Простейшие тригонометрические уравнения. Видеоурок. Алгебра 10 Класс

Используя этот видеоурок, вы сможете самостоятельно изучить тему «Простейшие тригонометрические уравнения». Это занятие создано специально для закрепления знаний по тригонометрии. Учитель расскажет об искусстве решения тригонометрических уравнений, которое заключается в сведении таких уравнений к простейшим тригонометрическим уравнениям

Тема: Тригонометрические уравнения

Урок: Простейшие тригонометрические уравнения

Решение всех тригонометрических уравнений, как правило, сводится к решению простейших тригонометрических уравнений. Им и посвящен этот урок.

Вспомним решение уравнения  (рис. 1).

Если

Рассмотрим частные случаи уравнения

1. 

 

2. 

 

3. 

Пример 1. Решить систему

Решение (рис. 5):

 не подходит, т.к.  

Ответ:

Рассмотрим решение уравнения  (рис. 6).

Если

Рассмотрим частные случаи уравнения

1. 

 

2. 

Решение простейших тригонометрических уравнений

Пуртова Елена Дмитриевна,

учитель математики

Решение простейших

тригонометрических уравнений

Аннотация к уроку: Урок алгебры в 10 классе по теме: «Решение простейших тригонометрических уравнений» соответствует программе общеобразовательных учреждений. Первый урок по теме «Решение тригонометрических уравнений».

Учебник для общеобразовательных учреждений – УМК: Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. – 6-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2009.

Тип урока: изучение нового материала.

Мотивация изучения данной темы обеспечивается за счет применения ИКТ, использования различных видов заданий. Приоритетная цель на уроке применение полученных знаний, отработка умений, решение тригонометрических уравнений.

Основой дидактический метод: проблемно-поисковый.

Частые методы: метод эвристической беседы, методы организации и осуществления учебно-познавательной деятельности, методы контроля и самоконтроля за эффективностью учебно-познавательной деятельности.

Формы работы: фронтальная. групповая, индивидуальная.

Дидактические средства: мультимедиапроектор, компьютеры на каждого ученика, макеты числовой окружности на координатной плоскости у учащихся, таблица значений тригонометрических функций у учащихся (составлены на предыдущих уроках), презентация по теме «Простейшие тригонометрические уравнения».

Программное обеспечение: среда Stratum 2000 — приложение для Windows

Введение:

Цель урока: изучить решение простейших тригонометрических уравнений.

Задачи к уроку:

1. Образовательные:

1.1.Создать условия для осознанного понимания решения простейших тригонометрических уравнений;

1.2. Вывести формулы решения простейших тригонометрических уравнений;

1.3. Сформировать у учащихся первичные умения и навыки его решения.

2. Развивающие:

2.1. Развивать познавательный интерес учащихся

2.2. Развивать и совершенствовать у учащихся умение применять знания в изменённой ситуации;

2.3. Развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения;

2.4. Развивать умения сравнивать, систематизировать, обобщать; навыки контроля и самоконтроля.

3. Воспитательные:

3.1. Формировать научное мировоззрение у учащихся, культуру математической речи,

3.2. Формировать информационную, коммуникативную культуру учащихся;

3.3. Формировать повышение мотивации учащихся за счет компьютерных технологий;

3.4. Формировать воспитание дружелюбного отношения друг другу, умение работать в коллективе.

Универсальные учебные действия:

1. Познавательные УУД:

— Самостоятельное выделение, анализ и формулирование познавательной цели и учебной задачи;

— обучение работе с источниками знаний: Интернет-ресурсами, книгой;

— формулируют ответы на вопросы учителя в устной форме.

— формирование умений решения простейших тригонометрических уравнений;

— формировать умение излагать материал по плану;

— развитие умения формулировать тему и задачи урока.

2. Коммуникативные УУД:

— установление обучающимися связи между учебной деятельностью и ее мотивом, между результатом учения и тем, что побуждает к деятельности, ради чего она осуществляется;

— инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации;

— формируют умение слушать партнера и понимать речь других учащихся класса;

— выявление, идентификация проблемы;

— умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации;

— формирование умения строить речевые высказывания в соответствии с поставленными задачами урока;

— умение слушать партнера и понимать речь других учащихся класса.

3. Регулятивные УУД:

— прогнозирование, контроль, коррекция, оценка, саморегуляция.

— формирование умение прогнозировать свою работу;

— формировать умение осуществлять познавательную и личностную рефлексию.

4. Личностные УУД:

— установление обучающимися связи между учебной деятельностью и ее мотивом, между результатом учения и тем, что побуждает к деятельности, ради чего она осуществляется;

— формировать умение проявлять дружелюбность, внимательность, взаимопомощь.

Основная часть

Этапы урока

Содержание учебного материала

Формирование УУД

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

1.Организационный этап. Слайд 1.

Учитель проверяет готовность к уроку.

«Не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что следует знать»

Пифагор.

Обучающиеся настраиваются на урок, приветствуют гостей и друг друга, быстрое включение в деловой ритм, уста­новка внимания всего класса.

Установление учащимися связи между учебной деятельностью и ее мотивом, между результатом учения и тем, что побуждает к деятельности, ради чего она осуществляется (К)

2.Актуализация знаний, умений и навыков.

Сайды 2-6.

Проверка знаний по теме «Обратные тригонометрические функции». (Приложение 1).

Проводит фронтальный опрос учащихся по теме домашнего задания

Дают устно определения понятиям arcsina, arccosa, arctga, arcctga.

Выполняют тест «Значения обратных тригонометрических функций» с взаимопроверкой и оценкой результатов.

Формулируют ответы на вопросы учителя в устной форме. (П).

Формируют умение слушать партнера и понимать речь других учащихся класса (К).

Коррекция знаний, обучающихся (Р)

3.Этап подготовки учащихся к активному и созна­тельному усвоению нового материала

Слайд 7, 8. Видеофрагмент фильма.

На экране высвечивается тема урока «Решение простейших тригонометрических уравнений». Аналитический способ решения уравнений.

Выбирают уравнения, те которые не умеют пока решать.

Формулируют тему урока «Решение простейших тригонометрических уравнений».

Раскрывают подробно, о чем пойдет речь на уроке.

Просматривают видеофрагмент фильма «Простейшие тригонометрические уравнения» и формулируют задачи на урок.

Самостоятельное выделение, анализ и формулирование познавательной цели и учебной задачи. (П) Развитие умения формулировать тему и задачи урока (П). Прогнозирование результатов (Р). Формирование умения прогнозировать свою работу. (Р)

4.Этап усвоения новых знаний.

Флеш — презентации

Каждая группа получила маршрутный лист, где указан путь следование.

(Приложение 2). Согласного данного маршрутного листа вы проходите весь путь, заполняя план-конспект.

(Приложение 3)

Делятся и рассаживаются по группам. Знакомятся с маршрутным листом. Выполняют задания по поиску необходимой информации для опорного конспекта. Работают с флеш-презентациями.

Заполняют опорный план-конспект по группам.

1. http://school-collection.edu.ru/catalog/res/9d08983e-a2c7-455c-b5fd-fb6ea6c091bd/view/

2. http://school-collection.edu.ru/catalog/res/0d94ac0b-0762-4d74-a468-75a0071ea9f0/view/

3. http://school-collection.edu.ru/catalog/res/d05654ef-fae6-4ca1-8c1e-5160f82eed23/view/

4. http://www.resolventa.ru/spr/trig/equation.htm

Обучение работе с источниками знаний: Интернет-ресурсами, книгой; (П)

— формирование умений решения простейших тригонометрических уравнений; (П) Выявление, идентификация проблемы (К)

Самостоятельное создание алгоритмов деятельности при решении проблем поискового характера (Р). Инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации (К)

5.Этап проверки понимания учащимися нового материала

Слайды 9-12

Сбор информации с групп в единый план-конспект

Защита опорных планов-конспектов представителями каждой группы. Каждый учащийся формирует опорный конспект

Формирование умения излагать материал по плану. (П) Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации. (К) Умение слушать партнера (К)

6.Этап закрепления нового материала Первичная проверка понимания.

Контроль и самопроверка знаний. Слайд 13

Консультация, контроль за выполнением теста в интерактивном кабинете.

Выполняют электронные задания по решению простейших тригонометрических уравнений. Каждый учащийся самостоятельно проверяет полученные знания и отрабатывает навыки решения уравнений в личном кабинете на сайте http://uztest.ru/quiz

Умение применять полученные знания в конкретной ситуации. (Р)

Контроль, самооценка, оценка. (Р)

7. Подведение итогов занятий

Подведем итоги нашего урока. Обсуждение и выставление оценок за урок. А теперь оцените свою деятельность на уроке, выведите средний балл за урок, оценив свою деятельность на уроке.

(Приложение 4).

Вспоминают, что изучали на данном уроке. Оценивают свою деятельность и ставя баллы в оценочный лист.

Формирование умения строить речевые высказывания в соответствии с поставленными задачами урока. (К)

Оценивают свою деятельность на уроке (Л)

8.Рефлексия

Слайд 14

Сделайте «выстрел в рефлексивную мишень».

Оставляют пометки на рефлексивной мишени, высказывают свое мнение по уроку.

Формировать умение осуществлять познавательную и личностную рефлексию. (Р)

9.Домашнее задание

Слайд 15

Выучить составленный опорный план-конспект, выполнить задание с карточки, решить №

Запись домашнего задания в дневник

Само регуляция, как способность к мобилизации сил и энергии, к волевому усилию (к выбору в ситуации мотивационного конфликта) и преодоления препятствий (Р)

10.Логическое завершение урока.

Слайд 16

Вы молодцы!

Каждый из вас «научился тому, что следует знать».

Спасибо за урок!

Психологический настрой на окончание урока

Формирование положительной мотивации, развитие коммуникативных умений (Р)

Заключение. Планируемый результат урока: формирование положительной мотивации, знания определения термина «тригонометрическое уравнение», запись формул решения простейших тригонометрических уравнений, формирование у учащихся первичные умения и навыки решения простейших тригонометрических уравнений; развитие коммуникативных умений.

Список используемых источников:

1. УМК: Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. – 6-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2009.

2. УМК: Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. – 6-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2009.

Ссылки на цифровые образовательные ресурсы:

1. Сайт с личным кабинетом учителя http://uztest.ru/quiz

2. Флеш-презентация cosx = a http://school—collection.edu.ru/catalog/res/9d08983e—a2c7-455c—b5fd—b6ea6c091bd/view/

3. Флеш-презентация sinx = a http://school-collection.edu.ru/catalog/res/0d94ac0b-0762-4d74-a468-a0071ea9f0/view/

4. Флеш-презентация tgx = a, ctgx = a http://school-collection.edu.ru/catalog/res/d05654ef-fae6-4ca1-8c1e-160f82eed23/view/

5. Сайт учебного центра «Резольвента» http://www.resolventa.ru/spr/trig/equation.htm

Приложение 1

Тест «Обратные тригонометрические функции»

Ф.И. ____________________________________________________________________

arcsin

arccos =

arctg 1 =

arcsin

arccos =

arctg =

arcsin

arccos =

arcctg =

arcsin

arccos =

arctg(- )=

arcsin

arccos =

arcctg =

Решите уравнения:

; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Приложение 2

Задание 1 группа cos x = a 8 мин

1. Просмотреть флеш-презентацию cos x (теорию), проанализировать информацию.

2. В опорный конспект (1 часть) выписать общую формулу решения простейшего тригонометрического уравнения, формулы для частных случаев.

3. Рассмотреть и оформить в опорном конспекте (1 часть) решение тригонометрических уравнений.

4. Выполнить практическую часть данной презентации.

5. Записать в опорный конспект не менее 3-х примеров

6. Подготовить защиту своего опорного конспекта (общая формула, частные формулы, три примера).

Задание 2 группа sin x = a 8 мин

1. Просмотреть флеш-презентацию sin x (теорию), проанализировать информацию.

2. В опорный конспект (2 часть) выписать общую формулу решения простейшего тригонометрического уравнения, формулы для частных случаев.

3. Рассмотреть и оформить в опорном конспекте (2 часть) решение тригонометрических уравнений.

4. Выполнить практическую часть данной презентации.

5. Записать в опорный конспект не менее 3-х примеров

6. Подготовить защиту своего опорного конспекта (общая формула, частные формулы, три примера).

Задание 3 группа tg x = a ctg x = a 8 мин

1. Выйти по ссылке http://www.resolventa.ru/spr/trig/equation.htm, прочитать и

проанализировать информацию соответствующую заданию.

2. В опорный конспект (3 часть) выписать общую формулу решения простейшего тригонометрического уравнения.

3. Рассмотреть и оформить в опорном конспекте (3 часть) решение тригонометрических уравнений.

4. Выполнить практическую часть флеш-презентации tg x и ctg x

5. Записать в опорный конспект не менее 3-х примеров.

Подготовить защиту своего опорного конспекта (общая формула, три примера).

Приложение 3

Решение простейших тригонометрических уравнений

(опорный конспект)

1группа cos x = a

cos a = 1

cos a = 0

cos a = — 1

2группа sinx = a

sin a = 1

sin a = 0

sin a = — 1

3группа tg x = a

ctg x = a

Примеры решения

простейших тригонометрических функций

cos x = a

sinx = a

tg x = a

ctg x = a

Приложение 4

Оценочный лист

Ф.И. (ученика) ___________________________________________ 10 класс

Дата оценивать в 5-ти бальной системе

№ п/п

Критерий

Отметка

1

Знание единичной окружности

2

Теоретический опрос по определениям

3

Тест «Значение обратных тригонометрических функций»

4

Поиск информации, ее представление

5

Тест «Простейшие тригонометрические уравнения»

Итого (средний балл)

Презентация к уроку по алгебре (10 класс) по теме: Простейшие тригонометрические уравнения.10 класс.

Слайд 1

Тема «Тригонометрические уравнения» 10 класс к первому уроку темы Составила: Овчинникова Елена Петровна учитель математики МБОУ Красногорской СОШ №2 пгт Красная Гора Брянской области

Слайд 3

Тема урока Тригонометрические уравнения

Слайд 4

Формулы корней простых тригонометрических уравнений 1 .cost = а , где | а| ≤ 1 или Частные случаи 1) cost=0 t = π/2+π k‚ k Є Z 2) cost=1 t = 0+2 π k‚ k Є Z 3) cost = -1 t = π+2π k‚ k Є Z 2.sint = а , где | а |≤ 1 или Частные случаи 1) sint =0 t = 0+ π k‚ k Є Z 2) sint =1 t = π/2+2π k‚ k Є Z 3) sint = — 1 t = — π/2+2π k‚ k Є Z 3. tgt = а, а Є R t = arctg а + π k‚ k Є Z 4. ctgt = а, а Є R t = arcctg а + π k‚ k Є Z

Слайд 5

К простейшим также относятся уравнения вида f( kx+m )=a

Слайд 6

Решение простейших уравнений tg2x = -1 2x = arctg (-1) + π k, k Є Z 2x = — π /4 + π k, k Є Z x = — π /8 + π k/2, k Є Z Ответ: — π /8 + π k/2, k Є Z . 2) cos (x+ π /3) = ½ x+ π /3 = ±arccos1/2 + 2 π k, k Є Z x+ π /3 = ± π /3 + 2 π k, k Є Z x = — π /3 ± π /3 + 2 π k, k Є Z Ответ: — π /3 ± π /3 + 2 π k, k Є Z 3) sin( π – x/3) = 0 упростим по формулам приведения sin ( x/3 ) = 0 частный случай x/3 = π k, k Є Z x = 3 π k, k Є Z. Ответ: 3 π k, k Є Z.

Слайд 7

Примеры уравнений. Уравнение уже имеет простейший вид , однако можно применить формулы приведения и упростить его. Это частный вид уравнения cos t=a a=0 Разделим обе части на 4. Ответ : t t

Слайд 8

Уравнение переносом слагаемого и делением обеих частей легко сводится к простейшему. Разделим обе части на 4. Ответ : t Примеры уравнений.

Слайд 9

Ответ : Уравнение уже имеет простейший вид Это частный вид уравнения cos t=a a=0 Примеры уравнений.

Слайд 10

Ответ : Уравнение уже имеет простейший вид , однако , можно использовать четность функции cos, применить формулы приведения и упростить его. Примеры уравнений.

Слайд 11

1 вариант 2 вариант Потренируйтесь .

Слайд 12

Домашняя работа §18, п.1 разобрать примеры №18.3—18.5( а,б )

Слайд 13

Спасибо за то, что стараетесь!

Решение тригонометрических уравнений 10 класс

План проведения открытого урока

по алгебре в 10 классе

по теме «Тригонометрические уравнения»

Тема. Тригонометрические уравнения.

Цели урока:

1. Систематизировать, обобщить знания учащихся по теме «Тригонометрические уравнения», проверить уровень усвоения темы.

2. Развивать навык решения тригонометрических уравнений, умение анализировать, применять полученные знания к решению заданий по теме урока, навык самостоятельной работы.

3. Воспитывать мотивацию к учению, развивать познавательный интерес к предмету.

План урока.

1.Организационный момент. Постановка целей и задач урока.

2.Основная часть.

1. Теоретический опрос.

2. Устная работа.

3.Работа у доски и в тетрадях по теме урока.

4.Физминутка.

5. Домашняя работа.

6.Самостоятельная работа с взаимопроверкой.

3.Итог урока, выставление оценок.

Уравнение представляет

собой наиболее серьёзную и

важную вещь в математике.

Оливер Лодж, английский

физик и изобретатель.

Ход урока.

1.Организационный момент. Постановка целей и задач урока.

Тема нашего урока « Тригонометрические уравнения». Эпиграфом к уроку я взяла слова английского физика и изобретателя Оливера Лоджа «Уравнение представляет

собой наиболее серьёзную и важную вещь в математике».

На предыдущих уроках мы работали над этой темой, изучили формулы корней простейших тригонометрических уравнений, узнали способы и методы решения тригонометрических уравнений, сегодня на уроке мы обобщим и закрепим эту тему.

2.Основная часть.

1. Теоретический опрос.

Хочется вспомнить слова английского философа, Герберт Спенсер говорил: «Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, а те, которые превращаются в умственные мышцы». Давайте накачивать «умственные мышцы», начнём урок с устного счёта ( разминка для ума).

Повторим решение простейших тригонометрических уравнений ( с места по цепочке).

Для решения уравнений, необходимо знание основных тригонометрических формул, давайте их вспомним (один человек письменно на доске).

Sin2x= 2 sinx cosx

Sin(x+ y)= sinx cosy + siny cosx

2. Устная работа.

А) выбери правильный ответ.

а)

б)

г) нет решения

Б) найди ошибки в решении.

Ответ:

В) составь алгоритм решения уравнения.

2 cosx + sin x+1=0

3 sinx — 4sin x cos x + cos x=0

2 sinx= sin 2x

Sin x+cos x=2

3 cosx – 10 cos x+3=0

Cosx -2 cos x=0

Sin x-16=0

Cos 3x +sin 3x=0

6sinx- sin x cos x-cosx=3

Sin 2x+cos x=2

3sinx+ sin x cos x = 2 cosx

2ctgx – 3 tgx+5=0

Альберт Эйнштейн говорил: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

Давайте решим некоторые из данных уравнений. (Один человек у доски, остальные в тетрадях).

1) введение новой переменной, приведение к квадратному.

2) однородное тригонометрическое уравнение второй степени ( делим на косинус в квадрате икс):

3) разложение на множители:

4)введение вспомогательного аргумента:

4.Физминутка.

Французский писатель Анатоль Франс говорил: «Учиться надо весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом».Чтобы «нагулять аппетит» проведём физминутку.

5. Домашняя работа.

На домашнюю работу остаются остальные уравнения.

6.Самостоятельная работа с взаимопроверкой.

Древнегреческий поэт Нивей утверждал: «Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед», поэтому выполним небольшую самостоятельную работу.

Вариант 1. Вариант 2.

Ответы:(взаимопроверка).

Вариант1 Вариант2

3.Итог урока, выставление оценок.

Давайте вспомним некоторые тригонометрические понятия, решим кроссворд.

По горизонтали.

1.Ордината точки на единичной окружности? (синус).

2.2пn для функций у= sinx y=cosx? (период).

3. Угловая величина дуги, длина которой равна её радиусу (радиан).

4.Формулы вида …. называются? (приведения).

5.Абсцисса точки на единичной окружности? (косинус).

6.Сумма квадратов синуса и косинуса одного аргумента равна…?(единица).

7. Число из отрезка…,синус которого равен а? (арксинус).

8.Математическая постоянная = 3,14? (пи).

9. Отношение синуса числа к косинусу того же числа (тангенс).

3.Итог урока, выставление оценок.

Чем занимались на уроке?

Что интересное узнали на уроке?

Какие ещё высказывания о математике известных людей вы знаете?

Пожалуйста, поднимите руку те, кто считает, что эту тему понял очень хорошо?

Кто считает, что ещё нужно поработать?

Кто совсем плохо понял эту тему?

Молодцы, хорошо работали, думаю, с целями справились.

В заключении урока я хочу вам прочитать стихотворение:

“Музыка может возвышать или умиротворять душу,

Живопись – радовать глаз,

Поэзия — пробуждать чувства,

Философия – удовлетворять потребности разума,

Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,

а математика способна достичь всех этих целей”.

Так сказал американский математик Морис Клайн.

Спасибо за урок!

Конспект урока по теме «Решение однородных тригонометрических уравнений» в 10 классе.

Заварыкина Наталья Николаевна,

273-485-476

учитель математики

МОУ СШ №92

г. Волгограда

Конспект урока по теме

«Решение однородных тригонометрических уравнений» в 10 классе.

 Тип урока: комбинированный

 Цели урока.

 

Образовательные: 

• обобщение знаний о тригонометрических уравнениях

• формирование умений и навыков в решении однородных тригонометрических уравнений

• умение решать все виды тригонометрических уравнений

Развивающие: 

•  развитие познавательного интереса, логического мышления, взаимосвязи математики с жизнью

• развитие логического мышления, памяти, внимания

• умение делать выводы и обобщения.

Воспитательные:

• формировать интерес к данному предмету, содействовать воспитанию интереса к математике, особенно в условиях информатизации общества, активности, умению общаться, аргументировано отстаивать свои взгляды

• воспитание аккуратности, дисциплины, настойчивости, ответственного отношения к учебе

• формирование умения осуществлять взаимоконтроль и самоконтроль

Содержание урока.

 

I. Организационный момент.

Учитель:

— Добрый день, ребята!

Говорят, алгебра держится на четырех китах: уравнение, число, тождество, функция. Сегодня мы поговорим с вами об одном из фундаментов алгебры – уравнениях. С уравнениями вы встречаетесь с начальной школы. Умеете их решать различными методами.

— Какие виды уравнений вы знаете?

— Одно из замечательных качеств математика-исследователя – любознательность. Вот он что – то сделал, и сделал неплохо. Можно успокоиться. Но нет! А что если попробовать сделать по- другому?

И сегодня вы узнаете еще больше о решении тригонометрических уравнений

II. Устная работа.

Учитель:

-Для того чтобы включиться в работу и сконцентрироваться, предлагаю вам небольшую разминку.

1.Нужно решить простейшие тригонометрические уравнения:

а) sin x=-1 б) cos x= в) tg x=-1 г) sin x=-

д) cos x=- е) tg x=4 ж) sin x=-2 з) cos x=

2. Перед вами уравнения, в течение двух минут распределите уравнения по известным вам методам (алгоритмам) решения, результат занесите в таблицу  (в таблицу занести номер под которым стоит уравнение):

Простейшее

тригонометрическое

Замена переменной

 Разложение на множители

 

 

 

 

 

 

1) 2sinx cos 5x – cos 5x =0;

2) sin (π + x)=0;

3) 3tg ² x  + 2tg  x — 1=0;

4) 2 cos² x + 9cos x +14=0;                          

5) sin 2х = -1   

6) 2sinx – 3cosx = 0

7)  cos 3x = 0;

8) cos (х – ) = ;

 9) sin ( + )= ;

10) 3sin²x – 4sinx cosx + cos²x = 0;                  

11) tg 2x + 1 = 0;

12) 3cos²x – sinx – 1 =0;

13) 2cos( + 3x) – = 0.

III. Усвоение новых знаний

Учитель:

— Ребята, а какие уравнения остались без таблицы? (6,10)

— Как называются эти уравнения мы узнаем, разгадав кроссворд (на слайде появляется кроссворд)

1. Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство? (Корень)

2. Единица измерения углов? (Радиан)

3. Числовой множитель в произведении? (Коэффициент)

4. Раздел математики, изучающий тригонометрические функции? (Тригонометрия)

5. Какая математическая модель необходима для введения тригонометрических функций? (Окружность)

6. Какая из тригонометрических функций четная? (Косинус)

7. Как называется верное равенство? (Тождество)

8. Равенство с переменной? (Уравнение)

9. Уравнения, имеющие одинаковые корни? (Равносильные)

10. Множество корней уравнения? (Решение)

Разгадав кроссворд, ребята прочитают слово “однородные”.

— Это однородные тригонометрические уравнения.

— Запишите тему урока: «Решение однородных тригонометрических уравнений».

На слайде появляется запись определения однородных тригонометрических уравнений, что это уравнения вида:

а sin x + b cos x = 0,  a, b ≠ 0 и

a sin²x + b sin x cos x +  k cos²x = 0,  a, b, k ≠ 0

Учитель:

Уравнения такого вида можно решать делением на старшую степень синуса или косинуса. При этом мы не теряем корней, т.к. мы в уравнение подставим cos x = 0 , то получим, что sin x = 0, а это невозможно (косинус и синус не могут одновременно равняться нулю).

Итак, рассмотрим решение уравнения:

                                      2sin x – 3cos x = 0, 

— = , cos x  ≠ 0

2 tg x – 3 = 0

                       2 tg x = 3

                        tg x = 1,5

x = arctg1,5 + πn, n € Z

Ответ: x = arctg1,5 + πn, n € Z

— А теперь решим уравнение 3sin²x – 4sinx cosx + cos²x = 0;      

Учитель с помощью вопросов подключает учащихся к работе.

— Проверяем, каждый ли член уравнения имеет одну и ту же степень?

— Да, каждый.

— Какой мы можем сделать вывод?

— Это уравнение однородное.

— Как мы решаем такое уравнение?

— Мы делим обе части уравнения на cos²x ≠ 0, так как косинус и синус не могут одновременно равняться нулю.

3sin²x – 4sinx cos x + cos²x = 0;    

  — + = ,  ≠ 0

3tg²x – 4tgx + 1 = 0

Обозначим  tg x = y

3y² – 4y + 1 = 0

у₁ = у₂ = 1

tg x =            tg x = 1    

x₁ = arctg + πk, k € Z x₂ =  + πn, n € Z        

Ответ: x₁ = arctg + πk, k € Z, x₂ =  + πn, n € Z                       

На доске записаны уравнения.

Найти среди уравнений однородные, определить их вид и указать способ решения.

1.      sin x = 2 cos x – однородное

2.      sin3x – cos 3x = 0 – однородное

3.      sin²x – 2sin x – 3 = 0 – квадратное

4.      2cos²x + 3sin²x + 2cos x = 0 – квадратное

5.      6sin²x – cos²x – 5sin x cos x = 0 – однородное

Решить у доски уравнения:sin3x – cos 3x = 0

— = , cos 3x ≠ 0

tg3x – 1 = 0

tg3x =

3x = arctg + πn, n € Z

    3x = + πn, n € Z

     x = + , n € Z

Ответ: x = + , n € Z

2) 6sin²x – cos²x – 5sin x cos x = 0

— — = ,  ≠ 0

6 tg²x – 1 – 5 tgx = 0

Обозначим  tg x = y

6y² – 5y — 1 = 0

у₁ = у₂ = 1

tg x =            tg x = 1    

x₁ = -arctg + πk, k € Z x₂ =  + πn, n € Z        

Ответ: x₁ = -arctg + πk, k € Z , x₂ =  + πn, n € Z    

    

IV. Проверка усвоения нового материала.

 

 Самостоятельная работа

а) 3sin x – cos x = 0;

б) cos2x + sin2x = 0;

в) 2sin²x – 3sinxcosx + cos²x = 0.

а) sin x + 3cos x = 0, 

sin5x + cos5x = 0

в) 2sin²x + sinx cosx — 3cos²x = 0

По истечении времени учитель предлагает учащимся поменяться работами друг друга, проверить и оценить их.

V. Подведение итогов.

— С каким видом уравнений познакомились?

— Как решаются эти уравнения?

-Что имеем после деления?

— Имеются ли у вас вопросы по решению однородных уравнений?

Домашнее задание №18.11,18.12

— К сожалению, нельзя указать общего метода решения  тригонометрических   уравнений , почти каждое из них (кроме простейших) требует особого подхода.

«Мышление начинается с удивления», – заметил 2 500 лет назад Аристотель. Наш соотечественник Сухомлинский считал, что «чувство удивления – могучий источник желания знать; от удивления к знаниям – один шаг». А математика замечательный предмет для удивления.

— Я надеюсь, что сегодняшний наш урок прошел для вас с пользой. Думаю, научившись бороться с трудностями при решении тригонометрических уравнений, вы сможете преодолевать любые жизненные трудности.

Урок алгебры «Методы решения тригонометрических уравнений» ( 10 класс)

УРОК в 10-ом классе. Методы решения тригонометрических уравнений

между политикой и уравнениями.

Однако уравнения, по-моему, важнее.

А. Эйнштейн

Предметные – знать определение обратных тригонометрических функций и уметь находить значения обратных тригонометрических функций; формулы записи ответа простейших тригонометрических уравнений и уметь применять эти формы при решении более сложных уравнений; знать значения основных тригонометрических углов и их расположение на тригонометрической окружности и уметь правильно записывать ответ.

Метапредметные – уметь анализировать текстовую информацию; на основе анализа информации самостоятельно формулировать и решать познавательные задачи, устанавливать логические связи.

Личностные — развитие интереса и познавательных способностей к предмету, умение работать в группе.

Формы организации: фронтальная, индивидуальная, групповая, самостоятельная.

1).Мордкович, А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч.1.Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) /А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 9-е изд., стер. — М. : Мнемозина, 2012.

2). Мордкович, А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / [А.Г.Мордкович B И др.]; под ред. А.Г. Мордковича. — 9-е изд., стер.- М. : Мнемозина, 2012.

10 «а» класс модульный: 1 группа – информационно – технологическая (14 человек), 2 группа – социально – гуманитарная (15 человек). Данная группа – информационно – технологический модуль. На уроке учащиеся распределены на 4 группы. Способ разделения на группы – выбор учителя. У каждой группы на столах раздаточный материал (Приложения для распечатки).

научиться, только применяя их на разнообразных

Г. Цейтен

— настрой учащихся на работу, организация внимания;

Здравствуйте, приветствуем гостей. Садитесь. Ребята, кто сегодня отсутствует? Все готовы к уроку? Итак, внимание. Начинаем! Сегодня у нас новый материал, но прежде повторим…

У вас на столах комплект материалов. Посмотрели, разобрали, оценочный лист подписали. Пусть будет у вас на виду – не забываем заполнять.

№ 1. Вспомним определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Вычислите:

Обменяйтесь тетрадями, проверьте ответы и оцените в баллах (на экране проецируются ответы). (Приложение 3)

№2. Ребята, а теперь перейдем к решению простейших тригонометрических уравнений. Напомните, пожалуйста, формулы решения уравнений вида sinx =а, cosx = а, tg х=а.

Учащиеся называют формулы решения уравнений

Таблица 2.

№ 3. Установите соответствие между уравнением и его решением. Как называются эти уравнения?

На экране проецируется задание (самопроверка). Проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале.

Таблица 3.(Приложение 4)

Установите соответствие:

1. sin x =0

2. cos x = – 1

3. sin x =1

4. cos x = 1

5. =1

6. sin x = – 1

7. = 0

№ 4. Какой рисунок соответствует решению соответствующего уравнения?

3. Постановка целей и задач урока.

Мотивация учебной деятельности учащихся.

Ну, что – почва подготовлена. Решите уравнения…

Решить уравнения:

Как вы видите, наших знаний не хватает, чтобы решить данные уравнения.

Сформулируем ТЕМУ нашего урока: Методы решения тригонометрических уравнений.

Обратимся к комплекту материалов.

Ваша задача: разобрать в группе, выбрать докладчика и объяснить метод.

Во время объяснения у доски метода и примера, учащиеся записывают в тетрадях: название метода и пример.

4. Первичное усвоение новых знаний.

Метод замены переменной (Приложение 5)

Методом замены переменной решаются те тригонометрические уравнения, которые представляют собой квадратные уравнения относительно какой-либо тригонометрической функции. Если в уравнение входят различные тригонометрические функции, то надо выразить их через одну.

ПРИМЕР 1. 2sin²x + 3sin x – 2 = 0

Это квадратное уравнение относительно sin x.

Введём переменную y = sin x. Тогда уравнение примет вид:

2y² + 3y – 2 = 0. y₁= , y₂= –2.

sin x = , sin x = –2, нет корней, так как E(sin) = [–1, 1].

Ответ:

Решите уравнение:

1) 6sin²x – 5sinx + 1 = 0.

Метод разложения на множители (Приложение 6)

Если уравнение можно преобразовать к виду f(x)∙g(x)=0, то решение данного уравнения сводится к решению совокупности уравнений f(x)=0; g(x)=0.

При решении тригонометрических уравнений, решаемых разложением на множители, нужно использовать все известные способы разложения на множители: вынесения общего множителя за скобки; группировка; применение формул сокращённого умножения и деления, искусственные приёмы.

ПРИМЕР 1.

Ответ:

Решите уравнения:

1) ctg² x — 4 ctg x = 0,

Внимание! Хочу сразу обратить ваше внимание на один вопрос, который обычно беспокоит учащихся, особенно в начале изучения темы «Тригонометрические уравнения»: обязательно ли при записи разных серий решений тригонометрического уравнения использовать в качестве параметра различные буквы. Если речь идёт о совокупности уравнений, т.е. о независимых друг от друга уравнениях, то буква может быть одна. А вот в системах тригонометрических уравнений дело обстоит иначе: там необходимо использовать разные обозначения для параметра в различных уравнениях системы, это носит принципиальный характер.

Однородные тригонометрические уравнения I степени (Приложение 7)

Тригонометрическое уравнение называют однородным, если после некоторой замены полученный многочлен от двух переменных составлен из одночленов одинаковой степени. Примеры однородных уравнений: a sin x + b cos x = 0, где   -однородное тригонометрическое уравнение первой степени

Итак, дано уравнение a sin x + b cos x = 0, где . Разделив обе части уравнения почленно на  , получим

 

.

Но, внимание! Делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение нигде не обращается в нуль (на 0 делить нельзя). Уверены ли мы, что в рассматриваемом случае отличен от 0? Давайте проанализируем. Предположим, что cos x =0. Тогда однородное уравнение asinx+bcosx=0 примет вид asinx=0, то есть sinx=0, так как a0. Получается, что и cosx=0, и sinx=0, а это невозможно, так как sinx и cosx обращается в нуль в различных точках. Итак, в однородном тригонометрическом уравнении первой степени деление обеих частей уравнения на cosx– вполне благополучная операция.

Пример 1. 5 sin x — 2 cos x = 0

Поделим обе части уравнения cos x (или на sin x). Предварительно докажем,

что cos x≠ 0 (или sin x≠ 0). (Пусть cos x = 0, тогда 5 sin x — 2 • 0 = 0, т.е. sin x = 0; но этого не может быть, так как sin² x + cos² x = 1).

Значит, можно делить на cos x:

.

Получим уравнение

5 tg x — 2 = 0, tg x = ,

x = arctg + n, n  Z.

Ответ: x = arctg + n, n  Z.

Решить уравнение

2sinx-3cosx= 0

Однородные тригонометрические уравнения второй степени (Приложение 8)

Определение: Уравнение вида

 x+b 

называется однородным тригонометрическим уравнением второй степени относительно   и  .

Если  , то разделим обе части уравнения на ,

x+c=0
Это квадратное уравнение относительно новой переменной .

ПРИМЕР 1. .
Решение: Разделим обе части уравнения почленно на  , получим:

x+2=0

t=tgx
+ 2=0

Значит, либо  

Ответ:  ;

Решить уравнение 

1. sin² x + 2 sin x∙cos x – 3 cos² x = 0.

5. Первичная проверка понимания.

№1. Какие из уравнений в столбиках 1 – 3 лишние и почему?

Таблица 4

№ 2. В течение двух минут распределите уравнения по известным вам методам (алгоритмам) решения, результат занесите в таблицу  (в таблицу занести букву, под которой стоит уравнение):

 Таблица 5 (Приложение 9)

Простейшее

тригон-ское

Замена переменной

 Разложение на множители

Однородное I степени

Однородное II степени

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) 2sinx cos 5x – cos 5x =0;

2) sin (π+x)=0

3) 2sinx – 3cosx = 0

4) 2 cos² x + 9cos x +14=0;                          

5) 3sin²x – 4sinx cosx + cos²x = 0  

6) 2cos(π/3 + 3x) – √3 = 0

7)  3cos²x – sinx – 1 =0

8) sin² x — sin x = 0,

9) sin x — cos x = 0

        

6. Первичное закрепление.

Задача: выяснить, усвоен ли учащимися способ решения уравнений нового вида.

На доске записаны уравнения.

Найти среди уравнений уравнение, сводимое к квадратному, указать способ решения.

Найти среди уравнений однородные, определить их вид и указать способ решения.

1.      sinx = 2cosx – однородное

2.      sin3x – cos3x = 0 – однородное

3.      sin²x – 2sinx – 3 = 0 – квадратное

4.      2cos²x + 3sin²x + 2cosx = 0 – квадратное

5.      6sin²x – cos²x – 5sinxcosx = 0 – однородное

Учащиеся должны назвать вид уравнения и объяснить, как его можно решить. Учитель предлагает учащимся выбрать и решить по одному уравнению.

4.

5.

7. Домашнее задание.

«Сувенирная лавка». Без подарков домой не возвращаются, забегаем в сувенирную лавку забираем уравнения домой.

Таблица 6 (Приложение 10)

Домашнее задание. («3»)

3 sin² x + 5 sin x cos x + 2cos ² x =0

tg x(sin x-1)=0

2sin x — cos x = 0

2sin²x – 5sinx + 2 = 0

5sin x +6cos x = 0

4 tg x –tg ²x = 0

4 sin² x + 5 sin x cos x + cos² x =0

Домашнее задание. («4»)

3cos²x – sinx – 1 =0

2

sin² x — 5 sin x cos x + 4cos² x =0

2sinx – 3cosx = 0

sin²x – 5sinx ∙ cosx + 6cos²x = 0

2 sin² x=1+cos x

3cos x = 4 cos² x

Домашнее задание. («5»)

4sin²x – 2sinxcosx = 3

сos² x+cos x = 0

sin x — 2cos x = 0

3 sin² 2x – 2= sin 2x cos2 x

2sin² x = 1 + cos x

sinx +cosx = 0

2cos² x +cos x=0

8. Рефлексия.

Лист учёта знаний (Приложение 11)

Ф. И. обучающегося

Таблица 7

Виды деятельности

на уроке

Максимальное

количество

баллов

ИТОГО

1

Устно: 1) Вычисления значений обратных тригонометрических величин

5

2) частные случаи тригонометрических уравнений

7

2

Работа в группе:

—  участвовал в обсуждении проблемы

— доказывал свою точку зрения

— выполнял практическую работу

3

3

Распределение уравнений по методам решения

5 (1 балл за каждую группу)

4

Решение уравнений

2

5

Активность на уроке

3

Всего баллов:

25

«3» — 10-15 баллов,

«4» — 16-20 баллов,

«5» — 21-25 баллов

Оценка

Дорогое ребята! Спасибо вам за работу на уроке. Урок окончен. До свидания!

Урок «Решение тригонометрических уравнений» 10 класс

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение –

средняя общеобразовательная школа №12

Открытый урок

по алгебре и началам анализа

в 10 классе

по теме: «Решение тригонометрических уравнений»

подготовила

учитель математики

МБОУ СОШ №12

ст. Новониколаевской

Панасенко Н.В.

Цели урока:

1. Образовательные — повторение, обобщение, систематизация и углубление материала темы.

2. Развивающие –формирование умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного, логически излагать мысли, делать выводы, развивать речь, внимание и память.

3. Воспитательные – воспитание ответственности, активности, настойчивости, мобильности, общей культуре.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование: интерактивная доска, компьютер, мультимедийный проектор.

План урока.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашней работы. Устная работа.

3. Работа в группах.

4. Систематизация теоретического материала. Объяснение нового.

5. Физкультминутка. Релаксация.

6. Проверочный тест.

7. Домашнее задание. Итог урока.

8. Рефлексия.

Ход урока:

1. Организационный момент

Сегодня заключительный урок по теме «Решение тригонометрических уравнений». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений. Задания по решению тригонометрических уравнений встречаются в вариантах ЕГЭ. Перед вами стоит задача — показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений.

2. Проверка домашней работы

Необходимо сдать домашние работы по группам.

Домашняя работа состояла в то, что все учащиеся класса были разбиты по группы (3 уровня сложности: легкий уровень, средний уровень и усложненный уровень). Задания учащиеся получили заранее до урока и оцениваются самими учащимися по готовым решения на интерактивной доске.

Задания легкого уровня.

Решите уравнения:

1. sin x =1

2. cos ²x/2- sin² x/2=-1/2

3. cos ²x+3 sin x cos x=0

4. (tg x -2) (tg x +2)=1

Задания среднего уровня.

Решите уравнения:

1. cos (x/2-π/3)=1/2

2. 2sin² x—5sin x+2=0

3. (2 tg x/2) / (1- tg ²x/2)=2 cos π/6

4. cos ⁴x/4- sin⁴ x/4=-1

5. Сколько корней имеет уравнение sin x+ sin 3x=0 на отрезке [0; π]

Задания усложненного уровня.

Решите уравнения:

1. √3cos (x—π/3)=3/2

2. cos (x+π/4)= cos (2x-π/3)

3. Найдите наименьший по абсолютной величине корень уравнения 4cos ²x+3 sin x cos x—2sin² x =2

4. 2sin x+ 3cos x=3

5. Сколько корней имеет уравнение sin x/8 * cos x/8* cos x/4 *cos x/2=1/16 на отрезке [π/6; 13π/6]

6. Найдите ординаты общих точек графиков функций у= 2tg x и у= 1+сtg x

Устно (повторение изученного материала)

А) Ответьте на вопросы:

1) каково будет решение уравнения cos x=a при |a | > 1 ? [Нет решения]

2) чему равен sin П/6; cosП/2; arсcos ½; arcsin 1? Arctg 0,

2) при каком значении а уравнения sin x =a , cos x=a имеют решения? [Если |a | ≤ 1]

3) какой формулой выражаются решения уравнений sin x =a ,

cos x=a ? при условии |a | ≤ 1

4) назовите частные случаи решения уравнений sin x =a ,

cos x=a , если a = -1; 0; 1

5) чему равен arсcos(-a) ? [π- arсcos a]

6) в каком промежутке находится arctg a ? [-π/2; π/2], чему равен arcctg(- a) ? ( π- arcctg a)

7) какой формулой выражается решение уравнения tg x= a?

8) в каком промежутке находится arcсtg a ? (0;π)

9) какой формулой выражается решение уравнений ctg x =a ? (x= arcctg a +πn, n Z)

Б) В каждом из приведенных примеров сделаны ошибки. Назовите верный ответ и подумайте о причине ошибки.

1. 1. arcsin 45= √2/2 (неопределенно)

1. 2. arcos (-1/2) = -π/3 (2π/3 )

1. 3. arcsin 3 = arcsin 1*3= π/4*3= 3π/4 (не существует)

1. 4. arctg 1= arctg π/4 (π/4)

1. 5. arctg (√3)= — π/6 ( 3π/4)

1. 6. cos x=1/2 , х = ± π/6 + 2πк, к Z

Верно : cos x=1/2 , х = ± π/3 + 2πк, к Z

Ошибка в вычислении значений тригонометрической функции

2) sin x =√ 3/2 , x = π/3 + πк, к Z

Верно : sin x =√ 3/2 , x = (-1)^к π/3 + πк, к Z

Ошибка в формуле нахождения решения уравнения sin x =a

3) cos x/3 =√ 2/2 , x/3 = ± π/4 + 2 πк ; x = ± 3π/4 + 2 πк/3, к Z

Верно : cos x/3 =√ 2/2 , x/3 = ± π/4 + 2 πк ; x = ± 3π/4 + 6 πк, к Z

Ошибка в выполнении деления

4) sin 2x =1/3, x = (-1/2)ⁿarcsin1/3 + πn, n Z

Верно : sin 2x =1/3 , x = (-1)ⁿ/2 arcsin1/3 + πn/2, n Z

Вычислительная ошибка

5) cos x = -1/2, x = ±(-π/3) + 2πm, m Z

Верно : cos x = -1/2, x = ±2π/3 + 2πm, m Z

По определению arcсos(-π/3) [0;π]

6) cos x =√10/3, x = arcсos√10/3 + 2πn, n Z

x— не существует, так как √10/3 не удовлетворяет условию | cos x | ≤ 1

7) tg x =-1, x =- π/4 + 2πn, n Z

Верно : tg x =-1, x = -π/4 + πn, n Z

В периоде

8) ctg x =-√3/3, x= -π/3+πm, m Z

Верно : ctg x =-√3/3, x= 2π/3+πm, m Z

По определению arcсos(-π/3) [0;π]

3. Работа в группах

А теперь выберите одно из предложенных уравнений и решите его.

На экране проецируется задание.

На оценку

1 вариант

2 вариант

«3»

«4»

«5»

2 cos²х + 5 sin х — 4=0

cos 2х + cos х =0

√2 sin (x/2) + 1 = cos х

Ответы

(-1)^k π/6 + πk, k Z

^{π + 2πk, k Z}

^± π/3 + 2 πn, n Z

2 πk, k Z

(-1)^k π/2+2πn,n Z

3 sin x — 2 cos²x =0

cos 2x + sin x =0

√2cos(x/2) + 1=cos x

Ответы

(-1)^k π/6 + πk, k Z

π/2 + 2πk, k Z

(-1)^k+1 π/6 + πn, n Z

^{π + 2πk, k Z}

^± π/2 + 4πn, n Z

Проверьте свое решение с ответами

На экране проецируются ответы

4. Систематизация теоретического материала.

Классификация тригонометрических уравнений.

На доске написаны уравнения разных типов. Учащиеся должны определить тип и методы решения уравнений.

sin x/2 =1/2

cos (x +π/3)=1

sin 2x =-√3/2

Это простейшие тригонометрические уравнения типа sin f(x)=a, которые решаются сначала относительно f(x), а затем полученные уравнения решаются относительно х по известным формулам.

2sin² x-7 cos x-5=0

2 cos ²3x+ sin 3x-1=0

сtg x-√3tg x+1=√3

Эти уравнения приводятся к алгебраическим путем введения новой переменной и сведению его к квадратному уравнению.

sin² x- sin x=0

cos ²x+ sin x cos x=1

5 sin x+3 sin2x=0

Данные уравнения решаются разложением на множители. При решении таких уравнений нужно пользоваться правилом: произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

2sin x-3 cos x=0

4 sin² x+2 sin x cos x=3

Однородные уравнения первой (второй) степени. Они решаются делением обеих частей уравнения на cos x (sin x), cos ²x (sin² x)

sin x+ sin 3x=4cos ³x

cos 2x+ cos x=0

cos 3x*cos 2x= sin3 x *sin 2x

2sin² x+ cos 4x=0

Данный тип уравнений решается с помощью формул сложения, понижения степеней и разложения произведения тригонометрических функций в сумму.

cos x- √3sin x=2

2 cos x+ 2sin x=√6

√3 cos x+ sin x=2

Уравнения вида a cosx+ b sinx = c, где a;b; c 0. Решаются методом введения вспомогательного аргумента.

2 cos 3x+4 sin x/2=7

2 cos 3x+ cos x=-8

3 cos 3x+ cos x=4

Данные уравнения решаются оценкой левой и правой частей

5. Физкультминутка

А сейчас давайте немного отдохнем. Для этого я предлагаю выполнить несколько упражнений.

Упражнение 1. Цель этого упражнения — устранение вредных эффектов от неподвижного сидения в течение длительного периода времени и профилактика грыжи межпозвоночных дисков поясничного отдела.

• В положении стоя положите руки на бедра.

• Медленно отклоняйтесь назад, глядя на небо или в потолок.

• Вернитесь в исходное положение.

Повторите 10 раз.

Упражнение 2. Цель — укрепление мышц задней стороны шеи для улучшения осанки и предотвращения болей в области шеи.

Поза: сидя или стоя

Смотрите прямо перед собой, а не вверх и не вниз.

Надавите указательным пальцем на подбородок.

Сделайте движение шеей назад.

Совет: совершая это движение, продолжайте смотреть прямо перед собой, не смотрите вверх или вниз. Для этого представьте, что кто-то, стоящий позади вас, тянет за нить, проходящую через ваш подбородок. Оставайтесь в этом положении в течение 5 секунд.
Повторите 10 раз.

К однородным уравнениям после применения формул тригонометрии могут быть сведены различные тригонометрические уравнения, которые первоначально не были однородными.

Рассмотрим уравнение: А sin² х + В sinх cos х + С cos²х = D, преобразуем данное уравнение А sin² х + В sinх cos х + С cos²х =D (sin² х + cos²х)

или (А –D) sin² х + В sinх cos х + (С-D) cos²х =0.

Уравнение A sin x+ B cos x = С также не является однородным. Но после выполнения ряда преобразований данное уравнение становится однородным уравнение второго порядка:

A sin x+ B cos x = С

A sin 2 (x/2) + B cos 2(x/2) = С

2 A sin(x/2) cos(x/2) + В (cos²(x/2) — sin²(x/2) )= С (sin²(x/2) + cos²(x/2)). А теперь давайте решим следующее уравнение.

Решить уравнение 2 sin x+ cos x=2, используя нужные методы

sin x=2 sin x/2 cos x/2

cos x= cos² x/2- sin² x/2

2=2*1=2 *(sin² x/2+ cos ²x/2)

4 sin x/2 cos x/2+ cos ²x/2- sin² x/2=2 sin² x/2+2 cos ²x/2

4 sin x/2 cos x/2+ cos ²x/2- sin² x/2-2 sin² x/2-2 cos ²x/2=0

4 sin x/2 cos x/2- cos ²x/2-3 sin² x/2=0

Если cos x/2=0 , то должно выполняться равенство sin² x/2=0, а синус и косинус одновременно быть равными нулю не могут. Поэтому можно обе части уравнения разделить на cos ²x/2 и получить уравнение, равносильное данному

3tg ²x/2-4 tg x/2+1=0

Пусть tg x/2=у, получим квадратное уравнение

3у²—4у+1=0

Д=16-12=4, Д>0, уравнение имеет два различных корня

у₁=1; у₂=1/3

Итак, tg x/2=1 или tg x/2=1/3

x/2= arctg1 +πn, n Z x/2= arctg1/3 +πк, к Z

x/2= π/4 +πn, n Z x= 2arctg1/3 +2πк, к Z

x= π/2 +2πn, n Z

Ответ: x= π/2 +2πn, n Z , x= 2arctg1/3 +2πк, к Z

Вопрос: Какие методы были использованы при решении уравнения (тригонометрические тождества, однородное уравнение, введение новой переменной)

6. Проверочный тест

На экране проецируется задание.

На оценку

1 вариант

2 вариант

«3»

«4»

«5»

3 sin x+ 5 cos x = 0

5 sin² х — 3 sinх cos х — 2 cos²х =0

3 cos²х + 2 sin х cos х =0

5 sin² х + 2 sinх cos х — cos²х =1

2 sin x — 5 cos x = 3

1- 4 sin 2x + 6 cos²х = 0

2 cos x+ 3 sin x = 0

6 sin² х — 5 sinх cos х + cos²х =0

2 sin² x – sin x cosx =0

4 sin² х — 2sinх cos х — 4 cos²х =1

2 sin x — 3 cos x = 4

2 sin² х — 2sin 2х +1 =0

Учитель: Ребята, проверьте свое решение с ответами.

На экране проецируются ответы

1 вариант

2 вариант

«3»

«4»

«5»

— arctg 5/3+ πk, k Z.

π/4 + πk; — arctg 0,4 + πn, k, n Z.

π/2 + πk; — arctg 1,5 + πn, k, n Z.

π/4 + πk; — arctg 0,5 + πn, k, n Z.

arctg ( — 1 ± √5) + πk, k Z.

π/4 + πk; arctg 7 + πn, k, n Z.

— arctg 2/3+ πk, k Z.

arctg 1/3+ πk; arctg 0,5 + πn, k, n Z.

πk; arctg 0,5 + πn, k, n Z.

-π/4 + πk; — arctg 5/3 + πn, k, n Z.

arctg ( 2 ± √11) + πk, k Z.

π/4 + πk; arctg 1/3 + πn, k, n Z.

7. Домашняя работа

Решить уравнения, выбирая наиболее рациональный способ решения.

1. √3 cos 2 x+ sin 2x=2

2. cos x/2- sin x/2=√6/2

3. 2 cos x+5 sin x+2=0

4. 2 cos x+3 sin x=3

8. Итог работы

Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомнили формулы решения простейших тригонометрических уравнений, рассмотрели общие подходы решения тригонометрических уравнений, закрепили навыки и проверили умения решать тригонометрические уравнения, познакомились с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

Я думаю, что у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения. И у меня появилась уверенность, что с решением тригонометрических уравнений большинство из вас справится.

Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока:

— Что нового узнали на уроке?

— Испытывали ли вы затруднения при выполнении самостоятельной работы?

— Какие из способов решения тригонометрических уравнений из рассмотренных оказались наиболее трудными?

— Какие проблемы у вас возникли по окончании урока?

Спасибо вам за работу на уроке. Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Благодарю вас за помощь в проведении урока. Надеюсь на дальнейшее сотрудничество. Урок окончен.