более скобок было равно нулю, достаточно чтобы любая из них по отдельности была равна нулю, а остальные существовали. Поэтому в таких случаях нужно по очереди приравнивать все скобки к нулю. В итоговый ответ нужно записать корни всех этих «веток» решения (если конечно эти корни входят в ОДЗ).

Иногда некоторые из дробей в рациональном уравнении можно сократить. Это нужно обязательно попытаться сделать и не упустить ни одной такой возможности. Но при сокращении дроби Вы можете потерять ОДЗ, поэтому дроби нужно сокращать только после записи ОДЗ, или же в конце решения полученные корни подставлять в первоначальное уравнение для проверки существования знаменателей.

Итак, для решения рационального уравнения необходимо:

  1. Разложить все знаменатели всех дробей на множители.
  2. Перенести все слагаемые влево, чтобы справа получился ноль.
  3. Записать ОДЗ.
  4. Сократить дроби, если это возможно.
  5. Привести к общему знаменателю.
  6. Упростить выражение в числителе.
  7. Приравнять числитель к нулю и решать полученное уравнение.
  8. Не забыть проверить корни на соответствие ОДЗ.

Одним из самых распространённых методов решения уравнений является метод замены переменных. Зачастую замена переменных выбирается индивидуально для каждого конкретного примера. При этом важно помнить о двух основных критериях введения замены в уравнения. Итак после введения замены в некоторое уравнение это уравнение должно:

  • во-первых, стать проще;
  • во-вторых, больше не содержать первоначальной переменной.

Кроме того, важно не забывать выполнять обратную замену, т.е. после нахождения значений для новой переменной (для замены), записывать вместо замены то, чему она равна через первоначальную переменную, приравнивать это выражение к найденным значениям для замены и опять решать уравнения.

Отдельно остановимся на алгоритме решения очень распространённых однородных уравнений. Однородные уравнения имеют вид:

Здесь А, В и С – числа, не равные нулю, а f(x) и g(x) – некоторые функции с переменной х. Однородные уравнения решают так: разделим все уравнение на g2(x) и получим:

Производим замену переменных:

И решаем квадратное уравнение:

Получив корни этого уравнения не забываем выполнить обратную замену, а также проверить корни на соответствие ОДЗ.

Также при решении некоторых рациональных уравнений хорошо бы помнить про следующие полезные преобразования:

 

Решение систем рациональных уравнений

К оглавлению…

Решить систему уравнений – значит найти не просто решение, а комплекты решений, то есть такие значения всех переменных которые, будучи одновременно подставленными в систему, обращают каждое ее уравнение в тождество. При решении систем уравнений можно применять следующие методы (про ОДЗ при этом не забываем):

  • Метод подстановки. Метод состоит в том, чтобы выразив одну из переменных из одного из уравнений, подставить это выражение вместо данной неизвестной в остальные уравнения, уменьшив таким образом количество неизвестных в оставшихся уравнениях. Данная процедура повторяется пока не останется одно уравнение с одной переменной, которое затем и решается. Остальные неизвестные последовательно находятся по уже известным значениям найденных переменных.
  • Метод расщепления системы. Этот метод состоит в том, чтобы разложить одно из уравнений системы на множители. При этом необходимо чтобы справа в этом уравнении был ноль. Тогда приравнивая по очереди каждый множитель этого уравнения к нолю и дописывая остальные уравнения первоначальной системы, получим несколько систем, но каждая из них будет проще первоначальной.
  • Метод сложения и вычитания. Данный метод состоит в том, чтобы складывая либо вычитая два уравнения системы (их предварительно можно и часто нужно умножать на некоторый коэффициент) получить новое уравнение, и заменить им одно из уравнений первоначальной системы. Очевидно, что такая процедура имеет смысл, только если новое уравнение будет получаться значительно проще ранее имевшихся.
  • Метод деления и умножения. Данный метод состоит в том, чтобы разделив либо умножив соответственно левые и правые части двух уравнений системы получить новое уравнение, и заменить им одно из уравнений первоначальной системы. Очевидно, что такая процедура опять таки имеет смысл, только если новое уравнение будет получаться значительно проще ранее имевшихся.

Существуют и другие методы решения систем рациональных уравнений. В числе которых — замена переменных. Зачастую замена переменных подбирается индивидуально под каждый конкретный пример. Но есть два случая, где всегда нужно вводить совершенно определённую замену. Первый из этих случаев, это случай когда оба уравнения системы с двумя неизвестными являются однородными многочленами приравненными к некоторому числу. В этом случае нужно использовать замену: 

После применения этой замены, к слову, нужно будет для продолжения решения таких систем использовать метод деления. Второй случай, это симметричные системы с двумя переменными, т.е. такие системы, которые не изменяются при замене x на y, а y на x. В таких системах необходимо применять следующую двойную замену переменных:

При этом, для того чтобы ввести такую замену в симметричную систему, первоначальные уравнения скорее всего придется сильно преобразовывать. Про ОДЗ и обязательность выполнения обратной замены в обоих этих методах, конечно нельзя забывать.

Решение систем уравнений с двумя переменными (Алгебра 2, Как решить систему линейных уравнений) — Mathplanet

Система линейного уравнения состоит из двух или более уравнений, и одно ищет общее решение этих уравнений. В системе линейных уравнений каждому уравнению соответствует прямая линия, и каждый ищет точку, где две линии пересекаются.


Пример

Решите следующую систему линейных уравнений:

$$ \ left \ {\ begin {matrix} y = 2x + 4 \\ y = 3x + 2 \\ \ end {matrix} \ right.

$

Поскольку мы ищем точку пересечения, мы можем построить график уравнений:

Здесь мы видим, что линии пересекаются друг с другом в точке x = 2, y = 8. Это наше решение, и мы можем называть его графическим решением задачи.

Но как найти решение, если линии никогда не пересекаются? Нельзя, система уравнений не имеет решения.

Можно также прийти к правильному ответу с помощью метода исключения (также называемого методом сложения или методом линейной комбинации) или методом подстановки.

При использовании метода подстановки мы используем тот факт, что если два выражения y и x имеют одинаковое значение x = y, то x может заменить y или наоборот в другом выражении без изменения значения выражения.


Пример

Решите системы уравнений методом подстановки

$$ \ left \ {\ begin {matrix} y = 2x + 4 \\ y = 3x + 2 \\ \ end {matrix} \ right. $$

Подставляем y в верхнем уравнении выражением для второго уравнения:

$$ \ begin {array} {lcl} 2x + 4 & = & 3x + 2 \\ 4-2 & = & 3x-2x \\ 2 & = & x \\ \ end {array} $$

Чтобы определить значение y , мы можем продолжить, вставив наше значение x в любое из уравнений.Выбираем первое уравнение:

$$ y = 2x + 4 $$

Подключаем x = 2 и получаем

$$ y = 2 \ cdot 2 + 4 = 8 $$

Таким образом, мы пришли к тому же ответу, что и в графическом решении.

Метод исключения требует, чтобы мы добавляли или вычитали уравнения, чтобы исключить x или y , часто нельзя приступить к сложению напрямую, не умножив сначала первое или второе уравнение на некоторое значение.


Пример

$$ 2x-2y = 8 $$

$$ x + y = 1 $$

Теперь мы хотим сложить два уравнения, но это не приведет к исключению x или y .Следовательно, мы должны умножить второе уравнение на 2 с обеих сторон и получить:

$$ 2x-2y = 8 $$

$$ 2x + 2y = 2 $$

Теперь мы пытаемся добавить нашу систему уравнений. Мы начинаем с терминов x слева, а затем с терминов y и, наконец, с цифр справа:

$$ (2x + 2x) + (- 2y + 2y) = 8 + 2 $$

Термины и теперь удалены, и теперь у нас есть уравнение только с одной переменной:

$$ 4x = 10 $$

$$ x = \ frac {10} {4} = 2.5 $$

После этого, чтобы определить значение y , мы вставляем x = 2,5 в одно из уравнений. Выбираем первое:

$$ \ begin {array} {lcl} 2 \ cdot 2.5-2y & = & 8 \\ 5-8 & = & 2y \\ -3 & = & 2y \\ \ frac {-3} {2} & = & y \\ y & = & -1,5 \\ \ end {array} $$


Видеоурок

Решите систему уравнений:

$$ \ left \ {\ begin {matrix} 2x-4y = 0 \\ -4x + 4y = -4 \ end {matrix} \ right.

$

Решение систем линейных уравнений

А система линейные уравнения представляет собой просто набор из двух или более линейных уравнений.

В двух переменных ( Икс а также y ) , график системы двух уравнений представляет собой пару прямых на плоскости.

Есть три возможности:

  • Линии пересекаются в нулевых точках.(Линии параллельны.)
  • Линии пересекаются ровно в одной точке. (Большинство случаев.)
  • Прямые пересекаются в бесконечном множестве точек. (Два уравнения представляют собой одну и ту же линию.)

Нулевые решения:

y знак равно — 2 Икс + 4 y знак равно — 2 Икс — 3

Одно решение:

y знак равно 0.5 Икс + 2 y знак равно — 2 Икс — 3

Бесконечно много решений:

y знак равно — 2 Икс — 4 y + 4 знак равно — 2 Икс

Существует несколько различных методов решения систем линейных уравнений:

  1. Графический метод . Это полезно, когда вам просто нужен приблизительный ответ или вы уверены, что пересечение происходит в целочисленных координатах. Просто нарисуйте две линии и посмотрите, где они пересекаются!
  2. См. Второй график выше. Решение — это место пересечения двух линий, точка ( — 2 , 1 ) .

  3. Метод замены . Сначала решите одно линейное уравнение относительно y с точки зрения Икс . Затем замените это выражение на y в другом линейном уравнении. Вы получите уравнение в Икс . Решите это, и у вас будет Икс -координата перекрестка. Затем подключите Икс к любому уравнению, чтобы найти соответствующее y -координат.(Если проще, вы можете начать с решения уравнения для Икс с точки зрения y , тоже — такая же разница!)
  4. Пример 1:

    Решите систему { 3 Икс + 2 y знак равно 16 7 Икс + y знак равно 19

      Решите второе уравнение относительно y .

      y знак равно 19 — 7 Икс

      Заменять 19 — 7 Икс для y в первом уравнении и решите относительно Икс .

      3 Икс + 2 ( 19 — 7 Икс ) знак равно 16 3 Икс + 38 — 14 Икс знак равно 16 — 11 Икс знак равно — 22 Икс знак равно 2

      Заменять 2 для Икс в y знак равно 19 — 7 Икс и решить для y .

      y знак равно 19 — 7 ( 2 ) y знак равно 5

      Решение ( 2 , 5 ) .

  5. Метод линейной комбинации , иначе Метод сложения , иначе Метод исключения. Сложить (или вычесть) одно уравнение, кратное другому уравнению (или из него), таким образом, чтобы либо Икс -термы или y -условия аннулируются.Затем решите для Икс (или же y , в зависимости от того, что осталось) и подставьте обратно, чтобы получить другую координату.
  6. Пример 2:

    Решите систему { 4 Икс + 3 y знак равно — 2 8 Икс — 2 y знак равно 12

      Умножьте первое уравнение на — 2 и добавьте результат ко второму уравнению.

      — 8 Икс — 6 y знак равно 4 8 Икс — 2 y знак равно 12 _ — 8 y знак равно 16

      Решить для y .

      y знак равно — 2

      Замена для y в любом из исходных уравнений и решите относительно Икс .

      4 Икс + 3 ( — 2 ) знак равно — 2 4 Икс — 6 знак равно — 2 4 Икс знак равно 4 Икс знак равно 1

      Решение ( 1 , — 2 ) .

  7. Матричный метод . На самом деле это просто метод линейной комбинации, упрощенный за счет сокращения записи.

Решение путем сложения / исключения

Системы линейных уравнений:
Решение сложением / Ликвидация
(стр. 5 из 7)

Разделы: Определения, Построение графиков, Подстановка, Исключение / добавление, исключение по Гауссу.

Метод сложения решения систем уравнений также называют методом исключения. Этот метод похож на метод, который вы, вероятно, изучили для решения простых уравнений.

Если бы у вас было уравнение « x + 6 = 11», вы бы написали «–6» под каждой стороной уравнения, а затем «сложили», чтобы получить « x = 5» в качестве решение.

Вы проделаете нечто подобное с методом сложения.

  • Решите следующую систему, используя сложение.
  • Обратите внимание, что если я добавлю, и аннулируется. Я нарисую полоску «равно» под системой, и складываем:

    Теперь я могу разделить решить для x = 5, а затем решить, используя любое из исходных уравнений, чтобы найти значение y .Первое уравнение имеет меньшие числа, поэтому я верну его обратно:

      2 (5) + y = 9
      10 + y = 9
      y = –1

      Тогда решение равно ( x , y ) = (5, –1) .

Неважно, какое уравнение вы используете для обратной обработки; в любом случае вы получите один и тот же ответ.Если Я использовал второе уравнение, и получил бы:

… это тот же результат как прежде.

  • Решите следующие проблемы система с использованием сложения.
  • Обратите внимание, что условия x аннулировались бы, если бы только у них были противоположные знаки. Я могу создать это отмены путем умножения любого из уравнений на –1, а затем добавляю как обычно.Неважно, какое уравнение я выберу, при условии, что я буду осторожен, чтобы умножить –1 на все уравнение. (Это означает, что — это обе стороны знака равенства знак!)

    второй умножу уравнение.

    «–1 R 2 » Обозначение над стрелкой означает, что я умножил строку 2 на –1. Теперь я могу решить уравнение «–5 y = –25» и получить y = 5.Обратное решение в первое уравнение, я получаю:

      x — 2 (5) = –9
      x — 10 = –9
      x = 1

      Тогда решение равно ( x , y ) = (1, 5) .

Очень распространенное искушение — записать решение в виде «(первое число, которое я нашел, второе номер нашел) «.Однако иногда, как в этом случае, вы обнаруживаете значение y сначала, а затем значение x во-вторых, и, конечно же, в пунктах значение x на первом месте. Так что будьте осторожны и пишите координаты своих решений. правильно. Авторские права © Элизабет Стапель 2003-2011 Все права защищены


  • Решите следующие проблемы система с использованием сложения.
  • Здесь ничего не отменяется, но Я могу умножить, чтобы создать отмену. Я могу умножить первое уравнение на 4, и это установит y -terms отменить.

    Решив это, я получу, что x = 2. Я воспользуюсь первым уравнение для обратного решения, потому что коэффициенты меньше.

      2 (2) — y = 9
      4- y = 9
      y = 5
      y = –5

      Решение: ( x , y ) = (2, –5) .

  • Решите следующее система с использованием сложения.
  • Хм … ничего не отменяет. Но я могу умножить, чтобы создать отмену. В этом случае ни одна из переменных это очевидный выбор для отмены. Я могу умножить, чтобы преобразовать x -термы до 12 x ‘s или условия y к 24 y ‘s.Так как я ленив и 12 меньше 24, Я произведу умножение, чтобы отменить термин x . (Я бы получил тот же ответ в конце, если бы установил y -terms отменить. Дело не в том, что я делаю это «правильно»; это был только мой выбор. Вы могли бы сделать другой выбор, и это быть столь же правильным.)

    умножу первый ряд по 3 и второй ряд по 4; тогда я добавлю и решу.


    Решая, я получаю, что y = 5. Ни одно из уравнений выглядит особенно лучше, чем другой для обратного решения, поэтому я переверну монету и используйте первое уравнение.

    Не забудьте поставить координату x . сначала в решении я получаю:


Обычно, когда вы решаете «по добавлению», вам нужно будет создать отмену.Предупреждение: Самая распространенная ошибка — забывать умножать на всем протяжении уравнение, умноженное на обе стороны знака «равно». Быть осторожно с этим.

  • Решите следующие проблемы используя дополнение.
  • Думаю, умножу второе уравнение на 2; это, по крайней мере, избавит от десятичного знака.

    Ой! Этот результат не правда! Итак, это противоречивая система (две параллельные линии) без каких-либо решение (без точки пересечения).

  • Решите следующие используя дополнение.
  • думаю будет проще всего отменить условия и , поэтому я умножу вторую строку на –3.

    Ну да, но …? я уже знал, что ноль равен нулю. Итак, это зависимая система, и, решая для « y =» решение это:

(Ваш текст может отформатировать ответьте как «( s , 4 с — 2) «, или что-то типа того.)


Помните разницу: глупый ответ (например, «0 = –2 «в предыдущем проблема) означает противоречивую систему без решения; бесполезный ответ (например, «0 = 0 «выше) означает зависимая система, в которой вся линия является решением.

В некоторых книгах используется только « x » и « y » для своих переменных, но многие используют дополнительные переменные.Когда ты пишешь решение для точки x , y , вы знаете, что координата x идет первым и координата y идет вторым. Когда вы имеете дело с другими переменными, предполагайте (если только явно указано иное), что эти переменные записываются в алфавитном порядке заказывать. Например, если переменные в данной системе равны a и b , точка решения будет ( a , b ); это не будет быть ( b , a ).Если иначе указано, переменные записываются в алфавитном порядке.

<< Предыдущий Наверх | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | Вернуться к указателю Далее >>

Цитируйте эту статью как:

Стапель, Елизавета.«Системы линейных уравнений: решение сложением / исключением». Purplemath . Доступна с
https://www.purplemath.com/modules/systlin5.htm . Дата обращения [Дата] [Месяц] 2016 г.

Калькулятор системы уравнений

Добро пожаловать в калькулятор системы уравнений , где мы узнаем, как решить систему линейных уравнений .Наш удобный калькулятор быстро найдет решение любой проблемы, которую вы ему дадите, и, если существует бесконечное количество решений, , он даже подскажет, как они выглядят ! Решатель системы уравнений использует так называемый метод исключения Гаусса , но это не единственный метод, поэтому ниже мы представляем пять различных ответов на вопрос «Как решить систему уравнений?»

Давайте не будем терять ни секунды и займемся этим, не так ли?

Что такое система линейных уравнений?

Запомните все те загадок на Facebook или Instagram. , знаете, те, где три яблока равны 30, яблоко и два банана равны 18, а банан минус кокос равен двум, и вам нужно было вычислить сколько стоят яблоко, банан и кокос? Это то, что математики называют системой линейных уравнений Но как? Математики не используют яблоки и бананы, не так ли? » Ну, им тоже нравится держать доктора подальше и время от времени кусать яблоко, но вы правы, они не делают посчитать в яблоках . Однако нет никакой разницы, если вы правы: « Три яблока равны 30 » или 3x = 30 .

Появившееся выше значение x — это то, что мы называем переменной . Он обозначает число или элемент, значение которого мы не знаем, но о котором мы знаем или .В нашем случае мы знаем, что три яблока равно 30 , но яблоко — это просто переменная, например x , поскольку мы не знаем ее значения. По сути, «, что является решением системы уравнений … » — это то же самое, что « дать мне значение яблока (или x ), , которое удовлетворяет …» Честно говоря , мы знаем, что большинство ученых хотели бы использовать бананы вместо x , но они всего не уверены в своих навыках рисования .

« Но что, черт возьми, означает linear ? » Мы говорим, что уравнение линейно, если его переменные (будь то x или кокосы) находятся в первой степени. Это означает, что, например, они не возведены в квадрат , как в квадратных уравнениях, или знаменатель дроби, или квадратный корень. Однако их можно умножить на любое число, как мы имели 3 в нашем уравнении 3x = 30 . Это относится к всем переменным в уравнении .Например, уравнение -2x + 14y - 0,3z = 0 является линейным, а уравнение 10x - 7y + z² = 1 — нет.

Наконец, если у нас есть несколько уравнений, которые нужно решить вместе, мы называем их системой уравнений . Обозначим это, нарисовав фигурную скобку (или повернутый набор усов, как вам больше нравится) слева от них. Это означает, что нас интересуют только решений всех уравнений системы . Если мы найдем значения, которые работают для первого уравнения, но не для второго, мы не будем называть это решением.

Как решить систему уравнений?

Существует различных способов решения системы линейных уравнений. Кратко опишем несколько наиболее распространенных методов.

  1. Замена

Первый метод, которому обучают студентов, и самый универсальный метод , работает, выбирая одно из уравнений, выбирая в нем одну из переменных, и делая эту переменную объектом этого уравнения .Затем мы используем это преобразованное уравнение и подставляем его каждый раз, когда эта переменная появляется в других уравнениях. Таким образом, эти другие уравнения теперь содержат на одну переменную меньше , что упрощает их решение.

Например, если у нас есть уравнение 2x + 3y = 6 и мы хотим получить из него x , то мы начинаем с , избавляясь от всего, что не содержит x с левой стороны . Для этого мы должны вычесть 3y с обеих сторон (потому что это выражение находится слева).Это означает, что левая сторона будет 2x + 3y - 3y , что просто 2x , а правая сторона будет 6 - 3y . Другими словами, мы преобразовали наше уравнение в 2x = 6 - 3y .

Поскольку мы хотим получить x , а не 2x , нам все равно нужно избавиться от 2 . Для этого мы делим обе стороны на 2. Таким образом, слева мы получаем (2x) / 2 , что составляет всего x , а справа мы имеем (6 - 3y) / 2 , что составляет 3 - 1.5лет . В итоге мы получили x = 3 - 1,5y , и мы можем использовать эту новую формулу для замены 3 - 1,5y in на каждые x в других уравнениях.

  1. Исключение переменных

Решение систем уравнений методом исключения означает, что мы пытаемся уменьшить количество переменных в некоторых уравнениях, чтобы упростить их решение . Для этого мы начнем с преобразования двух уравнений так, чтобы они выглядели одинаково.Чтобы быть точным, мы хотим сделать коэффициент (число рядом с переменной) одной из переменных уравнения противоположным коэффициенту той же переменной в другом уравнении . Затем мы складываем два уравнения, чтобы получить новое, в котором нет этой переменной, поэтому его легче вычислить.

Например, если у нас есть система уравнений,

2x + 3y = 6 и

4x - y = 3 ,

, то мы можем попытаться сделать коэффициент x в первом уравнении противоположным коэффициенту во втором уравнении.В нашем случае это означает, что мы хотим преобразовать 2 в противоположность 4 , то есть -4 . Для этого нам нужно умножить обе части первого уравнения на -2 , так как 2 * (-2) = -4 . Это изменяет первое уравнение на

2x * (-2) + 3y * (-2) = 6 * (-2) ,

, что равно

-4x - 6y = -12 .

Теперь мы можем добавить это уравнение ко второму ( 4x - y = 3 ), добавив левую часть к левой и правую к правой.Это дает

4x - y + (-4x - 6y) = 3 + (-12) ,

, что равно

-7y = -9 .

Мы получили новое уравнение только с одной переменной, что означает, что мы можем легко решить y . Затем мы можем подставить это число в любое из исходных уравнений, чтобы получить x .

  1. Метод исключения Гаусса

Это метод, используемый нашим калькулятором системы уравнений. Названный в честь немецкого математика Иоганна Гаусса, он представляет собой алгоритмическое расширение метода исключения, представленного выше. В случае всего двух уравнений это одно и то же. Однако решение систем уравнений путем регулярного исключения становится все сложнее и сложнее с появлением все большего числа уравнений и переменных. Вот где приходит на помощь метод исключения Гаусса.

Допустим, у нас есть четырех уравнений с четырьмя переменными . Чтобы найти решение нашей системы, мы хотим попытаться получить значения наших переменных одно за другим, последовательно удаляя все остальные.Для этого мы возьмем первое уравнение и первую из переменных . Мы используем коэффициент , чтобы исключить все вхождения этой конкретной переменной в трех других уравнениях , точно так же, как мы это сделали при обычном исключении. Таким образом, у нас остается первое уравнение, как и было, и три уравнения, теперь каждое с только тремя переменными .

Теперь посмотрим на первое уравнение, поставим его «вверх» и оставим как есть до самого конца .Мы повторяем процесс для остальных трех уравнений. Другими словами, мы берем вторую переменную и ее коэффициент из второго уравнения , чтобы исключить все вхождения этой переменной в последних двух уравнениях. Это оставляет нам первое уравнение с четырьмя переменными, второе — с тремя, а последние два — с только двумя переменными .

Затем мы объявляем второе уравнение красивым и красивым и оставляем его в покое. Мы переходим к двум оставшимся уравнениям и берем третью переменную и ее коэффициент в третьем уравнении, чтобы исключить эту переменную из четвертого равенства.

В итоге мы получаем систему из четырех уравнений, в которой первая имеет четыре переменных, вторая — три, третья — две, а последняя — только одну . Это означает, что мы можем легко получить значение четвертой переменной из четвертого уравнения (поскольку в нем нет других переменных). Затем мы подставляем это значение в третье уравнение и получаем значение третьей переменной (поскольку теперь у нее нет других переменных) и так далее.

  1. Графическое представление

Пожалуй, наименее используемый метод, но тем не менее метод.Он берет каждое из уравнений в нашей системе, и переводит их в функцию . Точки на графике такой функции соответствуют координатам, которые удовлетворяют этому уравнению. Следовательно, если мы хотим решить систему линейных уравнений, то достаточно найти всех точек пересечения линии на графике , то есть координаты, удовлетворяющие всем уравнениям.

Однако это может быть непросто. Если у нас есть только два уравнения и две переменные, то функции представляют собой линии на двумерной плоскости.Следовательно, нам просто нужно найти точку, где эти две линии пересекают .

Для трех переменных функции теперь находятся в трехмерном пространстве, а больше не линии, а плоскости . Это означает, что нам нужно будет нарисовать три плоскости (что само по себе сложно), а затем также найти, где эти плоскости пересекаются. И, если вы думаете, что это сложно, попробуйте представить четырех переменных и четырех измерений . Если это произойдет естественным образом, свяжитесь с нами, и мы направим вас к ближайшему объекту, удостоенному Нобелевской премии, или к неврологу для тщательной проверки состояния головы.

  1. Правило Крамера

Достаточно простой и очень простой способ решить систему линейных уравнений. Однако для этого требуется хорошее понимание матриц и их определителей . В качестве поощрения отметим, что он не нуждается ни в какой замене, ни в играх с уравнениями, это просто старая добрая базовая арифметика . Например, для системы трех уравнений с тремя переменными мы подставляем коэффициенты из этих уравнений, чтобы сформировать четыре матрицы размером три на три и вычислить их детерминанты.Мы заканчиваем делением соответствующих значений, которые мы только что получили, чтобы получить окончательное решение.

Пример: Использование решателя системы уравнений

Давайте посмотрим на одну из загадок с картинками и попробуем решить ее с помощью нашего калькулятора системы уравнений .

Первое, что нам нужно сделать, это записать все вкусные сладости в виде буквенных переменных. Мы знаем, что выражение, которое мы получим, будет далеко от , сладкого для глаза , но математики не имеют большого вкуса .Ладно, приступим к работе, а оставим каламбуры на десерт .

В нашей загадке три символа — пончик, печенье и конфета. Мы не знаем значения ни одной из них, поэтому нам понадобятся три переменные — по одной для каждого изображения. Обычно используются такие буквы, как x , y и z , но не стесняйтесь использовать другие, если хотите. Обозначим пончик x , печенье y , и конфету z .Это позволяет нам написать загадку выше в виде:

х + х + х = у

y + y - z = 25

z + z - x = 16 .

Итак, каково решение системы уравнений? Теперь держите лошадей. Прежде всего, мы попытаемся упростить каждое из трех выражений , прежде чем мы даже подумаем о том, как решить эту систему уравнений. Обратите внимание, что наш решатель системы уравнений не использует формулы в том виде, в котором мы сейчас имеем .В частности, у него нет никаких переменных справа от знака = , как в первом выражении. Итак, нам действительно нужно сначала поработать.

Мы берем каждое из уравнений и перемещаем все переменные в левую часть . Затем мы складываем вместе все слагаемые с той же переменной ( x , y или z ) в этом уравнении. Наконец, мы записываем слагаемые, которые мы получили, в алфавитном порядке , в терминах переменных.Это означает, что мы сначала записываем выражение с x , затем выражение с y , а затем с z .

В нашем случае это означает, что мы должны сначала переместить y в первом уравнении справа налево. Для этого вычтем из обеих частей равенства y . Это дает

х + х + х - у = у - у ,

, что равно

х + х + х - у = 0 .

Теперь вся система выглядит так:

х + х + х - у = 0

y + y - z = 25

г + г - х = 16

Теперь мы складываем все слагаемые, содержащие одну и ту же переменную .Это означает, что в первом уравнении мы складываем три x , во втором мы складываем два y , а в третьем мы складываем два z . Получаем

3x - y = 0

2y - z = 25

2z - x = 16 .

Помните, что когда мы пишем 3x , , мы имеем в виду 3 * x , или «три копии x » . Теперь мы записываем переменные в алфавитном порядке .Первые два уравнения уже имеют желаемую форму, но в последнем нам нужно переместить выражение с x перед выражением с z . Это дает

3x - y = 0

2y - z = 25

-x + 2z = 16

Обратите внимание, что, на первый взгляд, не похоже на выражение, которое есть в калькуляторе системы уравнений . Однако это так. Например, в первом уравнении нет никаких z .Но помните, что «нет z » означает «ноль копий z ». Следовательно, мы можем записать недостающие переменные с коэффициентами 0. Таким образом, мы получаем

3x - y + 0z = 0

0x + 2y - z = 25

-x + 0y + 2z = 16

Теперь это больше похоже на — это просто форма решателя системы уравнений! Чтобы быть уверенным, помните, что когда у нас нет числа перед переменной, тогда принято говорить, что число равно 1.Например, -y в первом уравнении фактически равно -1y .

Наконец, нам нужно определить, какие данные нам нужно взять из системы, которую мы получили, и куда поместить их в калькуляторе системы уравнений . Что ж, давайте посмотрим на первое равенство, которое у нас есть, и на верхнее равенство решателя и сравним их:

3x - y + 0z = 0

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

Соответствие выглядит так, как выглядит: a₁ — это число рядом с x в уравнении, b₁ — это число рядом с y , c₁ — число рядом с z и d₁ — это номер справа.В нашем случае это означает, что мы должны положить a₁ = 3 , b₁ = -1 , c₁ = 0 и d₁ = 0 . Повторим это со вторым и третьим уравнениями: a₂ = 0 , b₂ = 2 , c₂ = -1 , d₂ = 25 , a₃ = -1 , b₃ = 0 , c₃ = 2 , d₃ = 16 . Как только мы дадим все эти числа , решатель системы уравнений даст нам решение . В следующем разделе мы опишем , как это сделать, шаг за шагом .

Пример: решение систем уравнений методом исключения Гаусса

Работа с печеньем и пончиками — это развлечение и игра, но давайте теперь попробуем сжечь некоторые из этих сладких калорий, описав , как решить систему уравнений , которую мы получили в предыдущем разделе:

3x - y + 0z = 0

0x + 2y - z = 25

-x + 0y + 2z = 16

Мы хотим, чтобы оставило первое уравнение равным , поскольку оно имеет ненулевой коэффициент рядом с переменной x .Однако мы будем использовать этот коэффициент для , чтобы избавиться от x в других уравнениях . Обратите внимание, что нам не нужно беспокоиться о втором, потому что его коэффициент x равен нулю. Чтобы справиться с третьим, мы удалим из него -x , сначала преобразовав его в противоположность 3x из первого уравнения. Фактически, достаточно умножить обе части третьего уравнения на 3 .

3x - y + 0z = 0

0x + 2y - z = 25

-3x + 0y + 6z = 48

Теперь у нас есть противоположные числа рядом с x в первом и последнем равенстве, мы складываем два выражения вместе

(3x - y + 0z) + (-3x + 0y + 6z) = 0 + 48 ,

, что равно

0x -y + 6z = 48 .

Теперь мы можем заменить третье уравнение на то, что мы только что получили , чтобы получить

3x - y + 0z = 0

0x + 2y - z = 25

0x - y + 6z = 48

В результате мы получили то, что в двух последних выражениях нет x , и всегда легче решить систему линейных уравнений с двумя переменными вместо трех.

Следующим шагом в методе исключения Гаусса является повторение того же процесса для последних двух уравнений .По сути, мы будем использовать ненулевой коэффициент y во втором равенстве, чтобы избавиться от y из последнего. Как мы уже делали выше, мы начинаем с преобразования -y в противоположность 2y , то есть в -2y . Для этого достаточно обе части последнего уравнения умножить на 2.

3x - y + 0z = 0

0x + 2y - z = 25

0x - 2y + 12z = 96

Теперь мы можем сложить два последних уравнения , чтобы получить

(0x + 2y - z) + (0x - 2y + 12z) = 25 + 96 ,

, что равно

0x + 0y + 11z = 121 .

Пора заменить третье уравнение

3x - y + 0z = 0

0x + 2y - z = 25

0x + 0y + 11z = 121 .

Это конечная форма системы уравнений, которую мы получаем из метода исключения Гаусса . Теперь решить систему линейных уравнений стало намного проще. Как так? Что ж, начнем с последнего равенства. В нем есть только одна переменная с ненулевым коэффициентом, а именно z .Мы можем забыть о нулевых членах, что дает нам

11z = 121 ,

, а это значит, что у нас должно получиться z = 11 . Теперь, когда мы знаем, какова первая часть решения системы уравнений, мы можем использовать это знание, чтобы заменить это число на z в двух других уравнениях :

3х - у + 0 = 0

0x + 2y - 11 = 25 ,

, что равно

3x - y = 0

0x + 2y = 36 .

Теперь у нас есть второе уравнение только с одной переменной с ненулевым коэффициентом. Если забыть о нулевых членах, получим

2y = 36 ,

и, следовательно, должно получиться y = 18 . Опять же, мы заменяем этим числом на y в первом уравнении :

3x - 18 = 0 ,

, что дает

3x = 18 ,

, а это означает, что x = 6 .В общем, нам удалось решить систему линейных уравнений, и нашли решение

х = 6

y = 18

г = 11

Если мы теперь посмотрим на нашу загадку с картинками, все это решение системы уравнений методом исключения приведет нас к ответу, что пончик равняется 6 , печенье равно 18 , и конфета равна 11 .

Кусок торта, не так ли?

Алгебра Системы уравнений — Задачи | Системы уравнений

В алгебре система уравнений — это группа из двух или более уравнений, содержащих один и тот же набор переменных.Решение системы — это значения набора переменных, которые могут одновременно удовлетворять всем уравнениям системы. При графическом выражении, поскольку каждое уравнение системы можно изобразить в виде линии, когда мы ищем решение системы, мы фактически ищем пересечение этих линий. Также обратите внимание, что существуют как «линейные», так и «нелинейные» системы уравнений. Разница в том, что линейные уравнения дают прямые линии и содержат только переменные, коэффициенты и константы.Нелинейные уравнения могут содержать показатели степени, квадратные корни и т. Д. Это может показаться очевидным, но для осмысленного решения системы уравнений они должны иметь одну или несколько общих переменных. Например, мы можем решить такие уравнения, как

\ (5 = x + y \)

и

\ (2y + x = 7 \)

, потому что они разделяют переменные x и y. Как решить эти уравнения? Существует несколько методов, таких как подстановка, исключение, матрица и т. Д. Для этого урока давайте воспользуемся подстановкой, которая кажется наиболее интуитивно понятным методом для начинающих.Решите следующую систему уравнений:

\ (5 = х + у \)

\ (2у + х = 7 \)

Начнем с первого уравнения

\ (5 = x + y \)

. Вычитание y с обеих сторон дает нам

\ (x \)

само по себе как

\ (5-y = x \)

, которое можно переписать как

\ (x = 5-y \)

. Затем мы подставляем

\ (x = 5-y \)

во второе уравнение

\ (2y + x = 7 \)

, что дает

\ (2y + 5-y = 7 \)

. Мы можем упростить это до

\ (y + 5 = 7 \)

, что говорит нам, что

\ (y = 2 \)

.Затем мы заменяем

\ (y = 2 \)

обратно на

\ (x = 5-y \)

, что составляет

\ (x = 5-2 \)

. Это упрощается до

\ (x = 3 \)

. Мы сделали! Мы обнаружили, что

\ (x = 3 \)

и

\ (y = 2 \)

. Это решение этой системы уравнений. Вы можете более подробно ознакомиться с системами уравнений, используя практические задачи в верхней части этой страницы. Вы также можете попробовать другие темы на нашей странице практики. Готовы вывести свое обучение на новый уровень с помощью шагов «как» и «почему»? Подпишитесь на Cymath Plus сегодня.

Искусство решения проблем

Система уравнений — это набор уравнений, которые используют одни и те же переменные. Ниже приведен пример системы уравнений.

Содержание

  • 1 Решите 2 уравнения с переменными менее чем за 5 секунд !!!
  • 2 Решение линейных систем
    • 2.1 Исключение Гаусса
      • 2.1.1 Проблема
      • 2.1.2 Решение
    • 2.2 Замена
      • 2.2.1 Проблема
      • 2.2.2 Решение
    • 2.3 Графики
      • 2.3.1 Проблема
      • 2.3.2 Решение
    • 2.4 Расширенные методы
  • 3 удобные системы
    • 3.1 Симметрия
    • 3,2 Умная замена
  • 4 Проблемы
    • 4,1 Вводный
    • 4.2 Средний
  • 5 См. Также

Решите 2 уравнения с переменными менее чем за 5 секунд !!!

Ссылка на видео: https: // youtu.be / pSYT95hSH6M

Решение линейных систем

В системе линейных уравнений все переменные приведены в степени 1. Существует три элементарных способа решения системы линейных уравнений.

Исключение по Гауссу

Исключение Гаусса включает удаление переменных из системы путем сложения постоянных кратных двух или более уравнений. Давайте посмотрим на пример:

Проблема

Найдите заказанную пару, для которой

Решение

Мы можем исключить, добавив дважды второе уравнение к первому:

Таким образом.Затем мы можем подключиться к любому из уравнений:

Итак, решение системы есть.

Замена

Второй метод, подстановка, требует решения переменной и последующего включения этой переменной в другое уравнение, что сокращает количество переменных. Мы покажем, как решить ту же задачу из раздела исключения с помощью подстановки.

Проблема

Найдите заказанную пару, для которой

Решение

Первое уравнение можно решить для:

Подставляя это во второе уравнение, получаем

Таким образом.Подключаем это к любому из уравнений и решаем для получения урожайности.

Графики

Третий метод решения системы линейных уравнений состоит в том, чтобы изобразить их на плоскости и наблюдать, где они пересекаются. Мы вернемся к нашему примеру, чтобы проиллюстрировать это.

Проблема

Найдите заказанную пару, для которой

Решение

Изобразим две линии следующим образом:

Из графика видно, что решение системы есть.

Расширенные методы

Матрицы также могут использоваться для решения систем линейных уравнений. Фактически, они позволяют сделать гораздо более широкие утверждения о системах линейных уравнений.

Существует целая область математики, посвященная изучению линейных уравнений, которая называется линейной алгеброй.

Удобные системы

Некоторые системы можно решить, используя определенные формы. Однако сначала может показаться, что такие системы сложно решить.

Симметрия

Рассмотрим систему ниже.

Ключевым моментом здесь является использование симметрии. Если мы сложим все 5 уравнений, мы получим в общей сложности 4 каждой переменной на LHS. На RHS у нас будет. Таким образом,

Таким образом, вычитание из этого первого уравнения оставляет на левой и правой стороне. Вычитание этого уравнения из второго уравнения оставляет на левой и правой сторонах. Таким образом, мы продолжаем таким же образом и обнаруживаем, что

Умная замена

Рассмотрим систему ниже.

Мы можем позволить и получить линейную систему с двумя переменными ниже.

Решение системы дает и. Подстановка этого обратно приводит к и. Мы можем сделать другую замену, позволив и подставив получить. Переставляем результаты в так. Наконец, подставив обратно, мы получим. Обратное подключение удовлетворяет систему.

Проблемы

Вводный

  • 2002 AMC 8 Проблемы / Проблема 17
  • 2007 iTest Проблемы / Проблема 2

Средний

  • 1989 AIME Проблемы / Проблема 8
  • 1993 AIME Проблемы / Проблема 3

См. Также

  • Алгебра
  • Замена

5.1 — Решение систем уравнений

5.1 — Решение систем уравнений

До этого момента мы имели дело только с одним уравнением за раз. Теперь будем работать с более чем переменной и более чем одним уравнением. Это так называемые системы уравнений. При ответе на систему уравнений вам необходимо указать значение для каждой переменной.

Решение систем линейных уравнений

Когда мы закончим рассмотрение двух глав, посвященных решению систем уравнений, их будет шесть. способы, которые мы можем использовать для решения системы линейных уравнений

Графически
Постройте оба уравнения и найдите точку пересечения.
Неточно вручную.
Полезно при использовании техники.
Больше подходит для нелинейных систем.
Сначала необходимо решить уравнение для y.
Замена
Решите одно уравнение для одной переменной, а затем подставьте его в другое уравнение.
Лучшая алгебраическая техника для нелинейных систем.
Хорошо работает, когда переменная может быть легко решена, имеет коэффициент, равный единице.
Работает лучше, когда дроби и корни не используются.
Добавление / Исключение
Умножьте одно или несколько уравнений на константу, а затем сложите два уравнения. чтобы исключить одну переменную.
Хорошо подходит для линейной системы, когда нет переменной с коэффициентом, равным единице.
Хорошо работает для систем уравнений 2×2 (2 уравнения с 2 переменными), но становится утомительно и трудоемко для больших систем.
Исключение Гаусса / Исключение Гаусса Джордана
Использует элементарные операции для создания эквивалентных уравнений.
Работает для неквадратных систем линейных уравнений.
Построен на концепции исключения сложения, но вместо получения новых уравнений старое уравнение заменяется эквивалентным уравнением.
При применении с матрицами из главы 6, вероятно, самый быстрый способ решить большую система линейных уравнений от руки. Безусловно, любимый метод инструктора.
Правило Крамера
Использует определители матрицы для поиска решения.
Работает только для квадратных систем линейных уравнений, в которых определитель матрица коэффициентов не равна нулю.
Подходит для компьютера или калькулятора, где есть определяющая программа.
Медленно вручную.
Медленно на калькуляторе без программы, так как каждый определитель должен быть введен вручную.
Может использоваться, когда вам нужно найти только одну из переменных.
Матричная алгебра / Матрица инверсий
Использует обратную матрицу для поиска решения.
Работает только для квадратных систем линейных уравнений, в которых определитель матрица коэффициентов не равна нулю.
Подходит для компьютера или калькулятора, где есть функция, обратная матрице.
Медленно вручную.
Быстрые действия на калькуляторе.
Вернет десятичные ответы, но вы можете использовать дробную клавишу, чтобы преобразовать их в целые числа.

Замена

Метод подстановки работает как с нелинейными, так и с линейными уравнениями.

  1. Решите одно из уравнений относительно одной из переменных.
  2. Подставьте это выражение вместо переменной в другом уравнении.
  3. Решите уравнение для оставшейся переменной
  4. Выполните обратную замену значения переменной, чтобы найти другую переменную.
  5. Чек

Процесс обратной подстановки включает в себя получение значения переменной, найденной на шаге 3, и подставив его обратно в выражение, полученное на шаге 1 (или исходную задачу), чтобы найти оставшаяся переменная.

Важно, чтобы при решении системы уравнений были заданы обе переменные. Общий Ошибка учеников состоит в том, что они находят одну переменную и останавливаются на ней. Вы должны указать ценность для всех переменные.

Хорошая идея проверить свой ответ в обоих уравнениях, но, вероятно, достаточно, чтобы проверить в уравнении вы не изолировали переменную на первом этапе. То есть, если вы решили для y в первое уравнение на шаге 1, используйте второе уравнение, чтобы проверить ответ.

Графический подход

Графический подход хорошо работает с графическим калькулятором, но не точен вручную (действительно эти точки пересекаются на 1/6 или 1/7?), если только график не попадает точно на линии сетки.

  1. Решите каждое уравнение относительно y. Это может включать в себя плюс и минус, если есть член y 2 . Если ты не построение графиков с помощью калькулятора или компьютера, вы можете пропустить этот шаг.
  2. Изобразите каждое уравнение.
  3. Найдите точки пересечения.
  4. Проверить!

Важно проверить свои ответы, чтобы убедиться, что вы прочитали точку пересечения правильно.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.