План-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему: Решение целых уравнений высших степеней. Урок в 11 классе.

Урок по алгебре и началам анализа.

Тема: Решение целых уравнений высших степеней.

Учитель математики Разетдинова Э.А.

Девиз урока:  чем больше я знаю, тем больше умею.

                          Кто ничего не замечает,

                          Тот ничего не изучает.

                          Кто ничего не изучает,

                          Тот вечно хнычет и скучает.    (поэт Р.Сеф).

Цели урока:

учебная:  систематизация и обобщение, расширение и углубление знаний   учащихся  по решению целых уравнений с одной переменной выше  второй степени; подготовка учащихся к применению знаний в нестандартной ситуации, к ЕГЭ.

развивающая: развитие личности  учащегося через самостоятельную  творческую работу, развитие инициативы учащихся; обеспечить устойчивую мотивационную среду, интерес к изучаемой теме; развивать умение обобщать, правильно отбирать способы решения уравнения;

воспитательная: развитие интереса к изучению математики, подготовка учащихся к применению знаний в нестандартной ситуации; воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов

План урока:

1. Организационный момент.
2. Мотивация изучения темы.
3. Актуализация знаний – блиц -опрос  по теме «Целые уравнения»
4. Систематизация и обобщение знаний – сообщения учащихся о стандартных приемах решения  уравнений .
5.  Самостоятельная работа.
6. Расширение и углубление знаний – сообщение учителя о нестандартных приемах решения уравнений.
7. Домашнее задание: примеры на осмысление, закрепление новых знаний.

1. х8 – 17х4 +16 = 0
2. (х+1)(х+3)(х+5)(х+7) – 15 = 0
3. (х+4)(х – 2)(х+5)(х – 10)+54х2  = 0
4. х4 +2х3 – 6х2 +2х+1 = 0.

Ход урока:

1.Организационный момент – ставятся цели и задачи урока.

          Ребята! Вам предстоит итоговая аттестация по математике в форме ЕГЭ. Чтобы успешно сдать ЕГЭ, вы должны знать математику не только на минимальном уровне, но и  применить ваши знания в нестандартных ситуациях. В частях В и С ЕГЭ часто встречаются уравнения высших степеней. Наша задача: систематизация и обобщение, расширение и углубление знаний    по решению целых уравнений с одной переменной выше  второй степени; подготовка к применению знаний в нестандартной ситуации, к ЕГЭ.  (цели урока, слайд 1,2).Девиз нашего урока:  чем больше я знаю, тем больше умею. (слайд 3)

          Уравнение-это самая простая и распространенная математическая задача. Вы накопили некоторый опыт решения разнообразных уравнений и нам нужно привести свои знания в порядок, разобраться в приемах решения нестандартных уравнений.

Уравнения сами по себе представляют интерес для изучения. Самые ранние рукописи свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем  Египте были известны приемы решения линейных уравнений. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет назад до н.э. вавилоняне.

Стандартные приемы и методы решения элементарных  алгебраических уравнений являются составной частью решения всех типов уравнений..

 В простейших случаях решение уравнения с одним неизвестным распадается на два шага: преобразование уравнения к стандартному и решение стандартного уравнения. Полностью алгоритмизировать процесс решения уравнений нельзя, однако полезно запомнить наиболее употребительные приемы, общие для всех типов уравнений. Многие уравнения  при применении нестандартных приемов решаются гораздо  короче и проще.

2. Мотивация изучения темы.

Предлагаются задания повышенной трудности из учебника алгебры и задания ЕГЭ.

(написать на доске).       1)  х2 — 6│х│+8 = 0                           2) х5  +2х+1 = 0

  3)       х5 +х3 +2х – 4 = 0                                         4) №105.    (х+1)(х+2)(х+4)(х+5) = 40      

   5) №108.     2х4 +х3 -6х2 +х+2=0                           6) ЕГЭ.      (х+2)(х+3)(х+8)(х+12) = 4х2  

Для уравнений высшей степени известны формулы корней, но они очень сложные. Иногда приходится решить, применяя специальные приемы.

3.Актуализация знаний.

1) Блиц-опрос-подготовка учащихся к работе на уроке путем повторения основного теоретического материала.

        А сейчас вспомним наши знания об уравнениях, ответим на вопросы:

•  Что называется уравнением? Равенство, содержащее переменную,                     называется уравнением с одной переменной
• Что называется корнем уравнения? Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

  * Что значит решить уравнение? Найти все его корни или доказать, что корней нет.

• Что называется целым уравнением с одной переменной?
• Что называется степенью целого уравнения?
• Виды целых уравнений и способы решения уравн. 1-ой и 2-ой степени (слайд 4-7)-записывать в тетрадях.

Уравнения 1-ой степени решаются с помощью арифметических операций, уравнения 2-ой степени – с помощью формул корней.

2) Вспомним методы решения уравнений. (слайд 8-14)

*Метод разложения на множители. Если уравнение равносильными преобразованиями можно привести к виду f(x)*q(x)=0, то f(x)=0 или q(x)=0.

*Введение новой переменной. Заменим некоторое выражение в уравнении новой переменной.и получим более простое уравнение относительно новой переменной. Находим эту переменную и вычислим корни исходного уравнения.

*Графический способ. Рассмотрим уравнение f(x)=q(x). Строим в одной системе координат графики функций у= f(x) и у=q(x). Абсциссы точек пересечения этих графиков являются корнями уравнения. Но этот способ не обеспечивает высокую точность.

* Обратная теорема Виета:    х 2 +рх+q=0,    х 1 +х 2 = — р   и    х 1 х 2 =q.

     ах²+bх+с=0;       х1+х2=-b/а и   х1+х2=с/а    (записывать в тетрадях)                                                                            

  Пример.  х 2  — 7х + 12=0  ,   х 1 +х 2 = 7   и    х 1 х 2 =12. Значит х 1 =3   и    х 2 = 4.

*Решая квадратные уравнения, приходится много тратить времени работая по алгоритму. Но, используя свойства коэффициентов можно упростить решение.

 ах 2 +вх+с=0, а+в+с=0, то один из корней равен 1, а другой равен с/а;

ах 2 +вх+с=0, а — в+с=0, то один из корней равен -1, а другой равен  с/а. (в тетрадях)

*Проверьте свои способности на эти свойства:

1) х 2 +17х-18=0;          х 2  — 23х-24=0;      100х 2 — 97х — 197=0;     50х 2  + 83х — 133=0

х 1 +х 2 = — 17   и    х 1 х 2 = -18, значит     х 1 = -18, х 2= 1.

 2) 100х 2 — 97х — 197=0 ,  а–в+с=100-(-97)+(-197)=0, значит х1=1,х2=197/100=1,97.

50х 2  + 83х — 133=0              (слайд 14)

5. Самостоятельная работа обучающего характера.(на 3-4 минуты) Проверить решения уравнений можно организовать с помощью слайдов или взаимопроверкой сосед с соседом.    ( слайд 15)

1)  х 2  + х – 56 = 0          

2) 150х 2 — 60х – 90 = 0

6. Углубление и расширение знаний – ознакомление учащихся с нестандарт-ными приемами решения уравнений.

Возвратимся ранее предложенным заданиям.  Есть многие интересные методы решения  уравнений. Не следует думать, что любое нестандартное уравнение труднее для решения, чем стандартное.

1) При решении уравнений высших степеней иногда применяется процедура угадывания хотя бы одного корня. Угаданный корень позволяет понизить степень многочлена на единицу, дальше достаточно выполнить деление уголком. Для нахождения корней многочлена «методом тыка» полезно знать теорему о целых корнях уравнения: Все целые корни многочлена Р(х), с целыми коэффициентами (при а0 =1) содержатся среди делителей свободного члена. Других целых и рациональных корней у уравнения нет. (запись в тетрадь)

Пример 1. Доказать, что уравнение 2х4 – 2х3  — х +1  = 0 не имеет целых корней.  Целыми корнями могут быть делители свободного члена -1,1. Непосредственной проверкой убеждаемся, что ни одно из них не годится. (слайд 16)

2) Использование свойств функций.      Вспомним свойства возрастающей и убывающей функций.

Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если произвольному большему значению аргумента из этого промежутка соотв. большее значение функции.

Функция называется убывающей на некотором промежутке, если произвольному большему значению аргумента из этого промежутка соотв. меньшее значение функции.

Свойство 1. Если y = g(x) – монотонно возрастает на промежутке I и y = f(x) – монотонно возрастает на промежутке I, то y = g(x)+f(x) – монотонно возрастает на промежутке I.

Свойство 2. Если y = f(x) возрастает (убывает) на промежутке I, то уравнение f(x) = a имеет на I не более одного корня.

Свойство 3. Если y = f(x) возрастает на I, а y = g(x) убывает на I (монотонны разного смысла), то уравнение f(x) = g(x), имеет не более одного корня. (запись)

Пример 1. Решите уравнение: x 5 +x3+2x-4=0. (слайд 17)

Решение: Функция f(x) = x 5 +x3+2x-4  возрастает как сумма трех возрастающих функций y = x 5 , y = x 3  и y = 2x-4 на R. Тогда уравнение f(x) = 0 имеет не более одного корня. Вспомним правило: все целые корни многочлена Р(х) с целыми коэффициентами содержатся среди делителей свободного члена.

 Испытывая делители свободного члена, находим, что x=1.

Других целых корней у уравнения нет. 

Пример2.  Решить уравнение х 5  + 2х — 3= 0.(слайд 17). 

Представим в виде  х5  = — 2х +3.

Функция у= х 5 –возрастающая, а функция у= -2х +3 – убывающая на Д(у), значит уравнение имеет не более одного корня. Угадываем корень х = 1.

3) свойство четности функции: график четной функции f(-x)= f(x) симметричен относительно оси ординат. При решении уравнения достаточно найти его неотрицательные корни, остальные восстановить по соображению симметрии.

Пример.   Х2 — 6│х│+8 = 0. Найти произведение корней.

 у= Х2 — 6│х│+8 — четная функция. Решим уравнение для неотрицательного х.

х2 — 6х+8 = 0,  х1 =2 и х2=4 (оба корня годятся). По соображениям симметрии

 х3  = — 2 и х4 = — 4.      Произведение корней -2*2*(-4)*4=64    Ответ. 64. (слайд 18)

Возвращаемся к ранее предложенным заданиям.

4. №105.    (х+1)(х+2)(х+4)(х+5) = 40 . Найти сумму корней.   ( на доске – учитель, запись). Здесь мы видим симметрию левой части  1+5=2+4.

Произведение 1и4, 2и3 множителей заменим квадратными трехчленами

(х2 +6х+5)(х2 +6х+8) = 40. вводим новую переменю у=х2 +6х+5 и получим квадратное уравнение относительно у:     у2 +3у – 40 =0. Находим корни этого уравнения и корни исходного уравнения.      Ответ. -6

5.     ЕГЭ.      (х+2)(х+3)(х+8)(х+12) = 4х2  ( на доске объясняет учитель, запись)

                      2*12 = 3*8

Произведение 1 и 4, 2 и 3 множителей заменим квадратными трехчленами

(х2  + 14х + 24)(х2  + 11х +24)= 4х2 . Обе части уравнения разделим на х2 ≠ 0 и получим уравнение (х+24/х +14)(х+24/х +11)=4. Пусть х+24/х=у, тогда (у+14)(у+11)=4,

Получим квадратное уравнение у2 +25у+150=0. (закончить дома).

6.  №108.     2х4 +х3 -6х2 +х+2=0-возвратное уравнение.(слайд-теория) Найти произведение корней. ( на доске объясняет учитель, запись)

Разделим обе части уравнения на х2 ≠0.  2х2 +х – 6 +1/х+2/(х2 )=0.

Сгруппируем 2(х2 +1/(х2 ))+(х+1/х) -6=0. вводим новую переменную у=х+1/х и получим уравнение 2(у2 -2)+у -6=0,           2у2  +у-10=0.

Находим корни этого уравнения и корни исходного уравнения. (закончить дома)    Ответ. 1.

(Запись в тетради)

7. Итоги урока.

Еще много приемов решения целых уравнений высших степеней: метод выделения полного квадрата и искусственные приемы.

Способы: (учитель записывает на доске, учащиеся в тетрадях).

1.Теорема Виета

2.Свойства коэффициентов а+в+с=0 и а-в+с=о.

3.Разложение на множители.

4.Введение новой переменной.

5..Графический способ.

6.Свойство монотонности.

7.Свойство четности.

8..Возвратные уравнения.

9.Симметричные уравнения.

Для каждого уравнения назовите соответствующий метод решения.(слайд 21)

1) -3х7 -2х +5=0

2) (х 2 +3х)2+2 (х 2 +3х) -120=0

3) х3 +х – 4=0

4) х 2 – │10х│+21=0

5) (х+1)(х+3)(х+5)(х+7)=945

6) 27х 2 – 9х – 18=0

7) (х2 +х+6)(х2 +х-4)=144

8) х5  — х4 -2х3 +2х2 -3х +3=0

9) 2х4  +х3 — 3х2 +х +2=0.  

10) х2 +11х + 28=0.          

 Ответ.    Уравнения – способ.

                 1 – 5,6;                                        6 – 2;

            2 – 4;                              7 – 4;

            3 – 5,6;                            8 – 3;

                 4 – 7;                              9 – 8;  

            5 – 9;                              10 – 1.6

8. Домашнее задание.

1.  х8 – 17х4 +16=0
2.  (х+1)(х+3)(х+5))х+7) -15=0
3. (х+4)(х-2)(х+5)(х-10)+54х2 =0
4.  х4 +2х3 – 6х2 +2х+1=0.

Конспект урока «Решение уравнений высших степеней»

Конспект обобщающего урока по алгебре в 9 классе

по теме «Решение уравнений высших степеней».

Цели урока:

— привести в систему знания учащихся по теме «Решение уравнений третьей и четвёртой степеней»;

— повторить теорию решения уравнений;

— выработать умение определять вид уравнения;

— выбирать наиболее рациональные способы решения данного уравнения.

— развитие аналитического мышления;

— развитие умения производить классификацию фактов;

— выработка желания глубины проникновения в предмет.

— воспитание потребности в знаниях;

— воспитание культуры общения.

Методическая цель урока-

реализация вариативной части учебного плана. Углубленное изучение математики.

Тип урока — урок обобщения и систематизации знаний.

Эпиграф к уроку:

Большинство жизненных задач решаются как алгебраические уравнения: приведением их к самому простому виду.

Л.Н.Толстой.

или

Уравнение представляет собой наиболее серьёзную и важную вещь в математике.

О.Лодж.

Ход урока.

I. Мотивация учебной деятельности (постановка перед учащимися целей урока, сообщение плана урока).

II. Актуализация опорных знаний:

а) повторение теории решения уравнений:

— что называется уравнением?

— что значит решить уравнение?

— что называется корнем уравнения?

— какие виды уравнений вы знаете?

— способы решения уравнений?

Для работы можно использовать таблицу «Классификация уравнений» (приложение 1)

— какие уравнения относятся к целым, дробным, иррациональным?

— а уравнения с модулем, параметром к каким уравнениям можно отнести?

б) повторение методов решения уравнений:

приёмы:

1. простейшие(приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок, приведение дробей к общему знаменателю, перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, решение квадратных уравнений по формуле, умножение (деление) обеих частей уравнения на одно и то же не равное нулю число).

Пример 1. х(х-6)=х

Решение: х(х-6)=х | : х≠0

х-6=1

х=7

Обосновать ошибку. Что произошло? Решить уравнение правильно.

Пример 2.=-1

Решение: ()²=(-1)²

х+3=1

х=-2

Обосновать ошибку. Что произошло? Решить уравнение правильно.

1. разложение на множители (формулы сокращённого умножения, группировка, теорема Безу).

2. введение вспомогательной переменной (следует помнить об ОДЗ самого уравнения и ОДЗ новой переменной).

3. Нетрадиционные приёмы решения.

в) устная работа по группам.

Задание: классифицировать уравнения по виду и по способу решения

1. =

2. у²-5у+6=0

3. (х-2)²-2(х-2)-4=0

4.+1=6

5.=х

6. Указать количество корней уравнения 2+|х|=а

7. х

3+3х²-4х=0

8. (х-1)²-х²=4-3х

III. Решение уравнений 3 и 4 степени, т.е. решение уравнений

а₀ х⁴+а₁х³+а₂х²+а₃ х+а₄=0

а₀ х³+а₁х²+а₂х+а₃ =0

Исторический экскурс:

Вы знаете, что алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. XVи XVI столетия вошли в историю Европы под названием «эпоха Возрождения». Для неё характерен расцвет науки и культуры. В Европе появились компас, часы, порох, дешёвая бумага, книгопечатание. Развивалась промышленность, требующая технических усовершенствований и изобретений, появляются стимулы для развития науки. Расцвет науки происходит главным образом в Италии, Франции, Германии. Итальянские математики XVI в. сделали крупное математическое открытие. Они нашли формулы для решения уравнений 3 и 4 степеней. Николо Тарталья (ребёнок из очень бедной семьи, мать не могла платить за образование, поэтому мальчик в школе узнал только половину азбуки, всеми остальными знаниями он овладел самостоятельно). В 6 лет он получил удар мечом в гортань от французского воина и с тех пор говорил с трудом, отсюда и прозвище Тарталья (заика).Он вывел формулы для решения уравнений 3-ей степени, но своё открытие держал в тайне.

Джироламо Кардано (медик) занимался астрологией, составлял гороскопы. Кардано неоднократно обращался к Тарталье с просьбой сообщить ему формулу для решения кубических уравнений и обещал хранить её в секрете. Он не сдержал слово и опубликовал формулу, указав, что Тарталье принадлежит честь открытия «такого прекрасного и удивительного, превосходящего все таланты человеческого духа». Ученик Кардано Луиджи Феррари нашёл формулы для решения уравнений 4 степени.

Решение уравнений:

№ 1. х³-9х+х²–9=0

Способ решения данного уравнения — разложение на множители способом группировки.

(х³+х²)-(9х+9)=0

х²(х+1)-9(х+1)=0

(х+1)(х²-9)=0

(х+1)(х-3)(х+3)=0

Ответ:-3;-1;3.

№ 2. х³-6х²+11х-6=0

Способ решения данного уравнения – разложение на множители с помощью теоремы Безу.

Один корень найдём подбором. Их следует искать среди делителей свободного члена данного многочлена ±1, ±2, ±3, ±6. Но т.к. сумма коэффициентов многочлена равна 0, то его корнем является 1.По теореме Безу (остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (х-а) равен Р(а). Если а- корень многочлена Р(х), то многочлен делится на (х-а

) без остатка). Разделим многочлен 3 степени на двучлен (х-1)

х3-6х2+11х-6						х-1
х3— х2						х2-5х+6
	-5х2+11х -5х2+ 5х
		6х-6 6х-6
				0

х³-6х²+11х-6=(х-1)(х²-5х+6)

(х-1)(х²-5х+6)=0 Ответ:1,2,3.

№ 3. х⁴ +5х³+6х

2+5х+1=0

(возвратное или симметричное уравнение – это уравнение, в котором коэффициенты, равностоящие от концов равны)

Способ решения данного уравнения – деление правой и левой частей уравнения на х².

Вопрос — почему это можно сделать? Не происходит ли потеря корня?

х²+5х+6++=0

(х² +)+5(х+)=0

х+=у (ОДЗ для вспомогательной переменной?)

х² +=(х+)²-2=у²-2

у²-2+5у+6=0

у₁=-4; у₂=-1

х+=-4, х=-2

х +=-1, корней нет. Ответ: -2 -; -2+.

№ 4. х⁵+6х⁴+11х³+11х²+6х+1=0

Возвратное уравнение нечётной степени имеет корень х=-1(применим теорему Безу), после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения на двучлен (х+1) приводится к возвратному уравнению чётной степени. Решение можно заранее подготовить (на доске, показать через проектор) и в целях экономии времени не решать

х5+6х4+11х3+11х2+6х+1											х+1
х5+ х4											х4+5х3+6х2+5х+1
	5х4+11х3 5х4+ 5х3
		6х3+11х2 6х3+ 6х2
				5х2+6х 5х2+5х
						х+1 х+1
							0

(х+1)(х⁴+5х³+6х²+5х+1)=0 (см. предыдущий пример)

№ 5.(х+1)(х+2)(х+4)(х+5)=40

Уравнение сводится к квадратному, если сумма чисел любых двух скобок равна сумме чисел двух других скобок.

(х²+6х+5)(х²+6х+8)=40

у=х²+6х

(у+5)(у+8)=40

у²+13у=0

х²+6х=0 х²+6х=-13, корней нет, т.к. D

Ответ:-6, 0.

IV.Домашнее задание: 2х³+8х-х²-4=0

2х³-12х²+22х-12=0

6х⁴-35х³+62х²-35х+6=0

(х+1)(х+2)(х+4)(х+3)=15

V. Подведение итогов урока.

Список литературы:

1. М.И. Сканави «Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы», Москва «ОНИКС 21 век », «Мир и Образование», 2002.

2. В. М. Говоров, П.Т. Дыбов, Н.В. Мирошин, С.Ф. Смирнова «Сборник конкурсных задач по математике для поступающих в ВУЗы», Москва «ОНИКС 21 век », «Мир и Образование», 2003.

3. А.Г. Цыпкин, А.И. Пинский «Справочник по методам решения задач по математике», Москва «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1989.

Приложение 1

План-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме: Конспект урока по алгебре и началам анализа по теме «Решение уравнений высших степеней»

Решение уравнений высших степеней

Цели урока:

• Образовательные:

— привести в систему знания учащихся по теме «Решение уравнений третьей и четвёртой степеней»;
— повторить теорию решения уравнений;, выработать умение определять вид уравнения; выбирать наиболее рациональные способы решения данного уравнения.

— развитие аналитического мышления, умения производить классификацию фактов;

• Воспитательные:

— воспитание потребности в знаниях и  воспитание культуры общения.

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний.

Ход урока

I. Орг.момент(постановка перед учащимися целей урока, сообщение плана урока)

II. Актуализация опорных знаний

а) Повторение теории решения уравнений:

— что называется уравнением?
— что значит решить уравнение?
— что называется корнем уравнения?
— какие виды уравнений вы знаете?
— способы решения уравнений?

«Классификация уравнений».)

— Какие уравнения относятся к целым, дробным, иррациональным?
— А уравнения с модулем, параметром к каким уравнениям можно отнести?

б) Повторение методов решения уравнений.

Аналитический.

Приёмы: 1) простейшие(приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок, приведение дробей к общему знаменателю, перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, решение квадратных уравнений по формуле, умножение (деление) обеих частей уравнения на одно и то же не равное нулю число).

Пример 1.х(х-6)=х

Решение:

х(х-6)=х | : х≠0
х-6=1
х=7

Обосновать ошибку. Что произошло? Решить уравнение правильно.

2) разложение на множители (формулы сокращённого умножения, группировка, теорема Безу).

3) введение вспомогательной переменной (следует помнить об ОДЗ самого уравнения и ОДЗ новой переменной).

4) Нетрадиционные приёмы решения:

• функционально-графический;
• смешанный.

в) Устная работа

Задание: классифицировать уравнения по виду и по способу решения.

1. =             2. у2-5у+6=0       3. (х-2)2-2(х-2)-4=0    4. +1=6      5. =х

6. Указать количество корней уравнения 2+|х|=а

7. х3+3х2-4х=0

8. (х-1)2-х2=4-3х

III. Решение уравнений 3 и 4 степени, т.е. решение уравнений вида

а0 х4+а1х3+а2х2+а3 х+а4=0
а0 х3+а1х2+а2х+а3 =0

Решение уравнений

№ 1.

х3-9х+х2–9=0

Способ решения данного уравнения — разложение на множители способом группировки.

(х3+х2)-(9х+9)=0
х2(х+1)-9(х+1)=0
(х+1)(х2-9)=0
(х+1)(х-3)(х+3)=0 Ответ: -3; -1; 3.

№ 2. х3-6х2+11х-6=0

Способ решения данного уравнения – разложение на множители с помощью теоремы Безу.

Один корень найдём подбором. Их следует искать среди делителей свободного члена данного многочлена ±1, ±2, ±3, ±6. Но т.к. сумма коэффициентов многочлена равна 0, то его корнем является 1.По теореме Безу (остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (х-а)равен Р(а). Если а- корень многочлена Р(х), то многочлен делится на (х-а)без остатка). Разделим многочлен 3 степени на двучлен (х-1).

х3-6х2+11х-6=(х-1)(х2-5х+6)
(х-1)(х2-5х+6)=0

Ответ: 1, 2, 3.

№ 3. х4 +5х3+6х2+5х+1=0

(Возвратное или симметричное уравнение – это уравнение, в котором коэффициенты, равностоящие от концов равны.)

Способ решения данного уравнения – деление правой и левой частей уравнения на х2.

Вопрос — почему это можно сделать? Не происходит ли потеря корня?

х2+5х+6++ = 0

(х2 +)+5(х+) = 0

х+=у (ОДЗ для вспомогательной переменной?)

х2 +=(х+)2-2 = у2-2

у2-2+5у+6=0

у1=-4; у2=-1

х+=-4, х=-2

х +=-1, корней нет.

Ответ: -2 -; -2+.

№ 4. х5+6х4+11х3+11х2+6х+1=0

Возвратное уравнение нечётной степени имеет корень х=-1 (применим теорему Безу), после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения на двучлен (х+1) приводится к возвратному уравнению чётной степени. Решение можно заранее подготовить (на доске, показать через проектор) и в целях экономии времени не решать.

(х+1)(х4+5х3+6х2+5х+1)=0 (см. предыдущий пример)

№ 5. (х+1)(х+2)(х+4)(х+5)=40

Уравнение сводится к квадратному, если сумма чисел любых двух скобок равна сумме чисел двух других скобок.

(х2+6х+5)(х2+6х+8)=40

ух2+6х

(у+5)(у+8)=40

у2+13у=0

х2+6х=0 х2+6х=-13, корней нет, т.к. D

Ответ: -6, 0.

IV. Домашнее задание

2х3+8х-х2-4=0
2х3-12х2+22х-12=0
6х4-35х3+62х2-35х+6=0
(х+1)(х+2)(х+4)(х+3)=15

V. Подведение итогов урока

План-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему: Методы решения уравнений высших степеней

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Способы решения уравнений высших степеней. 8 класс

Данную презентацию использую при решении уравнений высших степеней в 8 классе. Решать квадратные уравнения школьники научились по формулам, а если уравнение выше второй степени? Есть ли  алгоритм…

Методы решения уравнений высших степеней.Схема Горнера.

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера….

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера…

Исследовательская работа ученика 9 класса Степанова Андрея : «Методы решения уравнений высших степеней»

Исследовательская работа ученика 9 класса Степанова Андрея : «Методы решения уравнений высших степеней»…

Занятие элективного курса «Методы решения уравнений высших степеней»

Семинарское занятие по решению уравнений высших степеней.Рассматриваются различные методы их решения.Метод разложения на множители.Понижение степени уравнения.Применение теоремы Безу. Деление многочле…

Программа элективного курса по алгебре для учащихся 11 классов. » Методы решения уравнений высших степеней»

Учащиеся средней школы умеют решать по формулам квадратные уравнения, умеют применять теорему Виетта для приведенных квадратных уравнений ; решают биквадратные уравнения, но уравнения высших степеней …

Урок алгебры в 10 классе (занятие элективного курса) по теме «Методы решения уравнений высших степеней».

На занятии изучается методика решения уравнений высших степеней. Рассматриваются два метода: разложение на множители и замена переменной. Понижение степени уравнений с помощью деления многочленов …

Методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме: Применение интегральной технологии к изучению темы «Уравнения высших степеней»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение гимназия  № 35 г.Тольятти

Методическое объединение учителей математики и информатики

  Применение интегральной технологии к изучению темы «Уравнения высших степеней».

11 класс

Учитель математики высшей    категории   Янаева О. Н.

2012г.

Обоснование.

Минимальной единицей учебного процесса в интегральной технологии является блок уроков. Рассмотрим все элементы, из которых состоит блок уроков интегральной образовательной технологии. Три элемента, которыми он завершается- обобщающее повторение, контроль и коррекция- будут присутствовать в любой образовательной технологии- это следует из схемы присвоения новой информации.

Изучение нового материала крупным массивом в системе внешних и внутренних связей в школьной практике должно обязательно предваряться вводным повторением. Это объясняется большим разбросом среди учеников по мотивации, возможностям, уровням достижений. Чтобы процесс формирования и развития функциональной системы шел нормально, необходимо загрузить в оперативную память учащихся те представления, знания, умения и ценности, над которыми будут надстраиваться вновь изучаемые. Значимость этого вводного повторения в школьной практике настолько велика, что мы его выделим в отдельный элемент блока уроков, хотя ему соответствует не обязательно самый большой по времени элемент первого урока.

Изучение нового материала большим массивом во всей системе его связей вызывает организационные проблемы. В школе всегда есть контингент учеников, которые по данной теме ограничатся материалом, соответствующим образовательному стандарту, образовательным минимумом.

Насыщение содержания информацией «не для всех» приведет к «провисанию» таких учеников, появлению у них значительных трудностей в отборе необходимого, да и просто потере понимания происходящего и обсуждаемого. Следовательно, при изучении нового материала в начале блока внимание уделяется только общеобязательному- основному объему, как мы будем его называть.

Кроме того, выдача материала дополнительного объема, отсроченная от закрепления, повлечет необходимость дополнительного повторения, то есть непроизводительным потерям времени.

Принцип деятельности требует, чтобы изучаемый обязательный материал немедленно отрабатывался на задачах. Поскольку речь идет о задачах минимального уровня планируемых результатов обучения, то умение их решать должно быть отработано до автоматизма. Назовем эту первую часть закрепления «тренинг-минимум».

Прежде чем перейти к обучению на последующие уровни, требуется познакомить учеников с необходимой информацией дополнительного объема, обеспечивающей работу на общем и тем более продвинутом уровнях. Поэтому в структуре блока уроков появляется еще один элемент изучения нового материала, предусматривающий активную познавательную деятельность школьников, в значительной мере самостоятельную.

Теперь возможен переход к дифференцированному обучению, где и будут реализованы идеи систем задач, соответствующих планируемым результатам, групповые способы организации обучения, идеи развития как относительно изучаемого курса, так и личностного. Здесь будет отслеживаться схема развития, динамика групп.

  Применение образовательной интегральной технологии в гимназии №35 преследует следующую цель:

«Выработка элементарных навыков и использование полученных знаний в новых нестандартных ситуациях».

Задачи:

1. Актуализация функциональных систем.                                        
2. Доведение до автоматизма умение решать шаблонные задачи.
3. Реализовать схему развития каждого ученика.
4. Обеспечить каждому ученику возможность достичь соответствующего уровня планируемых результатов обучения.
5. Коррекция и доработка учебно-методического материала для последующего использования.

 Тема №3«Уравнения высших степеней и методы их решений».

11 класс.

Поурочное планирование интегральной технологии

Оглавление:

Урок 1.Вводное повторение.

             Беседа.

Цели урока:

1. Актуализировать личный опыт и знания учеников для введения в тему.
2. Помочь в самоопределении и личном целеполагании учеников по отношению к теме.

Только учитель знает, какая ранее изученная информация потребуется для введения нового материала, следовательно, он должен в этом элементе учебного процесса играть ведущую роль. С другой стороны, актуализация функциональных систем должна произойти в головах учеников, поэтому именно они должны активно действовать, мыслить. Значит, требующаяся в этом элементе блока форма урока имеет интерактивный информационный режим. Форма, удовлетворяющая этим условиям, — беседа. Учитель задает ученикам целесообразно подобранные вопросы. Ученики, отвечая на эти вопросы, восстанавливают в оперативной памяти все необходимое.

Урок 2. Изучение нового материала.

              Лекция.

Цели урока:

1. Разработать индивидуальные образовательные программы .
2. Построить общую программу по данной теме.

Лекция позволяет передать ученикам укрупненную дидактическую единицу.

Урок 3. Тренинг-минимум.

              Практикум.

Цель урока:

 довести до автоматизма умение решать шаблонные задачи

Ученикам задаются шаблоны, соответствующие минимальному уровню планируемых результатов обучения.

Каждому ученику дается для заполнения схема индивидуального развития по данной теме:

Фамилия, имя      ученика	Разложение на    множители	Введение новой переменной	Метод деления
Груздев Петр

 Надо еще немного поработать-

Придется вернуться назад —

Можно двигаться дальше —

Урок 4. Изучение нового материала (дополнительный объем).

              Лекция.

Цель урока:

1.Изучить основное содержание темы, соответствующее образовательным стандартам и фундаментальным образовательным объектам.

2.Систематизировать полученные знания.

Особенность этого материала состоит в том, что одни ученики должны разобраться во всем и овладеть на уровне применения, другим полезно разобраться и понять идеи, третьим достаточно познакомиться.

Урок 5. Семинар-практикум.

Цель урока:

1. Развитие логических умений: сравнения, анализа, ведения дискуссии.
2. Совершенствовать навыки учащихся при решении уравнений.
3. Достроить созданные учениками образовательные продукты до целостной системы.

В этом элементе блока уроков мы намерены реализовать схему развития для каждого ученика. Процесс будет осуществляться через активное использование групповой работы. Напомним, что мы должны обеспечить каждому ученику возможность достичь соответствующего уровня планируемых результатов обучения. При этом отмечалось, что никакими существенными требованиями не обусловлена необходимость деления на группы всего класса. Для интегральной технологии была создана новая форма урока – семинар-практикум. Часть учащихся класса на уроке объединяется в группы, и каждая группа получает задание на определенное ограниченное время. По истечении этого времени, группа  отчитывается  о своей работе в той или иной форме. Среди этих форм могут быть отчеты группы учителю, заранее назначенному ученику-контролеру, другой группе; каждый ученик группы может отчитываться своему контролеру. Но наиболее эффективным вариантом является «публичная защита»: один представитель группы, назначенный учителем, выходит к доске, рассказывает классу (той его части, что не занята в других группах) о задаче и о том, как группа ее решала. Он отвечает на вопросы. Обсуждаются другие возможные подходы или упущенные решения. Классу же принадлежит ведущая роль в оценке деятельности группы. Оценка со стороны сверстников особенно важна, так как общение с ними является ведущей деятельностью в подростковом возрасте

Урок 6. Обобщающий урок.

              Консультация.

Цель урока:

1. Обобщить знания, умения и навыки по данной теме.
2. Подготовить учащихся к предстоящей контрольной работе.

Блок уроков подходит к концу, возникает необходимость обобщающего повторения, которое позволило бы ученикам увидеть всю тему целиком, получить некое системное знание ее, понять свое собственное место в предметном поле. Консультация является одной из наиболее эффективных форм организации урока для обобщающего повторения в преддверии тематического или итогового контроля.

Урок 7. Контрольная работа.

Цель урока:

1. Проверить и оценить уровень достижения поставленных целей.
2. Обнаружить изменения в личностных качествах учеников, их знаниях, умениях, освоенных способах, в созданной образовательной продукции.

Ход урока:

I вариант

Решите уравнения.

1. 3х3+2х2+2х+3=0.
2. 2х4-15х3+40х2-45х+18=0.
3. х2+4х-=1.
4. (х+1)(х+2)(х+4)(х+5)=40.
5. 20х4-28х2(х2+1)+9(х2+1)2=0.

II вариант

Решите уравнения.

1. 2х3+3х2+3х+2=0.
2. 6х4-25х3+12х2-25х+6=0.
3. х2+5х-=1.
4. (х+1)(х+2)(х+3)(х+4)=24.
5. (х-2)2(х+1)2-(х-2)(х2-1)-2(х-1)2=0.

Урок 8. Коррекция.

Цель урока:

1. Выявить проблемы по данной теме в ходе анализа и самоанализа контрольной работы.
2. Развивать умение  учащихся высказываться, сопоставлять, анализировать, логически мыслить, развивать вычислительную «зоркость».
3. Воспитывать уважение к мнению других, умение слушать.

На уроке коррекции ученики объединяются в группы и сообща находят ошибки в своих работах. Эта деятельность значительнее для ученика и полезнее, чем простое скольжение взглядом по учительским исправлениям или подчеркиваниям. Ученики, которые получили высший балл, могут на этом уроке работать с учителем, или решать нестандартные задачи, или помогать товарищам в поиске и коррекции ошибок, объясняя при необходимости их причины.

Многие дети выполняют задания медленно в силу сложившихся психотипов. Поэтому они, имея все предпосылки для достижения результатов общего и продвинутого уровней, справляются только с минимальным. Обдумывая каждое слово, выводя каждую букву, они просто не добираются за отведенное время до заданий других уровней. Должны быть защитные механизмы, позволяющие в условиях действия жестких правил все-таки чувствовать себя комфортно и «медленным» ученикам. Такой механизм в интегральной технологии состоит в праве каждого ученика пересдать с целью повышения оценки любую из ранее сданных тем в физических границах учебного года. Делается  это именно на уроках коррекции. Количество попыток ограничено- обычно ученик имеет право на одну такую попытку.

Ход урока:

1. Организационный момент
2. Устный опрос.

Структурирование материала по данной теме по технологии Кластери:

Повторили основные фундаментальные объекты данной темы.

 

Конкретная ситуация

Школа № 117 – это учебное заведение, работающее по профильному обучению на старшей ступени (10-11 классы).
10 «Д» — класс естественно-математического направления, химико-биологического профиля. Обучение математике ведется по профильному курсу, основной задачей которого является подготовка к поступлению и продолжению образования в ВУЗах, где математика – один из базовых предметов (Медицинский университет).

Закончив изучение темы «Уравнения высших степеней», учащиеся 11  класса выполняли контрольную работу. Петр Груздев, как и все ребята этого класса, к учебе относится очень добросовестно. Он повторил, готовясь к контрольной работе, фундаментальные образовательные объекты данной темы: «Многочлены с одной переменной», «Вычисление значений многочленов по схеме Горнера», «Деление многочленов», «Теорема Безу», «Рациональные уравнения и методы их решения». В успешном выполнении контрольной работы он был уверен.

Вам представлена эта работа.

Вопросы к конкретной ситуации:

1. Найдите ошибки. Выделите их по группам:

а) вычислительные;

б) неверная замена новой переменной;

в) указаны посторонние корни;

г) другие недочеты и ошибки.

2. В чем, по-вашему, заключалась основная причина допущенных ошибок?

Вариант решения к/р Петра Груздева

Решите уравнения

№1.

x3 – 2×2 + 3x = 0

Решение:

Разложим на множители, используя схему Горнера 6=

Значит,         (x+2)(x2+3)=0

                x+2=0                или        x2+3=0

                x = -2                        корней нет

Ответ: -2.

№2.

x4+5×3+6×2+5x+1=0

Решение:

Разделим на x2/

x2+5x+6++=0

(x2+) + 5(x+)+6=0

Пусть x+ =t, тогда x2+=t2, получим

t2+5t+6=0

t1=-2

t2=-3

Вернемся к замене

x+=-2                                                x+=-3;

x2+2x+1=0                        и                        x2+3x+1=0

(x+1)2=0                                                D=9-4=5

x=-1                                                        x=

Ответ: -1; .

№3.

x2+5x-=1

Решение: Пусть x2+5x=t, тогда

t—1=0

t1=-6                t2=4

Вернемся к замене

x2+5x=-6                                и                        x2+5x=4

x2+5x+6=0                                                        x2+5x-4=0

x1=2                                                                D=41

x2=3                                                                x3,4=

Ответ: 2;3; x3,4=

№4

20×4-28×2(x2+1)+9(x2+1)2=0

Решение:

Это однородное уравнение.

Разделим на (x2+1)2/

20

Пусть , тогда 20t

Вернемся к замене

                                        и                        

                                                                

                                                                        

                                                                        

Ответ: 1;3

После проведения самоанализа итог: в чем причина ваших ошибок?

Затем проводя итог всему уроку- групповая работа «Шляпа» (сбор информации).

 “Красная”- все положительное об уроке.

 “Черная”- все отрицательное об уроке

“Желтая”- аналитики, дают анализ собранной информации от “красной” и “черной”.

“Зеленая”-разрабатывают “проект” домашней работы. Составить собственную индивидуальную траекторию движения. Для этого:

1. анализируют свои западающие проблемы;
2. выстроить программу собственных действий;
3. выстроить программу взаимодействия с преподавателем.

Презентация к уроку по алгебре (10, 11 класс) на тему: Решение уравнений высших степеней

Слайд 1

Решение уравнений высших степеней Желтова О. Н., учитель МАОУ «Лицей № 6» г. Тамбов

Слайд 2

Уравнение Р( x)=0 , где Р(х) = а 0 х n + а 1 х n — 1 + … + а n , Степенью уравнения Р( х ) = 0 называется степень многочлена Р( х ) стандартного вида, т.е. наибольшая из степеней его членов .

Слайд 3

(х 3 – 1) 2 + х 5 = х 6 – 2 х 5 – 2х 3 + 3 = 0 х 3 =10 – х (х-2)(х+1)(х+4)(х+7) = 63 (х 2 -2х-1) 2 + 3(х-1) 2 = 16 2х 4 + х 3 – 6х 2 + х + 2 = 0

Слайд 4

Способы решения уравнений высших степеней Разложение многочлена на множители Функционально-графический метод Метод замены переменн ой

Слайд 5

Решить уравнение: x 3 -2x 2 -6x+4=0 Проблема: Возможно ли многочлен третьей степени x 3 -2x 2 -6x+4 разложить на множители ? №1

Слайд 6

Как разложить на множители многочлен х 2 — 5х — 6? х 2 — 5х — 6 = (х – 6)(х + 1) ‏ ‏ Вывод: Корни трехчлена являются делителями свободного члена . .

Слайд 7

. x 3 -2x 2 -6x+4 разделим на двучлен х + 2

Слайд 8

Схема Горнера . x 3 -2x 2 -6x+4 разделим на двучлен х + 2 1 -2 -6 4 1 1 -4 2 0 -2 остаток умножить сложить x 3 — 2x 2 — 6x + 4= (x 2 -4x+2)(x+ 2) ‏ x 3 — 2x 2 — 6x + 4= (x 2 -4x+2)(x+ 2)=

Слайд 9

Значения Схема многочлена Горнер а Р(х)=x 3 -2x 2 -6x+4 Гипотеза: Значение многочлена при х=а равно остатку от деления многочлена на х — а. х Р(х) ‏ 1 -3 -1 7 2 -8 -2 0 4 12 -4 -68 1 -2 -6 4 1 1 -1 -7 -3 -1 1 -3 -3 7 2 1 0 -6 -8 -2 1 -4 2 0 4 1 2 2 12 -4 1 -6 18 -68

Слайд 10

Теорема Безу : Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (x — а) равен Р(а ). Следствие : Для того, чтобы многочлен Р(х) делился нацело на двучлен (х – а), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Р(а) = 0 . О Безу Этьенн БЕЗУ Этьенн Безу (1730 — 1783) ‏

Слайд 11

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого на 1 меньше: если Р(а) = 0, то Р(х)= (x — а)∙Q(x), и остается решить уравнение Q(x) = 0 . Иногда этим приемом — он называется понижением степени — можно найти все корни многочлена. В начало

Слайд 12

Если уравнение с целыми коэффициентами а 0 х n + а 1 х n — 1 + … + а n =0 имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена а n Теорема 1

Слайд 13

х 4 – 4х 3 + 5х 2 -2х – 12 = 0, х = -1 — целый корень уравнения. По схеме Горнера: (х+1)(х 3 — 5х 2 + 10х — 12)=0 х 3 — 5х 2 + 10х – 12=0, х = 3 –целый корень уравнения По схеме Горнера: (х+1)(х – 3)(х 2 -2х + 4) = 0. уравнение х 2 -2х + 4 = 0 корней не имеет. 1 -5 10 -12 3 1 -2 4 0 1 -4 5 -2 -12 -1 1 -5 10 -12 0 Ответ: -1; 3. №2

Слайд 14

РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ: х 4 — x 3 — 6x 2 — x + 3 = 0 . Ответ: -1; 3; №3

Слайд 15

2 3 5 4 -1 Схема Горнера 2 1 4 0 Найти все значения параметра а, при каждом из которых число р является корнем уравнения. а= -2 а=1 Если а=-2 №4

Слайд 16

При а=1 уравнение принимает вид: 1 -3 -5 -1 -1 1 -4 -1 0 Ответ: -1;

Слайд 17

Для того, чтобы уравнение с целыми коэффициентами а 0 х n + а 1 х n — 1 + … + а n =0 имело рациональный корень р/ q , необходимо и достаточно,чтобы p являлось делителем свободного члена а n , а q являлось делителем старшего коэффициента а 0 . Теорема 2

Слайд 18

№5 12 х 5 — 44 x 4 +23 x 3 +4 x 2 — 3 x = 0 . Делители свободного члена: 1 ,-1,3,-3 Делители старшего коэффициента: 1,2,3,4,6,12 Ожидаемые корни: X=0 12 х 4 — 44 x 3 +23 x 2 +4 x – 3 = 0. Ответ: 0; ½, ½, -1/3, 3.

Слайд 19

№6 12 х 4 — 44 x 3 +39 x 2 +8 x — 12 = 0 . Ответ:-1/2; 2/3; 1,5;2

Слайд 20

№7 Метод неопределенных коэффициентов х 4 — 10 x 3 +27 x 2 -14 x + 2 = 0 . х 4 — 10 x 3 +27 x 2 -14 x + 2= = ( x 2 -4 x + 1) ( x 2 -6 x + 2)

Слайд 21

6х 3 + 7x 2 – 9х + 2 = 0 . Самостоятельная работа Ответ: -2; 1/2; 1/3 2х 4 + х 3 – 6х 2 + х + 2 = 0 Ответ: 1,1,

Слайд 22

Способы решения уравнений высших степеней Разложение на множители Введение новой переменной Фукционально-графический группировка формулы сокращённого умножения понижение степени вынесение за скобки деление «уголком» схема Горнера разложение квадратного трёхчлена на множители Метод неопределенных коэффициентов

Слайд 23

Уравнения для меня важнее, потому что политика — для настоящего, а уравнения — для вечности. Альберт Эйнштейн

Слайд 24

Домашнее задание: §2-6, №304,305,314, 316(1,3),317,319, 321,324(1)

Разработка урока и презентация по алгебре «Решение уравнений высших степеней»

Цель урока:

1) повторить методы решения уравнений из курса алгебры 7-8 классов;

2) научиться находить рациональные корни многочлена;

3) проводить исследование многочлена.

Ход урока.

I) Повторить методы решения следующих уравнений (слайд 2) (Решаем устно с объяснением методов)

II) Вопрос (проблема): Как решить уравнения:

х³-5х+4=0; х⁴-2х³+2х-1=0?

Что у нас имеется по решению данной проблемы?

а) Умеем понижать степень многочлена с помощью теоремы Безу.

б) Знаем определение корня уравнения.

III) Возникает вопрос: «Как найти этот корень уравнения, с помощью которого понизим степень?» (слайд 3, 4)

Рассмотрим приведённое уравнение х³+х²-4х+2=0, а₀=2.

Найдём делители числа 2:  1;– 1;  2; – 2.

Пусть f(x)=x³+x²-4x+2. Проверим f(1)=1+1-4+2=0. Итак, x₁=1 корень уравнения.

Понизим степень многочлена f(x) по схеме Горнера/

x²+2x-2=0.

D/4=1+2=3

x₂=-1+√3

x₂=-1-√3

Ответ: 1; -1-√3; -1+√3.

IV) Самостоятельно решить по вариантам (слайд 5)

V) Бывают уравнения, которые имеют корень, но этот корень не целый. Как поступить в этом случае?

Рассмотрим уравнение х³+2х²+х+1=0, а₀=1.

Делители 1: -1;1..

р(1)=5≠0; р(-1)=1≠0.

Целых корней нет.

Введём функцию f(x)=x³+2x²+x+1 и исследуем её с помощью производной.

f'(x)=3x²+4x+1

3x²+4x+1=0

D=16-12=4

x_1,2=-4±2/6

x₁=-1;

х₂=-1/3.

Весь материал — в архиве.