Как упростить дробное выражение со степенями – Алгебра 7-9 классы. 14. Решение типовых заданий по теме: «Дробные рациональные выражения»

Практика. Виды чисел. Упрощение рациональных выражений. Видеоурок. Алгебра 8 Класс

Вспомним основные факты, связанные с видами чисел, которые будут нам полезны.

Определение степени с целым показателем – для любого :

Стандартный вид числа – запись числа в виде:

,

где ,

 – целое.

Арифметический квадратный корень – это такое неотрицательное число, которое при возведении в квадрат дает :

Рациональными числами называют числа, которые можно представить в виде дроби , где  – целое число,

 – натуральное. Числа, которые нельзя представить в таком виде, называют иррациональными.

Иррациональные и рациональные числа вместе образуют множество действительных (или вещественных) чисел.

Перейдем к решению примеров.

Задание 1. Записать числа в порядке возрастания:

Указать все иррациональные числа.

Решение.

Сравнивать числа можно несколькими способами. Например, определяя знак их разности: если , то , и наоборот.

Другой способ – сравнение чисел, записанных в одном формате. Например, удобно сравнивать числа, которые записаны в виде десятичных дробей.

Упростим сначала некоторые из представленных чисел:

Мы знаем, что отрицательные числа всегда меньше положительных. Поэтому три наименьших числа из данного набора:  (именно в таком порядке) (см. рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к примеру 1

Осталось сравнить числа 

. Сначала определим промежутки, в которых будут расположены корни (оценим их значения):

Таким образом, , т. е. число, которое нужно возвести в квадрат, чтобы получить , находится в промежутке от  до

 (см. рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к примеру 1

Аналогично:

Получим, что  лежит в промежутке от  до  (см. рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 1

Понятно, что и правильная дробь , и бесконечная периодическая дробь  меньше , а значит, меньше чем .

Осталось сравнить числа  и

. Более простой способ, конечно, состоит в том, чтобы разделить в столбик  на  и получить эквивалентную десятичную запись обыкновенной дроби . И сразу ясно, что  (см. рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к примеру 1

Но мы потренируемся переводить бесконечную периодическую дробь

 в обыкновенную. Пусть , тогда .

Если вычесть из второго равенства первое, получим:

Откуда:

Также ясно, что:

Итак, запишем итоговый порядок чисел:

Осталось найти иррациональные числа. Вспомним, что это числа, которые нельзя представить в виде дроби , где  – целое число,  – натуральное. Можно привести и эквивалентное определение: это те числа, которые нельзя представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. Понятно, что  – рациональные числа. В таких заданиях главное не ошибиться с определением вида числа

.

Обычно мы будем сталкиваться с иррациональными числами, которые записываются с использованием квадратных корней. Но не любое число, в записи которого используется квадратный корень, будет иррациональным.

 – хороший пример. Это не просто рациональное число, а целое: , хотя записано с использованием квадратного корня.

А вот корни , действительно, эквивалентно представить в виде дроби не получится. Поэтому эти числа будут иррациональными.

Ответ: 

; числа  иррациональные.

Задание 2. Вычислить значение выражения:

Записать результат в стандартном виде.

Решение.

По определению степени с отрицательным показателем:

По определению нулевой степени:

Таким образом:

Запишем число  в стандартном виде. Для этого поставим запятую так, чтобы полученное число  удовлетворяло неравенству: . Получим . Чтобы получить исходное число, нужно умножить  на  (сдвинули запятую на два знака влево, значит, нужно умножить на ):

Ответ:.

Теперь рассмотрим задания на упрощение дробно-рациональных выражений. Алгоритм работы с ними такой же, как и с обычными дробями. Вспомним его.

Алгоритм упрощения дробно-рациональных выражений

1. Дробь можно упростить, разложив на множители ее числитель и знаменатель и сократив одинаковые множители:

2. Для сложения и вычитания дробей нужно привести их к общему знаменателю:

3. Для умножения двух дробей нужно перемножить их числители и знаменатели. Соответственно, при возведении дроби в степень необходимо возвести в степень и числитель, и знаменатель:

4. Чтобы разделить выражение на дробь, нужно умножить его на обратную

Сокращение алгебраических дробей: правило, примеры.

Данная статья продолжает тему преобразования алгебраических дробей: рассмотрим такое действие как сокращение алгебраических дробей. Дадим определение самому термину, сформулируем правило сокращения и разберем практические примеры.

Смысл сокращения алгебраической дроби

В материалах об обыкновенной дроби мы рассматривали ее сокращение. Мы определили сокращение обыкновенной дроби как деление ее числителя и знаменателя на общий множитель.

Сокращение алгебраической дроби представляет собой аналогичное действие.

Определение 1

Сокращение алгебраической дроби – это деление ее числителя и знаменателя на общий множитель. При этом, в отличие от сокращения обыкновенной дроби (общим знаменателем может быть только число), общим множителем числителя и знаменателя алгебраической дроби может служить многочлен, в частности, одночлен или число.

К примеру, алгебраическая дробь 3·x2+6·x·y6·x3·y+12·x2·y2  может быть сокращена на число 3, в итоге получим: x2+2·x·y6·x3·y+12·x2·y2 . Эту же дробь мы можем сократить на переменную х, и это даст нам выражение 3·x+6·y6·x2·y+12·x·y2. Также заданную дробь возможно сократить на одночлен 3·xили любой из многочленов x+2·y, 3·x+6·y, x2+2·x·y или 3·x2+6·x·y.

Конечной целью сокращения алгебраической дроби является дробь более простого вида, в лучшем случае – несократимая дробь.

Все ли алгебраические дроби подлежат сокращению?

Опять же из материалов об обыкновенных дробях мы знаем, что существуют сократимые и несократимые дроби. Несократимые – это дроби, не имеющие общих множителей числителя и знаменателя, отличных от 1.

С алгебраическими дробями все так же: они могут иметь общие множители числителя и знаменателя, могут и не иметь. Наличие общих множителей позволяет упростить исходную дробь посредством сокращения. Когда общих множителей нет, оптимизировать заданную дробь способом сокраще

Упрощение выражений, содержащих корни и степени

При упрощении выражений, содержащих корни и степени, прежде чем воспользоваться свойствами степени,  полезно совершить такие предварительные действия:

1. Записать корни в виде степени. Для этого нужно воспользоваться следующим  свойством:

root{n}{a^m}=a^{m/n}  

2. Десятичную дробь записать в виде обыкновенной.

Например: 0,25={25}/{100}=1/4  

3. Смешанные числа записать в виде неправильных дробей.

Например: 1{9/16}={1*9+16}/{16}={25}/{16}

4. Разложить основания степеней на простые множители. Или, по крайней мере, разложить на множители так, чтобы количество различных оснований было минимальным.

Решим несколько задач из Задания В11 из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике , воспользовавшись этим правилом.

1. Задание В10 ( 26745) Найдите значение выражения {root{9}{7}root{18}{7}}/{root{6}{7}} .

Запишем корни в виде степени и воспользуемся свойствами степеней с одинаковым основанием:

{root{9}{7}root{18}{7}}/{root{6}{7}}={7 ^{1/9}7^{1/18}}/{7^{1/6}}=7^{1/9+1/{18}-1/6}=7^{{2+1-3}/18}=7^0=1

Ответ: 1.

2. Задание В10 ( 26748) Найдите значение выражения  {({2^{3/5}*5^{2/3}})^{15}}/{{10}^9}

Разложим число 10 в знаменателе дроби на простые множители и воспользуемся свойствами степеней:

{({2^{3/5}*5^{2/3}})^{15}}/{{(2*5)}^9}={({2^{3/5}*5^{2/3}})^{15}}/{{2}^9{5}^9}={2^{{3/5}*15}*5^{{2/3}*15}}/{{2}^9{5}^9}={2^{9}*5^{10}}/{{2}^9{5}^9}={5^{10-9}}/{2^{9-9}}=5

Ответ: 5.

3.  Задание В10( 26749) Найдите значение выражения {0,8}^{1/7}*5^{2/7}*20^{6/7}  .

Представим число 0,8 в виде обыкновенной дроби, разложим число 20 на  множители и воспользуемся свойствами степеней:

{0,8}^{1/7}*5^{2/7}*20^{6/7}={(8/10)}^{1/7}*5^{2/7}*{(4*5)}^{6/7}={({4}/5)}^{1/7}*5^{2/7}*{(4*5)}^{6/7}={({4}/5)}^{1/7}*5^{2/7}*4^{6/7}*5^{6/7}=4^{{1/7}+{6/7}}5^{{-1/7}+{2/7}+6/7}=4*5=20

Ответ: 20.

4. Задание В10 ( 26749) Найдите значение выражения {6^sqrt{3}7^sqrt{3}}/{{42}^{sqrt{3}-1}} .

Разложим число 42 на множители и воспользуемся свойствами степеней.

{6^sqrt{3}7^sqrt{3}}/{{42}^{sqrt{3}-1}}={6^sqrt{3}7^sqrt{3}}/{{(6*7)}^{sqrt{3}-1}}=   {6^sqrt{3}7^sqrt{3}}/{6^{sqrt{3}-1}7^{sqrt{3}-1}}= 6^{sqrt{3}-(sqrt{3}-1)}7^{sqrt{3}-(sqrt{3}-1)}=6^1{7}^1=42  

6^1{7}^1=42  

Ответ: 42.

5Задание В10 ( 26749) Найдите значение выражения  {root{9}{sqrt{m}}}/{sqrt{16root{9}m}} при  m>0.

6^1{7}^1=42  6^1{7}^1=42  

1. Запишем корни в виде степени:

{root{9}{sqrt{m}}}/{sqrt{16root{9}m}}={(m^{1/2})^{1/9}}/{(16m^{1/9})^{1/2}}=6^1{7}^1=42  

2. Воспользуемся свойствами степени, получим:

{m^{1/{18}}}/{{16}^{1/2}m^{1/{18}}}=1/4=0,25

Ответ: 0,25

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачать
Firefox

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Как упростить дробное выражение со степенями. Упрощение выражений

Важные замечания!
1. Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь:
2. Прежде чем на начнешь читать статью, обрати внимание на наш навигатор по самым полезным ресурса для

Часто мы слышим эту неприятную фразу: «упростите выражение». Обычно при этом перед нами какое-то страшилище типа этого:

«Да куда уж проще» — говорим мы, но такой ответ обычно не прокатывает.

Сейчас я научу тебя не бояться никаких подобных задач.

Более того, в конце занятия ты сам упростишь этот пример до (всего лишь!) обычного числа (да-да, к черту эти буквы).

Но прежде чем приступить к этому занятию, тебе необходимо уметь обращаться с дробями и раскладывать многочлены на множители.

Поэтому, если ты этого не сделал раньше, обязательно освой темы « » и « ».

Прочитал? Если да, то теперь ты готов.

Let»s go! (Поехали!)

Базовые операции упрощения выражений

Сейчас разберем основные приемы, которые используются при упрощении выражений.

Самый простой из них — это

1. Приведение подобных

Что такое подобные? Ты проходил это в 7 классе, как только впервые в математике появились буквы вместо чисел.

Подобные — это слагаемые (одночлены) с одинаковой буквенной частью.

Например, в сумме подобные слагаемые — это и.

Вспомнил?

Привести подобные — значит сложить несколько подобных слагаемых друг с другом и получить одно слагаемое.

А как же нам сложить друг с другом буквы? — спросишь ты.

Это очень легко понять, если представить, что буквы — это какие-то предметы.

Например, буква — это стул. Тогда чему равно выражение?

Два стула плюс три стула, сколько будет? Правильно, стульев: .

А теперь попробуй такое выражение: .

Чтобы не запутаться, пусть разные буквы обозначают разны предметы.

Например, — это (как обычно) стул, а — это стол.

стула стола стул столов стульев стульев столов

Числа, на которые умножаются буквы в таких слагаемых называются коэффициентами .

Например, в одночлене коэффициент равен. А в он равен.

Итак, правило приведения подобных:

Примеры:

Приведите подобные:

Ответы:

2. (и подобны, так как, следовательно у этих слагаемых одинаковая буквенная часть).

2. Разложение на множители

Это обычно самая важная часть в упрощении выражений.

После того как ты привел подобные, чаще всего полученное выражение нужно разложить на множители , то есть представить в виде произведения.

Особенно это важно в дробях: ведь чтобы можно было сократить дробь, числитель и знаменатель должны быть представлены в виде произведения.

Подробно способы разложения выражений на множители ты проходил в теме « », поэтому здесь тебе остается только вспомнить выученное.

Для этого реши несколько примеров (нужно разложить на множители)

Примеры:

Решения:

3. Сокращение дроби.

Ну что может быть приятнее, чем зачеркнуть часть числителя и знаменателя, и выбросить их из своей жизни?

В этом вся прелесть сокращения.

Все просто:

Если числитель и знаменатель содержат одинаковые множители, их можно сократить, то есть убрать из дроби.

Это правило вытекает из основного свойства дроби:

То есть суть операции сокращения в том, что числитель и знаменатель дроби делим на одно и то же число (или на одно и то же выражение).

Чтобы сократить дробь, нужно:

1) числитель и знаменатель разложить на множители

2) если в числителе и знаменателе есть общие множители , их можно вычеркнуть.

Примеры:

Принцип, я думаю, понятен?

Хочу обратить внимание на одну типичную ошибку при сокращении. Хоть эта тема и простая, но очень многие делают все неправильно, не понимая, что сократить — это значит поделить числитель и знаменатель на одно и то же число.

Никаких сокращений, если в числителе или знаменателе сумма.

Например: надо упростить.

Некоторые делают так: , что абсолютно неверно.

Еще пример: сократить.

«Самые умные» сделают так:

Скажи мне, что здесь неверно? Казалось бы: — это множитель, значит можно сокращать.

Но нет: — это множитель только одного слагаемого в числителе, но сам числитель в целом на множители не разложен.

Вот другой при

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.