Касательная к графику функции

​

Основные понятия и определения

    В общем случае уравнение прямой на плоскости записывается как , где  некоторые константы. График функции    приведен на рис. 1. Причем здесь  .  Если  , то будет уравнением прямой, параллельной числовой оси  

    Пусть имеются две прямые, заданные уравнениями и  . Если  , то данные прямые являются параллельными.

    Для того, чтобы эти прямые были взаимно перпендикулярны, требуется выполнение условия  .

    В частности, прямые и являются параллельными, а прямые и будут взаимно перпендикулярны.

 

Уравнение касательной

 

    Пусть некоторая функция, дифференцируемая в точке . На графике функции  , который приведен на рис. 2, выделена точка  , где  . Прямая    является секущей, а касательная есть предельное положение секущей при условии, что точка стремится к точке  .

    Для составления уравнения касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой , обычно используются формулы (1) и (2), известные из школьных учебников по математике:

 

                                                                                            (1)

или

                                      .                                      (2)

    Однако при решении задач на составление уравнений касательных данные формулы не отражают тот факт, что касательная является прямой линией. В этой связи уравнение касательной целесообразно представлять в виде  . Сделать это нетрудно, поскольку формула (2) равносильна формуле  

                              

    Формула (3) имеет вид уравнения прямой линии , где    и  .

    Рассмотрим примеры решения задач на применение формулы (3) при составлении уравнения касательной к графику функции  в точке с абсциссой .

Примеры решения задач

 

   

    Пример 1. Написать уравнение касательной, проведенной к графику функции   в точке с абсциссой  

 

   

    Решение. Воспользуемся формулой (3). Так как   и  , то    и  . В таком случае формула (3) принимает вид    или  .

    Ответ:  .

 

   

    Пример 2. Составить уравнение касательной, проведенной к графику функции    в точке с абсциссой  

 

   

    Решение.  Поскольку    и  ,  то  

,    и из формулы (3) получаем   .

    Ответ:  .

 

   

    Пример 3. Найти уравнение касательной, проведенной к графику функции  , при условии, что касательная параллельна прямой  .

 

   

    Решение.  Предположим, что точка касания имеет абсциссу . Так как  , то формула (3) принимает вид

  или

                                          .                                       (4)

    По условию задачи касательная (4) должна быть параллельна к прямой , поэтому    или  . Если  значение    подставить в формулу (4), то получим уравнение искомой касательной.

    Ответ:  .

    Примечание. Если в условии данного примера потребовать, чтобы касательная была бы перпендикулярна прямой , то здесь необходимо положить  . Тогда   и из формулы (4) получим уравнение касательной  .

 

   

    Пример 5. Написать уравнение касательной к графику функции  , при условии, что касательная содержит точку с координатами  и .

 

   

    Решение.  Так как  , то формула (3) принимает вид

 или

                                          .                                                  (5)

    Поскольку касательная (5) содержит точку с координатами  и , то подставим в эту формулу значения    и получим

  или   .

    Однако квадратное уравнение имеет два корня    и  , поэтому рассматриваемая задача имеет два решения.  Если найденные значения    подставить в уравнение (5), то получим уравнения двух  касательных.

    Ответ:  , .  

   

    Пример 6. Провести касательную к графику функции   в точке с абсциссой   и вычислить площадь треугольника, образованного касательной и положительными полуосями системы координат.

 

    Решение.  Так как и , то   ,   и уравнение касательной (3) к графику функции   в точке с абсциссой принимает вид  .

    Пусть касательная    пересекает оси    и    в точках и , соответственно. Тогда нетрудно установить, что . Поскольку  , то  .

    Ответ:  .

   

    Пример 7. Составить уравнение  касательной к графику функции   при условии, что касательная проходит через начало координат.

 

   

    Решение.  Так как    и  , то уравнение касательной (3) принимает вид  

                                    ,                              (6)

где  абсцисса точки касания.

    Так как касательная    проходит через начало координат, то  . В этой связи из уравнения (6) следует, что

,      или   .

    Поскольку    и  , то  . Следовательно, уравнение искомой касательной имеет вид   .

    Ответ:  .

   

    Пример 8. Найти уравнение общей касательной к графикам функций    и  .

 

   

    Решение.  Если построить эскиз графиков функций  и  , то можно увидеть, что существует единственная общая для них касательная  . Поскольку эта прямая касается графиков обеих функций, то имеет место система уравнений

  или  

    Поскольку общая касательная к графикам функций  и  , является единственной, то каждое из уравнений системы должно иметь только по одному корню. А это означает, что дискриминанты уравнений системы должны быть равны нулю. Следовательно, имеем

   или   

    Если из второго уравнения системы вычесть первое, то   или  .  Если значение    подставить в любое из уравнений системы, то получим  .

    Ответ:  .

    С целью качественной подготовки к вступительным экзаменам по математике в области составления уравнений касательных целесообразно использовать учебные пособия, приведенные в списке рекомендованной литературы.  

   

Рекомендуемая литература

1.  Кушнир А.И. Шедевры школьной математики (задачи и решения в двух книгах). – Киев: Астарта, книга 2, 1995. – 512 с.

2. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование, 2013. – 608 с.

3. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: дополнительные разделы школьной программы. – М.: Ленанд / URSS, 2016. – 216 с.

 

Остались вопросы? 

Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.

   

   

blog.tutoronline.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Элементы математического анализа

Секущая графика функции. Уравнение секущей графика функции

      Рассмотрим график некоторой функции   y = f (x),   точки   A= (x₀;  f (x₀))   и   B = (x₁;  f (x₁))   на графике, прямую, проходящую через точки   A   и   B,   и произвольную точку   C = (x; y)   на этой прямой (рис. 1).

Рис.1

      Определение 1. Прямую, проходящую через две произвольные точки графика функции, называют секущей графика функции.

      В соответствии с определением 1 прямая, проходящая через точки   A   и   B   графика функции   y = f (x),   является секущей этого графика.

      Выведем уравнение секущей графика функции.

      Для этого рассмотрим векторы и , координаты которых имеют вид:

      Поскольку векторы и лежат на одной прямой, то справедливо равенство

(1)

где   k   – некоторое число.

      Переписывая равенство (1) в координатах, получим систему (2):

(2)

      Исключая из системы (2) переменную   k ,  получим систему (3):

(3)

второе уравнение которой можно записать в следующем виде

(4)

      Уравнение (4) и является уравнением секущей графика функции   y = f (x),   проходящей через точки   A = (x₀;  f (x₀))   и   B = (x₁;  f (x₁))   этого графика.

Касательная к графику функции

      Проведем секущую графика функции   y = f (x),   проходящую через точки   A   и   B   этого графика, и рассмотрим случай, когда точка   A   неподвижна, а точка   B   неограниченно приближается к точке   A   по графику функции   y = f (x)   (рис. 2).

Рис.2

      Неограниченное приближение точки   B   к точке   A   принято обозначать

B → A

и произносить   «B   стремится к   A».

      Заметим, что, если   B → A   для точек   A = (x₀;  f (x₀))   и   B = (x₁;  f (x₁))  графика функции  y = f (x),   то это означает, что   x₁ → x₀ .

      Определение 2. Если при   x₁ → x₀   существует предельное положение секущей графика фукнкции   y = f (x),   то это предельное положение секущей называют касательной к графику функции   y = f (x)   в точке   A = (x₀;  f (x₀))  (рис. 3) .

Рис.3

Производная функции

      Определение 3. Если при   x₁ → x₀   отношение

(5)

входящее в формулу (4), стремится к некоторому числу, то это число называют производной функции   y = f (x) в точке   x₀ ,   обозначают   f ′(x₀)   или и записывают так:

(6)

Уравнение касательной к графику функции

      Из формул (4) и (6) вытекает следующее

      Утверждение. Если у функции   y = f (x)   существует производная в точке   x₀ ,   то к графику функции   y = f (x)   в точке с координатами  (x₀;  f (x₀))   можно провести касательную, а уравнение этой касательной имеет вид:

y = f′(x0) (x – x0) + f (x0)

(7)

Геометрический смысл производной

      Рассмотрим сначала возрастающую функцию   y = f (x)   и проведем секущую графика этой функции, проходящую через точки   A = (x₀;  f (x₀))   и   B = (x₁;  f (x₁)) (рис. 4).

Рис.4

      Обозначим буквой   φ   угол, образованный секущей и положительным направлением оси   Ox,   отсчитываемый против часовой стрелки. Тогда угол   BAD   в треугольнике   ABD   на рисунке 4 равен   φ ,   и по определению тангенса угла получаем равенство

(8)

причем по определению углового коэффициента прямой   tg φ   является угловым коэффициентом секущей графика функции   y = f (x),   проходящей через точки   A = (x₀;  f (x₀))   и   B = (x₁;  f (x₁))   этого графика.

      Случай, когда функция   y = f (x)   убывает, изображен на рисунке 5

Рис.5

      В этом случае угол   φ  является тупым, причем

то есть формула (8) справедлива и для случая, когда функция   y = f (x)   убывает.

      Отсюда в соответствии с определением производной функции вытекает соотношение:

где буквой   α   обозначен угол, образованный касательной к графику функции   y = f (x)   в точке   A = (x₀;  f (x₀))   с положительным направлением оси   Ox   (рис. 6).

Рис.6

      Таким образом, если у функции   y = f (x)   в точке   x₀   существует производная, то эта производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции   y = f (x)   в точке   (x₀;  f (x₀)) :

f′(x₀) = tg α ,

где угол наклона   α   образован касательной и положительным направлением оси   Ox   и отсчитывается в положительном направлении (то есть против часовой стрелки).

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

www.resolventa.ru

Уравнение касательной

В этой статье мы разберем все типы задач на нахождение уравнения касательной.

Вспомним геометрический смысл производной

: если к графику функции в точке проведена касательная, то коэффициент наклона касательной (равный тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ) равен производной функции в точке .

Возьмем на касательной произвольную точку  с координатами :

И рассмотрим прямоугольный треугольник :

В этом треугольнике

Отсюда

Или

Это и есть уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке .

Чтобы написать уравнение касательной, нам достаточно знать уравнение функции и точку, в которой проведена касательная. Тогда мы сможем найти и .

Есть три основных типа задач на составление уравнения касательной.

1. Дана точка касания 

2. Дан коэффициент наклона касательной, то есть значение производной функции в точке .

3. Даны координаты точки, через которую проведена касательная, но которая не является точкой касания.

Рассмотрим каждый тип задач.

1. Написать уравнение касательной к графику функции   в точке .

а) Найдем значение функции в точке .

.

б) Найдем значение производной в точке . Сначала найдем производную функции

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

Раскроем скобки в правой части уравнения. Получим:

Ответ: .

 

2. Найти абсциссы точек, в которых касательные к графику функции параллельны оси абсцисс.

Если касательная параллельна оси абсцисс, следовательно угол между касательной и положительным направлением оси равен нулю, следовательно тангенс угла наклона касательной равен нулю. Значит, значение производной функции в точках касания равно нулю.

а) Найдем производную функции .

б) Приравняем производную к нулю и найдем значения , в которых касательная параллельна оси :

Приравняем каждый множитель к нулю, получим:

Ответ: 0;3;5

 

3. Написать уравнения касательных к графику функции , параллельных  прямой .

Касательная параллельна прямой . Коэффициент наклона этой прямой равен -1. Так как касательная параллельна этой прямой, следовательно, коэффициент наклона касательной тоже равен -1. То есть мы знаем коэффициент наклона касательной, а, тем самым, значение производной в точке касания.

Это второй тип задач на нахождение уравнения касательной.

Итак, у нас дана функция и значение производной в точке касания.

а) Найдем точки, в которых производная функции равна -1.

Сначала найдем уравнение производной.

Нам нужно найти производную дроби.

Приравняем производную к числу -1.

или

или

б) Найдем уравнение касательной к графику функции в точке .

Найдем значение функции в точке .

(по условию)

Подставим эти значения в уравнение касательной:

.

б) Найдем уравнение касательной к графику функции в точке .

Найдем значение функции в точке .

(по условию).

Подставим эти значения в уравнение касательной:

.

Ответ:

 

4. Написать уравнение касательной к кривой , проходящей через точку

Сначала проверим, не является ли точка точкой касания. Если точка является точкой касания, то она принадлежит графику функции, и её координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим координаты  точки   в уравнение функции.

. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и не является точкой касания.

Это последний тип задач на нахождение уравнения касательной. Первым делом нам нужно найти абсциссу точки касания.

Найдем значение .

Пусть — точка касания. Точка  принадлежит касательной к графику функции . Если мы подставим координаты этой точки в уравнение касательной, то получим верное равенство:

.

Значение функции в точке равно .

Найдем значение производной функции в точке .

Сначала найдем производную функции . Это сложная функция.

Производная в точке равна .

Подставим выражения для и в уравнение касательной. Получим уравнение относительно :

Решим это уравнение.

Сократим числитель и знаменатель дроби на 2:

Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю. Получим:

Упростим числитель дроби и умножим обе части на — это выражение строго больше нуля.

Получим уравнение

Это иррациональное уравнение.

Решим его. Для этого возведем обе части в квадрат и перейдем к системе.

Решим первое уравнение.

Решим квадратное уравнение, получим

или

Второй корень не удовлетворяет условию , следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .

Напишем уравнение касательной к кривой в точке . Для этого подставим значение в уравнение   — мы его уже записывали.

Получим:

Ответ:
И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Уравнение касательной к графику функции

2 апреля 2011

Пусть дана функция f, которая в некоторой точке x₀ имеет конечную производную f (x₀). Тогда прямая, проходящая через точку (x₀; f (x₀)), имеющая угловой коэффициент f ’(x₀), называется касательной.

А что будет, если производная в точке x₀ не существует? Возможны два варианта:

1. Касательная к графику тоже не существует. Классический пример — функция y = |x| в точке (0; 0).
2. Касательная становится вертикальной. Это верно, к примеру, для функции y = arcsin xв точке (1; π/2).

Уравнение касательной

Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b,где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x₀, достаточно знать значение функции и производной в этой точке.

Итак, пусть дана функция y = f (x), которая имеет производную y = f ’(x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке x₀ ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:

y = f ’(x₀) · (x − x₀) + f (x₀)

Здесь f ’(x₀) — значение производной в точке x₀,а f (x₀) — значение самой функции.

Задача. Дана функция y = x³. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x₀ = 2.

Уравнение касательной: y = f ’(x₀) · (x − x₀) + f(x₀).Точка x₀ = 2 нам дана, а вот значения f (x₀) и f ’(x₀) придется вычислять.

Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x₀) = f (2) = 2³ = 8;
Теперь найдем производную: f ’(x) = (x³)’ = 3x²;
Подставляем в производную x₀ = 2: f ’(x₀) = f ’(2) = 3 · 2² = 12;
Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Это и есть уравнение касательной.

Задача. Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 2sin x + 5в точке x₀ = π/2.

В этот раз не будем подробно расписывать каждое действие — укажем лишь ключевые шаги. Имеем:

f (x₀) = f (π/2) = 2sin (π/2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x₀) = f ’(π/2) = 2cos (π/2) = 0;

Уравнение касательной:

y = 0 · (x − π/2) + 7 ⇒ y = 7

В последнем случае прямая оказалась горизонтальной, т.к. ее угловой коэффициент k = 0. Ничего страшного в этом нет — просто мы наткнулись на точку экстремума.

Смотрите также:

1. Правила вычисления производных
2. Вводный урок по вычислению производных степенной функции
3. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №6
4. Площадь круга
5. Иррациональные неравенства. Часть 1
6. Задача B5: вычисление площади методом обводки

www.berdov.com

Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Задание 7

Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Задание 7.

 

Вспомним определение производной:

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Исходя из этого определения, рассмотрим, каким образом производная функции  связана с графиком этой функции.

Посмотрите ВИДЕОУРОК, в котором я подробно объясняю, в чем заключается геометрический смысл производной, и как выводится уравнение касательной. А затем мы рассмотрим решение задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.

 

 

Итак.

Геометрический смысл производной.

Тангенс угла наклона касательной (угловой коэффициент наклона касательной), проведенной к графику функции   в точке    равен производной функции в этой точке:

Заметим, что угол  — это угол между прямой и положительным направлением оси ОХ:

Уравнение касательной к графику функции  в точке  имеет вид:

В этом уравнении:

— абсцисса точки касания,

— значение функции  в точке касания,

— значение производной функции  в точке касания.

Приведем несколько примеров решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике, в которых используется знание геометрического смысла производной.

Пример 1. Задание В8 (№ 27504) На рисунке изображены график функции   и касательная к нему в точке с абcцисcой  . Найдите значение производной функции  в точке  .

Значение производной функции  в точке  равно тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ОХ. Чтобы его найти, выделим прямоугольный треугольник, гипотенуза которого лежит на касательной, а катеты параллельны осям координат. Обозначим точки с целыми координатами буквами  А и В — эти точки выделены на касательной:

Проведем через точку А прямую параллельно оси ОХ, а через точку В — параллельно оси OY. Получим прямоугольный треугольник ABC:

Угол А  треугольника  АВС равен углу между касательной и положительным направлением оси ОХ.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Длины катетов считаем по количеству клеточек.

Ответ: 0,25

Пример 2. Задание В8 (№ 27506) На рисунке изображены график функции   и касательная к нему в точке с абцисоой  . Найдите значение производной функции  в точке .

Эта задача очень похожа на предыдущую, за исключением того, что здесь касательная  наклонена влево, и угол между касательной и положительным направлением оси ОХ расположен так:

Построим, как предыдущей задаче, прямоугольный треугольник АВС:

Угол А треугольника ABC и угол — смежные, то есть их сумма равна 180 градусов. Значит,

Запомните, если прямая наклонена влево, то коэффициент наклона прямой отрицателен.

Ответ: -0,25

Пример 3. Задание В8 (№ 40129)  На рисунке изображен график функции . Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсцссой 8. Найдите значение производной функции в точке .

Соединим  отрезком точку начала координат с точкой касания:

Производная функции в точке касания равна тангенсу угла  между касательной и положительным направлением оси ОХ:

Чтобы найти тангенс , рассмотрим прямоугольный треугольник АОВ:

 

Ответ: 1,25

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Внеклассный урок — Касательная к графику функции

Касательная к графику функции

 

Касательная – это прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка (рис.1).

Другое определение: это предельное положение секущей при Δx→0.

Пояснение: Возьмем прямую, пересекающую кривую в двух точках: А и b (см.рисунок). Это секущая. Будем поворачивать ее по часовой стрелке до тех пор, пока она не обретет только одну общую точку с кривой. Так мы получим касательную.

  

Строгое определение касательной:

Касательная к графику функции f, дифференцируемой в точке x_о, — это прямая, проходящая через точку (x_о; f(x_о)) и имеющая угловой коэффициент f ′(x_о). 

Угловой коэффициент имеет прямая вида y = kx + b.  Коэффициент k и является угловым коэффициентом этой прямой.

Угловой коэффициент равен тангенсу острого угла, образуемого этой прямой с осью абсцисс:

 
Здесь угол α – это угол между прямой y = kx + b и положительным (то есть против часовой стрелки) направлением оси абсцисс. Он называется углом наклона прямой (рис.1 и 2).
  Если угол наклона прямой y = kx + b острый, то угловой коэффициент является положительным числом. График возрастает (рис.1).

Если угол наклона прямой y = kx + b тупой, то угловой коэффициент является отрицательным числом. График убывает (рис.2).

Если прямая параллельна оси абсцисс, то угол наклона прямой равен нулю. В этом случае угловой коэффициент прямой тоже равен нулю (так как тангенс нуля есть ноль). Уравнение прямой будет иметь вид y = b (рис.3).

Если угол наклона прямой равен 90º (π/2), то есть она перпендикулярна оси абсцисс, то прямая задается равенством x = c, где c – некоторое действительное число (рис.4).

 

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке x_о:

y = f(xо) + f ′(xо) (x – xо)

 

Алгоритм решения уравнения касательной к графику функции y = f(x):

1. Вычислить f(xо). 2. Вычислить  производные f ′(x) и f ′(xо). 3. Внести найденные числа xо,  f(xо),  f ′(xо) в уравнение касательной и решить его.

 
Пример: Найдем уравнение касательной к графику функции f(x) = x³ – 2x² + 1 в точке с абсциссой 2.

Решение.

Следуем алгоритму.

1) Точка касания x_о равна 2. Вычислим f(x_о):

 f(x_о) = f(2) = 2³ – 2 ∙ 2² + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Находим f ′(x). Для этого применяем формулы дифференцирования, изложенные в предыдущем разделе. Согласно этим формулам, х² = 2х, а х³ = 3х². Значит:

f ′(x) = 3х² – 2 ∙ 2х = 3х² – 4х.

Теперь, используя полученное значение f ′(x), вычислим f ′(x_о):

f ′(x_о) = f ′(2) = 3 ∙ 2² – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Итак, у нас есть все необходимые данные: x_о = 2, f(x_о) = 1, f ′(x_о) = 4. Подставляем эти числа в уравнение касательной и находим окончательное решение:

у = f(x_о) + f ′(x_о) (x – x_о) = 1 + 4 ∙ (х – 2) = 1 + 4х – 8 = –7 + 4х = 4х – 7.

Ответ: у = 4х – 7.

 

raal100.narod.ru