Несобственный интеграл: Несобственные интегралы – Электронная библиотека БГУ: Invalid Identifier

Содержание

Несобственный интеграл - это... Что такое Несобственный интеграл?

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

  • Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;
  • Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b].

Несобственные интегралы I рода

Пусть определена и непрерывна на множестве от и . Тогда:

  1. Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае называется сходящимся.
  2. Если не существует конечного ( или ), то интеграл называется расходящимся к , или просто расходящимся.

Пусть определена и непрерывна на множестве от и . Тогда:

  1. Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае называется сходящимся.
  2. Если не существует конечного ( или ), то интеграл называется расходящимся к , или просто расходящимся.

Если функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:

, где с — произвольное число.

Геометрический смысл несобственного интеграла I рода

Несобственный интеграл выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.

Примеры

Несобственные интегралы II рода

Пусть определена на , терпит бесконечный разрыв в точке x=a и . Тогда:

  1. Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
  2. Если или , то обозначение сохраняется, а называется расходящимся к , или просто расходящимся.

Пусть определена на , терпит бесконечный разрыв при x=b и . Тогда:

  1. Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
  2. Если или , то обозначение сохраняется, а называется расходящимся к , или просто расходящимся.

Если функция терпит разрыв во внутренней точке отрезка , то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

Геометрический смысл несобственных интегралов II рода

Несобственный интеграл выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции

Пример

Отдельный случай

Пусть функция определена на всей числовой оси и имеет разрыв в точках .

Тогда можно найти несобственный интеграл

Критерий Коши

1. Пусть определена на множестве от и .

Тогда сходится

2. Пусть определена на и .

Тогда сходится

Абсолютная сходимость

Интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится.
Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.

Условная сходимость

Интеграл называется условно сходящимся, если сходится, а расходится.

См. также

Список используемой литературы

Дмитрий Письменный Конспект лекций по высшей математике, часть 1. — Айрис Пресс, 2007. — С. 233-237.

Несобственный интеграл — Википедия

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий.

  • Область интегрирования является бесконечной. Например, является бесконечным промежутком [a,+∞){\displaystyle [a,+\infty )}.
  • Функция f(x){\displaystyle f(x)} является неограниченной в окрестности некоторых точек области интегрирования.

Если интервал [a,b]{\displaystyle [a,b]} конечный и функция интегрируема по Риману, то значение несобственного интеграла совпадает со значением определённого интеграла.

Несобственные интегралы I рода

Несобственный интеграл первого рода

Пусть f(x){\displaystyle f(x)} определена и непрерывна на интервале [a,+∞){\displaystyle [a,+\infty )} и ∀A>a ∃∫aAf(x)dx{\displaystyle \forall A>a\ \exists \int \limits _{a}^{A}f(x)dx}. Тогда:

  1. Если ∃limA→+∞∫aAf(x)dx=I∈R{\displaystyle \exists \lim _{A\to +\infty }\int \limits _{a}^{A}f(x)dx=I\in \mathbb {R} }, то используется обозначение I=∫a+∞f(x)dx{\displaystyle I=\int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx} и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае I=∫a+∞f(x)dx{\displaystyle I=\int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx} называется сходящимся.
  2. Если не существует конечного limA→+∞∫aAf(x)dx{\displaystyle \lim _{A\to +\infty }\int \limits _{a}^{A}f(x)dx} (±∞{\displaystyle \pm \infty } или ∄{\displaystyle \nexists }), то интеграл ∫a+∞f(x)dx{\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx} называется расходящимся к «∞{\displaystyle \infty }», «±∞{\displaystyle \pm \infty }», или просто расходящимся.

Пусть f(x){\displaystyle f(x)} определена и непрерывна на множестве от (−∞,b]{\displaystyle (-\infty ,b]} и ∀B<b⇒∃∫Bbf(x)dx{\displaystyle \forall B<b\Rightarrow \exists \int \limits _{B}^{b}f(x)dx}. Тогда:

  1. Если ∃limB→−∞∫Bbf(x)dx=I∈R{\displaystyle \exists \lim _{B\to -\infty }\int \limits _{B}^{b}f(x)dx=I\in \mathbb {R} }, то используется обозначение I=∫−∞bf(x)dx{\displaystyle I=\int \limits _{-\infty }^{b}f(x)dx} и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае I=∫−∞bf(x)dx{\displaystyle I=\int \limits _{-\infty }^{b}f(x)dx} называется сходящимся.
  2. Если не существует конечного limB→−∞∫Bbf(x)dx{\displaystyle \lim _{B\to -\infty }\int \limits _{B}^{b}f(x)dx} (±∞{\displaystyle \pm \infty } или ∄{\displaystyle \nexists }), то интеграл ∫−∞bf(x)dx{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{b}f(x)dx} называется расходящимся к «∞{\displaystyle \infty }», «±∞{\displaystyle \pm \infty }», или просто расходящимся.

Если функция f(x){\displaystyle f(x)} определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:

∫−∞+∞f(x)dx=∫−∞cf(x)dx+∫c+∞f(x)dx{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=\int \limits _{-\infty }^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{+\infty }f(x)dx}, где с — произвольное число.

Геометрический смысл несобственного интеграла I рода

Несобственный интеграл первого рода выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.

Примеры

∫−∞−11x2dx=lima→−∞∫a−11x2dx=lima→−∞−1x|a−1=1+lima→−∞1a=1+0=1{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{-1}{1 \over x^{2}}dx=\lim _{a\to -\infty }\int \limits _{a}^{-1}{1 \over x^{2}}dx=\lim _{a\to -\infty }{\Bigl .}-{\frac {1}{x}}{\Bigr |}_{a}^{-1}=1+\lim _{a\to -\infty }{\frac {1}{a}}=1+0=1}

Несобственные интегралы II рода

Несобственный интеграл Римана второго рода

Пусть f(x){\displaystyle f(x)} определена на (a,b]{\displaystyle (a,b]}, терпит бесконечный разрыв в точке x = a и ∀δ>0⇒∃∫a+δbf(x)dx=I(δ){\displaystyle \forall \delta >0\Rightarrow \exists \int \limits _{a+\delta }^{b}f(x)dx={\mathcal {I}}(\delta )}. Тогда:

  1. Если ∃limδ→0+0I(δ)=I∈R{\displaystyle \exists \lim _{\delta \to 0+0}{\mathcal {I}}(\delta )=I\in \mathbb {R} }, то используется обозначение I=∫abf(x)dx{\displaystyle I=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx} и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
  2. Если limδ→0+0I(δ)=∞(±∞{\displaystyle \lim _{\delta \to 0+0}{\mathcal {I}}(\delta )=\infty \;(\pm \infty } или ∄){\displaystyle \nexists )}, то обозначение сохраняется, а I=∫abf(x)dx{\displaystyle {\mathcal {I}}=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx} называется расходящимся к «∞{\displaystyle \infty }», «±∞{\displaystyle \pm \infty }», или просто расходящимся.

Пусть f(x){\displaystyle f(x)} определена на [a,b){\displaystyle [a,b)} , терпит бесконечный разрыв при x = b и ∀δ>0⇒∃∫ab−δf(x)dx=I(δ){\displaystyle \forall \delta >0\Rightarrow \exists \int \limits _{a}^{b-\delta }f(x)dx={\mathcal {I}}(\delta )}. Тогда:

  1. Если ∃limδ→0+0I(δ)=I∈R{\displaystyle \exists \lim _{\delta \to 0+0}{\mathcal {I}}(\delta )=I\in \mathbb {R} }, то используется обозначение I=∫abf(x)dx{\displaystyle I=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx} и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
  2. Если limδ→0+0I(δ)=∞(±∞{\displaystyle \lim _{\delta \to 0+0}{\mathcal {I}}(\delta )=\infty \;(\pm \infty } или ∄){\displaystyle \nexists )}, то обозначение сохраняется, а I=∫abf(x)dx{\displaystyle {\mathcal {I}}=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx} называется расходящимся к «∞{\displaystyle \infty }», «±∞{\displaystyle \pm \infty }», или просто расходящимся.

Если функция f(x){\displaystyle f(x)} терпит разрыв во внутренней точке c{\displaystyle c} отрезка [a;b]{\displaystyle [a;b]}, то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx.{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{b}f(x)dx.}

Геометрический смысл несобственных интегралов II рода

Несобственный интеграл второго рода выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции.

Пример

∫01dxx=limδ→0+0ln⁡|x||0+δ1=0−limδ→0+0ln⁡δ=+∞{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{dx \over x}=\lim _{\delta \to 0+0}{\Bigl .}\ln |x|{\Bigr |}_{0+\delta }^{1}=0-\lim _{\delta \to 0+0}\ln \delta =+\infty }

Отдельный случай

Пусть функция f(x){\displaystyle f(x)} определена на всей числовой оси и имеет разрыв в точках x1,x2,…,xk{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}}.

Тогда можно найти несобственный интеграл ∫−∞+∞f(x)dx=∫−∞x1f(x)dx+∑j=1k−1∫xjxj+1f(x)dx+∫xk+∞f(x)dx{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=\int \limits _{-\infty }^{x_{1}}f(x)dx+\sum _{j=1}^{k-1}{\int \limits _{x_{j}}^{x_{j+1}}f(x)dx}+\int \limits _{x_{k}}^{+\infty }f(x)dx}

Критерий Коши́

1. Пусть f(x){\displaystyle f(x)} определена на множестве от [a,+∞){\displaystyle [a,+\infty )} и ∀A>a⇒∃∫aAf(x)dx=I{\displaystyle \forall A>a\Rightarrow \exists \int \limits _{a}^{A}f(x)dx={\mathcal {I}}}.

Тогда I=∫a+∞f(x)dx{\displaystyle {\mathcal {I}}=\int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx} сходится ⇔∀ε>0⇒∃A(ε)>a:∀(A2>A1>A)⇒|∫A1A2f(x)dx|<ε{\displaystyle \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\Rightarrow \exists A(\varepsilon )>a:\forall (A_{2}>A_{1}>A)\Rightarrow \left|\,\int \limits _{A_{1}}^{A_{2}}f(x)dx\right|<\varepsilon }

2. Пусть f(x){\displaystyle f(x)} определена на (a,b]{\displaystyle (a,b]} и ∀δ>0⇒∃∫a+δbf(x)dx=I{\displaystyle \forall \delta >0\Rightarrow \exists \int \limits _{a+\delta }^{b}f(x)dx={\mathcal {I}}}.

Тогда I=∫abf(x)dx{\displaystyle {\mathcal {I}}=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx} сходится ⇔∀ε>0⇒∃δ(ε)>0:∀(0<δ1<δ2<δ)⇒|∫a+δ1a+δ2f(x)dx|<ε{\displaystyle \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\Rightarrow \exists \delta (\varepsilon )>0:\forall (0<\delta _{1}<\delta _{2}<\delta )\Rightarrow \left|\,\int \limits _{a+\delta _{1}}^{a+\delta _{2}}f(x)dx\right|<\varepsilon }

Абсолютная сходимость

Интеграл ∫a+∞f(x)dx  (∫abf(x)dx){\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx\ \ \left(\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\right)} называется абсолютно сходящимся, если ∫a+∞|f(x)|dx  (∫ab|f(x)|dx){\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }|f(x)|dx\ \ \left(\int \limits _{a}^{b}|f(x)|dx\right)}сходится.
Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.

Условная сходимость

Интеграл ∫a+∞f(x)dx  {\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx\ \ } называется условно сходящимся, если ∫a+∞f(x)dx  {\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx\ \ } сходится, а ∫a+∞|f(x)|dx  {\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }|f(x)|dx\ \ } расходится.

См. также

Литература

Дмитрий Письменный. Конспект лекций по высшей математике, часть 1. — Айрис Пресс, 2007. — С. 233-237.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Пусть функция определена и интегрируема на произвольном обрезке, т.е. функцияопределена для произвольного.

Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом от непрерывной функциина полуинтерваленазывается предел интегралапристремящемся к, т.е.

.

Если этот предел, стоящий в правой части равенства, существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае – расходящимся.

При работе с несобственными интегралами выделяют 2 задачи:

      1. исследование вопроса о сходимости заданного несобственного интеграла;

      2. вычисление значения интеграла в случае, если последний сходится.

Использование несобственных интегралов позволяет придать смысл такому понятию, как площадь полубесконечной (бесконечной) фигуры.

Пример. Вычислить .

Аналогично определяется несобственный интеграл от непрерывной функции с бесконечным нижним пределом интегрирования, а именно

.

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования имеет вид: , где.

Пример. Вычислить .

Задания для самостоятельной работы.

Найти интегралы:

Найти определенные интегралы:

Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями:

  1. .

  2. .

  3. .

  4. .

Вычислить интегралы или установить их расходимость:

13

§12. Несобственный интеграл второго рода.

y

Как уже отмечалось выше для неограниченной на отрезке [a, b] ф-и интеграл Римана смысла не имеет. Обобщим понятие определенного интеграла на ф-ю f(x) неограниченную на полуинтервале [a, b), но ограниченную и интегрируемую на любом отрезке [a, b-ε], 0<ε<a. Рассмотрим ф-ю F(ε)=
.(1)

Перейдем в (1) формально к пределу при ε→0

F(ε)= =.(2).

Символ =называют несобственным интегралом 2-го рода. При этом, если предел (1) конечный, то несобственный интеграл 2-го рода называют сходящимся. Если предел бесконечный или не сущ., то расходящимся. Точкуx=b называют особой.

Аналогично определяются несобственные интегралы 2-го рода, если особой точкой является левый конец отрезка [a, b] или внутренняя точка x=c отрезка [a, b].

==,

=(+).(3)

Величины ε1 и ε2 →0 независимо друг от друга.

Пример 1. Исследовать на сходимость интеграл.

Решение. Пусть α=1. Тогда =

=-ln(b-x) =(ln(b-a)-lnε)=∞ => ряд расходится.

Пусть α≠1. Тогда ===

(-) => Сходится, если α<1. Расходится, если α>1.

Вывод: при α<1 интеграл сходится, при α≥1 интеграл расходится.

При некоторых ограничениях на ф-ю f(x) несобственный интеграл 2-го рода сводится к несобственному интегралу 1-го рода.

Пусть f(x) непрерывна на [a, b) и b – особая точка. В интеграле сделаем замену.

==.(4)

Перейдем в (4) к пределу при ε→+0. Получим

=.(5)

Таким образом данная замена переводит несобственный интеграл 2-го рода в несобсвенный интеграл 1-го рода. Ясно, что если интеграл в левой части (5) существует, то существует и интеграл в правой части (5), и наоборот. Все признаки сходимости, доказанные для несобственного интеграла 1-го рода, справедливы (с нек. исправлениями) и для интеграла 2-го рода. Правила интегрирования также остаются прежними.

Пример 2. Вычислить несобственный интеграл.

Согласно (2) имеем ===

(xlnx-x) = =(-1-εlnε+ε)=-1-=-1-=-1.

Пример 3. Исследовать на сходимость интеграл.

Доопределим подыинтегральную ф-ю в точке x=0, т.е. положим =0. Особой точкой являетсяx=1. Найдем предел =

x=1. Это означает эквивалентность функций в точке x=1, т.е. ~приx→1. Согласно предельному признаку сравнения интеграла иведут себя одинаково. Но интегралрасходится (см. пр. 1), => и данный интеграл расходится.

П 18. Главное значение несобственного интеграла.

Пусть ф-я f(x) определена на всей числовой оси и интегрируема на любом конечном отрезке числовой оси. Тогда

=(1)

несобственный интеграл 1-го рода. Напомним, что a и b стремятся к ∞ независимо друг от друга. Положим теперь b=-a. Если существует предел

, то говорят, что несобственный интеграл сходится по Коши, а его значение называют главным значением несобственного интеграла по Коши и обозначают

V.P.=.(2)

Ясно, что если интеграл (1) сходится, то он сходится к этому же значению по Коши. Однако интеграл (1) может расходится, но иметь главное значение по Коши.

Пример 1. - расходится (см. пр.2 §9). Найдем его главное значение.

V.P.==-(cosa-cos(-a))=0.

Теорема 1. Если ф-я f(x) нечетная и интегрируема по Риману на любом конечном отрезке, то ее главное значение равно нулю.

Док-во. =+==-==0, т.к.f(t) нечетная V.P.==0. Теорема доказана.

Если любая особая точка c внутренняя для отрезка [a, b], то главное значение интеграла по Коши можно ввести и для несобственного интеграла 2-го рода.

V.P.=(+).(3)

Пример 2. Интеграл ,a<c<b расходится (см. пр.1 §12). Найдем его главное значение. V.P.=(+)=(ln|x-c|+ln|x-c|)=(lnε-ln|a-c|+ln(b-c)-lnε)= .

Пример 3. Интеграл расходится. Найдем его главное значение.V.P.= (+)=-(+)=-(-++1-)=-∞. Главное значение данного интеграла не существует.

23

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о