Квадратичные уравнения формулы: Квадратное уравнение – Квадратные уравнения — урок. Алгебра, 8 класс.

Решение квадратного уравнения формулы

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Решение квадратного уравнения


Решение квадратного уравнения формулы

Приведенное квадратное уравнение

Приведенное квадратное уравнение

Квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом

Квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом

Пропорция « Предыдущая запись Квадратный трехчлен Следующая запись »

Решение квадратных уравнений: формула корней, дискриминант, график

Квадратное уравнение – это математическое уравнение, которое в общем виде выглядит так:

ax+ bx + c = 0

Это многочлен второго порядка с 3 коэффициентами:

  • a – старший (первый) коэф., не должен быть равен 0;
  • b – средний (второй) коэф.;
  • c – свободный элемент.

Решением квадратного уравнения является нахождение двух чисел (его корней) – x1 и x2.

Формула для вычисления корней

Для нахождения корней квадратного уравнения используется формула:

Формула для нахождения корней квадратного уравнения

Выражение внутри квадратного корня называется дискриминантом и обозначается буквой D (или Δ):

D = b2 – 4ac

Таким образом, формула для вычисления корней может быть представлена разными способами:

1. Если D>0, у уравнения есть 2 корня:

Формула для нахождения корней квадратного уравнения

2. Если D=0, уравнение имеет всего один корень:

Формула для нахождения корней квадратного уравнения при нулевом дискриминанте

3. Если D<0, вещественных корней нет, но есть комплексные:

Формула для нахождения комплексных корней квадратного уравнения

Решений квадратных уравнений

Пример 1

3x2+5x+2 = 0

Решение:

a = 3, b = 5, c = 2

Решение квадратного уравнения

x= (-5 + 1)/6 = -4/6 = -2/3
x= (-5 – 1)/6  = -6/6 = -1

Пример 2

3x2-6x+3 = 0

Решение:

a = 3, b = -6, c = 3

Решение квадратного уравнения

x= x= 1

Пример 3

x2+2x+5 = 0

Решение:

a = 1, b = 2, c = 5

Решение квадратного уравнения

В данном случае нет вещественных корней, а решением являются комплексные числа:

x= -1 + 2i
x= -1 – 2i

График квадратичной функции

Графиком квадратичной функции является парабола.

f(x) = ax2 + bx + c

График квадратичной функции

  • Корни квадратного уравнения – это точки пересечения параболы с осью абцисс (X).
  • Если корень один – парабола касается оси в одной точке, не пересекая ее.
  • При отсутствии вещественных корней (наличии комплексных), график с осю X не соприкасается.

Ещё одна формула корней квадратного уравнения — урок. Алгебра, 8 класс.

Мы с тобой уже привыкли к тому, что корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0 находятся по формуле x1,2=−b&PlusMinus;b2−4⋅a⋅c2a

 

(если, конечно, дискриминант D=b2−4ac — неотрицательное число; если же \(D < 0\), то приведённая формула не имеет смысла, а квадратное уравнение не имеет корней).

 

Но математики никогда не пройдут мимо возможности облегчить себе вычисления.

Они обнаружили, что формулу x1,2=−b&PlusMinus;b2−4⋅a⋅c2a можно упростить в случае, когда коэффициент \(b\) есть чётное число.

 

В самом деле, пусть у квадратного уравнения ax2+bx+c=0 коэффициент \(b\) имеет вид \(b = 2k\). Подставив в формулу x1,2=−b&PlusMinus;b2−4⋅a⋅c2a число \(2k\) вместо \(b\), получим: x1,2=−2k&PlusMinus;2k2−4ac2a=−2k&PlusMinus;4k2−4ac2a=−2k&PlusMinus;4k2−ac2a=−2k&PlusMinus;2k2−ac2a==2−k&PlusMinus;k2−ac2a=−k&PlusMinus;k2−aca.

Корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0 можно вычислять по формуле x1,2=−k&PlusMinus;k2−aca.

Сравни эту формулу с формулой x1,2=−b&PlusMinus;b2−4⋅a⋅c2a. В чем её преимущества?

 

Во-первых, в квадрат возводится не число \(b\), а его половина k=b2.

Во-вторых, вычитается из этого квадрата не \(4ac\), a просто \(ac\).

В-третьих, в знаменателе содержится не \(2a\), а просто \(a\).

 

Как видишь, по крайней мере в трёх моментах мы облегчаем себе выкладки.

Особенно приятно выглядит формула x1,2=−k&PlusMinus;k2−aca для приведённого квадратного уравнения, т. е. для случая, когда \(a = 1\).

Тогда получаем x1,2=−k&PlusMinus;k2−c.

Это формула корней уравнения x2+2kx−c=0.

 

Итак, если тебе встретилось квадратное уравнение вида x2+2kx−c=0, то советуем пользоваться формулой x1,2=−k&PlusMinus;k2−aca (или x1,2=−k&PlusMinus;k2−c — в случае, когда \(a = 1\)), поскольку вычисления будут проще.

 

Но если ты опасаешься запутаться в обилии формул, то пользуйся привычной общей формулой корней квадратного уравнения:

x1,2=−b&PlusMinus;b2−4⋅a⋅c2a.

Квадратные уравнения, формулы и примеры

Определение и формула квадратного уравнения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Уравнение вида называется
квадратным уравнением
.

Изучению квадратных уравнений были посвящены труды ученых древности, тому свидетельством являются найденные древние вавилонские глиняные таблички (1800-1600 г.г. до н.э.). На них представлены методы решения некоторых типов квадратных уравнений.

Древнеиндийский математик Баудхаяма в 8 веке до н.э. впервые использовал квадратные уравнения в форме и , а также привел их решения.

Вавилонские математики примерно с 4 века до н.э. и китайские математики примерно со 2 века до н.э. использовали метод дополнения (выделения полного) квадрата для решения уравнений с положительными корнями. Около 300 года до н.э. древнегреческий математик Евклид ( г. до н.э.- г. до н.э.) придумал более общий геометрический метод решения таких уравнений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Число называется дискриминантом квадратного уравнения.

В зависимости от знака дискриминанта квадратное уравнение может иметь различное количество корней как действительных, так и комплексных.

Примеры решения квадратных уравнений

Случай 1. Если дискриминант , то квадратное уравнение (1) имеет два различных действительных корня, которые находятся по формулам:

   

Случай 2. Если дискриминант , то квадратное уравнение (1) имеет два совпадающих действительных корня (или корень кратности два), который вычисляется по формуле:

   

ПРИМЕР 2
Задание Найти корни квадратного уравнения .
Решение Вычислим дискриминант:

   

Так как дискриминант равен нулю, то, следовательно, квадратное уравнение имеет двукратный корень

   

Ответ .

Случай 3. Если дискриминант , то уравнение (1) имеет два комплексно сопряженных корня:

   

где называется мнимой единицей, удовлетворяющей соотношению .

ПРИМЕР 3
Задание Решить уравнение .
Решение Дискриминант уравнения

   

Так как дискриминант отрицателен, то квадратное уравнение имеет пару комплексно сопряженных корней:

   

Ответ .
Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *