Как решить уравнение х 2 х: Решите уравнение x^2=-2 (х в квадрате равно минус 2)

Posted on by alexxlab

Содержание

Способы решения квадратных уравнений | Творческие проекты и работы учащихся

Варианты решения квадратных уравнений


Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза.

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения (Приложение 1).

Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Имеется десять способов решения квадратных уравнений. Подробно остановимся на каждом из них.

1 способ: разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение

х2 + 10х — 24 = 0.

Разложим левую часть на множители:

х2 + 10х — 24 = х2 + 12х — 2х — 24 = х(х + 12) — 2(х + 12) = (х + 12)(х — 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х — 2) = 0

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = — 12. Это означает, что число 2 и — 12 являются корнями уравнения х2 + 10х — 24 = 0.


2 способ: метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение х2 + 6х — 7 = 0.

Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде:

х2 + 6х = х2 + 2• х • 3.

В полученном выражении первое слагаемое — квадрат числа х, а второе — удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как х2 + 2• х • 3 + 32 = (х + 3)2.

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х2 + 6х — 7 = 0,

прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем:

х2 + 6х — 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 — 32 — 7 = (х + 3)2 — 9 — 7 = (х + 3)2 — 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3)2 — 16 =0, (х + 3)2 = 16.

Следовательно, х + 3 — 4 = 0, х1 = 1, или х + 3 = -4, х2 = -7.

3 способ: решение квадратных уравнений по формуле.

Умножим обе части уравнения

ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0

на 4а и последовательно имеем:

4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах)2 + 2ах • b + b2) — b2 + 4ac = 0,

(2ax + b)2 = b2 — 4ac,

2ax + b = ± √ b2 — 4ac,

2ax = — b ± √ b2 — 4ac,

Примеры. Сколько корней имеет уравнение?

а) 4х2 + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3,

D = b2 — 4ac = 72 — 4 • 4 • 3 = 49 — 48 = 1,

D > 0, два разных корня;

Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при

b2 — 4ac >0 , уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.

б) 4х2 — 4х + 1 = 0,

а = 4, b = — 4, с = 1, D = b2 — 4ac = (-4)2 — 4 • 4 • 1= 16 — 16 = 0,

D = 0, один корень;

Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b2 — 4ac = 0, то уравнение

ах2 + bх + с = 0 имеет единственный корень,

в) 2х2 + 3х + 4 = 0,

а = 2, b = 3, с = 4, D = b2 — 4ac = 32 — 4 • 2 • 4 = 9 — 32 = — 13 , D < 0.

Данное уравнение корней не имеет.

Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b2 — 4ac < 0,

уравнение ах2 + bх + с = 0 не имеет корней.

Формула (1) корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.

4 способ: решение уравнений с использованием теоремы Виета.


Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

х2 + px + c = 0. (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

x1 x2 = q,

x1 +

x2 = — p

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р > 0, то оба корня отрицательны, если р < 0, то оба корня положительны.

Например, x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2 иx2 = 1, так какq = 2 > 0 иp = — 3 < 0;

x2 + 8x + 7 = 0; x1 = — 7 иx2 = — 1, так какq = 7 > 0 иp= 8 > 0.

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0), то имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 .

Пример: x2 + 4x – 5 = 0;

x1 = — 5 иx2 = 1, так какq= — 5 < 0 иp = 4 > 0;

x2 – 8x – 9 = 0; x1 = 9 иx2 = — 1, так какq = — 9 < 0 иp = — 8 < 0.

5 способ: решение уравнений способом «переброски»( Приложение 2).

Рассмотрим квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а2х2 + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению

у2 + by + ас = 0, равносильно данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 = у1/а и х1 = у2/а.

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски»

. Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример. Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у2 – 11у + 30 = 0.

Согласно теореме Виета

у1 = 5 х1 = 5/2 x1 = 2,5

у2 = 6 x2 = 6/2 x2 = 3.

Ответ: 2,5; 3.

6 способ: свойства коэффициентов квадратного уравнения (Приложение 2)

А.Пусть дано квадратное уравнение

ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х1 = 1

х2 = с/а.

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

x2 + b/a •

x + c/a = 0.

Согласно теореме Виета

x1 + x2 = — b/a,

x1x2 = 1• c/a.

По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

x1 + x2 = — а + b/a= -1 – c/a,

x1x2 = — 1• ( — c/a),

т.е. х1 = -1 и х2 = c/a, что м требовалось доказать.

Примеры.

1) Решим уравнение 345х2 – 137х – 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то

х1 = 1, х2 = c/a = -208/345.

Ответ: 1; -208/345.

2)Решим уравнение 132х2 – 247х + 115 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то

х1 = 1, х2 = c/a = 115/132.

Ответ: 1; 115/132.

Б.

Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней.

Пример.

Решим уравнение 3х2 — 14х + 16 = 0.

Решение. Имеем: а = 3, b = — 14, с = 16, k = — 7;

D = k2 – ac = (- 7)2 – 3 • 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, два различных корня;

Ответ: 2; 8/3

В. Приведенное уравнение х2 + рх + q= 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = р и с = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней принимает вид:

Формулу (3) особенно удобно использовать, когда р — четное число.

Пример. Решим уравнение х2 – 14х – 15 = 0.

Решение. Имеем: х1,2 =7± 8,

Ответ: х1 = 15; х2 = -1.

7 способ: Графическое решение квадратного уравнения.

Если в уравнении

х2 + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х2 = — px — q.

Построим графики зависимости у = х2 и у = — px — q.


График первой зависимости — парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости — прямая (рис.1). Все данные вводим в программу«Advanced Grapher» и получаем ответы [13].

Искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках B (х1 ;0) и D (х2 ;0), где х1 и х2 – корни уравнения ах2 + bх + с=0, и проходит через точки А (0;1) и С (0; ) на оси ординат. [5, c.34]

Возможны следующие случаи:

  • прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;
  • прямая и парабола могут касаться ( только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;
  • прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Примеры.

1) Решим графически уравнение х2 — 3х — 4 = 0 (рис. 2).

Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 3х + 4.

Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4. Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и N (3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и В с абсциссами х1 = — 1 и х2 = 4.

Ответ: х1 = — 1; х2 = 4.

2) Решим графически уравнение (рис. 3) х2 — 2х + 1 = 0.

Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 2х — 1.

Построим параболу у = х2 и прямую у = 2х — 1.

Прямую у = 2х — 1 построим по двум точкам М (0; — 1)

и N(1/2; 0). Прямая и парабола пересекаются в точке А с

абсциссой х = 1. Ответ: х = 1.

3) Решим графически уравнение х2 — 2х + 5 = 0 (рис. 4).

Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 5х — 5. Построим параболу у = х2 и прямую у = 2х — 5. Прямую у = 2х — 5 построим по двум точкам М(0; — 5) и N(2,5; 0). Прямая и парабола не имеют точек пересечения, т.е. данное уравнение корней не имеет.

Ответ. Уравнение х2 — 2х + 5 = 0 корней не имеет.

8 способ:: решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика. Найти корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 5). [5, c.34]

Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х1; 0 ) и D (х2; 0), где х1 и х2 — корни уравнения ах2 + bх + с = 0, и проходит через точки А(0; 1) и С(0; c/a) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD = OA • OC, откуда OC = OB • OD/ OA= х1х2/ 1 = c/a.

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD.


Итак: 1) построим точки (центр окружности) и A(0; 1);

2) проведем окружность с радиусом SA;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 6,а) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 — корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х1; 0), где х1 — корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения.

Пример. Решим уравнение х2 — 2х — 3 = 0 (рис. 7).

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

Ответ: х1 = — 1; х2 = 3.

9 способ: решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Это старый и незаслуженно забыты способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. — М., Просвещение, 1990) [ 3, c.83] .

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис.11):

Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение

z2 + pz + q = 0,

причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.


Примеры.

1) Для уравнения z2 — 9z + 8 = 0 номограмма дает корниz1 = 8,0 и z2 = 1,0 (рис.12).

(рис.12)

2) Решим с помощью номограммы уравнение

2z2 — 9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение

z2 — 4,5z + 1 = 0.

Номограмма дает корни z1 = 4 иz2 = 0,5.

3) Для уравнения

z2 — 25z + 66 = 0

коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t, получим уравнение t2 — 5t + 2,64 = 0, которое решаем посредством номограммы и получим t1 = 0,6 и t2 = 4,4, откудаz1 = 5t1 = 3,0 иz2 = 5t2 = 22,0.

10 способ: геометрический способ решения квадратных уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал — Хорезми.

Примеры.

1) Решим уравнение х2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15).

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25), т.е. S = х2 + 10х + 25. Заменяя

х2 + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

А вот, например, как древние греки решали уравнение у2 + 6у — 16 = 0.

Решение представлено на рис. 16, где у2 + 6у = 16,

или у2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения у2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у2 + 6у — 16 + 9 — 9 = 0 — одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у1 = 2, у2 = — 8 (рис.16).

3) Решить геометрически уравнение у2 — 6у — 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаему2 — 6у = 16.

На рис. 17 находим «изображения» выражения у2 — 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3. Значит, если к выражению у2 — 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у — 3. Заменяя выражение у2 — 6у равным ему числом 16,

получаем: (у — 3)2 = 16 + 9, т.е. у — 3 = ± √25, или у — 3 = ± 5, где у1 = 8 и у2 = — 2.

Заключение


Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще мало изучена, поэтому она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней. Здесь мы остановилась на вопросе решения квадратных уравнений, а что, если существуют и другие способы их решения?! Опять находить красивые закономерности, какие-то факты, уточнения, делать обобщения, открывать все новое и новое.

Но это вопросы уже следующих работ. В результате изучения новых способов решения квадратных уравнений мы получили возможность решать уравнения не только по формуле, но и более интересными способами. Решили множество уравнений, изучили программу «Advanced Grapher». Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи.

Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт. Данная исследовательская работа может быть использована учителями математики на уроках и элективных курсах по математике при изучении темы «Квадратные уравнения» (Приложения 1-3), учениками для расширения и углубления знаний по решению квадратных уравнений. Любой учащийся, используя эту исследовательскую работу, может самостоятельно изучить данную тему (Приложения 1-2).

Литература

  1. Алимов, Ш.А., Ильин В.А. и др. Алгебра, 6-8. / Пробный учебник для 6-8 классов средней школы. — М., Просвещение, 1981.
  2. Арутюнян, Е.Б.Занимательная математика/ Е.Б. Арутюнян Москва «Аст – пресс» 1999.
  3. Брадис, В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы. Изд. 57-е. — М., Просвещение, 1990. С. 83.
  4. Глейзер, Г.И. История математики в школе. 7-8 классы. – М., Просвещение, 1982.
  5. Окунев , А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. / Пособие для учителя. — М., Просвещение, 1972.
  6. Пресман, А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. — М., Квант, № 4/72. С. 34.
  7. Соломник , В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. — 4-е, дополн. — М., Высшая школа, 1973.
  8. Худобин А.И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. — М., Просвещение,
  9. Пичурин, Л.Ф. За страницами учебника алгебры/ Л.Ф. Пичурин. Москва «Просвещение» 1990г.
  10. Энциклопедический словарь юного математика. – 2-е издание, испр. и доп. – М.:Педагогика, 1989.
  11. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика.- М.: Аванта+, 1999.
  12. Ресурсы сети Интернет.
  13. Программы «Advanced Grapher» и «Открытая математика».
Перейти к разделу: 3. Что необходимо знать для решения квадратных уравнений?

Как решать квадратные уравнения? Формулы и Примеры

Понятие квадратного уравнения

Уравнения — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значения неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать выражение 3 + x = 7, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени — это квадратное уравнение.

Квадратное уравнение — это ax2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы запомнить месторасположение коэффициентов, давайте потренируемся определять их.

Есть три вида квадратных уравнений:

  • не имеют корней;
  • имеют один корень;
  • имеют два различных корня.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b2 − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

  • если D < 0, корней нет;
  • если D = 0, есть один корень;
  • если D > 0, есть два различных корня.

С этим разобрались. А сейчас посмотрим подробнее на различные виды квадратных уравнений.


Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

Квадратное уравнение может быть приведенным или неприведенным — все зависит от от значения первого коэффициента.

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, где старший коэффициент, тот который стоит при одночлене высшей степени, равен единице.

Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент может быть любым.

Давайте-ка на примерах — вот у нас есть два уравнения:

  • x2 — 2x + 6 = 0
  • x2 — x — 1/4 = 0

В каждом из них старший коэффициент равен единице (которую мы мысленно представляем при x2 ), а значит уравнение называется приведенным.

  • 2x2 − 4x — 12 = 0 — первый коэффициент отличен от единицы (2), значит это неприведенное квадратное уравнение.

Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент.

Запоминаем!

У преобразованного уравнения те же корни, что и у первоначального. Ну или вообще нет корней.

Пример 1. Превратим неприведенное уравнение: 8x2 + 20x — 9 = 0 — в приведенное.

Для этого разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 8:

Ответ: равносильное данному приведенное уравнение x2 + 2,5x — 1,125 = 0.

Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения есть условие: a ≠ 0. Оно нужно, чтобы уравнение ax2 + bx + c = 0 было именно квадратным. Если a = 0, то уравнение обретет вид линейного: bx + c = 0.

Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю, как по отдельности, так и вместе. В таком случае квадратное уравнение принято назвать неполным.

Неполное квадратное уравнение —— это квадратное уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.

Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Для самых любопытных объясняем откуда появились такие названия:
  • Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax2 + 0x+c=0 и оно равносильно ax2 + c = 0.
  • Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax2 + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax2 + bx = 0.
  • Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax2 = 0.

Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

  • ax2 = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
  • ax2 + c = 0, при b = 0;
  • ax2 + bx = 0, при c = 0.

Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.

Как решить уравнение ax

2 = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax2 = 0.

Уравнение ax2 = 0 равносильно x2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x2 = 0 является нуль, так как 02 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax2 = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −6x2 = 0.

Как решаем:

  1. Замечаем, что данному уравнению равносильно x2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
  2. По шагам решение выглядит так:

    −6x2 = 0

    x2 = 0

    x = √0

    x = 0

Ответ: 0.

Как решить уравнение ax

2 + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax2 + c = 0:

  • перенесем c в правую часть: ax2 = — c,
  • разделим обе части на a: x2 = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а < 0, то уравнение x2 = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а < 0 ни для какого числа p равенство р2 = — c/а не является верным.

Если — c/а > 0, то корни уравнения x2 = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а)2 = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а)2 = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

В двух словах

Неполное квадратное уравнение ax2 + c = 0 равносильно уравнению ax2 + c = 0, которое:

  • не имеет корней при — c/а < 0;
  • имеет два корня х = √- c/а и х = -√- c/а при — c/а > 0.

Пример 1. Найти решение уравнения 8x2 + 5 = 0.

Как решать:

  1. Перенесем свободный член в правую часть:

    8x2 = — 5

  2. Разделим обе части на 8:

    x2 = — 5/8

  3. В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.

Ответ: уравнение 8x2 + 5 = 0 не имеет корней.

Как решить уравнение ax

2 + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Неполное квадратное уравнение ax2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x. Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax2 + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 0,5x2 + 0,125x = 0

Как решать:

  1. Вынести х за скобки

    х(0,5x + 0,125) = 0

  2. Это уравнение равносильно х = 0 и 0,5x + 0,125 = 0.
  3. Решить линейное уравнение:

    0,5x = 0,125,
    х = 0,125/0,5

  4. Разделить:

    х = 0,25

  5. Значит корни исходного уравнения — 0 и 0,25.

Ответ: х = 0 и х = 0,25.

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так: 

Теорема Виета

Сумма корней x2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

 

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она:

Обратная теорема Виета

Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x2 + bx + c = 0.

Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x1 и x2 равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение.

Пример 1. Решить при помощи теоремы Пифагора: x2 − 6x + 8 = 0.

Как решаем:

  1. Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.

  2. Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы.

    Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x1 и x2 надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

    Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x1 + x2 = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

  3. Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x2 − 6x + 8 = 0. p>

     

Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

где D = b2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

Эта запись означает:

Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

Выводим формулу корней квадратного уравнения

Продолжим изучать формулу корней квадратного уравнения.

Пусть перед нами есть задача решить квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Выполним ряд равносильных преобразований:

Так, мы пришли к уравнению , которое полностью равносильно исходному ax2 + bx + c = 0.

Отсюда выводы про корни уравнения :

И еще один вывод: есть у уравнения корень или нет, зависит от знака выражения в правой части. При этом важно помнить, что знак этого выражения задается знаком числителя. Потому выражение принято называть дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D.

По значению и знаку дискриминанта можно сделать вывод, есть ли действительные корни у квадратного уравнения, и сколько.

Повторим:

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

Алгоритм решения квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0:

  • вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b2−4ac;
  • если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет;
  • если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = — b2/2a;
  • если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

Примеры решения квадратных уравнений

Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.

Пример 1. Решить уравнение −4x2 + 28x — 49 = 0.

Как решаем:

  1. Найдем дискриминант: D = 282 — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0
  2. Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень
  3. Найдем корень

    х = — 28/2(-4)

    х = 3,5

Ответ: единственный корень 3,5.

Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x2 = 0.

Как решаем:

  1. Произведем равносильные преобразования. Умножим обе части на −1

    54 — 6x2 = 0 | *(-1)

    6x2 — 54 = 0

  2. Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

    6x2 = 54

    х2 = 9

    х = ±√9

    х1 = 3, х2 = — 3

Ответ: два корня 3 и — 3.

Пример 3. Решить уравнение x2— х = 0.

Как решаем:

  1. Преобразуем уравнение так, чтобы появились множители

    х(х — 1) = 0

    х₁ = 0, х₂ = 1

Ответ: два корня 0 и 1.

Пример 4. Решить уравнение x2— 10 = 39.

Как решаем:

  1. Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

    x2— 10 = 39

    x2= 39 + 10

    x2= 49

    х = ±√49

    х₁ = 7, х₂ = −7

Ответ: два корня 7 и −7.

Пример 5. Решить уравнение 3x2— 4x+94 = 0.

Как решаем:

  1. Найдем дискриминант по формуле

    D = (-4)2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112

  2. Дискриминант отрицательный, поэтому корней нет.

Ответ: корней нет.

В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n)2— 4ac = 4n2 — 4ac = 4(n2— ac) и подставим в формулу корней:

Для удобства вычислений обозначим выражение n2 -ac как D1. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

где D1 = n2— ac.

Самые внимательные уже заметили, что D = 4D1, или D1= D/4. Проще говоря, D1 — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

  • вычислить D1= n2— ac;
  • если D1< 0, значит действительных корней нет;
  • если D1= 0, значит можно вычислить единственный корень уравнения по формуле;
  • если же D1> 0, значит можно найти два действительных корня по формуле

Упрощаем вид квадратных уравнений

Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x2 — 400x — 600 = 0.

Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Покажем, как это работает на примере 12x2— 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто.

А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x2 + 4x — 18 = 0.

Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x2— 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x2 + 3x — 7 = 0.

Связь между корнями и коэффициентами

Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

  • x₁ + x₂ = — b/a,
  • x₁* x₂ = c/a.

Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x2— 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

А еще найти корни квадратного уравнения можно с помощью онлайн-калькулятора. Пользуйтесь им, если уже разобрались с темой и щелкаете задачки легко и без помощников:

Уравнения с параметром

Справочный материал

Уравнение вида f(x; a) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а.

Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.

Пример 1. ах = 0

  1. Если а = 0, то 0х = 0
                              х – любое действительное число
  2. Если а 0, то х =
                             х = 0

Пример 2. ах = а

  1. Если а = 0, то 0х = 0
                              х – любое действительное число
  2. Если а 0, то х =
                            х = 1

Пример 3.

х + 2 = ах
х – ах = -2
х(1 – а) = -2

Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х0 = -2 корней нет

Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =

Пример 4.

(а2 – 1) х = 2а2 + а – 3
(а – 1)(а + 1)х = 2(а – 1)(а – 1,5)
(а – 1)(а + 1)х = (1а – 3)(а – 1)

Если а = 1, то 0х = 0
                          х – любое действительное число

Если а = -1, то 0х = -2
                          Корней нет

Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).

Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х.

Например:

если а = 5, то х = = ;

если а = 0, то х = 3 и т. д.

Дидактический материал

1. ах = х + 3

2. 4 + ах = 3х – 1

3. а = +

4. + 3(х+1)

5. = –

6. =

Ответы:

  1. При а 1 х =;

при а = 1 корней нет.

  1. При а 3 х = ;

при а = 3 корней нет.

  1. При а 1, а -1, а 0 х = ;

при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1

при а = -1, а = 0 решений нет.

  1. При а 2, а 0 х = ;

при а = 0, а = 2 решений нет.

  1. При а -3, а -2, а 0, 5 х =

при а = -3, а = 0, 5, а = -2 решений нет

  1. При а + с 0, с 0 х = ;

при а = —с, с = 0 решений нет.

Квадратные уравнения с параметром

Пример 1. Решить уравнение

(а – 1)х2 = 2(2а + 1)х + 4а + 3 = 0

При а = 1    6х + 7 = 0

х = –

В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.

Д = (2(2а + 1))2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а2 + 16а + 4 – 4(4а2 + 3а – 4а – 3) = 16а2 + 16а + 4 – 16а2 + 4а + 12 = 20а + 16

20а + 16 = 0

20а = -16

a =

a =

Если а < -4/5, то Д < 0, уравнение имеет действительный корень.

Если а > -4/5 и а 1, то Д > 0,

х =

Если а = 4/5, то Д = 0,

х = – = –

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение

х2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?

Д = 4(а + 1)2 – 4(9а – 5) = 4а2 – 28а + 24 = 4(а – 1)(а – 6)

4(а – 1)(а – 6) > 0

по т. Виета: х1 + х2 = -2(а + 1)
                     х1х2 = 9а – 5

По условию х1 < 0, х2 < 0 то –2(а + 1) < 0 и 9а – 5 > 0

В итоге 4(а – 1)(а – 6) > 0
— 2(а + 1) < 0
9а – 5 > 0		 а < 1: а > 6
а > — 1
а > 5/9

(Рис. 1)

< a < 1, либо a > 6

Пример 3. Найдите значения а, при которых данное уравнение имеет решение.

х2 – 2(а – 1)х + 2а + 1 = 0

Д = 4(а – 1)2 – 4(2а + 10 = 4а2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а2 – 16а

4а2 – 16 0

4а(а – 4) 0

а(а – 4)) 0

а(а – 4) = 0

а = 0 или а – 4 = 0
                 а = 4

(Рис. 2)

Ответ: а 0 и а 4

Дидактический материал

1. При каком значении а уравнение ах2 – (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?

2. При каком значении а уравнение (а + 2) х2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?

3. При каких значениях а уравнение (а2 – 6а + 8) х2 + (а2 – 4) х + (10 – 3а – а2) = 0 имеет более двух корней?

4. При каких значениях а уравнение 2х2 + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х2 – 7х + 6 = 0?

5. При каких значениях а уравнения х2 +ах + 1 = 0 и х2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?

Ответы:

1. При а = — 1/7, а = 0, а = 1

2. При а = 0

3. При а = 2

4. При а = 10

5. При а = — 2

Показательные уравнения с параметром

Пример 1.Найти все значения а, при которых уравнение

9х – (а + 2)*3х-1/х +2а*3-2/х = 0 (1) имеет ровно два корня.

Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 32/х, получим равносильное уравнение

32(х+1/х) – (а + 2)*3х+1/х + 2а = 0 (2)

Пусть 3х+1/х = у, тогда уравнение (2) примет вид у2 – (а + 2)у + 2а = 0, или

(у – 2)(у – а) = 0, откуда у1 =2, у2 = а.

Если у = 2, т.е. 3х+1/х = 2 то х + 1/х = log32 , или х2 – хlog32 + 1 = 0.

Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log232 – 4 < 0.

Если у = а, т.е. 3х+1/х = а то х + 1/х = log3а, или х2 – хlog3а + 1 = 0. (3)

Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда

Д = log232 – 4 > 0, или |log3а| > 2.

Если log3а > 2, то а > 9, а если log3а < -2, то 0 < а < 1/9.

Ответ: 0 < а < 1/9, а > 9.

Пример 2. При каких значениях а уравнение 22х – (а – 3) 2х – 3а = 0 имеет решения?

Для того чтобы заданное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t2 – (a – 3) t – 3a = 0 имело хотя бы один положительный корень. Найдем корни по теореме Виета: х1 = -3, х2 = а = >

а – положительное число.

Ответ: при а > 0

Дидактический материал

1. Найти все значения а, при которых уравнение

25х – (2а + 5)*5х-1/х + 10а * 5-2/х = 0 имеет ровно 2 решения.

2. При каких значениях а уравнение

2(а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный корень?

3. При каких значениях параметра а уравнение

4х — (5а-3)2х +4а2 – 3а = 0 имеет единственное решение?

Ответ:

  1. 0 < а < 1/50, а > 25/2
  2. при а = 1, а = -2,2
  3. 0 < а 3/4 и а = 1

Логарифмические уравнения с параметром

Пример 1. Найти все значения а, при которых уравнение

log4x(1 + ах) = 1/2 (1)

имеет единственное решение.

Решение. Уравнение (1) равносильно уравнению

1 + ах = 2х при х > 0, х 1/4 (3)

х = у

ау2 –у + 1 = 0 (4)

Если а = 0, то – 2у + 1 = 0
2у = 1
у = 1/2
х = 1/2
х = 1/4

Не выполняется (2) условие из (3).

Пусть а 0, то ау2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.

Если Д = 0 (а = 1), то (4) имеет единственный положительный корень х = 1, удовлетворяющий условиям (3).

Пусть Д > 0 (а < 1), тогда уравнение (4) имеет два различных корня. Так как у = х 0, то в случае Д > 0 уравнение (4) имеет действительные корни разных знаков. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда Д > 0 и 1/а < 0, т.е. при а < 0.

Пример 2. Найти все значения а, при которых уравнение

log5(x = 2-a ) – log1/5(a-1-x) = log259 имеет решение.

Решение. log5(x + 2-a) –log5(f – 1 – x) = log53

(1) х + 2 – а = 3(а – 1 – х), если

(2) а – 1 > х

Выражая х из (1) и подставляя в (2), получаем неравенство

2 – а > 1 – а (3)

Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций у = 2 – а и у = 1 – а.

Рис. 3

Решения неравенства (3) образуют промежуток (а0; 2), где а0 < 0 и а0 – корень уравнения 2 – а = 1 – а.

Тогда 2 – а = (1– а)2

а2 – а – 1 = 0

а0 =

Ответ: < a 2

Дидактический материал

  1. Найдите, при каких значениях а уравнение log 3 (9x + 9a3)= x имеет ровно два корня.
  2. Найдите, при каких значениях а уравнение log 2 (4x – a) = x имеет единственный корень.
  3. При каких значениях а уравнение х – log 3 (2а – 9х) = 0 не имеет корней.

 

Ответы:

  1. при а < 1/3 36
  2. при а = -1/4
  3. при а < -1/8

Литература
Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика. Справочные материалы. – М.: Просвещение, 1990.
  • Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1990
  • Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – М.: Просвещение, 1990.
  • Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре. – М.: Просвещение, 1994.
  • Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. Алгебра и начала анализа. Решение экзаменационных задач. – М.: Дрофа, 1998.
  • Макарычев Ю.Н. и др. Дидактические материалы по алгебре 7, 8, 9 кл. – М.: Просвещение, 2001.
  • Саакян С.И., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа для 10–11-х классов. – М.: Просвещение, 1990.
  • Журналы “Математика в школе”.
  • Л.С. Лаппо и др. ЕГЭ. Учебное пособие. – М.: Экзамен, 2001–2008.

    • Как графически решить уравнение?

    ☰

    Иногда уравнения решают графическим способом. Для этого надо преобразовать уравнение так (если оно уже не представлено в преобразованном виде), чтобы слева и справа от знака равенства стояли выражения, для которых легко можно нарисовать графики функций. Например, дано такое уравнение:
    x² – 2x – 1 = 0

    Если мы еще не изучали решение квадратных уравнений алгебраическим способом, то можем попробовать сделать это либо разложением на множители, либо графически. Чтобы решить подобное уравнение графически, представим его в таком виде:
    x² = 2x + 1

    Из такого представления уравнения следует, что требуется найти такие значения x, при которых левая часть будет равна правой.

    Как известно, графиком функции y = x² является парабола, а y = 2x + 1 — прямая. Координата x точек координатной плоскости, лежащих как на первом графике, так и на втором (то есть точек пересечения графиков) как раз и являются теми значениями x, при которых левая часть уравнения будет равна правой. Другими словами, координаты x точек пересечения графиков являются корнями уравнения.

    Графики могут пересекаться в нескольких точках, в одной точке, вообще не пересекаться. Отсюда следует, что уравнение может иметь несколько корней, или один корень, или вообще их не иметь.

    Рассмотрим пример попроще:
    x² – 2x = 0 или x² = 2x

    Нарисуем графики функций y = x² и y = 2x:

    Как видно из чертежа, парабола и прямая пересекаются в точках (0; 0) и (2; 4). Координаты x этих точек соответственно равны 0 и 2. Значит, уравнение x² – 2x = 0 имеет два корня — x1 = 0, x2 = 2.

    Проверим это, решив уравнение вынесением общего множителя за скобки:
    x² – 2x = 0
    x(x – 2) = 0

    Ноль в правой части может получиться либо при x равном 0, либо 2.

    Причина, по которой мы не стали графически решать уравнение x² – 2x – 1 = 0 в том, что в большинстве уравнений корнями являются вещественные (дробные) числа, а точно определить на графике значение x сложно. Поэтому для большинства уравнений графический способ решения не является лучшим. Однако знание этого способа дает более глубокое понимание связи между уравнениями и функциями.

    Решение простых показательных уравнений

    Простые примеры на показательные уравнения позволят овладеть методикой их решения. Задания не слишком сложные и будут полезными для всех кто изучает показательные уравнения, готовится к тестированию, контрольным или вступительным экзаменам.

    Пример 1. Решить уравнение (0,5)х =.
    Решение: Первое что нужно сделать это свести уравнение к одному основанию. С этой целью преобразуем правую сторону показательного уравнения

    В итоге уравнение сведется к виду

    Теперь основы ровны, поэтому можем приравнять показатели

    и найти ответ x=-2,5.

    Вот такие простые вычисления.

     

    Пример 2. Решить уравнение (2/3)х*(9/8)х =27/64.
    Решение: Преобразим правую и левую сторону показательного уравнения к одной основе


    Подставим в уравнение и приравняем показатели

    Таким простым методом нашли решение показательного уравнения x=3.

     

    Пример 3. Решить уравнение 52х-7х-35*52х+35*7х=0.
    Решение: Сгруппируем слагаемые, содержащие 52х и 7х.


    Последняя запись показательного уравнения многих заводит в тупик. (Не всем легко найти ответ).
    Тогда, давайте перепишем уравнение в виде

    Согласно свойствам показательных функций решение равно нулю x=0. Только возведением к 0 степени можно получить единицу.
    Для наглядности посмотрите графики показательных функций. Они пересекаются в точке x=0.

     

    Пример 4. Решить уравнение 14х+2+5*14х-1=2749.
    Решение: В подобных задачах необходимо вынести основу с наименьшим показателем. Для этого распишем уравнение к виду




    Получили что решение равно единице.

     

    Пример 5. Решить уравнение (0,6)х+2 =25/9 .
    Решение: Такого рода задачи следует решать по следующей схеме.
    Обязательно превратить число 0,6 к дробному виду

    Далее уже поступают исходя из условия, в нашем случае превращаем правую сторону.

    Приравниваем показатели, предварительно изменив знак в каком либо, чтобы получить одинаковую основу
    x+2=-2; x=-2-2=-4.
    Решение показательного уравнения x=-4.

     

    Пример 6. Решить уравнение (0,25)х-1=2*sqrt(2)
    Решение: Преобразим показательное уравнение к одной основе

    Подставим выражение в уравнение



    Решение уравнения равно 1/4.

     

    Пример 7. Решить уравнение (1,44)х-4=6/5.
    Решение: Не сразу можно догадаться как упрощать уравнения.
    Распишем сначала правую сторону 6/5=1,2.
    Основу в показателе сводим к виду

    После подстановки приравниваем показатели при одинаковых основаниях

    2(x-4)=1; 2x-8=1; 2x=9;x=9/2=4,5.

    Решения уравнения x=4,5.

    Пример 8. Решить уравнение
    Решение: Используем основополагающее правило для показательных уравнений — свести уравнение к слагаемым с одинаковым основанием.
    Выполним манипуляции с основой


    Подставляем в уравнение и приравниваем степени

    Решение показательного уравнения равно x=-2.

     

    Пример 9. Решить уравнение 3х-1+3х-2+3х-3=13.
    Решение: Расписываем слагаемые так, чтобы потом сгруппировать слагаемые с одинаковим показником

    Дальнейшие действия достаточно просты

    Уравнение удавлетваряет значение x=3.

     

    Пример 10. Найти сумму решений уравнения
    Решение: Можно догадаться что придется вычислять квадратное уравнение. Но к нему еще нужно прийти. Для начала запишем 0,6 в виде

    Подставим в показательное уравнения

    Теперь можно приравнять степени при основаниях

    Корни уровнения x=0; x=-1/2.
    Их сумма равна
    0-1/2=-0,5.


    На этом знакомство с возможными примерами простых показательных уравнений завершено. Сложные примеры можно найти на страницах сайта. Оставайтесь с нами и мы подготовим Вас лучше репетиторов.

    Похожие материалы:

    Уравнения и задачи на подбор параметра в Excel

    Часто нам нужно предварительно спрогнозировать, какие будут результаты вычислений при определенных входящих параметрах. Например, если получить кредит на закупку товара в банке с более низкой процентной ставкой, а цену товара немного повысить – существенно ли возрастет прибыль при таких условиях?

    При разных поставленных подобных задачах, результаты вычислений могут завесить от одного или нескольких изменяемых условий. В зависимости от типа прогноза в Excel следует использовать соответствующий инструмент для анализа данных.

    Подбор параметра и решение уравнений в Excel

    Данный инструмент следует применять для анализа данных с одним неизвестным (или изменяемым) условием. Например:

    2x+1=7

    • y=7 является функцией x;
    • нам известно значение y, следует узнать при каком значении x мы получим y вычисляемый формулой.

    Решим данную задачу встроенными вычислительными инструментами Excel для анализа данных:

    1. Заполните ячейки листа, так как показано на рисунке:
    2. Перейдите в ячейку B2 и выберите инструмент, где находится подбор параметра в Excel: «Данные»-«Работа с данными»-«Анализ что если»-«Подбор параметра».
    3. В появившемся окне заполните поля значениями как показано на рисунке, и нажмите ОК:

    В результате мы получили правильное значение 3.

    Получили максимально точный результат: 2*3+1=7

    

    Второй пример использования подбора параметра для уравнений

    Немного усложним задачу. На этот раз формула выглядит следующим образом:

    x2=4

    Решение:

    1. Заполните ячейку B2 формулой как показано на рисунке:
    2. Выберите встроенный инструмент: «Данные»-«Работа с данными»-«Анализ что если»-«Подбор параметра» и снова заполните его параметрами как на рисунке (в этот раз значение 4):
    3. Сравните 2 результата вычисления:

    Обратите внимание! В первом примере мы получили максимально точный результат, а во втором – максимально приближенный.

    Это простые примеры быстрого поиска решений формул с помощью Excel. Сегодня каждый школьник знает, как найти значение x. Например:

    x=(7-1)/2

    Excel в своих алгоритмах инструментов анализа данных использует более простой метод – подстановки. Он подставляет вместо x разные значения и анализирует, насколько результат вычислений отклоняется от условий указанных в параметрах инструмента. Как только будет, достигнут результат вычисления с максимальной точностью, процесс подстановки прекращается.

    По умолчанию инструмент выполняет 100 повторений (итераций) с точностью 0.001. Если нужно увеличить количество повторений или повысить точность вычисления измените настройки: «Файл»-«Параметры»-«Формулы»-«Параметры вычислений»:

    Таким образом, если нас не устраивает результат вычислений, можно:

    1. Увеличить в настройках параметр предельного числа итераций.
    2. Изменить относительную погрешность.
    3. В ячейке переменной (как во втором примере, A3) ввести приблизительное значение для быстрого поиска решения. Если же ячейка будет пуста, то Excel начнет с любого числа (рандомно).

    Используя эти способы настроек можно существенно облегчить и ускорить процесс поиска максимально точного решения.

    О подборе нескольких параметров в Excel узнаем из примеров следующего урока.

    О теореме Абеля-Руффини без групп и теории Галуа / Хабр

    Историческая справка

    Поиск решения алгебраических уравнений оказал колоссальное влияние на развитие математики. Формула решения общего кубического уравнения впервые была получена итальянскими математиками 16-го века. Это событие ставшее первопричиной рассмотрения комплексных чисел, считается одним из поворотных моментов в истории математики. Судьбы Джероламо Кардано, Никколо Тартальи, Сципиона дель Ферро и их поисков решения кубического уравнения заслуживают отдельного романа со своими интригами, скандалами и расследованиями. Столь яркие истории достаточно редки в математике. 

    Начиная с 19-го века поиск формул для решения уравнений произвольных степеней положил начало теории групп и абстрактной алгебре, которые преобразили практически все разделы современной математики. Думаю, многие, кто интересовался историей и развитием алгебры, знают, что формулы для решения общего алгебраического уравнения степени выше четвертой не существует. Как сообщается, первое доказательство этого факта было дано итальянским математиком Паоло Руффини в самом конце восемнадцатого века, оно составляло около 500 страниц и все же содержало некоторые пробелы. Хотя отдельные математики, как Огюстен Коши, и признавали данное доказательство, но ввиду столь большого объема и сложности изложения, оно так и не было принято математическим сообществом. Считается, что первое полное доказательство дано норвежским математиком Нильсом Абелем и содержалось в двух работах, изданных в 1824 и 1826 годах. С тех пор оно носит название теоремы Абеля или теоремы Абеля-Руффини. 

    Если вы попытаетесь изучить это доказательство в его современном изложении, то окажется, что оно практически полность опирается на Теорию Галуа. Эварист Галуа был французским математиком 19-го века и современником Нильса Абеля. Помимо занятий математикой он вел активную политическую жизнь из-за чего несколько раз попадал в тюрьму. В возрасте всего двадцати лет был застрелен на дуэли, поводом для которой послужила любовная интрига, хотя есть предположения, что дуэль была подстроена его политическими противниками. Об этой истории написано достаточно много, кроме того, имеется перевод на русский язык его мемуаров и писем. Последнее письмо его другу Огюсту Шевалье было написано в ночь накануне дуэли, в нем он наспех излагает свои последние идеи. Несмотря на столь короткую жизнь, Эварист Галуа считается одним из родоначальников современной алгебры. Хотел бы заметить, что в популярном изложении создается некий романтический образ Галуа, как подростка-гения, который в одиночку, с нуля создал теорию групп и преобразил всю алгебру. Несомненно его идеи сыграли огромную роль, но если почитать его сочинения, то мы увидим, что он хорошо знал и опирался на знаменитые работы Лагранжа, Эйлера, Гаусса, Абеля, Якоби. Зачатки теории групп и перестановок появляются еще в работах Жозефа Луи Лагранжа по теории алгебраических уравнений, а также Карла Фридриха Гаусса в его знаменитых «Арифметических исследованиях». К тому же, теория Галуа в современном изложении была оформлена многими последующими математиками — Дедекиндом, Кронекером, Гильбертом, Артином и другими.

    Мотивация данной статьи

    Чуть менее года назад меня сильно увлекла статья об истории решения кубического уравнения и последующих безуспешных поисков формулы уравнения 5-й степени, длившихся почти триста лет. Сразу хочу отметить, что специального математического образования у меня нет и поэтому, попробовав прочесть современную версию доказательства теоремы Абеля-Руффини, я естественно ничего не понял. В моем сознании термины группа, кольцо и поле никак не ассоциировались с алгебраическими структурами. Но желание разобраться было столь велико, что я принялся за изучение курса высшей алгебры. 

    На первых этапах абстрактная алгебра была наверное самым сложным из того, что мне приходилось изучать ранее. Объем новых терминов и определений просто зашкаливал: группы, факторгруппы, моноиды, поля, кольца, тела, модули, идеалы, ядра, векторные пространства, биекции, сюръекции, инъекции, изоморфизмы, автоморфизмы, гомоморфизмы, эндоморфизмы и тд. Спустя несколько месяцев упорных занятий, я начал понимать формальную часть, но, к сожалению, интуитивного понимания, которое и являлось моей изначальной целью, я так и не достиг. 

    Дело в том, что практически все современные доказательства неразрешимости уравнений 5-й степени в радикалах сводятся к следующему. Рассматривается некоторое неприводимое уравнение, например x5-10x+2, после чего методами мат анализа определяется, что оно имеет три действительных и два комплексно-сопряженных корня. После чего заключается, что группой Галуа данного уравнения есть группа S5, которая не является разрешимой, и следовательно данное уравнение неразрешимо в радикалах. Доказательство теоремы Абеля-Руффини о неразрешимости общего уравнения также сводится к неразрешимости группы Sn. Для меня данные доказательства были слишком абстрактными и оторванными от конкретных уравнений. Когда я пытался представить их в терминах элементарных алгебраических операций, чтобы понять в чем заключается главная причина неразрешимости уравнений, у меня ничего не получалось. Возможно для тех, кто занимается этим достаточно долго, эти вещи могут казаться интуитивно понятными. 

    Немного иной подход описан в книге Алексеева «Теорема Абеля в задачах и решениях», основанной на лекциях Владимира Арнольда, но в изложенном там доказательстве помимо теории групп используются элементы комплексного анализа и Римановых поверхностей. Я также находил похожие статьи, использующие топологические аргументы в виде комбинаций петель и коммутаторов, но мне хотелось найти что-то чисто алгебраическое. 

    Параллельно изучая историю математики и понимая, что современная формулировка и доказательство сильно отличаются от того, как излагали свои идеи Лагранж, Руффини, Абель и Галуа, я решил прочесть первоисточники. К сожалению, на русский или английский по этой теме переведены лишь сочинения Галуа и одна из работ Абеля. 

    После некоторых поисков я наткнулся на статью 1845 года французского математика Пьера Лорана Ванцеля, в которой он переработал и сильно упростил доказательство Абеля-Руффини, о чем он пишет во введении. В этой работе, он так же упоминает мемуары Галуа и отмечает, что они будут опубликованы в скором времени. Для заметки — работы Галуа были опубликованы лишь в 1846 году Жозефом Лиувиллем, спустя почти 15 лет после смерти Галуа. Кстати, Пьер Лоран Ванцель, также был первым, кто доказал неразрешимость трисекции угла и удвоения куба с помощью циркуля и линейки — знаменитых задач стоявших еще со времен античности. Доказательства Ванцеля были изложены без использования абстрактной алгебры и теории Галуа, поскольку на тот момент они еще не были разработаны. Хотя работа и была доступна лишь на французском, которого я до этого практически не знал, но ввиду специфической темы, небольшого размера (всего 7 страниц) и наличия гугл переводчика, я справился достаточно быстро. По моему субъективному мнению, его доказательство теоремы Абеля-Руффини является наиболее простым для понимания.

    Уже позже я нашел пример подобного доказательства основанного на работе Руффини в книге Чеботарёва “Основы Теории Галуа”. Далее я постараюсь кратко изложить принцип решения уравнений в радикалах и идею доказательства неразрешимости уравнения 5-й степени.

    Решения уравнений в радикалах

    Для дальнейшего понимания, потребуются минимальные пререквизиты:

    Формулы Виета — напомню, что коэффициенты произвольного уравнения являются элементарными симметрическими функциями от его корней, то есть функциями, которые не меняют своего значения при любых перестановках корней. Примеры: x1 + x2 + x3, x1x2x3, x1x2 + x1x3 + x2x3. 

    Теорема о симметрических многочленах — каждую симметрическую функцию от корней, можно выразить с помощью элементарных симметрических функций (коэффициентов уравнения).

    Первообразные корни n-й степени из единицы — комплексные величины не равные единице, но n-я степень которых, равна единице. Примеры: (-1)2 = 1, (-1/2 + sqrt(-3)/2)3 = 1, i4 = 1 соответственно квадратный, кубический и биквадратный корни из единицы. 

    Основная теорема алгебры — гласит о том, что уравнение n-й степени с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней с учетом кратности (корни могут быть одинаковые).

    Первоначальная идея восходит к работе Жозефа Луи Лагранжа “Размышления о решении уравнений” 1770-1771 годов. Это достаточно объемное сочинение и я не нашел его перевода на русский или английский язык. Как указывается в разных источниках, в попытке найти формулу для уравнения 5-й степени, Лагранж проанализировал все имеющиеся к тому времени способы решения уравнений и выделил общий принцип, позволяющий решить уравнения 4-й и низших степеней. В этой же работе, изучая перестановки корней, он пришел к теореме, которая сейчас носит его имя. Принцип, открытый Лагранжем, заключался в том, чтобы найти выражения от корней заданного уравнения n-й степени, которые при всех возможных перестановках этих корней принимали n-1 значений, но в тоже время через них выражались первоначальные корни. На эти значения, можно составить уравнение n-1 степени и повторить операцию, тем самым сводя изначальное уравнение к цепочке уравнений меньших степеней, решив которые, можно получить корни первоначального уравнения. Рассмотрим один из примеров:

    Пусть f(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d общее уравнение 4-й степени с произвольными коэффициентами a, b, c, d и x1, x2, x3, x4 его корни. 

    Напомним, что его коэффициенты — это элементарные симметрические функции от корней, в чем можно убедиться просто раскрыв скобки в выражении (x — x1)(x -x2)(x — x3)(x — x4): 

    x1 + x2 + x3 + x4 = a 

    x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = b 

    x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4 = c

    x1x2x3x4 = d 

    Так как корни являются произвольными, то существует 4! = 24 различных вариантов их расположения, но можно составить выражение x1x2 + x3x4, которое принимает всего три разных значения при всех 24-х перестановках корней:  

    x1x2 + x3x4 = y1

    x1x3 + x2x4 = y2 

    x1x4 + x2x3 = y3 

    На эти три значения мы можем составить уже кубическое уравнение, корнями которого они и будут являться. Таким образом, мы сводим решение уравнения 4-й степени к уравнению 3-й степени. Для решения кубического уравнения мы можем воспользоваться резольвентой Лагранжа (y1 + wy2 + w2y3)3, где w — это кубический корень из единицы. Данное выражение принимает всего два разных значения при всех возможных 3! = 6 перестановках. Оно будет сохранять значение при циклических перестановках и менять знак при любой транспозиции. Получим:

    (y1 + wy2 + w2y3)3 = z1 

    (y1 + w2y2 + wy3)3 = z2 

    Теперь составим квадратное уравнение на z1 и z2:

    (t — z1)(t — z2) = t2 — t(z1+z2) + z1z2 

    z1+z2 и z1z2 — будут симметрическими функциями от корней нашего изначально уравнения f(x), следовательно, по теореме о симметрических многочленах, напрямую выражаться через коэффициенты a, b, c, d. Решив квадратное уравнение мы получим значения z1, z2. После чего, извлекая кубические корни из z1, z2, и складывая с коэффициентом b, сможем выразить y1. Далее, c помощью y1 и коэффициентов a, b, d, решив два квадратных уравнения, мы доберемся до корней x1, x2, x3, x4 изначального уравнения. 

    Данный пример показывает, что произвольное уравнение 4-й степени решается путем составления вспомогательных кубического и квадратных уравнений. Далее я приведу рассуждение, почему подобный прием невозможен для общего уравнения 5-й степени.

    Неразрешимость уравнения 5-й степени

    Итак, мы хотим показать, что ни один корень общего уравнения 5-й степени не может быть выражен через его коэффициенты путем решения цепочки вспомогательных двучленных уравнений низших степеней. 

    Пусть f(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + xd + e общее уравнение 5-й степени с произвольными коэффициентами a, b, c, d, e и x1, x2, x3, x4, x5 его корни. Обозначим за y1 первый радикал входящий в значение x1 в порядке вычисления. Пусть y1n = p, где p будет какой-то симметрической функцией от корней и, следовательно, напрямую выражаться через коэффициенты a, b, c, d, e. Заметим, что y1 уже не будет симметрической, а лишь рациональной функцией g от корней — g(x1, x2, x3, x4, x5). Следовательно, g должно менять значение при перестановке любых двух корней. Тогда эти значения будут являться корнями уравнения y1n = p, которые имеют вид g, zg, z2g, z3g … zn-1g, где z — первообразный корень n-й степени из единицы (zn=1). Рассмотрим произвольную транспозицию, например (x1, x2), тогда  

    g(x2, x1, x3, x4, x5) = zg(x1, x2, x3, x4, x5) 

    если мы применим ее еще раз, то получим:

    g(x1, x2, x3, x4, x5) = zg(x2, x1, x3, x4, x5) 

    что равносильно g(x1, x2, x3, x4, x5) = z2g(x1, x2, x3, x4, x5)

    Из этого следует, что z2 = 1, то есть z должен быть квадратным корнем из единицы (z = -1) и соответственно первый радикал y1 будет квадратным. Поясним: так как корни являются произвольными, то g должно сохранять значение при любых четных перестановках корней и менять знак при нечетных. Теперь покажем, что значение функции g не будет меняться при циклической перестановке трех корней (x1, x2, x3). Здесь стоит пояснить, что циклическая перестановка (x1, x2, x3) четная и может быть представлена, как произведение транспозиций (x1, x2)(x2, x3). То есть, функция g не поменяет своего значения при данной перестановке. Еще заметим, что функция g не изменится при циклической перестановке пяти корней, так как она так же раскладывается в произведение четного количества транспозиций. Присоединяя радикал y1 к выражениям от коэффициентов с помощью базовых арифметических операций, мы будем получать симметрические функции относительно всех циклов на трех и пяти корнях и вообще любых четных перестановок, но при перестановке содержащей нечетное количество транспозиций, y1 будет менять знак. Дальнейшее присоединение квадратных радикалов не даст нам ничего нового. Теперь предположим, что мы пришли к радикалу, который меняет свое значение лишь при тройных циклах. Обозначим его y2, тогда y2n = q, где q — это рациональная функция от коэффициентов a, b, c, d, e и радикала y1. 

    g(x2, x3, x1, x4, x5) = zg(x1, x2, x3, x4, x5) 

    g(x3, x1, x2, x4, x5) = zg(x2, x3, x1, x4, x5) 

    g(x1, x2, x3, x4, x5) = zg(x3, x1, x2, x4, x5) 

    что равносильно g(x1, x2, x3, x4, x5) = z3g(x1, x2, x3, x4, x5) 

    В данном случае z3 = 1, то есть z здесь будет кубическим корнем из единицы. 

    Теперь произведем циклическую перестановку 5-и корней  

    g(x2, x3, x4, x5, x1) = zg(x1, x2, x3, x4, x5) 

    g(x3, x4, x5, x1, x2) = zg(x2, x3, x4, x5, x1) 

    g(x4, x5, x1, x2, x3) = zg(x3, x4, x5, x1, x2) 

    g(x5, x1, x2, x3, x4) = zg(x4, x5, x1, x2, x3) 

    g(x1, x2, x3, x4, x5) = zg(x5, x1, x2, x3, x4) 

    Так как z должен быть кубическим корнем из единицы, как мы выяснили ранее, то единственным вариантом будет z = 1 и g должна быть инвариантна при любой из этих циклических перестановок. Но тогда она должна быть инвариантна и при циклической перестановке x3,x2,x5,x1,x4 -> x2,x5,x1,x4,x3. Отсюда, одной транспозицией мы можем получить, что

    g(x3, x4, x5, x1, x2) = g(x2, x3, x1, x4, x5) 

    но, выше мы уже видели, что 

    g(x1, x2, x3, x4, x5) = g(x3, x4, x5, x1, x2) 

    а из этого следует 

    g(x1, x2, x3, x4, x5) = g(x2, x3, x1, x4, x5) 

    что приводит нас к противоречию, так как мы предполагали, что g меняет значение при циклической перестановке трех корней (x1, x2, x3). 

    Еще одним вариантом, было бы показать что все четные перестановки на пяти корнях порождаются тройными циклами, то есть, если есть тройные циклы, то никаких выражений от корней, которые бы сохраняли значения при всех четных перестановках, не существует. Если теперь перевести это на теоретико-групповой язык, то получается, что группа общего уравнения пятой степени есть симметрическая группа S5, в которой существует 5! = 120 различных перестановок пяти корней. Далее, путем присоединения квадратного корня из дискриминанта, мы можем понизить ее до знакопеременной группы четных перестановок A5, которая содержит 120/2 = 60 перестановок. Но A5 является простой группой, в которой нет никаких нетривиальных нормальных подгрупп, которым бы соответствовали выражения от корней сохраняющие значения при определенных перестановках, из чего следует, что присоединение любых дополнительных радикалов не приблизит нас к решению.

    Заключение

    Поводом для написания данной статьи послужило желание структурировать свои мысли по этой теме и представить идеи о неразрешимости уравнений в радикалах без привлечения абстрактной алгебры и теории Галуа. По моему мнению, в подавляющем большинстве современных изложений теряется связь между областью, в которой происходит доказательство и конкретными уравнениями. Если у кого-то есть замечания, дополнения или ссылки на подобные элементарные изложения, буду рад услышать.

    2-x- (12) = 0

    Пошаговое решение:

    Шаг 1:

    Попытка разложить на множители путем разделения среднего члена

    1.1 Факторинг x 2 -x-12

    Первый член: x 2 его коэффициент равен 1.
    Средний член, -x, его коэффициент -1.
    Последний член, «константа», равен -12

    Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу 1 • -12 = -12

    Шаг-2: Найдите два множителя -12, сумма которых равен коэффициенту среднего члена, который равен -1.

    -12 + 1 =-11
    -6 + 2 =-4
    -4 + 3 =-1 Вот и все


    Шаг 3: Перепишите полином, разделяющий средний член, используя два фактора, найденные на шаге 2 выше, -4 и 3
    x 2 — 4x + 3x — 12

    Шаг 4: сложите первые 2 члена, вычитая одинаковые множители:
    x • (x-4)
    Складываем последние 2 члена, вычитая общее факторы:
    3 • (x-4)
    Шаг 5: сложите четыре члена шага 4:
    (x + 3) • (x-4)
    Какой желаемый фактор ion

    Уравнение в конце шага 1: 
     (x + 3) • (x - 4) = 0

    Шаг 2:

    Теория — Истоки продукта:

    2.1 Произведение нескольких членов равно нулю.

    Если произведение двух или более членов равно нулю, то хотя бы одно из членов должно быть равно нулю.

    Теперь мы решим каждый член = 0 отдельно

    Другими словами, мы собираемся решить столько уравнений, сколько членов есть в продукте

    Любое решение для члена = 0 также решает продукт = 0.

     
     Решение уравнения с одной переменной: 
     
     2.2 Решите: x + 3 = 0 
     
     Вычтем 3 из обеих частей уравнения: 
     x = -3 
     
     
     
     Решение уравнения с одной переменной: 
     
     2.3 Решите: x-4 = 0 
     
     Добавьте 4 к обеим сторонам уравнения: 
     x = 4 
     
     
     
     Дополнение: Решение квадратного уравнения напрямую 
     
     Решение x  2  -x-12 = 0 напрямую 
     Ранее мы разложили этот многочлен на множители, разделив средний член. Давайте теперь решим уравнение, заполнив квадрат и используя квадратичную формулу
     
     Парабола, найдя вершину: 
     3.1 Найдите вершину y = x  2  -x-12
     Параболы имеют наибольшее значение или самая низкая точка называется Вершиной.Наша парабола открывается и, соответственно, имеет самую низкую точку (также известную как абсолютный минимум). Мы знаем это даже до того, как нанесли «y», потому что коэффициент первого члена, 1, положительный (больше нуля).
     Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух x-точек пересечения (корней или решений) параболы. То есть, если парабола действительно имеет два реальных решения.
     Параболы могут моделировать множество реальных жизненных ситуаций, например высоту над землей объекта, брошенного вверх через некоторый промежуток времени. Вершина параболы может предоставить нам информацию, например, максимальную высоту, которую может достичь объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.
     Для любой параболы Ax  2  + Bx + C координата x вершины задается как -B / (2A). В нашем случае координата x равна 0.5000
     Подставляя в формулу параболы 0,5000 для x, мы можем вычислить координату y: 
     y = 1,0 * 0,50 * 0,50 — 1,0 * 0,50 — 12,0 
     или y = -12,250
     Парабола, графическая вершина и пересечение по оси X: 
     Корневой график для: y = x  2  -x-12 
     Ось симметрии (пунктирная линия) {x} = {0,50} 
     Вершина в точке {x, y} = {0,50, -12,25} 
     x -Переходы ( Roots): 
     Корень 1 при {x, y} = {-3.00, 0.00} 
     Корень 2 при {x, y} = {4.00, 0.00}
     Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат 
     3.2 Решение x  2  -x-12 = 0, завершив Квадрат.
     Добавьте 12 к обеим сторонам уравнения: 
     x  2  -x = 12
     Теперь умный бит: возьмите коэффициент при x, равный 1, разделите его на два, получив 1/2, и возведите его в квадрат. давая 1/4
     Добавьте 1/4 к обеим частям уравнения: 
     В правой части мы имеем: 
     12 + 1/4 или, (12/1) + (1/4) 
     Общий знаменатель две дроби равны 4. Сложение (48/4) + (1/4) дает 49/4 
     Таким образом, сложив обе стороны, мы, наконец, получаем: 
     x  2  -x + (1/4) = 49/4
     Сложение 1/4 превратила левую часть в полный квадрат: 
     x  2  -x + (1/4) = 
     (x- (1/2)) • (x- (1/2)) = 
     ( x- (1/2))  2  
     Вещи, которые равны одному и тому же, также равны друг другу.Так как 
     x  2  -x + (1/4) = 49/4 и 
     x  2  -x + (1/4) = (x- (1/2))  2  
     то по закону транзитивности, 
     (x- (1/2))  2  = 49/4
     Мы будем называть это уравнение уравнением. # 3.2.1
     Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.
     Обратите внимание, что квадратный корень из 
     (x- (1/2))  2  равен 
     (x- (1/2))  2/2  = 
     (x- (1/2))  1  = 
     x- (1/2)
     Теперь, применяя принцип квадратного корня к уравнению.# 3.2.1 получаем: 
     x- (1/2) = √ 49/4
     Добавьте 1/2 к обеим сторонам, чтобы получить: 
     x = 1/2 + √ 49/4
     Поскольку квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное 
     x  2  — x — 12 = 0 
     имеет два решения: 
     x = 1/2 + √ 49/4 
     или 
     x = 1/2 — √ 49/4
     Обратите внимание, что √ 49/4 можно записать как 
     √ 49 / √ 4, что равно 7/2 
     Решите квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы 
     3.3 Решение x  2  -x-12 = 0 по квадратичной формуле.
     Согласно квадратичной формуле, x, решение для Ax  2  + Bx + C = 0, где A, B и C — числа, часто называемые коэффициентами, дается как: 
       
     — B ± √ B  2  -4AC 
     x = ———————— 
     2A
     В нашем случае A = 1 
     B = -1 
     C = -12
     Соответственно B  2  — 4AC = 
     1 — (-48) = 
     49
     Применение квадратичной формулы:
     1 ± √ 49 
     x = ————— 
     2
     Можно ли упростить √ 49?
     Да! Разложение на простые множители 49 равно 
     7 • 7 
     Чтобы можно было удалить что-то из-под корня, должно быть 2 экземпляра этого (потому что мы берем квадрат i.2-4x + 3} $ — Обмен стеков по математике
     Сеть обмена стеками 
     Сеть Stack Exchange состоит из 177 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.
     Посетить Stack Exchange
    2.  0
    3.  +0
    6.  Авторизоваться
 Зарегистрироваться
     Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.
     Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу
     Кто угодно может задать вопрос
     Кто угодно может ответить
     Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх
     Спросил 
     Просмотрено
 433 раза
     $ \ begingroup $
     Как решить уравнение $ x ^ 2-2x = \ sqrt {2x ^ 2-4x + 3} $
     Приведет ли возведение в квадрат обеих сторон члена $ x ^ 4 $, который может усложнить уравнение?
     Н. 2 + 4x- 3 = 0 $.2-4x + 3) $ = $ (x-1) (x + 1) (x-1) (x-3) $ = 0. Итак, мы нашли четыре корня, но помните, поскольку мы возводили обе стороны в квадрат, мы ввели два новых решения. Подставляя обратно в исходное уравнение, мы видим, что x = 1 (повторяющийся корень) не является правильным решением, поскольку оно дает отрицательное значение под квадратным корнем.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *