Как решить уравнение с логарифмом – Решение логарифмических уравнений онлайн (log) · Как пользоваться Контрольная Работа РУ — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 05.06.202001.01.2020 by alexxlab

Содержание

Решение логарифмических уравнений и систем уравнений. Подготовка к ЕГЭ

Ученик проходит в несколько лет дорогу, на которую человечество употребило тысячелетие.
Однако его следует вести к цели не с завязанными глазами, а зрячим:
он должен воспринимать истину, не как готовый результат, а должен её открывать.
Учитель должен руководить этой экспедицией открытий, следовательно, также присутствовать
не только в качестве простого зрителя. Но ученик должен напрягать свои силы;
ему ничто не должно доставаться даром.
Даётся только тому, кто стремится.
(А. Дистервег)

Форма урока: комбинированный урок

Тип урока:
Урок повторного контроля знаний.
Обобщение и закрепление пройденного материала.

Цели урока:
Образовательная — обобщение знаний учащихся по теме «Логарифмические уравнения и системы уравнений; закрепить основные приемы и методы решения логарифмических уравнений и систем уравнений; ознакомить учащихся с видами заданий повышенной сложности по данной теме в ЕГЭ.

Развивающая — развитие логического мышления для сознательного восприятия учебного материала, внимание, зрительную память, активность учащихся на уроке. Предоставить каждому из учащихся проверить свой уровень подготовки по данной теме.

Воспитывающая — воспитание познавательной активности, формирование личностных качеств: точность и ясность словесного выражения мысли; сосредоточенность и внимание; настойчивость и ответственность, положительной мотивации к изучению предмета, аккуратности, добросовестности и чувство ответственности. Осуществить индивидуальный подход и педагогическую поддержку каждого ученика через разноуровневые задания и благоприятную психологическую атмосферу.

Задачи урока:
выработать у учащихся умение пользоваться алгоритмом решения логарифмических уравнений.

осуществить формирование первоначальных знаний в виде отдельных навыков после определенной тренировки решения уравнений и систем уравнений.

познакомить учащихся с частными случаями и отработать навыки по решению таких уравнений и систем уравнений.

Методы и педагогические приемы:
Методы самообучения

Приемы устного опроса.

Приемы письменного контроля.

Коллективная учебная деятельность.

Организация работы в группах.

Повышение интереса к учебному материалу.

Оборудование:
компьютер, мультимедийный проектор и экран;

тетради;

Раздаточный материал: задания для самостоятельной работы.

План урока:
Организационный момент (1 мин)

Проверка домашнего задания (3 мин)

Входной контроль (повторение теоретического материала) (15 мин)

Этап обобщения знаний учащихся. Решение уравнений и систем уравнений (45 мин)

Разноуровневая самостоятельная работа (проверка знаний учащихся) (20 мин)

Итоги урока (4 мин)

Домашнее задание (2 мин)

Ход урока
1. Организационный момент
Взаимное приветствие; проверка готовности учащихся к уроку, организация внимания.
2. Проверка домашнего задания

Установить правильность и осознанность выполнения домашнего задания всеми учащимися; установить пробелы в знаниях.
3. Входной контроль (повторение теоретического материала)

Организация устной фронтальной работы с классом по повторению логарифмических формул и способов решения логарифмических уравнений.
Решение простейших уравнений:
Сравните числа:
а) и
б) и
2) Найдите Х, если х>0:
[1/5]
[4]

Перечислите: основные способы решения логарифмических уравнений.

Способы решения логарифмических уравнений

По определению логарифма.

Метод потенцирования.

Метод введения новой переменной.

Решение уравнений логарифмированием его обеих частей.

Функционально-графический способ.

На экране уравнения:
log₂(3 — 6x) = 3

lg(х² — 2х) = lg (2х + 12)

5^{х + 1}— 5 ^{х — 1}= 24

х^{lg х}= 10000

3^{2х + 5} = 3^{х + 2}+ 2

log₃²x — log₃x = 3

log₂x — log₄x = 3

2^x= x²— 2x

Среди данных уравнений выбрать логарифмические. Определить способ решения каждого уравнения. Решите уравнения.

По окончанию работы правильность решения уравнений осуществляется с помощью экрана.
Устно ответить на следующие вопросы (если имеется не один корень):
Найти наименьший корень уравнения.

Найти сумму корней уравнения.

Найти разность корней уравнения.

Найти произведение корней уравнения.

Найти частное корней уравнения

Самооценка и взаимооценка деятельности учащихся (результаты заносятся в листы самоконтроля).

4. Этап обобщения знаний учащихся
Решение логарифмических уравнений из заданий ЕГЭ части В и С.
№ 1 (В) Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения log₆(3x + 88) — log₆ 11 = log₆ x. [1]
№ 2 (B) Найдите произведение всех корней уравнения
. [1]
№ 3 (B) Найдите сумму корней уравнения = log₄ (x — 3) + 2. [2]
№ 4 (C) найти наибольший корень уравнения: log₂(2+5)+ log_0,5(-х-0,5) = 1 [-4]
№ 5 (C) Решите уравнение — log₆x + 34 = ()²+ x. [2]
Уравнения №1-3 решает по два ученика на обратных крыльях доски с последующей проверкой решения всем классом.

Уравнение №4,5 решает ученик с подробным комментарием.

По окончании самооценка и взаимооценка учащихся (результаты заносятся в листы самоконтроля).
Простейшими логарифмическими уравнениями будем называть уравнения следующих видов:
log_ax = b, a > 0, a 1.
log_af(x) = b, a > 0, a 1.

log_f(x)b = c, b > 0.
Эти уравнения решаются на основании определения логарифма: если log_ba = c, то a = b ^c.
Решить уравнение log₂x = 3.
Решение. Область определения уравнения x > 0. По определению логарифма x = 2³, x
= 8 принадлежит области определения уравнения.
Ответ: x = 8.

Уравнения вида log_af(x) = b, a > 0, a 1.
Уравнения данного вида решаются по определению логарифма с учётом области определения функции f(x).
Обычно область определения находится отдельно, и после решения уравнения f(x) = a^b проверяется, принадлежат ли его корни области определения уравнения.

Пример. Решить уравнение log₃(5х — 1) = 2.

Решение:
ОДЗ: 5х — 1 > 0; х > 1/5.
log₃(5х- 1) = 2,
log₃(5х — 1) = log₃3²,
5х — 1 =9,
х = 2.

Ответ: 2.

Пример. Решить уравнение
Решение. Область определения уравнения находится из неравенства 2
х² — 2х — 1 > 0. Воспользуемся определением логарифма:
Применим правила действий со степенями, получим 2х² — 2х — 1 = 3. Это уравнение имеет два корня х = -1; х = 2. Оба полученные значения неизвестной удовлетворяют неравенству 2х² — 2х — 1 > 0, т.е. принадлежат области определения данного уравнения, и, значит, являются его корнями.
Ответ. х₁ = -1, х₂ = 2.

Уравнения вида log_f(x)b = с, b > 0.
Уравнения этого вида решаются по определению логарифма с учётом области определения уравнения. Данное уравнение равносильно следующей системе
Чаще всего, область определения логарифмического уравнения находится отдельно, и после решения уравнения (f(x))^c = b или равносильного уравнения проверяется, принадлежат ли его корни найденной области.

Пример. Решить уравнение
log_x-19 = 2.
Решение. Данное уравнение равносильно системе
Ответ. x = 4.
2.. Потенцирование.
Суть метода заключается в переходе от уравнения
log _af(x) = log _ag(x) к уравнению f(x) = g(x), которое обычно не равносильно исходному.

Уравнения вида
log_af(x) = log_ag(x) , а > 0, а ?1.
На основании свойства монотонности логарифмической функции заключаем, что f(x) = g(x).
Переход от уравнения log_af(x) = log_ag(x) к уравнению f(x
) = g(x) называется потенцированием.
Нужно отметить, что при таком переходе может нарушиться равносильность уравнения. В данном уравнении f(x) > 0, g(x) > 0, а в полученном после потенцирования эти функции могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому из найденных корней уравнения f(x) = g(x) нужно отобрать те, которые принадлежат области определения данного уравнения. Остальные корни будут посторонними.

Пример. Решить уравнение log₃(x² — 3x — 5) = log₃(7 — 2x).
Решение. Область определения уравнения найдётся из системы неравенств:
x² — 3x — 5>0, 7 — 2x>0
х> -1,5+ , х<3,5
х₂<-1,5-
Потенцируя данное уравнение, получаем х² — 3х — 5 = 7 — 2х,

х² — х — 12 = 0, откуда х₁= -3, х₂= 4. Число 4 не удовлетворяет системе неравенств.
Ответ. х = -3.
Cведение уравнений к виду log _af(x) = log _ag(x) с помощью свойств логарифмов по одному основанию.
Если уравнение содержит логарифмы по одному основанию, то для приведения их к виду log _af(x) = log _ag(x) используются следующие свойства логарифмов:
log_ba + log_bc = log_b(a*c), где a > 0; c > 0; b > 0, b 1,
log_ba — log_bc = log_b(a/c), где a > 0; c > 0; b > 0, b 1,

m log_ba = log_ba^m, где a > 0; b > 0, b 1; m R.
Пример 1. Решить уравнение log₆(x — 1) = 2 — log₆(5x + 3).
Решение. Найдём область определения уравнения из системы неравенств
Применяя преобразования, приходим к уравнению
log₆(x — 1) + log₆(5x + 3) = 2,
log₆((x — 1)(5x + 3)) = 2, далее, потенцированием, к уравнению
(х — 1)(5х + 3) = 36, имеющему два корня х = -2,6; х = 3. Учитывая область определения уравнения, х = 3.
Ответ. х = 3.

Пример 2. Решить уравнение
Решение. Найдём область определения уравнения, решив неравенство (3x — 1)(x + 3) > 0 методом интервалов.
Учитывая, что разность логарифмов равна логарифму частного, получим уравнение log₅(x + 3)² = 0. По определению логарифма (х + 3)² = 1, х = -4, х = -2. Число х = -2 посторонний корень.
Ответ. х = -4.
Пример 3. Решить уравнение log₂(6 — x) = 2 log₆x.
Решение. На области определения 0 < x < 6 исходное уравнение равносильно уравнению 6 — x = x², откуда х = -3, х = 2. Число х = -3 посторонний корень.
Ответ. х = 2.

Уравнения вида Alog _af(x) + Blog _bg(x) + C = 0.
Метод потенцирования применяется в том случае, если все логарифмы, входящие в уравнение, имеют одинаковое основание. Для приведения логарифмов к общему основанию используются формулы:

Пример 1. Решить уравнение
Решение. Область определения уравнения 1 < x < 2. Используя формулу (3), получим
Так как 3 = log₂8, то на области определения получим равносильное уравнение (2-x)/(x-1) = 8, откуда x = 10/9.
Ответ. x = 10/9.
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Область определения уравнения x > 1. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (4).
Ответ. х = 6.
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Область определения уравнения x > -1, x 0. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (2).
Умножим обе части уравнения на log ₃(x + 1) ? 0 и перенесем все слагаемые в левую часть уравнения. Получим (log ₃(x + 1)-1)² = 0, откуда log ₃(x + 1) = 1 и x = 2.
Ответ. x = 2.

3. Введение новой переменной
Рассмотрим два вида логарифмических уравнений, которые введением новой переменной приводятся к квадратным.

Уравнения вида

где a > 0, a 1, A, В, С — действительные числа.
Пусть t = log_a f(x), t R. Уравнение примет вид t² + Bt + C = 0.
Решив его, найдём х из подстановки t = log_a f(x). Учитывая область определения, выберем только те значения x, которые удовлетворяют неравенству f(x) > 0.

Пример 1. Решить уравнение lg²x — lg_{x — 6 = 0.}
Решение. Область определения уравнения - интервал (0; ).Введём новую переменную t = lg x, t R.
Уравнение примет вид t² — t — 6 = 0. Его корни t₁ = -2, t₂ = 3.
Вернёмся к первоначальной переменной lg x = -2 или lg x = 3, х = 10^-2 или х = 10³.
Оба значения x удовлетворяют области определения данного уравнения (х > 0).
Ответ. х = 0,01; х = 1000.

Пример 2. Решить уравнение
Решение. Найдём область определения уравнения
Применив формулу логарифма степени, получим уравнение
Так как х < 0, то | x | = —x и следовательно
Введём новую переменную t = log₃ (-x), t принадлежит R. Квадратное уравнение t² — 4t + 4 = 0
имеет два равных корня t_1,2 = 2. Вернёмся к пе
urok.1sept.ru
Системы уравнений с логарифмами
2015-03-26 | Автор: Анна
Пример 1. Решить систему уравнений.
$delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{lg^2 x+lg^2 y=5} {lg x-lg y=1} {} }}{ }$
Показать
Пример 2. Решить систему уравнений.
$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{log_3 x+log_9 y=2} {log_9 x-log_3 y=1} }}{ }$
Показать
Пример 3. Решить систему уравнений.
$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{5(log_y x-log_x y}=26} {xy=64} }}{ }$
Показать
Пример 4. Решить систему уравнений.
$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{log_x y-2log_y x=1} {x^2+2y^2=3} }}{ }$
Показать
Пример 5. Решить систему уравнений.
$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{5+log_2 {x/y}={14/{log_2 {x/y}}}} {log_2 ({x/y}-2)-log_2 y=2log_4 (y+1)} }}{ }$
Показать
Пример 6. Решить систему уравнений.
$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2+log_{sqrt{3}} 2x=log_3 y^2} {2log_3 (9+{y/x})-log_3 x^2=2log_3 (x+2)} }}{ }$
Показать
easy-physic.ru
«Некоторые методы решения логарифмических уравнений»
Некоторые методы решения логарифмических уравнений.
Настоящая статья содержит систематическое изложение методов решения логарифмических уравнений с одной переменной. Это поможет учителю, прежде всего в дидактическом смысле: подбор упражнений позволяет составить для учащихся индивидуальные задания с учетом их возможностей. Данные упражнения могут быть использованы для урока обобщения и для подготовки к ЕГЭ.
Краткие теоретические сведения и решения задач позволяют учащимся самостоятельно развивать умения и навыки решения логарифмических уравнений.
Решение логарифмических уравнений.
Логарифмические уравнения – уравнения, содержащие неизвестное под знаком логарифма. При решении логарифмических уравнений часто используются теоретические сведения:

Обычно решение логарифмических уравнений   начинается с определения ОДЗ. В логарифмических уравнениях рекомендуется все логарифмы преобразовать так, чтобы их основания были равны. Затем уравнения либо выражают через один какой – либо логарифм, который обозначается новой переменной, либо уравнение преобразовывают к виду, удобному для потенцирования.
Преобразования логарифмических выражений не должны приводить к сужению ОДЗ, если же примененный метод решения сужает ОДЗ, выпуская из рассмотрения отдельные числа, то эти числа в конце задачи необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение, т.к. при сужении ОДЗ возможна потеря корней.
1. Уравнения вида – выражение, содержащее неизвестное число, а число .
Для решения таких уравнений надо:

1) воспользоваться определением логарифма: ;
2) сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).
Если ) .

2. Уравнения первой степени относительно логарифма, при решении которых используются свойства логарифмов.
Для решения таких уравнений надо:

1) используя свойства логарифмов, преобразовать уравнение;
2) решить полученное уравнение;
3) сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).
).

3. Уравнение второй и выше степени относительно логарифма.
Для решения таких уравнений надо:
сделать замену переменной;

решить полученное уравнение;

сделать обратную замену;

решить полученное уравнение;

сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).

4.Уравнения, содержащие неизвестное в основании и в показателе степени.
Для решения таких уравнений надо:
прологарифмировать уравнение;

решить полученное уравнение;

сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им
корни (решения).

5. Уравнения, которые не имеют решения.
Для решения таких уравнений надо найти ОДЗ уравнения.

Проанализировать левую и правую часть уравнения.

Сделать соответствующие выводы.

Примеры:

Исходное уравнение равносильно системе:

Доказать, что уравнение не имеет решения.
ОДЗ уравнения определяется неравенством х ≥ 0. На ОДЗ имеем
Сумма положительного числа и неотрицательного числа не равна нулю, поэтому исходное уравнение решений не имеет.
Ответ : решений нет.

В ОДЗ попадает только один корень х = 0. Ответ: 0.

Произведем обратную замену.

Найденные корни принадлежат ОДЗ.

ОДЗ уравнения – множество всех положительных чисел.

Поскольку

Аналогично решаются данные уравнения:

Задачи для самостоятельного решения:

Используемая литература.
Бесчетнов В.М. Математика. Москва Демиург 1994

Бородуля И.Т. Показательная и логарифмическая функции. ( задачи и упражнения). Москва «Просвещение» 1984

Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Москва «Наука» 1987

Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер. Москва «Илекса»2007

Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В.. Задачи по алгебре и началам анализа. Москва «Просвещение» 2003

Приложение 1
Приложение 2
urok.1sept.ru
Памятка. Методы решения логарифмических уравнений
Логарифмические уравнения
Данная памятка необходима учащимся старших классов для подготовки к ЦТ по математике по теме «Логарифмические уравнения», а также преподавателям для систематизации и обобщению знаний по данной теме.
При решении логарифмических уравнений полезно помнить некоторые свойства логарифмов:
— основное логарифмическое тождество
; ;
; ;
; ;
; ;
— формула перехода к новому основанию
Замечание: десятичный логарифм (по основанию 10)
натуральный логарифм (по основанию )
№
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ПРИМЕРЫ
По определению логарифма
Уравнения вида выражение, содержащее неизвестное число, а число .
Для решения таких уравнений надо:
1) воспользоваться определением логарифма: ;
2) сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).
Если
_{Решить уравнение}_.
_{x-15=24, x-15=16, x=15+16, x=31.}
Потенцирование
Уравнения первой степени относительно логарифма, при решении которых используются свойства логарифмов.
Для решения таких уравнений надо:
1) используя свойства логарифмов, преобразовать уравнение;
2) решить полученное уравнение;
3) сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).
).
Введение новой переменной
Уравнение второй и выше степени относительно логарифма.
Для решения таких уравнений надо:
сделать замену переменной;
решить полученное уравнение;
сделать обратную замену;
решить полученное уравнение;
сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).
Произведем обратную замену.
Найденные корни принадлежат ОДЗ.
Логарифмирование обеих частей уравнения
Уравнения, содержащие неизвестное в основании и в показателе степени.
Для решения таких уравнений надо:
прологарифмировать уравнение;
решить полученное уравнение;
сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им
корни (решения).
Решить уравнение .
Поскольку нет возможности выразить обе части уравнения через степени с одинаковым основанием, то логарифмируем по основанию 10 (в уравнении есть десятичный логарифм, да и для числа 100 это основание удобно). Логарифмы равных положительных чисел (фактически одного и того же числа, выраженного по-разному) равны, поэтому логарифм левой части равен логарифму правой части: lg,

x=0,1
x=100.
Легко убедиться, что корни не посторонние.
Приведение к одному основанию
Решите уравнение: .
Решение: ОДЗ: х0. Перейдем к основанию 3.

или ;
Ответ: 9.
Функционально-графический метод
Решить графически уравнение:
= 3 – x.
Можно построить графики функций
и
Есть способ, позволяющий не строить графики. Он заключается в следующем: если одна из
функций у = f(x) возрастает, а другая
y = g(x) убывает на промежутке Х, то уравнение f(x)= g(x) имеет не более одного корня на промежутке Х. Если корень имеется, то его можно угадать. В нашем случае функция
возрастает при х0, а функция y = 3 – x убывает при всех значениях х, в том числе и при х0, значит, уравнение имеет не более одного корня. Заметим, что при
х = 2 уравнение обращается в верное равенство.
Ответ: 2
intolimp.org
Решение уравнений, содержащих неизвестную в основании логарифма
Цели урока:
обучающие: закрепить основные способы решения логарифмических уравнений: по определению логарифма с учётом области определения, на основании свойств монотонности (потенцирование) с учётом равносильности перехода, переход к новому основанию, введение новой переменной; рассмотреть некоторые приемы быстрого решения уравнений рассматриваемого типа;

развивающие: содействовать развитию логического мышления учащихся; развивать умения рассуждать, сравнивать, осмысливать материал; развивать у учащихся умения анализа условия задачи перед выбором способа ее решения; развивать навыки исследовательской деятельности; учить видеть задачу целиком, логически мыслить при переходе от частного к общему; развивать навыки обобщения;

воспитывающие: воспитание познавательного интереса, элементов культуры общения; побуждение учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности; воспитание у учащихся уверенности в себе, веры в свои силы в нестандартной ситуации.

Тип урока: урок комплексного применения знаний и навыков.
Ход урока:
1. Организационный момент
(сообщить учащимся тему урока, поставить перед ними задачи урока), (на партах у каждого раздаточный материал см. Приложение 1).
Изучив основные свойства логарифмической функции, правила вычисления логарифмов, овладев основными приемами решения логарифмических уравнений и неравенств, наша основная задача на сегодняшний урок – обобщить методы решения логарифмических уравнений, содержащих переменную в основании логарифма.
2. Активизация знаний учащихся.
Устная работа:
Найдите область определения функций:

Ответ: (0;1) U (1;∞)
(- 4; — 3) U (- 3; — 1) U (1;∞)
(-∞; — 2) U (- 2; 2)
Каким способом решается уравнение:

. Ответ: по определению логарифма. Решений нет!!
При каком значении параметра а функция определена на множестве (1; ∞); если изменить основание, значение параметра изменится?

Ответ: а ≥ 1

Ответ: а ≥ 1

Ответ: а > 1
3. Основная часть урока.
Слайд 2. Виды уравнений и методы решения
слайд 3.

На области определения по определению логарифма
Или
слайд 4.
Пример Решение:   x=6. Ответ: 6.
слайд 5.
На области определения по определению логарифма
слайд 6.
Пример:
Решение: 7x-14=3-2x; 9x=17; x=17/9; НО!!! промежутки не пересекаются, значит, решений нет!! Ответ: решений нет.
слайд 7.
Пример:Каким способом решается уравнение?
предполагаемый ответ учащихся: решаем, применяя определение логарифма (решение учеником письменно на доске и в тетрадях)
Решение:
при х= 6 верно. Ответ: 6
Слайд 8

Слайд 10. На найденной области определения
решим уравнение: , , х = 0 или х = 1,5
Ответ: 1,5
Слайд 11 Следующий вид уравнения:
Одна и та же функция в основании логарифма
Вопрос: Каким способом решать?
Один из вариантов ответов: область определения достаточно объёмная, поэтому переходим к следствию
Найдём корни этого уравнения и подстановкой в первоначальное логарифмическое, проверим.
Слайд 12. Одна и та же функция является подлогарифмическим выражением
Вопрос: Каким способом решать? Один из вариантов ответов: область определения достаточно объёмная, поэтому переходим к совокупности уравнений
Найдём корни этого уравнения и подстановкой в первоначальное логарифмическое, проверим.
Слайд 13 .Пример
Решение:

Слайд 14. На промежутке решаем совокупность уравнений:

Слайд 15. Проверяем на принадлежность этих чисел области определения, делаем вывод: решением уравнения являются числа: ; . Ответ: ;.
Слайд 16 Следующий вид уравнений:
Область определения достаточно объёмная
Найдём корни этого уравнения и подстановкой в первоначальное логарифмическое, проверим.
Слайд 17. Как вы думаете, каким способом лучше решать это уравнение?
Один из вариантов ответов: переход к новому основанию (числовому)
Слайд 18. или к буквенному
Слайд 19. Пример:
(решение с подробным комментарием письменно на доске и в тетрадях).
Решение: Очевидно . Выполним преобразования основания и подлогарифмического выражения правой части уравнения
,
Перейдём в правой части уравнения к новому основанию х, применяя свойство: логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей по такому же основанию
,
Выполним замену переменных
Получим уравнение , ,
Выполнив обратную замену, получим
Х= — 1.
Очевидно – 1 не входит в область определения заданного уравнения.
Или , , .
По свойству: если коэффициенты квадратного уравнения таковы, что
a + c – b =0, то Х= — 1, Х= ½. Ответ: ½
Слайд 20
Следующий тип уравнений
Слайд 21. Пример
Решение:
  Ответ: 5,5.
Слайд 22 «Комбинированные» виды уравнений
Пример
Решение: очевидно

Слайд 23 , ,
(очевидно, последнее уравнение решений не имеет)
Слайд 24 , . Ответ:
Слайд 25 Уравнения, левая часть которых – сумма взаимно обратных слагаемых
Пример: (*)
Очевидно, каждое слагаемое равно 1.
Получим систему, равносильную уравнению (*)
Слайд 26
  x = 2. Ответ: 2
Слайд 27. В чём отличие в решении следующего уравнения?
  (*)
Равенство взаимно обратных слагаемых верно при условии х > 0,5, х ≠ 1,5.
На рассматриваемом промежутке уравнение (*) равносильно совокупности

Слайд 28
Слайд 29
с учётом области определения: Ответ: 1
Подведение итогов урока
4. Домашнее задание.
Слайд 30. Решите уравнения: ,

P. S. Урок проведён в 10 классе физико-химического профиля. Уложились за урок за счёт экономии времени: на партах лежали у каждого ученика листы с напечатанными типами уравнений, учащиеся записывали только метод решения (без области определения и решения). Эти листы ученики забрали с собой и вклеили в тетрадь.
В слабом классе лучше потратить на эту тему сдвоенный урок.
P. S. S. В кабинете один компьютер с выходом на экран телевизора. В связи с этим, на слайдах текст печатается очень крупно.
Список используемой литературы:
Балаян Э. Н. ЕГЭ по математике: Новейшие тесты. Пособие для учащихся старших классов и абитуриентов вузов. — М: ИКЦ «МарТ»; Ростов-на-Дону: Издательский центр «МарТ», 2004.

Балаян Э. Н. Математика. Серия «Единый госэкзамен». — Ростов н/Д: Феникс, 2004.

Математика. Интенсивный курс подготовки к Единому государственному экзамену. — М.: Айрис-пресс, 2004.

Математика: Варианты задач для вступительных испытаний в НГУЭУ. — Новосибирск: НГУЭУ, 2005.

Математика: Учебное пособие для поступающих в вузы и старшеклассников / М. К. Потапов, С. Н. Олехник, Ю. В. Нестеренко. — М.: ООО «Издательство АСТ»: ООО «Издательство Астрель», 2004.

Уравнения и неравенства: Учеб. пособие / А. Г. Калашникова и др.— Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003.

Презентация.
urok.1sept.ru
Решение логарифмических уравнений. Часть 1.
Решение логарифмических уравнений. Часть 1.
Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком логарифма ( в частности, в основании логарифма).
Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид:
Решение любого логарифмического уравнения предполагает переход от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифмов. Однако это действие расширяет область допустимых значений уравнения и может привести к появлению посторонних корней. Чтобы избежать появления посторонних корней, можно поступить одним из трех способов:
1. Сделать равносильный переход от исходного уравнения к системе, включающей область допустимых значений уравнения:

или

,
в зависимости от того, какое неравенство или проще.
Если уравнение содержит неизвестное в основании логарифма:
,
то мы переходим к системе:

2. Отдельно найти область допустимых значений уравнения, затем решить уравнение и проверить, удовлетворяют ли найденные решения ОДЗ уравнения.
3. Решить уравнение, и потом сделать проверку: подставить найденные решения в исходное уравнение, и проверить, получим ли мы верное равенство.
Логарифмическое уравнение любого уровня сложности в конечном итоге всегда сводится к простейшему логарифмическому уравнению.
Все логарифмические уравнения можно условно разделить на четыре типа:
1. Уравнения, которые содержат логарифмы только в первой степени. Они с помощью преобразований и использования свойств логарифмов приводятся к виду
или
Пример. Решим уравнение:
Решение.
Выпишем ОДЗ уравнения:

Внимание! Мы всегда ищем ОДЗ исходного уравнения, а не того, которое получится в процессе преобразований. То есть ОДЗ записываем перед тем, как переходим к решению уравнения.
Для упрощения вычислений давайте перенесем логарифмы с отрицательными коэффициентами в противоположную часть уравнения — из соображений, что умножать проще, чем делить:
Представим число 2 в виде логарифма по основанию 4:
Получим уравнение:
Воспользуемся свойствами логарифмов:
Приравняем выражения, стоящие под знаком логарифма:
Проверим, удовлетворяет ли наш корень ОДЗ уравнения:

Да, удовлетворяет.
Ответ: х=5
2. Уравнения, которые содержат логарифмы в степени, отличной от 1 (в частности, в знаменателе дроби). Такие уравнения решаются с помощью введения замены переменной.
Пример. Решим уравнение:
Решение.
Найдем ОДЗ уравнения:
Уравнение содержит логарифмы в квадрате, поэтому решается с помощью замены переменной.
Важно! Прежде чем вводить замену, нужно «растащить» логарифмы, входящие в состав уравнения на «кирпичики», используя свойства логарифмов.
При «растаскивании» логарифмов важно очень аккуратно применять свойства логарифмов:
Кроме того, здесь есть еще одно тонкое место, и, чтобы избежать распространенной ошибки, воспользуемся промежуточным равенством: запишем степень логарифма в таком виде:
Аналогично,
.
Подставим полученные выражения в исходное уравнение. Получим:
Теперь мы видим, что неизвестное содержится в уравнении в составе . Введем замену: . Так как может принимать любое действительное значение, на переменную мы никаких ограничений не накладываем.
Получили уравнение:
Раскроем скобки, приведем подобные члены и решим квадратное уравнение:
,
Вернемся к исходной переменной:
,
Отсюда:
,
Ответ: ,
Решение  логарифмических уравнений остальных типов мы рассмотрим здесь и здесь.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.
ege-ok.ru
Логарифмические уравнения
Прежде, чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте вспомним, что логарифмом положительного числа по основанию , где , , называется показатель степени, в которую надо возвести число , чтобы получить .
Обозначают: .
Таким образом, равенство означает, что .
Вспомним также свойства логарифмов. Пусть , , , , а – любое действительное число. Тогда справедливы следующие свойства:
1.     ,
2.     ,
3.     .
Так какие же уравнения называют логарифмическими?
Запомните! Логарифмическим уравнением называют уравнение, содержащее переменные под знаком логарифма и (или) в его основании.
Существуют различные методы решения логарифмических уравнений.
В первую очередь рассмотрим с вами решение логарифмических уравнений по определению логарифма. Так решаются уравнения вида , где , . Они равносильны уравнению . При этом, так как выражение под знаком логарифма должно принимать только положительные значения, должно выполняться условие .
Решим уравнение: . Сразу отметим, что должно выполняться условие . Воспользуемся определением логарифма и запишем: . Теперь возведём в квадрат. Перенесём в левую часть уравнения и получим квадратное уравнение: . Решим его. Вычислим дискриминант: . Тогда первый корень квадратного уравнения , второй – .
Мы будем проверять, удовлетворяют ли найденные значения икс условию ?
Обязательно проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию. Подставляем в неравенство: . Получаем верное неравенство. Затем подставляем в неравенство : . И тоже получаем верное неравенство.
А значит, и , и являются корнями логарифмического уравнения.
Следующий метод – метод потенцирования.
Потенцированием называют действие нахождения числа по его логарифму. При решении логарифмических уравнений под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их. Метод заключается в том, что мы от уравнения вида , где , , переходим к уравнению . Причём должны выполняться условия и .
Решим следующее уравнение: . Следует отметить, что должны выполняться условия: и . Потенцируем уравнение (то есть избавимся от знаков логарифма) и получаем: . Перенесём и в левую часть уравнения и приведём подобные слагаемые: . Решим полученное квадратное уравнение. Запишем его дискриминант: . Находим корни и получаем и .
Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условиям. Подставляем первый корень в первое неравенство и выполняем преобразования: . Затем подставляем во второе неравенство и тоже выполняем преобразования: . Получаем, что удовлетворяет каждому из неравенств, а значит, является корнем исходного логарифмического уравнения.
Затем подставляем второй корень в первое неравенство, выполняем преобразования и получаем: . Следовательно, не удовлетворяет первому неравенству, а значит, не является корнем данного логарифмического уравнения.
В ответ запишем: .
Следующий метод решения логарифмических уравнений – это метод введения новой переменной.
Посмотрите на уравнение. Здесь переменная может принимать только положительные значения.
Так это же квадратное уравнение относительно логарифма икс по основанию два. Давайте введём новую переменную . Тогда наше уравнение примет вид: . Находим корни этого квадратного уравнения по теореме Виета. Тогда, согласно этой теореме, можем записать, что , а . Легко увидеть, что этим равенствам удовлетворяют значения: и .
Теперь можем вернуться к замене? Да, теперь мы вернёмся к замене. Имеем: и . Таким образом, по определению логарифма из первого равенства получаем , а из второго – . Найденные значения икс больше нуля, а значит, каждое из них является корнем исходного логарифмического уравнения.
Таким образом мы с вами рассмотрели основные методы решения логарифмических уравнений.
А сейчас рассмотрим вот такое уравнение: икс в степени логарифм икс по основанию два равняется шестнадцати. Решим его методом логарифмирования, который заключается в переходе от уравнения к уравнению . То есть берётся логарифм от правой и левой частей уравнения.
Сразу отметим, что переменная может принимать только положительные значения. Возьмём от обеих частей уравнения логарифмы по основанию . Воспользуемся известным нам свойством и в левой части уравнения вынесем показатель степени за знак логарифма: . В правой части уравнения найдём значение логарифма: . Теперь произведение в левой части уравнения запишем в виде квадрата логарифма икс по основанию : . Отсюда получаем: и . По определению логарифма из первого равенства получаем , а из второго – . Оба значения больше нуля, а значит, и , и являются корнями исходного уравнения.
И давайте рассмотрим пример решения системы, состоящей из логарифмического уравнения и линейного уравнения:
Сразу отметим, что . Воспользуемся определением логарифма и запишем первое уравнение системы как . Откуда . Подставим найденное значение во второе уравнение системы: . И, решив линейное уравнение, найдём .
А сейчас давайте приступим к практической части нашего урока.
Задание. Решите уравнения: а) ; б) ; в) .
Решение.
videouroki.net