ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π² стСпСни ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ: 1.2. ΠšΠΎΒ­Ρ€Π΅Π½ΡŒ n-ΠΉ стС­пС­ни

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

1.2. ΠšΠΎΒ­Ρ€Π΅Π½ΡŒ n-ΠΉ стС­пС­ни

1.2. ΠšΠΎΒ­Ρ€Π΅Π½ΡŒ n-ΠΉ стС­пС­ни

Π’ 8-ΠΌ клас­сС ΠΈΠ·ΡƒΒ­Ρ‡Π°Β­Π»ΠΈΡΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Β­Ρ€Π°Ρ‚Β­Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Β­Π½ΠΈ ΠΈΠ· Π΄Π΅ΠΉΒ­ΡΡ‚Π²ΠΈΒ­Ρ‚Π΅Π»ΡŒΒ­Π½Ρ‹Ρ… чи­сСл (ΠΈΡ… Π½Π°Β­Π·Ρ‹Β­Π²Π°Β­ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΒ­ΠΆΠ΅ кор­ня­ми 2-ΠΉ стС­пС­ни).

ΠŸΠ΅Β­Ρ€Π΅ΠΉΒ­Π΄Π΅ΠΌ ΠΊ ΠΈΠ·ΡƒΒ­Ρ‡Π΅Β­Π½ΠΈΡŽ ΠΊΠΎΡ€Β­Π½Π΅ΠΉ стС­пС­ни n для ΠΏΡ€ΠΎΒ­ΠΈΠ·Β­Π²ΠΎΠ»ΡŒΒ­Π½ΠΎΒ­Π³ΠΎ Π½Π°Β­Ρ‚ΡƒΒ­Ρ€Π°Π»ΡŒΒ­Π½ΠΎΒ­Π³ΠΎ чис­ла nβ‰₯2.

ΠžΠΏΡ€Π΅Β­Π΄Π΅Β­Π»Π΅Β­Π½ΠΈΠ΅. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ nβ‰₯2 ΠΈ n∈N. ΠšΠΎΡ€Β­Π½Π΅ΠΌ n-ΠΉ стС­пС­ни ΠΈΠ· чис­ла a на­зы­ва­Ст­ся Ρ‚Π°Β­ΠΊΠΎΠ΅ чис­ло t, n-я ΡΡ‚Π΅Β­ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΊΠΎΒ­Ρ‚ΠΎΒ­Ρ€ΠΎΒ­Π³ΠΎ Ρ€Π°Π²Β­Π½Π° a .

Π’Π°Β­ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Β­Ρ€Π°Β­Π·ΠΎΠΌ, ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€Β­ΠΆΠ΄Π΅Β­Π½ΠΈΠ΅ Β«t β€” ΠΊΠΎΒ­Ρ€Π΅Π½ΡŒ n-ΠΉ стС­пС­ни ΠΈΠ· aΒ» ΠΎΠ·Π½Π°Β­Ρ‡Π°Β­Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ tn=a.

ΠšΠΎΒ­Ρ€Π΅Π½ΡŒ 3-ΠΉ стС­пС­ни на­зы­ва­Ст­ся Ρ‚Π°ΠΊΒ­ΠΆΠ΅ ку­би­чС­ским.

На­при­мСр, ку­би­чС­ский ΠΊΠΎΒ­Ρ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· чис­ла 125 β€” это чис­ло 5, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 53=125. ΠšΡƒΒ­Π±ΠΈΒ­Ρ‡Π΅Β­ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΒ­Ρ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· чис­ла βˆ’125 β€” это чис­ло βˆ’5, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ (βˆ’5)3=βˆ’125.

ΠšΠΎΒ­Ρ€Π΅Π½ΡŒ 7-ΠΉ стС­пС­ни ΠΈΠ· чис­ла 128 β€” это чис­ло 2, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 27=128. ΠšΠΎΒ­Ρ€Π΅Π½ΡŒ 7-ΠΉ стС­пС­ни ΠΈΠ· чис­ла βˆ’128 β€” это чис­ло βˆ’2, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ (βˆ’2)7=βˆ’128. ΠšΠΎΒ­Ρ€Π΅Π½ΡŒ 7-ΠΉ стС­пС­ни ΠΈΠ· чис­ла 0 β€” это 0, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 07=0.

Π’ΠΎ мно­ТС­ствС Π΄Π΅ΠΉΒ­ΡΡ‚Π²ΠΈΒ­Ρ‚Π΅Π»ΡŒΒ­Π½Ρ‹Ρ… чи­сСл су­щС­ству­Ст Сдин­ствСн­ный ΠΊΠΎΒ­Ρ€Π΅Π½ΡŒ Π½Π΅Β­Ρ‡Π΅Ρ‚Β­Π½ΠΎΠΉ стС­пС­ни n ΠΈΠ· лю­бо­го чис­ла a. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΒ­Ρ€Π΅Π½ΡŒ обо­зна­ча­Ст­ся

На­при­мСр, 1253=5,βˆ’1287=βˆ’2,07=0.

Π‘Ρ‚Ρ€. 11

Π£Ρ‚Π²Π΅Ρ€Β­ΠΆΠ΄Π΅Β­Π½ΠΈΠ΅ ΠΎ су­щС­ство­ва­нии кор­ня Π½Π΅Β­Ρ‡Π΅Ρ‚Β­Π½ΠΎΠΉ стС­пС­ни ΠΈΠ· лю­бо­го чис­ла ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΒ­Π½ΠΈΒ­ΠΌΠ°Β­Π΅ΠΌ Π±Π΅Π· Π΄ΠΎΒ­ΠΊΠ°Β­Π·Π°Β­Ρ‚Π΅Π»ΡŒΒ­ΡΡ‚Π²Π°.

Бо­глас­но ΠΎΠΏΡ€Π΅Β­Π΄Π΅Β­Π»Π΅Β­Π½ΠΈΡŽ, ΠΊΠΎΒ­Π³Π΄Π° n Π½Π΅Β­Ρ‡Π΅Ρ‚Β­Π½ΠΎΠ΅, Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ лю­бом Π·Π½Π°Β­Ρ‡Π΅Β­Π½ΠΈΠΈ Π° Π²Π΅Ρ€Β­Π½ΠΎ ра­вСн­ство

На­при­мСр, βŽ›βŽ927⎞⎠7=92,βŽ›βŽ1237⎞⎠7=123,βŽ›βŽβˆ’1237⎞⎠7=βˆ’123.

Π—Π°Β­ΠΌΠ΅Β­Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 0 β€” это Сдин­ствСн­ноС чис­ло, n-я ΡΡ‚Π΅Β­ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΊΠΎΒ­Ρ‚ΠΎΒ­Ρ€ΠΎΒ­Π³ΠΎ Ρ€Π°Π²Β­Π½Π° 0. ΠŸΠΎΒ­ΡΡ‚ΠΎΒ­ΠΌΡƒ

ΠΏΡ€ΠΈ лю­бом Π½Π°Β­Ρ‚ΡƒΒ­Ρ€Π°Π»ΡŒΒ­Π½ΠΎΠΌ nβ‰₯2 су­щС­ству­Ст Сдин­ствСн­ный ΠΊΠΎΒ­Ρ€Π΅Π½ΡŒ n-ΠΉ стС­пС­ни ΠΈΠ· 0 β€” это чис­ло 0, Ρ‚. Π΅. 0n=0.

ΠŸΡ€ΠΈΒ­ΠΌΠ΅Β­Ρ€Π°Β­ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡ€Β­Π½Π΅ΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Β­Π½ΠΎΠΉ стС­пС­ни ΠΌΠΎΒ­Π³ΡƒΡ‚ ΡΠ»ΡƒΒ­ΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Β­Ρ€Π°Ρ‚Β­Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Β­Π½ΠΈ: βˆ’7 ΠΈ 7 β€” ΠΊΠ²Π°Π΄Β­Ρ€Π°Ρ‚Β­Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Β­Π½ΠΈ ΠΈΠ· 49, Π° βˆ’15 ΠΈ 15 β€” ΠΈΠ· 225. Рас­смот­рим Π΅Ρ‰Π΅ нС­сколь­ко ΠΏΡ€ΠΈΒ­ΠΌΠ΅Β­Ρ€ΠΎΠ². ΠšΠΎΡ€Β­Π½ΠΈ 4-ΠΉ стС­пС­ни ΠΈΠ· чис­ла 81 β€” это чис­ла 3 ΠΈ βˆ’3, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 34=81 ΠΈ (βˆ’3)4=81. ΠšΠΎΡ€Β­Π½ΠΈ 6-ΠΉ стС­пС­ни ΠΈΠ· чис­ла 64 β€” это чис­ла 2 ΠΈ βˆ’2, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 26=64 ΠΈ (βˆ’2)6=64.

Π’ΠΎ мно­ТС­ствС Π΄Π΅ΠΉΒ­ΡΡ‚Π²ΠΈΒ­Ρ‚Π΅Π»ΡŒΒ­Π½Ρ‹Ρ… чи­сСл су­щС­ству­Ст Ρ€ΠΎΠ²Β­Π½ΠΎ Π΄Π²Π° кор­ня Ρ‡Π΅Ρ‚Β­Π½ΠΎΠΉ стС­пС­ни n ΠΈΠ· лю­бо­го ΠΏΠΎΒ­Π»ΠΎΒ­ΠΆΠΈΒ­Ρ‚Π΅Π»ΡŒΒ­Π½ΠΎΒ­Π³ΠΎ чис­ла Π°, ΠΈΡ… ΠΌΠΎΒ­Π΄ΡƒΒ­Π»ΠΈ Ρ€Π°Π²Β­Π½Ρ‹, Π° Π·Π½Π°Β­ΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΒ­Ρ‚ΠΈΒ­Π²ΠΎΒ­ΠΏΠΎΒ­Π»ΠΎΠΆΒ­Π½Ρ‹. ΠŸΠΎΒ­Π»ΠΎΒ­ΠΆΠΈΒ­Ρ‚Π΅Π»ΡŒΒ­Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΒ­Ρ€Π΅Π½ΡŒ обо­зна­ча­Ст­ся

На­при­мСр, 814=3,646=2.

Π£Ρ‚Π²Π΅Ρ€Β­ΠΆΠ΄Π΅Β­Π½ΠΈΠ΅ ΠΎ су­щС­ство­ва­нии кор­ня Ρ‡Π΅Ρ‚Β­Π½ΠΎΠΉ стС­пС­ни ΠΈΠ· лю­бо­го ΠΏΠΎΒ­Π»ΠΎΒ­ΠΆΠΈΒ­Ρ‚Π΅Π»ΡŒΒ­Π½ΠΎΒ­Π³ΠΎ чис­ла ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΒ­Π½ΠΈΒ­ΠΌΠ°Β­Π΅ΠΌ Π±Π΅Π· Π΄ΠΎΒ­ΠΊΠ°Β­Π·Π°Β­Ρ‚Π΅Π»ΡŒΒ­ΡΡ‚Π²Π°. Бо­глас­но ΠΎΠΏΡ€Π΅Β­Π΄Π΅Β­Π»Π΅Β­Π½ΠΈΡŽ, ΠΊΠΎΒ­Π³Π΄Π° n Ρ‡Π΅Ρ‚Β­Π½ΠΎΠ΅, Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ лю­бом ΠΏΠΎΒ­Π»ΠΎΒ­ΠΆΠΈΒ­Ρ‚Π΅Π»ΡŒΒ­Π½ΠΎΠΌ Π·Π½Π°Β­Ρ‡Π΅Β­Π½ΠΈΠΈ Π° Π²Π΅Ρ€Β­Π½ΠΎ ра­вСн­ство

На­при­мСр, βŽ›βŽ514⎞⎠4=51,βŽ›βŽ874⎞⎠4=87.

НС су­щС­ству­Ст Ρ‚Π°Β­ΠΊΠΎΒ­Π³ΠΎ чис­ла, 4-я ΡΡ‚Π΅Β­ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΊΠΎΒ­Ρ‚ΠΎΒ­Ρ€ΠΎΒ­Π³ΠΎ Ρ€Π°Π²Β­Π½Π° βˆ’81. ΠŸΠΎΒ­ΡΡ‚ΠΎΒ­ΠΌΡƒ кор­ня 4-ΠΉ стС­пС­ни ΠΈΠ· чис­ла βˆ’81 Π½Π΅ су­щС­ству­Ст. И Π²ΠΎΒ­ΠΎΠ±Β­Ρ‰Π΅, ΠΏΠΎΒ­ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΒ­ΠΊΡƒ Π½Π΅ су­щС­ству­Ст Ρ‚Π°Β­ΠΊΠΎΒ­Π³ΠΎ чис­ла, чСт­ная ΡΡ‚Π΅Β­ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΊΠΎΒ­Ρ‚ΠΎΒ­Ρ€ΠΎΒ­Π³ΠΎ Π±Ρ‹Β­Π»Π° Π±Ρ‹ ΠΎΡ‚Β­Ρ€ΠΈΒ­Ρ†Π°Β­Ρ‚Π΅Π»ΡŒΒ­Π½ΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ

Π‘Ρ‚Ρ€. 12

Π½Π΅ су­щС­ству­Ст кор­ня Ρ‡Π΅Ρ‚Β­Π½ΠΎΠΉ стС­пС­ни ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Β­Ρ€ΠΈΒ­Ρ†Π°Β­Ρ‚Π΅Π»ΡŒΒ­Π½ΠΎΒ­Π³ΠΎ чис­ла.

ΠžΠΏΡ€Π΅Β­Π΄Π΅Β­Π»Π΅Β­Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ΅Β­ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΒ­Ρ†Π°Β­Ρ‚Π΅Π»ΡŒΒ­Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΒ­Ρ€Π΅Π½ΡŒ n-ΠΉ стС­пС­ни ΠΈΠ· чис­ла a на­зы­ва­Ст­ся ариф­мС­ти­чС­ским ΠΊΠΎΡ€Β­Π½Π΅ΠΌ n-ΠΉ стС­пС­ни ΠΈΠ· a .

ΠŸΡ€ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Β­Π½ΠΎΠΌ n сим­во­лом an обо­зна­ча­Ст­ся Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΒ­ΠΊΠΎ ариф­мС­ти­чС­ский ΠΊΠΎΒ­Ρ€Π΅Π½ΡŒ n-ΠΉ стС­пС­ни ΠΈΠ· чис­ла a (ΠΏΡ€ΠΈ Ρ‡Ρ‚Π΅Β­Π½ΠΈΠΈ за­пи­си an сло­во «ариф­мС­ти­чС­ский» ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Β­Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΒ­ΠΏΡƒΡΒ­ΠΊΠ°Β­ΡŽΡ‚).

Π’Ρ‹Β­Ρ€Π°Β­ΠΆΠ΅Β­Π½ΠΈΠ΅, сто­я­щСС ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°Β­ΠΊΠΎΠΌ кор­ня, на­зы­ва­Ст­ся ΠΏΠΎΠ΄Β­ΠΊΠΎΒ­Ρ€Π΅Π½Β­Π½Ρ‹ΠΌ Π²Ρ‹Β­Ρ€Π°Β­ΠΆΠ΅Β­Π½ΠΈΒ­Π΅ΠΌ.

Π˜Π·Β­Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΊΠΎΒ­Ρ€Π΅Π½ΡŒ n-ΠΉ стС­пС­ни ΠΈΠ· чис­ла a β€” это Π·Π½Π°Β­Ρ‡ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΉΒ­Ρ‚ΠΈ Π·Π½Π°Β­Ρ‡Π΅Β­Π½ΠΈΠ΅ вы­ра­ТС­ния an.

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ кор­ня Ρ‡Π΅Ρ‚Β­Π½ΠΎΠΉ стС­пС­ни ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Β­Ρ€ΠΈΒ­Ρ†Π°Β­Ρ‚Π΅Π»ΡŒΒ­Π½ΠΎΒ­Π³ΠΎ чис­ла Π½Π΅ су­щС­ству­Ст, Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹Β­Ρ€Π°Β­ΠΆΠ΅Β­Π½ΠΈΠ΅ an ΠΏΡ€ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Β­Π½ΠΎΠΌ n ΠΈ ΠΎΡ‚Β­Ρ€ΠΈΒ­Ρ†Π°Β­Ρ‚Π΅Π»ΡŒΒ­Π½ΠΎΠΌ Π° Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Β­Π΅Ρ‚ смыс­ла.

На­при­мСр, Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Β­ΡŽΡ‚ смыс­ла вы­ра­ТС­ния βˆ’814 ΠΈ βˆ’646.

Как ΠΌΡ‹ уста­но­ви­ли, ΠΏΡ€ΠΈ лю­бом Π·Π½Π°Β­Ρ‡Π΅Β­Π½ΠΈΠΈ Π°, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΒ­Ρ‚ΠΎΒ­Ρ€ΠΎΠΌ Π²Ρ‹Β­Ρ€Π°Β­ΠΆΠ΅Β­Π½ΠΈΠ΅ an ΠΈΠΌΠ΅Β­Π΅Ρ‚ смысл, Π²Π΅Ρ€Β­Π½ΠΎ ра­вСн­ство

ΠŸΠΎΒ­ΡΡ‚ΠΎΒ­ΠΌΡƒ ра­вСн­ство (1) яв­ля­Ст­ся тоТ­дС­ством.

Π’ ΠΊΠΎΠ½Β­Ρ†Π΅ XV Π². Π±Π°Β­ΠΊΠ°Β­Π»Π°Π²Ρ€ ΠŸΠ°Β­Ρ€ΠΈΠΆΒ­ΡΠΊΠΎΒ­Π³ΠΎ уни­вСр­си­тС­та Н. Шю­кС внСс ΡƒΡΠΎΒ­Π²Π΅Ρ€Β­ΡˆΠ΅Π½Β­ΡΡ‚Π²ΠΎΒ­Π²Π°Β­Π½ΠΈΡ Π² Π°Π»Β­Π³Π΅Β­Π±Ρ€Π°Β­ΠΈΒ­Ρ‡Π΅Β­ΡΠΊΡƒΡŽ сим­во­ли­ку. Π’ част­но­сти, Π·Π½Π°Β­ΠΊΠΎΠΌ кор­ня слу­Тил сим­вол Rx (ΠΎΡ‚ ла­тин­ско­го сло­ва radix β€” ΠΊΠΎΒ­Ρ€Π΅Π½ΡŒ). Π’Π°ΠΊ, Π²Ρ‹Β­Ρ€Π°Β­ΠΆΠ΅Β­Π½ΠΈΠ΅ 24+374 Π² сим­во­ли­кС Шю­кС ΠΈΠΌΠ΅Β­Π»ΠΎ Π²ΠΈΠ΄ RΒ―x424pΒ―RΒ―x237.

Π—Π½Π°ΠΊ кор­ня     Π² со­врС­мСн­ном Π²ΠΈΒ­Π΄Π΅ Π±Ρ‹Π» ΠΏΡ€Π΅Π΄Β­Π»ΠΎΒ­ΠΆΠ΅Π½ Π² 1525 Π³. Ρ‡Π΅ΡˆΒ­ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΌΠ°Β­Ρ‚Π΅Β­ΠΌΠ°Β­Ρ‚ΠΈΒ­ΠΊΠΎΠΌ К. Π ΡƒΒ­Π΄ΠΎΠ»ΡŒΒ­Ρ„ΠΎΠΌ. Π•Π³ΠΎ ΡƒΡ‡Π΅Π±Β­Π½ΠΈΠΊ Π°Π»Β­Π³Π΅Β­Π±Ρ€Ρ‹ пС­рС­из­да­вал­ся Π΄ΠΎ 1615 Π³., ΠΈ ΠΏΠΎ Π½Π΅Β­ΠΌΡƒ учил­ся Π·Π½Π°Β­ΠΌΠ΅Β­Π½ΠΈΒ­Ρ‚Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ°Β­Ρ‚Π΅Β­ΠΌΠ°Β­Ρ‚ΠΈΠΊ Π›. Π­ΠΉΒ­Π»Π΅Ρ€.

Π—Π½Π°ΠΊ     Π΅Ρ‰Π΅ Π½Π°Β­Π·Ρ‹Β­Π²Π°Β­ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Β­Π΄ΠΈΒ­ΠΊΠ°Β­Π»ΠΎΠΌ.

Π‘Ρ‚Ρ€. 13

ΠŸΡ€ΠΈΒ­ΠΌΠ΅Ρ€ 1. Π’Π΅Ρ€Β­Π½ΠΎ Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ:

Π°) (βˆ’2)44=βˆ’2;

Π±) (βˆ’2)77=βˆ’2?

РС­шС­ниС. Π°) По ΠΎΠΏΡ€Π΅Β­Π΄Π΅Β­Π»Π΅Β­Π½ΠΈΡŽ ариф­мС­ти­чС­ский ΠΊΠΎΒ­Ρ€Π΅Π½ΡŒ n-ΠΉ стС­пС­ни ΠΈΠ· Π½Π΅Β­ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΒ­Ρ†Π°Β­Ρ‚Π΅Π»ΡŒΒ­Π½ΠΎΒ­Π³ΠΎ чис­ла a (n β€” Ρ‡Π΅Ρ‚Β­Π½ΠΎΠ΅ чис­ло) яв­ля­Ст­ся Π½Π΅Β­ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΒ­Ρ†Π°Β­Ρ‚Π΅Π»ΡŒΒ­Π½Ρ‹ΠΌ чис­лом, n-я ΡΡ‚Π΅Β­ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΊΠΎΒ­Ρ‚ΠΎΒ­Ρ€ΠΎΒ­Π³ΠΎ Ρ€Π°Π²Β­Π½Π° ΠΏΠΎΠ΄Β­ΠΊΠΎΒ­Ρ€Π΅Π½Β­Π½ΠΎΒ­ΠΌΡƒ Π²Ρ‹Β­Ρ€Π°Β­ΠΆΠ΅Β­Π½ΠΈΡŽ a.

ΠŸΠΎΒ­ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΒ­ΠΊΡƒ βˆ’2<0, Ρ‚ΠΎ ра­вСн­ство (βˆ’2)44=βˆ’2 Π½Π΅Β­Π²Π΅Ρ€Β­Π½ΠΎΠ΅. Π’Π΅Ρ€Β­Π½ΠΎ ра­вСн­ство (βˆ’2)44=2.

Π±) По ΠΎΠΏΡ€Π΅Β­Π΄Π΅Β­Π»Π΅Β­Π½ΠΈΡŽ ΠΊΠΎΒ­Ρ€Π΅Π½ΡŒ n-ΠΉ стС­пС­ни ΠΈΠ· чис­ла Π° (n β€” Π½Π΅Β­Ρ‡Π΅Ρ‚Β­Π½ΠΎΠ΅ чис­ло) яв­ля­Ст­ся чис­лом, n-я ΡΡ‚Π΅Β­ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΊΠΎΒ­Ρ‚ΠΎΒ­Ρ€ΠΎΒ­Π³ΠΎ Ρ€Π°Π²Β­Π½Π° ΠΏΠΎΠ΄Β­ΠΊΠΎΒ­Ρ€Π΅Π½Β­Π½ΠΎΒ­ΠΌΡƒ Π²Ρ‹Β­Ρ€Π°Β­ΠΆΠ΅Β­Π½ΠΈΡŽ Π°.

ΠŸΠΎΒ­ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΒ­ΠΊΡƒ (βˆ’2)7=βˆ’27 β€” Π²Π΅Ρ€Β­Π½ΠΎΠ΅ ра­вСн­ство, Ρ‚ΠΎ ра­вСн­ство (βˆ’2)77=βˆ’2 βˆ’ Π²Π΅Ρ€Β­Π½ΠΎΠ΅.

ΠŸΡ€ΠΈΒ­ΠΌΠ΅Ρ€ 2. Π Π΅Β­ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Β­Π½Π΅Β­Π½ΠΈΠ΅:

Π°) x3=7;

Π±) x4=5.

РС­шС­ниС. Π°) РС­шС­ни­См это­го урав­нС­ния яв­ля­Ст­ся Ρ‚Π°Β­ΠΊΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Β­Ρ‡Π΅Β­Π½ΠΈΠ΅ Ρ…, 3-я ΡΡ‚Π΅Β­ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΊΠΎΒ­Ρ‚ΠΎΒ­Ρ€ΠΎΒ­Π³ΠΎ Ρ€Π°Π²Β­Π½Π° 7, Ρ‚. Π΅. ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Β­Π΄Π΅Β­Π»Π΅Β­Π½ΠΈΡŽ ку­би­чС­ско­го кор­ня ΠΈΠΌΠ΅Β­Π΅ΠΌ:

Π±) РС­шС­ни­См это­го урав­нС­ния яв­ля­Ст­ся Ρ‚Π°Β­ΠΊΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Β­Ρ‡Π΅Β­Π½ΠΈΠ΅ Ρ…, 4-я ΡΡ‚Π΅Β­ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΊΠΎΒ­Ρ‚ΠΎΒ­Ρ€ΠΎΒ­Π³ΠΎ Ρ€Π°Π²Β­Π½Π° 5, Ρ‚. Π΅. (ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Β­Π΄Π΅Β­Π»Π΅Β­Π½ΠΈΡŽ) Ρ… β€” это ΠΊΠΎΒ­Ρ€Π΅Π½ΡŒ 4-ΠΉ стС­пС­ни ΠΈΠ· чис­ла 5. Но ΠΈΠ· ΠΏΠΎΒ­Π»ΠΎΒ­ΠΆΠΈΒ­Ρ‚Π΅Π»ΡŒΒ­Π½ΠΎΒ­Π³ΠΎ чис­ла 5 ΡΡƒΒ­Ρ‰Π΅Β­ΡΡ‚Π²ΡƒΒ­ΡŽΡ‚ Π΄Π²Π° кор­ня Ρ‡Π΅Ρ‚Β­Π²Π΅Ρ€Β­Ρ‚ΠΎΠΉ стС­пС­ни, ΠΊΠΎΒ­Ρ‚ΠΎΒ­Ρ€Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π²Β­Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΒ­Π΄ΡƒΒ­Π»ΡŽ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Β­ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΒ­Ρ‚ΠΈΒ­Π²ΠΎΒ­ΠΏΠΎΒ­Π»ΠΎΠΆΒ­Π½Ρ‹Π΅ Π·Π½Π°Β­ΠΊΠΈ. ΠŸΠΎΒ­ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΒ­ΠΊΡƒ ΠΏΠΎΒ­Π»ΠΎΒ­ΠΆΠΈΒ­Ρ‚Π΅Π»ΡŒΒ­Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΒ­Ρ€Π΅Π½ΡŒ ΠΎΠ±ΠΎΒ­Π·Π½Π°Β­Ρ‡Π°Β­ΡŽΡ‚ 54, Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΒ­Ρ€ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΒ­Ρ€Π΅Π½ΡŒ Ρ€Π°Β­Π²Π΅Π½ βˆ’54, Ρ‚. Π΅. x=Β±54.

ΠžΡ‚Β­Π²Π΅Ρ‚: Π°) 73; Π±) Β±54.

Π’ Ρ‚Π΅Ρ‚Β­Ρ€Π°Β­Π΄ΠΈ Ρ€Π΅Β­ΡˆΠ΅Β­Π½ΠΈΠ΅ урав­нС­ния Π±) (Π°Π½Π°Β­Π»ΠΎΒ­Π³ΠΈΡ‡Β­Π½ΠΎ ΠΈ Π°)) ΠΌΠΎΠΆΒ­Π½ΠΎ Π·Π°Β­ΠΏΠΈΒ­ΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ:

РС­шС­ниС: x4=5 ⇔ x=Β±54.

ΠžΡ‚Β­Π²Π΅Ρ‚: Β±54.

ΠŸΡ€ΠΈΒ­ΠΌΠ΅Ρ€ 3. Π Π΅Β­ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Β­Π½Π΅Β­Π½ΠΈΠ΅:

Π°) (x8)8=x;

Π±) (x13)13=x.

Π‘Ρ‚Ρ€. 14

РС­шС­ниС. Π°) Чис­ло 8 β€” Ρ‡Π΅Ρ‚Β­Π½ΠΎΠ΅, Π·Π½Π°Β­Ρ‡ΠΈΡ‚, Π΄Π°Π½Β­Π½ΠΎΠ΅ ра­вСн­ство яв­ля­Ст­ся тоТ­дС­ством ΠΏΡ€ΠΈ xβ‰₯0, по­это­му ΠΊΠ°ΠΆΒ­Π΄ΠΎΠ΅ Π½Π΅Β­ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΒ­Ρ†Π°Β­Ρ‚Π΅Π»ΡŒΒ­Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Β­Ρ‡Π΅Β­Π½ΠΈΠ΅ Ρ… яв­ля­Ст­ся Ρ€Π΅Β­ΡˆΠ΅Β­Π½ΠΈΒ­Π΅ΠΌ (ΠΊΠΎΡ€Β­Π½Π΅ΠΌ) урав­нС­ния (x8)8=x.

Π±) Чис­ло 13 β€” Π½Π΅Β­Ρ‡Π΅Ρ‚Β­Π½ΠΎΠ΅, Π·Π½Π°Β­Ρ‡ΠΈΡ‚, Π΄Π°Π½Β­Π½ΠΎΠ΅ ра­вСн­ство яв­ля­Ст­ся тоТ­дС­ством ΠΏΡ€ΠΈ лю­бом Π·Π½Π°Β­Ρ‡Π΅Β­Π½ΠΈΠΈ Ρ…, по­это­му Ρ€Π΅Β­ΡˆΠ΅Β­Π½ΠΈΒ­Π΅ΠΌ урав­нС­ния (x13)13=x яв­ля­Ст­ся лю­боС Π΄Π΅ΠΉΒ­ΡΡ‚Π²ΠΈΒ­Ρ‚Π΅Π»ΡŒΒ­Π½ΠΎΠ΅ чис­ло, Π° R β€” мно­ТС­ство всСх Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Β­Π½Π΅ΠΉ.

ΠžΡ‚Β­Π²Π΅Ρ‚: Π°) [0;+∞); Π±) R.

ΠŸΡ€ΠΈΒ­ΠΌΠ΅Ρ€ 4. Π Π΅Β­ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Β­Π½Π΅Β­Π½ΠΈΠ΅

РС­шС­ниС. ΠžΠ±ΠΎΒ­Π·Π½Π°Β­Ρ‡ΠΈΠΌ x6=t, Ρ‚ΠΎΒ­Π³Π΄Π° ΠΏΠΎΒ­Π»ΡƒΒ­Ρ‡ΠΈΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Β­Π½Π΅Β­Π½ΠΈΠ΅

ΠšΠΎΡ€Β­Π½ΠΈ это­го урав­нС­ния

Π’Π°Β­ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Β­Ρ€Π°Β­Π·ΠΎΠΌ, ΠΈΠΌΠ΅Β­Π΅ΠΌ

ΠΎΡ‚Β­ΠΊΡƒΒ­Π΄Π° x=Β±2 (по­яс­ни­тС, ΠΏΠΎΒ­Ρ‡Π΅Β­ΠΌΡƒ ΡƒΡ€Π°Π²Β­Π½Π΅Β­Π½ΠΈΠ΅ x6=βˆ’1 Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Β­Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΡ€Β­Π½Π΅ΠΉ).

ΠžΡ‚Β­Π²Π΅Ρ‚: Β±2.

1

1Ка­коС чис­ло на­зы­ва­Ст­ся ΠΊΠΎΡ€Β­Π½Π΅ΠΌ n-ΠΉ стС­пС­ни ΠΈΠ· чис­ла Π°?

1

2

2Бколь­ко су­щС­ству­Ст ΠΊΠΎΡ€Β­Π½Π΅ΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Β­Π½ΠΎΠΉ стС­пС­ни n ΠΈΠ· ΠΏΠΎΒ­Π»ΠΎΒ­ΠΆΠΈΒ­Ρ‚Π΅Π»ΡŒΒ­Π½ΠΎΒ­Π³ΠΎ чис­ла Π°?

2

3

3ΠšΠΎΒ­Ρ€Π΅Π½ΡŒ ΠΊΠ°Β­ΠΊΠΎΠΉ стС­пС­ни су­щС­ству­Ст ΠΈΠ· лю­бо­го чис­ла Π°?

3

4

4Ка­кой ΠΊΠΎΒ­Ρ€Π΅Π½ΡŒ n-ΠΉ стС­пС­ни ΠΈΠ· чис­ла Π° на­зы­ва­Ст­ся ариф­мС­ти­чС­ским?

4

5

5ΠŸΡ€ΠΈ ΠΊΠ°Β­ΠΊΠΈΡ… зна­чС­ни­ях Π° Π²Π΅Ρ€Β­Π½ΠΎ ра­вСн­ство (an)n=a, Ссли:

Π°) n β€” Π½Π΅Β­Ρ‡Π΅Ρ‚Β­Π½ΠΎΠ΅ чис­ло;

Π±) n β€” Ρ‡Π΅Ρ‚Β­Π½ΠΎΠ΅ чис­ло?

5

УпраТ­нС­ния

1.24Β°

1.24Β°Π˜ΡΒ­ΠΏΠΎΠ»ΡŒΒ­Π·ΡƒΡ ΠΎΠΏΡ€Π΅Β­Π΄Π΅Β­Π»Π΅Β­Π½ΠΈΠ΅ ариф­мС­ти­чС­ско­го кор­ня n-ΠΉ стС­пС­ни, Π΄ΠΎΒ­ΠΊΠ°Β­ΠΆΠΈΒ­Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ:

1) 2564=4;

2) 102410=2;

3) 7296=3;

4) 65618=3;

5) 409612=2;

6) 14 6414=11.

1.24Β°

Π‘Ρ‚Ρ€. 15

1.25Β°

1.25Β°Π’Π΅Ρ€Β­Π½ΠΎ Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ:

1) чис­ло βˆ’4 яв­ля­Ст­ся ΠΊΠΎΡ€Β­Π½Π΅ΠΌ Ρ‡Π΅Ρ‚Β­Π²Π΅Ρ€Β­Ρ‚ΠΎΠΉ стС­пС­ни ΠΈΠ· чис­ла 256;

2) чис­ло βˆ’0,3 яв­ля­Ст­ся ΠΊΠΎΡ€Β­Π½Π΅ΠΌ Ρ‡Π΅Ρ‚Β­Π²Π΅Ρ€Β­Ρ‚ΠΎΠΉ стС­пС­ни ΠΈΠ· чис­ла βˆ’0,0081?

1.25Β°

1.26Β°

1.26Β°Π’Π΅Ρ€Β­Π½ΠΎ Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ:

1) βˆ’17283=βˆ’12;

2) βˆ’33753=15;

3) βˆ’16 8075=7;

4) βˆ’77765=βˆ’6?

1.26Β°

1.27Β°

1.27°Най­ди­тС ариф­мС­ти­чС­ский ΠΊΠ²Π°Π΄Β­Ρ€Π°Ρ‚Β­Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΒ­Ρ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· чис­ла:

1) 16;

2) 49;

3) 0;

4) 1;

5) 0,81;

6) 0,25;

7) 2,25;

8) 1,21;

9) 36169;

10) 144289;

11) 169100;

12) 81256.

1.27Β°

1.28Β°

1.28°Най­ди­тС ку­би­чС­ский ΠΊΠΎΒ­Ρ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· чис­ла:

1) 1;

2) 0;

3) 343;

4) 8;

5) 127;

6) 0,027;

7) 0,001;

8) 64125.

1.28Β°

1.29Β°

1.29°Най­ди­тС ариф­мС­ти­чС­ский ΠΊΠΎΒ­Ρ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Β­Π²Π΅Ρ€Β­Ρ‚ΠΎΠΉ стС­пС­ни ΠΈΠ· чис­ла:

1) 0;

2) 1;

3) 16;

4) 0,0016;

5) 1681;

6) 256625;

7) 0,0001;

8) 0,1296.

1.29Β°

Вы­чис­ли­тС (1.30β€”1.42).

1.30Β°

1.30Β°1) 9,16,25,49,81,100;

2) 0,16,0,09,0,01,0,04,0,0025,0,0001;

3) 273,643,βˆ’1253,0,0083,0,0002163,βˆ’1 000 0003;

4) 164,6254,10 0004,0,00814,0,000000164,24014;

5) 325,10245,2435,0,031255,100 0005,0,000015;

6) 646,7296,15 6256,40966,0,0466566,1 000 0006.

1.30Β°

1.31Β°

1.31Β°1) βˆ’10003;

2) βˆ’115;

3) βˆ’643;

4) βˆ’10245;

5) βˆ’1273;

6) βˆ’3433;

7) βˆ’272163;

8) βˆ’31255;

9) βˆ’0,000325.

1.31Β°

Π‘Ρ‚Ρ€. 16

1.32

1.321) βŽ›βŽβˆ’33⎞⎠3;

2) βŽ›βŽβˆ’145⎞⎠5;

3) βŽ›βŽβˆ’307⎞⎠7;

4) βŽ›βŽβˆ’1511⎞⎠11;

5) βŽ›βŽβˆ’69⎞⎠9;

6) βŽ›βŽβˆ’9915⎞⎠15.

1.32

1.33

1.331) βŽ›βŽβˆ’22113⎞⎠3Β·βŽ›βŽβˆ’6195⎞⎠5Β·βŽ›βŽβˆ’9513⎞⎠13Β·βŽ›βŽβˆ’1134017⎞⎠17;

2) βŽ›βŽβˆ’34159⎞⎠9Β·βŽ›βŽβˆ’1587⎞⎠7Β·βŽ›βŽβˆ’11145⎞⎠5Β·βŽ›βŽβˆ’125393⎞⎠3.

1.33

1.34

1.341) βŽ›βŽ53⎞⎠6;

2) βŽ›βŽ0,14⎞⎠12;

3) βŽ›βŽ1125⎞⎠10;

4) βŽ›βŽ2136⎞⎠18;

5) βŽ›βŽ567⎞⎠21;

6) βŽ›βŽ239⎞⎠36.

1.34

1.35

1.351) βŽ›βŽ35⎞⎠10;

2) βŽ›βŽ534⎞⎠48;

3) βŽ›βŽ7610⎞⎠120;

4) βŽ›βŽ643⎞⎠12;

5) βŽ›βŽ108⎞⎠16;

6) βŽ›βŽ1294⎞⎠36.

1.35

1.36Β°

1.36Β°1) βŽ›βŽ10⎞⎠2;

2) βŽ›βŽ53⎞⎠3;

3) βŽ›βŽβˆ’124⎞⎠4;

4) βˆ’1244;

5) βŽ›βŽβˆ’35⎞⎠5;

6) βŽ›βŽ323⎞⎠3;

7) βŽ›βŽβˆ’444⎞⎠4;

8) βŽ›βŽβˆ’157⎞⎠7;

9) βˆ’5555;

10) βŽ›βŽβˆ’36⎞⎠6;

11) βŽ›βŽβˆ’229⎞⎠9;

12) βˆ’488.

1.36Β°

1.37Β°

1.37Β°1) 325+βˆ’83;

2) 6254βˆ’βˆ’1253;

3) 12βˆ’60,1253;

4) 1+100,00814;

5) 3164βˆ’4273;

6) βˆ’3383+2,25;

7) 83βˆ’643;

8) 164βˆ’643.

1.37Β°

1.38Β°

1.38Β°1) 9+4;

2) 36βˆ’164;

3) 0,81+0,0013;

4) 0,0273βˆ’0,04;

5) 5βˆ’2564;

6) 7+83;

7) βˆ’325+164;

8) βˆ’273+814.

1.38Β°

1.39Β°

1.39Β°1) (1βˆ’2)βŽ›βŽ1+2⎞⎠;

2) βŽ›βŽ3βˆ’2βŽžβŽ βŽ›βŽ3+2⎞⎠;

3) βŽ›βŽ23+4βŽžβŽ βŽ›βŽ23βˆ’4⎞⎠;

4) βŽ›βŽ35βˆ’2βŽžβŽ βŽ›βŽ35+2⎞⎠;

5) βŽ›βŽ10βˆ’6βŽžβŽ βŽ›βŽ6+10⎞⎠;

6) βŽ›βŽ7+3βŽžβŽ βŽ›βŽ3βˆ’7⎞⎠.

1.39Β°

Π‘Ρ‚Ρ€. 17

1.40

1.401) 1225244β‹…15βˆ’1382βˆ’2323;

2) 58+442βˆ’26235;

3) 90+31βŽ›βŽ572βˆ’262⎞⎠83;

4) 2364+βŽ›βŽ482βˆ’3225βŽžβŽ βˆ’13.

1.40

1.41

1.411) βŽ›βŽβŽœβŽ›βŽβŽ›βŽ23⎞⎠33βŽžβŽ βˆ’3βˆ’βŽ›βŽβŽ›βŽ43βŽžβŽ βˆ’55⎞⎠5βŽžβŽ βŽŸβˆ’1Β·βŽ›βŽβˆ’277⎞⎠7;

2) βŽ›βŽβŽœβŽ›βŽ175βŽžβŽ βˆ’10+βŽ›βŽβˆ’409⎞⎠9Β·βŽ›βŽ537⎞⎠0βŽžβŽ βŽŸβˆ’1:βŽ›βŽ95βŽžβŽ βˆ’10;

3) βŽ›βŽβŽœβŽ›βŽβŽœβŽ›βŽ34⎞⎠23⎞⎠⎟6+βŽ›βŽβˆ’4βˆ’27⎞⎠7⎞⎠⎟:βŽ›βŽβŽœβŽ›βŽβŽœβŽ›βŽ56⎞⎠05⎞⎠⎟10βˆ’βŽ›βŽβˆ’βŽ›βŽ32βŽžβŽ βˆ’19⎞⎠9⎞⎠⎟;

4) ((((βˆ’45)3)3)0βˆ’(βˆ’0,111)βˆ’22):(((38)βˆ’15)5Β·((32)37)7+(βˆ’129)βˆ’9).

1.41

1.42

1.421) βŽ›βŽa77⎞⎠7βŽ›βŽa55⎞⎠5;

2) βŽ›βŽa33⎞⎠3βŽ›βŽa99⎞⎠9;

3) βŽ›βŽβŽœ213βŽ›βŽa33⎞⎠3Β·βŽ›βŽb77⎞⎠7⎞⎠⎟2Β·βŽ›βŽβŽœβˆ’127βŽ›βŽa55⎞⎠5Β·βŽ›βŽb1111⎞⎠11⎞⎠⎟;

4) 337βŽ›βŽa55⎞⎠5Β·βŽ›βŽb99⎞⎠9Β·βŽ›βŽβŽœβˆ’213βŽ›βŽa77⎞⎠7Β·βŽ›βŽb1313⎞⎠13⎞⎠⎟2.

1.42

Най­ди­тС Π΅ΡΡ‚Π΅Β­ΡΡ‚Π²Π΅Π½Β­Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠ±Β­Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрС­дС­лС­ния вы­ра­ТС­ния (1.43β€”1.44).

1.43

1.431) x+4;

2) βˆ’9+2×4;

3) 5×2βˆ’6×10;

4) 8xβˆ’4×212;

5) x+33;

6) xβˆ’75;

7) x2βˆ’47;

8) 2×2βˆ’329.

1.43

1.44

1.441) 34xβˆ’112;

2) βˆ’48xβˆ’314;

3) 2βˆ’59βˆ’5×8;

4) 3βˆ’1016βˆ’7×6;

5) 2+x4βˆ’2(8βˆ’6x)3;

6) 12βˆ’6×2βˆ’7x+(3xβˆ’1)Β·25;

7) βˆ’x22(xβˆ’2)βˆ’5βŽ›βŽ1βˆ’3x)βˆ’24;

8) 3(x+4)βˆ’6(2βˆ’x)+9×428.

1.44

Π‘Ρ‚Ρ€. 18

1.45

1.45Най­ди­тС Π΄Π»ΠΈΒ­Π½Ρƒ Ρ€Π΅Β­Π±Ρ€Π° ΠΊΡƒΒ­Π±Π°, Ссли Π΅Π³ΠΎ объ­См Ρ€Π°Β­Π²Π΅Π½:

1) 27 см3;

2) 64 ΠΌΠΌ3;

3) 0,125 Π΄ΠΌ3;

4) 0,216 ΠΌ3.

1.45

Π Π΅Β­ΡˆΠΈΒ­Ρ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Β­Π½Π΅Β­Π½ΠΈΠ΅ (1.46β€”1.54).

1.46Β°

1.46Β°1) x2=0,49;

2) x2=121;

3) x3=0,008;

4) x3=1000;

5) x3=βˆ’64 000;

6) x3=216;

7) x4=0,0625;

8) x4=βˆ’16.

1.46Β°

1.47

1.471) x3=βˆ’27;

2) x5=βˆ’132;

3) x7=βˆ’1;

4) x9=βˆ’512;

5) x3=βˆ’0,027;

6) x11=0.

1.47

1.48Β°

1.48Β°1) x2=11;

2) x4=19;

3) x8=27;

4) x3=25;

5) x7=38;

6) x9=βˆ’2;

7) x15=βˆ’6;

8) x17=4;

9) x13=βˆ’13.

1.48Β°

1.49

1.491) x2=25 600;

2) x2=0,0196;

3) x2+1=1,0016;

4) 5×2βˆ’20=0;

5) x2+25=0;

6) x2+179=0;

7) x2Β·4=0;

8) βˆ’6×2=0;

9) 113×2βˆ’12=0;

10) 13×2βˆ’1=0.

1.49

1.50

1.501) 4×3+4125=0;

2) 8×3+27=0;

3) βˆ’0,1×4=βˆ’0,00001;

4) 16×4βˆ’81=0;

5) 12×5+16=0;

6) 132×6βˆ’2=0.

1.50

1.51

1.511) x4+2=7;

2) x5βˆ’3=30;

3) x6βˆ’7=19;

4) x3+5=5.

1.51

1.52

1.521) (x+1)4=16;

2) (xβˆ’2)6=64;

3) (2x+1)3=27;

4) (3xβˆ’1)5=32.

1.52

1.{n}=\underbrace{b*b*b*…*b}_{n \; Ρ€Π°Π·}=a. $$

Число \(n\) ΠΏΡ€ΠΈ этом Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ корня.

Если \(n=2\), Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π²Π°ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 2-ΠΉ стСпСни ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.

Если \(n=3\), Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 3-ΠΉ стСпСни ΠΈ Ρ‚.Π΄.

ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ извлСчСния корня n-ΠΉ стСпСни являСтся ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ возвСдСния Π² n-ю ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ.


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1 $$ \sqrt[3]{27}=3 $$

ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· числа 27 равняСтся 3. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ссли число 3 возвСсти Π² 3-ю ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ, Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ 27.


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2 $$ \sqrt[4]{16}=2 $$

ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 4-ΠΉ стСпСни ΠΈΠ· 16-ΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2. Π”Π²ΠΎΠΉΠΊΠ° Π² 4-ΠΉ стСпСни Ρ€Π°Π²Π½Π° 16.


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3 $$ \sqrt[3]{0}=0 $$

Если ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ n-ΠΉ стСпСни ΠΈΠ· 0, всСгда Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ 0.


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4 $$ \sqrt[3]{19}= ? $$

ΠœΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π² ΡƒΠΌΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π² 3-ю ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ даст 19. Если ΠΏΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π΅, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ \(2,668…\) – ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число с бСсконСчным количСством Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² послС запятой.

ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ, Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρƒ вас получаСтся ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π½Π΅ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ ΠΈ ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π΅ΡΡ‚ΡŒ \(\sqrt[3]{19}\).

Π§Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, Ссли ΠΏΠΎΠ΄ Ρ€ΡƒΠΊΠΎΠΉ Π½Π΅Ρ‚ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°, Π° Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. Π’ этом случаС Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ справа ΠΈ слСва Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ блиТайшиС числа, ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ:

$$ \sqrt[3]{8} \le \sqrt[3]{19} \le \sqrt[3]{27} $$ $$ 2 \le \sqrt[3]{19} \le 3 $$

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ наш ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ числами 2 ΠΈ 3.


ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни

Надо Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΊΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ стСпСнями. Π”Π΅Π»ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа. Из ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни Π½Π΅ сущСствуСт.

ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. Иногда Π² школьной ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ задания, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… трСбуСтся ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π»ΠΈ смысл Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5 $$ \sqrt[3]{-27}=-3 $$

Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысл, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· любого числа, Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ.


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 6 $$ \sqrt[4]{-27} $$

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни, Π° ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ стоит ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысла.k} $$

ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ n-ΠΉ стСпСни ΠΈ Π΅Π³ΠΎ свойства

ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ n-ΠΉ стСпСни ΠΈ Π΅Π³ΠΎ свойства

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ n-ΠΉ стСпСни? Как ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ?

Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β  Π’ восьмом классС Π²Ρ‹ ΡƒΠΆΠ΅ успСли ΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ. РСшали Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ с корнями, примСняя Ρ‚Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‹Π΅ свойства ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния, Π³Π΄Π΅ Π±Π΅Π· извлСчСния ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня — Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊ. Но ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒΒ β€” это лишь частный случай Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎΠ³ΠΎ понятия — корня n-ΠΉ стСпСни. Помимо ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ, Π±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ, пятой ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высоких стСпСнСй. И для ΡƒΡΠΏΠ΅ΡˆΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ с Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ корнями Π½Π΅ΠΏΠ»ΠΎΡ…ΠΎ Π±Ρ‹ всё-Ρ‚Π°ΠΊΠΈ для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π° Β«Ρ‚Ρ‹Β» с корнями ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ.) ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρƒ ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ с Π½ΠΈΠΌΠΈΒ β€” Π½Π°ΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ.

Β  Β  Β  Β  Β  Β  Π˜Π·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня — это ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… возвСдСнию Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ.) ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ Β«ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ·Β»? ΠŸΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, извлСкая ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, ΠΌΡ‹ ΠΈΡ‰Π΅ΠΌ основаниС ΠΏΠΎ извСстным стСпСни ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ. А Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Ρ‘ ΠΎΠ΄Π½Π° обратная опСрация — Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ показатСля ΠΏΠΎ извСстным стСпСни ΠΈ основанию. Вакая опСрация называСтся Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°. Она Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТная, Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня ΠΈ изучаСтся Π² ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΡ… классах.)

Β  Β  Β  Β  Β  Β  Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, знакомимся!

Β  Β  Β  Β  Β  Β  Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, обозначаСтся Π²ΠΎΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊ: . НазываСтся этот Π·Π½Π°Ρ‡ΠΎΠΊ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ красиво ΠΈ Π½Π°ΡƒΡ‡Π½ΠΎΒ β€” Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π». А ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… стСпСнСй? ΠžΡ‡Π΅Π½ΡŒ просто: Π½Π°Π΄ «хвостиком» Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π° Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΈΡˆΡƒΡ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни, ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ищСтся. Если ищСтся кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΈΡˆΡƒΡ‚ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠΊΡƒ: . Если ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни, Ρ‚ΠΎ, соотвСтствСнно,Β . И Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅.) Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ n-ΠΉ стСпСни обозначаСтся Π²ΠΎΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊ:

, Π³Π΄Π΅ .

Β  Β  Β  Β  Β  Β  Число a, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… корнях, называСтся ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Π° Π²ΠΎΡ‚ число n для нас здСсь Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅. И называСтся ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ корня.

Β  Β  Β  Β  Β  Β  Как ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… стСпСнСй? Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅Β β€” ΡΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ число Π² n-ΠΉ стСпСни Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ Π½Π°ΠΌ число a.)

Β  Β  Β  Β  Β  Β  Как, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 8? Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ? А ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ число Π² ΠΊΡƒΠ±Π΅ даст Π½Π°ΠΌ 8? Π”Π²ΠΎΠΉΠΊΠ°, СстСствСнно.) Π’ΠΎΡ‚ ΠΈ ΠΏΠΈΡˆΡƒΡ‚:

Β  Β  Β  Β  Β  Β  Или . КакоС число Π² Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ 81? Π’Ρ€ΠΎΠΉΠΊΠ°.) Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚,

Β  Β  Β  Β  Β  Β  А ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ дСсятой стСпСни ΠΈΠ· 1? Ну, Π΅ΠΆΡƒ понятно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° Π² любой стСпСни (Π² Ρ‚ΠΎΠΌ числС ΠΈ Π² дСсятой) Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅. ) Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ:

Β ΠΈ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ .

Β  Β Π‘ Π½ΡƒΠ»Ρ‘ΠΌ Ρ‚Π° ΠΆΠ΅ история: ноль Π² любой Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ стСпСни Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Π‘Ρ‚Π°Π»ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ,Β .

Β  Β  Β  Β  Β   Как Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΠΏΠΎ ΡΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ корнями, здСсь ΡƒΠΆΠ΅ послоТнСС ΡΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ число Π² Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠΉ стСпСни Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ Π½Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ число a. Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½Π΅Π΅Β ΠΏΠΎΠ΄Π±ΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π½Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ n. Битуация сущСствСнно облСгчаСтся, Ссли Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Π² Π»ΠΈΡ†ΠΎ стСпСни популярных чисСл. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ сСйчас — трСнируСмся. πŸ™‚ Распознаём стСпСни!)

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ (Π² бСспорядкС):

Β  Β  Β  Β  Β  Π”Π°-Π΄Π°! ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ² побольшС, Ρ‡Π΅ΠΌ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ.) ΠŸΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ, 28, 44Β ΠΈ 162 – это всё ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ число 256.

Β  Β  Β  Β  Β  ΠŸΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈΡΡŒ? Π’ΠΎΠ³Π΄Π° считаСм ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‡ΠΈΠΊΠΈ:

Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β 

Β  Β  Β  Β  Β  ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ (Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π² бСспорядкС): 6; 2; 3; 2; 3; 5.

Β  Β  Β  Β  Β  ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ? Π’Π΅Π»ΠΈΠΊΠΎΠ»Π΅ΠΏΠ½ΠΎ! ДвиТСмся дальшС.)

ΠžΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ Π² корнях. АрифмСтичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒΒ n-ΠΉ стСпСни.

Β  Β  Β  Β  Β  Π’ корнях n-ΠΉ стСпСни, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ…, Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ свои ограничСния ΠΈ свои Ρ„ΠΈΡˆΠΊΠΈ. По своСй сути, ΠΎΠ½ΠΈ Π½ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ для ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

Β  Β  Β  Β  Β  НапримСр, ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π²ΠΎΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ:

Β  Β  Β  Β  Β  НС подбираСтся вСдь, Π΄Π°? Π§Ρ‚ΠΎ 3, Ρ‡Ρ‚ΠΎ -3 Π² Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ +81. πŸ™‚ И с Π»ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚Π° ΠΆΠ΅ пСсня. А это Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл нСльзя. Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π°ΠΏΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ дСйствиС Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅. Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΆΠ΅ Π·Π°ΠΏΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ноль. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ выраТСния, ΠΊΠ°ΠΊ , Β ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅Β β€” Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ смысла.

Β  Β  Β  Β  Β  Π—Π°Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈΒ Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл — поТалуйста!

Β  Β  Β  Β  Β  НапримСр, ;Β , ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅.)

Β  Β  Β  Β  Β  А ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ со спокойной Π΄ΡƒΡˆΠΎΠΉ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… стСпСнСй:

Β  Β  Β  Β  Β  Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ, понятно, Π΄ΡƒΠΌΠ°ΡŽ. ) И, кстати, ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½Π΅ обязан ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ. Π­Ρ‚ΠΎ просто ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅, чисто для понимания.) Π‘Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² процСссС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ) Π²Ρ‹ΠΏΠ»Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΈ довольно сквСрныС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ. Π§Ρ‚ΠΎ-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ Ρ‚ΠΈΠΏΠ°Β . Из Π²ΠΎΡΡŒΠΌΡ‘Ρ€ΠΊΠΈ кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ извлСкаСтся ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎ, Π° Ρ‚ΡƒΡ‚ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ сСмёрка. Π§Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ? НичСго ΡΡ‚Ρ€Π°ΡˆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ. Всё Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅.  – это число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π² ΠΊΡƒΠ± даст Π½Π°ΠΌ 7. Волько число это ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ нСкрасивоС ΠΈ Π»ΠΎΡ…ΠΌΠ°Ρ‚ΠΎΠ΅. Π’ΠΎΡ‚ ΠΎΠ½ΠΎ:

Β  Β  Β  Β  Β  ΠŸΡ€ΠΈΡ‡Ρ‘ΠΌ, это число Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ кончаСтся ΠΈ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π°: Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρ‹ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‚ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ бСспорядочно. Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ оно… Π’ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… случаях ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ корня.) А Π²ΠΎΡ‚ Ссли ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ извлСкаСтся чисто (ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ,Β ), Ρ‚ΠΎ, СстСствСнно, Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ:

Β  Β  Β  Β  Β  Π˜Π΄Ρ‘ΠΌ дальшС.

Β  Β  Β  Β  Β Β Π‘Π½ΠΎΠ²Π° Π±Π΅Ρ€Ρ‘ΠΌ нашС ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ число 81 ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Π΅ΠΌ ΠΈΠ· Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни:

Β  Β  Β  Β  Β  ΠŸΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΈ Π² Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ 81. Ну, Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ! Но вСдь ΠΈ минус Ρ‚Ρ€ΠΈ Π² Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ 81!

Β  Β  Β  Β  Β  ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ:

Β  Β  Β  Β  Β  И, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΅Ρ‘ ΡƒΡΡ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… корнях, Π²Π²Π΅Π»ΠΈ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½: арифмСтичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ n-ΠΉ стСпСни ΠΈΠ· числа a – это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, n-я ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Π° a.

Β  Β  Β  Β  Β  А ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ с плюсом-минусом называСтся ΠΏΠΎ-Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌΡƒΒ β€” алгСбраичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ n-ΠΉ стСпСни. Π£ любой Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни алгСбраичСским ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… числа. Π’ школС ΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ с арифмСтичСскими корнями. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа Π² арифмСтичСских корнях попросту ΠΎΡ‚Π±Ρ€Π°ΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ. НапримСр, ΠΏΠΈΡˆΡƒΡ‚: . Π‘Π°ΠΌ плюс, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ ΠΆΠ΅, Π½Π΅ ΠΏΠΈΡˆΡƒΡ‚: Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Π²Π°ΡŽΡ‚.

Β  Β  Β  Β  Β  Всё, казалось Π±Ρ‹, просто, но… А ΠΊΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ с корнями Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл? Π’Π΅Π΄ΡŒ Ρ‚Π°ΠΌ-Ρ‚ΠΎ всСгда ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ получаСтся ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число! Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ любоС ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число Π² Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число. А арифмСтичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ с Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами! На Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ ΠΈ арифмСтичСский.)

Β  Β  Β  Β  Β  Π’ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… корнях Π΄Π΅Π»Π°ΡŽΡ‚ Π²ΠΎΡ‚ Ρ‡Ρ‚ΠΎ: выносят минус ΠΈΠ·-ΠΏΠΎΠ΄ корня ΠΈ ставят ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ. Π’ΠΎΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊ:

Β  Β  Β  Β  Β  Π’ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… случаях говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Β Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· арифмСтичСский (Ρ‚.Π΅. ΡƒΠΆΠ΅ Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ) ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒΒ .

Β  Β  Β  Β  Β  Но Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ΠΈΠΊ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Π½ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡƒΡ‚Π°Π½ΠΈΡ†Ρƒ,Β β€” это Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅Π½ΡŒΠΊΠΈΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ со стСпСнями. НапримСр, Π²ΠΎΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

Β  Β  Β  Β  Β  ПишСм ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚: . На самом Π΄Π΅Π»Π΅, этот ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Β β€” всСго-навсСго сокращённая запись Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ²:

Β  Β  Β  Β  Β  НСпонятка здСсь Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‡ΡƒΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ я ΡƒΠΆΠ΅ написал, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² школС Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ (Ρ‚.Π΅. арифмСтичСскиС) ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ. А Ρ‚ΡƒΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ² с минусом… Как Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ? Π”Π° Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊ! Π—Π½Π°ΠΊΠΈ Π·Π΄Π΅ΡΡŒΒ β€” это Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ уравнСния. А сам ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒΒ β€” Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° всё Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ! Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ сами:

Β  Β  Β  Β  Β  Ну ΠΊΠ°ΠΊ, Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ понятнСС? Π‘ΠΎ скобочками?)

Β  Β  Β  Β  Β  Π‘ Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΡŽ всё Π³ΠΎΡ€Π°Π·Π΄ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Β β€” Ρ‚Π°ΠΌ всСгда получаСтся ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. Π‘ плюсом ΠΈΠ»ΠΈ с минусом. НапримСр:

Β  Β  Β  Β  Β  Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ссли ΠΌΡ‹ просто ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ (Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни) ΠΈΠ· числа, Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ всСгда ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚. ΠŸΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ это — арифмСтичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. А Π²ΠΎΡ‚, Ссли ΠΌΡ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΡŽ, Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π΄Π²Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… корня, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ это — Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния.

Β  Β  Β  Β  Β  Π‘ корнями Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… стСпСнСй (кубичСскими, пятой стСпСни ΠΈ Ρ‚.Π΄.) ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ…. ИзвлСкаСм сСбС ΠΈ Π½Π΅ паримся со Π·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ. Плюс ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌΒ β€” Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΈ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ извлСчСния с плюсом. ΠœΠΈΠ½ΡƒΡΒ β€” Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, минус.)

Β  Β  Β  Β  Β  А Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ настал Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‘Π΄ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ со свойствами ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. НСкоторыС ΡƒΠΆΠ΅ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π½Π°ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ‹ ΠΏΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ корням, Π½ΠΎ добавится ΠΈ нСсколько Π½ΠΎΠ²Ρ‹Ρ…. ΠŸΠΎΠ΅Ρ…Π°Π»ΠΈ!

Бвойства ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· произвСдСния.

Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Π­Ρ‚ΠΎ свойство ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΎ Π½Π°ΠΌ ΠΈΠ· ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. Для ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… стСпСнСй всё Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ:

Β Β Β Β Β Β  Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· произвСдСния Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ мноТитСля ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ.

Β Β Β Β Β Β Β  Если ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ nΒ Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Π° ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… числа aΒ ΠΈ bΒ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ, СстСствСнно, Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ, ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° смысла Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚. Π’ случаС Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ показатСля ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… Π½Π΅Ρ‚: выносим минусы ΠΈΠ·-ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π²ΠΏΠ΅Ρ€Ρ‘Π΄ ΠΈ дальшС Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅ΠΌ с арифмСтичСскими корнями.)

Β Β Β Β Β Β Β  Как ΠΈ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… корнях, здСсь эта Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊ слСва Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ справа Π½Π°Π»Π΅Π²ΠΎ. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ слСва Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ позволяСт ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈΠ· произвСдСния. НапримСр:

Β  Β  Β  Β  Π­Ρ‚Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°, кстати говоря, справСдлива Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ для Π΄Π²ΡƒΡ…, Π° для любого числа ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ. НапримСр:

Β Β Β Β Β Β Β  Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎ этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈΠ· Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… чисСл: для этого число ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ раскладываСтся Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ помСньшС, Π° дальшС ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ мноТитСля. Β  Β 

Β Β  Β  Β   НапримСр, Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅:

Β Β Β Β Β Β  Число достаточно большоС. Π˜Π·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ Π»ΠΈ ΠΈΠ· Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎΒ β€” Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅Β Π±Π΅Π· ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π° нСпонятно. Π₯ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ Π±Ρ‹ Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. На Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ дСлится число 3375? На 5, ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅: послСдняя Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π°Β β€” пятёрка.) Π”Π΅Π»ΠΈΠΌ:

Β Β Β Β Β Β Β  Ой, снова Π½Π° 5 дСлится! 675:5 = 135. И 135 ΠΎΠΏΡΡ‚ΡŒ Π½Π° пятёрку дСлится. Π”Π° ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΆ это кончится!)

Β  Β 135:5 = 27. Π‘ числом 27 всё ΡƒΠΆΠ΅ ясно — это Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠΊΠ° Π² ΠΊΡƒΠ±Π΅. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Β 

Β  Β  Β  Β  Π’ΠΎΠ³Π΄Π°:

Β  Β  Β  Β  ИзвлСкли ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎ кусочкам, Π½Ρƒ ΠΈ Π»Π°Π΄Π½ΠΎ.)

Β Β Β Β Β Β Β  Или Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Β  Β  Β  Β  Β Π‘Π½ΠΎΠ²Π° раскладываСм Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌ дСлимости. Каким? На 4, Ρ‚.ΠΊ. послСдняя ΠΏΠ°Ρ€ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ 40Β β€” дСлится Π½Π° 4. И Π½Π° 10, Ρ‚.ΠΊ. послСдняя Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π°Β β€” ноль. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΌΠ°Ρ…ΠΎΠΌ сразу Π½Π° 40:

Β  Β  Β  Β  Β ΠŸΡ€ΠΎ число 216 ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это ΡˆΠ΅ΡΡ‚Ρ‘Ρ€ΠΊΠ° Π² ΠΊΡƒΠ±Π΅. Π‘Ρ‚Π°Π»ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ,

Β  Β  Β  Β   А 40, Π² свою ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ . Π’ΠΎΠ³Π΄Π°

Β  Β  Β  Β   И Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

Β  Β  Β  Β   Чисто ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π½Π΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ»ΠΎ, Π½Ρƒ ΠΈ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ ΡΡ‚Ρ€Π°ΡˆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ. Всё Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΌΡ‹ упростили Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΌΡ‹ ΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ (Ρ…ΠΎΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ, Ρ…ΠΎΡ‚ΡŒ кубичСским — Π»ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌ) принято ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ самоС малСнькоС число ΠΈΠ· Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ…. ) Π’ этом ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π΅Π»Π°Π»ΠΈ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ вСсьма ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡŽ, Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡƒΡŽ Π½Π°ΠΌ ΠΈΠ· ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. Π£Π·Π½Π°Ρ‘Ρ‚Π΅? Π”Π°! ΠœΡ‹ вынСсли ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΈΠ·-ΠΏΠΎΠ΄ корня. Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΌΡ‹ вынСсли Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΡƒ ΠΈ ΡˆΠ΅ΡΡ‚Ρ‘Ρ€ΠΊΡƒ, Ρ‚.Π΅. число 12.

Как вынСсти ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ корня?

Β  Β  Β  Β  Β  Β   ВынСсти ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ) Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ корня ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ просто. РаскладываСм ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎ,Β Ρ‡Ρ‚ΠΎ извлСкаСтся.) А Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ извлСкаСтся — Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ оставляСм ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅:

Β  Β  Β  Β  Β  РаскладываСм число 9072 Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρƒ нас ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни, Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€Ρ‚Ρ‹ΠΌΠΈ стСпСнями Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл — 16, 81 ΠΈ Ρ‚.Π΄.

Β  Β  Β  Β  Β  ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ 9072 Π½Π° 16:

 ПодСлилось!

Β  Β  Β  Β  Β   А Π²ΠΎΡ‚ 567, ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅, дСлится Π½Π° 81:

Β  Β  Β  Β  Β  Β Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, .

Β  Β  Β  Β  Β  Β Π’ΠΎΠ³Π΄Π°

Бвойства ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β    Рассмотрим Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹Β β€” справа Π½Π°Π»Π΅Π²ΠΎ:

Β  Β  Β  Β  Β   На ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ взгляд, Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ, Π½ΠΎ Π²Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΠΌΠ°Π½Ρ‡ΠΈΠ²Π°. ) ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΡΠ΅Ρ‚ наши возмоТности. НапримСр:

Β  Β  Β  Β  Β  Β Π₯ΠΌ, Π½Ρƒ ΠΈ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΡƒΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ? Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ»ΠΈ ΠΈ всё. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΈ Π²ΠΏΡ€ΡΠΌΡŒ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ особСнного. ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. А Π²ΠΎΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€!

Β  Β  Β  Β  Β  Β ΠžΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ чисто Π½Π΅ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ. Π—Π°Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ· Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°Β β€” ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎ. )

Β  Β  Β  Β  Β  Β ΠžΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° справСдлива для любого числа ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ. НапримСр, Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π²ΠΎΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

Β  Β  Β  Β  Β  Β Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅Β β€” Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅. Π’ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈΒ β€” кубичСскиС ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни. И Π½ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Π½Π΅ извлСкаСтся…

Β  Β  Β  Β  Β   А Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° произвСдСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠ° Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΊ корням с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ показатСлями. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ сгруппируСм Π² ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΊΡƒΡ‡ΠΊΡƒ кубичСскиС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈ Π² ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽΒ β€” Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни. А Ρ‚Π°ΠΌ, глядишь, всё ΠΈ срастётся.))

Β  Β  Β  Β  Β  Β  И ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π΅ понадобилось.)

Как внСсти ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊ корня?

Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β Β Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ полСзная Π²Π΅Ρ‰ΡŒΒ β€” внСсСниС числа ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. НапримСр:

Β  Β  Β  Β  Β   МоТно Π»ΠΈ ΡƒΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠΊΡƒ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΡŒ корня? Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€Π½ΠΎ! Если Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠΊΡƒ ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Β ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Ρ‚ΠΎ сработаСт Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° произвСдСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅ΠΌ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠΊΡƒ Π² ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. Π Π°Π· Ρƒ нас ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни, Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π² ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни.) Π’ΠΎΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊ:

Β  Β  Β  Β  Β  Β Π’ΠΎΠ³Π΄Π°

Β  Β  Β  Β  Β  Β ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΠΌ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· любого Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа. ΠŸΡ€ΠΈΡ‡Ρ‘ΠΌ Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ (всё ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° зависит). Π­Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· n-ΠΉ стСпСни этого самого числа:

Β  Β  Β  Β  Β   А Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒΒ β€” Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅!Β Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π³Ρ€ΡƒΠ±Ρ‹Ρ… ошибок! Π― Π½Π΅ зря здСсь сказал ΠΏΡ€ΠΎ Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа. АрифмСтичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ с Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ. Если Ρƒ нас Π² Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΈ Π³Π΄Π΅-Ρ‚ΠΎ Π·Π°Ρ‚Π΅ΡΠ°Π»ΠΎΡΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Ρ‚ΠΎ Π»ΠΈΠ±ΠΎ минус Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ оставляСм, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ (Ссли ΠΎΠ½ снаруТи), Π»ΠΈΠ±ΠΎ избавляСмся ΠΎΡ‚ минуса ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, Ссли ΠΎΠ½ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ. Напоминаю, Ссли ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни получаСтся ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысла.

Β  Β  Β  Β  Β   НапримСр, Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅. ВнСсти ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊ корня:

Β  Β  Β  Β  Β   Если ΠΌΡ‹ сСйчас внСсём ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ минус Π΄Π²Π°, Ρ‚ΠΎ ТСстоко ΠΎΡˆΠΈΠ±Ρ‘ΠΌΡΡ:

Β  Β  Β  Β  Β  Β Π’ Ρ‡Ρ‘ΠΌ здСсь ошибка? А Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ чСтвёртая ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ, Π² силу своСй чётности, Π±Π»Π°Π³ΠΎΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π½ΠΎ «съСла» этот минус, Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Ρ‡Π΅Π³ΠΎ Π·Π°Π²Π΅Π΄ΠΎΠΌΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число Β ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ . А Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ выглядит Ρ‚Π°ΠΊ:

Β  Β  Β  Β  Β  Β Π’ корнях Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… стСпСнСй минус Ρ…ΠΎΡ‚ΡŒ ΠΈ Π½Π΅ Β«ΡΡŠΠ΅Π΄Π°Π΅Ρ‚ΡΡΒ», Π½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ снаруТи:

Β  Β  Β  Β  Β  Β Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни — кубичСский, ΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ минус Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π·Π°Π³Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. Но ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π΅Π΅ Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ… минус Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ снаруТи ΠΈ ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· арифмСтичСский (Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ) ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ , ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Β Ρ…ΠΎΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π½Π° Тизнь, Π½ΠΎ арифмСтичСским Π½Π΅ являСтся.

Β  Β  Β  Β  Β  Β Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, с внСсСниСм числа ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ всё ясно, я надСюсь.) ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ свойству.

Бвойства ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ. Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β Π­Ρ‚ΠΎ свойство Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ повторяСт Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ для ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. Волько Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ Π΅Π³ΠΎ распространяСм Π½Π° ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ любой стСпСни:

Β Β Β Β Β Β  ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΊΠΎΡ€Π½ΡŽ ΠΈΠ· числитСля, Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π½Π° ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· знамСнатСля.

Β Β Β Β Β Β Β  Если nΒ Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎ, Ρ‚ΠΎ число aΒ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Π° число b – строго ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ (Π½Π° ноль Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ нСльзя). Π’ случаС Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ показатСля СдинствСнным ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ .

Β Β Β Β Β Β Β  Π­Ρ‚ΠΎ свойство позволяСт Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΈ быстро ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈΠ· Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ:

Β Β Β Β Β Β  ИдСя понятна, Π΄ΡƒΠΌΠ°ΡŽ. ВмСсто Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ с Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒΡŽ Ρ†Π΅Π»ΠΈΠΊΠΎΠΌ ΠΌΡ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ с числитСлСм ΠΈ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ со Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ.) Если Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ дСсятичная ΠΈΠ»ΠΈ, ΠΎ уТас, смСшанноС число, Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π²Π°Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ дробям:

Β Β Β Β Β Β  А Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ посмотрим, ΠΊΠ°ΠΊ эта Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ справа Π½Π°Π»Π΅Π²ΠΎ. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π²Ρ‹ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹Π΅ возмоТности. НапримСр, Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‡ΠΈΠΊ:

Β  Β  Β   Из числитСля ΠΈ знамСнатСля ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ Π½Π΅ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ, Π·Π°Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ· всСй Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈΒ β€” прСкрасно.) МоТно Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ этот ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΈ ΠΏΠΎ-Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌΡƒΒ β€” вынСсти Π² числитСлС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈΠ·-ΠΏΠΎΠ΄ корня с ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ сокращСниСм:

Β Β Β Β Β Β  Как Π²Π°ΠΌ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ всСгда получится ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Β β€” ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Если ошибок Π½Π΅ Π½Π°Π»ΡΠΏΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎ Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠ³Π΅.)

Β Β Β Β Β Β Β Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, с ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ/Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π»ΠΈΡΡŒ. ПоднимаСмся Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΡΡ‚ΡƒΠΏΠ΅Π½ΡŒΠΊΡƒ ΠΈ рассматриваСм Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ свойство — ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π² стСпСни ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· стСпСни.

ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π² стСпСни. ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· стСпСни.

Β Β Β Β Β Β Β  Как возвСсти ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ? НапримСр, ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ число . МоТно это число возвСсти Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ? Π’ ΠΊΡƒΠ±, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€? ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ! ΠŸΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ сам Π½Π° сСбя Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π°, ΠΈΒ β€” ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ произвСдСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ:

Β Β Β Β Β Β  Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Π±Ρ‹Β Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΡƒΠ½ΠΈΡ‡Ρ‚ΠΎΠΆΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΊΠΎΠΌΠΏΠ΅Π½ΡΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈΡΡŒ. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ссли ΠΌΡ‹ число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π² ΠΊΡƒΠ± даст Π½Π°ΠΌ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠΊΡƒ, Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Ρ‘ΠΌ Π² этот самый ΠΊΡƒΠ±, Ρ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ? Π’Ρ€ΠΎΠΉΠΊΡƒ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ, разумССтся! И Ρ‚Π°ΠΊ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ для любого Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа. Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅:

Β Β Β Β Β Β  Если ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ стСпСни ΠΈ корня Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅, Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ. Если Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ свойства стСпСнСй.)

Β  Β  Β   Если ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни мСньшС показатСля корня, Ρ‚ΠΎ просто загоняСм ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄Β ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ:

Β Β Β Β Β Β  Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚:

Β Β Β Β Β Β Β  ИдСя понятна: Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π° дальшС ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Π΅ΠΌ, вынося ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΈΠ·-ΠΏΠΎΠ΄ корня, Ссли это Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ. Если nΒ Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎ, Ρ‚ΠΎ aΒ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ. ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒΒ β€” понятно, Π΄ΡƒΠΌΠ°ΡŽ.) А Ссли nΒ Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎ, Ρ‚ΠΎ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π°Β aΒ ΡƒΠΆΠ΅ Π½Π΅Ρ‚Ρƒ:

Β Β Β Β Β Β Β  РазбСрёмся Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ с ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ· стСпСни. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΡƒΠΆΠ΅ Π½Π΅ сам ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Π° ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ слоТного, Π½ΠΎ простора для ошибок Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ большС. ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ? ΠŸΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² ΠΈΠ³Ρ€Ρƒ Π²ΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°ΡŽΡ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π²Π½ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡƒΡ‚Π°Π½ΠΈΡ†Ρƒ Π² Π·Π½Π°ΠΊΠ°Ρ…. Пока Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‘ΠΌ с ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… стСпСнСй — ΠΎΠ½ΠΈ Π³ΠΎΡ€Π°Π·Π΄ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅.

Β  Β  Β  Β  ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ число 2. МоТно Π΅Π³ΠΎ возвСсти Π² ΠΊΡƒΠ±? ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ!

Β  Β  Β  Β  А Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒΒ β€” ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡Ρ‘ΠΌ ΠΈΠ· Π²ΠΎΡΡŒΠΌΡ‘Ρ€ΠΊΠΈ кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ:

Β  Β  Β  Β  Π‘ Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΈ, ΠΊ Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΠ΅ ΠΆΠ΅ ΠΈ Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΠ»ΠΈΡΡŒ.) НичСго ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ: Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΡƒΠ± ΡΠΊΠΎΠΌΠΏΠ΅Π½ΡΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉΒ β€” ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ кубичСского корня.

Β  Β  Β  Β  Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Β  Β  Β  Β  Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ всё ΠΏΡƒΡ‚Ρ‘ΠΌ. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π° скомпСнсировали. Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ для ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… стСпСнСй ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΊΡƒ:

Β  Β  Β  Β  Π­Ρ‚Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° справСдлива для любого Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа a. Π₯ΠΎΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ…ΠΎΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ.

Β  Β  Β  Β  Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, нСчётная ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ этой ΠΆΠ΅ стСпСни  всСгда Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ΅Π½ΡΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ ΠΈ получаСтся ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. πŸ™‚

Β  Β  Β  Β  А Π²ΠΎΡ‚ с Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΡŽ этот фокус ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡƒΠΆΠ΅ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΉΡ‚ΠΈ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ сами:

Β  Β  Β  Β  Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ особСнного. ЧСтвёртая ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ стСпСни Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π° уравновСсили ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»Π°ΡΡŒ просто Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΠ°, Ρ‚.Π΅. ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. И для любого Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС. А Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ всСго лишь Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Π² этом ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ Π΄Π²Π° Π½Π° минус Π΄Π²Π°. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, посчитаСм Π²ΠΎΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ:

Β  Β  Β  Β  ΠœΠΈΠ½ΡƒΡ Ρƒ Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΠΈ Π±Π»Π°Π³ΠΎΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π½ΠΎ «сгорСл» ΠΈΠ·-Π·Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни. И Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ извлСчСния корня (арифмСтичСского!) ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число. Π‘Ρ‹Π»ΠΎ минус Π΄Π²Π°, стало плюс Π΄Π²Π°.) А Π²ΠΎΡ‚ Ссли Π±Ρ‹ ΠΌΡ‹ просто Π±Π΅Π·Π΄ΡƒΠΌΠ½ΠΎ «сократили» ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ (ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ΠΆΠ΅!), Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Π±Ρ‹

Β  Β  Β  Β  Π§Ρ‚ΠΎ являСтся Π³Ρ€ΡƒΠ±Π΅ΠΉΡˆΠ΅ΠΉ ошибкой, Π΄Π°.

Β  Β  Β  Β  ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ для Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ показатСля Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° корня ΠΈΠ· стСпСни выглядит Π²ΠΎΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊ:

Β  Β  Β  Β  Π—Π΄Π΅ΡΡŒ добавился Π½Π΅Π»ΡŽΠ±ΠΈΠΌΡ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠΌΠΈ Π·Π½Π°ΠΊ модуля, Π½ΠΎ Π² Π½Ρ‘ΠΌ ΡΡ‚Ρ€Π°ΡˆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅Ρ‚: благодаря Π΅ΠΌΡƒ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ для любого Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа a. И ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ просто отсСкаСт минусы:

Β  Β  Β  Β  И Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅.) Π­Ρ‚Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°Β β€” Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ корня ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°:

Β  Β  Β  Β  Волько Π² корнях n-ΠΉ стСпСни появилось Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Ρ€Π°Π·Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ стСпСни. Π§Ρ‘Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ стСпСни, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΊΠ°ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Ρ‹Π΅, Π΄Π°.)

Β  Β  Β  Β  А Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ рассмотрим Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎΠ΅ ΠΈ вСсьма интСрСсноС свойство, ΡƒΠΆΠ΅ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ для ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ n-ΠΉ стСпСни: Ссли ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ корня ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ (Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ) Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня Π½Π΅ измСнится.

Β  Β  Β  Β  Π§Π΅ΠΌ-Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π΅Ρ‚ основноС свойство Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Π½Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π° Π»ΠΈ? Π’ дробях ΠΌΡ‹ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ (Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ) Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ число (ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ нуля). На самом Π΄Π΅Π»Π΅, это свойство ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉΒ β€” Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ слСдствиС основного свойства Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ. Когда ΠΌΡ‹ познакомимся со ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΡŽ с Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ, Ρ‚ΠΎ всё станСт ясно. Π§Ρ‚ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π°. )

Β  Β  Β  Β  ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ позволяСт Π½Π°ΠΌ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠΆΠ΅ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈΠ· Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… стСпСнСй. Π’ Ρ‚ΠΎΠΌ числС, Ссли ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ стСпСни ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния ΠΈ самого корня Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅. НапримСр, Π½Π°Π΄ΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²ΠΎΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

Β  Β  Β  Β  ΠŸΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Π΅ΠΌ просто. ВыдСляСм для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€Ρ‚ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· дСсятой ΠΈΒ β€” Π²ΠΏΠ΅Ρ€Ρ‘Π΄! Как? По свойствам стСпСнСй, разумССтся! Выносим ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈΠ·-ΠΏΠΎΠ΄ корня ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ корня ΠΈΠ· стСпСни.

Β  Β  Β  Β  А Π²ΠΎΡ‚  упростим, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π· это свойство. Для этого Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€ΠΊΡƒ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ прСдставим ΠΊΠ°ΠΊ :

Β  Β  Β  Β  И Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒΒ β€” самоС интСрСсноС — сокращаСм мыслСнно ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ (Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΡƒ) с ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ корня (Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€ΠΊΠΎΠΉ)! И ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

Β  Β  Β  Β  Вся Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ выглядит Ρ‚Π°ΠΊ:

Β  Β  Β  Β  Или Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Β  Β  Β  Β  Π­Ρ‚ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ прямоС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹. А Π²ΠΎΡ‚ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Ρ‰Ρ‘ сильнСС ΠΏΠΎΠ²Ρ‹ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ наш матСматичСский ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ. Π‘ΠΎΠΌΠ½Π΅Π²Π°Π΅Ρ‚Π΅ΡΡŒ? Напрасно! Π”Π΅Π»ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ справа Π½Π°Π»Π΅Π²ΠΎ  позволяСт Π½Π°ΠΌ ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ. ΠžΡ‡Π΅Π½ΡŒ мощная ΡˆΡ‚ΡƒΠΊΠ°!

Как ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ?

       Допустим, Π½Π°Π΄ΠΎ (Π±Π΅Π· ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°!) ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° числа:

Β ΠΈ

Β Β Β Β Β Β  ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· пяти — это Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΠ° с хвостиком. ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ кубичСский ΠΈΠ· дСсяти — это Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΠ° с хвостиком. А Π²ΠΎΡ‚ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… хвостиков Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Π΅Π΅, Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π΅Β β€” вопрос. Π‘ Ρ…ΠΎΠ΄Ρƒ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π½Π΅ скаТСшь. Пока ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ — Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅.) А Π²ΠΎΡ‚, Ссли ΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ-Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ, Ρ‚ΠΎ всё, глядишь, ΠΈ наладится! Для этого ΠΈΡ‰Π΅ΠΌ наимСньшСС ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 2 ΠΈ 3, Ρ‚.Π΅. ΠΎΠ±Π° корня Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊ ΡˆΠ΅ΡΡ‚Ρ‘Ρ€ΠΊΠ΅. Как? По Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡƒΠΏΠΎΠΌΡΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠΌΡƒ свойству:

Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β  Π‘Π΅Ρ€Ρ‘ΠΌ . Как ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΎΠΉ стСпСни, Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΡƒΡ‚ΡŒ выраТСния Π½Π΅ измСнилась?Β Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΡˆΠ΅ΡΡ‚Ρ‘Ρ€ΠΊΡƒ Π² ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ корня, Π½Π°Π΄ΠΎ исходный ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ корня 2 Π΄ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 3. Π­Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½Π°Π΄ΠΎ. Но Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ пятёрку ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ придётся Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ возвСсти Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ 3 (Ρ‚.Π΅. Π² ΠΊΡƒΠ±): это ΡƒΠΆΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π°Π΄ΠΎ. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚,

.

Β Β Β Β Β Β Β  Π‘ числом  всё Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ. Волько дСсятку ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚:

Β  Β  Β  Β  Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄Π΅Π»ΠΎ Π·Π° ΠΌΠ°Π»Ρ‹ΠΌΒ β€” ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° числа Β ΠΈ .

Β  Β  Β    Ясно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ , Π° Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΈ Β ΠΈ, стало Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ,

Β  Β  Β  Β  Если ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ корнями Ρ‚ΡƒΡΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ±ΠΈΡ€Π°Π΅ΠΌ ΠΈΡ… Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈΒ β€” ΠΏΠΎ Π½Π°ΠΊΠ°Ρ‚Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π΅. НапримСр, Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅:

Β  Β  Β  Β  Π‘Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Β ΠΈ .

Β  Β  Β  Β  ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ вносим ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ:

Β  Β  Β  Β  А Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒΒ β€” ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Π° корня ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ. К Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€ΠΊΠ΅.)

Β  Β  Β  Β  Ну, число Β ΡƒΠΆΠ΅ ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ ΠΈ ΡƒΠΆΠ΅ Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΎ для сравнСния. А Π²ΠΎΡ‚ Β ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ:

.

Β  Β  Β  Β  Π’ΠΎΡ‚ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ всё ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡΡΠ½ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ: , поэтому .

Β  Β  Β  Β  А это Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

Β  Β  Β  Β  Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ сравнСния ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ выраТСниям, строго говоря, основываСтся Π½Π° ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎΠΌ возрастании Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ . Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ΅ΠΌΡƒ числу соотвСтствуСт ΠΈ больший ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. И Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚.) Π’ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΏΠΎ функциям ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°ΠΌ ΠΌΡ‹ этому Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρƒ ΡƒΠ΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Π° здСсь мы просто ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ. Π‘Π΅Π±Π΅ Π²ΠΎ Π±Π»Π°Π³ΠΎ. πŸ™‚

Β  Β  Β  Β  Π§Ρ‚ΠΎ ΠΆ, ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ послСднСС усилиС. Π‘ΠΎΠ±ΠΈΡ€Π°Π΅ΠΌ волю Π² ΠΊΡƒΠ»Π°ΠΊ ΠΈ знакомимся с послСдним (ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ для нас) свойством ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉΒ β€” ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ.

Как ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· корня?

Β  Β  Β  Β  Π­Ρ‚ΠΎ свойство Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ простоС ΠΈ ΠΏΠΎ своСй сути ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π° Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ стСпСни Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ являСтся ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊ этой ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ.) Π’ΠΎΡ‚ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ΠΎ выглядит:

Β  Β  Β  Β  Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· корня, Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

Β  Β  Β  Β  Π­Ρ‚ΠΎ свойство позволяСт нСсколько Π²Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ. НапримСр:

Β  Β  Β  Β  Или Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Β  Β  Β  Β  ΠŸΡ€ΠΈΡ‡Ρ‘ΠΌ Π²Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ сколько ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎΒ β€” Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° всё Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ сработаСт:

Β  Β  Β  Β  Как Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… хитростСй. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΈ считаСм (Ссли считаСтся).

Β  Β  Β  Β  Π’ΠΎΡ‚, собствСнно, всё Ρ‡Ρ‚ΠΎ я ΠΏΠΎΠΊΠ° Ρ…ΠΎΡ‚Π΅Π» Ρ€Π°ΡΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ.)) Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ этапом нашСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ с корнями Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Но это — Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π·.

Β  Β  Β  Β  А Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ всСгда, Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ задания.

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 1

Β  Β  Β  Β  Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 2

Β  Β  Β  Β  Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 3

Β  Β  Β  Β  Найти Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 4

Β  Β  Β  Β  ВынСсти ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈΠ·-ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠ° корня:

Β  Β  Β  Β  ВнСсти ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠ° корня:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 5

Β  Β  Β  Β  Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:Β 

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 6

Β  Β  Β  Β  ВычислитС:

Β  Β  Β  Β  ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ Π² бСспорядкС: 1,2;Β ; 2;Β ; 3; 6; ; 20;Β ; 72; 2,1; 5; 0,4; -2; ; 12; 6; 14; 4; 20/3; ; -8;Β ; ; 20; 42.

Β  Β  Β  Β  Всё Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ? Одной Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ? Π’Π΅Π»ΠΈΠΊΠΎΠ»Π΅ΠΏΠ½ΠΎ! ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈΒ β€” Π½Π΅ ваш камСнь прСткновСния.) НС всё ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ? НС Π±Π΅Π΄Π°! НС ΠΎΡˆΠΈΠ±Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΡ‚, ΠΊΡ‚ΠΎ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚.)

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π² стСпСни ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ: объяснСниС, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

Часто ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ матСматичСских Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΊ стСпСням Β ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚. Данная ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ рассказываСт ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ корня Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ. РассматриваСтся тСория, практичСскиС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΈ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ распространСнныС ошибки.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΎΡ‚ стСпСнСй с Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌΠΈ показатСлями ΠΊ корням

Допустим, ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ число с показатСлСм стСпСни Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈΒ —Β amn. Как Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ корня?

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ· самого опрСдСлСния стСпСни!Β 

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число aΒ Π² стСпСни mnΒ — это ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ стСпСни nΒ ΠΈΠ· числа am.

amn=amn.

ΠŸΡ€ΠΈ этом, ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ выполнятся условиС:

a>0;Β mβˆˆβ„€;Β nβˆˆβ„•.

Дробная ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ числа Π½ΡƒΠ»ΡŒ опрСдСляСтся Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π² этом случаС число m принимаСтся Π½Π΅ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ, Π° Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π΅ возникло дСлСния Π½Π°Β 0:

0mn=0mn=0.

Π’ соотвСтствии с ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΒ amnΒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ корня amn.

НапримСр:Β 325=325,Β 123-34=123-34.

Однако, ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠΆΠ΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ сказано, Π½Π΅ слСдуСт Π·Π°Π±Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎ условия:Β a > 0 ; Β  m ∈ β„€ ; Β  n ∈ β„• .

Π’Π°ΠΊ, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅Β -813 нСльзя ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅Β -813, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ запись -813 попросту Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысла — ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл Π½Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°.ΠŸΡ€ΠΈ этом, сам ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒΒ -813Β ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысл.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΎΡ‚  стСпСнСй с выраТСниями Π² основании ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌΠΈ показатСлями осущСствляСтся Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ Π½Π° всСй области допустимых Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ (Π΄Π°Π»Π΅Π΅ —Β ΠžΠ”Π—) исходных Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π² основании стСпСни.Β 

НапримСр, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅Β x2+2x+1-412Β ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня x2+2x+1-4.Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² стСпСни x2+xΒ·yΒ·z-z3-73Β ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅Β x2+xΒ·yΒ·z-z3-73 для всСх x,Β y,Β zΒ ΠΈΠ· ΠžΠ”Π— Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния.

Как ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ стСпСни?

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π° ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ стСпСнями, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° вмСсто выраТСния с ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ записываСтся выраТСния со ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΡŽ, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Π°. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²Π΅Ρ€Π½Π΅ΠΌ равСнство ΠΈΠ· ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π° ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

amn=amn

ΠžΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΆΠ΅, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π΅Π½ для ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл a. НапримСр,Β 764=764, ΠΈΠ»ΠΈ27-53=27-53.

Для ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…Β aΒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ смысл. НапримСр -426,Β -23. Однако, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ эти ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈΒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ стСпСнСй Β -426Β ΠΈ -213 нСльзя. Β 

МоТно Π»ΠΈ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ выраТСния со стСпСнями? Π”Π°, Ссли произвСсти Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π²Π°Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ прСобразования. Рассмотрим, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ свойства стСпСнСй, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ прСобразования  выраТСния -426.

-426=-12Β·426=426.

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊΒ 4>0, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ:Β 

426=426.

Π’ случаС с ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ:

-a2m+1=-a2m+1.

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅Β -23Β ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

-23=-23=-213.

РазбСрСмся Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ содСрТатся выраТСния, Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° стСпСни, содСрТащиС эти выраТСния Π² основании.Β 

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉΒ AΒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Однако Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡΠΏΠ΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ с прСдставлСниСм AmnΒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅Β Amn. Поясним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ здСсь имССтся Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ. НапримСр, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅Β Ρ…-323, ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°ΡΡΡŒ Π½Π° равСнствС ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π°, хочСтся ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅Β x-323. Вакая Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π° Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Π° Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΒ x-3β‰₯0, Π° для ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… икс ΠΈΠ· ΠžΠ”Π— ΠΎΠ½Π° Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ для ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… aΒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°Β amn=amnΒ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысла.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π² рассмотрСнном ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π°Β Amn=Amn являСтся ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΡΡƒΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠžΠ”Π—, Π° ΠΈΠ·-Π·Π° Π½Π΅Π°ΠΊΠΊΡƒΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ примСнСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹Β Amn=AmnΒ Π½Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΊΠΎ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‚ ошибки.Β 

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‚ корня AmnΒ ΠΊ стСпСни Amn, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠΎΠ±Π»ΡŽΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ нСсколько ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ΠΎΠ²:

  • Π’ случаС, Ссли число mΒ — Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅, Π°Β nΒ — Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅, Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Β Amn=Amn справСдлива Π½Π° всСй ΠžΠ”Π— ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ….
  • Если mΒ — Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅, Π°Β nΒ — Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅,Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅Β AmnΒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ:
    Β — Π½Π°Β Amn для всСх Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ…Β Aβ‰₯0;
    Β — Π½Π°Β —Amn для  для всСх Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ…Β A<0;
  • Если  mΒ — Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅, Π°Β nΒ — любоС Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Ρ‚ΠΎΒ AmnΒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°Β Amn.

Π‘Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ всС эти ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ нСсколько ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² ΠΈΡ… использования.

ВСрнСмся ΠΊ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽΒ Ρ…-323. Π—Π΄Π΅ΡΡŒΒ m=2Β — Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ число, Π°Β n=3Β — Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅Β Ρ…-323Β ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:

Ρ…-323=x-323.

НуТна ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ прСподаватСля?

Опиши Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅Β β€” и наши экспСрты Ρ‚Π΅Π±Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚!

ΠžΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ с корнями ΠΈ стСпСнями.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€.Β ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ корня Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ

x+5-35=x+5-35,Β x>-5—x-5-35,Β x<-5

ΠžΠ±ΠΎΡΠ½ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅. Если число mΒ — Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅, Π°Β nΒ — Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅, для всСх ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ· ΠžΠ”Π— Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈΒ AmnΒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅Β AΒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ (ΠΏΡ€ΠΈΒ m>0). ИмСнно поэтому  Amn=Amn.

Π’ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°Β Β mΒ — Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅, Π°Β nΒ — Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅, значСния AmnΒ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Для ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ· ΠžΠ”Π—, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ…Β AΒ Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,Β Amn=Amn=Amn. Для ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ…Β AΒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌΒ Amn=-Amn=-1mΒ·Amn=-Amn=-Amn=-Amn.

Аналогично рассмотрим ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ случай, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°Β mΒ — Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅, Π°Β nΒ — любоС Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число. Если Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅Β AΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‚ΠΎ для Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ…Β Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ· ΠžΠ”Π—Β Amn=Amn=Amn. Для ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…Β AΒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌΒ Amn=-Amn=-1mΒ·Amn=Amn=Amn.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΌ случаС для всСх ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ· ΠžΠ”Π— ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒΒ Amn=Amn.

АрифмСтичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ / math5school.ru

Β 

АрифмСтичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ

Бвойства ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ

ЗначСния Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ n-ΠΉ стСпСни

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΎΡ‚ 1 Π΄ΠΎ 99

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° кубичСских ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΎΡ‚ 1 Π΄ΠΎ 99

Β 

АрифмСтичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ

АрифмСтичСским ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌΒ Β n-ΠΉ стСпСни ΠΈΠ·Β Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎΒ Ρ‡ΠΈΡΠ»Π°Β a называСтся Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅Β Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎ b,Β Β n-ΡΒ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Π°Β a.

ЗаписываСтся Ρ‚Π°ΠΊ:Β 

Β 

Π­Ρ‚Π° запись ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ bnΒ = a, Π³Π΄Π΅ b ΠΈ a – Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа.

Число n называСтся ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ стСпСни корня, число Π° – ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, b – Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ арифмСтичСского корня n-ΠΉ стСпСни. ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ нахоТдСния значСния корня называСтся ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ корня.

ΠšΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл Π½Π΅ сущСствуСт.

ΠšΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа Π° называСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число b, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π² эту Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ числу Π°.

Для ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни справСдливо равСнство:

Β 

Β 

Бвойства ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ

Для ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π° ΠΈ b, Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… n ΠΈ k (n β‰₯ 2, k β‰₯ 2), Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ m Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, для любого числа Π° Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ:

Β 

ЗначСния Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ

n-ΠΉ стСпСни
 3√8 = 2  4√16 = 2  5√32 = 2  6√64 = 2  7√128 = 2  8√256 = 2  9√512 = 2  10√1024 = 2
 3√27 = 3  4√81 = 3  5√243 = 3  6√729 = 3  7√2187 = 3  8√6561 = 3  9√19683 = 3  10√59049 = 3
 3√64 = 4  4√256 = 4  5√1024 = 4  6√4096 = 4  7√16384 = 4  8√65536 = 4  9√262144 = 4  10√1048576 = 4
 3√125 = 5  4√625 = 5  5√3125 = 5  6√15625 = 5  7√78125 = 5  8√390625 = 5  9√1953125 = 5  10√9765625 = 5
 3√216 = 6  4√1296 = 6  5√7776 = 6  6√46656 = 6  7√279936 = 6  8√1679616 = 6  9√10077696 = 6  10√60466176 = 6
 3√343 = 7  4√2401 = 7  5√16807 = 7  6√117649 = 7  7√823543 = 7  8√5764801 = 7  9√40353607 = 7  10√282475249 = 7

Β 

Β  Β  Β  Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅:

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ чисСл

АлгСбраичСскиС тоТдСства

Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹Β 

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ гСомСтричСскими ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ

ВригономСтрия

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ

Π§Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Ρ‘Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ

ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ

ΠžΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΒ 

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ гСомСтричСских Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€

ΠŸΡ€ΡΠΌΡ‹Π΅ ΠΈ плоскости

ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠΈΒ 

Π’Π΅Π»Π° вращСния 

Β 

ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ n -ΠΉ стСпСни Π΅Π³ΠΎ свойства

ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ n-ΠΉ стСпСни, Π΅Π³ΠΎ свойства.

АрифмСтичСским ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ n-ΠΉ стСпСни ΠΈΠ· числа Π° Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число , n-я

ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°.

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ арифмСтичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ n-ΠΉ стСпСни ΠΈΠ· числа Π°

,

Π³Π΄Π΅ n- ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ корня,

Π°- ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

Π—Π½Π°ΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π΅Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠΌ.

АрифмСтичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни называСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΈ обозначаСтся √,

арифмСтичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ стСпСни называСтся кубичСским ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΎ обозначаСтся

НапримСр :

Π°) ΠΈ 2β‰₯0;

Π±) ΠΈ 3β‰₯0;

Π²)

Из опрСдСлСния арифмСтичСского корня n-ΠΉ стСпСни слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ n ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ большС ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π° Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ корня Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

арифмСтичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 4-ΠΉ стСпСни ΠΈΠ· числа -81 Π½Π΅ сущСствуСт, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ число Π² Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни Π½Π΅ даст -81 ( ΠΏΡ€ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π² Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния всСгда Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ).

ΠŸΡ€ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ корня ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° минус ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ вынСсСн Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ коня.

НапримСр:

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ…n=Π°.

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ…n=Π° ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΌ n ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ СдинствСнноС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ…=.

НапримСр : Ρ…3=-125;

Ρ…=;

Ρ…=-;

Ρ…=-5.

Для наглядности сдСлаСм ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΡƒ:

(-5)3=-125;

-125=-125- Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ : Ρ…=-5.

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ…n=Π° ΠΏΡ€ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΌ n ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° корня

Ρ…=Β±.

НапримСр:

Ρ…4=16;

Ρ…1=; Ρ…2=-;

Ρ…1=2; Ρ…2=-2.

МоТно ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 24=16 ΠΈ (-2)4=16.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ : Β±2.

Иногда Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ свойство арифмСтичСского корня n-ΠΉ стСпСни:

|Ρ…|, Ссли n Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎ;

Ρ…, Ссли n Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎ.

Ρ…, Ссли Ρ…β‰₯0;

Вспомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ |Ρ…|= -Ρ…, Ссли Ρ…<0.

НапримСр :

.

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ <0, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ

.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ свойства ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

Для арифмСтичСского корня n-ΠΉ стСпСни, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ для ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня, ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ внСсСния мноТитСля ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊ корня ΠΈ вынСсСниС мноТитСля ΠΈΠ·-ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠ° корня.

НапримСр :

2.

Из ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для внСсСния мноТитСля ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊ корня n-ΠΉ стСпСни Π΅Π³ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ

возвСсти Π² n-ю ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ. НуТно ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊ с Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ внСсти Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Аналогично производится вынСсСниС мноТитСля ΠΈΠ·-ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠ° корня , Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Π°)

Π±)

Π²)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ:

β„–1

Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ:

Π°) ; Π±); Π²) Π³)

РСшСниС:

Π°) =-; Π±) =2;

Π²) = ; Π³)

β„–2

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

Π°)Ρ…6=5; Π±) Ρ…3=5; Π²) 0,01Ρ…3+10=0.

РСшСниС:

Π°) Ρ…6=5;

Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 6- Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ число, Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° корня

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: .

Π±) Ρ…3=5;

Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 3-Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ число, Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.

.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

Π²) 0,01Ρ…3+10=0;

0,01Ρ…3=-10;

Ρ…3=;

Ρ…3=;

Ρ…3=-10

Ρ…3=-1000;

Ρ…=

Ρ…=-

Ρ…= -10.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ :-10.

β„–3

Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ:

Π°); Π±) ; Π²); Π²).

РСшСниС:

Π°) =

Π±)

Π²)

Π³)

β„–4

УпроститС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

Π°); Π±) Ссли Ρ…>0;

в)Ссли к>0 ; г) :.

РСшСниС:

Π°) =

Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 3- Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ число, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ

а2вс4.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Π°2вс4.

Π±) =

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 4-Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ число, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ…>0 ΠΏΠΎ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ, Ρ‚ΠΎ

Ρƒ4β‰₯0 (Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 4-Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ число), ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ,

Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ рассуТдая, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ .

Π˜Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

Π²) ==;

Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊ>0, Ρ‚ΠΎ ΠΊ6>0, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ .

Π˜Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: .

Π³) :=

Задания для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ .

β„–1

Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ:

Π°) Π±) ; Π²) ; Π³) .

β„–2

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

Π°) Ρ…3=64; Π±)Ρ…4— 81=0; Π²) 16Ρ…4-1=0; Π³)12.

β„–3

Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ:

Π°) Π±); Π²) Π³)

β„–4

УпроститС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

Π°) Π±); Π²); Π³)

Π΄) : Π΅)

β„–5

ВынСситС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈΠ·-ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠ° корня.

Π°) Π±)

Как Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ с корнями

ΠšΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ n стСпСни ΠΈΠ· числа Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π² эту ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ даст Ρ‚ΠΎ число, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ извлСкаСтся ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. Π§Π°Ρ‰Π΅ всСго, дСйствия производятся с корнями ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ 2 стСпСни. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ корня часто Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΅Π³ΠΎ явно, Π° Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ являСтся число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ (трансцСндСнтноС).4=(-2)βˆ™ (-2)βˆ™ (-2)βˆ™ (-2)=16. Для извлСчСния ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня Π½Π°Ρ†Π΅Π»ΠΎ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° это Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.

Если ΠΆΠ΅ рядом Π½Π΅Ρ‚ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΈΠ»ΠΈ трСбуСтся Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² расчСтах, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ свойства ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для упрощСния Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Из ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… чисСл ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ частично. Для этого Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ свойством, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠ· этих чисСл √mβˆ™n=√mβˆ™βˆšn.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ВычислитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния (√80-√45)/ √5. ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΠ΅ вычислСниС Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅ даст, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π½Π°Ρ†Π΅Π»ΠΎ Π½Π΅ извлСкаСтся Π½ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (√16βˆ™5-√9βˆ™5)/ √5=(√16βˆ™βˆš5-√9βˆ™βˆš5)/ √5=√5βˆ™(√16-√9)/ √5. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ сокращСниС числитСля ΠΈ знамСнатСля Π½Π° √5, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ (√16-√9)=4-3=1.

Если ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ сам ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ корня Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ Ρ‚Π΅ΠΌ свойством, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ корня. Если Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ производится Π½Π°Ρ†Π΅Π»ΠΎ, число вносится ΠΈΠ·-ΠΏΠΎΠ΄ корня.4=5Β²=25.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния (√3+√5)βˆ™(√3-√5). ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ разности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ (√3)Β²-(√5)Β²=3-5=-2.

ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² стСпСни Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ 2

13

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ…

Основная Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹

БтратСгия поиска ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ цСлочислСнном ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅

БопряТСнныС ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ мноТитСлях

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ цСлочислСнном ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅

Π’ Π­Π’ΠžΠ™ Π’Π•ΠœΠ• ΠΌΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° стСпСни большС 2.Π­Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π·Π°Π²ΠΈΡΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹: БинтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.

ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π² этой Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ называСтся Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ….

Ѐакторная Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°. x r являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° P ( x ) Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° r являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ· P ( x ).

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

P ( x ) = ( x — 1) ( x + 2) ( x + 3)

, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 1, βˆ’2 ΠΈ βˆ’3.

И Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, Ссли ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ βˆ’2, 1 ΠΈ 5, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ:

( x + 2) ( x — 1) ( x — 5).

Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ эти Ρ‚Ρ€ΠΈ корня.

НиТС ΠΌΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΡƒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1.

a) Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΡƒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ: ( x + 1) ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ x 5 + 1.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚, Π½Π°Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΌΡ‹ΡˆΠΈ Π½Π° Ρ†Π²Π΅Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ.
Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π·Π°ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π΅Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π·, Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ Β«ΠžΠ±Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΒ» (Β«ReloadΒ»).
Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡƒ сами!

βˆ’1 являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ· x 5 + 1. Для, (βˆ’1) 5 + 1 = βˆ’1 + 1 = 0.
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, согласно Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠΎ мноТитСлях,
[ x — (- 1)] = ( x + 1) являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ.

Π±) Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, x 5 + 1 = ( x + 1) ( x 4 x 3 + x 2 x + 1)

БлСдуя Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Π΅, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ:

( x + a ) — коэффициСнт x 5 + a 5 ,

ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π² Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΌ:

( x + a ) являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ x n + a n , Π³Π΄Π΅ n являСтся Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ.

Основная Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ называСтся основной Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹:

ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ стСпСни n ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ комплСксный.

Π­Ρ‚ΠΎ Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ взгляд простоС ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ позволяСт ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄:

ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ P ( x ) стСпСни n ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ n ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ комплСксных.

Если ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΠΉ коэффициСнт P ( x ) Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 1, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ… позволяСт Π½Π°ΠΌ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄:

P ( x ) = ( x r n ) ( x r n — 1 ). . . ( x r 2 ) ( x r 1 )

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ стСпСни, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈ корня.А Ссли всС ΠΎΠ½ΠΈ настоящиС, Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ:

Ибо Ρ‚Ρ€ΠΈ корня — это Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Ρ†Π΅ΠΏΡ‚Π° x .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: Если ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ начинаСтся слСва ΠΎΡ‚ y — ось, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° этот Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ начинаСтся с Π½ΠΈΠΆΠ΅ оси x . ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ? ΠŸΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² любом ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ΅ Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΌ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π΄ΠΎΠΌΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ. Если Π²Π΅Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ градусам, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° x являСтся большим ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом , Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΎ слСва ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° нСчСтная ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа сам ΠΏΠΎ сСбС ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ.Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½ΠΈΠΆΠ΅ оси x .

Π§Ρ‚ΠΎ касаСтся ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни, Ρ‚ΠΎ Ρƒ Π½Π΅Π³ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ корня. А Ссли всС ΠΎΠ½ΠΈ настоящиС, Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ:

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΠΈΠΉ Π»Π΅Π²Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ — Π½Π°Π΄ осью x . ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ , Π΄Π°ΠΆΠ΅ градусов (ΠΈ ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΠΉ коэффициСнт ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ), Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° чСтная ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ .Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ оси x .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ с Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ: βˆ’1, ΒΎ.

РСшСниС . ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ -1 — ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Ρ‚ΠΎ ( x + 1) — ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ. Π§Ρ‚ΠΎ касаСтся корня, Ρ‚ΠΎ Ρƒ нас Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

x = 3
4
, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Π²Π°Π΅Ρ‚
4 x = 3
4 x — 3 = 0

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹: (4 x — 3) ( x + 1).

Полином Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 4 x 2 + x — 3.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ βˆ’1, 1, 2, ΠΈ нарисуйтС Π΅Π³ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹: ( x + 1) ( x — 1) ( x — 2). ΠŸΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ( x 2 — 1) ( x — 2) =

x 3 — 2 x 2 x + 2.

Π’ΠΎΡ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ:

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ y — это постоянный Ρ‡Π»Π΅Π½ 2. Π’ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚ y — постоянный Ρ‡Π»Π΅Π½, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ постоянный Ρ‡Π»Π΅Π½ — это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ y , ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° x = 0.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 3. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ с Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами, ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ βˆ’Β½, βˆ’2, βˆ’2, ΠΈ нарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹: (2 x + 1) ( x + 2) 2 .ΠŸΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ (2 x + 1) ( x 2 + 4 x + 4) =

2 x 3 + 9 x 2 + 12 x + 4.

Π’ΠΎΡ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ:

βˆ’2 — Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π΅ пСрСсСкаСт ось x .

Вопрос. Если r являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° p ( x ), Ρ‚ΠΎ послС дСлСния p ( x ) Π½Π° x r , ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ остаток слСдуСт ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ?

0.ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ r являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° x r — это Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΠ· p ( x ).

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 4. ЯвляСтся Π»ΠΈ x = 2 ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ этого ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°:

x 6 — 3 x 5 + 3 x 4 — 3 x 3 + 3 x 2 βˆ’3 x + 2?

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° x — 2, ΠΈ посмотритС Π½Π° остаток.

ΠžΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΊ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0. 2 — ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°.

Π£Ρ€ΠΎΠΊ 12

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. НайдитС Ρ‚Ρ€ΠΈ корня ΠΈΠ·

.

P ( x ) = x 3 -2 x 2 -9 x + 18,

с ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 3.

РСшСниС. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ 3 являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ· P ( x ), Ρ‚ΠΎ согласно Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠΎ мноТитСлях x — 3 являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² P ( x ) Π½Π° x — 3, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ.

У нас

x 3 — 2 x 2 — 9 x + 18 = ( x 2 + x — 6) ( x — 3)
= ( x — 2) ( x + 3) ( x — 3)

Π’Ρ€ΠΈ корня: 2, βˆ’3, 3.

ΠžΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΆΠ΅, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ x — 3 являСтся Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ P ( x ), остаток Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 5. НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ этого ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°,

.

y = x 3 — 2 x 2 -5 x + 6,

, учитывая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ -2.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ βˆ’2 являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, Ρ‚ΠΎ ( x + 2) являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ.Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° x + 2. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ βˆ’2 помСщаСтся Π² ΠΏΠΎΠ»Π΅:

У нас

x 3 — 2 x 2 -5 x + 6 = ( x 2 — 4 x + 3) ( x + 2)
= ( x — 1) ( x — 3) ( x + 2)

Π’Ρ€ΠΈ корня: 1, 3, βˆ’2.Π’ΠΎΡ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ:

БтратСгия поиска ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ

Π§Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° прСдставляСт собой стратСгия нахоТдСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° стСпСни n > 2?

Нам Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠ³Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ r . Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° x Π½Π° ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ коэффициСнт ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ градус мСньшС. Если ΠΌΡ‹ смоТСм Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ этого Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΌΡ‹ смоТСм ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΡ‚ΡŒ процСсс, ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Ρ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ достигнСм ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΡ‹ всСгда смоТСм Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ.

Π’ΠΎΡ‚ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°, которая ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ ΡƒΠ³Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ цСлочислСнном ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅. Если Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°, коэффициСнты ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ числами, Π° ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΠΉ коэффициСнт Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Β± 1, Ρ‚ΠΎ это Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число являСтся коэффициСнтом постоянного Ρ‡Π»Π΅Π½Π°.

ΠœΡ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ это Π½ΠΈΠΆΠ΅.

Π­Ρ‚Π° Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ цСлочислСнном ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ являСтся ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅:

Если Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число ΠΎΠ± / с являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°, коэффициСнты ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ числами, Ρ‚ΠΎ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число r являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ постоянного Ρ‡Π»Π΅Π½Π°, Π° Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число s являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠ΅Π³ΠΎ коэффициСнта.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3. ΠšΠ°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ цСлочислСнныС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ x 3 — 4 x 2 + 2 x + 4?

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. Если Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, ΠΎΠ½ΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ мноТитСлями постоянного Ρ‡Π»Π΅Π½Π° 4; Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ: Β± 1, Β± 2, Β± 4.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, 1 — это ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ? Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° x — 1 ΠΈ надССмся Π½Π° остаток 0.

1 — 4 + 2 + 4 | 1
+ 1 — 3 — 1
———————————————— ————————————————— ——
1 — 3 — 1 + 3

ΠžΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΊ Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0.1 Π½Π΅ являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ βˆ’1:

1 — 4 + 2 + 4 | -1
— 1 + 5 — 7
———————————————— ————————————————— ——
1 — 5 + 7 — 3

ΠžΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΊ снова Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0.ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ 2:

1 — 4 + 2 + 4 | 2
+ 2 — 4 — 4
———————————————— ————————————————— ——
1 — 2 — 2 + 0

Π”Π°! 2 — это ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.Π£ нас

x 3 — 4 x 2 + 2 x + 4 = ( x 2 — 2 x — 2) ( x — 2)

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ, Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚. Как ΠΌΡ‹ ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠΈΠ»ΠΈ Π² Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ 11:

.

x = 1 Β±

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‚Ρ€ΠΈ корня:

1+, 1 -, 2.

ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° 6.

Π°) ΠšΠ°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ этого ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°?

x 3 — 2 x 2 — 3 x + 1

Β± 1. Π­Ρ‚ΠΎ СдинствСнныС Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ постоянного Ρ‡Π»Π΅Π½Π°.

Π±) Π˜ΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π»ΠΈ этот ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ?

НСт, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΠΈ 1, Π½ΠΈ -1 Π½Π΅ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡŽΡ‚ этот ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ 0. БинтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΠ±Π° Β± 1 Π½Π΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ остаток 0.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 7. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ этот ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ.

x 3 + 2 x 2 — 5 x — 6

ΠœΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ. Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ: Β± 1, Β± 2, Β± 3, Β± 6. БинтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ -1 — это ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

x 3 + 2 x 2 -5 x -6 = ( x + 1) ( x 2 + x — 6)
= ( x + 1) ( x + 3) ( x βˆ’2)

БопряТСнныС ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹

Если ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число a + являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ сопряТСниС a — Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ.(Π‘ΠΌ. «Навыки Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹Β», Π£Ρ€ΠΎΠΊ 28.) И Ссли комплСксноС число a + bi являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ сопряТСнноС число a bi .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ P ( x ) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ:

βˆ’2, 1 +, 5 ΠΈ .

ΠšΠ°ΠΊΡƒΡŽ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ P ( x )?

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ .5. Ибо, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ 1 + — ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Ρ‚ΠΎ ΠΈ сопряТСнный с Π½ΠΈΠΌ 1 -. А ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ 5 i являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС ΠΈ сопряТСнноС с Π½ΠΈΠΌ, βˆ’5 i .

P ( x ) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ эти 5 ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ:

βˆ’2, 1 Β±, Β± 5 ΠΈ .

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 8. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ со ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ:

Π°) 2 +

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ 2 + являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, Ρ‚ΠΎ 2 — Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, согласно Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠΎ суммС ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ корнями x 2 — 4 x + 1.

Π’Π΅ΠΌΠ° 10

Π±) 2 — 3 ΠΈ

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ 2 — 3 i — это ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Ρ‚ΠΎ 2 + 3 i — Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅. ΠžΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΆΠ΅, согласно Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ суммы ΠΈ произвСдСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ корнями x 2 — 4 x + 13.

Π‘ΠΌ. Π’Π΅ΠΌΡƒ 10, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 7.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 9. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ с корнями 1 ΠΈ 5 i .

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ 5 i являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ сопряТСнный элСмСнт, βˆ’5 i . Они Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ корнями ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ мноТитСля ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° этих ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° 0. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 25. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ коэффициСнт Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ( x 2 + 25).

Π”Π°Π»Π΅Π΅, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ 1 — это ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ( x — 1) являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½

( x — 1) ( x 2 + 25) = x 3 x 2 + 25 x — 25.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 10. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ f ( x ) = x 5 + x 4 + x 3 + x 2 — 12 x — 12. Один ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ, Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ — βˆ’2 i .

Если f ( x ) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ цСлочислСнныС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, сколько ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ?

Один. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 5-ΠΉ стСпСни, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ 5 ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. Π”Π²Π° ΠΈ -.И Π΄Π²Π° — 2 i ΠΈ βˆ’2 i .

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 11. ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 5-ΠΉ стСпСни ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ 2 Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… корня ΠΈ 3 ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Ρ… корня?

НСт это Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ всСгда ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π² ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹, Ρ‚ΠΎ, Ссли Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, ΠΈΡ… всСгда Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ число.

Рассмотрим Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° 5-ΠΉ стСпСни с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΠΌ Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ. Когда x — большоС ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ находится Π½ΠΈΠΆΠ΅ оси x .Когда x — большоС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, ΠΎΠ½ΠΎ находится Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ оси x . Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ€Π°Π· ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡ΡŒ ось x . Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ½ пСрСсСкал ось x Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹? НСт, Ρ‚Ρ‹ Π½Π΅ моТСшь. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ число Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ мноТитСлях

x r являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° P ( x )
Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°
r являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ P ( x ).

Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, Ссли ( x r ) являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ P ( x ), Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° P ( r ) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ( r r ), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 0. Π­Ρ‚ΠΎ сдСлаСт P ( r ) = 0. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ r являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ.

И Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, Ссли r являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ· P ( x ), Ρ‚ΠΎ P ( r ) = 0. Но согласно Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠΎΠ± остатках P ( r ) = 0 ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Ρ‡Ρ‚ΠΎ послС дСлСния P ( x ) Π½Π° x r , остаток Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0. x r , ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, это коэффициСнт P ( x ).

Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ цСлочислСнном ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅

Если Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°, коэффициСнты ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ числами, Π° ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΠΉ коэффициСнт Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Β± 1, Ρ‚ΠΎ это Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число являСтся коэффициСнтом ΠΈ постоянного Ρ‡Π»Π΅Π½Π°.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число r Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ этого ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°:

P ( x ) = Β± x n + a n βˆ’1 x n βˆ’1 + a n βˆ’2 x n βˆ’2 +.. . + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ,

, Π³Π΄Π΅ ΠΈ — Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ r являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ,

P ( r ) = Β± r n + a n βˆ’1 r n βˆ’1 + a n βˆ’2 r n βˆ’2 +.. . + a 2 r 2 + a 1 r + a 0 = 0,

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ постоянный Ρ‡Π»Π΅Π½ Π² 0 ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΈΠ· ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²:

r (Β± r n βˆ’1 + a n βˆ’1 r n βˆ’2 +. + a 2 r + a 1 ) = — a 0

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ всС ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ числами; поэтому Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² скобках являСтся Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ числом, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ для удобства Π½Π°Π·ΠΎΠ²Π΅ΠΌ — q:

r (βˆ’q) = — a 0 ,

ΠΈΠ»ΠΈ,

rq = Π° 0 .

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, постоянный Ρ‡Π»Π΅Π½ a 0 ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ rq , Ссли r ΠΈ q ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ числами. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π² этих условиях r являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ постоянного Ρ‡Π»Π΅Π½Π°.

Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ.

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ‚Π΅ΠΌΠ°: ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅ | Π”ΠΎΠΌ


Π‘Π΄Π΅Π»Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠΆΠ΅Ρ€Ρ‚Π²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ TheMathPage ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π°Π»Π°ΡΡŒ Π² сСти.
Π”Π°ΠΆΠ΅ 1 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚.


АвторскиС ΠΏΡ€Π°Π²Π° Β© 2021 ЛоурСнс Π‘ΠΏΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

Вопросы ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΈ?

Π­Π». ΠŸΠΎΡ‡Ρ‚Π°: [email protected]


Как Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния

Как Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния

АвторскиС ΠΏΡ€Π°Π²Π° Β© 20022020 Бтэн Π‘Ρ€Π°ΡƒΠ½

РСзюмС: Π’ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ Π²Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π½Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° уравнСния ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² (Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅). Π‘Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Ρ€ΡΡ‚ΡŒΡΡ Π²ΠΎ всСх Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠ°Ρ…, Π½ΠΎ эта ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ связываСт ΠΈΡ… всС вмСстС Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΎΠ΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅.


Π“Π΅Π½Π΅Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ»Π°Π½

Π£Π±Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ вас Π½Π΅ смущаСт тСрминология. ВсС это Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅:

  • РСшСниС полиномиального уравнСния p ( x ) = 0
  • НахоТдСниС ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ полиномиального уравнСния p ( x ) = 0
  • НахоТдСниС Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ полиномиальной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ p ( x )
  • Ѐакторизация полиномиальной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ p ( x )

Π•ΡΡ‚ΡŒ коэффициСнт для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ корня, ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚. ( x r ) являСтся Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° r являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ. Π­Ρ‚ΠΎ Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ… : поиск ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΏΠΎ сути Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС. (ОсновноС Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΊ постоянный коэффициСнт.)

Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅?

Π§Π°Ρ‰Π΅ всСго, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ уравнСния ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ (ΠΈΠ»ΠΈ аналитичСскоС) Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ . Π’ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΈΠΏ, ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ (ΠΈΠ»ΠΈ числовоС) Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ , всСгда Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π° ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ СдинствСнная Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

Когда найдСшь, Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ . Π’Ρ‹ всСгда ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ числСнноС ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΌΡƒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ, Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠΉΡ‚ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ Π³ΠΎΡ€Π°Π·Π΄ΠΎ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½Π΅Π΅. Π­Ρ‚Π° страница Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ большС всСго своСго Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π½Π° ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ расскаТСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° аналитичСскиС ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ тСрпят Π½Π΅ΡƒΠ΄Π°Ρ‡Ρƒ.

Шаг за шагом

Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ полиномиального уравнСния)? По сути, Π²Ρ‹ сточитС . ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π· Π²Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°, Ρƒ вас остаСтся ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅.Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ этот Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΠ΅ΡΡ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ.

На любом этапС ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Ρ‹, Ссли Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π΅Ρ‚Π΅ Π² кубичСскоС ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ 3 ΠΈΠ»ΠΈ 4), Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ продолТСния Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³Π° ΠΈΠ»ΠΈ использования кубичСскиС ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹. Π­Ρ‚ΠΈΡ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹, поэтому Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²ΠΎ людСй ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³.

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠΉΡ‚Π΅ этой ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Π΅ шаг Π·Π° шагом:

  1. ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ уравнСния Π·Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ Π² ΡΡ‚Π°Π½Π΄Π°Ρ€Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ с 0 с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ стороны ΠΈ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°ΡŽΡ‚ .[ подробности ]
  2. Π—Π½Π°ΠΉΡ‚Π΅ , сколько ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ. [ подробности ]
  3. Если Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ 1 ΠΈΠ»ΠΈ 2), Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ осмотром ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния. [ подробности ]
    Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊ ΡˆΠ°Π³Ρƒ 7.
  4. НайдитС ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. Π­Ρ‚ΠΎ самая слоТная Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ, Π½ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π²Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ. [ подробности ]
    Если Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊ ΡˆΠ°Π³Ρƒ 5 Π½ΠΈΠΆΠ΅; Ссли Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊ ΡˆΠ°Π³Ρƒ 6.
  5. Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ . Π­Ρ‚ΠΎ оставляСт вас с Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅Π΄ΡƒΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ , ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° 1 мСньшС. [ подробности ]
    Для ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ части Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π²Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ с ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, Π° Π½Π΅ ΠΎΡ€ΠΈΠ³ΠΈΠ½Π°Π». ΠŸΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΡ‚Π΅ с шага 3.
  6. Если Π²Ρ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ , ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΊ числСнныС ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹. [ подробности ]
    Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊ ΡˆΠ°Π³Ρƒ 7.
  7. Если Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π·Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ . Если это Π±Ρ‹Π» ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ для разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, Π·Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ Π² Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ , Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ постоянныС Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ Π²Ρ‹Π²Π΅Π»ΠΈ Π½Π° шагС 1.

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠ° , Π½Π°Π±ΠΎΡ€ шагов Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ ΠΊ ΠΆΠ΅Π»Π°Π΅ΠΌΠΎΠΌΡƒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρƒ Π·Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ количСство ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ. Π­Ρ‚ΠΎ итСративная стратСгия , ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ срСдниС шаги ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒ ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ, сколько Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ.

ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ здСсь ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ находят Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ всСго. Но Ссли Π²Ρ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ для кубичСскиС уравнСния (ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ 3) ΠΈ уравнСния Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни (ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ 4), ΠΎΠ±Π° Π² Mathworld.ΠΠ»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ прСдоставляСтся Π”ΠΈΠΊ Никаллс Π² PDF для кубичСский ΠΈ чСтвСртичная уравнСния.


Π¨Π°Π³ 1. Бтандартная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° ΠΈ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅

К соТалСнию, это Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π½Π΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ. Если Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ полиномиальноС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ , помСститС всС Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ Π² ΠΎΠ΄Π½Ρƒ сторону ΠΈ 0 с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ. И нСзависимо ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, являСтся Π»ΠΈ это ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ ваш ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π² стандартной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅, ΠΎΡ‚ Π΄ΠΎ наимСньшСй стСпСни .

НапримСр, Π²Ρ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅:

x + 6 x + 12 x = βˆ’8

Π’Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π½Π° эту Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ:

x + 6 x + 12 x + 8 = 0

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ упростили, ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΠ² Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ .Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ Π² сСбя Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ βˆ’1 Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΈΠ²Ρ‹ΡΡˆΠ°Ρ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ коэффициСнт. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: коэффициСнт

7-6 x -15 x — 2 x

Π½Π°Ρ‡Π½Π΅ΠΌ с Π΅Π³ΠΎ стандартной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹:

βˆ’2 x — 15 x — 6 x + 7

, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ βˆ’1

— (2 x + 15 x + 6 x — 7) ΠΈΠ»ΠΈ (βˆ’1) (2 x + 15 x + 6 x -7)

Если Π²Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π²Ρ‹Π±Ρ€ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ постоянный ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ.Но Ссли Π²Ρ‹ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ 8 x + 16 x + 8 = 0, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ Π½Π° ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 8. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ x + 2 x + 1 = 0 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ исходноС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ 8 x + 16 x + 8, Π²Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 8 ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ 8 ( x + 2 x + 1), Ρ‡Ρ‚ΠΎ являСтся ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅Π½ исходному ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρƒ .(Π₯отя это ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ сосрСдоточит ваши дальнСйшиС усилия ΠΏΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³Ρƒ Π½Π° x + 2 x + 1, это Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ошибкой Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ исходный ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ x + 2 x + 1.)

Π’Π°Ρˆ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… коэффициСнтов .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ (1/3) x + (3/4) x — (1/2) x + 5/6 = 0, Π²Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 1/12 ΠΈ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ±Π΅ стороны Π½Π° 1/12.Π­Ρ‚ΠΎ Π² точности Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ распознаваниС ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° наимСньший ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈΠ· 12. Π’ любом случаС Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ 4 x + 9 x — 6 x + 10 = 0, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ исходноС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ (1/3) x + (3/4) x — (1/2) x + 5/6, Π²Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 1/12 (ΠΈΠ»ΠΈ наимСньший ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ 12) ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ 1/12. Π’Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΡˆΡŒ (1/12) (4 x + 9 x — 6 x + 10), Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎ исходному ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρƒ .

Π¨Π°Π³ 2. Бколько ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ?

ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ стСпСни n Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ n ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ мноТСствСнныС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ.

Как ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π°? Π’ Π€ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π²Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ… Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π²Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли r являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ( x r ) являСтся Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ. Но Ссли Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ стСпСни n Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ( x r ), ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Π° 1, Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ стСпСни n βˆ’1.НСоднократно примСняя Π€ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ мноТитСлях Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π²Π°ΠΌ n ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈ n Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Π°

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π°ΠΌ , сколько ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ сколько ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½. Π­Ρ‚ΠΎ большоС Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄ΠΎΡΠ±Π΅Ρ€Π΅Π³Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ устройство, особСнно ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Π°, Π²Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠ° .Когда ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ располоТСн Π² стандартная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°, Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ Π—Π½Π°ΠΊ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π·Π½Π°ΠΊ коэффициСнта отличаСтся ΠΎΡ‚ Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ коэффициСнта. (НулСвой коэффициСнт игнорируСтся.) Для ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€,

p ( x ) = x 5 — 2 x 3 + 2 x 2 — 3 x + 12

ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π° Π·Π½Π°ΠΊΠ°.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Π°:

  • Число ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠ· p ( x ) = 0 Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ количСство Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΉ Π·Π½Π°ΠΊΠ° p ( x ), ΠΈΠ»ΠΈ мСньшС, Ρ‡Π΅ΠΌ Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€.
  • Число ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠ· p ( x ) = 0 Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ количСство Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΉ Π·Π½Π°ΠΊΠ° p (- x ), ΠΈΠ»ΠΈ мСньшС Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: рассмотрим p ( x ) Π²Ρ‹ΡˆΠ΅. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ρƒ Π½Π΅Π³ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π° Π² Π·Π½Π°ΠΊΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… корня, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π΄Π²Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… корня, ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ сформируйтС p (- x ), Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² x Π½Π° (- x ) Π² Π²Ρ‹ΡˆΠ΅:

p (- x ) = (- x ) 5 — 2 (- x ) 3 + 2 (- x ) 2 — 3 (- x ) + 12

p (- x ) = — x 5 + 2 x 3 + 2 x 2 + 3 x + 12

p (- x ) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ Π·Π½Π°ΠΊΠ°, поэтому ΠΎΡ€ΠΈΠ³ΠΈΠ½Π°Π» p ( x ) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π½Π΅Π³Π°Ρ‚ΠΈΠ² ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ p ( x ) Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Π½ΠΎ ΠΎΠ½ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, сначала ΠΈΡ‰ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΏΠ»ΠΎΠ΄Ρ‹.

p ( x ) — ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ пятой стСпСни, поэтому ΠΎΠ½ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΡΡ‚ΡŒ Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ x Π½Π΅ являСтся Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ, Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ x = 0 Π½Π΅ являСтся Π½ΡƒΠ»ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ°. (Для ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° с Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π² этом случаС комплСксныС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠΈ.) Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈ возмоТности:

0 Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ 2
количСство Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ
, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ
ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ комплСксными
Π½Π΅Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ
ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ 4 12
1 2
Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ 0 1 4

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ

Если ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… коэффициСнтов , Ρ‚ΠΎ Π»ΠΈΠ±ΠΎ всС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ настоящиС ΠΈΠ»ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ число нСвСщСствСнных комплСксных ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π² сопряТСнных ΠΏΠ°Ρ€Π°Ρ… .

НапримСр, Ссли 5 + 2i являСтся Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° с вСщСствСнными коэффициСнтов, Ρ‚ΠΎ 5βˆ’2i Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΌ этого ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ( x βˆ’5βˆ’2i) являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ, Ρ‚ΠΎ ( x βˆ’5 + 2i) Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ.

ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ это ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π°? ΠŸΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ с Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΡ‹ΠΌ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ Π΅Π΅ Π½Π° комплСксноС сопряТСниС, Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚:

( x βˆ’5βˆ’2i) ( x βˆ’5 + 2i) = x βˆ’10 x + 25βˆ’4i = x βˆ’10 x +29

Если ( x βˆ’5βˆ’2i) Π±Ρ‹Π»ΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ, Π½ΠΎ ( x βˆ’5 + 2i) Π½Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π΅Π³ΠΎ коэффициСнтах, нСзависимо ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ.Если ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ коэффициСнтов, Ρ‚ΠΎ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ комплСксныС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π² сопряТСнныС ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹.

Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ

По Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌ, Ссли ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… коэффициСнтов Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, содСрТащиС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ (Ссли Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ) Π² сопряТСнных ΠΏΠ°Ρ€Π°Ρ…. Если ( x βˆ’2 + √3) являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° с Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтов, Ρ‚ΠΎ ( x βˆ’2 βˆ’ √3) Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ, вспомнитС, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚Π΅ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌ. Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ; ΠΈΠ»ΠΈ просто ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡŒΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ происходит, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅Ρ‚Π΅ эти Π΄Π²Π° Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹.(1/3) ΠΈ Π΄Π²Π° слоТныС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ.

Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ°, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ с Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ корнями порядка β‰₯4 Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² сопряТСнных ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹. Π£ мСня Π½Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π°. Π― Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΡŽ Π½Π°Π΄ ΠΏΡ€ΡƒΡ„, ΠΊΠ°ΠΊ я ΡƒΡΠΏΠ΅Π²Π°ΡŽ.

ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ

Когда Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ( x r ) встрСчаСтся Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ΅ m Ρ€Π°Π·, r Ρ€Π°Π²Π΅Π½ называСтся ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΌ .

  • Если ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌ — Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ число, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ касаСтся Ось x ΠΏΡ€ΠΈ x = r , Π½ΠΎ Π½Π΅ пСрСсСкаСт Π΅Π΅.
  • Если ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌ — Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ число, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ пСрСсСкаСт Ось x ΠΏΡ€ΠΈ x = r . Если ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ 3, 5, 7 ΠΈ Ρ‚. Π”., Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ пСрСсСчСния оси.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹: сравнитС эти Π΄Π²Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΈ ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ:

f ( x ) = ( x βˆ’1) ( x βˆ’4) 2 = x 3 — 9 x 2 + 24 x — 16

Π³ ( x ) = ( x βˆ’1) 3 ( x βˆ’4) 2 = x 5 — 11 x 4 + 43 x 3 — 73 x 2 + 56 x — 16

Π­Ρ‚ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π½ΡƒΠ»ΠΈ, Π½ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 1 встрСчаСтся с Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΉ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ.ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ:

Оба ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π½ΡƒΠ»ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… 1 ΠΈ 4. f ( x ) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ 3, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚Ρ€ΠΈ корня. Из Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 1 являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ 1 ΠΈ 4 являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ· кратности 2. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π³Ρ€Π°Ρ„ пСрСсСкаСт ось x = 1 (Π½ΠΎ Π½Π΅ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ) ΠΈ касаСтся x = 4 Π±Π΅Π· пСрСсСчСния.

Напротив, g ( x ) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ 5. ( g ( x ) = f ( x ) Ρ€Π°Π· ( x βˆ’1) 2 .) Из пяти ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ 1 встрСчаСтся с ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ 3: Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ пСрСсСкаСт ось ΠΏΡ€ΠΈ x = 1 ΠΈ являСтся Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ‚Π°ΠΌ; 4 встрСчаСтся с ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ 2, ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ касаСтся ось x = 4 Π±Π΅Π· пСрСсСчСния.


Π¨Π°Π³ 3. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ

Когда Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ (Ax + Bx + C), ΠΎΠ½ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ….

Иногда Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ просто ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, ΠΊΠ°ΠΊ Π² случаС с x x βˆ’6 = ( x +2) ( x βˆ’3).Π’ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… случаях Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. Π’ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° квадратная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ справа) ваш Π΄Ρ€ΡƒΠ³.

НапримСр, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ коэффициСнт 12 x x βˆ’35. МоТно Π»ΠΈ это Π΅Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π· ΠΏΡ€ΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ? Π‘ΡƒΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈ ошибка Π²Π°ΠΌ придСтся ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ! ВмСсто этого ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ корням , ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ 12 x x βˆ’35 = 0, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

x = [- (- 1) √1 — 4 (12) (- 35)] / 2 (12)

x = [1 √1681] / 24

√1681 = 41, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

x = [1 41] / 24

x = 42/24 ΠΈΠ»ΠΈ -40/24

x = 7/4 ΠΈΠ»ΠΈ -5/3

Если 7/4 ΠΈ βˆ’5/3 ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ корнями, Ρ‚ΠΎ ( x βˆ’7/4) ΠΈ ( x +5/3) Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹.Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

12 x x βˆ’35 = (4 x βˆ’7) (3 x +5)

А ΠΊΠ°ΠΊ насчСт x βˆ’5 x +7? Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ выглядит ΠΊΠ°ΠΊ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΠΉ, Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚Ρ‹ моТСшь Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½? Π‘Π½ΠΎΠ²Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ:

x = [- (- 5) √25 — 4 (1) (7)] / 2 (1)

x = [5 √ βˆ’ 3] / 2

Π§Ρ‚ΠΎ с этим Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, зависит ΠΎΡ‚ исходной ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹. Если это Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Π» Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Ρ€Π΅Π°Π»Ρ‹, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° x βˆ’5 x +7 являСтся простым.Но Ссли этот Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π±Ρ‹Π» Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ уравнСния, ΠΈ Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ всС слоТныС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, Ρƒ вас ΠΈΡ… Π΄Π²Π°:

x = 5/2 + (√3 / 2) i, x = 5/2 — (√3 / 2) i

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ исходноС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ коэффициСнты, эти слоТныС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² сопряТСнной ΠΏΠ°Ρ€Π΅.


Π¨Π°Π³ 4. НайдитС ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ

Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ шаг являСтся сСрдцСм Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ полиномиальноС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π•ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π²Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€.

Иногда ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ осмотра (см. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Π΄Π²Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Ρ‹). Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ способ быстрого доступа, поэтому ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡŒΡ‚Π΅ Π»Π΅Π³ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΡŒ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ напряТСнныС ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹.

ΠœΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ

ВсСгда Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°ΠΉΡ‚Π΅ с поиска Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅. НапримСр, Ссли ваша функция

f ( x ) = 4 x 6 + 12 x 5 + 12 x 4 + 4 x 3

, Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π½Π΅ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°

f ( x ) = 4 x 3 ( x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1)

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ числа 4 ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΠ΅ΡΡ числа, x 3 Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²Π°ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ x = 0 (с ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ 3), ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ кубичСский ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ (стСпСни 3) вмСсто sextic (ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ 6).ЀактичСски, Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ эту ΠΊΡƒΠ±ΠΈΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊ особый ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚, ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡƒΠ± ( x +1) 3 .

Когда Π²Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ± этом Π² ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° пСрСчисляСтС Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ. x +3 x +3 x +1 = 0 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, Π½ΠΎ x ( x +3 x +3 x +1) = 0 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ с Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ x = 0 (с ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ 3).

ΠžΡΠΎΠ±Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Ρ‹

Π‘ΡƒΠ΄ΡŒΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΎΠ² .Если Π²Ρ‹ смоТСтС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ…, ваша Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° станСт Π½Π°ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅. Π‘ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠŸΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Ρ‹:

  • ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ (2 Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹): A 2 A B + B = ( A B )
  • сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²: A + B Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π² Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΌ (для ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… случаСв см. Как Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ сумму ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ)
  • Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²: A B = ( A + B ) ( A B )
  • ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡƒΠ± (2 Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹): A 3 A B + 3 A B B = ( A B )
  • сумма ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ²: A + B = ( A + B ) ( A A B + B )
  • Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ²: A B = ( A B ) ( A + A B + B )

ВыраТСния для суммы ΠΈΠ»ΠΈ разности Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² выглядят Ρ‚Π°ΠΊ: хотя ΠΎΠ½ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, Π½ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ этого Π½Π΅ Π΄Π΅Π»Π°ΡŽΡ‚. A A B + B являСтся простым Π½Π°Π΄ Ρ€Π΅Π°Π»Π°ΠΌΠΈ.

Рассмотрим

p ( x ) = 27 x — 64

Π’Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ это ΠΊΠ°ΠΊ

p ( x ) = (3 x ) — 4

Π’Ρ‹ ΡƒΠΌΠ΅Π΅Ρ‚Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Ρƒ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ²:

p ( x ) = (3 x βˆ’4) (9 x +12 x +16)

Π‘ΠΈΠ½Π³ΠΎ! Как Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ Π΄ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°, ΠΈ всС Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΎ.

Π’ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

q ( x ) = x 6 + 16 x 3 + 64

Π­Ρ‚ΠΎ просто ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½, Π½ΠΎ вмСсто этого Π² x 3 Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ x . Π’Ρ‹ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚Π΅ это Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅:

q ( x ) = ( x 3 ) 2 + 2 (8) ( x 3 ) + 8 2

q ( x ) = ( x 3 + 8) 2

И Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ( x 3 +8) 2 ΠΊΠ°ΠΊ ( x +2) 2 ( x 2 βˆ’2 x +4) 2 .

Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΡƒΠΆΠ΅ ΡƒΡ‡Π»ΠΈ простыС ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, Ссли Ρƒ вас всС Π΅Ρ‰Π΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ стСпСни 3 ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅?

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ — Rational Root Test . Он ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΊΠ°Π½Π΄ΠΈΠ΄Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ Π½Π΅ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

Рассмотрим ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ стандартной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹, записанный с Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ стСпСни Π΄ΠΎ самого Π½ΠΈΠ·ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ всСго с цСлочислСнными коэффициСнтами :

f ( x ) = a n x n +… + a o

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ корня Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π²Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ , Ссли ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π½ΡƒΠ»ΡŒ , Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ , это Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ p / q , Π³Π΄Π΅ p — коэффициСнт Π·Π°Π΄Π½Π΅ΠΉ константы a o ΠΈ q — ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π²Π΅Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ коэффициСнта a n .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

p ( x ) = 2 x 4 — 11 x 3 — 6 x 2 + 64 x + 32

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠ΅Π³ΠΎ коэффициСнта (2) Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 2 ΠΈ 1.Π’ коэффициСнты постоянного Ρ‡Π»Π΅Π½Π° (32) Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 1, 2, 4, 8, 16 ΠΈ 32. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π½ΡƒΠ»ΠΈ: 1, 2, 4, 8, 16 ΠΈΠ»ΠΈ 32 Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 2 ΠΈΠ»ΠΈ 1:

любой из 1/2, 1/1, 2/2, 2/1, 4/2, 4/1, 8/2, 8/1, 16/2, 16/1, 32/2, 32/1

ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π½ΠΎ: любоС ΠΈΠ·, 1, 2, 4, 8, 16, 32

Π§Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это список всСх Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ? ΠœΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ»ΠΈ 32/7, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΌ этого ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°.

Π’Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ : НС Π΄Π΅Π»Π°ΠΉΡ‚Π΅ Rational Root Test большС, Ρ‡Π΅ΠΌ Π΅ΡΡ‚ΡŒ.Π­Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ корнями , просто Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ корнями. И это Π½Π΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π²Ρ‹ Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ слоТныС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ. Rational Root Test — это Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ отправная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°.

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ с Π½Π΅Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами. Π’Ρ‹ застряли? НСт, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ распространСнныС Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ (LCD) ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ с Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ способ. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

(1/2) x — (3/2) x + (2/3) x — 1/2

Π–Πš-дисплСй 1/6.Вынося Π·Π° скобки 1/6 ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½

.

(1/6) (3 x — 9 x + 4 x — 3)

Π­Ρ‚ΠΈ Π΄Π²Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ эквивалСнтны, ΠΈ поэтому ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΏΠ»ΠΎΠ΄Ρ‹. Но Π²Ρ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Rational Root Test ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΊΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ. ВСст Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π²Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ СдинствСнно Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ — Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ ΠΈΠ· 1/3, 1, 3.

ПослС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ? ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π³Ρ€ΡƒΠ±ΠΎΠΉ силы Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π»ΡΡ Π±Ρ‹ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ Π½Π° x Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ΅: Ссли Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° это число являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ.Но Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ способ.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Synthetic Division, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°Π½Π΄ΠΈΠ΄Π°Ρ‚ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Π­Ρ‚ΠΎ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ Π½Π° Ρ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹. Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, это ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ Π² Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΠΌ Π½Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΠ΅ стСпСни чисСл. Π’ΠΎ-Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ…, Π² Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ врСмя ΠΎΠ½ сообщаСт нСзависимо ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, являСтся Π»ΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ число ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, ΠΎΠ½ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ сокращСнный ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π²Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΠΉΡΡ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΏΠ»ΠΎΠ΄Ρ‹. НаконСц, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ синтСтичСского дСлСния ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π°ΠΌ вСрхняя ΠΈΠ»ΠΈ ниТняя Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π°, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ссли число тСстированиС оказываСтся Π½Π΅ Ρ€ΡƒΡ‚ΠΎΠΌ.

Иногда ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Π°ΠΌ Π² дальнСйшСм Π²Ρ‹ΡΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ. НапримСр, Rational Root Test сообщаСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли

q ( x ) = 2 x 4 + 13 x 3 + 20 x 2 + 28 x + 8

ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, ΠΎΠ½ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· списка любой ΠΈΠ·, 1, 2, 4, 8. Но Π½Π΅ Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°ΠΉΡ‚Π΅ с Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ ΠΈΠ»ΠΈ синтСтичСскоС Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π½Π΅Ρ‚ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π·Π½Π°ΠΊΠ°, Π½Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ.Π•ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ?

q (- x ) = 2 x 4 -13 x 3 + 20 x 2 -28 x + 8

ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ смСны Π·Π½Π°ΠΊΠ°. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ. (Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄Π²Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… корня ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ.) НСт Π³Π°Ρ€Π°Π½Ρ‚ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ являСтся Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Π½ΠΎ любой ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· списка -, βˆ’1, βˆ’2, βˆ’4, βˆ’8.

(Если Ρƒ вас графичСского ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π²Π°Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, построив Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΈ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ½, каТСтся, пСрСсСкаСт ось x .Но Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ-ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½Π΅ΠΌΡƒ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ алгСбраичСски, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ f ( x ) Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ 0, Π° Π½Π΅ ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ 0.)

ΠŸΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Rational Root Test Π³Π°Ρ€Π°Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ всСх Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. Но ΠΎΠ½ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ упустит настоящиС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π½Π΅Ρ‚. Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ x βˆ’2 = 0, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ √2, ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ x + 4 = 0, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ 2i.

НаконСц, ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Rational Root Test Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ссли всС коэффициСнты — Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа.ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Π΅Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π· Π½Π° эту Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, которая Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ справа:

p ( x ) = 2 x 4 — 11 x 3 — 6 x 2 + 64 x + 32

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π²Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ СдинствСнно Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π½ΡƒΠ»ΠΈ — это 1, 2, 4, 8, 16, 32. Но ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ 2 (ΠΊΠ°ΠΊ я ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°-Ρ‚ΠΎ сдСлал Π² классС), написав эквивалСнт функция

p ( x ) = 2 ( x 4 — (11/2) x 3 -3 x 2 + 32 x + 16)

Π­Ρ‚Π° функция Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΉ, Π½ΠΎ Π²Ρ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ дольшС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Rational Root Test, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ коэффициСнты Π½Π΅ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа.По сути — это ноль p ( x ), Π½ΠΎ это Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ. ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° я (Π½Π΅Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π½ΠΎ) ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ» Rational Root Test ΠΊ вторая Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°. Моя ошибка Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π»Π°ΡΡŒ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ я Π·Π°Π±Ρ‹Π», Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠ° Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅. Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° всС коэффициСнтов ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа.

ГрафичСскиС подсказки

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Ρ€ΡƒΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΈΠ»ΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, Π³Π΄Π΅ находятся ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ, ΠΈ сколько сущСствуСт настоящих ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: Если Rational Root Test Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π²Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 2 Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… корня, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, пСрСсСкаСт Π»ΠΈ ΠΎΠ½ (ΠΈΠ»ΠΈ касаСтся) оси x Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… 2 ΠΈΠ»ΠΈ βˆ’2.Если Π΄Π°, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ. Π”Π° Ρ‚Ρ‹ всСгда Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ, Π²Ρ‹ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ‹ являСтся Π»ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСчСния Π½Π° ваш Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ просто ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ это.

Π“Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ

НСкоторыС ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Π½Π΅ ΡΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ Π²Π°ΠΌ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня, Π½ΠΎ скорСС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ сущСствуСт ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя значСниями ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ мСньшС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа большС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ ΡΡƒΠ·ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ поиска.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ

Π­Ρ‚Π° Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π²Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° находится Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ось x для ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния x ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ΅ оси x для Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x , ΠΎΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ось x Π³Π΄Π΅-Ρ‚ΠΎ посСрСдинС. (Если Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, пСрСсСчСния ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

p ( x ) = 3 x + 4 x — 20 x βˆ’32

Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ (Ссли Π΅ΡΡ‚ΡŒ) Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· списка любой ΠΈΠ· 1/3, 2/3, 1, 4/3, 2, 8/3, 4, 16/3, 8, 32/3, 16, 32.ЕстСствСнно, сначала Π²Ρ‹ посмотритС Π½Π° Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠŸΠΎΠ»Π΅Π³Ρ‡Π΅. ΠŸΡ€ΠΎΠ±ΡƒΡ синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π²Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ p (1) = βˆ’45, p (2) = βˆ’22 ΠΈ p (4) = 144. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ p (2) ΠΈ p (4) ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ, Π²Ρ‹ Π·Π½Π°ΠΉΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ пСрСсСкаСт ось ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ x = 2 ΠΈ x = 4, поэтому хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ этими числами. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, Π»ΠΈΠ±ΠΎ 8/3 — это ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΎΡ‚ 2 Π΄ΠΎ 4 ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹. (По Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρƒ, синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 8/3 — это ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.)

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π°ΠΌ, Π³Π΄Π΅ находится root, Π½ΠΎ ΠΎΠ½ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π°ΠΌ, Π³Π΄Π΅ Π½Π΅Ρ‚ root. НапримСр, ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ

q ( x ) = 4 x — 16 x + 15

q (1) ΠΈ q (3) ΠΎΠ±Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹, Π½ΠΎ это Π²Π°ΠΌ Π½Π΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ось ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ. (Π­Ρ‚ΠΎ Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹ пСрСсСкаСт ось, ΠΏΡ€ΠΈ x = 3/2 ΠΈ x = 5/2.)

ВСрхняя ΠΈ ниТняя Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹

Одним ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ±ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… эффСктов синтСтичСского дСлСния являСтся Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ссли число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹ тСстируСтС, окаТСтся Π½Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅Π²Ρ‹ΠΌ, ΠΎΠ½ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ мСньшС ΠΈΠ»ΠΈ большС этого Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€:

  • Если Π²Ρ‹ сдСлаСтС синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число a , ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ число Π² Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ строкС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ΅, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° a — это вСрхняя Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° для ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ≀ a .
  • Если Π²Ρ‹ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚Π΅ синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число b , Π° числа Π² Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΌ ряду Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° b — это ниТняя Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° для ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ β‰₯ b .

    Π§Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, Ссли ниТняя строка содСрТит Π½ΡƒΠ»ΠΈ? Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ Π£Ρ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² , послС синтСтичСского дСлСния Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ниТнюю Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρƒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π΄Π²Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° ΠΏΠΎΡΡΠ½ΡΡŽΡ‚ это.

(ΠšΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΈ, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ для Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΡ… ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΎΠΊ слСдуСт ΠΈΠ· ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° для Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΈΡ… ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΎΠΊ. НиТниС ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ p ( x ) Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΈΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ p (- x ), ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° (- x + r ) Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° — ( x r ).)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

q ( x ) = x 3 + 2 x 2 — 3 x — 4

ИспользованиС Rational Root ВСст, Π²Ρ‹ опрСдСляСтС СдинствСнно Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ 4, 2 ΠΈ 1.Π’Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ βˆ’2 ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, ΠΈ Π²Ρ‹ тСстируСтС Π΅Π³ΠΎ с синтСтичСским Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ:

        -2 | 1 2 -3-4
            | -2 0 6
            | ------------------
               1 0–3 2 

βˆ’2 Π½Π΅ являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ уравнСния f ( x ) = 0. Π’ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ строкС Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ, ΠΈ Π²Ρ‹ Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число; ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ этот ноль всС ΠΏΠΎΡ€Ρ‚ΠΈΡ‚. Напомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ниТняя Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π°, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ссли Π·Π½Π°ΠΊΠΈ Π² Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΌ ряду Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈ Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ.1 ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ (Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ), ΠΈ 0 ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Π½ΠΎ βˆ’3 Π½Π΅ считаСтся Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ. Π§Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ битая, Π° Ρ‚Ρ‹ Π½Π΅ знаСшь Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ мСньшС -2. (ЀактичСски, графичСский ΠΈΠ»ΠΈ числСнныС ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°ΠΆΡƒΡ‚ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ -2,5.) Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ наимСньший Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, βˆ’4:

.
        -4 | 1 2 -3-4
            | -4 8-20
            | ------------------
               1–2 5–24 

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ; поэтому Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ΅ βˆ’4.(ΠžΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΊ βˆ’24 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ βˆ’4 сам ΠΏΠΎ сСбС Π½Π΅ являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ.)

Π’ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

r ( x ) = x + 3 x — 3

Rational Root Test сообщаСт Π²Π°ΠΌ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ — 1 ΠΈ 3. Π‘ синтСтичСским Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° βˆ’3:

        -3 | 1 3 0-3
            | -3 0 0
            | ------------------
               1 0 0-3 

βˆ’3 Π½Π΅ являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, Π½ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ здСсь Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ 0 считаСтся Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ — Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ.Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, βˆ’3 — это ниТняя Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, Π° это ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ вСщСствСнных ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π½ΠΈΠΆΠ΅ βˆ’3.

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ

БущСствуСт интСрСсная взаимосвязь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ коэффициСнтами ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΠΈ. Π― ΡƒΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°ΡŽ ΠΎΠ± этом Π² послСднюю ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ это большС ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ для формирования ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½ΡƒΠ»ΠΈ с ΠΆΠ΅Π»Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΌΠΈ свойствами, вмСсто нахоТдСния Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°. Однако Ссли Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ всС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ…, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ это Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠ°, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΠΉΡΡ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.

Рассмотрим ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½

f ( x ) = a n x n + a n βˆ’1 x n βˆ’1 + a n βˆ’2 x n βˆ’2 + … + a 2 x 2 + a 1 x + Π° ΠΈΠ»ΠΈ

Π‘ΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ:

  • a n βˆ’1 a n = сумма всСх ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ
  • + a n βˆ’ 2 a n = сумма ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ взято ΠΏΠΎ Π΄Π²Π° Π·Π° Ρ€Π°Π·
  • a n βˆ’3 a n = сумма ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ взято ΠΏΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΈ Π·Π° Ρ€Π°Π·
  • ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅, ΠΏΠΎΠΊΠ°
  • (-1) n a 0 a n = ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ всСх ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: f ( x ) = x 3 — 6 x 2 — 7 x — 8 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ 3 ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ.Если записываСм Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ r 1 , r 2 , r 3 , Ρ‚ΠΎ сумма ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° r 1 + r 2 + r 3 = — (- 6) = 6; Π² сумма ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, взятых ΠΏΠΎ Π΄Π²Π° Π·Π° Ρ€Π°Π·, Ρ€Π°Π²Π½Π° r 1 r 2 + r 1 r 3 + r 2 r 3 = βˆ’7, Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ r 1 r 2 r 3 = (-1) 3 (-8) = 8.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: Учитывая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½

Π³ ( x ) = x 5 -11 x 4 + 43 x 3 -73 x 2 + 56 x — 16

ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ x = 1, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π²Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… корня.

РСшСниС: ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… корня Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ c ΠΈ d . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сумма всСх ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° 1 + 1 + 1 + c + d = — (- 11) = 11, ΠΈΠ»ΠΈ c + d = 8.Π’Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΠΉΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ всСх ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ 111 c d = (βˆ’1) 5 (βˆ’16) = 16, ΠΈΠ»ΠΈ c d = 16. c + d = 8, c d = 16; поэтому c = d = 4, поэтому ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΠ΅ΡΡ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ с Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ x = 4.

Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ коэффициСнты ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ

Π•ΡΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ нСсколько Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ ΠΎ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ коэффициСнтами ΠΈ корнями. Π‘Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ Π² Π’ΠΈΠΊΠΈΠΏΠ΅Π΄ΠΈΠΈ Бвойства ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΎΠ² Π΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠ΅Π΅, хотя ΠΈ нСсколько ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡŽΠΌΠ΅.


Π¨Π°Π³ 5. Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ

ΠŸΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ r являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° x r являСтся Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ; это факторная Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°. Π’Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Ρ‚Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‡Π΅ΡˆΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ, являСтся Π»ΠΈ r ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° x r ΠΈ посмотритС, Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π»ΠΈ Ρ€ΠΎΠ²Π½Ρ‹ΠΌ (остаток ΠΎΡ‚ 0). Π­Π»ΠΈΠ·Π°Π±Π΅Ρ‚ Π‘Ρ‚Π°ΠΏΠ΅Π»ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ дСлСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π² столбик.

Но Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ ΠΈ быстрСС.Если Ρ‚Π²ΠΎΠΉ синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°Ρ€ΠΆΠ°Π²Π΅Π»ΠΎ, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π²Π·Π³Π»ΡΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ Π½Π° Dr. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° короткая Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ синтСтичСскому Π΄ΠΈΠ²ΠΈΠ·ΠΈΠΎΠ½Ρƒ; Ссли Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ΅Π½ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ, Π­Π»ΠΈΠ·Π°Π±Π΅Ρ‚ БтСйплс БинтСтичСский Π΄ΠΈΠ²ΠΈΠ·ΠΈΠΎΠ½ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ. (Π£ Π΄ΠΎΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠœΠ°Ρ‚Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ страница ΠΎ ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ Synthetic Division.)

БинтСтичСскоС ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ±ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ прСимущСства. Если Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ·Ρ€Π΅Π²Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²Π°ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ . А ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚Π΅Π±Π΅ Π²Π΅Π·Π΅Ρ‚, ΠΈ синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π²Π°ΠΌ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΡŽΡŽ ΠΈΠ»ΠΈ ниТнюю связаны Π½Π° корнях.

Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π° x r для постоянной r . Если Π²Ρ‹ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° x βˆ’3, Π²Ρ‹ провСряСтС, являСтся Π»ΠΈ 3 ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, ΠΈ Π²Ρ‹ синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° 3 (Π½Π΅ Π½Π° βˆ’3). Если Π²Ρ‹ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° x +11, Π²Ρ‹ тСстируСтС являСтся Π»ΠΈ βˆ’11 ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, ΠΈ Π²Ρ‹ синтСтичСски Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° βˆ’11 (Π½Π΅ 11).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

p ( x ) = 4 x 4 — 35 x 2 — 9

Π’Ρ‹ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ·Ρ€Π΅Π²Π°Π΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ x βˆ’3 ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ, ΠΈ провСряСтС это с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

        3 | 4 0-35 0-9
           | 12 36 3 9
           | --------------------
              4 12 1 3 0 

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ остаток Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0, Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 3 являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ p ( x ) = 0, Π° x βˆ’3 являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ p ( x ).Но Ρ‚Ρ‹ знаСшь Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ 3 ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈ ниТняя строка синтСтичСского дСлСния всС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Π΅, Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ p ( x ) = 0 Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ≀ 3. И Π²Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ

p ( x ) = ( x βˆ’3) (4 x 3 + 12 x 2 + x + 3)

4 x 3 + 12 x 2 + x + 3 — это ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ .ВсС Π΅Π³ΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ коэффициСнтов исходного p ( x ), Π½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ Π½ΠΈΠΆΠ΅ , поэтому Π΅Π³ΠΎ с Π½ΠΈΠΌ Π»Π΅Π³Ρ‡Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ.


Π¨Π°Π³ 6. ЧислСнныС ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹

Когда Ρƒ вашСго уравнСния большС Π½Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ числовым ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ значСния ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ:

  • Π‘Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ Π² Π’ΠΈΠΊΠΈΠΏΠ΅Π΄ΠΈΠΈ Алгоритм поиска ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ достойноС Ρ€Π΅Π·ΡŽΠΌΠ΅ с указатСлями Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹.
  • МногиС графичСскиС ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Команда Root ΠΈΠ»ΠΈ Zero, которая ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Π°ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ. НапримСр, Π½Π° ВИ-83 ΠΈΠ»ΠΈ ВИ-84 Π²Ρ‹ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ [2nd] [Calc] [zero].

ΠŸΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ для всСх слоТных ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ:

4 x + 15 x — 36 = 0

Π¨Π°Π³ 1. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠΆΠ΅ Π² стандартной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅, с Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ноль с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ стороны ΠΈ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ x ΠΎΡ‚ наибольшСго Π΄ΠΎ наимСньшСго.Π’Π°ΠΌ Π½Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

Π¨Π°Π³ 2. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ 3, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ 3 ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΏΠ»ΠΎΠ΄Ρ‹. Π•ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½Π° вариация Π·Π½Π°ΠΊΠ°, Π° ΠΎΡ‚ ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ. Π˜Π·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ с Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΎΠΉ — x x :

βˆ’4 x — 15 x — 36

Π—Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Π½Π΅Ρ‚, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π½Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π΄Π²Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… корня Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ слоТными, ΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ³Π°Ρ‚Ρ‹ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°.

Π¨Π°Π³ΠΈ 3 ΠΈ 4. Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΊ соТалСнию, довольно ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ: Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ ΠΈΠ· 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 дСлится Π½Π° любоС ΠΈΠ· 4, 2, 1. (пСрСчислСны Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΡƒΠΆΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для этого Π½Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.) Π’Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚Π΅ сначала ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ 1:

        1 | 4 0 15 -36
           | 4 4 19
           | -----------------
              4 4 19-17 

1 Π½Π΅ являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, поэтому Π²Ρ‹ провСряСтС 2:

        2 | 4 0 15 -36
           | 8 16 62
           | -----------------
              4 8 31 26 

Π£Π²Ρ‹, 2 Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π΅ Ρ€ΡƒΡ‚.Но ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ f (1) = βˆ’17 ΠΈ f (2) = 26. Π£ Π½ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ², Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ пСрСсСкаСт ось x ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ x = 1 ΠΈ x = 2, Π° ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ находится ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ 1 ΠΈ 2. (Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС это СдинствСнный root, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π²Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сущСствуСт ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π½Π΅Ρ‚.)

ЕдинствСнный Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ 1 ΠΈ 2 — 3/2, ΠΈ поэтому Π»ΠΈΠ±ΠΎ 3/2 являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»Π΅Π½. Π’Ρ‹ ΠΏΡ‹Ρ‚Π°Π΅Ρ‚Π΅ΡΡŒ 3/2 ΠΏΠΎ синтСтичСскому Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ:

        3/2 | 4 0 15 -36
             | 6 9 36
             | -----------------
                4 6 24 0 

Π£Ρ€Π°! 3/2 — это ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 4 x + 6 x + 24. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами,

(4 x + 15 x — 36) ( Ρ… βˆ’3/2) = 4 x + 6 x + 24

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ 2, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅Ρ‚ нСобходимости Π² большСм ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ± ΠΈ ошибок, ΠΈ Π²Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊ ΡˆΠ°Π³Ρƒ 5.

Π¨Π°Π³ 5. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ

4 x + 6 x + 24 = 0

Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 2:

2 x + 3 x + 12 = 0

НСт смысла ΠΏΡ‹Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ этот ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ коэффициСнт, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ большС Π½Π΅Ρ‚ настоящиС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ.Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π²Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°:

x = [βˆ’3 √9 — 4 (2) (12)] / 2 (2)

x = [βˆ’3 √ βˆ’ 87] / 4

x = βˆ’3/4 (√87 / 4) i

Π¨Π°Π³ 6. ΠŸΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ нашли ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΉ шаг! ΠŸΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ список ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ —

3/2, βˆ’3/4 + (√87 / 4) я, βˆ’3/4 — (√87 / 4) я


Π§Ρ‚ΠΎ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ

  • 19 октября 2020 Π³. : ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ Π² HTML5. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅, Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ курсивом ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ; Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΠ» ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ΅ i.
  • 3 ноября 2018 Π³. : НСкоторыС измСнСния форматирования для ясности, особСнно с Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°ΠΌΠΈ. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 0 являСтся Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ Π² этом ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅.
  • (ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ измСнСния ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π»Π΅Π½Ρ‹)
  • 15 фСвраля 2002 Π³. : пСрвая публикация.

ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ для ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²

ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ для ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² — Mathematics Stack Exchange
Π‘Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΠΌΠ΅Π½Π° стСками

Π‘Π΅Ρ‚ΡŒ Stack Exchange состоит ΠΈΠ· 178 сообщСств вопросов ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ², Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ Stack Overflow, ΠΊΡ€ΡƒΠΏΠ½Π΅ΠΉΡˆΠ΅Π΅ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ΡΡ наибольшим Π΄ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-сообщСство, Π³Π΄Π΅ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‡ΠΈΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ своими знаниями ΠΈ ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ свою ΠΊΠ°Ρ€ΡŒΠ΅Ρ€Ρƒ.

ΠŸΠΎΡΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Stack Exchange
  1. 0
  2. +0
  3. ΠΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π—Π°Ρ€Π΅Π³ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ² для людСй, ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ Π½Π° любом ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Π΅, ΠΈ профСссионалов Π² смСТных областях.РСгистрация Π·Π°ΠΉΠΌΠ΅Ρ‚ всСго ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚Ρƒ.

Π—Π°Ρ€Π΅Π³ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ этому сообщСству

ΠšΡ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π·Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ вопрос

ΠšΡ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ

Π›ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ Π³ΠΎΠ»ΠΎΡΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π°Π²Π΅Ρ€Ρ…

Бпросил

ΠŸΡ€ΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π½ΠΎ 1ΠΊ Ρ€Π°Π·

$ \ begingroup $

ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 5-ΠΉ стСпСни ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅? НапримСр: $$ x ^ 5 — 3x ^ 4 + 17x ^ 3 — 12x ^ 2 — 11x — 5 = 0 $$

Π― имСю Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° сСдьмой стСпСни Π½Π΅ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ сСмь Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.Π˜Ρ… ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΈ. Π’ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС ΠΈ для ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΎΠ³ΠΎ класса, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π΄Π²Π°.

Если это ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π°, Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ я ΠΌΠΎΠ³Ρƒ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ пятой стСпСни Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΈ, Π° Π½Π΅ ΠΏΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ?

Edu

1,79211 Π·ΠΎΠ»ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ88 сСрСбряных Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ²2323 Π±Ρ€ΠΎΠ½Π·ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°ΠΊΠ°

Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π½ 13 ΠΎΠΊΡ‚.

АхмСд АмирАхмСд Амир

9119 сСрСбряных Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ²1515 Π±Ρ€ΠΎΠ½Π·ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ²

$ \ endgroup $ 15 $ \ begingroup $

Основная Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹

ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΎΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ стСпСни $ n $ с комплСксными коэффициСнтами ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚, Ссли ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ $ n $ комплСксных ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *