Касательная к графику – Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной

Касательная к графику функции

Основные понятия и определения

    В общем случае уравнение прямой на плоскости записывается как , где  некоторые константы. График функции    приведен на рис. 1. Причем здесь  .  Если  , то будет уравнением прямой, параллельной числовой оси  

    Пусть имеются две прямые, заданные уравнениями и  . Если  , то данные прямые являются параллельными.

    Для того, чтобы эти прямые были взаимно перпендикулярны, требуется выполнение условия  .

    В частности, прямые и являются параллельными, а прямые и будут взаимно перпендикулярны.

 

Уравнение касательной

 

    Пусть некоторая функция, дифференцируемая в точке . На графике функции  , который приведен на рис. 2, выделена точка  , где  . Прямая    является секущей, а касательная есть предельное положение секущей при условии, что точка стремится к точке  .

    Для составления уравнения касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой , обычно используются формулы (1) и (2), известные из школьных учебников по математике:

 

                                                                                            (1)

или

                                      .                                      (2)

    Однако при решении задач на составление уравнений касательных данные формулы не отражают тот факт, что касательная является прямой линией. В этой связи уравнение касательной целесообразно представлять в виде  . Сделать это нетрудно, поскольку формула (2) равносильна формуле  

                              

    Формула (3) имеет вид уравнения прямой линии , где    и  .

    Рассмотрим примеры решения задач на применение формулы (3) при составлении уравнения касательной к графику функции  в точке с абсциссой .

Примеры решения задач

 

   

    Пример 1. Написать уравнение касательной, проведенной к графику функции   в точке с абсциссой  

 

   

    Решение. Воспользуемся формулой (3). Так как   и  , то    и  . В таком случае формула (3) принимает вид    или  .

    Ответ:  .

 

   

    Пример 2. Составить уравнение касательной, проведенной к графику функции    в точке с абсциссой  

 

   

    Решение.  Поскольку    и  ,  то  

,    и из формулы (3) получаем   .

    Ответ:  .

 

   

    Пример 3. Найти уравнение касательной, проведенной к графику функции  , при условии, что касательная параллельна прямой  .

 

   

    Решение.  Предположим, что точка касания имеет абсциссу . Так как  , то формула (3) принимает вид

  или

                                          .                                       (4)

    По условию задачи касательная (4) должна быть параллельна к прямой , поэтому    или  . Если  значение    подставить в формулу (4), то получим уравнение искомой касательной.

    Ответ:  .

    Примечание. Если в условии данного примера потребовать, чтобы касательная была бы перпендикулярна прямой , то здесь необходимо положить  . Тогда   и из формулы (4) получим уравнение касательной  .

 

   

    Пример 5. Написать уравнение касательной к графику функции  , при условии, что касательная содержит точку с координатами  и .

 

   

    Решение.  Так как  , то формула (3) принимает вид

 или

                                          .                                                  (5)

    Поскольку касательная (5) содержит точку с координатами  и , то подставим в эту формулу значения    и получим

  или   .

    Однако квадратное уравнение имеет два корня    и  , поэтому рассматриваемая задача имеет два решения.  Если найденные значения    подставить в уравнение (5), то получим уравнения двух  касательных.

    Ответ:  , .  

   

    Пример 6. Провести касательную к графику функции   в точке с абсциссой   и вычислить площадь треугольника, образованного касательной и положительными полуосями системы координат.

 

    Решение.  Так как и , то   ,   и уравнение касательной (3) к графику функции   в точке с абсциссой принимает вид  .

    Пусть касательная    пересекает оси    и    в точках и , соответственно. Тогда нетрудно установить, что . Поскольку  , то  .

    Ответ:  .

   

    Пример 7. Составить уравнение  касательной к графику функции   при условии, что касательная проходит через начало координат.

 

   

    Решение.  Так как    и  , то уравнение касательной (3) принимает вид  

                                    ,                              (6)

где  абсцисса точки касания.

    Так как касательная    проходит через начало координат, то  . В этой связи из уравнения (6) следует, что

,      или   .

    Поскольку    и  , то  . Следовательно, уравнение искомой касательной имеет вид   .

    Ответ:  .

   

    Пример 8. Найти уравнение общей касательной к графикам функций    и  .

 

   

    Решение.  Если построить эскиз графиков функций  и  , то можно увидеть, что существует единственная общая для них касательная  . Поскольку эта прямая касается графиков обеих функций, то имеет место система уравнений

  или  

    Поскольку общая касательная к графикам функций  и  , является единственной, то каждое из уравнений системы должно иметь только по одному корню. А это означает, что дискриминанты уравнений системы должны быть равны нулю. Следовательно, имеем

   или   

    Если из второго уравнения системы вычесть первое, то   или  .  Если значение    подставить в любое из уравнений системы, то получим  .

    Ответ:  .

    С целью качественной подготовки к вступительным экзаменам по математике в области составления уравнений касательных целесообразно использовать учебные пособия, приведенные в списке рекомендованной литературы.  

   

Рекомендуемая литература

1.  Кушнир А.И. Шедевры школьной математики (задачи и решения в двух книгах). – Киев: Астарта, книга 2, 1995. – 512 с.

2. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование, 2013. – 608 с.

3. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: дополнительные разделы школьной программы. – М.: Ленанд / URSS, 2016. – 216 с.

 

Остались вопросы? 

Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.

   

   

blog.tutoronline.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Элементы математического анализа

секущая графика функции уравнение секущей касательная к графику функции уравнение касательной производная функции геометрический смысл производной тангенс угла наклона касательной

Секущая графика функции. Уравнение секущей графика функции

      Рассмотрим график некоторой функции   y = f (x),   точки   A= (x0;  f (x0))   и   B = (x

1;  f (x1))   на графике, прямую, проходящую через точки   A   и   B,   и произвольную точку   C = (x; y)   на этой прямой (рис. 1).

секущая графика функции уравнение секущейсекущая графика функции уравнение секущейсекущая графика функции уравнение секущей

Рис.1

      Определение 1. Прямую, проходящую через две произвольные точки графика функции, называют секущей графика функции.

      В соответствии с определением 1 прямая, проходящая через точки   A   и   B   графика функции   y = f (x

),   является секущей этого графика.

      Выведем уравнение секущей графика функции.

      Для этого рассмотрим векторы секущая графика функции уравнение секущей и секущая графика функции уравнение секущей, координаты которых имеют вид:

секущая графика функции уравнение секущей

      Поскольку векторы секущая графика функции уравнение секущей и секущая графика функции уравнение секущей лежат на одной прямой, то справедливо равенство

секущая графика функции уравнение секущей(1)

где   k   – некоторое число.

      Переписывая равенство (1) в координатах, получим систему (2):

секущая графика функции уравнение секущейсекущая графика функции уравнение секущей(2)

      Исключая из системы (2) переменную   k ,  получим систему (3):

секущая графика функции уравнение секущейсекущая графика функции уравнение секущей
(3)

второе уравнение которой можно записать в следующем виде

секущая графика функции уравнение секущейсекущая графика функции уравнение секущей(4)

      Уравнение (4) и является уравнением секущей графика функции   y = f (x),   проходящей через точки   A = (x0;  (x0))   и   B = (x1;  f (x1))   этого графика.

Касательная к графику функции

      Проведем секущую графика функции   y = f (x),   проходящую через точки   A   и   B   этого графика, и рассмотрим случай, когда точка   A   неподвижна, а точка   B   неограниченно приближается к точке   A   по графику функции   y = f (x)   (рис. 2).

Касательная к графику функцииКасательная к графику функцииКасательная к графику функции

Рис.2

      Неограниченное приближение точки   B   к точке   A   принято обозначать

BA

и произносить   «B   стремится к   A».

      Заметим, что, если   B → A   для точек   A = (x0;  f (x0))   и   B = (x1;  f (x1))  графика функции  y = f (x),   то это означает, что   x1 → x0 .

      Определение 2. Если при   x1 → x0   существует предельное положение секущей графика фукнкции   y = f (x),   то это предельное положение секущей называют касательной к графику функции   y = f (x)   в точке   A = (x0;  f (x0))  (рис. 3) .

Касательная к графику функцииКасательная к графику функцииКасательная к графику функции

Рис.3

Производная функции

      Определение 3. Если при   x1 → x0   отношение

Производная функции(5)

входящее в формулу (4), стремится к некоторому числу, то это число называют производной функции   y = f (x) в точке   x0 ,   обозначают   f ′(x0)   или Производная функциии записывают так:

Производная функции(6)

Уравнение касательной к графику функции

      Из формул (4) и (6) вытекает следующее

      Утверждение. Если у функции   y = f (x)   существует производная в точке   x0 ,   то к графику функции   y = f (x)   в точке с координатами  (x0;  f (x0))   можно провести касательную, а уравнение этой касательной имеет вид:

y = f′(x0) (x – x0) + f (x0)(7)

Геометрический смысл производной

      Рассмотрим сначала возрастающую функцию   y = f (x)   и проведем секущую графика этой функции, проходящую через точки   A = (x0;  f (x0))   и   B = (x1;  f (x1)) (рис. 4).

Геометрический смысл производнойГеометрический смысл производнойГеометрический смысл производной

Рис.4

      Обозначим буквой   φ   угол, образованный секущей и положительным направлением оси   Ox,   отсчитываемый против часовой стрелки. Тогда угол   BAD   в треугольнике   ABD   на рисунке 4 равен   φ ,   и по определению тангенса угла получаем равенство

Геометрический смысл производной(8)

причем по определению углового коэффициента прямой   tg φ   является угловым коэффициентом секущей графика функции   y = f (x),   проходящей через точки   A = (x0;  f (x0))   и   B = (x1;  f (x1))   этого графика.

      Случай, когда функция   y = f (x)   убывает, изображен на рисунке 5

Геометрический смысл производнойГеометрический смысл производнойГеометрический смысл производной

Рис.5

      В этом случае угол   φ  является тупым, причем

Геометрический смысл производнойГеометрический смысл производной

то есть формула (8) справедлива и для случая, когда функция   y = f (x)   убывает.

      Отсюда в соответствии с определением производной функции вытекает соотношение:

Геометрический смысл производнойГеометрический смысл производной

где буквой   α   обозначен угол, образованный касательной к графику функции   y = f (x)   в точке   A = (x0;  f (x0))   с положительным направлением оси   Ox   (рис. 6).

Геометрический смысл производнойГеометрический смысл производнойГеометрический смысл производной

Рис.6

      Таким образом, если у функции   y = f (x)   в точке   x0   существует производная, то эта производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции   y = f (x)   в точке   (x0;  f (x0)) :

f′(x0) = tg α ,

где угол наклона   α   образован касательной и положительным направлением оси   Ox   и отсчитывается в положительном направлении (то есть против часовой стрелки).

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

www.resolventa.ru

Уравнение касательной

В этой статье мы разберем все типы задач на нахождение уравнения касательной.

Вспомним геометрический смысл производной: если к графику функции y=f(x) в точке x_0  проведена касательная, то коэффициент наклона касательной (равный тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси OX) равен производной функции в точке x_0 .

уравнения касательной

k=tg{alpha}=f^{prime}(x_0)

Возьмем на касательной произвольную точку  с координатами ( x;y):

уравнения касательной

И рассмотрим прямоугольный треугольник ABC:

уравнения касательной

В этом треугольнике tg{alpha}={BC}/{AB}={y-f(x_0)}/{x-x_0}=f{prime}(x_0)

Отсюда {y-f(x_0)}= f{prime}(x_0)(x-x_0)

Или

y=f(x_0)+ f{prime}(x_0)(x-x_0)

Это и есть уравнение касательной, проведенной к графику функции y=f(x) в точке x_0.

Чтобы написать уравнение касательной, нам достаточно знать уравнение функции и точку, в которой проведена касательная. Тогда мы сможем найти f(x_0) и f{prime}(x_0).

Есть три основных типа задач на составление уравнения касательной.

1. Дана точка касания  x_0

2. Дан коэффициент наклона касательной, то есть значение производной функции y=f(x) в точке x_0.

3. Даны координаты точки, через которую проведена касательная, но которая не является точкой касания.

Рассмотрим каждый тип задач.

1. Написать уравнение касательной к графику функции f(x)=x^3-2x^2+3  в точке x_0=1.

а) Найдем значение функции в точке x_0=1.

f(1)=1^3-2*1^2+3=2.

б) Найдем значение производной в точке x_0=1. Сначала найдем производную функции y=f(x)

f{prime}(x)=3x^2-4x

f{prime}(1)=3*1^2-4*1=-1

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

y=2+(-1)(x-1)

Раскроем скобки в правой части уравнения. Получим: y=-x+3

Ответ: y=-x+3.

 

2. Найти абсциссы точек, в которых касательные к графику функции y={1/4}x^4-{8/3}x^3 +{{15}/2}x^2параллельны оси абсцисс.

Если касательная параллельна оси абсцисс, следовательно угол между касательной и положительным направлением оси OX равен нулю, следовательно тангенс угла наклона касательной равен нулю. Значит, значение производной функции y={1/4}x^4-{8/3}x^3 +{{15}/2}x^2 в точках касания равно нулю.

а) Найдем производную функции y={1/4}x^4-{8/3}x^3 +{{15}/2}x^2.

y{prime}=x^3-8x^2+15x

б) Приравняем производную к нулю и найдем значения x, в которых касательная параллельна оси OX:

x^3-8x^2+15x=0

x(x^2-8x+15)=0

Приравняем каждый множитель к нулю, получим:

x_1=0;~~x_2=3;~~x_3=5

Ответ: 0;3;5

 

3. Написать уравнения касательных к графику функции y={3x-4}/{2x-3}, параллельных  прямой y=-x+3.

Касательная параллельна прямой y=-x+3. Коэффициент наклона этой прямой равен -1. Так как касательная параллельна этой прямой, следовательно, коэффициент наклона касательной тоже равен -1. То есть мы знаем коэффициент наклона касательной, а, тем самым, значение производной в точке касания.

Это второй тип задач на нахождение уравнения касательной.

Итак, у нас дана функция y={3x-4}/{2x-3} и значение производной в точке касания.

а) Найдем точки, в которых производная функции y={3x-4}/{2x-3} равна -1.

Сначала найдем уравнение производной.

Нам нужно найти производную дроби.

({u/v})^{prime}={u{prime}v-v{prime}u}/{v^2}

y{prime}={(3x-4){prime}(2x-3)-(2x-3){prime}(3x-4)}/{(2x-3)^2}={3(2x-3)-2(3x-4)}/{(2x-3)^2}={-1}/{(2x-3)^2}

Приравняем производную к числу -1.

{-1}/{(2x-3)^2}=-1

(2x-3)^2=1

2x-3=1 или 2x-3=-1

x_0=2 или x_0=1

б) Найдем уравнение касательной к графику функции y={3x-4}/{2x-3} в точке x_0=2.

Найдем значение функции в точке x_0=2.

y(2)={3*2-4}/{2*2-3}=2

y{prime}(2)=-1 (по условию)

Подставим эти значения в уравнение касательной:

y=2+(-1)(x-2)=-x+4.

б) Найдем уравнение касательной к графику функции y={3x-4}/{2x-3} в точке x_0=1.

Найдем значение функции в точке x_0=1.

y(1)={3*1-4}/{2*1-3}=1

y{prime}=-1 (по условию).

Подставим эти значения в уравнение касательной:

y=1+(-1)(x-1)=-x+2.

Ответ: y=-x+4;~~y=-x+2

 

4. Написать уравнение касательной к кривой y=sqrt{8-x^2}, проходящей через точку A(3,1)

Сначала проверим, не является ли точка A(3,1) точкой касания. Если точка является точкой касания, то она принадлежит графику функции, и её координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим координаты  точки A(3,1)  в уравнение функции.

1<>sqrt{8-3^2}1<>sqrt{8-3^2}. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка A(3,1) не принадлежит графику функции и не является точкой касания.

Это последний тип задач на нахождение уравнения касательной. Первым делом нам нужно найти абсциссу точки касания.

Найдем значение x_0.

Пусть x_0 — точка касания. Точка A(3,1) принадлежит касательной к графику функции y=sqrt{8-x^2}. Если мы подставим координаты этой точки в уравнение касательной, то получим верное равенство:

1=f(x_0)+ f{prime}(x_0)(3-x_0).

Значение функции y=sqrt{8-x^2} в точке x_0 равно f(x_0)= sqrt{8-{x_0}^2}.

Найдем значение производной функции y=sqrt{8-x^2} в точке x_0.

Сначала найдем производную функции y=sqrt{8-x^2}. Это сложная функция.

f{prime}(x)={1/{2sqrt{8-x^2}}}*(8-x^2){prime}={{-2x}/{2sqrt{8-x^2}}}

Производная в точке x_0 равна f{prime}(x_0)={-2{x_0}}/{2sqrt{8-{x_0}^2}}.

Подставим выражения для f(x_0) и f{prime}(x_0) в уравнение касательной. Получим уравнение относительно x_0:

1=sqrt{8-{x_0}^2}+{-2{x_0}}/{2sqrt{8-{x_0}^2}}(3-x_0)1<>sqrt{8-3^2}

Решим это уравнение.

Сократим числитель и знаменатель дроби на 2:

1=sqrt{8-{x_0}^2}+{-{x_0}}/{sqrt{8-{x_0}^2}}(3-x_0)1<>sqrt{8-3^2}

Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю. Получим:

1={8-{x_0}^2-{x_0}(3-x_0)}/{sqrt{8-{x_0}^2}}

Упростим числитель дроби и умножим обе части на {sqrt{8-{x_0}^2}} — это выражение строго больше нуля.

Получим уравнение

{8-3x_0}={sqrt{8-{x_0}^2}}

Это иррациональное уравнение.

Решим его. Для этого возведем обе части в квадрат и перейдем к системе.

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{64-48{x_0}+9{x_0}^2=8-{x_0}^2} {8-3x_0>=0} }}{ }1<>sqrt{8-3^2}

Решим первое уравнение.

10{x_0}^2-48x_0+56=0

5{x_0}^2-24x_0+28=0

Решим квадратное уравнение, получим

x_0=2 или x_0=2,8

Второй корень не удовлетворяет условию 8-3x_0>=01<>sqrt{8-3^2}, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна 2.

Напишем уравнение касательной к кривой y=sqrt{8-x^2} в точке x_0=2. Для этого подставим значение x_0=2 в уравнение y=sqrt{8-{x_0}^2}+{-2{x_0}}/{2sqrt{8-{x_0}^2}}(x-x_0)1<>sqrt{8-3^2}  — мы его уже записывали.

Получим:

y=sqrt{8-{2}^2}-{2*{2}}/{2sqrt{8-{(2)}^2}}(x-2)1<>sqrt{8-3^2}

y=2-(x-2)=-x+4

Ответ: y=-x+4
И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Уравнение касательной к графику функции

Пусть дана функция f, которая в некоторой точке x0 имеет конечную производную f (x0). Тогда прямая, проходящая через точку (x0; f (x0)), имеющая угловой коэффициент f ’(x0), называется касательной.

А что будет, если производная в точке x0 не существует? Возможны два варианта:

  1. Касательная к графику тоже не существует. Классический пример — функция y = |x| в точке (0; 0).
  2. Касательная становится вертикальной. Это верно, к примеру, для функции y = arcsin xв точке (1; π/2).

Уравнение касательной

Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b,где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x0, достаточно знать значение функции и производной в этой точке.

Итак, пусть дана функция y = f (x), которая имеет производную y = f ’(x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке x0 ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:

y = f ’(x0) · (x − x0) + f (x0)

Здесь f ’(x0) — значение производной в точке x0,а f (x0) — значение самой функции.

Задача. Дана функция y = x3. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x0 = 2.

Уравнение касательной: y = f ’(x0) · (x − x0) + f(x0).Точка x0 = 2 нам дана, а вот значения f (x0) и f ’(x0) придется вычислять.

Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x0) = f (2) = 23 = 8;
Теперь найдем производную: f ’(x) = (x3)’ = 3x2;
Подставляем в производную x0 = 2: f ’(x0) = f ’(2) = 3 · 22 = 12;
Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Это и есть уравнение касательной.

Задача. Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 2sin x + 5в точке x0 = π/2.

В этот раз не будем подробно расписывать каждое действие — укажем лишь ключевые шаги. Имеем:

f (x0) = f (π/2) = 2sin (π/2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x0) = f ’(π/2) = 2cos (π/2) = 0;

Уравнение касательной:

y = 0 · (x − π/2) + 7 ⇒ y = 7

В последнем случае прямая оказалась горизонтальной, т.к. ее угловой коэффициент k = 0. Ничего страшного в этом нет — просто мы наткнулись на точку экстремума.

Смотрите также:

  1. Правила вычисления производных
  2. Вводный урок по вычислению производных степенной функции
  3. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №6
  4. Площадь круга
  5. Иррациональные неравенства. Часть 1
  6. Задача B5: вычисление площади методом обводки

www.berdov.com

Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Задание 7

Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Задание 7.

 

Вспомним определение производной:

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

{f}prime(x)= lim{Delta{x}right{0}}{{Delta{S}}/{Delta{t}}}

Исходя из этого определения, рассмотрим, каким образом производная функции y=f(x) связана с графиком этой функции.

Посмотрите ВИДЕОУРОК, в котором я подробно объясняю, в чем заключается геометрический смысл производной, и как выводится уравнение касательной. А затем мы рассмотрим решение задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.

 

 

Итак.

Геометрический смысл производной.

Тангенс угла наклона касательной (угловой коэффициент наклона касательной), проведенной к графику функции y=f(x)  в точке  x_0  равен производной функции y=f(x) в этой точке:

k={tg}alpha={f}prime{(x_0)}

Заметим, что угол alpha — это угол между прямой и положительным направлением оси ОХ:

Геометрический смысл производной. Уравнение касательной

Уравнение касательной к графику функции y=f(x)  в точке  x_0имеет вид:

y= f(x_0)+{f}prime{(x_0)}(x-x_0)

В этом уравнении:

x_0 — абсцисса точки касания,

f(x_0) — значение функции y=f(x) в точке касания,

{f}prime{(x_0)} — значение производной функции y=f(x) в точке касания.

Приведем несколько примеров решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике, в которых используется знание геометрического смысла производной.

Пример 1. Задание В8 (№ 27504) На рисунке изображены график функции y=f(x)  и касательная к нему в точке с абcцисcой x_0 . Найдите значение производной функции y=f(x) в точке f(x_0) .

Геометрический смысл производной. Уравнение касательной

Значение производной функции y=f(x) в точке x_0 равно тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ОХ. Чтобы его найти, выделим прямоугольный треугольник, гипотенуза которого лежит на касательной, а катеты параллельны осям координат. Обозначим точки с целыми координатами буквами  А и В — эти точки выделены на касательной:

Геометрический смысл производной. Уравнение касательной

Проведем через точку А прямую параллельно оси ОХ, а через точку В — параллельно оси OY. Получим прямоугольный треугольник ABC:

12

Угол А  треугольника  АВС равен углу между касательной и положительным направлением оси ОХ.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

tg{alpha}={BC}/{AC}=2/8=0,25

Длины катетов считаем по количеству клеточек.

Ответ: 0,25

Пример 2. Задание В8 (№ 27506) На рисунке изображены график функции y=f(x)  и касательная к нему в точке с абцисоой f(x_0) . Найдите значение производной функции y=f(x) в точке f(x_0).

12

Эта задача очень похожа на предыдущую, за исключением того, что здесь касательная  наклонена влево, и угол alphaмежду касательной и положительным направлением оси ОХ расположен так:

12

Построим, как предыдущей задаче, прямоугольный треугольник АВС:

12

Угол А треугольника ABC и угол alpha — смежные, то есть их сумма равна 180 градусов. Значит,

tg{alpha}=-tgA=-{BC}/{AC}=-2/8=-0,25

Запомните, если прямая наклонена влево, то коэффициент наклона прямой отрицателен.

Ответ: -0,25

Пример 3. Задание В8 (№ 40129)  На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсцссой 8. Найдите значение производной функции в точке x_0=8.x_0=8

Геометрический смысл производной. Уравнение касательной

Соединим  отрезком точку начала координат с точкой касания:

12

Производная функции в точке касания равна тангенсу угла  между касательной и положительным направлением оси ОХ:

12

Чтобы найти тангенс alpha, рассмотрим прямоугольный треугольник АОВ:

12

 

tg{alpha}=tgAOB={AB}/{OB}={10}/8=1,25

Ответ: 1,25

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

x_0=8

ege-ok.ru

Внеклассный урок — Касательная к графику функции

Касательная к графику функции

 

Касательная – это прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка (рис.1).

Другое определение: это предельное положение секущей при Δx→0.

Пояснение: Возьмем прямую, пересекающую кривую в двух точках: А и b (см.рисунок). Это секущая. Будем поворачивать ее по часовой стрелке до тех пор, пока она не обретет только одну общую точку с кривой. Так мы получим касательную.

  

Строгое определение касательной:

Касательная к графику функции f, дифференцируемой в точке xо, — это прямая, проходящая через точку (xо; f(xо)) и имеющая угловой коэффициент f ′(xо). 


Угловой коэффициент имеет прямая вида y = kx + b.  Коэффициент k и является угловым коэффициентом этой прямой.

Угловой коэффициент равен тангенсу острого угла, образуемого этой прямой с осью абсцисс:

 
Здесь угол α – это угол между прямой y = kx + b и положительным (то есть против часовой стрелки) направлением оси абсцисс. Он называется углом наклона прямой (рис.1 и 2).
  Если угол наклона прямой y = kx + b острый, то угловой коэффициент является положительным числом. График возрастает (рис.1).

Если угол наклона прямой y = kx + b тупой, то угловой коэффициент является отрицательным числом. График убывает (рис.2).

Если прямая параллельна оси абсцисс, то угол наклона прямой равен нулю. В этом случае угловой коэффициент прямой тоже равен нулю (так как тангенс нуля есть ноль). Уравнение прямой будет иметь вид y = b (рис.3).

Если угол наклона прямой равен 90º (π/2), то есть она перпендикулярна оси абсцисс, то прямая задается равенством x = c, где c – некоторое действительное число (рис.4).

 

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке xо:


 y = f(xо) + f ′(xо) (x – xо)

 

Алгоритм решения уравнения касательной к графику функции y = f(x):

1. Вычислить f(xо).

2. Вычислить  производные f ′(x) и f ′(xо).

3. Внести найденные числа xо,  f(xо),  f ′(xо) в уравнение касательной и решить его.

 
Пример: Найдем уравнение касательной к графику функции f(x) = x3 – 2x2 + 1 в точке с абсциссой 2.

Решение.

Следуем алгоритму.

1) Точка касания xо равна 2. Вычислим f(xо):

 f(xо) = f(2) = 23 – 2 ∙ 22 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Находим f ′(x). Для этого применяем формулы дифференцирования, изложенные в предыдущем разделе. Согласно этим формулам, х2 = 2х, а х3 = 3х2. Значит:

f ′(x) = 3х2 – 2 ∙ 2х = 3х2 – 4х.

Теперь, используя полученное значение f ′(x), вычислим f ′(xо):

f ′(xо) = f ′(2) = 3 ∙ 22 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Итак, у нас есть все необходимые данные: xо = 2, f(xо) = 1, f ′(xо) = 4. Подставляем эти числа в уравнение касательной и находим окончательное решение:

у = f(xо) + f ′(xо) (x – xо) = 1 + 4 ∙ (х – 2) = 1 + 4х – 8 = –7 + 4х = 4х – 7.

Ответ: у = 4х – 7.

 

raal100.narod.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о