Решите неравенство sin(x-pi*1/6)>=-1/2 (синус от (х минус число пи умножить на 1 делить на 6) больше или равно минус 1 делить на 2)

Дано неравенство:
$$\sin{\left (x — \frac{\pi}{6} \right )} \geq — \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left (x — \frac{\pi}{6} \right )} = — \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left (x — \frac{\pi}{6} \right )} = — \frac{1}{2}$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние

Разделим обе части ур-ния на -1

Ур-ние превратится в
$$\cos{\left (x + \frac{\pi}{3} \right )} = \frac{1}{2}$$
Это ур-ние преобразуется в
$$x + \frac{\pi}{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
$$x + \frac{\pi}{3} = \pi n — \pi + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
Или
$$x + \frac{\pi}{3} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x + \frac{\pi}{3} = \pi n — \frac{2 \pi}{3}$$
, где n — любое целое число
Перенесём
$$\frac{\pi}{3}$$
в правую часть ур-ния
с противоположным знаком, итого:
$$x = \pi n$$
$$x = \pi n — \pi$$
$$x_{1} = \pi n$$
$$x_{2} = \pi n — \pi$$
$$x_{1} = \pi n$$
$$x_{2} = \pi n — \pi$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n$$
$$x_{2} = \pi n — \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n + — \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left (x — \frac{\pi}{6} \right )} \geq — \frac{1}{2}$$

   /              pi\        
sin|pi*n - 1/10 - --| >= -1/2
   \              6 /        

    /1    pi       \        
-sin|-- + -- - pi*n| >= -1/2
    \10   6        /        

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq \pi n$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq \pi n$$
$$x \geq \pi n — \pi$$

Решите неравенство cos(x)^2-sin(x)^2>=1/2 (косинус от (х) в квадрате минус синус от (х) в квадрате больше или равно 1 делить на 2)

Дано неравенство:
$$- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )} \geq \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )} = \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )} = \frac{1}{2}$$
преобразуем
$$\cos{\left (2 x \right )} — \frac{1}{2} = 0$$
$$- 2 \sin^{2}{\left (x \right )} + \frac{1}{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = -2$$
$$b = 0$$
$$c = \frac{1}{2}$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (-2) * (1/2) = 4

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = — \frac{1}{2}$$
$$w_{2} = \frac{1}{2}$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n — \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = — 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = — 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
Данные корни
$$x_{3} = — 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{3}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{3} — \frac{1}{10}$$
=

        /      ___\   1 
- 2*atan\2 + \/ 3 / - --
                      10

=
$$- 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )} — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )} \geq \frac{1}{2}$$

   2/        /      ___\   1 \      2/        /      ___\   1 \       
cos |- 2*atan\2 + \/ 3 / - --| - sin |- 2*atan\2 + \/ 3 / - --| >= 1/2
    \                      10/       \                      10/       

   2/1          /      ___\\      2/1          /      ___\\       
cos |-- + 2*atan\2 + \/ 3 /| - sin |-- + 2*atan\2 + \/ 3 /| >= 1/2
    \10                    /       \10                    /       

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq — 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$

 _____           _____           _____          
      \         /     \         /
-------•-------•-------•-------•-------
       x3      x1      x2      x4

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq — 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
$$x \geq — \frac{\pi}{6} \wedge x \leq \frac{\pi}{6}$$
$$x \geq 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$

Решите неравенство sin(x)>=-1/3 (синус от (х) больше или равно минус 1 делить на 3)

Дано неравенство:
$$\sin{\left (x \right )} \geq — \frac{1}{3}$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left (x \right )} = — \frac{1}{3}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = — \frac{1}{3}$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{3} \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{3} \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
$$x_{1} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$
$$x_{1} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=

-asin(1/3) + 2*pi*n - 1/10

=
$$2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left (x \right )} \geq — \frac{1}{3}$$

sin(-asin(1/3) + 2*pi*n - 1/10) >= -1/3

-sin(1/10 - 2*pi*n + asin(1/3)) >= -1/3

но

-sin(1/10 - 2*pi*n + asin(1/3)) 
Тогда
$$x \leq 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
 $$x \geq 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} \wedge x \leq 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$
         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2

Решите неравенство 6*sin(x)^2-sin(x)-1

Дано неравенство:
$$6 \sin^{2}{\left (x \right )} — \sin{\left (x \right )} — 1 \leq 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$6 \sin^{2}{\left (x \right )} — \sin{\left (x \right )} — 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$6 \sin^{2}{\left (x \right )} — \sin{\left (x \right )} — 1 = 0$$
преобразуем
$$6 \sin^{2}{\left (x \right )} — \sin{\left (x \right )} — 1 = 0$$
$$6 \sin^{2}{\left (x \right )} — \sin{\left (x \right )} — 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 6$$
$$b = -1$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (6) * (-1) = 25

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{1}{2}$$
$$w_{2} = — \frac{1}{3}$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{3} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{3} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{3} = \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = — \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{3} = \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = — \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
Данные корни
$$x_{4} = — \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{3} = \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{4}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{4} — \frac{1}{10}$$
=

-asin(1/3) - 1/10

=
$$- \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$6 \sin^{2}{\left (x \right )} — \sin{\left (x \right )} — 1 \leq 0$$

     2                                                     
6*sin (-asin(1/3) - 1/10) - sin(-asin(1/3) - 1/10) - 1 
          2                                               
-1 + 6*sin (1/10 + asin(1/3)) + sin(1/10 + asin(1/3)) 
но
          2                                               
-1 + 6*sin (1/10 + asin(1/3)) + sin(1/10 + asin(1/3)) >= 0
     

Тогда
$$x \leq - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} \wedge x \leq \frac{\pi}{6}$$
         _____           _____  
        /     \         /     \  
-------•-------•-------•-------•-------
       x4      x1      x2      x3

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \geq - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} \wedge x \leq \frac{\pi}{6}$$
$$x \geq \frac{5 \pi}{6} \wedge x \leq \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$ 

тригонометрических идентичностей | Purplemath

Purplemath

В математике «идентичность» — это всегда истинное уравнение. Они могут быть «тривиально» истинными, например « x = x », или практически истинными, такими как « a ² + b ² = c ² » теоремы Пифагора для прямоугольные треугольники.Существует множество тригонометрических отождествлений, но следующие из них вы, скорее всего, увидите и будете использовать.

Базовый и пифагорейский, сумма углов и разность, двойной угол, полуугол, сумма, произведение

MathHelp.com

Нужен индивидуальный курс математики?
K12 | Колледж | Подготовка к тесту

---

Основные и пифагорейские тождества

Обратите внимание на то, что триггерный коэффициент «со- (что-то)» всегда является обратной величиной некоторого «несовместимого» отношения.Вы можете использовать этот факт, чтобы понять, что косеканс идет с синусом, а секанс — с косинусом.

Следующие (в частности, первая из трех ниже) называются «пифагорейскими» идентичностями.

sin ² ( т ) + cos ² ( т ) = 1

загар ² ( т ) + 1 = сек ² ( т )

1 + детская кроватка ² ( т ) = csc ² ( т )

Обратите внимание, что все три идентичности включают возведение в квадрат и число 1.Вы можете ясно увидеть взаимосвязь Пифагора и Терема, если вы рассмотрите единичную окружность, где угол составляет t , «противоположная» сторона — sin ( t ) = y , «смежная» сторона — cos ( t ) = x , а гипотенуза равна 1.

У нас есть дополнительные идентификаторы, связанные с функциональным статусом триггерных соотношений:

sin ( –t ) = — sin ( t )

cos ( –t ) = cos ( t )

тангенса ( –t ) = — тангенса ( т )

Обратите внимание, в частности, что синус и тангенс являются нечетными функциями, симметричными относительно начала координат, а косинус — четной функцией, симметричной относительно оси y .Тот факт, что вы можете вынести знак «минус» аргумента за пределы (для синуса и тангенса) или полностью исключить его (для косинуса), может быть полезным при работе со сложными выражениями.

---

Тождества суммы углов и разности

sin (α + β) = sin (α) cos (β) + cos (α) sin (β)

sin (α — β) = sin (α) cos (β) — cos (α) sin (β)

cos (α + β) = cos (α) cos (β) — sin (α) sin (β)

cos (α — β) = cos (α) cos (β) + sin (α) sin (β)

Кстати, в указанных тождествах углы обозначены греческими буквами.Буква А-типа, «а», называется «альфа», что произносится как «аль-фу». Буква b-типа, «β», называется «бета», что произносится как «BAY-tuh».

---

Двойные углы идентификации

sin (2 x ) = 2 sin ( x ) cos ( x )

cos (2 x ) = cos ² ( x ) — sin ² ( x ) = 1-2 sin ² ( x ) = 2 cos ² ( x ) — 1

---

Полуугловые идентификаторы

Вышеупомянутые идентичности можно переформулировать путем возведения квадратов каждой стороны и удвоения всех угловых мер.Результаты следующие:

sin ² ( x ) = ½ [1 — cos (2 x )]

cos ² ( x ) = ½ [1 + cos (2 x )]

---

Партнер

---

Сумма идентификаторов

---

Идентификационные данные продукта

Вы будете использовать все эти тождества или почти все эти тождества для доказательства других триггерных тождеств и для решения тригонометрических уравнений.Однако, если вы собираетесь изучать исчисление, обратите особое внимание на пересчитанные тождества синуса и косинуса половинного угла, потому что вы будете использовать их лот в интегральном исчислении.

---

URL: https://www.purplemath.com/modules/idents.htm

,

Что такое sin (x) + cos (x) в терминах синуса?

тригонометрия

Наука

• Анатомия и физиология
• астрономия
• астрофизика
• Биология
• Химия
• наука о планете Земля
• Наука об окружающей среде
• Органическая химия
• физика

математический

• Алгебра
• Исчисление
• Геометрия
• Prealgebra
• тригонометрия и алгебра
• Статистика
• тригонометрия

.

Mathway | Популярные задачи

Mathway | Популярные проблемы

Популярные задачи

Основы математики Предварительно Алгебра Алгебра тригонометрия тригонометрия и алгебра Исчисление Конечная математика Линейная алгебра Химия

Mathway требует javascript и современного браузера.

Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить вам максимальное удобство работы с ним.

Убедитесь, что ваш пароль состоит не менее чем из 8 символов и содержит каждое из следующих значений:

• номер
• письмо
• специальный символ: @ $ #!% *? &

,