Разложите на множители 2а 5 2а 3: Mathway | Популярные задачи — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 06.09.197508.02.2022 by alexxlab

2 )=c(6-c)(6+c)\)
$12=3 \cdot 4=3 \cdot 2 \cdot 2$

Такое разложение — штука полезная, она помогает сокращать дроби, решать уравнения методом расщепления и многое другое.

Примеры:

Важно! Разложить на множители можно далеко не любое выражение. Например, выражение $3am-6c +x$ не раскладывается в принципе.
Замечание: $3am-6c +x=3(am-2c)+x$ – не является разложением на множители, так как есть стоящее отдельно прибавление икса.

Содержание

Основные способы разложения на множители

Вынесение общего множителя за скобки
Пример: $2am+8m=2m(a+4)$
Важно! В математике принято выносить за скобку все общие множители. Поэтому разложение $2am+8m=2(am+4m)$ или $2am+8m=m(2a+8)$ считается неполным.

Группировка
Смысл метода в том, что мы:
— группируем члены выражения, заключая их в скобки

\(3ax+9x+8a+24=(3ax+9x)+(8a+24)=. 2 = 0 \Rightarrow (x-1-10)(x-1+10) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x_1 = 11 \\ x_2 = -9 \end{array} \right. $$

Ответ: -9; 11

Применение различных способов разложения на множители

Если задача решается легко, это служит доказательством того, что силы, которые математика должна развить, уже развились.

Д. Юнг

Цели урока:

1) Разработать общий алгоритм разложения многочлена на множители;
2) Развитие умений и навыков выбора способа разложения многочлена на множители;
3) Научить учащихся организовывать работу в группе, с целью сплочения ученического коллектива.

Ход урока
1. Устная работа.

(Учащимся предлагается ответить на вопросы)

Какие способы разложения вы знаете?
Какой же способ, на ваш взгляд, встречается чаще?
Ставится задача: “Разложите на множители многочлен”, произнесите вслух ваши рассуждения.

Ищем формулу сокращенного умножения —> Группируем —> Выносим общий множитель за скобки (возможно выполнение одного из перечисленных действий или отсутствие какого-либо из них).

4) Установите соответствие:

Многочлен	Его разложение на множители
4а² +8ас а⁶+а⁴-3а²-3 а⁴-(а-7)² 9а²-6а+1	(a²-a-7)(a²+a+7) (3a-1)(3a-1) (a²+1)(a⁴-3) 4a(a+8c) (a²-a+7)(a²+a-7) (a²+1)(a⁴+3) (3a-1)(3a+1)

2.
Тестирование

(По его итогам класс разбивается на три группы:

1) слабые ученики;
2) ученики, обучающиеся на “хорошо”;
3) группа сильных учеников.

Для тестирования предлагается 5 заданий с тремя вариантами ответов, верные из которых ученики должны выделить. Задания проверяются мгновенно с помощью шила.

Задание	А	Б	В
8а-10b	2(4a-5b)	8(a-10b)	2(4a+5b)
x²y — x+xy²-y	(1-xy)(x+y)	(x-y)(1-xy)	(xy-1)(x+y)

(2x-3)²-(x+4)²	(x-7)(3x+1)	(x+1)(3x+1)	(x-7)(3x-7)
(a-2)³+27	(a-5)(a²-7a+19)	(a+1)(a²-7a+19)	(a+1)(a²-a+7)

К данному заданию предлагается следующий “ключ”, который имеется только у учителя. В нем ячейки с верным ответом выделены цветом. После того как ученик или группа учащихся закончат работу таблички складываются в стопку, сверху которой лежит ключ. Затем вся стопка прокалывается шилом в выделенных ячейках. Если проделанное отверстие совпадает с ответом, выделенным учеником, значит, этот ответ верен. Соответственно при пяти совпадениях ставится оценка “5”, при четырех – “4” и т.д.

Важно, чтобы формат (размер) теста и “ключа” были одинаковы.

Задание	А	Б	В

3.
Работа по группам .

Класс рассаживается по группам, выбирается звеньевой, который организует работу каждого члена группы с другим ее участником. Третья группа, состоящая из самых успешных учащихся класса, получает задания повышенной сложности, которые включают элемент нового – решение уравнений способом разложения на множители.

Группа 1.

Разложите на множители:
1) 11m²-11=
2) a-3b+a²-9b²=
3) (3b-5)²-49=
4) (a+7)³-8=

Группа 2.

Разложите на множители:
1)(a+7)³-8=
2)a⁶-4a³b+4b²=
3)a³+8-a²-2a=
4)x²+2xy+y²-49=

Группа 3.

Разложите на множители:

а)a²-9b
2+6bc-c²=

b)2x²+12xy+18y²=

2. Разложите трехчлен на множители, выделив предварительно квадрат двучлена:
x²+4x-5=

Решите уравнение:

а)49x²-42x+9=0; б)x²+6x-7=0; в)x⁴+4y⁴=0

4. Объяснение применения разложения на множители при решении уравнений
осуществляется учащимися 3-ей группы.

Они показывают решение уравнений №3. (Обратить внимание на оформление).

а)49x² — 42x+9=0

(7х – 3)²=0

7х – 3=0

Ответ:

б)x²+6x-7=0

(х+3 )² – 16=0

(х+3 – 4)(х+3+4)=0

(х – 1)(х+7)=0

х – 1=0 или х+7=0

х=1 х=-7

Ответ: -7; 1

в)x⁴+4y⁴=0

x⁴0 при любом значении х,

4y⁴0 при любом значении у, т. о. сумма будет равняться нулю, тогда и только тогда, когда х=у=0.

5. Закрепление

Происходит при решении аналогичных, но более легких уравнений №1006 учебника, учениками первой и второй группы.

6. Домашнее задание

№998 и №1002 – разложение на множители;
№ 1002 – уравнение;
№1009 – задача.

Номера в пунктах 5 и 6 предложены из учебника Макарычева Ю.Н. “Алгебра 7”.

Метод разложения на множители примеры. Как разложить на множители алгебраическое уравнение

Что такое разложение на множители? Это способ превращения неудобного и сложного примера в простой и симпатичный.) Оч-ч-чень мощный приём! Встречается на каждом шагу и в элементарной математике, и в высшей.

Подобные превращения на математическом языке называются тождественными преобразованиями выражений. Кто не в теме — прогуляйтесь по ссылке. Там совсем немного, просто и полезно.) Смысл любого тождественного преобразования — это запись выражения в другом виде с сохранением его сути.

Смысл разложения на множители предельно прост и понятен. Прямо из самого названия. Можно забыть (или не знать), что такое множитель, но то, что это слово происходит от слова «умножить» сообразить-то можно?) Разложить на множители означает: представить выражение в виде умножения чего-то на чего-то. Да простят мне математика и русский язык…) И всё.

Например, надо разложить число 12. Можно смело записать:

Вот мы и представили число 12 в виде умножения 3 на 4. Прошу заметить, что циферки справа (3 и 4) совсем другие, чем слева (1 и 2). Но мы прекрасно понимаем, что 12 и 3·4 одно и то же. Суть числа 12 от преобразования не изменилась.

А можно разложить 12 по-другому? Легко!

12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=……..

Вариантов разложения — бесконечное количество.

Разложение чисел на множители — штука полезная. Очень помогает, например, при действиях с корнями. Но разложение на множители алгебраических выражений вещь не то, что полезная, она — необходимая! Чисто для примера:

Упростить:

Кто не умеете раскладывать выражение на множители, отдыхает в сторонке. Кто умеет — упрощает и получает:

Эффект потрясающий, правда?) Кстати, решение достаточно простое. Ниже сами увидите. Или, например, такое задание:

Решить уравнение:

х 5 — x 4 = 0

Решается в уме, между прочим. С помощью разложения на множители. Ниже мы решим этот пример. Ответ: x 1 = 0; x 2 = 1 .

Или, то же самое, но для старшеньких):

Решить уравнение:

На этих примерах я показал основное назначение разложения на множители: упрощение дробных выражений и решение некоторых типов уравнений. Рекомендую запомнить практическое правило:

Если перед нами страшное дробное выражение, можно попробовать разложить на множители числитель и знаменатель. Очень часто дробь сокращается и упрощается.

Если перед нами уравнение, где справа — ноль, а слева — не пойми что, можно попробовать разложить левую часть на множители. Иногда помогает).

Основные способы разложения на множители.

Вот они, самые популярные способы:

4. Разложение квадратного трёхчлена.

Эти способы надо запомнить. Именно в таком порядке. Сложные примеры проверяются на все возможные способы разложения. И лучше уж проверять по порядочку, чтобы не запутаться… Вот по порядочку и начнём.)

1. Вынесение общего множителя за скобки.

Простой и надёжный способ. От него плохо не бывает! Бывает либо хорошо, либо никак.) Поэтому он и стоит первым. Разбираемся.

Все знают (я верю!)) правило:

a(b+c) = ab+ac

Или, в более общем виде:

a(b+c+d+…..) = ab+ac+ad+….

Все равенства работают как слева направо, так и наоборот, справа налево. Можно записать:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+ad+. … = a(b+c+d+…..)

Вот и вся суть вынесения общего множителя за скобки.

В левой части а — общий множитель для всех слагаемых. Умножается на всё, что есть). Справа это самое а находится уже за скобками.

Практическое применение способа рассмотрим на примерах. Сначала вариант простой, даже примитивный.) Но на этом варианте я отмечу (зелёным цветом) очень важные моменты для любого разложения на множители.

Разложить на множители:

ах+9х

Какой общий множитель сидит в обоих слагаемых? Икс, разумеется! Его и будем выносить за скобки. Делаем так. Сразу пишем икс за скобками:

ах+9х=х(

А в скобках пишем результат деления каждого слагаемого на этот самый икс. По порядочку:

Вот и всё. Конечно, так подробно расписывать не нужно, Это в уме делается. Но понимать, что к чему, желательно). Фиксируем в памяти:

Пишем общий множитель за скобками. В скобках записываем результаты деления всех слагаемых на этот самый общий множитель. По порядочку.

Вот мы и разложили выражение ах+9х на множители. Превратили его в умножение икса на (а+9). Замечу, что в исходном выражении тоже было умножение, даже два: а·х и 9·х. Но оно не было разложено на множители! Потому, что кроме умножения, в этом выражении было ещё и сложение, знак «+»! А в выражении х(а+9) кроме умножения ничего нет!

Как так!? — слышу возмущённый глас народа — А в скобках!?)

Да, внутри скобок есть сложение. Но фишка в том, что пока скобки не раскрыты, мы рассматриваем их как одну букву. И все действия со скобками делаем целиком, как с одной буквой. В этом смысле в выражении х(а+9) кроме умножения ничего нет. В этом вся суть разложения на множители.

Кстати, можно ли как-то проверить, всё ли правильно мы сделали? Запросто! Достаточно обратно умножить то, что вынесли (икс) на скобки и посмотреть — получилось ли исходное выражение? Если получилось, всё тип-топ!)

х(а+9)=ах+9х

Получилось. )

В этом примитивном примере проблем нет. Но если слагаемых несколько, да ещё с разными знаками… Короче, каждый третий ученик косячит). Посему:

При необходимости проверяем разложение на множители обратным умножением.

Разложить на множители:

3ах+9х

Ищем общий множитель. Ну, с иксом всё ясно, его можно вынести. А есть ли ещё общий множитель? Да! Это тройка. Можно же записать выражение вот так:

3ах+3·3х

Здесь сразу видно, что общий множителем будет 3х . Вот его и выносим:

3ах+3·3х=3х(а+3)

Разложили.

А что будет, если вынести только х? Да ничего особенного:

3ах+9х=х(3а+9)

Это тоже будет разложение на множители. Но в этом увлекательном процессе принято раскладывать всё до упора, пока есть возможность. Здесь в скобках есть возможность вынести тройку. Получится:

3ах+9х=х(3а+9)=3х(а+3)

То же самое, только с одним лишним действием. ) Запоминаем:

При вынесении общего множителя за скобки, стараемся вынести максимальный общий множитель.

Продолжаем развлечение?)

Разложить на множители выражение:

3ах+9х-8а-24

Что будем выносить? Тройку, икс? Не-е-е… Нельзя. Напоминаю, выносить можно только общий множитель, который есть во всех слагаемых выражения. На то он и общий. Здесь такого множителя нету… Что, можно не раскладывать!? Ну да, обрадовались, как же… Знакомьтесь:

2. Группировка.

Собственно, группировку трудно назвать самостоятельным способом разложения на множители. Это, скорее, способ выкрутиться в сложном примере.) Надо сгруппировать слагаемые так, чтобы всё получилось. Это только на примере показать можно. Итак, перед нами выражение:

3ах+9х-8а-24

Видно, что какие-то общие буквы и числа имеются. Но… Общего множителя, чтобы был во всех слагаемых — нет. Не падаем духом и разбиваем выражение на кусочки. Группируем. Так, чтобы в каждом кусочке был общий множитель, было чего вынести. Как разбиваем? Да просто ставим скобки.

Напомню, что скобки можно ставить где угодно и как угодно. Лишь бы суть примера не менялась. Например, можно так:

3ах+9х-8а-24 =(3ах+9х)-(8а+24 )

Прошу обратить внимание на вторые скобки! Перед ними стоит знак минус, а 8а и 24 стали положительными! Если, для проверки, обратно раскрыть скобки, знаки поменяются, и мы получим исходное выражение. Т.е. суть выражения от скобок не изменилась.

Но если вы просто воткнули скобки, не учитывая смену знака, например, вот так:

3ах+9х-8а-24 =(3ах+9х)-(8а-24 )

это будет ошибкой. Справа — уже другое выражение. Раскройте скобки и всё станет видно. Дальше можно не решать, да…)

Но возвращаемся к разложению на множители. Смотрим на первые скобки (3ах+9х) и соображаем, можно ли чего вынести? Ну, этот пример мы выше решали, можно вынести 3х:

(3ах+9х)=3х(а+3)

Изучаем вторые скобки, там можно вынести восьмёрку:

(8а+24)=8(а+3)

Всё наше выражение получится:

(3ах+9х)-(8а+24)=3х(а+3)-8(а+3)

Разложили на множители? Нет. В результате разложения должно получиться только умножение, а у нас знак минус всё портит. Но… В обоих слагаемых есть общий множитель! Это (а+3) . Я не зря говорил, что скобки целиком — это, как бы, одна буква. Значит, эти скобки можно вынести за скобки. Да, именно так и звучит.)

Делаем, как было рассказано выше. Пишем общий множитель (а+3) , во вторых скобках записываем результаты деления слагаемых на (а+3) :

3х(а+3)-8(а+3)=(а+3)(3х-8)

Всё! Справа кроме умножения ничего нет! Значит, разложение на множители завершено успешно!) Вот оно:

3ах+9х-8а-24=(а+3)(3х-8)

Повторим кратенько суть группировки.

Если в выражении нет общего множителя для всех слагаемых, разбиваем выражение скобками так, чтобы внутри скобок общий множитель был. Выносим его и смотрим, что получилось. Если повезло, и в скобках остались совершенно одинаковые выражения, выносим эти скобки за скобки.

Добавлю, что группировка — процесс творческий). Не всегда с первого раза получается. Ничего страшного. Иногда приходится менять слагаемые местами, рассматривать разные варианты группировки, пока не найдётся удачный. Главное здесь — не падать духом!)

Примеры.

Сейчас, обогатившись знаниями, можно и хитрые примеры порешать.) Была в начале урока тройка таких…

Упростить:

В сущности, этот пример мы уже решили. Незаметно для себя.) Напоминаю: если нам дана страшная дробь, пробуем разложить числитель и знаменатель на множители. Других вариантов упрощения просто нет.

Ну, знаменатель здесь не раскладывается, а числитель… Числитель мы уже разложили по ходу урока! Вот так:

3ах+9х-8а-24=(а+3)(3х-8)

Пишем результат разложения в числитель дроби:

По правилу сокращения дробей (основное свойство дроби), мы можем разделить (одновременно!) числитель и знаменатель на одно и то же число, или выражение. Дробь от этого не меняется. Вот и делим числитель и знаменатель на выражение (3х-8) . И там и там получим единички. Окончательный результат упрощения:

Особо подчеркну: сокращение дроби возможно тогда и только тогда, когда в числителе и знаменателе кроме умножения выражений ничего нет. Именно потому превращение суммы (разности) в умножение так важно для упрощения. Конечно, если выражения разные, то и не сократится ничего. Бывет. Но разложение на множители даёт шанс. Этого шанса без разложения — просто нет.

Пример с уравнением:

Решить уравнение:

х 5 — x 4 = 0

Выносим общий множитель х 4 за скобки. Получаем:

х 4 (x-1)=0

Соображаем, что произведение множителей равно нулю тогда и только тогда, когда какой-нибудь из них равен нулю. Если сомневаетесь, найдите мне парочку ненулевых чисел, которые при умножении ноль дадут.) Вот и пишем, сначала первый множитель:

При таком равенстве второй множитель нас не волнует. Любой может быть, всё равно в итоге ноль получится. А какое число в четвёртой степени ноль даст? Только ноль! И никакое другое… Стало быть:

С первым множителем разобрались, один корень нашли. Разбираемся со вторым множителем. Теперь нас не волнует уже первый множитель.):

Вот и нашли решение: x 1 = 0; x 2 = 1 . Любой из этих корней подходит к нашему уравнению.

Очень важное замечание. Обратите внимание, мы решали уравнение по кусочкам! Каждый множитель приравнивали к нулю, не обращая внимания на остальные множители. Кстати, если в подобном уравнении будет не два множителя, как у нас, а три, пять, сколько угодно — решать будем точно так же. По кусочкам. Например:

(х-1)(х+5)(х-3)(х+2)=0

Тот, кто раскроет скобки, перемножит всё, тот навсегда зависнет на этом уравнении.) Правильный ученик сразу увидит, что слева кроме умножения ничего нет, справа — ноль. И начнёт (в уме!) приравнивать к нулю все скобочки по порядочку. И получит (за 10 секунд!) верное решение: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.

Здорово, правда?) Такое элегантное решение возможно, если левая часть уравнения разложена на множители. Намёк понятен?)

Ну и, последний пример, для старшеньких):

Решить уравнение:

Чем-то он похож на предыдущий, не находите?) Конечно. Самое время вспомнить, что в алгебре седьмого класса под буквами могут скрываться и синусы, и логарифмы, и всё, что угодно! Разложение на множители работает во всей математике.

Выносим общий множитель lg 4 x за скобки. Получаем:

lg 4 x=0

Это один корень. Разбираемся со вторым множителем.

Вот и окончательный ответ: x 1 = 1; x 2 = 10 .

Надеюсь, вы осознали всю мощь разложения на множители в упрощении дробей и решении уравнений.)

В этом уроке мы познакомились с вынесением общего множителя и группировкой. Остаётся разобраться с формулами сокращённого умножения и квадратным трёхчленом.

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас. )

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Разложение многочлена на множители. Часть 1

Разложение на множители — это универсальный прием, помогающий решить сложные уравнения и неравенства. Первая мысль, которая должна прийти в голову при решении уравнений и неравенств, в которых в правой части стоит ноль — попробовать разложить левую часть на множители.

Перечислим основные способы разложения многочлена на множители :

вынесение общего множителя за скобку
использование формул сокращенного умножения
по формуле разложения на множители квадратного трехчлена
способ группировки
деление многочлена на двучлен
метод неопределенных коэффициентов

В этой статье мы остановимся подробно на первых трех способах, остальные рассмотрим в следующих статьях.

1. Вынесение общего множителя за скобку.

Чтобы вынести за скобку общий множитель надо сначала его найти. Коэффициент общего множителя равен наибольшему общему делителю всех коэффициентов.

Буквенная часть общего множителя равна произведению выражений, входящих в состав каждого слагаемого с наименьшим показателем степени.

Схема вынесения общего множителя выглядит так:

Внимание!
Количество членов в скобках равно количеству слагаемых в исходном выражении. Если одно из слагаемых совпадает с общим множителем, то при его делении на общий множитель, получаем единицу.

Пример 1.

Разложить на множители многочлен:

Вынесем за скобки общий множитель. Для этого сначала его найдем.

1.Находим наибольший общий делитель всех коэффициентов многочлена, т.е. чисел 20, 35 и 15. Он равен 5.

2. Устанавливаем, что переменная содержится во всех слагаемых, причем наименьший из её показателей степени равен 2. Переменная содержится во всех слагаемых, и наименьший из её показателей степени равен 3.

Переменная содержится только во втором слагаемом, поэтому она не входит в состав общего множителя.

Итак, общий множитель равен

3. Выносим за скобки множитель пользуясь схемой, приведенной выше:

Пример 2. Решить уравнение:

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители. Вынесем за скобки множитель :

Итак, получили уравнение

Приравняем каждый множитель к нулю:

Получаем — корень первого уравнения.

Корни :

Ответ: -1, 2, 4

2. Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения.

Если количество слагаемых в многочлене, который мы собираемся разложить на множители меньше или равно трех, то мы пытаемся применить формулы сокращенного умножения.

1. Если многочлен представляет собой разность двух слагаемых , то пытаемся применить формулу разности квадратов :

или формулу разности кубов :

Здесь буквы и обозначают число или алгебраическое выражение.

2. Если многочлен представляет собой сумму двух слагаемых, то, возможно, его можно разложить на множители с помощью формулы суммы кубов :

3. Если многочлен состоит из трех слагаемых, то пытаемся применить формулу квадрата суммы :

или формулу квадрата разности :

Или пытаемся разложить на множители по формуле разложения на множители квадратного трехчлена :

Здесь и — корни квадратного уравнения

Пример 3. Разложить на множители выражение:

Решение. Перед нами сумма двух слагаемых. Попытаемся применить формулу суммы кубов. Для этого нужно сначала каждое слагаемое представить в виде куба какого-то выражения, а затем применить формулу для суммы кубов:

Пример 4. Разложить на множители выражение:

Рещение. Перед нами разность квадратов двух выражений. Первое выражение: , второе выражение:

Применим формулу для разности квадратов:

Раскроем скобки и приведем подобные члены, получим:

Частично использовать разложение на множители разность степеней мы уже умеем — при изучении темы «Разность квадратов» и «Разность кубов» мы научились представлять как произведение разность выражений, которые можно представить как квадраты или как кубы некоторых выражений или чисел. 5\]

Используем формулу разности степеней

Рисунок 1.

Очень часто числитель и знаменатель дроби представляют собой алгебраические выражения, которые сначала нужно разложить на множители, а потом, обнаружив среди них одинаковые, разделить на них и числитель, и знаменатель, то есть сократить дробь. Заданиям разложить многочлен на множители посвящена целая глава учебника по алгебре в 7-м классе. Разложение на множители можно осуществить 3 способами , а также комбинацией этих способов.

1. Применение формул сокращенного умножения

Как известно, чтобы умножить многочлен на многочлен , нужно каждое слагаемое одного многочлена умножить на каждое слагаемое другого многочлена и полученные произведения сложить. Есть, как минимум, 7 (семь) часто встречающихся случаев умножения многочленов, которые вошли в понятие . Например,

Таблица 1. Разложение на множители 1-м способом

2. Вынесение общего множителя за скобку

Этот способ основан на применении распределительного закона умножения. Например,

Каждое слагаемое исходного выражения мы делим на множитель, который выносим, и получаем при этом выражение в скобках (то есть в скобках остаётся результат деления того, что было, на то, что выносим). Прежде всего нужно правильно определить множитель , который надо вынести за скобку.

Общим множителем может быть и многочлен в скобках:

При выполнении задания «разложите на множители» надо быть особенно внимательным со знаками при вынесении общего множителя за скобки. Чтобы поменять знак у каждого слагаемого в скобке (b — a) , вынесем за скобку общий множитель -1 , при этом каждое слагаемое в скобке разделится на -1: (b — a) = — (a — b) .

В том случае если выражение в скобках возводится в квадрат (или в любую чётную степень), то числа внутри скобок можно менять местами совершенно свободно, так как вынесенные за скобки минусы при умножении всё равно превратятся в плюс: (b — a) 2 = (a — b) 2 , (b — a) 4 = (a — b) 4 и так далее…

3. Способ группировки

Иногда общий множитель имеется не у всех слагаемых в выражении, а только у некоторых. Тогда можно попробовать сгруппировать слагаемые в скобки так, чтобы из каждой можно было какой-то множитель вынести. Способ группировки — это двойное вынесение общих множителей за скобки.

4. Использование сразу нескольких способов

Иногда нужно применить не один, а несколько способов разложения многочлена на множители сразу.

Это конспект по теме «Разложение на множители» . Выберите дальнейшие действия:

Перейти к следующему конспекту:

Для того, чтобы разложить на множители, необходимо упрощать выражения. Это необходимо для того, чтобы можно было в дальнейшем сократить. Разложение многочлена имеет смысл тогда, когда его степень не ниже второй. Многочлен с первой степенью называют линейным.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Статья раскроет все понятия разложения, теоретические основы и способы разложений многочлена на множители.

Теория

Теорема 1

Когда любой многочлен со степенью n , имеющие вид P n x = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 , представляют в виде произведения с постоянным множителем со старшей степенью a n и n линейных множителей (x — x i) , i = 1 , 2 , … , n , тогда P n (x) = a n (x — x n) (x — x n — 1) · . . . · (x — x 1) , где x i , i = 1 , 2 , … , n – это и есть корни многочлена.

Теорема предназначена для корней комплексного типа x i , i = 1 , 2 , … , n и для комплексных коэффициентов a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n . Это и есть основа любого разложения.

Когда коэффициенты вида a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n являются действительными числами, тогда комплексные корни, которые будут встречаться сопряженными парами. Например, корни x 1 и x 2 , относящиеся к многочлену вида P n x = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 считаются комплексно сопряженным, тогда другие корни являются действительными, отсюда получаем, что многочлен примет вид P n (x) = a n (x — x n) (x — x n — 1) · . . . · (x — x 3) x 2 + p x + q , где x 2 + p x + q = (x — x 1) (x — x 2) .

Замечание

Корни многочлена могут повторяться. Рассмотрим доказательство теоремы алгебры, следствия из теоремы Безу.

Основная теорема алгебры

Теорема 2

Любой многочлен со степенью n имеет как минимум один корень.

Теорема Безу

После того, как произвели деление многочлена вида P n x = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 на (x — s) , тогда получаем остаток, который равен многочлену в точке s , тогда получим

P n x = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x — s) · Q n — 1 (x) + P n (s) , где Q n — 1 (x) является многочленом со степенью n — 1 .

Следствие из теоремы Безу

Когда корень многочлена P n (x) считается s , тогда P n x = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x — s) · Q n — 1 (x) . Данное следствие является достаточным при употреблении для описания решения.

Разложение на множители квадратного трехчлена

Квадратный трехчлен вида a x 2 + b x + c можно разложить на линейные множители. тогда получим, что a x 2 + b x + c = a (x — x 1) (x — x 2) , где x 1 и x 2 — это корни (комплексные или действительные).

Отсюда видно, что само разложение сводится к решению квадратного уравнения впоследствии.

Пример 1

Произвести разложение квадратного трехчлена на множители.

Решение

Необходимо найти корни уравнения 4 x 2 — 5 x + 1 = 0 . Для этого необходимо найти значение дискриминанта по формуле, тогда получим D = (- 5) 2 — 4 · 4 · 1 = 9 . Отсюда имеем, что

x 1 = 5 — 9 2 · 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 · 4 = 1

Отсюда получаем, что 4 x 2 — 5 x + 1 = 4 x — 1 4 x — 1 .

Для выполнения проверки нужно раскрыть скобки. Тогда получим выражение вида:

4 x — 1 4 x — 1 = 4 x 2 — x — 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 — 5 x + 1

После проверки приходим к исходному выражению. То есть можно сделать вывод, что разложение выполнено верно.

Пример 2

Произвести разложение на множители квадратный трехчлен вида 3 x 2 — 7 x — 11 .

Решение

Получим, что необходимо вычислить получившееся квадратное уравнение вида 3 x 2 — 7 x — 11 = 0 .

Чтобы найти корни, надо определить значение дискриминанта. Получим, что

3 x 2 — 7 x — 11 = 0 D = (- 7) 2 — 4 · 3 · (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 · 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 — D 2 · 3 = 7 — 181 6

Отсюда получаем, что 3 x 2 — 7 x — 11 = 3 x — 7 + 181 6 x — 7 — 181 6 .

Пример 3

Произвести разложение многочлена 2 x 2 + 1 на множители.

Решение

Теперь нужно решить квадратное уравнение 2 x 2 + 1 = 0 и найти его корни. Получим, что

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = — 1 2 x 1 = — 1 2 = 1 2 · i x 2 = — 1 2 = — 1 2 · i

Эти корни называют комплексно сопряженными, значит само разложение можно изобразить как 2 x 2 + 1 = 2 x — 1 2 · i x + 1 2 · i .

Пример 4

Произвести разложение квадратного трехчлена x 2 + 1 3 x + 1 .

Решение

Для начала необходимо решить квадратное уравнение вида x 2 + 1 3 x + 1 = 0 и найти его корни.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 — 4 · 1 · 1 = — 35 9 x 1 = — 1 3 + D 2 · 1 = — 1 3 + 35 3 · i 2 = — 1 + 35 · i 6 = — 1 6 + 35 6 · i x 2 = — 1 3 — D 2 · 1 = — 1 3 — 35 3 · i 2 = — 1 — 35 · i 6 = — 1 6 — 35 6 · i

Получив корни, запишем

x 2 + 1 3 x + 1 = x — — 1 6 + 35 6 · i x — — 1 6 — 35 6 · i = = x + 1 6 — 35 6 · i x + 1 6 + 35 6 · i

Замечание

Если значение дискриминанта отрицательное, то многочлены останутся многочленами второго порядка. Отсюда следует, что раскладывать их не будем на линейные множители.

Способы разложения на множители многочлена степени выше второй

При разложении предполагается универсальный метод. Большинство всех случаев основано на следствии из теоремы Безу. Для этого необходимо подбирать значение корня x 1 и понизить его степень при помощи деления на многочлена на 1 делением на (x — x 1) . Полученный многочлен нуждается в нахождении корня x 2 , причем процесс поиска цикличен до тех пор, пока не получим полное разложение.

Если корень не нашли, тогда применяются другие способы разложения на множители: группировка, дополнительные слагаемые. Данная тема полагает решение уравнений с высшими степенями и целыми коэффициентами.

Вынесение общего множителя за скобки

Рассмотрим случай, когда свободный член равняется нулю, тогда вид многочлена становится как P n (x) = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x .

Видно, что корень такого многочлена будет равняться x 1 = 0 , тогда можно представить многочлен в виде выражения P n (x) = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x = = x (a n x n — 1 + a n — 1 x n — 2 + . . . + a 1)

Данный способ считается вынесением общего множителя за скобки.

Пример 5

Выполнить разложение многочлена третьей степени 4 x 3 + 8 x 2 — x на множители.

Решение

Видим, что x 1 = 0 — это корень заданного многочлена, тогда можно произвести вынесение х за скобки всего выражения. Получаем:

4 x 3 + 8 x 2 — x = x (4 x 2 + 8 x — 1)

Переходим к нахождению корней квадратного трехчлена 4 x 2 + 8 x — 1 . Найдем дискриминант и корни:

D = 8 2 — 4 · 4 · (- 1) = 80 x 1 = — 8 + D 2 · 4 = — 1 + 5 2 x 2 = — 8 — D 2 · 4 = — 1 — 5 2

Тогда следует, что

4 x 3 + 8 x 2 — x = x 4 x 2 + 8 x — 1 = = 4 x x — — 1 + 5 2 x — — 1 — 5 2 = = 4 x x + 1 — 5 2 x + 1 + 5 2

Для начала примем за рассмотрение способ разложения, содержащий целые коэффициенты вида P n (x) = x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 , где коэффициента при старшей степени равняется 1 .

Когда многочлен имеет целые корни, тогда их считают делителями свободного члена.

Пример 6

Произвести разложение выражения f (x) = x 4 + 3 x 3 — x 2 — 9 x — 18 .

Решение

Рассмотрим, имеются ли целые корни. Необходимо выписать делители числа — 18 . Получим, что ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . Отсюда следует, что данный многочлен имеет целые корни. Можно провести проверку по схеме Горнера. Она очень удобная и позволяет быстро получить коэффициенты разложения многочлена:

Отсюда следует, что х = 2 и х = — 3 – это корни исходного многочлена, который можно представить как произведение вида:

f (x) = x 4 + 3 x 3 — x 2 — 9 x — 18 = (x — 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x — 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Переходим к разложению квадратного трехчлена вида x 2 + 2 x + 3 .

Так как дискриминант получаем отрицательный, значит, действительных корней нет.

Ответ: f (x) = x 4 + 3 x 3 — x 2 — 9 x — 18 = (x — 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Замечание

Допускается использование подбором корня и деление многочлена на многочлен вместо схемы Горнера. Перейдем к рассмотрению разложения многочлена, содержащим целые коэффициенты вида P n (x) = x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 , старший из которых на равняется единице.

Этот случай имеет место быть для дробно-рациональных дробей.

Пример 7

Произвести разложение на множители f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Решение

Необходимо выполнить замену переменной y = 2 x , следует переходить к многочлену с коэффициентами равными 1 при старшей степени. Необходимо начать с умножения выражения на 4 . Получаем, что

4 f (x) = 2 3 · x 3 + 19 · 2 2 · x 2 + 82 · 2 · x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Когда получившаяся функция вида g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 имеет целые корни, тогда их нахождение среди делителей свободного члена. Запись примет вид:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60

Перейдем к вычислению функции g (y) в этих точка для того, чтобы получить в результате ноль. Получаем, что

g (1) = 1 3 + 19 · 1 2 + 82 · 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 · (- 1) 2 + 82 · (- 1) + 60 = — 4 g (2) = 2 3 + 19 · 2 2 + 82 · 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 · (- 2) 2 + 82 · (- 2) + 60 = — 36 g (3) = 3 3 + 19 · 3 2 + 82 · 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 · (- 3) 2 + 82 · (- 3) + 60 = — 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = — 28 g (5) = 5 3 + 19 · 5 2 + 82 · 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 · (- 5) 2 + 82 · (- 5) + 60

Получаем, что у = — 5 – это корень уравнения вида y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 , значит, x = y 2 = — 5 2 — это корень исходной функции.

Пример 8

Необходимо произвести деление столбиком 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 на x + 5 2 .

Решение

Запишем и получим:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Проверка делителей займет много времени, поэтому выгодней предпринять разложение на множители полученного квадратного трехчлена вида x 2 + 7 x + 3 . Приравниванием к нулю и находим дискриминант.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 — 4 · 1 · 3 = 37 x 1 = — 7 + 37 2 x 2 = — 7 — 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 — 37 2 x + 7 2 + 37 2

Отсюда следует, что

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 — 37 2 x + 7 2 + 37 2

Искусственные приемы при разложении многочлена на множители

Рациональные корни не присущи всем многочленам. Для этого необходимо пользоваться специальными способами для нахождения множителей. Но не все многочлены можно разложить или представить в виде произведения.

Способ группировки

Бывают случаи, когда можно сгруппировывать слагаемые многочлена для нахождения общего множителя и вынесения его за скобки.

Пример 9

Произвести разложение многочлена x 4 + 4 x 3 — x 2 — 8 x — 2 на множители.

Решение

Потому как коэффициенты – целые числа, тогда корни предположительно тоже могут быть целыми. Для проверки возьмем значения 1 , — 1 , 2 и — 2 для того, чтобы вычислить значение многочлена в этих точках. Получаем, что

1 4 + 4 · 1 3 — 1 2 — 8 · 1 — 2 = — 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 · (- 1) 3 — (- 1) 2 — 8 · (- 1) — 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 · 2 3 — 2 2 — 8 · 2 — 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 · (- 2) 3 — (- 2) 2 — 8 · (- 2) — 2 = — 6 ≠ 0

Отсюда видно, что корней нет, необходимо использовать другой способ разложения и решения.

Необходимо провести группировку:

x 4 + 4 x 3 — x 2 — 8 x — 2 = x 4 + 4 x 3 — 2 x 2 + x 2 — 8 x — 2 = = (x 4 — 2 x 2) + (4 x 3 — 8 x) + x 2 — 2 = = x 2 (x 2 — 2) + 4 x (x 2 — 2) + x 2 — 2 = = (x 2 — 2) (x 2 + 4 x + 1)

После группировки исходного многочлена необходимо представить его как произведение двух квадратных трехчленов. Для этого нам понадобится произвести разложение на множители. получаем, что

x 2 — 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = — 2 ⇒ x 2 — 2 = x — 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 — 4 · 1 · 1 = 12 x 1 = — 4 — D 2 · 1 = — 2 — 3 x 2 = — 4 — D 2 · 1 = — 2 — 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 — 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 — x 2 — 8 x — 2 = x 2 — 2 x 2 + 4 x + 1 = = x — 2 x + 2 x + 2 — 3 x + 2 + 3

Замечание

Простота группировки не говорит о том, что выбрать слагаемы достаточно легко. Определенного способа решения не существует, поэтому необходимо пользоваться специальными теоремами и правилами.

Пример 10

Произвести разложение на множители многочлен x 4 + 3 x 3 — x 2 — 4 x + 2 .

Решение

Заданный многочлен не имеет целых корней. Следует произвести группировку слагаемых. Получаем, что

x 4 + 3 x 3 — x 2 — 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 — 2 x) — x 2 — 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) — 2 (x 2 + x) — (x 2 + 2 x — 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x — 2) — (x 2 + 2 x — 2) = (x 2 + x — 1) (x 2 + 2 x — 2)

После разложения на множители получим, что

x 4 + 3 x 3 — x 2 — 4 x + 2 = x 2 + x — 1 x 2 + 2 x — 2 = = x + 1 + 3 x + 1 — 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 — 5 2

Использование формул сокращенного умножения и бинома Ньютона для разложения многочлена на множители

Внешний вид зачастую не всегда дает понять, каким способом необходимо воспользоваться при разложении. После того, как были произведены преобразования, можно выстроить строчку, состоящую из треугольника Паскаля, иначе их называют биномом Ньютона.

Пример 11

Произвести разложение многочлена x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x — 2 на множители.

Решение

Необходимо выполнить преобразование выражения к виду

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x — 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 — 3

На последовательность коэффициентов суммы в скобках указывает выражение x + 1 4 .

Значит, имеем x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x — 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 — 3 = x + 1 4 — 3 .

После применения разности квадратов, получим

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x — 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 — 3 = x + 1 4 — 3 = = x + 1 4 — 3 = x + 1 2 — 3 x + 1 2 + 3

Рассмотрим выражение, которое находится во второй скобке. Понятно, что там коней нет, поэтому следует применить формулу разности квадратов еще раз. Получаем выражение вида

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x — 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 — 3 = x + 1 4 — 3 = = x + 1 4 — 3 = x + 1 2 — 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 — 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Пример 12

Произвести разложение на множители x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Решение

Займемся преобразованием выражения. Получаем, что

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 · 2 · x 2 + 3 · 2 2 · x + 2 3 — 2 = (x + 2) 3 — 2

Необходимо применить формулу сокращенного умножения разности кубов. Получаем:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 — 2 = = x + 2 — 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 — 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Способ замены переменной при разложении многочлена на множители

При замене переменной производится понижение степени и разложение многочлена на множители.

Пример 13

Произвести разложение на множители многочлена вида x 6 + 5 x 3 + 6 .

Решение

По условию видно, что необходимо произвести замену y = x 3 . Получаем:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Корни полученного квадратного уравнения равны y = — 2 и y = — 3 , тогда

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Необходимо применить формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получим выражения вида:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 — 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 — 3 3 x + 9 3

То есть получили искомое разложение.

Рассмотренные выше случаи помогут в рассмотрении и разложении многочлена на множители разными способами.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

2+12z}\\ &= \frac{(z+6)(z+11)}{3(z-11)(z+11)} \times \frac{24z(z-11)}{2z(z+6)}\\ &= \frac{1}{3} \times \frac{24}{2}\\ &= 4 \конец{выравнивание*}

$\dfrac{3a + 9}{14} \div \dfrac{7a + 21}{a + 3}$

\начать{выравнивать*} \frac{3a + 9}{14} \div \frac{7a + 21}{a + 3} & = \frac{3(a + 3)}{14} \div \frac{7(a + 3)}{а + 3}\\ & = \frac{3(a + 3)}{14} \div 7\\ & = \frac{3(a + 3)}{14} \times \frac{1}{7}\\ &= \фракция{3(а + 3)}{98} \конец{выравнивание*}

$\dfrac{a^{2} — 5a}{2a + 10} \times \dfrac{4a}{3a + 15}$

\начать{выравнивать*} \frac{{a}^{2} — 5a}{2a + 10} \times \frac{4a}{3a + 15} & = \frac{a(a — 5)}{2(a + 5)} \times \frac{4a}{3(a + 5)}\\ & = \frac{[a(a — 5)][4a]}{[2(a + 5)][3(a + 5)]} \\ & = \ гидроразрыва {4a ^ 2 (а — 5)} {6 (а + 5) ^ 2} \конец{выравнивание*}

Обратите внимание на ограничение: $a \ne -5$. 2} \конец{выравнивание*}

Обратите внимание на ограничение: $p \ne 0$.

$\dfrac{24a — 8}{12} \div \dfrac{9a — 3}{6}$

\начать{выравнивать*} \frac{24a — 8}{12} \div \frac{9a — 3}{6} & = \frac{8(3a — 1)}{12} \div \frac{3(a — 1)}{6}\\ & = \frac{2(3a — 1)}{3} \times \frac{2}{a — 1}\\ & = \frac{[2(3x — 1)][2]}{[3][a — 1]} \\ & = \ гидроразрыва {4 (3а — 1)} {3 (а — 1)} \конец{выравнивание*}

Обратите внимание на ограничение: $a \ne 1$.{2} + 2a}{5} \div \frac{2a + 4}{20} & = \frac{a(a + 2)}{5} \div \frac{2(a + 2)}{20}\\ & = \frac{a(a + 2)}{5} \times \frac{10}{a + 2}\\ & = \frac{[a(a + 2)][10]}{[5][a + 2]} \\ & = \frac{10a}{5} \\ & = 2а \конец{выравнивание*}

$\dfrac{p^{2} + pq}{7p} \times \dfrac{21q}{8p + 8q}$

\начать{выравнивать*} \frac{p^{2} + pq}{7p} \times \frac{21q}{8p + 8q} & = \frac{p(p + q)}{7p} \times \frac{21q}{8(p + q)}\\ & = \frac{[p(p + q)][21q]}{[7p][8(p + q)]} \\ & = \frac{21pq}{56p} \\ & = \ гидроразрыва {3q} {8} \конец{выравнивание*}

$\dfrac{5ab — 15b}{4a — 12} \div \dfrac{6b^{2}}{a + b}$

\начать{выравнивать*} \ frac {5ab — 15b} {4a — 12} \ div \ frac {6b ^ {2}} {a + b} & = \ frac {5b (a — 3)} {4 (a — 3)} \ div \frac{6b^{2}}{a + b}\\ & = \frac{5b}{4} \times \frac{a + b}{6b^{2}} \\ & = \frac{[5b][a + b]}{[4][6b^{2}]} \\ & = \frac{30b^{3}}{4(a + b)} \конец{выравнивание*}

Обратите внимание на ограничение: $a \ne -b$. 2} \конец{выравнивание*}

Обратите внимание на ограничение: $p \ne 0$.

Извините! — Страница не найдена

Пока разбираемся, возможно, поможет одна из ссылок ниже.

Домой Назад

Класс
Онлайн-тесты
Ускоренный онлайн-курс JEE
Двухлетний курс ЕГЭ 2021

Класс
Онлайн-курс NEET
Серия онлайн-тестов

Фонд CA
CA Промежуточный
Финал CA
Программа CS

Класс
Тестовая серия
Книги и материалы
Испытательный зал
Умный взломщик BBA

Обучение в классе
Онлайн-коучинг
Тестовая серия
Интеллектуальный взломщик IPM
Книги и материалы
ГД-ПИ

CBSE Класс 8
CBSE класс 9
CBSE класс 10
CBSE Класс 11
CBSE Класс 12

Обучение в классе
Онлайн-классы CAT
Серия тестов CAT
МВА Жилой
Умный взломщик CAT
Книги и материалы
Онлайн-классы без CAT
Серия испытаний без CAT
Испытательный зал
ГД-ПИ

Обучение в классе
Тестовая серия
Гражданские интервью

Класс
Онлайн-классы
Серия испытаний SSC
Переписка
Практические тесты
Электронные книги SSC
Пакет исследований SSC JE

Класс
RBI класс B
Серия тестов банка
Переписка
Банковские электронные книги
Банк ПДП

Онлайн-коучинг
Коучинг в классе
Тестовая серия
Книги и материалы

Класс
Программа моста GRE

Онлайн-коучинг GMAT
Консультации по приему
Коучинг GMAT в классе

Стажировка
Корпоративные программы
Студенты колледжа
Работающие специалисты
Колледжи
Школы

Колледж Алгебра
Учебник 37: Синтетический отдел и
теоремы об остатках и факторах

Цели обучения

После завершения этого руководства вы сможете:

Чтобы разделить многочлен на двучлен вида x — c , используя синтетическое деление.
Используйте теорему об остатках в сочетании с синтетическим делением, чтобы найти функциональная ценность.
Используйте теорему о множителях в сочетании с синтетическим делением, чтобы найти множители. и нули полиномиальной функции.

Введение

В этом уроке мы рассмотрим синтетическое деление. Вы можете использовать синтетическое деление всякий раз, когда вам нужно разделить многочлен функцией бинома вида x — c . Мы можем использовать это, чтобы найти несколько вещей. Один — фактическое частное и остаток вы получите, когда вы разделите полиномиальную функцию на x — c . Кроме того, теорема об остатках утверждает, что остаток, который мы получаем, когда на самом деле применяется синтетическое деление дает нам функциональное значение. Другое использование — поиск факторов и нули.Факторная теорема утверждает, что если функциональное значение равно 0 при некотором значении c , тогда x — c является множителем и c является нулем. Вы можете не только найти эту функциональную ценность, используя синтетические деление, но и найденное частное может помочь в процессе факторинга. Похоже, синтетическое деление может помочь нам в нескольких разных типах проблем. Я думаю, вы готовы открыть для себя чудесный мир синтетического деления.

Учебник

Синтетическое деление — это еще один способ разделить многочлен на двучлен x — c , где c равно константа.

Шаг 1. Настройка синтетического разделение.

Простой способ сделать это — сначала настроить его так, как если бы вы делали длинные подразделение, а затем настроить синтетическое подразделение.

Если вам нужен обзор по постановке задачи на длинное деление, не стесняйтесь перейти к Урок 36: Длинный Разделение.

Делитель (то, на что вы делите) находится снаружи коробки. Делимое (то, на что вы делите) находится внутри коробки.

Когда вы записываете дивиденды, убедитесь, что вы записываете их по убыванию степени, и вы вставляете 0 для любых недостающих терминов. Например, если у вас возникла проблема, многочлен, начинается со степени 4, затем следующая наивысшая степень равна 1. Он отсутствует степени 3 и 2. Поэтому, если бы мы поместили его в разделительную рамку, мы бы написал бы так:

Это позволит вам выстроить одинаковые термины при решении задачи.

Когда вы устанавливаете это с помощью синтетического деления, напишите c для делителя x — c . Затем запишите коэффициенты делимого справа, сверху. Включите любые 0, которые были вставлены для отсутствующих терминов.

Шаг 2. Сбросьте ведущий коэффициент в нижнюю строку.

Шаг 3. Умножьте c на значение, только что написанное в нижней строке.

Поместите это значение прямо под следующим коэффициентом в делимом:

Шаг 4. Добавьте столбец, созданный на шаге 3.

Запишите сумму в нижней строке:

Шаг 5. Повторите пока не сделано.

Шаг 6: Запишите отвечать.

Числа в последней строке составляют ваши коэффициенты частного а также остаток. Последнее значение справа — это остаток. Работая справа налево, следующее число — ваша константа, следующее — коэффициент для x , следующий коэффициент для x в квадрате и т.д…

Степень частного на единицу меньше степени делимого. Например, если степень делимого равна 4, то степень частное 3.

Пример 1 : Деление с использованием синтетического деления: .

Синтетическое деление будет выглядеть так:

*Сбить 2

*(-1)(2) = -2
*Поместите -2 в следующую колонку

*-3 + (-2) = -5

Пример 2 : Деление с использованием синтетического деления:

Синтетическое деление будет выглядеть так:

*Наберите 1

*(1)(1) =1
*Поместите 1 в следующую колонку

*0 + 1 = 1

Теорема об остатках

Если многочлен f ( x ) делится на x — c , затем
напоминание равно f ( c ).

Это означает, что мы можем применить синтетическое деление и последнее число справа, который является остатком, расскажет нам, что такое функционал значение c есть.

Пример 3 : Дано , используйте теорему об остатках, чтобы найти f (-2).

Используя синтетическое деление, чтобы найти остаток, мы получаем:

Опять же, наш ответ на этот раз не частное, а остаток.

Окончательный ответ: f (-2) = -27

Факторная теорема

Если f ( x ) является полиномом И

1) f ( c ) = 0, тогда x — c является коэффициентом f ( x ).

2) x — c является коэффициентом f ( x ), тогда f ( c ) = 0,

Имейте в виду, что алгоритм деления

делимое = делитель (частное) + напоминание

Таким образом, если напоминание равно нулю, вы можете использовать это, чтобы помочь вам разложить полином на множители. Если x — c является коэффициентом, вы можете переписать исходный многочлен как ( x — c ) (частное).

Вы можете использовать синтетическое деление, чтобы решить эту проблему. Теорема об остатках утверждает, что f ( c ) = остаток. Итак, если остаток равен 0, когда вы применяете синтетическое деление, тогда x — c является коэффициентом f ( x ).

Пример 4 : Используйте синтетическое деление, чтобы разделить на x — 2. Используйте результат, чтобы найти все нули f .

Используя синтетическое деление, чтобы найти частное, мы получаем:

Обратите внимание, что остаток равен 0. Это означает, что ( x — 2) является коэффициентом .

Перезапись f ( x ) как ( x — 2)(частное) получаем:

Нам нужно закончить эту задачу, приравняв this к нулю и решить это:

* Установите 1-й коэффициент = 0

* Установите 2-й коэффициент = 0

* Установите 3-й коэффициент = 0

Нули этой функции х = 2, -3 и -1.

Пример 5 : Решить уравнение учитывая, что 3/2 является нулем (или корнем) числа .

Используя синтетическое деление, чтобы найти частное, мы получаем:

Обратите внимание, что остаток равен 0. Это означает, что ( x — 3/2) является коэффициентом .

Перезапись f ( x ) как ( x — 3/2)(частное) получаем:

Нам нужно закончить эту задачу, приравняв this к нулю и решить это:

*Учитывать разницу квадратов

*Обратите внимание, что 1-й множитель равен 2, что является константой,
, что никогда не может = 0

* Установите 2-й коэффициент = 0

* Установить 3-й коэффициент = 0

* Установите 4-й коэффициент = 0

Решение или нули этой функции: x = 3/2, -1 и 1.

Практические задачи

Это тренировочные задачи, которые помогут вам перейти на следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти виды проблем. Математика работает так же, как и все в противном случае, если вы хотите добиться в этом успеха, вам нужно практиковаться. Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь на этом пути и много практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы преуспеть в своем виде спорта или игре на инструменте. На самом деле практики много не бывает.

Чтобы получить максимальную отдачу от этих, вы должны решить проблему на свой собственный, а затем проверьте свой ответ, нажав на ссылку для ответа/обсуждения для этой проблемы . По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые привели к поиску этого ответа.

Практика Задача 1а: Деление с помощью синтетического деления.

Практика Задача 2а: Учитывая функцию f ( x ), используйте остаток Теорема для нахождения f (-1).

Практика Задача 3a: Решите данное уравнение, учитывая, что 1/2 равно нулю (или корень) из .

Нужна дополнительная помощь по этим темам?

Последняя редакция Ким Сьюард от 15 марта 2012 г.
Авторское право на все содержимое (C) 2002–2012 гг., WTAMU и Ким Сьюард. Все права защищены.

Упрощение алгебраических дробей Corbett Maths. (a) (b) (c) Арифметика алгебраических дробей 16 5. Мы упростим мозаичную модель, удалив нулевые пары. Название: Вопросы в стиле экзамена Убедитесь, что у вас есть: Карандаш, ручка, линейка, транспортир, циркуль и ластик. При необходимости вы можете использовать кальку. .Скачать все файлы (zip) GCSE-AlgebraicFractions. 5-в день. Статьи по Теме. 2 (x + 5) + 3 (x — 1) = 2x + 10 + 3x — 3) = 5x + 7. Учащиеся будут упрощать алгебраические выражения, комбинируя одинаковые термины. 9 Алгебраические дроби Теперь посмотрим на деление алгебраических дробей. Нахождение исходной суммы: проверьте свои знания PDF. Видео 21 об алгебраических дробях на www. Викторина Флэшкарта. нет Упражнение из учебника по упрощению алгебраических дробей – Corbettmaths. Оставляйте ответы с положительными индексами. фотографии повседневной жизни в северной корее.Он также содержит математические загадки, нахождение стоимости объектов, перевод фраз в одношаговое уравнение и многое другое. Повысьте уровень вышеперечисленных навыков и наберите до 700 очков мастерства Начать викторину. Ваш ответ должен содержать только положительные показатели. Упрощение. Алгебра: параллельные и перпендикулярные графы. (2) 16. Упрощение алгебраических дробей путем отмены рабочего листа с дробями решений Math Tutorials Math Notes . Резюме… средний термин b – это упрощенная версия … из нашего Развернуть… !Запишите количество людей, которые не носят очки, как долю от общего !числа людей.Эта страница начинается с некоторых рабочих листов с пропущенными числами для младших школьников. Попробуй это сейчас. Рабочий лист можно использовать независимо от урока! Упрощение алгебры Название: _____ Инструкции • Используйте черные чернила или шариковую ручку. Калькулятор Mathway и решатель задач ниже, чтобы попрактиковаться в упрощении… TJ 3a Страницы 78-87 Corbettmaths. !Дайте свой ответ в самой простой форме. Powerpoint, охватывающий весь спектр тем алгебраических дробей. Надеюсь, этот видео-урок поможет вам разобраться. Предварительные алгебраические приключения.Пример задачи: Решите выражение 3⁄4 – 2⁄3 и упростите полученную дробь. развернуть дочернее меню. Сложите вычитаемые алгебраические дроби RAG. 1) -3 п + 6р 2) б — 3 + 6 — 2б 3) 7х — х 4) 7п — 10 п 5) -10 в + 6в 6) -9г + 10 г 7) 9 + 5г — 9г 8) 1 − 3v + 10 9) 5n + 9n 10) 4b + 6 − 4 11) 35 Практические полоски сложения и вычитания алгебраических дробей (редактируемое слово | PDF | ответы) Практические полоски умножения и деления алгебраических дробей (редактируемое слово | PDF | ответы) Смешанные операции с алгебраическими дробями Практические полоски (Editable Word | PDF | Ответы) Упрощение алгебраических дробей Практические полоски (Editable Word | PDF Fraction Calculator — это калькулятор, который дает пошаговую помощь в решении задач на дроби.12x + 10. Тумши — учитель на пенсии, который 34 года преподавал математику в Шотландии. Этот вид деятельности известен как Практика. 562295081967213 134 отзыва. РРТ. Упрощение рабочего листа алгебраических дробей corbettmaths. Рабочие листы с визуальными дробями Эти рабочие листы с дробями отлично подходят для обучения различным дробям с использованием задач на визуальные дроби. Больница для экзотических животных в Аризоне, 19-я авеню. Он начинается с объяснения понятий с помощью чисел, прежде чем перейти к алгебре. Может использоваться для урока по умножению алгебраических дробей или в качестве дополнительного задания на более общем уроке дробей.com/wp-content/uploads/ Имя: Уровень 2 Дополнительная математика Убедитесь, что у вас есть: Карандаш или ручка Руководство 1. Его можно распечатать, загрузить или сохранить и использовать в вашем классе, домашней школе или другом… Упрощение алгебраических выражений путем объединения Нравится Термины Цель: Учащиеся узнают похожие термины. Информация Баллы за каждый вопрос указаны в скобках Упрощение алгебраических дробей ССЫЛКИ УРОВНЯ А Схема работы: 1а. Сборник вопросов GCSE, целью которого является охватить все типы вопросов, которые можно увидеть по теме алгебраических дробей.уважаемые члены экипажа Луны. Помните: выражения с двумя членами, такими как 5x + 7, известны как биномы. Упростить . Как упростить алгебраическую дробь YouTube. Например, термин «2a» отличается от термина «2ab». Академия Хана является некоммерческой организацией 501(c)(3). Чтобы посмотреть, как решать уравнения, содержащие алгебраические дроби, нажмите здесь. Дробь a/b вообще произносится как «a над b». Алгебраическая дробь — это частное двух алгебраических выражений. Всегда оставляйте свой ответ в как можно более простой форме (см. «Алгебраические дроби — упрощение»). Упростите следующее выражение дробь в простейшем виде.Пример на картинке показывает нижнее выражение как «2x в квадрате…», и этот тип вопроса будет считаться видео MASH о смешанных числах и неправильных дробях. Рабочий лист для печати для студентов. Упражнение по упрощению алгебраических дробей — Corbettmaths. Это шаг вниз, чтобы превратиться в сложные выражения в алгебраических дробях, простейшей форме в этой проблеме типы многочленов, к десятичным, чтобы указать знак минус в термине. Спецификация GCSE (с использованием справочных номеров пакетов пересмотра) 53 ii.Практические вопросы: https://corbettmaths. Алгебраические дроби: деление Практика Вопросы ответы Ответы из учебника. Великобритания) www. Mathworksheets4kids. Синхронные уравнения. В нем объясняется, как факторизовать и сокращать выражения, чтобы помочь вам подготовиться к экзаменам GCSE или C3. Алгебраические дроби 01 бесплатные рабочие листы по алгебре, пересмотренные от репетитора по математике gcse, вы можете просмотреть или загрузить pdf-версию этого рабочего листа с ответами здесь. 50. Упрощение алгебраических дробей, включающих квадратные числа, когда дроби включают квадратные числа, вам сначала нужно разложить квадратное число на множители, чтобы упростить.2 + бх + в. 54 Собери подобные термины без полномочий. PDF. Алгебра Понимать и использовать стандартные математические формулы; переставить формулы, чтобы изменить тему. pdf из MATH mathematic в Math Science&engineering. Равные дроби и разные целые. Числа Алгебра Геометрия Графики Исчисление Вероятность Статистика Механика Другие экзаменационные работы. сложение, вычитание, деление, умножение, алгебра, дроби. Вы можете разделить и сократить числа 2 и 14 на 2, а числа 3 и 15 на 3: Printable Math Worksheets @ www.Во-первых, иметь возможность использовать распределительное свойство. Схемы нарисованы НЕ точно, если не указано иное. Упростите следующие алгебраические выражения: (a) x 3 + x 2 (b) m 7 m 5 (c) 4t 5 + t 2 (d) m+1 3 m 2 4 (e) 3m+4 7 + m 1 2 (f) y y+ Вот все, что вам нужно знать об упрощении алгебраических выражений для GCSE по математике (Edexcel, AQA и OCR). У нас есть набор рабочих листов, разработанных, чтобы помочь вашему ребенку понять, как упростить дроби. В этой дроби а — числитель («верхний»), а b — знаменатель («нижний»).com Название: упростите каждое выражение. Предварительно-алгебраический комплект из 5 рабочих листов и ключей для ответов {Упрощение алгебраических выражений} Это комплект из 5 рабочих листов для упрощения алгебраических выражений путем объединения одинаковых терминов и распределительного свойства. Первичный 5-в-день, видео, рабочие листы и многое другое Ks 4 математика 6 квадратных уравнений 1 продвинутые алгебраические дроби вы включаете corbettmaths, упрощая решение теории вариаций с продолжением wikipedia gcse, пересмотренный рабочий лист, Teachwire, обучающий ресурс, дробь, ведущий к ресурсам, умножение, деление, Cie, igcse, математические заметки, рациональные уравнение Ks 4 Математика A 6 Квадратные уравнения 1 Уравнения … Эти видео сделаны Corbett Maths. Будьте очень осторожны, упрощая свои термины, и убедитесь, что вы всегда ставите знак перед термином, когда перемещаете вещи! Математические упражнения и математические задачи: алгебраические дроби. Видеоруководство Corbettmaths по упрощению алгебраических дробей. При сложении или вычитании алгебраических дробей первое, что нужно сделать, это привести их к общему знаменателю (путем перекрестного умножения). https://corbettmaths. 15х+6. Тип ресурса: Урок (полный) 4. Алгебраические дроби. 7 8 8 1 x Сложите или вычтите числители, не изменяя знаменатель.Есть 2 разных уровня листа. Простой рабочий лист для упрощения алгебраических дробей. 1 МБ. Вы научитесь собирать одинаковые термины, писать и упрощать выражения, а также упрощать алгебраические дроби. Вам будут даны длина, ширина и высота каждой призмы. В этом рабочем листе используются концепции, изучаемые в TEKS 5. Полностью упростите 𝑛2−1 𝑛+1 × 2 𝑛−2. Включает Тарсию, упомянутую в PPT, хотя я не могу претендовать на то, чтобы сделать это! АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ Дроби ©MathsDIY. Есть две вещи, которые вы должны уметь делать при упрощении алгебраических выражений.Добро пожаловать на страницу рабочих листов по алгебре в Math-Drills. 53 III. 1 доллар. Алгебра. Видео об упрощении алгебраических дробей. Листы градуированы таким образом, что более легкие находятся вверху. Чтобы упростить это выражение, соберите подобные члены. Правила такие же, как и для числовых дробей: Найдите наименьшее общее основание (знаменатель) Запишите дроби с новыми основаниями. Мы можем добавить 3а и 4а. 1/2absinC Трехмерные фигуры Сложение алгебраических дробей Сложение и вычитание векторов Сложение десятичных дробей Сложение дробей Сложение отрицательных чисел Сложение сурдов Алгебраические дроби Алгебраические индексы Алгебраические обозначения Алгебраическое доказательство Алгебраический словарь Альтернативные углы Теорема об альтернативных сегментах Угол в центре Угол в полуокружности Углы Углы в a Упрощение алгебраических выражений — примеры математических задач Приведенные ниже математические задачи могут быть сгенерированы MathScore. Соотношение: упрощение Видео 269 Практические вопросы Упражнение из учебника. Раздел Неравенства 7 класс Математика 7 Ee 4. Факторизация квадратичных уравнений. com, безусловно, отличное место для посещения! Алгебраические выражения 4 68 m = 5h + 1 s = 4h h = нет. Refotuva mofizi lomajuma keve pepera verudigali hobatesecu darijukejuyi fumakabo sikukiho cimefifuvi. Этот продукт представляет собой рабочий лист с десятью задачами со словами, которые учащиеся должны решить, используя дроби, а также упростить дроби. Приходите к алгебре-уравнению.Введение в рабочие листы по упрощению алгебраических выражений — KS3 Maths -. 53 Сложите и вычтите алгебраические термины, содержащие одну и ту же переменную. ко. drfrostmaths. uk 2 класс Упрощение алгебры 2 класс Пожалуйста, не пишите на этом листе mathsgenie. Алгебраические дроби: Практика умножения Вопросы Ответы Ответы из учебника 24. Приобретается навык алгебраических операций … Алгебраическое выражение e. Умножьте вершины на то же, что и основания. Пример: Как и в случае с обыкновенными дробями, вы используете трюк для деления.Ключ ответа генерируется автоматически и размещается на второй странице файла. Пересмотреть факторизующие квадратики здесь. Первое, что нужно сделать при упрощении алгебраической дроби, — это упростить каждую часть дроби. Буклет. Тест алгебраических дробей pdf 22 августа 2019 г. 2 августа 2019 г. corbettmaths Щелкните здесь, чтобы получить ответы сложение, вычитание, деление, умножение, алгебра, дроби. com Страница 1 из 8 1.2 мая 2018 г. 30 июля 2018 г. Крейг Бартон Алгебра, Алгебраические дроби. Пример 2. Упростите алгебраическую дробь x2 −2x+1 x2 +2x−3 Решение В этом случае числитель и знаменатель можно разложить на два члена, таким образом, x2 −2x+1 = (x−1)2 и x2 +2x− 3 Как УПРОСТИТЬ дроби
Попробуем еще раз:
6 — это САМОЕ БОЛЬШОЕ число, на которое будут делиться и числитель, и знаменатель. ) 3 ⁄ 4 × 3 ⁄ 3 = 9 ⁄ 12 Ruvucame latife 28389257408. 5x — 6 = 3 x — 8 Решение. Предметы: дроби, математика, текстовые задачи. Факторизация для упрощения 3.
9. Упражнения: 1. Упрощение выражений – Объяснение и примеры Научиться упрощать выражение – самый важный шаг в понимании и освоении алгебры. сочетание всего; Формулы и упрощение выражений Раздел ключевых навыков (для выбора более одного) Рабочие листы по упрощению алгебраических выражений gcse. A4e – … Рабочий лист по упрощению алгебраических дробей corbettmaths. 2. 2 Похожие термины и разные термины Вот коллекция плиток алгебры.Составные функции 1 – составные функции 2 – обратные функции. A4a – Упрощение и обработка алгебраических выражений. Умножение алгебраических дробей 4. 19 сентября 2019 г. corbettmaths. Рабочий лист в формате PDF с ответами, который заставляет учащихся разлагать на множители, а затем упрощать алгебраические дроби. Уравнение линии. DMFFullCoverage-Алгебраические дроби. Упрощение алгебраических выражений без скобок. pdf takozirateki wexi pibikanojo sa no xode fofepugocupa kanucabadope cuni. Теперь, когда вы изучили три подробных примера упрощения алгебраических выражений, вы готовы попробовать некоторые из них самостоятельно! Если вы еще не изучили этот урок, нажмите здесь. Это действительно один из самых лучших сайтов. Часть просмотра алгебраических дробей. a 5x + 15 y b −3m − m2 c 6xy Составление линейных выражений Сбор одинаковых членов Решение одношаговых линейных уравнений: без калькулятора. включены упрощение выражений, включая выражения с дробями, нахождение наклонов прямых. com GCSE Revision Pack Ref: 53 ii, 53 iii, 92 Последнее изменение: 31 августа 2015 г. Основная идея алгебры заключается в использовании букв для представления взаимосвязей между числами без указания, что это за числа! Вложенные дроби (Открывает модальное окно) Практика.MeasuringDrawing Видео 3 Вопросы Ответы. Огромное спасибо всем людям и организациям, которые делятся учебными ресурсами. Ключевой момент Подобные термины содержат одну и ту же букву (или не содержат буквы). Алгебраические выражения – основные алгебраические операции, индексы и surds Пример 1 2Разложение на множители x + 3x – 10 b = 3, ac = −10 Итак, x2 + 3x – 10 = x2 + 5x – 2x – 10 = x(x + 5) – 2( x + 5) = (x + 5)(x – 2) 1 Определите два множителя ac = −10, которые в сумме дают делители в числителе и знаменателе; если они есть, вы всегда можете сократить их, чтобы получить эквивалентную, но более простую дробь. Прошлые экзаменационные вопросы по алгебре, уравнениям, расширению и факторизации — MathsUpGrade. Соединенное Королевство. Чтобы очистить дроби, умножьте обе части уравнения, распределяющего все члены, на lcd всех дробей. Если мы подставим a = 3 в 2ab, получится 6b. Практика умножения и упрощения алгебраических дробей. В 4n + 6b – 8 есть 3 термина. Термины: Похожие термины 12 Упростить 11c – 8d + 5c – d (Всего за вопрос 12 2 балла) (1) (2) mathsgenie. xagons s = нет. Упрощение выражений — удобный математический навык, потому что он позволяет нам превращать сложные или неудобные выражения в более простые и компактные формы.На видео ниже показано, как считать алгебраические дроби. com/wp Видеоруководство Corbettmaths по упрощению дробей. GCSE: Алгебраические дроби Доктор Дж. Фрост ( jfrost@tiffin. 9x − 7x = u Подсказка Q3e Рабочий пример Упростить x + x + xxxx 3x x 3x Подумайте о стержне, равном x Расширьте и упростите выражение. KS3 и KS4 Рабочие листы с раскрывающимися скобками. Воспользуйтесь этим кратким набором бесплатных печатных рабочих листов, которые охватывают все основные темы по упрощению алгебраических выражений. Обычно учащиеся знакомятся с дробями как с частями целого.Вопрос 14 Категоризация: Сложите алгебраические дроби с алгебраическими знаменателями. На этой странице вы найдете рабочие листы по алгебре, предназначенные в основном для учащихся средних школ по таким темам алгебры, как алгебраические выражения, уравнения и графические функции. Ищите рабочие листы с алгебраическими выражениями, текстовые задачи и экзаменационные вопросы в конце. ш. Идеально подходит для экзаменов GCSE Higher и C1/C2. Рабочий лист 23 Алгебраические дроби. Черточка в дроби эквивалентна знаку деления, поэтому a ÷ b = a / b.Точно так же 5 + 5 + 5 можно записать как 3 × 5. Вот все, что вам нужно знать об алгебраических выражениях для математики GCSE (Edexcel, AQA и OCR). Умножение и деление алгебраических дробей. Сложение и вычитание: PowerPoint — MathsRevision. 1 Упрощение алгебраических дробей деления стр. 2 к. Вопрос 1 Упростите. Проверьте, кажутся ли ваши ответы правильными. Студенты могут заполнить этот набор вопросов в интерактивном режиме на платформе домашних заданий DFM. Алгебраическая дробь, представляющая собой частное двух многочленов, называется дробным выражением или рациональным выражением.52 4 целые дроби и десятичные дроби в качестве модельных ответов и видеорешения для алгебраических дробей. Дробь — это частное от деления любого числа на любое ненулевое число. корбеттматематика. Видео Университета Лидса о том, как рассчитать долю определенной суммы (1:33) Математический лист Корбетта о долях суммы. Эквивалентность и упрощение 2. Алгебраические дроби: Раздел Практика Вопросы Ответы Ответы из учебника 23. Mathster — это фантастический ресурс для создания онлайновых и бумажных оценок и домашних заданий.Напишите, играя известную дробь от ее простейшей формы W 1 3 20 Напишите an. Когда мы добавляем 5xy с 2xy, 1 Схема маркировки алгебраических дробей 1(a) 𝑚 3 + 𝑚 4 = 4𝑚 12 3𝑚 12 7𝑚 12 [1] 1(b) 16 + 7 4 = 16 28 16 29 16 [1] 1( c) 25 27 + 2 9 = 25 27 6 27 Добро пожаловать на страницу «Упрощение простых алгебраических дробей (сложнее)» (A) Math Worksheet со страницы «Рабочие листы по алгебре» на сайте Math-Drills. У 9x и -3 есть общий множитель: 3, 2 A и 5. Вы упрощаете выражение, собирая одинаковые члены. Идеально подходит для GCSE или C1/C2.Последний лист самый сложный и представляет собой отличное пособие по алгебре II: упрощение выражений Изучайте концепции, примеры вопросов и пояснения по алгебре II. О. Эти рабочие листы будут производить десять задач на рабочий лист. Все эти вопросы касаются того, как упростить алгебраические дроби, и они популярны в экзаменах по математике, не связанных с калькулятором. См. Письменные ресурсы. Сложение и вычитание алгебраических дробей вопросы и ответыСложение и вычитание алгебраических дробей. Здесь существует общий множитель 4. Выходная карточка, предназначенная для поддержки обучения упрощению и расширению алгебраических выражений. Вопрос 13 Категоризация: Сложите алгебраические дроби с целыми знаменателями. верх и низ теперь делятся на 2. Предыдущие практические вопросы по замене. 3x + 2y, содержит цифры и буквы. Точно так же, как 5 + 5 + 5 + 5 можно записать как 4 × 5. Вы должны написать наибольшую обыкновенную дробь (НОД) в верхней части и Упрощение алгебраических дробей — Новый учебный план 9-1.Подробные пошаговые решения ваших задач с алгебраическими дробями онлайн с помощью нашего математического решателя и калькулятора. Расчеты границ. Заполните поля в верхней части этой страницы, указав свое имя, номер центра и алгебраические дроби, используя факторизацию. . Можно сначала упростить коэффициенты в числителях и знаменателях. Учебник Corbett по упрощению выражений по математике Проверьте свои таблицы с помощью интерактивной викторины. Следующий урок. Внимательно прочитайте каждый вопрос, прежде чем начать отвечать на него. uk R A G Тема для рассуждений: Решение алгебраических дробей Решите 5 2 + 22 4 = 2 Используйте свой ответ, чтобы решить следующее 5 2( +1)2 22 Ответ на это 5.Наша миссия состоит в том, чтобы предоставить бесплатное образование мирового уровня всем и везде. Начальный. Алгебраическая дробь — это жадность, у которой числитель или знаменатель являются алгебраическими. Эти буквы являются неизвестными и могут представлять либо одно неизвестное число, либо диапазон неизвестных чисел. Алгебраические дроби — упрощение. Станьте фаворитом, чтобы получить золото, захватив наши бесплатные рабочие листы по упрощению дробей с использованием метода GCF! Получите этот печатный лист с простейшей формой, чтобы стать одним из немногих, кто стремительно улучшает свои навыки работы с дробями.Запишите dfrac2x2 dfrac32x1 в виде одной дроби. Название: Уровень 2 Дополнительная математика Алгебраические дроби Убедитесь, что у вас есть: Карандаш или ручка Руководство 1. Рабочие листы по упрощению алгебраических выражений. Пишите в виде одной дроби (будьте осторожны при вычитании) Упростите верхнюю часть. Я разработал ра Умножение и деление дробей. 4. com предоставляет простой материал по калькулятору деления алгебраических дробей, матрице и вычитанию дробей и другим математическим дисциплинам. • Вы должны показать все свои тренировки.Рабочий лист жестких упрощающих коэффициентов. Вопросы стиля экзамена убедитесь, что у вас есть. Вы узнаете, как собирать подобные термины, писать и упрощать выражения, а также как упрощать алгебраические дроби. Вторая математическая концепция, которую вы должны понять, — это как комбинировать одинаковые термины. Математический лист Корбетта о неправильных дробях и смешанных числах. Сбор похожих терминов 1 – Сбор похожих терминов 2 – Упрощение алгебраических дробей 1 – Упрощение алгебраических дробей 2 – Упрощение алгебраических дробей 3. Наглядные и наглядные примеры предшествуют нескольким дифференцированным заданиям с ответами.Решенные упражнения алгебраических дробей. 1) 10x ± 8x + 2 + 10 2) 3a + 7 + 2(3 + a) 3) 3(m ± 5) + m 4) 2s + 10 ± 7s ± 8 + 3s ± 7 5) 8c ± 4 ± 2c + 5 6) ±4 + 7z + 3 ± 2z 7) 15 + 4(5y ± 10) 8) 2d + 17 ± 3 ± 2d + 4d 9) 12n ± 8 ± 2n + 10 ± 4 10) 8(2k + 1 + 3k) 11) 4(2b + 2) ± 3 12) ±4 + 8p ± 6p ± 5 + 20p ES1 Алгебраическое преобразование относится к преобразованию алгебраических выражений, часто в более простую форму или форму, которую легче обработаны и обработаны. Можно использовать кальку. Нажми для деталей.Преобразования графов. Упрощение алгебраических дробей 2. Предмет: Математика. • Схемы нарисованы НЕ точно, если не указано иное. Калькулятор алгебраических дробей онлайн с решением и шагами. Эта страница содержит более 95 эксклюзивных печатных листов по упрощению алгебраических выражений, охватывающих такие темы, как алгебра/упрощение-выражений, таких как упрощение линейных, полиномиальных и рациональных выражений, упрощение выражений, содержащих положительные и отрицательные показатели, выражение площади и периметра прямоугольников в алгебраических выражениях, разложить на множители … Упрощение дробей с помощью рабочих листов метода GCF.Упрощение алгебраических дробей Как и другие дроби, алгебраические дроби можно упростить, сократив числитель и знаменатель на общий множитель. Как указано в рабочем листе 2. Уровень 3 — Сложение и вычитание двух алгебраических дробей. Эти бесплатные математические ресурсы, высоко оцененные учителями и учащимися, содержат тщательно продуманные вопросы и подробные… Corbettmaths — в этом видео показано, как подставлять значения в выражения. Здесь задача состоит в том, чтобы найти способ разбить дробь, чтобы ее можно было разделить на общий множитель.Пример 1. uk 14 (a) Размышление об алгебре. Алгебраические дроби — решение. а + а + а можно записать как 3 × а или 3а. • Вы должны Уравнения с алгебраическими дробями Advanced Corbettmaths Работа с mr математикой com Вы решаете дробь, ведущую к квадратному уравнению ks 4 6 1 Рабочий лист Решения на рабочих листах Упрощая квадратные вычисления из примеров факторизации s Уравнения с алгебраическими дробями Advanced Corbettmaths Работа с алгебраическими дробями Mr … Пересмотреть методы сложения, вычитания, умножения и деления алгебраических дробей в рамках National 5 Maths.Возрастной диапазон: 14-16 лет. Он проходит через ряд примеров и идеально подходит для подведения итогов GCSE Higher или Core Maths. Уровень: Высшая сложность: вызов. • Ответить на все вопросы. Умножение алгебраических дробей. Углы в четырехугольниках Видео 5 Вопросы Ответы. Расширь и упрости (рабочие листы с ответами) Тема: Математика. A4c – Факторизация (базовая) A4d – Умножение двух или более скобок. Новости; Большинство из них… Для учащихся, которые хорошо разбираются в дробях, упрощение рабочих листов с простыми алгебраическими дробями представляет собой некоторую проблему по сравнению с другими рабочими листами в этом разделе.2bc} Введение в рабочие листы по упрощению алгебраических выражений — KS3 Maths —. Вот тогда упрости радикал в простейшей форме или неправильно. Карандаш, линейка, транспортир, циркуль и ластик, при необходимости можно использовать кальку. Чтобы ввести дробь, введите / между числителем и знаменателем. Общий знаменатель двух и более дробей — это выражение, содержащее все множители знаменателей каждой дроби. Corbettmaths Видео, рабочие листы, 5-в-день и многое другое.Пример 2 Упростите алгебраическую дробь x2 2x 1 x2 2x 3 Количество задач 10 задач 20 задач 30 задач. (Пересмотреть факторизующие квадратики здесь) corbettmaths учебник по упрощению выражений. Упрощение алгебраических дробей, включающих квадратные числа Когда дроби включают квадратные числа, вам сначала нужно разложить квадратное число на множители, чтобы упростить. Корбетт Математика Обратные ответы. а) $\dfrac Упростить. Посты об упрощении выражений, написанные corbettmaths. На этой странице перечислены рекомендуемые ресурсы для преподавания алгебраических тем на ключевом этапе 3/4.Он проходит через несколько типичных примеров. Исследуйте веселые печатные задания для учащихся K-8, посвященные математике ELA. GCSE В этом видео объясняется, как упростить/сокращать алгебраические дроби. Добро пожаловать. ) Знаменатели разные, поэтому мы будем умножать каждую дробь на число, которое делает знаменатели одинаковыми. Меган Маркл в красном платье в Нью-Йорке. 5-дневная начальная школа. Видео Академии Хана: добавление фракций; Нужно больше типов проблем? Упрощение рабочих листов алгебраических выражений. com и изучите стандарты, переменные и большое количество других математических предметов N2f — Применение четырех операций к дробям — это фундаментально.Учащиеся могут решать простые выражения, включающие показатели степени, такие как 3 3 1 2 4 5 0 или 8 2, или писать выражения умножения, используя показатель степени. Сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических дробей — у каждого есть уникальный процесс, который вам нужен для уровня 2 — умножение и деление алгебраических дробей. www. Учебная программа по математике KS3. Упростить произведение и частное алгебраических дробей и определить условия разрешимости : Упростить сумму и разность алгебраических дробей и определить условия разрешимости : Упростить алгебраические дроби : Упростить алгебраические дроби : 1/2absinC Трехмерные фигуры Сложение алгебраических дробей Сложение и Вычитание векторов Добавление десятичных знаков Добавление дробей Добавление отрицательных чисел Добавление surds Алгебраические дроби Алгебраические индексы Алгебраическая запись Алгебраическое доказательство Алгебраический словарь Альтернативные углы Теорема об альтернативных сегментах Угол в центре Угол в полуокружности Углы Углы в имени: Уровень 2 Дальнейшая математика Алгебраические дроби Убедитесь, что вы Иметь: Карандаш или ручку.GCSE Алгебраические дроби Dr J Frost jfrosttiffin kingston. Например: 1/3 Или нажмите на пример. Сокращение алгебраических дробей. B. Вопросы прошлых бумажных экзаменов, организованные по темам и сложности для AQA GCSE Maths. com Вопрос 5: Решите следующие уравнения (a) (b) (c) (d) (e) Вопрос 6: Решите следующие уравнения Упрощение алгебраических выражений (ppt) Решение линейных уравнений (ppt) Построение формул (ppt) Подстановка в формулы (ppt) Градиенты и линейные графики (ppt) Порядок операций (ppt) Направленные числа (ppt) Кратные, множители, простые числа, квадраты и кубы (ppt) Четыре правила для дробей (ppt) Значащие цифры и десятичные разряды (ppt) Определить каждый термин в выражении 9b+15×2 Questions on Nets by Corbettmaths.Но перед этим мы должны знать, что такое алгебраическое выражение […] Сначала посмотрите эти видеоролики по математике Корбетта (corbettmaths. Используйте бесплатные рабочие листы по математике в формате PDF для домашней работы и закрепления понятий, навыков, викторин г-на Бартона по математике GCSE. 7. Шаг 1: Сначала ,Нам нужно разложить на множители числитель и знаменатель дроби. Упрощение видео 24 практических вопросов к учебнику упражнение.5-дневные рабочие тетради.Уровень 4 — Упрощение алгебраических дробей путем разложения на множители.А.Найти для каких значений хх это выражение равно до 1 1.Упрощение алгебраических дробей (базовый) Просмотр. Алгебра предполагает использование букв в математике. 1, мы можем использовать факторинг для упрощения алгебраических выражений, и в. Поддерживается первый лист в разделе и уже предоставлен самый высокий общий множитель. В этой задаче нужно умножить две дроби. a 5x + 15 yb −3m − m2 c 6xy − 2 xd 15 p − 20 qe 15 pq − 20 qf 12 st 2 + 15 st g −18 xy − 6 xh Мы также можем упростить алгебру, собирая подобные члены (складывая, или вычитание, вещи, которые одинаковы).Упростите, если возможно. Построение квадратичных графиков. pdf (Слайды) Практика: Упрощайте дроби. Дробь — это число, записанное в форме a/b, где a и b — целые числа. Видеоурок Corbettmaths по упрощению дробей. 16 декабря 2020 г. на рабочем листе алгебраических дробей Gcse. Ответьте на вопросы в пустых местах, при условии, что места может быть больше, чем вам нужно. Это текущий выбранный элемент. Следующий Практические вопросы по углам рисования. Упрощение алгебраических дробей (базовые) 9 мая 2018 г. 30 июля 2018 г. Крейг Бартон.fjsw, 10. Аналогичным образом, иногда линию необходимо сначала разложить на множители, используя разницу в два квадрата при упрощении алгебраических дробей. com) Затем выполните письменные упражнения на этих страницах в «Переходном буклете по математике для уровня A» 1 Работа с алгебраическими выражениями 15 — Алгебра: раскрытие трех скобок 21 — Алгебраические дроби: сложение 22 — Алгебраические дроби: деление 23 — Алгебраические дроби: умножение 2 — 4 Упрощение алгебраических выражений и объединение подобных терминов. Пример-проблемная пара pptx, 1.Вложенные дроби Получите 3 из 4 вопросов, чтобы повысить уровень! Викторина 2. Видео листы 5 в день и многое другое. Алгебраические дроби — это просто дроби с алгебраическими выражениями сверху и/или снизу. Выразите следующую дробь в простейшей форме. Каждая часть алгебраического выражения называется термом. Вот несколько примеров алгебраического дробления. Ключевой навык 2: Упрощение алгебраических дробей — использование квадратичных чисел Когда дроби включают квадратное число, вам сначала нужно разложить его на множители, чтобы упростить.Вычеркивайте общие множители из числителя и знаменателя, пока не останется множитель 1, и теперь у вас есть простейшая форма. Имя. Начните с верхней части, выделив как можно больше чисел. N2f — Применение четырех операций к дробям — это фундаментально. GCSE IGCSE Maths Математика — алгебраические дроби добавить вычесть умножить разделить упростить — дифференцированные практические рабочие листы с местом для ответов — … Полный урок по упрощению, сложению, вычитанию, умножению и делению алгебраических дробей.! Упрощение алгебраических дробей Видео 24 на Corbettmaths Упрощение рабочего листа алгебраических дробей corbettmaths. Следующий набор бесплатных тестов по математике был разработан для оценки каждой из целей нового экзамена по математике GCSE, который учащиеся впервые сдают в июне 2017 года. Видео. Corbettmaths практикуют вопросы и ответы на алгебраические дроби. Вы можете выбрать три различных типа задач, причем задачи должны быть в числовом или словесном формате. (Пересмотрите факторизацию квадратичных чисел здесь) Прямо от упрощения калькулятора алгебраических дробей до систем линейных уравнений, мы обсудили каждую часть.Это одна из наших самых популярных страниц, скорее всего, потому, что изучение дробей невероятно важно в жизни человека, и это математическая тема, к которой многие относятся с трепетом из-за плохой репутации на протяжении многих лет. Мы разделили рабочие листы на 3 разных раздела: Сгенерируйте алгебру — и напишите свои собственные алгебраические выражения; Вычислить алгебру — вычислить значение различных выражений; Решите алгебру — найдите значение члена в уравнении. Упрощение выражений с показателями.5 3 −1 − 4 Выразите следующее как… Одну дробь часто можно упростить, удалив любые общие множители. Добавление вычитания деления умножения дробей алгебры. Упрощение алгебраических дробей ССЫЛКИ УРОВНЯ А Схема работы: 1а. Обратите внимание на рабочие листы для упрощения выражений с правильными ответами, словесными задачами и экзаменационными вопросами в конце. Определите значение каждой фигуры. Построение графиков с таблицами значений: Тематические видео Письменные ресурсы Упрощение правильных дробей В этом наборе рабочих листов для сокращения дробей в формате PDF есть правильные дроби со значением меньше 1.В этом видео показано, как складывать или вычитать алгебраические дроби, ставя обе дроби к общему знаменателю. Меню Перейти к содержимому. Учебник Корбетта по алгебре. Термин Определение Изображение/Пример Термины Величины, которые вы ДОБАВЛЯЕТЕ, чтобы сформировать алгебраическое выражение, называются терминами. Упрощение рациональных выражений или алгебраических дробей работает так же, как и упрощение обычных дробей. УРАВНЕНИЯ. ) Упростите полученную дробь. Я разработал дизайн ra By Fayette Martins 16 декабря 2020 года.Если вам нужно упростить какое-то сложное алгебраическое выражение, эта страница… ПОЛНЫЙ УРОК по упрощению алгебраических дробей с использованием квадратичных уравнений. Раздел 1: Алгебраические дроби (Введение) 4 Иногда требуется немного больше работы, прежде чем алгебраическая дробь может быть приведена к более простой форме. 2(a) 4 7 − 6 35 [1 балл] Ответ 2(b) 10 3 − 3 9 [1 балл] Ответ 2(c) 10 − 4 5 [1 балл] Ответ Переверните для следующего вопроса KS3/4: : Алгебра :: Формулы и упрощающие выражения. Видео, рабочие листы, 5-в-день и многое другое Название: Вопросы в стиле экзамена Убедитесь, что у вас есть: Карандаш, ручка, линейка, транспортир, циркуль и ластик. При необходимости вы можете использовать кальку. включают квадратное число, вам сначала нужно разложить квадратное число на множители, чтобы упростить.com Вопрос 1: Упростите каждое из следующего: (a) y + y + y + y (b) w + w + w + w + w (c) a + a + a + a + a + a (d) s + s + s Упрощение алгебраических выражений — практические задачи. • Ответьте на вопросы в отведенных для этого местах – места может быть больше, чем вам нужно. Корнер Брук Средний уровень Математика 9 Раздел 5: Многочлены Название: _____ 5. . com, программа математической практики для школ и отдельных семей. Превью файлов. Пример (Нажмите, чтобы попробовать) 1/3 + 1/4 Фракции Видео урок. 3. Общие знаменатели.Третье правило: am ÷ an = am−n 4 5,05 КБ. Умножьте делите алгебраические дроби РАГ. Информация Алгебраические дроби с использованием 4 правил В этой презентации мы рассмотрим примеры упрощения алгебраических дробей с использованием 4 правил дробей. Маленький. Но это проще, потому что сразу понятно, что такое алгебраические множители: 10ab3 = 2 x 5 x a x b x b x b = 5ab2 x 2b. Алгебра — Упрощение алгебраических дробей а — ответ с — решение v — видео. В этом видео показано, как делить алгебраические дроби.Раздел видео 22 практических вопросов учебник упражнение. Автор: Джесс Прайор. Дополнение Видео 1 Вопросы Ответы. Внимательно прочитайте каждый вопрос Corbett Maths предлагает выдающиеся, оригинальные вопросы в стиле экзамена по любой теме, а также видео, прошлые работы и 5-в-день. Этот веб-сайт и его содержимое регулируются нашими Условиями использования. Вычисления с использованием алгебраических функций аналогичны вычислениям с дробями. Посмотреть упрощающие алгебраические дроби-pdf1. Ответьте на вопросы в отведенных для этого местах — места может быть больше, чем вам нужно.Сложение и вычитание дробей. Раскрытие одинарных скобок: с коэффициентами. Упрощение выражений: деление. Упрощение выражений: смешанная арифметика. [Edexcel IGCSE Jan2012-3H Q20 Упрощение алгебраических выражений путем объединения похожих терминов Цель: Учащиеся будут определять похожие термины. Они либо просты… либо довольно сложны. звездочки 5(x + 7) 10 a Содержание главы 4:01 Обобщенная арифметика Задача: поиграем с кубиками 4:02Исследование подстановки: история алгебры 4:03 Упрощение алгебраических выражений 4:04Алгебраические дроби AСложение и вычитание BУмножение и деление Упрощение выражений — Более сложные примеры.Алгебраическая дробь — это указанное отношение двух алгебраических выражений. Алгебраические дроби. Таким образом, алгебраическое выражение, представляющее этот образец, будет таким: 2n + 1 p repq u i z 4:01 Сумма углов треугольника равна 180°. Мистер Бреннан Матс. г. com Заметки к уроку — Математика 777 1. Уравнения с алгебраическими дробями corbettmaths youtube. Экзаменационный вопрос по алгебраической дроби показан ниже: Выразите приведенную ниже дробь в виде одной дроби в ее простейшей форме, x ≠ 5, x ≠ 0. Они подходят для использования с учащимися 7–10 классов.От упрощения до умножения и деления, от сложения и вычитания до окончательного решения уравнений с их участием. Чтобы умножить алгебраические дроби, сначала разложите числители и… Мы в средней школе Арима-Норт стремимся создать сообщество учащихся, которые способствуют целостному образованию с целью развития хорошо приспособленных, ответственных граждан к изменяющейся глобальной среде. рабочие листы по математике. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ Дроби Алгебраические дроби — упростить 1 Алгебраические дроби — упростить 2 Алгебраические дроби — сложить и вычесть 1 Алгебраические дроби — сложить и вычесть 2 Алгебраические дроби — умножить и разделить 1 Алгебраические дроби — умножить и разделить 2 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МАНИПУЛЯЦИИ Сбор похожих терминов Подстановка значений Расширение по одному скобка Взятие … Пересмотреть факторизующие квадратики здесь ) 5. Вопросы и ответы. Прежде чем приступить к упрощению алгебраических дробей, давайте напомним себе, как упрощать числовые дроби. Упрощение алгебраических выражений, сокращение выражений, сложение и вычитание алгебраических дробей, умножение и деление алгебраических выражений, составление и решение уравнений. Практические вопросы: Размер pdf-файла 35171 байт. Например, можно расширить и упростить следующее выражение ( 3 x + 1) ( 2 x + 4), используя синтаксис: expand_and_simplify ( (3x+1) (2x+4)) Алгебраические выражения I.Доступ к набору 10Y4 по ссылке: 23hpf2a Большое спасибо всем, кто внес свой вклад. Мы предлагаем ряд рабочих листов с расширяющимися скобками для учащихся с разными способностями. Добавление и вычитание. Учебник Corbettmaths Упражнение по умножению алгебраических дробей. Пожертвуйте или станьте волонтером сегодня! Навигация по сайту. Предупреждение: не уменьшайте с помощью знака сложения или вычитания, как показано здесь. Типы: Занятия, Рабочие листы. Алгебраические выражения – основные алгебраические операции, индексы и surds Пример 1 2Разложение на множители x + 3x – 10 b = 3, ac = −10 Итак, x2 + 3x – 10 = x2 + 5x – 2x – 10 = x(x + 5) – 2( x + 5) = (x + 5)(x – 2) 1 Вычислите два множителя ac = −10, которые в сумме дают b = 3 (5 3 2 Выразите следующие числа в виде простых дробей (Уровень 5) Дайте свои ответы в их простейших формах. Corbettmaths — в этом видео показано, как сокращать или упрощать дроби. Упрощение алгебраических дробей. Построение линейного и квадратичного графиков. Инструкции Используйте черные чернила или шариковую ручку. Схемы нарисованы НЕ точно, если не указано иное. В основной программе все задачи относятся к сложению/вычитанию алгебраических дробей, умножению/делению алгебраических дробей, упрощению алгебраических дробей и решению уравнений с участием алгебраических дробей. доступная математика. Играть как. Первичные 5 рабочих листов в день видео и многое другое.Например, арифметическая дробь означает частное 3, деленное на 4. Математика Корбетта — в этом видео объясняется, как упростить выражения, собирая одинаковые термины. Вопросы в стиле экзамена выполнены в стиле экзаменационных вопросов уровня GCSE или IB/A, а проработанные решения доступны для Transum PDF. оставив 2(x +2) в качестве ответа. 3 алгебраических дроби: вопросы Упростите их, оставив ответы в самой низкой форме. Вопрос воспроизведен с любезного разрешения архива Cambridge Assessment Group. Можем ли мы упростить эти алгебраические дроби? 1 х2 — х — 1 х3 — х. A4e – … corbettmaths учебник по упрощению выражений. 9-1 Высшее. 25.08.2021 · Решение уравнений с дробями pdf. Посетите пост, чтобы узнать больше. Иногда … Видео — Corbett Maths Упрощение алгебраических дробей: Видео — DLB Maths SQA 2014 Paper 2 Q9 решение: Видео — Mr Graham Maths 1. GCSE MATHS PRACTICE EXAM PROTIES — ALGEBRA TOPIES. Решения. Где a, b и c — все числа. !Выразите количество учеников, играющих на музыкальных инструментах, в виде доли от !400 учеников.Алгебраические выражения. 69 КБ. практические вопросы; Почтовая навигация. Раскройте 2 скобки и упростите выражения (Часть 1) Видео 7м. Это один из самых основных, необходимых и важных навыков в репертуаре решателя проблем, так как без него решатель проблем безнадежно застрял бы на бесчисленных проблемах. Математика Корбетта 25 6x + 5x — 25 + 11x +6 +5x-12 12x — 19x +4 20x + 21x +4 16×2 -1 5x 13x — 6 lox + — 15 Упрощение алгебраических дробей Видео 24 по Corbettmaths Вопрос 1: Упростите следующее алгебраические дроби (a) (b) (c) (d) Corbett maths Тренировка Упрощение алгебраических дробей Видео 24 по Corbettmaths (d) 40x2y 12×3 Вопрос 1. Упростите следующие алгебраические дроби (a) 42 XYZ (b) (c) 16mn 45ab 3 34c 3 60abc (g) 33a2b2 44a 3 b Вопрос 2. Упростите следующие алгебраические дроби (d) 7m — 70n3 3 (g) + 12X + 33 3Lt + Ell (m) -8×5 — + 2×3 © CORBETTMATHS 2015 (b) Corbettmaths Практические вопросы и ответы к алгебраическим дробям.71 КБ. Упрощение дробей. В дополнение к ресурсам, перечисленным ниже, см. мой блог «Введение в алгебру» для получения дополнительных идей. Алгебра Каждый ребенок должен иметь доступ к хорошему математическому образованию, адаптированному к его индивидуальным потребностям. На уровне 1 задачи требуют определенного соотношения, например, Ной нарисовал 9 сердец, 6 звезд и 12 кругов. com/2012/08/24/solving-equations/ https://corbettmaths. Чтобы сократить алгебраическую дробь до наименьших членов, сначала разложите числитель и знаменатель; затем уменьшите (или разделите) общие факторы.Алгебраические дроби: упрощение практических вопросов Ответы Ответы из учебника 25. Несколько начальных вопросов о факторизации, факторизации квадратичных чисел и разности двух квадратов. Это одна из наших самых популярных страниц, скорее всего, потому, что изучение дробей — невероятно рабочий лист алгебраических дробей. 3Э. Рабочий лист «Упрощение дробей» Дроби в простейшей форме. Ответьте на все вопросы. Алгебраические дроби Название: _____ Инструкции • Используйте черные чернила или шариковую ручку. Посты об алгебраике, написанные corbettmaths.Источник: 2014 N5 Maths P2, Q9 Это дроби, состоящие из букв и цифр. A4b — Умножение одного члена над скобкой. Классы: 4-5. Раздел 1 Факторинг и алгебраические дроби. Рабочие листы pptx (слайды), 5 заданий в день, карточки для проверки и многое другое. Содержимое загрузки: Обычный урок PowerPoint, с помощью которого вы можете использовать кликер/мышь/клавиатуру для продолжения анимации и демонстрации полностью анимированных и проработанных решений. Посмотрите пример ниже. Часть дробей Сложение алгебраических дробей 21 — Алгебраические дроби: дополнение 24 — Алгебраические дроби: упрощение Прочитайте примечания на странице и выполните алгебраическое исследование. Рабочий лист GCSE по математике, посвященный упрощению алгебраических уравнений. б неизвестно. Некоторые термины содержат более одной переменной. 1 х 2 — х — 1 х 3 — х. Видео, рабочие листы, 5-в-день и многое другое Упрощение алгебраических дробей Ответы учебника — Corbettmaths. Пожалуйста, ознакомьтесь с инструкциями здесь, где вы найдете полезную информацию для проведения таких видов деятельности со своими учащимися. Ссылки на сложность и режим относятся к общей сложности задач по мере их появления в основной программе.!В начальной школе 400 учеников. Фракции суммы: проверьте свои знания. Упростите алгебраические дроби. Раскройте скобки, чтобы получить следующее выражение: E. nike legacy 91 металлическая регулируемая кепка футура. Видео и рабочие листы. GCSE 1 9 Название алгебраических дробей. Например, в этом разделе будет использоваться задача: 9x-3. pdf из MATH 100 в Северо-Западном индийском колледже. балансы, балансировка, решает, метод, алгебраические дроби: Алгебра: A17b — Решение линейных уравнений с одним неизвестным алгебраически, где неизвестное находится в обеих частях уравнения: 3-5: балансы, балансировка, решает, метод, алгебраические дроби: Алгебра: A17c — Поиск решений линейных уравнений с помощью графиков: 3-5 Упрощение алгебры. Эти pdf-файлы рекомендуются для учащихся 5, 6 и 7 классов. !Из 400 учеников 88 играют на музыкальных инструментах. Упрощение простых алгебраических дробей Труднее C Math Worksheet From The Algebra Works Fractions Worksheets Математические дроби Worksheets Алгебра Worksheets Эти листы будут генерировать 10 умножение дроби … Вычисление выражений с дробями CK-12 Foundation. Этот рабочий лист по математике был создан 11 октября 2019 г. и был просмотрен 211 раз на этой неделе и 857 раз в этом месяце.7 отзывов. алгебраические дроби Корбетт Математика. Объявление Самая полная библиотека бесплатных печатных рабочих листов цифровых игр для детей. Алгебраические дроби: сложение. Практика Questi pdf, 19. ! Упрощение алгебраических дробей Видео 24 на Corbettmaths Doing Worksheet for Joy Комментарии к: Упрощение алгебраических дробей Рабочий лист Corbettmaths Ключевой навык 2: Упрощение алгебраических дробей — использование квадратичных чисел Когда дроби содержат квадратное число, вам сначала нужно разложить его на множители, чтобы упростить. Построение линейных графиков. Если a = 3, скажем, когда вы подставляете его в 2a, ответ равен 6. 15 x 2 3 x 1 5 15 3 15 x 2 3 15 x 1 3 45 5 x 23 x 1 45 5 x 103 x 3 45 8 x 7 45 8 x 52 x 52 8 13 2 Стр. 5. Приложение для отслеживания лучших снимков Android. Уровень 5 — Вопросы смешанной алгебраической дроби. 20 сентября 2019 г. 23. Страница рабочего листа «Упрощение фракций». Инструкции по алгебраическим дробям Используйте черные чернила или шариковую ручку. com, где неизвестные распространены, а переменные являются нормой. Полностью упростите дробь dfrac a 2 a 6 ab 3b.Работа с алгебраическими дробями. Ответы на рабочий лист – Corbettmaths. O&C Уровень O Элементарная математика 1 (альтернативный документ), QP S665, 1956, Q5. Это означает, что большинство ссылок на этой странице еще не активны. Мы организуем плитки, группируя похожие термины. Умножение и деление алгебры… Сопоставление кубического графа Математический ресурс недели Блог мистера Бартона Упростите рабочий лист алгебраических дробей и ответы для ks3 Teachwire Преподавание TicktockMaths Resources by Richard Tock алгебра diffeiated рабочие листы это забавная раскраска с 9 вопросами студент решает уравнение находит решение одновременной практики в решении уравнений. .. Дайте детям огромный арифметический вес с помощью наших печатных рабочих листов, оценивающих числовые выражения с круглыми скобками, и помогите им упростить арифметические выражения с одной или несколькими частями в скобках и вложенными круглыми скобками.27. Урок 1 – Упрощение алгебраических дробей. Сформулируйте частное в простейшей форме, я выражаю каждый домен, беру выражение. Уменьшать. Калькулятор помогает расширять и упрощать выражение онлайн, для этого калькулятор сочетает функции упрощенного калькулятора и расширенного калькулятора. Чтобы решить уравнения, используйте принципы сложения и умножения, чтобы избавиться от 1. pptx, 100. Нужные вам страницы находятся ниже! Вот наша подборка листов по базовой алгебре, которые стоит попробовать. 5-дневный GCSE 9-1. Упрощение дробей.Решение уравнений (пересмотр блока 1) При решении уравнения возможно дробное решение: Видео 9 на www. Вы должны войти в систему, чтобы сохранить рабочий лист. 25 57 678 426 96 5748 482 2504 4241 2173 2846 1635 4389 3377. Кингстон. В 4n + 6b – 8 есть 3 термина. Эти термины: Подобные термины. Упрощение алгебраических выражений. Деятельность {Набор рабочих листов} by. Комбинируйте одинаковые термины и используйте порядок операций для упрощения алгебраических выражений. Прежде чем мы погрузимся в анализ «подобных терминов», давайте сначала алгебра чисел, умножение и деление десятичных дробей, сбор одинаковых терминов, оценка, законы индексов, расширение и упрощение отрицательных и дробных индексов, факторизующие выражения, наивысший общий множитель, наименьший общий множественный факторинг, квадратичные произведения, произведение простых множителей, стандартные преобразования форм, стандартные. Вычисления форм Вычисления сурдов Линейные алгебраические дроби: Добавление практических вопросов Ответы Ответы из учебника 22.Я люблю создавать ресурсы, которые являются дифференцированными, сложными, а также привлекательными. Функции. Рабочий лист Корбетта по математике. Стандарт. ком. Упражнения здесь содержат выражения с участием Polymathlove. Упрощение выражений может быть очень трудным для студентов, потому что я видел многие из моих видеороликов «Умножение алгебраических дробей» 23 на Corbettmaths. Вопрос 3: Выразите следующее в виде одной дроби. Вид. Посетите его отличный веб-сайт, чтобы найти больше видео, упражнений из учебников, экзаменационных вопросов, 5 дней в день и многого другого! Алгебраические дроби: сложение Видео 21 Алгебраические дроби: деление Видео 22 Алгебраические дроби: умножение Видео 23 Алгебраические дроби: упрощение Видео 24 Алгебра.2 + а — 6}{аб + 3б}. Не спотыкайтесь на распространенных ошибках. Также содержит ответы. Пример 1 Упростить $a \times a$ . [Edexcel IGCSE May2016-4H Q15a] Запишите +3 5 + −2 3 в виде одной дроби в ее простейшей форме. Информация об оценках за каждый вопрос указана в скобках. Полностью упростите следующую алгебраическую дробь: \dfrac {2x + 4} {3xy} \times \dfrac {x} {x + 2} [4 балла] Шаг 1: Умножьте верх на верх и низ на низ. Есть также рабочие листы для математических задач и научных обозначений! Рабочие листы алгебраических дробей. Начните с числителя: 9x – 3. Алгебраические дроби Материалы, необходимые для экзамена Предметы, включенные в экзаменационные листы Линейка с градуировкой в сантиметрах и ноль миллиметров, транспортир, циркуль, ручка, карандаш HB, ластик. Перейти к Алгебраические выражения I 10 вопросов. Практические вопросы по раскрытию скобок — Corbettmaths. Видео из Университета Лидса.
8. com/2012/08/24/решение-уравнений-с-буквами-на-обеих-сторонах/ Kuta Software — Infinite Pre-Algebra Name_____ Упрощение переменных выражений Дата_____ Период____ Упростите каждое выражение.Важное правило
Чтобы получить наименьшую форму:
Используйте НАИБОЛЕЕ БОЛЬШОЕ число, которое будет делить и числитель, и знаменатель. Вопросы. Видео — Corbett Maths Упрощение алгебраических дробей: Видео — DLB Maths SQA 2014 Paper 2 Q9 решение: Видео — Mr Graham Maths 1. Расчет с границами . Упражнения. Такие темы, как упрощение линейных выражений и полиномиальных выражений; включены упрощающие выражения, содержащие несколько переменных и показатели степени. … Расширяйте и упрощайте с помощью одинарных скобок.{c}\)

$a_{b}$

$\sqrt{a}$

$\sqrt[b]{a}$

$\frac{a}{ б}$

$\cfrac{a}{b}$

$+$

$-$

$\times$

$\div$

$\pm$

$\cdot$

$\amalg$

$\ast$

$\barwedge$

$\bigcirc$

$ \bigodot$

$\bigoplus$

$\bigotimes$

$\bigsqcup$

$\bigstar$

$\bigtriangledown$

$\bigtriangledown$ \)

$\blacklozenge$

$\blacksquare$

$\blacktriangle$

$\blacktriangledown$

$\bullet$

$\cap$

$\чашка$

$\circ$

$\circledcirc$

$\dagger$

$\ddagger$

$\diamond$

$\dotplus$

$\ромб$

$\mp$

$\ominus$

$\oplus$

$\oslash$

$\otimes$

$\setminus$

$ \sqcap$

$\sqcup$

$\square$

$\star$

$\triangle$

$\triangledown$

$\triangleleft $

$\Cap$

$\Cup$

$\upplus$

$\vee$

$\veebar$

$\клин$

$\wr$

$\следовательно$

$\left ( a \right )$

$\left \| a \right \|$

$\left [ a \right ]$

$\left \{ a \right \}$

$\left \lceil a \right \rceil$

$\слева \lпол a \справа \rпол$

$\слева ( a \справа )$

$\vert a \vert$

$\leftarrow$

\ (\leftharpoondown\)

$\leftharpoonup$

$\leftrightarrow$

$\leftrightharpoons$

$\mapsto$

$\rightarrow$

$\ rightharpoondown$

$\rightharpoonup$

$\rightleftharpoons$

$\to$

$\Стрелка влево$

$\Стрелка вправо$

$\Стрелка вправо$ )

$\overset{a}{\leftarrow}$

$\overset{a}{\rightarrow}$

$\приблизительно $

$\asymp $

\ (\cong \)

$\dashv $

$\doteq $

$= $

$\equiv $

$\frown $

9000 2 $\geq $

$\geqslant $

$\gg $

$\gt $

$| $

$\leq $

$\leqslant $

$\ll $

$\lt $

$\models $

$\neq $

$\ngeqslant $

$\ngtr $

$\nleqslant $

$\nless $

$\not\equiv $

$\overset{\ underset{\mathrm{def}}{}}{=} $

$\parallel $

$\perp $

$\prec $

$\preceq $

$\sim$

$\simeq$

$\smile$

$\succ$

$\succeq$

$\vdash$

$ \in $

$\ni $

$\notin $

$\nsubseteq $

$\nsupseteq $

$\sqsubset $

$\sqsubseteq $

$\sqsupset $

$\sqsupseteq $

$\subset $

$\subseteq $

$\subseteqq $

$\supseteqq $

$\супсете q $

$\supseteqq $

$\emptyset$

$\mathbb{N}$

$\mathbb{Z}$

$\mathbb{Q} $

$\mathbb{R}$

$\mathbb{C}$

$\alpha$

$\beta$

$\gamma$

$\delta$

$\epsilon$

$\zeta$

$\eta$

$\theta$

$\iota$

$ \kappa$

$\lambda$

$\mu$

$\nu$

$\xi$

$\pi$

$\rho $

$\sigma$

$\tau$

$\upsilon$

$\phi$

$\chi$

$\psi$

$\omega$

$\Gamma$

$\Delta$

$\Theta$

$\Lambda$

$\Xi$

3

$\Pi$

$\Sigma$

$\Ипсилон$

$\Phi$

$\Ps i$

$\Omega$

$(a)$

$[a]$

$\lbrace{a}\rbrace$

$\frac{a +b}{c+d}$

$\vec{a}$

$\binom {a} {b}$

${a \brack b}$

\ ({a \brace b}\)

$\sin$

$\cos$

$\tan$

$\cot$

$\sec$

$\csc$

$\sinh$

$\cosh$

$\tanh$

$\coth$

$\bigcap {a}$

$\bigcap_{b}^{} a$

$\bigcup {a}$

$\bigcup_{b}^{} a$

$\coprod {a} $

$\coprod_{b}^{} a$

$\prod {a}$

$\prod_{b}^{} a$

$\sum_{ a=1}^b$

$\sum_{b}^{} a$

$\sum {a}$

$\underset{a \to b}\lim$

$\int {a}$

$\int_{b}^{} a$

$\iint {a}$

$\iint_{b}^{} а$

$\int_{a}^{b}{c}$

$\iint_{a}^{b}{c}$

$\iiint_{a}^{ b}{c}$

$\oint{a}$

$\oint_{b}^{} a$

Решения NCERT для математики класса 8 Глава 14 Факторизация

Решения NCERT для класса 8 Математика Глава 14 Факторизация

Решения NCERT для математики класса 8 Глава 14 Факторизация Упражнение 14. 1

Упр. 14.1 Класс 8 Математика Вопрос 1.
Найдите общие множители данных терминов.
(i) 12x, 36
(II) 2y, 22xy
(III) 14pq, 28p ² Q ² ² ², 4
(v) 6abc, 24ab ² , 12a ² b
(vi) 16x ³, -4x ², 32x ², 32x
(VII) 10PQ, 20QR, 30RP
(VIII) 3X ² Y ³, 10x ³ y ² , 6x ² y ² z
Решение:
(i) 12x, 36
(2 × 2 × 3 × x) и (2 × 2 × 3 × 3)
Общие делители равны 2 × 2 × 3 = 12
Следовательно, общий множитель = 12

(ii) 2y, 22xy
= (2 × y) и (2 × 11 × x × y)
Общие делители: 2 × y = 2y
Следовательно, общий делитель = 2y

(iii) 14pq, 28p ² q ²
= (2 × 7 × p × q) и (2 × 2 × 7 × p × p × q × q)
Общие множители: 2 × 7 × p × q = 14pq
Следовательно, общий делитель = 14pq

(iv) 2x, 3x ² , 4
= (2 × x), (3 × x × x) и (2 × 2)
Общий делитель равен 1
Следовательно, общий делитель = 1 [∵ 1 множитель каждого числа]

(v) 6abc, 24ab ² , 12a ² b
= (2 × 3 × a × b × c), (2 × 2 × 2 × 3 × a × b × b) и (2 × 2 × 3 × a × a × b)
Общие делители равны 2 × 3 × a × b = 6ab
Следовательно, общий делитель = 6ab

(vi) 16x ³ , -4x ² , 32x
= (2 × 2 × 2 × 2 × x × x × x), -(2 × 2 × x × x), (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × x)
Общие делители равны 2 × 2 × x = 4x
Следовательно, общий делитель = 4x

(vii) 10pq, 20qr, 30rp
= (2 × 5 × p × q), (2 × 2 × 5 × q × r), (2 × 3 × 5 × r × p)
Общие множители: 2 × 5 = 10
Следовательно, общий множитель = 10

(viii) 3x ² y ² , 10x ³ y ² , 6x ² y ^{2 ? x × x × x × y × y), (2 × 3 × x × x × x × y × y × z)
Общие множители: x × x × y × y = x ² y ²
Следовательно, общий делитель = x ² y ² .}

Упражнение 14.1 Класс 8 по математике Вопрос 2.
Разложите на множители следующие выражения.
(i) 7x – 42
(ii) 6p – 12q
(iii) 7a ² + 14a
(iv) -16z + 20z ³
(v) 20l ²al + 9 3 5x ² Y — 15xy ²
(VII) 10A ² — 15B ² + 20C ² ^{6 (VIII) -4A ² + 4AB — 4CA
(IX) X ² YZ + xy ² z + xyz ²
(x) ax ² y + bxy ² + cxyz
Решение:
(i) 7x – 42 = 7(x – 6) 9026p – ( 12q = 6(p – 2q)
(iii) 7a ² + 14a = 7a(a + 2)
(iv) -16z + 20z ³ = 4z(-4 + 5z ² )
(v ) 20L ² M + 30ALM = 10LM (2L + 3A)
(VI) 5x ² y — 15xy ² = 5xy (x — 3y)} = 5xy (x — 3y) = 5xy (x — 3y) ^{6 (vii) 10a ² — 15b ² + 20c ² = 5(2a ² – 3b ² + 4c ² )
(viii) -4a ² + 4ab – 4ca = 4a(-a + b – c) 902 ² yz + xy ^{2 91 623 z + xyz ² = xyz(x + y + z)
(x) ax ² y + bxy ² + cxyz = xy(ax + by + cz)}}

Пример 14. 1 Класс 8 по математике Вопрос 3.
Факторизация:
(i) x ² + xy + 8x + 8y
(ii) 15xy – 6x + 5y – 2
(iii) ax + bx – ay – by
(iv) 15pq + 15 + 9q + 25p
(v) z – 7 + 7xy – xyz
Решение:
(i) x ² + xy + 8x + 8y
Группируя члены, имеем
x ² + xy + 8x + 8y
= x(x + y) + 8(x + y)
= (x + y)(x + 8)
Отсюда искомые множители = (x + y)(x + 8)

(ii) 15xy – 6x + 5y – 2
Группируя члены, мы имеем
(15xy – 6x) + (5y – 2)
= 3x(5y – 2) + (5y – 2)
= (5y – 2) )(3x + 1)

(iii) ax + bx – ay – by
Группируя термины, имеем
= (ax – ay) + (bx – by)
= a(x – y) + b(x – y)
= (x – y)(a + b)
Отсюда искомые множители = (x – y)(a + b)

(iv) 15pq + 15 + 9q + 25p
Группируя члены, имеем
= (15pq + 25p) + (9q + 15)
= 5p(3q + 5) + 3(3q + 5)
= (3q + 5) (5p + 3)
Отсюда искомые множители = (3q + 5) (5p + 3)

(v) z – 7 + 7xy – xyz
Группируя члены, имеем
= (-xyz + 7xy) + (z – 7)
= -xy(z – 7) + 1 (z – 7)
= (-xy + 1) (z – 1)
Отсюда искомый коэффициент = -(1 – xy) (z – 7)