Координаты точки и координаты вектора

1.	Координаты вектора суммы	1 вид — рецептивный	лёгкое	2,1 Б.	Вычисление координат вектора суммы двух или более векторов.
2.	Координаты вектора разности	1 вид — рецептивный	лёгкое	2,1 Б.	Вычисление координат вектора разности двух векторов.
3.	Координаты произведения вектора на число	1 вид — рецептивный	лёгкое	1,5 Б.	Вычисление координат произведения вектора на число.
4.	Координаты середины отрезка	1 вид — рецептивный	лёгкое	1,5 Б.	Вычисление координат середины отрезка, если известны координаты его концов.
5.	Координаты конечной точки отрезка	2 вид — интерпретация	лёгкое	1,5 Б.	Вычисление координат конца отрезка, если известны координаты его середины.
6.	Длина вектора	1 вид — рецептивный	среднее	3 Б.	Вычисление длины вектора, если известны координаты его начальной и конечной точек.
7.	Длина вектора суммы или разности	1 вид — рецептивный	среднее	3 Б.	Вычисление длины вектора суммы и вектора разности, если известны координаты векторов.
8.	Модуль вектора	1 вид — рецептивный	среднее	3 Б.	Вычисление модуля вектора, равного произведению данных векторов на данное число, известны координаты векторов.
9.	Коллинеарные векторы	1 вид — рецептивный	среднее	4 Б.	Вычисление неизвестных координат коллинеарных векторов.
10.	Медианы треугольника, даны координаты вершин треугольника	2 вид — интерпретация	среднее	4 Б.	Вычисление медиан треугольника, если известны координаты вершин треугольника.
11.	Точка в координатной системе	2 вид — интерпретация	сложное	6 Б.	Нахождение расстояния данной точки от координатных осей и от координатных плоскостей.
12.	Расположение данных точек	3 вид — анализ	сложное	4 Б.	Определение неизвестной координаты, чтобы данные точки находились на одной прямой.

www.yaklass.ru

Координаты точки и координаты вектора. Геометрия, 11 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Координаты вектора суммы Сложность: лёгкое	2,1
2.	Координаты вектора разности Сложность: лёгкое	2,1
3.	Координаты произведения вектора на число Сложность: лёгкое	1,5
4.	Координаты середины отрезка Сложность: лёгкое	1,5
5.	Координаты конечной точки отрезка Сложность: лёгкое	1,5
6.	Длина вектора Сложность: среднее	3
7.	Длина вектора суммы или разности Сложность: среднее	3
8.	Модуль вектора Сложность: среднее	3
9.	Коллинеарные векторы Сложность: среднее	4
10.	Медианы треугольника, даны координаты вершин треугольника Сложность: среднее	4
11.	Точка в координатной системе Сложность: сложное	6
12.	Расположение данных точек Сложность: сложное	4

www.yaklass.ru

1. Тренировка по теме Координаты точки и координаты вектора

1.	Координаты произведения вектора на число	1,5 Б.
2.	Координаты середины отрезка	1,5 Б.
3.	Модуль вектора	3 Б.
4.	Медианы треугольника, даны координаты вершин треугольника	4 Б.
5.	Расположение данных точек	4 Б.

www.yaklass.ru

Метод координат. Координаты вектора

Вопросы занятия:

·  вспомнить, как определяют координаты векторов;

·  рассмотреть три вспомогательные задачи: определение координат середины отрезка, вычисление длины вектора по его координатам и определение расстояния между точками.

Материал урока

Итак, построим прямоугольную систему координат. От точки О начала координат отложим единичные векторы  и . Т.е. векторы длины, которых равны единице.

Причём, направление вектора  совпадает с направлением оси , а направление вектора  совпадает с направлением оси .

Векторы  называются координатными векторами.

Понятно, что любой вектор  можно разложить по векторам . Причём коэффициенты разложения, числа , определяются единственным образом.

Коэффициенты разложения вектора  по координатным векторам называют координатами вектора  в данной системе координат.

Напомним, что координаты вектора записывают в фигурных скобках через точку с запятой. При этом первым указывают коэффициент разложения , а вторым — .

Задание.

Записать координаты векторов, указанных на экране.

Решение.

Обратите внимание, что такие координаты данные векторы будут иметь только в конкретной системе координат и при конкретных координатных векторах .

Коэффициенты разложения нулевого вектора по векторам  и  равны нулю.

Тогда получаем, что нулевой вектор имеет координаты , причём в любой системе координат и при любых координатных векторах.

Если векторы равны, то их разложения по векторам  и  также будут равны, а значит, равны будут и коэффициенты разложения.

Таким образом, получаем, что координаты равных векторов соответственно равны.

Вспомним ещё один особенный случай — противоположные векторы. Их разложения противоположны.

Значит, противоположны будут и соответственные координаты.

Задание.

Разложить векторы по координатным векторам  и  и указать их координаты.

Решение.

Задание.

Построить векторы по их координатам.

Координатами вектора  являются числа 8 и –1. Значит, чтобы переместиться из точки О на вектор , сначала нужно переместиться на вектор , а затем на вектор . Соединив точку О с конечной точкой, получим вектор .

Далее изобразим вектор . Для этого из точки О переместимся на вектор . Тем самым получим искомый вектор .

Чтобы из точки О переместиться на вектор , сначала переместимся на вектор , а затем на вектор . Проведём вектор из точки О в конечную точку. Так мы получили вектор .

Теперь давайте вспомним правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число.

Сначала рассмотрим сумму двух векторов  и , координаты которых равны:

Пользуясь их координатами, можем записать разложения данных векторов по координатным векторам  и .

Сложим полученные равенства. Пользуясь свойствами сложения векторов и произведения вектора на число, получаем, что координаты вектора суммы векторов  и  равны:

Сформулируем правило.

Каждая координата суммы двух и более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Задание.

Найти координаты векторов суммы, если , , , .

Координаты вектора суммы  равны:

Координаты вектора суммы  равны:

Перейдём к разности векторов  и .

Из разложения вектора  вычтем разложение вектора .

Получаем, что координаты вектора разности равны:

Сформулируем правило.

Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат данных векторов.

Задание.

Найти координаты векторов разности, если , , , .

Разность векторов  имеет координаты:

Разность векторов  имеет координаты:

Далее получим координаты произведения вектора  на число .

Получаем, что координаты произведения равны:

Сформулируем правило.

Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

Задание.

Найти координаты произведения вектора на число.

Координаты вектора . Они равны:

Координаты вектора  равны:

Вектор  имеет координаты:

Ну, а вектор  имеет координаты:

Рассмотрим прямоугольную систему координат и какую-нибудь точку .

Проведём вектор из точки О к точке М. Такой вектор  называют радиус-вектором точки М.

Давайте докажем, что координаты точки М равны соответствующим координатам её радиус-вектора .

Понятно, что вектор  по правилу параллелограмма. Теперь необходимо доказать, что вектор , а вектор . Тем самым мы докажем, что вектор .

Если , то длина отрезка . А так как векторы  и  сонаправлены, то вектор , а длина .

Если же , то длина отрезка . Так как векторы  и  противоположно направлены, можно записать, что вектор . А .

Ну, и если , то точка М лежит на оси  и вектор . Тогда его можно выразить как . А это значит, что справедливо равенство .

Абсолютно аналогично проводят доказательство того, что вектор .

Итак, мы доказали, что вектор . То есть координаты вектора , так же как и у точки М.

Что и требовалось доказать.

Задание.

Назвать координаты вектора.

Решение.

Итак, мы доказали, что координаты точки М равны соответствующим координатам её радиус-вектора.

Радиус-вектором точки называют вектор, начало которого совпадает с точкой начала координат, а конец — с данной точкой.

Пользуясь этим утверждением, выразим координаты вектора  через координаты его начала и конца. Пусть точка А имеет координаты , а точка В имеет координаты .

Вектор . А они в свою очередь являются радиус-векторами точек В и А соответственно. А это значит, что координаты вектора , а координаты вектора . Можем найти координаты вектора разности: . Понятно, что эти значения и будут координатами вектора .

Так мы доказали, что каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Задание.

По координатам точек  и  найти координаты вектора

.

Решение.

Теперь давайте рассмотрим три вспомогательных задачи, которые используют при решении геометрических задач методом координат.

Первой решим задачу на определение координат середины отрезка.

Пусть точка  и точка  — некоторые точки координатной плоскости. Точка  — середина отрезка . И нам необходимо определить её координаты.

Воспользуемся ранее доказанным утверждением и на основании того, что  — середина отрезка , запишем, что вектор .

Векторы  и  являются радиус-векторами точек А и В соответственно. Значит, координаты вектора , а координаты вектора .

Вектор их суммы будет иметь координаты .

Координаты вектора их полусуммы равны .

Эти значения и будут координатами вектора , который в свою очередь является радиус-вектором точки С. А это значит, что координаты точки  равны соответствующим координатам её радиус-вектора.

Таким образом, мы получили, что каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

Далее рассмотрим вторую вспомогательную задачу — задачу на вычисление длины вектора по его координатам.

От начала координат отложим вектор . Проведём перпендикуляры  и  к осям.

Если точка , то и её радиус-вектор . При этом координаты вектора , ведь векторы .

Итак, можно сказать, что длина отрезка , а длина отрезка . Длину отрезка  можем выразить из прямоугольного треугольника  по теореме Пифагора, как

Но ведь векторы , а значит, . Получаем, что длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат, причём от какой бы точки он не был отложен.

Далее решим последнюю вспомогательную задачу — задачу на определение расстояния между двумя точками.

Пусть точка , а точка . Выразим расстояние  между этими точками через их координаты.

Для начала рассмотрим вектор . Его координаты равны разностям соответствующих координат конца М₂ и начала М₁.

Тогда длина этого вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Но с другой стороны, длина вектора . Отсюда получаем, что расстояние между двумя точками находят, как корень квадратный из суммы квадратов разностей соответствующих координат данных точек.

Итоги урока

На этом уроке мы поговорили о «методе координат». Вспомнили, как определяют координаты векторов. Рассмотрели три вспомогательные задачи: определение координат середины отрезка, вычисление длины вектора по его координатам и определение расстояния между точками.

 

videouroki.net

Связь между координатами векторов и координатами точек

Вы уже знаете, как связаны координаты вектора с координатами точек на плоскости.

Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало — с точкой начала координат, называется радиус-вектором. И на плоскости координаты любой точки равны соответствующим координатам её радиус-вектора.

Это же утверждение справедливо и для пространства.

Определение:

Вектор ОМ является радиус-вектором точки М пространства. И координаты любой точки пространства равны соответствующим координатам её радиус-вектора.

Докажем, это утверждение.

Так, мы доказали, что координаты любой точки пространства равны соответствующим координатам её радиус-вектора.

Теперь выразим координаты произвольного вектора пространства АВ через координаты его начала и конца.

Пусть координаты начала А равны х₁, у₁ и z₁. А координаты конца B равны x₂, y₂ и z₂. Проведём радиус-векторы точек А и B. Понятно, что координаты вектора ОА равны соответствующим координатам точки А. А координаты вектора ОB равны координатам точки B.

Пользуясь правилом построения вектора разности двух векторов, можем отметить, что вектор АB равен разности векторов ОB и ОА. Почему ОB минус ОА, а не наоборот? Потому, что вектор разности направлен из конца вектора вычитаемого к концу вектора уменьшаемого. Значит, вектор ОB является уменьшаемым, а вектор ОА — вычитаемым.

Координаты векторов ОА и ОB известны. Тогда найдём координаты вектора АВ, как разности соответствующих координат векторов ОВ и ОА. Получаем, {𝑥₂−𝑥₁; 𝑦₂−𝑦₁; 𝑧₂−𝑧₁}. Так мы выразили координаты вектора через координаты его начала и конца.

Можно сделать вывод, что каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Задание: по координатам точек 𝐴(2;−3;0), 𝐵(7;−12;18) и 𝐶(−8;0;5) определить координаты векторов 𝑂𝐴, 𝑂𝐵, 𝑂𝐶, 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 и 𝐴𝐶, если точка 𝑂 — точка начала координат.

Решение:

Задание: По координатам векторов 𝑂𝐴{4;−7;1}, 𝑂𝐵{−2;0;3}, 𝑂𝐶{0,5;−4;8}, 𝐴𝐷{13;−2;5}, 𝐵𝐸{1;−3;0} и 𝐶𝐹{−9;0;0} определить координаты точек 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 и 𝐹, если точка 𝑂 — точка начала координат.

Решение:

Мы рассмотрели примеры применения связи координат вектора и координат его начала и конца.

А сейчас поговорим о коллинеарных векторах.

Вы помните, если векторы А и В коллинеарны, то один можно выразить через другой умножением на некоторое число k. Причём, если , то векторы А и B сонаправлены, если же , то векторы А и B противоположно направлены.

Если координаты вектора , то координаты вектора .

Запишем отношения соответствующих координат данных векторов.

Все они равны между собой и равны k.

Так можно отметить, что если координаты векторов пропорциональны, то данные векторы коллинеарны.

Задание: по координатам векторов определить коллинеарны ли пары векторов.

Решение:

Задание: найти значения переменных m и n, при которых данные векторы будут коллинеарны.

Решение:

Вам также уже хорошо известно понятие компланарных векторов. Возникает вопрос, возможно, ли по координатам векторов определить компланарны они или нет?

Напомним, что компланарными называют векторы, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

Другими словами, векторы компланарны, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

Так же мы выяснили, что любые два вектора всегда компланарны, а вот три вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными.

В связи с этим мы доказали признак компланарности векторов.

Если вектор  можно разложить по векторам  и :  , то векторы ,  и компланарны.

Справедливо также и обратное утверждение, которое называют свойством компланарных векторов.

Если векторы ,  и компланарны (), то вектор  можно разложить по векторам  и :  , причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Задание: рассмотрим тройки векторов с известными координатами и выясним компланарны они или нет.

Решение:

Итоги:

Вы узнали, что радиус-вектором точки в пространстве называется вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало — с точкой начала координат. Координаты любой точки равны соответствующим координатам её радиус-вектора.

Мы с вами доказали, что каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала. А также, пользуясь тем, что любой вектор можно выразить через коллинеарный ему вектор, мы отметили, что если координаты векторов пропорциональны, то данные векторы коллинеарны. Также мы рассмотрели примеры определения компланарности векторов по их координатам.

videouroki.net