Квадратичная функция неполная – Открытый урок «Влияние кэффициентов a, b и c на рас-положение графиков квадратичной функции»

Posted on by alexxlab

Свойства квадратичной функции y=ax2+bx+c. Видеоурок. Алгебра 9 Класс

Тема: Числовые функции

 Урок: Свойства квадратичной функции 

На уроке рассматриваются свойства квадратичной функции вида , график квадратичной функции и решаются задачи на чтение графиков и задачи с параметром. 

Определение. Квадратичной функцией называется функция вида

, где .

График – парабола (см. Рис. 1) с вершиной в точке

, где  .

 

Рис. 1. График функции , где

. Функция непрерывна на всей .

  в случае .

Пусть .

Свойства:

1. ;

2. ;

3.  убывает при

;  возрастает при ;

4.  — не существует;

5. Непрерывна;

6. Выпукла вниз.

  в случае .

Пусть .

Свойства (см. Рис. 2):

 

Рис. 2. График функции   в случае .

1. ;

2. ;

3.  возрастает при ;

 убывает при ;

4.  — не существует;

5. Непрерывна;

6. Выпукла вверх.

Найдите пределы изменения функции, прочитайте график.

 

а.

Ответ:  ; 

 убывает при ; возрастает при .

 
 

б.

Ответ:

;  убывает при  ;  возрастает при .

Найдите пределы изменения функции, прочитайте график.

 
 

а.

Ответ: ;  возрастает при ;  убывает при .

 

б.

Ответ: ;   возрастает при ; убывает при .

Найдите число корней уравнения  с параметром

, где , .

Ответ (см. Рис. 3):

 

Рис. 3. График функции , рассеченный прямыми  , где

 и .

1. Корней нет при ;

2. Уравнение имеет

— один корень при ;

— два корня при .

Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение , где , , имеет хотя бы один корень (см. Рис. 4).

 

 

 

 

 Ответ: .

Постройте и прочитайте график функции

 

,

Ответ: (см. Рис. 5)

 

Рис. 5. График функции

1. Возрастает при ;

2. Убывает при .

Найдите число корней уравнения , где .

Ответ: уравнение имеет (см. Рис. 6)

 

Рис. 6. График функции  ,

рассеченный прямыми  , где  и .

1. Один корень при ;

2. Два корня при ;

3. Три корня при .

На уроке были рассмотрены свойства квадратичной функции и с их помощью были решены некоторые типовые задачи. На следующем уроке будут изучаться свойства четности и нечетности функций.

 

Список рекомендованной литературы

1. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.

2. Макарычев Ю.Н., Миндюк

interneturok.ru

Справочные материалы по теме «Квадратичная функция»

Функция вида hello_html_11bf069.png, где hello_html_7c601bfe.pnghello_html_m1ed0f1c4.png называется квадратичной функцией.

В уравнении квадратичной функции:

a — старший коэффициент

b — второй коэффициент

с  — свободный член.

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции hello_html_m4768385.png имеет вид:

hello_html_3a3687b9.jpg

Обратите внимание на точки, обозначенные зелеными кружками — это, так называемые «базовые точки». Чтобы найти координаты этих точек для функции hello_html_m4768385.png, составим таблицу:

hello_html_27284a60.jpg

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент hello_html_m7369197d.png, то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции hello_html_m4768385.png при любых значениях остальных коэффициентов. (hello_html_11bf069.png= hello_html_m4768385.png)

График  функции hello_html_m7d0959f.png имеет вид:

hello_html_m6d1cabf2.jpg

Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:

hello_html_496cbc71.jpg

 

Обратите внимание, что график функции hello_html_m7d0959f.png симметричен графику функции hello_html_m4768385.pngотносительно оси ОХ.

Итак, мы заметили:

Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх.

Если старший коэффициент a<0, то ветви параболы напрaвлены вниз.

Второй параметр для построения графика  функции — значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции hello_html_5f66ee65.png — это точки пересечения графика функции hello_html_45f47913.pngс осью ОХ.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты  точек  пересечения графика функции hello_html_45f47913.pngс осью ОХ, нужно решить уравнение hello_html_m279fcdd4.png.

В случае квадратичной функции hello_html_11bf069.png нужно решить квадратное уравнение hello_html_7b8c8403.png.

Теперь внимание!

В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: hello_html_52d7d725.png, который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая:

1. Если hello_html_m73e37113.pnghello_html_m1ed0f1c4.png,то уравнение hello_html_7b8c8403.png не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола hello_html_11bf069.png не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если hello_html_8f83833.pnghello_html_m1ed0f1c4.png,то график функции выглядит как-то так:

hello_html_m383fae42.jpg

2. Если hello_html_6115085e.pnghello_html_m1ed0f1c4.png,то уравнение hello_html_7b8c8403.png имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола hello_html_11bf069.png  имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если hello_html_8f83833.pnghello_html_m1ed0f1c4.png,то график функции выглядит примерно так:

hello_html_139cbdfe.jpg

3.  Если hello_html_m7506c0ea.pnghello_html_m1ed0f1c4.png,то уравнение hello_html_7b8c8403.png имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола hello_html_11bf069.png  имеет две точки пересечения с осью ОХ:

hello_html_6b377285.png,  hello_html_m6179356d.png

Если hello_html_8f83833.pnghello_html_m1ed0f1c4.png,то график функции выглядит примерно так:

hello_html_5dcfe5b6.jpg

Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже

можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.

hello_html_m3497cc71.jpg

Следующий важный параметр графика квадратичной функции — координаты вершины параболы:

hello_html_18e68c38.jpg

 

hello_html_m8efa2f9.png

hello_html_44ffd73d.png

Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.

И еще один параметр, полезный при построении графика функции — точка пересечения параболы hello_html_11bf069.png с осью OY.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы hello_html_11bf069.png с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: hello_html_me0aa335.png.

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны  на рисунке:

hello_html_704a65e1.jpg

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный.

1. Функция задана формулой hello_html_11bf069.png.

Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции hello_html_45cb4645.png

1. Направление ветвей параболы.

Так как hello_html_m2865c0fc.pnghello_html_m1ed0f1c4.png,ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена hello_html_727724be.png

hello_html_1c6bb258.pnghello_html_12d5dff5.png hello_html_m797123b.png

Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.

Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение: hello_html_2616a2b8.png

hello_html_22e34e95.png,  hello_html_67ef2a38.png

3.   Координаты  вершины параболы:

hello_html_m6a796513.png

hello_html_m478dd782.png

4. Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.

Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:

hello_html_7efd8829.jpg

Этот способ можно несколько упростить.

1. Найдем координаты вершины параболы.

2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.

Воспользуемся результатами построения графика функции

hello_html_45cb4645.png

Кррдинаты вершины параболы

hello_html_m6a796513.png

hello_html_m478dd782.png

Ближайшие к вершине точки, расположенные  слева от вершины имеют абсциссы соответственно -1;-2;-3

Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы  соответственно 0;1;2

Подставим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их  в таблицу:

hello_html_168268a5.jpg

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией:

hello_html_2437f2a9.jpg

2.  Уравнение квадратичной функции имеет вид hello_html_m1e573c45.png — в этом уравнении hello_html_m731f33c7.png— координаты вершины параболы

или в уравнении квадратичной функции hello_html_11bf069.png hello_html_m7369197d.png, и второй коэффициент — четное число.

Построим для примера график функции hello_html_392b3cfe.png.

Вспомним линейные преобразования графиков функций. Чтобы построить график функции hello_html_392b3cfe.png, нужно

  • сначала построить график функции hello_html_m4768385.png,

  • затем одинаты всех точек графика умножить на 2,

  • затем сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,

  • а затем вдоль оси OY на 4 единицы вверх:

hello_html_60399fa4.jpg

Теперь рассмотрим построение  графика функции hello_html_m33bc810f.png. В уравнении этой функции hello_html_m7369197d.png, и второй коэффициент — четное число.

Выделим в уравнении функции полный квадрат: hello_html_7b497b5c.png

Следовательно,  координаты вершины параболы: hello_html_6374c8a3.png. Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):

hello_html_m4297f8a2.jpg

3.  Уравнение квадратичной функции имеет вид y=(x+a)(x+b)

Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1)

1. Вид уравнения функции позволяет легко найти нули функции — точки пересечения графика функции с осью ОХ:

(х-2)(х+1)=0, отсюда hello_html_m447a22ce.png

2. Координаты вершины параболы: hello_html_m62d58495.png

hello_html_m25b920a3.png

3. Точка пересечения с осью OY: с=ab=(-2)(1)=-2 и ей симметричная.

Нанесем эти точки на  координатную плоскость и построим график:

hello_html_5f5a6155.jpg

 

infourok.ru

квадратичной функции

В уравнении квадратичной функции:

a – старший коэффициент

b – второй коэффициент

с  — свободный член.

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции  имеет вид:

Обратите внимание на точки, обозначенные зелеными кружками – это, так называемые «базовые точки». Чтобы найти координаты этих точек для функции , составим таблицу:

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции  при любых значениях остальных коэффициентов.

График  функции  имеет вид:

Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:

 

Обратите внимание, что график функции  симметричен графику функции  относительно оси ОХ.

Итак, мы заметили:

Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвленывверх.

Если старший коэффициент a<0, то ветви параболы напрaвленывниз.

Второй параметр для построения графика  функции – значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции  — это точки пересечения графика функции  с осью ОХ.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю,чтобы найти координаты  точек  пересечения графика функции  с осью ОХ, нужно решить уравнение .

В случае квадратичной функции  нужно решить квадратное уравнение .

Теперь внимание!

В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: , который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая:

1. Если ,то уравнение  не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола  не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит как-то так:

2. Если ,то уравнение   имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола   имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит примерно так:

3.  Если ,то уравнение   имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола   имеет две точки пересечения с осью ОХ:

,  

Если ,то график функции выглядит примерно так:

Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.

Следующий важный параметр графика квадратичной функции –координаты вершины параболы:

 

Прямая, прохдящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии паработы.

И еще один параметр, полезный при построении графика функции –точка пересечения параболы  с осью OY.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы  с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: .

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны  на рисунке:

Рассмотрим несколько способов построения квдартичной параболы.В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный.

1. Функция задана формулой .

Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции 

1. Направление ветвей параболы.

Так как ,ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена 

  

Дискримнант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.

Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение: 

,  

3.   Координаты  вершины параболы:

4. Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.

Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:

Этот способ можно несколько упростить.

1. Найдем коодинаты вершины параболы.

2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.

Воспользуемся результатами построения графика функции

Кррдинаты вершины параболы

Ближайшие к вершине точки, расположенные  слева от вершины имеют абсциссы соответственно -1;-2;-3

Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы  соответственно 0;1;2

Подствим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их  в таблицу:

Нанесем эти точки на кординатную плоскость и соединим плавной линией:

2.  Уравнение квадратичной функции имеет вид  – в этом уравнении  – координаты вершины параболы

или в уравнении квадратичной функции  , и второй коэффициент – четное число.

Построим для примера график функции .

Вспомним линейные преобразования графиков функций. Чтобы построить график функции , нужно

  • сначала построить график функции ,

  • затем одинаты всех точек графика умножить на 2,

  • затем сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,

  • а затем вдоль оси OY на 4 единицы вверх:

Теперь рассмотрим построение  графика функции . В уравнении этой функции , и второй коэффициент – четное число.

Выделим в уравнении функции полный квадрат: 

Следовательно,  координаты вершины параболы: . Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):

3.  Уравнение квадратичной функции имеет вид y=(x+a)(x+b)

Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1)

1. Вид уравнения функции позволяет легко найти нули функции – точки пересечения графика функции с осью ОХ:

(х-2)(х+4)=0, отсюда 

2. Координаты вершины параболы: 

3. Точка пересечения с осью OY: с=ab=(-2)(1)=-2 и ей симметричная.

Нанесем эти точки на  координатную плоскость и построим график:

studfile.net

Открытый урок «Влияние кэффициентов a, b и c на рас-положение графиков квадратичной функции»

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Глуховская школа-интернат №2

г. Ногинск Московской обл.

Конспект открытого урока по теме:

«ВЛИЯНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ а, b И с НА РАСПОЛОЖЕНИЕ

ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ»

Урок составлен и проведён:

учителем математики

МБОУ ГШИ №2 Потапова С.А.

дата проведения: 18. 10. 2018 уч.г.

г. Ногинск

Обобщающий урок по алгебре  9-А класс

по теме: «Влияние коэффициентов а, b и с на расположение графика квадратичной функции»

Цель урока: повторить тему «Квадратичная функция и её график», использовать её для решения задач, входящих в раздел «Алгебра » ОГЭ.

Задачи:

-образовательные: Повторить определение и свойства квадратичной функции, что могут показывать коэффициенты квадратного трёхчлена; рассмотреть задачи, входящие в ОГЭ по данной теме.

-развивающие: Развивать умения анализировать, сопоставлять, логически мыслить, обобщать, развивать память, активность и самостоятельность, способность к самоорганизации.

-воспитательные: Воспитывать ответственное отношение к учебному труду, настойчивость для достижения конечного результата.

Тип урока: Урок систематизации знаний и умений.

Формы работы учащихся: Фронтальная, самостоятельная.

Необходимое техническое оборудование: интерактивная доска, компьютер.

Ход урока:

1.Организационный момент. (2-3 минуты)

2. Постановка целей урока. (1 мин.) (Формулировка цели урока)

3. Актуализация знаний. (10 мин)

4. ( тренинг) Фронтальная работа с использованием интерактивной доски. (12 мин)

3. Повторим определение квадратичной функции. (определение на интерактивной доске.)

3.1 Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой у=ах2 + bх + с, где а, b, с — некоторые числа, причём а не равно нулю.

3.2 Обобщение и уточнение материала: (беседа после постановки проблемного вопроса).

Проблемный вопрос: какую информацию можно получить о графике квадратичной функции, зная коэффициенты квадратного трёхчлена.

(На интерактивной доске установить соответствие между знаками коэффициентов а и с и дискриминанта с расположением графика функции на координатной плоскости).

3.3 Как зависит расположение параболы в системе координат от коэффициентов a, b и c?

Коэффициент а влияет на направление ветвей параболы (как?)

Коэффициент b влияет на расположение вершины параболы (как?)

Если b = 0, то где расположена вершина параболы? (лежит на оси ОУ).

Коэффициент с влияет на пересечение параболы с осью ОУ и расположением вершины графика относительно оси ОХ – ниже, если с меньше нуля и выше, если с больше нуля.

Помним, что если с < 0, то график расположен ниже оси х, если с > 0, то выше. То же самое должно быть и с b, только относительно оси y

4.1 Задание: (фронтально) Расположение параболы в системе координат в зависимости от коэффициентов:

Найдите правильный ответ:

1) Если коэффициент а > 0, то…. (ветви – вверх)

2) Если коэффициент а < 0, то…. (ветви – вниз)

3) Если коэффициент с > 0, то… (парабола пересекается с осью ОУ выше оси ОХ)

4) Если коэффициент с < 0, то … (парабола пересекается с осью ОУ ниже оси ОХ)

5) Коэффициент b влияет на смещение вершины параболы вдоль оси ОХ

4.2 (Слайды из презентации, или рисунки на доске):

hello_html_m2341c0b0.jpghello_html_69881c72.jpg

hello_html_5aeb0ab1.jpg hello_html_m27ddc7ac.jpg

Физкультминутка: (показать на материале 4.3. Движение рук, туловища, глаз)

4.3 Провести повторение вышеизложенного материала по слайдам:

hello_html_29417b48.jpghello_html_m29f03103.jpg

«Зависимость расположения графиков квадратичной функции от

кооффициентов»

Урок алгебры в 9 классе

hello_html_m1a15759c.jpghello_html_m6452e2ad.jpg

4.4 Фронтальная работа на интерактивной доске на установление соответствия с пояснениями – повторение зависимости пересечений графика с осями координат от дискриминанта квадратного трёхчлена.

hello_html_25712ec3.jpg

Разработала учитель математики

Мезрина Марина Владимировна

Повторить алгоритм построения графика квадратичной функции и построить график функций. Работа в парах с объяснением и взаимопроверкой:

у = х2 + 2х — 8;

1. Постройте график функции (указанной функции) и найдите, используя график:

а) нули функции;

б) промежутки, в которых у > 0 и y < 0;

в) промежутки возрастания и убывания функции;

г) наименьшее значение функции;

д) область значения функции.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Опишите алгоритм построения квадратичной функции.

– Перечислите свойства функции у= ах2 + bх+ с при а > 0 и при а < 0.

–Как влияют коэффициенты а, b и с на расположение графика квадратичной функции?

Рефлексия. Выбери утверждение, которое соответствует тому, как тебе работалось на уроке. Выведены на интерактивную доску.

1) Мне было всё понятно, я смог повторить теоретический материал и могу решать задачи без посторонней помощи.

2) Я вспомнил теоретический материал, решил задачи, но некоторые задачи требуют посторонней помощи.

3) Я плохо знаю теоретический материал, не смог его вспомнить и не могу решать задачи по данной теме.

Домашнее задание:

№ 127 (б), № 128.

Д о п о л н и т е л ь н о выполнить задания по вариантам:

(Раздаточный материал: 8 карточек с заданиями по 2-4 вариантам)

В а р и а н т 1 (четыре карточки)

1.Найдите координаты вершины параболы: а) у = -х2— 4х + 1 б) у = 3х2 — 12х + 22.

Постройте график функции у = х2 — 6х + 4 и найдите, используя график:

а) нули функции;

б) промежутки, в которых у > 0 и y < 0;

в) промежутки возрастания и убывания функции;

г) наименьшее значение функции;

д) область значения функции.

В а р и а н т 2 (четыре карточки)

1.Найдите координаты вершины параболы: а) у= -х2 + 6х + 3 б) у = 4х2 — 8х — 1

2.Постройтеграфик функции у = х2 + 4х + 2 и найдите, используя график:

а) нули функции;

б) промежутки, в которых у > 0 и y < 0;

в) промежутки возрастания и убывания функции;

г) наибольшее значение функции;

д) область значения функции.

Использована литература:

1. Учебник для общеобразовательных организаций:

Алгебра 9 класс, под редакцией С.А. Теляковского, 4-е издание, Москва

«Просвещение» 2017 г.

2. Тесты: «Алгебра 9 класс» (М.: Мнемозина), издательство «ЭКЗАМЕН»

Москва 2016 г.

3. Интернет-ресурсы: videouroki.net

infourok.ru

Квадратичная функция



Квадратичная функция

Квадратичная функция (парабола)

вершина параболы:

В(xB; yB)

абсцисса точки В:

ордината точки В:

точка пересечения параболы с осью OY:

A(0; c)

абсцисса точки А:

xA= 0

ордината точки А:

yA= c

х1 и х2 — точки пересечения параболы с осью ОХ (нули функции) являются корнями уравнения ax2 + bx + c = 0

абсциссы этих точек:

дискриминант уравнения:

ординаты этих точек:

y1= 0, y2= 0

область определения функции:

множество R

область значений функции:

[yB; + ∞), если a>0
(− ∞; yB], если a

экстремумы функции:

min в точке В, если a>0
max в точке В, если a<0

 


 

 

одна точка касания
(один корень уравнения)

ветви параболы не пересекают ось ОХ
(корней нет)

если а < 0, ветви параболы направлены вниз

 

osiktakan.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *