Решение квадратного уравнения формулы
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.
Решение квадратного уравнения
Приведенное квадратное уравнение
Квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом
« Предыдущая запись Следующая запись »Решение квадратных уравнений: формула корней, дискриминант, график
ax2 + bx + c = 0
Это многочлен второго порядка с 3 коэффициентами:
- a – старший (первый) коэф., не должен быть равен 0;
- b – средний (второй) коэф.;
- c – свободный элемент.
Решением квадратного уравнения является нахождение двух чисел (его корней) – x1 и x2.
Формула для вычисления корней
Для нахождения корней квадратного уравнения используется формула:
Выражение внутри квадратного корня называется дискриминантом и обозначается буквой D (или Δ):
D = b2 – 4ac
Таким образом, формула для вычисления корней может быть представлена разными способами:
1. Если D>0, у уравнения есть 2 корня:
2. Если D=0, уравнение имеет всего один корень:
3. Если D<0, вещественных корней нет, но есть комплексные:
Решений квадратных уравнений
Пример 1
3x2+5x+2 = 0
Решение:
a = 3, b = 5, c = 2
x1 = (-5 + 1)/6 = -4/6 = -2/3
x2 = (-5 – 1)/6 = -6/6 = -1
Пример 2
3x2-6x+3 = 0
Решение:
a = 3, b = -6, c = 3
x1 = x2 = 1
Пример 3
x2+2x+5 = 0
Решение:
a = 1, b = 2, c = 5
В данном случае нет вещественных корней, а решением являются комплексные числа:
x1 = -1 + 2i
x2 = -1 – 2i
График квадратичной функции
Графиком квадратичной функции является парабола
.f(x) = ax2 + bx + c
- Корни квадратного уравнения – это точки пересечения параболы с осью абцисс (X).
- Если корень один – парабола касается оси в одной точке, не пересекая ее.
- При отсутствии вещественных корней (наличии комплексных), график с осю X не соприкасается.
Ещё одна формула корней квадратного уравнения — урок. Алгебра, 8 класс.
Мы с тобой уже привыкли к тому, что корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0 находятся по формуле x1,2=−b±b2−4⋅a⋅c2a
(если, конечно, дискриминант D=b2−4ac — неотрицательное число; если же \(D < 0\), то приведённая формула не имеет смысла, а квадратное уравнение не имеет корней).
Но математики никогда не пройдут мимо возможности облегчить себе вычисления.
Они обнаружили, что формулу x1,2=−b±b2−4⋅a⋅c2a можно упростить в случае, когда коэффициент \(b\) есть чётное число.
В самом деле, пусть у квадратного уравнения ax2+bx+c=0 коэффициент \(b\) имеет вид \(b = 2k\). Подставив в формулу x1,2=−b±b2−4⋅a⋅c2a число \(2k\) вместо \(b\), получим: x1,2=−2k±2k2−4ac2a=−2k±4k2−4ac2a=−2k±4k2−ac2a=−2k±2k2−ac2a==2−k±k2−ac2a=−k±k2−aca.
Корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0 можно вычислять по формуле x1,2=−k±k2−aca.
Сравни эту формулу с формулой x1,2=−b±b2−4⋅a⋅c2a. В чем её преимущества?
Во-первых, в квадрат возводится не число \(b\), а его половина k=b2.
Во-вторых, вычитается из этого квадрата не \(4ac\), a просто \(ac\).
В-третьих, в знаменателе содержится не \(2a\), а просто \(a\).
Как видишь, по крайней мере в трёх моментах мы облегчаем себе выкладки.
Особенно приятно выглядит формула x1,2=−k±k2−aca для приведённого квадратного уравнения, т. е. для случая, когда \(a = 1\).
Тогда получаем x1,2=−k±k2−c.
Это формула корней уравнения x2+2kx−c=0.
Итак, если тебе встретилось квадратное уравнение вида x2+2kx−c=0, то советуем пользоваться формулой x1,2=−k±k2−aca (или x1,2=−k±k2−c — в случае, когда \(a = 1\)), поскольку вычисления будут проще.
Но если ты опасаешься запутаться в обилии формул, то пользуйся привычной общей формулой корней квадратного уравнения:
x1,2=−b±b2−4⋅a⋅c2a.
Квадратные уравнения, формулы и примеры
Определение и формула квадратного уравнения
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Уравнение вида называется квадратным уравнением.Изучению квадратных уравнений были посвящены труды ученых древности, тому свидетельством являются найденные древние вавилонские глиняные таблички (1800-1600 г.г. до н.э.). На них представлены методы решения некоторых типов квадратных уравнений.
Древнеиндийский математик Баудхаяма в 8 веке до н.э. впервые использовал квадратные уравнения в форме и , а также привел их решения.
Вавилонские математики примерно с 4 века до н.э. и китайские математики примерно со 2 века до н.э. использовали метод дополнения (выделения полного) квадрата для решения уравнений с положительными корнями. Около 300 года до н.э. древнегреческий математик Евклид ( г. до н.э.- г. до н.э.) придумал более общий геометрический метод решения таких уравнений.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Число называется дискриминантом квадратного уравнения.В зависимости от знака дискриминанта квадратное уравнение может иметь различное количество корней как действительных, так и комплексных.
Примеры решения квадратных уравнений
Случай 1. Если дискриминант , то квадратное уравнение (1) имеет два различных действительных корня, которые находятся по формулам:
Случай 2. Если дискриминант , то квадратное уравнение (1) имеет два совпадающих действительных корня (или корень кратности два), который вычисляется по формуле:
ПРИМЕР 2
Задание | Найти корни квадратного уравнения . |
Решение | Вычислим дискриминант:
Так как дискриминант равен нулю, то, следовательно, квадратное уравнение имеет двукратный корень
|
Ответ | . |
Случай 3. Если дискриминант , то уравнение (1) имеет два комплексно сопряженных корня:
где называется мнимой единицей, удовлетворяющей соотношению .
ПРИМЕР 3Задание | Решить уравнение . |
Решение | Дискриминант уравнения
Так как дискриминант отрицателен, то квадратное уравнение имеет пару комплексно сопряженных корней:
|
Ответ | . |
Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||