Как узнать делится ли число на 6 – Признак делимости на 6 | Математика

Содержание

Признаки делимости на 2,3,4,5,6,7,8 и 9. Примеры решения задач.

Что такое делимость?

«Делимость» означает, что при делении одного числа на другое результатом должно быть целое число с нулевым остатком. Под признаком делимости понимают правило, позволяющие быстро определить, является ли число кратным заданному числу.

Пример:

\(6:3 =2; \)  \(6\) делится на \(3\), так как результат \(2\) — целое число, а остаток равен \(0\).

\(7:3=2,333…\) \(7\) не делится на \(3\) так как результат \(2,333…\) не является целым числом.

 

Признаки делимости чисел от  \(1\) до \(10\).

Признак делимости на \(1\)

Каждое целое число делится на \(1\)

Признак делимости на \(2\)

Последняя цифра должна быть четной — \(0,2,4,6,8\).

Пример : \(3456\) делится на \(2\) так как последняя цифра \(6\) — четное число.

\(343423\) не делится на \(2\), так как последняя цифра \(3\) нечетная.

Все четные числа делятся на \(2\).

Признак делимости на \(3\)

Сумма цифр в данном числе должна быть кратна \(3\). Это простой способ найти числа кратные  \(3\).

\(3789\) делится на \(3\), так как сумма \(3+7+8+9=27\) делится на \(3\).

\(43266737\) не делится на \(3\) – сумма цифр \(4+3+2+6+6+7+3+7=38\) не делится на \(3\).

Признак делимости на \(4\)

Число, образованное последними двумя цифрами в данном числе, должно быть кратно \(4\).

Пример: \(23746228\) делится на \(4\) если \(28\) делится на \(4\).

\(674235642\) не делится на \(4\), так как \(4\) не кратно \(42\).

Признаки делимости на \(5\)

Последняя цифра должна быть \(0\) или \(5\).

Пример: \(42340\) делится на \(5\) так как   \(0\) — последняя цифра.

\(672234\) не делится на \(5\) так как \(4\) последняя цифра.

Признак делимости на \(6\)

Число должно быть кратным \(2\) и \(3\).

\(7563894\) делится на \(6\) —  последняя цифра \(4\)  делится на \(2\) и сумма цифр \(7+5+6+3+8+9+4=42\) делится на \(3\).

\(567423\) не делится на \(6\) —  последняя цифра \(3\), поэтому не делится на \(2\). Даже не нужно проверять на \(3\).


Признаки делимости на \(7\)

Дважды умноженная последняя цифра отнимается от оставшихся цифр в данном числе, результат должен быть кратным \(7\).

  1.  \(343\) делится на 7 так как \(34-(2*3)=28\),  \(28\) делится на \(7\).

2. \(345343\)   \(3\) — последняя цифра. Вычитаем \(2*3\) из \(34534\).

\(34534-(2*3)=34528\) число слишком большое.

\(3452-(2*8)-3436\) число слишком большое.

\(343-(2*6)=331\) повторяем снова

\(33-(2*1)=31,31\)не делится на \(7\).

\(345343\) не делится на \(7\).

Признак делимости на \(8\)

Число, образованное последними тремя цифрами в данном числе, должно быть кратно \(8\).

Пример:\(234568:8-568\) делится на \(8\).

\(4568742\)не делится на \(8\) , так как  \(8\) не кратно \(742\)

Признак делимости на \(9\)

Сумма цифр в данном числе должна быть кратна \(9\).

\(456786:9 -\) если сумма \( 4+5+6+7+8+6=36\) делится на \(9\).

\(87956:9-\)  сумма \(8+7+9+5+6=25\)не делится на 9.

Признак делимости на \(10\)

Последняя цифра должна быть \(0\).

Пример: \(456780\) делится на \(10\) — если последняя цифра равна \(0\).

\(78521\) не делится на \(10\) – последняя цифра \(1\).

 

Если число \(S\) делится на два числа \(a\) и \(b\), где \(a,b\) — простые числа , то \(S\) делится на \(a*b\), где \(a\) и \(b\) простые числа.

\(24\) делится на \(2\) и \(3\) и следовательно и на \(6\).

\(36\) делится на \(2 \) и \(4\), но не делится на \(8\), так  как \(4\) не простое число.

Если число \(N\) делится на другое число \(M\), то \(N\) также делится на множители \(M\).

 Например:

  1. \(72:12=6\)
  2. \(72\) также делится на \(2,3,4,6\) так как \(12\) кратно \(2,3,4,6\).

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

myalfaschool.ru

Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 без остатка. + Признаки делимости на 11,13,25,36.


ПОЛЕЗНЫЕ ССЫЛКИ:

БОНУСЫ ИНЖЕНЕРАМ!:

МЫ В СОЦ.СЕТЯХ:

Навигация по справочнику TehTab.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Детский сад — 7 класс.
 / / Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 без остатка. + Признаки делимости на 11,13,25,36.

Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 без остатка.  + Признаки делимости на 11,13,25,36.

  • Признак делимости на 2:если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число делится без остатка на 2, а если нечетной цифрой, то число без остатка не делится на 2. Короче говоря, четное число делится на 2, нечетное не делится на 2.
  • Признак делимости на 3 : если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3. Если сумма цифр не делится на 3, то и число не делится на 3. Примеры: а)276 делится на 3, так как 2 + 7 + 6 = 15, а 15 делится на 3; б)563 не делится на 3, так как 5 + 6 + 3 = 14, а 14 не делится на 3.
  • Признак делимости на 4 : число делится на 4, если оканчивается на 00, или число, составленное из двух последних цифр данного числа, делится на 4. Примеры: а)78 536 делится на 4, так как 36 делится на 4; б)8422 не делится на 4, так как 22 не делится на 4.
  • Признак делимости на 5 : если запись натурального числа оканчивается цифрами 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится.а)370 и 1485 делятся без остатка на 5; б)числа 537 и 4008 без остатка на 5 не делятся.
  • Признак делимости на 6 : число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. В противном случае оно на 6 не делится. Примеры: а)2862 делится на 6, так как 2862 делится и на 2, и на 3; б)3754 не делится на 6, так как 3754 не делится на 3
  • Признак делимости на 8 : число делится на 8, если оканчивается на 000, или число, составленное из трех последних цифр данного числа, делится на 4. Примеры: а)78 000 делится на 0, так как оканчивается на 000; б)8422 не делится на 8, так как 422 не делится на 8.
  • Признак делимости на 9 : если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9. Если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9. Примеры: а)5787 делится на 9, так как 5 + 7 + 8 + 7= 27, а 27 делится на 9; б)359 не делится на 9, так как 3 + 5 + 9 = 17, а 17 не делится на 9.
  • Признак делимости на 10 : если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10. Примеры: а)680 делится на 10; б)104 не делится на 10 без остатка.

Для отличников:

  • Признак делимости на 11: натуральное число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11. Примеры: а) 1234761 делится на 11; б) 252747 делится на 11;
  • Признак делимости на 13: чтобы узнать делится ли число на 13, необходимо от этого числа без последних трех цифр отнять число из трех последних цифр, если разность делится на 13 то и заданное число делится на 13 Примеры: а)5525 делится на 13; б)18928 делится на 13;
  • Признак делимости на 25: число делится на 25, если его последние две цифры – нули или образуют число, делящееся на 25. Примеры: а)625 делится на 25; б)18900 делится на 25;
  • Признак делимости на 36: число делится на 36, если оно в одно время делится на 4 и 9
↓Поиск на сайте TehTab.ru — Введите свой запрос в форму

tehtab.ru

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ чисел, кратность чисел с примерами

Признаки делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 и другие числа полезно знать для быстрого решения задач на Цифровую запись числа. Вместо того, чтобы делить одно число на другое, достаточно проверить ряд признаков, на основании которых можно однозначно определить, делится ли одно число на другое нацело (кратно ли оно) или нет.

Основные признаки делимости

Приведем основные признаки делимости чисел:

  • Признак делимости числа на «2»
    Число делится нацело на 2, если число является четным (последняя цифра равна 0, 2, 4, 6 или 8)
    Пример: Число 1256 кратно 2, поскольку оно заканчивается на 6. А число 49603 не делится нацело на 2, поскольку оно заканчивается на 3.
  • Признак делимости числа на «3»
    Число делится нацело на 3, если сумма его цифр делится на 3
    Пример: Число 4761 делится на 3 нацело, поскольку сумма его цифр равна 18 и она делится на 3. А число 143 не кратно 3, поскольку сумма его цифр равна 8 и она не делится на 3.
  • Признак делимости числа на «4»
    Число делится нацело на 4, если последние две цифры числа равны нулю или число, составленное из двух последних цифр, делится на 4
    Пример: Число 2344 кратно 4, поскольку 44 / 4 = 11. А число 3951 не делится нацело на 4, поскольку 51 на 4 не делится.
  • Признак делимости числа на «5»
    Число делится нацело на 5, если последняя цифра числа равна 0 или 5
    Пример: Число 5830 делится нацело на 5, поскольку оно заканчивается на 0. А число 4921 не делится на 5 нацело, поскольку оно заканчивается на 1.
  • Признак делимости числа на «6»
    Число делится нацело на 6, если оно делится нацело на 2 и на 3
    Пример: Число 3504 кратно 6, поскольку оно заканчивается на 4 (признак делимости на 2) и сумма цифр числа равна 12 и она делится на 3 (признак делимости на 3). А число 5432 на 6 нацело не делится, хотя число заканчивается на 2 (соблюдается признак делимости на 2), однако сумма цифр равна 14 и она не делится на 3 нацело.
  • Признак делимости числа на «8»
    Число делится нацело на 8, если три последние цифры числа равны нулю или число, составленное из трех последних цифр числа, делится на 8
    Пример: Число 93112 делится нацело на 8, поскольку число 112 / 8 = 14. А число 9212 не кратно 8, поскольку 212 не делится на 8.
  • Признак делимости числа на «9»
    Число делится нацело на 9, если сумма его цифр делится на 9
    Пример: Число 2916 кратно 9, поскольку сумма цифр равна 18 и она делится на 9. А число 831 не делится на 9 нацело, поскольку сумма цифр числа равна 12 и она не делится на 9.
  • Признак делимости числа на «10»
    Число делится нацело на 10, если оно заканчивается на 0
    Пример: Число 39590 делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается на 0. А число 5964 не делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается не на 0.
  • Признак делимости числа на «11»
    Число делится нацело на 11, если сумма цифр, стоящих на нечетных местах, равна сумме цифр, стоящих на четных местах или суммы должны отличаться на 11
    Пример: Число 3762 делится нацело на 11, поскольку 3 + 6 = 7 + 2 = 9. А число 2374 на 11 не делится, поскольку 2 + 7 = 9, а 3 + 4 = 7.
  • Признак делимости числа на «25»
    Число делится нацело на 25, если оно заканчивается на 00, 25, 50 или 75
    Пример: Число 4950 кратно 25, поскольку оно заканчивается на 50. А 4935 не делится на 25, поскольку заканчивается на 35.

Признаки делимости на составное число

Чтобы узнать, делится ли заданное число на составное, нужно разложить это составное число на взаимно простые множители, признаки делимости которых известны. Взаимно простые числа — это числа, не имеющие общих делителей кроме 1. Например, число делится нацело на 15, если оно делится нацело на 3 и на 5.

Рассмотрим другой пример составного делителя: число делится нацело на 18, если оно делится нацело на 2 и 9. В данном случае нельзя раскладывать 18 на 3 и 6, поскольку они не являются взаимно простыми, так как имеют общий делитель 3. Убедимся в этом на примере.

Число 456 делится на 3, так как сумма его цифр равна 15, и делится на 6, так как оно делится и на 3 и на 2. Но если разделить 456 на 18 вручную, то получится остаток. Если же для числа 456 проверять признаки делимости на 2 и 9, сразу же видно, что оно делится на 2, но не делится на 9, так как сумма цифр числа равна 15 и она не делится на 9.

worksbase.ru

Признаки делимости чисел / Блог

Признаки делимости натуральных чисел

Признаки делимости от 2 до 19 и 24, 25, 36 с примерами

Признаки делимости на 2

  • На 2 делятся все четные натуральные числа или последняя цифра должна быть четной — 0, 2, 4, 6, 8.
  • Например: 24, 48, 94, 172, 1670, 67838.

Признаки делимости на 3

  • На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3.
  • Например: 16734, сумма цифр = 1+6+7+3+4=21; 21 : 3 = 7 — делится на 3

Признаки делимости на 4

  • На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют нули или число, кратное 4.
  • Например: 1024 делится на 4, так как 24 делится на 4

Признаки делимости на 5

  • На 5 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 5 или 0.
  • Например: 125 делится на 5, поскольку последняя цифра 5

Признаки делимости на 6

  • На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно (все четные числа, которые делятся на 3).
  • Например: 126 делится 6, так как 126 — четное и сумма = 1 + 2 + 6 = 9 кратна 3

Признаки делимости на 7

  • На 7 делятся те натуральные числа, у которых результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7
  •  Например: 17948 делится на 7, 1794 — (2 · 8) = 1778 большое число, 177 — (8 · 2) = 161 повторяем снова16 — (1 · 2) = 14

Признаки делимости на 8

  • Числа делятся на 8, если три его последние цифры делятся на 8.
  • Например: 1568 делится на 8 — 568 кратно 8

Признаки делимости на 9

  • На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9.
  • Например: 1179 — сумма =1 + 1 + 7 + 9 = 18, делится на 9

Признаки делимости на 10

  • На 10 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 0.
  • Например: 1570 — делится на 10, последняя цифра 0

Признаки делимости на 11

  • На 11 делятся только те натуральные числа, у которых сумма цифр, занимающих четные места, равна сумме цифр, занимающих нечетные места
  • Например: 105787 делится на 11 — сумма 1 + 5 + 8 = 14 равна 0 + 7 + 7 = 14;

Признаки делимости на 12

  • Число делится на 12 тогда и только тогда, когда она делится на 3 и на 4 одновременно.
  • Например: 168 — делится на 3 и 4, следовательно делится на 12

Признаки делимости на 13

  • Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13.
  • Например: 221 делится на 13: 22 + 1· 4 = 26 кратно 13

Признаки делимости на 14

  • Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Признаки делимости на 15

  • Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Признаки делимости на 16

  • Число делится не 16 только тогда, когда 4 последние цифры делятся на 16
  • Например: 24576 делится 16, так как 4576:16 = 286

Признаки делимости на 17

  • Число делится на 17, если разность числа кроме последней цифры справа и последней цифры умноженную на пять кратно 17.
  • Например: 272 делится на 17, 27 — 2 · 5 = 17 кратно 17

 

Признаки делимости на 18

  • На 18 делятся те натуральные числа, которые четные и сумма цифр делится на 9.
  • Например: 5508 — сумма = 5 + 5 + 0 + 8 = 18 кратна 9 и четное число, следовательно делится на 18

Признаки делимости на 19

  • Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19
  • Например: 646 — 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19

Признаки делимости на 24

  • Число, делится на 24, если сумма всех цифр данного числа делится на 3 и последние три цифры данного числа делится на 8.
  • Например: 1512 делится на 24 — сумма 1 + 5 + 1 + 2 = 9 кратна 3 и 512 : 8 = 64

Признаки делимости на 25

  • На 25 делятся числа, если две последние цифры делятся на 25.
  • Например: 650 — 50 : 25 = 2; 1475 — 75: 25 = 3

Признаки делимости на 36

  • Число делится на 36, если 2-е последние цифры делятся на 4 и сумма цифр кратна 9.
  • Например: 1620 — 20 : 4 = 5 и сумма 1 + 6 + 2 + 0 = 9 кратно 9; 4860 — 60 : 4 = 15 и 4 + 8 + 6 + 0 = 18 кратно 9

Смотри также: Основные формулы по математике

Решай с разбором:

bingoschool.ru

Признаки делимости, делится ли число | Формулы и расчеты онлайн

Признак делимости на 2

Число делится на два, если его последняя цифра четная или нуль. В остальных случаях — не делится.

Например:

Число 52 738 делится на 2 так, как последняя цифра 8 — четная.
7 691 не делится на 2, так 1 — цифра нечетная.
1 250 делится на 2, так как последняя цифра нуль.

Признаки делимости на 3

На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3

Например:

Число 17 835 делится на 3, так как сумма его цифр

\[ 1 + 7 + 8 + 3 + 5 = 24 \]

делится на 3.

Признак делимости на 4

Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4. В остальных случаях — не делится.

Примеры:

31 700 делится на 4, так как оканчивается двумя нулями.
4 215 634 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4.
16 608 делится на 4, так как последние две цифры 08 дают число 8, делящееся на 4.

Признак делимости на 5

На 5 делятся числа, последняя цифра которых 0 или 5. Другие — не делятся.

Пример:

240 делится на 5 (последняя цифра 0).
554 не делится на 5 (последняя цифра 4).

Признак делимости на 6

Число делится на 6, если оно делится одновременно и на 2 и на 3. В противном случае — не делится.

Например:

126 делится на 6, так как оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 8

Подобен признаку делимости на 4. Число делится на 8, если три последние цифры его нули или образуют число, делящееся на 8. В остальных случаях — не делится.

Примеры:

125 000 делится на 8 (три нуля в конце).
170 004 не делится на 8 (три последние цифры дают число 4, не делящееся на 8).
111 120 делится на 8 (три последние цифры дают число 120, делящееся на 8).

Признак делимости на 9

На 9 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 9.

Примеры:

Число 106 499 не делится на 9, так как сумма его цифр (29) не делится на 9. Число 52 632 делится на 9, так как сумма его цифр (18) делится на 9.

Признаки делимости на 10, 100 и 1000

На 10 делятся только те числа, последняя цифра которых нуль, на 100 — только те числа, у которых две последние цифры нули, на 1000 — только те, у которых три последние цифры нули.

Примеры:

8200 делится на 10 и на 100.
542 000 делится на 10, 100, 1000.

Признак делимости на 11

На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечетные места, либо равна сумма цифр, занимающих четные места, либо разнится от нее на число, делящееся на 11.

Примеры:

Число 103 785 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечетные места,

\[ 1 + 3 + 8 = 12 \]

равна сумме цифр, занимающих четные места

\[ 0 + 7 + 5 = 12 \]

Число 9 163 627 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечетные места, есть

\[ 9 + 6 + 6 + 7 = 28 \]

а сумма цифр, занимающих четные места

\[ 1 + 3 + 2 = 6 \]

разность между числами 28 и 6 есть 22, а это числи делится на 11. Число 461 025 не делится на 11, так как числа

\[ 4 + 1 + 2 = 7 \]

и

\[ 6 + 0 + 5 = 11 \]

не равны друг другу, а их разность

\[ 11 — 7 = 4 \]

на 11 не делится.

Признак делимости на 25

На 25 делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, делящееся на 25 (т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). Другие не делятся.

Примеры:

7 150 делится на 25 (оканчивается на 50). 4855 не делится на 25.

Делится ли число?

В помощь студенту

Признаки делимости, делится ли число
стр. 16

www.fxyz.ru

Признаки делимости чисел | umath.ru

Содержание

  • Таблица признаков делимости чисел
  • Доказательство признаков делимости чисел
    • Признаки делимости по последним цифрам [2, 4, 5, 8, 10, 25]
    • Признаки делимости по сумме цифр [3, 9, 11]
    • Признаки делимости по сумме граней [7, 11, 13, 37]

Признаки делимости — особенности чисел, которые помогают быстро определить, делится ли данное число на другое. Знание этих признаков необходимо при решении многих арифметических задач. Кроме того, умение пользоваться признаками делимости часто пригождается при решении задач ЕГЭ, особенно задания С6.

Таблица признаков делимости чисел

*Грани числа – числа, полученные при разбиении исходного числа на двузначные или трёхзначные числа, взятые справа налево. Например, разбиение числа 1234567 на двузначные грани выглядит так: 1|23|45|67, а на трёхзначные так: 1|234|567.

Признаки делимости чисел и их доказательство

Пусть натуральное число имеет десятичную запись

    \[\overline{a_{n} a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}a_0} = 10^n a_n + 10^{n-1} a_{n-1} + \ldots + 10^2 a_2 + 10a_1 + a_0, \]

где a_n, a_{n-1},\ldots , a_2, a_1, a_0 — цифры этого числа, 0 \leq a_i \leq 9.

Разобьём признаки делимости на три группы. Доказательства признаков делимости в каждой группе основаны на одной и той же идее.

Признаки делимости по последним цифрам

Доказательство этих признаков основано на одной и той же идее. Приведём её на примере признака делимости на 25.Распишем число так:

    \[\overline{a_{n} a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}a_0} =  \overline{a_{n} a_{n-1}\ldots 00} + \overline{a_{1} a_{0}} = 100\overline{a_{n} a_{n-1}\ldots a_{2}} + \overline{a_{1} a_{0}}.\]

Число 100 делится на 25, поэтому если число \overline{a_{1} a_{0}} делится на 25, то и \overline{a_{n} a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}a_0} делится на 25. Заметим, что обратное утверждение тоже верно.

Признаки делимости по сумме цифр

 Если  то a делится на
 Сумма цифр числа a делится на 3 или 9  3 или 9 соответственно
 Знакочередующаяся сумма цифр числа a делится на 11  11

Докажем признаки делимости на 3 и 9.

    \[\overline{a_{n} a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}a_0}=10^n a_n+ 10^{n-1} a_{n-1} + \ldots + 10^2 a_2 + 10a_1 + a_0=\]

    \[=\left(\underbrace{99\ldots 9}_n a_n + \underbrace{99\ldots 9}_{n-1} a_{n-1} + \ldots + 99a_2+9a_1\right) + \]

    \[+\left(a_n + a_{n-1} + \ldots + a_2 + a_1 + a_0\right)=\]

    \[=9\cdot\left(\underbrace{11\ldots 1}_n a_n + \underbrace{11\ldots 1}_{n-1} a_{n-1} + \ldots + 11a_2+a_1\right) + \]

    \[+\left(a_n + a_{n-1} + \ldots + a_2 + a_1 + a_0\right).\]

Выражение под первыми скобками делится на 9. Поэтому число \overline{a_{n} a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}a_0} делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда число a_n + a_{n-1} + \ldots + a_2 + a_1 + a_0 делится на 3 или 9 соответственно.

Признаки делимости по сумме граней

Введём такое определение:

Определение.

Двузначные грани числа — это числа, которые получены разбиением исходного числа на двузначные числа. Например, разбиение числа 123456789 на двузначные грани выглядит так: 1|23|45|67|89 (разбиение числа начинается с его конца). Числа 1, 23, 45, 67, 89 являются двузначными гранями числа 123456789.

Трёхзначные грани числа — это числа, полученные разбиением исходного числа на трёхзначные числа. Например, разбиение числа 1234567890 на трёхзначные грани выглядит так: 1|234|567|890. Числа 1, 234, 567, 890 являются трёхзначными гранями числа 1234567890.

Перейдём к признакам делимости.

 Если  то a делится на
 Сумма двузначных граней делится на 11  11
 Сумма трёхзначных граней делится на 37  37
 Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней делится на 7, 11, 13  7, 11, 13 соответственно

Докажем признак делимости на 11 по сумме двузначных граней

    \[\overline{a_n a_{n-1}\ldots a_2a_1a_0}= \overline{a_1a_0}+100 \overline{a_3a_2} + 10000\overline{a_6a_5}+\ldots=\]

    \[=\left(99\overline{a_3a_2} + 9999\overline{a_6a_5} + \ldots \right) + \left(\overline{a_1a_0} +  \overline{a_3a_2} + \overline{a_6a_5} + \ldots\right). \]

В левых скобках все числа делятся на 11, поэтому число a делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма его двузначных граней делится на 11.

Остальные признаки доказываются аналогично.

umath.ru

Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 без остатка. + Признаки делимости на 11,13,25,36.





Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа.  / / Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 без остатка. + Признаки делимости на 11,13,25,36.

Поделиться:   

Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 без остатка.  + Признаки делимости на 11,13,25,36.

  • Признак делимости на 2:если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число делится без остатка на 2, а если нечетной цифрой, то число без остатка не делится на 2. Короче говоря, четное число делится на 2, нечетное не делится на 2.
  • Признак делимости на 3 : если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3. Если сумма цифр не делится на 3, то и число не делится на 3. Примеры: а)276 делится на 3, так как 2 + 7 + 6 = 15, а 15 делится на 3; б)563 не делится на 3, так как 5 + 6 + 3 = 14, а 14 не делится на 3.
  • Признак делимости на 4 : число делится на 4, если оканчивается на 00, или число, составленное из двух последних цифр данного числа, делится на 4. Примеры: а)78 536 делится на 4, так как 36 делится на 4; б)8422 не делится на 4, так как 22 не делится на 4.
  • Признак делимости на 5 : если запись натурального числа оканчивается цифрами 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится.а)370 и 1485 делятся без остатка на 5; б)числа 537 и 4008 без остатка на 5 не делятся.
  • Признак делимости на 6 : число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. В противном случае оно на 6 не делится. Примеры: а)2862 делится на 6, так как 2862 делится и на 2, и на 3; б)3754 не делится на 6, так как 3754 не делится на 3
  • Признак делимости на 8 : число делится на 8, если оканчивается на 000, или число, составленное из трех последних цифр данного числа, делится на 4. Примеры: а)78 000 делится на 0, так как оканчивается на 000; б)8422 не делится на 8, так как 422 не делится на 8.
  • Признак делимости на 9 : если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9. Если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9. Примеры: а)5787 делится на 9, так как 5 + 7 + 8 + 7= 27, а 27 делится на 9; б)359 не делится на 9, так как 3 + 5 + 9 = 17, а 17 не делится на 9.
  • Признак делимости на 10 : если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10. Примеры: а)680 делится на 10; б)104 не делится на 10 без остатка.

Для отличников:

  • Признак делимости на 11: натуральное число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11. Примеры: а) 1234761 делится на 11; б) 252747 делится на 11;
  • Признак делимости на 13: чтобы узнать делится ли число на 13, необходимо от этого числа без последних трех цифр отнять число из трех последних цифр, если разность делится на 13 то и заданное число делится на 13 Примеры: а)5525 делится на 13; б)18928 делится на 13;
  • Признак делимости на 25: число делится на 25, если его последние две цифры – нули или образуют число, делящееся на 25. Примеры: а)625 делится на 25; б)18900 делится на 25;
  • Признак делимости на 36: число делится на 36, если оно в одно время делится на 4 и 9
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

dpva.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *