Как ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ 2 Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° зная ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹: Как ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ – Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². ВСкторная сумма. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° слоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². ГСомСтричСская сумма. Он-Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€.

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². ВСкторная сумма. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° слоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². ГСомСтричСская сумма. Он-Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€.

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². ВСкторная сумма. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° слоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². ГСомСтричСская сумма. Он-Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€

Π’ ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠ΅ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π΄Π²Π° Ρ‚ΠΈΠΏΠ° Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½:

  • скалярныС Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, Π·Π°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ числовоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ β€” врСмя, Ρ‚Π΅ΠΌΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°, масса ΠΈ Ρ‚.Π΄.
  • Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ вмСстС с Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ числовым Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π·Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ β€” ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ, сила ΠΈ Ρ‚.Π΄..

Рассмотрим сначала алгСбраичСский ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΊ слоТСнию Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

ΠŸΠΎΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ слоТСниС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Ρ‹ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎ ( Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π°, Ρ‚.Π΅. ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ β€” ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ, ΠΈΠ· Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ β€” Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΈ Ρ‚.Π΄.):

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠ΅Π³ΠΎΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ слоТСнии этих Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:

Π’ Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ случаС всС Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ Π°Π½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ, просто отбрасываСм Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΡŽ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρƒ.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ гСомСтричСскому смыслу слоТСния Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²: .

ΠŸΡ€ΠΈ слоТСнии Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΠΈΡ… числовыС значСния, ΠΈ направлСния. Π•ΡΡ‚ΡŒ нСсколько ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Ρ… ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² слоТСния:

  • ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°
  • ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°
  • тригономСтричСский способ

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°.

ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Π° слоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ:

  • Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, учитывая Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅
  • ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ, ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅
  • Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ рисунок Π΄ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°, считая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π²Π° нарисованных Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° β€” это Π΅Π³ΠΎ стороны
  • Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ диагональ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ с

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Π’ΠΈΠ΄Π΅ΠΎΡƒΡ€ΠΎΠΊ. ГСомСтрия 8 Класс

Π’Π΅ΠΌΠ°: Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹

Π£Ρ€ΠΎΠΊ: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

На ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ ΠΌΡ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ понятиС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, сказали, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, сонаправлСнными ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΎ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° – Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°  ΠΈ . НайдСм сумму этих Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² . Для этого ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΈΠ· Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ . Из Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π’ ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€  Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ суммой Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²:  (см. Рис. 1).

Рис. 1

Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ: ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ Π±Ρ‹Π» Π·Π°Π΄Π°Π½ Π³Ρ€ΡƒΠ·, ΠΈ сначала Π½Π° Π½Π΅Π³ΠΎ подСйствовала сила  β€“ ΠΎΠ½ пСрСмСстился ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π’, послС этого подСйствовала сила

 β€“ Π³Ρ€ΡƒΠ· пСрСмСстился ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π’ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π‘. Но Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ дСйствия Π΄Π²ΡƒΡ… этих сил Π³Ρ€ΡƒΠ· пСрСмСстился ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π‘.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ суммы Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² – ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ сумму Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ с ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ – это ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ сумма Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

МоТно провСсти аналогию с числами. ΠœΡ‹ Π²Π²Π΅Π»ΠΈ понятиС числа, Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ числа, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ слоТСния ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ Π²Π²Π΅Π»ΠΈ понятиС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ слоТСния.

Π—Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ слоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

Для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

,  ΠΈ  ΡΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Ρ‹ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ равСнства:

 β€“ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ: ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ сначала Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π’, ΠΈΠ· Π½Π΅Π΅ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π‘ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А сначала Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€  ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π’, ΠΈΠ· Π½Π΅Π΅ ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π‘ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ .

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ равСнство ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Π° построСния ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° (см. Рис. 2).

Рис. 2

ΠžΡ‚ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

 ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ . Из Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π’ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°  ΠΈ  Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, Π° Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, стороны Π’Π‘ ΠΈ АВ1 Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° АВБВ1 ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹. Аналогично ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ ΠΈ стороны АВ ΠΈ Π’1Π‘, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ. АБ – диагональ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°. , Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ

Рис. 3

Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ слоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° (см. Рис. 3).

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ сумму Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ эти Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π½ΠΈΡ… ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ. Π”ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°, исходящая ΠΈΠ· Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ суммой Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

 β€“ ΡΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½;

Из ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΈΡ… сумму . К этой суммС ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚  (см. Рис. 4).

Рис. 4

Π’ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части выраТСния ΠΌΡ‹ сначала ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ сумму Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² , послС ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΠ»ΠΈ Π΅Π΅ ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ  ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚:

 (см. Рис. 5).

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΈ ΡΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ слоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

Рис. 5

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ нСсколько Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΈΠ· Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅; ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° всС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ‹, соСдинив Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ с ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠΌ послСднСго Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ сумму Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² (см. Рис. 6).

Рис. 6

По Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ с Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами послС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ ΠΈΡ… ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ, Π½ΡƒΠΆΠ½Π° обратная опСрация – Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΎ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° – Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹  ΠΈ . НайдСм Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ этих Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² .

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²  ΠΈ  Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, сумма ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ  Ρ€Π°Π²Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ .

Если Π·Π°Π΄Π°Π½ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ Π΅ΠΌΡƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅, Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² всСгда Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€: . Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, .

ΠžΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , ΠΈΠ· Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€  (см. Рис. 7).

Рис. 7

Рассмотрим Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅. Из Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹  ΠΈ . Из Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π’ ΠΈ D ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π²  ΠΈ  ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствСнно. Π”ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒ АБ – это сумма Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²  ΠΈ : . Но Π² ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ вторая диагональ – BD. ΠŸΡ€ΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ  Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€  (см. Рис. 8).

Рис. 8

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Π²Π΅Π»ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° слоТСния ΠΈ вычитания Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°, сформулировали Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ слоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

 

Бписок Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Ρ‹

  1. АлСксандров А.Π”. ΠΈ Π΄Ρ€. ГСомСтрия, 8 класс. – М.: ΠŸΡ€ΠΎΡΠ²Π΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅, 2006.
  2. Π‘ΡƒΡ‚ΡƒΠ·ΠΎΠ² Π’.Π€., ΠšΠ°Π΄ΠΎΠΌΡ†Π΅Π² Π‘.Π‘., ΠŸΡ€Π°ΡΠΎΠ»ΠΎΠ² Π’.Π’. ГСомСтрия, 8 класс. – М.: ΠŸΡ€ΠΎΡΠ²Π΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅, 2011.
  3. ΠœΠ΅Ρ€Π·Π»ΡΠΊ А.Π“., Полонский Π’.Π‘., Π―ΠΊΠΈΡ€ Π‘.М. ГСомСтрия, 8 класс. – М.: ВЕНВАНА-ГРАЀ, 2009.

 

Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ссылки Π½Π° рСсурсы сСти Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚

  1. Emomi.com (Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ).
  2. Prosto-o-slognom.ru (Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ).
  3. Π˜Π·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ (Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ).

 

Π”ΠΎΠΌΠ°ΡˆΠ½Π΅Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅

  1. Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 1: Π΄Π°Π½ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ , Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ сумму Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²:  ΠΈ ;  ΠΈ ;  ΠΈ ;  ΠΈ .
  2. Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 2: турист ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ΅Π» 20 ΠΊΠΌ Π½Π° восток ΠΈΠ· Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π° А Π² Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄ Π’, Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ 30 ΠΊΠΌ Π½Π° восток Π² Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄ Π‘. Π’Ρ‹Π±Ρ€Π°Π² подходящий ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±, Π½Π°Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹  ΠΈ  Π Π°Π²Π½Ρ‹ Π»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹  ΠΈ ?
  3. Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 3: Π½Π°Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠΏΠ°Ρ€Π½ΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ,  ΠΈ  ΠΈ постройтС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ , , .

Π΄Π»ΠΈΠ½Π° суммы Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусов

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ (ΠΏΡ€ΠΈ слоТСнии ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΈΠΌΡ‘Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ) Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ располоТСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉΡΡ суммой слагаСмых Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². ΠŸΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ эти Π΄Π²Π΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΡ€Π°Π»ΠΈΡΡŒ Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ Β«Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈΒ».

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΌ прСдстоит ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ слоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Для этого потрСбуСтся ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ косинусов. Π’Π°ΠΊΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ приходится Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠ³Π° ΠΈΠ· ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π° A Π² ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ Π‘ β€” Π½Π΅ прямая, Π° отклоняСтся ΠΎΡ‚ прямой, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΉΡ‚ΠΈ Π΅Ρ‰Ρ‘ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Ρ‚ΠΎ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ B, Π° Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ прямой Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΈ. ΠšΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΈ, гСодСзия β€” ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Ρ‚Π΅Ρ… сфСр Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, Π³Π΄Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π²ΠΎ всСх ΠΈΡ… ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡ‚Π΅.

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ для слоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ опрСдСлСния Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ суммы Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ части равСнства, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° получится Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹:

.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Ρ‘ΠΌ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌ.

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π° ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½.

Π’Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ слоТСниС ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3. Π”Π°Π½Ρ‹ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΈΡ… суммы . Найти Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ ΠΈΡ… разности .

РСшСниС.

Π¨Π°Π³ 1. По Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ косинусов составляСм ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ косинус ΡƒΠ³Π»Π°, смСТного с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ ΠΈ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ:

НС Π·Π°Π±Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ косинус смСТного ΡƒΠ³Π»Π° получился со Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ минус. Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ косинус Β«ΠΈΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎΒ» ΡƒΠ³Π»Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ со Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ плюс.

Π¨Π°Π³ 2. ВыполняСм Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Находим Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ разности Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², подставляя Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ косинус Β«ΠΈΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎΒ» ΡƒΠ³Π»Π°:

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π° ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4. Π”Π°Π½Ρ‹ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΈΡ… разности . Найти Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ ΠΈΡ… суммы .

РСшСниС.

Π¨Π°Π³ 1. По Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ косинусов составляСм ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ косинус Β«ΠΈΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎΒ» ΡƒΠ³Π»Π° (Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° обратная ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ 1) ΠΈ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ:

Π¨Π°Π³ 2. МСняСм Π·Π½Π°ΠΊ косинуса ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ косинус смСТного ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΈ :

Π¨Π°Π³ 3. ВыполняСм слоТСниС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Находим Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ суммы Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², подставляя Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ косинус смСТного ΡƒΠ³Π»Π°:

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π° ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 6. ΠšΠ°ΠΊΠΎΠΌΡƒ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈ , Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΈ мСсто ΡΠ»Π΅Π»ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ:

1) Π΄Π»ΠΈΠ½Π° суммы Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ разности Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Ρ‚. Π΅. ,

2) Π΄Π»ΠΈΠ½Π° суммы Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² большС Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ разности Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Ρ‚. Π΅. ,

3) Π΄Π»ΠΈΠ½Π° суммы Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² мСньшС Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ разности Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Ρ‚. Π΅. ?

РСшСниС.

Находим условиС для ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. Для этого Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° суммы Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π±Ρ‹Π»Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ ΠΈΡ… разности, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΈ косинус смСТного Π΅ΠΌΡƒ ΡƒΠ³Π»Π° Π±Ρ‹Π»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹. Π­Ρ‚ΠΎ условиС выполняСтся, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ прямой ΡƒΠ³ΠΎΠ».

Находим условиС для Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. РСшаСм ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

НайдСнноС условиС выполняСтся, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ мСньшС косинуса смСТных ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ². Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° суммы Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π±Ρ‹Π»Π° большС Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ разности Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ острый ΡƒΠ³ΠΎΠ» (ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1).

Находим условиС для Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. РСшаСм ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

НайдСнноС условиС выполняСтся, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ большС косинуса смСТных ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ². Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° суммы Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π±Ρ‹Π»Π° мСньшС Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ разности Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ».

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π° ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½.

ΠŸΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с Π΄Ρ€ΡƒΠ·ΡŒΡΠΌΠΈ

Начало Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹ Β«Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Β»

ΠŸΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹ Β«Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Β»

ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°?

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… свободных Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Для слоТСния Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² \vec{u} ΠΈ \vec{v} ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΎΠ±Π° эти Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° пСрСносятся ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ самим сСбС Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… совпадало с ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠΌ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ суммы задаётся Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ стороной ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π²ΡˆΠ΅Π³ΠΎΡΡ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Ρ‘ΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ совпадаСт с Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† с ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°. Для слоТСния Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² \vec{u} ΠΈ \vec{v} ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° ΠΎΠ±Π° эти Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° пСрСносятся ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ самим сСбС Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΡ… Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° совпадали. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ суммы задаётся диагональю построСнного Π½Π° Π½ΠΈΡ… ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°, исходящСй ΠΈΠ· ΠΈΡ… ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π°.

8 класс Ρ„ΠΎΡ€Π΅Π²Π΅Ρ€ Ссли Ρ‚Π΅Π±Π΅ Π΄Π°Π½Ρ‹ 2 Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ свойством слоТСниСм Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Бвойство Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°. Бамая простая, это Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Допустим Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ a ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ b. Π‘Π½Π°Ρ‡ строим Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π°, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ b, Π° Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° a соСдиняСм с ΠΊΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° b. БДЕЛАЙ ΠžΠ’Π’Π•Π’ Π›Π£Π§Π¨Π˜Πœ! <img src=Β»//content.foto.my.mail.ru/mail/server.cs-1.6/_answers/i-1.jpgΒ» >

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² β€” PhysBook

Бкаляры ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ числа.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ характСризуСтся Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ числовым Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½ΠΎ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, слоТСниС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π΅ подчиняСтся ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ слоТСния чисСл. НапримСр, ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² a = 3 ΠΌ, b = 4 ΠΌ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° a + b = 3 ΠΌ + 4 ΠΌ = 7 ΠΌ. Но Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \(\vec c = \vec a + \vec b\) Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½Π° 7 ΠΌ (рис. 1).

Рис. 1.

Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ \(\vec c = \vec a + \vec b\) (рис. 2), ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° слоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

Рис. 2.

А Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° суммы \(\vec c = \vec a + \vec b\) ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ косинусов \(c = \sqrt{a^2+b^2-2a\cdot b\cdot \cos \alpha}\), Π³Π΄Π΅ \(\alpha\,\) – ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ \(\vec a\) ΠΈ \(\vec b\).

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

Π’ Π·Π°Ρ€ΡƒΠ±Π΅ΠΆΠ½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π΅ этот ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ «хвост ΠΊ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Π΅Β».

Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \(\vec a\) ΠΈ \(\vec b\) (рис. 3, Π°) Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ \(\vec b\) ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ самому сСбС Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ совпадало с ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \(\vec a\) (рис. 3, Π±). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΡ… суммой Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ \(\vec c\), Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ совпадаСт с Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \(\vec a\), Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† β€” с ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \(\vec b\) (рис. 3, Π²).

      Π°                                         Π±                                                    Π²       Рис. 3.

Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Π½Π΅ помСняСтся, Ссли ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒ вмСсто Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \(\vec b\) Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ \(\vec a\) (рис. 4), Ρ‚.Π΅. \(\vec b + \vec a = \vec a + \vec b\) (свойство коммутативности Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²).

      Π°                                         Π±                                                    Π²       Рис. 4. <swf age=Β»13β€³ bgcolor=Β»#F8F8FFΒ» dummy=Β»Dummy_pic1.jpgΒ»>vector-treug-1.swf</swf> Β«ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²Β» ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1 Π£Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Flash <swf age=Β»13β€³ bgcolor=Β»#F8F8FFΒ» dummy=Β»Dummy_pic1.jpgΒ»>vector-treug-2.swf</swf> Β«ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²Β» ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2 Π£Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Flash Рис. 5.

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \(\vec a\) ΠΈ \(\vec b\) (рис. 6, Π°) ΠΈ \(\vec a\) ΠΈ \(\vec d\) (рис. 7, Π°). Π‘ΡƒΠΌΠΌΡ‹ этих Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² \(\vec c = \vec a + \vec b\) ΠΈ \(\vec f = \vec a + \vec d\) ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Ρ‹ Π½Π° рис. 6, Π± ΠΈ 7, Π±. ΠŸΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ, ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² \(c = a + b\) ΠΈ \(f=\left|a-d\right|\).

   Π°                                         Π± Рис. 6.    Π°                                         Π± Рис. 7.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ слоТСнии Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². НапримСр, \(\vec c = \vec a_1 + \vec a_2 +\vec a_3 +\vec a_4\) (рис. 8).

Рис. 8.
ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°

Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \(\vec a\) ΠΈ \(\vec b\) (рис. 9, Π°) Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ самим сСбС Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² \(\vec a\) ΠΈ \(\vec b\) Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (рис. 9, Π±). Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ, сторонами ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ эти Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° (рис. 9, Π²). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° суммой \(\vec a+ \vec b\) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ \(\vec c\), Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ совпадаСт с ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΌ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† β€” с ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° (рис. 9, Π³).

   Π°                                         Π±    Π²                                         Π³ Рис. 9. <swf age=Β»13β€³ bgcolor=Β»#F8F8FFΒ» dummy=Β»Dummy_pic1.jpgΒ»>vector-paral-1.swf</swf> Β«ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°Β» Π£Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Flash Рис. 10.
Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² \(\vec a\) ΠΈ \(\vec b\) (рис. 11) Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ \(\vec c = \vec a + \left(-\vec b \right)\) (см. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° скаляр) ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° (рис. 12) ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° (рис. 13).

Рис. 11       Π°                                       Π±                                       Π² Рис. 12.    Π°                                            Π±        Π±                                            Π²     Рис. 13.

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. ДСйствия с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ, ΠΈΡ… свойства β€” слоТСниС ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° число, ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. БкалярноС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅) Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹, дСйствия Π² ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°Ρ…, Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ располоТСниС





АдрСс этой страницы (Π²Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ) Π² справочникС dpva.ru:  Π³Π»Π°Π²Π½Π°Ρ страница  / / Π’СхничСская информация / / ΠœΠ°Ρ‚СматичСский справочник / / ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° для самых ΠΌΠ°Π»Π΅Π½ΡŒΠΊΠΈΡ…. Π¨ΠΏΠ°Ρ€Π³Π°Π»ΠΊΠΈ. ДСтский сад, Π¨ΠΊΠΎΠ»Π°.  / / ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. ДСйствия с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ, ΠΈΡ… свойства β€” слоТСниС ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° число, ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. БкалярноС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅) Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹, дСйствия Π² ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°Ρ…, Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ располоТСниС

ΠŸΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ:   

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. ΠšΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹. ДСйствия с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΈΡ… свойства β€” слоТСниС ΠΈ
Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число, ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ коллинСарности. БкалярноС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
(ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅) Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΏΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΌ
Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° плоскости. ДСйствия с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ Π² ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°Ρ… Π½Π° плоскости.
Π’Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ располоТСниС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *