Задачи по геометрии параллелограмм. | Геометрия
Задачи по геометрии параллелограмм. | Геометрия — просто!
Добрый день, дорогие друзья!
Сегодня мы продолжим решение задач из сборника под редакцией М.И. Сканави.
И на этот раз мы будем решать задачи по геометрии параллелограмма.
Понятно, что прежде, чем приступать к решению таких задач, надо понимать, что такое параллелограмм и какие у него есть свойства.
Параллелограмм — выпуклый четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
У параллелограмма противоположные стороны и противоположные углы равны;
диагонали его делят параллелограмм на 2 равных треугольника,
а сами диагонали точкой пересечения делятся пополам.
И сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°.
Вот в основном те свойства, которые в первую очередь необходимы для понимания и решения задач по геометрии параллелограмма.
А теперь задачи.Задача 1. Периметр параллелограмма равен 90 см, а его острый угол равен 60°.
Диагональ параллелограмма делит его тупой угол на части в отношении 1:3. Найти стороны параллелограмма.
Решение: Если угол А равен 60°, то угол В, лежащий рядом с ним , будет равен 180-60=120°.
Но диагональ BD делит его в соотношении 1:3, или на 4 равные части.
Получается, что одной части принадлежит 120:4 = 30°.
Следовательно, диагональ BD делит угол В на 2 угла 30° и 90°.
По рисунку угол 1 — прямой. Треугольник ABD — прямоугольный.
И угол 2 в треугольнике равен 30º, как накрест лежащий при параллельных прямых AB и CD и секущей BD.
А мы знаем, что катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Получается, что АВ=1/2 AD.
Теперь составляем уравнение для периметра.
AB+BC+CD+AD=90
1/2AD+AD+1/2AD+AD= 90
3AD=90 AD=30 AB=1/2*30 = 15.
Ответ: стороны параллелограмма равны 30 см и 15 см.
Задача 2. Биссектриса острого угла параллелограмма делит его диагональ на отрезки длиной 3,2 см и 8,8 см.
Найти стороны параллелограмма, если его периметр равен 30 см.
Решение: Мы знаем, что биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону на отрезки, пропорциональные сторонам угла.
А именно, AB:AD = BO:OD, но BO и OD равны соответственно 3,2 см и 8,8 см.
Поэтому, можно принять, что АВ = 3,2х, а AD равно 8,8х.
Противоположные стороны параллелограмма равны.
Периметр это есть сумма всех сторон параллелограмма.
Составляем уравнение: 3,2х+8,8х+3,2х+8,8х = 30 24х = 30 х = 30/24 = 5/4.
Мы нашли коэффициент пропорциональности Х=5/4.
Отсюда, сторона АВ = 3,2х = 3,2 * 5/4 = 4 см.
Сторона AD равна 8,8х = 8,8 * 5/4 = 11 см.
Ответ: стороны параллелограмма равны 4 см, 4 см, 11 см, 11 см.
Задача 3. Параллелограмм с периметром 44 см разделён диагоналями на 4 треугольника.
Разность между периметрами двух смежных треугольников равна 6 см.
Найти стороны параллелограмма.
Решение: Рассмотрим два треугольника, лежащих выше диагонали d.
Периметр первого равен b+c+d.
Периметр второго равен a+c+d.
Разность периметров двух треугольников равна 6 см.
Составляем уравнение:
a+c+d — (b+c+d) = a+c+d-b-c-d = a-b = 6.
Получилось, что разность двух сторон параллелограмма равна 6 см.
Второе уравнение составляем из свойства периметра параллелограмма:
a+b+a+b = 44
2a+2b=44
a+b=22.
Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными:
a — b = 6
a + b = 22 Решим её методом сложения. Сложим левые и правые части уравнений. Получим:
a — b + a + b = 6 + 22 2a = 28 a = 14.
a — b = 6 b = a — 6 = 14 — 6 = 8.
Ответ: Стороны параллелограмма равны 14 см, 14 см, 8 см, 8 см.
Задача 4. Перпендикуляр, опущенный из вершины параллелограмма на его диагональ, делит эту диагональ на отрезки АМ и МС длиной 6 см и 15 см соответственно.
Разность сторон параллелограмма равна 7 см.
Найти длины сторон и диагонали параллелограмма.
Решение: Примем сторону AB за a, сторону BC за b.
Из двух прямоугольных треугольников АВМ и ВМС выразим равный для них катет ВМ по теореме Пифагора.
АВ² — АМ² = ВС² — МС².
Подставляем вместо сторон известные выражения:
а² — 6² = b² — 15² или 15² — 6² = b² — а² (b — а) (b + а) = (15 — 6) (15 + 6),
но b — а = 7
7 (b + а) = 9 * 21 b + a = 9 * 3 = 27.
Имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными, как в задаче 3.
b + a = 27
b — а = 7 Отсюда получаем 2b = 34 b = 17, a = 27 — 17 = 10.
Теперь, зная стороны параллелограмма, мы можем найти высоту ВМ.
ВМ² = 10² — 6² = 64. Отсюда ВМ = 8 см.
А теперь, из прямоугольного треугольника ВМО находим ВО.
ВМ = 8 см,
МО = АО — АМ = АС/2 — АМ = (6+15)/2 — 6 = 21/2 — 6 = 10,5 — 6 = 4,5 см.
По теореме Пифагора находим ВО.
ВО² = 8² + 4,5² = 64 + (9/2)² = 64 + 81/4 = 337/4. Или ВО = √337/2.
Поскольку BD в 2 раза больше, чем ВО, то её длина будет равна √337.
Ответ: Длины сторон параллелограмма 17 см, 17 см, 10 см, 10 см. Длина диагонали √337.
На сегодня всё. В следующий раз мы продолжим решение задач по геометрии из «Сборника для поступающих во ВТУЗы». Успехов!
Вам так же будет интересно:
Оставить комментарий
Параллелограмм. Задачи про площадь и стороны
Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел параллелограмм). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ или sqrt(), при чем в скобках указано подкоренное выражение.Задача. Найти площадь параллелограмма через высоту.
Высоты параллелограмма равны 5см и 4см, а периметр равен 42см.
Решение.
Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, опущенную на эту сторону. (см. формулы нахождения площади параллелограмма)
Обозначим стороны параллелограмма как a и b.
Следовательно площадь и периметр будут равны:
S = 4a
S = 5b
P = 2a + 2b
Откуда 4a = 5b
a = 5/4b
Поскольку периметр параллелограмма равен 42 см, то
2( 5/4b ) + 2b = 42
b = 9 1/3
Откуда a = 11 2/3
Теперь находим площадь параллелограмма:
S = 4 * 11 2/3 = 5 * 9 1/3 = 46 2/3 см2 .
Ответ: 46 2/3 см2 .
Задача. Найти стороны параллелограмма.
Периметр параллелограмма равен 16 см. Чему равны стороны параллелограмма, если известно, что одна его сторона в 3 раза больше другой
Решение
.У параллелограмма противоположные стороны равны, обозначим их как а и b, тогда периметр будет равен: Р = 2(а+b).
(см. формулы площади параллелограмма)
Пусть х — это сторона а, тогда
b=3х.
2(х+3х)=16
2*4х=16
х=2
значит сторона а=2, а сторона b=6.
Ответ: 2 и 6.
Параллелограмм | Описание курса | Параллелограмм (часть 2)
Параллелограмм и его свойства
Урок по теме «Параллелограмм и его свойства»
Класс: 8
Подготовила: Чурина Елена Вениаминовна, учитель первой квалификационной категории МБОУСОШ № 1 г. Южи Ивановской области
Предмет | Геометрия |
Тип урока | комбинированный |
Учебник: | ГЕОМЕТРИЯ. 7-9. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, |
Цель урока | ввести понятие параллелограмма и рассмотреть его свойства; научить применять свойства параллелограмма при решении задач. |
Задачи урока | Образовательные: определить понятие параллелограмма и узнать его свойства, решать задачи, применяя определение и свойства параллелограмма, изображать параллелограмм. Воспитательные: воспитывать уважительное отношение к мнению других, умение слушать и слышать окружающих; способствовать формированию и развитию культуры учащихся, повышению уровня познавательного интереса к предмету; формировать позитивную психологическую атмосферу в группе. Развивающие: формировать умения устанавливать причинно-следственные связи, строить логические цепочки, делать выводы, развивать внимание, математическую речь. |
Планируемые результаты | Научиться использовать полученные знания при решении практических задач в реальной жизни. Овладеть профессиональными компетенциями: Информационной (обладание информационными ресурсом и технологиями, критичное отношение к полученной информации) Коммуникативной (умение взаимодействовать с окружающими людьми и событиями, навыки работы в группе, коллективе, проявлять желание добиваться успеха в своей деятельности. Социально — трудовой (способность вырабатывать навыки решения и участвовать в их реализации). Уметь самостоятельно приобретать новые знания. |
Образовательные ресурсы | Компьютер, проектор, презентация, раздаточный материал; классная доска; чертежные приборы, цветные листочки для рефлексии (красный, желтый, зелёный) |
План урока | 1) Организационный этап. 2) Проверка домашнего задания, воспроизведение и коррекция опорных знаний учащихся. Актуализация знаний. 3) Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся. 4) Изучение нового материала: практическая индивидуальная работа и фронтальная работа. 5) Физкультминутка. 6) Первичное закрепление в знакомой ситуации (типовые) в изменённой ситуации (конструктивные) 7) Самостоятельная работа с самопроверкой. 8) Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению 9) Рефлексия (подведение итогов занятия) |
Планируемые результаты | Научиться использовать полученные знания при решении практических задач в реальной жизни. Овладеть профессиональными компетенциями: Информационной (обладание информационными ресурсом и технологиями, критичное отношение к полученной информации) Коммуникативной (умение взаимодействовать с окружающими людьми и событиями, навыки работы в группе, коллективе, проявлять желание добиваться успеха в своей деятельности.) Социально — трудовой (способность вырабатывать навыки решения и участвовать в их реализации). Уметь самостоятельно приобретать новые знания. |
Образовательные ресурсы | Компьютер, проектор, презентация, раздаточный материал; классная доска; чертежные приборы, листочки для рефлексии. |
Педагогические технологии: | ИКТ-технологии, здоровьесберегающие технологии, технологии критического мышления. |
)
Предметные УУД | Метапредметные УУД | Личностные УУД |
Познакомиться с понятием параллелограмм, его свойствами с доказательствами. Научиться решать задачи по теме. | Коммуникативные: описывать содержание совершаемых действий с целью ориентировки предметно-практических или иной деятельности. Регулятивные: составлять план и последовательность действий; предвосхищать временные характеристики достижения результата. Познавательные: проводить анализ способов решения задачи с точки зрения их рациональности и экономичности | Формирование устойчивой мотивации к изучению нового |
Ход урока:
Добрый день, Ребята.
1.Начнём урок! Прочтем!
„Нет царского пути в геометрии, “ Евклид древнегреческий математик -323 — 285 до н.э.
Почему на ваш взгляд так сказал Евклид?2.Повторим материал предыдущего урока. Ответим на вопросы:
Что называется четырёхугольником?
Что понимается под стороной четырёхугольника?
Какие стороны называются противолежащими?
Какие стороны называются соседними?
Что представляет собой вершина четырёхугольника?
Что выражает периметр четырёхугольника?
Что является градусной мерой угла?
Какие углы четырехугольника называются противолежащими?
Что такое диагональ четырёхугольника?
Наовите стороны четыреугольника.
Назовите соседние стороны.
Назовите противолежащие стороны.
Назовите противолежащие углы.
Назовите диагонали четыреугольника.
В чем различие четыреугольников?В чем заключается сущность построения четырёхугольника?
Замечательно! Умницы!
3.
У нас сегодня очень насыщенный урок. Но давайте определим, чему он будет посвящен. Разгадаем кроссенс:
Как вы поняли, тема нашего сегодняшнего урока – параллелограмм.
3.Как вы думаете, какая цель нашего урока? Какие задачи мы перед собой поставим? (учащиеся формулируют цель и задачи урока)
4. Запишем определение: Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.
Послушаем стихотворение:
Параллелограмм
– Ты не знаешь, сколько грамм
Весит параллелограмм?
Не могу понять, в чем дело?
Сколько это – «параллело»?
– Где, дружок, твоя культура?
Параллелограмм – фигура,
Знает каждый школьник в мире.
У него сторон – четыре.
Их рисуют не бесцельно,
А попарно параллельно.
5. Практическая работа (индивидуально):
Вам выданы карточки. На них построены параллелограммы. Параллелограммы различные у каждого из вас.
(Пример карточки: )
Измерьте, пожалуйста, градусные меры противолежащих углов. Подведите итоги работы и расскажите о них.
Сделаем вывод: в параллелограмме противоположные углы равны.
Измерьте, пожалуйста, длины противолежащих сторон. Подведите итоги работы и расскажите о них. Сделаем вывод: в параллелограмме противоположные стороны равны.
Эти утверждения являются свойствами параллелограмма.
6.Запишем свойства параллелограмма и попробуем их доказать.
(один человек у доски, вместе с учителем и классом доказываются свойства параллелограмма)
Дано:
АВСD-
параллелограмм
Доказать, что
АВ=СD
ВС=АD
<D=<В
˂А=˂С
Доказательство:
Чтобы доказать равенство отрезков и углов, нужно рассмотреть треугольники. Проведем диагональ АС.
Рассмотрим ▲ АВС, ▲СDВ
АС-общая,
˂ ВАС=˂САD, т.к накрест лежащие образованные АDǁВС, АС-секущая
˂ВСА=˂АСD, т.к накрест лежащие образованные СDǁВА, АС-секущая
=>▲ АВС=▲СDВ(по стороне и двум прилежащим к ней углам) => АВ=СD, ВС=АD, <D=<В
8.
Физкультминутка: https://www.youtube.com/watch?v=SAWr-KZhD0E
9. Практическая работа в парах:
Исходя из определения и изученных уже свойств, давайте подумаем, как можно построить параллелограмм. Т.к нам придется это делать очень часто для решения задач.
1.На листе в клетку построить отрезок, равный целому числу клеток.
2. Ниже и напратив построенного, отступив от начала предыдущего, начертить отрезок такой же длины. (На основании свойства.)
3. Соединить концы отрезков двумя отрезками так, чтобы последние не пересекались. (На основании определения четырехугольника)
Т.к. две противолежащие стороны равны у получившегося четырехугольника по построению и параллельны как отрезки, лежащие на сторонах тетрадных клеток, то он параллелограмм. Мы руководствовались определением и изученными уже свойствами, а пришли к признаку параллелограмма. Но его докажем через урок.
10. Первичное закрепление (устная фронтальная работа)
1.АВ=3см
ВС=4см
Найти: Р АВСD
2.
<А+<С=100⁰
Найти<А;<С
3. <А=100⁰ Найти <В
11.Самостоятельная работа с самопроверкой:
1. Выберите правильный ответ: ПАРАЛЛЕЛОГРАММОМ НАЗЫВАЕТСЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК, У КОТОРОГО:
две стороны параллельны, а две другие – нет
стороны попарно параллельны
2.Выберите правильный ответ: ЕСЛИ СМЕЖНЫЕ СТОРОНЫ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА РАВНЫ 9см и 1см,
ТО ЕГО ПЕРИМЕТР РАВЕН: а). 10 б). 11 в). 1 г). 20
Ответ: _______________
3. Выберите правильный ответ:
АBCD –параллелограмм.
ЕСЛИ угол В = 45, ТО угол D РАВЕН:
1) 30º 2) 45º 3) 60º 4) 90º 5) 120º 6) 135º 7) 150º 8) 180º
Ответ: _______________
4.Запишите ответ:
а
в
ЕСЛИ ПЕРИМЕТР ПАРАЛЛЕЛОГРАММА РАВЕН 36
и , ТО a = ______, b = _________
12.
Д/з п.44, №372
Рефлексия:
Ребята, какова была цель нашего урока?
Вы достигли поставленной цели?
На доске варианты:
сегодня я узнал…
было трудно…
я понял, что…
я научился…
я смог…
было интересно узнать, что…
меня удивило…
Каждый ученик выбирает по 1-2 предложения и заканчивает их письменно в тетради.
Молодцы! Спасибо за урок.
Используемые ресурсы:
https://урок.рф/presentation/27020.html
https://ашаж.рф/raznoe/stix-pro-parallelogramm-v-pomoshh-uchitelyu-pravila-v-stixax-3-stixi-o-geometricheskix-figurax-i-ix-svojstvax-8-klass.html
http://tmath.ru/1/3/2/page.php
Решение задач по теме «Параллелограмм». 8-й класс
Тип урока: урок обобщения и систематизации.
Цели.
Предметные: систематизировать знания параллелограмме.
Личностные: развивать навыки самостоятельной работы, эмоциональной сферы, анализа своей работы.
Метапредметные: умение самостоятельно определять цели своего обучения, ставить и формулировать для себя новые задачи в учёбе и познавательной деятельности.
Планируемые результаты: учащийся научится решать задачи разного уровня сложности на применение свойств и признаков параллелограмма из материалов ГИА.
Основные понятия: параллелограмм, его определение, свойства и признаки.
Организационная структура урока
| Этапы проведения урока | Форма организации УД | Задания для учащихся, выполнение которых приведёт к достижению запланированных результатов | ||
| Презентация | Приложения | Учебник | ||
1. Организационный этап |
||||
| 2. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся | ||||
| 3. Актуализация знаний | ф | Слайд 1 | Повторение свойств и признаков параллелограмма | |
| 4. Проверка домашнего задания | Ф | Слайды 2 и 3 | Приложение 1. | №372(в), № 376(в) |
| 5. Контроль и коррекция знаний | И | Слайд 4 (ответы) | Приложение 2. (текст) |
Тест |
| 6. Повторение | Ф | Слайды 5 и 6 | Приложение 3. | |
| В группах | Слайды 7, 8, 9 | Приложение 3. | ||
| 7. Рефлексия учебной деятельности на уроке | Я сегодня научился решать задачи на применение свойств и признаков параллелограмма | |||
| 8. Информация о домашнем задании | Слайд 10 | № 375, № 376(б) | ||
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3
Литература
- Атанасян Л.
С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия.
Учебник для 7-9 классов. М.: Просвещение, 2012 г. - Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Рабочая тетрадь по геометрии для 8 класса. М.: Просвещение, 2013 г.
- Ершова А.П., Голобородько В.В. Устные проверочные и зачётные работы по геометрии для 7-9 классов. М.: Илекса, 2004 г.
- Контрольно-измерительные материалы. Геометрия: 8 класс / Сост. Н.Ф. Гаврилова. М.: ВАКО, 2011 г.
- Ольховская Л.С., Коннова Е.Г., Резникова Н.М. Геометрия. 8-й класс. Рабочая тетрадь: учебно-методическое пособие. Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулубухова. Ростов-на-Дону: Легион, 2012. (ГИА-9)
- Рабинович Е.М. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 7-9 классы. Геометрия. – М.: Илекса, 1999 г.
- Семёнов А.Л. ГИА: 3000 задач с ответами по
математике. Все задачи части 1. – М.: Издательство
“Экзамен”, 2013 г.
- Варианты ОГЭ по математике 2014 года.
- Материалы конкурса “Открытый урок” издательского дома “Первое сентября”.
С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия.
Учебник для 7-9 классов. М.: Просвещение, 2012 г.
Найти площадь параллелограмма по сторонам. Параллелограмм и его свойства
Примечание . Это часть урока с задачами по геометрии (раздел параллелограмм). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ или sqrt(), при чем в скобках указано подкоренное выражение.
Теоретический материал
Пояснения к формулам нахождения площади параллелограмма:
- Площадь параллелограмма равна произведению длины одной из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону
- Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними
- Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними
Задачи на нахождение площади параллелограмма
Задача .
В параллелограмме меньшая высота и меньшая сторона равны 9 см и корню из 82 соответственно.Большая диагональ 15 см.Найти площадь параллелограмма.
Решение .
Обозначим меньшую высоту параллелограмма ABCD, опущенную из точки B на большее основание AD как BK.
Найдем значение катета прямоугольного треугольника ABK, образованного меньшей высотой, меньшей стороной и частью большего основания. По теореме Пифагора:
AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 — 81
AK = 1
Продлим верхнее основание параллелограмма BC и опустим на него высоту AN из его нижнего основания. AN = BK как стороны прямоугольника ANBK. У получившегося прямоугольного треугольника ANC найдем катет NC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 — 81
NC 2 = √144
NC = 12
Теперь найдем большее основание BC параллелограмма ABCD.
BC = NC — NB
Учтем, что NB = AK как стороны прямоугольника, тогда
BC = 12 — 1 = 11
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту к этому основанию.
S = ah
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99
Ответ : 99 см 2 .
Задача
В параллелограмме АВСД на диагональ АС опущен перпендикуляр ВО. Найдите площадь параллелограмма, если АО=8, ОС=6 и ВО=4.Решение .
Опустим на диагональ АС дополнительно еще один перпендикуляр DK.
Соответственно, треугольники AOB иDKC, COB и AKD попарно равны. Одна из сторон является противолежащей стороной параллелограмма, один из углов — прямой, так как является перпендикуляром к диагонали, а один из оставшихся углов является внутренним накрест лежащим для параллельных сторон параллелограмма и секущей диагонали.
Таким образом, площадь параллелограмма равна площади указанных треугольников. То есть
Sпаралл = 2S AOB +2S BOC
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Откуда
Ответ : 56 см 2 .
Точнее по планиметрии и тригонометрии, иногда требуется найти высоту параллелограмма, исходя из заданных значений сторон, углов, диагоналей и т.
п.
Чтобы найти высоту параллелограмма, зная его площадь и длину основания, необходимо воспользоваться правилом площади параллелограмма. Площадь параллелограмма, как известно, равняется произведению высоты на длину основания:
S — площадь параллелограмма,
а — длина основания параллелограмма,
h — длина опущенной на сторону а высоты, (или на ее продолжение).
Отсюда получаем, что высота параллелограмма будет площади, разделенной на длину основания:
Например,
дано: площадь параллелограмма равняется 50 кв.см., основание — 10 см.;
найти: высоту параллелограмма.
h=50/10=5 (см).
Так как высота параллелограмма, часть основания и прилежащая к основанию сторона образуют прямоугольный , то для высоты параллелограмма можно использовать некоторые соотношения сторон и углов прямоугольных .
Если известны прилежащая к высоте h (DE) сторона параллелограмма d (AD) и противоположный высоте угол A (BAD), то расчета высоты параллелограмма нужно умножить длину прилежащей стороны на синус противоположного угла:
например, если d=10 см, а угол А=30 градусов, то
H=10*sin(30º)=10*1/2=5 (см).
2)=3 (см).
Видео по теме
Источники:
- что такое высота параллелограмма
Высотой многоугольника называют перпендикулярный одной из сторон фигуры отрезок прямой, который соединяет ее с вершиной противолежащего угла. Таких отрезков в плоской выпуклой фигуре существует несколько, и длины их не одинаковы, если хоть одна из сторон многоугольника имеет отличную от других величину. Поэтому в задачах из курса геометрии иногда требуется определить длину большей высоты, например, треугольника или параллелограмма.
Инструкция
Если кроме длины самой короткой из сторон треугольника (a) в условиях приведена (S) фигуры, большей из высот (Hₐ) будет достаточно проста. Удвойте площадь и разделите полученное значение на длину короткой — это и будет искомая высота: Hₐ = 2*S/a.
Не зная площади, но имея длины треугольника (a, b и c), тоже можно найти самую длинную из его высот, однако математических операций будет значительно больше. Начните с вычисления вспомогательной величины — полупериметра (р).
Для этого сложите длины всех сторон и разделите результат
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей.
Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля — до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Площадь параллелограмма. В очень многих задачах по геометрии связанных с вычислением площадей, в том числе и заданиях на ЕГЭ, используются формулы площади параллелограмма и треугольника. Их существует несколько, здесь мы их с вами рассмотрим.
Перечислять эти формулы было бы слишком просто, этого добра и так хватает в справочниках и на различных сайтах. Мне хотелось бы донести суть — чтобы вы их не зубрили, а понимали и легко могли вспомнить в любой момент. После изучения материала статьи вы поймёте, что формулы эти учить совсем не нужно. Объективно говоря, они так часто встречаются при решениях, что откладываются в памяти надолго.
1. Итак, давайте рассмотрим параллелограмм. Определение гласит:
Почему так? Всё просто! Чтобы показать наглядно в чём смысл формулы, выполним некоторые дополнительные построения, а именно построим высоты:
Площадь треугольника (2) равна площади треугольника (1) — второй признак равенства прямоугольных треугольников «по катету и гипотенузе». Теперь мысленно «отрежем» второй и перенесём его наложив на первый — получим прямоугольник, площадь которого будет равна площади исходного параллелограмма:
Площадь прямоугольника, как известно, равна произведению его соседних сторон. Как видно по эскизу, одна сторона полученного прямоугольника равна стороне параллелограмма, а другая его высоте параллелограмма. Поэтому и получаем формулу площади параллелограмма S = a∙h a
2. Продолжим, ещё одна формула его площади. Имеем:
Площадь параллелограмма формула
Обозначим стороны как a и b, угол между ними γ «гамма», высота h a.
Рассмотрим прямоугольный треугольник:
Параллелограммом называют четырехугольник у которого противоположные стороны параллельны между собой. Основные задачи в школе по данной теме заключаются в вычислении площади параллелограмма, его периметра, высоты, диагоналей. Указанные величины и формулы для их вычисления будут приведены ниже.
Свойства параллелограмма
Противоположные стороны параллелограмма как и противоположные углы равны между собой:
AB=CD, BC=AD
,
Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся на две равные части:
АО=OC, OB=OD.
Углы прилегающие к любой стороне (соседние углы) в сумме равны 180 градусов.
Каждая из диагоналей параллелограмма делит его на два одинаковые по площади и геометрическими размерами треугольники.
Еще одно замечательное свойство которое часто применяют при решении задач состоит в том, что сумма квадратов диагоналей в параллелограмме равна сумме квадратов всех сторон:
AC^2+BD^2=2*(AB^2+BC^2)
.
Основные признаки параллелограммов:
1. Четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны является параллелограммом.
2. Четырехугольник с равными противоположными сторонами является параллелограммом.
3. Четырехугольник с равными и параллельными противоположными сторонами является параллелограммом.
4. Если диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам то это параллелограмм.
5. Четырехугольник у которого противоположные углы попарно равны является параллелограммом
Биссектрисы параллелограмма
Биссектрисы противоположных углов в параллелограмме могут быть параллельными или совпадать.
Биссектрисы соседних углов (прилегающие к одной стороне) пересекаются под прямым углом (перпендикулярные).
Высота параллелограмма
Высота параллелограмма — это отрезок который проведен с угла перпендикулярно к основанию. Из этого следует что из каждого угла можно провести две высоты.
Формула площади параллелограмма
Площадь параллелограмма
равна произведению стороны на высоту проведенную к ней.
Формула площади следующая
Вторая формула не менее популярная при вычислениях и определяется так: площадь параллелограмма равна произведению соседних сторон на синус угла между ними
На основе приведенных формул Вы будете знать как вычислить площадь параллелограмма.
Периметр параллелограмма
Формула для вычисления периметру параллелограмма имеет вид
то есть периметр равен удвоенному значению суммы сторон. Задачи на параллелограмм будут рассмотрены в соседних материалах, а пока изучайте формулы. Большинство задач по вычислению сторон, диагоналей параллелограмма достаточно просты и сводятся к знанию теоремы синусов и теоремы Пифагора.
Как высчитать площадь параллелограмма. Периметр и площадь параллелограмма
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике.
Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля — до задачи 13. Понимание вместо зубрежки.
Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Параллелограммом называют четырехугольник у которого противоположные стороны параллельны между собой. Основные задачи в школе по данной теме заключаются в вычислении площади параллелограмма, его периметра, высоты, диагоналей. Указанные величины и формулы для их вычисления будут приведены ниже.
Свойства параллелограмма
Противоположные стороны параллелограмма как и противоположные углы равны между собой:
AB=CD, BC=AD
,
Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся на две равные части:
АО=OC, OB=OD.
Углы прилегающие к любой стороне (соседние углы) в сумме равны 180 градусов.
Каждая из диагоналей параллелограмма делит его на два одинаковые по площади и геометрическими размерами треугольники.
Еще одно замечательное свойство которое часто применяют при решении задач состоит в том, что сумма квадратов диагоналей в параллелограмме равна сумме квадратов всех сторон:
AC^2+BD^2=2*(AB^2+BC^2)
.
Основные признаки параллелограммов:
1. Четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны является параллелограммом.
2. Четырехугольник с равными противоположными сторонами является параллелограммом.
3. Четырехугольник с равными и параллельными противоположными сторонами является параллелограммом.
4. Если диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам то это параллелограмм.
5. Четырехугольник у которого противоположные углы попарно равны является параллелограммом
Биссектрисы параллелограмма
Биссектрисы противоположных углов в параллелограмме могут быть параллельными или совпадать.
Биссектрисы соседних углов (прилегающие к одной стороне) пересекаются под прямым углом (перпендикулярные).
Высота параллелограмма
Высота параллелограмма — это отрезок который проведен с угла перпендикулярно к основанию. Из этого следует что из каждого угла можно провести две высоты.
Формула площади параллелограмма
Площадь параллелограмма
равна произведению стороны на высоту проведенную к ней.
Формула площади следующая
Вторая формула не менее популярная при вычислениях и определяется так: площадь параллелограмма равна произведению соседних сторон на синус угла между ними
На основе приведенных формул Вы будете знать как вычислить площадь параллелограмма.
Периметр параллелограмма
Формула для вычисления периметру параллелограмма имеет вид
то есть периметр равен удвоенному значению суммы сторон. Задачи на параллелограмм будут рассмотрены в соседних материалах, а пока изучайте формулы. Большинство задач по вычислению сторон, диагоналей параллелограмма достаточно просты и сводятся к знанию теоремы синусов и теоремы Пифагора.
Примечание . Это часть урока с задачами по геометрии (раздел параллелограмм). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ или sqrt(), при чем в скобках указано подкоренное выражение.
Теоретический материал
Пояснения к формулам нахождения площади параллелограмма:
- Площадь параллелограмма равна произведению длины одной из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону
- Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними
- Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними
Задачи на нахождение площади параллелограмма
Задача .В параллелограмме меньшая высота и меньшая сторона равны 9 см и корню из 82 соответственно.Большая диагональ 15 см.Найти площадь параллелограмма.
Решение .
Обозначим меньшую высоту параллелограмма ABCD, опущенную из точки B на большее основание AD как BK.
Найдем значение катета прямоугольного треугольника ABK, образованного меньшей высотой, меньшей стороной и частью большего основания. По теореме Пифагора:
AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 — 81
AK = 1
Продлим верхнее основание параллелограмма BC и опустим на него высоту AN из его нижнего основания.
AN = BK как стороны прямоугольника ANBK. У получившегося прямоугольного треугольника ANC найдем катет NC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 — 81
NC 2 = √144
NC = 12
Теперь найдем большее основание BC параллелограмма ABCD.
BC = NC — NB
Учтем, что NB = AK как стороны прямоугольника, тогда
BC = 12 — 1 = 11
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту к этому основанию.
S = ah
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99
Ответ : 99 см 2 .
Задача
В параллелограмме АВСД на диагональ АС опущен перпендикуляр ВО. Найдите площадь параллелограмма, если АО=8, ОС=6 и ВО=4.Решение .
Опустим на диагональ АС дополнительно еще один перпендикуляр DK.
Соответственно, треугольники AOB иDKC, COB и AKD попарно равны. Одна из сторон является противолежащей стороной параллелограмма, один из углов — прямой, так как является перпендикуляром к диагонали, а один из оставшихся углов является внутренним накрест лежащим для параллельных сторон параллелограмма и секущей диагонали.
Таким образом, площадь параллелограмма равна площади указанных треугольников. То есть
Sпаралл = 2S AOB +2S BOC
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Откуда
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 см 2
Ответ : 56 см 2 .
Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.
Формулы площади треугольника
- Формула площади треугольника по стороне и высоте
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты - Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
- Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности. где S — площадь треугольника,
— длины сторон треугольника,
— высота треугольника,
— угол между сторонами и,
— радиус вписанной окружности,
R — радиус описанной окружности,
Формулы площади квадрата
- Формула площади квадрата по длине стороны
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны. - Формула площади квадрата по длине диагонали
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали. где S — Площадь квадрата,
— длина стороны квадрата,
— длина диагонали квадрата.
Формула площади прямоугольника
- Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон
где S — Площадь прямоугольника,
— длины сторон прямоугольника.
Формулы площади параллелограмма
- Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
Площадь параллелограмма - Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.a · b · sin α
где S — Площадь параллелограмма,
— длины сторон параллелограмма,
— длина высоты параллелограмма,
— угол между сторонами параллелограмма.
Формулы площади ромба
- Формула площади ромба по длине стороны и высоте
Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты. - Формула площади ромба по длине стороны и углу
Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба. - Формула площади ромба по длинам его диагоналей
Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей. где S — Площадь ромба,
— длина стороны ромба,
— длина высоты ромба,
— угол между сторонами ромба,
1 , 2 — длины диагоналей.
Формулы площади трапеции
- Формула Герона для трапеции
Где S — Площадь трапеции,
— длины основ трапеции,
— длины боковых сторон трапеции,
Параллелограмм представляет собой четырехугольную фигуру, у которой противолежащие стороны попарно параллельны и попарно равны.
Равны у него также и противоположные углы, а точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам, являясь при этом центром симметрии фигуры. Частными случаями параллелограмма являются такие геометрические фигуры как квадрат, прямоугольник и ромб. Площадь параллелограмма может быть найдена различными способами, в зависимости от того, какими исходными данными сопровождается постановка задачи.
Ключевой характеристикой параллелограмма, очень часто используемой при нахождении его площади, является высота. Высотой параллелограмма принято называть перпендикуляр, опущенный из произвольной точки противоположной стороны к отрезку прямой, образующей данную сторону.
- В самом простом случае площадь параллелограмма определяется как произведение его основания на высоту.
S = DC ∙ h
где S — площадь параллелограмма;
a — основание;
h — высота, проведенная к данному основанию.Данную формулу очень легко понять и запомнить, если взглянуть на следующий рисунок.
Как видно из данного изображения, если слева от параллелограмма отрезать воображаемый треугольник и присоединить его справа, то в результате мы получим прямоугольник. А как известно, площадь прямоугольника находится перемножением его длины на высоту. Только в случае параллелограмма длина будет являться основанием, а высота прямоугольника — высотой параллелограмма, опущенной на данную сторону.
- Площадь параллелограмма может быть также найдена в результате перемножения длин двух смежных оснований и синуса угла между ними:
S = AD∙AB∙sinα
где AD, AB — смежные основания, образующие точку пересечения и угол а между собой;
α — угол между основаниями AD и AB. - Также площадь параллелограмма можно найти разделив пополам произведение длин диагоналей параллелограмма на синус угла между ними.
S = ½∙AC∙BD∙sinβ
где AC, BD — диагонали параллелограмма;
β — угол между диагоналями. - Существует также формула для нахождения площади параллелограмма через радиус вписанной в него окружности. Она записывается следующий образом:
Она записывается следующий образом:Тема урока: Решение задач по теме «Площадь параллелограмма». Цель урока: 1) Проверить знание учащихся по теме «Площадь параллелограмма». Добиться понимания всех рассмотренных вопросов теории и умении применять их при решении задач. 2) Развитие логического мышления, умение работать в проблемной ситуации. 2) Активизация познавательной и творческой активности учащихся. | Прозвенел звонок на урок. Учитель вошел в класс. «Здравствуйте, дети, садитесь. На прошлом уроке мы начали с вами изучение темы «Площадь параллелограмма», узнали, что такое площадь и познакомились с несколькими формулами для вычисления площади прямоугольника и параллелограмма. Что же называется площадью простой фигуры и какими свойствами она обладает? На этот вопрос ответит нам Света Дьякова». «Все верно, а по какой формуле вычисляется площадь прямоугольника, Сережа?» «Ну, в чем же трудность, мы эту формулу знаем с 5 класс? Лена помоги Сереже». «Запиши формулу на доске». «А теперь давайте вспомним с какими формулами для вычисления площади параллелограмма мы познакомились на прошлом уроке. Пожалуйста, Ира». «Очень хорошо, а теперь докажи эту формулу у доски». «Пока Ира доказывает эту формулу, мы вспомним и докажем еще одну формулу для вычисления площади параллелограмма. И это сделает Каримов Руслан». «Ира уже почти закончила, давайте проверим правильно ли она доказала формулу? В этом нам поможет Лена». «Хорошо, Ира, садись! Лена, а ты проверь еще работу Руслана» «Замечательно, а как дела с домашней работой, все
справились?» Хорошо, тогда продолжим решать задачи на нахождение площади
параллелограмма. Открываем тетради, подписываем число, классная работа, тема
«Решение задач», первая задача № 9, пойдет решать Лена Азовская». «Давай для начала начертим параллелограмм и прямоугольник и отметим на чертеже, что нам дано». «Хорошо, ты выбрала правильный ход решения, вот только не надо молчать, итак, у всех получился ответ 300? » «Садись, Лена! Переходим к следующей задаче № 12, пойдет решать Света Дьякова, как раз я тебе оценку поставлю, читай условие». «Очень хорошо, тогда по какой же формуле мы будем искать площадь ромба?» «Все верно, у кого-нибудь есть вопросы по решению этой задачи?» «Значит всем все понятно? Садись, Света». «Наш урок подходит к концу, давайте запишем домашнее задание, открываем дневники, п. 123, № 27.» «Теперь давайте подведем итоги сегодняшнего урока: Руслан и Ира получают 5, Лена вяло работала у доски 4, Света, молодец,5». Прозвенел звонок с урока! «Урок закончен можете быть свободны». | Ученики встали, приветствуя учителя. Ученики сели на свои места. «Площадь — это положительная величина. Свойства: 1) Равные фигуры имеют равные площади. 2) Если фигуру разбить на простые фигуры, то площадь будет равна сумме площадей простых фигур. 3) Площадь квадрата со стороной, равной единице, равна единице. Ученик молчит». «Произведение длинны на ширину». Ученица встает с места и записывает формулу на доске: «S=ab». «Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне». Ученица выходит к доске и начинает доказывать формулу. Ученик выходит к доске и взяв мел записывает формулу, проговаривая ее вслух: «Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними». «Да все верно». «У него тоже правильно». «Да!» Девочка выходит к доске и читает условие задачи: «Да!» «Найдите площадь ромба, если его
высота 12 см, а меньшая диагональ 13 см. Запишем Дано: ABCD – ромб, BD=13 см, BH=12 см. Найти: SABCD. Решение: В, по т. Пифагора: В, по т. Пифагора: Площадь ромба будем искать по формуле: Ответ: Класс молчит. «Да». Класс зашумел доставая дневники. |
Как найти угол параллелограмма
Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно
или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
в
информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже. Если университетские наставники примут меры в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент
средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.
Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.
Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.
Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:
Вы должны включить следующее:
Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем
а
ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т.
д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и
Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы
либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.
Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:
Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105
Или заполните форму ниже:
Свойства параллелограмма — Задача 3
Диагонали параллелограмма делятся пополам. Напомним, что это означает, что они разделены на две отдельные части.
Итак, если отрезки диагоналей, разделенные пополам, даны в терминах переменной, установите их равными друг другу, чтобы найти переменную. Затем сложите эти выражения вместе. Подставьте эти выражения, чтобы найти длину диагонали.
Мы можем использовать то, что мы знаем о диагоналях, для поиска пропущенных переменных, но что мы знаем о диагоналях в параллелограмме. Хорошо, давайте посмотрим на нашу диаграмму здесь.
Похоже, у нас есть две диагонали, которые определенно не конгруэнтны друг другу, но делятся пополам другой диагональю. Итак, это означает, что если я посмотрю на эту диагональ прямо здесь, она разделена на две конгруэнтные части другой диагональю, так что это будет ключом к решению для x и y в этой задаче, где мы знаем, что у нас есть две конгруэнтные части. частей на этой диагонали, так как она делится пополам другой диагональю, и у нас есть еще две конгруэнтные части.
Итак, мы можем написать два уравнения, мы можем установить эти две части равными друг другу.Итак, если бы я написал уравнение для этой диагонали, оно бы сказало, что 2y равно 3x. У нас есть 2 переменные, 1 уравнение, в котором недостаточно информации, но мы можем найти x на другой диагонали. Поэтому я собираюсь написать, что 2x минус 2 равно x. Поскольку они конгруэнтны, они должны быть равны друг другу. Итак, чтобы решить это уравнение, я собираюсь вычесть x с обеих сторон 2x минус x равно 1x, мы получим x минус 2 равно 0. Итак, если я добавлю 2 к обеим сторонам, я узнаю, что x должно быть 2. Итак, я подойду сюда и напишу, что x равно 2.
Теперь, чтобы узнать, что такое y, я заменю x на in. Итак, я собираюсь написать, что 2у равно 3 умножить на 2, 3 умножить на 2 равно 6, поэтому мы имеем 2у равно 6, и когда я разделю на 2, я узнаю, что у должно быть 3.
Ключ к решению эта задача состоит в том, чтобы понять, что в параллелограмме диагонали делятся пополам.
Специальные параллелограммы — Бесплатная помощь по математике
Свойства параллелограммов
Помните, что параллелограмм имеет четыре стороны, состоящие из двух пар, которые параллельны друг другу.
Параллелограмм может быть равноугольным (четыре одинаковых угла), равносторонним (четыре одинаковых длины сторон) или равносторонним и равносторонним. Примером специального параллелограмма, который одновременно равноугольный и равносторонний, является квадрат.
Прямоугольник
Прямоугольник – это параллелограмм с 4 прямыми углами. Прямоугольник имеет следующие правила:
(1) Все правила параллелограмма.
(2) Четыре прямых угла. Помните, что прямой угол равен 90 градусам.
(3) Диагонали, которые конгруэнтны (имеют одинаковую длину).
Изображение прямоугольника ABCD ниже показывает все три правила, перечисленные выше.
Пример:
В прямоугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке R. Если AR = 2x — 6 и CR = x + 10, найдите BD.
Так как диагонали прямоугольника делят друг друга пополам, мы можем сказать, что AR = CR.
Мы приравниваем значения AR и CR и находим x.
2х — 6 = х + 10
2х — х = 10 + 6
х = 16
Используйте любое из данных уравнений, чтобы определить, что каждый сегмент равен 26.Поскольку все они равны, BD = 26,
.Ромб
Ромб – это параллелограмм, у которого 4 равные или равные стороны. Ромб имеет следующие правила:
(1) Все правила параллелограмма.
(2) Четыре стороны одинаковой длины.
(3) Диагонали, пересекающиеся под прямым углом.
(4) Диагонали, делящие противоположные пары углов пополам.
Пример:
Зная, что ABCD — ромб, а угол D = 60 градусов, найдите величины углов A и B.
Решение:
Треугольник ABC равнобедренный, так как отрезок AB конгруэнтен отрезку BC. Тогда мы можем сказать, что углы при основании треугольника ABC должны быть равны или равны. Поскольку мы знаем, что диагональ делит углы A и C пополам, у нас должно быть два конгруэнтных треугольника. Если да, то мера угла D = мера угла B = 60 градусов.
В треугольнике AEB угол AEB прямоугольный, так как диагонали ромба перпендикулярны друг другу.Поскольку сумма градусных мер углов треугольника равна 180 градусам, мы можем сказать, что мера угла А должна быть равна 30 градусам. Как мы получим 30?
Мера угла A = 180 — 90 градусов — 60 градусов
Мера угла А = 30 градусов
Квадрат
Квадрат – это параллелограмм, у которого 4 прямых угла и 4 стороны имеют одинаковую длину. Квадрат имеет все правила прямоугольника и ромба, как показано в квадрате ABCD ниже.
Пример:
В квадрате ABCD, AB = x + 4.Чему равен периметр квадрата ABCD?
Решение:
Квадрат имеет одинаковую длину со всех четырех сторон.
Мы можем использовать формулу P = сторона, умноженная на 4, или P = 4s, где P = периметр, а s = сторона квадрата.
Р = 4 с
P = 4(x + 4)…. Применим здесь правило дистрибутивности и получим
Р = 4х + 16
Наш периметр равен 4x + 16.
Урок, проведенный мистером Фелизом
Площадь — Площадь параллелограммов и ромбов
Площадь параллелограммов и ромбов
Параллелограммы представляют собой запутанные формы, в основном потому, что в самом слове слишком много слогов.Почему фигура с четырьмя сторонами нуждается в пяти слогах? Давай, геометрия.
К счастью, параллелограммов определяются только тем фактом, что они являются четырехугольниками (не говоря уже о количестве слогов в этом слове ), состоящими из двух наборов параллельных линий. Из-за этого простого факта противоположные стороны параллелограмма равны. Но ты знал это.
Как бы замечательно это ни было, это не очень помогает нам найти район.Что нам нужно, когда мы находим площадь, так это длина основания и высота , которая должна быть перпендикулярна основанию. Все, что нам нужно сделать, это перемножить их вместе, и мы получим формулу площади параллелограмма.
Итак, наша формула:
A = bh
Ощущение дежавю? Выглядит как площадь прямоугольника или вдвое больше площади треугольника, не так ли? Что ж, на это есть причина.
На самом деле параллелограмм — это просто два треугольника в одном большом плаще, которые притворяются тем, чем они не являются.Поскольку площадь каждого равна ½ bh , площадь их обоих вместе равна 2 (½ bh ) = bh . Мы можем видеть сквозь их обман.
Если мы также разрежем параллелограмм от верхней вершины до основания под прямым углом, мы можем взять треугольник, который мы отрезали, и заполнить зазор с другой стороны. Это даст нам параллелограмм с четырьмя правыми углы. Или, знаете, прямоугольник. Вот так:
Поскольку площадь прямоугольника равна A = lw , мы можем использовать эту формулу.Только теперь мы знаем, что l = b и w = h . Замена этих значений дает нам площадь параллелограмма: A = bh .
Вам действительно нужны еще доказательства?
Пример задачи
Если основание галактики Центавр А составляет 16 500 световых лет, а высота галактики — 10 000 световых лет, какова площадь этой галактики в форме параллелограмма?
Параллелограмм есть параллелограмм, независимо от того, большой он или маленький.Даже у параллелограмма размером с галактику есть площадь.
A = BH = BH
= = 16 500 световых лет × 10 000 световых лет
A = 165 000 000 световых лет = 165 000 000 световых лет 2
Проблема образца
Что такое область этой параллелограммы?
Ну мы знаем что основание 10 см, а вот высота не сразу понятна. Если мы нарисуем высоту, она образует треугольник 30-60-90. Как удобно.
Мы можем использовать отношения сторон треугольника, чтобы найти высоту параллелограмма (которая в нашем случае является длинной стороной треугольника 30-60-90).Поскольку мы знаем, что отношение гипотенузы к длинному катету равно , мы можем найти высоту, составив пропорцию.
Теперь, когда у нас есть высота, мы можем найти площадь параллелограмма.
A = bh
В то время как квадрат и прямоугольник заплатили достаточно, чтобы получить свои собственные сечения, есть еще один тип параллелограмма, площадь которого мы еще не обсуждали. Это также любимый автомобиль четырехугольника: ромб .
Мы просто шутим. Они предпочитают Феррари.
Мы можем думать о ромбе как о особом параллелограмме, точно так же, как квадрат — это особый тип прямоугольника. У ромба четыре равные стороны и диагонали, перпендикулярные друг другу. В основном они выглядят как бриллианты. Так что, если подумать, ромба — лучший друг девушки.
Поскольку ромбы являются особыми типами параллелограммов, мы можем использовать формулу A = bh , чтобы найти их площади, точно так же, как мы использовали A = lw , чтобы найти площадь квадрата.
Однако углы формы не одинаковы. Это означает, что основание и высота ромба будут равны , а не , поэтому мы не можем волей-неволей возводить стороны в квадрат. Нам еще нужно найти основание и высоту ромба.
Что такого особенного в ромбах, если мы должны использовать ту же самую формулу? Ну и их диагонали, разумеется. Особенность ромбов в том, что половина произведения их диагоналей составляет их площадь. Пример задачи №Какова площадь ромба?
Иногда проблемы пытаются обмануть вас, используя взаимозаменяемые термины «сторона» и «база». В случае с ромбами длина всех сторон одинакова, поэтому они взаимозаменяемы. Просто помните, что для ромба основание и сторона одинаковы, но высота не является ни тем, ни другим.
Итак, в этом случае b = 4 м и h = 3 м, и это все, что нам нужно. Район, вот и мы.
A = A = BH
A = 4 м × 3 м
A = 12 м 2
Проблема образца
Тот же ромб ( B = 4 м и ч = 3 м ) имеет диагональ 8 м.
Какова длина другой диагонали?
Мы уже нашли площадь ромба. Если бы мы этого не сделали, мы могли бы легко сделать это, используя A = bh = 4 м × 3 м = 12 м 2 . Теперь мы можем использовать формулу с диагоналями и найти длину диагонали, измерения которой у нас нет. Неважно, какая диагональ d 1 , а какая d 2 .
A = ½ d = ½ d 1 D 0 2
12 м 2 = ½ × 8 м × D 2
3 m = d 2
длина другой диагонали 3 м.
Формула для нахождения площади параллелограмма
Площадь параллелограмма
Чтобы определить, сколько краски ему понадобится, Льюису необходимо найти площадь знака. Но как найти площадь такой странной формы?
Хотя форма не такая уж и странная. По сути, это вариант прямоугольника.
Если бы у нас был прямоугольник, обозначенный коричневыми линиями, все, что сделал Льюис, это вырезал треугольную часть (светло-серого цвета) и вставил ее на другую сторону прямоугольника (светло-голубого цвета), чтобы создать новую форму:
Так как площадь прямоугольника равна просто длине, умноженной на ширину, а параллелограмм — это просто перестроенный прямоугольник, формула его площади аналогична: — длина основания параллелограмма, ч — высота параллелограмма.
В случае симптома Льюиса длина основания составляет 6 футов, а высота — 2 фута. Мы можем подставить эти значения для b и h в нашу формулу площади:
A = 6 * 2
A = 12
Площадь знака составляет 12 квадратных футов. Льюису придется купить достаточно краски, чтобы покрыть такую большую поверхность.
Длина участка
Виктор мечтает о загородном образе жизни и хочет купить большой участок земли. Есть сюжет, на который он положил глаз.Владелец прислал ему эту схему земли:
На этой диаграмме показана площадь участка, но Виктор хочет знать, какова его длина.
Мы обнаружили, что формула площади параллелограмма:
A = b * h
В этом случае у нас есть значения для A и h . Поскольку у нас есть два из трех ценностей, мы можем решить на млн. Б :
1 200 000 000 000 000 000 0002 1,200 000 = b * 6000
1 200 000/6000 = B
200 = B
Этот участок земли составляет 200 футов длинная.
Параллелограммы, прямоугольники и квадраты. О боже!
Давайте еще раз посмотрим на критерии параллелограмма:
- Его противоположные стороны параллельны.
- Его противоположные стороны конгруэнтны или равны по размеру.
- Противоположные углы равны.
Если подумать, эти условия верны и для квадратов, и для прямоугольников.
Стороны квадрата никогда не пересекутся, если его расширить, потому что они параллельны.Его противоположные стороны конгруэнтны, потому что конгруэнтны и все его сторон. И все его углы равны.
То же верно и для прямоугольника. Единственная разница в том, что не все четыре стороны конгруэнтны. Но стороны друг напротив друга есть. Так что это все еще параллелограмм.
Это имеет смысл, потому что, по сути, метод нахождения площади прямоугольника или квадрата такой же, как нахождение площади параллелограмма.
В каждом случае мы просто умножаем длину на ширину. Мы просто называем эти размеры основанием и высотой в параллелограмме из-за его структуры.
Итак, когда мы слышим слово «параллелограмм», даже если мы часто думаем об этой форме:
С тем же успехом это может быть квадрат или прямоугольник.
Обзор
- Четырехугольник представляет собой четырехугольник.
- Параллелограмм — это четырехугольник, имеющий следующие особенности:
- Противоположные стороны параллельны.
- Его противоположные стороны конгруэнтны.
- Противоположные углы равны.
- Формула площади параллелограмма:
A = b * h
- Квадраты и прямоугольники являются типами параллелограммов.
Периметр параллелограмма — Веб-формулы
Периметр параллелограмма:h: высота
Для любого параллелограмма верны следующие утверждения:
аб = постоянный ток
ad = bc
Таким образом, периметр параллелограмма определяется как:
P = 2 (ad + ab)
Если длина ad или bc не указана, ее можно рассчитать по следующей формуле:
ad = bc = h/cos( ∠ ecb)
где ∠ecb — угол, измеренный в градусах или радианах∠ecb можно вычислить, если задана длина eb =
∠ecb tan -1 (eb/h)
Пример 1: Найдите площадь и периметр параллелограмма, основание которого 18 см, а высота 4 см, а угол между основанием и стороной равен 130 o и 50 или .
Решение :
Учитывая, что:
основание = ссн = аб = 18 см
h = 4 см
Площадь параллелограмма:
A = b · h
A = 18 · 4
A = 72
Таким образом, площадь параллелограмма = 72 см 907 907
2 9 9 0 Периметр параллелограмма:P = 2(dc + ad)
Поскольку длина объявления неизвестна, нам нужно сначала определить ее, используя ad = bc = h/cos( ∠ ecb)
Вставка ∠ 9038 ECB = 150 O — — — 6 = 60 o
AD = BC = 4 / COS ( ∠ 60385 O )
AD = BC = 8 см
P = 2 · (18 + 8) = 2 ·26 = 52 см
Пример 2: Площадь параллелограмма ABCD равна 54 м 2 , а его периметр равен 34 м.Каковы размеры параллелограмма?
Решение :
Шаг 1: Площадь параллелограмма ABCD = основание × высота = BC × AE = 54 м
Шаг 2: Из рисунка выше видно, что высота параллелограмма AE = 6 м
Шаг 3: Длина основания параллелограмма BC = 54 · AE = 546 = 9 м [Замените AE = 6.
]
Шаг 4: Периметр параллелограмма = AB + BC + AB + BC [Из рисунка видно, что CD = AB и AD = BC.]
Шаг 5: [Подставить значение периметр параллелограмма.] (2 × AB) + (2 × BC) = 34
Шаг 6: [Распределительное свойство.]2 × (AB + BC) = 34
Шаг 7: [Разделить с каждой стороны на 2.]AB + BC = 17
Шаг 8: [Подставить длину основания BC =9 м.]AB + 9 = 17
Шаг 9: [Вычесть 9 с обеих сторон.]AB = 17 — 9 = 8 м
Шаг 10: Размеры параллелограмма l = 9 м и b = 8 м.
Пример 3: Найдите периметр параллелограмма, у которого наклонная высота равна 24, высота 22 и ширина 26, все единицы измерения в миллиметрах.
Решение :
Учитывая, что:
a = наклонная высота параллелограмма
b= ширина параллелограмма
Периметр параллелограмма = 2*(24+26) = 2*50 = 100 мм
Пример 4: Найдите периметр параллелограмма ABCD.
Решение :
Периметр параллелограмма ABCD = AB + BC + CD + AD
AB = DC = 4 см и AD = BC = 5 см
Периметр = 4 + 5 + 4 + 5 = 18 см
Онлайн-калькулятор периметра
2.2: Закон косинусов
Теперь мы обсудим, как решить треугольник в случае 3: две стороны и угол между ними. Во-первых, давайте посмотрим, что происходит, когда мы пытаемся использовать закон синусов для этого случая.\circ} = \dfrac{5}{\sin\;C} ,\nonumber\]
, который мы уже знали и в котором еще есть два неизвестных! Таким образом, эту задачу нельзя решить с помощью закона синусов.
Чтобы решить треугольник в приведенном выше примере, мы можем использовать закон косинусов:
Теорема \(\PageIndex{1}\): Закон косинусов
Если у треугольника длины сторон \(a\), \(b\) и \(c\) напротив углов \(A\), \(B\) и \(C\) соответственно, затем
\[\begin{align}
a^2 ~ &= b^2 + c^2 — 2bc\;\cos\;A ~,\label{2.
2 — 2ab\;\cos\;C ~.\label{2.11} \\[4pt]
\end{align}\]
Доказательство
Чтобы доказать закон косинусов, пусть \(\треугольник\,ABC\) — косой треугольник. Тогда \(\треугольник\,ABC\) может быть острым, как на рисунке \(\PageIndex{1a}\), или тупым, как на рисунке \(\PageIndex{1b}\). В каждом случае проведите высоту от вершины \(C \) до стороны \(\overline{AB} \). На рисунке \(\PageIndex{1a}\) высота делит \(\overline{AB} \) на два отрезка длины \(x \) и \(cx \), а на рисунке \(\PageIndex{ 1b}\) высота продолжает сторону \(\overline{AB} \) на расстояние \(x \).2 ~-~ 2ca\;\cos\;B ~.\label{2.16} \]
Итак, как для остроугольных, так и для тупоугольных треугольников мы доказали уравнение \ref{2.10} закона косинусов. Заметьте, что доказательство было для \(B\) острого и тупого. Аналогичными рассуждениями для \(A\) и \(C\) мы получаем две другие формулы.
\(\квадрат\)
Обратите внимание, что мы не доказывали закон косинусов для прямоугольных треугольников, так как оказалось (см.
упражнение 15), что все три формулы для этого случая сводятся к теореме Пифагора. Закон косинусов можно рассматривать как обобщение теоремы Пифагора.
Кроме того, обратите внимание, что достаточно запомнить только одно из трех уравнений \ref{2.9}-\ref{2.11}, так как два других можно получить, «перебирая» буквы \(a \), \( b \) и \(c \), то есть заменить \(a \) на \(b \), заменить \(b \) на \(c \) и заменить \(c \) на \( a \) (аналогично для заглавных букв). Один цикл даст вам вторую формулу, а другой цикл даст вам третью.
Угол между двумя сторонами треугольника часто называют включенным углом .\цирк\; \)}\).
Обратите внимание, что в примере \(\PageIndex{2}\) было только одно решение. Для случая 3 это будет , всегда будет истинным: если даны две стороны и угол между ними, треугольник будет иметь ровно одно решение. Причина проста: при соединении двух отрезков в общей вершине для образования угла существует ровно один способ соединить их свободные концы с третьим отрезком, независимо от величины угла.
2}{2(3)(6)} ~=~ 1.139 ~,
\]
, что невозможно, так как \(| \cos\;A | \le 1 \). Таким образом, существует \(\fbox{нет решения}\).
Мы могли бы избавить себя от некоторых усилий, если бы признали, что длина одной из сторон (\(c=6\)) больше суммы длин остальных сторон (\(a=2\) и \( b=3\)), что (как показано на рисунке ниже) невозможно в треугольнике.
Закон косинусов также можно использовать для решения треугольников в случае 2 (две стороны и один противоположный угол), хотя он используется для этой цели реже, чем закон синусов.\цир ~,
\]
, что близко к тому, что мы нашли раньше (небольшая разница связана с другим округлением). Аналогично можно получить другой набор решений.
Как и закон синусов, закон косинусов можно использовать для доказательства некоторых геометрических фактов, как в следующем примере.
Пример \(\PageIndex{6}\): диагонали параллелограмма
Используйте закон косинусов, чтобы доказать, что сумма квадратов диагоналей любого параллелограмма равна сумме квадратов сторон.