Квадратичная функция творит чудеса
Наступает первое сентября, и счастливые родители ведут свое чадо первый раз в первый класс. А дальше дорога для большинства учащихся длиною в 11 лет. Математика с ними на всем пути, но не у всех детей прирожденная склонность к ней.
Перед учителем встает ряд нелегких проблем. Выделим три из них:
1. Искать те крупицы воздействия на учащихся, которые способствовали бы стремлению приобретать знания, расширять их, а значит помогать начинать мыслить, включаться в урок.
2. Сделать урок таким, чтобы осталась пища для размышлений.
3. Предвидеть, что есть учащиеся с тягой к гуманитарным наукам, и стремиться помочь пробудить в них желание погрузиться в математический мир, но одновременно не забывать увлеченных математикой и давать пищу жаждущему ее уму.
О том, как этот материал можно использовать с целью попытки решения тех проблем, которые выделили выше, дальше пойдет речь.
Наш век – век компьютеров, значит, они должны работать и на уроках математики, а не только на уроках информатики. Мы предлагаем воспользоваться программой, по которой возможно выполнить эти 6 рисунков. Программа выполнена в формате интернет-страниц.
Все графики вычерчиваются исходя из математических формул. На экране отображается координатная сетка и оси. При нажатии на изображение уравнения происходит вычерчивание графика, причем это построение можно повторить несколько раз. Размер чертежа можно увеличить или уменьшить, что позволяет уточнить координаты той или иной точки. Программу, выполняющую данные построения, можно найти в Интернете по адресу http://kgpu.real.kamchatka.ru
Приводим наши предложения о том, что можно добавить к материалу при изучении квадратичных функций и как это сделать.
Начнем с фрагмента начала урока перед рассмотрением построения графика квадратичной функции «y=ax2«.
На экране телевизора или компьютера медленно вырисовываются в разных цветах части парабол, которые в итоге дают изображение лягушки.
Учитель замечает, что детали для рисунка предоставила нам очень интересная функция, называемая квадратичной, построение графиков которой – цель нашего урока. После освоения материала (на него уйдет не один урок) каждый сможет сам рисовать, а проверять свои художества можно, используя компьютер. Учитель примерно так вводит учащихся в новую тему.
Какая задумка была у учителя в самом начале урока? Вызвать эмоциональные переживания через удивление. На это работает необычность приводимого факта, красота обозреваемого объекта, скорость получения результата…
В этом случае внутренние переживания ученика подключаются к таким процессам, как запоминание, внимание, осмысливание. Они будут протекать более интенсивно и способствовать достижению решаемых задач в обучении.
В конце урока в качестве итога учитель обращает внимание на материал стенда, который до этого был закрыт “Изучаем на уроке”.
На нем привлекает внимание лягушонок, который запомнился учащимся и держит их в ожидании нового урока. Этого нам очень хотелось бы достичь. Потому приведены все функции, принимавшие участие в выполнении рисунка. Они отличаются от тех, с которыми учащиеся имели дело на прошедшем уроке, что особо подмечал учитель.
Там же запечатлена хроника начала урока с конкретизацией ряда моментов в шутливой стихотворной форме и подчеркнута возможность ученика, усвоившего изучаемый материал, в дальнейшем так же, как компьютер, рисовать графиками функции.
Творчески работающий учитель найдет, где и как использовать при изучении программного материала нижеследующие задания. Они будоражат фантазию, развивают эстетические наклонности, приобщают к поиску, пониманию математических истин, увлекают в загадочный мир знаний.
Задание 1.
1) Построить график функции и сделать трафарет.
2) С помощью трафарета дорисовать построенную параболу до того, на чем остановится Ваша фантазия. При этом трафарет можно переворачивать, перемещать влево или вправо, вверх или вниз, использовать любую его часть и оси координат.
3) Записать формулы парабол, прямых, которые определили Ваш рисунок.
Приводим пример выполнения задания 1. Парабола построена .
После несложных размышлений принято решение рисовать тюльпан. Из параболы получается цветок, если ее прервать, проведя вверху изящную волнистую линию. Ось игреков от точки О вниз – это стебелек, справа и слева от него можно сделать по листочку.
Наши действия: трафарет переворачиваем (т.е. ветви направляем вниз) и перемещаем по параболе…
Находятся такие точки С, D, Е, которые после совмещения (трижды) с точкой О (на трафарете) дадут нужную линию.
Запишем формулы трех парабол, позволившие это сделать. Работает формула , где точка (m; n) — вершина параболы. У нас первая точка С (-4; 19) – вершина одной из парабол, а именно . Мы обводим только участок параболы при . Аналогичным будет подход в описании всех остальных случаев.
В итоге тюльпан рисовали семь квадратичных функций и одна линейная:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Задание 2.
Графиками функций [3] сделать рисунок, дать ему название.
Например. Даны функции:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Учащиеся строят графики, получают рисунок. Если не сделано ошибок, он должен выглядеть так, как показано:
Задание 3.
После завершения работы над заданием 2, проверить правильность его выполнения на компьютере.
Задание 4.
Придумать рисунки, которые создадут графики функций (квадратичной и линейной) и записать эти функции аналитически.
Задание 5.
Выполнить желаемые рисунки (кошка, птица, динозаврик, верблюд, фазан, сидящая кошка, голова женщины, соболь, женщина с ведрами) графиками функций: параболами, прямыми, воспользовавшись материалами, опубликованными в [2].
Задание 6.
Перед Вами ландыш – , рыба — «, лицо клоуна – . Напишите формулы функций, которые их определили, если они выполнены с помощью только трафарета графика функции .
Замечание.
Рисунок ландыша выполнили графики 19 функций, рыбы – 16 функций; над изображением лица клоуна трудились графики 17 функций.
Список литературы
1. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Под ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2002.
2. Цукарь А.Я. Рисуем графиками функций // Математика. – 1999. – № 7, № 22, № 23, № 24, № 25.
3. Цукарь А.Я. Рисуем графиками функций // Математика в школе. – 1999. – № 4. – С. 80-81.
urok.1sept.ru
Проектная работа по теме «Построение рисунков с помощью графиков функций» (9 класс)
XXV районная научно-практическая конференция
школьников Динского района
Секция: математика
Построение рисунков с помощью графиков функций.
Выполнила:
Ржевская Диана
ученица 9а класса
БОУ СОШ №31
МО Динской район.
Научный руководитель:
Баранова М.Н.
учитель математики
БОУ СОШ №31
МО Динской район
2014 год
Аннотация
к работе по теме «Построение рисунков с помощью графиков функций» ученицы 9а класса БОУ СОШ №31 МО Динской район
Ржевской Дианы.
Цель работы: описать рисунок «Черепашка» с помощью уравнений графиков функций.
Для этого ученицей изучен теоретический материал по темам «Графики элементарных функций», «Преобразования графиков функций». Найден дополнительный иллюстративный материал по теме работы.
Цель практической работы №1 – отработка навыков построения графиков. Её выполнение позволило ученице применить свои теоретические знания на практике при построении рисунков.
В практической работе №2 Диана самостоятельно описала рисунок «Черепашка» с помощью уравнений графиков функций (линейной и квадратичной). Проверила правильность выполнения всех заданий практических работ с помощью программы «Учебное электронное издание математика 5-11» /Дрофа –ДОС для НФПК/.
Цель работы достигнута. Рисунок «Черепашка» описан с помощью графиков функций. Сделан вывод о том, что при выполнении рисунка достаточно использовать лишь линейные функции.
Учитель математики БОУ СОШ №31
МО Динской район М.Н. Баранова
Оглавление
Введение………………………………………………………………4
Практическая работа №1 «Построение рисунков с помощью графиков функций»……………………………………………………………..5
А) «Птица»……………………………………………………………5
Б) «Очки»…………………………………………………………….6
В) «Лягушка»…………………………………………………………6
Г) «Зонтик»…………………………………………………………..6
Д) «Динозаврик»…………………………………………………….7
Е) «Верблюд»………………………………………………………..7
3. Практическая работа №2 «Создание рисунка «Черепашка» и описание его с помощью уравнений графиков функций»………………………………8
4. Заключение……………………………………………………………….12
5. Литература………………………………………………………………..12
6. Приложения………………………………………………………………13
А) Приложение №1…………………………………………………………13
Б) Приложение №2…………………………………………………………14
В) Приложение №3…………………………………………………………15
Г) Приложение №4…………………………………………………………16
Д) Приложение №5…………………………………………………………25
Е) Приложение №6 (шаблоны графиков функций)………………………27
Введение
Функция – это одно из основных математических понятий, выражающее зависимость между переменными [1].
График функции – это один из способов представления функции. Представить какую-либо функцию можно разными способами. Например, табличным или графическим [1].
Табличный способ предпочитают тогда, когда трудно вычислять значения функции [1].
Графический способ представления функции – самый наглядный. График функции – это линия, дающая цельное представление о характере изменения её уравнения [1].
В школьной программе мы изучаем самые простейшие графики и их преобразования.
Помимо графиков функций, изучаемых нами в школе, существую и другие, интересные и «красивые» графики. Например, кардиоида, астроида, декартов лист, лемниската Бернули, спираль Архимеда и другие (Приложение №1) [2].
Живая природа демонстрирует нам многочисленные графики живых организмов. Например, березовый долгоносик, изготовляя колыбельку для своего детёныша, на листке вырезает эволюту. Паук плетёт паутину, которая выглядит как логарифмическая спираль [3].
Если взглянуть на форму многих галактик, то можно обнаружить, что некоторые из них имеют форму логарифмической спирали. Галактика млечный путь – типичная спиральная галактика [3]. (Приложение 2).
Но форму логарифмической спирали имеют не только объекты астрономии, но и, например: рога козлов, паутина, ракушки многих улиток, расположение семечек в цветке подсолнуха. Так же широкое применение нашла логарифмическая спираль в экономике [3].
Так же было установлено, что с помощью математических уравнений можно описать движение. Так, существуют математические уравнения колебания струны, математического маятника и другие.
Почти 40 лет назад, 1968 год… группа под руководством Николая Николаевича Константинова создает математическую модель движения животного (кошки). Машина БЭСМ -4, выполняя написанную программу решения обыкновенны (в математическом смысле слова) дифференциальных уравнений, рисует мультфильм «Кошечка» (Приложение№3), содержащий даже по современным меркам удивительную анимацию движений кошки, созданную компьютером.
В этой работе рассматриваются различные элементарные функции. Работа включает в себя две практические работы: «Построение рисунков с помощью графиков функций», «Создание композиции «Черепашка» и описание её с помощью уравнений графиков функций».
Я представляю два варианта выполнения рисунков: ручной и электронный. Электронный вариант осуществлён с помощью программы «Учебное электронное издание математика 5-11».
Цель этих практических работ: применение навыков построения, преобразования графиков функций при создании рисунков и применение навыков преобразования графиков функций при составлении композиции.
Практическая работа №1
Тема: «Построение рисунков с помощью графиков функций».
Цель работы: применение навыков построения графиков.
Оборудование: шаблоны графиков функций, линейка, карандаш, «Учебное электронное издание математика 5-11».
Задание №1.
Построить рисунок «Птица» [4] по заданным уравнениям графиков функций:
у = (-4/27) х2 +6, xϵ[0;9];
у = (1/9) (х-7)2 -4, xϵ[-2;7];
у = -0,5( х+2)2 +8, xϵ[-4;0];
у = (-1/16) (х+2)2 +5, xϵ[-6;2];
у = х+10, xϵ[-6;-4];
у = -х+3, xϵ[7;9];
у = 0,5х-1, xϵ[-6;1];
у = 0,5х-2,5, xϵ[-5;2].
Задание №2.
Построить рисунок «Очки» [4] по заданным уравнениям графиков функций:
у = (-1/16) (х+5)2 +2, xϵ[-9;-1];
у = (-1/16) (х-5)2 +2, xϵ[1;9];
у = (1/4) (х+5)2 -3, xϵ[-9;-1];
у = (1/4) (х-5)2 -3, xϵ[1;9];
у = -(х+7)2 +5, xϵ[-9;-6];
у = — (х-7)2 +5, xϵ[6;9];
у = 0,5х2 +1,5, xϵ[-1;1].
Задание №3.
Построить рисунок «Лягушка» [4] по заданным уравнениям графиков функций:
у = (-3/49) х2 +8, xϵ[-7;7];
у = (4/49) х2 +1, xϵ[-7;7];
у = -0,75 (х+4)2 +11, xϵ[-6,8;-2];
у = -0,75 (х-4)2 +11, xϵ[2;6,8];
у = -(х+4)2 +9, xϵ[-5,8;-2,8];
у = — (х-4)2 +9, xϵ[2,8;5,8];
у = (4/9)х2 -5, xϵ[-4;4].
у = (4/9) х2 -9, xϵ[-5,2;5,2];
у = (-1/16) (х+3)2 -6, xϵ[-7;-2,8];
у = (-1/16) (х-3)2 -6, xϵ[2,8;7];
у = (1/9)(х+4)2 -11, xϵ[-7;0];
у = -(1/9)(х-4)2 -11, xϵ[0;7];
у = -(х+5)2, xϵ[-4,5;-7];
у = — (х-5)2, xϵ[4,5;7];
у = (2/9)х2 +2, xϵ[-3;3].
Задание №4.
Построить рисунок «Зонтик» [4] по заданным уравнениям графиков функций:
у = (-1/18) х2 +12, xϵ[-12;12];
у = (-1/8) х2 +6, xϵ[-4;4];
у = (-1/8) (х+8)2, xϵ[-12;-4];
у = (-1/8) (х-8)2, xϵ[4;12];
у = 2(х+3)2 -9, xϵ[-4;-0,3];
у = 1,5(х+3)2 -10, xϵ[-4;-0,2].
Задание №5.
Построить рисунок «Динозаврик» [4] по заданным уравнениям графиков функций:
у = (-1/8) х2 +5, xϵ[-5,2;4];
у = (-5/16) (х-8)2 +8, xϵ[4;12];
у = -0,5 (х+7)2 +3, xϵ[-9;-5];
у = -0,5 (х-10)2 +1, xϵ[8;12];
у = (х+3)2 -7, xϵ[-5;-1];
у = (х-4)2 -7, xϵ[2;6];
у = -х -8, xϵ[-9;-5].
у =3 (х-7), xϵ[6;8];
у = (4/9) (х-0,5)2 -4, xϵ[-1;2];
у = 0,5(х-11)2 -7, xϵ[9;13].
Задание №6.
Построить рисунок «Верблюд» [4] по заданным уравнениям графиков функций:
у = -0,5х2 +4, xϵ[-2;2];
у = -0,5(х+4)2 +4, xϵ[-6;-2];
у = 0,5 (х-3)2 +1,5, xϵ[2;6];
у = -0,5 (х-8)2 +8, xϵ[6;10,5];
у = (х-9,5)2 +4, xϵ[8,5;10,5];
у = -0,5(х-8,5)2 +5, xϵ[4;8,5];
у = (1/8) (х+3)2 -5, xϵ[-7;1].
у =-0,25 (х+6)2 +2, xϵ[-11;-6];
у = 3 (х+6), xϵ[-8;-7];
у = -3х, xϵ[1;2].
Ход работы.
Изготовление шаблонов графиков функций.
Построение рисунка с помощью шаблонов.
Построение рисунка с помощью электронного приложения «Учебное электронное издание математика 5-11» [5]. (Приложение №4, рис.1-рис.12)
Практическая работа №2
Тема: «Создание рисунка «Черепашка» (приложение 5 рис. 1) и описание ее с помощью уравнений графиков функций».
Цель работы» применение навыков построения графиков функций, преобразование графиков функций при составлении рисунка, задание полученных графиков функций их уравнениями.
Оборудование: компьютерная программа « Учебное электронное издание математика 5-11» /Дрофа – ДОС для НФПК/; бумага масштабно- координатная, формат А4; линейка; карандаш.
Ход работы:
Перенесём готовый рисунок «Черепашка» на масштабно-координатную бумагу. Который будет эскизом. Зададим на этом эскизе координатную плоскость Оху. Разобьём элементы этого рисунка на части и опишем каждую из них с помощью уравнений графиков функций. Затем построим с помощью программы «Учебное электронное издание математика 5-11» эти графики, получив необходимый рисунок (приложение 5 рис. 2).
Построение графиков:
Опишем участок рисунка А1В1 с помощью уравнения какого-то графика. Этот участок напоминает параболу, ветви которой направлены вниз.
У=ах2
Найдем координаты точек А1 и В1 в системе координат О1х1у1
А1(-2,6;-1), В1(0;0)
-1,3=а*(-2,6)2
-1=а*6,76
а=-1/6,76=-100/676=-50/338=-25/169
у=-25/169 х2
Найдем координаты вершины В1 в системе координат Оху (9;11,8)
у=-25/169(х-9)2+11,8
Промежуток [6,4; 10,8]
Построим график полученной функции с помощью компьютерной программы «Учебной электронное издание математики 5-11 Дрофа-ДОС для НФПК».
Опишем участок рисунка А2А4 с помощью уравнение какого-то графика. Этот участок напоминает прямую.
А2(х2;у2) ; А4(х4;у4)
А2(14,6; 6,8) ; А4(14,9; 6)
у=(х-х2)(у4-у2)/(х4-х2)+у2
у=(х-14,6)(6-6,8)/(14,9-14,6)+6,8
Промежуток [14,6; 14,9]
Построим график полученной функции с помощью программы «Учебной электронное издание математика 5-11 Дрофа-ДОС для НФПК»
Ход работы:
у=-47/121(х-9)2+11,8 хϵ[9; 14,6]
у=51/361(х-11)2+5, 4 хϵ[11; 14,9]
у=32/405(х-11)2+5,4 хϵ[6,5; 11]
у=(х-6,5)(7,5-7)/(6,2-6,5)+7 хϵ[6,2;6,5]
у=(х-6,2)(8,2-7,5)/(6,1-6,2)+7,5 хϵ[6,1;6,2]
у=(х-6,1)(9,8-8,2)/(6,7-6,1)+8,2 хϵ[6,1;6,7]
у=(х-6,7)(10,2-9,8)/(6,8-6,7)+9,8 хϵ[6,7;6,8]
у=(х-6,8)(10,8-10,2)/(6,4-6,8)+10,2 хϵ[6,4;6,8 ]
у=(х-14,6)(6,4-6,8)/(15,5-14,6)+6,8 хϵ[14,6;15,5]
у=-2,5(х-15,5)2+6,4 хϵ15,5; 15,9]
у=5/162(х-11)2+4,7 хϵ[11; 14,6]
у=(х-15,9)(4,9-6,1)/(14,6-15,9)+6,1 хϵ[14,6;15,9]
у=55/784(х-11)2+4,7 хϵ[5,4; 11]
у=(х-5,4)(8-7)/(5,1-5,4)+7 хϵ[5,2;5,2]
у=(х-5,1)(8,4-8)/(5,2-5,1)+8 хϵ[5,2;5,3]
у=(х-5,2)(9-8,4)/(5,4-5,2)+8,4 хϵ[5,2;5,4]
у=(х-5,4)(9,5-9)/(5,7-5,4)+9 хϵ[5,4;5,7]
у=(х-5,7)(10,1-9,5)/(5,9-5,7)+9,5 хϵ[5,7;5,9]
у=(х-5,4)(10,8-10,8)/(6,4-5,4)+ 10,8 хϵ[5,4;6,4]
у=-5 (х-5,7)2+10,3 хϵ[5,7;5,9]
у=-10/9(х-15,5)2+5,7 хϵ[15,5;16,3]
у=30/49(х-15,5)2+5 хϵ[15,5;16,3]
у=5/16(х-15,5)2+5 хϵ[14,8;15,5]
у=-3/20(х-16)2+8,3 хϵ[14;16]
у=-20/121(х-16)2+8,3 хϵ[16;18,3]
у=50/9(х-18)2+7 хϵ[18;18,3]
у=0,3(х-17)2+6,7 хϵ[17;18]
у=5/72(х-17)2+6,7 хϵ[115,7;17]
у=-5/24(х-14,5)2+7,1 хϵ[14,5;15,7]
у=2/3(х-15)2+3,3 хϵ[13,5;15]
у=-0,2(х-15)2+3,3 хϵ[15;17]
у=0,9(х-16)2+1,6 хϵ[16;17]
у=(х-15)(11,6-1,6)/(16-15)+ 1,6 хϵ[5,4;6,4]
у=38/125(х-15)2+51,6 хϵ[12,5;15]
у=-24/5(х-12)2+4,7 хϵ[12;12,5]
у=(х-6,2)(11,4-10,7)/(6-6,2)+ 10,7 хϵ[6;6,2]
у=(х-16)(12,2-11,4)/(6,1-6)+ 11,4 хϵ[6;6,1]
у=-45/49(х-7,5)2+14 хϵ[6;7,5]
у=-1/8(х-9,5)2+14,5 хϵ[7,5;9,5]
у=-25/32(х-9,5)2+14,5 хϵ[9,5;10,3]
у=75/32(х-9,5)2+12,5 хϵ[9,5;10,3]
у=14/45(х-8)2+11,8 хϵ[8;9,5]
у=(х-8)(11,7-11,8)/(7,5-8)+ 11,8 хϵ[7,5;8]
у=-12/5(х-7,5)2+11,7 хϵ[7;7,5]
у=-55/2(х-5,2)2+7,6 хϵ[5;5,2]
у=(х-5)(5,2-6,5)/(5-5)+ 6,5 хϵ[5;6]
у=-55/2(х-5,2)2+7,6 xϵ[5;5,2]
у=(х-6)(4,5-5,2)/(6,5-6)+ 5,2 хϵ[6;6,5]
у=(х-6,5)(4-4,5)/(6,7-6,5)+ 4,5 хϵ[6,5;6,7]
у=(х-6,7)(3-4)/(6,8-6,7)+ 4 хϵ[6,7;6,8]
у=25/9(х-7,5)2+2,2 хϵ[6,8;7,5]
у=20/3(х-7,3)2+1,6 хϵ[7,3;7,5]
y=(х-7,3)(1,6-1,6)/(6,6-7,3)+1,6 хϵ[6,6;7,3]
у=290/841(х-6,6)2+1,6 хϵ[3,6;6,6]
y=(х-3,6)(5-4,5)/(3,5-3,6)+4,5 хϵ[3,6;3,5]
y=(х-3,5)(5,5-5)/(3,6-3,5)+5 хϵ[3,5;3,6]
y=(х-3,5)(6-5,5)/(3,7-3,6)+5,5 хϵ[3,6;3,7]
у=135/128(х-5,1)2+8,7 хϵ[3,7;5,1]
у=1,9(х-6)2+10,1 хϵ[6;5]
y=(х-5)(13-12)/(5,1-5)+12 хϵ[5;5,1]
у=-5/4(х-4,2)2+13,9 хϵ[5,1;4,2]
у=-70/81(х-4,2)2+13,9 xϵ[3,3;4,2]
у=-2(х-2,8)2+13,9 хϵ[2,8;3,4]
у=-100/49(х-2,8)2+13,9 хϵ[2,1;2,8]
у=-10/11(х-1,5)2+11,6 хϵ[1,5;0,4]
у=150/36(х-1)2+9 хϵ[0,4;1]
у=-30/169(х-2,3)2+8,6 хϵ[1;2,3]
у=13/40(х-2,3)2+8,6 хϵ[2,3;4,3]
у=4/5(х-4)2+10,3 хϵ[4;4,5]
y=(х-2,1)(8,2-8,7)/(1,8-2,1)+8,7 хϵ[1,8;2,1]
у=6/5(х-2,2)2+7,6 хϵ[2,2;2,7]
у=5/9(х-3,3)2+7,6 хϵ[2,7;3,3]
у=5/4(х-3,3)2+7,6 хϵ[3,3;3,7]
у=2(х-3,7)2+7,7 хϵ[3,7;4,2]
у=-10(х-4,5)2+9,2 хϵ[4,2;4,5]
у=-10/9(х-4,5)2+9,2 хϵ[4,5;5,1]
у=5(х-2,4)2+8,2 хϵ[2,1;2,4]
у=-10/9(х-2,7)2+8,3
infourok.ru
Графики функций как средство выражения личностного творчества
Библиографическое описание:
Пивоварова Т. Ю. Графики функций как средство выражения личностного творчества // Молодой ученый. 2017. №16. С. 478-482. URL https://moluch.ru/archive/150/42684/ (дата обращения: 26.12.2019).
В чистой математике живет всегда художник, архитектор и даже поэт.
Принсгейм А.
Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи и порой является единственным средством решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой самостоятельный интерес.
Часто построение графиков связано с исследованием поведения функций. Однако необходимость построения графиков не ограничивается только этим. В ряде случаев графики облегчают нахождение решений уравнений и неравенств, сокращая и упрощая аналитические выкладки, и часто при этом являются единственным методом решения таких задач.
Не все учащиеся владеющие теорией успешно справляются с построением графиков, причины бывают разные: недостаток терпения, аккуратности или интереса. Но рисовать любят многие, поэтому если объединить рисование и построение графиков, то можно добиться отличного результата.
На своих уроках при изучении темы «График квадратичной функции» я применяю подобное объединение следующим образом. На начальном этапе даю готовые уравнения на заданном отрезке и предлагаю изобразить графики в системе координат. Более продвинутым учащимся я предлагаю самим нарисовать рисунок и попробовать задать его с помощью графиков по следующей схеме
1 этап
Рисуем, например, крылья бабочки
Рис. 1.
2 этап
Определим линию, которую хотим задать с помощью уравнения № 1. Пусть точка (4;3) — вершина параболы (1), построим систему новую систему координат в вершине.
Рис. 2.
Таким образом, уравнение вида 
новой системе координат примет более простой вид 
задача сводиться к нахождению коэффициента a.
3 этап
Вычислим a, подставляя в уравнение координаты второй точки (в новой системе):(-2;3)
4этап
Вернемся к основной системе координат и получим уравнение
Значит, линия 1 на рисунке задана формулой
. Но нам требуется не вся парабола, а лишь та её часть, которая лежит на промежутке 
.
Получим линию 1 на рисунке 1.
Продолжая дальше, получаем: уравнение для линии 2
.
Очевидно, что составлять уравнения для графиков симметричных относительно оси ОУ проще, т. к. меняются только координаты вершины параболы в «новой системе координат»
В таблице представлены несколько рисунков и соответствующих им уравнений
Основные термины (генерируются автоматически): построение графиков, система координат, уравнение.
moluch.ru