Квадратное уравнение разложить на множители онлайн: Разложение трёхчлена на множители. Онлайн калькулятор.

Содержание

Разложение трёхчлена на множители. Онлайн калькулятор.

y=x2+x+

Правила ввода

Если вы хотите ввести неполную квадратичную параболу y=ax², y=ax²+bx или y=ax²+c вам нужно вместо соответствующих коэффициентов вписать 0. Если поля останутся пустыми программа впишет 1.

Вводить можно целые(1, 2, 3, -7), десятичные(0.25, -1.15), дробные(-1/8, 32/9). Если необходимо ввести смешанное число, то нужно перед вводом перевести его в неправильную обыкновенную дробь. Т.е. 1 целая 1/2 вводить нужно будет как 3/2.

Формула разложения квадратного трёхчлена на множители

ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂),где a≠0, x₁ и x₂ нули параболы

Квадратный трёхчлен можно разложить на множители только если он имеет хотя бы один корень.

Вывод формулы разложения квадратного трёхчлена на множители

Для доказательства воспользуемся теоремой Виета. Согласно которой корни квадратного уравнения ax²+bx+c=0 образуют с его коэффициентами следующее соотношение x₁+x₂=-b/a, x₁×x₂=c/a. 2-x_1x-x_2x+x_1x_2)=\) \(=a(x(x-x_1)-x_2(x-x_1))=\) \(=a(x-x_1)(x-x_2)\)

Примеры разложения трёхчлена на множители

1) Разложим квадратный трёхчлен y=-2x²-22x-60 Для разложения необходимо найти корни уравнения Найдём дискриминант D=(-22)²-4×(-2)×(-60)=4 x₁=(-(-22)-2)/(2×(-2))=-5 x₂=(-(-22)+2)/(2×(-2))=-6 Воспользуемся формулой разложения ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂) Подставим в формулу корни уравнения ax²+bx+c=-2(x+5)(x+6)

2) Разложим квадратный трёхчлен y=9x²-6x+1 Для разложения необходимо найти корни уравнения Найдём дискриминант D=(-6)²-4×9×1=0 x=-(-6)/(2×9)=1/3 Воспользуемся формулой разложения ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂) Так как у нас один корень то вместо x₁ и x₂ запишем его ax²+bx+c=9(x-1/3)(x-1/3)

3) Разложим на множители y=3x²+6x Для разложения необходимо найти корни уравнения Вынесем 3x за скобку 3x(x+2)=0 x₁=0 x₂=-2 Воспользуемся формулой разложения ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂) Подставим в формулу корни уравнения ax²+bx+c=3(x+0)(x+2)

Похожие калькуляторы

Раздожение квадратного трехчлена на множители

Разложение квадратного трехчлена на линейные множители можно выполнить, используя следующую теорему.

Теорема

(О разложении квадратного трёхчлена на множители)

1) Если квадратное уравнение

   

имеет два корня x1 и x2, квадратный трёхчлен ax²+bx+c можно разложить на множители по формуле

   

2) Если уравнение имеет один корень x1, квадратный трёхчлен можно представить в виде

   

3) Если уравнение не имеет корней, то квадратный трёхчлен ax²+bx+c в действительных числах не раскладывается на множители.

Примеры разложения квадратного трёхчлена на линейные множители.

   

Чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители, надо решить квадратное уравнение

   

   

   

   

   

   

Подставляем a=2, x1=3, x2= -1/2 в формулу

   

Получаем

   

   

Удобно внести 2 во вторые скобки. Для этого 2 умножим на каждое слагаемое в этих скобках:

   

   

Таким образом,

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Квадратный трехчлен раскладываем на множители по формуле

   

   

Чтобы внести множитель в скобки, представим его как квадрат (чтобы воспользоваться свойством степеней a²b²=(ab)²): 9=3².

   

   

Корни квадратного уравнения можно найти через дискриминант (или дискриминант, делённый на 4), по теореме, обратной теореме Виета или используя формулы особых случаев.

Разложить квадратный трёхчлен на множители можно, не прибегая к помощи теоремы о разложении квадратного трёхчлена на множители. Для этого слагаемое с bx представляют в виде суммы или разности двух слагаемых и используют способ группировки.

Например,

   

   

   

Выбирайте для себя тот способ, который нравится лично вам, в котором вы чувствуете себя наиболее уверенно и не допускаете ошибок.

Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители в алгебре используется для сокращения дробей, при решении уравнений и неравенств, при построении графиков и т.д.

Разложение многочленов на множители

Пример 1. Разложить на множители многочлен 3x4 — 5x3 — 17x2 + 13x + 6.

Решение.

Многочлен четвертой степени может иметь самое большее 4 корня. Попытаемся найти эти корни.

Делители свободного члена: ±1, ±;2, ±3, ±6.

Делители старшего коэффициента: ±1, ±3.

Следовательно, рациональные корни многочлена можно искать среди чисел ±1, ±;2, ±3, ±6,

.

Подставив в многочлен x = 1, убеждаемся, что x = 1 является корнем многочлена. Значит, исходный многочлен надо разделить на x-1.

Воспользуемся схемой Горнера.

Итак, 3x4 — 5x3 — 17x2 + 13x + 6=(x — 1)(3x3 — 2x2 — 19x — 6).

Теперь надо разложить на множители многочлен 3x3 — 2x2 — 19x — 6.

Делители свободного члена: ±1, ±;2, ±3, ±6.

Делители старшего коэффициента: ±1, ±3.

То есть, его рациональные корни можно искать среди тех же чисел, что и корни исходного многочлена:
±1, ±;2, ±3, ±6, 

.

Подставив в многочлен x = -2, убеждаемся, что x = -2 является корнем многочлена. Значит, исходный многочлен надо разделить на x + 2.
Воспользуемся схемой Горнера.

Следовательно, 3x3

 — 2x2 — 19x — 6 = (x + 2)(3x2 — 8x — 3). Попробуем также понизить степень многочлена 3x2 — 8x — 3, хотя можно просто решить квадратное уравнение.

Делители свободного члена: ±1, ±;2, ±3.

Делители старшего коэффициента: ±1, ±3.

То есть, его рациональные корни можно искать среди чисел ±1, ±;2, ±3,

. Подстановкой проверяем, что подходят числа и 3. Все корни найдены, значит найдено и разложение на множители.

Ответ: 3x4 — 5x3 — 17x2 + 13x + 6 = 3(x — 1)(x + 2)(x — 3)(x + 

).

Пример 2. Разложить на множители многочлен x5 — 2x4 — 10x3 + 20x2 + 9x — 18.

Решение.

Многочлен пятой степени может иметь самое большее 5 корней. Попытаемся найти эти корни. Так как делитель старшего коэффициента равен 1, рациональные корни многочлена можно искать среди делителей свободного члена: ±1, ±;2, ±3, ±6, ±9, ±18.

Подставив в многочлен x = 1, убеждаемся, что x = 1 является корнем многочлена. Значит, исходный многочлен надо разделить на x-1. Воспользуемся схемой Горнера.

Итак, x5 — 2x4 — 10x3 + 20x2 + 9x — 18 = (x — 1)(x4 — x3 — 11x2 + 9x + 18). Аналогичным образом, рациональные корни многочлена x4 — x3 — 11x2 + 9x + 18 можно искать среди тех же делителей свободного члена:±1, ±;2, ±3, ±6, ±9, ±18. Подставив в многочлен x=2, убеждаемся, что x=2 является корнем многочлена. Значит, этот многочлен надо разделить на x-2.

Таким образом, x4 — x3 — 11x2 + 9x + 18 = (x — 2)(x3 + x2 — 9x — 9). Корни многочлена x3 + x2 — 9x — 9 можно искать среди делителей свободного члена 9:±1, ±3, ±9. Легко видеть, что x = 3 является корнем многочлена. Понизим степень этого многочлена, разделив его на x-3.

Следовательно, x3 + x2 — 9x — 9 = (x — 3)(x2 + 4x + 3). Корнями квадратного трехчлена x2 + 4x + 3 являются числа -1 и -3. Процесс поиска корней исходного многочлена завершен.

Ответ: x5 — 2x4 — 10x3 + 20x2 + 9x — 18 = (x — 1)(x + 1)(x — 2)(x — 3)(x + 3).

Разложение квадратного трёхчлена на множители доступным языком для учащихся, которые готовятся к ОГЭ и ЕГЭ | Хакнем Школа

#хакнем_математика 👈 рубрика, содержащая интересный, познавательный контент по математике как для школьников, так и для взрослых 🥳

Авторские права на изображение принадлежат медиагруппе «Хакнем» и защищены товарным знаком ®️

Авторские права на изображение принадлежат медиагруппе «Хакнем» и защищены товарным знаком ®️

ВСЁ о КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯХ и НЕРАВЕНСТВАХ

ЧАСТЬ I. РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОГО ТРЁХЧЛЕНА на МНОЖИТЕЛИ СПОСОБОМ ГРУППИРОВКИ

Здравствуйте, уважаемые читатели! Перед вами первая статья цикла «ВСЁ о КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯХ и НЕРАВЕНСТВАХ», задуманного для учеников старших классов, начиная с 9-го, готовящихся к ОГЭ или ЕГЭ. Как обычно, начну с определений.

Квадратное уравнение — это уравнение вида

где a, b и с — действительные числа, называемые коэффициентами квадратного уравнения, а ≠ 0 (иначе уравнение не будет квадратным) первый или старший коэффициент; b — второй коэффициент; с — свободный член, и х — неизвестная величина, значение которой надо найти, чтобы после подстановки его в уравнение оно превращалась бы в верное равенство.

Приведённое квадратное уравнение — это уравнение, у которого а = 1, имеет вид

но обычно его записывают в виде

где р — второй коэффициент и q — свободный член.

Квадратный трёхчлен — это выражение, стоящее в левой части квадратного уравнения и имеющее вид

Знакомство с квадратным трёхчленом начинается уже в 7-ом классе в теме РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ на МНОЖИТЕЛИ СПОСОБОМ ГРУППИРОВКИ. Казалось бы, какое отношение имеет квадратный трёхчлен к способу группировки, ведь здесь и группировать то нечего? Хорошо освоившие метод группировки, учащиеся догадаются, что трёхчлен следует превратить в четырёхчлен, но так, чтобы в каждой паре одночленов обязательно был одночлен с буквенным множителем х.

Для этого одночлен со вторым коэффициентом следует представить в виде суммы таких двух одночленов, чтобы произведение их числовых коэффициентов было равно свободному члену. Покажем, как это сделать на конкретных примерах, взятых из различных учебников для 7-го класса.

Пример 1. Разложить на множители многочлен

РЕШЕНИЕ. Представим одночлен 6х в виде суммы одночленов 2х + 4х:

ПРИМЕР 2. Разложить на множители квадратный трёхчлен

РЕШЕНИЕ.

ПРИМЕР 3. Представить квадратный трёхчлен в виде произведения.

РЕШЕНИЕ.

ПРИМЕР 4. Представить в виде произведения многочлен

РЕШЕНИЕ.

Мы рассмотрели разложение на множители квадратного трёхчлена с а=1. Обобщим полученные решения: можно заметить, что после представления одночлена со вторым коэффициентом в виде суммы одночленов число знаков «плюс» и/или число знаков «минус» чётно это может служить подсказкой для представления второго коэффициента в виде нужной суммы. Аналогично раскладываются на множители квадратные трёхчлены, у которых первый коэффициент принимает другие значения.

ПРИМЕР 5. Разложить на множители многочлен

РЕШЕНИЕ.

ПРИМЕР 6*. Разложить на множители квадратный трёхчлен

РЕШЕНИЕ. Заметим, что каждый одночлен трёхчлена делится на 3, поэтому

Разложение на множители записанного в скобках квадратного трёхчлена рассмотрено в решении примера № 2.

Отмечу, что не каждый квадратный трёхчлен можно разложить на множители, а о причине этого мы узнаем в одной из следующих статей.

В заключение статьи представлю достаточно широкую подборку квадратных трёхчленов для желающих отработать навыки подобного разложения квадратного трёхчлена на множители, которые в достаточно большом числе случаев помогут сократить время решения квадратных уравнений или неравенств и упрощение выражений с алгебраическими дробями, содержащих квадратные трёхчлены, особенно в заданиях с кратким ответом.

РАЗЛОЖИТЕ на МНОЖИТЕЛИ (№№ 1-54):

Не забудьте подписаться на канал Хакнем Школа и хэштег #хакнем_математика

Автор: #себихов_александр 71 год, много лет проработал конструктором-технологом микроэлектронных приборов и узлов в одном из НИИ г. Саратова, затем преподавателем математики и физики.

Читайте наш канал в телеграм — по этой ссылке

Другие статьи автора:

Если у вас есть познавательный материал, тёплые воспоминания и интересные истории из школьной жизни, которые вы хотели бы опубликовать в нашем канале, или вы просто хотите стать автором канала, напишите нам об этом 👉 [email protected] com

Как разложить квадратный трёхчлен на множители? Разложение квадратных трехчленов на множители: примеры и формулы.

Изучение многих физических и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые ВУЗы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса алгебры рассматривается только на немногочисленных факультативных или предметных курсах.
На мой взгляд, функционально-графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений с параметром.

Как известно, в отношении уравнений с параметрами встречаются две постановки задачи.

  1. Решить уравнение (для каждого значения параметра найти все решения уравнения).
  2. Найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения удовлетворяют заданным условиям.

В данной работе рассматривается и исследуется задача второго типа применительно к корням квадратного трехчлена, нахождение которых сводится к решению квадратного уравнения.
Автор надеется, что данная работа поможет учителям при разработке уроков и при подготовке учащихся к ЕГЭ.

1. Что такое параметр

Выражение вида 2 + bх + c в школьном курсе алгебры называют квадратным трехчленом относительно х, где a, b, c – заданные действительные числа, причем, a =/= 0. Значения переменной х, при которых выражение обращается в нуль, называют корнями квадратного трехчлена. Для нахождения корней квадратного трехчлена, необходимо решить квадратное уравнение

2 + bх + c = 0.
Вспомним из школьного курса алгебры основные уравнения aх + b = 0;
aх2 + bх + c = 0. При поиске их корней, значения переменных a, b, c, входящих в уравнение считаются фиксированными и заданными. Сами переменные называют параметром. Поскольку, в школьных учебниках нет определения параметра, я предлагаю взять за основу следующий его простейший вариант.

Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

2. Основные типы и методы решения задач с параметрами

Среди задач с параметрами можно выделить следующие основные типы задач.

  1. Уравнения, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству. Например. Решить уравнения: aх = 1, (a – 2)х = a 2 4.
  2. Уравнения, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров). Например. При каких значениях параметра a уравнение 4х 2 4 aх + 1 = 0 имеет единственный корень?
  3. Уравнения, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых корни уравнения (a – 2)х 2 2aх + a + 3 = 0 положительные.

Основные способы решения задач с параметром: аналитический и графический.

Аналитический – это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Рассмотрим пример такой задачи.

Задача № 1

При каких значениях параметра а уравнение х 2 2aх + a 2 – 1 = 0 имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)?

Решение

х 2 2aх + a 2 1 = 0.
По условию задачи уравнение должно иметь два различных корня, а это возможно лишь при условии: Д > 0.
Имеем: Д = 4a 2 – 2(а 2 – 1) = 4. Как видим дискриминант не зависит от а, следовательно, уравнение имеет два различных корня при любых значениях параметра а. Найдем корни уравнения: х 1 = а + 1, х 2 = а – 1
Корни уравнения должны принадлежать промежутку (1; 5), т.е.
Итак, при 2 а

Ответ: 2 а Такой подход к решению задач рассматриваемого типа возможен и рационален в тех случаях, когда дискриминант квадратного уравнения «хороший», т. е. является точным квадратом какого либо числа или выражения или корни уравнения можно найти по теореме обратной т.Виета. Тогда, и корни не представляют собой иррациональных выражений. В противном случае решения задач такого типа сопряжено с достаточно сложными процедурами с технической точки зрения. Да и решение иррациональных неравенств требует от ученика новых знаний.

Графический – это способ, при котором используют графики в координатной плоскости (х;у) или (х;а). Наглядность и красота такого способа решения помогает найти быстрый путь решения задачи. Решим задачу № 1 графическим способом.
Как известно из курса алгебры корни квадратного уравнения (квадратного трехчлена) являются нулями соответствующей квадратичной функции: У = х 2 – 2ах + а 2 – 1. Графиком функции является парабола, ветви направлены вверх (первый коэффициент равен 1). Геометрическая модель, отвечающая всем требованиям задачи, выглядит так.

Теперь осталось «зафиксировать» параболу в нужном положении необходимыми условиями.

    1. Так как парабола имеет две точки пересечения с осью х , то Д > 0.
    2. Вершина параболы находится между вертикальными прямыми х = 1 и х = 5, следовательно абсцисса вершины параболы х о принадлежит промежутку (1; 5), т.е.
      1 х о
    3. Замечаем, что у (1) > 0, у (5) > 0.

Итак, переходя от геометрической модели задачи к аналитической, получаем систему неравенств.

Ответ: 2 а

Как видно из примера, графический способ решения задач рассматриваемого типа возможен в случае, когда корни «нехорошие», т.е. содержат параметр под знаком радикала (в этом случае дискриминант уравнения не является полным квадратом).
Во втором способе решения мы работали с коэффициентами уравнения и областью значения функции у = х 2 – 2ах + а 2 – 1.
Такой способ решения нельзя назвать только графическим, т.к. здесь приходится решать систему неравенств. Скорее этот способ комбинированный: функционально-графический. 2 – 2x + 1 = 0.

Разложение квадратных трехчленов на множители относится к школьным заданиям, с которыми рано или поздно сталкивается каждый. Как его выполнить? Какова формула разложения квадратного трехчлена на множители? Разберемся пошагово с помощью примеров.

Общая формула

Разложение квадратных трехчленов на множители осуществляется решением квадратного уравнения. Это несложная задача, которую можно решить несколькими методами — нахождением дискриминанта, при помощи теоремы Виета, существует и графический способ решения. Первые два способа изучаются в средней школе.

Общая формула выглядит так: lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Алгоритм выполнения задания

Для того чтобы выполнить разложение квадратных трехчленов на множители, нужно знать теорему Вита, иметь под рукой программу для решения, уметь находить решение графически или искать корни уравнения второй степени через формулу дискриминанта. Если дан квадратный трехчлен и его надо разложить на множители, алгоритм действий такой:

1) Приравнять исходное выражение к нулю, чтобы получить уравнение.

2) Привести подобные слагаемые (если есть такая необходимость).

3) Найти корни любым известным способом. Графический метод лучше применять в случае, если заранее известно, что корни — целые и небольшие числа. Нужно помнить, что количество корней равно максимальной степени уравнения, то есть у квадратного уравнения корней два.

4) Подставить значение х в выражение (1).

5) Записать разложение квадратных трехчленов на множители.

Примеры

Окончательно понять, как выполняется это задание, позволяет практика. Иллюстрируют разложение на множители квадратного трехчлена примеры:

необходимо разложить выражение:

Прибегнем к нашему алгоритму:

1) х 2 -17х+32=0

2) подобные слагаемые сведены

3) по формуле Виета найти корни для этого примера сложно, потому лучше воспользоваться выражением для дискриминанта:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Подставим найденные нами корни в основную формулу для разложения:

(х-2,155) * (х-14,845)

5) Тогда ответ будет таким:

х 2 -17х+32=(х-2,155)(х-14,845)

Проверим, соответствуют ли найденные дискриминантом решения формулам Виета:

14,845 . 2,155=32

Для данных корней применяется теорема Виета, они были найдены правильно, а значит полученное нами разложение на множители тоже правильно.

Аналогично разложим 12х 2 +7х-6.

x 1 =-7+(337) 1/2

x 2 =-7-(337) 1/2

В предыдущем случае решения были нецелыми, но действительными числами, найти которые легко, имея перед собой калькулятор. Теперь рассмотрим более сложный пример, в котором корни будут комплексными: разложить на множители х 2 +4х+9. По формуле Виета корни найти не получится, и дискриминант отрицательный. Корни будут на комплексной плоскости.

D=-20

Исходя из этого, получаем нтересующие нас корни -4+2i*5 1/2 и -4-2i * 5 1/2 , поскольку (-20) 1/2 =2i*5 1/2 .

Получаем искомое разложение, подставив корни в общую формулу.

Еще один пример: нужно разложить на множители выражение 23х 2 -14х+7.

Имеем уравнение 23х 2 -14х+7 =0

D=-448

Значит, корни 14+21,166i и 14-21,166i. Ответ будет такой:

23х 2 -14х+7 =23(х-14-21,166i )*(х-14+21,166i ).

Приведем пример, решить который можно без помощи дискриминанта.

Пусть нужно разложить квадратное уравнение х 2 -32х+255. Очевидно, его можно решить и дискриминантом, однако быстрее в данном случае подобрать корни.

x 1 =15

x 2 =17

Значит х 2 -32х+255 =(х-15)(х-17).

Найдем сумму и произведение корней квадратного уравнения. Используя формулы (59.8) для корней приведенного уравнения, получим

(первое равенство очевидно, второе получается после несложного вычисления, которое читатель проведет самостоятельно; удобно использовать формулу для произведения суммы двух чисел на их разность).

Доказана следующая

Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену.

В случае неприведенного квадратного уравнения следует в формулы (60.1) подставить выражения формулы (60.1) примут вид

Пример 1. Составить квадратное уравнение по его корням:

Решение, а) Находим уравнение имеет вид

Пример 2. Найти сумму квадратов корней уравнения не решая самого уравнения.

Решение. Известны сумма и произведение корней. Представим сумму квадратов корней в виде

и получим

Из формул Виета легко получить формулу

выражающую правило разложения квадратного трехчлена на множители.

В самом деле, напишем формулы (60.2) в виде

Теперь имеем

что и требовалось получить.

Вышеуказанный вывод формул Виета знаком читателю из курса алгебры средней школы. Можно дать другой вывод, использующий теорему Безу и разложение многочлена на множители (пп. 51, 52).

Пусть корни уравнения тогда по общему правилу (52.2) трехчлен в левой части уравнения разлагается на множители:

Раскрывая скобки в правой части этого тождественного равенства, получим

и сравнение коэффициентов при одинаковых степенях даст нам формулы Виета (60.1).

Преимущество этого вывода состоит в том, что его можно применить и к уравнениям высших степеней с тем, чтобы получить выражения коэффициентов уравнения через его корни (не находя самих корней!). Например, если корни приведенного кубического уравнения

суть то согласно равенству (52.2) находим

(в нашем случае Раскрыв скобки в правой части равенства и собрав коэффициенты при различных степенях получим

В разных практических деятельностях человека вроде физики, инженерии, архитектуры и других точных наук, часто встречаются задачи с математическими моделями, какой являются уравнения, имеющие переменную (x) в иной степени. Именно они помогают учёным в изучении внешней среды и её использовании.

Квадратные уравнения

Квадратным называется равенство вида ax² + bc + c = 0, где x является переменой, a (первый коэффициент), b (второй) и c (свободный) — это действительные числа, которые должны приводить в условии задачи. Нужно помнить при решении, что a ≠ 0. Как уже понятно, оно очень отличается от линейного уравнения, его все изучали в младших классах школы.

Чтобы понять, как решать квадратные уравнения, нужно представить футбольное поле, длина которого на 10 метров больше его ширины, а площадь равна 380 квадратных метров. Нужно найти ширину футбольного поля.

Пусть переменная x — это определённая ширина, тогда её длина будет (х +10) метров. Потом x * (x + 10) = 380, ведь дана площадь 380 квадратных метров в условии задачи, то есть x² + 10x — 380 равно нулю. Здесь а = 1, b = 10, а c = -375 Это был один из примеров квадратных равенств.

Различают два вида уравнений:

  • Приведённые — это случай, когда в квадратном равенстве a = 1.
  • Непривёденные если a ≠ 1.

При этом x² — приведённое, а уже при 5x² оно станет непривёденным.

Понятие дискриминант

Существует определенная система решения таких уравнений. Чтобы найти чётный корень такого равенства, достаточно запомнить приведённую ниже формулу квадратного уравнения.

Буква D — это дискриминант. Звучит сложно, но не стоит пугаться, ведь с латинского языка слово переводится, как разность. Он равен: D = b² — 4 ac. Следуя этому, можно записать, что (2ax + b)² = D. Есть определенные правила, как надо решать дискриминант:

Пример первого способа нахождения через формулу дискриминанта квадратного уравнения и правильным разложением чисел:

  • 9х²-6х+1=0;
  • D = (-6)² — 4 × 9 ×1 = 0;
  • D эквивалентен нулю;
  • x = -6/2×9 = 1/3.

Как пример можно показать уравнивание: -8x² = 0, у которого b и с равны нулю. Или 2x² — 3 = 0, b ничему не равно. В уравнении -7x² + 4x² = 0 c эквивалентно нулю.

Разные квадратные уравнения

Помимо обычных дискриминантов, есть и половинные. Их ищут для равенств, у которых второй коэффициент — это чётное число, по формуле: D1 = 4 k² — 4 ac = 4 (k² — ac). Чтобы делать меньше ошибок, лучше использовать формулу со скобками. Благодаря этому в ответе получается четверть дискриминанта.

Квадратные равенства с комплексными переменными почти ничем не отличаются от плоскости действительных чисел и тем, которые должны проходить в восьмых классах. И чтобы без проблем их решать, нужно использовать формулу.

Если в квадратном равенстве хотя бы один из общих коэффициентов квадратного трехчлена B или C равен нулю, то такое равенство называют неполным.

Следовательно оно бывает только трёх видов:

Из истории математики

Неполные квадратные равенства и некоторые виды неизвестных корней вавилонские математики умели решить и создать ещё 4000 лет тому назад. Такие произведения в Древней Греции решали тем же способом. Люди, обладающие знаниями точных наук, решали некоторые квадратные уравнения геометрическими приёмами.

Это показал древнегреческий учёный Диофант . Много внимания таким уравнениям также выделял арабский математик Мухаммед Альхорезми. Он нашёл как решать уравнение видов: ах²=bx; ax²=c; ax²+bx=c; ax²+c=bx; bc+c=ax² и получил положительные корни.

Формулы, что связывают между собой корни равенства и его коэффициенты, впервые нашёл французский математик Франсуа Виет в 1591 году. Его заключения в современных обозначениях имеют вид: (а + b)x — x² = 0.

После быстрой публикации работы нидерландского математика Жераром, а также француза Декарда и англичанина Ньютона равенство корней квадратного уравнения приобрело современный вид.

Сейчас речь идёт о теореме Виета , на которую нужно обратить внимание. Её так называют из-за известного французского математика Франсуа Виета, которым и было открыто это свойство. Сумма корней сведенного квадратного равенства равно другому коэффициенту, взятому с отрицательным знаком, а произведение корней — свободному члену. Часто его записывают в таком виде: х² + px + q эквивалентно нулю.

Теорему можно сформулировать так .

Если х1 и х2 — корни сведенного квадратного равенства х²+px+q эквивалентны нулю, то х1 + х2 = -p; x1 * x2 = q. Поскольку a ≠ 0, поделим две части уравнения на а и получается современная формула: x² — b/a * x + c/a равно нулю.

Внеклассный урок — Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители

 

Квадратным трехчленом называется многочлен вида ax2 + bx + c, где x – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Коэффициент а называют старшим коэффициентом, cсвободным членом квадратного трехчлена.

 

Примеры квадратных трехчленов:

2x2 + 5x + 4   (здесь a = 2, b = 5, c = 4)

x2 – 7x + 5  (здесь a = 1, b = -7, c = 5)

9x2 + 9x – 9  (здесь a = 9, b = 9, c = -9)

 

Коэффициент b или коэффициент c либо оба коэффициента одновременно могут быть равны нулю. Например:

5x2 + 3(здесь a = 5, b = 3, c = 0, поэтому значение c в уравнении отсутствует).

6x2 – 8  (здесь a = 6, b = 0, c = -8)

2x2  (здесь a = 2, b = 0, c = 0)

 

Значение переменной, при котором многочлен обращается в ноль, называют корнем многочлена.

Чтобы найти корни квадратного трехчлена ax2 + bx + c, надо приравнять его к нулю –
 то есть решить квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 (см.раздел «Квадратное уравнение»).

 

Разложение квадратного трехчлена на множители

Трехчлен ax2 + bx + c, имеющий корни x1 и x2, можно разложить на множители
по следующей формуле:

a(x – x1)(x – x2).

 

Пример:

Разложим на множители трехчлен 2x2 + 7x – 4.

Мы видим: коэффициент а = 2.

Теперь найдем корни трехчлена. Для этого приравняем его к нулю и решим уравнение

2x2 + 7x – 4 = 0.

Как решается такое уравнение – см. в разделе «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант». Здесь же мы сразу назовем результат вычислений. Наш трехчлен имеет два корня:

x1 = 1/2, x2 = –4.

Подставим в нашу формулу значения корней, вынеся за скобки значение коэффициента а, и получим:

2x2 + 7x – 4 = 2(x – 1/2) (x + 4).

Полученный результат можно записать иначе, умножив коэффициент 2 на двучлен x – 1/2:

2x2 + 7x – 4 = (2x – 1) (x + 4).

Задача решена: трехчлен разложен на множители.

 

Такое разложение можно получить для любого квадратного трехчлена, имеющего корни.

ВНИМАНИЕ!

Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то этот трехчлен имеет один корень, но при разложении трехчлена этот корень принимают как значение двух корней – то есть как одинаковое значение x1 и x2.

К примеру, трехчлен имеет один корень, равный 3. Тогда x1 = 3, x2 = 3.

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Квадратный трёхчлен — это трёхчлен вида:

Чтобы найти корни квадратного трёхчлена, нужно решить квадратное уравнение:

Разложим квадратный трёхчлен на множители, применяя известные способы разложения на множители: вынесение общего множителя за скобки, способ группировки, разложение многочлена на множители с помощью формул сокращённого умножения.

Вынесем общий множитель за скобки:

Воспользуемся способом группировки:

Видим, что в разложении квадратного трёхчлена на множители нет случайных чисел, первый множитель является старшим коэффициентом квадратного трёхчлена, а далее записано произведение разностей переменной и одного из корней квадратного трёхчлена.

Запишем квадратный трёхчлен в общем виде:

Первым множителем является старший коэффициент, вторым — разность переменной и первого корня уравнения, третьим — разность переменной и второго корня уравнения.

Если квадратный трёхчлен имеет один корень, это значит что их два, но они одинаковые, тогда при разложении получится:

Если квадратный трёхчлен не имеет корней, то говорят, что его нельзя разложить на множители, являющиеся многочленами первой степени.

Выполним следующие задания:

1. Разложим на множители квадратный трёхчлен:

Найдём корни квадратного трёхчлена, решив соответствующее квадратное уравнение:

Получим выражение:

 

Разложим на множители ещё один квадратный трёхчлен:

Найдём корни соответствующего квадратного уравнения:

Получим:

 

2. Сократите дробь:

Разложим числитель на множители:

Разложим знаменатель на множители:

Получим:

3.                Составьте квадратный трёхчлен, корнями которого являются числа 7 и -2.

Графики квадратных уравнений с использованием факторинга

Квадратное уравнение это многочлен уравнение степень 2 . Стандартная форма квадратного уравнения:

0 знак равно а Икс 2 + б Икс + с

где а , б и с все действительные числа и а ≠ 0 .

Если мы заменим 0 с участием у , то мы получаем квадратичная функция

у знак равно а Икс 2 + б Икс + с

график которого будет парабола .

Точки пересечения графика с Икс -оси будут решениями уравнения, а Икс 2 + б Икс + с знак равно 0 .То есть, если полином а Икс 2 + б Икс + с может быть учтено ( Икс − п ) ( Икс − д ) , мы знаем по свойство нулевого продукта что если ( Икс − п ) ( Икс − д ) знак равно 0 , либо ( Икс − п ) знак равно 0 или ( Икс − д ) знак равно 0 .потом п и д являются решениями уравнения а Икс 2 + б Икс + с знак равно 0 и поэтому Икс -перехваты квадратного уравнения.

Поскольку Икс -координата г. вершина параболы находится ровно посередине Икс -перехватывает , Икс -координата вершины будет п + д 2 .

Вы можете использовать Икс -координата вершины для нахождения у -координата.

Теперь у вас есть вершина и 2 другие точки параболы (а именно, Икс — перехваты). Вы можете использовать эти три точки для построения графика.

Пример 1:

График функции у знак равно Икс 2 − 8 Икс + 12 с помощью факторинга.

Сравните уравнение со стандартной формой, у знак равно а Икс 2 + б Икс + с . Поскольку значение а положительно, парабола раскрывается.

Фактор трехчлена, Икс 2 − 8 Икс + 12 . Идентифицировать 2 числа, сумма которых − 8 и продукт 12 .Цифры − 2 и − 6 . Это, Икс 2 − 8 Икс + 12 знак равно ( Икс − 2 ) ( Икс − 6 ) .

Икс 2 − 8 Икс + 12 знак равно 0 ⇒ ( Икс − 2 ) ( Икс − 6 ) знак равно 0

Итак, по свойству нулевого произведения либо ( Икс − 2 ) знак равно 0 или ( Икс − 6 ) знак равно 0 . Тогда корни уравнения равны 2 и 6 .

Следовательно Икс -перехваты функции 6 и 2 .

То Икс -координата вершины — середина x -перехватов. Итак, вот Икс -координата вершины будет 2 + 6 2 знак равно 4 .

Заменять Икс знак равно 4 в уравнении у знак равно Икс 2 − 8 Икс + 12 найти у -координата вершины.

у знак равно ( 4 ) 2 − 8 ( 4 ) + 12 знак равно 16 − 32 + 12 знак равно − 4

То есть координаты вершины ( 4 , − 4 ) .

Теперь у нас 3 очка ( 4 , − 4 ) , ( 2 , 0 ) и ( 6 , 0 ) которые находятся на параболе. Постройте точки. Соедините их плавной кривой и продолжите параболу.

Пример 2:

График функции у знак равно − Икс 2 − 2 Икс + 8 с помощью факторинга.

Сравните уравнение со стандартной формой, у знак равно а Икс 2 + б Икс + с . Поскольку значение а положительно, парабола раскрывается.

Фактор трехчлена, − Икс 2 − 2 Икс + 8 .

Во-первых, исключить − 1 .

− Икс 2 − 2 Икс + 8 знак равно − 1 ( Икс 2 + 2 Икс − 8 )

Фактор выражения в скобках. Идентифицировать 2 числа, сумма которых 2 и продукт − 8 .Цифры 4 и − 2 . Это, Икс 2 + 2 Икс − 8 знак равно ( Икс + 4 ) ( Икс − 2 ) .

Тогда заданная функция становится у знак равно − ( Икс + 4 ) ( Икс − 2 ) .

Так, у знак равно 0 следует, по свойству нулевого произведения, Икс + 4 знак равно 0 или Икс − 2 знак равно 0 .

Следовательно Икс -перехваты графа − 4 и 2 .

То Икс -координата вершины параболы — середина Икс -перехватывает.Итак, вот Икс -координата вершины будет − 4 + 2 2 знак равно − 1 .

Заменять Икс знак равно − 1 в уравнении у знак равно − Икс 2 − 2 Икс + 8 найти у -координата вершины.

у знак равно − ( − 1 ) 2 − 2 ( − 1 ) + 8 знак равно − 1 + 2 + 8 знак равно 9

Итак, координаты вершины ( − 1 , 9 ) .

Теперь у нас есть 3 точки ( − 1 , 9 ) , ( − 4 , 0 ) и ( 2 , 0 ) которые находятся на параболе. Постройте точки. Соедините их плавной кривой и продолжите параболу.

Калькулятор коэффициента

| Лучший онлайн калькулятор факторинга

Введение в калькулятор коэффициентов

Множителем может называться любое число, на которое делится целое число.Простыми словами, множитель — это цифра, которую можно без остатка разделить на любое другое числительное. Если вы хотите узнать, что такое фактор в математике, продолжайте читать.

Калькулятор коэффициентов — это онлайн-инструмент, который позволяет вычислять выражения коэффициентов в режиме онлайн. Онлайн-калькулятор факторов можно эффективно использовать для обучения и практики.

Например, если нам нужно найти множитель 6, его множители будут 1, 2, 3 и 6. Это означает, что 1, 2, 3 или 6 можно использовать для получения «6». Разложение трехчленов на множители можно использовать для деления 6 нацело.Например,

2 * 3 = 6

или

6/2 = 3

Связанный: Что касается математики, вы можете столкнуться с проблемой выражения чисел как абсолютного значения и в стандартной форме соответственно. Для этих целей вы можете бесплатно использовать калькулятор абсолютных уравнений и калькулятор стандартной формы, чтобы облегчить себе работу.

Вы не можете использовать 4 или любые другие целые числа, кроме 1, 2, 3 и 6, чтобы разделить 6 без остатка. Калькулятор алгебраического факторинга делает всю работу онлайн и показывает вам точные результаты.

Этот портал позволяет узнать, как рассчитать объем цилиндра и как найти объем конуса, не выполняя расчеты вручную.

Что такое факторинг?

Факторирование квадратичных уравнений можно назвать процессом нахождения факторов данного числового выражения. Принимая во внимание, что нахождение факторинговых трехчленов означает нахождение чисел, которые можно умножить, чтобы получить заданный вход.

Чтобы разложить выражение на множители, нам нужно найти наибольший общий делитель выражения.Это означает, что мы должны искать наибольший общий множитель, на который можно разделить все числа выражений поровну.

Калькулятор простой факторизации работает эффективно для получения результатов. Найдите наш полный учебник по факторам, чтобы узнать больше. Калькулятор факториала алгебры разработан для факториала, если вы хотите узнать о факториале, изучите наш множественный факторный калькулятор.

Как разложить уравнение на множители?

Научиться факторингу легко можно с помощью онлайн-калькулятора факторинга с пошаговыми инструкциями.Например, нам нужно разложить на множители следующее уравнение:

4x + 16y + 20x

Сначала находим наибольший общий делитель этого выражения.

Наибольший общий множитель этого выражения равен 4. Калькулятор таблицы множителей упрощает эти расчеты с помощью нескольких щелчков мышью.

Имея 4 в качестве наибольшего общего делителя этого выражения, мы можем разложить это выражение на множители как:

4(х + 4у + 5х)

Рассмотрим еще один пример факторизации выражения.

Например, вы должны разложить на множители 2×2−6x−18x

Наибольший общий делитель этого выражения равен 2x.

Имея 2x в качестве наибольшего общего делителя, мы можем разложить это выражение на множители как:

2x(x-3-9)

Наш калькулятор простой факторизации также имеет дело с факторизацией квадратичных уравнений, нажмите, чтобы найти калькулятор квадратных формул для вычисления суммы и произведения корней квадратного уравнения. Вы также можете бесплатно найти лимитный калькулятор с шагами здесь.

Как разделить число без остатка?

Деление на равные можно назвать делением, в котором не найден остаток, который вы можете рассчитать с помощью онлайн-калькулятора, который вычисляет остатки. Это означает, что одно числительное может быть разделено на другое числительное без остатка числительного.

В таких делениях находится единственное частное. Например, если вы разделите 6/2, то вы получите 3. 6/2 является примером того, чтобы разделить поровну. Но если вы разделите 7/2, вы получите 3 в качестве частного и 1 в качестве остатка, а это противоречит делению нацело. Калькулятор средней и конечной точек может быть очень полезен для такого деления.

Список целочисленных коэффициентов

Вы можете использовать этот список факторов, чтобы узнать о факторах с разными цифрами.

  • 2(1,2)
  • 3(1,3)
  • 4(1,2,4)
  • 5(1,5)
  • 6(1,2,3,6)
  • 7(1,7)
  • 8(1,2,4,8)
  • 9(1,9)
  • 10(1,2,5,10)
  • 22(1,2,11,22)
  • 55(1,5,11,55)
  • 68(1,2,4,17,34,68)
  • 88(1,2,4,8,11,22,44,88)
  • 100(1,2,4,5,10,20,25,50,100)

Калькулятор факторизации учитывает все эти числа при вычислении результатов.Узнайте, как рассчитать cbm и как найти наклон прямоугольника.

Факты о факторах

  • Вы не можете узнать множители десятичных чисел

  • Большинство нечетных чисел имеют только 1 или их собственное соответствующее значение в качестве множителей (множители 5 равны 1 и только 5)

Для более глубокого изучения средних и средних значений, а также их вычислений, попробуйте калькулятор общих разностей и онлайн-калькулятор средних значений.

Как разложить многочлены на множители?

сначала запишем все делители минус 6.

Если бы мы могли перемножить эти комбинации чисел, то получили бы -6. Для этого вы также можете использовать генератор всевозможных комбинаций.

Теперь, если мы сложим каждую из этих пар, мы получим

Теперь посмотрим, есть ли у нас пара, которая в сумме дает центральное число, равное «x».

  • -1 6 = 5
  • 1 ​​-6 = -5
  • -2 3 = 1
  • 2 -3 = -1

 

 

 

Завершается (x — 2) (x + 3)

 

Как разложить трехчлены на множители?

Найти трехчлен легко с помощью калькулятора факторинговых трехчленов.Допустим, у нас есть уравнение

.

x 2 + 5x + 6

Обратите внимание, что старший коэффициент равен 1, а последнее число равно 6. Мы найдем 2 числа, которые умножаются на 6, но прибавляются к среднему значению 5.

 

 

 

теперь вы можете помешать и проверить ответ, который будет

 

(х + 2) (х + 3)

Калькулятор трехчленов факторинга — это эффективный и рекомендуемый онлайн-способ расчета трехчленов факторинга в цифровом виде.

Также найдите калькулятор вероятности для расчета правила сложения вероятности и калькулятор ожидаемого значения для расчета ожидаемого значения x.

Как найти калькулятор коэффициентов?

Calculatored — это онлайн-инструмент, облегчающий ваши расчеты. Калькулятор факторов — один из самых эффективных инструментов, созданных Calculatored, наряду со многими другими. Вы можете найти калькулятор выражения коэффициента Calculatored или найти онлайн-калькулятор факторинга.

Как пользоваться калькулятором коэффициентов?

Калькулятор коэффициентов позволяет легко группировать коэффициенты. Этот калькулятор факторинга был разработан, чтобы помочь вам вычислить выражения за секунду. (2)+20x+16)

ШАГ 2: Нажмите «Рассчитать», чтобы узнать коэффициенты

Действительно, пользоваться этим калькулятором выражений коэффициентов очень просто.Итак, не стесняйтесь воспользоваться этим интеллектуальным инструментом для факторизации таких сложных выражений за секунду. Калькулятор факторов позволяет решать квадратные уравнения путем факторизации.

Calculatored также предлагает вам пошаговый калькулятор записи суммирования и калькулятор формулы расстояния для изучения математических понятий и функций.

Надеемся, наш калькулятор помог вам с расчетами. Пожалуйста, оставляйте свои ценные отзывы, чтобы мы могли постоянно совершенствоваться. Ваше здоровье!

Как решать квадратные уравнения, не напрягая мозг

Алгебраические уравнения могут показаться довольно запутанными, особенно если вы не считаете себя математиком или если вы уже давно не составляли их для себя.Если вы боретесь с квадратными уравнениями или вам нужен краткий обзор, мы составили это руководство, чтобы пройтись по основам решения этих уравнений и помочь вам запомнить формулы, которые вам нужно знать.

Что такое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение — это уравнение с одной переменной, имеющее два решения или корня. Подождите, что это значит? По сути, одномерный означает, что есть одна переменная, для которой нужно решить x. Все остальные значения в уравнении известны.Итак, если вы пытаетесь решить только одно значение x, почему уравнение имеет два ответа?

Квадратные уравнения изображаются в виде парабол, симметрично изогнутых линий. X имеет два значения, потому что он представляет два места, где парабола пересекает ось x, как на графике слева.

Как определять квадратные уравнения

Стандартная форма квадратного уравнения выглядит так: x 2  + bx + c = 0 . A, b и c обозначают фактические числа или известные значения, а x обозначает неизвестное значение или переменную.Когда вы решаете уравнение, вы будете определять значения для x. Вот пример квадратного уравнения с подставленными известными значениями: 2x 2  + 8x + 7 = 0 . Обратите внимание, что в стандартной форме квадратные уравнения всегда равны нулю.

Некоторые пронырливые учителя математики могут предложить вам следующее уравнение: x 2  + 2x = 3 . Не позволяйте этому трюку обмануть вас! Просто вычтите 3 из каждой части уравнения, чтобы оно равнялось нулю.Помните: вы должны вычесть из обеих частей уравнения, чтобы оно осталось равным! Результат выглядит следующим образом: x 2  + 2x – 3 = 0 .

Факторинг квадратных уравнений

Некоторые из «более простых» квадратных уравнений можно решить с помощью процесса, называемого факторингом. Чтобы разложить квадратное уравнение, взгляните на значения b и c. Вам нужно будет найти два числа, которые при умножении равны c, а при суммировании равны b. Не волнуйтесь, если это звучит абстрактно.Давайте рассмотрим пример, чтобы вы могли понять, как работает факторинг.

x 2  + 5 x  + 6 = 0

Чтобы решить это уравнение, вам нужно придумать два числа, которые в сумме дают пять, и умножить их на шесть. Вы можете сложить два и три, чтобы получить пять, или умножить два раза на три, чтобы получить шесть, так что это ваши множители для этого примера. Вы можете написать свой ответ следующим образом:   x 2  + 5 x  + 6 =   ( x ) + 3) x (  + 3) x ( )Вы можете проверить свою работу, перемножив коэффициенты (x + 3) и (x + 2) , чтобы убедиться, что они равны исходному уравнению.

Факторизация уравнения с отрицательными числами может быть немного сложнее. Если с положительно, то оба множителя либо положительны, либо оба отрицательны. Если b отрицательно, а c положительно, то оба множителя отрицательны. Если b положительно и c положительно, оба множителя положительны.

Если вы смотрите на уравнение, а c отрицательное, это означает, что один фактор отрицательный, а другой положительный.Если b положительно, больший множитель положителен. Если b отрицательно, больший множитель отрицателен.

Использование квадратичной формулы

Иногда, потому что жизнь несправедлива, квадратные уравнения не могут быть решены с помощью простого факторинга. Когда вы столкнетесь с одним из этих странных и хитрых уравнений, вам нужно будет вывести квадратную формулу, чтобы выполнить работу. Квадратичная формула выглядит так:

 

Обратите внимание, что перед знаком квадратного корня стоит знак плюс и знак минус.Это означает «плюс» или «минус», что означает, что формулу нужно решать дважды, один раз прибавляя корень к -b и один раз вычитая, чтобы получить оба значения для x.  

Для начала подставьте значения a, b и c. После того, как вы подставили свои числа, найдите x в следующем порядке: круглые скобки, показатели степени, умножение, деление, сложение, вычитание. Обычная мнемоническая фраза, помогающая запомнить порядок действий, звучит так: «Пожалуйста, извините, моя дорогая тетя Салли»; первая буква каждого слова в этой фразе такая же, как и порядок действий.

Например, решение уравнения x 2  + 3 x  – 4 = 0   будет выглядеть следующим образом:

 

 

 

 

 

 

Поскольку это уравнение можно разложить на множители (x + 4, x = -4 и x – 1, x = 1), вы можете легко проверить свою работу.

Как видите, после того, как вы подставили значения в правильное место в квадратной формуле, получить ответ довольно просто.Студенты, как правило, больше всего борются с запоминанием того, как построить квадратную формулу. Вот несколько советов, как запомнить эту волшебную формулу.

  • поют его на мелодию «POP идет на ласки», используя эти тексты песен: x равен отрицательной B
    плюс или минус квадратный корневой
    квадрат BUS 4AC
    Все более 2А
  • Запомните эту историю: Жил-был отрицательный мальчик, который все перепутал, поэтому он пошел на радикальную вечеринку, но из-за того, что он был квадратным, он проиграл четырем классным цыпочкам, поэтому он плакал по дороге домой, и когда ночь все было кончено, было 2 часа ночи.                  
  • Просто смотрите на эту гифку, пока не станете единым целым с формулой (не лучший метод, но, думаю, может сработать):

Если у вас все еще возникают проблемы с решением квадратных уравнений, академический наставник может уделить вам личное внимание и помочь вам с любыми вопросами, которые могут у вас возникнуть. Преподаватели TakeLessons квалифицированы, предварительно проверены и заинтересованы в том, чтобы помочь вам добиться успеха. Репетиторы доступны онлайн и лично, поэтому найдите своего идеального репетитора уже сегодня!

Вам также может понравиться…
– Стратегии сдачи экзаменов: руководство по проведению выпускной недели без стресса
–6 «Дополнительных баллов», которые можно получить с репетиторством
– Советы A+: как написать эссе

– Меган Л.Сотрудник TakeLessons и блогер
Фото Ianqui

Меган Л. — писательница и музыкант, живущая в Сан-Диего. Ей нравится поддерживать независимых артистов и каждый день узнавать больше о музыке. Меган работает в TakeLessons с ноября 2011 года. Google+ Меган Л.

квадратичная факторизация с использованием разделения среднего члена

Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

Электронное обучение — это будущее уже сегодня.

Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться!!!

Квадратичная факторизация с использованием разбиения среднего члена: в этом методе разбиение среднего члена на два фактора.

В квадратичной факторизации с использованием разделения среднего члена, который представляет собой сумму двух множителей и произведения, равного последнему члену.

Фактор формы :ax 2 + bx + c Коэффициент: 6x 2 + 19x + 10
1) Найдите произведение первого и последнего членов (a x c). 6 х 10 = 60
2) Найдите множители 60 таким образом, чтобы
сложение или вычитание этих множителей было
средним членом (19x)(Разделение среднего члена)
15 х 4 = 60
и 15 + 4 = 19
3) Запишите центральный член, используя сумму
двух новых множителей, включая соответствующие знаки.
6x 2 + 15x + 4x + 10
4) Сгруппируйте термины, чтобы образовать пары — первый два термина
и два последних термина.Факторируйте каждую пару, находя общие факторы.
3x (2x + 5)+ 2(2x + 5)
5) Выделить общее (общее) биномиальные скобки. (3x + 2) ( 2x + 5)

квадратичная факторизация с использованием расщепления средний термин

Пример: Найти факторы 6x 2 — 13x + 6
6x 2 — 13 x + 6 ——> (1)
ac = Произведение 6 и 6 = 36
Множители 36 = 2,18
= 3,12
= 4,9
Только множители 4 и 9 дают 13—>(4 + 9)
Для -13 оба множителя имеют отрицательный знак. – 4 – 9 = — 13
Уравнение (1) ⇒ 6x 2 — 4x – 9x + 6
⇒2x ( 3x – 2 ) – 3 ( 3x – 2 )
(3x – 2 ) ( 2x – 3 ) являются факторами.


Корни уравнения равны
. 3x – 2 = 0 ⇒ 3x = 2, значит, x = 2/3
2x – 3 = 0 ⇒ 2x = 3, поэтому x = 3/2
Корни {2/3, 3/2}

Примеры квадратичной факторизации с использованием разделения среднего члена

1) 12x 2 — 15 = 11x

Решение:
12x 2 -15 = — 11x

12x 2 -15 + 11x = 0 [Add + 11x

12x 2 + 11x -15 = 0

12x 2 + 20х — 9х -15 = 0

4х(3х + 5) — 3(3х + 5) = 0

(3х + 5)(4х — 3) = 0 4x — 3 = 0

3x = — 5 или 4x = 3

x = -5/3 или x = 3/4

Решение: (-5/3,3/4)

_________________________________________________________________
2) Найти Факторы 3x 2 — 2x — 1

Решение:
3x 2 — 2x — 1 = 0

⇒ 3x 2 — 3x + x- 1 = 0

⇒ 3x (x — 1) + (х — 1) = 0

⇒ (х — 1)(3х + 1) = 0

90 002 ⇒ x = 1 и x = -1/3

________________________________________________________________

3) Произведение двух последовательных положительных целых чисел равно 240. Найдите целые числа.

Решение:
Пусть x и x + 1 — последовательные положительные целые числа.

x (x + 1) = 240

x 2 + x = 0

x 2 + 16x — 15x — 240 = 0

x ( х + 16) — 15 (х — 16) = 0

(х + 16) (х -15) = 0

х = -16 и х = 15

Таким образом, положительные целые числа равны 15 и 16.


Введение в квадратные уравнения

• Квадратичная факторизация с использованием разделения среднего члена
• Путем завершения квадрата
• Факторизация с использованием квадратной формулы
• Решенные задачи на квадратное уравнение

Домашняя страница

Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.

Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

Квадратное уравнение

Привет друзья! Квадратные уравнения являются неотъемлемой частью математики, которая также применяется в различных других областях. Поэтому мы создали этот сайт, чтобы объяснить вам , что такое квадратное уравнение. Поняв концепцию квадратных уравнений, вы сможете легко решать квадратные уравнения .

Теперь давайте объясним вам, что такое квадратное уравнение.Это математическое уравнение с наивысшей степенью числа 2. Оно имеет форму x ² + b x  +  c . Здесь x представляет неизвестное значение, а a, b и c представляют известные числа. Решения квадратных уравнений можно получить с помощью квадратной формулы. Существуют и другие методы нахождения решений квадратных уравнений, такие как разложение на множители, завершение квадрата или построение графика. Поскольку квадратные уравнения имеют наибольшую степень двойки, всегда будет два решения для x, которые будут появляться.Эти значения x, которые удовлетворяют уравнению, называются корнями или нулями уравнения. Следовательно, квадратное уравнение всегда будет иметь два корня или решения

.

В этой статье мы попытались объяснить вам все концепции квадратных уравнений. Если вы студент, то изучение этих концепций очень важно, так как это поможет вам решать проблемы в школе. Это важная концепция, которая имеет широкий спектр применения в таких областях, как физика, химия, инженерия и т. д.

Определение уравнения с квадратичной формулой

Мы обсудили с вами общий формат квадратного уравнения. Теперь, если вам нужно решить квадратное уравнение, вы должны использовать квадратную формулу. Любое квадратное уравнение имеет два решения или корня. Таким образом, вы получите два корня, один из «+» и один из «-», и оба являются решениями уравнения.

Здесь мы предоставили вам таблицу с квадратной формулой, чтобы вам было легко ее запомнить и применять.

Калькулятор квадратных уравнений

Калькулятор квадратных уравнений — это специальный калькулятор, который используется для решения сложных квадратных уравнений. Хотя научный калькулятор можно использовать для вычисления корней квадратного уравнения, это всегда не удобный метод. Следовательно, многие онлайн-сайты в Интернете предоставляют калькулятор квадратных уравнений, который очень прост в использовании. Вам просто нужно ввести известные значения a, b и c. Он автоматически рассчитает корни квадратных уравнений.

Здесь мы предоставили вам калькулятор квадратных уравнений, где вам просто нужно ввести коэффициенты квадратного уравнения.

Рабочие листы квадратного уравнения PDF

Даже если вы хорошо умеете решать квадратные уравнения, вам нужно попрактиковаться в их решении, чтобы усвоить концепцию. Будучи студентами, отработка темы важна для того, чтобы быть совершенным в ней. Следовательно, вы можете оценить, как много вы узнали о квадратных уравнениях, решая задачи в этом рабочем листе.

Этот лист предоставляется в формате PDF, так что вы можете распечатать его и носить с собой куда угодно.

 Графика квадратного уравнения

График квадратного уравнения — это график, отображающий значения всех корней квадратного уравнения. Поскольку у квадратного уравнения есть как отрицательные, так и положительные корни, график принимает форму параболы. Следовательно, вы можете построить график квадратного уравнения, найдя разные корни x, которые решают равенство.

Чтобы помочь вам лучше понять график квадратного уравнения, мы предоставили вам график квадратного уравнения, который поможет вам понять, как построить график квадратного уравнения.

 Стандартная форма квадратного уравнения

Стандартной формой квадратного уравнения является уравнение вида x 2 + bx + c = 0. Здесь x — неизвестное значение, а a, b и c — переменные. Но иногда квадратные уравнения могут не иметь стандартной формы, и нам, возможно, придется их расширить.

Здесь мы предоставили вам таблицу, показывающую примеры различных форм квадратных уравнений, таких как форма вершины и форма фактора.

Вершинная форма квадратного уравнения определяется как:

f  ( x ) =  a ( x – h ) 2 + k , где ( h, k ) — вершина параболы.

Факторная форма квадратного уравнения сообщает нам корни квадратного уравнения. Записывается в виде a⋅(x−p)⋅(x−q)     или     a⋅(x−p)2

Дискриминант квадратного уравнения

В математике дискриминант является полиномиальной функцией своего коэффициента, что позволяет нам иметь представление о некоторых свойствах корней, не вычисляя их.Следовательно, в случае квадратного уравнения дискриминант является частью квадратного уравнения под квадратным корнем. Это помогает нам определить количество корней квадратного уравнения.

Здесь мы предоставили вам пример дискриминанта квадратного уравнения.

Как решить квадратное уравнение

Как известно, квадратное уравнение – это полином степени 2. Существуют различные методы решения квадратного уравнения.Ниже приведены методы решения квадратного уравнения:

  1. Факторинг

Давайте посмотрим, как использовать метод факторинга для решения квадратного уравнения.

Например, решим уравнение (x+4) (x-3) = 0

Мы сохраним значение каждого фактора равным 0.

(х+4) = 0 и (х-3) = 0

Следовательно, x+4 – 4 = 0 -4 ; или х-3+3 = 0+3

х= -4 или х= 3

2. Завершение квадрата

Иногда некоторые квадратные уравнения можно разложить на множители как точные квадраты.

Например, квадратное уравнение x²+6x+5 не является идеальным квадратом. Но если мы прибавим к нему 4, он станет идеальным квадратом. И результирующее выражение, которое мы получим, будет (x+3)².

3. Квадратичная формула

Это наиболее распространенный метод решения квадратного уравнения. Он включает в себя использование квадратной формулы для нахождения решения или корней квадратного уравнения.

Ниже приведена квадратичная формула, используемая для решения любого квадратного уравнения:

4.График

Используя этот метод, все корни квадратного уравнения можно получить, подставив любое значение вместо x, которое решает равенство.

Прежде чем решать квадратное уравнение графически, мы должны понять, что такое точка пересечения по оси x и точка пересечения с осью y. X-пересечение относится к корням квадратных уравнений, которые пересекают график по оси X. Точно так же Y-пересечение относится к корням квадратного уравнения, которое пересекает график по оси Y. Значение точек пересечения x и y состоит в том, что они изображают насест или решение квадратного уравнения.Вы можете использовать любое значение точки пересечения по оси x, чтобы найти различные значения точки пересечения с осью y и нанести соответствующие точки на график.

Использование квадратичной формулы

Мы рассказали вам о различных методах, с помощью которых можно найти решения квадратных уравнений. В то время как другие широко используемые методы, такие как факторинг и построение графиков, могут использоваться для поиска решений квадратных уравнений, процесс может быть сложным, а результат также может быть неточным.

Следовательно, наиболее предпочтительным методом решения квадратного уравнения является использование квадратной формулы.

Квадратичная формула задается в виде:

Здесь мы объясним вам, как можно применять квадратное уравнение для решения задач. Вы можете следовать этому пошаговому руководству, чтобы решить любое квадратное уравнение:

Например, возьмем квадратное уравнение x  + 2x + 1 = 0 

Теперь найдем дискриминанты уравнения:

Дискриминантная формула = b 2  − 4ac

Применение значений a, b и c в приведенном выше уравнении:

22 — 4×1×1 = 0

Теперь применим квадратную формулу:

х = (−2 ± √0)/2 = −2/2

Следовательно, х = -1

Решатель квадратных уравнений

Часто мы сталкиваемся с решением сложных квадратных уравнений, которые могут быть сложными и включать сложные вычисления.Кроме того, есть риск получить неверный результат. Таким образом, вы можете воспользоваться помощью решателя квадратных уравнений, который по сути является калькулятором квадратных уравнений.

Этот калькулятор прост в использовании и предоставит вам правильные результаты за считанные секунды. Вам просто нужно ввести коэффициенты для a, b и c, и он автоматически найдет значение обоих корней квадратных уравнений для вас.

Чтобы объяснить вам, как можно решать квадратные уравнения онлайн с помощью решателя квадратных уравнений, здесь мы предоставили вам видео.

Заключение

Поэтому в этой статье мы попытались объяснить вам все концепции квадратных уравнений и различные методы их решения. Используя такие методы, как факторинг и построение графиков, можно легко найти решения любого квадратного уравнения. Но наиболее предпочтительным методом, который можно использовать для решения любого квадратного уравнения, является квадратная формула. Мы надеемся, что эта статья помогла вам лучше понять квадратные уравнения и позволит вам легко решить любое квадратное уравнение.

Factoring Calculator – Пошаговый математический решатель

Разложить выражение на множители означает разбить его на составляющие и упростить. Это значительно упрощает процесс расчета. Вы можете увидеть, из чего состоит проблема и как ее решить. Есть много формул, таких как «разность квадратов», которые вы можете использовать для идентификации компонентов. Вот краткий пример того, как это может выглядеть:

.


Лучший совет, который мы можем вам дать, это запомнить их и использовать при выполнении домашних заданий вместо того, чтобы пользоваться платными услугами, чтобы выполнить мое задание.Подобные алгоритмы используются и калькулятором факторинга. В его коде есть несколько предустановленных формул. Лучший способ использования онлайн-инструментов — проверить, движетесь ли вы в правильном направлении со своим решением. Возможно, вы упустили какую-то маленькую деталь. Некоторые учащиеся останавливаются на полпути, полагая, что нельзя продолжать разложение этого конкретного выражения на множители. Этот инструмент дает вам возможность сначала увидеть правильный ответ, а затем при необходимости продолжить изучение шагов, ведущих к нему.

Плохая идея использовать факторинговый калькулятор только для того, чтобы получить ответы. Даже если вы не планируете стать следующим выдающимся умом в области математики, вы все равно сможете извлечь пользу из этих знаний. Идея состоит в том, чтобы изучить и понять концепцию. Любая информация может расширить ваш кругозор и улучшить ваши навыки, если вы используете ее правильно. Мы предлагаем вам не относиться скептически к концепции факторинга, так как она может пригодиться вам позже в жизни.

Как не злоупотреблять калькулятором факторинга

Существует так много инструментов, которые могут помочь вам справиться со всеми видами математических задач, включая факторинг.Они просты в доступе и использовании. И это может стать большой проблемой. Цель любого процесса обучения — разобраться в конкретных концепциях и уметь их использовать. Злоупотребление этими инструментами означает игнорирование процесса обучения и получение ответов. Если вы не хотите этого делать, вот важные моменты, которые следует помнить при факторинге:

  1. Изучите широко используемые формулы, в том числе формулу «разность квадратов».
  2. Используйте метод определения наибольшего общего множителя и деления на него каждого члена, чтобы исключить общие множители.
  3. Ключевое число поможет найти множители, сумма которых равна коэффициенту при среднем члене трехчлена.
  4. Чтобы разложить трехчлены на множители, используйте метод проб и ошибок. Процесс интуитивно понятен: вы используете шаблон для умножения, чтобы определить коэффициенты, которые могут привести к исходному выражению.
  5. Проверьте свой ответ, умножив, разделив, сложив и вычтя упрощенное выражение, чтобы увидеть, соответствует ли оно исходному.

Проанализируйте пошаговое решение, которое калькулятор предоставляет вам, чтобы понять логику процесса.Если вы чего-то не понимаете, отметьте «нет» и обязательно проконсультируйтесь с учителем. Вполне вероятно, что вы получите подобную задачу на экзамене, поэтому вам нужно быть готовым.
Не всегда просто разбить сложную задачу на более мелкие части, чтобы решить ее даже с помощью факторингового калькулятора.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск