Корень n-й степени и его свойства

Определение корня n-й степени из действительного числа

Корнем n-й степени (\(n=2, 3, 4, 5, 6… \)) некоторого числа \(a\) называют такое неотрицательное число \(b\), которое при возведении в степень \(n\) дает \(a\):

$$ \sqrt[n]{a}=b; $$ $$ b^{n}=\underbrace{b*b*b*…*b}_{n \; раз}=a. $$

Число \(n\) при этом называют показателем корня.

Если \(n=2\), то перед вами корень 2-й степени или обычный квадратный корень.

Если \(n=3\), то корень 3-й степени и т.д.

Операция извлечения корня n-й степени является обратной к операции возведения в n-ю степень.

Пример 1 $$ \sqrt[3]{27}=3 $$

Кубический корень из числа 27 равняется 3. Действительно, если число 3 возвести в 3-ю степень, то мы получим 27.

Пример 2 $$ \sqrt[4]{16}=2 $$

Корень 4-й степени из 16-и равен 2. Двойка в 4-й степени равна 16.

Пример 3 $$ \sqrt[3]{0}=0 $$

Если извлечь корень n-й степени из 0, всегда будет 0.

Пример 4 $$ \sqrt[3]{19}= ? $$

Мы не можем в уме подобрать такое число, которое при возведении в 3-ю степень даст 19. Если посчитать на калькуляторе, то получим \(2,668…\) – иррациональное число с бесконечным количеством знаков после запятой.

Обычно, в математике, когда у вас получается иррациональное число, корень не считают и оставляют так как есть \(\sqrt[3]{19}\).

Что же делать, если под рукой нет калькулятора, а нужно оценить, чему равен такой корень. В этом случае нужно подобрать справа и слева такие ближайшие числа, корень из которых посчитать можно:

$$ \sqrt[3]{8} \le \sqrt[3]{19} \le \sqrt[3]{27} $$ $$ 2 \le \sqrt[3]{19} \le 3 $$

Получается, что наш корень лежит между числами 2 и 3.

Корень четной и нечетной степени

Надо четко различать правила работы четными и нечетными степенями. Дело в том, что корень четной степени можно взять только из положительного числа. Из отрицательных чисел корень четной степени не существует.

Корень нечетной степени можно посчитать из любых действительных чисел. Иногда в школьной программе встречаются задания, в которых требуется определить имеет ли смысл выражение:

Пример 5 $$ \sqrt[3]{-27}=-3 $$

Данное выражение имеет смысл, так как корень нечетной степени можно посчитать из любого числа, даже отрицательного.

Пример 6 $$ \sqrt[4]{-27} $$

Так как корень четной степени, а под корнем стоит отрицательное число, то выражение не имеет смысла.

Свойства корня n-й степени

Пусть есть два неотрицательных числа a и b, для них будут выполняться следующие свойства:

$$ (\sqrt[n]{a})^n=a $$ $$ \sqrt[n]{a^n}=a $$ $$ \sqrt[n]{a*b}=\sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{b} $$ $$ \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, b \neq 0 $$ $$ {\sqrt[n]{a}}^k=\sqrt[n]{a^k} $$ $$\sqrt[n] {\sqrt[k]{a}}=\sqrt[n*k]{a} $$ $$ \sqrt[n*p]{a^{k*p}}=\sqrt[n]{a^k} $$

Свойства арифметических корней n-ой степени: формулы

Свойство	Формула
Корень из произведения
Корень из деления
Корень, возведенный в степень
Корень нечетной степени из отрицательного числа
Корень из корня
Для a > 0 и любых натуральных n и m верно равенство
Если показатель корня и степень подкоренного выражения умножить/поделить на одно и то же число, величина корня не изменится
Взаимопогашение корня и степени
Сравнение корней
Корень как возведение в дробную степень

11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Корни n-ой степени, их свойства. Функция y=ⁿ√x, ее свойства и график. — Свойства корня n-ой степени. Примеры решения типовых задач.

Комментарии преподавателя

При до­ка­за­тель­стве свойств корня n-й сте­пе­ни мы будем опи­рать­ся на его опре­де­ле­ние.

Опре­де­ле­ние:

Кор­нем n-й сте­пе­ни из неот­ри­ца­тель­но­го числа а на­зы­ва­ет­ся такое неот­ри­ца­тель­ное число b, ко­то­рое при воз­ве­де­нии в сте­пень n дает число а.

При­ве­дем ма­те­ма­ти­че­скую за­пись опре­де­ле­ния:

На­при­мер, , т. к. ; , т. к. ;

Об­ра­тим вни­ма­ние, что под зна­ком корня может сто­ять от­ри­ца­тель­ное число, но толь­ко в том слу­чае, если ко­рень – нечет­ной сте­пе­ни. В этом слу­чае сле­ду­ет вы­не­сти минус из-под знака корня, и мы по­лу­чим ко­рень из неот­ри­ца­тель­но­го числа: .

На­пом­ним гео­мет­ри­че­скую ин­тер­пре­та­цию корня n-й сте­пе­ни и дадим по­яс­не­ния к опре­де­ле­нию.

Рас­смот­рим функ­цию  на мно­же­стве всех дей­стви­тель­ных зна­че­ний. Рис. 1.

Рис. 1. Гра­фик функ­ции 

Зна­че­ние  функ­ция при­ни­ма­ет при двух раз­лич­ных зна­че­ни­ях ар­гу­мен­та: . Дру­ги­ми сло­ва­ми, урав­не­ние  имеет два ре­ше­ния, по­ло­жи­тель­ное и от­ри­ца­тель­ное,  – неот­ри­ца­тель­ное зна­че­ние – носит на­зва­ние ариф­ме­ти­че­ско­го корня.

Рас­смот­рим функ­цию 

 на мно­же­стве . Рис. 2.

Рис. 2. Гра­фик функ­ции  на мно­же­стве 

Дан­ная функ­ция при­ни­ма­ет зна­че­ние  при един­ствен­ном зна­че­нии ар­гу­мен­та 

. Си­сте­ма

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние .

Ко­рень n-й сте­пе­ни (n=2, 3, 4…) из про­из­ве­де­ния двух неот­ри­ца­тель­ных чисел равен про­из­ве­де­нию кор­ней n-й сте­пе­ни из этих чисел.

Дано:

До­ка­зать: 

До­ка­за­тель­ство:

Обо­зна­чим ис­ход­ные вы­ра­же­ния через х, у и z:

Так как все вы­ра­же­ния неот­ри­ца­тель­ные и воз­во­дят­ся в на­ту­раль­ную сте­пень, имеем право за­пи­сать:

Тео­ре­ма до­ка­за­на.

Рас­смот­рим несколь­ко при­ме­ров на при­ме­не­ние до­ка­зан­ной тео­ре­мы.

При­мер 1 – вы­чис­лить:

Тео­ре­ма удоб­на тем, что не нужно вы­пол­нять тру­до­ем­кое умно­же­ние, а ино­гда, на­о­бо­рот, рас­кла­ды­вать боль­шие числа на мно­жи­те­ли.

При­мер 2 – вы­чис­лить:

Тео­ре­ма 1 до­пус­ка­ет обоб­ще­ние, на­при­мер, для про­из­ве­де­ния трех со­мно­жи­те­лей.

Обоб­ще­ние:

Дано: , 

До­ка­зать: 

До­ка­за­тель­ство:

Со­глас­но усло­вию , если рас­смат­ри­вать ab как один мно­жи­тель, а с как вто­рой, можем при­ме­нить к вы­ра­же­нию тео­ре­му 1:

Те­перь можем при­ме­нить тео­ре­му 1 к корню из ab:

Обоб­ще­ние до­ка­за­но.

При­мер 3 – вы­чис­лить:

При­мер 4 – вы­чис­лить:

Если , то спра­вед­ли­во ра­вен­ство:

Дано:

До­ка­зать:

До­ка­за­тель­ство:

Вве­дем новые пе­ре­мен­ные:

Так как все вы­ра­же­ния неот­ри­ца­тель­ные и воз­во­дят­ся в на­ту­раль­ную сте­пень, имеем право за­пи­сать:

Тео­ре­ма до­ка­за­на.

Тео­ре­му 2 можно до­ка­зать непо­сред­ствен­но через тео­ре­му 1:

Дано:

До­ка­зать (ис­поль­зуя тео­ре­му 1):

До­ка­за­тель­ство:

Если вы­ше­ука­зан­ное ра­вен­ство верно, то, воз­ве­дя его пра­вую часть в сте­пень n, мы долж­ны по­лу­чить под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние:

Рас­смот­рим за­дан­ное вы­ра­же­ние:

Тео­ре­ма до­ка­за­на.

При­мер 5 – вы­чис­лить:

При­мер 6 – вы­чис­лить:

До­ка­жем тео­ре­му 1 вто­рым спо­со­бом:

Дано:

До­ка­зать: 

До­ка­за­тель­ство:

Для до­ка­за­тель­ства будем ис­поль­зо­вать толь­ко опре­де­ле­ние корня.

Рас­смот­рим за­дан­ное вы­ра­же­ние . Со­глас­но опре­де­ле­нию корня, если пра­вую часть вы­ра­же­ния воз­ве­сти в n-ю сте­пень, мы долж­ны по­лу­чить под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние, т. е. 

Тео­ре­ма до­ка­за­на.

На­пом­ним ос­нов­ное опре­де­ле­ние.

Опре­де­ле­ние:

Кор­нем n-й сте­пе­ни из неот­ри­ца­тель­но­го числа а на­зы­ва­ет­ся такое неот­ри­ца­тель­ное число b, ко­то­рое при воз­ве­де­нии в сте­пень n дает число а.

При­ве­дем ма­те­ма­ти­че­скую за­пись опре­де­ле­ния:

На­при­мер, , т. к. ; , т. к. 

Неот­ри­ца­тель­ный ко­рень n-й сте­пе­ни из неот­ри­ца­тель­но­го числа а на­зы­ва­ют ариф­ме­ти­че­ским кор­нем.

 – ариф­ме­ти­че­ский ко­рень;

На­пом­ним гео­мет­ри­че­ский смысл корня n-й сте­пе­ни из неот­ри­ца­тель­но­го числа. Рас­смот­рим функ­цию  на мно­же­стве всех дей­стви­тель­ных зна­че­ний (ри­су­нок 1) и толь­ко для неот­ри­ца­тель­ных х (ри­су­нок 2).

Рис. 1. Гра­фик функ­ции 

Рис. 2. Гра­фик функ­ции  на мно­же­стве 

С рас­смат­ри­ва­е­мы­ми функ­ци­я­ми, как и с любой дру­гой функ­ци­ей, свя­за­ны две за­да­чи – пря­мая (по за­дан­но­му зна­че­нию х найти у) и об­рат­ная (по за­дан­но­му зна­че­нию у опре­де­лить х).

В слу­чае, когда функ­ция рас­смат­ри­ва­ет­ся для всех зна­че­ний х, урав­не­ние вида  имеет два корня: , т. е. функ­ция при­об­ре­та­ет любое свое зна­че­ние при двух про­ти­во­по­лож­ных зна­че­ни­ях ар­гу­мен­та.

В слу­чае же, когда рас­смат­ри­ва­ют­ся толь­ко неот­ри­ца­тель­ные зна­че­ния х, урав­не­ние вида 

Сайт учителей биологии МБОУ Лицей № 2 города Воронежа

Виды корней и типы корневых систем

Корень – один из основных вегетативных органов растения. Он закрепляет растение в почве и активно поглощает из нее воду с минеральными солями. Главная функция корней – почвенное питание.

В течение жизни у растения формируется много корней. Одни из них появляются вследствие ветвления главного корня, другие образуются на побеге. Все вместе они образуют корневую систему растения.

В корневой системе различают главный, боковые и придаточные корни. Главный корень развивается из зародышевого корня. Придаточными называют корни, развивающиеся на стеблевой части
побега. Придаточные корни могут вырастать и на листьях. Боковые корни возникают на корнях всех видов (главном, боковых и придаточных).

Корневая система, у которой главный корень хорошо выражен и занимает стержневое положение, называется стержневой. Такие корневые системы можно видеть у фасоли, гороха, одуванчика, тыквы, подсолнечника, березы, дуба и многих других двудольных растений.

 

Мочковатая корневая система состоит из одинаковых по размерам ветвящихся придаточных и боковых корней, поэтому имеет вид пучка – мочки (например, у подорожника и лютика). Мочковатые корневые системы характерны для всех однодольных растений и некоторых двудольных. Пшеница, рожь, овес, пырей, лук, тюльпан, гладиолус, осока и многие другие однодольные растения имеют мочковатую корневую систему.

 

Рассматривая внешний вид корня, можно видеть, что его беловатый, почти прозрачный кончик чуть утолщен и прикрыт защитным колпачком – корневым чехликом. Несколько выше чехлика имеется небольшая гладкая часть корня. Над ней находится участок с многочисленными тонкими выростами, которые выглядят как белый пушок вокруг корня. Это корневые волоски. Выше по корню развиваются боковые корни, на них также имеются корневой чехлик и корневые волоски. Ближе к стеблю корень обычно утолщен и имеет буроватый цвет.

В течение жизни растение постоянно увеличивает размеры своих корней. При этом они углубляются в почву и разрастаются далеко в стороны от стебля. Корни свеклы, например, проникают в почву на глубину более 3 м, у кукурузы – 2–2,5 метра, у люцерны – до 5 метров, у пшеницы – на 2-2,5 м. У огурцов корни разрастаются на 1,5-2 м в
стороны от стебля, у лука – на 60-70 см. У взрослой яблони корни разрастаются в стороны на 10-12 м от ствола, а у осины – даже на 30 м.
Корни обладают неограниченной возможностью роста. Но в природе они редко реализуют такую возможность из-за различных причин: ветвления в почве корней других растений, недостаточности питательных веществ и т. д. В специально созданных условиях растение способно развить огромную массу корней. Например, у четырехмесячного растения озимой ржи, выращенного в теплице, образовалась огромная корневая система. Общая длина всех ее корней составила 623 км, что равно расстоянию от Москвы до Санкт-Петербурга. Причем общая поверхность всех корней этого растения была в 130 раз больше поверхности наземных органов растения. Общий прирост всех корней только за одни сутки достигал 4,8 км, и ежесуточно на них образовывалось более 100 млн корневых 
волосков.

Корни растут в течение всей жизни растения.

Рост корня осуществляется путем деления и растяжения клеток, находящихся на верхушке (кончике) корня. Все корни растут верхушечной частью. Обнаружить это можно с помощью следующего опыта. На корешок проростка фасоли или тыквы нанесите черной тушью тонкие черточки-метки на одинаковом расстоянии друг от друга. Уже через день можно увидеть, что на участке, расположенном ближе к верхушке корня, расстояние между метками увеличилось, тогда как у основания корня оно не изменилось.

Если удалить верхушку, то рост корня в длину прекратится, но зато образуется много боковых корней. Эта особенность растений используется человеком при выращивании рассады культурных растений.

Корень удлиняется и продвигается в почве в результате деления и растяжения клеток верхушки корня.

Если рассмотреть корневой чехлик под микроскопом, то можно увидеть, что он образован из нескольких слоев клеток. Он ограждает делящиеся клетки кончика корня от механических воздействий среды. Кроме того, клетки корневого чехлика выделяют слизь, которая действует как смазка, облегчая продвижение растущего корня в почве.

Интерактивный урок-тренажёр. (Пройдите все страницы урока выполните все опыты и задания)

Как бы ни положили прорастающее семя или укореняющийся побег – их корни обязательно будут направлены вниз. В этом выражается чувствительность растения к земному притяжению. Такое явление называется геотропизмом (от греч.  гео – «земля», тропос – «поворот», «направление»).

Геотропизм у корней. (Анимация)

Ориентацию корней вниз к земле можно продемонстрировать на опытах. Если растение с корнем, растущим вниз, посадить в перевернутом виде, то через некоторое время можно увидеть, что оно вновь направит свой корень вниз. Опыт можно повторить несколько раз, но результат всегда будет тот же. В почве корень, продвигаясь вниз, всегда направляется в сторону, где содержатся влага, минеральные вещества и кислород. Такое движение органов растения, в том числе и корня, в сторону нужных им химических веществ (кислород, вода, минеральные соли) называется хемотропизмом (от греч. хемиа – «химия» и тропос – «поворот», «направление»).

Биологические задачи

 

 

 

Корень – основной вегетативный орган растения. Корень растет на протяжении всей жизни растения. Он всегда растет вниз, но способен поворачиваться в направлении нужных ему веществ. Корень растет верхушечной частью, защищенной корневым чехликом. Главный, боковые и придаточные корни вместе создают корневую систему. Имеется два типа корневых систем у растений – стержневая и мочковатая.

 

Обзор фитохимических компонентов и их потенциальной пользы для здоровья

Крахмалистые корни и клубнеплоды играют ключевую роль в рационе человека. Есть несколько корней и клубней, которые создают обширное биоразнообразие даже в пределах одного и того же географического положения. Таким образом, они добавляют разнообразия в диету, предлагая многочисленные желательные преимущества для питания и здоровья, такие как антиоксидантное, гипогликемическое, гипохолестеринемическое, противомикробное и иммуномодулирующее действие. Ряд биоактивных компонентов, таких как фенольные соединения, сапонины, биоактивные белки, гликоалкалоиды и фитиновые кислоты, ответственны за наблюдаемые эффекты.Многие крахмалистые клубневые культуры, за исключением обычного картофеля, сладкого картофеля и маниоки, еще не полностью изучены на предмет их питательной ценности и пользы для здоровья. В азиатских странах некоторые съедобные клубни также используются как традиционные лекарственные средства. Из клубней можно приготовить самые разные продукты, а также их можно использовать в промышленности. Обработка может повлиять на биоактивность составляющих соединений. Клубни обладают огромным потенциалом в качестве функциональных пищевых продуктов и нутрицевтиков, которые необходимо использовать для снижения риска заболеваний и улучшения здоровья.

1. Введение

Крахмалистые корнеплоды и клубнеплоды занимают второе место после зерновых как глобальный источник углеводов. Они обеспечивают значительную часть мировых запасов продовольствия, а также являются важным источником кормов для животных и продуктов переработки для потребления людьми и промышленного использования. Крахмалистые корни и клубни — это растения, которые хранят съедобный крахмал в подземных стеблях, корнях, корневищах, клубнелуковицах и клубнях, и происходят из разнообразных ботанических источников.Картофель и ямс представляют собой клубни, тогда как таро и кокоямы получают из клубнелуковиц, подземных стеблей и набухших гипокотилей. Маниока и сладкий картофель — это запасные корни, а канна и маранта — съедобные корневища. Все эти культуры можно размножать вегетативными частями, включая клубни (картофель и ямс), черенки стебля (маниока), черенки винограда (сладкий картофель) и боковые побеги, столоны или головки клубнелуковиц (таро и кокоям).

Доля корней и клубней в энергоснабжении у разных популяций различается в зависимости от страны.Относительная важность этих культур очевидна благодаря их годовому мировому производству, которое составляет примерно 836 миллионов тонн [1]. Азия является основным производителем, за ней следуют Африка, Европа и Америка. На азиатский и африканский регионы приходится 43 и 33% мирового производства корнеплодов и клубней, соответственно [1]. Потребляется ряд видов и разновидностей, но маниока, картофель и сладкий картофель составляют 90% мирового производства корнеплодов и клубнеплодов [1].

С точки зрения питания корни и клубни обладают большим потенциалом для обеспечения экономичных источников пищевой энергии в виде углеводов (Таблица 1).Энергия клубней составляет около одной трети от эквивалентной массы риса или пшеницы из-за высокого содержания влаги в клубнях. Однако высокие урожаи корнеплодов и клубней дают больше энергии на единицу земли в день по сравнению с зерновыми культурами [2]. Как правило, содержание протеина в корнях и клубнях низкое и составляет от 1 до 2% в пересчете на сухой вес [2]. Картофель и ямс содержат большое количество белков среди других клубней. Аминокислоты, содержащие серу, а именно метионин и цистин, являются лимитирующими в белках корнеплодов.Маниока, сладкий картофель, картофель и ямс содержат некоторое количество витамина С, а желтые сорта сладкого картофеля, батата и маниоки содержат β -каротин. Таро — хороший источник калия. В корнях и клубнях отсутствует большинство других витаминов и минералов, но они содержат значительное количество пищевых волокон [2]. Как и в случае с другими культурами, питательная ценность корней и клубней зависит, в частности, от сорта, местоположения, типа почвы и методов ведения сельского хозяйства.

Питательные вещества (на 100 г) Картофель Сладкий картофель, сырой Маниока, сырая Ямс, сырой Белые мякоть и кожа, сырые Красный мякоть и кожа, сырые Примерный состав Энергия (ккал) 69.0 70 86,0 160,0 118,0 Белок (г) 1,7 1,9 1,6 1,4 1,5 Всего липидов (жиров) (г) 0,1 0,1 0,1 0,3 0,2 Углеводы, по разнице (г) 15,7 15,9 20,1 38,1 27,9 Клетчатка, всего диетического (г) 2.4 1,7 3,0 1,8 4,1 Сахаров, всего (г), г 1,2 1,3 4,2 1,7 0,5 Минералы Кальций, Ca (мг) 9 10 30 16 17 Магний, Mg (мг) 21 22 25 21 21 Калий, К (мг) 407 455 337 271 816 Фосфор, P (мг) 62 61 47 27 55 Натрий, Na (мг) м 16 18 55 14 9 Витамины 900 21 Общая аскорбиновая кислота (мг) 19.70 8,60

.

ROOTS AND EXPONENTS: РЕШАЕМЫЕ УПРАЖНЕНИЯ: SYMPLIFY ROOTS: ELEMENTAL AND HIGH SCHOOL

Содержимое этой страницы:

• Введение

• Корни как полномочия, свойства полномочий, важное свойство, произведение и соотношение корней

• Решенные упражнения: упрощающих выражений с корнями

---

Введение

Power является выражением этого типа

a ^b = a · a · · · a · a

Это выражение представляет собой результат умножения основания , на , само по себе столько раз, сколько указывает экспонента , b .Мы читаем это как « a в степени b ».

На этой странице мы рассмотрим случаи, когда показатель степени b является дробью. Другими словами, мы будем работать с корнями и их полномочиями.

---

Корни как сила

Пусть n натуральное число, отличное от нуля (1, 2, 3, 4, …),

Мы будем называть корень степени n или n корень -й степени номер a на

$$ \ sqrt [n] {a} = a ^ \ frac {1} {n}: = b, \ b ^ n = a $$

Другими словами, n -й корень числа a число b , которое в степени n равно a (Итак, b ⁿ = a ).

Число n называется степенью корня и называется подкоренным элементом и корня.

Давайте посмотрим на некоторые частные случаи:

• Корень степени n = 2 известен как корень квадратный .

  Пример:

  Квадратный корень из 9 равен 3, потому что 3 в степени двойки равно 9.

  $$ \ sqrt {9} = 3 $$

• Корень степени n = 3 известен как кубический корень .

  Пример:

  Кубический корень из -8 равен -2, потому что -2 в степени трех равняется -8.

  $$ \ sqrt [3] {- 8} = -2 $$

Важно: Нет корней с четной степенью (2, 4, 6, 8 ..) отрицательных чисел (это комплексные числа), но там корни отрицательных чисел, если степень нечетное число.

---

СВОЙСТВА ДАННЫХ
Товар	Мощность
Частное	Отрицательная экспонента
Обратный	Обратное обратное

---

Важная недвижимость

Вероятно, мы будем использовать чаще всего следующее свойство:

$$ a ^ \ frac {b} {c} = \ sqrt [c] {a ^ b} $$

---

Произведение и соотношение корней

Произведение двух корней с одинаковым степень — это корень (той же степени) произведения подкоренных выражений, это,

$$ \ sqrt [n] {a} \ cdot \ sqrt [n] {b} = \ sqrt [n] {a \ cdot b} $$

То же самое и с частным:

$$ \ frac {\ sqrt [n] {a}} {\ sqrt [n] {b}} = \ sqrt [n] {\ frac {a} {b}} $$

---

---

---

Упростите выражения дробными показателями

Упражнение 1

Показать решение

У нас есть квадратный корень, записанный в виде степени.Мощность составляет:

Мы знаем, что квадратный корень из 9 равен 3, но мы можем записать 9 как 9 = 3 ² , чтобы лучше понять, как исчезает квадратный корень (это то, что мы будем делать с более сложными выражениями):

---

Упражнение 2

Показать решение

Пишем власть в виде корня.Поскольку знаменатель показатель степени равен 4, это четвертый корень степени (корень четвертой степени):

Обратите внимание, что числитель 3 остается показателем степени подкоренного выражения.

Мы не можем удалить термин из корня, потому что это корень четвертой степени, и для этого подкоренное выражение должно иметь показатель больше или равно 4.

---

Упражнение 3

Показать решение

Мы можем записать квадратный корень в виде степени для работы с показателем степени:

Теперь применим свойства степеней: у нас есть степень степени, поэтому мы умножаем показатели:

Запишем степень в виде корня (четвертая степень):

Мы выразили подкоренное выражение как продукт, который нужно увидеть есть фактор, который мы можем извлечь из выражение.Поскольку это четвертый корень, мы можем написать 5 для каждого 5 ⁴ мы имеем в подкоренном выражении:

Мы не можем дальше упрощать выражение.

---

Упражнение 4

Показать решение

Помните, что продукт корни с одинаковой степенью — это корень с той же степенью произведение подкоренных выражений:

Потому что у нас есть корень в числителе и знаменатель (та же степень) мы можем запишите их как один корень:

Примечание: : шаг выше обусловлен свойствами степеней, потому что

Теперь мы можем упростить дробь подкоренного выражения:

Из-за того, что у нас 1 в числитель и его квадратный корень равен 1, мы собираемся снова записать два корня:

Рассчитываем куб частного:

Наконец, математики не любят корни в знаменатель, поэтому умножаем в числителе и знаменатель по корню, чтобы он оставался в числителе:

---

Упражнение 5

Показать решение

Запишем корень двенадцатой степени как степень:

Мы упростили дробь экспоненты.Теперь запишем подкоренное выражение (49) в виде степени: 49 = 7 ² .

---

Упражнение 6

Показать решение

Это упражнение может показаться сложным, потому что в корнях есть корни, но единственное нам нужно написать квадрат корни как силы и применяют свойства of powers (мощность мощности):

---

Упражнение 7

Показать решение

Мы пишем 72 как сила для применения свойств:

Мы запишем дробную экспоненту как кубический корень, и мы сможем извлечь множитель:

Обратите внимание: поскольку это куб корень (третья степень), мы можем извлечь 3 от подкоренного выражения для каждого 3 ³ .

---

Упражнение 8

Показать решение

Запишем корни степенями:

Теперь мы запишем 4 как степень, 4 = 2 ² , чтобы иметь возможность упростить:

---

Упражнение 9

Показать решение

Мы записываем числа и корни в экспоненциальной форме, чтобы применить свойства:

Следовательно

---

Упражнение 10

Показать решение

Мы записываем корни как степени (один куб, а другой квадрат), а 9 как 9 = 3 ²

Теперь умножаем все показатели (степень степени):

Наконец, упростим дроби в показателях степени:

Мы можем извлечь множитель:

Как обычно, мы удалим корень из знаменателя.

Поскольку это кубический корень, мы должны умножить его дважды в числителе и в знаменателе, чтобы он исчез:

---

Упражнение 11

Показать решение

Прежде всего, потому что мы иметь дробь в степени минус единицы, мы пишем обратное, чтобы экспонента исчезла:

Теперь, поскольку все корни квадратные, мы можем их умножить:

Упростим дробь:

Теперь немного поработаем, чтобы избегаем корня в знаменателе: корни

разделяем

Умножаем и делим на корень 2:

---

Упражнение 12

Показать решение

Выражение довольно пугающее, но все, что нам нужно сделать, это записать все корни как степени:

Обратите внимание, что мы записали все показатели только за один шаг.

Упростим показатель степени:

---

Упражнение 13

Показать решение

У нас есть корень отрицательного числа, но поскольку это куб корень (неравномерная степень), он существует.

Запишем кубический корень в виде степени:

Умножаем показатели (степень степени):

Обратите внимание, что мы можем удалить отрицательный знак, потому что (-5) ² = 5 ²

---

Упражнение 14

Показать решение

Запишем пять корней как степени:

Умножаем показатели (степень степени):

Дробь равна 1.

Следовательно,

---

Упражнение 15

Показать решение

Мы можем извлечь 4 как общий множитель в подкоренном выражении:

4 оставляет квадратный корень как 2 (потому что это 2 ² ):

Нам нужно понять, что подкоренное выражение является результатом биномиальной теоремы Ньютона (квадрат вычитания):

Наконец, корень исключает квадрат

Важно: На самом деле, когда мы отменяем квадратный корень с число в квадрате нам нужно написать абсолютное значение

Это связано с тем, что если значение x делает полином x — 3 отрицательное, (когда x <3 ), тогда степень двойки составляет подкоренное выражение положительное и, следовательно, квадратный корень существует и является положительное число.Но, если мы не записываем число как абсолютное значение, когда мы исключаем корень, получаем отрицательное число и, как следствие, ложное равенство.

Давайте посмотрим на пример:

Предположим, что x = 0 . Затем

Но

Однако, если мы запишем абсолютное значение, мы получим

---

Matesfacil.ком компании J. Llopis под лицензией творческий Международная лицензия Commons Attribution-NonCommercial 4.0.

,

4 Изменения в характере работы и ее организации | Информационные технологии и рабочая сила США: где мы находимся и куда мы идем дальше?

, которые в их команде. ^63,64,65 Организациям может быть необходимо создать эффективные нормы, чтобы помочь смягчить проблемы, связанные с виртуальными инструментами (например, снижение понимания в результате неспособности воспринимать невербальные сигналы и жесты, предоставляемые при личном общении). связи).

Аналогичным образом, использование междисциплинарных групп (IDT) также приобрело популярность, а именно в области здравоохранения, но их использование также начинает укореняться в корпоративных областях, а также в областях науки, технологий, инженерии и математики (STEM). ⁶⁶ IDT состоят из экспертов в определенной области, которые сотрудничают и координируют свои действия для выполнения сложных задач. ⁶⁷ По данным Американского гериатрического общества, IDT позволяют медицинским работникам удовлетворять общие потребности пациента, которые могут оставаться неудовлетворенными в условиях отсутствия сотрудничества. ⁶⁸ Каждый член команды привносит в команду уникальные сильные стороны, как следствие обладания разным опытом. Такие команды могут коллективно предоставить пациентам больше.

Однако по мере роста числа групп IDT организациям придется все чаще сталкиваться с проблемами, с которыми сталкиваются такие группы; Было высказано предположение, что сотрудники из разных дисциплин могут различаться в отношении обучения, профессиональных ценностей, понимания командных ролей, коммуникативных навыков, словарного запаса и подходов к решению проблем. ⁶⁹ Вследствие этих различий членам команды из разных дисциплин в конечном итоге может не хватать общего понимания. Эти проблемы могут негативно сказаться на работе команды.Например, неудачи в совместной работе междисциплинарных медицинских бригад были связаны с ухудшением качества ухода за пациентами. И наоборот, усиленная командная работа в таких командах составила

___________________

⁶³ D.E. Бейли, П. Леонарди, С. Ячмень, 2012, Соблазн виртуального, Организация науки 23: 1485-1504; PJ Hinds и S. Kiesler, 2002, Distributed Wor k, MIT Press, Кембридж, Массачусетс; М. Мортенсен и П. Хайндс, 2001, Конфликт и общая идентичность в географически распределенных командах, International Journal of Conflict Management 12 (3): 212-238; C.Д. Крэмтон и П.Дж. Хайндс, 2005, Динамика подгрупп в интернационально распределенных командах: этноцентризм или межнациональное обучение, Research in Organizational Behavior 26: 231-263.

⁶⁴ C.D. Cramton, 2001, Проблема взаимного знания и ее последствия в географически разбросанных группах, Organization Science 12 (3): 346-371.

⁶⁵ П. Канаваттаначай и Ю. Ю, 2007, Влияние координации знаний на производительность виртуальной команды с течением времени, MIS Quarterly 31 (4): 783-808.

⁶⁶ Т.А. Слокум, Р. Детрих, С.М. Вильчинский, Т.Д. Спенсер, Т. Льюис и К. Вулф, 2014 г., Доказательная практика прикладного анализа поведения, The Behavior Analyst 37 (1): 41-56.

⁶⁷ SA Nancarrow, A. Booth, S. Ariss, T. Smith, P. Enderby, and A. Roots, 2013, Десять принципов хорошей междисциплинарной командной работы, Human Resource Health 11 (19), doi: 10,1186 / 1478-4491-11-19.

⁶⁸ С.А. Орчард, В. Карран и С. Кабене, 2005, Создание культуры для междисциплинарной совместной профессиональной практики, Медицинское образование в Интернете, 10 (11), http://www.med-ed-online.net/index. PHP / MeO / статьи / viewFile / 4387/4569.

⁶⁹ П. Холл, 2005, Межпрофессиональная командная работа: профессиональные культуры как барьеры, Журнал межпрофессиональной помощи 19 (Приложение 1): 188-196.

,

Что такое устойчивость и почему это важно?

Устойчивое развитие — это обширная дисциплина, позволяющая студентам и выпускникам получить представление о большинстве аспектов человеческого мира, от бизнеса до технологий, окружающей среды и социальных наук. Основные навыки, с которыми выпускники покидают колледж или университет, очень востребованы, особенно в современном мире, стремящемся резко сократить выбросы углерода и открывать и развивать технологии будущего. Устойчивое развитие опирается на политику, экономику, философию и другие социальные науки, а также точные науки.Навыки устойчивого развития и экологическая осведомленность являются приоритетом во многих корпоративных вакансиях на уровне выпускников и выше, поскольку предприятия стремятся соблюдать новое законодательство. Таким образом, выпускники программы по устойчивому развитию будут работать во многих областях, но чаще всего в области гражданского планирования, консультирования по вопросам окружающей среды (построенная и природная среда), сельского хозяйства, не для получения прибыли, корпоративных стратегий, оценки и планирования здоровья и даже в области права и принятия решений. Количество рабочих мест начального уровня растет, и в ближайшие годы выпускники бакалавриата могут ожидать все больше и больше возможностей и возможностей.

Устойчивое развитие — одна из новейших дисциплин, которая пытается связать социальные науки с гражданской инженерией и экологию с технологиями будущего. Когда мы слышим слово «устойчивость», мы склонны думать о возобновляемых источниках топлива, сокращении выбросов углерода, защите окружающей среды и способе поддержания баланса хрупких экосистем нашей планеты. Короче говоря, устойчивость направлена ​​на защиту окружающей среды, здоровья человека и окружающей среды, при этом стимулируя инновации и не ставя под угрозу наш образ жизни.Из-за этого растущего спроса степень магистра не обязательно будет требоваться для большинства рабочих мест, поскольку программы бакалавриата (а в некоторых случаях и ниже) готовят людей к карьере в области устойчивого развития. Узнайте больше о различных степенях устойчивости и образовании.

Что такое устойчивость?

Определение «устойчивости» — это исследование того, как природные системы функционируют, остаются разнообразными и производят все необходимое для сохранения баланса экологии. Он также признает, что человеческая цивилизация требует ресурсов для поддержания нашего современного образа жизни (1) .В истории человечества существует бесчисленное множество примеров, когда цивилизация наносила ущерб своей окружающей среде и серьезно влияла на собственные шансы на выживание (некоторые из них Джаред Даймонд исследует в своей книге Collapse : Как сложные общества выбирают путь к провалу или выживанию (10) ). Устойчивое развитие принимает во внимание то, как мы могли бы жить в гармонии с окружающим нас миром природы, защищая его от повреждений и разрушения.

Сейчас мы живем в современном, ориентированном на потребителя и в основном городском обществе во всем развитом мире, и мы ежедневно потребляем много природных ресурсов.В наших городских центрах мы потребляем больше энергии, чем те, кто живет в сельской местности (2, p3-4) , а городские центры потребляют намного больше энергии, чем в среднем, поддерживая освещением наших улиц и общественных зданий для питания наших приборов, наших отопление и другие общественные и бытовые потребности в электроэнергии. Это не означает, что устойчивый образ жизни должен быть сосредоточен только на людях, которые живут в городских центрах, хотя улучшения должны быть сделаны повсюду — по оценкам, мы используем примерно на 40% больше ресурсов каждый год, чем мы можем вернуть, и это необходимо изменить (3, п2) .Устойчивость и устойчивое развитие сосредоточены на балансировании этой тонкой грани между конкурирующими потребностями — нашей потребностью двигаться вперед в технологическом и экономическом отношении и потребностями защиты окружающей среды, в которой мы и другие живем. Устойчивое развитие — это не только окружающая среда (4) , это также касается нашего здоровья как общества, гарантирующего, что ни один человек или сфера жизни не пострадает в результате принятия экологического законодательства, а также изучение долгосрочных последствий этих действий. человечество берет и задает вопросы о том, как это можно улучшить (2) .

Три столпа устойчивости

В 2005 году Всемирная встреча на высшем уровне по социальному развитию определила три основные области, которые способствуют философии и социальным наукам устойчивого развития. Эти «опоры» во многих национальных стандартах и ​​схемах сертификации составляют основу решения основных проблем, с которыми сейчас сталкивается мир. Комиссия Брундтланд описала это как «развитие, которое отвечает потребностям настоящего без ущерба для способности будущих поколений удовлетворять свои собственные потребности» (6) .Таким образом, мы должны учитывать будущее, принимая решения о настоящем.

Экономическое развитие

Это проблема, которая оказывается наиболее проблематичной, поскольку большинство людей не согласны с политической идеологией, что является экономически обоснованным, а что нет, и как это повлияет на бизнес и, соответственно, на рабочие места и возможности трудоустройства (2, p4) , Речь также идет о стимулировании предприятий и других организаций придерживаться принципов устойчивого развития, выходящих за рамки обычных законодательных требований.Кроме того, для поощрения и стимулирования среднего человека делать свое дело, где и когда он может; один человек редко может добиться многого, но, если рассматривать его как группу, эффекты в некоторых областях накапливаются. Рынок спроса и предложения носит потребительский характер, и современная жизнь требует много ресурсов каждый день (6) ; ради защиты окружающей среды важнейшей задачей является получение контроля над тем, что мы потребляем. Экономическое развитие заключается в том, чтобы дать людям то, что они хотят, без ущерба для качества жизни, особенно в развивающихся странах, и уменьшить финансовое бремя и «бюрократизм», связанные с правильным поступком.

Социальное развитие

У этого столпа много аспектов. Наиболее важным является осведомленность и законодательная защита здоровья людей от загрязнения и другой вредной деятельности предприятий и других организаций (6) . В Северной Америке, Европе и остальных развитых странах существуют строгие проверки и программы законодательства, обеспечивающие надежную защиту здоровья и благополучия людей. Речь также идет о поддержании доступа к основным ресурсам без ущерба для качества жизни.Самая большая горячая тема для многих сейчас — это экологичное жилье и то, как мы можем лучше строить дома, в которых мы живем, из экологически чистых материалов. Последним элементом является образование — поощрение людей к участию в обеспечении экологической устойчивости и обучение их воздействию защиты окружающей среды, а также предупреждение об опасностях, если мы не сможем достичь наших целей. (7, p7-12) .

Охрана окружающей среды

Мы все знаем, что нам нужно делать для защиты окружающей среды, будь то переработка отходов, сокращение энергопотребления за счет выключения электронных устройств, а не использования режима ожидания, путем коротких пеших прогулок вместо поездки на автобусе.Деятельность предприятий регулируется таким образом, чтобы предотвращать загрязнение и поддерживать низкий уровень выбросов углерода. Есть стимулы для установки возобновляемых источников энергии в наших домах и на предприятиях. Охрана окружающей среды — это третий столп и для многих главная забота о будущем человечества. Он определяет, как мы должны изучать и защищать экосистемы, качество воздуха, целостность и устойчивость наших ресурсов, уделяя особое внимание элементам, оказывающим давление на окружающую среду. (6) . Это также касается того, как технологии будут способствовать нашему более экологичному будущему; Агентство по охране окружающей среды признало, что развитие технологий и биотехнологий является ключом к этой устойчивости и защите окружающей среды будущего от потенциального ущерба, который технологические достижения потенциально могут нанести (1) .

Каковы основные цели устойчивого развития?

Профессиональная сеть устойчивого развития думает, действует и работает глобально. В 2012 году Конференция Организации Объединенных Наций по устойчивому развитию собралась, чтобы обсудить и разработать набор целей, к достижению которых необходимо работать; они выросли из целей в области развития, сформулированных в Декларации тысячелетия (ЦРТ), которые заявили об успехе в сокращении глобальной бедности, но при этом признали, что еще многое предстоит сделать. В конечном итоге ЦУР представила список из 17 пунктов (8) , который, среди прочего, включал:

• Конец бедности и голода
• Повышение стандартов образования и здравоохранения, особенно в том, что касается качества воды и улучшения санитарии.
• Для достижения гендерного равенства
• Устойчивый экономический рост с одновременным продвижением рабочих мест и укреплением экономики
• Все вышеперечисленное и многое другое, одновременно устраняя последствия изменения климата, загрязнения и других экологических факторов, которые могут нанести вред здоровью, средствам к существованию и жизни людей. ,
• Устойчивое развитие, включая здоровье земли, воздуха и моря

Наконец, он признал концепцию природы, имеющую определенные права, — что люди должны управлять миром и важность того, чтобы люди были в авангарде решения вышеуказанных глобальных проблем. (9) через управление окружающей средой и потреблением (например, сокращение упаковки и сокращение пищевых отходов, а также поощрение использования перерабатываемых материалов).

История устойчивого развития

Со времен неолитической аграрной революции и, возможно, даже до этого люди были скорее потребителями, чем пополнителями экологических ресурсов.От сообществ охотников-собирателей, которые переезжали в область, чтобы использовать ее ресурсы в течение сезона, прежде чем разбивать лагерь или двигаться дальше, только чтобы вернуться в следующем году, чтобы сделать то же самое, развитие избыточной экономики привело к постоянным поселениям. Подсечное и огневое земледелие заменяло естественную дикую природу часто однородными плантациями сельскохозяйственных культур (11, p2483) , а лагеря уступали место поселениям, а затем, в конечном итоге, деревням, поселкам и городам, которые оказывали давление на окружающую среду.

Иногда давление окружающей среды заставляло людей в первую очередь вносить эти изменения (одним из таких факторов является рост населения), и часто в конечном итоге им приходилось переезжать в новое место, где окружающая среда могла бы лучше поддерживать их и их практику, или вносить дальнейшие изменения в существующую среду.Реальной концепции устойчивого образа жизни не существовало, даже если люди в далеком прошлом понимали, что почва обладает максимальным плодородием, которое можно истощить и пополнить за счет скота.

Широко признано, что многие общества рухнули из-за неспособности адаптироваться к условиям, вызванным этой неустойчивой практикой. (10) . Было ли это интродукцией чужеродных видов, нарушающих баланс экосистемы, одновременной вырубкой слишком большого количества деревьев или даже неспособностью адаптироваться к естественным колебаниям климата, в современном мире мы гораздо лучше осведомлены о потенциальном ущербе, нанесенном человеком. действие.Культурные изменения часто приводили к выживанию этих обществ сверх того, что можно было ожидать в данных обстоятельствах (11, p2485) .

Хотя некоторые философы эпохи Возрождения и Просвещения выражали озабоченность по поводу ресурсов и перенаселения и их устойчивости в долгосрочной перспективе, в то время к этим людям не относились серьезно, кроме как в качестве гипотетического вопроса. Пройдет 20 ^— века, прежде чем мы поймем влияние, которое мы можем оказать на окружающую среду.Ущерб окружающей среде, загрязнение, дестабилизация почв в результате вырубки деревьев, ископаемое топливо и другие экологические проблемы привели к растущему беспокойству по поводу окружающей среды и того, наносим ли мы или можем ли нанести ущерб нашей собственной экосистеме. Организация Объединенных Наций была основана после Второй мировой войны, а в 1945 году была создана ЮНЕСКО для пропаганды важности человеческой культуры и науки (14) . Сегодня их задача — «способствовать построению мира, искоренению нищеты, устойчивому развитию и межкультурному диалогу посредством образования, науки, культуры, коммуникации и информации» (15) .

К концу 20-го ^-го -го века наука об изменении климата утвердилась. К 1980-м годам мы знали о проблемах парникового эффекта и разрушения озонового слоя (12) , и очень поздно в этом веке осознали, что некоторые из наших ресурсов — особенно ископаемое топливо — ограничены и что мы должны приложить усилия, чтобы перейти на возобновляемые источники энергии. Именно тогда мы стали свидетелями социального, экономического и научного рождения экологического движения.

Устойчивое будущее

Пока не ясно, как будет выглядеть наше устойчивое будущее, но с появлением новых технологий и улучшением более старых более чистых источников топлива многие люди теперь обращают внимание на мир после ископаемого топлива, включая бизнес. С 1950-х годов мы пережили беспрецедентный рост, включая интенсивное земледелие, технологическую революцию и резкое увеличение потребностей в энергии (13, p2) , что привело к еще большему давлению и нагрузке на ресурсы планеты.Мы также гораздо лучше осведомлены о тяжелом положении развивающегося мира и о том, с чем сталкивается наша планета, поскольку сейчас мы наблюдаем как стихийные бедствия, так и катастрофы, вызванные деятельностью человека, а также последствия, которые они могут иметь для экосистем и населения. Жизненно важно, чтобы мы разрабатывали новые, более чистые технологии для удовлетворения наших потребностей в энергии, но устойчивость касается не только окружающей среды.

Самым крупным общественным активистским движением, связанным с социальной составляющей устойчивого развития, были такие программы, как Fair Trade и Rainforest Alliance, которые поощряют передовые методы ведения сельского хозяйства и обеспечивают фермерам, производящим предметы роскоши, такие как кофе и какао, достойный прожиточный минимум (14) .Активисты и специалисты по устойчивому развитию надеются устранить торговые барьеры в будущем, чтобы они могли принести пользу каждому, внося свой вклад в экономическое и социальное развитие, основанное на устойчивости, при одновременном продвижении передовых экологических практик (16) .

Источники

1. http://www.epa.gov/sustainability/basicinfo.htm
2. https://www.academia.edu/9294719/Urban_Sustainability_in_Theory_and_Practice_Circles_of_Sustainability_66http: //
_of_Sustainability_66_2015_org / wp-content / uploads / 2011/05 / Lorek_Sustainable-usage.pdf
3. http://www.sd-commission.org.uk/pages/what-is-sustainable-development.html
4. http: // epa.gov/ncer/rfa/forms/sustainability_primer_v7.pdf
5. http://cmsdata.iucn.org/downloads/iucn_future_of_sustanability.pdf
6. http://www.sustainabilityconsortium.org/wp-content/themes/sustainability/ assets / pdf / whitepapers / Social_Sustainability_Assessment.pdf
7. https://sustainabledevelopment.un.org/content/documents/4538pressowg13.pdf
8. https://sustainabledevelopment.un.org/focussdgs.html
9. Даймонд, Дж. 2005: Коллапс: как сложные общества выбирают, чтобы потерпеть неудачу или выжить . Нью-Йорк: Penguin (http://cpor.org/ce/Diamond%282005%29Collapse-HowSocitiesChooseFailureSuccess.pdf)
10. http://www.pnas.org/content/106/8/2483.full.pdf+html
11. http://assets.panda.org/downloads/living_planet_report_2008.pdf
12. http://www.histecon.magd.cam.ac.uk/history-sust/files/Big_Here_and_Long_Now-presentation.pdf
13. http://www.rainforest-alliance.org/work/agriculture
14. http://www.unesco.org/new/en/unesco/about-us/who-we-are/introduction-unesco/
15. http://cmsdata.iucn.org/downloads/iucn_future_of_sustanability.pdf

М.Г. Мейсон имеет степень бакалавра археологии и магистра ландшафтной археологии Университета Эксетера. Личный интерес к науке об окружающей среде рос вместе с его формальными исследованиями и в конечном итоге стал частью его аспирантуры, где он изучал как естественные, так и антропогенные изменения окружающей среды на юго-западе Англии; его особые интересы связаны с аэрофотосъемкой.У него есть опыт работы в ГИС (цифровое картографирование), но в настоящее время он работает писателем-фрилансером, поскольку экономический спад означает, что он изо всех сил пытается найти подходящую работу. В настоящее время он живет на юго-западе Англии.

Последние сообщения Мэтью Мэйсона (посмотреть все)

Избранная статья

Археология: изучение прошлого и будущего

Что такое археология? Проще говоря, археология — это изучение людей в прошлом, их деятельности и действий, культурных практик, инструментов и технологического развития, а в некоторых случаях (где это возможно) их суеверных и религиозных практик, выражения их культурной самобытности и…

.