Тест на 15 минут. Работа за компьютерами.(каждый ученик вводит свои данные, получает текст теста; работает над ним; вводит ответы. По истечению 15 мин. Компьютер блокирует работу; на экране появляется оценка, за выполненный тест).

Примерный тест.

1. Решите неравенство:
2. Решите неравенство:
3. Решите неравенство:
4. Решите уравнение:
5. Решите уравнение:
6. Решите уравнение:
7. Решите уравнение:
8. Решите уравнение:
9. Решите уравнение:
10. Решите уравнение:

Подведение итогов урока.

Домашнее задание.

№1 Решить неравенство

Решение:

Разделим обе части неравенства на :

Пусть =m, m>0, тогда

;

;

;

Ответ: .

№2 Найти все значения x, при каждом из которых выражения

принимают равные значения.

Решение:

Из условия задания следует

Решим данное уравнение:

Ответ: -0,5; 0.

№3 Решить неравенство

Решение:

Так как то последнее соотношение равносильно

Ответ: (3; 4).

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Решение показательных уравнений и неравенств: алгоритм решения и примеры

а^x = b — простейшее показательное уравнение. В нем a больше нуля и а не равняется единице.

Решение показательных уравнений

Из свойств показательной функции знаем, что ее область значений ограничена положительными вещественными числами. Тогда если b = 0, уравнение не имеет решений. Такая же ситуация имеет место быть, в уравнении где b

Теперь положим, что b>0. Если в показательной функции основание a больше единицы, то функция будет возрастающей на всей области определения. Если в показательной функции для основания а выполнено следующее условие 0<a

Исходя из этого и применяя теорему о корне, получим, что уравнение a^x = b иметь один единственный корень, при b>0 и положительном a не равном единице. Чтобы его найти, необходимо представить b в виде b = a^c.
Тогда очевидно, что с будет являться решением уравнения a^x = a^c.

Рассмотрим следующий пример: решить уравнение 5^{(x2 — 2*x — 1)} = 25.

Представим 25 как 5², получим:

5^{(x2 — 2*x — 1)} = 5².

Или что равносильно :

x² — 2*x — 1 = 2.

Решаем полученное квадратное уравнение любым из известных способов. Получаем два корня x = 3 и x = -1.

Ответ: 3;-1.

Решим уравнение 4^x – 5*2^x + 4 = 0. Сделаем замену: t=2^x и получим следующее квадратное уравнение:

t² — 5*t + 4 = 0.
Решаем это уравнение любым из известных способов. Получаем корни t1 = 1 t2 = 4

Теперь решаем уравнения 2^x = 1 и 2^x = 4.

Ответ: 0;2.

Решение показательных неравенств

Решение простейших показательных неравенств основывается тоже на свойствах возрастания и убывания функции. Если в показательной функции основание a больше единицы, то функция будет возрастающей на всей области определения. Если в показательной функции для основания а выполнено следующее условие 0<a<1, то данная функция будет убывающей на всем множестве вещественных чисел.

Рассмотрим пример: решить неравенство (0.5)^{(7 — 3*x)} < 4.

Заметим, что 4 = (0.5)². Тогда неравенство примет вид (0.5)(7 — 3*x) < (0.5)^(-2). Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели.

Получим: 7 — 3*x>-2.

Отсюда: х<3.

Ответ: х<3.

Если бы в неравенстве основание было больше единицы, то при избавлении от основания, знак неравенства менять было бы не нужно.

Нужна помощь в учебе?

Все неприличные комментарии будут удаляться.

«Показательная функция, ее свойства. Простейшие показательные уравнения и неравенства»

МОУ ИРМО «Вечерняя (сменная) общеобразовательная школа»

Открытый урок по алгебре и началам анализа в 12Д классе

Тема: «Показательная функция, ее свойства и график.

Решение простейших показательных уравнений и неравенств»

Учитель первой квалификационной категории, Земляничкина Тамара Михайловна

Тема урока:

«Показательная функция, ее свойства.

Простейшие показательные уравнения и неравенства»

Класс-12Д Учитель-Земляничкина Тамара Михайловна

Дата проведения:06.10.2015г

Тип урока: Урок изучения нового материала.

Оборудование урока: таблицы по алгебре, компьютер , проектор, карточки.

Цели урока:

*Образовательные:

знать график показательной функции и ее свойства и умение применять свойства при решении простейших уравнений и неравенств.

*Развивающие:

развивать умения решать простейшие показательные уравнения и неравенства . Развивать умение рассуждать по аналогии. Прививать интерес к предмету.

*Воспитательные:

формировать культуру общения, уважение друг к другу, культуру математической речи.

План урока:

1.Актуализация знаний.

5.Рефлексия.

6.Домашнее задание.

1.Актуализация знаний

Представьте в виде степени ( проверить ответы)

1/4= 0.25= 1.21= корень 2-й степени из числа 6

1/25= 0.04= 2.25= корень третьей степени из числа 36

1/64= 0.027= 0.125= корень пятой степени из числа 81

. Вычислить:

Повторить свойства степени по таблице и решить примеры на доске. 1.  ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) 

Дополнительные задания для сильных учащихся

2. .  ; б) ; в) ; г) 

3.

.

.2.Изучение н/м (при обЪяснении использую видеоурок)

На данном уроке мы рассмотрим показательную функцию, ее график и основные свойства. Также научимся решать простейшие показательные уравнения и неравенства.

1. Опреедление показательной функции, свойства, графики

Рассмотрим основное определение.

Функцию вида , где  и  называют показательной функцией.

Например:  и т. д.

Рассмотрим первый случай, когда основание степени больше единицы: :. График показательной функции, основание степени больше единицы

. Основные свойства данного семейства функций:

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция возрастает, т. е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции;

Рассмотрим второй случай, когда основание степени меньше единицы :

Например:  и т. д.

График показательной функции, основание степени меньше единицы

График показательной функции, основание степени меньше единицы

Свойства данного семейства функций:

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция убывает, т. е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции;

2. Решение элементарных показательных уравнений и неравенств

Решение показательных уравнений и неравенств основывается на свойствах показательной функции.

Пример 1 – решить уравнение:

а) 

Ответ: , т. к. показательная функция принимает строго положительные значения.

б) 

Ответ: , т. к. показательная функция принимает строго положительные значения.

Пример 2 – решить неравенство:

а) 

Ответ: , т. к. показательная функция принимает строго положительные значения.

б) 

Ответ: , т. к. показательная функция принимает строго положительные значения.

3. Простейшие показательные уравнения и неравенствав общем виде, конкретные примеры

Рассмотрим простейшие уравнения и неравенства на графике:

а)  

б)  ,

в) аналогично решить неравенство с основанием 1/3

функция монотонно возрастает на всей области определения

Сделаем вывод:

Рассмотрим простейшие показательные уравнения в общем виде.

Равенство показателей степени при равных основаниях обусловлено свойством показательной функции, а именно ее монотонностью. Это означает, что каждое свое значение функция приобретает при единственном значении аргумента.

Таким образом, получаем методику решения показательных уравнений:

Уравнять основания степеней;

Приравнять показатели степеней;

Рассмотрим простейшие показательные неравенства в общем виде:

* Монотонное возрастание функций данного семейства является ключом к решению показательных неравенств, при условии, что основание степени  больше единицы.

*Монотонное убывание функций данного семейства является ключом к решению показательных неравенств, при условии, что основание степени  меньше единицы, но больше нуля.

*Методика решения подобных неравенств:

1. Уравнять основания степеней.

2. Сравнить показатели, изменив знак неравенства.

Примеры решения показательных уравнений:

1.

2.

3. 

Примеры решения показательных неравенств по учебнику № 466

3.Закрепление . Самостоятельная работа

а) решить уравнения по учебнику № 460 б) решить неравенства по учебнику № 466

4. Итоги урока : Все учащиеся справились с работой.

Итак, мы рассмотрели показательную функцию, ее график и свойства, научились решать простейшие показательные уравнения и неравенства, рассмотрели простейшие показательные уравнения и неравенства в общем виде. На следующем уроке мы рассмотрим приемы решений показательных уравнений и неравенств.

С самостоятельной работой все справились.

 5.Рефлексия : Молодцы, все работали хорошо. Какие вопросы вы хотели бы задать?

Урок закончен ,всем спасибо за урок.

6.Домашнее задание

1.      Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 2012г п 35 п36, № 446, 461;467

      Решить уравнение:

а) ; б) ; в) ; г) 

Список литературы

Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Mathematics-repetition.com (Источник).

2. Terver.ru (Источник).

3. Egesdam.ru (Источник).

Урок 44. показательные и логарифмические уравнения и неравенства с двумя переменными — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс Урок №44. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) показательные уравнения и неравенства;

2) логарифмические уравнения и неравенства;

3) системы уравнений.

Глоссарий по теме

Показательными называются уравнения и неравенства, у которых переменная содержится в показатели степени.

Логарифмические уравнения и неравенства — это уравнения и неравенства, в которых переменная величина находится под знаком логарифма.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Вы уже умеете решать все виды уравнений и неравенств. Наша задача обобщить изученное, привести знания в систему. Начнем с показательных уравнений.

Показательные уравнения

a^х=b. где a>0, a≠1

Если b>0, уравнение имеет один корень: x=log_a b. График функции y=a^x пересекает прямую y=b в одной точке.

Если b≤0 корней нет. График функции y=a^x не пересекает прямую y=b.

При решении неравенств, обращаем внимание на основание. Если а>0, знак неравенства сохраняется. Если а<0, знак неравенства меняется.

Логарифмические уравнения

log_ax=b , где a>0, a≠1.

Логарифмическое уравнение log_ax=b имеет один положительный корень x=a^b при любом значении b.

График функции пересекает прямую y=b в одной точке.

Уравнение имеет один положительный корень x=a^b при любом b. График функции у= log_ax пересекает прямую y=b в одной точке.

При решении логарифмических неравенств обращаем внимание на область допустимых значений. Затем с учетом ОДЗ и значения решаем неравенство.

Теперь рассмотрим методы решения. Основных приема два: приведение к одинаковому знаменателю и замена переменной.

1 прием. Как в показательном, так и в логарифмическом уравняем основания. Затем сравним показатели или числа, стоящие под знаком логарифма.

2 прием. Замена переменных.

Находим корни и делаем обратную замену. При решении неравенств применяем те же самые приемы.

При решении логарифмических уравнений, возможно появление посторонних корней. Причина их появления — расширение области определения исходного уравнения. Поэтому проверка корней логарифмического уравнения осуществляется либо по области определения, либо непосредственной подстановкой найденных корней в исходное логарифмическое уравнение.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Решить уравнение:

lg(x+1)+lg(x-1)=lg3

lg(x+1)(x-1)=lg 3

x²-1=3

x²=4

х₁=2 х₂= -2

При х= -2 выражение lg(x-1) не имеет смысла, т.е. х=-2 посторонний корень. Ответ: х=2.

Пример 2. Найти значение выражения (х+у). x

lg x+lg y =2 x

Найдем область определения: х>0, у>0.

1. lg(xy)=lg100 ↔ xy=100 ↔ 2xy=200
2. сложим два уравнения: х²+2ху+у²=425+200=625 ↔ (х+у)²=625

значит х+у =25 с у четом ОДЗ. Ответ: 25

Внеклассный урок — Показательные уравнения и неравенства

Показательные уравнения и неравенства

Показательное уравнение.

Показательное уравнение – это уравнение вида a^f(x) = a^d(x), где а – положительное число, отличное от 1.

Уравнения, сводящиеся к этому виду, тоже считаются показательными.

Пример:

Решим уравнение 2^{2х – 4} = 64.

Решение.

Представим 64 в виде 2⁶. Тогда:

2^{2х – 4} = 2⁶.

Мы получили одинаковое значение основания в левой и правой частях уравнения (число 2). Значит, можем убрать основания, получив равносильное уравнение, и решить его:

2х – 4 = 6

2х = 6 + 4 = 10

х = 10 : 2

х = 5.

Показательное неравенство.

Показательное неравенство – это неравенство вида a^f(x) > a^d(x), где а – положительное число, отличное от 1.

Неравенства, сводящиеся к этому виду, тоже считаются показательными.

Пример 1:

Решим неравенство 3^{х + 2} > 81

Решение:

Представим 81 в виде 3⁴. Тогда:

3^{х + 2} < 3⁴.

Теперь в обеих частях неравенства одинаковое основание 3. Оно больше 1. Значит, заменяем неравенство равносильным неравенством того же смысла и решаем его:

х + 2 < 4

х < 4:2

х < 2.

Пример 2:

Решим неравенство 0,5^{х – 3} < 0,25.

Решение:

Представим 0,25 в виде 0,5². Тогда:

0,5^{х – 3} < 0,5².

Теперь у нас одинаковое основание в обеих частях неравенства: 0,5. Это число меньше 1. Значит, заменяем неравенство на равносильное неравенство с противоположным смыслом и решаем его:

х – 3 > 2

х > 2 + 3

x > 5.

11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Показательные уравнения и неравенства. — Показательные неравенства.

Комментарии преподавателя

На­пом­ним опре­де­ле­ние и ос­нов­ные свой­ства по­ка­за­тель­ной функ­ции. Имен­но на свой­ствах ба­зи­ру­ет­ся ре­ше­ние всех по­ка­за­тель­ных урав­не­ний и нера­венств.

По­ка­за­тель­ная функ­ция – это функ­ция вида , где ос­но­ва­ние сте­пе­ни  и  Здесь х – неза­ви­си­мая пе­ре­мен­ная, ар­гу­мент; у – за­ви­си­мая пе­ре­мен­ная, функ­ция.

Рис. 1. Гра­фик по­ка­за­тель­ной функ­ции

На гра­фи­ке по­ка­за­ны воз­рас­та­ю­щая и убы­ва­ю­щая экс­по­нен­ты, ил­лю­стри­ру­ю­щие по­ка­за­тель­ную функ­цию при ос­но­ва­нии боль­шем еди­ни­цы и мень­шем еди­ни­цы, но боль­шим нуля со­от­вет­ствен­но.

Обе кри­вые про­хо­дят через точку (0;1)

Свой­ства по­ка­за­тель­ной функ­ции:

Об­ласть опре­де­ле­ния: ;

Об­ласть зна­че­ний: ;

Функ­ция мо­но­тон­на, при  воз­рас­та­ет, при  убы­ва­ет.

Мо­но­тон­ная функ­ция при­ни­ма­ет каж­дое свое зна­че­ние при един­ствен­ном зна­че­нии ар­гу­мен­та.

При  , когда ар­гу­мент воз­рас­та­ет от минус до плюс бес­ко­неч­но­сти, функ­ция воз­рас­та­ет от нуля не вклю­чи­тель­но до плюс бес­ко­неч­но­сти, т. е. при дан­ных зна­че­ни­ях ар­гу­мен­та мы имеем мо­но­тон­но воз­рас­та­ю­щую функ­цию (). При  на­о­бо­рот, когда ар­гу­мент воз­рас­та­ет от минус до плюс бес­ко­неч­но­сти, функ­ция убы­ва­ет от бес­ко­неч­но­сти до нуля не вклю­чи­тель­но, т. е. при дан­ных зна­че­ни­ях ар­гу­мен­та мы имеем мо­но­тон­но убы­ва­ю­щую функ­цию ().

На ос­но­ва­нии вы­ше­ска­зан­но­го при­ве­дем ме­то­ди­ку ре­ше­ния про­стей­ших по­ка­за­тель­ных нера­венств:

Ме­то­ди­ка ре­ше­ния нера­венств:

Урав­нять ос­но­ва­ния сте­пе­ней;

Срав­нить по­ка­за­те­ли, со­хра­нив или из­ме­нив на про­ти­во­по­лож­ный знак нера­вен­ства.

Ре­ше­ние слож­ных по­ка­за­тель­ных нера­венств за­клю­ча­ет­ся, как пра­ви­ло, в их све­де­нии к про­стей­шим по­ка­за­тель­ным нера­вен­ствам.

При­мер 1:

Пре­об­ра­зу­ем пра­вую часть со­глас­но свой­ствам сте­пе­ни:

Ос­но­ва­ние сте­пе­ни боль­ше еди­ни­цы, зна­чит, знак нера­вен­ства со­хра­ня­ет­ся:

При­мер 2:

Пре­об­ра­зу­ем пра­вую часть со­глас­но свой­ствам сте­пе­ни:

Ос­но­ва­ние сте­пе­ни мень­ше еди­ни­цы, знак нера­вен­ства необ­хо­ди­мо по­ме­нять на про­ти­во­по­лож­ный:

Для ре­ше­ния квад­рат­но­го нера­вен­ства решим со­от­вет­ству­ю­щее квад­рат­ное урав­не­ние:

По тео­ре­ме Виета на­хо­дим корни:

Ветви па­ра­бо­лы на­прав­ле­ны вверх.

Таким об­ра­зом, имеем ре­ше­ние нера­вен­ства:

При­мер 3:

Неслож­но до­га­дать­ся, что пра­вую часть можно пред­ста­вить как сте­пень с ну­ле­вым по­ка­за­те­лем:

Ос­но­ва­ние сте­пе­ни боль­ше еди­ни­цы, знак нера­вен­ства не ме­ня­ет­ся, по­лу­ча­ем:

На­пом­ним ме­то­ди­ку ре­ше­ния таких нера­венств.

Рас­смат­ри­ва­ем дроб­но-ра­ци­о­наль­ную функ­цию:

На­хо­дим об­ласть опре­де­ле­ния:

На­хо­дим корни функ­ции:

Функ­ция имеет един­ствен­ный ко­рень, 

Вы­де­ля­ем ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства и опре­де­ля­ем знаки функ­ции на каж­дом ин­тер­ва­ле:

Рис. 2. Ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства

Таким об­ра­зом, по­лу­чи­ли ответ.

Ответ: 

Рас­смот­рим нера­вен­ства с оди­на­ко­вы­ми по­ка­за­те­ля­ми, но раз­лич­ны­ми ос­но­ва­ни­я­ми.

При­мер 4:

Одно из свойств по­ка­за­тель­ной функ­ции – она при любых зна­че­ни­ях ар­гу­мен­та при­ни­ма­ет стро­го по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния, зна­чит, на по­ка­за­тель­ную функ­цию можно раз­де­лить. Вы­пол­ним де­ле­ние за­дан­но­го нера­вен­ства на пра­вую его часть:

Ос­но­ва­ние сте­пе­ни боль­ше еди­ни­цы, знак нера­вен­ства со­хра­ня­ет­ся.

Ответ: 

Про­ил­лю­стри­ру­ем ре­ше­ние:

На ри­сун­ке 6.3 изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций  и . Оче­вид­но, что когда ар­гу­мент боль­ше нуля, гра­фик функ­ции  рас­по­ло­жен выше, эта функ­ция боль­ше. Когда же зна­че­ния ар­гу­мен­та от­ри­ца­тель­ны, функ­ция  про­хо­дит ниже, она мень­ше. При зна­че­нии ар­гу­мен­та  функ­ции равны, зна­чит, дан­ная точка также яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем за­дан­но­го нера­вен­ства.

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру 4

При­мер 5:

Пре­об­ра­зу­ем за­дан­ное нера­вен­ство со­глас­но свой­ствам сте­пе­ни:

При­ве­дем по­доб­ные члены:

Раз­де­лим обе части на :

Те­перь про­дол­жа­ем ре­шать ана­ло­гич­но при­ме­ру 4, раз­де­лим обе части на :

Ос­но­ва­ние сте­пе­ни боль­ше еди­ни­цы, знак нера­вен­ства со­хра­ня­ет­ся:

Ответ: 

При­мер 6 – ре­шить нера­вен­ство гра­фи­че­ски:

Рас­смот­рим функ­ции, сто­я­щие в левой и пра­вой части и по­стро­им гра­фик каж­дой из них.

Функ­ция  – экс­по­нен­та, воз­рас­та­ет на всей своей об­ла­сти опре­де­ле­ния, т. е. при всех дей­стви­тель­ных зна­че­ни­ях ар­гу­мен­та.

Функ­ция  – ли­ней­ная, убы­ва­ет на всей своей об­ла­сти опре­де­ле­ния, т. е. при всех дей­стви­тель­ных зна­че­ни­ях ар­гу­мен­та.

Если дан­ные функ­ции пе­ре­се­ка­ют­ся, то есть си­сте­ма имеет ре­ше­ние, то такое ре­ше­ние един­ствен­ное и его легко можно уга­дать. Для этого пе­ре­би­ра­ем целые числа ()

Неслож­но за­ме­тить, что кор­нем дан­ной си­сте­мы яв­ля­ет­ся :

Таким об­ра­зом, гра­фи­ки функ­ций пе­ре­се­ка­ют­ся в точке с ар­гу­мен­том, рав­ным еди­ни­це.

Те­перь нужно по­лу­чить ответ. Смысл за­дан­но­го нера­вен­ства в том, что экс­по­нен­та долж­на быть боль­ше или равна ли­ней­ной функ­ции, то есть быть выше или сов­па­дать с ней. Оче­ви­ден ответ:  (ри­су­нок 6.4)

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру 6

Итак, мы рас­смот­ре­ли ре­ше­ние раз­лич­ных ти­по­вых по­ка­за­тель­ных нера­венств. 

Ре­ше­ние более слож­ных по­ка­за­тель­ных нера­венств за­клю­ча­ет­ся, как пра­ви­ло, в их све­де­нии к более про­стым, или, как го­во­рят, про­стей­шим по­ка­за­тель­ным нера­вен­ствам. Про­стей­шие по­ка­за­тель­ные нера­вен­ства ре­ша­ют­ся, в свою оче­редь, на ос­но­ве свойств по­ка­за­тель­ной функ­ции.

На­пом­ним опре­де­ле­ние и ос­нов­ные свой­ства по­ка­за­тель­ной функ­ции. Имен­но на свой­ствах ба­зи­ру­ет­ся ре­ше­ние всех по­ка­за­тель­ных урав­не­ний и нера­венств.

По­ка­за­тель­ная функ­ция – это функ­ция вида , где ос­но­ва­ние сте­пе­ни  и 

Рис. 1. Гра­фик по­ка­за&

% PDF-1.6 % 95 0 объект > endobj Xref 95 80 0000000016 00000 н. 0000002574 00000 н. 0000002637 00000 н. 0000002888 00000 н. 0000003022 00000 н. 0000003156 00000 п. 0000003288 00000 н. 0000003429 00000 н. 0000003570 00000 н. 0000003711 00000 н. 0000003846 00000 н. 0000004076 00000 н. 0000004852 00000 н. 0000005521 00000 н. 0000006303 00000 п. 0000007037 00000 н. 0000007911 00000 п. 0000008546 00000 н. 0000009262 00000 н. 0000009905 00000 н. 0000010036 00000 п. 0000010170 00000 п. 0000010300 00000 п. 0000010431 00000 п. 0000010563 00000 п. 0000010695 00000 п. 0000010827 00000 п. 0000010958 00000 п. 0000011089 00000 п. 0000011222 00000 п. 0000011355 00000 п. 0000011488 00000 п. 0000011619 00000 п. 0000011751 00000 п. 0000011882 00000 п. 0000044499 00000 п. 0000045105 00000 п. 0000045795 00000 п. 0000065093 00000 п. 0000065476 00000 п. 0000065994 00000 п. 0000085689 00000 п. 0000086122 00000 п. 0000086873 00000 п. 0000103376 00000 н. 0000103761 00000 п. 0000104441 00000 н. 0000123630 00000 н. 0000124019 00000 н. 0000124732 00000 н. 0000137242 00000 н. 0000137522 00000 н. 0000138189 00000 н. 0000150609 00000 н. 0000151196 00000 н. 0000151846 00000 н. 0000161922 00000 н. 0000162320 00000 н. 0000163023 00000 н. 0000170764 00000 н. 0000171022 00000 н. 0000171670 00000 н. 0000194299 00000 н. 0000194755 00000 н. 0000195398 00000 н. 0000228344 00000 п. 0000228765 00000 н. 0000229424 00000 н. 0000253662 00000 н. 0000254232 00000 н. 0000254897 00000 н. 0000272979 00000 н. 0000273340 00000 н. 0000274055 00000 н. 0000283959 00000 н. 0000284346 00000 п. 0000285041 00000 н. 0000302356 00000 п. 0000302673 00000 н. 0000001896 00000 н. прицеп ] >> startxref 0 %% EOF 174 0 объект > поток xb«a«_ Ab @ YI2ooLeO} 9C & ˁ? wj ɠKI 㒪 LPmYV099mӋ ٚ \ & d ԗW \ 86ww # D \ xy \ Ythf% * szy \ T {WyS ] N & J ~ фм: c7oΞg # рН’S & \ F] Lv ޚ с ~ _’/ 7rly 㱱} YeZE2 & и4:% bkai) г = Н5 + 0X8ww @ А * ‘Rebp 5o: 9iɑ ݒ Hq8u30ԀS / + r03u2133fL @ A | 60 Խ шд ݧ ш # W # AV3Ljwd143q? Cdbi0fTcg $ G͐Ya *: `y @ ۧ 001 D0i3020_fPĤjeaL

Решение экспоненциального уравнения с помощью sympy?

1. Около
2. Товары
3. Для команд

1. Переполнение стека Общественные вопросы и ответы
2. Переполнение стека для команд Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами
3. работы Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
4. Талант Нанимайте технических специалистов и создавайте свой бренд работодателя
5. реклама Обратитесь к разработчикам и технологам со всего мира
6. О компании

Загрузка…

2. Авторизоваться зарегистрироваться

3. текущее сообщество

Устранение неравенств

Иногда нам нужно решить такие неравенства:

Решение

Наша цель — иметь x (или другую переменную) отдельно слева от знака неравенства:

Мы называем это «решенным».

Пример: x + 2> 12

Вычтем 2 с обеих сторон:

х + 2 — 2> 12 — 2

Упростить:

х> 10

Решено!

Как решить

Решение неравенств очень похоже на решение уравнений … мы делаем почти то же самое …

… но мы также должны обратить внимание на направление неравенства .

Направление: куда «указывает» стрелка

Некоторые вещи могут изменить направление !

<становится>

> становится <

≤ становится ≥

≥ становится ≤

Безопасные дела

Эти вещи не влияют на направление неравенства:

• Сложить (или вычесть) число с обеих сторон
• Умножьте (или разделите) обе стороны на положительное число
• Упростить сторону

Пример: 3x <7 + 3

Мы можем упростить 7 + 3, не затрагивая неравенство:

3x <10

Но эти вещи действительно меняют направление неравенства (например, «<" становится ">«):

Пример: 2y + 7 <12

Когда мы меняем местами левую и правую части, мы также должны изменить направление неравенства :

12 > 2лет + 7

Вот подробности:

Сложение или вычитание значения

Мы часто можем решить неравенства, добавляя (или вычитая) число с обеих сторон (точно так же, как во Введении в алгебру), например:

Пример: x + 3 <7

Если вычесть 3 с обеих сторон, получим:

х + 3 — 3 <7 — 3

х <4

И вот наше решение: x <4

Другими словами, x может быть любым значением меньше 4.

Что мы сделали?

И это хорошо работает для , добавляя и , вычитая , потому что, если мы прибавляем (или вычитаем) одинаковую сумму с обеих сторон, это не влияет на неравенство

Пример: У Алекса больше монет, чем у Билли.Если и Алекс, и Билли получат по три монеты больше, у Алекс все равно будет больше монет, чем у Билли.

Что, если я решу, но «x» справа?

Неважно, просто поменяйте местами стороны, но переверните знак , чтобы он по-прежнему «указывал» на правильное значение!

Пример: 12

Если отнять 5 с обеих сторон, получим:

12 — 5 — 5

7 <х

Вот и решение!

Но это нормально, если поставить «х» слева…

… так давайте обратим внимание (и знак неравенства!):

x> 7

Вы видите, как знак неравенства все еще «указывает» на меньшее значение (7)?

И вот наше решение: x> 7

Примечание: «x» может быть справа, но людям обычно нравится видеть его слева.

Умножение или деление на значение

Также мы умножаем или делим обе стороны на значение (как в алгебре — умножение).

Но мы должны быть немного осторожнее (как вы увидите).

Положительные значения

Все хорошо, если мы хотим умножить или разделить на положительное число :

Пример: 3y <15

Если разделить обе части на 3, получим:

3 года /3 <15 /3

г <5

И вот наше решение: y <5

Отрицательные значения

Почему?

Ну, посмотрите на числовую строку!

Например, от 3 до 7 это , увеличение ,
, но от -3 до -7 — , уменьшение.

Видите, как меняет знак неравенства (с <на>)?

Давайте попробуем пример:

Пример: −2y <−8

Разделим обе части на −2… и отменяют неравенство !

−2y <−8

−2y / −2 > −8 / −2

г> 4

И это правильное решение: y> 4

(Обратите внимание, что я перевернул неравенство в той же строке , разделенное на отрицательное число.)

Итак, запомните:

При умножении или делении на отрицательное число отменяет неравенство

Умножение или деление на переменные

Вот еще один (хитрый!) Пример:

Пример: bx <3b

Кажется легко просто разделить обе стороны на b , что дает нам:

х <3

… но подождите … если b равно отрицательное , нам нужно изменить неравенство следующим образом:

x> 3

Но мы не знаем, положительное или отрицательное значение b, поэтому мы не можем ответить на этот вопрос !

Чтобы помочь вам понять, представьте, что замените b на 1 или −1 в примере bx <3b :

• , если b равно 1 , то ответ будет x <3
• , но если b равно −1 , тогда мы решаем −x <−3 , и ответим x> 3

Ответом может быть x <3 или x> 3 , и мы не можем выбрать, потому что не знаем b .

Не пытайтесь делить на переменную для решения неравенства (если вы не знаете, что переменная всегда положительна или всегда отрицательна).

Пример побольше

Пример: x − 3 2 <−5

Во-первых, давайте уберем «/ 2», умножив обе части на 2.

Поскольку мы умножаем на положительное число, неравенства не изменятся.

x − 3 2 × 2 <−5 × 2

х-3 <-10

Теперь прибавьте 3 к обеим сторонам:

х − 3 + 3 <−10 + 3

х <−7

И это наше решение: x <−7

Два неравенства сразу!

Как решить задачу сразу с двумя неравенствами?

Пример:

−2 < 6−2x 3 <4

Во-первых, давайте очистим «/ 3», умножив каждую часть на 3.

Поскольку мы умножаем на положительное число, неравенства не меняются:

−6 <6−2x <12

−12 <−2x <6

Теперь разделите каждую часть на 2 (положительное число, чтобы неравенства снова не изменились):

−6 <−x <3

Теперь умножьте каждую часть на -1. Поскольку мы умножаем на отрицательное число , неравенства изменяют направление .

6> х> −3

И это решение!

Но для наглядности лучше иметь меньшее число слева, большее — справа. Так что давайте поменяем их местами (и убедимся, что неравенства указывают правильно):

−3 <х <6

Сводка

• Многие простые неравенства могут быть решены путем сложения, вычитания, умножения или деления обеих частей, пока не останется переменная сама по себе.
• Но эти вещи изменят направление неравенства:
  • Умножение или деление обеих сторон на отрицательное число
  • Замена левой и правой сторон
• Не умножайте и не делите на переменную (если вы не знаете, что она всегда положительна или всегда отрицательна)

Решение экспоненциальных уравнений — Скачать PDF бесплатно

Решение проблем со сложными процентами

Решение проблем со сложными процентами Что такое сложные проценты? Если вы зайдете в банк и откроете сберегательный счет, вы будете получать проценты с денег, которые вы кладете в банк.Если начислены проценты