«Задачи на суммирование (метод математической индукции)» (10 класс)

Учитель: Кравченко Инна Александровна

МБОУ Гимназия № 3, г. Красноярск

Конспект урока

(2 часа)

Тема: Применение метода математической индукции. Решение задач на суммирование.

Цели:

Формирование у учащихся умения решать задачи на суммирование методом математической индукции;

Развитие познавательных интересов учащихся, грамотную математическую речь;

Средства: презентация.

Формы проведения урока: устная, коллективная.

План урока:

1. Организационный момент;

2. Проверка домашнего задания;

3. Целеполагание;

4. Актуализация знаний;

5. Решение задач;

6. Итог урока;

7. Запись домашнего задания;

8. Организационный момент.

Ход урока

Вид доски

1. Организационный момент;

У: «Здравствуйте, садитесь»

Тема: Решение задач на суммирование.

Слайд № 1

2. Проверка домашнего задания;

(Устно)

У: «Дома вам нужно было попробовать доказать методом математической индукции следующее утверждение:

Любая кучка камней – не является кучкой»

(обсуждают устно)

Д: «Пусть

. Тогда в кучке один камень и утверждение верно.

Пусть при справедливо утверждение о том, что кучка камней не является кучкой.

Пусть . Тогда, добавление еще одного камня не изменит существенно картины и множество из камней также не будет являться кучкой. Следовательно исходное предположение справедливо при всех

»

У: «В чем ошибка?»

Д: «Не было определено, при каком количестве камни образуют кучку»

У: «Какой вывод можно сделать? Можем ли мы доказать данное утверждение методом математической индукции?»

Д: «Данное утверждение нельзя доказать методом математической индукции»

3. Целеполагание;

У: «На прошлых уроках вы познакомились с интересным методом решения задач с помощью математической индукции. Сегодня на уроке мы повторим основные понятия и перейдем к решению задач на суммирование»

4. Актуализация знаний;

У: «Вспомним, какие утверждения называются общими? частными?»

(Дети отвечают, как понимают эти утверждения)

Д: «Общие утверждения – это утверждения, которые относятся ко всем рассматриваемым объектам, частные утверждения относятся к конкретным объектам»

У: «Приведите примеры общих утверждений»

Д: «Все числа, оканчивающиеся четной цифрой, делятся на 2»

У: «Приведите примеры частных утверждений»

Д: «Число 136 делится на 2»

У: «Что такое дедукция?»

Д: «Дедукция – это переход от общих утверждений к частным»

У: «Что такое индукция?»

Д: «Индукция – это переход от частных утверждений к общим»

У: «Какой метод решения задач мы рассматривали на прошлых уроках?»

Д: «Метод математической индукции»

У: «Как звучит принцип математической индукции?»

Д: «Утверждение, зависящее от натурального числа n, справедливо для любого n, если выполнены два условия:

а) утверждение верно для ;

б) из справедливости утверждения для , где – любое натуральное число, вытекает справедливость утверждения и для следующего натурального числа »

У: «Как называется проверка истинности утверждения для ?»

Д: «Началом индукции»

У: «Как называется предположение об истинности при ?»

Д: «Индуктивное предположение»

У: «Как называется доказательство истинности утверждения для на основе истинности утверждения для ?»

Д: «Шаг индукции»

У: «На прошлых уроках вы рассматривали простейшие задачи на применение метода математической индукции. Сегодня мы будем рассматривать применение метода математической индукции к решению задач на суммирование.

В таких задачах доказывается, что некоторая сумма чисел равна некоторому числу»

Слайд № 2

Слайд № 3

Слайд № 4

Слайд № 5

Слайд № 6

5. Решение задач;

У: «Рассмотрим первое задание. Доказать, что сумма квадратов первых чисел натурального ряда равна . Как запишем сумму квадратов первых чисел?»

Д: «»

У: «С чего начнем доказательство?»

Д: «С начала индукции. Проверим истинность утверждения для

. Имеем: верно»

У: «Какой следующий шаг?»

Д: «Индуктивное предположение. Пусть утверждение верно для некоторого , то есть , докажем, что оно верно при , то есть, что верно равенство

»

У: «Как получается последнее равенство?»

Д: «Оно получается, если в обе части доказываемого равенства вместо подставить »

У: «Какой следующий шаг?»

Д: «Шаг индукции. Докажем истинность утверждения для на основе истинности утверждения при .

Имеем:

»

У: «Какие преобразования можно выполнить?»

Д: «Вынесем общий множитель за скобки, во втором множителе раскроем скобки и приведем подобные»

У: «Выполняем, диктуйте, что получилось. Смотрим, к какому виду нам нужно привести правую часть равенства? (Показывает на доску) Множитель получили. На какие множители нужно разложить выражение ?»

Д: «»

У: «Какие будут предложения?»

Д: «Записать как сумму , затем рассмотреть сумму чисел и , вынести общие множители»

У: «Итак, какой вывод можно сделать?»

Д: «По принципу математической индукции утверждение верно для всех натуральных чисел»

Слайд № 7

Слайд № 8а

=

Доказательство:

1),верно.

2) Пусть утверждение верно для некоторого , то есть , докажем, что верно равенство

.

Имеем:

.

По принципу математической индукции утверждение верно для всех натуральных чисел.

У: «Переходим к следующему заданию. Доказать, что при любом натуральном верно равенство

Один ученик выходит к доске, объясняет, остальные самостоятельно в тетради.

С чего начинаем решение?»

Д: «Начало индукции. Проверяем утверждение при »

У: «Доказываем. Как записать утверждение при ? Какой будет следующий член?»

Д: «»

У: «Какое преобразование сделаем?»

Д: «Вынесем общий множитель за скобки»

У: «Итак, какой вывод можно сделать?»

Д: «Доказываемое утверждение справедливо при . В силу метода математической индукции следует, что утверждение верно при любом натуральном »

Слайд № 8б

Задание 2.

Доказательство:

1) ,

верно.

2) Пусть равенство верно при , то есть

Докажем, что утверждение верно при

.

В силу метода математической индукции, утверждение верно при любом

У: «Рассмотрим еще одно задание.

Докажем,

что , где »

(Ученики решают самостоятельно, учитель консультирует индивидуально)

Доказательство:

1), верно.

2) Пусть любое натуральное число и пусть формула верна при , то есть верно. Докажем тогда, что .

В самом деле, В силу принципу математической индукции формула верна для любого натурального »

У: «Молодцы»

Слайд № 9

6. Итог урока;

У: «Итак, чем сегодня на уроке мы занимались?»

Д: «Мы применяли метод математической индукции к решению задач на суммирование»

7. Запись домашнего задания;

У: «Домашнее задание:

Доказать, что для любого натурального справедливы равенства:

1. 1. 

   2. 

   3. 

   4. »

Слайд № 10

Дополнительные задачи.

1. 

2. Равенство Ададурова (названо по имени нашедшего его российского математика XVIII века Василия Евдокимовича Ададурова):

3. 

4. .

Конспект урока по теме «Метод математической индукции»

Алгебра, 10 Дата ___________ Учитель: Чакал Э.М.

Урок №7

Анализ самостоятельной работы. Метод математической индукции

Цели:

Образовательные:

• Проанализировать результаты самостоятельной работы

• обеспечить в ходе урока усвоение метода математической индукции;

• сформировать умение применять этот метод для доказательства тождеств, неравенств, задач на делимость, логических задач.

Воспитательные:

• формирование научного мировоззрения;

• формирование интереса к исследовательской деятельности;

• формирование культуры речи;

• формирование умения корректно высказывать точку зрения.

Развивающие:

• развитие у школьников умение выделять главное, существенное в изучаемом материале;

• умение сравнивать, обобщать, логически излагать свои мысли;

• формирование интеллектуальных чувств (новизны, интереса, удивления).

Типу урока:Урок лекция, беседа. Объяснение нового материала

Оборудование: Мультимедийное оборудование, Презентация по данной теме 

Ход урока

1.Организационный момент

2. Анализ самостоятельной работы

3. Актуализация знаний. Проверка д/з

При изучении явлений в любой области знаний – будь, то математика или история, физика или медицина, астрономия или экономика всюду и всегда основным этапом является установление определенных закономерностей связывающих отдельные элементы изучаемого явления. Мы подмечаем определенную связь между элементами изучаемого явления справедливого для многих частных случаев, затем распространяем на все случае вообще, устанавливая тем самым общий закон, раскрывающий сущность данного явления.

Все утверждения можно разделить на общие и частные. Например, утверждение “Во всяком параллелограмме диагонали делятся в точке пересечения пополам”, является общим, так как относится ко всему множеству параллелограммов. В то же время утверждение “В параллелограмме ABCD диагонали делятся в точке пересечения пополам”, является частным, так как относится к конкретному параллелограмму ABCD.

На основе частных утверждений делают некоторые предположения (гипотезы) о справедливости какого либо утверждения. Иногда эти предположения оказываются верными, иногда ошибочными.

Многие свойства чисел сначала были открыты путем наблюдений, задолго до того как истинность была строго доказана.

4. Изучение нового материала

Переход от частных утверждений к общим называют индукцией (от латинского слова inductio – наведение). Например, знаменитый математик XVII в. П.Ферма, проверив, что числа

, , , ,  простые, сделал по индукции предположение, что для всех n=1,2,3,… числа вида , простые. Однако это предположение оказалось неверным, так как в XVIII веке Л. Эйлер нашел, что  — составное число. Как видим, индукция не является методом доказательства, а лишь помогает сформулировать неизвестный результат в виде некоторой гипотезы, справедливость которой надо потом доказать.

В случае когда утверждение касается конечного числа объектов, его можно доказать, проверяя для каждого объекта.

В чем же заключается суть исследования которое позволяет доказать или опровергнуть математическое утверждение? Ответ мы найдем при разборе следующей задачи.

Задача

Перед нами последовательность нечетных чисел натурального ряда.

1,3,5,7,9,11,13…

Чему равна сумма n первых членов этой последовательности?

Решение

Составим суммы одного, двух, трех, и т.д. первых членов данной последовательности:

S₁=1; 
S₂=1+3=4; 
S₃=1+3+5=9; 
S₄=1+3+5+7=16; 
S₅=1+3+5+7+9=25;

Заметим, что

S₁=1²; 
S₂=4=2²;
S₃=9=3²;
S₄=16=4²; 
S₅=25=5²;

На основе этих наблюдений мы можем высказать предположение, что

S_n=1+3+5+7+…+(2n-1)=n² (1)

Верно ли это предположение при любом целом положительном n?

Приняв наше предположение за закон, не уподобимся ли мы тем зоологам, которые до открытия Австралии утверждали, что все лебеди на земле белые?

Лучше пойдем по иному пути в поисках общего доказательства высказанного нами утверждения.

Предположим, что формула (1) верна для n=k, где kN, то есть

1+3+5+7+…+(2k-1)=k² (2)

Докажем ее справедливость и для числа, непосредственно следующего за k, для числа n=k+1.

S_k+1=1+3+5+7+…+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)² (3)

Заменим на основе равенства (2) S_k=1+3+5+7+…+(2k-1) на k².

S_k+1= S_k +(2k+1)= k² +(2k+1)= (k+1)² (3)

Мы пришли к очень важному выводу:

Если наше предположение верно для некоторого натурального k, то оно непременно остается верным для следующего целого числа k+1.

Мы уверены, что предположение верно, для n=1,2,3,4,5. Будучи верным, для 5 оно на основе полученного вывода оно должно быть верным и для следующего целого числа 6, будучи верным, для 6 оно должно быть верным и для 7 и так далее. Предположение верно для всех натуральных чисел.

Данное решение может быть укорочено. При переходе, от какого либо произвольного натурального числа k к следующему за ним натуральному числу k+1 нужно ли проверять наше предположение для n=5,4,3,2. Достаточно быть уверенным в том, что оно справедливо для n=1. И тогда мы скажем: если предположение верно для n=1, то оно на основе доказанного верно и для n=2, если оно верно при n=2, то оно верно и для n=3 и так далее.

Решая эту задачу, мы познакомились с очень важным методом доказательства. Такой можно было бы назвать “переходом от k к k+1”, но обычно его называют методом математической или полной индукции.

В основе этого метода лежит принцип математической индукции, который заключается в следующем.

Утверждение P(n) справедливо для всякого натурального n, если:

1. Оно справедливо для n=1 или для наименьшего из натуральных чисел при котором закономерность имеет смысл.

2. Из справедливости утверждения, для какого либо произвольного натурально n=k, следует его справедливость для n=k+1.

Само доказательство методом математической индукции состоит из следующих частей.

1. Проверяют справедливость гипотезы для наименьшего из натуральных чисел при котором гипотеза имеет смысл (базис).

2. Сделав предположение, что гипотеза верна для некоторого значения k, стремятся доказать справедливость ее для k+1.

3. Если такое доказательство удалось довести до конца, то, на основе принципа математической индукции можно утверждать, что высказанная гипотеза справедлива для любого натурального числа n.

5. Закрепление материала

Применим метод математической индукции к решению следующей задачи.

Задача

Доказать, что , при n2.

Решение

1. Гипотеза имеет смысл при n2. Проверим верность утверждения при n=2

, 57=19? 3

2. Предположим, что при n=k>2, . Докажем, что .

Гипотеза оказалось справедливой и при n=k+1

3. На основе принципа математической индукции можно утверждать, что высказанная гипотеза справедлива для любого натурального числа n2.

При доказательстве гипотезы методом математической индукции очень важно выполнение всех его составляющих.

Рассмотрим следующие примеры.

1. При отсутствии первого шага можно “доказать”, что числа вида 2n-1 являются четными при nN.

Пусть при n=k утверждение верно, то есть 2k-1 четное число. 
Проверим верность утверждения при n=k+1
2(k+1)-1=2k+2-1=(2k-1)+2 
По предположению индукции 2k-1 четное число, следовательно число (2k-1)+2 тоже четное.
Отсутствие первого шага приводит к ошибке.

2. В поисках формулы дающий только простые числа Л. Эйлер подверг испытанию трехчлен

P(n)=n²+n+41
Этот трехчлен давал простые числа при всех значениях n от 1 до 39:
P(1)=1²+1+41=43;
P(2)=2²+2+41=47;
P(3)=3²+3+41=53;
…
P(39)=39²+39+41=1601;
P(40)=40²+40+41=1641=41².

Обратите внимание, что отсутствие второго шага приводит к неверному результату

Метод математической индукции можно эффективно использовать для формул вычисления сумм, когда число слагаемых зависит от n, для доказательство тождеств и неравенств, задач на делимость, логических задач.

Задача

Каждый человек в мире пожал какое-то количество рук. Докажите, что число людей пожавших нечетное число рук – четно.

Решение

Пронумеруем все рукопожатия в мире от первого (его не обязательно должны были совершить Адам и Ева) до произвольного натурального n. Очевидно, что при n=1 утверждение задачи справедливо. Предположим, что оно верно при каком-то n=k, то есть количество людей участвовавших в рукопожатиях с номерами от 1 до k и сделавших нечетное количество рукопожатий, четно.

Докажем справедливость этого утверждения для n=k+1, возможны три варианта осуществления k+1 рукопожатия: друг другу пожимают руки:

• два особых человека;

• два неособых человека;

• один особый и один неособый человек.

В каждом из этих трех случаев количество особых людей либо уменьшается на два, либо увеличивается на два, либо неизменяется.

Утверждение доказано.

6. Итоги урока. Рефлексия

Вывод

Метод математической индукции не дает ни каких указаний, как построить гипотезу. Вопрос о том, как возникает гипотеза, принадлежит к той области, в которой нет никаких общих правил, здесь делает свое дело эксперимент, аналогия, конструктивная индукция.

Без индукции было бы невозможно творчество ни в математике, ни в физике, ни в любой иной области науки.

“Понимание и умение правильно применять принцип математической индукции, является хорошим критерием логической зрелости, которая совершенно необходима математику” А.Н. Колмогоров

7.Домашнее задание

1. Доказать неравенство , где x-1, x0, nN, n>1.

Это неравенство называется неравенством Бернулли.

2. Доказать, что сумма квадратов чисел натурального ряда от 1 до n, равна , то есть 1²+2²+3²+…+n²=

Урок по теме «Метод математической индукции»

Урок № 50

Тема урока: Метод математической индукции.

Цель урока: Познакомиться с сущностью метода математической индукции, научитесь применять этот метод при решении задач на доказательство, продолжить развитие вычислительных навыков, продолжить формирование математической грамотности.

Ход урока.

1. Организационный момент. Постановка целей урока

2. Активизация опорных знаний.

— Определение геометрической прогрессии, формулы n-го члена геометрической прогрессии.

— Повторить формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии.

— Повторить формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

3. Изучение нового материала

При решении многих задач, при доказательстве справедливости математических предложений, а также при выводе формулы часто используется рассуждение, которое называется методом математической индукции.

Такое рассуждение вы, например, использовали при выводе формулы n-го члена, а также при выводе формулы суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий.

Сущность этого метода заключается в следующем: если надо установить справедливость некоторого утверждения, в которой фигурирует натуральное число n, то:

1) проверяется, что предполагаемое утверждение имеет место для конкретного значения n (например для n=1).

2) предполагается, что утверждение справедливо при каком-нибудь произвольном значении n = k, и доказывается, что в таком случае оно справедливо и при n = k + 1. Отсюда делается вывод, что утверждение справедливо при любом значении n, ибо справедливость его была обнаружена при n=1, а по доказанному оно верно и при n = 2, а раз справедливо при n = 2, то справедливо и при n = 3 и т.д.

Теперь рассмотрим примеры использования данного метода.

Пример 1. Докажем, что при всяком натуральном n имеет место равенство

Формула верна для n = 1, так как:

Допустим, что формула верна при п = k.

Докажем, что в таком случае она верна и при n = k + 1, т.е.

Непосредственная проверка показала, что формула верна при n=1; следовательно, она будет справедлива также при n = 2, а потому и при n = 3, следовательно, и при п = 4 и вообще при любом натуральном n.

4.Решение задач

№249 (а)

В данной задаче требуется доказать формулу n –го члена арифметической прогрессии методом математической индукции

1. При n=1 имеем а₁=а_1.

2. Допустим, что данная формула верна для k-го члена, т.е имеет место равенство а_k=a₁+d(k-1)

3. Докажем, что в данном случае эта формула верна и для (k+1)-го члена. Действительно,

а_k+1=a₁+d(k+1-1) = а₁+dk

С другой стороны, по определению ариф. прогр. а_{k+1 =} а_k+d

Так как левые части двух последних выражений равны = и правые равны:

а_k+d = а₁+dk или а_k = a₁+d(k-1)

Полученное верное равенство позволяет утверждать, что формула n-го члена арифметической прогрессии подходит для любого натурального n

№ 255

Докажем, что число 11ⁿ⁺¹+12^2n-1 при всех натуральных значениях n делиться на 133

1. При n=1 имеем 11¹⁺¹+12^2*1-1=133, 133 делиться на 133

2. Допустим, что при n=k сумма 11^k+1+12^2k-1 делиться на 133

3. Докажем, что эта сумма делиться на 133 при n=k+1, т.е. 11^k+2+12^2k+1 делиться на 133

11^k+2+12^2k+1=11*11^k+1+144*12^k-1=11*11^k+1+11*12^2k-1+133*12^2k-1=11(11^k+1+12^2k-1)+133*12^2k-1

Каждое слагаемое полученной суммы делиться на 133. Следовательно, 11^k+2+12^2k+1 тоже делить на 133.

5. Рефлексия

6. Постановка Д/з

§15 решить №251

Урок в 10 классе по теме «Метод математической индукции»

Урок по теме: «метод математической индукции»

Тип: усвоения новых знаний.

Организация: дети сидят как обычно.

Цель: Организовать деятельность учащихся по обеспечению максимального усвоения темы. учащихся.

Задачи урока:

Образовательная: сформировать умение решать задачи, используя метод математической индукции.

Развивающая: развитие мышления учащихся.

Воспитательная: воспитание дисциплинированности, собранности требовательности к себе при организации рабочего труда учащегося, отношения к другим людям через такие качества, как терпимость, деликатность и доброжелательность при анализе ответов товарищей по классу, чувства коллективизма и взаимопомощи.

Этапы урока:

1. Организационный этап

2. Этап подготовки к активному сознательному усвоению знаний

3. Организация деятельности по получению знаний.

4. Этап закрепления знаний

5. Контроль и коррекция знаний

6. Рефлексия.

Ход урока

1этап.Организационный этап – 2 мин.

Задачи:

• определение целей и задач урока (предварительная организация внимания учащихся, которая способствует созданию необходимого делового и психологического контакта между учителем и учащимися)

• подготовка учащихся к продуктивной работе на уроке

• развитие внимания к действиям учителя

• подготовка учащихся к общению на уроке.

• воспитание дисциплинированности, собранности требовательности к себе при организации рабочего труда учащегося.

Учитель: Здравствуйте дети, наш урок сегодня уроке мы познакомимся с методом математической индукции, прежде всего быть внимательным и активным, помните, что все мы учимся и можем ошибаться, мы помогаем друг другу, принимаем помощь друг друга.

2.Этап подготовки к активному сознательному усвоению знаний (этап актуализации знаний) — 5 мин.

Задачи:

• мотивирование учащихся на самостоятельную продуктивную деятельность

• актуализация опорных знаний и умений сравнивать и на основе этого делать самостоятельные выводы.

• воспитание отношения к другим людям через такие качества, как терпимость, деликатность и доброжелательность при анализе ответов товарищей по классу.

Учитель. Рассмотрим пример

ПРИМЕР. Найти формулу для вычисления суммы k первых нечетных чисел.

1+3+5+7+….Предложите свои способы нахождения этой суммы

Рассмотрим рисунок

Сделайте вывод…..

Итак, эта сумма равна 16 , если k=4

3этап. Организация деятельности по получению знаний-10 мин

Задачи:

• Организация деятельности учащимся по применению знаний при решении задач,

• развитие мышления учащихся при закреплении умений сравнивать и обобщать знания,

• развитие эмоциональной сферы во время работы, воспитание дисциплинированности, собранности требовательности к себе.

• воспитание отношения к другим людям через такие качества, как терпимость, деликатность и доброжелательность при анализе ответов товарищей по классу.

Учитель. Попробуем подсчитать такую сумму для некоторых значений kработает на доске)

k=1; 1=1=1²;

k=2; 1+3=4=2²;

k=3; 1+3+5=9=3²;

k=4; 1+3+5+7=16=4²;

Таким образом, 1+3…+(2n-1)+(2n+1)=(n+1)².

Получим:

1+3+…+(2n-1)+(2n+1)=n²+(2n+1)=(n+1)², ч.т.д.

В математике на основе частных утверждений делают некоторые предположения о справедливости какого-либо общего утверждения. Переход от частных утверждений к общим называют индукцией.

Знаменитый математик 17 века Пьер Ферма высказал предположение, что простыми являются все числа вида 2²ⁿ+1. Он показал, что первые пять числе 2²⁰+1=3, 2²¹+1=5,2²²+1=17, 2²³+1=257, 2²⁴+1=65537 – простые, и рассуждая по индукциирешил, что для всех n числа вида 2²ⁿ+1- простые. Однако это предположение оказалось не верным, т.к. в 18 веке Л.Эйлер нашёл, что 2²⁵+1=4294967297=641∙4700417 – составное число.

Итак, индукция не является методом доказательства, а лишь помогает сформулировать неизвестный результат в виде некоторой гипотезы, справедливость которой потом надо доказать.

Идея последовательного перехода от натурального числа n к следующему за ним числу n+1 осуществляется в строгой форме в одном из самых важных методов математических доказательств, который называется методом математической индукции.

Запишем в тетрадях

В основе этого метода лежит принцип математической индукции, заключающийся в следующем: (запись на доске)

Утверждения P(n) справедливо для всякого натурального n, если:

1)Оно справедливо для n=1;

2)Из справедливости утверждения для какого-либо произвольного натурального n=k следует его справедливость для n=k+1.

4 этап. Закрепление знаний -15 мин

Задачи:

• Организация групповой деятельности учащимся по закреплению знаний,

• развитие мышления учащихся при закреплении умений сравнивать и обобщать знания,

• воспитание дисциплинированности, собранности требовательности к себе при организации рабочего труда группы учащихся.

3. Закрепление материала: №6.6(а). Учитель предлагает попробовать решить в тетрадях, затем показывает решение примера на интерактивной доске.

ПРИМЕР. Методом математической индукции докажите справедливость равенства:

1²+3²+5²+…+(2n-1)²=

Доказательство:

1. При n=1, 1²=

2.Пусть при n=k верно неравенство:

1²+3²+…+(2k-1)²=

3.Докажем верность равенству при n=k+1

1²+3²+…+ (2k-1)²+ (2k+1)²=²=

= (2k+1)

= , ч.т.д.

Учитель: Метод математической индукции используется для доказательства тождеств, доказательства неравенств и решения задач на делимость.

Решите, работая парами №6.9,6.10(а),6.11(а). дается время для решения, затем ученики по желанию приглашаются к доске.

6 этап. Контроля, коррекции и оценки знаний. – 3 мин

Задачи:

• контроль ЗУН и анализ обнаруженных пробелов и ошибок и определение путей их устранения, формирование у учащихся навыков правильного воспроизведения своих ЗУН.

• развитие активность мышления и его самостоятельность, глубину, широту, систематичность и т.д.,

• воспитание отношения к другим людям через такие качества, как терпимость, деликатность и доброжелательность при анализе ответов товарищей по классу.

Решите самостоятельно №6.12(а)

7 этап. Рефлексия.

Задачи:

• закрепление, уточнение и систематизация знаний учащихся:

-слабые учащиеся лучше осознают материал,

-успевающие учащиеся убеждаются в правильности усвоения материала.

Учитель предлагает ученикам, которые справились с решением, рассказать своё решение, предварительно решение сканируется и выводится на интерактивную доску.

Учитель: объясните, как доказать тождество методом математической индукции?

Учитель сообщает, что домашнее задание будет дано на следующем уроке.

Урок по теме: Метод математической индукции

Тема: Метод математической индукции.

Цель урока: Рассмотреть суть метода математической индукции. Научить применять его при доказательстве некоторых утверждений.

Ход урока.

1.Устно

2.Объяснение материала

3.Закрепление материала

4.Домашнее задание

5.Итог урока.

1.Устно

а) Приведите примеры утверждений.

б) Какие виды утверждений вы знаете?

(общие и частные)

в) Приведите примеры общих утверждений.

г) Приведите примеры частных утверждений.

2.Обьяснение материала

В математике на основе частных утверждений делают некоторые предположения

О справедливости какого-либо общего утверждения. Переход от частных утверждений к общим называют индукцией.

Джузеппе Пеано показал, что для дедуктивного построения арифметики натуральных чисел достаточно четырех аксиом. Так аксиома 4 у него говорит : Если какая-либо теорема о свойствах натуральных чисел доказывает для единицы и если из допущения, что она верна для натурального числа и, следует, что она верна для всех натуральных чисел.

ПРИМЕР. Найти формулу для вычисления суммы k первых нечетных чисел.

Попробуем подсчитать такую сумму для некоторых значений k:

k=1; 1=1=1²;

k=2; 1+3=4=2²;

k=3; 1+3+5=9=3²;

k=4; 1+3+5+7=16=4²;

Таким образом, 1+3…+(2n-1)+(2n+1)=(n+1)².

Получим:

1+3+…+(2n-1)+(2n+1)=n²+(2n+1)=(n+1)², ч.т.д.

Знаменитый математик 17 века Пьер Ферма высказал предположение, что простыми являются все числа вида 2²ⁿ+1.Он показал, что первые пять числе 2²⁰+1=3, 2²¹+1=5,2²²+1=17, 2²³+1=257, 2²⁴+1=65537 – простые и сделая по индукции предположение, что для всех n числа вида 2²ⁿ+1- простые.

Однако это предположение оказалось не верным, т.к. в 18 веке Л.Эйлер нашёл, что 2²⁵+1=4294967297=641∙4700417 – составное число.

Итак, индукция не является методом доказательства, а лишь помогает сформулировать неизвестный результат в виде некоторой гипотезы, справедливость которой потом надо доказать.

Идея последовательного перехода от натурального числа n к следующему за ним числу n+1 осуществляется в строгой форме в одном из самых важных методов математических доказательств называется методом математической индукции.

В основе этого метода лежит принцип математической индукции, заключающийся в следующем:

Утверждения P(n) справедливо для всякого натурального n, если:

1)Оно справедливо для n=1;

2)Из справедливости утверждения для какого-либо произвольного натурального n=k следует его справедливость для n=k+1.

3. Закрепление материала.

ПРИМЕР. Методом математической индукции докажите справедливость равенства:

1²+3²+5²+…+(2n-1)²=

Доказательство:

1. При n=1, 1²=

2.Пусть при n=k верно неравенство:

1²+3²+…+(2k-1)²=

3.Докажем верность равенству при n=k+1

1²+3²+…+ (2k-1)²+ (2k+1)²=²=

= (2k+1)

= , ч.т.д.

ПРИМЕР. Докажите, что n³— n делится на 3 любых натуральных значениях n.

Доказательство:

1.При n=1 1²-1=0 – делится на 3

2. Пусть при n=k (k³-k) – делится на 3, т.е. k³-k=3m

3. Докажем, что (k+1)³-(k+1) – делится на 3.

(k+1)³-(k+1)=k³+3k²+3k+1-k-1=делится на 3, т.к. делится на 3 и делится на 3, ч.т.д.

4.Домашнее задание.

№1. Методом математической индукции докажите справедливость неравенства:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+n (n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)

№2. Докажите, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9.

5.Итог урока.

-В чем же заключается методов математической индукции.

Урок по теме: Метод математической индукции

Тема: Метод математической индукции.

Цель урока: Рассмотреть суть метода математической индукции. Научить применять его при доказательстве некоторых утверждений.

Ход урока.

1.Устно

2.Объяснение материала

3.Закрепление материала

4.Домашнее задание

5.Итог урока.

1.Устно

а) Приведите примеры утверждений.

б) Какие виды утверждений вы знаете?

(общие и частные)

в) Приведите примеры общих утверждений.

г) Приведите примеры частных утверждений.

2.Обьяснение материала

В математике на основе частных утверждений делают некоторые предположения

О справедливости какого-либо общего утверждения. Переход от частных утверждений к общим называют индукцией.

Джузеппе Пеано показал, что для дедуктивного построения арифметики натуральных чисел достаточно четырех аксиом. Так аксиома 4 у него говорит : Если какая-либо теорема о свойствах натуральных чисел доказывает для единицы и если из допущения, что она верна для натурального числа и, следует, что она верна для всех натуральных чисел.

ПРИМЕР. Найти формулу для вычисления суммы k первых нечетных чисел.

Попробуем подсчитать такую сумму для некоторых значений k:

k=1; 1=1=1²;

k=2; 1+3=4=2²;

k=3; 1+3+5=9=3²;

k=4; 1+3+5+7=16=4²;

Таким образом, 1+3…+(2n-1)+(2n+1)=(n+1)².

Получим:

1+3+…+(2n-1)+(2n+1)=n²+(2n+1)=(n+1)², ч.т.д.

Знаменитый математик 17 века Пьер Ферма высказал предположение, что простыми являются все числа вида 2²ⁿ+1.Он показал, что первые пять числе 2²⁰+1=3, 2²¹+1=5,2²²+1=17, 2²³+1=257, 2²⁴+1=65537 – простые и сделая по индукции предположение, что для всех n числа вида 2²ⁿ+1- простые.

Однако это предположение оказалось не верным, т.к. в 18 веке Л.Эйлер нашёл, что 2²⁵+1=4294967297=641∙4700417 – составное число.

Итак, индукция не является методом доказательства, а лишь помогает сформулировать неизвестный результат в виде некоторой гипотезы, справедливость которой потом надо доказать.

Идея последовательного перехода от натурального числа n к следующему за ним числу n+1 осуществляется в строгой форме в одном из самых важных методов математических доказательств называется методом математической индукции.

В основе этого метода лежит принцип математической индукции, заключающийся в следующем:

Утверждения P(n) справедливо для всякого натурального n, если:

1)Оно справедливо для n=1;

2)Из справедливости утверждения для какого-либо произвольного натурального n=k следует его справедливость для n=k+1.

3. Закрепление материала.

ПРИМЕР. Методом математической индукции докажите справедливость равенства:

1²+3²+5²+…+(2n-1)²=

Доказательство:

1. При n=1, 1²=

2.Пусть при n=k верно неравенство:

1²+3²+…+(2k-1)²=

3.Докажем верность равенству при n=k+1

1²+3²+…+ (2k-1)²+ (2k+1)²=²=

= (2k+1)

= , ч.т.д.

ПРИМЕР. Докажите, что n³— n делится на 3 любых натуральных значениях n.

Доказательство:

1.При n=1 1²-1=0 – делится на 3

2. Пусть при n=k (k³-k) – делится на 3, т.е. k³-k=3m

3. Докажем, что (k+1)³-(k+1) – делится на 3.

(k+1)³-(k+1)=k³+3k²+3k+1-k-1=делится на 3, т.к. делится на 3 и делится на 3, ч.т.д.

4.Домашнее задание.

№1. Методом математической индукции докажите справедливость неравенства:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+n (n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)

№2. Докажите, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9.

5.Итог урока.

-В чем же заключается методов математической индукции.

Конспект и презентация к уроку математики «Полная и неполная индукция. Метод математической индукции»

Цели:

Образовательные:

изучить метод математической индукции;
научить применять метод математической индукции при решении задач.

Развивающие:

содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;
формировать и  развивать  общеучебные  умения и навыки.

Воспитательные:

воспитывать внимательность, аккуратность, инициативность, трудолюбие.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Учащиеся должны:

знать понятие полной и неполной индукции;
знать суть метода математической индукции;
уметь применять метод математической индукции при решении задач.

План урока:

Подготовительный этап.
Актуализация знаний.
Изучение новой темы
Отработка знаний.
Подведение итогов урока и домашнее задание.

Ход урока:

Подготовительный этап  Проверка домашнее задание. Устный опрос.
Актуализация знаний, умений и навыков.

Знаменитый математик XVII в. П.Ферма проверив, что числа простые, сделал по индукции предположение, что для всех n=1,2,3,… числа вида   простые.

В XVIII веке Л.Эйлер нашел, что при n=5:

составное число

Изучение новой темы

Дедуктивный и индуктивный метод

В основе всякого математического исследования лежат дедуктивный и индуктивный методы. Дедуктивный метод рассуждений — это рассуждение от общего к частному, т.е. рассуждение, исходным моментом которого является общий результат, а заключительным моментом – частный результат.

Слово индукция по-русски означает наведение, а индуктивными называют выводы, сделанные на основе наблюдений, опытов, т.е. полученные путем заключения от частного к общему.

Полная и неполная индукция

Метод математической индукции можно сравнить с прогрессом. Мы начинаем с низшего, в результате логического мышления приходим к высшему. Человек всегда стремился к прогрессу, к умению развивать свою мысль логически, а значит, сама природа предначертала ему размышлять индуктивно.

Пусть требуется установить, что каждое натуральное чётное число n в пределах 4≤n≤20  представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

                   4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

                   14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

Эти девять равенств показывают, что каждое из интересующих нас чисел действительно представляется в виде суммы двух простых слагаемых. Таким образом, полная индукция заключается в том, что общее утверждение доказывается по отдельности  в каждом из конечного числа возможных случаев.

Иногда общий результат удаётся предугадать после рассмотрения не всех, а достаточно большого числа частных случаев (так называемая неполная индукция). Результат, полученный неполной индукцией, остается, однако, лишь гипотезой, пока он не доказан точным математическим рассуждением, охватывающим все частные случаи. Иными словами, неполная индукция в математике не считается законным методом строгого доказательства, но является мощным методом открытия новых истин.

Метод математической индукции

Вообразим очередь, где первой стоит женщина, за ней снова женщина, а за ней снова женщина. Верно ли, что все стоящие в очереди — женщины?

Конечно, верно! Раз первые три человека в очереди — женщины, то, скорее всего, это очередь за косметикой, или за чем-нибудь таким, в чём нуждаются и разбираются исключительно женщины, и мужчин в этой очереди нет.

Рассмотрим два утверждения:

Первый человек в очереди есть женщина.
За женщиной в очереди может стоять только женщина.

Из этих двух утверждений строго следует, что в очереди стоят только женщины. Мы можем последовательными шагами показать, что любой человек в очереди — женщина.

Таким образом, метод математической индукции заключается в следущем:

         Пусть нужно доказать справедливость некоторого утверждения для любого натурального числа  n (например нужно доказать, что сумма первых n нечётных чисел равна n2). Непосредственная проверка этого утверждения для каждого значения n невозможна, поскольку множество натуральных чисел бесконечно. Чтобы доказать это утверждение, проверяют сначала его справедливость для n=1. Затем доказывают, что при любом натуральном значении k из справедливости рассматриваемого утверждения при n=k вытекает его справедливость и при n=k+1. Тогда утверждение считается доказанным для всех n.

Примеры

1)Ханойские башни

Есть три стержня и [Описание: n] колец разного размера. Класть можно только кольцо меньшего размера на кольцо большего размера. Можно ли переместить пирамидку с одного стержня на другой?

Пирамидку, в которой только одно кольцо n=1, переместить можно (очевидно).
Предположим, что мы умеем перемещать пирамидки с числом колец n≤k.
Попробуем научиться перемещать пирамидку с n=k+1. Пирамидку из kколец, лежащих на самом большом k+1-м кольце, мы можем согласно предположению переместить на любой стержень. Сделаем это, переместим её на третий стержень. Неподвижное k+1-е кольцо не будет нам мешать провести алгоритм перемещения, так как оно самое большое. После перемещения k колец переместим оставшееся k+1-е кольцо на второй стержень. Мы можем это сделать, так как второй стержень пустой. Теперь обратим внимание, тот факт, что второй стержень не пустой, не мешает нам класть на него любые кольца, так как имеющееся на нём кольцо самое большое (любое кольцо можно положить на большее, а значит и самое большое по условию задачи). И затем опять применим известный нам по предположению алгоритм перемещения k колец и переместим их на второй стержень, стержень с лежащим внизу k+1-м кольцом. Таким образом, если мы умеем перемещать пирамидки с [Описание: K] кольцами, то умеем перемещать пирамидки и с k+1 кольцом.
Следовательно утверждение верно для всех случаев, то есть для всех [Описание: n] .

Заметим, что всё решение было разбито на четыре этапа:

[БАЗА] Показываем, что доказываемое утверждение верно для некоторых простейших частных случаев (в нашей задачке это был случай n=1)
[ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ] Предполагаем, что утверждение доказано для первых k случаев.
[ШАГ] В этом предположении доказываем утверждение для случая n=k+1.
[ВЫВОД] Утверждение верно для всех случаев, то есть для всех n.

 
2)Пересечение прямых

Докажите, что любые [Описание: n] прямых, расположенных на одной плоскости, никакие две из которых не параллельны, и никакие три не пересекаются в одной точке, пересекаются ровно в [Описание: \frac{n(n-1)}{2}] точках.

Решение:

1. [БАЗА] В простейшем случае, когда прямых две, известно, что они непаралельны, а значит пересекаются как минимум в одной точке.

2.[ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ] Предположим, что оно верно для k прямых, то есть что любые k прямых, никакие две из которых не параллельны, и никакие три не пересекаются в одной точке, пересекаются ровно в [Описание: \frac{k(k-1)}{2}] точках.

3.[ШАГ] Попробуем доказать его для k+1 прямых. По предположению, 1-я, 2-я, …, k-я прямая пересекаются в [Описание: \frac{k(k-1)}{2}] точках. Рассмотрим k+1-ю прямую и одну из прямых, обозначим её i из списка 1-я, 2-я, …, k-я прямая. Как мы уже доказали в [БАЗЕ] любые две прямые, удовлетворяющие условиям задачи, пресекаются ровно в одной точке, а значит и прямые k+1и i пересекаются в одной точке. Вспомним, что i обозначает любую прямую из списка 1-я, 2-я, …, k. Отсюда k+1-я прямая пересекается с каждой из этих k прямых ровно в одной точке.

Рассмотрим список из k+1 прямых и их точек пересечения. Уберём прямую k+1 вместе с её точками пересечения. Останется k прямых удовлетворяющих [ШАГУ]. Значит количество точек пересечения у этих k прямых равняется [Описание: \frac{k(k-1)}{2}] . Как было показано выше, количество точек пересечения, которое мы убрали вместе с прямой k+1, равняется k.

Следовательно, количество точек пересечения всех k+1 прямых есть [Описание: \frac{k(k-1)}{2} + k = \frac{k^2 + k}{2} = \frac{(k + 1)k}{2}] .

То есть для k+1 прямых утверждение доказано.

4.[ВЫВОД] Утверждение верно для любого количества прямых.

3) Докажите тождество [Описание: 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n + \frac12)(n + 1)}{3}] .

Доказательство. Проверим, работает ли эта формула при n=1:

1. [БАЗА] [Описание: 1^2 = \frac{1(1 + \frac12)(1 + 1)}{3} = 1,] .

2.[ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ] Предположим, что тождество верно при n=k, то есть

[Описание: 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + k^2 = \frac{k(k + \frac12)(k + 1)}{3}]

3.[ШАГ] Шаг индукции будет соответствовать проверке этого тождества при n=k+1, то есть нужно доказать, что

[Описание: 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + k^2 + (k + 1)^2 = \frac{(k + 1)(k + \frac32)(k + 2)}{3}] .

[Описание: 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + k^2 + (k + 1)^2 = (1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + k^2) + (k + 1)^2 =]

[Описание: =\frac{k(k + \frac12)(k + 1)}{3} + (k + 1)^2 = \frac{k(k + \frac12)(k + 1) + 3(k + 1)^2}{3} = \frac{(k + 1)\left(k(k + \frac12) + 3(k + 1)\right)}{3} =]

[Описание: =\frac{(k + 1)\left(k(k + \frac12 + 1 — 1) + 3(k + 1 + 1 — 1)\right)}{3} = \frac{(k + 1)\left(k(k + \frac32) + 3(k + 2) — k — 3)\right)}{3} =]

[Описание: =\frac{(k + 1)\left(k(k + \frac32) + 2k + 3\right)}{3} = \frac{(k + 1)\left(k(k + \frac32) + 2(k + \frac32)\right)}{3} = \frac{(k + 1)(k + \frac32)(k + 2)}{3}]

4.[ВЫВОД] Тождество верно для любого [Описание: n] .

Отработка знаний, умений и навыков по теме.

Класс разбивается на 4 группы. В каждой группе назначается координатор, который будет оказывать помощь остальным участникам группы.

Группа 1.

Задача 1. Докажите, что при каждом натуральном [Описание: n] , начиная с [Описание: 3] , существует выпуклый [Описание: n] -угольник, имеющий ровно три острых угла.

Задача 2. Доказать, что 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 .  

Задача 3.Доказать, что (11 n+2 +12 2n+1 ) делится на 133 без остатка.

 

Группа 2.

Задача 1. Плоскость разделена на части [Описание: n] прямыми. Докажите, что эти части можно раскрасить в два цвета так, что соседние куски будут раскрашены в разные цвета.

Задача 2. Доказать, что 1+х+х 2 +х 3 +…+х n =(х n+1 -1)/(х-1).

Задача 3.Доказать, что при любом n 7 n -1 делится на 6 без остатка.

 

Группа 3.

Задача 1. Докажите что сумма углов выпуклого [Описание: n] -угольника равна [Описание: (n — 2) \cdot 180^\circ] , (или [Описание: (n — 2)\pi] радиан). В частности для треугольника получаем [Описание: (3 — 2) \cdot 180^\circ = 180^\circ] , а для четырехугольника — [Описание: (4 — 2) \cdot 180^\circ = 360^\circ]

Задача 2. Доказать, что при любом n справедливо утверждение: 1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

Задача 3.Доказать, что 3 3n-1 +2 4n-3 при произвольном натуральном n делится на 11. 

 

Группа 4.

Задача 1. Чему равно количество кусочков, на которые [Описание: n] прямых (не проходящих через одну точку) делят плоскость на части? Одна прямая — на две части, две — на четыре. А пятнадцать прямых?

Задача 2. Доказать, что 1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3) для любого натурального n.

Задача 3.Доказать, что 11 2n -1 при произвольном натуральном n делится на 6 без остатка.

 

Подведение итогов урока (рефлексия)

Каждая группа составляет древо знаний по теме.

Самооценка: Оцените свою работу на уроке в баллах:

10 баллов – все понял, могу этот материал объяснить другому;

9 баллов – я сам все понял, но объяснить другому не берусь;

8 баллов – для полного понимания мне нужно повторить тему;

6 баллов — я ничего не понял.

Взаимооценка участников в группе:

 

                   Критерии  оценки

— принимал участие в обсуждении (выдвигал собственные версии, фиксировал версии других, задавал вопросы на понимание)

— умеет выслушать не перебивая

— при обсуждении сдерживал эмоции (не кричал, не обижал  других)

Принимал в подготовке к защите и участвовал в защите

 

Домашнее задание. Творческое задание: 1)Составьте задачи решаемые методом математической индукции: из физики, из химии, из жизни.

2)Доказать, что справедливо неравенство (1+a+a 2 ) m > 1+m*a+(m(m+1)/2)*a 2 при а> 0.

Похожие образовательные материалы: