Дискриминант квадратного уравнения

Квадратное уравнение это уравнение которое выглядит как ax² + dx + c = 0. В нем значение а,в и с любые числа, при этом а не равно нулю.

Все квадратные уравнения разделяются на несколько видов, а именно:

-Уравнения в которых только один корень.
-Уравнения с двумя разными корнями.
-Уравнения в которых корней нет совсем.

Это и различает линейные уравнения в которых корень всегда единый, от квадратных. Для того что бы понять какое количество корней в выражении и нужен Дискриминант квадратного уравнения.

Допустим наше уравнение ax² + dx + c =0. Значит дискриминант квадратного уравнения —

D = b² — 4 ac

И это нужно запомнить навсегда. С помощью этого уравнения мы и определяем количество корней в квадратном уравнении. И делаем мы это следующим образом:

— Когда D меньше нуля, в уравнении нет корней.
— Когда D равно нулю, имеется только один корень.
— Когда D больше нуля, соответственно, в уравнении два корня.
Запомните что дискриминант показывает сколько корней в уравнении, не меняя знаков.

Рассмотрим для наглядности:

Нужно выяснить какое количество корней в данном квадратном уравнении.

1) х² — 8х + 12 = 0
2 )5х² + 3х + 7 = 0
3) х²-6х + 9 = 0

Вписываем значения в первое уравнение, находим дискриминант.
а = 1, b = -8, c = 12
D = (-8)² — 4 * 1 * 12 = 64 — 48 = 16
Дискриминант со знаком плюс, значит в данном равенстве два корня.

Делаем тоже самое со вторым уравнением
a = 1, b = 3, c = 7
D = 3² — 4 * 5 * 7 = 9 — 140 = — 131
Значение минусовое, значит корней в данном равенстве нет.

Следующее уравнение разложим по аналогии.

а = 1, b = -6, с = 9
D = (-6)²— 4 * 1 * 9 = 36 — 36 = 0
как следствие имеем один корень в уравнении.

Важно что в каждом уравнении мы выписывали коэффициенты. Конечно это не много длительный процесс, но это помогло нам не запутаться и предотвратило появление ошибок. Если очень часто решать подобные уравнения, то вычисления сможете производить мысленно и заранее знать сколько у уравнения корней.

Рассмотрим еще один пример:

1) х² — 2х — 3 = 0
2) 15 — 2х — х² = 0
3) х² + 12х + 36 = 0

Раскладываем первое
а = 1, b = -2, с = -3
D =(-2) ² — 4 * 1 * (-3) = 16, что больше нуля, значит два корня, выведем их
х₁ = 2+?16/2 * 1 = 3, х₂ = 2-?16/2 * 1 = -1.

Раскладываем второе
а = -1, b = -2, с = 15

D = (-2)² — 4 * 4 * (-1) * 15 = 64, что больше нуля и так же имеет два корня. Выведем их:
х₁ = 2+?64/2 * (-1) = -5, х₂ = 2-?64/2 *(-1) = 3.

Раскладываем третье
а = 1, b = 12, с = 36
D = 12 ² — 4 * 1 * 36 =0, что равно нулю и имеет один корень
х = -12 + ?0/2 * 1 = -6.
Решать данные уравнения не сложно.

Если нам дано неполное квадратное уравнение. Такое как

1х² + 9х = 0
2х² — 16 = 0

Данные уравнения отличаются от тех что были выше, так как оно не полное, в нем нет третьего значения. Но не смотря на это оно проще чем полное квадратное уравнение и в нем дискриминант искать не нужно.

_{Что делать когда срочно нужна дипломная работа или реферат, а времени на его написание нет? Всё это и многое другое можно заказать на сайте Deeplom.by (http://deeplom.by/) и получить высший балл.}

---

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

---

Все главные формулы по математике — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Формулы сокращенного умножения

К оглавлению…

Квадрат суммы:

Квадрат разности:

Разность квадратов:

Разность кубов:

Сумма кубов:

Куб суммы:

Куб разности:

Последние две формулы также часто удобно использовать в виде:

 

Квадратное уравнение и формула разложения квадратного трехчлена на множители

К оглавлению. ..

Пусть квадратное уравнение имеет вид:

Тогда дискриминант находят по формуле:

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формуле:

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень

(его кратность: 2), который ищется по формуле:

Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней. В случае когда квадратное уравнение имеет два корня, соответствующий квадратный трехчлен может быть разложен на множители по следующей формуле:

Если квадратное уравнение имеет один корень, то разложение соответствующего квадратного трехчлена на множители задается следующей формулой:

Только в случае если квадратное уравнение имеет два корня (т.е. дискриминант строго больше ноля) выполняется Теорема Виета. Согласно Теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения равна:

Произведение корней квадратного уравнения может быть вычислено по формуле:

Парабола

График параболы задается квадратичной функцией:

При этом координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам.

Икс вершины:

Игрек вершины параболы:

 

Свойства степеней и корней

К оглавлению…

Основные свойства степеней:

Последнее свойство выполняется только при n > 0. Ноль можно возводить только в положительную степень.

Основные свойства математических корней:

Для арифметических корней:

Последнее справедливо: если n – нечетное, то для любого a; если же n – четное, то только при a больше либо равном нолю. Для корня нечетной степени выполняется также следующее равенство:

Для корня четной степени имеется следующее свойство:

 

Формулы с логарифмами

К оглавлению…

Определение логарифма:

Определение логарифма можно записать и другим способом:

Свойства логарифмов:

Логарифм произведения:

Логарифм дроби:

Вынесение степени за знак логарифма:

Другие полезные свойства логарифмов:

 

Арифметическая прогрессия

К оглавлению. ..

Формулы n-го члена арифметической прогрессии:

Соотношение между тремя соседними членами арифметической прогрессии:

Формула суммы арифметической прогрессии:

Свойство арифметической прогрессии:

 

Геометрическая прогрессия

К оглавлению…

Формулы n-го члена геометрической прогрессии:

Соотношение между тремя соседними членами геометрической прогрессии:

Формула суммы геометрической прогрессии:

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Свойство геометрической прогрессии:

 

Тригонометрия

К оглавлению…

Пусть имеется прямоугольный треугольник:

Тогда, определение синуса:

Определение косинуса:

Определение тангенса:

Определение котангенса:

Основное тригонометрическое тождество:

Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:

Формулы двойного угла

Синус двойного угла:

Косинус двойного угла:

Тангенс двойного угла:

Котангенс двойного угла:

Тригонометрические формулы сложения

Синус суммы:

Синус разности:

Косинус суммы:

Косинус разности:

Тангенс суммы:

Тангенс разности:

Котангенс суммы:

Котангенс разности:

Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение

Сумма синусов:

Разность синусов:

Сумма косинусов:

Разность косинусов:

Сумма тангенсов:

Разность тангенсов:

Сумма котангенсов:

Разность котангенсов:

Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму

Произведение синусов:

Произведение синуса и косинуса:

Произведение косинусов:

Формулы понижения степени

Формула понижения степени для синуса:

Формула понижения степени для косинуса:

Формула понижения степени для тангенса:

Формула понижения степени для котангенса:

Формулы половинного угла

Формула половинного угла для тангенса:

Формула половинного угла для котангенса:

 

Тригонометрические формулы приведения

Формулы приведения задаются в виде таблицы:

 

Тригонометрическая окружность

По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:

 

Тригонометрические уравнения

К оглавлению.

..

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:

Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:

Для тангенса:

Для котангенса:

Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:

 

Геометрия на плоскости (планиметрия)

К оглавлению…

Пусть имеется произвольный треугольник:

Тогда, сумма углов треугольника:

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:

Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:

Формула Герона для площади треугольника:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности:

Формула медианы:

Свойство биссектрисы:

Формулы биссектрисы:

Основное свойство высот треугольника:

Формула высоты:

Еще одно полезное свойство высот треугольника:

Теорема косинусов:

Теорема синусов:

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:

Площадь правильного треугольника:

Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза, a и b — катеты):

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:

Площадь прямоугольного треугольника (h — высота опущенная на гипотенузу):

Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:

Длина средней линии трапеции:

Площадь трапеции:

Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:

Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:

Площадь квадрата через длину его стороны:

Площадь квадрата через длину его диагонали:

Площадь ромба (первая формула — через две диагонали, вторая — через длину стороны и угол между сторонами):

Площадь прямоугольника через две смежные стороны:

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:

Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т. е. в том числе для любых треугольников):

Свойство касательных:

Свойство хорды:

Теорема о пропорциональных отрезках хорд:

Теорема о касательной и секущей:

Теорема о двух секущих:

Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):

Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):

Свойство центральных углов и хорд:

Свойство центральных углов и секущих:

Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:

Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:

Сумма углов n-угольника:

Центральный угол правильного n-угольника:

Площадь правильного n-угольника:

Длина окружности:

Длина дуги окружности:

Площадь круга:

Площадь сектора:

Площадь кольца:

Площадь кругового сегмента:

 

Геометрия в пространстве (стереометрия)

К оглавлению. ..

Главная диагональ куба:

Объем куба:

Объём прямоугольного параллелепипеда:

Главная диагональ прямоугольного параллелепипеда (эту формулу также можно назвать: «трёхмерная Теорема Пифагора»):

Объём призмы:

Площадь боковой поверхности прямой призмы (P – периметр основания, l – боковое ребро, в данном случае равное высоте h):

Объём кругового цилиндра:

Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра:

Объём пирамиды:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды (P – периметр основания, l – апофема, т.е. высота боковой грани):

Объем кругового конуса:

Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса:

Длина образующей прямого кругового конуса:

Объём шара:

Площадь поверхности шара (или, другими словами, площадь сферы):

 

Координаты

К оглавлению. ..

Длина отрезка на координатной оси:

Длина отрезка на координатной плоскости:

Длина отрезка в трёхмерной системе координат:

Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости — первые две формулы, для трехмерной системы координат — все три формулы):

 

Таблица умножения

К оглавлению…

 

Таблица квадратов двухзначных чисел

К оглавлению…

 

Расширенная PDF версия документа «Все главные формулы по школьной математике»:

К оглавлению…

Конспект занятия «Решение квадратных уравнений с помощью Microsoft Excel и Microsoft Mathematics »

Конспект занятия «Решение квадратных уравнений с помощью Microsoft Excel и Microsoft Mathematics »

Определение квадратного уравнения, неполные квадратные уравнения, решение уравнений способом выделения квадратного двучлена, решение уравнений по формул(через дискриминант), знать принцип записи формул в MS EXCEL, умение решать квадратные уравнения, уметь строить графики по данным

Печатные средства обучения: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и др. / Под ред. Теляковского С. А. Алгебра. 8 класс

Компьютерные средства обучения: Microsoft Excel и Mathematics 4.0.

Таблица 9

Этап урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

УУД

Организационный момент

Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей, сообщение плана урока.

Проверяют наличие индивидуальных учебных принадлежностей на столе, включаются в деловой ритм урока

Личностные: самоопределение.

Актуализация знаний

Проводит устную проверку знаний.

Выполняют задание, тренирующее отдельные способности к учебной деятельности, мыслительные операции и учебные навыки.

Познавательные: логические – анализ объектов с целью выделения признаков, классификация

Включает учащихся в беседу:

1) Как мы научились решать уравнения на прошлых уроках? (способом выделения квадратного двучлена уравнения, по формулам корней квадратного уравнения)

2) Запишите на экране квадратное уравнение в общем виде (ах² + bх + с = 0, где а ≠ 0)

3) Как называются уравнения, записанные на экране? 1) х² – 3х = 0; 2) х²– 9 = 0; 3) 5х²– 20 = 0. (неполные квадратные уравнения). Решите эти уравнения.

Итак, мы вспомнили, как решать неполные квадратные уравнения. Вы также умеете решать полные квадратные уравнения. Какой алгоритм решения?

1. Выписываем коэффициенты.

2. Вычисляем дискриминант.

3. Если дискриминант меньше нуля, то корней нет, иначе находим корни по формуле корней.

Вспомните формулу для нахождения дискриминанта и запишите ее в виде алгебраической формулы. D = b² – 4ac.

Напишите формулу корней квадратного уравнения.

Отвечают на вопросы.

1)Научились решать способом выделения квадратного двучлена уравнения, по формулам корней квадратного уравнения

2) (ах² + bх + с = 0, где а ≠ 0

3) Приведенные уравнения называются неполными

Называют алгоритм решения квадратных уравнений по формуле. Вспоминают формулы дискриминанта и корней уравнения.

Постановка учебной задачи

Активизирует учащихся на познавательную деятельность и предлагает сформулировать цели урока

Формулируют цель

Регулятивные: целеполагание; планирование своей работы

На уроках математики мы решаем квадратные уравнения по формуле, и это занимает много времени для вычислений.

А можно ли использовать компьютер для быстрого решения квадратного уравнения и как это сделать? (с помощью калькулятора вычислить дискриминант и корни; в электронных таблицах, языки программирования).

Мы еще не знакомы с языками программирования и не можем составить программу для решения квадратных уравнений. Но нам помогут электронные таблицы.

Также по известным коэффициентам можно решать уравнения графически, но не строить графики самостоятельно, а можно использовать различные графикопостроители. Сегодня мы познакомимся с таким приложением как Microsoft Mathematics 4.0. и научимся решать квадратные уравнения в нем с помощью графиков.

Итак, сегодняшняя задача сводится к следующему: по известным коэффициентам квадратного уравнения вычислить дискриминант, сделать вывод о наличии корней и, если корни есть, найти их.

Учащиеся рассуждают о том, что можно ли решать квадратные уравнения с помощью компьютера.

Объяснение темы

Давайте вместе составим таблицу, которая будет вычислять корни квадратного уравнения.

1.Открываем шаблон таблицы, для вычисления[Рисунок2]. Чтобы представить формулы для решения квадратного уравнения в электронных таблицах потребуются логическая функция ЕСЛИ и математическая функция КОРЕНЬ. Эти функции можно вызвать, используя мастер функций (на стандартной панели кнопка fx).

Рисунок 2

2. Заполняем данными таблицу, т.е. записываем коэффициенты a=1, b=3, c=-4.

3. В ячейке B5 мы должны записать формулу для вычисления дискриминанта. Для расчета дискриминанта в математике формула будет выглядеть так  D = b² – 4ac. Давайте подумаем как эта формула будет выглядеть в Excel? (Вместо a,b,c подставляем номер ячейки, в которой стоит соответствующее числовое значение. Для введенных коэффициентов будет посчитан дискриминант [Рисунок 3].

Рисунок 3

4. Далее нам нужно узнать есть ли корни для заданных коэффициентов, и какие они, если есть. Для этого воспользуемся функцией ЕСЛИ. Запишем условия для наличия корней: если D<0, то корней нет, иначе корни будут. Условие в Excel будет выглядеть так[рисунок 4]:

Рисунок 4

5. После того, как определили, что корни уравнения есть необходимо его решить. В ячейка D5 и D6 записываем формулы корней квадратного уравнения через функции ЕСЛИ и КОРЕНЬ. Формулы для корней уравнения мы повторили в начале урока, как вы думаете, как они будут выглядеть для Excel? (Вместо a, b, c можем подставить соответствующую ячейку на место в формуле, также сделать и для дискриминанта). После того, как ввели формулы корней получили результаты [Рисунок 5].

Рисунок 5

В получившуюся таблицу давайте подставим значения:

1. a=3, b=-5, c=-2; (2 корня)

2. a=4, b=-12, c=9; (1 корень)

3. a=2, b=7, c=8; (решений нет)

После подстановки давайте проверим, так ли работает программа. На прошлом уроке мы решали с вами эти же уравнения, сравните полученные ответы.

Можете сохранить себе эту таблицу, чтобы в дальнейшем проверять себя.

Совместно с учителем составляют таблицу в EXCEL, учатся ее использовать в решении уравнений, проверяют правильность составления таблицы путем решения конкретных примеров.

Познавательные: общеучебные- умение структуировать знания, выбор наиболее эффективных способов решения задания, умения осознанно и произвольно строить речевое высказывание, рефлексия способов и условий действия;

коммуникативные: выражение своих мыслей.

Часть 2

Также сегодня с вами рассмотрим графическое решение квадратных уравнений с помощью графикопостроителя. Для начала давайте вспомним алгоритм решения уравнений графическим способом. (представить уравнение в виде элементарных функций, в одной системе координат построить график каждой функции, найти абсциссы точек пересечения графиков).

Изучим новую программу Microsoft Mathematics 4.0. Microsoft Mathematics – это специальный калькулятор для решения математических задач, визуализации двумерных и трехмерных графиков.  Сначала давайте рассмотрим интерфейс программы [Приложение], [рисунок 6].

Рисунок 6

Данная программа поможет нам без построения графиков на бумаге узнать имеют ли корни уравнения.

Перед нами находятся две вкладки для работы и калькулятор. Давайте перейдем во вкладку «Построение графиков». Перед нами появилась панель управления и справка [рисунок 7].

Рисунок 7

На появившейся панели выбираем вкладку «Уравнения и функции» и в ней будем решать уравнение . Уравнение записываем в виде двух функций:

и

Функции располагаем по предложенным строкам. Выбираем построение в квадратной системе координат и нажимаем на кнопку «График». На панели меню Формат выбираем «Диапазон графика» и в нем устанавливаем удобным нам масштаб. Получили два пересечения с осью Ох, следовательно, уравнение имеет два корня [рисунок 8].

Рисунок 8

Для нахождения самих корней переходим во вкладку лист и записываем еще раз уравнение. Уравнение будет подробно решено двумя способами.

Изучают новую программу, изучают ее интерфейс, учатся ею пользоваться и применять к решениям квадратных уравнений графическим способом. Проверяют на практике как работает данная программа.

Домашнее задание и подведение итогов

Сегодня на уроке мы составили таблицу вычисления квадратных уравнений в MS EXCEL и научились работать в программе Microsoft Mathematics 4.0.

Обе программы вы можете использовать при выполнении различных заданий, проверять себя.

Домашнее задание: Решить уравнения:

x² — 7x + 6 = 0

x² — 2x + 1 = 0

x² — 10x + 16 = 0

x² — 9x + 14 = 0

x² — 11x + 30 = 0

Подводят итоги, делятся своими наработками за проведенное занятии.

Личностные: самоопределение.

Рефлексия

Организует рефлексию.

На листочках нарисуйте круг и разделите его на три части. В каждой части напишите: было легко и интересно; было трудно, но интересно; было трудно и неинтересно. Закрасьте ту часть круга, которая соответствует вашему настроению.

Осуществляют самооценку собственной учебной деятельности, соотносят цель и результаты, степень их соответствия

Личностные: самоопределение.

Овладение расчетами с помощью Excel при решении квадратных уравнений по формуле — ИНФОРМАТИКА — ОТКРЫТЫЙ УРОК — РЕФЕРАТЫ

Цели урока:

• по математике: повторение формул нахождения дискриминанта и корней квадратного уравнения;
• по информатике: решение расчетной задачи с использованием  математических и логических функций для решения квадратного уравнения в среде электронных таблиц Excel;
• общеучебные: развитие логического и алгоритмического мышления, памяти, умения внимательно и правильно выполнять  инструкцию.

Тип урока: урок совершенствования знаний, умений и навыков.

Оборудование: компьютеры, раздаточный материал (технология решения задачи), карточки для самостоятельной работы, мультимедиапроектор.

ХОД УРОКА

«Сегодня без знаний компьютера невозможно обучение,  профессиональный рост и, в конечном счете, благополучие»

I. Постановка задачи

(На экране демонстрируется слайд 1)

Учитель: На уроках математики мы решаем квадратные уравнения по формуле, и это занимает много времени для вычислений.
Еще Готфрид Лейбниц в XVII в. заметил «Недостойно одаренному человеку тратить, подобно рабу, часы на вычисления, которые, безусловно, можно было бы доверить любому лицу, если при этом применить машину» Видя, как много вычислений приходится делать его другу астроному Христиану Гюйгенсу, Лейбниц решил изобрести механическое устройство для расчетов, создание которого он закончил в 1694 г.
Обсудим проблему, а можно ли использовать компьютер для быстрого решения квадратного уравнения и как это сделать? (Ученики высказывают свои варианты: с помощью калькулятора вычислить дискриминант и корни; в электронных таблицах вычислять дискриминант и корни удобнее).
Итак, наша задача сводится к следующему: по известным коэффициентам квадратного уравнения вычислить дискриминант, сделать вывод о наличии корней и, если корни есть, найти их. Мы еще не знакомы с языками программирования и не можем составить программу для решения квадратных уравнений. Оказывается можно программировать без языков программирования. Помогут нам электронные таблицы.
Запишите тему урока «Овладение расчетами с помощью Excel при решении квадратных уравнений по формуле».

II. Актуализация знаний учащихся

Фронтальный опрос

а) по информатике (Слайд 2)

1) Для чего предназначены электронные таблицы? (ЭТ – это инструмент для табличных расчетов)
2) Из чего состоит имя ячейки? (Из имени столбца и номера строки. 2 – 4*а*с. По управляющей кнопке возвращаемся на слайд 3)
3) Напишите формулу корней квадратного уравнения. (Гиперссылка на слайд 5) ученики проверяют свой ответ. D =

Учитель: Как же записать формулу корней в электронной таблице. Мы знаем,  как записываются арифметические операции. А как же записать квадратный корень? Для этого используем математическую функцию КОРЕНЬ.
По щелчку на слайде 5 появляются последовательно две формулы для корней:

= (–b+корень(D))/(2*a)
= (–b–корень(D))/(2*a)

в) Задание для учащихся (слайд 6)

Решите уравнения: х² – 3х + 2 = 0;  2х² – 2х + 3 = 0;  4х² – 4х + 1 = 0.

(Три ученика решают у доски, остальные в тетрадях. Ответы остаются на доске. )

III. Постановка задачи

Учитель: Вы решали квадратное уравнение по формуле корней. Какой алгоритм решения?

Ученики:

1. Выписываем коэффициенты.
2. Вычисляем дискриминант.
3. Если дискриминант меньше нуля, то корней нет, иначе находим корни по формуле корней. (Демонстрируется блок-схема слайд 7)

IV. Математическая модель

Пусть а, b, с – коэффициенты квадратного уравнения (а =/= 0),
D – дискриминант, тогда D = b² – 4ас,
x ₁, x₂ – корни уравнения,

V. Объяснение темы

Учитель: Откройте ЭТ Excel. Переименуйте лист на квадратное уравнение. Чтобы представить формулы для решения квадратного уравнения в электронных таблицах потребуются логическая функция  ЕСЛИ и математическая функция КОРЕНЬ.
Эти функции можно вызвать, используя мастер функций (на стандартной панели кнопка f_x) и категории математические и логические. А можно набирать с клавиатуры самим. Пока мы будем набирать с клавиатуры.
У вас на столах есть карточки с технологией решения задачи, если вы точно все выполните, то, сохранив файл, вы всегда быстро решите любое квадратное уравнение, изменив значения коэффициентов квадратного уравнения. Электронная таблица мгновенно найдет корни.

VI. Работа на компьютере

Учитель использует мультимедиапроектор и одновременно с учениками выполняет работу в электронных таблицах Excel и все учащиеся могут видеть на экране результат.

Учитель: Следуя технологии решения задачи для уравнения х² – 3х + 2 = 0; вы получаете таблицу:

Для проверки правильности ввода формул, то есть для отображения в ячейках не чисел, а формул, учитель предлагает ученикам ввести команду [Cервис–параметры…–формулы]. Получаем таблицу:

Вернитесь к первоначальному состоянию[Cервис–параметры….  выключите флажок формулы]

VII. Самостоятельная работа

а) Сделайте отладку задачи на двух других уравнениях:

2х² – 2х + 3 = 0 и 4х² – 4х + 1 = 0.

Для этого введите значения новых коэффициентов. Сделайте вывод.

 (Программа составлена верно, так как все ветви работают правильно).

б) Работа по карточкам:

Приведите квадратные уравнения к стандартному виду и решите уравнения с помощью составленной программы. 

VIII. Итог урока

Учитель: Что нового для себя узнали на уроке? Что понравилось?

IX. Домашнее задание

Составьте формулы для решения линейного уравнения ах = b в электронных таблицах.

Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами и комплексной переменной.

2+20=0.$

Ответ: $z_{1,2}=\pm 2i$ $z_{3,4}=\pm\sqrt 5i.$ 

 

Калькулятор квадратного уравнения онлайн

Квадратное уравнение-многочлен уравнения второй степени. Общий вид: ax² + bx + c = 0, где ≠ 0

Пример ,Введите a=1, b=8 и c=16. a*x² + b*x + c = 0

Формула квадратного уравнения

x =(- b ±√ (b² — 4 * a * c)) / 2 * a

Квадратное уравнение это полиномиальное уравнение второй степени. Общий вид которого  ax²+bx+c=0, где a ≠0.

Формула квадратного уравнения:

ax² + bx + c = 0,

где,

• a = коэффициент x²
• b = коэффициент x
• c = константа.

 

Квадратное уравнение решение:

x = (- b ± √ (b² — 4 * a * c)) / 2 * a

 

Пример 1:

Вычислите корни (x1, x2) из квадратного уравнения, x² + 2x — 8 = 0.

Шаг 1:

Из приведенного выше уравнения, значение a = 1, b = 2 и c = — 8.

Шаг 2:

Найдем  X: Подставим значения в формулу x = (- b ±√ (b² — 4 * a * c)) / 2 * a

Шаг 3:

Получаем корни, x = (- 2 ±√ 2² — 4 * 1 * — 8) / 2 * 1,  x = — 4 и x = 2 , соответственно x1 = — 4 и x2 = 2.

Пример 2 :

Вычислите корни (x1, x2) квадратного уравнения, x² — 10x + 25 = 0

Шаг 1:

Из приведенного выше уравнения, значение a = 1, b = — 10 and c = 25.

Шаг 2:

Найдем  X: Подставим значения в приведенную формулу x = (- b ±√ (b² — 4 * a * c)) / 2 * a

Шаг 3:

Получили корни, x = (- 2 ±√(2² — 4 * 1 * — 8)) / 2 * 1 x = 5 и x = 5, соответственно x1 = 5 и x2 = 5. Здесь х = 5, называется двойным корнем.

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!Больше интересного в телеграм @calcsbox

Решение квадратных уравнений Какое уравнение называется квадратным

Решение квадратных уравнений

Какое уравнение называется квадратным? Формула для вычисления дискриминанта. Формулы для нахождения корней. Определение неполного квадратного уравнения. Решение неполных квадратных уравнений. Теорема Виета. Корни квадратного уравнения для чётного b. Особые случаи. Проверь себя. Старинная индийская задача

Определение: Квадратное уравнение — это уравнение вида aх2+ bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0. Квадратные уравнения можно условно разделить на три класса: 1. Не имеют корней; 2. Имеют ровно один корень; 3. Имеют два различных корня.

Дискриминант D = b 2− 4 ac. 1. Если D 0, корней будет два.

Корни квадратного уравнения

Неполные квадратные уравнения Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т. е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Решение неполных квадратных уравнений

Теорема Виета ax 2+bx+c=0 Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.

Корни квадратного уравнения для чётного b ax 2+2 kx+c=0

Особые случаи: ax 2+bx+c=0 если a+b+c = 0, то х1 = 1, а х2 =c/a. если a + c = b , то х1 = – 1, а х2 =-c/a.

Сколько корней имеют квадратные уравнения: x 2 − 8 x + 12 = 0; 5 x 2 + 3 x + 7 = 0; x 2 − 6 x + 9 = 0.

Решение Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант: a = 1, b = − 8, c = 12; D = (− 8)2 − 4 · 12 = 64 − 48 = 16 Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение: a = 5; b = 3; c = 7; D = 32 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = − 131. Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение: a = 1; b = − 6; c = 9; D = (− 6)2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0. Дискриминант равен нулю — корень будет один. Ответ1) 2 корня; 2) нет корней; 3) один корень.

Решить квадратные уравнения: а)x 2 − 2 x − 3 = 0; б)15 − 2 x − x 2 = 0; в) x 2 + 12 x + 36 = 0.

Решение

Решение:

Решение:

Решить неполные квадратные уравнения: а)x 2 − 7 x = 0; б)5 x 2 + 30 = 0; в)4 x 2 − 9 = 0.

Решение: а)x 2 − 7 x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(− 7)/1 = 7. б)5 x 2 + 30 = 0 ⇒ 5 x 2 = − 30 ⇒ x 2 = − 6. Корней нет, т. к. квадрат не может быть равен отрицательному числу. в)4 x 2 − 9 = 0 ⇒ 4 x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1, 5; x 2 = − 1, 5. Ответ: а) x 1 = 0; x 2 = 7; б) корней нет; в) x 1 = 1, 5; x 2 = 1, 5.

Решите уравнения 2 х²-5 х+3=0 4 х²+7 х+3=0 3 х²+4 х-7=0 2 х²-5 х-7=0 -9 х²+8 х+1=0 -3 х²+5 х+8=0

Таблица для первой группы а в с а+в+с 2 -5 3 2 -5+3=0 1 3 4 -7 3+4 -7=0 1 -9 8 1 -9+8+1=0 1

Таблица для второй группы а 4 в 7 с 3 а+в+с 4+3=7 -1 2 -5 -7 2 -7+-5 -1 -3 5 8 -3+8=-5 -1

Одна из задач знаменитого индийского математика XІІ века Бхаскары Обезьянок резвых стая Всласть поевши, развлекалась. Их в квадрате часть восьмая На поляне забавлялась. А двенадцать по лианам… Стали прыгать повисая… Сколько было обезьянок Ты скажи мне, в этой стае? .

Решение задачи Бхаскары

Успехов вам при решении квадратных уравнений

Калькулятор квадратичной регрессии — высокоточный расчет

[1] 08.01.2022 02:03   30-летний уровень / Инженер / Очень /

Цель использования

Подгонка кривой производительности насоса к напору

[2]  2022/01/01 06:35   60 лет и старше / Высшая школа / Университет / Аспирант / Полезный /

Цель использования

сигнал для компьютерной музыкальной системы.Кроме того, чтобы увидеть, можете ли вы использовать это для вычисления значений синуса с использованием двух квадратных уравнений, одно из которых является значением коррекции, добавляемым к другому, чтобы получить его. Я думаю, что это было бы быстрее для вычисления значений синуса, чем серия Тейлора-Мак, это было бы быстрее.
Надеюсь, это сработает.

[3]  2021/12/27 01:51   30-летний уровень / Высшая школа/ Университет/ Аспирант / Полезный /

Цель использования

расчет ожидаемого токена в криптомонете IDO

Комментарий /Запрос

спасибо

[4]  2021/12/19 03:37   60 лет и старше / Пенсионер / Полезно /

Цель использования

проверка анализа сайта в сравнении с LibreCalc.2. Ссылка OEIS A349791.

Комментарий/Запрос

Хотелось бы иметь возможность принудительного перехвата (A)=0

[5]  2021/12/07 11:02   30-летний уровень / Инженер / Очень /

Цель использования

Построение фонтана параболической дорожки, проходящей через определенные сооружения (точки)

[6]  2021/12/03 11:08   До 20 лет/Средняя школа/Вуз/Аспирант/Очень/

Цель используйте

Math Project

[7]  03.06.2021 13:25   20-летний уровень / Инженер / Очень /

Цель использования

Более точная квадратичная регрессия, чем Excel, для использования в управлении процессами. 2+Bx регрессия).

[8]  01.05.2021 06:04   Младше 20 лет / Старшая школа/ Университет/ Аспирант / Очень /

Цель использования

показал мне пошаговый способ решения уравнений квадратичной регрессии .

[9]  2021/04/29 01:31   Младше 20 лет / Высшая школа/ Университет/ Аспирант / Очень /

Цель использования

Алгебра II работа по моделированию ситуаций с квадратиками

2 [10]  2021/04/26 19:34   Младше 20 лет / Начальная школа / Ученик средней школы / Очень /

Цель использования

домашнее задание по алгебре

Сравнение свойств квадратичных функций, заданных в виде уравнений и таблиц | Алгебра

Сравнение свойств квадратичных функций, заданных в виде уравнений и таблиц

Шаг 1: Найдите вершину функции в форме уравнения.

Шаг 2: Найдите вершину функции в виде таблицы.

Шаг 3: Сравните вершины.

Сравнение свойств квадратичных функций, представленных в виде уравнений и таблиц: словарь и уравнения

Вершина: Вершина квадратичного уравнения — это точка пересечения графика с осью симметрии (линия, делящая параболу пополам). 2 +28x -96 {/экв}

Функция 2:

{экв}\начало{массив}{|с|с|} \hline х&f(х)\\ \hline -4&-16 \\ \hline -3&-7 \\ \hline -2&-4\\ \hline -1&-7\\ \hline 0&-16\\ \hline 1&-31\\ \hline \конец{массив} {/экв}

Шаг 1: Найдите вершину функции в форме уравнения.2 +28x -96 $$

Итак: $$\begin{align} а& = -2\\ б& = 28\\ с& = -96\\ \end{выравнивание} $$

Подставляя наши значения в уравнение, мы имеем: $$\begin{align} х &= \dfrac{-b}{2a}\\ х &= \dfrac{-28}{2(-2)}\\ &= \dfrac{-28}{-4}\\ &= 7 \end{выравнивание} $$

Теперь, когда мы знаем {eq}x {/eq}-координата вершины, нам нужно только подставить это значение в уравнение {eq}f(x) {/eq}, чтобы найти соответствующий {eq}y {/eq} значение для вершины.2 +28(7)-96\\ &=-2(49)+196 -96\\ &=-98+196 -96\\ & = 2 \end{выравнивание} $$

Следовательно, вершина функции 1 есть {eq}(7,2) {/экв}.

Шаг 2: Найдите вершину функции в виде таблицы.

Чтобы определить вершину по координатным точкам, указанным в таблице, необходимо учесть две вещи:

• Квадратичный имеет форму параболы и всегда симметричен.
• Обратите внимание на точки в таблице, которые разделяют {eq}y {/eq} значений? Они соответствуют симметричным точкам параболы.Это говорит нам о том, что вершина должна быть посередине между ними.

Итак, давайте рассмотрим две точки: {eq}(-3,-7) \text { и } (-1,-7) {/экв}

Поскольку эти точки должны находиться поперек параболы друг от друга, {eq}x {/eq}-координата вершины должна быть посередине между -3 и -1.

Теперь, чтобы найти среднее между любыми двумя числами, мы просто складываем два числа и делим на 2: $$\frac{-3 + (-1)}{2} = -2 $$

Итак, среднее значение между -3 и -1 равно -2.Но мы видим, что у нас есть точка для {eq}x = -2 {/eq} в таблице.

В этом суть {eq}(-2, -4) {/экв}!

Быстрый набросок всегда поможет прояснить этот момент. Например, нанеся точки из нашей таблицы, вершина будет хорошо видна!

Следовательно, вершина функции 2 равна {eq}(-2, -4) {/экв}.

Шаг 3: Сравните вершины.

Функция 1 имеет максимум, потому что открывается вниз (об этом говорит старший коэффициент -2!).Функция 2 также имеет максимум с учетом значений в таблице (быстрый набросок выше показывает это!)

Сравнивая две вершины, мы имеем:

• Функция 1 вершина: {eq}(7,2) {/экв}

• Вершина функции 2: {eq}(-2, -4) {/экв}

Максимальное значение функций определяется выражением {eq}y {/eq}-координата вершины.

Таким образом, максимальное значение функции 1 равно 2, а максимальное значение функции 2 равно -4.

Следовательно, функция 1 имеет наибольшее максимальное значение, и это значение равно 2.{2}-6х-14 {/экв}

Функция 2:

{экв}\начало{массив}{|с|с|} \hline х&f(х)\\ \hline -1&-38 \\ \hline 0&-50\\ \hline 1&-54\\ \hline 2&-50\\ \hline 3&-38\\ \hline 4&-18\\ \hline \конец{массив} {/экв}

Шаг 1: Найдите вершину функции в форме уравнения. {2}-6(6) — 14\\ &= \frac{1}{2}(36)-36 — 14\\ &= 18-36 — 14\\ &= -32 \end{выравнивание} $$

Следовательно, вершина функции 1 равна {eq}(6,-32) {/экв}.

Шаг 2: Найдите вершину функции в виде таблицы.

Одна пара симметричных точек в таблице для функции 2: {eq}(0,-50) \text { и } (2,-50) {/экв}

Среднее между 0 и 2 равно 1. Точка {eq}(1,-54) {/eq}.

Следовательно, вершина функции 2 равна {eq}(1,-54) {/экв}.

Шаг 3: Сравните вершины.

Старший коэффициент функции 1 и точки в таблице для функции 2 говорят нам, что обе функции открываются и, следовательно, имеют минимум.

Сравнивая две вершины, мы имеем:

• Функция 1 вершина: {eq}(6,-32) {/экв}

• Вершина функции 2: {eq}(1,-54) {/экв}

Функция 1 имеет минимальное значение -32, а Функция 2 имеет минимальное значение -54.

Следовательно, функция 2 имеет наименьшее минимальное значение, и это значение равно -54.

Получите доступ к тысячам практических вопросов и пояснений!

Как освоить квадратичную регрессию

Подобно функциям, квадратичная регрессия — это способ моделирования связи между двумя наборами независимых переменных.Квадратичная регрессия — это процесс определения уравнения параболы, которое лучше всего соответствует набору данных. Этот набор данных представляет собой заданный набор точек графика, составляющих форму параболы. Уравнение параболы: y = ax2 + bx + c, где a никогда не может быть равно нулю.

Графики квадратичных функций имеют нелинейную U-образную форму с экспоненциальными кривыми по обе стороны от одного перехватывающего значения y. Мы покажем вам, как использовать это уравнение.

Применение уравнения квадратичной регрессии

Лучший способ определить уравнение параболы без калькулятора квадратичной регрессии — использовать метод наименьших квадратов.Используя заданный набор данных, вам нужно определить значения a, b,   и  c, чтобы квадрат вертикального расстояния между каждой заданной точкой (x, y) и уравнением параболы, также известным как квадратичная кривая, был минимальный. Это расстояние должно быть минимальным, чтобы гарантировать наиболее точное определение уравнения параболы.

Для этого процесса необходимо выполнить следующие шаги:

Шаг 1

Создайте таблицу со всеми вашими значениями x и y. Когда вы подставите эти значения в графический калькулятор, они должны сформировать параболу:

Шаг 2

Создайте 5 дополнительных столбцов и рассчитайте.4, 9669. Используя матричное уравнение, заполните все суммы:

Шаг 5

Решите для a, b, и c , выделив каждую из этих переменных с помощью онлайн-калькулятора. Ваш результат должен быть следующим:

и = -0,3660714

б = 3,015714

с = 30,42179

Шаг 6

Подставляем эти значения (с округлением до 3-го десятичного знака) в наше квадратное уравнение:

Квадратичная регрессия — сложный метод, с которым можно справиться вручную. К счастью, существует множество веб-сайтов, которые предоставляют онлайн-калькуляторы, которые значительно упрощают решение модели квадратичной регрессии. Однако, если этот параметр недоступен, выполните описанные выше действия.

Хотя приведенные выше таблицы и уравнения могут показаться пугающими, немного попрактиковавшись, вы быстро станете профессионалом в поиске квадратичной регрессии.

Помощь с домашним заданием по математике

Напишите квадратичную функцию для представления взаимосвязи между двумя величинами из графика, письменного описания или таблицы значений в математическом или реальном контексте.

MA.912.AR.3.4 — Напишите квадратичную функцию для представления отношения между двумя величинами из графика, письменного описания или таблицы значений в математическом или реальном контексте.

Веб-сайт несовместим с используемой вами версией браузера. Не все функции могут быть доступны. Пожалуйста, обновите ваш браузер до последней версии.

Напишите квадратичную функцию для представления отношения между двумя величинами из графика, письменного описания или таблицы значений в математическом или реальном контексте.

Примеры

Алгебра I Пример: Учитывая приведенную ниже таблицу значений квадратичной функции, напишите уравнение этой функции.

9 x -1 -1 0 9 9 2 -1 -2 -1 2 Разъяснения Пояснение 1 : В рамках курса Алгебра 1 график, письменное описание или таблица значений должны включать вершину и две точки, равноудаленные от вершины. Пояснение 2 : Инструкция включает использование стандартной формы, факторизованной формы и вершинной формы. Пояснение 3 : В курсе Алгебра 2 одна из заданных точек должна быть вершиной или точкой пересечения x . Общая информация Предметная область: Математика (Б.СТАНДАРТНОЕ ВОСТОЧНОЕ ВРЕМЯ. — Действует с 2022-2023 гг.) Класс: 912 Strand: Алгебраические рассуждения Дата принятия или пересмотра: 08/20 Статус: Утвержден Государственным советом Связанные точки доступа Альтернативная версия этого теста для учащихся с серьезными когнитивными нарушениями. MA.912.AR.3.AP.4: Выберите квадратичную функцию для представления отношения между двумя величинами на графике. Связанные ресурсы Проверенные ресурсы, которые преподаватели могут использовать для обучения концепциям и навыкам в этом эталонном тесте. Ресурсы для учащихся Проверенные ресурсы, которые учащиеся могут использовать для изучения концепций и навыков в этом тесте. Ресурсы для родителей Проверенные ресурсы, которые воспитатели могут использовать, чтобы помочь учащимся освоить концепции и навыки в этом эталонном тесте. Загрузка…. Математическая сцена — Уравнения III — Урок 3 Математическая сцена — Уравнения III — Урок 3 — Квадратные уравнения 2008 Расмус Эф и Джанн Сак Уравнения III Урок 3 Перекресток точек графиков Как мы найдем точки, в которых два графика y = f(x) и y = g(x) пересекаются? Мы уже знаем, как найти, где график f(x) пересекает ось x.Вот где y = 0. Мы вычисляем его, решая уравнение f(x) = 0 . Когда графики y = f(x) и  y = g(x) пересекаются, оба графика имеют точно такие же значения x и y. Таким образом, мы можем найти точку или точки пересечение путем решения уравнения  f(x) = г(х). Решение этого уравнения даст нам значение(я) x точка (точки) пересечения. Затем мы можем найти значение y, подставив значение для x, которые мы нашли, в одно из исходных уравнений.то есть по расчету либо f(x), либо g(x). Пример 1  Рассчитать точку пересечение двух прямых f(x) = 2x − 1 и g(x) = x + 1. Первая давайте посмотрим на график двух функций. Мы можем видеть точку пересечение (2, 3). Вычисляем точку пересечения по решение уравнения f(x) = g(x). То есть:     2x − 1 = x + 1     2x − x = 1 + 1             х = 2 Координата y теперь может быть найдена с помощью вычисление f(2):     f(2) = 2×2 − 1 = 3 Точка пересечения (2, 3) . Пример показывает, что мы можем найти точку пересечения двумя способами. Либо графически, рисуя два графика в одной системе координат, либо алгебраически, решая уравнение, такое как в приведенном выше примере. Решить уравнение графически легко с помощью графический калькулятор или компьютерная программа, такая как Excel. Некоторые уравнения не могут быть решены алгебраически, но мы можем найти решения, которые исправить столько значащих цифр, сколько мы хотим, используя компьютеры и калькуляторы. Пример 2 Решите уравнение x 2 — 2x — 3 = 2x — 3 сначала графически, затем алгебраически.                 Рисуем графики f(x) = x 2 − 2x — 3 и g (x) = 2x — 3, составив таблицу значений и построив график точки. Мы видим, как из графика, так и из таблицы значений, что графики пересекаются, когда x = 0 и x = 4 . Алгебраическое решение:     x 2 − 2x − 3 = 2x − 3           x 2 − 4x = 0          х(х — 4) = 0 Получение решений x = 0 и x = 4 . Пример 3 Решите уравнение x 2 — 1 = 2x — 3 Сначала переместите все условия перейти к левой части уравнения и упростить. Это дает x 2 − 2x + 2 = 0 Используем квадратичную формулу с a = 1, b = −2 и с = 2, Число под знаком квадратного корня отрицательное, что означает, что это уравнение не имеет решения. Чтобы понять, почему это так, нарисуем графики левой части исходного уравнение  f(x) = x 2 − 1 и правая часть g(x) = 2x − 3,                            Мы видим, что парабола f(x) и прямая g(x) не пересекаются.Легко видеть, что мы не может вычислить точку пересечения просто потому, что такой точки нет. Пример 4 Решите уравнение   x 3 − 3x + 2 = x 2 − 2x + 1 Как и в предыдущем примере, мы перемещаем все члены в левой части уравнения. х 3 — 3х + 2 = х 2 — 2х + 1 x 3 − x 2   − x + 1 = 0 (х 3 — х 2 ) — (х — 1) = 0 х 2 (х — 1) — (х — 1) = 0 (х — 1)(х 2 — 1) = 0 (х — 1) (х — 1) (х + 1) = 0 Расчеты показывают, что есть только два решения, x = 1 и x = -1, но кубическое уравнение может иметь три решения. График показывает нам, что происходит.                            Графики f(x) = x 2 − 2x + 1 и g(x) = x 3 — 3x + 2 пересекаются только в двух местах, где x = −1 и x = 1, которые были решениями уравнение. Пример 5 Решите уравнение    x 2 = x Легко видеть, что x = 0 и x = 1 равны решения уравнения, но есть ли еще решения? Это не очень вероятно, но давайте посмотрим на графики. Назовем левую часть f(x) = x 2 , а правую часть g(x) = x. Помните, что g(x) не может принимать отрицательные значения x, поэтому не может быть никаких отрицательные точки пересечения.                            На графике видно, что точек всего две пересечения и, следовательно, только два решения уравнения. х = 0 и х = 1. Вот как решить уравнение вычислением: х 2 = х x 4 = x   х 4 — х = 0 х(х 3 — 1) = 0 Квадрат обе части уравнения, чтобы избавиться от квадратного корня . Это дает решение x = 0 и x = 1 . Пример 6 Решить уравнение ln x = x 2 − 1 Это уравнение не так просто решить. Если мы помните определение логарифма, мы можем видеть, что x = 1 делает обе части уравнение равно 0 и, следовательно, является одним решением уравнения. Мы рисуем графики, чтобы увидеть, есть ли какие-либо другие решения.                            График показывает нам, что есть два решения. Одно решение равно x = 1, потому что e 0 =1. Обратите внимание, что мы выбираем значения x так, чтобы значения y становятся все ближе и ближе друг к другу в таблице ценностей. Таким образом мы можно выбрать значение x, чтобы получить желаемую точность. Пример 7   EXCEL    Если мы используем графический калькулятор, мы можем найти решение уравнения ln x = x 2 − 1 гораздо проще. Рисуем графики обеих сторон уравнение и используйте Zoom (Shift F2), а затем Trace (Shift F1), чтобы найти точка пересечения. Еще проще использовать G-Solve ( F5) и затем функция пересечения ISCT (F5) . Это дает нам первую точку пересечение. Затем мы нажимаем стрелку вправо, и калькулятор переходит к вторая точка пересечения. Программа электронных таблиц EXCEL есть инструмент под названием цель искать для решения уравнений, которые не могут быть легко решается алгебраически. Начните с изменения уравнения, как показано на рисунке.     ln x = x 2 − 1     1 = х 2 — ln х Откройте EXCEL и начните с выбора или угадывания начальное значение для х. Введите это в ячейку B2. Мы можем, например, выбрать 0,1. Затем мы помещаем формулу, которая у нас есть в правой части уравнения, x 2 — ln x , в ячейку D2. Формула будет выглядеть так:     = B2^2−ln(B2) Теперь выберите Инструменты а затем «Поиск цели» в строке меню. То на экране появляется следующее: Пишем  D2, 1 и B2 в местах, как показано. Мы просим Excel сделать значение ячейки D2 равным на значение 1, изменив значение в B2.  Когда мы нажимаем на OK, появляется следующая информация. Это говорит нам о том, что приближение x ≈ 0,45, которое мы нашли графически в примере 6, довольно хорошо. Решение x ≈ 0.4500289 найдено с помощью EXCEL не намного лучше. Пройди тест 3 по уравнениям III. Не забудьте использовать контрольный список для следить за своей работой. Квадратичная регрессия: простое определение, инструкции TI-Calculator Регрессионный анализ > Квадратичная регрессия Содержание (Нажмите, чтобы перейти к этому разделу): Что такое квадратичная регрессия? Квадратное уравнение R-квадрат Найдите уравнение с помощью калькулятора Поиск вручную Точки данных, которые предполагают квадратичную регрессию, хорошо подходят. Квадратичная регрессия находит уравнение наилучшего соответствия для набора данных в форме параболы. Первым шагом в регрессии является создание точечной диаграммы . Если ваша точечная диаграмма имеет форму буквы «U», либо вогнутая вверх (как буква U), либо вогнутая вниз (∩), вы, вероятно, рассматриваете какой-то тип квадратного уравнения как наиболее подходящий для ваших данных. Квадратичный не обязательно должен быть полной U-образной формой; вы можете иметь часть его (скажем, четверть или 3/4). Квадратичная регрессия является расширением простой линейной регрессии. В то время как линейная регрессия может быть выполнена всего с двумя точками (т. е. достаточным количеством точек, чтобы провести прямую линию), квадратичная регрессия имеет недостаток, заключающийся в том, что требуется больше точек данных, чтобы ваши данные попадали в форму буквы «U». Технически это может быть выполнено с тремя точками данных, которые соответствуют форме буквы «V», но желательно больше точек. Поскольку требуется больше точек данных, это также более затратно, чем простая линейная регрессия (Leeuwen, 2010). Уравнение квадратичной регрессии Квадратичная регрессия — это способ моделирования связи между двумя наборами переменных.Результатом является уравнение регрессии, которое можно использовать для прогнозирования данных. Уравнение имеет вид: y = ax 2 + bx + c, , где a ≠ 0, Что такое R-квадрат в квадратичной регрессии? R Квадрат (коэффициент детерминации или R2) сообщает вам , насколько изменение y объясняется переменными x . Диапазон значений составляет от 0 до 1, где 0 — 0 % вариации, а 1 — 100 % вариации. Он используется для анализа того, как различия в одной переменной могут быть объяснены различием во второй переменной.Например, когда женщина беременеет, это напрямую связано с тем, когда она родит, поэтому R-квадрат будет близок к 100%. С другой стороны, R-квадрат будет практически равен нулю, если женщина забеременеет и устроит вечеринку по случаю выхода на пенсию для родителя. Найдите уравнение с помощью калькулятора Содержимое: Инструкции TI-83 Инструкции TI-89 Шаг 1: Нажмите STAT, затем нажмите ENTER , чтобы открыть экран списков.Если у вас уже есть данные в L1 или L2, очистите данные: переместите курсор на L1, нажмите CLEAR и затем ENTER. Повторите для L2. Шаг 2: Введите x-переменные по одной в столбец L1. Нажимайте клавишу ENTER после каждого ввода. Шаг 3: Используйте клавиши со стрелками для прокрутки до L2 (следующий столбец справа). Шаг 4: Введите переменные y по одной за раз. Нажимайте ENTER после каждого числа. Шаг 5: Нажмите кнопку STAT , затем с помощью клавиши прокрутки выделите «CALC. Шаг 6: Стрелка вправо для вычисления, а затем стрелка вниз до QuadReg . Нажмите Ввод. Шаг 7: Введите следующие параметры: L1, L2, Y1. Вот шаги для этого: Нажмите [2nd], а затем 1. Нажмите клавишу запятой. Нажмите [2nd], а затем 2. Нажмите клавишу запятой. Нажмите VARS, стрелку вправо к Y-VARS и нажмите ENTER. Выберите Y1 и нажмите ENTER. Шаг 8: Нажмите ENTER для расчета регрессии. Совет: нажмите GRAPH, чтобы построить график параболы. Оттуда вы можете определить, подходит ли уравнение для данных. Пример задачи : Выполните квадратичную регрессию TI 89 для следующего набора данных: x: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 37.9, 36.4, 32.7, 32.4, 29.5, 28.5 Шаг 1: Нажмите APPS , а затем с помощью клавиш курсора перейдите к редактору данных/матрицы. Нажмите Ввод. Шаг 2: Выберите 1 для «Текущий. Шаг 3: Введите значения x в список c1 , а затем введите значения y в список c2. Шаг 4: Нажмите F5 для расчета. Появится новый экран. Шаг 5: Введите значения x в столбец c1 и значения y в столбец c2. Шаг 6: Переместите курсор в поле Тип расчета , нажмите клавишу курсора вправо и выберите «9:QuadRegReg». Шаг 7: Введите местоположение ваших x-данных в поле «x».Например, если ваши значения x находятся в списке c1, введите «c1». Шаг 8: Введите местоположение ваших y-данных в поле «y». Например, если ваши значения y находятся в списке c2, введите «c2». Шаг 9: Переместите курсор на строку Store ReqEQ и нажмите правую клавишу курсора. Переместите курсор на y1(x) и нажмите ENTER. Появится окно с данными для уравнения квадратичной регрессии y=ab x . Уравнение тригонометрической регрессии также появится в строке y1= экрана Y=. Это конкретное уравнение квадратичной регрессии имеет вид 0,34632 * x 2 + 2,62653 * x + 31,51190. Поиск вручную Чтобы найти квадратичную регрессию вручную, вы должны решить следующую систему уравнений : Этот набор уравнений иногда называют нормальными уравнениями . Если вы не знакомы со знаком суммирования (Σ), приведенные ниже шаги должны прояснить его, но если вы все еще не уверены, вы можете прочитать эту статью об обозначениях суммирования для получения дополнительных пояснений. Пример вопроса: Найдите квадратное уравнение для следующего набора данных (это все остальные точки данных из приведенного выше примера задачи с калькулятором, поэтому решение должно быть очень близко к 0,34632 * x 2 + 2,62653 * x + 31.51190): х: 1, 3, 5, 7, 9 у: 32,5, 37,3, 36,4, 32,4, 28,5 Шаг 1: Составьте таблицу (я использовал Excel, чтобы расчеты были проще). Введите значения x в первый столбец и значения y во второй столбец: Шаг 2. Добавьте еще 5 столбцов с метками x 2 , x 3 , x 4 xy и x 2 y: Шаг 3: Вычислите каждый столбец. Например, столбец x 2 — это просто квадраты первого столбца; последний столбец — это третий столбец, умноженный на второй столбец (значения y): Шаг 4: просуммируйте столбцы. Как вы могли заметить, здесь Excel действительно помогает с вычислениями: . Шаг 5: Используйте синюю строку (суммирование), чтобы заполнить пропуски. Все, что вам нужно сделать, это перевести числа в нормальное уравнение ( n — это количество предметов в наборе, в нашем примере их 5): Шаг 6: Решите систему уравнений.Я использовал этот онлайн-калькулятор: a = -0,3660714 b = 3,015714 c = 30,42179 Шаг 7: Вставьте значения из шага 6 в квадратное уравнение (я округляю до 3 знаков после запятой): y = ax 2 + bx + c y = -0,366x 2 + 3,016x + 30,422 Как мы и ожидали, это очень близко к решению TI-89 для всех 9 точек (0,346x 2 + 2,627 x + 31,511) Вот и все! Ссылки Левен, Дж. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт