Задачи на смеси и сплавы (ЕГЭ — 2021)

Концентрация какого-то вещества в растворе – это отношение массы или объема этого вещества к массе или объему всего раствора.

То же самое относится и к сплавам: содержание одного из металлов в сплаве – это отношение массы этого металла к массе всего сплава.

Обычно концентрация измеряется в процентах.

Что такое процент?

Напомню, что это сотая доля числа. То есть, если массу или объем разделить на \( \displaystyle 100\), получим \( \displaystyle 1\%\) этой массы или объема.

Чтобы вычислить концентрацию в процентах, достаточно полученное число умножить на \( \displaystyle 100\%\).

Почему?

Сейчас покажу: пусть масса всего раствора равна \( \displaystyle M\), а масса растворенного вещества (например, соли или кислоты) – \( \displaystyle m\). Тогда один процент от массы раствора равен \( \displaystyle \frac{M}{100}\).

Как узнать, сколько таких процентов содержится в числе \( \displaystyle m\)?

Просто: поделить число \( \displaystyle m\) на этот один процент: \( \displaystyle \frac{m}{\frac{M}{100}}=\frac{m}{M}\cdot 100\), но ведь \( \displaystyle \frac{m}{M}\) – это концентрация.

Вот и получается, что ее надо умножить на \( \displaystyle 100\), чтобы узнать, сколько процентов вещества содержится в растворе.

Более подробно о процентах – в темах «Дроби, рациональные числа», «Проценты».

Поехали дальше.

Масса раствора, смеси или сплава равна сумма масс всех составляющих.

Логично, правда?

Например, если в растворе массой \( \displaystyle 10\) кг содержится \( \displaystyle 3\) кг соли, то сколько в нем воды? Правильно, \( \displaystyle 7\)кг.

И еще одна очевидность:

При смешивании нескольких растворов (или смесей, или сплавов), масса нового раствора становится равной сумме масс всех смешанных растворов

.

А масса растворенного вещества в итоге равна сумме масс этого же вещества в каждом растворе отдельно.

Например: в первом растворе массой \( \displaystyle 10\) кг содержится \( \displaystyle 3\) кг кислоты, а во втором растворе массой \( \displaystyle 14\) кг – \( \displaystyle 5\) кг кислоты.

Когда мы их смешаем, чему будет равна масса нового раствора?

\( \displaystyle 10+14=24\) кг.

А сколько в новом растворе будет кислоты? \( \displaystyle 3+5=8\) кг.

Теперь соединим полученные знания и решим несколько примеров.

Разбор примеров

Решение примера №10

В \( \displaystyle 10\%\) раствор кислоты массой \( \displaystyle 3\) кг добавили \( \displaystyle 1,8\) кг чистой воды. Чему стала равна концентрация раствора (в процентах)?

Решил? Смотри:

1. 1

   Вычисляем массу кислоты. Для этого запишем, что такое концентрация:
   \( \displaystyle \frac{m}{M}\cdot 100\%=10\%\text{ }\Rightarrow \text{ }\frac{m}{M}=0,1\text{ }\Rightarrow \text{ }m=0,1\cdot M=0,1\cdot 3=0,3\) кг.
   Впредь проценты всегда будем сразу записывать в виде десятичной дроби:
   \( \displaystyle 1\%=0,01\).

2. 2

   Вычисляем массу нового раствора: \( \displaystyle 3+1,8=4,8\) кг.

3. 3

   Новая концентрация: \( \displaystyle \frac{0,3}{4,8}=0,0625=6,25\%\).

Решение примера №11

Смешали два раствора: \( \displaystyle 2\) кг \( \displaystyle 10\%\)-ного и \( \displaystyle 3\) кг \( \displaystyle 20\%\)-ного. Какова концентрация полученного раствора?

Решение:

Визуализируем ситуацию: схематично изобразим емкости с растворами, около них подпишем массу раствора, а внутри – содержание кислоты:

Решение примера №12

Изюм содержит \( \displaystyle 5\%\) влаги. Его получают из винограда, содержащего \( \displaystyle 90\%\) влаги. Сколько потребуется винограда, чтобы получить \( \displaystyle 3\) кг изюма?

Решение:

Решение задач на сплавы, смеси и растворы

Текстовые задачи входят в ОГЭ и ЕГЭ. Поэтому, данная тема имеет важнейшее значение в обучении математике. Хорошее преподавание текстовых задач играет неоценимую роль в этот период, для того, чтобы при встрече текстовых задач в заданиях ОГЭ и ЕГЭ они не вызывали затруднений.

Хочу поделиться уже опробованным и получившим положительный отзыв от учителей, работающих в 9-11-х классах, и самих учащихся, приемом для решения задач на «смеси и сплавы».

По моему опыту, научить решать большинство текстовых задач, содержащихся в открытом банке, можно практически любого выпускника. Конечно, при этом определяющими факторами являются желание и стремление ученика, и владение простыми вычислительными навыками. В данной статье хотела бы показать простое решение задач на растворы, смеси и сплавы. Мне кажется, что именно такой тип задач вызывают основные трудности.

В качестве практического материала мною были использованы задачи «от составителей» из «открытого банка заданий».

Существует много способов решения задач на растворы, смеси и сплавы. Но я бы хотела остановится на одном из них, который, по моему мнению, самый простой для усвоения решения таких задач.

При решении этих задач полезно применить очень удобную модель и научить школьников пользоваться ею. Изображаем каждую смесь (сплав) в виде римских цифр (I – первый сплав, II – второй сплав и т.п.), количество которых соответствует количеству составляющих эту смесь (этот сплав) элементов. Данная модель позволяет компактно и наглядно представить процессы сплавления, смешивания, и упрощает составление уравнения.

Вначале решения данных задач необходимо напомнить, что процентом называется его сотая часть и три основные задачи на проценты:

1. Найти 15% от числа 40.

Решение: 40•0,15=6.

2. Найти число, 15% которого равны 30.

Решение: 30:0,15=200.

3. Сколько процентов составляет число 180 от 600?

Решение: 180:600•100%=30%.

Рассмотрим задачу.

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Изобразим каждый из сплавов в виде римских цифр I, II и получившийся сплав после сплавления III (то есть по числу составляющих элементов). Кроме того, на модели отобразим характер операции – сплавление, поставим знак «+» между первым и вторым числом. Поставив знак «=» между вторым и третьим числом, мы тем самым показываем, что третий сплав получен в результате сплавления первых двух.

Полученная схема имеет следующий вид:

I + II = III

Теперь заполняем в соответствии с условием задачи:

Сверху над числом будем отмечать массу соответствующего сплава, а снизу процентное содержание чистого вещества.

Решение. Пусть х кг – масса первого сплава. Тогда, (х+3) кг – масса второго сплава. Дополним последнюю схему этими выражениями.

Получим следующую схему:

Необходимо учащимся объяснить, основное правило смешивания смесей или сплавления сплавов:

1. Масса раствора (смеси, сплава) равна сумме масс всех составляющих.
2. При смешивании нескольких растворов (смесей, сплавов) масса нового раствора становится равной сумме всех смешанных растворов.
3. Масса растворенного вещества при смешивании двух растворов суммируется.

Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть слева от знака равенства) равна массе меди в полученном третьем сплаве (справа от знака равенства):

Решив это уравнение, получаем х=3. При этом значении х

выражение 2х+3=9. Таким образом, масса третьего сплава равна 9 кг.

Ответ: 9 кг.

Рассмотрим сложнее задачу. Для данной задачи провожу аналогичные рассуждения только ведем записи совместно для двух случаем, которые описываются в этой задачи.

Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Пусть масса 30-процентного раствора кислоты – х кг, а масса 60-процентного – у кг.

Упрощая каждое по отдельности уравнение, затем эти уравнение запишем в систему уравнений и решим  

Получим х=60, у=30. Таким образом масса 30-процентного раствора кислоты 60 кг.

Ответ: 60 кг.

Такую визуализацию удобно использовать в задачах на растворы, смеси и сплавы. Такая модель помогает зрительно воспринимать задачу.

Таким способом можно решать задачи на проценты на «сушку». Только необходимо учащимся объяснить, что при высыхании из абрикоса испаряется вода, количество сухого вещества не меняется. Для начала найти процентное содержание сухого вещества в свежих фруктах, а потом в сушенных. Потом составить аналогичную схема для решения такой задачи.

Из моего опыта очень много ребят после этого объяснения стали решать такие задачи.

Задачи на сплавы и смеси: подробный разбор

Как правило, ученики очень не любят задачи на сплавы и смеси. Для них они являются сложными и непонятными.

Поэтому многие даже время не тратят на попытки решения такой задачи в ЕГЭ, а просто пропускают ее. А зря!

Сейчас покажем, как можно решить такую задачу, выполнив всего три действия.

1. Как решить задачу на смеси и сплавы: 3 действия
2. Примеры решения задач на смеси: от простого к сложному
3. Примеры решения задач на сплавы: от простого к сложному

Как решить задачу на смеси и сплавы: 3 действия

 Итак, решение любой задачи на смеси и сплавы сводится к выполнению трех действий:

1. Необходимо составить таблицу, в которой указываем общую массу каждого вещества и чистую массу каждого вещества. Эти данные содержатся в условии задачи. Если какие-то данные в условии отсутствуют, то обозначаем их как неизвестные — х, у.
2. Составляем систему уравнений, основываясь на том, что при соединении двух смесей (или сплавов) их массы складываются. Т.е. мы складываем как общую массу двух изначальных смесей (или сплавов), так и чистую массу каждого вещества, содержащихся в них. Решаем полученную систему уравнений.
3. После решения системы уравнений и нахождения всех неизвестных обязательно возвращаемся к условию задачи и смотрим, что требовалось найти. Многие ученики, решив правильно систему уравнений, неправильно записывают ответ. Ведь решение системы – это еще не ответ к задаче! Вернитесь к условиям задачи, прочитайте, что именно требовалось найти, и запишите ответ.

 Примеры решения задач на смеси: от простого к сложному

 А теперь разберем на примерах, как с помощью этих трех действий решать задачи на смеси и сплавы.

Задача 1

Смешали 3 литра раствора, содержащего 20% кислоты, и 5 литров раствора, содержащего 40% той же кислоты. Какова концентрация кислоты в полученном растворе.

Решение:

Для решения задачи выполняем три действия, о которых мы говорили выше:

1. Составляем таблицу, в которой указываем общую массу раствора и массу чистого вещества, то есть в нашем случае – кислоты.

Из условий задачи имеем три раствора:

Раствор 1: 3 литра с 20% кислотой, т.е. общая масса = 3 литра, масса чистого вещества = 3 * 20% = 3 * 0,2 = 0,6

Раствор 2: 5 литров с 40% кислотой, т.е. общая масса = 5 литров, масса чистого вещества = 5 * 40% = 5 * 0,4 = 2

Раствор 3: какое-то количество раствора (обозначим его общую массу за х) с какой-то концентрацией кислоты (обозначим ее чистую массу за у), заносим эти данные в таблицу:Первое действие выполнено, переходим ко второму.

2. Составляем уравнения. Вспоминаем, что общая масса раствора 3 является суммой общих масс раствора 1 и раствора 2. А масса чистого вещества в растворе 3 является суммой массы чистового вещества в растворе 1 и массы чистового вещества в растворе 2. Таким образом, получаем:

3 + 5 = х

0,6 + 2 = у

Решаем простейшее уравнение и получаем, что х = 8, а у = 2,6. Таким образом, раствор 3 получился 8 литров, из которых 2,6 литра – это кислота.

Но ответ к задаче записывать рано! Переходим к третьему действию решения нашей задачи.

3. Возвращаемся к условию задачи и вспоминаем, а что же требовалось найти. В нашей задаче требовалось определить концентрацию кислоты в растворе 3. Когда мы решили уравнения, мы нашли общую массу раствора 3 и массу чистого вещества (кислоты), содержащегося в нем.

Чтобы определить концентрацию вещества необходимо разделить массу чистого вещества на общую массу раствора.

Таким образом, концентрация кислоты в растворе 3 равна:

2,6 / 8 = 0,325

Переводим долю вещества в проценты. Для этого умножаем полученный результат на 100:

0,325 * 100 = 32,5%

Ответ: 32,5%

Задача 2

Газ в сосуде А содержал 21% кислорода, а газ в сосуде В содержал 5% кислорода. Масса газа в сосуде А была больше массы газа в сосуде В на 300 г. Когда перегородку между сосудами убрали, газы перемешались, и получился третий газ, который содержит 14,6% кислорода. Найти массу третьего газа.

Решение:

1. Составляем таблицу. Для этого обозначим массу газа в сосуде В – х. Остальные данные берем из условий задачи и формируем таблицу:2. Составляем уравнение. Известно, что третий газ имеет содержание кислорода 14,6%, соответственно мы можем приравнять массу чистого вещества газа 3 к 0,146 * (х + (х +300)). Получим уравнение:

(х +300)  * 0,21 + х * 0,05 = 0,146 (х + (х +300))

0,21х + 63 + 0,05х = 0,292х + 43,8

0,26х + 63 = 0,292х + 43,8

0,032х = 19,2

х = 600

3. Возвращаемся к условиям задачи и вспоминаем, что нужно было найти. А найти нам нужно было массу третьего газа. Подставляем в уравнение общей массы газа 3 из таблицы и получаем:

600 + 600 + 300 = 1500 г

Ответ: масса третьего газа равна 1500 г.

Задача 3

Смешали 40%ый и 15%ый растворы кислоты, затем добавили 3 кг чистой воды, в результате чего получили 20%ый раствор кислоты. Если бы вместо 3 кг воды добавили 3 кг 80% раствора той же кислоты, то получили бы 50%ый раствор кислоты. Сколько килограммов 40%го и 15%го растворов кислоты было смешано?

Решение:

1. Составляем таблицу. По условиям задачи мы имеем пять растворов:

Раствор 1: 40%ая кислота. Обозначим ее массу за х, тогда масса чистого вещества = х * 40% = 0,4х

Раствор 2: 15%ая кислота. Обозначим ее массу за у, тогда масса чистого вещества = х * 15% = 0,15х

Вода: вода, масса которой равна 3 кг. Концентрация кислоты в воде равна 0. Таким образом, масса чистого вещества равна 3 * 0 = 0

Раствор 3: 80%ая кислота. Ее масса по условию задачи равна 3 кг, тогда масса чистого вещества равна 3 * 80% = 3 *0,8 = 2,4

Раствор 4: соединение раствора 1, раствора 2 и воды. Таким образом, общая масса полученного раствора равна х + у + 3. А масса чистого вещества в этом растворе равна 0,4х + 0,15у + 0

Раствор 5: соединение раствора 1, раствора 2 и раствора 3. Таким образом, общая масса полученного раствора равна х + у + 3. А масса чистого вещества в этом растворе равна 0,4х + 0,15у + 2,4.

Сводим полученные результаты в таблицу:2. Составляем уравнение.

По условиям задачи раствор 5 имеет концентрацию 50%. Таким образом, чтобы получить массу чистого вещества в растворе 5 нужно его общую массу умножить на концентрацию. Получаем (х + у + 3) * 0,5. Теперь берем массу чистого вещества раствора 5, которую мы выразили в таблице и приравниваем два этих уравнения:

 (х + у + 3) * 0,5 = 0,4х + 0,15у + 2,4

Аналогично поступаем с раствором 4. По условиям задачи его концентрация равна 20%. Тогда получаем следующее уравнение:

(х + у + 3) * 0,2 = 0,4х + 0,15у

Объединяем полученные уравнения в систему:Решаем систему и получаем х = 3,4, у = 1,6

3. Возвращаемся к условиям задачи.

По условиям задачи необходимо было найти, какое количество килограммов 40%го и 15%го растворов кислоты было смешано. Общая масса 40%й кислоты мы обозначали х, а общую массу 15%й кислоты мы обозначили у. Следовательно, масса 40%й кислоты = 3,4 кг, а масса15%й кислоты = 1,6 кг.

Ответ: масса 40%й кислоты = 3,4 кг, а масса15%й кислоты = 1,6 кг.

Примеры решения задач на сплавы: от простого к сложному

Задача 1

Бронза является сплавом меди и олова (в разных пропорциях). Кусок бронзы, содержащий 1/12 часть олова, сплавляется с другим куском, содержащим 1/10 часть олова. Полученный сплав содержит 1/11 часть олова. Найдите вес второго куска, если вес первого равен 84 кг

Решение:

1. Составим таблицу. Обозначим массу второго куска – х.2. Составим уравнение. По условию задачи сплав 3 содержит 1/11 часть олова, тогда масса чистого вещества равна  1/11 * (84 + х). Таким образом, можно составить следующее уравнение:

1/12 * 84 + 1/10 * х = 1/11 * (84 + х)

7 + х/10 = 84/11 + х/11

х/10 – х/11 = 7/11

х/110 = 7/11

х/10 = 7

х = 70

3. Возвращаемся к условию задачи. Найти нужно было вес второго куска. Вес второго куска равен 70 кг.

Ответ: 70 кг.

Задача 2

Имеются два сплава меди со свинцом. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

Решение.

1. Составим таблицу. Пусть масса первого сплава – х, масса второго сплава – у. Остальные данные берем из решения и составляем таблицу:2. По условиям задачи масса третьего сплава равна 200 г, значит:

х + у = 200

Содержание меди в третьем сплаве по условиям задачи равно 30%, т.е. масса чистого вещества равна 0,3(х + у). Следовательно, берем массу чистого вещества из таблицы и приравниваем:

0,15х + 0,65у = 0,3(х + у)

Получившиеся уравнения сводим в систему и решаем ее:х = 200 – у

0,15(200 – у) + 0,65у = 0,3 * 200

30 – 0,15у + 0,65у = 60

0,5у = 30

у = 60

х = 140

3. Возвращаемся к условиям задачи. Необходимо было найти массу первого и второго сплава. Масса первого сплава — 140 г, масса второго сплава -60 г.

Ответ: 140 г и 60 г.

Задача 3

В первом сплаве  содержание меди составляет 70%, а во втором – 40%. В каком отношении надо взять эти сплавы, чтобы получить из них новый сплав, который содержит 50% меди?

Решение:

1. Составим таблицу. Обозначим массу первого сплава – х, массу второго сплава – у. Тогда:2. По условиям задачи содержание меди в третьем сплаве равно 50%. Таким образом, масса чистого вещества равна 0,5 (х + у). Приравняем полученное уравнение к массе чистого вещества в составе третьего сплава из таблицы, получим:

0,7х + 0,4у = 0,5 (х + у)

0,7х + 0,4у = 0,5х + 0,5у

0,2х = 0,1у

х/у = ½

3. Возвращаемся к условию задачи. Необходимо было определить отношение первого и второго сплавов в третьем сплаве. Отношение сплавов равно ½.

Ответ: ½

Итак, решение задач на сплавы и смеси можно свести к трем действиям: составление таблицы, составление уравнения (или системы уравнений), возвращение к условиям задачи, чтобы дать ответ на поставленный вопрос. Задание 11 ЕГЭ по математике профильного уровня является одной из самых сложных задач, так как может содержать текстовую задачу любого типа. Это может быть как задача на сплавы и смеси, так и задача на движение, работу, проценты. Как решать все эти задачи вы можете узнать на нашем сайте.

 

Решение задач на смеси, сплавы и растворы для ЕГЭ по математике

Хочу продолжить тему, начатую одним из моих коллег – решение задач на смеси, сплавы и растворы.

Подобные задачи довольно часто встречаются в реальных и демонстрационных вариантах ОГЭ и ЕГЭ. В обычных школах таким задачам не уделяется должного внимания и даже у учеников 11 классов возникают сложности при их решении.

Рассмотрим решение на примере не сложной задачи.

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй – 25% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 105 кг, содержащий 20% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

Решение.

Обозначим: m1 — масса первого сплава. Если третий сплав, получившийся из двух, равен 105 кг, то масса второго сплава (105-m1)кг.

Главная идея решения – равенство масс чистого вещества в начале и после соединения сплавов.

Найдём количество чистого никеля в первом сплаве — 0,1 m1

Количество чистого никеля во втором сплаве — 0,25(105-m1).

Тогда общая масса чистого никеля в обоих сплавах – (0,1 m1+0,25(105-m1))кг. (1)

После соединения сплавов общая масса 105кг, а содержание никеля 20%, тогда в новом славе чистого никеля будет – 0,20*105кг. (2).

Чистый никель никуда не исчез и нового чистого никеля не добавлено, значит величины (1) и (2) равны.

Запишем уравнение ( 0,1 m1+0,25(105-m1))= 0,20*105, решая его находим m1=35,

масса второго сплава 105 -35 = 70кг. И в итоге 70 – 35=35кг — масса первого сплава больше массы второго на 35кг. Ответ: 35

 

Решим ещё задачу.

Имеется два сосуда. Первый содержит 100кг., а второй -20кг. раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 72% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 78% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

Решение.

Пусть к – концентрация первого раствора, р – концентрация второго раствора. Чистой кислоты в первом растворе – 100к кг., во втором – 20р кг. и всего в двух растворах – (100к +20р) кг.

Если смешать растворы, то вес нового раствора -120кг. и концентрация 72%., при том же количестве, что и в начале, чистой кислоты, т.е (100к +20р) = 0,72*120 (1).

Возьмём теперь равные массы растворов, для простоты возьмём по 10кг.

Определим начальное количество чистой кислоты в обоих растворах. В первом растворе 10к чистой кислоты, во втором 10р чистой кислоты. Тогда всего вначале чистой кислоты было (10к +10р) кг. Масса нового раствора 10+10 =20 кг и по условию его концентрация 0,78. Чистой кислоты в новом растворе – 0,78*20. По условию равенства чистого вещества (10к +10р)= 0,78*20 (2).

Решая совместно (1) и (2) получаем к = 0,69, тогда чистой кислоты в первом растворе – 69кг. Отв.: 69

 

Теперь посмотрим как легко решается известная задача про изюм и виноград.

Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 14 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

Решение. 

Если в винограде 90% воды, значит 10% чистого изюма (название образное).

В изюме (магазинном) должно быть 95% чистого изюма. В 14кг. магазинного изюма чистого изюма будет чуть меньше — 14*0,95= 13,3кг. Это количество необходимо набрать из винограда, где только 10% чистого изюма. Значит 13,3 кг в винограде, должны составлять десятую часть, тогда необходимо взять 133 кг. винограда. В 133кг. винограда будет 13,3 чистого изюма, что позволит иметь 14 кг магазинного изюма. Ответ: 133

При решении всех простых задачах на сплавы, смеси, и растворы применяют условие равенства чистых масс вещества в начале и после соединения. В более сложных, это условие помогает найти ходы решения.

В завершении приведу решение сложной задачи, решение которой опирается на понятие «концентрация». Такая задача может быть в задании 11 профильного ЕГЭ. Обычно такого рода задачи прорешивают заранее, чтобы на экзамене не возникла тревога при виде сложного и на первый взгляд, запутанного условия.

 

 В сосуде было 20 литров соляной кислоты. Часть кислоты отлили, и сосуд дополнили водой. Затем отлили в два раза большую (чем в первый раз) часть полученной смеси и снова дополнили сосуд водой. В результате получился 28% раствор кислоты. Сколько литров кислоты отлили в первый раз?

Редакция не несет ответственности за наполнение блогов, они есть персональным мнением автора

Задачи на проценты, сплавы и смеси Подготовка к ОГЭ по математике №22

ОГЭ 9 класс

№22 Задачи на проценты, сплавы и смеси

1. Задание 22 

Смешав 60%−ый и 30%−ый растворы кислоты и добавив 5 кг чистой воды, получили 20%−ый раствор кислоты. Если бы вместо 5 кг воды добавили 5 кг 90%−го раствора той же кислоты, то получили бы 70%−ый раствор кислоты. Сколько килограммов 60%−го раствора использовали для получения смеси?

Решение.

Пусть  кг и  кг — массы первого и второго растворов, взятые при смешивании. Тогда кг — масса полученного раствора, содержащего  кг кислоты. Концентрация кислоты в полученном растворе 20 %, откуда

 

Решим систему двух полученных уравнений:

 

Замечание. Решение можно сделать несколько проще, если заметить, что из полученных уравнений следует: , откуда . Первое уравнение принимает вид ,откуда .
Ответ: 2 кг.

2. Задание 22

Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 60%, а во втором — 45% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 55% меди?

Решение.

Пусть первый сплав взят в количестве x кг, тогда он будет содержать 0,6x кг меди, а второй сплав взят в количестве y кг, тогда он будет содержать 0,45y кг меди. Соединив два этих сплава, получим сплав меди массой x + y, по условию задачи он должен содержать 0,55(x + y) меди. Следовательно, можно составить уравнение:

 

Выразим x через y:  

Следовательно, отношение, в котором нужно взять сплавы: Ответ: 

 

3. Задание 22

При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

Решение.

Пусть первый раствор взят в количестве  грамм, тогда он содержит 0,2 грамм чистой кислоты, а второй раствор взят в количестве  грамм, тогда он содержит 0,5 грамм чистой кислоты. При смешивании двух этих растворов получится раствор массой  +  грамм, по условию задачи, он содержит 0,3( + ) чистой кислоты. Следовательно, можно составить уравнение:

 

Выразим  через :  Следовательно, отношение, в котором были взяты растворы:  Ответ: 

4. Задание 22

На пост главы администрации города претендовало три кандидата: Журавлёв, Зайцев, Иванов. Во время выборов за Иванова было отдано в 2 раза больше голосов, чем за Журавлёва, а за Зайцева — в 3 раза больше, чем за Журавлёва и Иванова вместе. Сколько процентов голосов было отдано за победителя?

Решение.

Заметим, что победителем на выборах окажется Зайцев. Пусть количество голосов, отданных за Зайцева равно . Тогда за Журавлёва и Иванова вместе отдали . Процент голосов, отданных за Зайцева   Ответ: 75%.

5. Задание 22 

Первый сплав содержит 5% меди, второй — 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 4 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава.

Решение.

Пусть масса первого сплава x кг. Тогда масса второго сплава (x + 4) кг, а третьего — (2x + 4) кг. В первом сплаве содержится 0,05x кг меди, а во втором — 0,13(x + 4) кг. Поскольку в третьем сплаве содержится 0,1(2x + 4) кг меди, составим и решим уравнение:

Откуда 

Масса третьего сплава равна 16 кг.

Ответ:16 кг.

6. Задание 22 

Свежие фрукты содержат 80% воды, а высушенные — 28%. Сколько сухих фруктов получится из 288 кг свежих фруктов?

Решение.

Свежие фрукты содержат 20% питательного вещества, а высушенные — 72%. В 288 кг свежих фруктов содержится 0,2 · 288 = 57,6 кг питательного вещества. Такое количество питательного вещества будет содержаться в  кг высушенных фруктов. Ответ: 80.

7. Задание 22 

Смешали некоторое количество 10-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 12-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.

Пусть взяли  г 10-процентного раствора, тогда взяли и  г 12-процентного раствора. Концентрация раствора — масса вещества, разделённая на массу всего раствора. В первом растворе содержится  г, а во втором —  г Концентрация получившегося раствора равна  или 11%. Ответ: 11%.

8. Задание 22 

Свежие фрукты содержат 86 % воды, а высушенные — 23 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?

Решение.

Заметим, что сухая часть свежих фруктов составляет 14%, а высушенных — 77%. Значит, для приготовления 72 кг высушенных фруктов требуется  кг свежих. Ответ: 396 кг.

9. Задание 22 

Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 55% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 61% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора — х, концентрация второго раствора — y. Составим систему уравнений согласно условию задачи:

 

Таким образом, в первом растворе содержится  килограмма кислоты.

Ответ: 8,7.

10. Задание 22

Имеются два сосуда, содержащие 4 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 57% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора — х, концентрация второго раствора — y. Составим систему уравнений согласно условию задачи:

 

 

Таким образом, в первом растворе содержится  кг кислоты Ответ: 2,6

11. Задание 22 

Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 30 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 73% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 72% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора — х, концентрация второго раствора — y. Составим систему уравнений согласно условию задачи:

 

Таким образом, во втором растворе содержится  кг кислоты. Ответ: 19,5

12. Задание 22 

Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 33% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 47% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора — х, концентрация второго раствора — y. Составим систему уравнений согласно условию задачи:

 

Таким образом, во первом растворе содержится  кг кислоты. Ответ: 2.

13. Задание 22

Имеются два сосуда, содержащие 12 кг и 8 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 65% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора — х, концентрация второго раствора — y. Составим систему уравнений согласно условию задачи:

 

Таким образом, во втором растворе содержится  кг кислоты. Ответ: 2,8

14. Задание 22

Имеются два сосуда, содержащие 24 кг и 26 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 39% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 40% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора — х, концентрация второго раствора — y. Составим систему уравнений согласно условию задачи:

 

Таким образом, в первом растворе содержится  кг кислоты. Ответ: 15,6.

15. Задание 22 

Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 81% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 83% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора — х, концентрация второго раствора — y. Составим систему уравнений согласно условию задачи:

 

Таким образом, во втором растворе содержится  кг кислоты. Ответ: 18,6

16. Задание 22 

Имеются два сосуда, содержащие 22 кг и 18 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 32% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 30% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора — х, концентрация второго раствора — y. Составим систему уравнений согласно условию задачи:

 

Таким образом, в первом растворе содержится  кг кислоты. Ответ: 11.

17. Задание 22 

Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 42 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 40% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 37% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора — х, концентрация второго раствора — y. Составим систему уравнений согласно условию задачи:

 

Таким образом, во втором растворе содержится  кг кислоты Ответ: 23,1

18. Задание 22

Имеются два сосуда, содержащие 48 кг и 42 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 42% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 40% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора — х, концентрация второго раствора — y. Составим систему уравнений согласно условию задачи: 

 

Таким образом, во втором растворе содержится  килограмма кислоты

 

Ответ: 4,2

19. Задание 22 

Свежие фрукты содержат 88 % воды, а высушенные — 30 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 6 кг высушенных фруктов?

Решение.

Заметим, что сухая часть свежих фруктов составляет 12%, а высушенных — 70%. Значит, для приготовления 6 кг высушенных фруктов требуется  кг свежих.

Ответ: 35 кг.

20. Задание 22

Смешали некоторое количество 21-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 95-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.

Пусть взяли  г 21-процентного раствора, тогда взяли и  г 95-процентного раствора. Концентрация раствора — масса вещества, разделённая на массу всего раствора. В первом растворе содержится  г, а во втором —  г Концентрация получившегося раствора равна  или 58%.

 

Ответ: 58.

21. Задание 22 

Свежие фрукты содержат 93% воды, а высушенные — 16%. Сколько сухих фруктов получится из 252 кг свежих фруктов?

Решение.

Свежие фрукты содержат 7% питательного вещества, а высушенные — 84%. В 252 кг свежих фруктов содержится 0,07 · 252 = 17,64 кг питательного вещества. Такое количество питательного вещества будет содержаться в  кг высушенных фруктов.

 

Ответ: 21.

Проценты. Смеси и сплавы. Задача 11

1.	На сколько рубашки дороже куртки	2 вид — интерпретация	лёгкое	1 Б.	Задача на процентное соотношение.
2.	Семейный доход	2 вид — интерпретация	лёгкое	1 Б.	Задача на процентное отношение.
3.	Задача на прогрессию	2 вид — интерпретация	лёгкое	4 Б.	Использование прогрессии в текстовой задаче.
4.	Цена холодильника	2 вид — интерпретация	лёгкое	1 Б.	Уменьшение цены. Формула сложных процентов.
5.	Уставный капитал	2 вид — интерпретация	лёгкое	1 Б.	Задача на процент вложения.
6.	Концентрация раствора	2 вид — интерпретация	лёгкое	1 Б.	Задача на нахождение концентрации раствора.
7.	Смесь двух растворов	2 вид — интерпретация	лёгкое	1 Б.	Задача на смесь растворов разных концентраций.

Текстовые задачи: смеси и сплавы

Задание 11 ЕГЭ по математике, 22 ОГЭ по математике. Практика.

Шаблон: sm-cs-shab.pdf
С решениями: sm-cs.pdf

Источник: vk.com/math_for_100

Алгоритм решения

Прототипы

Прототип 1: Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 18-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Прототип 2: Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Прототип 3: Первый сплав содержит 10% меди, второй – 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Прототип 4: Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй – 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Прототип 5: В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Прототип 6: Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси.

Прототип 7: Имеются два сосуда с растворами кислоты различной концентрации. Первый содержит 30 кг раствора, а второй – 20 кг раствора. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Прототип 8: Виноград содержит 90% влаги, а изюм – 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 кг изюма?

задача по алгебре в колледже — смеси

Обычно считается, что проблемы со смесью связаны с тем, что кто-то смешивает вместе ингредиенты разных типов — и ингредиенты имеют разные концентрации некоторых ключевых элементов (например, соли, золота, меди и т. Д.)

При решении проблем со смесью я обычно концентрируюсь на той части смеси, которая является стабильной, то есть на количестве соли, количестве золота, и на основе этой информации составляю свое уравнение.Как и во многих других приложениях, я систематизирую информацию в виде диаграммы.

Пример 1: Сколько 10% золотого сплава нужно смешать с 32 граммами 24% золотого сплава, чтобы получить 22% золотой сплав?

Шаг 1: Определите, какой столбец вы можете заполнить на основе информации, указанной в задаче (без использования переменной), и заполните его. В этом случае мы знаем процент золота в каждом сплаве, поэтому заполним эту часть.

	Количество граммов сплава золота	(% золота в сплаве)	(количество граммов чистого золота)
Смесь сплавов		.10
Смесь сплавов		,24
Полученный сплав		.22

Шаг 2: Определите, что вы ищете, и определите свою переменную. Здесь мы ищем количество граммов сплава 10% золота.

Пусть x представляет количество граммов сплава 10% золота.

• Поместите x в соответствующую ячейку (количество граммов сплава 10% золота)
  
• Заполните оставшуюся часть столбца, используя тот факт, что у нас будет 32 грамма сплава 24%.Мы также знаем, что при объединении двух смесевых сплавов у нас будет x + 32 грамма полученного сплава.

	Количество граммов сплава золота	(% золота в сплаве)	(количество граммов чистого золота)
Смесь сплавов	х	.10
Смесь сплавов	32	,24
Полученный сплав	х + 32	.22

Шаг 3: Заполните последний столбец, используя первые два столбца и отношение, которое (количество граммов сплава) X (%) = (количество граммов чистого золота)

	граммов сплава золота	(% золота в сплаве)	(количество граммов чистого золота)
Смесь сплавов	х	.10	,10 x
Смесь сплавов	32	,24	,24 (32)
Полученный сплав	х + 32	.22	,22 (x + 32)

Шаг 4: Уравнение, которое будет моделировать эту проблему, теперь будет взято из последнего столбца.

Количество граммов чистого золота в сплаве 10% золота

+ количество граммов чистого золота в сплаве с 24% золота

= Количество граммов чистого золота в полученном 22% -ном сплаве

.10 x + . 24 (32) = . 22 (x + 32)

Шаг 5: Теперь решите уравнение и ответьте на исходный вопрос.

Решая, получаем: x = 5,33

Ответ на первоначальный вопрос: мы смешаем 5,33 грамма сплава 10% золота с 32 граммами сплава 24%, чтобы получить сплав 22%.

Теперь, используя первый пример в качестве шаблона, давайте попробуем немного изменить задачу.

Пример 2: Сколько каждого из 10% золотого сплава и 24% золотого сплава нужно смешать вместе, чтобы получить 40 граммов 22% золотого сплава?

Шаг 1: Определите, какой столбец вы можете заполнить на основе информации, указанной в задаче, без необходимости использовать переменную и заполнять ее. В этом случае мы знаем процент золота в каждом сплаве, поэтому заполним эту часть.

	Количество граммов сплава золота	(% золота в сплаве)	(количество граммов чистого золота)
Смесь сплавов		.10
Смесь сплавов		,24
Полученный сплав		.22

Пока это то же самое, что и в Примере 1.

Шаг 2: Определите, что вы ищете, и определите свою переменную. Здесь мы ищем количество граммов как сплава золота 10%, так и сплава золота 24%. Мы не можем предполагать, что суммы одинаковы, поэтому мы не можем просто позволить варибалу «x» представлять их обе. Я произвольно выберу x для обозначения одного из них.

Пусть x представляет количество граммов сплава 10% золота.

• Поместите x в соответствующую ячейку (количество граммов сплава 10% золота)
  
• Заполните оставшуюся часть столбца, используя тот факт, что у нас будет 40 граммов полученного сплава 22%. Это также означает, что у нас должно быть 40 x граммов сплава на 24% (так как эти два количества должны в сумме равняться 40).

	Количество граммов сплава золота	(% золота в сплаве)	(количество граммов чистого золота)
Смесь сплавов	х	.10
Смесь сплавов	40 — х	,24
Полученный сплав	40	.22

Шаг 3: Заполните последний столбец, используя первые два столбца и следуя соотношению (количество граммов сплава) X (%) = (количество граммов чистого золота)

	Количество граммов сплава золота	(% золота в сплаве)	(количество граммов чистого золота)
Смесь сплавов	х	.10	,10 x
Смесь сплавов	40 — х	,24	,24 (40 — х)
Полученный сплав	40	.22	,22 (40)

Шаг 4: Уравнение, которое будет моделировать эту проблему, теперь будет взято из последнего столбца.

Количество граммов чистого золота в сплаве 10% золота

+ количество граммов чистого золота в сплаве с 24% золота

= Количество граммов чистого золота в полученном 22% -ном сплаве

.10 x + ,24 (40 — x) = ,22 (40)

Шаг 5: Теперь решите уравнение и ответьте на исходный вопрос.

Решая, получаем: x = 5,71

и 40 — x = 34,29

Ответ на исходный вопрос: мы смешаем 5,71 грамма сплава 10% золота с 34,29 грамма сплава 24%, чтобы получить 40 граммов сплава золота 22%.

Последний пример — один из моих любимых, и, честно говоря, я, вероятно, создал всю эту страницу только для того, чтобы вставить эту. Впервые я обнаружил его в колонке газет Мэрилин вос Савант, и это не поддается интуитивному рассуждению. Я называю это огуречным парадоксом.

Пример 3: Предположим, вы идете и покупаете 100 фунтов. огурцов, которые на 99% состоят из воды. К сожалению, вы не соблюдаете правила ухода за своими огурцами, поэтому через некоторое время они обезвоживаются, пока не станут на 98% водой.Сколько они тогда весят?

Эта проблема почти преднамеренно вводит в заблуждение, поскольку она просит вас сконцентрироваться на весе воды (который изменяется по мере испарения) вместо того, что остается постоянным (вес чистого твердого вещества огурца — без воды).

Однако, как и раньше, уравнение описывает то, что не изменится, а именно количество чистого твердого вещества огурца. Поскольку 99% от 100фн. огурца — это вода, поэтому остается только 1% твердого огурца.Или 1 фунт. Он останется неизменным, даже если вода испарится.

Шаг 1: Определите, какой столбец вы можете заполнить на основе информации, указанной в задаче, без необходимости использовать переменную и заполнять ее. В этом случае нам известен процент твердых огурцов как в исходной, так и в выпаренной кучке.

Примечание. Когда огурцы на 99% состоят из воды, они на 1% состоят из твердого вещества огурца, а когда огурцы на 98% состоят из воды, они на 2% состоят из твердого вещества огурца.

	# фунтов. огурца	(% от массы огурца)	(количество фунтов твердого огурца)
Огурцы оригинальные		.01
Огурцы вареные		0,02

Шаг 2: Определите, что вы ищете, и определите свою переменную. Вот смотрим, сколько весят огурцы после упаривания.

Пусть x представляет собой вес (в фунтах) испаренных огурцов.

	# фунтов. огурца	X (% твердого огурца)	= (количество фунтов твердого огурца)
Огурцы оригинальные	100	.01
Огурцы вареные	Икс	0,02

Шаг 3: Заполните последний столбец, используя первые два столбца и следуя соотношению

(количество фунтов.огурца) X (% твердого вещества огурца) = (Количество фунтов твердого вещества огурца)

	# фунтов. огурца	(% от массы огурца)	(количество фунтов твердого огурца)
Огурцы оригинальные	100	.01	100 (,01 ) = 1
Огурцы вареные	Икс	0,02	х (, 02 )

Шаг 4: Уравнение, которое будет моделировать эту проблему, теперь будет взято из последнего столбца.

Количество фунтов твердого огурца исходно (до выпаривания)

= # фунтов твердого огурца после выпаривания

100 (.01) = x (0,02)

Шаг 5: Теперь решите уравнение и ответьте на исходный вопрос.

Решая, получаем: x = 50

Ответ на исходный вопрос: после испарения огурцы весят всего 50 фунтов.

Я сказал вам, что это было совершенно нелогично. Попробуйте это на своих друзьях. Держу пари, никто не может угадать ответ.

© 1999 Джо Стейг

---

Проблемы со смесью с решениями

Проблемы смеси и их решения представлены вместе с их решениями. Проценты также используются для решения подобных проблем.

Задача 1: Сколько литров 20% спиртового раствора нужно добавить к 40 литрам 50% спиртового раствора, чтобы получился 30% раствор?

Решение проблемы 1:
Пусть x будет количеством 20% спиртового раствора, которое нужно добавить к 40 литрам 50% спирта.Пусть y будет количеством конечного 30% раствора. Следовательно
х + 40 = у
Теперь мы математически выразим, что количество алкоголя в x литрах плюс количество алкоголя в 40 литрах равно количеству алкоголя в y литрах. Но помните, что алкоголь измеряется в процентах.
20% x + 50% * 40 = 30% y
Заменим y на x + 40 в последнем уравнении, чтобы получить.
20% x + 50% * 40 = 30% (x + 40)
Преобразовать проценты в дроби.
20 х / 100 + 50 * 40/100 = 30 х / 100 + 30 * 40/100
Для упрощения умножьте все члены на 100.
20 х + 50 * 40 = 30 х + 30 * 40
Решите относительно x.
x = 80 литров
80 литров 20% спирта добавляют к 40 литрам 50% спиртового раствора, чтобы получился 30% раствор.

Задача 2: Джон хочет приготовить 100 мл 5% спиртового раствора, смешав 2% спиртовой раствор с 7% спиртовым раствором. Какое количество каждого из двух растворов (2% и 7%) он должен использовать?

Решение проблемы 2:
Пусть x и y будут количествами 2% и 7% спиртовых растворов, которые будут использоваться для приготовления 100 мл.Следовательно
х + у = 100
Теперь запишем математически, что количество алкоголя в x мл плюс количество алкоголя в y мл равно количеству алкоголя в 100 мл.
2% x + 7% y = 5% 100
Первое уравнение дает y = 100 — x. Подставляем в последнее уравнение, чтобы получить
2% x + 7% (100 — x) = 5% 100
Умножить на 100 и упростить
2 х + 700 — 7 х = 5 * 100
Решить относительно x
x = 40 мл
Замените x на 40 в первом уравнении, чтобы найти y
y = 100 — x = 60 мл

Задача 3: Стерлинговое серебро — 92.5% чистое серебро. Сколько граммов стерлингового серебра необходимо смешать с сплавом 90% серебра, чтобы получить 500 г сплава с содержанием серебра 91%?

Решение проблемы 3:
Пусть x и y будут весами в граммах чистого серебра и 90% сплава, чтобы получить 500 граммов при 91%. Следовательно
х + у = 500
Количество граммов чистого серебра в x плюс количество граммов чистого серебра в y равно количеству граммов чистого серебра в 500 граммах. Чистое серебро дано в процентной форме.Следовательно
92,5% x + 90% y = 91% 500
Замените y на 500 — x в последнем уравнении для записи
92,5% x + 90% (500 — x) = 91% 500
Упростить и решить
92,5 х + 45000 — 90 х = 45500
х = 200 грамм.
200 граммов стерлингового серебра необходимо для изготовления 91% сплава.

Задача 4: Сколько килограммов чистой воды нужно добавить к 100 килограммам 30% солевого раствора, чтобы получился 10% солевой раствор.

Решение проблемы 4:
Пусть x — вес добавляемой чистой воды в килограммах.Пусть y будет массой 10% раствора в килограммах. Следовательно
х + 100 = у
Давайте теперь выразим тот факт, что количество соли в чистой воде (которая равна 0) плюс количество соли в 30% растворе равно количеству соли в конечном солевом растворе при 10%.
0 + 30% 100 = 10% г
Заменим y на x + 100 в последнем уравнении и решим.
30% 100 = 10% (x + 100)
Решите относительно x.
x = 200 Килограмм.

Задача 5: 50 мл лосьона после бритья с содержанием 30% спирта смешивают с 30 мл чистой воды.Какой процент спирта в новом растворе?

Решение проблемы 5:
Количество конечной смеси определяется выражением
50 мл + 30 мл = 80 мл
Количество спирта равно количеству спирта в чистой воде (0) плюс количество спирта в 30% растворе. Пусть x будет процентным содержанием спирта в конечном растворе. Следовательно
0 + 30% 50 мл = x (80)
Решить относительно x
х = 0,1817 = 18,75%

Задача 6: Вы добавляете x мл 25% спиртового раствора к 200 мл 10% спиртового раствора, чтобы получить другой раствор.Найдите количество спирта в конечном растворе через x. Найдите отношение спирта в конечном растворе к общему количеству раствора в единицах x. Как вы думаете, что произойдет, если x будет очень большим? Найдите x так, чтобы окончательное решение имело процентное соотношение 15%.

Решение проблемы 6:
Давайте сначала найдем количество спирта в 10% растворе 200 мл.
200 * 10% = 20 мл
Количество спирта в x мл 25% раствора определяется по формуле
25% х = 0.25 х
Общее количество спирта в конечном растворе определяется выражением
20 + 0,25 х
Отношение спирта в конечном растворе к общему количеству раствора определяется как
[(20 + 0,25 x) / (x + 200)]
Если x становится очень большим в приведенной выше формуле для отношения, то отношение становится близким к 0,25 или 25% (приведенная выше функция является рациональной функцией, а 0,25 — ее горизонтальной асимптотой). Это означает, что если вы увеличите количество x 25% раствора, оно будет преобладать, и конечный раствор будет очень близок к 25% раствору.
Чтобы иметь процент 15%, нам нужно иметь
[(20 + 0,25 x) / (x + 200)] = 15% = 0,15
Решите указанное выше уравнение относительно x
20 + 0,25 х = 0,15 * (х + 200)
x = 100 мл

Больше математических задач с подробными решениями на этом сайте. e-mail
Домашняя страница

Урок Словарные задачи о смесях для сплавов

Словарные задачи о смесях для сплавов

Задача 1

Смешивание заданного количества сплава серебра 30% с некоторым количеством сплава серебра 90% дает 200 единиц сплава 54% серебра.
Сколько единиц каждого сплава было использовано?

Решение

Пусть x = масса используемого сплава серебра 30%, и
    y = масса использованного сплава серебра 90%.

Тогда уравнение полной массы имеет вид

х + у = 200,

а массовое уравнение "чистого серебра" имеет вид

0,3x + 0,9y = 0,54 * 200.

Упростите эти уравнения и соберите их в систему уравнений

   х + у = 200, (1)
0,3x + 0,9y = 108. (2)

Чтобы решить эту проблему, выразите x = 200 - y из (1) и подставьте его в (2).Вы получите одно уравнение для y:

0,3 * (200 - y) + 0,9y = 108,

60 - 0,3y + 0,9y = 108,

0,6y = 108-60 ---> 0,6y = 48 ---> y = = 80.

Таким образом, масса использованного сплава серебра на 90% составила 80 единиц.
Масса использованного 30% -ного сплава серебра составляла 200-80 = 120 единиц.

  Чек . = = = = 0,54. ОК, проверка сделана.

  Ответ . Необходимо использовать 80 единиц сплава 90% серебра и 120 единиц сплава 30% серебра.

Задача 2

Сколько килограммов руды, содержащей 5% золота, необходимо переплавить с 8 кг руды, содержащей 2% золота, чтобы получить смесь, содержащую 4% золота?

Решение

Пусть x будет требуемой массой в килограммах руды, содержащей 5% золота.
Тогда масса смеси (х + 8) килограммов.

Количество «чистого золота» в этой смеси составляет 0,05x + 0,02 * 8 = 0,05 + 0,16 килограмма,
Итак, у нас есть это уравнение для процентного содержания золота в смеси:

 = 0.04.

Чтобы решить ее, умножьте обе части на (x + 8). Ты получишь

0,05x + 0,16 = 0,04 * (x + 8), или

0,05x + 0,16 = 0,04x + 0,32.

Упростите его и решите:

0,05х - 0,04х = 0,32 - 0,16,

0,01x = 0,16,

х = = 16 килограмм.

  Чек . = = = = 0,04. ОК, проверка сделана.

  Ответ . Требуется 16 кг 5% руды.
 

Задача 3

Сталь, состоящая из 5% никеля и 95% железа, смешивается с другой партией, состоящей из 2% никеля и 98% железа.
получается 3 тонны стали, состоящей из 4% никеля и 96% железа.Сколько тонн каждой исходной партии было использовано?

Решение

Пусть x x будет массой партии 5% в тоннах.
Тогда масса 2% партии составляет 3-х тонны.

Уравнение содержания никеля:

0,05 * x + 0,02 * (3-x) = 0,04 * 3, или

0,05x + 0,06 - 0,02x = 0,12, или

0,03x = 0,06.

Следовательно, x = 2,

Это означает, что было использовано 2 тонны 5% сплава.

Тогда количество 2% сплава составило 3-2 = 1 тонна.

  Ответ .Использовали 2 тонны 5% сплава и 1 тонну 2% сплава.
 

Задача 4

Соотношение масс золота и меди в ювелирном изделии составляет 5: 8. Если масса сплава 18,2 грамма, найдите в нем массу золота.

Решение

В сплаве 5 частей золота (по массе) и 8 частей меди.

Всего получается 5 + 8 = 13 частей равных масс.

Таким образом, каждая часть весит 1,4 грамма. Следовательно, масса золота в сплаве 5 * 1.4 = 7 грамм.

  Ответ . Масса золота в сплаве 7 грамм.
 

Мои другие уроки по задачам со словами для смесей на этом сайте:
— Проблемы со смесью
— Больше проблем со смесью
— Решение типичных проблем со словами на смесях для решений
— Проблемы со словами о смесях для растворов антифризов
— Проблемы со словами о смесях для сухих веществ, таких как кофейные зерна, орехи, кешью и арахис
— Проблемы со словами о смесях для сухих веществ, таких как конфеты, сухофрукты
— Проблемы со смесями для сухих веществ, например, почвы и песка.
— Типичные проблемы со словами на смесях из архива
— Расширенные проблемы со смесью
— Расширенная проблема смеси для трех сплавов
— Необычная проблема со словами на смесях
— Проверьте, знаете ли вы основы смесей из науки
— Сложные проблемы с сливом и заменой

— Развлечение на смесях

— ОБЗОР уроков по словесным задачам для смесей

Используйте этот файл / ссылку ALGEBRA-I — YOUR ONLINE TEXTBOOK для навигации по всем темам и урокам онлайн-учебника ALGEBRA-I.

Математическая задача: металлический сплав — математическая задача (1687), алгебра, уравнение

Какое соотношение металлов в сплаве, содержащемся в 50 тоннах стали, к 30 кг никеля?

Правильный ответ:

Подсказки к связанным онлайн-калькуляторам

Наш процентный калькулятор поможет вам быстро вычислить различные типовые задачи с помощью процентов.
У вас есть линейное уравнение или система уравнений и вы ищете их решение? Или у вас есть квадратное уравнение?

Чтобы решить эту математическую задачу со словами, вам необходимы следующие знания:

Сопутствующие математические задачи и вопросы:

• Сплав
  Первый сплав представляет собой смесь двух металлов в соотношении 1: 2, второй — смесь тех же металлов в соотношении 2: 3.В каком соотношении мы помещаем эти два сплава в печь, чтобы получить новый металлический сплав с соотношением 17:27? (Все три соотношения соответствуют
• Кольцо
  Кольцо из сплава золота и меди имеет вес 14,5 г и объем 1,03 см. ³ . Сколько золота и сколько меди оно содержит? Плотность металла составляет 19,3 золота. г / см³ и Cu 8,94 кг · дм-3
• Спирт
  Из 55% и 80% спирта мы хотим произвести 0,2 кг 60% спирта. Сколько их нужно использовать в растворе?
• Спиртовая смесь
  Из 55% и 80% алкоголя мы должны произвести 0.2 кг 60% спирта. Сколько из них мы используем в решении?
• Кофе
  Торговец кофе продает кофе робусту и арабику. 1 кг робусты стоит 450 крон, арабика 1 кг на 300 крон дороже. Подсчитайте, сколько килограммов робусты и арабики потребуется для производства 30 кг смеси, чтобы стоимость смеси составила 490 чешских крон
• CuZn
  Латунь — это сплав меди и цинка. 10-сантиметровый латунный куб весит 8,6 кг. Плотность меди 8930 кг / м ³ , плотность цинка 7130 кг / м ³ .Подсчитайте, сколько кг меди и цинка содержится в кубе.
• Конфеты
  Мы хотим приготовить 5 кг конфет за 150 крон. Мы будем смешивать более дешевые конфеты: 1 кг за 120 крон и более дорогие конфеты: 1 кг за 240 крон. Сколько из этих двух видов конфет необходимо для приготовления этой смеси?
• Испарение кислоты
  Сколько килограммов воды нужно испарить из 100 кг 32% кислоты, чтобы получить ее концентрацию 80%?
• Кофе
  Килограмм более дешевого кофе стоит 150 чешских крон, килограмм более дорогого кофе стоит 200 чешских крон.Нам нужно приготовить смесь из 35 кг кофе за 180 крон. Как приготовить смесь (сколько кофе какого сорта нам нужно)?
• Соль
  Морская вода, содержащая 5% соли. Сколько килограммов пресной воды нужно залить 40 килограммами морской воды, чтобы соленость упала до 2%?
• Смешивание
  Если смешать 5 кг товаров одного вида и 3 кг второго, полученная смесь будет стоить 16,50 евро / кг. Если эти количества смешать в обратном порядке — первые три килограмма и 5 килограммов, вторая стоимость смеси составит 18.50 EUR / кг. Какова цена одного кг товара
• Бронза, олово и медь
  Бронза — это сплав олова и меди. Металл — сплав, состоящий из 10% олова и 90% меди. Если он содержит 20% олова и 80% меди, это раструбный металл. Сколько тонн расплавленного металлического колокола и сколько тонн меди необходимо для производства 100 тонн бронзы?
• Ствол 3
  Ствол с водой имеет вес 118 кг. Когда мы вылезаем из 75% воды, он весит 35 кг. Сколько кг в пустой бочке?
• Смесь кофе
  Они должны приготовить смесь кофе в центрах упаковки, так что 1 кг стоит 240 крон.В наличии есть два вида кофе по цене 220 крон за 1 кг и 300 крон за 1 кг. Сколько килограммов каждого вида необходимо смешать, чтобы приготовить 50 кг т?
• Морская вода
  При смешивании 62 кг морской воды с 84 кг дождевой воды получается вода, содержащая 3,1% соли. На сколько процентов морская вода содержит соль?
• Сахар
  В каком соотношении необходимо смешать два сорта сахара стоимостью # 390 и # 315 за кг соответственно, чтобы получить смесь стоимостью # 369 за кг?
• Пробка и плавание
  Если человек весит 80 кг, сколько килограммов пробки необходимо взять с собой плавательным поясом, чтобы плавать по воде? Плотность человеческого тела составляет 1050 кг / м ³ и пробки 300 кг / м ³ .(Инструкции: запустите человеческое тело и пробку на смеси с плотностью 1000 кг / м ³ . Когда вы m

Как решить проблемы соотношения и пропорции смеси 2

Используйте концептуальные рассуждения для мгновенного решения проблем соотношения и пропорции смеси

Узнайте, как молниеносно концептуально решать проблемы соотношения и пропорции смеси, используя базовые концепции смеси и аллигатора.

Как и некоторые другие типы арифметических задач, задачи смешивания и перемежения также сильно зависят от концепций соотношения и пропорции.

Решая три задачи о соотношении жидкостей и пропорциях смеси за несколько простых шагов с использованием концептуальных рассуждений , мы продемонстрируем возможности концептуальных рассуждений в решении задач соотношения и пропорции смеси быстро и элегантно за несколько шагов.

---

Введение в соотношение и пропорции смеси жидкостей или твердых веществ

Характер операции перемешивания

Соотношение и пропорции Проблемы со смесью неизменно связаны с соотношением количества двух или более жидкостей, которые могут быть смешаны до однородности.Одно из основных свойств смешивания заключается в том, что после того, как вы смешаете две жидкости, вы не сможете отделить их от смеси. Это неотъемлемая часть однородного перемешивания.

Например, молочник может продавать разбавленное молоко, но когда один из его важных клиентов возражает, самое большее, что он может сделать, это добавить больше молока в разбавленное молоко, чтобы сделать его более концентрированным, но он не сможет вынуть воду из исходного разбавленного молока, которое он продал своему клиенту.

Повторное смешивание той или иной жидкости в контейнере увеличивает сложность , потому что в задаче смешивания вы можете знать соотношение количеств двух смешанных жидкостей, но вы можете не знать фактические смешанные количества.

Замена некоторого количества смеси жидким компонентом

Частая операция при смешивании — вынуть, скажем, 5 литров разбавленного молока и затем заменить его тем же объемом воды. В результате этой операции начальный объем остается неизменным , но соотношение количества молока и воды в смеси изменяет .

Основная концепция для решения таких проблем заключается в том, что когда вы берете 5 литров разбавленного молока, вы берете молоко и воду в определенных пропорциях .Пока заменяю на 5 литров правда вы кладете только воду. Порция молока , взятая в 5 литрах смеси , полностью потеряна , но добавленные вами 5 литров воды не увеличивают количество воды на все 5 литров as, при приеме из 5 литров разбавленного молока вы вынули часть воды, которая потерялась .

Повторная замена создает сложности и дополнительные трудности.

Соотношение и пропорции смеси и проблемы аллигирования при смешивании двух смесей

Вместо выполнения операций смешивания одной смеси, две смеси с двумя разными пропорциями одних и тех же жидкостей в них также могут быть смешаны, причем в разных пропорциях для увеличения уровня сложности.

W e рекомендую ,

Четко изложите основные и обширные концепции и используйте концепции при решении всех проблем, а не используйте специальные процедуры для конкретных типов проблем.

Основные понятия о соотношениях

Вам необходимо иметь четкое представление о соотношениях и о том, что на самом деле представляет собой соотношение, потому что соотношения образуют базовый концептуальный уровень, где вы можете столкнуться с трудностями при многих смешивании и других типах проблем.

Определение выражения отношения

Отношение представляет собой сравнение одной общей характеристики в одних и тех же единицах двух или более объектов и выражается в виде ряда чисел или переменных, разделенных символом двоеточия ‘:’.

Это абстрактное, но исчерпывающее определение коэффициентов. Эта абстракция в сочетании с полнотой поможет вам справиться с различными типами ситуаций в определенной области, например, с отношениями.

Простой пример использования соотношений следует в качестве примера проблемы.

Пример задачи: Если соотношение возраста сына и отца составляет 1: 3, а 12 лет назад 1: 7, каков их возраст?

Основные концепции соотношения

• Дробная форма: Отношение обычно отображается в виде минимизированной дроби .На самом деле важной характеристикой соотношений является

Отношение всегда может быть выражено в виде дроби и обычно выражается в форме минимизированной дроби (с вычеркиванием всех общих множителей).

• HCF двух фактических количеств в соотношении компенсируется между двумя величинами в соотношении: Все общие множители сокращаются между двумя членами отношения составляет HCF фактических значений двух исходные количества, участвующие в соотношении.
• Повторное введение метода HCF: Для удобства вы всегда можете повторно ввести этот сокращенный HCF , умножив каждый из двух членов отношения на HCF. В нашем примере нынешнее соотношение возрастов 1: 3 может быть очень хорошо выражено как $ x: 3x $, где $ x $ представляет собой HCF двух возрастов — сына и отца. С этим повторным введением в отношение единственной переменной $ x $ мы можем теперь представить состояние проблемы 12 лет назад как $ (x — 12): (3x — 12) = 1: 7 $, или, $ 7x. — 84 = 3x — 12 $, или, $ x = 18 $, и получаем нынешние возрасты сына и отца, соответственно, 18 лет и 54 года.
• Вы не будете вводить две переменные из двух неизвестных в суммах отношений, просто используйте одну переменную , чтобы получить два члена отношения в выражениях с одной переменной. Это ключевой метод в соотношении сумм.
• Выражение количества каждого компонента в виде доли от общего количества в смеси: Это повторное введение исключенного HCF в виде единственной переменной $ x $ позволяет нам выразить общий возраст как, $ x + 3x = 4x ​​$, и, что более важно, каждый член отношения как часть общего — возраст сына — это единственная часть общего возраста, а возраст отца — автоматически остальные три части общего возраста. Это очень важный способ смотреть на изменение соотношений , особенно при смешивании сумм, где общий объем фиксирован . Если мы выразим каждый жидкий компонент как часть фиксированного общего объема, нам не придется иметь дело с двумя различными количествами, наша мыслительная нагрузка явно значительно уменьшится.

Базовая смесь и концепции аллигатора

Выражение количества жидкостей как частей от общего количества смеси

Две смешиваемые жидкости (масло и воду нелегко смешать) молоко и вода смешиваются, образуя разбавленное молоко с соотношением молока к воде, скажем 4: 1.

Много раз это утверждение может быть выражено в более удобных формах из ,

• Всего 5 порций разбавленного молока, вода составляет четверть количества молока.
• Молоко в разбавленной смеси составляет четыре пятых от общего объема, а вода — одна пятая от общего объема смеси.
• В 5 порциях разбавленного молока 4 порции всей смеси составляют молоко и 1 часть всей смеси — вода.

---

Таким образом, рассматривает одну и ту же концепцию тремя разными способами, образуя то, что мы называем Rich concept .В зависимости от проблемной ситуации мы можем думать о количестве смешанных жидкостей в любой из этих форм, что дает нам наиболее элегантное решение.

Это прямое применение мощного подхода для решения проблем на 360 градусов к единой части концепции для преобразования ее в богатую концепцию . Эта способность бесценна в обучении и решении задач.

---

Операция замены определенного количества смеси только одной жидкостью

Чаще всего фиксированное количество, скажем, 3 литра смеси, скажем, соотношение нашего разбавленного молока и воды 4: 1, вынимается из смеси и заменяется таким же количеством одной жидкости (это может быть любая из две жидкости или даже другая смесь), например, водой.

Мы можем понять, что при этой операции разбавленное молоко еще больше разбавляется, но что именно происходит при операции замены?

Результат первой операции по откачке 3 литров смеси

3 литра разбавленного молока, которые мы извлекаем, содержали молоко и воду в соотношении 4: 1. Таким образом, с помощью нашего третьего утверждения, выражающего количество каждой жидкости как часть общего объема смеси, мы можем понять, что, извлекая это 3 литра разбавленного молока,

$ 3 \ times {\ displaystyle \ frac {4} {5}} = \ displaystyle \ frac {12} {5} $ литров молока и $ 3 \ times {\ displaystyle \ frac {1} {5}} = \ displaystyle \ frac {3} {5} Отведено $ литров воды.

Это касается точного количества молока и воды, взятых в первой части операции замены.

Результат второй операции по заливке 3 литров воды

Первый вывод очевиден: при добавлении 3 литров воды общий объем смеси возвращается к своему прежнему значению. Фактически остается без изменений. Но что происходит с порциями молока и воды и конечным результатом операции, состоящей из двух частей? Сразу отметим, что объем смеси неизвестен.

Очевидно, что количество молока уменьшилось ровно на $ \ displaystyle \ frac {12} {5} $ литров, но количество воды не увеличилось на 3 литра, фактически оно увеличилось на $ 3 — \ displaystyle \ frac {3 } {5} = 3 \ left (1 — \ displaystyle \ frac {1} {5} \ right) $ литров.

Есть еще несколько концепций смешения и аллигирования. Мы будем развивать эти концепции по мере необходимости.

Давайте теперь решим несколько проблем смешивания жидкостей за наименьшее количество шагов, используя основные концепции соотношения и смешивания жидкостей, а также подходящие стратегии и методы решения проблем.

---

Задача 1.

В 40 литрах смеси молока и воды соотношение молока и воды составляет 7: 1. Чтобы сделать соотношение молока и воды 3: 1, количество добавляемой воды в литрах составляет

.

1. $ 6
$
2. $ 6 \ frac {2} {3}
$
3. $ 6 \ frac {3} {4}
$
4. $ 6 \ frac {1} {2}
$

Решение с использованием концептуальных рассуждений :

Молоко в начале было семь восьмых из 40 литров, то есть 35 литров, а остальные 5 литров были водой.

Количество молока не изменяется, и при желаемом соотношении оно должно быть в 3 раза больше воды в новой смеси. Таким образом, этот объем воды в новой смеси равен

.

$ \ displaystyle \ frac {1} {3} \ times {35} = 11 \ displaystyle \ frac {2} {3} $ литров.

Поскольку исходное количество воды составляло 5 литров, необходимо добавить $ 6 \ displaystyle \ frac {2} {3} $ литров дополнительного количества воды к исходной смеси, чтобы соотношение молока и воды в новой смеси составляло $ 3: 1. $.

Ответ: Вариант б: $ 6 \ displaystyle \ frac {2} {3} $.

Используемые ключевые концепции:

• Нахождение точного количества молока и воды для начала.
• Из количественного соотношения молока и воды желаемого соотношения получают конечное количество воды.
• Определение дополнительного количества воды, необходимого как разница между окончательным и начальным количеством.
• Использование основных понятий о соотношении и смешивании жидкостей.

---

Обычное решение с использованием переменной $ x

Пусть добавляемая вода составляет $ x $ литров.

Вначале содержалось 40 литров разбавленного молока,

$ \ displaystyle \ frac {7} {8} \ times {40} = 35 $ литров молока и оставшиеся 5 $ литров воды.

Так как после добавления $ x $ литров воды соотношение молока к воде становится $ 3: 1 $, мы имеем,

$ \ displaystyle \ frac {35} {x + 5} = \ displaystyle \ frac {3} {1} $,

Или, 35 $ = 3x + 15 $,

Или, 3 доллара = 20 долларов,

Или добавляемая вода, $ x = \ frac {20} {3} = 6 \ frac {2} {3} $ литров.

Примечания: Это дедуктивный процесс, подходящий для формальной дедуктивной и описательной среды ответов.Таким образом, в этом решении нет ничего плохого, за исключением того, что механически следует процедурам для решения и, таким образом, требует больше времени.

В случае концептуального решения подход заключается в прямом использовании объемных соотношений молока и воды в соотношении конечной смеси, что сокращает все вычеты. Естественно, таким образом решение будет достигнуто намного быстрее. , и этот подход идеально подходит для тестов на основе MCQ.

Примечание для школьников:

В школьных тестах учащимся, возможно, придется производить обычное дедуктивное решение по существующим правилам решения таких задач.Использование математических или концептуальных рассуждений не допускается. Но, несомненно, поскольку использование концептуальных рассуждений составляет основу обучения и решения проблем, учащиеся неизменно будут повышать свои способности к решению проблем, если они будут думать способами эффективного решения проблем, используя базовых и богатых предметных концепций и эффективных общих стратегий решения проблем и техника .

Задача 2.

Металлический сплав содержит медь, никель и цинк в соотношении 5: 2: 3.Количество никеля в кг, которое необходимо добавить к 100 кг сплава, чтобы получить новое соотношение этих трех металлов, например, 5: 3: 3,

.

1. 15
2. 12
3. 10
4. 8

Решение с использованием концептуальных рассуждений :

Общее количество порций в 100 кг сплава вначале составляло 10, поэтому значение каждой порции составляло 10 кг. В измененный сплав добавляется только 1 часть никеля, остальные 10 частей остаются неизменными.Так было добавлено 10 кг никеля.

Если это концептуальное рассуждение не кажется достаточно хорошим, мы можем в противном случае заметить, что медь и цинк вместе составляют 80 кг в совокупности в 100 кг исходного общего количества сплава. После добавления только никеля эти объединенные 80 кг меди и цинка теперь составляют $ \ frac {8} {11} $ нового общего объема,

Или 80 $ кг = $ \ frac {8} {11} $ нового общего объема.

Итак, общий новый объем сплава должен быть $ = \ frac {11} {8} \ times {80} = 110 $ кг.

Поскольку вначале никель составлял 20 кг, необходимо было добавить 10 кг никеля.

Ответ: Вариант c: 10.

Обычное дедуктивное решение с использованием переменной $ x $

Начальное количество никеля в 100 кг сплава

$ \ displaystyle \ frac {2} {10} \ times {100} = 20 $ кг

Пусть $ x $ будет дополнительным количеством смешанного никеля в килограммах. Таким образом, доля никеля в общем объеме конечного сплава составляет

.

$ \ displaystyle \ frac {20 + x} {100 + x} = \ displaystyle \ frac {3} {11}

$

Или, 220 долларов США + 11x = 300 + 3x долларов США,

Или, 8 долларов = 80 долларов,

Или, x = 10 $ кг.

Не очень долгий процесс, но все же решение , основанное на концептуальных рассуждениях, не только быстрее, но и укрепляет ваши концепции по теме благодаря использованию концепций. В дедуктивном процессе вы механически выводите , мышление отходит на второй план.

Задача 3.

Банка A содержит две жидкости A и B, смешанные в соотношении 4: 1. Когда 10 литров смеси заменяются равным объемом жидкости B, соотношение A и B меняется на 2: 3.Объем жидкости A в литрах изначально составлял

.

1. 4
2. 16
3. 40
4. 8

Решение с использованием концептуальных рассуждений :

Первоначально и окончательно общее количество частей равны и имеет значение 5. Начальный и конечный объемы также одинаковы, стоимость 1 части в обоих случаях одинакова.

При замене было потеряно $ \ displaystyle \ frac {4} {5} \ times {10} = 8 $ литров жидкости A при замене.Это эквивалентно потере 2 частей в соотношении. Таким образом, стоимость каждой порции составляет 4 литра. Таким образом, исходное количество жидкости А составляло 4 порции = 16 литров.

Ответ: b: 16.

Используемые ключевые концепции:

• Делаем вывод путем концептуальных рассуждений о том, что начальная и конечная стоимость каждой части одинакова. Это могло произойти , потому что начальные и конечные объемы, а также итоговые значения коэффициентов остались на прежних значениях. Это очень многообещающая информация, которая будет использована для быстрого решения проблемы.Это случай использования техники использования порций .
• Из основных концепций смешивания жидкостей, определение точного количества жидкости A, потерянной при замене 10 литров смеси на 10 литров жидкости B.
• Поскольку стоимость одной порции в обоих случаях одинакова, эту потерю количества жидкости A можно напрямую приравнять к потере количества порций жидкости A. Таким образом, мы получаем точное значение одной порции как 4 литра.
• Поскольку жидкость A изначально состояла из 4 порций, ее объем составлял 4 \ times {4} = 16 литров.

Обычное дедуктивное решение с использованием переменной $ x $

Пусть начальные объемы жидкости A и жидкости B равны 4x $ и x $ соответственно.

В 10 литрах отобранной смеси объем жидкости А составляет

.

$ \ displaystyle \ frac {4} {5} \ times {10} = 8 $ литров, а объем жидкости B равен 2 $ литрам.

После добавления 10 литров жидкости B объем жидкости A изменился на

$ 4x — 8 $ литров, а объем жидкости B стал,

$ x — 2 + 10 = x + 8 $ литров.

Итак, при новом соотношении жидкости A и жидкости B, равном 2: 3, получаем

$ \ displaystyle \ frac {4x — 8} {x + 8} = \ displaystyle \ frac {2} {3} $,

Или, 12 $ — 24 = 2x + 16 $,

Или, 10 долларов = 40 долларов,

Или, $ x = 4 $,

Итак, первоначальный объем жидкости А составлял 4 доллара = 16 литров.

Наблюдения за решениями на основе концептуальных рассуждений

• концептуальное рассуждение — это тип дедуктивного рассуждения, который в основном основан на базовых и обширных концепциях по теме предмета.
• процесс рассуждения выполняется в основном в виду и достижение решения в большинстве случаев не должно занимать больше минуты .
• Такой подход к решению задач идеально подходит для соревновательных тестов на основе MCQ.
• Но школьники также должны хорошо разбираться в аспектах решения математических задач.
• Продолжение использования этого типа подхода должно значительно улучшить ловкость и творческие способности молодых умов.

Наблюдения за обычными дедуктивными решениями

Это стандартное решение , известное большинству сотрудников службы , но это решение

• является дедуктивным и подходит для сред, где предпочтительны решения, ориентированные на описательные процедуры,
• подвержен ошибкам из-за механического характера процедуры (что верно для всех стандартных выводов, и ошибки действительно случаются),
• занимает больше времени из-за большего количества шагов и необходимости использования ручки и бумаги,
• использует единственный аспект концепции смешивания жидкостей,
• не подходит для тестовой среды , основанной на MCQ.

---

Ресурсы, которые могут быть вам полезны

7 шагов для уверенного успеха в конкурсных тестах SSC CGL уровня 1 и уровня 2 или раздел на SSC ​​CGL для доступа ко всем ценным студенческим ресурсам, которые мы создали специально для SSC CGL, но в целом для любого жесткий тест MCQ.

Концептуальные руководства по связанным темам

Основные понятия о дробях и десятичных дробях часть 1

Основные понятия соотношения и пропорции

Дивиденды Componendo, применяемые к системам счисления и задачам пропорции

Как решать задачи по смешиванию жидкостей и в зависимости от возраста

Базовые и расширенные процентные концепции для решения сложных проблем SSC CGL

Эффективные методы решения связанных тем

Как решить задачи арифметической смеси уровня SSC CGL за несколько простых шагов 1

Как решить задачи арифметической смеси уровня SSC CGL за несколько простых шагов 2

Как молниеносно решить проблемы количества уровней SSC CGL и соотношения возраста

Как молниеносно решить сложную проблему соотношения возраста SSC ​​CGL

Наборы решенных вопросов уровня SSC CGL по смеси или связке

Наборы решенных вопросов на уровне SSC CGL 78 по смеси или аллигации 1

Уровень решенных вопросов SSC CGL 85 по смеси или аллигации 2

Наборы решенных вопросов уровня SSC CHSL для Mixture или Alligation

Уровень SSC CHSL Набор решенных вопросов 9 по смеси или объединению 1

Уровень SSC CHSL Набор решаемых вопросов 10 на Mixture или Alligation 2

Наборы решенных вопросов уровня SSC CGL Tier II о смеси или связке

SSC CGL Уровень II набор решенных вопросов 24 по смеси или аллигации 1

SSC CGL Уровень II набор решенных вопросов 25 по смеси или аллигации 2

Наборы вопросов и решений уровня SSC CGL Tier II по соотношению и пропорциям

Набор решений уровня SSC CGL Tier II 23 Соотношение пропорций 2

SSC CGL Уровень II, набор вопросов 23 Соотношение доли 2

Набор решений уровня SSC CGL Tier II 22 Соотношение пропорций 1

Набор вопросов уровня SSC CGL Tier II 22 Соотношение пропорций 1

Другие наборы вопросов и решений SSC CGL по соотношению, пропорции и процентному содержанию

Уровень SSC CGL Набор растворов 84, Соотношение пропорций 8

Уровень SSC CGL Набор вопросов 84, Соотношение пропорций 8

Уровень SSC CGL Набор растворов 83, соотношение пропорций 7

Уровень SSC CGL Набор вопросов 83, Соотношение Пропорция 7

Уровень SSC CGL Набор растворов 76, процентное соотношение 4

Уровень SSC CGL Набор вопросов 76, процентное соотношение 4

Уровень SSC CGL Набор решений 69, процентное соотношение 3

Уровень SSC CGL Набор вопросов 69, процентное соотношение 3

Уровень SSC CGL Набор растворов 68, Пропорциональное соотношение 6

Уровень SSC CGL Набор вопросов 68, Соотношение Пропорция 6

Уровень раствора SSC ​​CGL Набор 31, соотношение и пропорция 5

Уровень SSC CGL Набор вопросов 31, Соотношение и пропорция 5

SSC CGL Level Solution Set 25, процент, соотношение и пропорция 4

Уровень SSC CGL Набор вопросов 25, процент, соотношение и пропорция 4

Уровень SSC CGL Набор решений 24, арифметическое соотношение и пропорция 3

Уровень SSC CGL, набор вопросов 24, арифметическое соотношение и пропорция 3

Уровень SSC CGL Solution Set 5, Арифметическое соотношение и пропорция 2

Набор вопросов 5 уровня SSC CGL, Арифметическое соотношение и пропорция 2

Уровень SSC CGL Набор решений 4, арифметическое соотношение и пропорция 1

Набор вопросов уровня SSC CGL 4, Арифметическое соотношение и пропорция 1

Если хотите, вы можете подписаться на , чтобы получать последнюю информацию с этого места.

---

Какие они? Из чего делают обычные сплавы?

Криса Вудфорда. Последнее изменение: 12 октября 2020 г.

Практически любой материал мы могли бы когда-нибудь захотеть скрывается где-то на планете под нашим ноги. От золота, которое мы носим как украшения, до нефть, которая питает наши автомобили, земной кладезь удивительных материалов может поставлять практически каждая потребность. Химические элементы — это основные строительные блоки из из которых сделаны все материалы внутри Земли.Их около 90 встречающиеся в природе элементы, большинство из которых — металлы. Но, хотя металлы и полезны, иногда они не идеальны. для работы, которая нам нужна. Возьмем, к примеру, железо. Это удивительно прочный, но может быть довольно хрупким и тоже ржавеет легко во влажном воздухе. Или как насчет алюминия. Он очень легкий, но в своем в чистом виде, он слишком мягкий и слабый, чтобы от него было много пользы. Вот почему большинство используемых нами «металлов» не на самом деле вообще металлы, кроме сплавов: металлы в сочетании с другими веществами, чтобы сделать их сильнее, тверже, легче или лучше как-нибудь по-другому.Сплавы повсюду вокруг нас — от пломбы в наши зубы и литые диски на наших автомобилях к космическим спутникам свист над нашими головами. Давайте подробнее разберемся, что это такое и почему они такие полезный!

Фото: Этот топливный бак от Space Shuttle был сделан из сверхлегкого алюминиево-литиевого сплава, так что это на колоссальные 3400 кг (7500 фунтов) легче, чем бак, который он заменил. Снижение веса базовой конструкции шаттла означало, что он мог нести более тяжелую полезную нагрузку (груз).Фото любезно предоставлено Космическим центром Кеннеди НАСА (NASA-KSC).

Что такое сплав?

Фото: Образец сплава титан-цирконий-никель. заставляют левитировать (парить в воздухе) с помощью электричества. Это один из многих замечательных новых материалов, которые разрабатываются для возможного использования в космосе. Фото любезно предоставлено Центром космических полетов им. Маршалла НАСА (NASA-MSFC).

Вы могли встретить слово сплав, описанное как «смесь металлов», но это немного вводит в заблуждение, потому что некоторые сплавы содержат только один металл, и он смешан с другие неметаллические вещества (например, чугун сплав из одного металла, железа, смешанного с одним неметаллом, углеродом).Лучше всего думать о сплаве как о материале, состоящем из минимум два разных химических элемента, один из которых — металл. В самый важный металлический компонент сплава (часто представляющий 90 процентов или более материала) называется основным металл, основной металл или основание металл. Остальные компоненты сплава (которые называются легирующими добавками) может быть металлы или неметаллы, и они присутствуют в гораздо меньших количествах (иногда менее 1 процента от общей суммы). Хотя сплав иногда может быть составным (элементы, из которых он сделан, химически связаны вместе), обычно это твердый решение (атомы элементов просто перемешаны, как соль, смешанная с вода).

Состав сплавов

Если вы посмотрите на металл в мощный электронный микроскоп, вы увидите атомы внутри расположены в регулярной структуре, называемой кристаллической решетка. Представьте себе небольшую картонную коробку, полную шариков, и это в значительной степени что бы вы увидели. В сплаве, кроме атомов основного металла, есть также атомы легирующих добавок, разбросанных по всему состав. (Представьте, что вы уронили несколько пластиковых шарики в картон коробку, чтобы они случайным образом расположились среди шариков.)

Изображение: Замещающие сплавы и промежуточные сплавы: На этих диаграммах черные кружки представляют основной металл, а красные кружки — легирующие добавки.

Сплавы замещения

Если атомы легирующего агента заменяют атомы основного металла, мы получаем то, что называется замещающий сплав. Такой сплав сформируется только в том случае, если атомы основного металла и легирующего агента имеют примерно такого же размера. В большинстве сплавов замещения составляющая элементы в периодической таблице находятся довольно близко друг к другу.Латунь, для Например, сплав на основе меди в какие атомы цинка заменяют 10–35 процентов атомов, которые обычно находятся в меди. Латунь работает как сплав, потому что медь и цинк близки друг к другу в периодической таблицы и имеют атомы примерно одинакового размера.

Сплавы внедрения

Сплавы также могут образовываться, если легирующий агент или агенты имеют атомы, которые намного меньше чем у основного металла. В этом случае атомы агента проскальзывают в между основными атомами металла (в зазорах или «пустотах»), давая то, что называется межузельным сплавом.Сталь — это пример сплава внедрения, в котором относительно небольшое количество атомы углерода проникают внутрь промежутки между огромными атомами в кристаллической решетке железа.

Как ведут себя сплавы?

Фото: Дело не только в основных ингредиентах (металлы и другие составляющие). влияющие на свойства сплава; как эти ингредиенты сочетаются очень важно тоже. Скорость разливки или перемешивания, температура разливки и скорость охлаждения являются некоторыми из факторов. что может повлиять на физические свойства сплавов.Фотография отливки из латунного сплава, сделанная Джет Лоу, любезно предоставлена ​​Библиотекой Конгресса США, Отделом эстампов и фотографий, Historic American Engineering Record.

Люди делают и используют сплавы, потому что металлы не имеют подходящие свойства для конкретная работа. Железо — отличное здание материал, но сталь (сплав получается путем добавления небольшого количества неметаллического углерода к железу) прочнее, тверже и устойчивее к ржавчине. Алюминий — очень легкий металл, но он также очень мягкий в чистом виде. Добавьте небольшое количество металлов магний, марганец и медь, и вы получите превосходный алюминиевый сплав называется дюралюминий, который достаточно силен для изготовления самолетов.Сплавы всегда показывают улучшения по сравнению с основным металлом в одном или нескольких своих важные физические свойства (такие как прочность, долговечность, способность проводить электричество, способность выдерживать жару, и так на). Как правило, сплавы прочнее и тверже, чем их основные металлы, менее пластичные (труднее работать) и менее пластичные (труднее втягиваем в провода).

Таблица

: Один и тот же основной металл может давать очень разные сплавы, когда он смешивается с другими элементами. Вот четыре примера медных сплавов.Хотя медь является основным металлом во всех них, каждый из них обладает совершенно разными свойствами.

Фото: Ученые NASA Ames разработали методику называется распылением газа под высоким давлением для упрощения производства магниевые сплавы. Фото любезно предоставлено Министерством энергетики США.

Как изготавливаются сплавы?

Представление о сплаве как о «смеси металлов» может показаться вам весьма удачным. сбивает с толку. Как можно ли смешать два куска твердого металла? Традиционный способ изготовление сплавов заключалось в нагревании и плавлении компонентов для получения жидкостей, смешайте их вместе, а затем дайте им остыть до состояния, называемого твердый раствор (твердый эквивалент раствор как соль в воде).Альтернативный способ изготовления сплава — повернуть компоненты в порошки, смешайте их вместе, а затем соедините их с сочетание высокого давления и высокой температуры. Эта техника называется порошковой металлургией. Третий метод изготовление сплавов стрелять пучками ионов (атомов со слишком малым или слишком большим количеством электронов) в поверхностный слой куска металла. Ион имплантация, как это известно, является очень точным способом изготовления сплава. Это вероятно, наиболее известен как способ изготовления полупроводников, используемых в электронные схемы и компьютерные микросхемы.(Подробнее об этом читайте в нашей статье о молекулярно-лучевой эпитаксии.)

Узнать больше

На этом сайте

Статьи

Книги

Общие сведения о материаловедении и инженерии

В этих книгах объясняется основная концепция подбора материалов для работы, которую они должны выполнять. Это основная идея, лежащая в основе большинства сплавов — по сути, металлы «улучшены», чтобы выполнять определенные задачи лучше, чем в чистом естественном состоянии.

Более подробные книги

Достаточно сложно найти простые общие книги по сплавам; вместо этого ищите книги по «инженерным материалам», и вы найдете что-нибудь подходящее.

Организации

Пожалуйста, НЕ копируйте наши статьи в блоги и другие сайты

статей с этого сайта зарегистрированы в Бюро регистрации авторских прав США. Копирование или иное использование зарегистрированных работ без разрешения, удаление этого или других уведомлений об авторских правах и / или нарушение смежных прав может привести к серьезным гражданским или уголовным санкциям.

Авторские права на текст © Chris Woodford 2008, 2020. Все права защищены. Полное уведомление об авторских правах и условиях использования.

Inconel — зарегистрированная торговая марка Huntington Alloys Corporation
Monel — зарегистрированная торговая марка International Nickel Co.
Waspaloy — зарегистрированная торговая марка United Technologies Corporation
Hastelloy — зарегистрированная торговая марка Haynes International, Inc.
Названия определенных сплавов CMSX ( такие как CMSX-4) являются зарегистрированными товарными знаками Cannon-Muskegon Corporation.

6.8 Задачи со смесью и решением слов — Промежуточная алгебра

Решение смешанных задач обычно включает решение систем уравнений. Проблемы смешения — это проблемы, в которых два разных решения смешиваются вместе, в результате чего получается новое окончательное решение. Использование таблицы поможет установить и решить эти проблемы. Базовая структура этой таблицы показана ниже:

Пример таблицы решения проблем смеси

Название	Количество	Значение	Уравнение

Первый столбец в таблице (Имя) используется для идентификации жидкостей или объектов, смешанных в проблеме.Во втором столбце (Количество) указывается количество каждой жидкости или объекта. Третий столбец (Значение) используется для значения каждого объекта или процента концентрации каждой жидкости. Последний столбец (Уравнение) содержит произведение суммы на значение или концентрацию.

Ясна содержит 70 мл 50% раствора метана. Сколько 80% раствора она должна добавить, чтобы окончательный раствор состоял из 60% метана? Найдите уравнение.

• Имена решений: 50% (S ₅₀ ), 60% (S ₆₀ ) и 80% (S ₈₀ ).
• Суммы: S ₅₀ = 70 мл, S ₈₀ и S ₆₀ = 70 мл + S ₈₀ .
• Концентрации S ₅₀ = 0,50, S ₆₀ = 0,60 и S ₈₀ = 0,80.

Название	Количество	Значение	Уравнение
S 50	70 мл	0,50	0,50 (70 мл)
S 80	S 80	0.80	0,80 (S 80 )
S 60	70 мл + S 80	0.60	0,60 (70 мл + S 80 )

Уравнение, полученное из этих данных: 0,50 (70 мл) + 0,80 (S ₈₀ ) = 0,60 (70 мл + S ₈₀ ).

У Ника и Хлои есть два сорта молока от их небольшого молочного стада: одно с 24% молочным жиром, а другое с 18% молочным жиром. Сколько каждого из них они должны использовать, чтобы получить 42 литра 20% жира?

Имя	Количество	Значение	Уравнение
Б 24	Б 24	0.24	0,24 (В 24 )
Б 18	42 л — B 24	0,18	0,18 (42 л — B 24 )
Б 20	42 л	0,20	0,20 (42 л)

Уравнение, полученное на основе этих данных:

Это означает, что необходимо 14 литров пахты 24% и 28 литров пахты 18%.

В кондитерской Наташи шоколад, который продается за килограмм, смешивают с орехами, которые продаются за килограмм.Шоколад и орехи соединяются в шоколадно-ореховую конфету, которая продается за килограмм. Из какого количества каждого из них получается 30 кг смеси?

Уравнение, полученное из этих данных:

Следовательно, для смеси необходимо 20 кг шоколада.

Проблемы со смешиванием часто возникают при смешивании с чистым раствором или с использованием воды, которая не содержит ни одного интересующего химического вещества. Для чистых растворов концентрация составляет 100%.Для воды концентрация составляет 0%. Это показано в следующем примере.

Джои делает 65% раствор антифриза, используя чистый антифриз, смешанный с водой. Сколько каждого из них нужно использовать, чтобы получить 70 литров?

Имя	Количество	Значение	Уравнение
Антифриз (А)	А	1,00	1,00 (А)
Вода (Вт)	70 л — А	0.00	0,00 (70 л — А)
65% решение	70 л	0,65	0,65 (70 л)

Уравнение, полученное на основе этих данных:

Это означает, что количество добавленной воды составляет 70 л — 45,5 л = 24,5 л.

Для вопросов с 1 по 9 напишите уравнения, определяющие взаимосвязь.

1. Бак вмещает 8000 литров раствора 40% кислоты. Сколько воды нужно добавить, чтобы приготовить раствор, содержащий 30% кислоты?
2. Сколько чистого антифриза нужно добавить к 5 литрам 30% смеси антифриза, чтобы получился раствор, содержащий 50% антифриза?
3. У вас есть 12 кг 10% физиологического раствора и еще один 3% раствор.Сколько килограммов второго нужно добавить к первому, чтобы получился 5% раствор?
4. Сколько чистого спирта нужно добавить к 24 литрам 14% раствора спирта, чтобы получить 20% раствор?
5. Сколько литров синего красителя, которое стоит на литр, необходимо смешать с 18 литрами пурпурного красителя, который стоит за литр, чтобы приготовить смесь, которая стоит за литр?
6. Сколько граммов чистой кислоты нужно добавить к 40 граммам 20% раствора кислоты, чтобы получить раствор, содержащий 36% кислоты?
7. 100-килограммовый мешок корма для животных состоит на 40% из овса.Сколько килограммов чистого овса необходимо добавить в этот корм, чтобы получить 50% овсяную смесь?
8. 20-граммовый сплав платины, который стоит за грамм, смешивают со сплавом, который стоит за грамм. Сколько граммов сплава нужно использовать для изготовления сплава, который стоит грамм?
9. Сколько килограммов чая, стоимость одного килограмма, необходимо смешать с 12 килограммами чая, которые стоят за килограмм, чтобы приготовить смесь, которая стоит за килограмм?

Ответьте на вопросы с 10 по 21.

10. Сколько литров растворителя, которое стоит за литр, необходимо смешать с 6 литрами растворителя, который стоит за литр, чтобы получить растворитель, который стоит за литр?
11. Сколько килограммов карамели, стоящей за килограмм, необходимо смешать с 24 килограммами мармелада, которые стоят за килограмм, чтобы приготовить смесь, которая продается за килограмм?
12. Сколько килограммов почвенной добавки, которая стоит на килограмм, необходимо смешать с 20 килограммами нитрата алюминия, которая стоит за килограмм, чтобы получить удобрение, которое стоит за килограмм?
13. Конфеты продаются по цене за кг.Он содержит шоколадные конфеты стоимостью за кг и другие конфеты стоимостью за кг. Сколько каждого в 15 кг смеси?
14. Определенный сорт молока содержит 10% молочного жира, а определенный сорт сливок — 60% молочного жира. Сколько литров каждого нужно взять, чтобы получить смесь из 100 литров, содержащую 45% молочного жира?
15. Раствор A — 50% кислота, раствор B — 80% кислота. Сколько каждого из них нужно использовать для приготовления 100 мл раствора, который содержит 68% кислоты?
16. Краска, содержащая 21% зеленого красителя, смешивается с краской, содержащей 15% зеленого красителя.Сколько литров каждого нужно израсходовать, чтобы приготовить 600 литров краски, содержащей 19% зеленого красителя?
17. Сколько килограммов кофе, на 40% состоящего из зерен явы, нужно смешать с кофе, который на 30% состоит из зерен, чтобы приготовить 80 кг кофейной смеси, состоящей из 32% зерен?
18. Кейтерингу необходимо приготовить фруктовый пунш с легким содержанием алкоголя и крепостью 6%.