Какое уравнение называется квадратным – Квадратное уравнение — это… Что такое Квадратное уравнение?

Posted on by alexxlab

Содержание

Корень квадратного уравнения — это… Что такое Корень квадратного уравнения?


Корень квадратного уравнения

Квадратное уравнение — уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a \ne 0.

Уравнение с вещественными коэффициентами

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами a,~b,~c может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта D = b2 − 4ac:

  • при D > 0 корней два, и они вычисляются по формуле
    x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a};
           (1)
  • при D = 0 корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:
    x = \frac{-b}{2a};
  • при D < 0 вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1), либо (без использования извлечения корня из отрицательного числа) формулой
    x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{-b^2+4ac}}{2a}.

Другие записи решений

Вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать эквивалентное выражение

x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2-ac}}a,

где k = b / 2. Это выражение является более удобным для практических вычислений при чётном b, то есть для уравнений вида ax2 + 2kx + c = 0.

Приведённое квадратное уравнение

Квадратное уравнение вида x2 + px + q = 0, в котором старший коэффициент a равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до

x_{1,2}= -\frac p2 \pm \sqrt{\left( \frac p2 \right)^2-q}.

Мнемонические правила

  • Из «Радионяни»:
    «Минус» напишем сначала,
    Рядом с ним p пополам,
    «Плюс-минус» знак радикала,
    С детства знакомого нам.
    Ну, а под корнем, приятель,
    сводится всё к пустяку:
    p пополам и в квадрате
    Минус несчастное прекрасное q.
  • Из «Радионяни» (другой вариант):
    p, со знаком взяв обратным,
    на два мы его разделим,
    и от корня аккуратно
    знаком «минус-плюс» отделим.
    А под корнем очень кстати
    половина p в квадрате
    минус q — и вот решенья,
    то есть корни уравненья.

Уравнение с комплексными коэффициентами

В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле (1) и указанным выше ее вариантам, но различимыми является только два случая: нулевого дискриминанта (один корень) и ненулевого (два корня).

Сумма корней приведённого квадратного уравнения x2 + px + q = 0 равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q:

x_1 + x_2 = -p, \qquad\qquad x_1x_2 = q.

В общем случае (для неприведённого квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0):

x_1 + x_2 = -b/a, \qquad\qquad x_1x_2 = c/a.

Разложение квадратного уравнения на множители

Если известны оба корня квадратного уравнения, его можно разложить по формуле

~ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).

В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов формулы квадрата суммы или разности.

См. также

Ссылки

  • Решение квадратных уравнений онлайн [1],[2],[3]

Wikimedia Foundation. 2010.

  • Корень женьшеня
  • Корень квадратный

Смотреть что такое «Корень квадратного уравнения» в других словарях:

  • Корень квадратный — Квадратный корень из (корень 2 й степени)  это решение уравнения вида . Несмотря на то, что в первую очередь под и подразумеваются числа, в различных рассмотрениях они могут быть математическими объектами различной природы, в том числе такими как …   Википедия

  • Корень (в математике) — Корень в математике, 1) К. степени n из числа а ≈ число х (обозначаемое ), n я степень которого равна а (то есть xn = а). Действие нахождения К. называют извлечением корня. При а ¹ 0 существует n различных значений К. (вообще говоря,… …   Большая советская энциклопедия

  • Квадратный корень — У этого термина существуют и другие значения, см. Корень (значения). Квадратный корень из (корень 2 й степени)  это решение уравнения вида . Наиболее часто под и подразумеваются числа, но в некоторых приложениях они могут быть и другими… …   Википедия

  • Разложение Квадратного трехчлена — Квадратное уравнение  уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где Содержание 1 Уравнение с вещественными коэффициентами …   Википедия

  • Разложение квадратного трехчлена — Квадратное уравнение  уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где Содержание 1 Уравнение с вещественными коэффициентами …   Википедия

  • Квадратные уравнения — Квадратное уравнение  уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где Содержание 1 Уравнение с вещественными коэффициентами …   Википедия

  • Кубический корень — График функции y = Кубический (кубичный) корень из a  решение уравнения (обычно п …   Википедия

  • Sqrt — Квадратный корень из (корень 2 й степени)  это решение уравнения вида . Несмотря на то, что в первую очередь под и подразумеваются числа, в различных рассмотрениях они могут быть математическими объектами различной природы, в том числе такими как …   Википедия

  • Метод Мюллера — итерационный численный метод для вычисления корня заданной функции f(x) = 0. Был представлен Давидом Мюллером в 1956 году. Метод Мюллера основан на методе секущих, который строит на каждом шаге итерации прямые, проходящие через две точки на… …   Википедия

  • ИСТИННЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ — еcтественного прироста нас., собственный коэффициент естественного прироста, коэффициент прогрессивности режима воспроиз ва, коэффициент Лотки, коэфф. естеств. прироста стабильного населения, соответствующего данному режиму воспроиз ва нас. И. к …   Демографический энциклопедический словарь


dic.academic.ru

Квадратные уравнения: приведённые уравнения, формулы корней

Квадратное уравнение или уравнение второй степени с одним неизвестным – это уравнение, которое после преобразований может быть приведено к следующему виду:

ax2 + bx + c = 0  – квадратное уравнение

где x – это неизвестное, а a, b и c – коэффициенты уравнения. В квадратных уравнениях a называется первым коэффициентом (a ≠ 0), b называется вторым коэффициентом, а c называется известным или свободным членом.

Уравнение:

ax2 + bx + c = 0

называется полным квадратным уравнением. Если один из коэффициентов

b или c равен нулю, или нулю равны оба эти коэффициента, то уравнение представляют в виде неполного квадратного уравнения.

Приведённое квадратное уравнение

Полное квадратное уравнение можно привести к более удобному виду, разделив все его члены на a, то есть на первый коэффициент:

Затем можно избавиться от дробных коэффициентов, обозначив их буквами p и q:

если  b = p,  а c = q,  то получится   x2 + px + q = 0
aa

Уравнение   x2 + px + q = 0   называется приведённым квадратным уравнением. Следовательно, любое квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, можно назвать приведённым.

Например, уравнение:

x2 + 10x — 5 = 0

является приведённым, а уравнение:

-3x2 + 9x — 12 = 0

можно заменить приведённым уравнением, разделив все его члены на -3:

x2 — 3x + 4 = 0

Решение квадратных уравнений

Чтобы решить квадратное уравнение, надо привести его к одному из следующих видов:

ax2 + bx + c = 0

ax2 + 2kx + c = 0

x2 + px + q = 0

Для каждого вида уравнения есть своя формула нахождения корней:

Вид уравненияФормула корней
ax2 + bx + c = 0
ax2 + 2kx + c = 0
x2 + px + q = 0
или
если коэффициент p нечётный

Обратите внимание на уравнение:

ax2 + 2kx + c = 0

это преобразованное уравнение   ax2 + bx + c = 0, в котором коэффициент b – четный, что позволяет его заменить на вид 2k. Поэтому формулу нахождения корней для этого уравнения можно упростить, подставив в неё 2k вместо b:

Пример 1. Решить уравнение:

3x2 + 7x + 2 = 0

Так как в уравнении второй коэффициент не является чётным числом, а первый коэффициент не равен единице, то искать корни будем по самой первой формуле, называемой общей формулой нахождения корней квадратного уравнения. Сначала определим, чему равны коэффициенты:

a = 3, b = 7, c = 2

Теперь, для нахождения корней уравнения, просто подставим значения коэффициентов в формулу:

x1 = -2 = —1,   x2 = -12 = -2
636

Пример 2:

x2 — 4x — 60 = 0

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1, b = -4,

c = -60

Так как в уравнении второй коэффициент – чётное число, то будем использовать формулу для квадратных уравнений с чётным вторым коэффициентом:

x1 = 2 + 8 = 10,   x2 = 2 — 8 = -6

Ответ: 10, -6.

Пример 3.

y2 + 11y = y — 25

Приведём уравнение к общему виду:

y2 + 11y = y — 25

y2 + 11y — y + 25 = 0

y2 + 10y + 25 = 0

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1, p = 10, q = 25

Так как первый коэффициент равен 1, то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с чётным вторым коэффициентом:

Ответ: -5.

Пример 4.

x2 — 7x + 6 = 0

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1, p = -7, q = 6

Так как первый коэффициент равен 1, то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с нечётным вторым коэффициентом:

x1 = (7 + 5) : 2 = 6,   x2 = (7 — 5) : 2 = 1

Ответ: 6, 1.

naobumium.info

Квадратное уравнение Википедия

Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение общего вида

ax2+bx+c=0,{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}

где x{\displaystyle x} — неизвестное, a{\displaystyle a}, b{\displaystyle b}, c{\displaystyle c} — коэффициенты, причём a≠0.{\displaystyle \quad a\neq 0.}

Выражение ax2+bx+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c} называют квадратным трёхчленом[1].

Корень — это значение переменной x{\displaystyle x}, обращающее квадратный трёхчлен в ноль, а квадратное уравнение в верное числовое равенство.

Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия[1]:

  • a{\displaystyle a} называют первым или старшим коэффициентом,
  • b{\displaystyle b} называют вторым, средним или коэффициентом при x{\displaystyle x},
  • c{\displaystyle c} называют свободным членом.

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице[1]. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент a{\displaystyle a}:

x2+px+q=0,p=ba,q=ca.{\displaystyle x^{2}+px+q=0,\quad p={\frac {b}{a}},\quad q={\frac {c}{a}}.}

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.

ru-wiki.ru

Обобщающий урок по теме «Квадратные уравнения»

«Никогда не считай, что ты знаешь всё, что тебе уже больше нечему учиться.»
Н.Д. Зеленский.

Цель урока:

  • Образовательная: закрепление и обобщение знаний учащихся полученные при изучении темы. Выработка умений и навыков по решению квадратных уравнений различного вида разными способами. Выработка умения выбрать нужный рациональный способ решения.
  • Развивающие: развитие логического мышления, памяти, внимания, умений сравнивать и обобщать, умения выступать с самостоятельными суждениями и отстаивать их.
  • Воспитательные: воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры. Умение работать в группах, развивать познавательную активность и логическое мышление учащихся, развитие интереса к предмету.

Тип урока: Урок обобщения и систематизации.

Ход урока

I. Организационный момент: сообщение темы и цели урока.

На протяжении многих уроков мы рассматривали квадратные уравнения и методы их решения. на этом уроке мы повторим и закрепим знания и умения решения квадратных уравнений различными способами. Каждый из вас должен уметь правильно, быстро и рационально решать квадратные уравнения. Эта тема очень важна в курсе математики, она является первой ступенькой в изучении более сложного материала. Вам дан ключ к решению квадратных уравнений, и если вы научились ими пользоваться, вы сможете решать любое квадратное уравнение. А сегодня вы покажите, насколько готовы пользоваться этим ключом.

II. Устно:

Вопросы:

1. Какое уравнение называется квадратным?

Ответ: Квадратным уравнением называется уравнение вида x — переменная, а, b, с- некоторые числа. Числа а, b, с называются коэффициентами квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, число b- вторым коэффициентом, число с- свободным членом.

2. Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями?

Ответ: Уравнения называются неполными квадратными уравнениями если b = 0 или с = 0.

3. Какое квадратное уравнение называется приведенным?

Ответ: Квадратное уравнение называют приведенным, если его старший коэффициент равен 1; Квадратное уравнение называют не приведённым, если старший коэффициент отличен от 1.

4. Что называют корнем квадратного уравнения?

Ответ: Корнем квадратного уравнения называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трёхчлен обращается в нуль. Такое значение переменной х называют также корнем квадратного трёхчлена.

5. Что значит решить квадратное уравнение?

Ответ: Решить квадратное уравнение - значит найти все его корни или установить, что корней нет.

6. Что определяют по дискриминанту квадратного уравнения?

Ответ: По дискриминанту квадратного уравнения определяют, сколько оно имеет корней.

Формулы:

 

 

Теорема Виета.

 

Задания для устной работы:

1.Задание на определение вида уравнения.

Ребята, здесь вы видите уравнения определенные по какому-то признаку. Как вы думаете, какое из уравнений каждой группы лишнее.

Ответ:

А: 3- лишнее, т.к. это полное квадратное уравнение, а 1;2;3-неполные квадратные уравнения.

Б: 2-лишнее, т.к. это уравнение общего вида, а 1;2;3- приведенные квадратные уравнения.

2. Не решая уравнения, найдите корни:

3. Какие из уравнений не имеют корней.

4. Не решая уравнение . Найдите:

 

5. Найдите сумму и произведение корней в следующих уравнениях

6. Ребята, посмотрите на эти уравнения и их корни. Попробуйте найти закономерность:

а) в корнях этих уравнений;

б) в соответствии между отдельными коэффициентами и их корнями;

в) в сумме коэффициентов.

Ответ:

а) что один из корней равен 1.

б) второй равен g или

в) сумма коэффициентов равна 0.

7. Сформулируйте правило?

Если в уравнении aх2 + bх + с = 0 сумма коэффициентов a + b + c = 0,

8. Способы решения квадратных уравнений

  • Выделения квадрата двучлена.
  • По формуле корней.
  • С помощью теоремы Виета..

IV. Работа в классе.

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа

Используя теорему Виета и утверждение a + b + c = 0,

найдите корень уравнения:

12. 13х2 + 18х — 31 = 0 12. 5х2 -27х + 22 = 0

13. Из пункта А одновременно выехали грузовой и легковой автомобили, один на север, другой на восток. Скорость легкового автомобиля на 20 км/ч больше скорости грузового. Через 1,5 ч расстояние между ними составило 150 км. Найдите скорости автомобилей.

V. Тест: «Квадратные уравнения. Теорема Виета»

1 вариант

1. Дискриминант какого из уравнений равен 121?

а) 3х2 -5х + 4 = 0; б) 3х2 +5х — 8 = 0; в) х2 -11х + 1 = 0; г) -3х2 — 11х — 8 = 0.

2. Решите уравнение: х2 — 8х + 7 = 0.

а) -1; 7; б) 1; -7; в) 1; 7; г) -1; ?7.

3. Найдите сумму корней уравнения: 4х2 + 22х - 7 = 0.

а) -22; б) корней нет; в) 22; г) -5,5.

4. Найдите произведение корней уравнения: 5х2 — 2х + 9 = 0.

а) 9; б) ?9; в) корней нет; г) 1,8.

5. Выделите квадрат двучлена из многочлена: х2 -8х — 11.

а) (х — 8)2 — 5; б) (х — 3)2 + х; в) (х — 4)2 — 5; г) (х — 4)2 — 27.

2 вариант

1. Дискриминант какого из уравнений равен 25?

а) 2х2 +7х + 3 = 0; б) -2х2 +7х + 3 = 0; в) х2 -5х + 1 = 0; г) -2х2 — 7х + 3 = 0.

2. Решите уравнение: х2 — 5х — 36 = 0.

а) 4; -9; б) -4; 9; в) 4; 9; г) -4; -9.

3. Найдите сумму корней уравнения: 5х2 — 13х + 9 = 0.

а) 13; б) -13; в) корней нет; г) 2,6.

4. Найдите произведение корней уравнения: 3х2 — 7х — 8 = 0.

а) -8; б) 2 в) корней нет; г) 8.

5. Выделите квадрат двучлена из многочлена: х2 +10х — 14.

а) (х — 10)2 — 6; б) (х + 6)2 — 22х; в) (х + 4)2 — 39; г) (х + 5)2 — 24.

Ответ:

  1 2 3 4 5
В ?1 б в г в г
В ?2 а б в б в

VI. Итог урока:

1. Сегодня мы повторили, как решаются квадратные уравнения и рассмотрели особенности их решения.

2. Сейчас посмотрим презентацию на тему: «Какую роль сыграло открытия способов решения квадратных уравнений в развитии математики?»

urok.1sept.ru

«Определение квадратного уравнения, его виды и способы решения»

Определение квадратного уравнения, его виды и способы решения

Определение: квадратным уравнением называется уравнение вида

                                                   ax2 + bx + c = 0,

 где  х- переменная, а,b и с-некоторые числа, причем,  а ≠ 0.  

 1)  Если в квадратном уравнении ах2 + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным  квадратным уравнением.

Неполные квадратные  уравнения бывают трёх видов:

1) ах2 + с = 0, где с ≠ 0;

2) ах2 + bх = 0, где b ≠ 0;

3) ах2 = 0.

2) Квадратное уравнение называют приведённым, если его первый коэффициент равен 1.

Различные способы решения квадратных уравнений:

разложение левой части уравнения на множители; метод выделения полного квадрата; решение квадратных уравнений по формуле; решение квадратных уравнений с использованием теоремы Виета; графическое решение квадратного уравнения; решение квадратных уравнений способом «переброски»; решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки; решение квадратных уравнений с помощью номограммы; геометрический способ решения квадратных уравнений. В школьном курсе алгебры применяются способы решения квадратных уравнений: метод выделения квадрата двучлена; решение квадратных уравнений с помощью формулы корней квадратного уравнения; разложение квадратного уравнения на линейные множители; решение уравнений с использованием теоремы Виета; графический способ решения квадратных уравнений.

Подробно исследуем способы решения квадратных уравнений: решение уравнений способом «переброски»; применение свойств коэффициентов квадратного уравнения.

Но прежде, чем исследовать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

  • не имеют корней;

  • имеют ровно один корень;

  • имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен.

2.2. Решение уравнений способом «переброски».

Суть метода состоит в том, что корни квадратных уравнений ax2 + bx + c = 0 и y2 + by + ac = 0 связаны соотношением: х =  .

Рассмотрим квадратное уравнение ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Умножая обе его части на а, получаем уравнение а²х² + аbх + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х =    ; тогда приходим к уравнению у² + bу + ас = 0, равносильному данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 = y1 / a и х2 = y2 / a. При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему. Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.1

Дано уравнение: 2х2 – 11х + 15 = 0. Решим данное уравнение способом «переброски»

«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение y2 – 11y + 30 = 0. (D>0), по теореме, обратной теореме Виета, подбором найдем корни

у1 + у2 = 11 ; у1 * у2 = 30

у1 = 5 ; у2 = 6 вернемся к корням исходного уравнения х1 = 5/2, x1 = 2,5 и x2 = 6/2, x2 = 3. Ответ: 2,5; 3.

Дано уравнение √3x2 – 5x – √12 = 0. Решим данное уравнение методом «переброски»

По методу «переброски» будем работать не с исходным, а с новым квадратным уравнением:

y2 – 5y – √12 · √3 = 0;

y2 – 5y – 6 = 0.

Находим числа, сумма которых равна 5, а произведение равно —6.

Легко видеть, что это будут числа 6 и —1. Тогда исходное уравнение будет иметь корни:

x1 = 6/√3;  x2 = —1/√3.

В знаменателе уберем иррациональность. Получим:

x1 = 2√3;  x2 = —√3/3.

Ответ: 2√3; -√3/3.

Рассмотренный метод очень эффективен при решении задач, он позволяет устно решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений, а не тратить время на вычисление дискриминанта. В некоторых случаях позволяет решить квадратное уравнение устно.

2.3. Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения.

Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение. Согласно теореме Виета

1.  Если а + b + с = 0 (т. е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1 = 1, х2 = .

Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

x2 + * x + = 0.

Согласно теореме Виета

x1 + x2 = — ,

x1 x2 = 1* .

2. Если а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

x1 + x2 = — а + = -1 – c/a,

x1 x2 = — 1* ( — ),

т.е. х1 = -1 и х2 = — .2

Дано уравнение: 345х2 – 137х – 208 = 0. Решим данное уравнение, применяя свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Так как а + b + с = 0 , (345 – 137 – 208 = 0), то

х1 = 1, х2 = . = -208/345.

Ответ: 1; -208/345.

Решим уравнение 2х2 – 6х + 4 = 0 также, применяя свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Так как а + b + с = 0, 2 – 6 + 4 = 0, то

х1 = 1; х2 =  = 4/2 = 2

Ответ: 1; 2. 

 Используя это свойство, решим уравнение 15х2 – 8х – 7 =0.

Так как a + b + c=0, 15 – 8 — 7 =0, то

х1 = 1; х2 = = -7/15

Ответ: 1; -7/15.

Решим уравнение 2x2 + 3x + 1 = 0 также, применяя свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Так как 3 = 2 + 1, (b = a + c), то

x1 = -1 x2 = (-c/a) = -1/2.

Ответ: -1; -1/2.

1 https://ru.wikipedia.org/wiki/Квадратное_уравнение.

2 https://ru.wikipedia.org/wiki/Квадратное_уравнение.

infourok.ru

Квадратные уравнения | LAMPA — онлайн-учебник, который каждый может улучшить

Определение

Уравнение вида ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 называется квадратным уравнением.

Величина D=b2−4acD=b^2-4acD=b2−4ac называется дискриминантом. От знака дискриминанта зависит, есть ли корни у квадратного уравнения.

Решение квадратного уравнения

  • Если дискриминант D=b2−4ac≥0D=b^2-4ac\ge 0D=b2−4ac≥0, то уравнение ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 имеет корни:

x1=−b−D2a,x2=−b+D2a.x_1=\frac{-b — \sqrt{D}}{2a},\,\,\,\, x_2=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a} {.}x1​=2a−b−D​​,x2​=2a−b+D​​. Заметим, что если D=0D=0D=0, то уравнение имеет единственный корень x1=−b2ax_1=-\frac{b}{2a}x1​=−2ab​.

  • Если D<0D\lt 0D<0, то корней нет.

Решим уравнение 2×2+3x−20=02x^2+3x-20=02×2+3x−20=0.
Сначала вычислим дискриминант: D=32−4⋅2⋅(−20)=9+160=169D=3^2-4\cdot 2\cdot (-20)=9+160=169D=32−4⋅2⋅(−20)=9+160=169. Заметим, что 169=132169=13^2169=132.
Корни уравнения равны x1=−3−1692⋅2=−3−134=−164=−4x_1=\frac{-3-\sqrt{169}}{2\cdot 2}=\frac{-3-13}{4}=-\frac{16}{4}=-4×1​=2⋅2−3−169​​=4−3−13​=−416​=−4 и x2=−3+1692⋅2=−3+134=104=2,5x_2=\frac{-3+\sqrt{169}}{2\cdot 2}=\frac{-3+13}{4}=\frac{10}{4}=2,5×2​=2⋅2−3+169​​=4−3+13​=410​=2,5.
У уравнения два корня: x1=−4x_1=-4×1​=−4 и x2=2,5x_2=2,5×2​=2,5.

Приведенное квадратное уравнение

Приведенное квадратное уравнение — квадратное уравнение, у которого коэффициент при x2x^2×2 равен единице: x2+px+q=0x^2+px+q=0x2+px+q=0.

x2−4x+4=0x^2-4x+4=0x2−4x+4=0 — приведенное квадратное уравнение.

Теорема Виета

Если x1,x2x_1, x_2x1​,x2​ — корни уравнения , то x1+x2=−p;x1x2=q.x_1 + x_2 = -p;\,\,\,\, x_1 x_2 = q{.}x1​+x2​=−p;x1​x2​=q.

Это означает, что приведенные квадратные уравнения можно решать, не используя формулы корней квадратного уравнения с дискриминантом, а подбирая такие числа x1x_1x1​ и x2x_2x2​, что x1+x2=−px_1+x_2=-px1​+x2​=−p, а x1x2=qx_1x_2=qx1​x2​=q.

Решим уравнение x2−20x+99=0x^2-20x+99=0x2−20x+99=0.
Представим число 999999 в виде произведения пары чисел. Это могут быть числа 999999 и 111, 333333 и 333, 111111 и 999, а также те же пары чисел с противоположными знаками. Среди этих пар чисел выберем такую пару, числа которой в сумме дают 202020. Это 111111 и 999. Это и есть корни уравнения. Вы можете проверить эти корни подстановкой.

Полный квадрат

Полный квадрат — это выражение вида (ax+b)2(ax+b)^2(ax+b)2.

В квадратном трехчлене x2+px+qx^2+px+qx2+px+q можно выделить полный квадрат: x2+px+q=(x+p2)2+q−p24x^2+px+q=(x+\frac{p}{2})^2+q-\frac{p^2}{4}x2+px+q=(x+2p​)2+q−4p2​.

Если дискриминант квадратного уравнения x2+px+q=0x^2+px+q=0x2+px+q=0 равен 000 (то есть D=p2−4q=0D=p^2-4q=0D=p2−4q=0), то x2+px+q=(x+p2)2x^2+px+q=(x+\frac{p}{2})^2×2+px+q=(x+2p​)2 и это квадратное уравнение имеет единственный корень x1=−p2x_1=-\frac{p}{2}x1​=−2p​.

Решим уравнение x2+6x+9=0x^2+6x+9=0x2+6x+9=0.
Дискриминант этого уравнения равен D=62−4⋅9=36−36=0D=6^2-4\cdot 9=36-36=0D=62−4⋅9=36−36=0. Значит, x2+6x+9=(x+3)2x^2+6x+9=(x+3)^2×2+6x+9=(x+3)2 (чтобы в этом убедиться, раскройте скобки, применив формулу квадрата суммы). Уравнение имеет единственный корень x1=−3x_1=-3×1​=−3:x2+6x+9=0⇔(x+3)2=0⇔x+3=0⇔x=−3.x^2+6x+9=0\Leftrightarrow (x+3)^2=0\Leftrightarrow x+3=0\Leftrightarrow x=-3{.}x2+6x+9=0⇔(x+3)2=0⇔x+3=0⇔x=−3.

lampa.io

Все о квадратном уравнении

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

  • Систематизировать и обобщить знания и умения по теме “Квадратное уравнение”: определение, неполные уравнения, решение уравнения выделением квадрата двучлена, формула корней квадратного уравнения, теорема Виета, биквадратные уравнения.
  • Развивать коммуникативно-технические умения, навыки коллективного труда, умение распределять обязанности.
  • Воспитывать интерес к предмету.

Форма урока: многосерийный фильм “Квадратное уравнение”, каждая серия которого отражает один из перечисленных выше разделов теоретического материала.

Оборудование: карточки с вопросами по теории, карточки с заданиями практического характера, доска, компьютер, проектор, презентация для проверки теоретических знаний.

Подготовка к уроку:

Класс делится на пять групп, каждой группе дается карточка, содержащая вопросы по теории и практические задания одного раздела. Каждая группа учащихся работает самостоятельно и должна по окончании работы создать сценарий одной серии фильма, в котором обязательно должно быть следующее:

  • Краткий конспект по теории с ответами на поставленные учителем вопросы.
  • Решение всех практических заданий.
  • Четыре варианта заданий для остальных групп.

После обсуждения всех пяти сценариев каждая группа должна решить 4 варианта, подготовленные другими “съемочными” группами.

Ход урока

Нет повести обширнее, наверное,
Чем повесть о квадратном уравнении…

I. Организационный момент (слайд 1).

Учитель распределяет учеников на 5 групп и рассаживает их компактно, для удобной работы. Раздает всем группам заранее подготовленные карточки с теоретическими вопросами и практическими заданиями. Группа выбирает “режиссера” — для написания конспекта и ответов на вопросы, остальные учащиеся распределяют работу по решению задач и написанию задания для других групп. Время для написания сценария — 15 минут.

II. Систематизация теоретического материала.

Серия 1: “Определение квадратного уравнения, неполные уравнения” (слайд 2).

1. Какие уравнения называют квадратными? (слайд 3)

Квадратным уравнением называют уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и с – любые действительные числа, причём а 0.

2. Как называются коэффициенты квадратного уравнения?(слайд 4)

а – первый или старший коэффициент,

b – второй коэффициент,

с – свободный член.

3. Какие уравнения называют приведёнными? Как из полного уравнения получить приведённое? (слайд 5)

Приведённым квадратным уравнением называют уравнение вида Нужно полное квадратное уравнение разделить на коэффициент а.

4. Какие бывают неполные квадратные уравнения?

  • Если а 0, b = 0, с = 0, то ах2 = 0.
  • Если а 0, b ? 0, с = 0, то ах2 + bx = 0.
  • Если а 0, b = 0, c 0, то ах2 + с = 0.

5. Описать методы решения неполных квадратных уравнений.

  • ах2 = 0, х = 0.
  • ах2 + bx = 0, х(ах + b) = 0, х1 = 0, х2 = — b/a.
  • ах2 + с = 0, x2 = — c/a, x1,2 = — c/a.

Серия 2. “Решение квадратного уравнения выделением квадрата двучлена” (слайд 8)

1. Запишите формулы сокращённого умножения: квадрат суммы и квадрат разности (слайд 9).

  • Квадрат суммы (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
  • Квадрат разности (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

2. Решите уравнения: (x + k)2 = 0 и (x – k)2 = 0 (слайд 10).

  • (x + k)2 = 0, x + k = 0, x = – k.
  • (x – k)2 = 0, x – k = 0, x = k.

3. Запишите алгоритм решения приведённого квадратного уравнения методом выделения квадрата двучлена (слайд 11).

  • x2 + 2px + q = 0;
  • x2 + 2px + p2 = p2 – q;
  • (x + p)2 = p2 – q;
  • x + p = p2 – q, если p2 – q 0;
  • x1,2 = – p p2 – q.

Серия 3. “Формула корней квадратного уравнения” (слайд 12).

1. Запишите общую формулу квадратного уравнения (слайд 13).

ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и с – любые действительные числа, причём а 0.

2. Что такое дискриминант? (слайд 14)

D = b2 – 4ac.

3. Какая зависимость между знаком дискриминанта и количеством решений квадратного уравнения? (слайд 15)

  • если D > 0, то уравнение имеет два корня;
  • если D = 0, то уравнение имеет один корень;
  • если D < 0, то уравнение корней не имеет.

4. Запишите формулу корня уравнения, если D = 0. (слайд 16)

если D = 0, то x = – b/2a.

5. Запишите формулу корней уравнения, если D > 0. (слайд 17)

если D > 0, то

Серия 4. “Теорема Виета” (слайд 18)

1. Запишите формулу приведённого квадратного уравнения. (слайд 19)

x2 + px + q = 0

2. Чему равен дискриминант приведённого квадратного уравнения?(слайд 20)

D = p2 – 4q.

3. Сформулируйте теорему Виета для приведённого квадратного уравнения (слайд 21)

“Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену”

х1 + х2 = – р; х1 * х2 = q.

4. Запищите формулы Виета для квадратного уравнения общего вида (слайд 22)

5. Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета. (слайд 23)

Если числа х1 и х2 таковы, что х1 + х2 = – р и х1 * х2 = q, то эти числа – корни уравнения х2 + рх + q = 0.

Серия 5. “Биквадратные уравнения” (слайд 24)

1. Запишите общий вид биквадратного уравнения. (слайд 25)

ax4 + bx2 + c = 0

2. Приведите алгоритм решения биквадратного уравнения. (слайд 26)

  • ввести новую переменную х2 = t;
  • сделать замену в уравнении: at2 + bt + c = 0;
  • найти корни полученного уравнения:

  •  сделать обратную подстановку: 1) х2 = t1, 2) x2 = – t2;
  • если t > 0, то х = vt,
  • если t = 0, то х = 0,
  • если t < 0, то корней нет.

III. Практическая часть.

Каждая “съёмочная группа” выполняет решение уравнений различными способам и нахождение значений выражения с помощью теоремы Виета. (Приложение)

IV. Подведение итогов.

По ходу урока в процессе представления сценария, решения практических заданий (своих и заданий других групп) учитель оценивает в баллах работу каждой группы учащихся. По окончании урока полученные баллы суммируются, и на этом основании утверждается наиболее результативный сценарий.

V. Домашнее задание. (слайд 27)

Пункт 3.7. Прочитать, сделать необходимые записи в справочник.

urok.1sept.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *