Решение квадратного уравнения формулы

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Решение квадратного уравнения

Приведенное квадратное уравнение

Квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом

« Предыдущая запись Следующая запись »

Решение квадратных уравнений: формула корней, дискриминант, график

Квадратное уравнение – это математическое уравнение, которое в общем виде выглядит так:

ax² + bx + c = 0

Это многочлен второго порядка с 3 коэффициентами:

• a – старший (первый) коэф., не должен быть равен 0;
• b – средний (второй) коэф.;
• c – свободный элемент.

Решением квадратного уравнения является нахождение двух чисел (его корней) – x₁ и x_2.

Формула для вычисления корней

Для нахождения корней квадратного уравнения используется формула:

Выражение внутри квадратного корня называется дискриминантом и обозначается буквой D (или Δ):

D = b² – 4ac

Таким образом, формула для вычисления корней может быть представлена разными способами:

1. Если D>0, у уравнения есть 2 корня:

2. Если D=0, уравнение имеет всего один корень:

3. Если D<0, вещественных корней нет, но есть комплексные:

Решений квадратных уравнений

Пример 1

3x²+5x+2 = 0

Решение:

a = 3, b = 5, c = 2

x₁ = (-5 + 1)/6 = -4/6 = -2/3
x₂ = (-5 – 1)/6  = -6/6 = -1

Пример 2

3x²-6x+3 = 0

Решение:

a = 3, b = -6, c = 3

x₁ = x₂ = 1

Пример 3

x²+2x+5 = 0

Решение:

a = 1, b = 2, c = 5

В данном случае нет вещественных корней, а решением являются комплексные числа:

x₁ = -1 + 2i
x₂ = -1 – 2i

График квадратичной функции

Графиком квадратичной функции является парабола

.

f(x) = ax² + bx + c

• Корни квадратного уравнения – это точки пересечения параболы с осью абцисс (X).
• Если корень один – парабола касается оси в одной точке, не пересекая ее.
• При отсутствии вещественных корней (наличии комплексных), график с осю X не соприкасается.

Квадратные уравнения, формулы и примеры

Определение и формула квадратного уравнения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Уравнение вида называется квадратным уравнением.

Изучению квадратных уравнений были посвящены труды ученых древности, тому свидетельством являются найденные древние вавилонские глиняные таблички (1800-1600 г.г. до н.э.). На них представлены методы решения некоторых типов квадратных уравнений.

Древнеиндийский математик Баудхаяма в 8 веке до н.э. впервые использовал квадратные уравнения в форме и , а также привел их решения.

Вавилонские математики примерно с 4 века до н.э. и китайские математики примерно со 2 века до н.э. использовали метод дополнения (выделения полного) квадрата для решения уравнений с положительными корнями. Около 300 года до н.э. древнегреческий математик Евклид ( г. до н.э.- г. до н.э.) придумал более общий геометрический метод решения таких уравнений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Число называется дискриминантом квадратного уравнения.

В зависимости от знака дискриминанта квадратное уравнение может иметь различное количество корней как действительных, так и комплексных.

Примеры решения квадратных уравнений

Случай 1. Если дискриминант , то квадратное уравнение (1) имеет два различных действительных корня, которые находятся по формулам:

   

Случай 2. Если дискриминант , то квадратное уравнение (1) имеет два совпадающих действительных корня (или корень кратности два), который вычисляется по формуле:

   

ПРИМЕР 2

Задание	Найти корни квадратного уравнения .
Решение	Вычислим дискриминант:     Так как дискриминант равен нулю, то, следовательно, квадратное уравнение имеет двукратный корень
Ответ	.

Случай 3. Если дискриминант , то уравнение (1) имеет два комплексно сопряженных корня:

   

где называется мнимой единицей, удовлетворяющей соотношению .

ПРИМЕР 3

Задание	Решить уравнение .
Решение	Дискриминант уравнения     Так как дискриминант отрицателен, то квадратное уравнение имеет пару комплексно сопряженных корней:
Ответ	.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Ещё одна формула корней квадратного уравнения — урок. Алгебра, 8 класс.

Мы с тобой уже привыкли к тому, что корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0 находятся по формуле x1,2=−b&PlusMinus;b2−4⋅a⋅c2a

 

(если, конечно, дискриминант D=b2−4ac — неотрицательное число; если же \(D < 0\), то приведённая формула не имеет смысла, а квадратное уравнение не имеет корней).

 

Но математики никогда не пройдут мимо возможности облегчить себе вычисления.

Они обнаружили, что формулу x1,2=−b&PlusMinus;b2−4⋅a⋅c2a можно упростить в случае, когда коэффициент \(b\) есть чётное число.

 

В самом деле, пусть у квадратного уравнения ax2+bx+c=0 коэффициент \(b\) имеет вид \(b = 2k\). Подставив в формулу x1,2=−b&PlusMinus;b2−4⋅a⋅c2a число \(2k\) вместо \(b\), получим: x1,2=−2k&PlusMinus;2k2−4ac2a=−2k&PlusMinus;4k2−4ac2a=−2k&PlusMinus;4k2−ac2a=−2k&PlusMinus;2k2−ac2a==2−k&PlusMinus;k2−ac2a=−k&PlusMinus;k2−aca.

Корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0 можно вычислять по формуле x1,2=−k&PlusMinus;k2−aca.

Сравни эту формулу с формулой x1,2=−b&PlusMinus;b2−4⋅a⋅c2a. В чем её преимущества?

 

Во-первых, в квадрат возводится не число \(b\), а его половина k=b2.

Во-вторых, вычитается из этого квадрата не \(4ac\), a просто \(ac\).

В-третьих, в знаменателе содержится не \(2a\), а просто \(a\).

 

Как видишь, по крайней мере в трёх моментах мы облегчаем себе выкладки.

Особенно приятно выглядит формула x1,2=−k&PlusMinus;k2−aca для приведённого квадратного уравнения, т. е. для случая, когда \(a = 1\).

Тогда получаем x1,2=−k&PlusMinus;k2−c.

Это формула корней уравнения x2+2kx−c=0.

 

Итак, если тебе встретилось квадратное уравнение вида x2+2kx−c=0, то советуем пользоваться формулой x1,2=−k&PlusMinus;k2−aca (или x1,2=−k&PlusMinus;k2−c — в случае, когда \(a = 1\)), поскольку вычисления будут проще.

 

Но если ты опасаешься запутаться в обилии формул, то пользуйся привычной общей формулой корней квадратного уравнения:

x1,2=−b&PlusMinus;b2−4⋅a⋅c2a.

Урок «Решение квадратных уравнений по формуле»

Муниципальное казенное образовательное учреждение
«Акушинская средняя общеобразовательная школа № 2»
МО «Акушинский район»

Конспект урока по алгебре

«Решение квадратных уравнений по

формуле»

Провела – учитель математики

Муртазалиева Зубалжат Гасангаджиевна

Акуша 2018г.

Тема урока: «Решение квадратных уравнений по формуле»

Класс: 8 класс, учебник «Алгебра – 8»

Форма проведения: комбинированный урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Цель урока: познакомиться с алгоритмом решения полного квадратного уравнения

Задачи:

Образовательные: предоставить учащимся возможности познакомиться и изучить алгоритм решения полных квадратных уравнений по формуле, способствовать пониманию и первичному закреплению алгоритма в ходе решения уравнений

Воспитательные повышение коммуникативной активности учащихся, формирование умения аргументировать свою точку зрения, разумно оценивать работу своего товарища

Развивающие: развивать способности учащихся к усвоению новой информации, формировать умение сравнивать, анализировать, кратко и четко выражать свое мнение

Ход урока

1. Организационный момент

2. Постановка цели и задач. Мотивация учебной деятельности (Формулирование проблемы)

3. Актуализация знаний

4. Первичное усвоение новых знаний

5. Физкультминутка

6. Первичная проверка понимания

7. Первичное закрепление

8. Информация о домашнем задании и инструктаж о его выполнении

9. Рефлексия. Подведение итогов урока

Технические средства обучения: компьютер, проектор, колонки (для проведения физкультминутки – гимнастики для глаз) презентация (авторская разработка)

План– конспект урока

1. Организационный момент.

2.Постановка целей и задач. Мотивация учебной деятельности

Эмоциональный настрой нашей совместной работы.

— Здравствуйте, ребята! Садитесь, пожалуйста. Сегодня у нас с вами урок изучения нового материала «Решение квадратных уравнений по формуле». Цель урока познакомиться с алгоритмом решения полного квадратного уравнения. Девизом урока будут слова: хочу, могу, умею, делаю. (Приложение 1, слайд 2)

МОГУ: ребята, на уроке можно ошибаться, сомневаться, консультироваться (задавать вопросы).

УМЕЮ: мы умеем решать неполные квадратные уравнения, полные квадратные уравнения выделением квадрата двучлена.

ХОЧУ: познакомиться с алгоритмом решения полного квадратного уравнения.

ДЕЛАЮ: делаем каждый себе установку «Понять и быть тем первым, который увидит правильный путь решения». Желаю всем удачи!

3. Актуализация знаний учащихся.

1. Фронтальная работа с классом (в это время 3 учащихся у доски работают по индивидуальным карточкам и целью контроля выполнения домашней работы (задания – аналогичны дом. заданию). Нам с вами ребята, необходимо вспомнить теоретический материал по изученной теме «Квадратные уравнения» (что же мы умеем):

— Что такое уравнение? Что такое корень уравнения? Что значит решить уравнение?

— Какие уравнения мы называем линейными? Какие уравнения мы называем квадратными? Приведите примеры

— Сколько корней может иметь линейное уравнение (квадратное) уравнение? Примеры.

— Какие виды неполных квадратных уравнений вам известны? Приведите примеры.

— Какой общий вид имеет полное квадратное уравнение? Приведите пример.

— Какие квадратные уравнения мы с Вами умеем решать? Приведите примеры

Индивидуальная карточка №1 Решите уравнения:

1. 2x² – 72 = 0

2. x² – 7x = 0

3. 4x(2x – 8) = 0

Индивидуальная карточка №2 Решите уравнение:

1. (2x – 4)(5x – 30) = 0

2. — 10x² = 0

3. 3x² – 18x = 0

Индивидуальная карточка №3 Решите уравнение:

1. — 5x² = 20

2. 4x² — 64 = 0

3. (5 – x)(x – 4) = 0

Проверка работы по индивидуальным карточкам. Комментарии учащихся класса (по цепочке) решенных уравнений у доски. Оценка работы учащихся у доски

2.Фронтальная работа. А теперь давайте проверим готовность двигаться дальше в решении квадратных уравнений. (Приложение 1. слайд 3)

Среди перечисленных уравнений укажите 1 ряд – квадратные уравнения;

2 ряд – линейные уравнения; 3 ряд – неполные квадратные уравнения

5x² – 12x + 7 = 0

x² = 1 = 0

— 4x + 16 = 20

5x – 45 = 8x – 13

— 7x² – 49x = 0

6x³ – 12x + 11 = 0

3x — 8 = 0

(x – 1) (x – 2) = 0

x(x – 4) = 0

5 (2x – 3) = 10

4. Первичное усвоения новых знаний

Из предыдущих уроков видно, что при решении квадратных уравнений приходилось выделять полный квадрат двучлена. Чтобы постоянно не выполнять таких преобразований, достаточно один раз выполнить эти преобразования для общего вида квадратного уравнения и получить формулу корней квадратного уравнения.

Вывести формулу корней квадратного уравнения (на доске)

Ввести понятие дискриминанта квадратного уравнения (Приложение 1, слайд 4)

Рассмотреть различные случаи решения квадратного уравнения в зависимости от значения дискриминанта (D) (Приложение 1 слайды 5-8)

Решение квадратных уравнений

ax² + bx + с = 0, где а ≠ 0

1. Найдем дискриминант (D) уравнения по формуле b² – 4ac

2. Определим количество корней уравнения в зависимости от значения дискриминанта D

D>0, уравнение имеет 2 корня; x₁ = , x₂ =

D= 0 уравнение имеет 1 корень ; x =

D<0, корней нет

3. Записать ответ

Запись в тетради алгоритма решения квадратного уравнения, формулу корней квадратного уравнения.

5. Физкультминутка (включить спокойную музыку, приложение 2 – музыка)

1. Закрыть глаза, сильно напрягая глазные мышцы, на счет 1 -4, затем раскрыть глаза, расслабив мышцы глаз, посмотреть вдаль на счет 1-6. Повторить 4-5 раз.

2. Посмотреть на переносицу и задержать взор на счет 1-4. До усталости глаза не доводить. Затем открыть глаза, посмотреть вдаль на счет 1-6. Повторить 4-5 раз.

3. Не поворачивая головы, посмотреть направо и зафиксировать взгляд на счет 1-4, затем посмотреть вдаль прямо на счет 1-6. Аналогичным образом проводятся упражнения с фиксацией взгляда влево, вверх и вниз. Повторить 3-4 раза.

4. Перенести взгляд быстро по диагонали: направо вверх — налево вниз, потом прямо вдаль на счет 1 -6; затем налево вверх — направо вниз и посмотреть вдаль на счет 1-6. Повторить 4-5 раз.

6. Первичная проверка понимания

Работа с готовыми решениями. Комментарии трех учащихся с места

Привести пример решения квадратноых уравнений (Приложение 1, слайды 10-12)

Приер 1.

5x² – 4x – 1 = 0

а = 5, b = — 4, с = -1

D = b² – 4ac = (-4)² – 4 ∙ 5 ∙ (-1) = 16 + 20 = 36, D>0уравнение имеет 2 корня

x₁ = = = 1

x₂ = = = — 0,2

Ответ: — 0,2; 1

Пример 2

4x² — 12x + 9 = 0

а = 4, b = — 12, с = 9

D = b² – 4ac = (-12)² – 4 ∙ 4 ∙ 9 = 144 — 144 = 0, D = 0, уравнение имеет 1 корень

x = = = 1,5

Ответ: 1,5

Пример 3

7x² + 3x + 5 = 0

а =7, b = 3, с = 5

D = b² – 4ac = (-3)² – 4 ∙ 7 ∙ 5 = 9 — 140 = 131, D < 0, уравнение корней не имеет

Ответ: нет корней

7. Первичное закрепление

Работа на уроке. Решение квадартных уравнений (работа в парах) Приложение 2 (2 варианта)

На каждую парту 1 вариант. Сверка с образцом на доске (написано перед уроком на открывающихся досках).

Работа у доски по учебнику – по 2 учащихся № 25.1(а), 25.3(а), 25.5(а), 25.7(а)

8. Домашнее задание задачник Алгебра – 8, стр. 154, п. 25, № 25.1(в), 25.3(в), 25.5(в), 25.7(в)

9. Рефлексия. Выставление оценок учащимся (Приложение 1, слайд)

1. Напишите формулу нахождения дискриминанта квадратного уравнения.

2. Напишите формулу корней квадратного уравнения

3. Сколько корней может иметь квадратное уравнение? От чего это зависит?

(Приложение 1, слайд)

• На уроке я успел сделать…

• В результате я узнал и научился…

• Я не понял, у меня не получилось…

Кому на уроке все было понятно встаньте и похлопайте в ладоши, у крого остались вопросы и не все получалось сразу сидя похлопайте в ладоши, у кого не получилось решить последнее уравнение.

9. Итог урока.