Дискриминант квадратного уравнения. Формулы дискриминанта

Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, находящееся под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант обозначается латинской буквой  D.

Все формулы нахождения корней квадратных уравнений можно записать короче с помощью дискриминанта:

Дискриминант позволяет определить, имеет ли уравнение корни и сколько их, не решая само уравнение:

1. Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня.
2. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень.
3. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет корней.

Несмотря на то, что есть несколько формул дискриминанта, чаще всего используют первую:

D = b² — 4ac,

так как она относится к формуле:

,

которая является универсальной формулой нахождения корней квадратного уравнения.

Данная формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений через дискриминант

Для решения квадратного уравнения по формуле можно сначала вычислить дискриминант и сравнить его с нулём. В зависимости от результата, либо искать корни по формуле, либо сделать вывод, что корней нет.

Пример 1. Решить уравнение:

3x² — 4x + 2 = 0.

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 3,  b = -4,  c = 2.

Найдём дискриминант:

D = b² — 4ac = (-4)² — 4 · 3 · 2 = 16 — 24 = -8,

D < 0.

Ответ: корней нет.

Пример 2.

x² — 6x + 9 = 0.

Определим, чему равны коэффициенты:

a

= 1,  b = -6,  c = 9.

Найдём дискриминант:

D = b² — 4ac = (-6)² — 4 · 1 · 9 = 36 — 36 = 0,

D = 0.

Уравнение имеет всего один корень:

Ответ:  3.

Пример 3.

x² — 4x — 5 = 0.

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1,  b = -4,  c = -5

Найдём дискриминант:

D = b² — 4ac = (-4)² — 4 · 1 · (-5) = 16 + 20 = 36,

D > 0.

Уравнение имеет два корня:

x₁ = (4 + 6) : 2 = 5,

x₂ = (4 — 6) : 2 = -1.

Ответ:  5,  -1.

Как найти Дискриминант? 🤔 Формулы, Примеры решений.

Понятие квадратного уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 8 + 4 = 12. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 12 = 12.

Уравнением можно назвать выражение 8 + x = 12, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени, значит, такое уравнение является квадратным.

Квадратное уравнение — это ax² + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Есть три вида квадратных уравнений:

• не имеют корней;
• имеют один корень;
• имеют два различных корня.

Чтобы ваш ребенок легко справиться с будущими экзаменами, запишите его на курс подготовки к ОГЭ или ЕГЭ по математике в Skysmart. На занятиях с личным преподавателем он потренируется решать пробные варианты экзамена на время, увидит свои сильные и слабые стороны, разберется в каждой сложной теме и выработает тактику поведения на экзамене, чтобы добиться отличных результатов без стресса.

Записывайтесь на бесплатный пробный урок математики: познакомим с платформой, наметим программу обучения и вдохновим ребенка.

Понятие дискриминанта

Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, которое находится под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант в переводе с латинского означает «отличающий» или «различающий» и обозначается буквой D.

Дискриминант — отличный помощник, чтобы понять, сколько в уравнении корней.

Чаще всего для поиска дискриминанта используют формулу:

В этом ключе универсальная формула для поиска корней квадратного уравнения выглядит так:

Эта формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.

Но есть и другие формулы — все зависит от вида уравнения. Чтобы в них не запутаться, сохраняйте табличку или распечатайте ее и храните в учебнике.

Как решать квадратные уравнения через дискриминант

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный. Только после этого вычисляем значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

Алгоритм решения квадратного уравнения ax² + bx + c = 0:

• как найти дискрининант: D = b² − 4ac;
• если дискриминант отрицательный — зафиксировать, что действительных корней нет;
• если дискриминант равен нулю — вычислить единственный корень уравнения по формуле х = — b²/2a;
• если дискриминант положительный — найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней
  

А вот и еще одна табличка: в ней вы найдете формулы для поиска корней квадратных уравнений при помощи дискриминанта:

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, важно практиковаться. Вперед!

Примеры решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта

Пример 1. Решить уравнение: 3x² — 4x + 2 = 0.

Как решаем:

1. Определим коэффициенты: a = 3, b = -4, c = 2.


2. Найдем дискриминант: D = b² — 4ac = (-4)² — 4 * 3 * 2 = 16 — 24 = -8.

Ответ: D < 0, корней нет.

Пример 2. Решить уравнение: x² — 6x + 9 = 0.

Как решаем:

1. Определим коэффициенты: a = 1, b = -6, c = 9.


2. Найдем дискриминант: D = b² — 4ac = (-6)² — 4 * 1 * 9 = 36 — 36 = 0.


3. D = 0, значит уравнение имеет один корень:
   

Ответ: корень уравнения 3.

Пример 3. Решить уравнение: x² — 4x — 5 = 0.

Как решаем:

1. Определим коэффициенты: a = 1, b = -4, c = -5.


2. Найдем дискриминант: D = b² — 4ac = (-4)² — 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.


3. D > 0, значит уравнение имеет два корня:

    

x₁ = (4 + 6) : 2 = 5,

x₂ = (4 — 6) : 2 = -1.

Ответ: два корня x₁ = 5, x₂ = -1.

Тебе следует повторить тему «формулы сокращенного умножения»!

Как решать квадратные уравнения? Формулы и Примеры

Понятие квадратного уравнения

Уравнения — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значения неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать выражение 3 + x = 7, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени — это квадратное уравнение.

Квадратное уравнение — это ax2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы запомнить месторасположение коэффициентов, давайте потренируемся определять их.

Есть три вида квадратных уравнений:

• не имеют корней;
• имеют один корень;
• имеют два различных корня.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b² − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

• если D < 0, корней нет;
• если D = 0, есть один корень;
• если D > 0, есть два различных корня.

С этим разобрались. А сейчас посмотрим подробнее на различные виды квадратных уравнений.

Вникать во все тонкости математической вселенной комфортнее с внимательным наставником. Наши учителя объяснят сложную тему, ответят на неловкие вопросы и вдохновят ребенка учиться. А красочная платформа с увлекательными заданиями поможет заниматься современно и в удовольствие. Запишите ребенка на бесплатный вводный урок в онлайн-школе Skysmart и попробуйте сами!

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

Квадратное уравнение может быть приведенным или неприведенным — все зависит от от значения первого коэффициента.

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, где старший коэффициент, тот который стоит при одночлене высшей степени, равен единице.

Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент может быть любым.

Давайте-ка на примерах — вот у нас есть два уравнения:

• x² — 2x + 6 = 0
• x² — x — 1/4 = 0

В каждом из них старший коэффициент равен единице (которую мы мысленно представляем при x

2 ), а значит уравнение называется приведенным.

• 2x² − 4x — 12 = 0 — первый коэффициент отличен от единицы (2), значит это неприведенное квадратное уравнение.

Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент.

Запоминаем!

У преобразованного уравнения те же корни, что и у первоначального. Ну или вообще нет корней.

Пример 1. Превратим неприведенное уравнение: 8x² + 20x — 9 = 0 — в приведенное.

Для этого разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 8:

Ответ: равносильное данному приведенное уравнение x² + 2,5x — 1,125 = 0.

Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения есть условие: a ≠ 0. Оно нужно, чтобы уравнение ax² + bx + c = 0 было именно квадратным. Если a = 0, то уравнение обретет вид линейного: bx + c = 0.

Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю, как по отдельности, так и вместе. В таком случае квадратное уравнение принято назвать неполным.

Неполное квадратное уравнение —— это квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.

Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Для самых любопытных объясняем откуда появились такие названия:
Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax2 + 0x+c=0 и оно равносильно ax2 + c = 0. Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax2 + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax2 + bx = 0. Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax2 = 0. Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

• ax² = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
• ax² + c = 0, при b = 0;
• ax² + bx = 0, при c = 0.

Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.

Как решить уравнение ax² = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax² = 0.

Уравнение ax² = 0 равносильно x² = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x² = 0 является нуль, так как 0² = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −6x² = 0.

Как решаем:

1. Замечаем, что данному уравнению равносильно x² = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
2. По шагам решение выглядит так:

   −6x² = 0

   x² = 0

   x = √0

   x = 0

Ответ: 0.

Как решить уравнение ax² + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax² + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax² + c = 0:

• перенесем c в правую часть: ax² = — c,
• разделим обе части на a: x² = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а < 0, то уравнение x² = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а < 0 ни для какого числа p равенство р2 = — c/а не является верным.

Если — c/а > 0, то корни уравнения x² = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а)² = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а)² = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

В двух словах
Неполное квадратное уравнение ax2 + c = 0 равносильно уравнению ax2 + c = 0, которое: не имеет корней при — c/а < 0; имеет два корня х = √- c/а и х = -√- c/а при — c/а > 0.

Пример 1. Найти решение уравнения 8x² + 5 = 0.

Как решать:

1. Перенесем свободный член в правую часть:

   8x² = — 5

2. Разделим обе части на 8:

   x² = — 5/8

3. В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.

Ответ: уравнение 8x² + 5 = 0 не имеет корней.

Как решить уравнение ax² + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x. Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 0,5x² + 0,125x = 0

Как решать:

1. Вынести х за скобки

   х(0,5x + 0,125) = 0

2. Это уравнение равносильно х = 0 и 0,5x + 0,125 = 0.
3. Решить линейное уравнение:

   0,5x = 0,125,
   х = 0,125/0,5

4. Разделить:

   х = 0,25

5. Значит корни исходного уравнения — 0 и 0,25.

Ответ: х = 0 и х = 0,25.

Формула Виета

---

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так: 

Теорема Виета Сумма корней x2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x² + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

 

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x² + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x² + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она:

Обратная теорема Виета Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x2 + bx + c = 0.

Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение.

Пример 1. Решить при помощи теоремы Пифагора: x² − 6x + 8 = 0.

Как решаем:

1. Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.

2. Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы.

   Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

   Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

3. Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x² − 6x + 8 = 0. p>

    

Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

где D = b² − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

Эта запись означает:

Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

Выводим формулу корней квадратного уравнения

Продолжим изучать формулу корней квадратного уравнения.

Пусть перед нами есть задача решить квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. Выполним ряд равносильных преобразований:

Так, мы пришли к уравнению , которое полностью равносильно исходному ax² + bx + c = 0.

Отсюда выводы про корни уравнения :

И еще один вывод: есть у уравнения корень или нет, зависит от знака выражения в правой части. При этом важно помнить, что знак этого выражения задается знаком числителя. Потому выражение принято называть дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D.

По значению и знаку дискриминанта можно сделать вывод, есть ли действительные корни у квадратного уравнения, и сколько.

Повторим:

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

Алгоритм решения квадратного уравнения ax² + bx + c = 0:

• вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b²−4ac;
• если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет;
• если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = — b²/2a;
• если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

Примеры решения квадратных уравнений

Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.

Пример 1. Решить уравнение −4x² + 28x — 49 = 0.

Как решаем:

1. Найдем дискриминант: D = 28² — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0
2. Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень
3. Найдем корень

   х = — 28/2(-4)

   х = 3,5

Ответ: единственный корень 3,5.

Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x² = 0.

Как решаем:

1. Произведем равносильные преобразования. Умножим обе части на −1

   54 — 6x² = 0 | *(-1)

   6x² — 54 = 0

2. Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

   6x² = 54

   х² = 9

   х = ±√9

   х₁ = 3, х₂ = — 3

Ответ: два корня 3 и — 3.

Пример 3. Решить уравнение x²— х = 0.

Как решаем:

1. Преобразуем уравнение так, чтобы появились множители

   х(х — 1) = 0

   х₁ = 0, х₂ = 1

Ответ: два корня 0 и 1.

Пример 4. Решить уравнение x²— 10 = 39.

Как решаем:

1. Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

   x²— 10 = 39

   x²= 39 + 10

   x²= 49

   х = ±√49

   х₁ = 7, х₂ = −7

Ответ: два корня 7 и −7.

Пример 5. Решить уравнение 3x²— 4x+94 = 0.

Как решаем:

1. Найдем дискриминант по формуле

   D = (-4)² — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112

2. Дискриминант отрицательный, поэтому корней нет.

Ответ: корней нет.

В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

Приходите решать примеры на бытовых ситуациях, с красочными героями и в интерактивном формате.

Запишите вашего ребенка на бесплатный пробный урок в онлайн-школу Skysmart: познакомимся, покажем, как все устроено на платформе и наметим вдохновляющую программу обучения.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b² — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax² + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n)²— 4ac = 4n² — 4ac = 4(n²— ac) и подставим в формулу корней:

Для удобства вычислений обозначим выражение n² -ac как D₁. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

где D₁ = n²— ac.

Самые внимательные уже заметили, что D = 4D₁, или D₁= D/4. Проще говоря, D₁ — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

• вычислить D₁= n²— ac;
• если D₁< 0, значит действительных корней нет;
• если D₁= 0, значит можно вычислить единственный корень уравнения по формуле;
• если же D₁> 0, значит можно найти два действительных корня по формуле

Упрощаем вид квадратных уравнений

Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x² — 4 x — 6 = 0, чем 1100x² — 400x — 600 = 0.

Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x² — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Покажем, как это работает на примере 12x²— 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x² — 7x + 8 = 0. Вот так просто.

А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x² + 4x — 18 = 0.

Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x²— 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x² + 3x — 7 = 0.

Связь между корнями и коэффициентами

Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

• x₁ + x₂ = — b/a,
• x₁* x₂ = c/a.

Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x²— 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

А еще найти корни квадратного уравнения можно с помощью онлайн-калькулятора. Пользуйтесь им, если уже разобрались с темой и щелкаете задачки легко и без помощников:

дискриминант | C++ для приматов

Іванов Вячеслав Володимирович (22)

Ілларіонова Марія Валеріївна (20)

Зелінський Вячеслав Олександрович (19)

Вустянюк Ігор Дмитрович (19)

Сплошнов Кирилл (18)

Таран Таня (17)

Гордийчук Вадим (15)

Сорокіна Поліна Юріївна (14)

Царев Николай Александрович (14)

Денисова Ольга (14)

Швандт Максим Альбертович (14)

Байков Дмитро (14)

Корнилова Таня (14)

Калачьов Андрій Сергійович (14)

Осецимський Анатолій Вадимович (14)

Марченко Філіп Олександрович (13)

Молоканов Юрий (13)

Сабиров Ильдар (13)

Бронфен-Бова Роман (13)

Фесенко Катерина Володимирівна (12)

Максимова Женя (12)

Григорян Артак (12)

Карташов Денис Геннадійович (12)

Кондратюк Настя (12)

Куленюк Денис Віталійович (12)

Недомовний Владислав (12)

Писова Катя (12)

Карагяур Мілан Сергійович (12)

Волков Кирилл (11)

Кудымовская Вика (11)

Шохина Аня (11)

Яроцкий Андрей (11)

Божик Семен (11)

Прокопов Эммануил (11)

Ковальський Олександр Дмитрович (11)

Загинайло Павел (11)

Кваша Дар`я Михайлівна (11)

Янішевська Альона Русланівна (11)

Коциевский Станислав (11)

Сіренко Валерія Сергіївна (10)

Андриеш Валентина (10)

Фирсов Тимур (10)

Филипчук Настя (10)

Коломеец Александр (10)

Гончарова Алина (10)

Онищенко Александр (10)

Куперман Антон (10)

Ялымова Иванна (10)

Грешилов Константин (10)

Сиденко Радик (9)

Стеблинський Ігор Віталійович (9)

Мороз Дима (9)

Бровко Ілля (9)

Локтев Антон (9)

Лисовой Андрей (8)

Носов Максим (8)

Андреев Даниил (8)

Веремйов Кирил (8)

Панько Настя (8)

Кібакова Надія Олександрівна (8)

Федина Наталья (8)

Рябова Александра (8)

Литвиненко Инна (8)

Бебик Владислав (8)

Киреев Иван (8)

Ворохта Алиса (7)

Дроздин Владимир (7)

Димитриев Александр (7)

Носуленко Марк (7)

Курьянов Павел (7)

Чернецкий Андрей Святозар (7)

Мартынюк Георгий (7)

Холодков Юрий (7)

Чежеумова Анна (7)

Нарусевич Никита Мирославович (7)

Василевский Иван (7)

Савчак Данила (7)

Мога Александр (7)

Шеванов Владислав (6)

Данилов Андрей (6)

Дьяченко Александр (6)

Ларикова Валерия (6)

Ивасенко Настя (6)

Миловская Карина (6)

Бутник Михаил (6)

Пасенченко Томас (6)

Метри Николь (6)

Крутоголов Даниил (6)

Сытников Дан (6)

Неделева Анна (6)

Пушкин Никита (5)

Подгорный Богдан (5)

Козиний Николай (5)

Жуков Павел (5)

Зиновьев Андрей (5)

Черноморец Илья (5)

Боурош Юлиана (5)

Даниленко Дария (5)

Гук Алина (5)

Щебетовський Дмитро Геннадійович (5)

Демиденко Кирилл (5)

Колчинская Яна (5)

Мясоедов Иван (5)

Севастьянова Лиза (5)

Танащук Григорій Русланович (4)

Дуков Иван (4)

Семерня Никита (4)

Рудницкий Евгений (4)

Шпилевский Никита (4)

Юрковская Яна (4)

Бондаренко Кирилл (4)

Калинин Дмитрий (4)

Марокко Алла (4)

Волынец Александр (4)

Иванов Виктор (4)

Найденова Дарья (3)

Ливитчук Максим (3)

Аль-Омари Амир (3)

Гусак Дмитро Євгенович (3)

Саркисян Роман (3)

Довгань Александр (3)

Мозгунов Даниил (3)

Джашимов Антон (3)

Юдин Даниил (2)

Кадзевич Даниил (2)

Бригарь Лена (2)

Павлов Богдан (2)

Чачко Натан (2)

Веранян Герман (2)

Федяєва Євгенія (2)

Мацалышенко Паша (2)

Евчук Максим (2)

Филистович Александра (2)

Чернобровкин Артем (2)

Лозинский Дмитрий (2)

Євчук Даяна (2)

Ткачева Таисия (2)

Мырза Дмитрий (2)

Воротов Дмитрий (2)

Жук Світлана (2)

Романова Таня (1)

Питон Пайтон (1)

Шихова Елена (1)

Михайліщук Валентина (1)

Вдовиченко Оля (1)

Иванов Александр (1)

Кулык Даниил (1)

Лисовец Митя (1)

Диденко Богдан (1)

Куліш Марія (1)

Калаус Александр (1)

Макогон Владимир Сакович (1)

Алексеев Максим (1)

Наумова Лена (1)

Куніцина Діана (1)

Лукьянова Маша (1)

Константинов Євген (1)

Кулік Віталій (1)

Будіш Михайло (1)

Пересичный Никита (1)

Дискриминант квадратного уравнения и его геометрический смысл

Одна из немногих формул, которую удается выучить к концу девятого класса практически всем ученикам, это формула нахождения дискриминанта и формулы корней квадратного уравнения. 2-4ac, которое и называют дискриминантом. Пример из учебника алгебры Бевз Г.П. (2016 год):

Обосновывается это название следующим образом:

Если D < 0, то данное уравнение не имеет корней — ведь невозможно, чтобы квадрат некоторого вещественного выражения был отрицательным числом.

Если D = 0, то данное уравнение имеет один корень — ведь только квадрат нуля равен нулю.

Если D > 0, то данное уравнение имеет два корня.

В результате ученик вынужден заучивать не только формулы нахождения корней квадратного уравнения, но и эти три утверждения — взаимосвязь дискриминанта с количеством корней.

На мой взгляд, методически правильнее сначала довести разбор понятия «дискриминант» до логического конца, указав, что дискриминант равен квадрату расстояния между корнями уравнения. 

Рассмотрим для простоты приведенное квадратного уравнение (напомню, что любое квадратное уравнение легко привести к приведенному виду, разделив все коэффициенты на старший коэффициент). Итак, с учетом теоремы Виета:

Таким образом, если корни приведенного квадратного уравнения существуют, то расстояние между ними равно корню из дискриминанта. 

Грубо говоря, чем больше дискриминант, тем больше расстояние между корнями. Вот что показывает дискриминант — насколько далеки корни друг от друга, если они существуют. А связь с количеством корней — это всего лишь следствие этого простого факта.

Теперь взаимосвязь между дискриминантом и количеством корней ясна как на ладони: если дискриминант равен нулю, то расстояние между корнями равно нулю, они совпадают — два корня, образно говоря, наложились друг на друга и превратились в один корень. Далее, расстояние не может быть меньше нуля, а значит, при отрицательном дискриминанте корней нет. Если же дискриминант строго положителен, то корней два и расстояние между ними как раз и равно корню из дискриминанта.

Эти выводы интуитивно понятны и не требуют отдельного заучивания. Более того, понимание геометрического смысла дискриминанта помогает упростить и ускорить нахождение самих корней.

Начинающий ученик действует обычно по следующей схеме:

1) определяет коэффициенты уравнения;

2) записывает формулу дискриминанта, подставляет в нее значения коэффициентов, вычисляет значение;

3) извлекает квадратный корень из дискриминанта;

4) записывает формулу корней и поочередно вычисляет каждый из них.

Шаг 4 можно упростить, найдя меньший корень и затем для нахождения большего корня останется только прибавить корень из дискриминанта — а он у нас уже посчитан на шаге 3. 

(В случае неприведенного квадратного уравнения нужно не забыть корень из дискриминанта разделить на старший коэффициент).

Вывод. Знание геометрического смысла дискриминанта квадратного уравнения позволяет ученикам получить наглядное представление о взаимосвязи корней и коэффициентов уравнения, упростить расчеты, уменьшить объем заучиваемой информации.

Редакція не несе відповідальності за наповнення блогів, вони є персональною думкою автора

Решение квадратных уравнений по формуле: алгоритм решения

 

Квадратным уравнением называют уравнение вида a*x^2 +b*x+c=0, где a,b,c некоторые произвольные вещественные (действительные) числа, а x – переменная. 2-4*a*c.

2. В зависимости от значения дискриминанта вычислить корни по формулам:

D<0, корней нет.

D=0, x=(-b/(2*a)

D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)

Данный алгоритм универсален и подходит для решения любых квадратных уравнений. Полных и не полных, приведенных и неприведенных.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspРешение задач с помощью квадратных уравнений: алгоритм и примеры

Памятка по теме «Квадратное уравнение»

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение – это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0.

 

Пример квадратного уравнения:

3×2 + 2x – 5 = 0.

Здесь а = 3, b = 2, c = –5.

 

Числа a, b и c – коэффициенты квадратного уравнения.

Число a называют первым коэффициентом, число b – вторым коэффициентом, а число c – свободным членом.

 

Приведенное квадратное уравнение.

Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, называют приведенным квадратным уравнением.

Примеры приведенного квадратного уравнения:

x2 + 10x – 11 = 0

x2 – x – 12 = 0

x2 – 6х + 5 = 0

здесь коэффициент при x2 равен 1 (просто единица во всех трех уравнениях опущена).

 

Неполное квадратное уравнение.

Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Примеры неполного квадратного уравнения:

-2×2 + 18 = 0

здесь есть коэффициент а, который равен -2, есть коэффициент c, равный 18, а коэффициента b нет – он равен нулю.

x2 – 5x = 0

здесь а = 1,  b = -5,  c = 0 (поэтому коэффициент c  в уравнении отсутствует).

Как решать квадратные уравнения.

Чтобы решить квадратное уравнение, надо совершить всего два действия:

1) Найти дискриминант D по формуле:

D = b2 – 4ac.

Если дискриминант – отрицательное число, то квадратное уравнение не имеет решения, вычисления прекращаются. Если D ≥ 0, то

2) Найти корни квадратного уравнения по формуле:

             –b ± √D
х1,2 = —————.
                  2а

Пример: Решить квадратное уравнение 3х2 – 5х – 2 = 0.

Решение:

Сначала определимся с коэффициентами нашего уравнения:

а = 3, b = –5, c = –2.

Вычисляем дискриминант:

D = b2 – 4ac = (–5)2 – 4 · 3 · (–2) = 25 + 24 = 49.

D > 0, значит, уравнение имеет смысл, а значит, можем продолжить.

Находим корни квадратного уравнения:

           –b + √D            5 + 7          12
х1 = ————— = ———— = —— = 2
               2а                    6              6

          –b – √D             5 – 7              2             1
х2 = ————— = ———— = – —— = – ——.
             2а                     6                  6             3

                                       1
Ответ: х1 = 2,  х2 = – ——.
                                       3

Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант.

Формула №1:

         —b ± √D
x =  ————,  где D = b2 – 4ac.
             2a

Латинской буквой D обозначают дискриминант.

Дискриминант — это выражение, от которого зависит число корней данного уравнения.

Если D < 0, то уравнение не имеет корней.

Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

Если D > 0, то уравнение имеет два корня.

Пример. Решим уравнение 12×2 + 7x + 1 = 0.

Сначала вычислим дискриминант.

Мы видим, что а = 12, b = 7, c = 1.

Итак:

D = b2 – 4ac = 72 – 4 · 12 · 1 = 49 – 48 = 1.

D > 0. Значит, уравнение имеет корни (причем два корня), а значит, можно вычислять дальше.

Чтобы найти корни, применим формулу корней квадратного уравнения:

         -b ± √D      -7 ± √1         -7 ± 1
x =  ———— = ———— = ————
             2a                24                 24

Находим оба значения x:

        -7 + 1        -6      -1          1
x1 = ——— = —— = — = – —
           24           24       4          4

 

         -7 – 1       -8       -1         1
x2 = ——— = —— = — = – — .
           24           24       3          3

 

                        1                   1
Ответ: x1 = – —,    x2 = – —
                        4                   3

 

Формула №2.

Из формулы №1 можно получить другую формулу, которой удобно пользоваться в случаях, когда второй коэффициент – четное число. В этом случае раскладываем его на множители, один из которых – множитель 2. То есть второй коэффициент представляем в виде 2k, где k – это половина изначально заданного числа. Тогда удобно пользоваться формулой:

      —k ± √D1
x = ————,   где D1 = k2 – ac
             a

Пример. Решим уравнение 5×2 – 16x + 3 = 0.

Записываем -16x в виде 2 · (-8x). Тогда k = -8, a = 5,  c = 3. Мы уже можем найти дискриминант D1:

D1 = k2 – ac = (-8)2 – 5 · 3 = 64 – 15 = 49.

Теперь находим оба значения x:

      -k ± √D1       — (-8) ± √49      8 ± 7
x = ———— =  ————— = ———
             a                     5                  5

Отсюда:

          8 + 7       15
x1 = ——— =  — = 3
            5            5

 

         8 – 7         1
x2 = ——— =  — = 0,2
             5           5 

 

Ответ: x1 = 3; x2 = 0,2.

 

При решении квадратного уравнения по данным формулам целесообразно поступать следующим образом:

1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;

2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней; если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.

Здесь будет файл: /data/edu/files/n1461134193.docx (Квадратное уравнение)

Квадратичная формула: решения и дискриминант

Purplemath

Приведем еще несколько примеров.

• Решите x ( x — 2) = 4. Округлите ответ до двух десятичных знаков.

Я не только не могу применить квадратичную формулу на данном этапе, но и не могу использовать множители. Зачем? Потому что это уравнение пока что в правильном виде.

И я, , конечно же, не могу с невозмутимым видом утверждать, что « x = 4, x — 2 = 4», потому что это , а не , как работает «решение с факторингом».

Независимо от того, какой метод решения я собираюсь использовать — факторизирую ли я на множители или использую квадратную формулу, чтобы найти свои ответы, — я должен сначала преобразовать уравнение в форму «(квадратичный) = 0».

MathHelp.com

Первое, что я сделаю здесь, это умножу на левую часть, а затем переместу 4 из правой части в левую:

x ( x -2) = 4

x ² -2 x = 4

x ² — 2 x — 4 = 0

Так как нет множителей при (1) (- 4) = –4, которые в сумме дают –2, то эта квадратичная величина не множится. (Другими словами, невозможно, чтобы решение с искусственным факторингом « x = 4, x — 2 = 4» могло быть хоть немного правильным.)

Значит, факторинг не сработает, но я могу использовать квадратичную формулу; в этом случае я вставлю значения a = 1, b = –2 и c = –4:

Тогда ответ:

x = –1.24, x = 3,24 с округлением до двух десятичных знаков.

---

Для справки, вот как выглядит график соответствующей квадратичной, y = x ² -2 x -4, выглядит так:

Как видите, решения квадратичной формулы совпадают с интерцепциями x . Точки пересечения графика с осью x дают значения, которые решают исходное уравнение.

Существует еще одна связь между решениями из квадратичной формулы и графиком параболы: вы можете определить, сколько x -перехватов вы получите, исходя из значения внутри квадратного корня. Аргумент (то есть содержание) квадратного корня, являющийся выражением b ² — 4 ac , называется «дискриминантом», потому что, используя его значение, вы можете «различать» (что уметь различать) различные типы решений.

В данном случае значение дискриминанта b ² — 4 ac было 20; в частности, значение было , а не ноль, и было , а не отрицательным. Поскольку значение не было отрицательным, уравнение должно было иметь по крайней мере одно (действительное) решение; поскольку значение не было нулевым, два решения должны были быть разными (то есть они должны были отличаться друг от друга).

---

• Решить 9 x ² + 12 x + 4 = 0.Оставьте свой ответ в точной форме.

Используя a = 9, b = 12 и c = 4, квадратичная формула дает мне:

Тогда ответ:

---

В первом примере на этой странице я получил два решения, потому что значение дискриминанта (то есть значение внутри квадратного корня) было ненулевым и положительным. В результате часть формулы «плюс-минус» дала мне два различных значения; один для «плюсовой» части числителя и другой для «минусовой» части. Однако в этом случае квадратный корень уменьшился до нуля, поэтому плюс-минус ни для чего не учитывался.

Такое решение, при котором вы получаете только одно значение, потому что «плюс или минус ноль» ничего не меняет, называется «повторяющимся» корнем, потому что x равно

^–2 / ₃ , но оно равно этому значению как бы вдвое: ^–2 / ₃ + 0 и ^–2 / ₃ — 0.

Вы можете лучше увидеть это повторение, если разложите квадратичный множитель (и, поскольку решения были хорошими точными дробями, квадратичный должен разложить на множитель): 9 x ² + 12 x + 4 = (3 x + 2) (3 x + 2) = 0, поэтому первый множитель дает нам 3 x + 2 = 0, поэтому

x = ^–2 / ₃ , и (из второго, идентичный коэффициент) 3 x + 2 = 0, поэтому x = ^–2 / ₃ снова.

Каждый раз, когда вы получаете ноль внутри квадратного корня квадратной формулы, вы получаете только одно решение уравнения в том смысле, что получаете одно число, которое решает уравнение. Но вы получите два решения в том смысле, что одно значение будет подсчитано дважды. Другими словами, дискриминант (то есть выражение b ² — 4 ac ) с нулевым значением означает, что вы получите одно «повторяющееся» значение решения.

---

Ниже показан график связанной функции, y = 9 x ² + 12 x + 4, выглядит так:

Парабола только касается оси x при

x = ^–2 / ₃ ; это на самом деле не пересекается.Это соотношение всегда верно: если у вас есть корень, который встречается ровно дважды (или, что то же самое, если вы получаете ноль внутри квадратного корня), то график «поцелует» ось в значении решения, но он не пройдет через ось.

---

Так как нет множителей при (3) (2) = 6, которые в сумме дают 4, эта квадратичная величина не множится. Но квадратичная формула работает всегда; в этом случае я буду вставлять значения a = 3, b = 4 и c = 2:

На данный момент у меня есть отрицательное число внутри квадратного корня.Если вы еще не узнали о комплексных числах, то вам придется остановиться здесь, и ответ будет «нет решения»; если вы знаете комплексные числа, то можете продолжить вычисления:

Таким образом, в зависимости от вашего уровня обучения ваш ответ будет одним из следующих:

решения с вещественными числами: нет решения

комплексно-числовых решений:

---

Партнер

---

Но независимо от того, знаете ли вы о комплексах или нет, вы знаете, что вы не можете изобразить свой ответ, потому что вы не можете изобразить квадратный корень из отрицательного числа в обычном декартовом месте. На оси x таких значений нет. Поскольку вы не можете найти графическое решение квадратичной функции, разумно не должно быть никаких перехватов x (потому что вы можете построить график с перехватом x ).

---

Вот график связанной функции, y = 3 x ² + 4 x + 2:

Как видите, график не пересекает ось x и даже не касается ее.Это соотношение всегда верно: если вы получите отрицательное значение внутри квадратного корня, тогда не будет решения действительного числа и, следовательно, не будет x -перехватов. Другими словами, если дискриминант (являющийся выражением b ² — 4 ac ) имеет отрицательное значение, то у вас не будет графических нулей.

(взаимосвязь между дискриминантом (являющимся значением внутри квадратного корня), типом решения (два различных решения, одно повторяющееся решение или отсутствие графически отображаемых решений) и количеством x -перехватов на графике (два , один или ни один) сведены в таблицу на следующей странице. 2 — 4ac}} {2a} $

Число D = b ² — 4ac называется «дискриминантом» .2-32 $ 90 331 $ y = 2 (x-3) (x + 5) $ Y-пересечение на
$ (0, -30) $ вершина в
$ (- 1, -32) $ x-перехватов на
$ (3, 0) $ и $ (- 5, 0) $

Парабола

График квадратного уравнения называется параболой .
Если a> 0, то его вершина указывает вниз:

Если a <0, то его вершина указывает вверх: Если a = 0, график не парабола, а прямая линия.

Вершина параболы равна $ x = — \ frac {b} {2a} $.

Формулы Виета

Если x ₁ и x ₂ являются корнями квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 затем:
$ x_1 + x_2 = — \ frac {b} {a} $
$ x_1x_2 = \ frac {c} {a} $
Эти формулы называются формулами Виета .
Мы можем найти корни x ₁ и x ₂ квадратного уравнения, решив совместные уравнения.

Задачи на квадратные уравнения

Задача 1. Решите уравнение:
x ² — 4 = 0
Решение: x ² -4 = (x — 2) (x + 2)
(x — 2) (x + 2) = 0
x — 2 = 0 или x + 2 = 0
Корни равны x = 2 или x = -2

Решение 2: a = 1, b = 0, c = -4
D = 0 ² — 4 ⋅ 1 ⋅ (-4) = 16
$ x_1 = \ frac {-b — \ sqrt {D}} {2a} = \ frac {- 0 — \ sqrt {16}} {2 \ cdot 1} = \ frac {-4} {2} = -2 $
$ x_2 = \ frac {-b + \ sqrt {D}} {2a } = \ frac {- 0 + \ sqrt {16}} {2 \ cdot 1} = \ frac {4} {2} = 2 $

---

Задача 2. Решите уравнение:
3x ² + 4x + 5 = 0
Решение: дискриминант D = 4 ² — 4⋅3⋅5 = 16-60 = -44 Итак, квадратное уравнение не имеет реальных корней.

---

Задача 3. Решите уравнение:
x ² + 4x — 5 = 0; х =?
Решение: Дискриминант равен 4 ² — (-4⋅1⋅5) = 16 + 20 = 36> 0
Уравнение имеет 2 действительных корня: $ \ frac {-4 \ pm \ sqrt {36} } {2}
$ x = 1 или x = -5

---

Задача 4. Решите уравнение:
x ² + 4x + 4 = 0; х =?
Решение: Дискриминант 4 ² — (4⋅1⋅4) = 16 — 16 = 0
Итак, есть одно реальное решение: $ x = \ frac {-4} {2} $
x = -2

---

Задача 5. Решите уравнение:
x ² — 13x + 12 = 0
Корни: 1, 12

---

Задача 6. Решите уравнение:
8x ² — 30x + 7 = 0
Корни: 3.2 — 4ac}} {2a} $

Квадратные уравнения на нашем математическом форуме

Задачи с квадратными уравнениями
Задачи с использованием формул Виета
Решение кубических и четвертых уравнений — 1

Форумы, посвященные квадратным уравнениям

BioMath: квадратичные функции

В этом разделе мы узнаем, как найти корень (корень) квадратного уравнения. Корни также называются перехватами x или нулями. Квадратичная функция графически представлена ​​параболой с вершиной, расположенной в начале координат, ниже оси x или выше оси x . Следовательно, квадратичная функция может иметь один, два или нулевой корень.

Когда нас просят решить квадратное уравнение, нас действительно просят найти корни. Мы уже видели, что завершение квадрата — полезный метод решения квадратных уравнений. Этот метод может быть использован для вывода квадратной формулы, которая используется для решения квадратных уравнений. Фактически, корни функции

f ( x ) = ax ² + bx + c

даются по квадратичной формуле.Корни функции — это перехваты x . По определению, координата y точек, лежащих на оси x , равна нулю. Поэтому, чтобы найти корни квадратичной функции, мы устанавливаем f ( x ) = 0 и решаем уравнение:

ax ² + bx + c = 0.

Мы можем сделать это, завершив квадрат как,

Решая x и упрощая, получаем

Таким образом, корни квадратичной функции имеют вид,

Эта формула называется квадратной формулой , и ее вывод включен, чтобы вы могли видеть, откуда она взялась. Мы называем термин b ² −4 ac дискриминантом . Дискриминант важен, потому что он говорит вам, сколько корней имеет квадратичная функция. В частности, если

1. b 2 −4 ac <0 Настоящих корней нет. 2. b 2 −4 ac = 0 Есть один действительный корень. 3. b 2 −4 ac > 0 Есть два настоящих корня.

Рассмотрим каждый случай индивидуально.

Случай 1: Настоящие корни отсутствуют

Если дискриминант квадратичной функции меньше нуля, эта функция не имеет действительных корней, а парабола, которую она представляет, не пересекает ось x . Поскольку квадратная формула требует извлечения квадратного корня из дискриминанта, отрицательный дискриминант создает проблему, потому что квадратный корень из отрицательного числа не определяется по действительной прямой. Пример квадратичной функции без действительных корней дается формулой

.

f ( x ) = x ² — 3 x + 4.

Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) отрицательный,

b ² −4 ac = (−3) ² — 4 · 1 · 4 = 9 — 16 = −7.

Эта функция графически представлена ​​открывающейся вверх параболой, вершина которой находится выше оси x.Таким образом, график никогда не может пересекать ось x и не имеет корней, как показано ниже,

Случай 2: Один настоящий корень

Если дискриминант квадратичной функции равен нулю, эта функция имеет ровно один действительный корень и пересекает ось x в одной точке. Чтобы увидеть это, мы устанавливаем b ² −4 ac = 0 в формуле корней квадратного уравнения, чтобы получить

Обратите внимание, что это координата x вершины параболы. Таким образом, парабола имеет ровно один действительный корень, когда вершина параболы лежит прямо на оси x . Простейший пример квадратичной функции, имеющей только один действительный корень, —

y = x ² ,

, где действительный корень равен x = 0.

Другой пример квадратичной функции с одним действительным корнем:

f ( x ) = −4 x ² + 12 x — 9.

Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) равен нулю,

b ² −4 ac = (12) ² — 4 · −4 · −9 = 144 — 144 = 0.

Эта функция графически представлена ​​параболой, которая открывается вниз и имеет вершину (3/2, 0), лежащую на оси x . Таким образом, график пересекает ось x ровно в одной точке (т.е. имеет один корень), как показано ниже,

Случай 3: два настоящих корня

Если дискриминант квадратичной функции больше нуля, эта функция имеет два действительных корня ( x -перехватывание). Извлечение квадратного корня из положительного действительного числа хорошо определено, и два корня равны,

Пример квадратичной функции с двумя действительными корнями:,

f ( x ) = 2 x ² — 11 x + 5.

Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) больше нуля,

b ² — 4 ac = (−11) ² — 4 · 2 · 5 = 121 — 40 = 81.

Эта функция графически представлена ​​открывающейся вверх параболой, вершина которой лежит ниже оси x . Таким образом, график должен пересекать ось x в двух местах (т.е. иметь два корня), как показано ниже,

*****

В следующем разделе мы будем использовать квадратную формулу для решения квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений

Дискриминант — Концепция — Алгебра Видео от Brightstorm

Дискриминант — это член под квадратным корнем в квадратной формуле, который сообщает нам количество решений квадратного уравнения. Если , дискриминант положительный, мы знаем, что у нас есть 2 решения. Если он отрицательный, решений нет, а если дискриминант равен нулю, у нас есть одно решение. Дискриминант вычисляется путем возведения в квадрат члена «b» и вычитания 4-кратного члена «а» на член «с».

Дискриминант — действительно удобный инструмент, когда вам кажется, что вы получаете странный ответ.Вот почему. Дискриминант сообщает вам, сколько существует решений квадратного уравнения или сколько пересечений по оси x существует для параболы. Он не говорит вам, каковы эти числа, каковы значения пересечения x, он просто говорит вам, сколько их должно быть. Звучит так, будто это бесполезно, но на самом деле это особенно важно, когда вы проверяете свою работу.
Вот как это выглядит. Дискриминант — это формула b в квадрате минус 4ac, помня, что a, b и c — это коэффициенты вашей квадратичной функции в стандартной форме. Он сообщает вам количество решений квадратного уравнения. Если дискриминант больше нуля, есть два решения. Если дискриминант меньше нуля, решений нет, а если дискриминант равен нулю, есть одно решение.
Это то, что вам просто нужно запомнить. Это идет рука об руку с формулой корней квадратного уравнения. Так что, если вы, ребята, это усвоили, это будет иметь большой смысл. Если вы еще не выучили квадратную формулу, вы, вероятно, выучите ее завтра на уроке математики.Просто знайте, что вы смотрите на то, действительно ли b в квадрате минус 4ac больше нуля, меньше нуля или равно нулю. И это говорит мне, сколько ответов я должен получить. Он не говорит мне, каковы ответы, просто сколько из них мне нужно, чтобы решить проблему.

Дискриминант в квадратных уравнениях — наглядное пособие с примерами, практическими задачами и бесплатным PDF-файлом для печати

Чтобы понять, что делает дискриминант, важно хорошо понимать:

Предварительное требование 2: Какое решение квадратное уравнение:

Ответ

Решение можно представить двумя разными способами. 2 + \ blue bx + \ color {green} c $$.

Графически, поскольку y = 0 — ось x, решение находится там, где парабола пересекает ось x. (работает только для реальных решений) .

На рисунке ниже левая парабола имеет 2 реальных решения (красные точки), средняя парабола имеет 1 реальное решение (красная точка), а самая правая парабола не имеет реальных решений (да, у нее есть мнимые решения).

Как выглядит дискриминант?

Ответ

Похоже на … число.

5, 2, 0, -1 — каждое из этих чисел является дискриминантом для 4 различных квадратных уравнений.

А что вообще такое дискриминант?

Ответ

Дискриминант — это число , которое может быть вычислено из любого квадратного уравнения. 2-4 \ cdot \ красный 3 \ cdot \ color {зеленый} 5 \\ \ text {Дискриминант} = \ в коробке {6} $

Что нам говорит эта формула?

Ответ

Дискриминант сообщает нам следующую информацию о квадратном уравнении:

• Если решение — действительное число или мнимое число.
• Если решение рациональное или иррациональное.2 + 2x + 1 $$.

  Практика 1

  Вычислите дискриминант, чтобы определить количество и характер решений следующего квадратного уравнения: $$ y = x² — 2x + 1 $$. 2-4 \ cdot \ red 1 \ cdot \ color {green} 1 \\ & = \ в коробке {0} \ end {выровнен} $$

  Поскольку дискриминант равен нулю, мы должны ожидать 1 реальное решение, которое вы можете увидеть на графике ниже.

  Практика 2

  Воспользуйтесь дискриминантом, чтобы узнать природу и количество решений: $$ y = x² — x — 2 $$.2-4 \ cdot \ red 1 \ cdot \ color {green} {-2} \\ & = 1 — -8 \\ & = 1 + 8 = \ 9 в коробке \ end {выровнен} $$

  Поскольку дискриминант положительный и рациональный, у этого уравнения должно быть 2 реальных рациональных решения. Как вы можете видеть ниже, если вы используете квадратичную формулу для поиска фактических решений, вы действительно получите 2 реальных рациональных решения.

  Практика 3

  Вычислите дискриминант, чтобы определить характер и количество решений: y = x² — 1.2} — 4 \ color {Magenta} {(1)} \ color {Blue} {(- 1)} = 4 $$

  Поскольку дискриминант положительный и представляет собой полный квадрат, у нас есть два вещественных решения, которые являются рациональными.

  Опять же, если вы хотите увидеть реальные решения и график, просто посмотрите ниже:

  Практика 4

  Вычислите дискриминант, чтобы определить характер и количество решений: y = x² + 4x — 5. 2} — 4 \ color {Magenta} {(1)} \ color {Blue} {(- 5)} \\ 16-4 (-5) = 16 +20 \\ = 36 $$

  Поскольку дискриминант этого квадратного уравнения является положительным и представляет собой полный квадрат, существует два рациональных решения.

  Практика 5

  Вычислите дискриминант, чтобы определить характер и количество решений: y = x² — 4x + 5.

  Покажи ответ

  В этом квадратном уравнении y = x² — 4x + 5. 2} — 4 \ color {Magenta} {(1)} \ color {Blue} {(5)} \\ = 16-20 = -4 $$

  Поскольку дискриминант отрицательный, у этого квадратного уравнения нет реальных решений. Единственные решения мнимые.

  Ниже приведено изображение этого квадратичного графика.

  Практика 6

  Найдите дискриминант, чтобы определить природу и количество решений: y = x² + 4. 2} — 4 \ color {Magenta} {(1)} \ color {Blue} {(4)} = -16 $$

  Поскольку дискриминант отрицательный, у этого квадратного уравнения есть два мнимых решения.

  Решения: 2i и -2i.

  Ниже приведено изображение этого графика уравнений.

  Практика 7

  Найдите дискриминант, чтобы определить природу и количество решений: y = x² + 25.2} — 4 \ color {Magenta} {(1)} \ color {Blue} {(25)} = -100 $$

  Поскольку дискриминант отрицательный, у этого квадратного уравнения есть два мнимых решения.

  Решения 5i и -5i.

  Все знаки указывают на дискриминант

  Все знаки указывают на дискриминант

  У вас когда-нибудь был один из этих Magic 8 Balls? Они выглядят как комично негабаритные шары для пула, но в них встроено плоское окно, так что вы можете видеть, что внутри — 20-гранный кубик, плавающий в отвратительной непрозрачной синей слизи.Предположительно, бильярдный шар обладает прогностическими способностями; все, что вам нужно сделать, это задать ему вопрос, встряхнуть, и медленно, мистическим образом, как покрытая нефтью печать, выходящая из разлива нефти, игральная кость поднимется к маленькому окошку и откроет ответ на ваш вопрос.

  Квадратное уравнение содержит своего рода Magic 8 Ball. Выражение b ² -4 ac под знаком радикала называется дискриминантом , и оно может фактически определить для вас, сколько решений имеет данное квадратное уравнение, если вы не хотите на самом деле вычислять их.Учитывая, что квадратное уравнение, которое невозможно сформулировать, требует большого количества работы для решения (квадратная формула изобилует тоннами арифметики, а для завершения квадратного метода требуется целая куча шагов), часто бывает полезно заглянуть в загадочную загадку, чтобы сделать Убедитесь, что уравнение даже имеет любых вещественных числовых решения, прежде чем вы потратите какое-либо время на их поиски.

  Talk the Talk

  Дискриминант — это выражение b ² -4 ac , которое определено для любого квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0.По знаку выражения можно определить, сколько действительных чисел имеет квадратное уравнение.

  Вот как работает дискриминант. Дано квадратное уравнение ax ² + bx + c = 0, подставьте коэффициенты в выражение b ² -4 ac , чтобы увидеть, что получится:

  • Если вы получите положительное число, у квадратичной будет два уникальных решения.
  • Если вы получите 0, квадратичная функция будет иметь ровно одно решение — двойной корень.
  • Если вы получите отрицательное число, у квадратичной не будет реальных решений, только два мнимых. (Другими словами, решения будут содержать и , о которых вы узнали в «Борьбе с радикалами».)

  Дискриминант не является магическим. Это просто показывает, насколько важен этот радикал в формуле корней квадратного уравнения. Если, например, его подкоренное выражение равно 0, то вы получите

  единственное решение. Если, однако, b ² — 4 ac отрицательно, то внутри квадратного корня в квадратной формуле будет отрицательное число, что означает только мнимые решения.

  Пример 4 : Не вычисляя их, определите, сколько реальных решений имеет уравнение 3 x ² — 2 x = -1.

  Решение : Установите квадратное уравнение равным 0, добавив 1 к обеим сторонам.

  У вас есть проблемы

  Задача 4: Не вычисляя их, определите, сколько реальных решений имеет уравнение 25 x ² -40 x + 16 = 0.

  Установите a = 3, b = -2 и c = 1 и оцените дискриминант.

  • b ² — 4 ac
  • = (- 2) ² — 4 (3) (1)
  • = 4-12
  • = -8

  Поскольку дискриминант отрицательно, квадратное уравнение не имеет вещественных числовых решений, только два мнимых.

  Выдержки из Полное руководство для идиотов по алгебре © 2004 У. Майкл Келли. Все права защищены, включая право на полное или частичное воспроизведение в любой форме. {2} -4ac [/ latex], он сообщает нам, являются ли решения действительными или комплексными числами, и сколько решений каждого типа ожидать.{2} -4x + 10 = 0 [/ latex] имеет два сложных решения.

  В последнем примере мы проведем корреляцию между количеством и типом решений квадратного уравнения и графиком соответствующей функции.

  Пример

  Используйте следующие графики квадратичных функций, чтобы определить, сколько и какого типа решений будет соответствующее квадратное уравнение [latex] f (x) = 0 [/ latex]. Определите, будет ли дискриминант больше, меньше или равен нулю для каждого из них.{2}} — 4ac [/ латекс]. Он определяет количество и тип решений квадратного уравнения. Если дискриминант положительный, существуют [latex] 2 [/ latex] вещественные решения. Если это [latex] 0 [/ latex], существует [latex] 1 [/ latex] реальное повторяющееся решение. Если дискриминант отрицательный, существуют [latex] 2 [/ latex] комплексные решения (но нет реальных решений).

  Дискриминант также может рассказать нам о поведении графика квадратичной функции.