Как решить иррациональное уравнение: Иррациональные уравнения. Подробная теория с примерами. – Примеры решения иррациональных уравнений | Подготовка к ЕГЭ по математике

Иррациональные уравнения. Можно ли писать ОДЗ?

Анна Малкова

Иррациональными называются уравнения, содержащие знак корня – квадратного, кубического или n-ной степени.

Мы помним из школьной программы: как только в уравнении или неравенстве встретились корни, дроби или логарифмы – пора вспомнить про область допустимых значений (ОДЗ) уравнения или неравенства.

По определению, ОДЗ уравнения (или неравенства) – это пересечение областей определения всех функций, входящих в уравнение или неравенство,

Например, в уравнении присутствует арифметический квадратный корень . Он определен
при .

В 2018-2019 году среди учителей появилось такое мнение, что писать слова «область допустимых значений» уже не модно. И что за это даже могут снизить оценку на экзамене.

Нет, оценку не снизят. И основных понятий школьной математики никто не отменял. Однако есть еще лучший способ оформления решения – в виде цепочки равносильных переходов. Смотрите, как решать и оформлять иррациональные уравнения:

1.Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Выражение под корнем должно быть неотрицательно. И сам корень – величина неотрицательная. Значит, и правая часть должна быть больше или равна нуля. Следовательно, уравнение равносильно системе:

Повторим, что решение таких уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Если вы не очень хорошо понимаете, что такое система уравнений и совокупность уравнений, - повторите эту тему.

или

В ответ запишем меньший из корней: - 9.

Теперь уравнение, в котором есть ловушка.

2.Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Что получилось у вас? Правильный ответ: . Если у вас получилось – это был посторонний корень. Запишите решение в виде цепочки равносильных переходов, как в задаче 1, и вы поймете, что
не может быть корнем этого уравнения.

3.Решите уравнение:

Запишем решение как цепочку равносильных преобразований. Учитесь читать такую запись и применять ее.

Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другие при этом не теряют смысла.

4.Решите уравнение:

Ответ: или .

А теперь сложное уравнение. Как это часто бывает, нас выручит замена переменной.

Причем новая переменная будет не одна, а целых две.

5.Решите уравнение

Найдем ОДЗ:
.

Мы можем, как в задаче 10, возвести обе части уравнения в квадрат. Но после этого придется еще раз возводить в квадрат, а это долгий способ.

Есть короткий путь!

Сделаем замену: , .

Выразим через и :

и . Это выражения можно приравнять друг к другу.

Получим систему

Решим одно из уравнений. Все равно, какое, - ведь нам надо найти .

Ответ: . Заметим, что является также и корнем уравнения

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Иррациональные уравнения. Основные типы уравнений

Категория: Иррациональные выражения, уравнения и неравенства

Елена Репина 2013-10-19 2019-08-12

Продолжение. Начало смотрите здесь.

 

Задание 1.

Решить уравнение: \frac{x^2}{\sqrt{2x+5}}+\sqrt{2x+5}=2x.

Решение: + показать

x=0 не является корнем уравнения, разделим обе части уравнения на x:

\frac{x}{\sqrt{2x+5}}+\frac{\sqrt{2x+5}}{x}=2;

Замена:

Пусть \frac{x}{\sqrt{2x+5}}=t.

t+\frac{1}{t}=2;

t^2-2t+1=0;

t=1;

Обратная замена:

\frac{x}{\sqrt{2x+5}}=1;

x=\sqrt{2x+5};

\begin{cases} x^2=2x+5,& &x>0; \end{cases}

\begin{cases} x^2-2x-5=0,& &x>0; \end{cases}

x=1+\sqrt6;

Ответ: 1+\sqrt6. 

Задание 2.

Решить уравнение:  \sqrt[3]{12-x}+\sqrt[3]{14+x}=2.

Решение: + показать

Задание 3.

Решить уравнение: \sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16.

Решение: + показать

Возведем обе части в квадрат:

2x+3+2\sqrt{2x+3}\sqrt{x+1}+x+1=(3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16)^2;

3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}=(3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16)^2;

Обратите внимание, что при этом x\geq -1,  а также 3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16\geq 0.

То есть перед нами система

\begin{cases} 3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}=(3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16)^2,& &x\geq -1,& &2\sqrt{2x^2+5x+3}\geq 16-3x; \end{cases}

Выйдем на время из системы и решим уравнение 3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}=(3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16)^2 через замену переменной: t=3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}.

Тогда имеем:

t=(t-20)^2, при этом t\geq 20 (см. последнее неравенство системы)

t^2-41t+400=0,\;t\geq 20;

t=\frac{41\pm \sqrt{41^2-1600}}{2},\;t\geq 20;

t=\frac{41\pm 9}{2},\;t\geq 20;

t=25;

Обратная замена:

3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}=25,

2\sqrt{2x^2+5x+3}=21-3x;

8x^2+20x+12=(21-3x)^2,\;x\leq 7;

8x^2+20x+12=441-126x+9x^2,\;x\leq 7;

x^2-146x+429=0,\;x\leq 7;

x=73\pm 70,\;x\leq 7;

x=3;

Найденный корень удовлетворяет исходной системе.

Ответ: 3. 

Задание 4.

Решить уравнение: \sqrt{x+5-4\sqrt{x+1}}+\sqrt{x+2-2\sqrt{x+1}}=1.

Решение: + показать

Выделим полный квадрат под корнями:

x+5-4\sqrt{x+1}=(\sqrt{x+1}-2)^2,\; x+2-2\sqrt{x+1}=(\sqrt{x+1}-1)^2.

Тогда \sqrt{(\sqrt{x+1}-2)^2}+\sqrt{(\sqrt{x+1}-1)^2}=1;

Стало быть,

\sqrt{(\sqrt{x+1}-2)^2}+\sqrt{(\sqrt{x+1}-1)^2}=1;

Нам предстоит раскрыть модули.

У нас три случая:

1) \sqrt{x+1}>2, то есть x>3;

2) 1\leq \sqrt{x+1}\leq  2, то есть 0\leq x\leq 3;

3) \sqrt{x+1}<1, то есть -1\leq x<0;

Итак,

\left[\begin{gathered} \begin{cases} x>3,& &\sqrt{x+1}-2+\sqrt{x+1}-1=1; \end{cases}& \begin{cases} 0\leq x\leq 3,& &-\sqrt{x+1}+2+\sqrt{x+1}-1=1; \end{cases}& \begin{cases} -1\leq x<0,& &-\sqrt{x+1}+2-\sqrt{x+1}+1=1; \end{cases} \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered} \begin{cases} x>3,& &\sqrt{x+1}=2; \end{cases}& \begin{cases} 0\leq x\leq 3,& &1=1; \end{cases}& \begin{cases} -1\leq x<0,& &\sqrt{x+1}=1; \end{cases} \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered} \begin{cases} x>3,& &x=3; \end{cases}& 0\leq x\leq 3;& \begin{cases} -1\leq x<0,& &x=0; \end{cases} \end{gathered}\right&

Откуда 0\leq x\leq 3. 

Ответ: [0;3].

Задачи для самостоятельной работы

 

Решить уравнения:

1. \frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{13-x^2}}=\frac{5}{6};

Ответ: + показать

2;\;3;\;-\frac{\sqrt{481}+13}{10}

2. \sqrt[3]{x-16}=\sqrt[3]{x+3}-1;

Ответ: + показать

-11; 24

3. \sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1;

Ответ: + показать

[5;10]

4. \sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}+2\sqrt{x^2+2x-3}=4-2x;

Ответ: + показать

1

Автор: egeMax | комментария 3

Тема урока: "Иррациональные уравнения"

Важным моментом в подготовке к итоговой аттестации является организация обобщающего повторения. Умения решать уравнения отрабатывается в течение всего школьного курса математики. Иррациональные уравнения, как правило, вызывают затруднения, поэтому требуют хорошего знания теоретического материала, умения проводить исследования различных ситуаций.

Большинство ошибок связано с формальным и поверхностным усвоением учащимися основных понятий и методов решения иррациональных уравнений. У большинства учащихся единственным устойчивым знанием является применение метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень, при этом часто забывают делать проверку найденных корней. Для многих этот метод является единственным.

Предлагаемый материал позволяет следующие:

  • возместить отсутствие единого обобщения по данной теме в курсе алгебры 11-го класса;
  • повторить основные теоретические понятия;
  • закрепить основные способы решения иррациональных уравнений;
  • закрепить нестандартные способы решения иррациональных уравнений.

Иррациональные уравнения.

Определение. Уравнение с одной переменной f(x)=g(x) называется иррациональным, если хотя бы одна функция f(x) или g(x) содержит переменную x под знаком радикала.

При решении иррациональных уравнений используют тождественные преобразования, применяют метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень, а также метод введения новых переменных.

Теорема. Если возвести обе части уравнения f(x)=g(x) в натуральную степень n, то полученное уравнение fn(x)=gn(x) является следствием данного уравнения.

Основными причинами появления посторонних корней является возведение обеих частей уравнения в одну и ту же чётную степень, расширение области определения и др. По этим причинам необходимой частью решения иррационального уравнения является проверка, либо использование области определения заданного уравнения.

1. Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Возведя обе части уравнения в квадрат, получим

Сделав проверку, убеждаемся, что оба они являются его корнями. Это уравнение служит примером того, что возведение в квадрат исходного уравнения не всегда приводит к появлению посторонних корней.

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Найдём область определения уравнения: [2; ?). Возведём обе части уравнения в квадрат, уединим затем полученный радикал и возведём ещё раз в квадрат. Получим корни уравнения

После проверки получим корень уравнения

Ответ:

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Уравнение перепишем так: Возведём обе части в квадрат, получим

x=2 проверить нетрудно, а проверять громоздко. Однако заметим, что при этом значении отрицательно. Значит, не является решением уравнения.

Ответ: х=2.

2. Метод введения новых переменных.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Умножив обе части уравнения на 2, получим:

Обозначив получим:

Далее,

Ответ:

Пример 5. Решить уравнение:

Решение. Обозначим тогда

Составим систему уравнений:

Решением системы является (0; 2) и (2; 0). Таким образом, решение данного уравнения свелось к решению следующей совокупности систем уравнений:

и

Решив эту совокупность, находим

Ответ: -15; 1.

3. Искусственные приёмы решения иррациональных уравнений.

Пример 6. Решить уравнение

Решение. Умножим обе части уравнения на выражение

После преобразования уравнение примет вид:

- корень уравнения. Теперь решим уравнение

Почленно сложив это уравнение с данным, придем к уравнению:

Решая это уравнение методом возведения в квадрат, получим Но, х=-4 посторонний корень.

Ответ: 0; 4.

Заменой неизвестной величины решение иррациональных уравнений можно свести к решению тригонометрических уравнений.

При этом полезно помнить:

Если в уравнение входит то замена или

Если в уравнение входит то замена

Если в уравнение входит то или

Пример 7. Решить уравнение

Решение. Сделаем замену получим:

Так как то

и

Учитывая, что получим Поэтому,

Ответ:

4. Использование монотонности функции.

Иногда при решении уравнений не видно преобразований, которые позволяют увидеть замену или применить один из известных способов, хотя сразу виден один или более корней.

Пример 8. Решить уравнение

Можно решить это уравнение путем двукратного возведения в квадрат. Но рассмотрим другой метод:

Подберём один или несколько корней уравнения.

Докажем, что других корней нет или найти остальные корни.

После проверки - корень уравнения. Так как функция возрастает в области определения, а монотонная функция принимает каждое своё значения один раз, то других корней уравнение не имеет.

Ответ:1.

Пример 9. Решить уравнение

Решение. При проверке - корень уравнения. Для того, чтобы использовать свойство монотонности функции, преобразуем левую часть уравнения.

Так как функция убывает в области определения, то - единственный корень.

Ответ: 1.

Устно.

Доказать, что уравнения не имеют корней:

Дополнительные уравнения.

1. Ответ: 4. Новые переменные.

2. Ответ: 6. Возведение в квадрат.

3. Ответ: 0. Возведение в квадрат.

4. Ответ: -2; 2. Искусственный способ.

5. Ответ 0; 2. Замена.

6. Ответ: Замена.

7. Ответ: К тригонометрическому уравнению.

8. Сколько корней на имеет уравнение

Ответ: 3 корня..

9. Ответ: 1. Монотонность.

10. Ответ: 1. Монотонность.

Материалы этой статьи будут полезны при подготовке к итоговой аттестации и ЕГЭ, а также при изучении данной темы.

Иррациональные уравнения

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом и первичное его закрепление.

Цель урока: рассмотреть решение некоторых типов иррациональных уравнений; закрепить знания, умения и навыки решения иррациональных уравнений.

Задачи:

- формировать у учащихся умение решать иррациональные уравнения различными способами, отработать навыки решения иррациональных уравнений;

- развитие алгоритмического мышления, памяти, внимательности; операционного мышления, направленного на выбор оптимальных методов решений;

- развитие у учащихся умения излагать мысли, делать выводы, обобщения; развитие познавательного интереса, логического мышления, воспитывать умение преодолевать трудности при решении задач;

- усиление познавательной мотивации осознанием ученика своей значимости в образовательном процессе;

- воспитание у учащихся самостоятельности, способствовать выработке умения обобщать изучаемые факты.

Материал разработан применительно к учебнику “Алгебра и начала анализа, 10-11” под редакцией А.Н. Колмогорова.

Методы работы:

  • наглядный,
  • практический,
  • проблемно-поисковый,
  • метод самостоятельной работы,
  • словесный

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, самостоятельная.

Необходимое техническое оборудование: доска Smart Board, мультимедийный проектор, компьютерный класс с доступом в сеть Интернет, презентация (Приложение1).

План урока.

I. Актуализация (10 мин.)

  1. Проверка домашнего задания.
  2. Повторение пройденного материала.

II. Объяснение нового материала (10 мин.)

  1. Сообщение темы урока.
  2. Постановка целей и задач.
  3. Рассмотреть некоторые способы решения иррациональных уравнений.

III. Закрепление изученного материала (10 мин.)

IV. Подведение итогов (2 мин.)

V. Домашнее задание (2 мин.)

VI. Самостоятельная работа (10 мин.)

Ход урока

Здравствуйте, ребята. Улыбнитесь и подарите теплоту своих сердец друг другу.

Эпиграфом к нашему уроку я бы взяла слова великого учёного, математика Древней Греции Евклида: “Познание мира ведет к совершенствованию души”.

Действительно, для достижения духовного совершенства мы познаем мир. Мы изучаем теорию, методы решения задач и уравнений.

А начнём мы наш урок с проверки домашнего задания. Есть ли вопросы по выполнению?

Кто желает проверить свои знания по карточкам? / 2 ученика работают на доске, два получают разноуровневые карточки в форме лепестков ромашки, задания которых выполняют на месте на листочках /

Жёлтый лепесток ромашки - =3

Зелёный - = х

Синий =3

Красный -

В учебной среде Телешкола сегодня работают ___________ откройте урок 8 на странице 2, выполните математический тренажер на оценку.

А с вами мы пройдёмся по дидактическим островкам.

Умение рассуждать логически важно в жизни каждого человека.

“Все наше достоинство в мысли!”. Паскаль

Воспользуемся нашим достоинством в теоретическом марафоне.

(Все остальные выполняют задания, спроектированные на доску.)

Учитель: Давайте напомним, какую тему мы начали изучать на прошлом уроке? Иррациональные уравнения.

- Какие уравнения называются иррациональными?

/ Иррациональными называются уравнения, содержащие переменную под знаком радикала./ - Какую практическую направленность имеет эта тема? / Необходимость изучения решения иррациональных уравнений очевидна, иррациональным уравнением выражаются формулы, описывающие многие физические процессы:

  • равноускоренное движение;
  • 1 и 2 космические скорости;
  • среднее значение скорости теплового движения молекул;
  • период радиоактивного полураспада и другие.

А так же иррациональные уравнения использует статистика..

Учитель: Вы правы, а ещё не следует забывать, что в этом году вам предстоят сложные испытания – сдача государственного экзамена, а в работе эта тема всегда присутствует. Так что к ней нужно отнестись очень серьёзно.

Прошу вашего внимания на доску. Здесь расположены карточки, на которых записаны уравнения. Кто выберет среди данных уравнений иррациональные? Работа с интерактивной доской

/ Ученик работает с доской Smart Board – находит и перетаскивает карточки с иррациональными уравнениями /.

-Что значит решить уравнение? / Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что оно не имеют корней /

Каким способом мы решали эти уравнения? / Возведением обеих частей уравнения в степень, равную показателю степени/

Учитель: Кто сформулирует способ решения иррациональных уравнений? / Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррациональных к рациональному путём возведения обеих частей в степень, равную показателю степени. Однако при этом возможно появление посторонних корней, значит, надо не забыть, при этом, сделать проверку./

Все ли иррациональные уравнения можно решить только этим способом? Перед вами следующее уравнение. Как будем решать это уравнение?

При возведение в куб обеих частей уравнения оно примет ещё более сложный вид.

Значит, наверное, есть более рациональный способ решения?

Как вы считаете, какие задачи стоят перед нами на сегодняшнем уроке?

/ Изучить новые способы решения иррациональных уравнений /.

Запишите в тетради число и тему урока:Иррациональные уравнения. Решение уравнений ”

И записываем задание № 4.

"Метод замены переменных" разбирается на примере решения уравнения. Начинает учитель, заканчивает ученик.

Получаем систему уравнений: решив систему, получаем

Итак, имеем два уравнения:

Ответ: 36; -55.

Таким образом, мы рассмотрели решение иррациональных уравнений методом замены переменных. Каков же план решения уравнений этим способом? (Ученики участвуют в формулировке.)

Чтобы решить иррациональное уравнение методом замены переменных нужно:

  • Вводим две неизвестные величины (и,v)
  • Составляем 1 уравнение в систему
  • Возводим уравнения в степень (избавляемся от корня)
  • Составляем 2 уравнение в систему (избавляемся от x)
  • Решаем систему, находим и или v
  • Решаем простейшее уравнение, записываем ответ.

Закрепление

Далее ученикам предлагается решить следующие уравнения:

№1 

Решение: пусть

Получаем систему уравнений:

итак, u=4

3х+1=16

х=5

Проверка: х=5 корень

Ответ х=5

Физкультминутка

Сегодня я бы хотела показать вам еще один способ решения иррациональных уравнений. Это функционально- графический способ. Так как этот способ дает нам не точные значения переменной, то его используют реже. Однако встречаются уравнения, которые можно и легче решить именно этим способом. Посмотрите, как это делается. Внимание на экран.

Показываю презентацию

Решить уравнение (рис. 1, 2, 3).

IV. Работа по группам.

А теперь проведём тестирование.

5 человек работают на компьютере на рабочем столе папка “Тестирование” остальные на месте выполняют самостоятельную работу по карточкам.

Самостоятельная работа

Ответы:

№ варианта 1 2 3
Вариант 1 8 0; 4 0; 3; 4
Вариант 2 5 0; -1 0; -2

Итоги урока: Итак, ребята!

– Какие способы решения иррациональных уравнений мы рассмотрели?

Давайте обсудим достоинства и недостатки рассмотренных способов.

1. Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень, что и степень корня

Вывод: При решении иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и туже степень необходимо вести словесную запись, что делает решение понятным и доступным. Однако обязательная проверка иногда бывает громоздкой и занимает много времени. Этот метод можно использовать для несложных иррациональных уравнений, содержащих 1-2 радикала.

2. Функционально графический метод

Достоинства Недостатки
1. Наглядность 1. Словесная запись
2. Если ответ точный, то нужна проверка. 2. Ответ может быть приближенным, не точным

Вывод: Функционально графический метод – это наглядный метод, но применять его лучше тогда, когда легко можно построить графики рассматриваемых функций и получить точный ответ. Если ответ приближенный, то лучше воспользоваться другим методом.

3. Метод введения новых переменных

Вывод: Этот метод лучше применять для иррациональных уравнений, содержащих радикалы различных степеней, или одинаковые многочлены под знаком корня и за знаком корня, или взаимообратные выражения под знаками корня.

Учитель: Вы видите, что для каждого иррационального уравнения необходимо выбирать наиболее рациональный способ решения: понятный, доступный, логически грамотно оформленный.

Продолжите фразы:

Мне было интересно…. Мне было трудно… Мне было непонятно… Свою работу я оцениваю как … Я научился… Я надеюсь… Я думаю…. Я считаю…

Я желаю Вам достичь заветной цели, а главное стремиться к постоянному самосовершенствованию.

“Да, мир познания не гладок.
И знаем мы со школьных лет
Загадок больше, чем разгадок,
И поискам предела нет!”

Сегодня на уроке вы поработали, поэтому за работу на уроке сегодня получают оценки

Домашние задания сегодня вы получаете в пяти вариантах. Задания данной работы соответствуют прототипам заданий 6 из открытого банка заданий ЕГЭ по математике. Считаю, что это будет полезно каждому для подготовки к экзаменам. Приложение 2

Решение иррациональных уравнений через преобразования

Примеры, решения

Пришло время рассмотреть, как перечисленные в предыдущем пункте преобразования используются при решении иррациональных уравнений. Давайте остановимся на каждом преобразовании. Будем придерживаться последовательности изложения, которую диктует наш список. На очевидных преобразованиях сильно задерживаться не будем. А наиболее характерные для иррациональных уравнений преобразования рассмотрим подробно. Для них обговорим все нюансы, и посмотрим на них в готовых решениях характерных иррациональных уравнений.

Первое интересующее нас преобразование – это замена выражений в уравнении тождественно равными им выражениями. Оно является равносильным, если область допустимых значений для уравнения, полученного в результате преобразования, такая же, как ОДЗ для исходного уравнения. Из этого понятно, что есть две основные причины возникновения ошибок при проведении этого преобразования: первая – это изменение ОДЗ, происходящее в результате проведенного преобразования, вторая – это замена выражения не тождественно равным ему выражением. Разберем эти аспекты подробно и по порядку, рассматривая примеры типичных преобразований этого вида.

Сначала пробежимся по типичным преобразованиям уравнений, заключающимся в замене выражения тождественно равным ему выражением, которые всегда являются равносильными:

  • Перестановка местами слагаемых и множителей. Это преобразование можно проводить как в левой, так и в правой части иррационального уравнения. Оно может использоваться, например, для группировки и последующего приведения подобных слагаемых с целью упрощения вида уравнения для его дальнейшего решения. Перестановка местами слагаемых или множителей, очевидно, является равносильным преобразованием уравнения. Оно и понятно: исходное выражение и выражение с переставленными местами слагаемыми или множителями являются тождественно равными (если, конечно, перестановка осуществлена корректно), и очевидно, что такое преобразование не изменяет ОДЗ. Приведем пример. В левой части иррационального уравнения в произведении x·3·x можно переставить местами первый и второй множители x и 3, что в дальнейшем позволит представить многочлен, находящийся под знаком корня, в стандартном виде. А в правой части уравнения в сумме 4+x+5 можно провести перестановку местами слагаемых 4 и x, что в дальнейшем позволит выполнить сложение чисел 4 и 5. После указанных перестановок иррациональное уравнение примет вид , полученное уравнение равносильно исходному.
  • Раскрытие скобок. Равносильность этого преобразования уравнений очевидна: выражения до и после раскрытия скобок являются тождественно равными и имеют одинаковую область допустимых значений. Для примера возьмем иррациональное уравнение . Его решение требует раскрытия скобок. Раскрыв скобки в левой части уравнения, а также в правой части уравнения придем к равносильному уравнению .
  • Группировка слагаемых и/или множителей. Это преобразование уравнения по своей сути представляет замену какого-либо выражения, являющегося частью уравнения, тождественно равным ему выражением со сгруппированными слагаемыми или множителями. Очевидно, при этом не изменяется ОДЗ. Значит, указанное преобразование уравнения является равносильным. Для иллюстрации возьмем иррациональное уравнение . Перестановка слагаемых (о ней мы говорили двумя абзацами выше) и группировка слагаемых позволяет перейти к равносильному уравнению . Цель подобной группировки слагаемых отчетливо просматривается - провести следующее равносильное преобразование , что позволит ввести новую переменную и решить иррациональное уравнение.
  • Вынесение за скобки общего множителя. Понятно, что выражения до вынесения общего множителя за скобки и после вынесения за скобки общего множителя являются тождественно равными. Также понятно, что вынесение общего множителя за скобки не изменяет ОДЗ. Поэтому, вынесение за скобки общего множителя в выражении, находящемся в составе уравнения, является равносильным преобразованием уравнения. Такое преобразование используется, например, для представления левой части уравнения в виде произведения с целью его решения методом разложения на множители. Вот конкретный пример. Рассмотрим иррациональное уравнение . Левую часть этого уравнения можно представить в виде произведения, для этого нужно вынести за скобки общий множитель . В результате этого преобразования будет получено иррациональное уравнение , равносильное исходному, которое может быть решено методом разложения на множители.
  • Замена числовых выражений их значениями. Понятно, что если в записи уравнения присутствует некоторое числовое выражение, и мы заменим это числовое выражение его значением (правильно вычисленным), то такая замена будет равносильной. Действительно, ведь по сути происходит замена выражения тождественно равным ему выражением и при этом не изменяется ОДЗ уравнения. Так, заменив в иррациональном уравнении сумму двух чисел −3 и 1 значением этой суммы, которое равно −2, получим равносильное иррациональное уравнение . Аналогично можно провести равносильное преобразование иррационального уравнения , выполнив действия с числами под знаком корня (1+2=3 и ), это преобразование приведет нас к равносильному иррациональному уравнению . А его решить несложно.
  • Выполнение действий с одночленами и многочленами, находящимися в записи иррационального уравнения. Понятно, что правильное выполнение этих действий будет приводить к равносильному уравнению. Действительно, при этом будет происходить замена выражения тождественно равным ему выражением и не будет изменяться ОДЗ. К примеру, в иррациональном уравнении можно сложить одночлены x2 и 3·x2 и перейти к равносильному ему уравнению . Еще пример: вычитание многочленов в левой части иррационального уравнения является равносильным преобразованием, которое приводит к равносильному уравнению .

Продолжаем рассматривать преобразования уравнений, состоящие в замене выражений тождественно равными им выражениями. Такие преобразования могут быть и неравносильными, так как могут изменять ОДЗ. В частности, может происходить расширение ОДЗ. Это может иметь место при приведении подобных слагаемых, при сокращении дробей, при замене нулем произведения с несколькими нулевыми множителями или дроби с равным нулю числителем и наиболее часто при использовании формул, соответствующих свойствам корней. Кстати, небрежное использование свойств корней может приводить и к сужению ОДЗ. И если преобразования, расширяющие ОДЗ, допустимы при решении уравнений (они могут быть причиной возникновения посторонних корней, которые определенным образом отсеиваются), то от преобразований, сужающих ОДЗ, нужно в обязательном порядке отказаться, так как они могут быть причиной потери корней. Остановимся на этих моментах.

  • Приведение подобных слагаемых в уравнении может быть неравносильным преобразованием! Приведение подобных слагаемых может дать нуль, при этом ОДЗ может расшириться. Вот пример. ОДЗ для иррационального уравнения определяется условиями , они задают множество [−1, 0)∪(0, +∞). Преобразование, заключающееся в приведении подобных слагаемых 1/x, приводит уравнение к виду , для него ОДЗ есть множество [−1, +∞). Очевидно, ОДЗ расширилась числом 0. Для данного примера это преобразование приводит к появлению постороннего корня 0, так как корнями уравнения являются числа 0 и −1, но 0 не является корнем исходного уравнения. Приведем еще один пример расширения ОДЗ при приведении подобных слагаемых в уравнении. Приведение подобных слагаемых в уравнении приводит к уравнению . Это преобразование расширяет ОДЗ (для исходного уравнения областью допустимых значений является множество всех неотрицательных чисел, а для полученного – множество всех действительных чисел), что может вызвать появление посторонних корней. Так что при таком ходе решения нужно будет обязательно позаботиться об отсеивании посторонних корней.
  • Сокращение дробей в уравнении может способствовать расширению ОДЗ! Проиллюстрируем сказанное. Рассмотрим иррациональное уравнение . Сократив дробь в левой части уравнения, мы придем к уравнению . Посмотрим, что при этом происходит с ОДЗ. ОДЗ для исходного уравнения есть множество (−2, 1]∪[3, +∞), а для полученного – (−∞, 1]∪[3, +∞). Очевидно, ОДЗ расширилась. В нашем случае это проходит безболезненно – посторонние корни не появляются. Но в других случаях могут и появиться. Так что если преобразования уравнения были связаны с сокращением дробей, то не стоит забывать о проверке с целью отсеивания посторонних корней.
  • Из-за замены нулем произведений с нулевыми множителями и дробей с нулем в числителе может расшириться ОДЗ! Вот пример. Рассмотрим иррациональное уравнение , для него ОДЗ определяется условиями , которые задают числовое множество [2, +∞). Замена произведения и дроби в правой части уравнения нулями дает уравнение . При этом происходит расширение ОДЗ до множества (−∞, −1]∪[2, +∞). В нашем случае такое преобразование уравнения оказывается неравносильным и влечет появление постороннего корня −1.
  • Очень часто преобразования иррациональных уравнений, проводящиеся на базе определения корня, свойств корней и свойств степеней, бывают неравносильными! Таким образом, работая с корнями и степенями, нужно все время быть на чеку: смотреть, не изменяется ли ОДЗ при проведении преобразования, и правильно ли мы используем свойства корней (тождественным ли выражением мы заменяем выбранное выражение). Объять все многообразие таких преобразований практически невозможно, поэтому мы ограничимся решением двух, но очень характерных иррациональных уравнений.

Первое иррациональное уравнение таково . Его решение начинается с преобразования уравнения к виду на базе одного из свойств степеней. Это преобразование является равносильным, так как выражение заменяется тождественно равным выражением, и ОДЗ при этом не изменяется. А вот следующий переход к уравнению , проводящийся на базе определения корня, уже может быть неравносильным преобразованием уравнения, так как при таком преобразовании расширяется ОДЗ. Покажем полное решение этого уравнения.

Второе иррациональное уравнение, хорошо подходящее для иллюстрации того, что преобразования иррациональных уравнений с использованием свойств корней и определения корня могут быть неравносильными, имеет вид . Хорошо, если Вы не позволите себе начинать решение так

или так

чтобы дальше воспользоваться методом введения новой переменной. Разберем, в чем здесь подвох.

Начинаем с первого случая. Первое преобразование - переход от исходного иррационального уравнения к уравнению состоит в замене выражения x+3 выражением . Эти выражения тождественно равные. Но при такой замене происходит сужение ОДЗ с множества (−∞, −3)∪[−1, +∞) до множества [−1, +∞). А мы договорились отказаться от преобразований, сужающих ОДЗ, так как они могут приводить к потере корней.

А что не так во втором случае? Расширение ОДЗ при последнем переходе от к числом −3? Не только это. Большую озабоченность вызывает первый переход от исходного иррационального уравнения к уравнению . Суть этого перехода – замена выражения x+3 выражением . Но эти выражения не являются тождественно равными: при x+3<0 значения этих выражений не совпадают. Действительно, согласно свойству квадратного корня из квадрата , откуда следует, что .

Так как же тогда решать это иррациональное уравнение ? Здесь лучше всего сразу вводить новую переменную , при этом (x+3)·(x+1)=t2. Приведем подробное решение.

Подведем итог по первому из разбираемых преобразований уравнений – замене выражения, находящегося в составе уравнения, тождественно равным ему выражением. Каждый раз при его проведении необходимо выполнение двух условий: первое - чтобы выражение заменялось именно тождественно равным выражением и второе - чтобы при этом не происходило сужение ОДЗ. Если при такой замене ОДЗ не изменяется, то в результате преобразования получится равносильное уравнение. Если при такой замене происходит расширение ОДЗ, то могут появиться посторонние корни, и необходимо позаботиться об их отсеивании.

Переходим ко второму преобразованию списка – прибавлению к обеим частям уравнения одного и того же числа и вычитанию из обеих частей уравнения одного и того же числа. Это равносильное преобразование уравнения. Обычно мы прибегаем к нему, когда в левой и правой части уравнения находятся одинаковые числа, вычитание из обеих частей уравнения этих чисел позволяет в дальнейшем избавиться от них. Например, и в левой и в правой части иррационального уравнения есть слагаемое 3. Вычитание тройки из обеих частей уравнения приводит к уравнению , которое после выполнения действий с числами принимает вид и дальше упрощается до . По результату рассматриваемое преобразование перекликается с переносом слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, но об этом преобразовании чуть позже. Есть и другие примеры применения этого преобразования при решении иррациональных уравнений. Например, в иррациональном уравнении прибавление к обеим частям числа 3 нужно для организации полного квадрата в левой части уравнения и дальнейшего преобразования уравнения к виду с целью введения новой переменной.

Обобщение только что рассмотренного преобразования – это прибавление к обеим частям уравнения или вычитание из обеих частей уравнения одного и того же выражения. Это преобразование уравнений является равносильным тогда, когда не изменяется ОДЗ. Данное преобразование проводится в основном для того, чтобы в дальнейшем избавиться от одинаковых слагаемых, находящихся одновременно и в левой и в правой части уравнения. Приведем пример. Допустим перед нами иррациональное уравнение . Очевидно, что и в левой и в правой части уравнения присутствует слагаемое . Резонно вычесть это выражение из обеих частей уравнения: . В нашем случае при таком переходе не изменяется ОДЗ, поэтому проделанное преобразование является равносильным. А делается оно для того, чтобы свести решение исходного уравнения к решению более простого иррационального уравнения .

Теперь посмотрим, как при решении иррациональных уравнений используется перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком. Это преобразование уравнения всегда равносильное. Сфера его применения довольно широка. С его помощью можно, например, уединить радикал или собрать подобные слагаемые в одной части уравнения, чтобы потом привести их и тем самым упростить вид уравнения. Приведем пример. Для решения иррационального уравнения можно перенести слагаемые −1 и в правую часть, изменив их знак, это даст равносильное уравнение , которое можно решать дальше, например, методом возведения обеих частей уравнения в квадрат.

Движемся дальше по пути рассмотрения преобразований уравнений к умножению или делению обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля. Это преобразование является равносильным преобразованием уравнения. Умножение обеих частей уравнения на одно и то же число используется в основном для перехода от дробей к целым числам. Например, чтобы в иррациональном уравнении избавиться от дробей следует умножить обе его части на 8, что дает равносильное уравнение , которое дальше приводится к виду . Деление обеих частей уравнения проводится в основном с целью уменьшения числовых коэффициентов. Например, обе части иррационального уравнения целесообразно разделить на набольший общий делитель (НОД) числовых коэффициентов 18 и 12, то есть, на 6, такое деление дает равносильное уравнение , от которого в дальнейшем можно перейти к уравнению , имеющему меньшие, но тоже целые коэффициенты.

Следующее преобразование уравнения – это умножение и деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение. Данное преобразование равносильное тогда, когда выражение, на которое производится умножение или деление, не изменяет область допустимых значений переменной и не обращается на ней в нуль. Обычно умножение обеих частей на одно и то же выражение по целям похоже на умножение обеих частей уравнения на одно и то же число. Наиболее часто к этому преобразованию прибегают, чтобы дальнейшими преобразованиями избавиться от дробей. Покажем это на примере решения иррационального уравнения.

Не обойдем стороной и иррациональные уравнения, для решения которых приходится прибегать к делению обеих частей уравнения на одно и то же выражение. Чуть выше мы отметили, что такое деление является равносильным преобразованием, если оно не влияет на ОДЗ и это выражение на ОДЗ не обращается в нуль. Но иногда деление приходится проводить и на выражение, обращающееся в нуль на ОДЗ. Так вполне можно поступать, если при этом отдельно проверять нули этого выражения на предмет того, нет ли среди них корней решаемого уравнения, иначе при таком делении эти корни могут потеряться.

Следующее преобразование иррациональных уравнений, которое мы затронем в этом пункте, заключается в возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Это преобразование можно назвать типичным для иррациональных уравнений, так как практически не используется при решении уравнений других видов. Это преобразование заслуживает детального и всестороннего изучения. Давайте вынесем этот вопрос в отдельную статью: решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Там дана необходимая теория и приведено множество примеров проведения этого преобразования при решении иррациональных уравнений. Здесь не будем повторяться, а лишь напомним, что в общем случае это преобразование не является равносильным. Оно может приводить к появлению посторонних корней. Поэтому, если в процессе решения мы обращались к этому преобразованию, то найденные корни нужно обязательно проверить на наличие среди них посторонних корней.

Про преобразование, заключающееся в освобождении от внешней функции, тоже поговорим отдельно. Вот соответствующий материал: Решение иррациональных уравнений методом освобождения от внешней функции.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск