Квадратичная функция ее график – Квадратичная функция. Определение, свойства, построение графика

3.3.3 Квадратичная функция, её график

Видеоурок 1: Квадратичная функция. Часть 1

Видеоурок 2: Квадратичная функция. Часть 2

Видеоурок 3: Построение графика квадратичной функции

Лекция: Квадратичная функция, её график

Квадратичная функция

Если перед Вами появилась функция вида у = ах2 + bx + c, то такая функция будет иметь название квадратичной. 

Обратите внимание, функция будет квадратичной только в том случае, если коэффициент а ≠ 0.

Итак, в данной функции а, b и с — это коэффициенты:


  • а — коэффициент при старшем члене,

  • b — второй коэффициент,

  • с — свободных член.

Любая квадратичная функция на координатной плоскости изображается в виде параболы, однако функция у = х

2 имеет вид:

При с = 0 график всегда начинается в начале координат, а остальные 4 точки определяются самостоятельно:

Если коэффициент а < 0, то данный график будет иметь немного другой вид — ветки параболы будут направлены вниз:

Характеристика функции у = х2

1. Область значения функции — существует для всех действительных чисел.

2. Область значения функции — функция не может принимать отрицательные значения.

3. Парная функция, симметрична относительно оси ОУ.

4. Монотонно убывает на промежутке от минус бесконечности до нуля, монотонно возрастает на промежутке от нуля до бесконечности.

5. Минимум функции на все рассматриваемом промежутке в точке [0; 0].

Решение квадратного уравнения

Как мы знаем, при решении квадратного уравнения может существовать несколько случаев, которые влияют на количество корней. Напомним Вам, что найти решение уравнения — значит найти точку, в которой график пересекает ось ОХ. Именно поэтому функция приравнивается к нулю: у = 0.

1. Если мы имеем уравнение вида у = ах2 + bx + c, то решая его по дискриминанту, можем получить D < 0. С точки зрения графика квадратичной функции это значит, что вершина параболы находится над осью ОХ, а её ветки направлены вверх. Именно из-за того, что не существует пересечения с осью ОХ, решений данное уравнение не имеет.

2. Если дискриминант равен нулю D = 0, то это означает, что уравнение имеет один корень. Следовательно, на графике это можно показать в качестве вершины, которая лежит на оси ОХ.

3. Если дискриминант больше нуля D > 0, это значит, что уравнение имеет два корня. На графике это можно показать, как пересечение оси ОХ ветвями параболы.

Алгоритм построения квадратичной функции

Давайте рассмотри алгоритм построение параболы по квадратичной функции на примере следующей функции: у = 2х2 + 3х — 5.

1. Первым делом следует определиться с направлением ветвей параболы. Для этого необходимо обратить внимание на коэффициент, который стоит перед старшим членом. Если коэффициент положительный, то ветви параболы направлены вверх. Следовательно, 2 > 0, а значит, в нашей функции ветви параболы направлены вверх.

2. Дальше следует приравнять функцию к нулю для нахождения дискриминанта. В данном получившемся уравнении дискриминант больше нуля, а это значит, что мы будем иметь два решения, а значит, два пересечение графика с осью ОХ.

3. Теперь давайте определим, в каких точках график будет пересекать ось ОХ. Для этого необходимо решить получившееся уравнение.

В данном случае мы получили корни:

х1 = 1, х2 = -2,5.

4. Находим координату вершины параболы. Для этого необходимо воспользоваться формулой:

5. Еще дополнительные две симметричные точки находятся через подстановку вместо «х» нуля. В нашем уравнении мы получили, что при х = 0, у = -5.

6. А теперь нанесем вершину, точки пересечения с осью ОХ и ОУ на график. В результате этого получим:

cknow.ru

Квадратичная функция, ее свойства, примеры и график

Функция y = ax² + bx + c, где a, b и c — заданные числа, a ≠ 0, x — переменная, называется квадратичной функцией. Другими словами, квадратичная функция – это зависимость, содержащая аргумент в квадрате. Отсюда и ее название.

При этом многочлен ax² + bx + c называют квадратным трехчленом. Числа ab и c называются коэффициентами квадратного трехчлена: a — первым коэффициентом, b — вторым,                        c — свободным членом. Значения x, при которых квадратный трехчлен обращается в нуль, называются корнями квадратного трехчлена.

Для нахождения корней квадратного трехчлена нужно решить квадратное уравнение                 ax² + bx + c = 0. Рассмотрим пример, найдем корни квадратного трехчлена x² — x — 2. Решая уравнение x² — x — 2 = 0, получаем: x1 = -1, x2 = 2.

Число корней квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 зависит от знака его дискриминанта                     D = b² — 4ac, а значит и квадратный трехчлен:

  • имеет два различных корня, если D > 0;
  • имеет один корень (два равных корня), если D = 0;
  • не имеет действительных корней, если D < 0.

Рассмотрим пример, квадратный трехчлен 3x² — 8x + 5 имеет два различных корня, так как          D = 8² — 4* 3*5 = 4 > 0, корни этого трехчлена: x= 5/3,  x

2 = 1.

Квадратный трехчлен 4x² — 4x + 1 имеет один корень, так как D = 4² — 4*4*1 = 0, корень этого трехчлена  х = 1/2.

Квадратный трехчлен 2x² — 5x + 6 не имеет действительных корней, так как                                       D = 5² — 4*2*6 = — 23 < 0.

График квадратичной функции

Рассмотрим самую простую квадратичную функцию y = x², т. е. функцию y = ax² + bx + c, при a = 1, b = c = 0. Для построения графика этой функции составим таблицу ее значений.

   х   -2   -1    0    1    2
   у    4    1    0    1    4

Отметим точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией.

Кривая, являющаяся графиком функции 

y = x², называется параболой. Ось ординат является осью симметрии параболы. Точку пересечения параболы с ее осью симметрии называют вершиной параболы. Вершиной параболы y = x² является начало координат.

Рассмотрим функцию вида y = 2x², чтобы построить график составим таблицу значений.

     x     -2     -1     0      1      2
      y      8      2     0      2      8

Сравним графики функций y = 2х² и y = х². При одном и том же х значение функции y = 2х² в 2 раза больше значения функции y = х². Это значит, что каждую точку графика y = 2х² можно получить из точки графика функции 

y = х² с той же абсциссой увеличением ее ординаты в 2 раза. Говорят, что график функции y = 2х² получается растяжением графика функции y = х² в 2 раза вдоль оси ординат.

Рассмотрим функцию вида y = 1/2x², чтобы построить график составим таблицу значений.

    х   -2   -1    0     1    2
    y    2   0.5    0   0.5    2

Сравним графики функций y = 1/2x² и y = х². Каждую точку графика y = 1/2x² можно получить из точки графика функции  y = х² с той же абсциссой уменьшением ее ординаты в 2 раза. Говорят, что график функции y = 1/2x² получается сжатием графика функции y = 

х² в 2 раза вдоль оси ординат.

Рассмотрим функцию вида y = —x²,  и сравним с функцией y = х². При одном и том же значении х значения этих функций равны по модулю и противоположны по знаку. Следовательно, график функции y = —x² можно получить симметрией относительно оси абсцисс графика функции  y = х². Составим таблицу значений.

   х   -2   -1    0    1    2
   у    -4   -1    0    -1    -4

Говорят, что ветви параболы y = х² направлены вверх, а ветви параболы y = —x² направлены вниз. Аналогично график функции y = -2х² симметричен графику функции y = 2х² относительно оси абсцисс. График функции 

y = -1/2х² симметричен графику функции y = 1/2х² относительно оси абсцисс. График функции y = ах² при любом а ≠ 0 также называют параболой. При а > 0 ветви параболы направлены вверх, а при а < 0 вниз.

Рассмотрим функцию вида y = x² — 2х — 3, чтобы построить график составим таблицу значений.

   х   -2   -1    0     1     2    3    4
   у    5    0    -3    -4   -3    0    5

 

Вообще, графиком функции y = ax² + bx + c является парабола, получаемая сдвигом параболы      y = ax² вдоль координатных осей. Равенство y = ax² + bx + c называют уравнением параболы.

Автор публикации

0 Комментарии: 3Публикации: 84Регистрация: 04-09-2015

prostoi-sovet.ru

Квадратичная функция и ее график

На уроках математики в школе Вы уже познакомились с простейшими свойствами и графиком функции y = x2. Давайте расширим знания по квадратичной функции.

Задание 1.

Квадратичная функция и ее графикПостроить график функции y = x2. Масштаб: 1 = 2 см. Отметьте на оси Oy точку F(0; 1/4). Циркулем или полоской бумаги измерьте расстояние от точки F до какой-нибудь точки M параболы. Затем приколите полоску в точке M и поверните ее вокруг этой точки так, чтобы она стала вертикальной. Конец полоски опустится немного ниже оси абсцисс (рис. 1). Отметьте на полоске, насколько она выйдет за ось абсцисс. Возьмите теперь другую точку на параболе и повторите измерение еще раз. Насколько теперь опустился край полоски за ось абсцисс?

Результат: какую бы точку на параболе y = x2 вы не взяли, расстояние от этой точки до точки F(0; 1/4) будет больше расстояния от той же точки до оси абсцисс всегда на одно и то же число – на 1/4.

Можно сказать иначе: расстояние от любой точки параболы до точки (0; 1/4) равно расстоянию от той же точки параболы до прямой y = -1/4. Эта замечательная точка F(0; 1/4) называется фокусом параболы y = x2, а прямая y = -1/4 – директрисой этой параболы. Директриса и фокус есть у каждой параболы.

Интересные свойства параболы:

1. Любая точка параболы равноудалена от некоторой точки, называемой фокусом параболы, и некоторой прямой, называемой ее директрисой.

2. Если вращать параболу вокруг оси симметрии (например, параболу y = x2 вокруг оси Oy), то получится очень интересная поверхность, которая называется параболоидом вращения.

Поверхность жидкости во вращающемся сосуде имеет форму параболоида вращения. Вы можете увидеть эту поверхность, если сильно помешаете ложечкой в неполном стакане чая, а потом вынете ложечку.

3. Если в пустоте бросить камень под некоторым углом к горизонту, то он полетит по параболе (рис. 2).

4. Если пересечь поверхность конуса плоскостью, параллельной какой-либо одной его образующей, то в сечении получится парабола (рис. 3).

Квадратичная функция и ее график5. В парках развлечений иногда устраивают забавный аттракцион «Параболоид чудес». Каждому, из стоящих внутри вращающегося параболоида, кажется, что он стоит на полу, а остальные люди каким-то чудом держаться на стенках.

6. В зеркальных телескопах также применяют параболические зеркала: свет далекой звезды, идущий параллельным пучком, упав на зеркало телескопа, собирается в фокус.

7. У прожекторов зеркало обычно делается в форме параболоида. Если поместить источник света в фокусе параболоида, то лучи, отразившись от параболического зеркала, образуют параллельный пучок.

Построение графика квадратичной функции

На уроках математики вы изучали получение из графика функции y = x2 графиков функций вида:

1) y = ax2 – растяжение графика y = x2 вдоль оси Oy в |a| раз (при |a| < 0 – это сжатие в 1/|a| раз, рис. 4).

2) y = x2 + n – сдвиг графика на n единиц вдоль оси Oy, причем,  если n > 0, то сдвиг вверх, а если n < 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m)2  – сдвиг графика на m единиц вдоль оси Ox: если m < 0, то вправо, а если m > 0, то влево, (рис. 5).Квадратичная функция и ее график

4) y = -x2  – симметричное отображение относительно оси Ox графика  y = x2.

Подробнее остановимся на построении графика функции y = a(x – m)2 + n.

Квадратичную функцию вида y = ax2 + bx + c всегда можно привести к виду

y = a(x – m)2 + n, где m = -b/(2a), n = -(b2 – 4ac)/(4a).

Докажем это.

Действительно,

y = ax2 + bx + c = a(x2 + (b/a) x + c/a) =

= a(x2 + 2x · (b/a) +  b2/(4a2) – b2/(4a2) + c/a) =

= a((x + b/2a) 2 – (b2 – 4ac)/(4a2)) = a(x + b/2a) 2 – (b2 – 4ac)/(4a).

Введем новые обозначения.

Пусть m = -b/(2a), а n = -(b2 – 4ac)/(4a),

тогда получим y = a(x – m)2 + n или y – n = a(x – m)2.

Сделаем еще замены: пусть y – n = Y, x – m = X (*).

Тогда получим функцию Y = aX2, графиком которой является парабола.

Вершина параболы находится в начале координат. X = 0; Y = 0.

Подставив координаты вершины в (*), получаем координаты вершины графика y = a(x – m)2 + n: x = m, y = n.

Таким образом, для того, чтобы построить график квадратичной функции, представленной в виде

y = a(x – m)2 + n

путем преобразований, можно действовать следующим образом:

a) построить график функции y = x2;

б) путем параллельного переноса вдоль оси Ox на m единиц и вдоль оси Oy на n единиц – вершину параболы из начала координат перевести в точку с координатами (m; n) (рис. 6).

Запись преобразований:

y = x2 → y = (x – m)2 → y = a(x – m)2 → y = a(x – m)2 + n.

Пример.

С помощью преобразований построить в декартовой системе координат график функции y = 2(x – 3)2 2.

Решение.

Цепочка преобразований:

y = x2(1) → y = (x – 3)2(2) → y = 2(x – 3)2(3) → y = 2(x – 3)2 – 2 (4).

Построение графика изображено на рис. 7.

Квадратичная функция и ее графикВы можете практиковаться в построении графиков квадратичной функции самостоятельно. Например, постройте в одной системе координат с помощью преобразований график функции y = 2(x + 3)2 + 2. Если у вас возникнут вопросы или же вы захотите получить консультацию учителя, то у вас есть возможность провести бесплатное 25-минутное занятие с онлайн репетитором после регистрации. Для дальнейшей работы с преподавателем вы сможете выбрать подходящий вам тарифный план.

 Остались вопросы? Не знаете, как построить график квадратичной функции?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Квадратичная функция

 

Квадратичная функция — функция вида:

f(x)=ax2+bx+c

или

y(x)=ax2+bx+c

Где  a≠0.

В уравнении квадратичной функции:

a –старший коэффициент

b – второй коэффициент

с  свободный член.

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции

y(x)=x2

или

f(x)=x2

.

Имеет вид и строится по «базовым точкам»:

a>0

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

9

4

1

0

1

4

9

Парабола состоит из 2 частей: одна находится в I четверти, где значения X и Y положительные, а вторая часть – во II четверти, где значения X отрицательные, а значения Y  положительные.

y(x)>0, при x∈(-∞;0)∪(0;+∞)

Если двигаться по одной ветви параболы от -∞ к 0, то мы замечаем, что функция убывает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до +∞, то мы замечаем, что функция возрастает.

Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент a=1, то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как y(x)=x2 при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции

y(x)=-x2 

Имеет вид и строится по «базовым точкам»:


x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-9

-4

-1

0

-1

-4

-9

 

Парабола состоит из 2 частей: одна находится в III четверти, где значения X и Y  отрицательные, а вторая часть – в IV четверти, где значения X  положительные, а значения Y отрицательные.

y(x)<0, при x∈(-∞;0)∪(0;+∞)

Если двигаться по одной ветви параболы от  -∞ к 0, то мы замечаем, что функция возрастает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до  +∞, то мы замечаем, что функция убывает.

 

Свойства функции y(x)=x2:

 

1)    Область определения функции:

D(f)=(-∞;0)∪(0;+∞). 

2)Область значения функции:

Если a<0

E(f)=(-∞;0].

Если a>0

E(f)=[0;+∞).

3)Наибольшее и наименьшее значение функции:

Если a<0, то Yнаиб=0,Yнаим нет.

Если a>0, тоYнаим=0, Yнаиб нет.

4)Y(x)=x2— четная функция(т.к.f(-x)=x2=(-x)2=f(x) ).

График симметричен относительно оси oY  .

5) Ограниченность функции:

Если a>0, функция ограничена снизу.

Если a<0, функция ограничена сверху.

6) Функция пересекает оси oX и oY в точке (0;0)

Перемещение параболы y(x)=x2

Если добавить константу (где любое число), в качестве слагаемого к X, то произойдет перемещение параболыпо оси  (вместе с вертикальной асимптотой).

В таком случае уравнением функции станет:

y(x)=(x±d)2

Если d>0 (y(x)=(x+d)2), то график функции передвигается по оси oX  влево.

Для примера возьмем уравнение y=(x+2)2


Если d<0 (y(x)=(x-d)2), то график функции передвигается по оси oX  вправо.

Для примера возьмем уравнение y=(x-2)2


Если добавить константу c(где cлюбое число) к X2 в качестве слагаемого, то произойдет перемещение параболы по оси oY (вместе с горизонтальной асимптотой)

 

В таком случае уравнением функции станет:

 y(x)=(x)2±c

 Если  c>0 (y(x)=(x)2+c), то график функции передвигается по оси oY вверх.

Для примера возьмем уравнение y=(x)2+2


Если  c<0 (y(x)=(x)2-c), то график функции передвигается по оси oY вниз.

Для примера возьмем уравнение y=(x)2-3

 

 

Дискриминант и нахождение корней

y=ax2+bx+c

ax2+bx+c=0

D=(b)2-4ac

1) 1) Если D>0 то уравнение ax2+bx+c=0 имеет 2 решения,  уравнение y=ax2+bx+c имеет 2 точки пересечения с осью oX:


Если a>0, график функции будет иметь примерный вид:


2) Если D=0, то уравнение ax2+bx+c=0 имеет 1 решение,=> уравнениеy=ax2+bx+c имеет 1 точку пересечения с осью oX.

Если a>0, график функции будет иметь примерный вид:


3) Если  D<0, то уравнение ax2+bx+c=0 не имеет решения, => уравнениеy=ax2+bx+c не имеет общих точек пересечения с осью oX.

Если a>0, график функции будет иметь примерный вид:

 

Координаты вершины параболы

Координаты вершины параболы находятся через данные формулы:


Прямая, проходящая через вершину параболы является осью симметрии параболы.

   Точка пересечения с осью oY

Так как абсцисса любой точки, лежащей на оси oY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y=ax2+bx+c с осью oY, нужно в уравнение параболы вместо Xподставить 0, тогда y(0)=c. 

Алгоритм построения квадратичной параболы

1) Направление ветвей.

2) Координаты вершины параболы.

3) Корни дискриминанта.

4) Дополнительные точки.

5) Построение графика.

Разложениеквадратного трехчлена

Пример №1

Построим функцию y=x2-6x+15

В квадратичном трехчлене x2-6x+15, чтобы выразить квадрат разности, используем формулу сокращенного умножения.

Базовая формула: (a±b)2=x2±2ab+b2,

Выразим квадрат разности: x2-6x+15=(x2-6x+9)+6,

Соберем формулу: (x2-6x+9)+6=(x-3)2+6,

У нас получилась функция y=(x-3)2+6,

Мы замечаем, что график функции смещен на 3 по оси oX вправо и на 6 по оси oY вверх.

Следовательно, график функции y=(x-3)2+6 будет выглядеть таким образом:

 

Пример №2

Построим функцию y=x2+8x+17

В квадратичном трехчлене x2+8x+17,чтобы выразить квадрат разности, используем формулу сокращенного умножения.

Базовая формула: (a±b)2=x2±2ab+b2,

Выразим квадрат разности: x2+8x+17=(x2+8x+16)+1,

Соберем формулу: (x2+8x+16)+1=(x+4)2+1,

У нас получилась функция y=(x+4)2+1,

Мы замечаем, что график функции смещен на 4 oX влево и на 1 по оси oY вверх.

Следовательно, график функции y=(x+4)2+1 будет выглядеть таким образом:


Итог:

Чтобы разложить квадратный трехчлен, использую такой алгоритм:

1) Выразим квадрат разности из данного трехчлена, с помощью формул сокращенного умножения;

2) Соберем, получившуюся формулу;

3) «Прочитаем» график, на смещение, относительно осей координат;

4) Построим график.

Автор статьи: Мажаров Данила Михайлович

Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна

www.teslalab.ru

Квадратичная функция, её график и свойства

Материалы к урокам алгебры 9 класс Учитель Козина Н.А.

Материалы

к урокам алгебры

9 класс

Учитель Козина Н.А.

Функция y = ax 2 , её график и свойства.  Урок № 9

Функция y = ax 2 , её график и свойства.

Урок № 9

Квадратичная функция.  Определение.  Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида  y = ax 2 + bx + c,  где x – независимая переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a  0.

Квадратичная функция. Определение.

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида

y = ax 2 + bx + c,

где x – независимая переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a 0.

Квадратичная функция.  Примеры.  Зависимость пути от времени при равноускоренном движении.

Квадратичная функция. Примеры.

  • Зависимость пути от времени при равноускоренном движении.
Частный случай квадратичной функции  y = ax 2 y = x 2 y = 2x 2

Частный случай квадратичной функции

y = x 2

y = 2x 2

Частный случай квадратичной функции  y = ax 2 y = x 2 y = 2x 2 0. 1) Если x=0, то y=0. График функции проходит через начало координат. 2) Если x  0, то y0. График функции расположен в верхней полуплоскости. «

Свойства функции y = ax 2 при a 0.

  • 1) Если x=0, то y=0. График функции проходит через начало координат.
  • 2) Если x 0, то y0. График функции расположен в верхней полуплоскости.
Частный случай квадратичной функции  y = ax 2 y = x 2 y = 2x 2 0. 3) Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. График функции симметричен относительно оси y. «

Свойства функции y = ax 2 при a 0.

  • 3) Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. График функции симметричен относительно оси y.
Частный случай квадратичной функции  y = ax 2 y = x 2 y = 2x 2 0. 4) Функция убывает в промежутке (-  ;0] и возрастает в промежутке [0;+  ). «

Свойства функции y = ax 2 при a 0.

  • 4) Функция убывает в промежутке (- ;0] и возрастает в промежутке [0;+ ).
Частный случай квадратичной функции  y = ax 2 y = x 2 y = 2x 2 0. 5 ) Наименьшее значение равное нулю, функция принимает при x=0, наибольшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток [0;+  ). «

Свойства функции y = ax 2 при a 0.

  • 5 ) Наименьшее значение равное нулю, функция принимает при x=0, наибольшего значения функция не имеет.
  • Областью значений функции является промежуток [0;+ ).
Свойства функции  y = ax 2 при a   1) Если x=0, то y=0. График функции проходит через начало координат.  2) Если x  0, то y

Свойства функции y = ax 2 при a

  • 1) Если x=0, то y=0. График функции проходит через начало координат.
  • 2) Если x 0, то y
Свойства функции  y = ax 2 при a   3) Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. График функции симметричен относительно оси y.

Свойства функции y = ax 2 при a

  • 3) Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. График функции симметричен относительно оси y.
Свойства функции  y = ax 2 при a  4) Функция убывает в промежутке [0;+  ) и возрастает в промежутке (-  ;0].

Свойства функции y = ax 2 при a

  • 4) Функция убывает в промежутке [0;+ ) и возрастает в промежутке (- ;0].
Свойства функции  y = ax 2 при a   5 ) Наибольшее значение равное нулю, функция принимает при x=0, наименьшего значения функция не имеет.  Областью значений функции является промежуток (-  ;0].

Свойства функции y = ax 2 при a

  • 5 ) Наибольшее значение равное нулю, функция принимает при x=0, наименьшего значения функция не имеет.
  • Областью значений функции является промежуток (- ;0].
Функция y = ax 2 , её график и свойства. № 73 К уроку № 9

Функция y = ax 2 , её график и свойства.

К уроку № 9

Функция y = ax 2 , её график и свойства. № 75 y = x 2 y = 1,8x 2 К уроку №9

Функция y = ax 2 , её график и свойства.

№ 75

y = x 2

y = 1,8x 2

К уроку №9

Укажите какие-нибудь два значения переменной x, которым соответствуют равные значения функции: x=2 x=-2

Укажите какие-нибудь два значения переменной x, которым соответствуют равные значения функции:

x=2

x=-2

Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:  =

Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:

=

Известно, что график функции проходит через точку (-8;-16). Определите знак коэффициента а; “ -” Укажите координаты еще одной точки графика этой функции. (8; -16)

Известно, что график функции проходит через точку (-8;-16).

Определите знак коэффициента а;

-”

Укажите координаты еще одной точки графика этой функции.

(8; -16)

Графики функций  y = ax 2 + n и y = a (x – m) 2 Урок № 10

Графики функций y = ax 2 + n и y = a (x – m) 2

Урок № 10

Графики функций  y = ax 2 + n и y = a (x – m) 2 Урок № 10 0, или на –n единиц вниз, если n «

Графики функций y = ax 2 + n и y = a (x – m) 2

Правило.

График функции y = ax 2 + n является параболой, которую можно получить из графика функции y = ax 2 с помощью параллельного переноса вдоль оси y на n единиц вверх, если n 0, или на –n единиц вниз, если n

Графики функций  y = ax 2 + n и y = a (x – m) 2 Урок № 10 0, или на –m единиц влево, если m «

Графики функций y = ax 2 + n и y = a (x – m) 2

Правило.

График функции y = a (x – m) 2 является параболой, которую можно получить из графика функции y = ax 2 с помощью параллельного переноса вдоль оси x на m единиц вправо, если m 0, или на –m единиц влево, если m

Графики функций  y = ax 2 + n и y = a (x – m) 2 Урок № 10 0, или на –m единиц влево, если m 0, или на –n единиц вниз, если n «

График функции y = a (x – m) 2 + n

Правило.

График функции y = a (x – m) 2 + n является параболой, которую можно получить из графика функции y = ax 2 с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси x на m единиц вправо, если m 0, или на –m единиц влево, если m 0, или на –n единиц вниз, если n

График функции  y = a (x – m) 2 + n Правило. Производить параллельные переносы можно в любом порядке. График функции y = f (x – m) + n можно получить из графика y = f (x) с помощью двух соответствующих параллельных переносов.

График функции y = a (x – m) 2 + n

Правило.

Производить параллельные переносы можно в любом порядке.

График функции y = f (x – m) + n можно получить из графика y = f (x) с помощью двух соответствующих параллельных переносов.

№ 87 а

87 а

№ 87 а

87 а

№ 88

88

№ 88

88

 К уроку № 10 Построение графика квадратичной функции.

К уроку № 10

Построение графика квадратичной функции.

 На рисунке изображен график функции f(x). При каких значениях переменной x функция: 1. принимает значения,  равные нулю,   большие нуля,  меньшие нуля; а) б) в)

На рисунке изображен график функции f(x).

При каких значениях переменной x функция:

1.

принимает значения,

равные нулю,

большие нуля,

меньшие нуля;

а)

б)

в)

На рисунке изображен график функции f(x). При каких значениях переменной x функция: 2 8 5 возрастает, убывает; 2. а) б)

На рисунке изображен график функции f(x).

При каких значениях переменной x функция:

2

8

5

возрастает,

убывает;

2.

а)

б)

На рисунке изображен график функции f(x). При каких значениях переменной x функция: на отрезке [1;7] принимает  наибольшее значение,  наименьшее значение? 3. а) б)

На рисунке изображен график функции f(x).

При каких значениях переменной x функция:

на отрезке [1;7] принимает

наибольшее значение,

наименьшее значение?

3.

а)

б)

Решите уравнения:

Решите уравнения:

videouroki.net

Свой­ства квад­ра­тич­ной функ­ции

Здесь рас­смат­ри­ва­ют­ся свой­ства квад­ра­тич­ной функ­ции вида ,гра­фик квад­ра­тич­ной функ­ции и ре­ша­ют­ся за­да­чи на чте­ние гра­фи­ков и за­да­чи с па­ра­мет­ром. 

Напоминание

Опре­де­ле­ние. Квад­ра­тич­ной функ­ци­ей на­зы­ва­ет­ся функ­ция вида

, где .

Гра­фик – па­ра­бо­ла (см. Рис. 1) с вер­ши­ной в точке , где.

 

Рис. 1. Гра­фик функ­ции , где

. Функ­ция непре­рыв­на на всей .

  Свойства функции

  в слу­чае .

Пусть .

Свой­ства:

1. ;

2. ;

3. убы­ва­ет при;воз­рас­та­ет при;

4. — не су­ще­ству­ет;

5. Непре­рыв­на;

6. Вы­пук­ла вниз.

  Свойства функции

  в слу­чае .

Пусть .

Свой­ства (см. Рис. 2):

 

Рис. 2. Гра­фик функ­ции в слу­чае.

1. ;

2. ;

3. воз­рас­та­ет при;убы­ва­ет при;

4. — не су­ще­ству­ет;

5. Непре­рыв­на;

6. Вы­пук­ла вверх.

 Задача 1 на нахождение пределов изменения конкретной квадратичной функции

Най­ди­те пре­де­лы из­ме­не­ния функ­ции, про­чи­тай­те гра­фик.

 

а. 

Ответ: ;убы­ва­ет при;воз­рас­та­ет при.

 

 

б. 

Ответ: ;убы­ва­ет при;воз­рас­та­ет при.

Задача 2 на нахождение пределов изменения конкретной квадратичной функции

Най­ди­те пре­де­лы из­ме­не­ния функ­ции, про­чи­тай­те гра­фик.

 

 

а. 

Ответ: ;воз­рас­та­ет при;убы­ва­ет при.

 

б. 

Ответ: ;воз­рас­та­ет при;убы­ва­ет при.

  Задача 1 с параметром

Най­ди­те число кор­ней урав­не­ния с па­ра­мет­ром, где,.

Ответ (см. Рис. 3):

 

Рис. 3. Гра­фик функ­ции , рас­се­чен­ный пря­мы­ми, гдеи.

1. Кор­ней нет при ;

2. Урав­не­ние имеет

— один ко­рень при ;

— два корня при .

Задача 2 с параметром

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра , при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние, где,, имеет хотя бы один ко­рень (см. Рис. 4).

 

 

 

 

 Ответ: .

Задача на построение и чтение графика функции

По­строй­те и про­чи­тай­те гра­фик функ­ции

 

Ответ: (см. Рис. 5)

 

Рис. 5. Гра­фик функ­ции 

1. Воз­рас­та­ет при ;

2. Убы­ва­ет при .

Задача 3 с параметром

Най­ди­те число кор­ней урав­не­ния , где.

Ответ: урав­не­ние имеет (см. Рис. 6)

 

Рис. 6. Гра­фик функ­ции  ,

рас­се­чен­ный пря­мы­ми , гдеи.

1. Один ко­рень при ;

2. Два корня при ;

3. Три корня при .

 

За­да­чи на сте­пен­ные функ­ции

Здесь вспомним свой­ства сте­пен­ных функ­ций с целым от­ри­ца­тель­ным по­ка­за­те­лем и ис­поль­зу­ем их при ре­ше­нии задач на сте­пен­ную функ­цию.

  Напоминание: график и свойства функции

Функ­ция 

Ос­нов­ные свой­ства:

1. 

2. 

3. Функ­ция чет­ная.

4. Две ха­рак­тер­ные фик­си­ро­ван­ные точки для всех кри­вых: 

5. Асимп­то­ты: пря­мые 

6. Если тоy воз­рас­та­ет, 

Если тоy убы­ва­ет, 

  Напоминание: график и свойства функции

Функ­ция 

Ос­нов­ные свой­ства:

1. 

2. 

3. Функ­ция нечет­ная.

4. Две фик­си­ро­ван­ные ха­рак­тер­ные точки для всех кри­вых: 

5. Асимп­то­ты: пря­мые 

6. Если тоy убы­ва­ет, 

Если тоy убы­ва­ет, 

Решение задач

Рас­смот­рим ти­по­вые за­да­чи:

1. Какая из точек – А или В – при­над­ле­жит гра­фи­ку функ­ции если

Ре­ше­ние:

т. А: 

т. А при­над­ле­жит гра­фи­ку.

т. В: 

т. В не при­над­ле­жит гра­фи­ку.

Ответ: т. А.

2. Какая из точек А, В, С при­над­ле­жит гра­фи­ку функ­ции если

 

Ре­ше­ние:

т. А: 

т. В: 

т. С: 

Ответ: т. В при­над­ле­жит гра­фи­ку.

3. По­строй­те гра­фик функ­ции и про­чти­те его.

Ре­ше­ние:

По­стро­им гра­фик функ­ции (Рис. 5). Его асимп­то­ты – пря­мыеи.

 

Чтобы по­лу­чить гра­фик функ­ции необ­хо­ди­мо гра­фиксдви­нуть на 1 вверх по осиyи на 1 еди­ни­цу влево по оси x (Рис. 6).

Асимп­то­ты по­лу­чен­но­го гра­фи­ка – пря­мые и, ха­рак­тер­ные точки

Если тоy воз­рас­та­ет, 

Если тоy убы­ва­ет, 

4. Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра m, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

 имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

Ре­ше­ние:

Нам необ­хо­ди­мо по­стро­ить гра­фик функ­ции , пе­ре­сечь его се­мей­ством пря­мых, найти точки пе­ре­се­че­ния и за­пи­сать ответ (Рис. 7).

Ответ: 

5. Найти все зна­че­ния па­ра­мет­ра m, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние  

1. Не имеет ре­ше­ний.

2. Имеет толь­ко от­ри­ца­тель­ные ре­ше­ния.

3. Имеет два корня раз­ных зна­ков.

Ре­ше­ние:

Ответ:

1. 

2. 

3. 

6. По­строй­те гра­фик функ­ции и про­чи­тай­те его.

Ре­ше­ние:

По­стро­им гра­фик функ­ции (Рис. 8).

Те­перь чтобы по­лу­чить гра­фик функ­ции сдви­нем кри­вуюна 2 впра­во вдоль осиx, и на 3 вверх по осиy (Рис. 9).

Пря­мые ияв­ля­ют­ся асимп­то­та­ми.

Ха­рак­тер­ные точки – 

Если тоy убы­ва­ет, 

Если тоy убы­ва­ет, 

7. Найти все зна­че­ния па­ра­мет­ра m, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

 имеет ре­ше­ния

1. На луче 

2. На луче 

Ре­ше­ние:

Изоб­ра­зим гра­фик функ­ции и пе­ре­се­чем его се­мей­ством пря­мых(Рис. 10).

Ответ:

1. 

2. 

8. Ре­ши­те гра­фи­че­ски нера­вен­ство 

Ре­ше­ние:

По­стро­им в одной си­сте­ме ко­ор­ди­нат гра­фик функ­ции и гра­фик функ­ции(Рис. 11).

Гра­фи­ки пе­ре­се­ка­ют­ся в точке 

 

Чтобы вы­пол­ня­лось нера­вен­ство кри­ваядолж­на рас­по­ла­гать­ся выше пря­мой

Ответ: 

9. Даны две функ­ции, и, где

До­ка­жи­те, что 

До­ка­за­тель­ство:

 

 

 

Тож­де­ство до­ка­за­но.

studfile.net

Смещение графика квадратичной функции y = (x

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

Образовательная: исследовать смещение графика квадратичной функции, определить положение графика в зависимости от значений коэффициентов b, c.

Воспитательная: умение работать в группе, организованности.

Развивающая: навыки исследовательской работы, умение выдвигать гипотезы, анализировать полученные результаты, систематизировать полученные данные.

Структура урока

  1. Организационный момент – 3 минуты.
  2. Исследовательская работа – 20 минут.
  3. Закрепление изученного материала – 15 минут.
  4. Рефлексия – 2 минут.
  5. Итог урока – 3 минуты.
  6. Домашнее задание – 2 минуты.

Ход урока

1. Организационный момент.

Цель урока провести исследовательскую работу. Объектом исследования будут квадратичные функции разного вида. Вам предстоит определить, как влияют коэффициенты b, cна график функций вида y=x2+с, y=(x-b)2, y=(x-b)2+c.

Для выполнения задания необходимо разделиться на группы (4 группы по 5 человек, одна группа “эксперты” наиболее подготовленные ученики).

Каждая группа получает план исследования <Приложение>, лист формата А3 для оформления результатов.

2. Исследовательская работа

.

Две группы (уровень А) исследуют функции вида y= x2+с, одна группа (уровень В) исследует функцию вида y=(x-b)2, одна группа (уровень С) исследует функцию y=(x-b)2+c. Группа “Экспертов” исследует все функции.

  Функция Результат  
1 группа у=x2+3; <Рисунок 10>
2 группа у=x2-5; <Рисунок 11>
3 группа у=(х-4)2; <Рисунок 12>
4 группа у=(х-2)2+3. <Рисунок 13>

План работы

  1. Для того чтобы выдвинуть гипотезу сделайте предположение, как может выглядеть ваша функция.
  2. Постройте график исследуемых функций (определите вершину параболы (х0, y0), задайте таблицей 4 точки).
  3. Сравните получившийся график с контрольным образцом y=x2.
  4. Сделайте вывод (как изменилось положение графика вашей функции относительно контрольного образца).
  5. Результаты оформите на листе формата А3 и представьте “экспертной” группе.

“Экспертная” группа сверяет результаты свои с результатами остальных групп, систематизирует и обобщает результаты, выступает с выводами. В случае неточностей или ошибок учитель вносит коррекционные замечания.

Сверка полученных результатов со слайдами №2-5.

Любую квадратичную функцию y=ax2+bx+c, можно записать в виде y=a(x-x0)2+y0, где x0 и y0 выражаются через коэффициенты a, b, c. Таким образом, ваши коэффициенты b=x0, c=y0 являются координатами вершины параболы.

3. Закрепление изученного материала.

Фронтальная работа с классом.

1. Найти ошибку в графиках функций (Слайды№6-9).

y=(х+6)2

у=х2-2

Коэффициент b

Нет ошибки

Рисунок 1

Рисунок 2

у=(х+5)2-1 у=(х-2)2+2
Коэффициент b и с Коэффициент b
Рисунок 3 Рисунок 4

Результаты

<Рисунок 7>

<Рисунок 2>

<Рисунок 8>

<Рисунок 9>

Какой коэффициент вам помог найти ошибку?

2. Соотнесите графики функций согласно цветам (слайд №10).

Рисунок 5

y=(х-4)2-2 синий
y=-x2+5 красный
y=(x+1)2+3 зеленый
y=(x-3)2 фиолетовый

4. Рефлексия.

Группа “Экспертов” отвечают на вопросы:

– Какие ошибки допустили группы?

– Достигнута ли цель занятия?

– Соответствуют ли полученные результаты исследования поставленной гипотезе?

5. Итог урока (слайд №11)

:

На положение графика функции y=(x-b)2+c влияют коэффициенты b и c,

“+b” парабола сдвинута вправо по оси абсцисс на b единичных отрезков,

“–b” парабола сдвинута влево по оси абсцисс на b единичных отрезков,

“+с” парабола сдвинута вверх по оси ординат на с единичных отрезков,

“-с” парабола сдвинута вниз по оси ординат на с единичных отрезков.

6. Домашнее задание

  1. Построить график квадратичной функции, имеющую вершину в точке А(1;-2), коэффициент a=1.
  2. Подумайте, в какой области можно использовать знания по данной теме (практическое применение).

Приложение

urok.1sept.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск