Корень в степени как решать: 1.2. Корень n-й степени — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 21.10.197028.07.2021 by alexxlab

Содержание

1.2. Корень n-й степени

В 8-м классе изучались квадратные корни из действительных чисел (их называют также корнями 2-й степени).

Перейдем к изучению корней степени n для произвольного натурального числа n≥2.

Определение. Пусть n≥2 и n∈N. Корнем n-й степени из числа a называется такое число t, n-я степень которого равна a .

Таким образом, утверждение «t — корень n-й степени из a» означает, что tn=a.

Корень 3-й степени называется также кубическим.

Например, кубический корень из числа 125 — это число 5, так как 53=125. Кубический корень из числа −125 — это число −5, так как (−5)3=−125.

Корень 7-й степени из числа 128 — это число 2, так как 27=128. Корень 7-й степени из числа −128 — это число −2, так как (−2)7=−128. Корень 7-й степени из числа 0 — это 0, так как 07=0.

Во множестве действительных чисел существует единственный корень нечетной степени n из любого числа a. Этот корень обозначается

Например, 1253=5,−1287=−2,07=0.

Стр. 11

Утверждение о существовании корня нечетной степени из любого числа мы принимаем без доказательства.

Согласно определению, когда n нечетное, то при любом значении а верно равенство

Например, ⎛⎝927⎞⎠7=92,⎛⎝1237⎞⎠7=123,⎛⎝−1237⎞⎠7=−123.

Заметим, что 0 — это единственное число, n-я степень которого равна 0. Поэтому

при любом натуральном n≥2 существует единственный корень n-й степени из 0 — это число 0, т. е. 0n=0.

Примерами корней четной степени могут служить квадратные корни: −7 и 7 — квадратные корни из 49, а −15 и 15 — из 225. Рассмотрим еще несколько примеров. Корни 4-й степени из числа 81 — это числа 3 и −3, так как 34=81 и (−3)4=81. Корни 6-й степени из числа 64 — это числа 2 и −2, так как 26=64 и (−2)6=64.

Во множестве действительных чисел существует ровно два корня четной степени n из любого положительного числа а, их модули равны, а знаки противоположны. Положительный корень обозначается

Например, 814=3,646=2.

Утверждение о существовании корня четной степени из любого положительного числа мы принимаем без доказательства. Согласно определению, когда n четное, то при любом положительном значении а верно равенство

Например, ⎛⎝514⎞⎠4=51,⎛⎝874⎞⎠4=87.

Не существует такого числа, 4-я степень которого равна −81. Поэтому корня 4-й степени из числа −81 не существует. И вообще, поскольку не существует такого числа, четная степень которого была бы отрицательной, то

Стр. 12

не существует корня четной степени из отрицательного числа.

Определение. Неотрицательный корень n-й степени из числа a называется арифметическим корнем n-й степени из a .

При четном n символом an обозначается только арифметический корень n-й степени из числа a (при чтении записи an слово «арифметический» обычно пропускают).

Выражение, стоящее под знаком корня, называется подкоренным выражением.

Извлечь корень n-й степени из числа a — это значит найти значение выражения an.

Так как корня четной степени из отрицательного числа не существует, то выражение an при четном n и отрицательном а не имеет смысла.

Например, не имеют смысла выражения −814 и −646.

Как мы установили, при любом значении а, при котором выражение an имеет смысл, верно равенство

Поэтому равенство (1) является тождеством.

В конце XV в. бакалавр Парижского университета Н. Шюке внес усовершенствования в алгебраическую символику. В частности, знаком корня служил символ Rx (от латинского слова radix — корень). Так, выражение 24+374 в символике Шюке имело вид R¯x424p¯R¯x237.

Знак корня в современном виде был предложен в 1525 г. чешским математиком К. Рудольфом. Его учебник алгебры переиздавался до 1615 г., и по нему учился знаменитый математик Л. Эйлер.

Знак еще называют радикалом.

Стр. 13

Пример 1. Верно ли, что:

а) (−2)44=−2;

б) (−2)77=−2?

Решение. а) По определению арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа a (n — четное число) является неотрицательным числом, n-я степень которого равна подкоренному выражению a.

Поскольку −2<0, то равенство (−2)44=−2 неверное. Верно равенство (−2)44=2.

б) По определению корень n-й степени из числа а (n — нечетное число) является числом, n-я степень которого равна подкоренному выражению а.

Поскольку (−2)7=−27 — верное равенство, то равенство (−2)77=−2 − верное.

Пример 2. Решить уравнение:

а) x3=7;

б) x4=5.

Решение. а) Решением этого уравнения является такое значение х, 3-я степень которого равна 7, т. е. по определению кубического корня имеем:

б) Решением этого уравнения является такое значение х, 4-я степень которого равна 5, т. е. (по определению) х — это корень 4-й степени из числа 5. Но из положительного числа 5 существуют два корня четвертой степени, которые равны по модулю и имеют противоположные знаки. Поскольку положительный корень обозначают 54, то второй корень равен −54, т. е. x=±54.

Ответ: а) 73; б) ±54.

В тетради решение уравнения б) (аналогично и а)) можно записать так:

Решение: x4=5 ⇔ x=±54.

Ответ: ±54.

Пример 3. Решить уравнение:

а) (x8)8=x;

б) (x13)13=x.

Стр. 14

Решение. а) Число 8 — четное, значит, данное равенство является тождеством при x≥0, поэтому каждое неотрицательное значение х является решением (корнем) уравнения (x8)8=x.

б) Число 13 — нечетное, значит, данное равенство является тождеством при любом значении х, поэтому решением уравнения (x13)13=x является любое действительное число, а R — множество всех его корней.

Ответ: а) [0;+∞); б) R.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Обозначим x6=t, тогда получим уравнение

Корни этого уравнения

Таким образом, имеем

откуда x=±2 (поясните, почему уравнение x6=−1 не имеет корней).

Ответ: ±2.

1Какое число называется корнем n-й степени из числа а?

2Сколько существует корней четной степени n из положительного числа а?

3Корень какой степени существует из любого числа а?

4Какой корень n-й степени из числа а называется арифметическим?

5При каких значениях а верно равенство (an)n=a, если:

а) n — нечетное число;

б) n — четное число?

Упражнения

1.24°

1.24°Используя определение арифметического корня n-й степени, докажите, что:

1) 2564=4;

2) 102410=2;

3) 7296=3;

4) 65618=3;

5) 409612=2;

6) 14 6414=11.

1.24°

Стр. 15

1.25°

1.25°Верно ли, что:

1) число −4 является корнем четвертой степени из числа 256;

2) число −0,3 является корнем четвертой степени из числа −0,0081?

1.25°

1.26°

1.26°Верно ли, что:

1) −17283=−12;

2) −33753=15;

3) −16 8075=7;

4) −77765=−6?

1.26°

1.27°

1.27°Найдите арифметический квадратный корень из числа:

1) 16;

2) 49;

3) 0;

4) 1;

5) 0,81;

6) 0,25;

7) 2,25;

8) 1,21;

9) 36169;

10) 144289;

11) 169100;

12) 81256.

1.27°

1.28°

1.28°Найдите кубический корень из числа:

1) 1;

2) 0;

3) 343;

4) 8;

5) 127;

6) 0,027;

7) 0,001;

8) 64125.

1.28°

1.29°

1.29°Найдите арифметический корень четвертой степени из числа:

1) 0;

2) 1;

3) 16;

4) 0,0016;

5) 1681;

6) 256625;

7) 0,0001;

8) 0,1296.

1.29°

Вычислите (1.30—1.42).

1.30°

1.30°1) 9,16,25,49,81,100;

2) 0,16,0,09,0,01,0,04,0,0025,0,0001;

3) 273,643,−1253,0,0083,0,0002163,−1 000 0003;

4) 164,6254,10 0004,0,00814,0,000000164,24014;

5) 325,10245,2435,0,031255,100 0005,0,000015;

6) 646,7296,15 6256,40966,0,0466566,1 000 0006.

1.30°

1.31°

1.31°1) −10003;

2) −115;

3) −643;

4) −10245;

5) −1273;

6) −3433;

7) −272163;

8) −31255;

9) −0,000325.

1.31°

Стр. 16

1.32

1.321) ⎛⎝−33⎞⎠3;

2) ⎛⎝−145⎞⎠5;

3) ⎛⎝−307⎞⎠7;

4) ⎛⎝−1511⎞⎠11;

5) ⎛⎝−69⎞⎠9;

6) ⎛⎝−9915⎞⎠15.

1.32

1.33

1.331) ⎛⎝−22113⎞⎠3·⎛⎝−6195⎞⎠5·⎛⎝−9513⎞⎠13·⎛⎝−1134017⎞⎠17;

2) ⎛⎝−34159⎞⎠9·⎛⎝−1587⎞⎠7·⎛⎝−11145⎞⎠5·⎛⎝−125393⎞⎠3.

1.33

1.34

1.341) ⎛⎝53⎞⎠6;

2) ⎛⎝0,14⎞⎠12;

3) ⎛⎝1125⎞⎠10;

4) ⎛⎝2136⎞⎠18;

5) ⎛⎝567⎞⎠21;

6) ⎛⎝239⎞⎠36.

1.34

1.35

1.351) ⎛⎝35⎞⎠10;

2) ⎛⎝534⎞⎠48;

3) ⎛⎝7610⎞⎠120;

4) ⎛⎝643⎞⎠12;

5) ⎛⎝108⎞⎠16;

6) ⎛⎝1294⎞⎠36.

1.35

1.36°

1.36°1) ⎛⎝10⎞⎠2;

2) ⎛⎝53⎞⎠3;

3) ⎛⎝−124⎞⎠4;

4) −1244;

5) ⎛⎝−35⎞⎠5;

6) ⎛⎝323⎞⎠3;

7) ⎛⎝−444⎞⎠4;

8) ⎛⎝−157⎞⎠7;

9) −5555;

10) ⎛⎝−36⎞⎠6;

11) ⎛⎝−229⎞⎠9;

12) −488.

1.36°

1.37°

1.37°1) 325+−83;

2) 6254−−1253;

3) 12−60,1253;

4) 1+100,00814;

5) 3164−4273;

6) −3383+2,25;

7) 83−643;

8) 164−643.

1.37°

1.38°

1.38°1) 9+4;

2) 36−164;

3) 0,81+0,0013;

4) 0,0273−0,04;

5) 5−2564;

6) 7+83;

7) −325+164;

8) −273+814.

1.38°

1.39°

1.39°1) (1−2)⎛⎝1+2⎞⎠;

2) ⎛⎝3−2⎞⎠⎛⎝3+2⎞⎠;

3) ⎛⎝23+4⎞⎠⎛⎝23−4⎞⎠;

4) ⎛⎝35−2⎞⎠⎛⎝35+2⎞⎠;

5) ⎛⎝10−6⎞⎠⎛⎝6+10⎞⎠;

6) ⎛⎝7+3⎞⎠⎛⎝3−7⎞⎠.

1.39°

Стр. 17

1.40

1.401) 1225244⋅15−1382−2323;

2) 58+442−26235;

3) 90+31⎛⎝572−262⎞⎠83;

4) 2364+⎛⎝482−3225⎞⎠−13.

1.40

1.41

1.411) ⎛⎝⎜⎛⎝⎛⎝23⎞⎠33⎞⎠−3−⎛⎝⎛⎝43⎞⎠−55⎞⎠5⎞⎠⎟−1·⎛⎝−277⎞⎠7;

2) ⎛⎝⎜⎛⎝175⎞⎠−10+⎛⎝−409⎞⎠9·⎛⎝537⎞⎠0⎞⎠⎟−1:⎛⎝95⎞⎠−10;

3) ⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝34⎞⎠23⎞⎠⎟6+⎛⎝−4−27⎞⎠7⎞⎠⎟:⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝56⎞⎠05⎞⎠⎟10−⎛⎝−⎛⎝32⎞⎠−19⎞⎠9⎞⎠⎟;

4) ((((−45)3)3)0−(−0,111)−22):(((38)−15)5·((32)37)7+(−129)−9).

1.41

1.42

1.421) ⎛⎝a77⎞⎠7⎛⎝a55⎞⎠5;

2) ⎛⎝a33⎞⎠3⎛⎝a99⎞⎠9;

3) ⎛⎝⎜213⎛⎝a33⎞⎠3·⎛⎝b77⎞⎠7⎞⎠⎟2·⎛⎝⎜−127⎛⎝a55⎞⎠5·⎛⎝b1111⎞⎠11⎞⎠⎟;

4) 337⎛⎝a55⎞⎠5·⎛⎝b99⎞⎠9·⎛⎝⎜−213⎛⎝a77⎞⎠7·⎛⎝b1313⎞⎠13⎞⎠⎟2.

1.42

Найдите естественную область определения выражения (1.43—1.44).

1.43

1.431) x+4;

2) −9+2×4;

3) 5×2−6×10;

4) 8x−4×212;

5) x+33;

6) x−75;

7) x2−47;

8) 2×2−329.

1.43

1.44

1.441) 34x−112;

2) −48x−314;

3) 2−59−5×8;

4) 3−1016−7×6;

5) 2+x4−2(8−6x)3;

6) 12−6×2−7x+(3x−1)·25;

7) −x22(x−2)−5⎛⎝1−3x)−24;

8) 3(x+4)−6(2−x)+9×428.

1.44

Стр. 18

1.45

1.45Найдите длину ребра куба, если его объем равен:

1) 27 см³;

2) 64 мм³;

3) 0,125 дм³;

4) 0,216 м³.

1.45

Решите уравнение (1.46—1.54).

1.46°

1.46°1) x2=0,49;

2) x2=121;

3) x3=0,008;

4) x3=1000;

5) x3=−64 000;

6) x3=216;

7) x4=0,0625;

8) x4=−16.

1.46°

1.47

1.471) x3=−27;

2) x5=−132;

3) x7=−1;

4) x9=−512;

5) x3=−0,027;

6) x11=0.

1.47

1.48°

1.48°1) x2=11;

2) x4=19;

3) x8=27;

4) x3=25;

5) x7=38;

6) x9=−2;

7) x15=−6;

8) x17=4;

9) x13=−13.

1.48°

1.49

1.491) x2=25 600;

2) x2=0,0196;

3) x2+1=1,0016;

4) 5×2−20=0;

5) x2+25=0;

6) x2+179=0;

7) x2·4=0;

8) −6×2=0;

9) 113×2−12=0;

10) 13×2−1=0.

1.49

1.50

1.501) 4×3+4125=0;

2) 8×3+27=0;

3) −0,1×4=−0,00001;

4) 16×4−81=0;

5) 12×5+16=0;

6) 132×6−2=0.

1.50

1.51

1.511) x4+2=7;

2) x5−3=30;

3) x6−7=19;

4) x3+5=5.

1.51

1.52

1.521) (x+1)4=16;

2) (x−2)6=64;

3) (2x+1)3=27;

4) (3x−1)5=32.

1.52

1.{n}=\underbrace{b*b*b*…*b}_{n \; раз}=a. $$

Число $n$ при этом называют показателем корня.

Если $n=2$, то перед вами корень 2-й степени или обычный квадратный корень.

Если $n=3$, то корень 3-й степени и т.д.

Операция извлечения корня n-й степени является обратной к операции возведения в n-ю степень.

Пример 1 $$ \sqrt[3]{27}=3 $$

Кубический корень из числа 27 равняется 3. Действительно, если число 3 возвести в 3-ю степень, то мы получим 27.

Пример 2 $$ \sqrt[4]{16}=2 $$

Корень 4-й степени из 16-и равен 2. Двойка в 4-й степени равна 16.

Пример 3 $$ \sqrt[3]{0}=0 $$

Если извлечь корень n-й степени из 0, всегда будет 0.

Пример 4 $$ \sqrt[3]{19}= ? $$

Мы не можем в уме подобрать такое число, которое при возведении в 3-ю степень даст 19. Если посчитать на калькуляторе, то получим $2,668…$ – иррациональное число с бесконечным количеством знаков после запятой.

Обычно, в математике, когда у вас получается иррациональное число, корень не считают и оставляют так как есть $\sqrt[3]{19}$.

Что же делать, если под рукой нет калькулятора, а нужно оценить, чему равен такой корень. В этом случае нужно подобрать справа и слева такие ближайшие числа, корень из которых посчитать можно:

$$ \sqrt[3]{8} \le \sqrt[3]{19} \le \sqrt[3]{27} $$ $$ 2 \le \sqrt[3]{19} \le 3 $$

Получается, что наш корень лежит между числами 2 и 3.

Корень четной и нечетной степени

Надо четко различать правила работы четными и нечетными степенями. Дело в том, что корень четной степени можно взять только из положительного числа. Из отрицательных чисел корень четной степени не существует.

Корень нечетной степени можно посчитать из любых действительных чисел. Иногда в школьной программе встречаются задания, в которых требуется определить имеет ли смысл выражение:

Пример 5 $$ \sqrt[3]{-27}=-3 $$

Данное выражение имеет смысл, так как корень нечетной степени можно посчитать из любого числа, даже отрицательного.

Пример 6 $$ \sqrt[4]{-27} $$

Так как корень четной степени, а под корнем стоит отрицательное число, то выражение не имеет смысла.k} $$

Корень n-й степени и его свойства

Корень n-й степени и его свойства

Что такое корень n-й степени? Как извлечь корень?

В восьмом классе вы уже успели познакомиться с квадратным корнем. Решали типовые примеры с корнями, применяя те или иные свойства корней. Также решали квадратные уравнения, где без извлечения квадратного корня — никак. Но квадратный корень — это лишь частный случай более широкого понятия — корня n-й степени. Помимо квадратного, бывает, например, кубический корень, корень четвёртой, пятой и более высоких степеней. И для успешной работы с такими корнями неплохо бы всё-таки для начала быть на «ты» с корнями квадратными.) Поэтому у кого проблемы с ними — настоятельно рекомендую повторить.

Извлечение корня — это одна из операций, обратных возведению в степень.) Почему «одна из»? Потому, что, извлекая корень, мы ищем основание по известным степени и показателю. А есть ещё одна обратная операция — нахождение показателя по известным степени и основанию. Такая операция называется нахождением логарифма. Она более сложная, чем извлечение корня и изучается в старших классах.)

Итак, знакомимся!

Во-первых, обозначение. Квадратный корень, как мы уже знаем, обозначается вот так: . Называется этот значок очень красиво и научно — радикал. А как обозначают корни других степеней? Очень просто: над «хвостиком» радикала дополнительно пишут показатель той степени, корень которой ищется. Если ищется кубический корень, то пишут тройку: . Если корень четвёртой степени, то, соответственно, . И так далее.) В общем виде корень n-й степени обозначается вот так:

, где .

Число a, как и в квадратных корнях, называется подкоренным выражением, а вот число n для нас здесь новое. И называется показателем корня.

Как извлекать корни любых степеней? Так же, как и квадратные — сообразить, какое число в n-й степени даёт нам число a.)

Как, например, извлечь кубический корень из 8? То есть ? А какое число в кубе даст нам 8? Двойка, естественно.) Вот и пишут:

Или . Какое число в четвёртой степени даёт 81? Тройка.) Значит,

А корень десятой степени из 1? Ну, ежу понятно, что единица в любой степени (в том числе и в десятой) равна единице. ) То есть:

и вообще .

С нулём та же история: ноль в любой натуральной степени равен нулю. Стало быть, .

Как видим, по сравнению с квадратными корнями, здесь уже посложнее соображать, какое число в той или иной степени даёт нам подкоренное число a. Сложнее подбирать ответ и проверять его на правильность возведением в степень n. Ситуация существенно облегчается, если знать в лицо степени популярных чисел. Поэтому сейчас — тренируемся. 🙂 Распознаём степени!)

Ответы (в беспорядке):

Да-да! Ответов побольше, чем заданий.) Потому, что, к примеру, 2⁸, 4⁴ и 16²– это всё одно и то же число 256.

Потренировались? Тогда считаем примерчики:

Ответы (тоже в беспорядке): 6; 2; 3; 2; 3; 5.

Получилось? Великолепно! Движемся дальше.)

Ограничения в корнях. Арифметический корень n-й степени.

В корнях n-й степени, как и в квадратных, тоже есть свои ограничения и свои фишки. По своей сути, они ничем не отличаются от таковых ограничений для квадратных корней.

Например, попробуем посчитать вот такой корень:

Не подбирается ведь, да? Что 3, что -3 в четвёртой степени будет +81. 🙂 И с любым корнем чётной степени из отрицательного числа будет та же песня. А это значит, что извлекать корни чётной степени из отрицательных чисел нельзя. Это запретное действие в математике. Такое же запретное, как и деление на ноль. Поэтому такие выражения, как , и тому подобные — не имеют смысла.

Зато корни нечётной степени из отрицательных чисел — пожалуйста!

Например, ; , и так далее.)

А из положительных чисел можно со спокойной душой извлекать любые корни, любых степеней:

В общем, понятно, думаю. ) И, кстати, корень совершенно не обязан извлекаться ровно. Это просто примеры такие, чисто для понимания.) Бывает, что в процессе решения (например, уравнений) выплывают и довольно скверные корни. Что-нибудь типа . Из восьмёрки кубический корень извлекается отлично, а тут под корнем семёрка. Что делать? Ничего страшного. Всё точно так же. – это число, которое при возведении в куб даст нам 7. Только число это очень некрасивое и лохматое. Вот оно:

Причём, это число никогда не кончается и не имеет периода: цифры следуют совершенно беспорядочно. Иррациональное оно… В таких случаях ответ так и оставляют в виде корня.) А вот если корень извлекается чисто (к примеру, ), то, естественно, надо корень посчитать и записать:

Идём дальше.

Снова берём наше подопытное число 81 и извлекаем из него корень четвёртой степени:

Потому, что три в четвёртой будет 81. Ну, хорошо! Но ведь и минус три в четвёртой тоже будет 81!

Получается неоднозначность:

И, чтобы её устранить, так же, как и в квадратных корнях, ввели специальный термин: арифметический корень n-й степени из числа a – это такое неотрицательное число, n-я степень которого равна a.

А ответ с плюсом-минусом называется по-другому — алгебраический корень n-й степени. У любой чётной степени алгебраическим корнем будет два противоположных числа. В школе же работают только с арифметическими корнями. Поэтому отрицательные числа в арифметических корнях попросту отбрасываются. Например, пишут: . Сам плюс, конечно же, не пишут: его подразумевают.

Всё, казалось бы, просто, но… А как же быть с корнями нечётной степени из отрицательных чисел? Ведь там-то всегда при извлечении получается отрицательное число! Так как любое отрицательное число в нечётной степени также даёт отрицательное число. А арифметический корень работает только с неотрицательными числами! На то он и арифметический.)

В таких корнях делают вот что: выносят минус из-под корня и ставят перед корнем. Вот так:

В таких случаях говорят, что выражен через арифметический (т.е. уже неотрицательный) корень .

Но есть один пунктик, который может вносить путаницу, — это решение простеньких уравнений со степенями. Например, вот такое уравнение:

Пишем ответ: . На самом деле, этот ответ — всего-навсего сокращённая запись двух ответов:

Непонятка здесь заключается в том, что чуть выше я уже написал, что в школе рассматриваются только неотрицательные (т.е. арифметические) корни. А тут один из ответов с минусом… Как быть? Да никак! Знаки здесь — это результат решения уравнения. А сам корень — величина всё равно неотрицательная! Смотрите сами:

Ну как, теперь понятнее? Со скобочками?)

С нечётной степенью всё гораздо проще — там всегда получается один корень. С плюсом или с минусом. Например:

Итак, если мы просто извлекаем корень (чётной степени) из числа, то мы всегда получаем один неотрицательный результат. Потому что это — арифметический корень. А вот, если мы решаем уравнение с чётной степенью, то мы получаем два противоположных корня, поскольку это — решение уравнения.

С корнями нечётных степеней (кубическими, пятой степени и т.д.) проблем никаких. Извлекаем себе и не паримся со знаками. Плюс под корнем — значит, и результат извлечения с плюсом. Минус — значит, минус.)

А теперь настал черёд познакомиться со свойствами корней. Некоторые уже будут нам знакомы по квадратным корням, но добавится и несколько новых. Поехали!

Свойства корней. Корень из произведения.

Это свойство уже знакомо нам из квадратных корней. Для корней других степеней всё аналогично:

То есть, корень из произведения равен произведению корней из каждого множителя отдельно.

Если показатель n чётный, то оба подкоренных числа a и b должны быть, естественно, неотрицательными, иначе формула смысла не имеет. В случае нечётного показателя ограничений никаких нет: выносим минусы из-под корней вперёд и дальше работаем с арифметическими корнями.)

Как и в квадратных корнях, здесь эта формула одинаково полезна как слева направо, так и справа налево. Применение формулы слева направо позволяет извлекать корни из произведения. Например:

Эта формула, кстати говоря, справедлива не только для двух, а для любого числа множителей. Например:

Также по этой формуле можно извлекать корни из больших чисел: для этого число под корнем раскладывается на множители поменьше, а дальше извлекаются корни отдельно из каждого множителя.

Например, такое задание:

Число достаточно большое. Извлекается ли из него корень ровно — тоже ~~без калькулятора~~ непонятно. Хорошо бы его разложить на множители. На что точно делится число 3375? На 5, похоже: последняя цифра — пятёрка.) Делим:

Ой, снова на 5 делится! 675:5 = 135. И 135 опять на пятёрку делится. Да когда ж это кончится!)

135:5 = 27. С числом 27 всё уже ясно — это тройка в кубе. Значит,

Тогда:

Извлекли корень по кусочкам, ну и ладно.)

Или такой пример:

Снова раскладываем на множители по признакам делимости. Каким? На 4, т.к. последняя парочка цифр 40 — делится на 4. И на 10, т.к. последняя цифра — ноль. Значит, можно поделить одним махом сразу на 40:

Про число 216 мы уже знаем, что это шестёрка в кубе. Стало быть,

А 40, в свою очередь, можно разложить как . Тогда

И тогда окончательно получим:

Чисто извлечь корень не вышло, ну и ничего страшного. Всё равно мы упростили выражение: мы же знаем, что под корнем (хоть квадратным, хоть кубическим — любым) принято оставлять самое маленькое число из возможных. ) В этом примере мы проделали одну весьма полезную операцию, тоже уже знакомую нам из квадратных корней. Узнаёте? Да! Мы вынесли множители из-под корня. В данном примере мы вынесли двойку и шестёрку, т.е. число 12.

Как вынести множитель за знак корня?

Вынести множитель (или множители) за знак корня очень просто. Раскладываем подкоренное выражение на множители и извлекаем то, что извлекается.) А что не извлекается — так и оставляем под корнем. Смотрите:

Раскладываем число 9072 на множители. Так как у нас корень четвёртой степени, в первую очередь пробуем разложить на множители, являющиеся четвёртыми степенями натуральных чисел — 16, 81 и т.д.

Попробуем поделить 9072 на 16:

Поделилось!

А вот 567, похоже, делится на 81:

Значит, .

Тогда

Свойства корней. Умножение корней.

Рассмотрим теперь обратное применение формулы — справа налево:

На первый взгляд, ничего нового, но внешность обманчива. ) Обратное применение формулы значительно расширяет наши возможности. Например:

Хм, ну и что тут такого? Умножили и всё. Здесь и впрямь ничего особенного. Обычное умножение корней. А вот такой пример!

Отдельно из множителей корни чисто не извлекаются. Зато из результата — отлично. )

Опять же формула справедлива для любого числа множителей. Например, надо посчитать вот такое выражение:

Здесь главное — внимание. В примере присутствуют разные корни — кубические и четвёртой степени. И ни один из них точно не извлекается…

А формула произведения корней применима только к корням с одинаковыми показателями. Поэтому сгруппируем в отдельную кучку кубические корни и в отдельную — четвёртой степени. А там, глядишь, всё и срастётся.))

И калькулятора не понадобилось.)

Как внести множитель под знак корня?

Следующая полезная вещь — внесение числа под корень. Например:

Можно ли убрать тройку внутрь корня? Элементарно! Если тройку превратить в корень, то сработает формула произведения корней. Итак, превращаем тройку в корень. Раз у нас корень четвёртой степени, то и превращать будем тоже в корень четвёртой степени.) Вот так:

Тогда

Корень, между прочим, можно сделать из любого неотрицательного числа. Причём той степени, какой хотим (всё от конкретного примера зависит). Это будет корень из n-й степени этого самого числа:

А теперь — внимание! Источник очень грубых ошибок! Я не зря здесь сказал про неотрицательные числа. Арифметический корень работает только с такими. Если у нас в задании где-то затесалось отрицательное число, то либо минус так и оставляем, перед корнем (если он снаружи), либо избавляемся от минуса под корнем, если он внутри. Напоминаю, если под корнем чётной степени получается отрицательное число, то выражение не имеет смысла.

Например, такое задание. Внести множитель под знак корня:

Если мы сейчас внесём под корень минус два, то жестоко ошибёмся:

В чём здесь ошибка? А в том, что четвёртая степень, в силу своей чётности, благополучно «съела» этот минус, в результате чего заведомо отрицательное число превратилось в положительное . А верное решение выглядит так:

В корнях нечётных степеней минус хоть и не «съедается», но его тоже лучше оставлять снаружи:

Здесь корень нечётной степени — кубический, и мы имеем полное право минус тоже загнать под корень. Но предпочтительнее в таких примерах минус также оставлять снаружи и писать ответ выраженным через арифметический (неотрицательный) корень , поскольку корень хоть и имеет право на жизнь, но арифметическим не является.

Итак, с внесением числа под корень тоже всё ясно, я надеюсь.) Переходим к следующему свойству.

Свойства корней. Корень из дроби. Деление корней.

Это свойство также полностью повторяет таковое для квадратных корней. Только теперь мы его распространяем на корни любой степени:

Корень из дроби равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя.

Если n чётно, то число a должно быть неотрицательным, а число b – строго положительным (на ноль делить нельзя). В случае нечётного показателя единственным ограничением будет .

Это свойство позволяет легко и быстро извлекать корни из дробей:

Идея понятна, думаю. Вместо работы с дробью целиком мы переходим к работе отдельно с числителем и отдельно со знаменателем.) Если дробь десятичная или, о ужас, смешанное число, то предварительно переходим к обыкновенным дробям:

А теперь посмотрим, как эта формула работает справа налево. Здесь тоже выявляются очень полезные возможности. Например, такой примерчик:

Из числителя и знаменателя корни ровно не извлекаются, зато из всей дроби — прекрасно.) Можно решить этот пример и по-другому — вынести в числителе множитель из-под корня с последующим сокращением:

Как вам будет угодно. Ответ всегда получится один — правильный. Если ошибок не наляпать по дороге.)

Итак, с умножением/делением корней разобрались. Поднимаемся на следующую ступеньку и рассматриваем третье свойство — корень в степени и корень из степени.

Корень в степени. Корень из степени.

Как возвести корень в степень? Например, пусть у нас есть число . Можно это число возвести в степень? В куб, например? Конечно! Помножить корень сам на себя три раза, и — по формуле произведения корней:

Здесь корень и степень как бы взаимоуничтожились или скомпенсировались. Действительно, если мы число, которое при возведении в куб даст нам тройку, возведём в этот самый куб, то что получим? Тройку и получим, разумеется! И так будет для любого неотрицательного числа. В общем виде:

Если показатели степени и корня разные, то тоже никаких проблем. Если знать свойства степеней.)

Если показатель степени меньше показателя корня, то просто загоняем степень под корень:

В общем виде будет:

Идея понятна: возводим в степень подкоренное выражение, а дальше упрощаем, вынося множители из-под корня, если это возможно. Если n чётно, то a должно быть неотрицательным. Почему — понятно, думаю.) А если n нечётно, то никаких ограничений на a уже нету:

Разберёмся теперь с корнем из степени. То есть, в степень будет возводиться уже не сам корень, а подкоренное выражение. Здесь тоже ничего сложного, но простора для ошибок значительно больше. Почему? Потому, что в игру вступают отрицательные числа, которые могут вносить путаницу в знаках. Пока начнём с корней нечётных степеней — они гораздо проще.

Пусть у нас есть число 2. Можно его возвести в куб? Конечно!

А теперь — обратно извлечём из восьмёрки кубический корень:

С двойки начали, к двойке же и вернулись.) Ничего удивительного: возведение в куб скомпенсировалось обратной операцией — извлечением кубического корня.

Другой пример:

Здесь тоже всё путём. Степень и корень друг друга скомпенсировали. В общем виде для корней нечётных степеней можно записать такую формулку:

Эта формула справедлива для любого действительного числа a. Хоть положительного, хоть отрицательного.

То есть, нечётная степень и корень этой же степени всегда друг друга компенсируют и получается подкоренное выражение. 🙂

А вот с чётной степенью этот фокус может уже не пройти. Смотрите сами:

Здесь пока ничего особенного. Четвёртая степень и корень четвёртой же степени тоже друг друга уравновесили и получилась просто двойка, т.е. подкоренное выражение. И для любого неотрицательного числа будет то же самое. А теперь всего лишь заменим в этом корне два на минус два. То есть, посчитаем вот такой корень:

Минус у двойки благополучно «сгорел» из-за четвёртой степени. И в результате извлечения корня (арифметического!) мы получили положительное число. Было минус два, стало плюс два.) А вот если бы мы просто бездумно «сократили» степень и корень (одинаковые же!), то получили бы

Что является грубейшей ошибкой, да.

Поэтому для чётного показателя формула корня из степени выглядит вот так:

Здесь добавился нелюбимый многими знак модуля, но в нём страшного ничего нет: благодаря ему, формула также работает для любого действительного числа a. И модуль просто отсекает минусы:

И так далее.) Эта формула — аналог формулы корня квадратного из квадрата:

Только в корнях n-й степени появилось дополнительное разграничение на чётные и нечётные степени. Чётные степени, как мы видим, более капризные, да.)

А теперь рассмотрим новое полезное и весьма интересное свойство, уже характерное именно для корней n-й степени: если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить (разделить) на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится.

Чем-то напоминает основное свойство дроби, не правда ли? В дробях мы тоже числитель и знаменатель можем умножать (делить) на одно и то же число (кроме нуля). На самом деле, это свойство корней — тоже следствие основного свойства дроби. Когда мы познакомимся со степенью с рациональным показателем, то всё станет ясно. Что, как и откуда. )

Прямое применение этой формулы позволяет нам упрощать уже совершенно любые корни из любых степеней. В том числе, если показатели степени подкоренного выражения и самого корня разные. Например, надо упростить вот такое выражение:

Поступаем просто. Выделяем для начала под корнем четвёртую степень из десятой и — вперёд! Как? По свойствам степеней, разумеется! Выносим множитель из-под корня или работаем по формуле корня из степени.

А вот упростим, используя как раз это свойство. Для этого четвёрку под корнем представим как :

И теперь — самое интересное — сокращаем мысленно показатель под корнем (двойку) с показателем корня (четвёркой)! И получаем:

Вся цепочка преобразований выглядит так:

Или такой пример:

Это было прямое применение формулы. А вот обратное применение ещё сильнее повышает наш математический уровень. Сомневаетесь? Напрасно! Дело в том, что обратное применение этой формулы справа налево позволяет нам сравнивать различные корни. Очень мощная штука!

Как сравнивать корни?

Допустим, надо (без калькулятора!) сравнить два числа:

Корень квадратный из пяти — это двойка с хвостиком. Корень кубический из десяти — это тоже двойка с хвостиком. А вот какой из двух хвостиков длиннее, а какой короче — вопрос. С ходу так и не скажешь. Пока показатели корней — разные.) А вот, если их как-то преобразовать к одинаковым, то всё, глядишь, и наладится! Для этого ищем наименьшее общее кратное показателей корней. В данном случае показатели корней равны 2 и 3, т.е. оба корня будем приводить к шестёрке. Как? По вышеупомянутому свойству:

Берём . Как корень из квадратного превратить в корень шестой степени, но так, чтобы суть выражения не изменилась? Чтобы получить шестёрку в показателе корня, надо исходный показатель корня 2 домножить на 3. Это нам надо. Но тогда и пятёрку под корнем придётся дополнительно возвести в степень 3 (т.е. в куб): это уже математике надо. Значит,

С числом всё аналогично. Только десятку под корнем будем дополнительно возводить в квадрат:

Теперь дело за малым — сравнить два числа и .

Ясно, что , а значит, и и, стало быть,

Если перед корнями тусуются какие-то множители, то убираем их внутрь корней и — по накатанной колее. Например, такое задание:

Сравнить и .

Первым делом вносим множители под корни:

А теперь — приводим оба корня к одному показателю. К четвёрке.)

Ну, число уже и так приведено и уже готово для сравнения. А вот преобразуем:

Вот теперь всё и прояснилось: , поэтому .

А это значит, что

Этот принцип сравнения одинаковых корней по подкоренным выражениям, строго говоря, основывается на монотонном возрастании функции . То есть, большему числу соответствует и больший корень. И наоборот.) В разделе по функциям и графикам мы этому факту уделим отдельное внимание, а здесь мы просто им пользуемся. Себе во благо. 🙂

Что ж, осталось последнее усилие. Собираем волю в кулак и знакомимся с последним (и тоже новым для нас) свойством корней — корень под корнем.

Как извлечь корень из корня?

Это свойство на самом деле очень простое и по своей сути очень похоже на возведение степени в степень. Так как является обратным к этой операции.) Вот как оно выглядит:

Чтобы извлечь корень из корня, надо перемножить показатели корней.

Это свойство позволяет несколько вложенных корней заменить одним корнем. Например:

Или такой пример:

Причём вложений может быть сколько угодно — формула всё равно сработает:

Как видим, никаких хитростей. Просто перемножаем показатели и считаем (если считается).

Вот, собственно, всё что я пока хотел рассказать.)) Следующим этапом нашей работы с корнями будет преобразование иррациональных выражений. Но это — в следующий раз.

А теперь, как всегда, делаем задания.

Задание 1

Вычислить:

Задание 2

Вычислить:

Задание 3

Найти значение выражения:

Задание 4

Вынести множитель из-под знака корня:

Внести множитель под знака корня:

Задание 5

Решите уравнение:

Задание 6

Вычислите:

Ответы в беспорядке: 1,2; ; 2; ; 3; 6; ; 20; ; 72; 2,1; 5; 0,4; -2; ; 12; 6; 14; 4; 20/3; ; -8; ; ; 20; 42.

Всё решилось? Одной левой? Великолепно! Корни — не ваш камень преткновения.) Не всё получилось? Не беда! Не ошибается тот, кто ничего не делает.)

Перевод корней в степени и обратно: объяснение, примеры

Часто преобразование и упрощение математических выражений требует перехода от корней к степеням и наоборот. Данная статья рассказывает о том, как осуществлять перевод корня в степень и обратно. Рассматривается теория, практические примеры и наиболее распространенные ошибки.

Переход от степеней с дробными показателями к корням

Допустим, мы имеем число с показателем степени в виде обыкновенной дроби — amn. Как записать такое выражение в виде корня?

Ответ вытекает из самого определения степени!

Определение

Положительное число a в степени mn — это корень степени n из числа am.

amn=amn.

При этом, обязательно должно выполнятся условие:

a>0; m∈ℤ; n∈ℕ.

Дробная степень числа нуль определяется аналогично, однако в этом случае число m принимается не целым, а натуральным, чтобы не возникло деления на 0:

0mn=0mn=0.

В соответствии с определением, степень amn можно представить в виде корня amn.

Например: 325=325, 123-34=123-34.

Однако, как уже было сказано, не следует забывать про условия: a > 0 ; m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ .

Так, выражение -813 нельзя представить в виде -813, так как запись -813 попросту не имеет смысла — степень отрицательных чисел на определена.При этом, сам корень -813 имеет смысл.

Переход от степеней с выражениями в основании и дробными показателями осуществляется аналогично на всей области допустимых значений (далее — ОДЗ) исходных выражений в основании степени.

Например, выражение x2+2x+1-412 можно представить в виде квадратного корня x2+2x+1-4.Выражение в степени x2+x·y·z-z3-73 переходит в выражение x2+x·y·z-z3-73 для всех x, y, z из ОДЗ данного выражения.

Как представить корень в виде степени?

Обратная замена корней степенями, когда вместо выражения с корнем записывается выражения со степенью, также возможна. Просто перевернем равенство из предыдущего пункта и получим:

amn=amn

Опять же, переход очевиден для положительных чисел a. Например, 764=764, или27-53=27-53.

Для отрицательных a корни имеют смысл. Например -426, -23. Однако, представить эти корни в виде степеней -426 и -213 нельзя.

Можно ли вообще преобразовать такие выражения со степенями? Да, если произвести некоторые предварительные преобразования. Рассмотрим, какие.

Используя свойства степеней, можно выполнить преобразования выражения -426.

-426=-12·426=426.

Так как 4>0, можно записать:

426=426.

В случае с корнем нечетной степени из отрицательного числа, можно записать:

-a2m+1=-a2m+1.

Тогда выражение -23 примет вид:

-23=-23=-213.

Разберемся теперь, как корни, под которыми содержатся выражения, заменяются на степени, содержащие эти выражения в основании.

Обозначим буквой A некоторое выражение. Однако не будем спешить с представлением Amn в виде Amn. Поясним, что здесь имеется в виду. Например, выражение х-323, основываясь на равенстве из первого пункта, хочется представить в виде x-323. Такая замена возможна только при x-3≥0, а для остальных икс из ОДЗ она не подходит, так как для отрицательных a формула amn=amn не имеет смысла.

Таким образом, в рассмотренном примере преобразование вида Amn=Amn является преобразованием, сужающим ОДЗ, а из-за неаккуратного применения формулы Amn=Amn нередко возникают ошибки.

Чтобы правильно перейти от корня Amn к степени Amn, необходимо соблюдать несколько пунктов:

В случае, если число m — целое и нечетное, а n — натуральное и четное, то формула Amn=Amn справедлива на всей ОДЗ переменных.
Если m — целое и нечетное, а n — натуральное и нечетное,то выражение Amn можно заменить:
— на Amn для всех значений переменных, при которых A≥0;
— на —Amn для для всех значений переменных, при которых A<0;
Если m — целое и четное, а n — любое натуральное число, то Amn можно заменить на Amn.

Сведем все эти правила в таблицу и приведем несколько примеров их использования.

Вернемся к выражению х-323. Здесь m=2 — целое и четное число, а n=3 — натуральное число. Значит, выражение х-323 правильно будет записать в виде:

х-323=x-323.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Приведем еще один пример с корнями и степенями.

Пример. Перевод корня в степень

x+5-35=x+5-35, x>-5—x-5-35, x<-5

Обоснуем результаты, приведенные в таблице. Если число m — целое и нечетное, а n — натуральное и четное, для всех переменных из ОДЗ в выражении Amn значение A положительно или неотрицательно (при m>0). Именно поэтому Amn=Amn.

Во втором варианте, когда m — целое, положительное и нечетное, а n — натуральное и нечетное, значения Amn разделяются. Для переменных из ОДЗ, при которых A неотрицательно, Amn=Amn=Amn. Для переменных, при которых A отрицательно, получаем Amn=-Amn=-1m·Amn=-Amn=-Amn=-Amn.

Аналогично рассмотрим и следующий случай, когда m — целое и четное, а n — любое натуральное число. Если значение Aположительно или неотрицательно, то для таких значений переменных из ОДЗ Amn=Amn=Amn. Для отрицательных A получаем Amn=-Amn=-1m·Amn=Amn=Amn.

Таким образом, в третьем случае для всех переменных из ОДЗ можно записать Amn=Amn.

Арифметический корень / math5school.ru

Арифметический корень

Свойства корней

Значения некоторых корней n-й степени

Таблица квадратных корней натуральных чисел от 1 до 99

Таблица кубических корней натуральных чисел от 1 до 99

Арифметический корень

Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа a называется неотрицательное число b, n-я степень которого равна a.

Записывается так:

Эта запись означает, что bⁿ= a, где b и a – неотрицательные числа.

Число n называется показателем степени корня, число а – подкоренным выражением, b – значением арифметического корня n-й степени. Операция нахождения значения корня называется извлечением корня.

Корней чётной степени из отрицательных чисел не существует.

Корнем нечётной степени из отрицательного числа а называется такое отрицательное число b, которое при его возведении в эту нечётную степень равно числу а.

Для корней нечётной степени справедливо равенство:

Свойства корней

Для положительных а и b, натуральных n и k (n ≥ 2, k ≥ 2), целого m выполняются следующие соотношения.

Кроме того, для любого числа а верно:

Значения некоторых корней

n-й степени

³√8 = 2	⁴√16 = 2	⁵√32 = 2	⁶√64 = 2	⁷√128 = 2	⁸√256 = 2	⁹√512 = 2	¹⁰√1024 = 2
³√27 = 3	⁴√81 = 3	⁵√243 = 3	⁶√729 = 3	⁷√2187 = 3	⁸√6561 = 3	⁹√19683 = 3	¹⁰√59049 = 3
³√64 = 4	⁴√256 = 4	⁵√1024 = 4	⁶√4096 = 4	⁷√16384 = 4	⁸√65536 = 4	⁹√262144 = 4	¹⁰√1048576 = 4
³√125 = 5	⁴√625 = 5	⁵√3125 = 5	⁶√15625 = 5	⁷√78125 = 5	⁸√390625 = 5	⁹√1953125 = 5	¹⁰√9765625 = 5
³√216 = 6	⁴√1296 = 6	⁵√7776 = 6	⁶√46656 = 6	⁷√279936 = 6	⁸√1679616 = 6	⁹√10077696 = 6	¹⁰√60466176 = 6
³√343 = 7	⁴√2401 = 7	⁵√16807 = 7	⁶√117649 = 7	⁷√823543 = 7	⁸√5764801 = 7	⁹√40353607 = 7	¹⁰√282475249 = 7

Смотрите также:

Таблицы чисел

Алгебраические тождества

Степени

Логарифмы

Графики элементарных функций

Построение графиков функций геометрическими методами

Тригонометрия

Таблицы значений тригонометрических функций

Треугольники

Четырёхугольники

Многоугольники

Окружность

Площади геометрических фигур

Прямые и плоскости

Многогранники

Тела вращения

Корень n -й степени его свойства

Корень n-й степени, его свойства.

Арифметическим корнем n-й степени из числа а называют неотрицательное число , n-я

степень которого равна а.

Обозначается арифметический корень n-й степени из числа а

где n- показатель корня,

а- подкоренное выражение.

Знак называют еще радикалом.

Арифметический корень второй степени называется корнем квадратным и обозначается √,

арифметический корень третьей степени называется кубическим корнем о обозначается

Например :

а) и 2≥0;

б) и 3≥0;

в)

Из определения арифметического корня n-й степени следует, что при четом n подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю, а значит и значение такого корня тоже неотрицательно, например:

арифметический корень 4-й степени из числа -81 не существует, так как ни одно число в четвертой степени не даст -81 ( при возведении в четную степень значение выражения всегда неотрицательно).

При нечетном показателе корня подкоренное выражение может быть отрицательным, и тогда минус может быть вынесен за знак коня.

Например:

Уравнение хⁿ=а.

Уравнение хⁿ=а при нечетном n имеет единственное решение х=.

Например : х³=-125;

х=;

х=-;

х=-5.

Для наглядности сделаем проверку:

(-5)³=-125;

-125=-125- верно.

Ответ : х=-5.

Уравнение хⁿ=а при четном n имеет и положительном а имеет два корня

х=±.

Например:

х⁴=16;

х₁=; х₂=-;

х₁=2; х₂=-2.

Можно убедиться при проверке, что 2⁴=16 и (-2)⁴=16.

Ответ : ±2.

Иногда нужно применить такое свойство арифметического корня n-й степени:

|х|, если n четно;

х, если n нечетно.

х, если х≥0;

Вспомним, что |х|= -х, если х<0.

Например :

Так как <0, следовательно

Основные свойства корней.

Для арифметического корня n-й степени, как и для квадратного корня, существуют операции внесения множителя под знак корня и вынесение множителя из-под знака корня.

Например :

Из примера видно, что для внесения множителя под знак корня n-й степени его нужно

возвести в n-ю степень. Нужно помнить, что под знак с четным показателем мы имеем право внести только положительный множитель, например:

Аналогично производится вынесение множителя из-под знака корня , например:

а)

б)

в)

Примеры решения упражнений:

№1

Вычислить:

а) ; б); в) г)

Решение:

а) =-; б) =2;

в) = ; г)

№2

Решить уравнение:

а)х⁶=5; б) х³=5; в) 0,01х³+10=0.

Решение:

а) х⁶=5;

так как 6- четное число, то уравнение имеет два корня

Ответ: .

б) х³=5;

так как 3-нечетное число, то уравнение имеет один корень.

Ответ:

в) 0,01х³+10=0;

0,01х³=-10;

х³=;

х³=-10

х³=-1000;

х=

х=-

х= -10.

Ответ :-10.

№3

Вычислить:

а); б) ; в); в).

Решение:

а) =

б)

в)

г)

№4

Упростите выражение:

а); б) если х>0;

в)если к>0 ; г) :.

Решение:

а) =

так как 3- нечетное число, получим

а²вс⁴.

Ответ: а²вс⁴.

б) =

Так как 4-нечетное число, то получим

Так как х>0 по условию, то

у⁴≥0 (так как 4-четное число), следовательно ,

аналогично рассуждая, получим .

Итого получим:

Ответ:

в) ==;

так как к>0, то к⁶>0, следовательно .

Итого получим:

Ответ: .

г) :=

Задания для самостоятельного решения .

№1

Вычислить:

а) б) ; в) ; г) .

№2

Решите уравнение:

а) х³=64; б)х⁴— 81=0; в) 16х⁴-1=0; г)12.

№3

Вычислить:

а) б); в) г)

№4

Упростите выражение:

а) б); в); г)

д) : е)

№5

Вынесите множитель из-под знака корня.

а) б)

Как решать примеры с корнями

Корнем n степени из числа называют такое число, которое при возведении в эту степень даст то число, из которого извлекается корень. Чаще всего, действия производятся с корнями квадратными, которые соответствуют 2 степени. При извлечении корня часто невозможно найти его явно, а результатом является число, которое невозможно представить в виде натуральной дроби (трансцендентное).4=(-2)∙ (-2)∙ (-2)∙ (-2)=16. Для извлечения квадратного корня нацело, когда это возможно, воспользуйтесь таблицей квадратов натуральных чисел.

Если же рядом нет калькулятора, или требуется абсолютная точность в расчетах, используйте свойства корней, а также различные формулы для упрощения выражений. Из многих чисел можно извлечь корень частично. Для этого воспользуйтесь свойством, что корень из произведения двух чисел равен произведению корней из этих чисел √m∙n=√m∙√n.

Пример. Вычислите значение выражения (√80-√45)/ √5. Прямое вычисление ничего не даст, поскольку нацело не извлекается ни один корень. Преобразуйте выражение (√16∙5-√9∙5)/ √5=(√16∙√5-√9∙√5)/ √5=√5∙(√16-√9)/ √5. Произведите сокращение числителя и знаменателя на √5, получите (√16-√9)=4-3=1.

Если подкоренное выражение или сам корень возведены в степень, то при извлечении корня воспользуйтесь тем свойством, что показатель степени подкоренного выражения можно поделить на степень корня. Если деление производится нацело, число вносится из-под корня.4=5²=25.

Пример. Вычислить значение выражения (√3+√5)∙(√3-√5). Примените формулу разности квадратов и получите (√3)²-(√5)²=3-5=-2.

Корни или нули многочленов степени выше 2

Теорема о факторах

Основная теорема алгебры

Стратегия поиска корней

Теорема о целочисленном корне

Сопряженные пары

Доказательство теоремы о множителях

Доказательство теоремы о целочисленном корне

В ЭТОЙ ТЕМЕ мы увидим, как найти корни многочлена степени больше 2.Это будет зависеть от предыдущей темы: Синтетическое деление.

Мы видели в этой теме то, что называется теоремой о факторах.

Факторная теорема. x — r является множителем полинома P ( x ) тогда и только тогда, когда r является корнем из P ( x ).

Это означает, что если многочлен можно разложить на множители, например, следующим образом:

P ( x ) = ( x — 1) ( x + 2) ( x + 3)

, то теорема говорит нам, что корни равны 1, −2 и −3.

И наоборот, если мы знаем, что корни многочлена равны −2, 1 и 5, то многочлен имеет следующие множители:

( x + 2) ( x — 1) ( x — 5).

Затем мы могли бы перемножить и узнать многочлен, имеющий эти три корня.

Ниже мы увидим, как доказать факторную теорему.

Задача 1.

a) Используйте факторную теорему, чтобы доказать: ( x + 1) множитель x ⁵ + 1.

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

−1 является корнем из x ⁵ + 1. Для, (−1) ⁵ + 1 = −1 + 1 = 0.
Следовательно, согласно теореме о множителях,
[ x — (- 1)] = ( x + 1) является множителем.

б) Используйте синтетическое деление, чтобы найти другой фактор.

Следовательно, x ⁵ + 1 = ( x + 1) ( x ⁴ — x ³ + x ² — x + 1)

Следуя той же процедуре, мы можем доказать:

( x + a ) — коэффициент x ⁵ + a ⁵,

и полностью в целом:

( x + a ) является множителем x ⁿ + a ⁿ, где n является нечетным.

Основная теорема алгебры

Следующее называется основной теоремой алгебры:

Многочлен степени n имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный.

Это на первый взгляд простое утверждение позволяет сделать вывод:

Многочлен P ( x ) степени n имеет ровно n корней, действительных или комплексных.

Если старший коэффициент P ( x ) равен 1, то теорема о факторах позволяет нам сделать вывод:

P ( x ) = ( x — r _n) ( x — r _{n — 1}). . . ( x — r ₂) ( x — r ₁)

Следовательно, многочлен третьей степени, например, будет иметь три корня.А если все они настоящие, то его график будет выглядеть примерно так:

Ибо три корня — это три интерцепта x .

Примечание: Если представить, что график начинается слева от y — ось, тогда этот график начинается с ниже оси x . Почему? Потому что в любом полиноме главный член в конечном итоге будет доминировать. Если ведущий член положительный, а полином равен нечетным градусам, тогда, когда x является большим отрицательным числом , то есть далеко слева от начала координат, тогда нечетная степень отрицательного числа сам по себе отрицательный.График будет ниже оси x .

Что касается многочлена четвертой степени, то у него будет четыре корня. А если все они настоящие, то его график будет выглядеть примерно так:

Здесь крайний левый график — над осью x . Поскольку, когда полином равен , даже градусов (и старший коэффициент положительный), тогда четная степень отрицательного числа будет положительной .График будет выше оси x .

Пример 1. Запишите многочлен с целыми коэффициентами, имеющий следующие корни: −1, ¾.

Решение . Поскольку -1 — корень, то ( x + 1) — множитель. Что касается корня, то у нас было бы решение

x	=	3 4
, что подразумевает
4 x	=	3

4 x — 3	=	0

Факторы: (4 x — 3) ( x + 1).

Полином равен 4 x ² + x — 3.

Задача 2. Определите многочлен, корни которого равны −1, 1, 2, и нарисуйте его график.

Факторы: ( x + 1) ( x — 1) ( x — 2). При умножении многочлен равен ( x ² — 1) ( x — 2) =

x ³ — 2 x ² — x + 2.

Вот график:

Пересечение y — это постоянный член 2. В каждом полиноме перехват y — постоянный член, потому что постоянный член — это значение y , когда x = 0.

Задача 3. Определите многочлен с целыми коэффициентами, корни которых равны −½, −2, −2, и нарисуйте график.

Факторы: (2 x + 1) ( x + 2) ².При умножении многочлен равен (2 x + 1) ( x ² + 4 x + 4) =

2 x ³ + 9 x ² + 12 x + 4.

Вот график:

−2 — двойной корень. График не пересекает ось x .

Вопрос. Если r является корнем многочлена p ( x ), то после деления p ( x ) на x — r , какой остаток следует ожидать?

0.Поскольку r является корнем, тогда x — r — это фактор из p ( x ).

Задача 4. Является ли x = 2 корнем этого многочлена:

x ⁶ — 3 x ⁵ + 3 x ⁴ — 3 x ³ + 3 x ² −3 x + 2?

Используйте синтетическое деление, чтобы разделить многочлен на x — 2, и посмотрите на остаток.

Остаток равен 0. 2 — корень многочлена.

Урок 12

Пример 2. Найдите три корня из

P ( x ) = x ³-2 x ²-9 x + 18,

с учетом того корень 3.

Решение. Поскольку 3 является корнем из P ( x ), то согласно теореме о множителях x — 3 является множителем. Следовательно, разделив P ( x ) на x — 3, мы можем найти другой квадратичный множитель.

У нас

x ³ — 2 x ² — 9 x + 18	=	( x ² + x — 6) ( x — 3)

	=	( x — 2) ( x + 3) ( x — 3)

Три корня: 2, −3, 3.

Опять же, поскольку x — 3 является фактором P ( x ), остаток равен 0.

Задача 5. Нарисуйте график этого многочлена,

y = x ³ — 2 x ²-5 x + 6,

, учитывая, что один корень равен -2.

Поскольку −2 является корнем, то ( x + 2) является множителем.Чтобы найти другой, квадратичный множитель, разделите многочлен на x + 2. Обратите внимание, что корень −2 помещается в поле:

У нас

x ³ — 2 x ²-5 x + 6	=	( x ² — 4 x + 3) ( x + 2)

	=	( x — 1) ( x — 3) ( x + 2)

Три корня: 1, 3, −2.Вот график:

Стратегия поиска корней

Что же тогда представляет собой стратегия нахождения корней многочлена степени n > 2?

Нам нужно дать или угадать корень r . Затем мы можем разделить многочлен на x — на и, следовательно, получить коэффициент полинома , который будет на один градус меньше. Если мы сможем найти корень этого фактора, мы сможем продолжить процесс, уменьшая степень каждый раз, пока не достигнем квадратичного значения, которое мы всегда сможем решить.

Вот теорема, которая поможет нам угадать корень.

Теорема о целочисленном корне. Если целое число является корнем многочлена, коэффициенты которого являются целыми числами, а старший коэффициент равен ± 1, то это целое число является коэффициентом постоянного члена.

Мы докажем это ниже.

Эта теорема о целочисленном корне является примером более общей теоремы о рациональном корне:

Если рациональное число об / с является корнем многочлена, коэффициенты которого являются целыми числами, то целое число r является множителем постоянного члена, а целое число s является множителем старшего коэффициента.

Пример 3. Каковы возможные целочисленные корни x ³ — 4 x ² + 2 x + 4?

Ответ. Если есть целые корни, они будут множителями постоянного члена 4; а именно: ± 1, ± 2, ± 4.

Итак, 1 — это корень? Чтобы ответить, мы разделим многочлен на x — 1 и надеемся на остаток 0.

1	— 4	+ 2	+ 4	\| 1
	+ 1	— 3	— 1
———————————————— ————————————————— ——
1	— 3	— 1	+ 3

Остаток не равен 0.1 не является корнем. Давайте попробуем −1:

1	— 4	+ 2	+ 4	\| -1
	— 1	+ 5	— 7
———————————————— ————————————————— ——
1	— 5	+ 7	— 3

Остаток снова не равен 0.Попробуем 2:

1	— 4	+ 2	+ 4	\| 2
	+ 2	— 4	— 4
———————————————— ————————————————— ——
1	— 2	— 2	+ 0

Да! 2 — это корень.У нас

x ³ — 4 x ² + 2 x + 4 = ( x ² — 2 x — 2) ( x — 2)

Теперь мы можем найти корни квадратичного, завершив квадрат. Как мы обнаружили в теме 11:

x = 1 ±

Следовательно, три корня:

1+, 1 -, 2.

Проблема 6.

а) Каковы возможные целые корни этого многочлена?

x ³ — 2 x ² — 3 x + 1

± 1. Это единственные факторы постоянного члена.

б) Имеет ли этот многочлен целые корни?

Нет, потому что ни 1, ни -1 не сделают этот многочлен равным 0. Синтетическое деление на оба ± 1 не дает остаток 0.

Задача 7. Разложите этот многочлен на произведение линейных множителей.

x ³ + 2 x ² — 5 x — 6

Мы должны найти корни. Возможные целые корни: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6. Синтетическое деление показывает, что -1 — это корень.

Следовательно,

x ³ + 2 x ²-5 x -6	=	( x + 1) ( x ² + x — 6)

	=	( x + 1) ( x + 3) ( x −2)

Сопряженные пары

Если иррациональное число a + является корнем, то его сопряжение a — также является корнем.(См. «Навыки алгебры», Урок 28.) И если комплексное число a + bi является корнем, то и его сопряженное число a — bi .

Пример 4. Многочлен P ( x ) имеет следующие корни:

−2, 1 +, 5 и .

Какую наименьшую степень может иметь P ( x )?

Ответ .5. Ибо, поскольку 1 + — корень, то и сопряженный с ним 1 -. А поскольку 5 i является корнем, то же самое и сопряженное с ним, −5 i .

P ( x ) имеет как минимум эти 5 корней:

−2, 1 ±, ± 5 и .

Задача 8. Постройте многочлен со следующим корнем:

а) 2 +

Поскольку 2 + является корнем, то 2 — также. Следовательно, согласно теореме о сумме и произведении корней, они являются корнями x ² — 4 x + 1.

Тема 10

б) 2 — 3 и

Поскольку 2 — 3 i — это корень, то 2 + 3 i — тоже. Опять же, согласно теореме суммы и произведения корней, они являются корнями x ² — 4 x + 13.

См. Тему 10, пример 7.

Задача 9. Построить многочлен с корнями 1 и 5 i .

Поскольку 5 i является корнем, то также и его сопряженный элемент, −5 i . Они будут корнями квадратичного множителя многочлена. Сумма этих корней равна 0. Произведение равно 25. Следовательно, квадратичный коэффициент равен ( x ² + 25).

Далее, поскольку 1 — это корень, тогда ( x — 1) является множителем. Следовательно, многочлен

( x — 1) ( x ² + 25) = x ³ — x ² + 25 x — 25.

Задача 10. Пусть f ( x ) = x ⁵ + x ⁴ + x ³ + x ² — 12 x — 12. Один корень равно, а другой — −2 i .

Если f ( x ) имеет целочисленные корни, сколько их может быть?

Один. Это многочлен 5-й степени, имеющий 5 корней. Два и -.И два — 2 i и −2 i .

Задача 11. Может ли многочлен 5-й степени иметь 2 действительных корня и 3 мнимых корня?

Нет это не так. Поскольку мнимые корни всегда попадают в пары, то, если есть какие-то мнимые корни, их всегда будет четное число.

Рассмотрим график многочлена 5-й степени с положительным старшим членом. Когда x — большое отрицательное число, график находится ниже оси x .Когда x — большое положительное число, оно находится выше оси x . Следовательно, график должен хотя бы один раз пересечь ось x . Теперь вы можете нарисовать график так, чтобы он пересекал ось x ровно дважды? Нет, ты не можешь. Многочлен нечетной степени должен иметь нечетное число действительных корней.

Доказательство теоремы о множителях

x — r является множителем полинома P ( x )
тогда и только тогда, когда
r является корнем P ( x ).

Во-первых, если ( x — r ) является множителем P ( x ), тогда P ( r ) будет иметь множитель ( r — r ), который равно 0. Это сделает P ( r ) = 0. Это означает, что r является корнем.

И наоборот, если r является корнем из P ( x ), то P ( r ) = 0. Но согласно теореме об остатках P ( r ) = 0 означает что после деления P ( x ) на x — r , остаток равен 0. x — r , следовательно, это коэффициент P ( x ).

Это то, что мы хотели доказать.

Доказательство теоремы о целочисленном корне

Если целое число является корнем многочлена, коэффициенты которого являются целыми числами, а старший коэффициент равен ± 1, то это целое число является коэффициентом и постоянного члена.

Пусть целое число r будет корнем этого многочлена:

P ( x ) = ± x ⁿ + a _{n −1} x ^{n −1} + a _{n −2} x ^{n −2} +.. . + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀,

, где и — целые числа. Тогда, поскольку r является корнем,

P ( r ) = ± r ⁿ + a _{n −1} r ^{n −1} + a _{n −2} r ^{n −2} +.. . + a ₂ r ² + a ₁ r + a ₀ = 0,

Преобразуйте постоянный член в ₀ и множите на из оставшихся членов:

r (± r ^{n −1} + a _{n −1} r ^{n −2} +. + a ₂ r + a ₁) = — a ₀

Теперь все и являются целыми числами; поэтому выражение в скобках является целым числом, которое для удобства назовем — q:

r (−q) = — a ₀,

или,

rq = а ₀.

Таким образом, постоянный член a ₀ может быть разложен на множители как rq , если r и q являются целыми числами. Таким образом, в этих условиях r является множителем постоянного члена.

Это то, что мы хотели доказать.

Следующая тема: Множественные корни

Содержание | Дом

Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

Как решать полиномиальные уравнения

Резюме: В алгебре вы тратите много времени на решение многочлена уравнения или факторизации многочленов (что одно и то же). Было бы легко потеряться во всех техниках, но эта статья связывает их все вместе в единое целое.

Генеральный план

Убедитесь, что вас не смущает терминология. Все это то же:

Решение полиномиального уравнения p ( x ) = 0
Нахождение корней полиномиального уравнения p ( x ) = 0
Нахождение нулей полиномиальной функции p ( x )
Факторизация полиномиальной функции p ( x )

Есть коэффициент для каждого корня, и наоборот. ( x — r ) является фактором тогда и только тогда, когда r является корнем. Это Теорема о факторах : поиск корней или факторов по сути то же самое. (Основное различие заключается в том, как вы относитесь к постоянный коэффициент.)

точное или приблизительное значение?

Чаще всего, когда мы говорим о решении уравнения или факторизации многочлен, мы имеем в виду точное (или аналитическое) решение . В другой тип, приближенное (или числовое) решение , всегда возможно, а иногда и единственная возможность.

Когда найдешь, точное решение лучше . Вы всегда можете найти численное приближение к точному решению, но пойти другим путем гораздо труднее. Эта страница тратит больше всего своего времени на методы точных решений, но также расскажет, что нужно делать, когда аналитические методы терпят неудачу.

Шаг за шагом

Как найти множители или нули многочлена (или корни полиномиального уравнения)? По сути, вы сточите . Каждый раз вы вычеркиваете множитель или корень из многочлена, у вас остается полином на одну степень проще.Используйте этот новый уменьшенный полином, чтобы найти оставшиеся факторы или корни.

На любом этапе процедуры, если вы попадете в кубическое или четвертое уравнение (степень 3 или 4), у вас есть выбор продолжения факторинга или использования кубические или четвертичные формулы. Этих формул много работы, поэтому большинство людей предпочитают продолжать факторинг.

Следуйте этой процедуре шаг за шагом:

При решении уравнения запишите его в стандартную форму с 0 с одной стороны и упрощают .[ подробности ]
Знайте , сколько корней ожидать. [ подробности ]
Если у вас есть линейное или квадратное уравнение (степень 1 или 2), решите осмотром или по формуле корней квадратного уравнения. [ подробности ]
Затем переходите к шагу 7.
Найдите один рациональный множитель или корень. Это самая сложная часть, но есть много методов, которые могут вам помочь. [ подробности ]
Если вы можете найти фактор или корень, перейдите к шагу 5 ниже; если не можете, переходите к шагу 6.
Разделите на множитель . Это оставляет вас с новым редуцированный многочлен , степень которого на 1 меньше. [ подробности ]
Для остальной части задачи вы будете работать с уменьшенным многочлен, а не оригинал. Продолжите с шага 3.
Если вы не можете найти множитель или корень , обратитесь к численные методы. [ подробности ]
Затем переходите к шагу 7.
Если нужно было решить это уравнение, запишите корни . Если это был многочлен для разложения на множители, запишите его в факторизованной форме , включая любые постоянные факторы, которые вы вывели на шаге 1.

Это пример алгоритма , набор шагов что приведет к желаемому результату за конечное количество операций. Это итеративная стратегия , потому что средние шаги повторять столько, сколько необходимо.

Кубические и четвертые формулы

Приведенные здесь методы находят рациональный корень и использовать синтетическое деление проще всего. Но если вы не можете найти рациональный корень, есть специальные методы для кубические уравнения (степень 3) и уравнения четвертой степени (степень 4), оба в Mathworld.Альтернативный подход предоставляется Дик Никаллс в PDF для кубический и четвертичная уравнения.

Шаг 1. Стандартная форма и упрощение

К сожалению, это легко не заметить. Если у вас есть полиномиальное уравнение , поместите все члены в одну сторону и 0 с другой. И независимо от того, является ли это проблема факторизации или уравнение, которое нужно решить, положите ваш многочлен в стандартной форме, от до наименьшей степени .

Например, вы не можете решить это уравнение в такой форме:

x + 6 x + 12 x = −8

Вы должны изменить его на эту форму:

x + 6 x + 12 x + 8 = 0

Также убедитесь, что вы упростили, исключив любые общие факторы .Это может включать в себя вычитание −1 так что наивысшая степень имеет положительный коэффициент. Пример: коэффициент

7-6 x -15 x — 2 x

начнем с его стандартной формы:

−2 x — 15 x — 6 x + 7

, а затем вычтите −1

— (2 x + 15 x + 6 x — 7) или (−1) (2 x + 15 x + 6 x -7)

Если вы решаете уравнение, вы можете выбросить любых общий постоянный множитель.Но если вы факторизуете многочлен, вы должны сохранить общий множитель .

Пример: решить 8 x + 16 x + 8 = 0, можно разделите левую и правую на общий множитель 8. Уравнение x + 2 x + 1 = 0 имеет те же корни, что и исходное уравнение .

Пример: Фактор 8 x + 16 x + 8, вы узнаете общий множитель 8 и перепишем многочлен в виде 8 ( x + 2 x + 1), что является идентичен исходному многочлену .(Хотя это правда, что вы сосредоточит ваши дальнейшие усилия по факторингу на x + 2 x + 1, это будет ошибкой написать, что исходный многочлен равен x + 2 x + 1.)

Ваш общий фактор может быть дробь, потому что вы должны вычесть любые дроби, чтобы многочлен имеет целых коэффициентов .

Пример: решить (1/3) x + (3/4) x — (1/2) x + 5/6 = 0, вы узнаете общий множитель 1/12 и разделите обе стороны на 1/12.Это в точности то же самое, что и распознавание и умножение на наименьший общий знаменатель из 12. В любом случае вы получите 4 x + 9 x — 6 x + 10 = 0, которое имеет те же корни, что и исходное уравнение .

Пример: Фактор (1/3) x + (3/4) x — (1/2) x + 5/6, вы узнаете общий множитель 1/12 (или наименьший общий знаменатель 12) и вычитаем 1/12. Ты получаешь (1/12) (4 x + 9 x — 6 x + 10), что идентично исходному многочлену .

Шаг 2. Сколько корней?

Многочлен степени n будет иметь n корней, некоторые из которых могут быть множественные корни.

Как узнать, что это правда? В Фундаментальная теорема алгебры говорит вам, что многочлен имеет хотя бы один корень. Теорема о факторах говорит вам, что если r является корнем, тогда ( x — r ) является фактором. Но если разделить многочлен степени n на множитель ( x — r ), степень которого равна 1, вы получите многочлен степени n −1.Неоднократно применяя Фундаментальный Теорема и теорема о множителях дают вам n корней и n факторов.

Правило знаков Декарта

Правило знаков Декарта может сказать вам , сколько положительных и сколько отрицательных действительных нулей многочлен. Это большое трудосберегающее устройство, особенно когда вы решаете, какой возможные рациональные корни, которые нужно искать.

Чтобы применить Правило знаков Декарта, вам необходимо понимать термин изменение знака .Когда многочлен расположен в стандартная форма, вариант Знак возникает, когда знак коэффициента отличается от знака предыдущего коэффициента. (Нулевой коэффициент игнорируется.) Для пример,

p ( x ) = x ⁵ — 2 x ³ + 2 x ² — 3 x + 12

имеет четыре варианта знака.

Правило знаков Декарта:

Число положительных корней из p ( x ) = 0 либо равно количество вариаций знака p ( x ), или меньше, чем на четное номер.
Число отрицательных корней из p ( x ) = 0 либо равно количество вариаций знака p (- x ), или меньше на четное номер.

Пример: рассмотрим p ( x ) выше. Поскольку у него четыре варианта в знаке должно быть либо четыре положительных корня, либо два положительных корня, или нет положительных корней.

Теперь сформируйте p (- x ), заменив x на (- x ) в выше:

p (- x ) = (- x ) ⁵ — 2 (- x ) ³ + 2 (- x ) ² — 3 (- x ) + 12

p (- x ) = — x ⁵ + 2 x ³ + 2 x ² + 3 x + 12

p (- x ) имеет один вариант знака, поэтому оригинал p ( x ) имеет один негатив корень.Поскольку вы знаете, что p ( x ) должен иметь отрицательный корень, но он может или может не иметь положительных корней, сначала ищите отрицательные корнеплоды.

p ( x ) — полином пятой степени, поэтому он должен иметь пять нулей. Поскольку x не является фактором, вы знаете, что x = 0 не является нуль полинома. (Для полинома с действительными коэффициентами, например в этом случае комплексные корни встречаются парами.) Следовательно, есть три возможности:

0 второй возможностью 2

	положительными	отрицательными	комплексными нереальными
	количество нулей , которые являются
первой возможностью	4	1	2
1	2
третий вариант	0	1	4

Сложные корни

Если полином имеет действительных коэффициентов , то либо все корни настоящие или есть четное число невещественных комплексных корней в сопряженных парах .

Например, если 5 + 2i является нулем многочлена с вещественными коэффициентов, то 5−2i также должен быть нулем этого многочлена. Также верно и то, что если ( x −5−2i) является множителем, то ( x −5 + 2i) также является фактором.

Почему это правда? Потому что, когда у вас есть фактор с воображаемым часть и умножьте ее на комплексное сопряжение, вы получите реальную результат:

( x −5−2i) ( x −5 + 2i) = x −10 x + 25−4i = x −10 x +29

Если ( x −5−2i) было фактором, но ( x −5 + 2i) не было, тогда многочлен будет иметь воображение в его коэффициентах, независимо от других факторов возможно.Если многочлен имеет только действительные коэффициентов, то любые комплексные корни должны входить в сопряженные пары.

Иррациональные корни

По аналогичным причинам, если многочлен имеет рациональных коэффициентов то иррациональные корни, содержащие квадрат корни встречаются (если вообще встречаются) в сопряженных парах. Если ( x −2 + √3) является множителем многочлена с рациональными коэффициентов, то ( x −2 − √3) также должны быть фактор. Чтобы понять почему, вспомните, как вы рационализируете бином. знаменатель; или просто проверьте, что происходит, когда вы умножаете эти два факторы.(1/3) и два сложные корни.

Интересная проблема, есть ли иррациональность с четными корнями порядка ≥4 также должны встречаться в сопряженных пары. У меня нет немедленного ответа. Я работаю над пруф, как я успеваю.

Множественные корни

Когда данный множитель ( x — r ) встречается в полиноме m раз, r равен называется кратным корнем или корнем кратностью м .

Если кратность м — четное число, график касается Ось x при x = r , но не пересекает ее.
Если кратность м — нечетное число, график пересекает Ось x при x = r . Если кратность 3, 5, 7 и т. Д., График горизонтально в точке пересечения оси.

Примеры: сравните эти два многочлена и их графики:

f ( x ) = ( x −1) ( x −4) ² = x ³ — 9 x ² + 24 x — 16

г ( x ) = ( x −1) ³ ( x −4) ² = x ⁵ — 11 x ⁴ + 43 x ³ — 73 x ² + 56 x — 16

Эти многочлены имеют одинаковые нули, но корень 1 встречается с разной кратностью.Посмотрите на графики:

Оба полинома имеют нули только в точках 1 и 4. f ( x ) имеет степень 3, что означает три корня. Из факторов видно, что 1 является корнем кратность 1 и 4 является корнем из кратности 2. Следовательно, граф пересекает ось x = 1 (но не горизонтально) и касается x = 4 без пересечения.

Напротив, g ( x ) имеет степень 5. ( g ( x ) = f ( x ) раз ( x −1) ².) Из пяти корней 1 встречается с кратность 3: график пересекает ось при x = 1 и является горизонтальным там; 4 встречается с кратностью 2, и график касается ось x = 4 без пересечения.

Шаг 3. Квадратичные множители

Когда у вас есть квадратичные множители (Ax + Bx + C), он может или не может можно было бы дополнительно проанализировать их.

Иногда вы можете просто увидеть факторы, как в случае с x — x −6 = ( x +2) ( x −3).В других случаях не так очевидно, квадратичный можно разложить на множители. Вот тогда квадратная формула (показан справа) ваш друг.

Например, предположим, что у вас есть коэффициент 12 x — x −35. Можно ли это еще раз проанализировать? Судом и ошибка вам придется перепробовать много комбинаций! Вместо этого используйте факт что факторов соответствуют корням , и примените формулу к найти корни 12 x — x −35 = 0, например:

x = [- (- 1) √1 — 4 (12) (- 35)] / 2 (12)

x = [1 √1681] / 24

√1681 = 41, следовательно,

x = [1 41] / 24

x = 42/24 или -40/24

x = 7/4 или -5/3

Если 7/4 и −5/3 являются корнями, то ( x −7/4) и ( x +5/3) факторы.Следовательно,

12 x — x −35 = (4 x −7) (3 x +5)

А как насчет x −5 x +7? Этот выглядит как лучший, но как ты можешь быть уверен? Снова примените формулу:

x = [- (- 5) √25 — 4 (1) (7)] / 2 (1)

x = [5 √ − 3] / 2

Что с этим делать, зависит от исходной проблемы. Если это должен был разложить на множители реалы, тогда x −5 x +7 является простым.Но если этот фактор был частью уравнения, и вы должны были найти все сложные корни, у вас их два:

x = 5/2 + (√3 / 2) i, x = 5/2 — (√3 / 2) i

Поскольку исходное уравнение имело действительные коэффициенты, эти сложные корни встречаются в сопряженной паре.

Шаг 4. Найдите один фактор или корень

Этот шаг является сердцем факторизации многочлена или решения полиномиальное уравнение. Есть много методов, которые могут вам помочь найти фактор.

Иногда можно найти факторы путем осмотра (см. Первые два следующие разделы). Это отличный способ быстрого доступа, поэтому проверьте легкие факторы, прежде чем начинать более напряженные методы.

Мономиальные множители

Всегда начинайте с поиска любых мономиальных множителей, которые вы видите. Например, если ваша функция

f ( x ) = 4 x ⁶ + 12 x ⁵ + 12 x ⁴ + 4 x ³

, вы должны немедленно разложить его на

f ( x ) = 4 x ³ ( x ³ + 3 x ² + 3 x + 1)

Получение числа 4 упрощает оставшиеся числа, x ³ дает вам корень x = 0 (с кратностью 3), и теперь у вас есть только кубический многочлен (степени 3) вместо sextic (степень 6).Фактически, теперь вы должны распознать эту кубику как особый продукт, идеальный куб ( x +1) ³.

Когда вы вычитаете множитель общей переменной, убедитесь, что вы помните об этом в конце, когда перечисляете фактор или корни. x +3 x +3 x +1 = 0 имеет определенные корни, но x ( x +3 x +3 x +1) = 0 имеет те же корни и также корень с размером x = 0 (с кратностью 3).

Особые продукты

Будьте внимательны к применению специальных продуктов .Если вы сможете применить их, ваша задача станет намного проще. Специальный Продукты:

идеальный квадрат (2 формы): A 2 A B + B = ( A B )
сумма квадратов: A + B не может быть разложена на множители в целом (для исключительных случаев см. Как разложить сумму квадратов на множители)
разность квадратов: A — B = ( A + B ) ( A — B )
идеальный куб (2 формы): A 3 A B + 3 A B B = ( A B )
сумма кубов: A + B = ( A + B ) ( A — A B + B )
разность кубов: A — B = ( A — B ) ( A + A B + B )

Выражения для суммы или разности двух кубов выглядят так: хотя они должны учитывать дополнительные факторы, но они этого не делают. A A B + B является простым над реалами.

Рассмотрим

p ( x ) = 27 x — 64

Вы должны узнать это как

p ( x ) = (3 x ) — 4

Вы умеете множить разницу двух кубов:

p ( x ) = (3 x −4) (9 x +12 x +16)

Бинго! Как только вы дойдете до квадратичной, вы можете применить Квадратичная формула, и все готово.

Вот другой пример:

q ( x ) = x ⁶ + 16 x ³ + 64

Это просто идеальный квадратный трехчлен, но вместо этого в x ³ размером x . Вы учитываете это точно так же:

q ( x ) = ( x ³) ² + 2 (8) ( x ³) + 8 ²

q ( x ) = ( x ³ + 8) ²

И вы можете легко разложить на множители ( x ³ +8) ² как ( x +2) ² ( x ² −2 x +4) ².

Рациональные корни

Предполагая, что вы уже учли простые мономиальные факторы и специальные продукты, что вы будете делать, если у вас все еще есть многочлен степени 3 или выше?

Ответ — Rational Root Test . Он может показать вам некоторые корни кандидатов когда вы не видите, как разложить полином на множители, как показано ниже.

Рассмотрим многочлен стандартной формы, записанный с высшей степени до самого низкого и всего с целочисленными коэффициентами :

f ( x ) = a _n x ⁿ +… + a _o

Теорема рационального корня говорит вам, что , если многочлен имеет рациональный нуль , затем , это должна быть дробь p / q , где p — коэффициент задней константы a _o и q — множитель ведущего коэффициента a _n.

Пример:

p ( x ) = 2 x ⁴ — 11 x ³ — 6 x ² + 64 x + 32

Коэффициенты старшего коэффициента (2) равны 2 и 1.В коэффициенты постоянного члена (32) равны 1, 2, 4, 8, 16 и 32. Следовательно, возможные рациональные нули: 1, 2, 4, 8, 16 или 32 разделить на 2 или 1:

любой из 1/2, 1/1, 2/2, 2/1, 4/2, 4/1, 8/2, 8/1, 16/2, 16/1, 32/2, 32/1

уменьшено: любое из, 1, 2, 4, 8, 16, 32

Что мы имеем в виду, когда говорим, что это список всех возможных рациональных корней ? Мы имеем в виду, что никакое другое рациональное число, как или 32/7, может быть нулем этого конкретного многочлена.

Внимание : Не делайте Rational Root Test больше, чем есть.Это не означает, что рациональные числа являются корнями , просто что никакие другие рациональные числа не могут быть корнями. И это не говорит вы что-нибудь о том, есть ли какие-то иррациональные или даже сложные корни существовать. Rational Root Test — это только отправная точка.

Предположим, у вас есть многочлен с нецелыми коэффициентами. Вы застряли? Нет, вы можете исключить наименее распространенные знаменатель (LCD) и получите многочлен с целыми коэффициентами, которые способ. Пример:

(1/2) x — (3/2) x + (2/3) x — 1/2

ЖК-дисплей 1/6.Вынося за скобки 1/6 получаем многочлен

(1/6) (3 x — 9 x + 4 x — 3)

Эти две формы эквивалентны, и поэтому имеют одинаковые корнеплоды. Но вы не можете применить Rational Root Test к первой форме, только ко второму. Тест говорит вам, что единственно возможное рациональное корни — любые из 1/3, 1, 3.

После того, как вы определили возможных рациональных нулей, как вы можете их проверить? Метод грубой силы заключался бы в том, чтобы взять каждый возможное значение и замените его на x в полиноме: если результат равен нулю, тогда это число является корнем.Но есть лучше способ.

Используйте Synthetic Division, чтобы узнать, кандидат делает полином равным нулю. Это лучше на троих причины. Во-первых, это проще в вычислительном отношении, потому что вам не нужно вычислить высшие степени чисел. Во-вторых, в то же время он сообщает независимо от того, является ли данное число корнем, он производит сокращенный многочлен , который вы будете использовать, чтобы найти оставшийся корнеплоды. Наконец, результаты синтетического деления могут дать вам верхняя или нижняя граница, даже если число тестирование оказывается не рутом.

Иногда правило знаков Декарта может поможет вам в дальнейшем выявить возможные рациональные корни. Например, Rational Root Test сообщает, что если

q ( x ) = 2 x ⁴ + 13 x ³ + 20 x ² + 28 x + 8

имеет какие-либо рациональные корни, они должны происходить из списка любой из, 1, 2, 4, 8. Но не начинайте с замены или синтетическое разделение. Поскольку нет изменений знака, нет положительные корни.Есть ли отрицательные корни?

q (- x ) = 2 x ⁴-13 x ³ + 20 x ²-28 x + 8

имеет четыре смены знака. Следовательно, может быть целых четыре отрицательные корни. (Также может быть два отрицательных корня или ни одного.) Нет гарантии, что какой-либо из корней является рациональным, но любой корень рациональное должно происходить из списка -, −1, −2, −4, −8.

(Если у вас графического калькулятора, вы можете предварительно просмотреть рациональные корни, построив график полином и увидеть, где он, кажется, пересекает ось x .Но ты по-прежнему необходимо проверить корень алгебраически, чтобы увидеть, что f ( x ) равно ровно 0, а не почти 0.)

Помните, что Rational Root Test гарантирует нахождение всех рациональных корней. Но он полностью упустит настоящие корни, которых нет. рациональные, как корни x −2 = 0, которые √2, или корни x + 4 = 0, которые 2i.

Наконец, помните, что Rational Root Test работает, только если все коэффициенты — целые числа.Посмотрите еще раз на эту функцию, которая на графике справа:

p ( x ) = 2 x ⁴ — 11 x ³ — 6 x ² + 64 x + 32

Теорема о рациональном корне говорит вам, что единственно возможный рациональный нули — это 1, 2, 4, 8, 16, 32. Но предположим, что вы вычтите 2 (как я когда-то сделал в классе), написав эквивалент функция

p ( x ) = 2 ( x ⁴ — (11/2) x ³-3 x ² + 32 x + 16)

Эта функция аналогична предыдущей, но вы не можете дольше применять Rational Root Test, потому что коэффициенты не целые числа.По сути — это ноль p ( x ), но это не так. появляются, когда я (незаконно) применил Rational Root Test к вторая форма. Моя ошибка заключалась в том, что я забыл, что применима теорема о рациональном корне. только когда все коэффициентов многочлена равны целые числа.

Графические подсказки

Построение графика функции вручную или с помощью графика Вы можете понять, где находятся корни, примерно, и сколько существует настоящих корней.

Пример: Если Rational Root Test говорит вам, что 2 возможных рациональных корня, вы можете посмотреть на график, чтобы увидеть, пересекает ли он (или касается) оси x в точках 2 или −2.Если да, используйте синтетическое деление, чтобы убедитесь, что предполагаемый корень на самом деле является корнем. Да ты всегда нужно проверить по графику, вы никогда не можете быть уверены является ли точка пересечения на ваш возможный рациональный корень или просто около это.

Границы корней

Некоторые методы не сообщают вам конкретное значение корня, но скорее, что корень существует между двумя значениями или что все корни меньше определенного числа больше определенного числа. Этот помогает сузить область поиска.

Теорема о промежуточном значении

Эта теорема говорит вам, что если график многочлена находится выше ось x для одного значения x и ниже оси x для другое значение x , оно должно пересекать ось x где-то посередине. (Если вы можете построить график функции, пересечения обычно будет очевидным.)

Пример:

p ( x ) = 3 x + 4 x — 20 x −32

Рациональные корни (если есть) должны быть из списка любой из 1/3, 2/3, 1, 4/3, 2, 8/3, 4, 16/3, 8, 32/3, 16, 32.Естественно, сначала вы посмотрите на целые числа, потому что арифметика Полегче. Пробуя синтетическое деление, вы найти p (1) = −45, p (2) = −22 и p (4) = 144. Поскольку p (2) и p (4) имеют противоположные знаки, вы знайте, что график пересекает ось между x = 2 и x = 4, поэтому хотя бы один корень между этими числами. Другими словами, либо 8/3 — это корень или корень от 2 до 4 иррациональны. (По факту, синтетическое деление показывает, что 8/3 — это корень.)

Теорема о промежуточном значении может сказать вам, где находится root, но он не может сказать вам, где нет root. Например, считать

q ( x ) = 4 x — 16 x + 15

q (1) и q (3) оба положительны, но это вам не говорит может ли график касаться или пересекать ось между ними. (Это на самом деле дважды пересекает ось, при x = 3/2 и x = 5/2.)

Верхняя и нижняя границы

Одним из побочных эффектов синтетического деления является что даже если число, которое вы тестируете, окажется не корневым, оно может сказать вам, что все корни меньше или больше этого номер:

Если вы сделаете синтетическое деление на положительное число a , и каждое число в нижней строке положительное или нулевое, тогда a — это верхняя граница для корней, что означает, что все действительные корни ≤ a .
Если вы делаете синтетическое деление на отрицательное число b , а числа в нижнем ряду чередуются знак, тогда b — это нижняя граница для корней, что означает, что все действительные корни ≥ b .
Что делать, если нижняя строка содержит нули? Более полный Утверждение состоит в том, что чередующихся неотрицательных и неположительных знаков , после синтетического деления на отрицательное число показать нижнюю границу корень. Следующие два примера поясняют это.

(Кстати, правило для нижних оценок следует из правила для верхних оценок. Нижние пределы корней p ( x ) равны верхним пределам корни p (- x ), и деление на (- x + r ) аналогично деление на — ( x — r ).)

Пример:

q ( x ) = x ³ + 2 x ² — 3 x — 4

Использование Rational Root Тест, вы определяете единственно возможные рациональные корни как 4, 2 и 1.Вы решаете попробовать −2 как возможный корень, и вы тестируете его с синтетическим делением:

        -2 | 1 2 -3-4
            | -2 0 6
            | ------------------
               1 0–3 2

−2 не является корнем уравнения f ( x ) = 0. В третьей строке чередуются знаки, и вы делили на отрицательное число; однако этот ноль все портит. Напомним, что у вас есть нижняя граница, только если знаки в нижнем ряду чередовать неположительный и неотрицательный.1 положительный (неотрицательный), и 0 может считаться неположительным, но −3 не считается неотрицательным. Чередование битая, а ты не знаешь есть ли корни меньше -2. (Фактически, графический или численные методы покажут корень около -2,5.) Следовательно, вам нужно попробовать наименьший возможный рациональный корень, −4:

        -4 | 1 2 -3-4
            | -4 8-20
            | ------------------
               1–2 5–24

Здесь знаки чередуются; поэтому вы знаете, что нет корни ниже −4.(Остаток −24 показывает, что −4 сам по себе не является корнем.)

Вот другой пример:

r ( x ) = x + 3 x — 3

Rational Root Test сообщает вам что возможные рациональные корни — 1 и 3. С синтетическим деление на −3:

        -3 | 1 3 0-3
            | -3 0 0
            | ------------------
               1 0 0-3

−3 не является корнем, но знаки здесь чередуются, так как первый 0 считается неположительным, а второй — неотрицательным.Следовательно, −3 — это нижняя граница корней, а это означает, что уравнение не имеет вещественных корней ниже −3.

Коэффициенты и корни

Существует интересная взаимосвязь между коэффициентами многочлен и его нули. Я упоминаю об этом в последнюю очередь, потому что это больше подходит для формирования многочлена, который имеет нули с желаемыми свойствами, вместо нахождения нулей существующего многочлена. Однако если вы знать все корни многочлена, кроме одного или двух, вы можете легко использовать это техника, чтобы найти оставшийся корень.

Рассмотрим многочлен

f ( x ) = a _n x ⁿ + a _{n −1} x ^{n −1} + a _{n −2} x ^{n −2} + … + a ₂ x ² + a ₁ x + а _или

Существуют следующие отношения:

— a _{n −1} a _n = сумма всех корней
+ a _{n − 2} a _n = сумма произведений корней взято по два за раз
— a _{n −3} a _n = сумма произведений корней взято по три за раз
и так далее, пока
(-1) ⁿ a ₀ a _n = произведение всех корней

Пример: f ( x ) = x ³ — 6 x ² — 7 x — 8 имеет степень 3 и, следовательно, не более трех реальных нулей.Если записываем действительные нули как r ₁, r ₂, r ₃, то сумма корней равна r ₁ + r ₂ + r ₃ = — (- 6) = 6; в сумма произведений корней, взятых по два за раз, равна r ₁ r ₂ + r ₁ r ₃ + r ₂ r ₃ = −7, а произведение корней равно r ₁ r ₂ r ₃ = (-1) ³ (-8) = 8.

Пример: Учитывая, что многочлен

г ( x ) = x ⁵-11 x ⁴ + 43 x ³-73 x ² + 56 x — 16

имеет тройной корень x = 1, найдите два других корня.

Решение: Пусть два других корня будут c и d . Тогда вы знаете, что сумма всех корней равна 1 + 1 + 1 + c + d = — (- 11) = 11, или c + d = 8.Ты также знайте, что продукт всех корней 111 c d = (−1) ⁵ (−16) = 16, или c d = 16. c + d = 8, c d = 16; поэтому c = d = 4, поэтому оставшиеся корни представляют собой двойной корень с размером x = 4.

Дополнительные коэффициенты и корни

Есть еще несколько теорем о соотношении между коэффициентами и корнями. Статья в Википедии Свойства корней полиномов дает хорошее, хотя и несколько краткое резюме.

Шаг 5. Разделите на множитель

Помните, что r является корнем тогда и только тогда, когда x — r является фактором; это факторная теорема. Так что если ты хочешь чтобы проверить, является ли r корнем, вы можете разделить многочлен на x — r и посмотрите, выходит ли ровным (остаток от 0). Элизабет Стапель имеет хороший пример деления многочленов делением в столбик.

Но делать синтетическое деление проще и быстрее.Если твой синтетическое деление немного заржавело, вы можете взглянуть на Dr. Математика короткая Учебник по синтетическому дивизиону; если вам нужен более длинный учебник, Элизабет Стейплс Синтетический дивизион отличный. (У доктора Мата также есть страница о почему работает Synthetic Division.)

Синтетическое подразделение также имеет некоторые побочные преимущества. Если вы подозреваете корень на самом деле является корнем, синтетическое деление дает вам приведенный многочлен . А иногда и тебе везет, и синтетическое деление показывает вам верхнюю или нижнюю связаны на корнях.

Вы можете использовать синтетическое деление при делении на бином вида x — r для постоянной r . Если вы делите на x −3, вы проверяете, является ли 3 корнем, и вы синтетическое деление на 3 (не на −3). Если вы делите на x +11, вы тестируете является ли −11 корнем, и вы синтетически делите на −11 (не 11).

Пример:

p ( x ) = 4 x ⁴ — 35 x ² — 9

Вы подозреваете, что x −3 может быть фактором, и проверяете это с помощью синтетическое деление, например:

        3 | 4 0-35 0-9
           | 12 36 3 9
           | --------------------
              4 12 1 3 0

Поскольку остаток равен 0, вы знаете, что 3 является корнем p ( x ) = 0, а x −3 является множителем p ( x ).Но ты знаешь более. Поскольку 3 положительно и нижняя строка синтетического деления все положительные или нулевые, вы знаете, что все корни p ( x ) = 0 должно быть ≤ 3. И вы также знаете что

p ( x ) = ( x −3) (4 x ³ + 12 x ² + x + 3)

4 x ³ + 12 x ² + x + 3 — это приведенный полином .Все его факторы также коэффициентов исходного p ( x ), но его степень на единицу ниже , поэтому его с ним легче работать.

Шаг 6. Численные методы

Когда у вашего уравнения больше нет рациональных корней (или многочлен не имеет более рациональных множителей) можно перейти к числовым методы нахождения приблизительного значения иррациональных корней:

Статья в Википедии Алгоритм поиска корней имеет достойное резюме с указателями на конкретные методы.
Многие графические калькуляторы имеют Команда Root или Zero, которая поможет вам найти приблизительные корни. Например, на ТИ-83 или ТИ-84 вы график функцию, а затем выберите [2nd] [Calc] [zero].

Полный пример

Решить для всех сложных корней:

4 x + 15 x — 36 = 0

Шаг 1. Уравнение уже в стандартной форме, с только ноль с одной стороны и степень x от наибольшего до наименьшего.Там нет общих факторов.

Шаг 2. Поскольку уравнение имеет степень 3, будет 3 корнеплоды. Есть одна вариация знака, а от Правило знаков Декарта, которое, как вы знаете, должно быть одним положительным корнем. Изучите многочлен с заменой — x x :

−4 x — 15 x — 36

Знаков нет, значит, нет отрицательные корни. Следовательно, два других корня должны быть сложными, и конъюгаты друг друга.

Шаги 3 и 4. Возможные рациональные корни к сожалению, довольно много: любые из 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 делится на любое из 4, 2, 1. (перечислены только положительные корни, потому что вы уже определили, что для этого нет отрицательных корней уравнение.) Вы решаете сначала попробовать 1:

        1 | 4 0 15 -36
           | 4 4 19
           | -----------------
              4 4 19-17

1 не является корнем, поэтому вы проверяете 2:

        2 | 4 0 15 -36
           | 8 16 62
           | -----------------
              4 8 31 26

Увы, 2 тоже не рут.Но обратите внимание, что f (1) = −17 и f (2) = 26. У них противоположные знаков, что означает, что график пересекает ось x между x = 1 и x = 2, а корень находится между 1 и 2. (В данном случае это единственный root, поскольку вы определили, что существует один положительный корень и отрицательных корней нет.)

Единственный возможный рациональный корень между 1 и 2 — 3/2, и поэтому либо 3/2 является корнем, либо корень иррационален. Вы пытаетесь 3/2 по синтетическому разделению:

        3/2 | 4 0 15 -36
             | 6 9 36
             | -----------------
                4 6 24 0

Ура! 3/2 — это корень.Приведенный полином равен 4 x + 6 x + 24. Другими словами,

(4 x + 15 x — 36) ( х −3/2) = 4 x + 6 x + 24

Приведенный многочлен имеет степень 2, так что нет необходимости в большем методом проб и ошибок, и вы переходите к шагу 5.

Шаг 5. Теперь вы должны решить

4 x + 6 x + 24 = 0

Сначала разделите общий множитель 2:

2 x + 3 x + 12 = 0

Нет смысла пытаться множить этот квадратичный коэффициент, потому что вы определили, используя Правило знаков Декарта, что больше нет настоящие корни.Итак, вы используете квадратичный формула:

x = [−3 √9 — 4 (2) (12)] / 2 (2)

x = [−3 √ − 87] / 4

x = −3/4 (√87 / 4) i

Шаг 6. Помните, что вы нашли корень в более ранний шаг! Полный список корней —

3/2, −3/4 + (√87 / 4) я, −3/4 — (√87 / 4) я

Что нового

19 октября 2020 г. : преобразовано в HTML5. Переменные, выделенные курсивом и имена функций; выделил мнимое i.
3 ноября 2018 г. : Некоторые изменения форматирования для ясности, особенно с радикалами. Здесь отметили, что 0 является тройным корнем в этом примере.
(промежуточные изменения подавлены)
15 февраля 2002 г. : первая публикация.

Количество корней для многочленов

Количество корней для многочленов — Mathematics Stack Exchange

Сеть обмена стеками

Сеть Stack Exchange состоит из 178 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange

0
+0
Авторизоваться Зарегистрироваться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил 4 года, 9 месяцев назад

Просмотрено 1к раз

$ \ begingroup $

Может ли многочлен 5-й степени иметь только одно решение? Например: $$ x ^ 5 — 3x ^ 4 + 17x ^ 3 — 12x ^ 2 — 11x — 5 = 0 $$

Я имею в виду, что для каждого полинома седьмой степени необязательно иметь семь решений.Их может быть только один или три. То же самое и для полинома шестого класса, решений может быть только два.

Если это правда, то как я могу решить, имеет ли многочлен пятой степени только одно решение или три, а не пять решений?

Edu

1,79211 золотой знак88 серебряных знаков2323 бронзовых знака

Создан 13 окт.

Ахмед АмирАхмед Амир

9119 серебряных знаков1515 бронзовых знаков

$ \ endgroup $ 15 $ \ begingroup $

Основная теорема алгебры

Каждый ненулевой многочлен от одной переменной степени $ n $ с комплексными коэффициентами имеет, если считать с кратностью, ровно $ n $ комплексных корней.

Создан 13 окт.

EduEdu

1,79211 золотой знак88 серебряных знаков2323 бронзовых знака

$ \ endgroup $ 3 $ \ begingroup $

Многочлен 5-й степени (с действительными коэффициентами) имеет как минимум 1 действительный корень.2-2x + 1 $ имеет один корень кратности 2.

Это помогает?

Создан 13 окт.

Дуг МДуг М

4,68211 золотых знаков88 серебряных знаков1212 бронзовых знаков

$ \ endgroup $ $ \ begingroup $

Вот простой алгоритм для генерации множества многочленов со степенью $ 5 $ и одним действительным корнем:

Возьмем многочлен второй степени $ p (x) $
Рассмотрим многочлен четвертой степени $ q (x) = p (x) ^ 2 $
Возьмите несколько $ C \ in \ mathbb {R}, D \ in \ mathbb {R} ^ + $ и определите $ Q (x) $ как $ C + D \ int_ {0} ^ {x} q (t) \, dt.3 + 45x $$ единственный действительный корень которого лежит в точке $ x = 0 $.

Основной алгоритм подсчета количества действительных нулей полинома дается теоремой Штурма, но, тем не менее, вычисление дискриминанта дает вам некоторую информацию.
Создан 13 окт.
Джек Д’АурициоJack D’Aurizio
331 11 золотой знак 341341 серебряный знак771771 бронзовый знак
$ \ endgroup $ 2 Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript
Ваша конфиденциальность

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в отношении файлов cookie.

Принимать все файлы cookie Настроить параметры

предварительное вычисление алгебры — Есть ли общая формула для решения уравнений 4-й степени (квартики)?

Конечно, есть, но это некрасиво, сложно и не стоит запоминать.Люди знают об этом и цитировали или цитировали это для вас, но на самом деле они никогда бы не использовали это. Если вам нужно что-то действительно полезное для решений с ручкой и бумагой, вы можете понять фактическую теорию, лежащую в основе решения. Ниже я приведу один метод.

Формула Quartic — это лишь конечный результат этой методологии, записанный в терминах исходных коэффициентов. Из-за этого метод намного легче запомнить, чем формулу, поэтому меня раздражает, когда люди цитируют только формулу и говорят вам: «Не беспокойтесь, используйте вместо этого компьютер.«Решение с ручкой на бумаге не сложно, это просто требует времени.

Понимание того, как это делается, даже если вы никогда не используете его, расширяет ваш мозг и ваше понимание, позволяет реализовать его в программировании и позволяет вам воссоздавать его всякий раз, когда он вам может понадобиться, вместо чрезмерной зависимости от компьютеров, которые всегда будут рядом. ты, что, на мой взгляд, плохой математик.

Есть три метода решения квартиков, которые я знаю и знаю:
- Квадратичная факторизация Декарта
- Метод Эйлера
- Метод Феррари
Если кто-нибудь знает больше, дайте мне знать.

Метод Феррари — исторически первый метод, открытый. Метод Эйлера очень похож на метод Кардано для кубических фигур и, вероятно, был смоделирован на основе того же подхода. Но я неравнодушен к технике квадратичной факторизации Декарта. Это относительно простой процесс, который я буду использовать ниже. Если вы хотите увидеть, как работают другие, дайте мне знать.

Все вышеперечисленные методы начинаются одинаково: депрессия (удаление члена степени $ n-1 $, в данном случае кубического члена) и нормализация (получение коэффициента опережения 1, т.е.2 + qz + r = 0 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (1) $$

Для некоторых $ p, q, r \ in \ mathbb {R} $. Это не влияет на корневые позиции; все, что сделал коэффициент опережения, — увеличил ненулевые значения. Абсолютно без потери общности по нулям. Все эти константы, $ p, q, r $, могут быть вычислены из исходных коэффициентов, $ a, b, c, d, e $. Кубического члена по-прежнему нет, и теперь нет и коэффициента опережения.

Интересно отметить, что случилось с многочленом.Мы начали с 5 произвольных констант и сократили их до 3, нормализовав шаг и убрав кубический член. Изначально у нас были произвольные значения $ a, b, c, d, e \ in \ mathbb {R} $, а теперь у нас есть произвольные значения $ p, q, r \ in \ mathbb {R} $. Хотя последние три вычисляются из исходных пяти, они имеют произвольные значения и нет потери общности. Это значительное упрощение проблемы. Отсутствие кубического члена окажется жизненно важным.

До сих пор все было просто настройкой: запись полинома в сокращенной монической форме.Напомним, что все методы четвертой степени достигают по крайней мере этого. Далее мы реализуем метод факторизации Декарта.

Метод факторизации Декарта

Мы должны предполагать, что все коэффициенты действительны, $ p, q, r \ in \ mathbb {R} $. Это необходимое условие для того, чтобы методология работала. Причина в том, что теперь все решения с ненулевыми мнимыми компонентами входят в комплексно сопряженные пары. Подумаешь? Это позволяет нам сгруппировать два решения вместе, даже если они являются чисто действительными, в квадратичные множители с действительными коэффициентами.2 — \ frac {q} {m} $$ Обратите внимание на то, что в левой части оба этих уравнения могут быть легко решены для $ n $ и $ \ frac {r} {n} $ в терминах $ m $, оба из которых входят в квадратичные множители (3). 2 } $$

Таким образом, мы, по сути, сократились до $ m $ в качестве последнего неизвестного.2 = 0 $$

И, по сути, мы закончили. Остается кубический многочлен от $ w $, который разрешим с помощью собственной техники. Приемы, о которых, как я полагаю, вы уже знаете, если пытаетесь решить квартики. Как и в случае с квартиками, как вы уже знаете, существуют кубические формулы, но я рекомендую изучить методы, лежащие в их основе.

Если вам нужна помощь с кубиками, я рекомендую метод Кардано (исходное решение) или тригонометрическое решение Виета (я предпочитаю).Также есть Completing the Cube, хорошее доказательство концепции, но я бы никогда его не использовал. Смело задавайте по кубику отдельный вопрос и я с радостью отвечу.

Дело в том, что задача свелась с поиска корней квартики к задаче поиска корней кубики. Проблема попроще! Обычно так бывает. Все методы нахождения корня четвертой степени требуют сначала нахождения корней кубической, очевидной или нет. Так же, как поиск корней кубики требует решения квадратичной.2 — mz + \ frac {r} {n}) = 0 $.

Еще не сделано. Теперь каждый из этих квадратичных множителей должен быть решен с помощью формулы квадратичного уравнения, и у вас есть решения в $ z $. Это решает депрессивную моническую квартику, с которой мы начали метод квадратичной факторизации Декарта.

Наконец

Не забывайте об исходной квартике, которая была у нас в самом начале, до депрессии и нормализации. Мы ввели горизонтальный сдвиг на $ x = z- \ frac {b} {4a} $. Выполнение этого последнего бита решит исходную квартику в терминах $ x $, что и является решением, которое вы хотите.

Когда все будет готово, вы придете к набору решений. Обязательно проверьте свои ответы. У вас могут быть избыточные или лишние решения. Некоторые избыточные решения могут быть записаны очень разными алгебраическими способами, но будут представлять одно и то же числовое значение.

Если вы выразите окончательный ответ $ x $ в терминах исходных $ a, b, c, d, e $, у вас будут точно такие же «формулы четвертой степени», которые вас цитируют другие люди. n $.В $ P $ есть гиперповерхность $ \ Delta $, вырезанная уравнением дискриминанта. Когда вы пересекаете $ \ Delta $, количество реальных корней увеличивается или уменьшается на $ 2 $. Кроме того, каждый раз, когда вы пересекаете $ \ Delta $, дискриминант меняет знаки.

Если $ n $ равно $ 2 $ или $ 3 $, тогда $ P \ setminus \ Delta $ имеет только две связанные компоненты. На одном из этих компонентов все корни реальные, а на двух других — мнимые. Таким образом, вы можете определить, в каком компоненте находитесь, просто взглянув на знак дискриминанта.Если $ n $ составляет $ 4 $ или больше, к $ P \ setminus \ Delta $ добавляется более двух связанных компонентов. Таким образом, знак дискриминанта не может сказать вам, в каком компоненте вы находитесь. Я не знаю формулы для количества связанных компонентов $ P \ setminus \ Delta $, но ее можно извлечь из описания топологии of $ (P, \ Delta) $ по Гельфанду, Капранову и Зелевинскому, Дискриминанты, результаты и многомерные детерминанты .

Один из способов истолковать ваш вопрос —

Существует ли многочлен $ F $ на $ P $, который положителен на многочленах с $ n $ действительными корнями и отрицателен в противном случае?

Ответ — «нет».Многообразие $ \ Delta $ неприводимо (по униформизации Горна). По стандартной лемме любое непустое открытое подмножество вещественных точек $ \ Delta $ плотно по Зарисскому в $ \ Delta $. Итак, если $ F $ обращается в нуль на части $ \ Delta $, которая образует границу {Многочленов со всеми действительными корнями}, то $ F $ также обращается в нуль на всем $ \ Delta $. Поработав немного усерднее, мы можем показать, что если $ F $ обращается в нуль в нечетном порядке на границе {Многочлены со всеми действительными корнями}, то он также обращается в нуль в нечетном порядке на других связных компонентах $ \ Delta (\ mathbb {R }) $.

С другой стороны, есть много хороших способов определить количество действительных корней с помощью полиномиальных вычислений, таких как метод Штурма.

Полиномиальные функции высшей степени
3.2 — Полиномиальные функции высшей степени
Графики многочленов

Полиномы всюду непрерывны и гладкие.
- Непрерывная функция означает, что его можно нарисовать без подбора. карандаш . На графике нет ни скачков, ни дыр. полиномиальная функция.
- Плавная кривая означает, что нет крутых поворотов (например, абсолютное значение) на графике функции.
- Y-пересечение полинома равно константа член а ₀.
Тест опережающего коэффициента (поведение правой руки)
- Если старший коэффициент, a _n, полинома положительный , тогда правая часть графика будет подниматься в сторону + бесконечность.
- Если старший коэффициент полинома _n равен отрицательным , то правая часть графика будет упасть в сторону — бесконечность.
Степень полинома (поведение левой руки)
- Если степень полинома n равна , даже , левая Правая сторона будет делать то же самое, что и , что и правая сторона.
- Если степень многочлена n равна нечетным , левая сторона сторона будет делать напротив правой стороны.
Привыкайте к понятию «четное-одно и нечетное». Мы будем часто это видеть («лот» — это математический термин, означающий, что он вам надоест, но что это, вероятно, что-то действительно важное.)

Нули полиномиальной функции
- Многочлен n-й степени от одной переменной имеет не более n действительных нулей . Ровно n действительных или комплексных нулей (см. Фундаментальную теорему Алгебра в следующем разделе).
- Многочлен n-й степени от одной переменной имеет не более относительных экстремумов (относительных максимумов или относительных минимумов).Поскольку родственник экстремум — это поворот на графике, вы также можете сказать, что существует не более n-1 повороты в графике.
Реальные нули

Если f — полиномиальная функция от одной переменной, то следующие утверждения эквивалентны
- x = a — это ноль или корень функции f.
- x = a — это решение уравнения f (x) = 0.
- (x-a) — коэффициент функции f.
- (a, 0) — это отрезок x графика f.
Утверждается, что существует не более n действительных нулей. Нет претензий что все они уникальны (разные). Некоторые корни могут повторяться. Эти называются повторяющимися корнями . Повторяющиеся корни связаны с концепцией называется множественностью. кратность корня — это число раз корень — это ответ. Самый простой способ определить кратность корня — это посмотреть на показатель соответствующего множителя. 4
Корни функции будут x = 3 с кратностью 2, x = -5 и x = -2. с кратностью 4.Предполагается, и поэтому нет необходимости писать, что кратность из 1.

И самое прекрасное …

Кратность корня, а также показатель степени множителя могут быть используется для определения поведения графика в этом нуле.
- Если кратность равна нечетным , график будет пересечь ось абсцисс в этом нуле. То есть будет переходить на другую сторону или быть на противоположных сторонах. оси абсцисс.
- Если кратность даже , график коснется ось абсцисс в этом нуле.То есть он останется на той же стороне оси.
Погодите — кажется, я уже упоминал об этом раньше. Я чувствую себя Твити-Птицей когда я думаю, я размораживаю татку. Я сделал, я сделал. Странные изменения, даже остается прежним. Я называю это OCES. Привыкайте — это будет повторяющаяся тема.

Странные изменения, даже такие же

Вот несколько мест, где вы будете использовать концепцию нечетных изменений, четных пребываний. он же
1. Левостороннее поведение полиномиальной функции.
  1. Если степень многочлена Нечет , левая Изменяет с правая
  2. Если степень полинома равна Даже , левая рука делает То же , что и правая
2. Поведение полиномиальной функции в точках пересечения с осью x
  1. Если кратность равна Нечет , график будет Изменится сторон и пересечь ось
  2. Если кратность равна Четное , график останется на той же стороне и просто коснитесь оси
3. Определение решения неравенств (это ключ к поиску ответов очень быстро)
  1. Если кратность равна Нечет , знак будет Изменение в критическое число
  2. Если кратность Четное , знак останется То же в критическое число
4. Поведение рациональных функций (далее в этой главе) x-точек пересечения
  1. Если кратность равна Нечет , график будет Изменится сторон и пересечь ось
  2. Если кратность равна Четное , график останется на той же стороне и просто коснитесь оси
5. Вертикальные асимптоты рациональных функций (далее в главе)
  1. Если кратность равна Нечет , график будет Изменится сторон и одна сторона вертикальной асимптоты поднимется до положительной бесконечности в то время как другая сторона падает до отрицательной бесконечности.
  2. Если кратность равна Четное , график останется на той же стороне , и обе стороны вертикальной асимптоты будут стремиться к положительной бесконечности или обе стороны упадут до отрицательной бесконечности.
6. Определение знака сомножителя элемента матрицы (глава 6)
  1. Если сумма строки и столбца, в котором находится элемент, равна Нечетному , сомножитель будет Изменить и будет противоположностью младшего.
  2. Если сумма строки и столбца, в котором находится элемент, равна Даже , кофактор будет То же , что и второстепенный.
Теорема о промежуточном значении

Полиномы — это непрерывные функции, которые означают, что вы не можете карандашом при их построении.

Вопрос:

Если в какой-то момент вы ниже оси x, а в другом месте вы над осью абсцисс, и вы не взяли карандаш, двигаясь с одной указать на другой — что случилось?

Ответ:

Вы пересекли ось x, получили нуль или корень функции, нашли решение, и т.п.

А теперь давайте продолжим эту концепцию. Возьмите любые два значения y. Если они не то же самое, тогда вам нужно было поразить каждое значение y между ними при перемещении от одного к другому. Теорема о промежуточном значении утверждает это формально.

Однако в основном он используется для поиска нулей непрерывного функция.

нулей полиномиальных функций | Безграничная алгебра

Основная теорема алгебры

Основная теорема утверждает, что каждый непостоянный многочлен от одной переменной с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один комплексный корень.

Цели обучения

Обсудить основную теорему алгебры

Основные выводы

Ключевые точки
- Основная теорема алгебры утверждает, что каждый непостоянный многочлен от одной переменной с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один комплексный корень. Сюда входят полиномы с действительными коэффициентами, поскольку каждое действительное число является комплексным числом с нулем в качестве коэффициента.
- Фундаментальная теорема также формулируется следующим образом: каждый ненулевой многочлен с одной переменной степени [latex] n [/ latex] с комплексными коэффициентами имеет, если считать с кратностью, ровно [latex] n [/ latex] корней.{n-1} + \ ldots c_0 [/ латекс]
  
  , где [latex] n> 0 [/ latex] и [latex] c_n \ not = 0 [/ latex], имеет по крайней мере один комплексный корень.
  
  Есть много доказательств основной теоремы алгебры. Однако, несмотря на свое название, чисто алгебраического доказательства не существует, поскольку каждое доказательство использует тот факт, что [latex] \ mathbb {C} [/ latex] является полным.
  
  В частности, поскольку каждое действительное число также является комплексным числом, каждый многочлен с действительными коэффициентами действительно допускает комплексный корень.3 (x + \ pi) [/ латекс]
  
  допускает один комплексный корень кратности [latex] 4 [/ latex], а именно [latex] x_0 = 0 [/ latex], один комплексный корень кратности [latex] 3 [/ latex], а именно [latex] x_1 = i [ / latex] и один комплексный корень из кратности [latex] 1 [/ latex], а именно [latex] x_2 = — \ pi [/ latex]. Сумма кратностей корней равна степени многочлена, [латекс] 8 [/ латекс]. Для ненулевых комплексных многочленов это в общем случае оказывается верным и непосредственно следует из основной теоремы алгебры.
  
  Действительно, многочлен степени [latex] 0 [/ latex] принимает форму [latex] c_0 [/ latex], где [latex] c_0 \ not = 0 [/ latex], и, следовательно, не имеет нулей.
  
  Для общего многочлена [latex] f (x) [/ latex] степени [latex] n [/ latex] основная теорема алгебры гласит, что мы можем найти один корень [latex] x_0 [/ latex] из [latex] ] f (x) [/ латекс]. Таким образом, мы можем разложить [латекс] f (x) [/ latex] на
  
  [латекс] f (x) = (x-x_0) f_1 (x) [/ латекс]
  
  , где [латекс] f_1 (x) [/ latex] — ненулевой многочлен степени [латекс] n-1.[/ latex] Итак, если кратности корней [латекса] f_1 (x) [/ latex] добавить к [latex] n-1 [/ latex], кратность корней [latex] f [/ latex] добавить в [латекс] н [/ латекс].
  
  Итак, поскольку свойство верно для всех многочленов степени [latex] 0 [/ latex], оно также верно для всех многочленов степени [latex] 1 [/ latex]. И поскольку это верно для всех многочленов степени [latex] 1 [/ latex], это также верно для всех многочленов степени [latex] 2 [/ latex]. В общем, для любого [латекса] n \ in \ mathbb {N} [/ latex] мы сможем сделать вывод, что свойство верно для всех многочленов степени [латекс] n.[/ latex] Таким образом, свойство верно для всех многочленов.
  
  И наоборот, если кратности корней многочлена складываются с его степенью, и если его степень не меньше [latex] 1 [/ latex] (т.е. она не постоянна), то из этого следует, что он имеет хотя бы один ноль. .
  
  Таким образом, альтернативная формулировка фундаментальной теоремы алгебры:
  
  Кратности комплексных корней ненулевого многочлена с комплексными коэффициентами добавляют к степени указанного многочлена.2 [/ latex], мы получаем еще один действительный многочлен, для которого снова применима теорема о комплексном сопряженном корне. Таким образом, мы видим, что общая кратность невещественных комплексных корней многочлена с действительными коэффициентами всегда должна быть четной .
  
  Это последнее замечание, вместе с альтернативным утверждением основной теоремы алгебры, говорит нам, что четность действительных корней (с учетом кратности) многочлена с действительными коэффициентами должна быть такой же, как четность степени указанного многочлена. .Следовательно, многочлен четной степени допускает четное число действительных корней, а многочлен нечетной степени допускает нечетное число действительных корней (считая с кратностью). В частности, каждый многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами допускает хотя бы один действительный корень. [латекс] [/ латекс]
  
  Нахождение многочленов с заданными нулями
  
  Чтобы построить многочлен из заданных нулей, установите [latex] x [/ latex] равным каждому нулю, переместите все в одну сторону, затем умножьте каждое полученное уравнение.3 [/ латекс].
Задача одного типа — построить полином из заданных нулей. Это может быть решено с помощью того свойства, что если [latex] x_0 [/ latex] является нулем многочлена, то [latex] (x-x_0) [/ latex] является делителем этого многочлена, и наоборот.

Мы предполагаем, что постановка задачи следующая: нам даны нули. Если не указано, какова кратность нулей, мы хотим, чтобы нули имели кратность один. Других нулей нет, т.е. если число не упомянуто в постановке задачи, оно не может быть нулем найденного нами многочлена.

Степень полинома

Помните, что степень полинома, наивысший показатель степени, определяет максимальное количество корней, которое он может иметь. Таким образом, степень многочлена с заданным числом корней равна или больше числа заданных корней.Если в этом числе мы уже посчитали кратность, то степень равна количеству корней. Например, если нам даны два нуля, то нужно построить многочлен второй степени.

Решение и константы

Если [latex] x_1, x_2, \ ldots x_n [/ latex] — это нули [latex] f (x) [/ latex], а ведущий коэффициент [latex] f (x) [/ latex]] равен [latex] ] 1 [/ latex], тогда [latex] f (x) [/ latex] разлагается на

[латекс] f (x) = (x-x_1) (x-x_2) \ cdots (x-x_n) [/ латекс]

Это уже дает нам решение нашей проблемы: ответ на наш вопрос — это просто произведение всех факторов [латекс] (x-x_i) [/ latex], где [latex] x_i [/ latex] — это заданные нули. ! Однако мы видим, что этот многочлен не единственный:

Для любой ненулевой константы [latex] a [/ latex] мы имеем, что [latex] (af) (x) = af (x) [/ latex] разлагается на множители

[латекс] af (x) = a (x-x_1) (x-x_2) \ cdots (x-x_n) [/ латекс]

Таким образом, если мы найдем решение [latex] g (x) [/ latex] для нашей проблемы, мы фактически найдем бесконечно много решений [latex] cg (x) [/ latex], по одному для каждого ненулевого числа [latex ] c [/ латекс].2 + 2cx [/ латекс]

На рисунке ниже синий график представляет решение для [latex] c [/ latex], равное [latex] 1 [/ latex]. Красный график представляет решение для [latex] c [/ latex], равное [latex] -1/2 [/ latex].

Пример: Два полинома с одинаковыми нулями: Оба [latex] f (x) [/ latex] и [latex] g (x) [/ latex] имеют нули [latex] 0, 1 [/ latex] и [ латекс] 2 [/ латекс]. Они равны с точностью до константы. Изменение значения и знака константы не меняет нулей, так как ноль, умноженный на любую константу, по-прежнему равен нулю.

Нахождение нулей факторизованных многочленов

Факторизованная форма многочлена показывает его нули, которые определяются как точки, в которых функция касается оси [latex] x [/ latex].

Цели обучения

Используйте факторизованную форму многочлена, чтобы найти его нули

Основные выводы

Ключевые точки

Полиномиальная функция может иметь ноль, один или несколько нулей.

Все полиномиальные функции положительного нечетного порядка имеют по крайней мере один нуль, в то время как полиномиальные функции положительного четного порядка могут не иметь нуля.

Независимо от четности или нечетности, любой многочлен положительного порядка может иметь максимальное количество нулей, равное его порядку.

Ключевые термины

ноль : Также известный как корень, ноль — это значение [latex] x [/ latex], при котором функция [latex] x [/ latex] равна [latex] 0 [/ latex].

Факторизованная форма многочлена может показать, где функция пересекает ось [latex] x [/ latex]. Значение [latex] x [/ latex], при котором это происходит, называется «нулем» или «корнем».

Число нулей полинома

Рассмотрим факторизованную функцию:

[латекс] f (x) = (x-a_1) (x-a_2)… (x-a_n) [/ latex]

Каждое значение [латекс] a_1, a_2 [/ latex] и т. Д. Равно нулю.

Полиномиальная функция может иметь много нулей, один или не иметь нулей. 2 — 5x — 6 = (x + 3) (x + 1) (x-2).[/ latex] Мы видим, что его корни равны отрицательным вторым коэффициентам его первой степени факторов

Факторинг и нули

В общем, мы знаем из теоремы об остатке, что [latex] a [/ latex] является нулем [latex] f (x) [/ latex] тогда и только тогда, когда [latex] xa [/ latex] делит [latex] f (x). [/ latex] Таким образом, если мы можем разложить [latex] f (x) [/ latex] на многочлены настолько малой степени, насколько это возможно, мы узнаем его нули, посмотрев на все линейные члены в факторизации. Вот почему факторизация так важна: возможность быстро распознавать нули многочлена.

Из основной теоремы алгебры и факта, называемого теоремой о комплексном сопряженном корне, следует, что каждый многочлен с действительными коэффициентами может быть разложен на линейные многочлены и квадратичные многочлены без действительных корней. Таким образом, если вы нашли такую факторизацию данной функции, вы можете быть полностью уверены, каковы нули этой функции.

Целочисленные коэффициенты и теорема о рациональных нулях

Каждое решение многочлена, выраженного как [latex] x = \ frac {p} {q} [/ latex], должно удовлетворять тому, что [latex] p [/ latex] и [latex] q [/ latex] являются целочисленными множителями. of [latex] a_0 [/ latex] и [latex] a_n [/ latex] соответственно.{n-1} +… + a_0 = 0 [/ latex] с целыми коэффициентами.

Если [latex] a_0 [/ latex] и [latex] a_n [/ latex] не равны нулю, то каждое рациональное решение [latex] x [/ latex], записанное в виде дроби [латекс] x = \ frac { p} {q} [/ latex] в наименьших терминах (т.е. наибольший общий делитель [latex] p [/ latex] и [latex] q [/ latex] равен [latex] 1 [/ latex]), удовлетворяет следующее: [латекс] 1 [/ латекс]) [латекс] p [/ латекс] является целочисленным множителем постоянного члена [латекс] a_0 [/ латекс] и [латекс] 2 [/ латекс]) [латекс] q [/ latex] — это целочисленный коэффициент ведущего коэффициента [latex] a_n [/ latex].

Ключевые термины

Лемма Евклида : одно из фундаментальных свойств простых чисел. Утверждает, что если простое число делит произведение двух чисел, оно должно делить хотя бы один из множителей. Например, поскольку 133 × 143 = 19019 делится на 19, одно или оба из 133 или 143 также должны быть. Фактически, 19 × 7 = 133. Оно используется при доказательстве основной теоремы арифметики.

coprime : Отсутствие положительных целочисленных множителей, кроме [latex] 1 [/ latex], общих с одним или несколькими заданными другими положительными целыми числами.{n-1} +… + a_0 = 0 [/ latex]

С целыми коэффициентами [латекс] a_n, a_ {n-1}, \ ldots, a_0. [/ Latex]

Если [latex] a_0 [/ latex] и [latex] a_n [/ latex] не равны нулю, то каждое рациональное решение [latex] x = \ frac {p} {q} [/ latex], где [latex] p [ / latex] и [latex] q [/ latex] являются взаимно простыми целыми числами (т.е. их наибольший общий делитель равен [latex] 1 [/ latex]), удовлетворяет:

[латекс] п [/ латекс] является делителем постоянного члена [латекс] а_0 [/ латекс] _.

[latex] q [/ latex] является делителем ведущего коэффициента [latex] a_n [/ latex].

Итак, [latex] a_0 [/ latex] должен быть кратным [latex] p [/ latex], а [latex] a_n [/ latex] должен быть кратным [latex] q [/ latex].

Поскольку у любого целого числа есть только конечное число делителей, теорема о рациональном корне дает нам конечное число кандидатов на место рациональных корней. Получив многочлен с целыми коэффициентами, мы можем подключить всех этих кандидатов и посмотреть, являются ли они нулем данного многочлена. После того, как мы нашли все рациональные нули (и посчитали их кратность, например, делением с использованием длинного деления), мы узнаем количество иррациональных и комплексных корней.2 + 5x-2 [/ latex] имеет один реальный корень между [latex] 0 [/ latex] и [latex] 1 [/ latex]. Мы можем использовать Rational Root Test, чтобы проверить, является ли этот корень рациональным.

, т.е. его числитель должен делить [латекс] 2 [/ латекс], а его знаменатель должен делить [латекс] 3 [/ латекс]. Это дает список возможных ответов

[латекс] 1, -1,2, -2, \ frac 13, — \ frac 13, \ frac 23, — \ frac 23 [/ латекс]

Эти корневые кандидаты могут быть протестированы, подключив их напрямую или разделив и проверив, есть ли остаток, например, с помощью длинного деления.Преимущество этого состоит в том, что как только мы нашли корень, мы сразу же нашли полином меньшей степени, для которого мы снова хотим найти корни, и теорема о рациональном корне предоставит нам еще меньше кандидатов на этот корень. Более того, как только мы установили корень, мы все равно должны использовать деление, чтобы проверить, является ли он множественным корнем.

Минус в том, что приходится чаще использовать длинное деление. Когда есть много нулевых кандидатов для полинома малой степени, мы можем просто включить кандидатов и использовать деление только тогда, когда мы нашли корень.k [/ latex] для всех положительных целых чисел [latex] k [/ latex], мы можем заменить [latex] x [/ latex] на [latex] t + x_0 [/ latex], чтобы найти многочлен с тем же старшим коэффициентом, что и наш исходный многочлен и постоянный член, равный значению многочлена в [latex] x_0 [/ latex]. В этом случае мы заменяем [latex] x [/ latex] на [latex] t + 1 [/ latex] и получаем многочлен от [latex] t [/ latex] с ведущим коэффициентом [latex] 3 [/ latex] и константой термин [латекс] 1 [/ латекс]. Таким образом, кандидатами на нули в этом многочлене от [latex] t [/ latex] являются

[латекс] t = \ pm \ frac 1 {1,3} [/ латекс]

Таким образом, кандидаты в корни многочлена в [latex] x [/ latex] должны быть на единицу больше, чем один из этих кандидатов:

[латекс] x = 1 + t = 2,0, \ frac 43, \ frac 23 [/ латекс]

Корневые кандидаты, которых нет в обоих списках, исключаются.Таким образом, список рациональных корневых кандидатов сократился до [latex] x = 2 [/ latex] и [latex] x = 2/3 [/ latex]. После проверки этих кандидатов мы видим, что единственный рациональный корень (с кратностью [latex] 1) [/ latex] — это [latex] 2/3 [/ latex], что также можно увидеть на графике выше.

Правило знаков

Правило знаков дает верхнюю границу количества положительных или отрицательных корней многочлена.

Цели обучения

Используйте правило знаков, чтобы определить максимальное количество положительных и отрицательных корней многочлена

Основные выводы

Ключевые точки

Правило знаков дает нам верхнюю границу положительных или отрицательных корней многочлена.Это не полный критерий, то есть он не указывает точное количество положительных или отрицательных корней.

Правило гласит, что если члены многочлена с действительными коэффициентами упорядочены по убывающей переменной экспоненты, то количество положительных корней многочлена либо равно количеству разностей знаков между последовательными ненулевыми коэффициентами, либо меньше на несколько из 2.

Как следствие правила, количество отрицательных корней — это количество смен знака после умножения коэффициентов членов с нечетной степенью на [латекс] -1 [/ латекс] или меньшее число, кратное 2.

Ключевые термины

знак : положительная или отрицательная полярность. 4 [/ латекс]).Как только вы их найдете, умножьте каждый на [latex] -1 [/ latex]. Затем процедура такая же; подсчитать количество изменений знака между последовательными ненулевыми коэффициентами. Это число или любое число, кратное 2, может быть вашим числом отрицательных корней. Снова важно отметить, что несколько корней одного и того же значения следует считать отдельно.

Это также можно сделать, взяв функцию [latex] f (x) [/ latex] и заменив [latex] x [/ latex] на [latex] -x [/ latex], чтобы получить функция [латекс] f (-x) [/ латекс].2-х-1 [/ латекс]

Эта функция имеет одно изменение знака между вторым и третьим членами. Следовательно, он имеет ровно один положительный корень. Не забывайте, что у первого члена есть знак, который в данном случае положительный.

Далее мы переходим к поиску отрицательных корней. Измените экспоненты коэффициентов с нечетной степенью, не забывая менять знак первого члена. Как только вы это сделали, вы получили второй многочлен и готовы найти количество отрицательных корней.2 + x-1 [/ латекс]

Знак этого многочлена меняется дважды после первого и третьего слагаемых. Следовательно, мы знаем, что он имеет не более двух отрицательных корней. Мы знаем, что количество корней любого знака равно количеству смен знака или кратному на два меньше этого числа. Итак, этот многочлен имеет отрицательные корни [latex] 2 [/ latex] или [latex] 0 [/ latex]. Мы можем проверить это алгебраически, как показано ниже.

Сначала разложите многочлен на множители:

[латекс] f (x) = (x + 1) (x + 1) (x-1) [/ латекс].2 + б [/ латекс]

Чтобы найти положительные корни, мы подсчитываем смену знака. В этом примере мы предположим, что [latex] b> 0 [/ latex]. Поскольку нет смены знака, нет положительных корней [латекс] (p = 0) [/ latex]. Теперь ищем отрицательные корни. Поскольку нечетные коэффициенты мощности отсутствуют, перед поиском изменений знака не нужно вносить никаких изменений; следовательно, нет отрицательных корней [латекс] (q = 0) [/ латекс]. Теперь применим уравнение комплексного корня: [латекс] n — (p + q) = 2 — (0 + 0) = 2 [/ latex].

1.2. Ко­рень n-й сте­пе­ни

1.2. Ко­рень n-й сте­пе­ни

Упраж­не­ния

Корень четной и нечетной степени

Корень n-й степени и его свойства

Перевод корней в степени и обратно: объяснение, примеры

Переход от степеней с дробными показателями к корням

Как представить корень в виде степени?

Арифметический корень / math5school.ru

Арифметический корень

Свойства корней

Значения некоторых корней

Смотрите также:

Корень n -й степени его свойства

Как решать примеры с корнями

Корни или нули многочленов степени выше 2

Как решать полиномиальные уравнения

Генеральный план

точное или приблизительное значение?

Шаг за шагом

Кубические и четвертые формулы

Шаг 1. Стандартная форма и упрощение

Шаг 2. Сколько корней?

Правило знаков Декарта

Сложные корни

Иррациональные корни

Множественные корни

Шаг 3. Квадратичные множители

Шаг 4. Найдите один фактор или корень

Мономиальные множители

Особые продукты

Рациональные корни

Графические подсказки

Границы корней

Теорема о промежуточном значении

Верхняя и нижняя границы

Коэффициенты и корни

Дополнительные коэффициенты и корни

Шаг 5. Разделите на множитель

Шаг 6. Численные методы

Полный пример

Что нового

Количество корней для многочленов

Сеть обмена стеками

предварительное вычисление алгебры — Есть ли общая формула для решения уравнений 4-й степени (квартики)?

Полиномиальные функции высшей степени

Графики многочленов

Тест опережающего коэффициента (поведение правой руки)

Степень полинома (поведение левой руки)

Нули полиномиальной функции

Реальные нули

И самое прекрасное …

Теорема о промежуточном значении

нулей полиномиальных функций | Безграничная алгебра

Основная теорема алгебры

Цели обучения

Основные выводы

Ключевые точки

Нахождение многочленов с заданными нулями

Степень полинома

Решение и константы

Нахождение нулей факторизованных многочленов

Цели обучения

Основные выводы

Ключевые точки

Ключевые термины

Число нулей полинома

Факторинг и нули

Целочисленные коэффициенты и теорема о рациональных нулях

Ключевые термины

Правило знаков

Цели обучения

Основные выводы

Ключевые точки

Ключевые термины

Добавить комментарий Отменить ответ

1.2. Корень n-й степени

1.2. Корень n-й степени

Упражнения