Опорный конспект по алгебре «Корень n -ой степени» (9 класс)

Корень n-ой степени

Определение.

Корнем n-ой степени из числа а называется такое число, энная степень которого равна А.

Определение.

Квадратным корнем из числа называют такое число, квадрат которого равен числу а.

Например,

Из рассмотренных случаев можем сделать заключение, что:

Пример.

Вернёмся к определению корня энной степени

В первую запись вместо можно подставить:

Тогда получаем свойство, которым очень удобно пользоваться при вычислении корня энной степени.

Но ведь корень чётной степени мы договорились считать числом неотрицательным. Поэтому чтобы не возникало путаницы при вычислении корней, вместо этого свойства мы пользовались двумя:

Пример.

Свойства корня

Свойства корня n-й степени. Задачи. Видеоурок. Алгебра 11 Класс

Урок посвящен свойствам корня -й степени, а именно его возведению в степень и извлечению корня. Мы рассмотрим алгоритм выполнения этих действий, ограничения, которые нужно учитывать. Кроме того, решим простейшие примеры и докажем теоремы о рассматриваемых свойствах.

Корень -й степени есть число, которое можно найти. Если это число неотрицательное, то корень называется арифметическим.

Определение

Арифметическим корнем -й степени называется такое неотрицательное число, -я степень которого равна подкоренному выражению:

,   

,

Основное тождество

, исходя из определения.

Примеры

1. 

2.

3.

В последнем примере корень не является арифметическим. Но его можно преобразовать:

, теперь выражение  является арифметическим корнем, только перед ним стоит знак минус.

Теорема

Если ; ; , , то:

Доказательство

Согласно свойствам корня:

Тогда: 

Что и требовалось доказать.

Докажем на основании определения корня:

Итак, если справедливо:

То правая часть, возведенная в -ю степень, по определению должна дать подкоренное выражение, то есть:

Проверим справедливость данного равенства. Согласно свойствам степени, показатели можем поменять местами, получим:

Что и требовалось доказать.

Примеры

1.

2. ,

3.

Теорема

Если

; ; ; , то:

Доказательство

Из основного тождества, если верно:

То если правую часть возвести в степень , должно получиться подкоренное выражение:

Что и требовалось доказать.

Примеры

1.

С другой стороны .

2.

3. ,

4.

,

5. ,

Итак, мы изучили свойства корня, а именно его возведение в степень и извлечение из него корня. Мы доказали теоремы и решили простейшие примеры.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина, 2011 г.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа, 2013 г.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение, 2008 г.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт cleverstudents.ru (Источник)

2. Интернет-сайт oldskola1.narod.ru (Источник)

3. Интернет-сайт profmeter.com.ua (Источник)

 

Домашнее задание

1. Вычислить:

; ; ; 

2. Вычислить:

; ; ; ;

3. Вычислить:

; ; ;

Урок 12. корень n-й степени — Алгебра — 9 класс

1) Корнем n-й степени из числа a называется такое число, n-я степень которого равна a. Например, корень 3-й степени из 8 – это 2, так как 2³ = 8
2) Рассмотрим степенную функцию y = xⁿ с нечетным показателем. Для любого числа a единственное значение x, n-я степень которого равна a.
3) такое обозначение, используемое для записи корня читается «Корень n-й степени из a». Число n называется показателем корня, а выражение, стоящее под знаком корня – подкоренным выражением.
4) Рассмотрим теперь степенную функцию с четным показателем. При любом a>0 существуют два противоположных значения x, n-я степень которых равна a. Для a = 0 такое число одно, а для a<0 таких чисел нет.
5) Выражение корень n-й степени из a для неотрицательных a имеет смысл всегда, как при четном, так и при нечетном n. Его называют арифметическим корнем.
6) Корень n-й степени из отрицательного числа может выражаться через арифметический корень.
1) Рассмотрим пример 1. Число 19 является арифметическим квадратным корнем (корнем второй степени) из 361, так как 19 больше 0, и 19 в квадрате – это 361.
2) Число -19 не является арифметическим квадратным корнем из 361, так как хотя -19 в квадрате – это 361, но -19 меньше 0.
3) Это число, противоположное арифметическому квадратному корню из 361.
1) Пример 2. Вычислим значение выражения арифметический корень четвертой степени из пяти целых одной шестнадцатой.
2) Поскольку 5 1/16 = 81/16 = (3/2)⁴, заключаем, что ⁴√5 1/16 = 3/2.
1) Рассмотрим пример 3. Выясним, имеет ли смысл выражение ¹⁰√(-7)².
2) Поскольку (-7)² = 7² = 49 больше 0, заключим, что выражение корень десятой степени из 49 имеет смысл.
3) Значение таких выражений может быть приближенно вычислено с помощью калькулятора. При этом в большинстве моделей калькуляторов используется принятое в математике представление выражения корень n-й степени из а в виде степени с дробным показателем.
1) Пример 4 Найдем значение выражения -4³√27 + ⁴√625
2) Имеем 3 в третьей степени равно 27, то есть корень третьей степени из 27 – это 3.
3) Корень четвертой степени из 625 это корень четвертой степени из 5 в четвертой, это 5.
4) Поэтому значение данного выражения равно минус 4 на 3 плюс 5 равно 7.

План-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему: Урок «Корень n — ой степени». 9 класс

                Деятельностный подход в обучении математике.

   Исследования психологов и педагогов, учительский опыт показывают, чтобы научить учащихся самостоятельно и творчески учиться, нужно включать их в специально организованную деятельность, сделать хозяевами этой деятельности. Для этого нужно выработать у школьников мотивы и цели учебной деятельности («зачем учиться математике?»), обучить способам ее осуществления и регулирования («как учиться?»).
   Технология деятельностного метода включает в себя следующую последовательность деятельностных шагов:

1. Самоопределение к деятельности (орг. момент).

2.Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности.

3.Постановка учебной задачи.

4.Построение проекта выхода из затруднения детьми нового знания.

5. Первичное закрепление во внешней речи.

б. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

7.Включение в систему знаний и повторение.

8.Рефлексия деятельности (итог урока).

Тема урока:                     Корень n – й степени. (9 класс)

Когда людей станут учить не тому, что они должны думать,
а тому, как они должны думать, то тогда исчезнут всякие недоразумения.

Г. Лихтенберг

Цели урока: ввести понятие корня n – й степени; выработать  навыки вычисления

                         корней n – й степени;

                         развивать логическое мышление и математическую речь учащихся;

                         воспитывать уважительное отношение к себе (я могу) и к товарищам

                         (как у тебя получилось и почему?)

Тип урока:  УОНМ

Ход урока:

1. Оргмомент.

2.    Актуализация опорных знаний.

   На этом уроке вы продолжите изучение алгебраических операций.

 1. Назовите взаимообратные алгебраические операции над  числами

     (сложение и вычитание, умножение и деление).

 2. Всегда ли можно выполнить такую алгебраическую операцию, как

      деление?

     (нет, делить на нуль нельзя)

3.  Какую еще операцию вы можете выполнять с числами?

     (возведение в степень)

4.  Какая операция будет ей обратной?

      (извлечение корня)

5.  Корень какой степени вы можете извлекать?

     (корень второй степени)

6.  Какие свойства квадратного корня вы знаете?

     (извлечение квадратного корня из произведения, из частного, из

      корня, возведение в степень)

7.  Найдите значения выражений:

      …, т.к. …2 = 4,     …, т.к. …2 = 9,               …, т.к. …2 = 144,  

…, т.к. ……     …, т.к. …2 = 0,25,    ……..

3.   Учебная задача.

  — Вычислите                , .

  — Проверьте  истинность  ваших вычислений с помощью обратного

    действия.

  — Проанализируйте полученные результаты и сформулируйте свои

     наблюдения об извлечении корней четной и нечетной степени в виде

  гипотезы.

— Учащиеся озвучивают свои гипотезы.

    (  )

4. Работа с учебником.

  Чтение текста и сравнение своего результата с научной теорией.

5. Самостоятельная работа.

                    1 вариант                                               2 вариант

                 Соотнесите задания и ответы с помощью стрелок:                            

                   3                                            5

                     5                                                  2

                 2                                                1

                      1                                                3

                                                      

6. Закрепление материала.   

  № 159 а — е (устно)

  № 160

  № 167 (устно)

  № 168

  № 170 (устно)

  № 171

7. Домашнее задание. П.9 №№ 161, 172

8. Рефлексия деятельности.

  Достиг ли урок своей цели?

  Чему вы научились?

  Оцените свою деятельность на уроке в виде написания синквейна на

  цветных ладошках. Сверните ладошки в форме конуса и с помощью

  степлера прицепите к ножке. Это ваш подарок мне в память о

  сегодняшнем уроке. Спасибо всем за урок!

Примеры синквейнов, составленных учениками:

Корень.

Квадратный, кубический.

Извлекали, возводили в степень, обобщали.

Было интересно.

Я молодец.

Алгебра.

Интересная, познавательная.

Изучала, обобщала, отвечала.

Работала у доски.

Поставьте, пожалуйста, пять.

Разработка урока «Определение корня n-й степени» (9-й класс)

Цель урока:

1. Провести проверочную работу по теме: «Четные и нечетные функции. Функция у =  хⁿ» с целью закрепления и выявления усвоения данных тем.
2. На базе накопленных учащимися знаний по теме «Квадратный корень» ввести понятие «корня n-ой степени» и научить учащихся вычислять корень n-ой степени, когда n- натуральное число.

Ход урока

І. Опрос и проверка домашнего задания.

(Вместе с организационным моментом 3-4 минуты)

Правильное решение домашнего задания проверяется по готовому решению, спроектированному на экран (Приложение 1. Слайд 2-3). Учащиеся открывают тетради.  В мини-беседе разбираем задание. У кого были допущены ошибки, исправляет их.

ІІ. Проверочная работа с проверкой.

Учитель:  Мы с вами напишем проверочную работу по теме «Четные и нечетные функции. Функция  у =  хⁿ». На всю работу отводится 8 минут со сбором рабочих тетрадей. Учащийся работает в тетради. Тетради на два варианта. Работа  14. (Тематический контроль по алгебре. 9 класс. Рабочая тетрадь. / Миндюк М.Б., Миндюк Н.Г. – М: Интелект-Центр, 1999.).

Вариант І

Вариант ІІ

Дополнительное  задание (для тех, кто всё быстро сделал).

При каких значениях х имеет смысл выражение 

Проверка.  Обмен  тетрадями. Правильное решение: Приложение 1.  Слайд 4, 5.

Критерии оценки:

6-7 ответов – «5»

5 ответов – «4»

4 ответа – «3».

ІІІ. Устная разминка (пропедевтика к объяснению нового материала) (7 минут)

1. Принцип «Третий лишний». Ученикам раздаются карточки с номерами 1, 2, 3.

Задача учащегося: определить лишний элемент из данных трех (показать карточку с номером рисунка), объяснить установленную закономерность. Приложение 1. Слайд 6

2. Четные и  нечетные функции (повторение). Приложение 1. Слайд 7

ІV. Объяснение нового материала.

Учитель: Ребята! Вспомните, на каких уроках вы знакомились или встречались в жизни с понятием  «корень»?

В порядке, в котором учащиеся называют значения слова «корень», на экране открываем соответствующие слайды.  Приложение 1. Слайды 9, 10, 11, 12, 13.

Учитель: Сегодня мы познакомимся с понятием «Корень n-ой степени». Откройте тетради, запишите  тему урока.

По аналогии с определением квадратного корня дайте определение корня n-ой степени.

Приложение 1. Слайд 14, 15.

Учащиеся в тетрадях делают записи правой части слайда 14.

V. Первичное закрепление.

1. Учащимся раздаются карточки, содержание которых проецируется на экране.

Приложение 1. Слайд 16.

Например: – не имеет смысла.

21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32 26 = 64 27 = 128 28 = 256 29 = 512 210 = 1024

31 = 3 32 = 9 33 = 21 34 = 81 35 = 243 36 = 729 37 = 2187 38 = 6561 39 = 19683

41 = 4 42 = 16 43 = 64 44 = 256 45 = 1024 46 = 4096 47 = 16384

51 = 5 52 = 25 53 = 125 54 = 625 55 = 3125 56 = 15625

61 = 6 62 = 36 63 = 216 64 = 1296 65 = 7776 66 = 46656

71 = 7 72 = 49 73 = 343 74 = 2401 75 = 16807

81 = 8 82 = 64 83 = 512 84 = 4096 85 = 32768

91 = 9 92 = 81 93 = 729 94 = 6561 95 = 59049

Устно:

2. Учащиеся дают определение арифметического квадратного корня.

Какие из данных корней являются арифметическими?

3. Можно ли корень нечетной степени из отрицательного числа выразить через арифметический корень?

То есть  при любом а>0 и  n – нечетном,   имеем:  

VI. Закрепление материала.

Задания на закрепление из учебника   №№ 520, 522,  536 (а, б, в)

(Алгебра. Учебник для 9 класса Ю.Н. Макарычев;  /Под ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2007)

VII.  Итог урока.

Задание № 1 с карточки, № 518 (устно).

VIII.  Домашнее задание.

п.23, № 519 (устно), № 521, № 524, № 526 (г, д, е)

Свойства корней степени n. Конспект урока 9 класс

Урок математики в 9 классе по теме

«Свойства корней степени n»

Тип урока: совершенствование умений и навыков.

Характеристика темы: Преподавание ведётся по учебнику “Алгебра 9” Никольского С.М. для общеобразовательных учреждений. На данную тему отводится 3 часа. Это третий урок.

Дидактическая цель урока: Научить применять полученные знания при решении различных задач, в том числе повышенного уровня сложности, стимулировать учащихся к овладению рациональными приемами и методами решения.

Образовательная цель урока: Обеспечить в ходе урока закрепление материала о свойствах корней степени n и применение этих свойств при выполнении упражнений.

Развивающая цель урока: Развивать логическое мышление, память, познавательный интерес, продолжать формирование математической речи учащихся.

Воспитательная цель урока: Воспитывать интерес к математике как учебному предмету через современные технологии преподавания, приучать к умению выслушивать других, умению общаться, прививать аккуратность и трудолюбие.

Формы работы организации познавательной деятельности: фронтальная, индивидуальная.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Актуализация прежних знаний.

1. Какие из следующих записей не имеют смысла?

; ; ;

2. При каких значениях переменной а выражение имеет смысл?

3. _{Вычислите:}
   

4. Проверка домашнего задания.

3. _{Формирование умений и навыков.}

1. _{Упростить выражение}

_{Решение.}

_{Преобразуем знаменатель дроби:}

_{– это неполный квадрат суммы чисел 3 и . Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, умножим ее числитель и знаменатель на разность этих чисел:}

2. Упростить выражение
   и найти его значение при х=
   _{Решение.}

_{Так как х≥0 ( в противном случае выражение} не имеет смысла), то .

Тогда

3. _{Найти значение выражения}
   при х=.

Решение.

Преобразуем данное выражение при х( в противном случае данное выражение не имеет смысла):

При заданных значениях х и у имеем

.

Значит,

4. а) Вынести множитель из-под знака корня при условии, что х0.

б) Внести множитель под знак корня 3учто у.

Решение.

а) Так как х0 по условию, а у (в противном случае выражение не имеет смысла), то =

б) Так как у по условию, а хне имеет смысла выражение , то

3у

4.Самостоятельная работа .

Приложение 1.

Приложение 2.

5. Подведение итогов урока.

6.Домашее задание.

Приложение 1

1)

а) 5

б) 6

в) 4

г) –36.

2)

а) 15

б) 18

в) 20

г) 10

3)

а)

б)

в)

г)

4) 2

а) — 2

б) 6

в) — 6

г) 54

5)

а) 8

б) 3

в) 4

г) 2

6)

а) 18

б) 72

в) 36

г) 4

7) 5

а) 5,5

б) 3

в) 0,7

г) 3,5

8)

а) 12

б) 6

в) 7

г) 36

9)

а) 15

б) 45

в) 54

г) 30

10)

а) 1

б) 64

в) – 1

г) 38

Приложение 2

1.Упростите выражение

а) 2; б) – 2; в) 10 г) 9.

2. Упростите выражение

а) ; б) – ; в) 3 г) 9.

3. Упростите выражение

а) ; б) – ; в) 3 г) – 7.

4.Сократите дробь

а) ; б); в) г) .

5.Упростите выражение

а) ; б); в) г)

Урок по теме «Свойства корней степени n» (9класс)

Буркацкая Наталья Николаевна, учитель математики МОУ «СОШ с.Новочерниговка» Озинского района саратовской области

Урок алгебры в 9 классе по теме:

«Свойства корней степени n»

Тип урока: совершенствование умений и навыков.

Характеристика темы: Преподавание ведётся по учебнику “Алгебра 9” Никольского С.М. для общеобразовательных учреждений. На данную тему отводится 3 часа. Это третий урок.

Дидактическая цель урока: Научить применять полученные знания при решении различных задач, в том числе повышенного уровня сложности, стимулировать учащихся к овладению рациональными приемами и методами решения.

Образовательная цель урока: Обеспечить в ходе урока закрепление материала о свойствах корней степени n и применение этих свойств при выполнении упражнений.

Развивающая цель урока: Развивать логическое мышление, память, познавательный интерес, продолжать формирование математической речи учащихся.

Воспитательная цель урока: Воспитывать интерес к математике как учебному предмету через современные технологии преподавания, приучать к умению выслушивать других, умению общаться, прививать аккуратность и трудолюбие.

Формы работы организации познавательной деятельности: фронтальная, индивидуальная.

Оборудование. Компьютеры. Программа компьютерного тестирования Knowing (представляет собой удобную программу для тестирования с возможностью составления тестов и автоматической оценки результатов тестирования).

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Актуализация прежних знаний.

1. Какие из следующих записей не имеют смысла?

; ; ;

2. При каких значениях переменной а выражение имеет смысл?

3. _{Вычислите:}
   

4. Проверка домашнего задания.

3. _{Формирование умений и навыков.}

1. _{Упростить выражение}

_{Решение.}

_{Преобразуем знаменатель дроби:}

_{– это неполный квадрат суммы чисел 3 и . Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, умножим ее числитель и знаменатель на разность этих чисел:}

2. Упростить выражение
   и найти его значение при х=
   _{Решение.}

_{Так как х≥0 ( в противном случае выражение} не имеет смысла), то .

Тогда

3. _{Найти значение выражения}
   при х=.

Решение.

Преобразуем данное выражение при х( в противном случае данное выражение не имеет смысла):

При заданных значениях х и у имеем

.

Значит,

4. а) Вынести множитель из-под знака корня при условии, что х0.

б) Внести множитель под знак корня 3учто у.

Решение.

а) Так как х0 по условию, а у (в противном случае выражение не имеет смысла), то =

б) Так как у по условию, а хне имеет смысла выражение , то

3у

4.Самостоятельная работа (компьютерное тестирование).

Приложение 1.

Приложение 2.

5. Подведение итогов урока.

6.Домашее задание. П.4.6, №553, 555.

7. Использованная литература.

1. С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин .

Алгебра 9 класс – М.: Просвещение, 2009 г

2. М.К. Потапов, А.В. Шевкин. Дидактические материалы для 9 класса – М.: Просвещение, 2008 г

3. Воробьева Е.А. Алгебра. 9 класс. Проверочные работы с элементами тестирования. – Саратов: Лицей, 2008

4. Воробьева Е.А. Алгебра. 9 класс: В 2 ч. – Саратов: Лицей, 2008

5. Капитонова Т.А. Алгебра. 9 класс: Проверочные и контрольные работы. – Саратов: Лицей, 2006