«Зачем мне что-то знать о параболе в обычной жизни?» – Яндекс.Кью

Парабола — это не просто математическая функция, которую полезно знать для общего развития. У неё есть очень интересные и полезные свойства, которые с успехом применяются и в реальной жизни. Вот пример.

У параболы есть особая точка, называемая фокусом параболы. Крутость этой точки заключается в том, что если на параболу направить пучок параллельных лучей, то отразившись от неё, они все соберутся в фокусе!

Именно поэтому антенны имеют форму параболы. Думаю, вы легко сможете найти на картинке фокус 🙂

Это правило работает и в обратную сторону. Если в фокус поместить источник лучей (например, света или радиоволн), он отразится от параболы и направится параллельно оси её симметрии. Это используется, например, в прожекторах

Крутость математики в том, что изучая абстрактные математические объекты, такие как парабола, мы можем прикладывать их к массе вещей из реального мира. Задумайтесь, как это эффективно: изучив что-то на бумаге, вы можете построить антенну, прожектор, понять движение физических объектов и ещё множество других вещей! Вот ещё пример парабол из реальной жизни:

Квадратичная функция ℹ️ определение, свойства, формулы, уравнения и знаки корней, алгоритм построения графиков по заданным параметрам, примеры парабол

Раздел «Квадратичная функция», ее свойства и график проходят в средней школе в 8 — 9 классах. Но не все учителя объясняют доступно. А вышедшим из ученического возраста может понадобиться обновить познания. 

Поэтому рассмотрим простые примеры построения графиков квадратичной функции.

Определение и формула квадратичной функции

Квадратичной называют функцию канонического вида:

• a, b – коэффициенты;

• с – свободный член.

Формально конструкция именуется «квадратный трехчлен». Сразу заметно, что область определения не ограничена, а четность не выявлена.

Примеры построения парабол

Займемся упрощенными случаями и подметим закономерности.

График функции при а = 1, b = c = 0

Наиболее тривиальная, но наглядная и информативная разновидность с формулой:

y = x²

Функция четная, возрастающая. Построим по точкам.

Получившаяся кривая называется «парабола». Характерна для уравнений с «квадратом».

Нижнюю точку с координатами (0; 0) называют «вершиной». Единственное место, где одной функции соответствует один аргумент. В данном случае – это минимум функции.

Уходящие вверх части кривой – «ветви». На всех участках кроме вершины к одному (y) относятся сразу (±x).

Вывод: ветви данной параболы имеют ось симметрии — вертикальную прямую ординат Y.

График функции, когда b = c = 0, а > 1 и а < 1

Кривая задается, например, так:

y = 2x²

Ветви «сожмутся» относительно оси симметрии.

Построим другой график.

y = 0,5x²

Ветви «разойдутся».

Куда интереснее переместить коэффициент a в отрицательную область.

y = -x²

Парабола «повернется» на 180°. И вершина станет максимумом.

График функции при b = 0, с ≠0

Рассмотрим такой вариант:

y = x² + 1

Вершина сдвинется на величину c по оси Y.

А если параметр c отрицателен? Уравнение выглядит так:

y = x² — 1

Смещение произойдет ниже точки (0; 0).

Общий случай a ≠0, b ≠0, c ≠0

Попробуем найти характерные точки.

Пересечения с осью абсцисс (y = 0)

Иными словами, следует решить уравнение:

ax² + bx + c = 0

Корнями уравнения будут:

Подкоренное выражение называется «дискриминант» и обозначается «D».

Появляются варианты:

1. D отрицателен, D > 0. В таком случае действительные корни не существуют. Парабола не пересекает ось Х.

2. D положителен, D > 0. Существуют оба корня. Кривая пересекает X в двух известных местах.

3. D = 0. Корень один – -b/2a. Пересечение единственно. А такое возможно в одном случае: найденное означает абсциссу вершины.

Вершина

Горизонтальная координата вычисляется по формуле:

Вертикальная:

Касательная в вершине параболы совпадает с осью X или параллельна ей. Значит тангенс её относительного наклона равен 0. А это производная функции:

Нашли x₀, а y₀ находится подстановкой в уравнение найденного.

Ось симметрии

Параллельная оси ординат прямая x = x₀.

Приблизительный вид

По уравнению можно прикинуть общую картину:

• положительное значение коэффициента a говорит о направленности ветвей вверх и наоборот;

• по дискриминанту определим расположение относительно X;

• находим пересечения (если есть).

Пример построения графика

Дано:

y = x² + 2x — 3

Проанализируем:

• a = 1, положительный, поэтому ветви параболы направлены вверх;

• b = 2;

• с = -3.

Алгоритм построения графика квадратичной функции:

1. Находим вершину:

2. Определяем точки пересечения с осью X:

3. Посчитав еще 2 — 3 точки правее и левее оси симметрии x = -1, получим достоверный график.

 

Свойства параболы

Основные свойства следующие:

1. Область определения – все действительные числа.

2. Вершина является минимумом при положительном коэффициенте x², максимумом – при отрицательном.

3. Координаты вершины зависят только от коэффициентов.

4. Ось симметрии проходит через вершину и параллельна оси ординат.

Заключение

В интернете существует масса онлайн-калькуляторов для облегчения работы с кривой. Приведенные же приемы и перечисленные свойства позволяют лучше понять сущность квадратичного выражения.

Параболические отражатели позволяют получать параллельный пучок света от точечного источника. Антенна такого типа позволяет концентрировать и усиливать радиосигнал. Не абстрактная линия на бумаге.

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ — это… Что такое КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ?



КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ, математическая ФУНКЦИЯ, значение которой зависит от квадрата независимой переменной, х, и задается, соответственно, квадратичным МНОГОЧЛЕНОМ, например: f(x) = 4х² + 17 или f(x) = х² + 3х + 2. см. также КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ.

Научно-технический энциклопедический словарь.

• КВАДРАТ
• КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ

Смотреть что такое «КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ» в других словарях:

• квадратичная функция — — [[http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23]] квадратичная функция Функция вида y= ax2 + bx + c (a ? 0). График К.ф. — парабола, вершина которой имеет координаты [ b/ 2a, (b2 4ac) /4a], при а>0 ветви параболы… …   Справочник технического переводчика

• Квадратичная функция — Квадратичная функция  [quadratic function] — функция вида   y= ax2 + bx + c (a ≠ 0). График К.ф. — парабола, вершина которой имеет координаты [ b/ 2a,  (b2 4ac) /4a], при а> 0   ветви параболы направлены вверх, при a< 0 –вниз… …   Экономико-математический словарь

• Квадратичная функция — функция, которую можно задать формулой вида …   Википедия

• КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ, КВАДРАТНЫЙ, КВАДРАТИЧНЫЙ — (quadratic) Функция, имеющая следующий вид: у=ах2+bх+с, где a≠0 и высшая степень х – квадрат. Квадратное уравнение у=ах2 +bх+с=0 может быть также решено с использованием следующей формулы: х= –b+ √ (b2–4ac) /2а. Эти корни являются действительными …   Экономический словарь

• Аффинно-квадратичная функция — Аффинно квадратичной функцией на аффинном пространстве S называется всякая функция Q: S→K, имеющая в векторизованной форме вид Q(x)=q(x)+l(x)+c, где q квадратичная функция, l линейная функция, с константа. Содержание 1 Перенос начала отсчета 2… …   Википедия

• Афинно-квадратичная функция — Аффинно квадратичной функцией на аффинном пространстве называется всякая функция , имеющая в векторизованной форме вид , где симметричная матрица, линейная функция, константа. Содержание …   Википедия

• Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора. Содержание 1 Определение 2 Связанные определения …   Википедия

• Функция потерь — – функция, которая в теории статистических решений характеризует потери при неправильном принятии решений на основе наблюдаемых данных. Если решается задача оценки параметра сигнала на фоне помех, то функция потерь является мерой расхождения… …   Википедия

• целевая функция — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] целевая функция В экстремальных задачах — функция, минимум или максимум которой требуется найти. Это… …   Справочник технического переводчика

• Целевая функция — [target function] в экстремальных задачах функция, минимум или максимум которой требуется найти. Это ключевое понятие оптимального программирования. Найдя экстремум Ц.ф. и, следовательно, определив значения управляемых переменных, которые к нему… …   Экономико-математический словарь

Аффинно-квадратичная функция — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Аффинно-квадратичной функцией на аффинном пространстве S{\displaystyle S} называется всякая функция Q:S→K{\displaystyle Q:S\rightarrow K}, имеющая в векторизованной форме вид Q(x)=xTAx+bTx+c{\displaystyle Q(x)=x^{T}Ax+b^{T}x+c}, где A{\displaystyle A} — симметричная матрица, b{\displaystyle b} — линейная функция, c{\displaystyle c} — константа.

При переносе начала отсчета o{\displaystyle o} в точку o′=o+a{\displaystyle o’=o+a} формула изменяется следующим образом:

A′=A{\displaystyle A’=A}

b′=2Aa+b{\displaystyle b’=2Aa+b}

c′=aTAa+ba+c{\displaystyle c’=a^{T}Aa+ba+c}

Доказательство

Q(o′+x)=Q(o+a+x)=(a+x)TA(a+x)+bT(a+x)+c={\displaystyle Q(o’+x)=Q(o+a+x)=(a+x)^{T}A(a+x)+b^{T}(a+x)+c=}
=aTAa+2aTAx+xTAx+bTa+bTx+c=xTAx+(2aTAx+bTx)+(aTAa+bTa+c).{\displaystyle =a^{T}Aa+2a^{T}Ax+x^{T}Ax+b^{T}a+b^{T}x+c=x^{T}Ax+(2a^{T}Ax+b^{T}x)+(a^{T}Aa+b^{T}a+c).}
Следовательно A{\displaystyle A} не зависит от выбора начала отсчета.

Q(x)=∑i,jaijxixj+∑ibixi+c,{\displaystyle Q(x)=\sum _{i,j}a_{ij}x_{i}x_{j}+\sum _{i}b_{i}x_{i}+c,}

где aij=aji,c=Q(0),bi{\displaystyle a_{ij}=a_{ji},c=Q(0),b_{i}}=∂Q∂xi(0){\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial x_{i}}}(0)}

Точка a{\displaystyle a} называется центром аффинно-квадратичной функции Q{\displaystyle Q}, если ∀x:Q(a+x)=Q(a−x).{\displaystyle \forall x:Q(a+x)=Q(a-x).} Это имеет место тогда и только тогда, когда ∂Q∂x=0{\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial x}}=0}. Следовательно множество всех центров задается системой уравнений ∂Q∂x=2Ax+b=0.{\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial x}}=2Ax+b=0.} В общем случае это афинное подпространство, а если A{\displaystyle A} невырождена, то одна точка.

Множество вида X(Q)={p:Q(p)=0}{\displaystyle X(Q)=\{p:Q(p)=0\}}, где Q{\displaystyle Q} — аффинно-квадратичная функция (если оно не пусто и не плоскость) называется квадрикой или гиперповерхностью второго порядка. Квадрика на плоскости называется коникой или кривой второго порядка, в трехмерном пространстве — поверхностью второго порядка.

Точка o{\displaystyle o} называется центром квадрики, если квадрика симметрична относительно неё.

квадратичная функция — это… Что такое квадратичная функция?



квадратичная функция

Универсальный русско-английский словарь. Академик.ру. 2011.

• квадратичная форма
• квадратичная функция критерия

Смотреть что такое «квадратичная функция» в других словарях:

• квадратичная функция — — [[http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23]] квадратичная функция Функция вида y= ax2 + bx + c (a ? 0). График К.ф. — парабола, вершина которой имеет координаты [ b/ 2a, (b2 4ac) /4a], при а>0 ветви параболы… …   Справочник технического переводчика

• КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ — КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ, математическая ФУНКЦИЯ, значение которой зависит от квадрата независимой переменной, х, и задается, соответственно, квадратичным МНОГОЧЛЕНОМ, например: f(x) = 4х2 + 17 или f(x) = х2 + 3х + 2. см. также КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ …   Научно-технический энциклопедический словарь

• Квадратичная функция — Квадратичная функция  [quadratic function] — функция вида   y= ax2 + bx + c (a ≠ 0). График К.ф. — парабола, вершина которой имеет координаты [ b/ 2a,  (b2 4ac) /4a], при а> 0   ветви параболы направлены вверх, при a< 0 –вниз… …   Экономико-математический словарь

• Квадратичная функция — функция, которую можно задать формулой вида …   Википедия

• КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ, КВАДРАТНЫЙ, КВАДРАТИЧНЫЙ — (quadratic) Функция, имеющая следующий вид: у=ах2+bх+с, где a≠0 и высшая степень х – квадрат. Квадратное уравнение у=ах2 +bх+с=0 может быть также решено с использованием следующей формулы: х= –b+ √ (b2–4ac) /2а. Эти корни являются действительными …   Экономический словарь

• Аффинно-квадратичная функция — Аффинно квадратичной функцией на аффинном пространстве S называется всякая функция Q: S→K, имеющая в векторизованной форме вид Q(x)=q(x)+l(x)+c, где q квадратичная функция, l линейная функция, с константа. Содержание 1 Перенос начала отсчета 2… …   Википедия

• Афинно-квадратичная функция — Аффинно квадратичной функцией на аффинном пространстве называется всякая функция , имеющая в векторизованной форме вид , где симметричная матрица, линейная функция, константа. Содержание …   Википедия

• Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора. Содержание 1 Определение 2 Связанные определения …   Википедия

• Функция потерь — – функция, которая в теории статистических решений характеризует потери при неправильном принятии решений на основе наблюдаемых данных. Если решается задача оценки параметра сигнала на фоне помех, то функция потерь является мерой расхождения… …   Википедия

• целевая функция — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] целевая функция В экстремальных задачах — функция, минимум или максимум которой требуется найти. Это… …   Справочник технического переводчика

• Целевая функция — [target function] в экстремальных задачах функция, минимум или максимум которой требуется найти. Это ключевое понятие оптимального программирования. Найдя экстремум Ц.ф. и, следовательно, определив значения управляемых переменных, которые к нему… …   Экономико-математический словарь

Квадратичная функция — это… Что такое Квадратичная функция?



Квадратичная функция

Квадратичная функция  [quadratic function] — функция вида   y= ax² + bx + c
(a ≠ 0). График К.ф. — парабола, вершина которой имеет координаты [ -b/ 2a,  (b²-4ac) /4a], при а> 0   ветви параболы направлены вверх, при a< 0 –вниз (см.рис. Г.5). Выражение [b²-4ac] называется дискриминантом и обозначается буквой D. Дискриминант применяется при анализе К.ф.

Экономико-математический словарь: Словарь современной экономической науки. — М.: Дело. Л. И. Лопатников. 2003.

• Квадратичная форма
• Квадратичное программирование

Смотреть что такое «Квадратичная функция» в других словарях:

• квадратичная функция — — [[http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23]] квадратичная функция Функция вида y= ax2 + bx + c (a ? 0). График К.ф. — парабола, вершина которой имеет координаты [ b/ 2a, (b2 4ac) /4a], при а>0 ветви параболы… …   Справочник технического переводчика

• КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ — КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ, математическая ФУНКЦИЯ, значение которой зависит от квадрата независимой переменной, х, и задается, соответственно, квадратичным МНОГОЧЛЕНОМ, например: f(x) = 4х2 + 17 или f(x) = х2 + 3х + 2. см. также КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ …   Научно-технический энциклопедический словарь

• Квадратичная функция — функция, которую можно задать формулой вида …   Википедия

• КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ, КВАДРАТНЫЙ, КВАДРАТИЧНЫЙ — (quadratic) Функция, имеющая следующий вид: у=ах2+bх+с, где a≠0 и высшая степень х – квадрат. Квадратное уравнение у=ах2 +bх+с=0 может быть также решено с использованием следующей формулы: х= –b+ √ (b2–4ac) /2а. Эти корни являются действительными …   Экономический словарь

• Аффинно-квадратичная функция — Аффинно квадратичной функцией на аффинном пространстве S называется всякая функция Q: S→K, имеющая в векторизованной форме вид Q(x)=q(x)+l(x)+c, где q квадратичная функция, l линейная функция, с константа. Содержание 1 Перенос начала отсчета 2… …   Википедия

• Афинно-квадратичная функция — Аффинно квадратичной функцией на аффинном пространстве называется всякая функция , имеющая в векторизованной форме вид , где симметричная матрица, линейная функция, константа. Содержание …   Википедия

• Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора. Содержание 1 Определение 2 Связанные определения …   Википедия

• Функция потерь — – функция, которая в теории статистических решений характеризует потери при неправильном принятии решений на основе наблюдаемых данных. Если решается задача оценки параметра сигнала на фоне помех, то функция потерь является мерой расхождения… …   Википедия

• целевая функция — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] целевая функция В экстремальных задачах — функция, минимум или максимум которой требуется найти. Это… …   Справочник технического переводчика

• Целевая функция — [target function] в экстремальных задачах функция, минимум или максимум которой требуется найти. Это ключевое понятие оптимального программирования. Найдя экстремум Ц.ф. и, следовательно, определив значения управляемых переменных, которые к нему… …   Экономико-математический словарь