Теорема о кинетической энергии системы — Википедия

Теоре́ма о кинети́ческой эне́ргии систе́мы — одна из общих теорем динамики^[1], является следствием законов Ньютона. Связывает кинетическую энергию механической системы с работой сил, действующих на тела, составляющие систему. В качестве системы, о которой идёт речь, может выступать любая механическая система, состоящая из любых тел^[2][3].

Кинетической энергией системы называют сумму кинетических энергий всех тел, входящих в систему. Для определённой таким образом величины справедливо утверждение^[2][3]:

Изменение кинетической энергии системы равно работе всех внутренних и внешних сил, действующих на тела системы.

Теорема допускает обобщение на случай неинерциальных систем отсчёта. В этом случае к работе всех внешних и внутренних сил необходимо добавить работу переносных сил инерции (кориолисовы силы инерции не могут производить работу)^[4].

Рассмотрим систему материальных точек с массами mi{\displaystyle m_{i}}, скоростями v→i{\displaystyle {\vec {v}}_{i}} и кинетическими энергиями Ti=12mivi2{\displaystyle T_{i}={\frac {1}{2}}m_{i}{v_{i}}^{2}}. Для малого изменения кинетической энергии (дифференциала), происходящего в течение некоторого малого промежутка времени dt,{\displaystyle dt,} будет выполняться

dTi=miv→idv→i=miv→idv→idtdt.{\displaystyle dT_{i}=m_{i}{\vec {v}}_{i}d{\vec {v}}_{i}=m_{i}{\vec {v}}_{i}{\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}dt.}

Учитывая, что dv→idt{\displaystyle {\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}} представляет собой ускорение i-ой точки a→i{\displaystyle {\vec {a}}_{i}}, а v→idt{\displaystyle {\vec {v}}_{i}dt} — перемещение той же точки ds→i{\displaystyle d{\vec {s}}_{i}} за время dt{\displaystyle dt}, полученное выражение можно записать в виде:

dTi=mia→ids→i.{\displaystyle dT_{i}=m_{i}{\vec {a}}_{i}d{\vec {s}}_{i}.}

Используя второй закон Ньютона и обозначая равнодействующую всех сил, действующих на точку, как Fi{\displaystyle F_{i}}, получаем

dTi=F→ids→i,{\displaystyle dT_{i}={\vec {F}}_{i}d{\vec {s}}_{i},}

а затем в соответствии с определением работы dAi{\displaystyle dA_{i}}

dTi=dAi.{\displaystyle dT_{i}=dA_{i}.}

Суммирование всех уравнений такого вида, записанных для каждой из материальных точек, приводит к формуле для изменения полной кинетической энергии системы:

dT=∑idAi.{\displaystyle dT=\sum \limits _{i}dA_{i}.}

Данное равенство выражает утверждение теоремы об изменении кинетической энергии системы в дифференциальном виде.

Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми t1{\displaystyle t_{1}} и t2{\displaystyle t_{2}}, получим выражение теоремы об изменении кинетической энергии в интегральной форме:

T2−T1=∑iAi,{\displaystyle T_{2}-T_{1}=\sum \limits _{i}A_{i},}

где T1{\displaystyle T_{1}} и T2{\displaystyle T_{2}} — значения кинетической энергии системы в моменты времени t1{\displaystyle t_{1}} и t2{\displaystyle t_{2}} соответственно.

Необходимо подчеркнуть, что здесь, в отличие от случаев теоремы об изменении количества движения системы и теоремы о движении центра масс системы, учитывается действие не только внешних, но внутренних сил.

Закон сохранения механической энергии[править | править код]

Отдельный интерес представляют системы, в которых на тела действуют потенциальные силы^[5]. Для таких сил вводится понятие потенциальной энергии, изменение которой в случае одной материальной точки по определению удовлетворяет соотношению:

W2i−W1i=−Api,{\displaystyle W_{2i}-W_{1i}=-A_{pi},}

где W1i{\displaystyle W_{1i}} и W2i{\displaystyle W_{2i}} — значения потенциальной энергии точки в начальном и конечном состояниях соответственно, а Api{\displaystyle A_{pi}} — работа потенциальной силы, совершаемая при перемещении точки из начального состояния в конечное.

Изменение потенциальной энергии системы получается в результате суммирования изменений энергий всех тел системы:

W2−W1=−∑iApi.{\displaystyle W_{2}-W_{1}=-\sum \limits _{i}A_{pi}.}

Если все внутренние и внешние силы, действующие на тела системы, потенциальны^[6], то

∑iAi=∑iApi=−(W2−W1).{\displaystyle \sum \limits _{i}A_{i}=\sum \limits _{i}A_{pi}=-(W_{2}-W_{1}).}

Подставляя полученное выражение в уравнение теоремы о кинетической энергии, получим:

T2−T1=−(W2−W1){\displaystyle T_{2}-T_{1}=-(W_{2}-W_{1})}

или, что то же самое

T2+W2=T1+W1.{\displaystyle T_{2}+W_{2}=T_{1}+W_{1}.}

Иначе говоря, получается, что для полной механической энергии системы T+W{\displaystyle T+W} выполняется

T+W=const.{\displaystyle T+W=const.}

Таким образом, можно сделать вывод:

Если на тела системы действуют только потенциальные силы, то полная механическая энергия системы сохраняется.

Данное утверждение и составляет содержание закона сохранения механической энергии, являющегося следствием теоремы о кинетической энергии и одновременно частным случаем общего физического закона сохранения энергии

[2]^[3].

Случай системы с идеальными стационарными связями[править | править код]

Основной источник: ^[7]

В тех случаях, когда предметом изучения является лишь движение системы, а реакции связей не представляют интереса, пользуются формулировкой теоремы для системы с идеальными стационарными связями, которая выводится с учетом принципа Даламбера-Лагранжа.

Теорема об изменении кинетической энергии системы с идеальными стационарными связями утверждает^[7]:

Дифференциал кинетической энергии системы с идеальными стационарными связями равен сумме элементарных работ на действительных перемещениях действующих внешних и внутренних сил

Доказательство[править | править код]

Заменяя в общем уравнении динамики δrk→{\displaystyle \delta {\vec {r_{k}}}} на vk→dt{\displaystyle {\vec {v_{k}}}dt}, получаем:

(∑mkwk→)vk→dt=∑Fk→vk→dt{\displaystyle (\sum m_{k}{\vec {w_{k}}}){\vec {v_{k}}}dt=\sum {\vec {F_{k}}}{\vec {v_{k}}}dt}

или

(d∑mkvk→)vk→=∑Fkae→vk→dt+∑Fkai→vk→dt{\displaystyle (d\sum m_{k}{\vec {v_{k}}}){\vec {v_{k}}}=\sum {\vec {F_{k}^{ae}}}{\vec {v_{k}}}dt+\sum {\vec {F_{k}^{ai}}}{\vec {v_{k}}}dt}

Поскольку dvk→vk→=dvk22{\displaystyle d{\vec {v_{k}}}{\vec {v_{k}}}=d{\frac {v_{k}^{2}}{2}}}, получаем окончательно:

dT=d′Aae+d′Aai{\displaystyle dT=d’A^{ae}+d’A^{ai}}

1. ↑ Тарг С. М. Динамика // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1: Ааронова — Бома эффект — Длинные линии. — С. 616-617. — 707 с. — 100 000 экз.
2. ↑ ^{1 2 3} Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М.: Высшая школа, 1995. — С. 301-323. — 416 с. — ISBN 5-06-003117-9.
3. ↑ ^{1 2 3} Журавлёв В. Ф. Основы теоретической механики. — М.: Физматлит, 2001. — С. 70-71. — 319 с. — ISBN 5-95052-041-3.
4. ↑ Жирнов Н. И. Классическая механика. — Серия: учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. — М., Просвещение, 1980. — Тираж 28 000 экз. — с. 262
5. ↑ Напомним, что силы называют потенциальными, если работа, совершаемая ими при перемещении материальной точки, определяется только начальным и конечным положениями точки и не зависит от выбора траектории.
6. ↑ То есть, диссипативные силы отсутствуют.
7. ↑ ^{1 2} Бугаенко Г. А., Маланин В. В., Яковлев В. И. Основы классической механики. — М.: Высшая школа, 1999. — С. 221-223. — ISBN 5-06-003587-5

Энергия вращательного движения — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 3 октября 2015; проверки требуют 4 правки. Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 3 октября 2015; проверки требуют 4 правки.

Кинетическая энергия вращательного движения — энергия тела, связанная с его вращением.

Основные кинематические характеристики вращательного движения тела — его угловая скорость (ω{\displaystyle \omega }) и угловое ускорение.

Основные динамические характеристики вращательного движения — момент импульса L{\displaystyle L} относительно оси вращения z{\displaystyle z}, а именно:

Lz=Izω{\displaystyle L_{z}=I_{z}\omega }

и кинетическая энергия

Ek=Izω22{\displaystyle E_{k}={\frac {I_{z}\omega ^{2}}{2}}}

где Iz{\displaystyle I_{z}} — момент инерции тела относительно оси вращения.

Похожий пример можно найти при рассмотрении вращающейся молекулы с главными осями инерции I₁, I₂ и I₃. Вращательная энергия такой молекулы задана выражением

Hrot=12(I1ω12+I2ω22+I3ω32),{\displaystyle H^{\mathrm {rot} }={\tfrac {1}{2}}(I_{1}\omega _{1}^{2}+I_{2}\omega _{2}^{2}+I_{3}\omega _{3}^{2}),}

где ω₁, ω₂, и ω₃ — главные компоненты угловой скорости.

В общем случае, энергия при вращении с угловой скоростью ω→{\displaystyle {\vec {\omega }}} находится по формуле:

T=12ω→⋅I⋅ω→{\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot I\cdot {\vec {\omega }}}, где I{\displaystyle I} — тензор инерции.

Точно по тем же самым рассуждениям, как и в случае поступательного движения, равнораспределение подразумевает, что при тепловом равновесии средняя вращательная энергия каждой частицы одноатомного газа: (3/2)k_BT. Аналогично, теорема о равнораспределении позволяет вычислить среднеквадратичную угловую скорость молекул.

Кинетическая и потенциальная энергия | LAMPA

Кинетическая энергия

Если вы хоть немного занимались когда-нибудь физикой или просто хотя бы сидели на уроке физики, печально рассматривая ворон за окном, то вы наверняка слышали такое словосочетание — «кинетическая энергия». Нам предстоит понять, что это такое.

Наверняка вы слышали слово «энергия» и в повседневной жизни: «У него есть энергия, он энергичный человек». Опыт нашей бытовой жизни подсказывает нам, что слово энергия означает наличие возможности что-то сделать — то есть совершить работу. Именно так обстоит дело и в физике: энергия — это источник, возможность совершения работы. А теперь — поподробнее.

Итак, мы помним, что работа силы равна

A=F⃗⋅S⃗A=\vec{F}\cdot\vec{S}A=F⃗⋅S⃗.

Если мы хотим найти работу равнодействующей силы, то для равнодействующей силы по 2-му закону Ньютона мы можем написать

F⃗=m⋅a⃗\vec{F}=m\cdot\vec{a}F⃗=m⋅a⃗.

Тогда работа равнодействующей силы перепишется в следующем виде:

A=F⃗⋅S⃗=ma⃗⋅S⃗A=\vec{F}\cdot\vec{S}=m\vec{a}\cdot\vec{S}A=F⃗⋅S⃗=ma⃗⋅S⃗.

Хм… В формуле стоит произведение a⃗⋅S⃗\vec{a}\cdot\vec{S}a⃗⋅S⃗. Где-то это уже было…

Точно! Что-то похожее было в кинематике, в безвременной формуле (в теме «Равноускоренное движение»):

2a⃗⋅S⃗=V22−V122\vec{a}\cdot\vec{S}=V_2^2-V_1^22a⃗⋅S⃗=V22​−V12​.

Тогда можно переписать работу равнодействующей силы:

A=F⃗⋅S⃗=ma⃗⋅S⃗=mV22−V122=mV222−mV122.A=\vec{F}\cdot\vec{S}=m\vec{a}\cdot\vec{S}=m\frac{V_2^2-V_1^2}{2}=\frac{mV_2^2}{2}-\frac{mV_1^2}{2}.A=F⃗⋅S⃗=ma⃗⋅S⃗=m2V22​−V12​​=2mV22​​−2mV12​​.

Видно, что работа силы равна изменению некоторой величины mV22\frac{mV^2}{2}2mV2​. Эту величину называют кинетической энергией:

Ek=mV22E_k=\frac{mV^2}{2}Ek​=2mV2​.

A=mV222−mV122=Ek2−Ek1A=\frac{mV_2^2}{2}-\frac{mV_1^2}{2}=E_{k2}-E_{k1}A=2mV22​​−2mV12​​=Ek2​−Ek1​.

«Кинетическая» — значит, связана она с кинетикой, с движением. «Кинетическая энергия» — это энергия движения.

Попробуем «прочувствовать» эту новую величину, кинетическую энергию.

Ситуация 1

Тело разгоняется силой F⃗\vec{F}F⃗, которая направлена так же, как и перемещение, которое приобретает тело под действием этой силы.

При этом скорость будет увеличиваться: V2>V1V_2>V_1V2​>V1​. Кинетическая энергия тоже будет увеличиваться: mV222>mV122\frac{mV_2^2}{2}>\frac{mV_1^2}{2}2mV22​​>2mV12​​, — а разница энергий будет больше нуля: mV222−mV122>0\frac{mV_2^2}{2}-\frac{mV_1^2}{2}>02mV22​​−2mV12​​>0.

При этом и работа будет положительная, потому что сила и перемещение направлены в одну и ту же сторону: A>0A>0A>0. Это значит, что

работа «полезной» силы увеличивает кинетическую энергию системы.

Ситуация 2

Тело тормозится силой F⃗\vec{F}F⃗.

Скорость при этом уменьшается: V2<V1V_2<V_1V2​<V1​. Кинетическая энергия — тоже: mV222<mV122\frac{mV_2^2}{2}<\frac{mV_1^2}{2}2mV22​​<2mV12​​. Это значит, что mV222−mV122<0\frac{mV_2^2}{2}-\frac{mV_1^2}{2}<02mV22​​−2mV12​​<0. Работа при этом тоже отрицательная из-за угла в 180∘180^{\circ}180∘ между направлением силы и перемещения: A<0A<0A<0, — так же как и изменение кинетической энергии. Получается, что работа «неполезной» силы уменьшает кинетическую энергию.

Изменение кинетической энергии равно работе — значит, кинетическая энергия измеряется в тех же единицах, что и работа — в Джоулях:

[Ek]=[mV22]=1 Дж[E_k]=[\frac{mV^2}{2}]=1\text{ Дж}[Ek​]=[2mV2​]=1 Дж.

Рассмотрим пример.

14) Кинет. Энергия вращения. Теорема о кинет. Энергии вращ. Тела Кинетическая энергия вращения

Возьмем абсолютно твердое тело, вращающееся около неподвижной оси z, проходящей через него (рис. 1). Разобьем тело на маленькие объемы с элементарными массами m₁, m₂,…, m_n , находящиеся на расстоянии r₁, r₂,…, r_n от оси. 

Рис.1

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси каждый из его элементарных объемов массами m_i опишет окружность соответствующих радиусов r_i; при этом объем будет иметь соответствующую линейную скорость v_i. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова:   (1)  Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных объемов:   или  Используя выражение (1), получаем    где J_z — момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела   (2)  Из сравнения формулы (2) с выражением для кинетической энергии поступательно движущегося тела (T=mv²/2), мы видим, что момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении. Формула (2) справедлива для тела вращающегося вокруг неподвижной оси.  В качеcтве примера напишем формулу для плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения. Его энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:    где m — масса катящегося тела; v_c — скорость центра масс тела; J_c — момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; ω — угловая скорость тела.

Кинетическая энергия вращательного движения — энергия тела, связанная с его вращением.

Основные кинематические характеристики вращательного движения тела — его угловая скорость () и угловое ускорение. Основные динамические характеристики вращательного движения — момент импульса относительно оси вращения z:

и кинетическая энергия

где I_z — момент инерции тела относительно оси вращения.

Похожий пример можно найти при рассмотрении вращающейся молекулы с главными осями инерции I₁, I₂ и I₃. Вращательная энергия такой молекулы задана выражением

где ω₁, ω₂, и ω₃ — главные компоненты угловой скорости.

В общем случае, энергия при вращении с угловой скоростью находится по формуле:

, где  — тензор инерции.

15) Потенциальная энергия—скалярнаяфизическая величина, характеризующая способность некого тела (или материальной точки) совершатьработуза счет своего нахождения в поле действия сил. Другое определение: потенциальная энергия — это функция координат, являющаяся слагаемым влагранжианесистемы, и описывающая взаимодействие элементов системы[1]. Термин «потенциальная энергия» был введен в XIX векешотландскиминженером и физикомУильямом Ренкином.

Единицей измерения энергии в СИявляетсяДжоуль.

Потенциальная энергия принимается равной нулю для некоторой конфигурации тел в пространстве, выбор которой определяется удобством дальнейших вычислений. Процесс выбора данной конфигурации называется нормировкой потенциальной энергии.

Корректное определение потенциальной энергии может быть дано только в поле сил, работа которых зависит только от начального и конечного положения тела, но не от траектории его перемещения. Такие силы называются консервативными.

Также потенциальная энергия является характеристикой взаимодействия нескольких тел или тела и поля.

Любая физическая система стремится к состоянию с наименьшей потенциальной энергией.

Потенциальная энергия упругой деформациихарактеризует взаимодействие между собой частей тела.

Градиент — вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины , значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля).

Градиент потенциальной энергии – первая производная потенциальной энергии молекулярной системы по ядерным координатам. Точки ППЭ, в которых градиент энергии равен нулю, отвечают глобальному или локальному минимуму или переходному состоянию конфигурации молекулярной системы.

Каждой точке потенциального поля соответствует, с одной стороны, некоторое значение вектора силы F, действующей на тело, и, с другой стороны, некоторое значение потенциальной энергии Wп. Следовательно, между силой и потенциальной энергией должна существовать определенная связь.

Дальше много вычислений, в конце получаем: 

Эта формула определяет проекции вектора силы на координатные оси. Если известны эти проекции, оказывается определенным и сам вектор силы:

=

Сила равна градиенту потенциальной энергии, взятого с обратным знаком:

=

Причиной движения материальной частицы является потенциальное поле, то мы вынуждены признать, что под воздействием этого поля частица должна двигаться ускоренно.

ТЕОРЕМА О ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ

– работа консервативных сил, действующих на тело, равна изменению его потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком.

Потенциальная энергия Eр зависит от выбора нулевого уровня, т. е. от выбора начала координат оси OY. Физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а ее изменение ΔEр = Eр2 – Eр1 при перемещении тела из одного положения в другое. Это изменение не зависит от выбора нулевого уровня.

Понятие потенциальной энергии можно ввести и для силы упругости. Эта сила также обладает свойством консервативности. Растягивая (или сжимая) пружину, мы можем делать это различными способами.

Можно просто удлинить пружину на величину x, или сначала удлинить ее на 2x, а затем уменьшить удлинение до значения x и т. д. Во всех этих случаях сила упругости совершает одну и ту же работу, которая зависит только от удлинения пружины x в конечном состоянии, если первоначально пружина была недеформирована. Эта работа равна работе внешней силы A, взятой с противоположным знаком

где k – жесткость пружины. Растянутая (или сжатая) пружина способна привести в движение прикрепленное к ней тело, т. е. сообщить этому телу кинетическую энергию. Следовательно, такая пружина обладает запасом энергии. Потенциальной энергией пружины (или любого упруго деформированного тела) называют величину

Потенциальная энергия упруго деформированного тела равна работе силы упругости при переходе из данного состояния в состояние с нулевой деформацией.

Если в начальном состоянии пружина уже была деформирована, а ее удлинение было равно x1, тогда при переходе в новое состояние с удлинением x2 сила упругости совершит работу, равную изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком:

Потенциальная энергия при упругой деформации – это энергия взаимодействия отдельных частей тела между собой посредством сил упругости.

Свойством консервативности наряду с силой тяжести и силой упругости обладают некоторые другие виды сил, например, сила электростатического взаимодействия между заряженными телами. Сила трения не обладает этим свойством. Работа силы трения зависит от пройденного пути. Понятие потенциальной энергии для силы трения вводить нельзя.

8.Кинетическая энергия. Связь работы с кинетической энергией.

Кинетическая энергия. Физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости, называется кинетической энергией тела.

Кинетическая энергия тела обозначается буквой E_к:.

Работа равнодействующей сил, приложенных к телу, равна изменению кинетической энергии тела. Это утверждение называют теоремой о кинетической энергии.

Так как изменение кинетической энергии равно работе силы, кинетическая энергия выражается в тех же единицах, что и работа, т. е. в джоулях. Если начальная скорость движения тела массой m равна нулю и тело увеличивает свою скорость до значения , то работа силы равна конечному значению кинетической энергии тела:.

Кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью , равна работе, которую должна совершить сила, действующая на покоящееся тело, чтобы сообщить ему эту скорость.

9. Потенциальная энергия. Связь работы с потенциальной энергией. Принцип минимума потенциальной энергии.

Потенциальная энергия – энергия, определяемая взаимным расположением тел или отдельных частей тела относительно друг друга, т.е. потенциальная энергия зависит от конфигурации системы.

Соотношение, связывающее работу потенциальной силы с изменением потенциальной энергии системы, имеет вид: ,где  – приращение потенциальной энергии.

Принцип минимума потенциальной энергии состоит в том, что любая система стремится перейти в такое состояние, при котором ее потенциальная энергия окажется минимальной.

10. Закон сохранение механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т. е. не изменяется со временем.

Консервативные силы это все силы кроме силы трения и сопротивления. В этом случае с течением времени полная механическая энергия системы уменьшается. Но механическая энергия не исчезает, она переходит в другие виды энергии, например, при силе трения во внутреннюю энергию.

11. Закон сохранения импульса

Последнее выражение и является законом сохранения импульса: импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

12.Столкновение тел. Упругий и неупругий удар

Примером применения законов сохранения импульса и энергии при решении реальной физической задачи является удар абсолютно упругих и неупругих тел.

Абсолютно упругий удар — столкновение двух тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию

Абсолютно неупругий удар — столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое. Продемонстрировать абсолютно неупругий удар можно с помощью шаров из пластилина (глины), движущихся навстречу друг другу

13. Динамика вращательного движения. Момент силы. Момент импульса.

Вращательным движением тела вокруг  фиксированной  оси называют движение, при котором произвольная точка тела, кроме тех, что лежат на оси вращения, движется по окружности  в плоскости, перпендикулярной оси вращения, с центром, лежащим на этой оси.

Момент силы относительно оси — это скалярная величина, которая  является  характеристикой вращательного действия  силы, равная произведению модуля силы, действующей на твердое тело, на плечо силы этой силы относительно данной оси: M = Fd. Моме́нт и́мпульса характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Пояснение, чем кинетическая энергия отличается от потенциальной :: SYL.ru

Любое тело на Земле, имеющее вес, обладает энергией. Предмет располагает ею не только при наличии скорости движения, но и при ее отсутствии. Как это получается, в чем кинетическая энергия отличается от потенциальной, что они из себя представляют и есть ли связь между ними?

Физические тела на нашей планете пребывают в двух состояниях: покоя и движения. Каждое из этих положений характеризуется противоположными видами механической энергии: в первом случае – потенциальной, во втором случае – кинетической. Ее расход необходим при совершении работы по перемещению объекта в пространстве. В международной системе СИ единицей измерения признан Джоуль, сокращенно Дж.

Состояние покоя

Для понимания, чем кинетическая энергия отличается от потенциальной, определимся с сущностью каждой из них. Потенциальная энергия определяется расположением тел и его составляющих относительно друг друга. Она проявляется при влиянии силы тяжести или упругости на какое-либо физическое тело. В формуле выражается так:

Кинетическая энергия увеличивается с ростом веса тела и высоты предмета относительно наблюдаемой системы отсчета, которой чаще всего выступает Земля.

При нахождении тела над землей потенциальная энергия будет положительной (при отрицательной работе силы тяжести), а при падении тела — отрицательной (при отрицательной работе силы тяжести). В горизонтальном направлении она наблюдается при рассмотрении силы упругости, появляющейся при распрямлении пружины. Примерами тел, обладающих ею, являются любые поднятые над землей объекты: яблоко, мяч, бетонная плита. По значению равна силе тяжести или упругости с противоположным знаком.

Состояние движения

Для детального пояснения, чем потенциальная энергия отличается от кинетической, обозначим природу тел в состоянии движения. Кинетическая энергия появляется у физического тела в результате движения. При поступательном движении формула ее нахождения выглядит так:

Это свидетельствует о присутствии зависимости от скорости движения и массы тела. При скорости, равной 0 (что соответствует состоянию покоя), ее значение будет составлять 0. Она тождественно равна работе, совершаемой при движении тела.

Помимо поступательного движения, существует вращательный тип передвижения, при котором работа определяется моментом инерции и угловой скоростью.

Объект может обладать кинетической энергией при пребывании на Земле в положении покоя, если в качестве системы отсчета взят другой объект Солнечной системы вместо Земли (Луна, Солнце).

Примерами тел с кинетической энергией являются перемещающиеся транспортные средства, любое катящееся физическое тело.

Одновременное сосуществование двух сил

Значения кинетической и потенциальной энергии для некоторых тел одновременно могут быть ненулевыми.

В целом можно проследить переход из одной в другую и наоборот. Например, мальчик отпускает мяч сверху вниз. В момент покоя над землей в руках мальчика кинетическая энергия равняется 0, а потенциальная энергия имеет максимальное значение по модулю, так как движение полностью отсутствует. При падении в самой нижней точке около земли, перед ударом, их значения поменяются на противоположные.

Летающие стрелы, маятники, падающая с плотины вода выступают наглядными примерами сосуществования двух сил.

Ключевое отличие между силами покоя и движения

Между определениями кинетической и потенциальной энергии существует разница, и она заключается в сущности самих разновидностей механических сил. Потенциальная энергия характеризует нереализованную сторону предмета в состоянии покоя, а кинетическая энергия описывает предмет в состоянии движения.

Согласно закону сохранения энергии, эти две силы, характеризующие состояние физического предмета, никуда не исчезают, а попеременно переходят из одной в другую. Это и является объяснением того, чем кинетическая энергия отличается от потенциальной.

Парадокс кинетической энергии — Википедия

Парадокс кинетической энергии — мысленный эксперимент в рамках классической механики, якобы свидетельствующий о нарушении принципа относительности Галилея. При изменении скорости тела приращение его кинетической энергии в одной системе отсчёта не равно приращению в другой системе отсчёта. Отсюда якобы следует существование систем отсчёта, где нарушается закон сохранения энергии, и, вследствие этого, якобы нарушается принцип относительности Галилея.

Рассмотрим игрушечный автомобиль с заводной пружиной, которая способна запасать потенциальную энергию W{\displaystyle W}. Потерями энергии на трение пренебрежём. Пусть этот запас энергии способен разогнать игрушку до скорости v{\displaystyle v}. Перейдём в другую инерциальную систему отсчёта, которая движется относительно Земли навстречу автомобилю со скоростью v{\displaystyle v}. С точки зрения этой системы отсчёта, скорость игрушки до разгона равна v{\displaystyle v} и кинетическая энергия равна W{\displaystyle W}. Скорость игрушки после разгона равна 2v{\displaystyle 2v} и кинетическая энергия 4W{\displaystyle 4W}. Таким образом, кинетическая энергия автомобиля возросла на 3W{\displaystyle 3W}, что превышает запас энергии в пружине W{\displaystyle W}^[1].

Объяснение парадокса[править | править код]

Парадокс объясняется тем, что в приведённых рассуждениях не учитывается изменение импульса и кинетической энергии Земли в процессе разгона игрушки. Если учесть изменение импульса и кинетической энергии Земли, то парадокс объясняется. Вращательным движением Земли пока пренебрежём.

Перейдём в систему отсчёта, в которой Земля и игрушка вначале неподвижны. После разгона игрушки, в соответствии с законом сохранения импульса, можно записать уравнение mv+MV=0{\displaystyle mv+MV=0}, где m{\displaystyle m} — масса игрушки, v{\displaystyle v} — скорость игрушки, M{\displaystyle M} — масса Земли, V{\displaystyle V} — скорость Земли. В соответствии с законом сохранения энергии можно записать уравнение W=mv22+MV22{\displaystyle W={\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {MV^{2}}{2}}}. Выражая скорость Земли V{\displaystyle V} из уравнения mv+MV=0{\displaystyle mv+MV=0} и подставляя в уравнение W=mv22+MV22{\displaystyle W={\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {MV^{2}}{2}}}, получим W=mv22(1+mM){\displaystyle W={\frac {mv^{2}}{2}}\left(1+{\frac {m}{M}}\right)}^[1].

Перейдём затем в систему отсчёта, в которой Земля и игрушка вначале движутся со скоростью v{\displaystyle v}. После разгона игрушки, в соответствии с законом сохранения импульса, можно записать уравнение m(2v)+MV1=(m+M)v{\displaystyle m(2v)+MV_{1}=(m+M)v}, где V1{\displaystyle V_{1}} — скорость Земли после разгона игрушки. В соответствии с законом сохранения энергии для изменения кинетической энергии можно записать уравнение δE=m(2v)22+MV122−(m+M)v22{\displaystyle \delta E={\frac {m(2v)^{2}}{2}}+{\frac {MV_{1}^{2}}{2}}-{\frac {(m+M)v^{2}}{2}}}. Выразим скорость Земли V1{\displaystyle V_{1}} из уравнения m(2v)+MV1=(m+M)v{\displaystyle m(2v)+MV_{1}=(m+M)v} и подставим в уравнение δE=m(2v)22+MV122−(m+M)v22{\displaystyle \delta E={\frac {m(2v)^{2}}{2}}+{\frac {MV_{1}^{2}}{2}}-{\frac {(m+M)v^{2}}{2}}}. Получим δE=3mv22+M2[(1−mM)2v2−v2]{\displaystyle \delta E=3{\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {M}{2}}\left[(1-{\frac {m}{M}})^{2}v^{2}-v^{2}\right]}. После простых преобразований получим δE=mv22(1+mM)=W{\displaystyle \delta E={\frac {mv^{2}}{2}}\left(1+{\frac {m}{M}}\right)=W}. То есть и в этом случае изменение кинетической энергии всей системы равно потенциальной энергии пружины W{\displaystyle W}^[2].

Изменение кинетической энергии игрушки в новой системе отсчёта в три раза больше, чем в системе отсчёта, связанной с Землёй за счёт того, что оно происходит не только за счёт потенциальной энергии пружины, но и за счёт того, что колёса игрушки в новой системе отсчёта тормозят Землю^[2].

Учтём теперь вызываемое игрушкой вращение Земли. В правой части формулы W=mv22+MV22{\displaystyle W={\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {MV^{2}}{2}}} появится и кинетическая энергия вращения Земли. Она будет того же порядка, что и кинетическая энергия поступательного движения Земли, поэтому в системе отсчёта, где Земля была неподвижной, ею, как и энергией поступательного движения Земли, можно пренебречь и считать, что вся потенциальная энергия пружины превращается в кинетическую энергию игрушки. В системе отсчёта, где скорости игрушки и Земли в начале равны v{\displaystyle v}, кинетическая энергия вращения Земли будет такой же, как и в первой системе отсчёта, поскольку изменение угловой скорости Земли одинаково во всех инерциальных системах отсчёта. Поэтому энергией вращения можно пренебречь и во второй системе отсчёта^[3].

Рассмотрим тело массой m{\displaystyle m} движущееся со скоростью v1{\displaystyle v_{1}}. Пусть на это тело в течение некоторого времени t{\displaystyle t} действует постоянная сила F{\displaystyle F}, направленная по той же прямой, что и скорость v1{\displaystyle v_{1}}. Она изменяет скорость тела от значения v1{\displaystyle v_{1}} до значения v2{\displaystyle v_{2}}. В результате действия этой силы изменение кинетической энергии тела будет равно m2(v22−v12){\displaystyle {\frac {m}{2}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})}.

Теперь перейдём в другую систему отсчёта, движущуюся относительно прежней системы отсчёта равномерно и прямолинейно со скоростью v{\displaystyle v}, направленной по той же прямой, что и скорость v1{\displaystyle v_{1}}. В этой системе отсчёта изменение кинетической энергии будет равно m2((v2−v)2−(v1−v)2)=m2(v22−v12)−mv(v2−v1){\displaystyle {\frac {m}{2}}((v_{2}-v)^{2}-(v_{1}-v)^{2})={\frac {m}{2}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})-mv(v_{2}-v_{1})}, то есть будет меньше, чем в первой системе отсчёта, что не согласуется с принципом относительности Галилея^[4].

Объяснение парадокса[править | править код]

Принцип относительности требует, чтобы в двух рассматриваемых системах отсчёта соблюдались одни и те же физические законы. Таким образом должен выполняться закон сохранения энергии, согласно которому изменение энергии тела должно быть равно работе внешних сил. Поэтому в первой системе должно быть справедливо соотношение m2(v22−v12)=Fs{\displaystyle {\frac {m}{2}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})=Fs}. Здесь s{\displaystyle s} — длина пути, пройденного телом в первой системе за то время, в течение которого скорость возросла с v1{\displaystyle v_{1}} до v2{\displaystyle v_{2}}. Так как тело движется с ускорением Fm{\displaystyle {\frac {F}{m}}}, то s=v1t+Fmt22{\displaystyle s=v_{1}t+{\frac {F}{m}}{\frac {t^{2}}{2}}}.

Во второй системе m2(v22−v12)−mv(v2−v1)=Fs1{\displaystyle {\frac {m}{2}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})-mv(v_{2}-v_{1})=Fs_{1}}. Здесь s1{\displaystyle s_{1}} — длина пути, пройденного телом во второй системе s1=(v1−v)t+Fmt22{\displaystyle s_{1}=(v_{1}-v)t+{\frac {F}{m}}{\frac {t^{2}}{2}}}. Итак, s−s1=vt{\displaystyle s-s_{1}=vt}. Так как Fm=a=(v2−v1)t{\displaystyle {\frac {F}{m}}=a={\frac {(v_{2}-v_{1})}{t}}}, то t=m(v2−v1)F,s−s1=mv(v2−v1)F{\displaystyle t={\frac {m(v_{2}-v_{1})}{F}},s-s_{1}={\frac {mv(v_{2}-v_{1})}{F}}}. Таким образом F(s−s1)=mv(v2−v1){\displaystyle F(s-s_{1})=mv(v_{2}-v_{1})}.

Работа внешней силы в первой системе отсчёта настолько больше, чем во второй, насколько изменение кинетической энергии в первой системе больше, чем во второй. Так как в первой системе изменение энергии равно работе внешних сил, то это справедливо и для второй системы. Следовательно, принцип относительности Галилея не нарушен^[4].

1. ↑ ^{1 2} Бутиков, 1989, с. 73.
2. ↑ ^{1 2} Бутиков, 1989, с. 74.
3. ↑ Бутиков, 1989, с. 75.
4. ↑ ^{1 2} Шаскольская М. П., Эльцин И. А. Сборник избанных задач по физике. — М., Наука, 1986. — c. 24, 111