Корень из n степени числа: Корень (математика) — Википедия – формулировки, доказательства, примеры, свойства корней n й степени

Корни и степени. Квадратный корень, кубический корень.

Степенью называется выражение вида .

Здесь  — основание степени,  — показатель степени.

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

По определению, .

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

.

Возвести число в натуральную степень  — значит умножить его само на себя раз:

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

По определению,

.

Это верно для . Выражение 00 не определено.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.

Например,

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где  — целое,  — натуральное.

Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

Арифметический квадратный корень из числа  — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

Согласно определению,

В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение    для нас сейчас имеет смысл только при .

Выражение всегда неотрицательно, т.е. . Например, .

Свойства арифметического квадратного корня:

Кубический корень

Аналогично, кубический корень из  — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число 

.

Например, , так как ;

, так как ;

, так как .

Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Теперь мы можем дать определение корня -ной степени для любого целого .

Корень -ной степени

Корень -ной степени из числа  — это такое число, при возведении которого в -ную степень получается число .

Например,

Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Итак, — такое число, что . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

По определению,

в общем случае .

Сразу договоримся, что основание степени больше 0.

Например,

Выражение по определению равно .

При этом также выполняется условие, что больше 0.

Например,

Запомним правила действий со степенями:

— при перемножении степеней показатели складываются

— при делении степени на степень показатели вычитаются

— при возведении степени в степень показатели перемножаются

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

1.

Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

2.

3.

Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.

Корень n-ной степени из действительного числа /qualihelpy

Если показатель корня четное число, то подкоренное выражение не может быть отрицательным числом, так как четная степень и положительного и отрицательного числа есть число положительное. 

Если показатель корня нечетное число, то подкоренное выражение может быть положительным числом, отрицательным числом и числом  . 

Свойства корней:

 ; (1.16) ; (1.17) ; (1.18)
 ; (1.19) . (1.20)

Внесение множителя под знак корня

Если показатель корня нечетное число, то для любого числа  и натурального числа  справедливо равенство:  . (1.21)Если   , то  . Например,   .

Вынесение множителя из-под знака корня 

Если показатель корня нечетное число, то справедливо равенство:

 . (1.22)

Если показатель корня четное число, то справедливо равенство:

 . (1.23)Например:   ;   .

Сравнение выражений, содержащих корни

1. Если   , то   . Например,   .2. Если   и   , то   . Например,   .3. Если   и  , то   . Например,   .4. Чтобы сравнить числа   и   , необходимо представить их в виде корня одной и той же степени.

Степень с действительным показателем 

Степени с действительным показателем обладают всеми свойствами степеней с целым показателем. При этом следует помнить, что: 

а) степень числа с натуральным показателем имеет смысл для любого основания, так как эта степень определяется с помощью операции умножения;

б) степень с целым отрицательным показателем имеет смысл для любого основания, кроме основания  , так как эта степень определяется с помощью операций умножения и деления; 

в) степень с рациональным показателем определяется с помощью операции извлечения корня, которая всегда выполнима, если основание степени положительное число и не всегда выполнима, если основание степени отрицательное число; 

г) степень с любым действительным показателем всегда определена, если ее основание – положительное число. 

Среднее арифметическое и среднее геометрическое 

Чтобы найти среднее арифметическое нескольких чисел необходимо сумму этих чисел разделить на их количество. 

Например, среднее арифметическое чисел ,  и  равно   .

Тема урока " Корень n-ой степени из действительного числа и его свойства"

Тема: Корень n-ой степени из действительного числа и его свойства

Цель урока: рассмотреть свойства корня n-ой степени из действительного числа

Задачи урока: решение примеров по данной теме

Ход урока:

I этап: Организационный момент, приветствие, проверка домашнего задания

II этап: Новая тема:

Корнем d1854cae891ec7b29161ccaf79a24b00c274bdaa

-ной степени, гдеd1854cae891ec7b29161ccaf79a24b00c274bdaa– натуральное число и  9d8f89d34e526b8ddb9bc153bf1e92563e6183c0 , из числа 86f7e437faa5a7fce15d1ddcb9eaeaea377667b8 называют такое число e9d71f5ee7c92d6dc9e92ffdad17b8bd49418f98 , d1854cae891ec7b29161ccaf79a24b00c274bdaa-я степень которого равна 86f7e437faa5a7fce15d1ddcb9eaeaea377667b8
 . Записывают:  0731f1cb60d70120cd50c33712908814158a11c5 или  8e277e281f63549acd60a7356de48eec8802f720 . Тогда, если  96af48bf48ccf20f7d0cf82fc7eb2888f038d3ed , то  5f9b4793341fd4b5d697a2085bcdd6e8f0211ee6 . Число 86f7e437faa5a7fce15d1ddcb9eaeaea377667b8 называют подкоренным выражением, а число d1854cae891ec7b29161ccaf79a24b00c274bdaa – показателем корня

Неотрицательный корень d1854cae891ec7b29161ccaf79a24b00c274bdaa

-ной степени из неотрицательного числа 86f7e437faa5a7fce15d1ddcb9eaeaea377667b8 называют арифметическим корнем d1854cae891ec7b29161ccaf79a24b00c274bdaa-ной степени из числа  86f7e437faa5a7fce15d1ddcb9eaeaea377667b8. Например:  b2820cc61e931dc782c900930237536f267fa8e1 ,  87f0ddfe065f68272fdeca96e8be1fba95b42200 . Если показатель корня четное число, то подкоренное выражение не может быть отрицательным числом, так как четная степень и положительного и отрицательного числа есть число положительное.  Если показатель корня равен числу da4b9237bacccdf19c0760cab7aec4a8359010b0
 , то имеем корень второй степени или квадратный корень из неотрицательного числа 86f7e437faa5a7fce15d1ddcb9eaeaea377667b8, который принято обозначать d6930be70098c14c10f885c780e57279ab91461f  или fcad40f6d8ac231264aa6122d1f0d50837d9882e . Например:  c2f2693bf59e782866b3f438b235c4d3c2d4ccf2 ;  83f139215ce3f83fef60e8ada5b7c99f20411a16 . Если показатель корня нечетное число, то подкоренное выражение может быть положительным числом, отрицательным числом и числом b6589fc6ab0dc82cf12099d1c2d40ab994e8410c
 .  Если показатель корня равен числу 77de68daecd823babbb58edb1c8e14d7106e83bb , то имеем корень третьей степени или кубический корень из числа 86f7e437faa5a7fce15d1ddcb9eaeaea377667b8, который принято обозначать  cd52378aeec567084cd19c17b105310b036f04b7 . Например: b45396844cc5f1cdad94a976d7f541914bed3c67 ;  80547f1526e955e793acd87b4529b0ce8efe112f

Свойства

корней:

c1d329832928d0d095062c82da68203b65f46160 ; (1.16) 7a0cfc273bc8f860232e53bb118156f8d150b2fd ; (1.17) 6b12d2e89b4bf8086f5c0f98d1e5226cf025bbb2 ; (1.18)
cbd9b90891fcdca819ec0b57a22ff56c301c4728 ; (1.19) 48d600dfe62d7c443aa76c00d36eb0047445ab1d . (1.20)

При четном значении d1854cae891ec7b29161ccaf79a24b00c274bdaa свойства 1.16 и 1.17 справедливы, если значения 86f7e437faa5a7fce15d1ddcb9eaeaea377667b8 и e9d71f5ee7c92d6dc9e92ffdad17b8bd49418f98 неотрицательные, а свойство 1.18 справедливо, если к тому же 6ce05b0da7783d70aa42a59b67b4229d47156c6f . Свойства 1.19 и 1.20 справедливы при любых значениях 86f7e437faa5a7fce15d1ddcb9eaeaea377667b8 и e9d71f5ee7c92d6dc9e92ffdad17b8bd49418f98 . 

Например:  af4b7e9af128f81a1f2ec0b8d82251f0aaf48c61 ;  8c13e07cb0b67dd03d4fec8d94ffbe7ac35032bd ;  df474d953f8ccfa86f2870908f92f5b8a0640108 ;  3291a64cfed26eb7123ca357020f0ca34c147edd ;  a8caf6ca96fb89ab18981f05cb9ca90b7e285404 .

Внесение множителя под знак корня

Если показатель корня нечетное число, то для любого числа 86f7e437faa5a7fce15d1ddcb9eaeaea377667b8 и натурального числа d1854cae891ec7b29161ccaf79a24b00c274bdaa справедливо равенство:

 78df90259f8961606c49bd0078eac0976af88219 . (1.21) Если  c114fb06edc308ba0c36ec150aa02d8afed6f83f , то 78509f150ba9e24f4f95e8cb72144f514ccbc5ba . 

Например,  aa3ebbbabe8c26479f4a657772c1c0d8e9102b43 .

Вынесение множителя из-под знака корня 

Если показатель корня нечетное число, то справедливо равенство:

7532c710ca04cfe250e5942c69f6624023900386 . (1.22)

Если показатель корня четное число, то справедливо равенство:

2c92799900ade24a2dbe78dcdac0beeeaf0d71d4 . (1.23)

Например:  c9fc84aa03ccbac45f289e5fb5368c600cfc62b1 ;  4b876d19b2ada4fae31ad61e7a828f2ed392737a .

Сравнение выражений, содержащих корни

1. Если  9a95837e3f62490cd7c6472ea113bc5d08d951d8 , то  a282355b0461dc1f9cbb239c831ac5ac69d253a7 . Например,  d50a51934ee117ed42e6c8cb96f8fa2cf5d626ea .

2. Если  c26eea90be6d237b5fcf937a44ba499322dfd606 и  a2ceae223f82333f1415e1aa265422ee575424a6 , то  ef2056d5c24c8cf29ae48fe5c214ec5e2cf3426d . Например,  adc145247e4c0a541475a73a1d40dc6d4462e96b .

3. Если  408c620a2ea6f70a9c794b00fff58cddf6db5bc7 и  a2ceae223f82333f1415e1aa265422ee575424a6, то  0d670269ad603e4886bf78a55afa8bc169cfab2e . Например,  4228339478bab96285d02a2ec0c61dd58732415b .

4. Чтобы сравнить числа 501e9a776a4845d0b53e8cc1300a46eea417b8d5  и  2e7817394a53bbc1f946448dff14f022f6adeb83 , необходимо представить их в виде корня одной и той же степени.

5. Чтобы сравнить числа 86f7e437faa5a7fce15d1ddcb9eaeaea377667b8 и 2e7817394a53bbc1f946448dff14f022f6adeb83  необходимо или извлечь корень d1854cae891ec7b29161ccaf79a24b00c274bdaa-ой степени из e9d71f5ee7c92d6dc9e92ffdad17b8bd49418f98 или представить число 86f7e437faa5a7fce15d1ddcb9eaeaea377667b8 в виде  42d5f00bbffdd213c6a893ebaf1093be9dc7596a . 

Степень с действительным показателем 

Степени с действительным показателем обладают всеми свойствами степеней с целым показателем. При этом следует помнить, что: 

а) степень числа с натуральным показателем имеет смысл для любого основания, так как эта степень определяется с помощью операции умножения;

б) степень с целым отрицательным показателем имеет смысл для любого основания, кроме основания b6589fc6ab0dc82cf12099d1c2d40ab994e8410c , так как эта степень определяется с помощью операций умножения и деления; 

в) степень с рациональным показателем определяется с помощью операции извлечения корня, которая всегда выполнима, если основание степени положительное число и не всегда выполнима, если основание степени отрицательное число; 

г) степень с любым действительным показателем всегда определена, если ее основание – положительное число. 

Среднее арифметическое и среднее геометрическое 

Чтобы найти среднее арифметическое нескольких чисел необходимо сумму этих чисел разделить на их количество. 

Например, среднее арифметическое чисел 740f5849a5ca4bbed4d445ec762b06967025d7a27984b0a0e139cabadb5afc7756d473fb34d23819 и 7b52009b64fd0a2a49e6d8a939753077792b0554 равно  c529a21f08150b3b8602c9c8f2766e8d9a5b86e4 .

Чтобы найти среднее геометрическое двух положительных чисел, необходимо извлечь корень второй степени из произведения этих чисел. Чтобы найти среднее геометрическое d1854cae891ec7b29161ccaf79a24b00c274bdaa положительных чисел, необходимо извлечь корень степени d1854cae891ec7b29161ccaf79a24b00c274bdaa из произведения этих чисел. Например, среднее геометрическое чисел 77de68daecd823babbb58edb1c8e14d7106e83bbc1dfd96eea8cc2b62785275bca38ac261256e2780ade7c2cf97f75d009975f4d720d1fa6c19f4897 и fe5dbbcea5ce7e2988b8c69bcfdfde8904aabc1f равно  32f3b7c81b5ca667fb191c793347379ed15fff77 .

III этап: подведение итогов

IV этап: домашнее задание ?

Понятие корня n - степени из действительного числа

Вопросы занятия:

·     ввести понятие корня n-ой степени из неотрицательного числа a;

·     ввести понятие корня нечётной степени n-ой степени из отрицательного числа a.

Материал урока

Давайте решим уравнение:

x4 = 1

Решим его алгебраическим способом. Перенесём все слагаемые в левую часть, применим формулу разности квадратов и получим, что исходное уравнение разбивается на два уравнения:

x2 – 1 = 0 или x2 + 1 = 0

Легко увидеть, что второе уравнение не имеет решений, в первом уравнении применим формулу разности квадратов и получим, что корнями данного уравнения являются числа:

x1 = -1

x2 = 1

Решим это же уравнение графически. Изобразим на одной координатной плоскости графики функций y = x4 и y = 1.

Графики этих функций пересекаются в двух точках:

Давайте с помощью этого же графика попробуем решить уравнение x4 = 16.

Легко увидеть, что решениями данного уравнения будут числа 2 и -2.

А теперь давайте попробуем решить уравнение x4 = 7.

Мы видим, что у данного уравнения будет два корня, одинаковых по модулю, но противоположных по знаку.

Таких, что при возведении в 4 степень получится число 7. Но как же их найти? Точных значений с помощью графика получить практически невозможно. Мы можем только сказать, что эти значения будут находится, в (1; 2) и (-2; -1).

Как бы мы не уменьшали масштаб и не уточняли график функции, точного значения этих корней мы не получим. На множестве целых чисел таких чисел нет, их нет и на множестве рациональных чисел. Эти числа будут представлять собой бесконечные непериодические дроби. Из курса алгебры базовой школы, мы знаем, что такие числа называются иррациональными.

То есть решениями данного уравнения являются два иррациональных числа. Для таких случаев учёными был введён в рассмотрение символ

С помощью этого символа корни уравнения x4 = 7 можно записать так:

Теперь давайте решим уравнение x3 = 5. Решать это уравнение мы будем графически. Изобразим в одной координатной плоскости графики функций: y = x3 и y = 5.

По графику видно, что решением будет одно число:

С помощью введённого понятия, можно записать, что корень данного уравнения равен:

Обобщая выше рассмотренные примеры, можно сказать, что:

Обратите внимание, что у нас слово корень применяется к нескольким понятиям: как корень уравнения и как корень n-ой степени из числа.

Теперь давайте дадим чёткое определение корня n-ой степени из числа а.

Определение:

Корнем n-ой степени из неотрицательного числа a называют такое неотрицательное число, при возведении которого в степень n получается число а.

Это число обозначают

Число а – это подкоренное число, а число n – это показатель корня.

Для некоторых корней энной степени введены специальные названия. Так корень второй степени называют просто квадратный корень и пишут так:

Этот частный случай вы изучали в восьмом классе.

Если n = 3, то вместо корень третьей степени говорят кубический корень. С кубическим корнем, вы тоже уже знакомы.

Операцию нахождения корня из неотрицательного числа называют извлечением корня. Эта операция является обратной по отношению к возведению в соответствующую степень.

Обратите внимание, что в таблице мы рассматриваем только положительные числа, как это и сформулировано в определении.

Выражение:

называют радикалом (от латинского слова радикс, что означает «корень»).

Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Операцию извлечения корня можно определить и для отрицательного подкоренного числа, но только в случае нечётного показателя корня. Другими словами:

При этом используется следующее определение.

Определение:

Корнем нечётной степени n-ой из отрицательного числа а называют такое отрицательное число, при возведении которого в степень n получается а.

Это число также обозначают:

Число а – это подкоренное число, число nпоказатель корня.

Обобщая все определения, можно сказать, что корень чётной степени имеет смысл только для неотрицательного подкоренного числа; корень нечётной степени имеет смысл для любого подкоренного числа.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.

Давайте ещё раз повторим понятия и определения, с которыми мы познакомились на этом уроке.

Корнем n-ой степени из неотрицательного числа a называют такое неотрицательное число, при возведении которого в степень n получается число а.

Корнем нечётной степени n-ой из отрицательного числа а называют такое отрицательное число, при возведении которого в степень n получается а.

Обозначают:

Число а – это подкоренное число, число nпоказатель корня.

 

1.2. Ко­рень n-й сте­пе­ни

1.2. Ко­рень n-й сте­пе­ни

В 8-м клас­се изу­ча­лись квад­рат­ные кор­ни из дей­стви­тель­ных чи­сел (их на­зы­ва­ют так­же кор­ня­ми 2-й сте­пе­ни).

Пе­рей­дем к изу­че­нию кор­ней сте­пе­ни n для про­из­воль­но­го на­ту­раль­но­го чис­ла n≥2.

Опре­де­ле­ние. Пусть n≥2 и n∈N. Кор­нем n-й сте­пе­ни из чис­ла a на­зы­ва­ет­ся та­кое чис­ло t, n-я сте­пень ко­то­ро­го рав­на a .

Та­ким об­ра­зом, утвер­жде­ние «t — ко­рень n-й сте­пе­ни из a» озна­ча­ет, что tn=a.

Ко­рень 3-й сте­пе­ни на­зы­ва­ет­ся так­же ку­би­че­ским.

На­при­мер, ку­би­че­ский ко­рень из чис­ла 125 — это чис­ло 5, так как 53=125. Ку­би­че­ский ко­рень из чис­ла −125 — это чис­ло −5, так как (−5)3=−125.

Ко­рень 7-й сте­пе­ни из чис­ла 128 — это чис­ло 2, так как 27=128. Ко­рень 7-й сте­пе­ни из чис­ла −128 — это чис­ло −2, так как (−2)7=−128. Ко­рень 7-й сте­пе­ни из чис­ла 0 — это 0, так как 07=0.

Во мно­же­стве дей­стви­тель­ных чи­сел су­ще­ству­ет един­ствен­ный ко­рень не­чет­ной сте­пе­ни n из лю­бо­го чис­ла a. Этот ко­рень обо­зна­ча­ет­ся

На­при­мер, 1253=5,−1287=−2,07=0.

Стр. 11

Утвер­жде­ние о су­ще­ство­ва­нии кор­ня не­чет­ной сте­пе­ни из лю­бо­го чис­ла мы при­ни­ма­ем без до­ка­за­тель­ства.

Со­глас­но опре­де­ле­нию, ко­гда n не­чет­ное, то при лю­бом зна­че­нии а вер­но ра­вен­ство

На­при­мер, ⎛⎝927⎞⎠7=92,⎛⎝1237⎞⎠7=123,⎛⎝−1237⎞⎠7=−123.

За­ме­тим, что 0 — это един­ствен­ное чис­ло, n-я сте­пень ко­то­ро­го рав­на 0. По­это­му

при лю­бом на­ту­раль­ном n≥2 су­ще­ству­ет един­ствен­ный ко­рень n-й сте­пе­ни из 0 — это чис­ло 0, т. е. 0n=0.

При­ме­ра­ми кор­ней чет­ной сте­пе­ни мо­гут слу­жить квад­рат­ные кор­ни: −7 и 7 — квад­рат­ные кор­ни из 49, а −15 и 15 — из 225. Рас­смот­рим еще не­сколь­ко при­ме­ров. Кор­ни 4-й сте­пе­ни из чис­ла 81 — это чис­ла 3 и −3, так как 34=81 и (−3)4=81. Кор­ни 6-й сте­пе­ни из чис­ла 64 — это чис­ла 2 и −2, так как 26=64 и (−2)6=64.

Во мно­же­стве дей­стви­тель­ных чи­сел су­ще­ству­ет ров­но два кор­ня чет­ной сте­пе­ни n из лю­бо­го по­ло­жи­тель­но­го чис­ла а, их мо­ду­ли рав­ны, а зна­ки про­ти­во­по­лож­ны. По­ло­жи­тель­ный ко­рень обо­зна­ча­ет­ся

На­при­мер, 814=3,646=2.

Утвер­жде­ние о су­ще­ство­ва­нии кор­ня чет­ной сте­пе­ни из лю­бо­го по­ло­жи­тель­но­го чис­ла мы при­ни­ма­ем без до­ка­за­тель­ства. Со­глас­но опре­де­ле­нию, ко­гда n чет­ное, то при лю­бом по­ло­жи­тель­ном зна­че­нии а вер­но ра­вен­ство

На­при­мер, ⎛⎝514⎞⎠4=51,⎛⎝874⎞⎠4=87.

Не су­ще­ству­ет та­ко­го чис­ла, 4-я сте­пень ко­то­ро­го рав­на −81. По­это­му кор­ня 4-й сте­пе­ни из чис­ла −81 не су­ще­ству­ет. И во­об­ще, по­сколь­ку не су­ще­ству­ет та­ко­го чис­ла, чет­ная сте­пень ко­то­ро­го бы­ла бы от­ри­ца­тель­ной, то

Стр. 12

не су­ще­ству­ет кор­ня чет­ной сте­пе­ни из от­ри­ца­тель­но­го чис­ла.

Опре­де­ле­ние. Не­отри­ца­тель­ный ко­рень n-й сте­пе­ни из чис­ла a на­зы­ва­ет­ся ариф­ме­ти­че­ским кор­нем n-й сте­пе­ни из a .

При чет­ном n сим­во­лом an обо­зна­ча­ет­ся толь­ко ариф­ме­ти­че­ский ко­рень n-й сте­пе­ни из чис­ла a (при чте­нии за­пи­си an сло­во «ариф­ме­ти­че­ский» обыч­но про­пус­ка­ют).

Вы­ра­же­ние, сто­я­щее под зна­ком кор­ня, на­зы­ва­ет­ся под­ко­рен­ным вы­ра­же­ни­ем.

Из­влечь ко­рень n-й сте­пе­ни из чис­ла a — это зна­чит най­ти зна­че­ние вы­ра­же­ния an.

Так как кор­ня чет­ной сте­пе­ни из от­ри­ца­тель­но­го чис­ла не су­ще­ству­ет, то вы­ра­же­ние an при чет­ном n и от­ри­ца­тель­ном а не име­ет смыс­ла.

На­при­мер, не име­ют смыс­ла вы­ра­же­ния −814 и −646.

Как мы уста­но­ви­ли, при лю­бом зна­че­нии а, при ко­то­ром вы­ра­же­ние an име­ет смысл, вер­но ра­вен­ство

По­это­му ра­вен­ство (1) яв­ля­ет­ся тож­де­ством.

В кон­це XV в. ба­ка­лавр Па­риж­ско­го уни­вер­си­те­та Н. Шю­ке внес усо­вер­шен­ство­ва­ния в ал­ге­бра­и­че­скую сим­во­ли­ку. В част­но­сти, зна­ком кор­ня слу­жил сим­вол Rx (от ла­тин­ско­го сло­ва radix — ко­рень). Так, вы­ра­же­ние 24+374 в сим­во­ли­ке Шю­ке име­ло вид R¯x424p¯R¯x237.

Знак кор­ня     в со­вре­мен­ном ви­де был пред­ло­жен в 1525 г. чеш­ским ма­те­ма­ти­ком К. Ру­доль­фом. Его учеб­ник ал­ге­бры пе­ре­из­да­вал­ся до 1615 г., и по не­му учил­ся зна­ме­ни­тый ма­те­ма­тик Л. Эй­лер.

Знак     еще на­зы­ва­ют ра­ди­ка­лом.

Стр. 13

При­мер 1. Вер­но ли, что:

а) (−2)44=−2;

б) (−2)77=−2?

Ре­ше­ние. а) По опре­де­ле­нию ариф­ме­ти­че­ский ко­рень n-й сте­пе­ни из не­отри­ца­тель­но­го чис­ла a (n — чет­ное чис­ло) яв­ля­ет­ся не­отри­ца­тель­ным чис­лом, n-я сте­пень ко­то­ро­го рав­на под­ко­рен­но­му вы­ра­же­нию a.

По­сколь­ку −2<0, то ра­вен­ство (−2)44=−2 не­вер­ное. Вер­но ра­вен­ство (−2)44=2.

б) По опре­де­ле­нию ко­рень n-й сте­пе­ни из чис­ла а (n — не­чет­ное чис­ло) яв­ля­ет­ся чис­лом, n-я сте­пень ко­то­ро­го рав­на под­ко­рен­но­му вы­ра­же­нию а.

По­сколь­ку (−2)7=−27 — вер­ное ра­вен­ство, то ра­вен­ство (−2)77=−2 − вер­ное.

При­мер 2. Ре­шить урав­не­ние:

а) x3=7;

б) x4=5.

Ре­ше­ние. а) Ре­ше­ни­ем это­го урав­не­ния яв­ля­ет­ся та­кое зна­че­ние х, 3-я сте­пень ко­то­ро­го рав­на 7, т. е. по опре­де­ле­нию ку­би­че­ско­го кор­ня име­ем:

б) Ре­ше­ни­ем это­го урав­не­ния яв­ля­ет­ся та­кое зна­че­ние х, 4-я сте­пень ко­то­ро­го рав­на 5, т. е. (по опре­де­ле­нию) х — это ко­рень 4-й сте­пе­ни из чис­ла 5. Но из по­ло­жи­тель­но­го чис­ла 5 су­ще­ству­ют два кор­ня чет­вер­той сте­пе­ни, ко­то­рые рав­ны по мо­ду­лю и име­ют про­ти­во­по­лож­ные зна­ки. По­сколь­ку по­ло­жи­тель­ный ко­рень обо­зна­ча­ют 54, то вто­рой ко­рень ра­вен −54, т. е. x=±54.

От­вет: а) 73; б) ±54.

В тет­ра­ди ре­ше­ние урав­не­ния б) (ана­ло­гич­но и а)) мож­но за­пи­сать так:

Ре­ше­ние: x4=5 ⇔ x=±54.

От­вет: ±54.

При­мер 3. Ре­шить урав­не­ние:

а) (x8)8=x;

б) (x13)13=x.

Стр. 14

Ре­ше­ние. а) Чис­ло 8 — чет­ное, зна­чит, дан­ное ра­вен­ство яв­ля­ет­ся тож­де­ством при x≥0, по­это­му каж­дое не­отри­ца­тель­ное зна­че­ние х яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем (кор­нем) урав­не­ния (x8)8=x.

б) Чис­ло 13 — не­чет­ное, зна­чит, дан­ное ра­вен­ство яв­ля­ет­ся тож­де­ством при лю­бом зна­че­нии х, по­это­му ре­ше­ни­ем урав­не­ния (x13)13=x яв­ля­ет­ся лю­бое дей­стви­тель­ное чис­ло, а R — мно­же­ство всех его кор­ней.

От­вет: а) [0;+∞); б) R.

При­мер 4. Ре­шить урав­не­ние

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим x6=t, то­гда по­лу­чим урав­не­ние

Кор­ни это­го урав­не­ния

Та­ким об­ра­зом, име­ем

от­ку­да x=±2 (по­яс­ни­те, по­че­му урав­не­ние x6=−1 не име­ет кор­ней).

От­вет: ±2.

1

1Ка­кое чис­ло на­зы­ва­ет­ся кор­нем n-й сте­пе­ни из чис­ла а?

1

2

2Сколь­ко су­ще­ству­ет кор­ней чет­ной сте­пе­ни n из по­ло­жи­тель­но­го чис­ла а?

2

3

3Ко­рень ка­кой сте­пе­ни су­ще­ству­ет из лю­бо­го чис­ла а?

3

4

4Ка­кой ко­рень n-й сте­пе­ни из чис­ла а на­зы­ва­ет­ся ариф­ме­ти­че­ским?

4

5

5При ка­ких зна­че­ни­ях а вер­но ра­вен­ство (an)n=a, если:

а) n — не­чет­ное чис­ло;

б) n — чет­ное чис­ло?

5

Упраж­не­ния

1.24°

1.24°Ис­поль­зуя опре­де­ле­ние ариф­ме­ти­че­ско­го кор­ня n-й сте­пе­ни, до­ка­жи­те, что:

1) 2564=4;

2) 102410=2;

3) 7296=3;

4) 65618=3;

5) 409612=2;

6) 14 6414=11.

1.24°

Стр. 15

1.25°

1.25°Вер­но ли, что:

1) чис­ло −4 яв­ля­ет­ся кор­нем чет­вер­той сте­пе­ни из чис­ла 256;

2) чис­ло −0,3 яв­ля­ет­ся кор­нем чет­вер­той сте­пе­ни из чис­ла −0,0081?

1.25°

1.26°

1.26°Вер­но ли, что:

1) −17283=−12;

2) −33753=15;

3) −16 8075=7;

4) −77765=−6?

1.26°

1.27°

1.27°Най­ди­те ариф­ме­ти­че­ский квад­рат­ный ко­рень из чис­ла:

1) 16;

2) 49;

3) 0;

4) 1;

5) 0,81;

6) 0,25;

7) 2,25;

8) 1,21;

9) 36169;

10) 144289;

11) 169100;

12) 81256.

1.27°

1.28°

1.28°Най­ди­те ку­би­че­ский ко­рень из чис­ла:

1) 1;

2) 0;

3) 343;

4) 8;

5) 127;

6) 0,027;

7) 0,001;

8) 64125.

1.28°

1.29°

1.29°Най­ди­те ариф­ме­ти­че­ский ко­рень чет­вер­той сте­пе­ни из чис­ла:

1) 0;

2) 1;

3) 16;

4) 0,0016;

5) 1681;

6) 256625;

7) 0,0001;

8) 0,1296.

1.29°

Вы­чис­ли­те (1.30—1.42).

1.30°

1.30°1) 9,16,25,49,81,100;

2) 0,16,0,09,0,01,

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *