Оборудование: интерактивная доска, компьютер, карточки с дифференцированными заданиями.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Актуализация опорных знаний

— Мы начнем сегодняшний урок с высказывания математика Джорджа Пойа “Лучший способ изучить что-либо — это открыть самому”. (Слайд 1. Презентация).Это высказывание я выбрала не случайно, так как сегодня на уроке вам предстоит самим сформулировать теорему, которая играет важнейшую роль для дальнейшего изучения математики.

— Для начала давайте вспомним, какую тему мы с вами изучаем?

— Составьте, пожалуйста, синквейн по данной теме. (Слайд 2)

Заслушиваем несколько учащихся.

— Какое уравнение называется квадратным? (Слайд 3)

— Является ли квадратным уравнение:

а) 5x²-7x³+13=0;

б) 8x-5x²+4=0;

в)

Возьмите приложение 1 и выполните задания. Соедините каждое уравнение, стоящее в левом столбце, с соответствующими ему коэффициентами а, b, с из правого столбца (Слайд 4):

Соедините каждое утверждение, стоящее в левом столбце, с соответствующим ему словом из правого столбца. (Слайд 5)

1. Что называют дискриминантом квадратного уравнения? (Слайд 6)
2. Как с помощью дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение?
3. Назовите формулы корней квадратных уравнений.

Вы научились решать неполные квадратные уравнения по специальным алгоритмам, а полные квадратные уравнения – по формулам. Решение по формулам громоздко, поэтому давайте с вами найдем другой более простой способ нахождения корней квадратного уравнения. Для этого проведем небольшую исследовательскую работу в парах. Возьмите приложение 2 и выполните задания, напечатанные в нем.

1. Решите приведенные квадратные уравнения

х² – 7х – 18=0;

х² — 10х + 21=0;

х² + 13х — 30=0

2. Заполните таблицу (Слайд 7).

Проверка полученных результатов учащихся с помощью заполненной таблицы (Слайд 8).

III. Изучение нового материала.

3. Установить связь между корнями приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами.

4. Запишите в тетради приведенное квадратное уравнение в общем виде, в котором второй коэффициент обозначим буквой p, а свободный член буквой q: х² + px + q = 0.

5. Запишите общую формулу корней приведенного квадратного уравнения.

6. Найдите сумму корней приведенного квадратного уравнения (x₁ + x₂ = — p)

7. Найдите произведение корней приведенного квадратного уравнения (x₁ * x₂ = q).

8. Сформулируйте полученный результат. (Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

Данное утверждение носит название теоремы Виета по имени французского математика Франсуа Виета. В 1591 году Виет ввел буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений; благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней формулами.

Запишите, пожалуйста, в тетради тему сегодняшнего урока: «Применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений» (Слайд 9).

Откройте учебники и запишите теорему Виета (Слайд 10).

Можно ли использовать теорему Виета для решения неприведенных квадратных уравнений вида ax² + bx + c= 0?

Для уравнений вида ax²+bx+c=0 сумма корней равна ,

а произведение (Слайд 11).

Как вы думаете для чего нам нужна теорема Виета? Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного квадратного уравнения через его коэффициенты.

Справедливо утверждение, обратное теореме Виета:

Если m и n таковы, что их сумма равна — p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х

По теореме, обратной теореме Виета, можно проверять, правильно ли найдены корни квадратного уравнения.

Если выполняется равенство и , то числа х₁ и х₂ являются корнями квадратного уравнения ах² + bх + с = 0.

IV. Физминутка (Слайд 13).

V. Закрепление изученного материала.

Трое учащихся с помощью учителя по очереди решают у доски 3 примера, а остальные учащиеся записывают эти решения в тетради.

Пример 1

Найдем сумму и произведение корней уравнения 3x²-5x+2=0.

Дискриминант D=1 — положительное число. Значит, уравнение имеет корни. Эти же корни имеет приведенное квадратное уравнение . Значит, сумма корней равна , а произведение равно .

Пример 2

Решим уравнение x²+3x-40=0 и выполним проверку по теореме, обратной теореме Виета.

Найдем дискриминант: D=169.

По формуле корней квадратного уравнения получаем: x₁ = — 8, x₂ = 5.

Покажем, что корни уравнения найдены правильно.

В уравнении x²+3x-40=0 коэффициент p = 3, а свободный член q= — 40. Сумма найденных чисел -8 и 5 равна -3, а их произведение равно -40. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются корнями уравнения x²+3x-40=0.

Пример 3

Найдем подбором корни уравнения x²-x-12=0.

Найдем дискриминант: D=49-положительное число. Пусть x₁ и x₂— корни уравнения. Тогда

Если x₁и x

Учитывая также, что сумма этих чисел равна 1, нетрудно догадаться, что x₁= — 3 и x₂ = 4.

Учащимся предлагается выполнить номера из учебника.

 Задание 1. Найдите сумму и произведение корней уравнений № 580 а,д,в,г.

Задание 2. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета. № 581 ав.

Задание 3. Методом подбора найдите корни уравнений. № 583 ав.

Учащимся быстрее других, справившихся с данными номерами, предлагается решить следующее дополнительное задание:

Один из корней данного квадратного уравнения равен – 2.

Найдите коэффициент k и второй корень уравнения: 3х² + kх + 10 = 0 (к = 11, ).

VI. Самостоятельная работа на 10-15 минут. (Слайд 14)

Возьмите приложение 3 и выполните самостоятельную работу.

VII. Подведение итогов урока.

— Что нового вы сегодня узнали на уроке?

— Сформулируйте теорему Виета и теорему обратную теореме Виета.

— Всегда ли можно применять теорему Виета? (Нет, только когда D?0).

— Для чего нам нужна теорема Виета?

— Как можно решить уравнение: х² + 2х – 3 = 0.

Ответ: С помощью формул, с помощью теоремы Виета.

— Какие же корни? (-3 и 1).

— А еще это уравнение можно решить графически и этот способ решения мы изучим с вами на следующем уроке.

— Надеюсь, этот материал вы не забудете. Помните слова французского инженера-физика Лауэ: “Образование есть то, что остается, когда все выученное уже забыто”. (Слайд 15)

VIII. Домашнее задание (слайд 16).

1. Пункт 24, № 580 бежз, 581 г, 583 б.

2. Решить уравнение: х²+ 2013х – 2014=0.

IX. Рефлексия. (Слайд 17).

Лист самооценки

Оцените степень сложности урока.

Вам было на уроке:

• легко;
• обычно;
• трудно.

Оцените степень вашего усвоения материала:

• усвоил полностью, могу применить;
• усвоил полностью, но затрудняюсь в применении;
• усвоил частично;
• не усвоил.

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

urok.1sept.ru

примеры ее использования при работе с квадратными уравнениями :: SYL.ru

При изучении способов решения уравнений второго порядка в школьном курсе алгебры, рассматривают свойства полученных корней. Они в настоящее время известны под названием теоремы Виета. Примеры использования ее приводятся в данной статье.

Квадратное уравнение

Уравнение второго порядка представляет собой равенство, которое показано на фото ниже.

Здесь символы a, b, c являются некоторыми числами, носящими название коэффициентов рассматриваемого уравнения. Чтобы решить равенство, необходимо найти такие значения x, которые делают его истинным.

Заметим, что поскольку максимальное значение степени, в которую возводится икс, равно двум, тогда число корней в общем случае также равно двум.

Для решения этого типа равенств существует несколько способов. В данной статье рассмотрим один из них, который предполагает использование так называемой теоремы Виета.

Формулировка теоремы Виета

В конце XVI известный математик Франсуа Виет (француз) заметил, анализируя свойства корней различных квадратных уравнений, что определенные их комбинации удовлетворяют конкретным соотношениям. В частности, этими комбинациями является их произведение и сумма.

Теорема Виета устанавливает следующее: корни квадратного уравнения при их сумме дают отношение коэффициентов линейного к квадратичному взятое с обратным знаком, а при их произведении приводят к отношению свободного члена к квадратичному коэффициенту.

Если общий вид уравнения записан так, как это представлено на фото в предыдущем разделе статьи, тогда математически эту теорему можно записать в виде двух равенств:

• r₂ + r₁ = -b / a;
• r₁ х r₂ = c / a.

Где r₁, r₂ — это значение корней рассматриваемого уравнения.

Приведенные два равенства можно использовать для решения ряда самых разных математических задач. Использование теоремы Виета в примерах с решением приведены в следующих разделах статьи.

Задача №1: восстановите уравнение

Приведем следующую задачу на использование теоремы Виета. Пример уравнения дан следующий: -3,4 * x — 3 * s * x² + k = 0. Необходимо найти значения s и k, зная, что решениями этого уравнения являются два числа: -1,2 и 4.

Для начала необходимо определиться со значением коэффициентов в этом выражении. Из него следует, что a = -3 * s, b = -3,4 и c = k.

Теперь можно использовать теорему Виета. Для суммы корней мы получим следующее равенство: -1,2 + 4=-(-3,4) / (-3 * s), откуда получаем, что s = -0,40476 (для вычисления этого выражения рекомендуется воспользоваться калькулятором). То есть a = -3*s = 1,21429. Для произведения корней имеем:

(-1,2) * 4 = k / 1,21429, откуда k = -5.82859.

Восстановленное уравнение будет соответствовать виду: -3,4 * x + 1,21429 * x² — 5,82859=0. Чтобы проверить, правильно ли решена задача, и не допущена ли ошибка при ее решении, необходимо подставить известные значения корней в восстановленное выражение. Получаем: -3,4 * (-1,2) + 1,21429 * (-1,2)² — 5,82859 = 0,00001 ≈ 0 и -3,4 * (4) + 1,21429 * (4)² — 5,82859 = 0,00005 ≈ 0.

Как видим, полученные равенства действительно выполняются. Небольшая ошибка связана с тем, что при восстановлении уравнения мы округляли полученные цифры до 5 знаков после запятой.

Задача №2: найдите корни уравнения

Решение квадратных уравнений теоремой Виета (пример см. ниже) возможно осуществить не во всех случаях. То есть этот метод не является универсальным, поскольку если коэффициенты уравнения окажутся «неудобными», тогда его использовать не получится.

Универсальными способами решения этого типа выражения являются использование дискриминанта или дополнение до полного квадрата. Тем не менее, важность теоремы Виета в этом случае заключается в том, что она позволяет догадаться о неизвестных корнях, не осуществляя при этом сложных математических выкладок.

Например, дано выражение следующее: -x² + 2 * x + 3 = 0. Следует воспользоваться Виета теоремой, чтобы найти решения этого равенства. Пусть его корнями являются числа r₁ и r₂. Тогда можно записать следующую систему уравнений:

r₁ + r₂ = -2 /(-1) = 2;

r₁*r₂ = 3 / (-1) = -3.

Теперь необходимо догадаться, сумма каких чисел равна двум, а их произведение будет -3. Очевидно, что таковыми являются числа 3 и -1. Они и будут корнями названного уравнения.

Если немного углубиться в тему, то следует отметить, что любое уравнение второго порядка, которое легко представляется в виде произведения двух множителей, может быть решено с помощью обсуждаемой теоремы. Действительно, в данном случае можно записать (3-x) *(x+1), если раскрыть скобки, то мы получим исходное выражение.

Задача №3: сумма квадратов

Приведем еще один пример теоремы Виета с решением. Дано уравнение:

6 * x² — 13 * x + 11 = 0. Необходимо найти сумму квадратов его двух корней, то есть (r₁)² + (r₂)².

Конечно, можно решить сначала это уравнение одним из способов, а затем ответить на вопрос задачи. Однако, если вспомнить про теорему Виета и про свойство квадрата суммы, то в этом нет никакой необходимости.

Следует вспомнить, как вычисляется сумма двух чисел, возведенная в квадрат. Тогда получаем, что для нахождения неизвестной суммы квадратов, необходимо вычислить значение выражения (r₁ + r₂)² — 2 * r₁ * r₂. Воспользуемся обоими равенствами рассматриваемой теоремы, получим: (13/6)² — 2 * 11 / 6 = 1,02(7) (7 в периоде).

Таким образом, применяя теорему Виета, мы сэкономили время на решение уравнения. В общем случае свойства корней можно использовать для любых задач, которые предполагают вычисление их различных комбинаций.

www.syl.ru

Решение квадратных уравнений. Теорема Виета

Для начала введем непосредственно определение квадратного уравнения.

Определение 1

Квадратным будем называть уравнение, которое имеет вид $αx^2+βx+γ=0$ (1), где $α≠0,γ \ и \ β$ являются действительными числами.

Рассмотрим далее два различных способа решения такого уравнения. В этой статье мы приведем метод его решения через формулы, а также с применением теоремы, приведенной Франсуа Виетом.

Решение с помощью формул

Рассмотрим

$αx^2+βx+γ=0$

Для начала умножим его обе части на $4α$, будем иметь

$4α^2 x^2+4αβx+4αγ=0$

Преобразуем его левую часть так, чтобы можно было использовать формулу суммы квадрата

$4α^2 x^2+4αβx+β^2-β^2+4αγ=0$

После этого будем получать

$(2αx+β)^2-β^2+4αγ=0$

$(2αx+β)^2=β^2-4αγ$

Теперь в этом полученном равносильном уравнении количество и вид корней зависит от значения его правой части. Введем следующее определение

Определение 2

Значение $β^2-4αγ$, составленное из коэффициентов уравнения (1) будем называть дискриминантом этого уравнения.

Обозначение: $D$

Теперь далее возможны три случая. Рассмотрим их по отдельности.

1. $D >0$

   При таком случае наше уравнение будет иметь два корня. Чтобы разрешить этот случай сделаем такую замену:

   $2αx+β=y$

   Тогда

   $y^2=D$

   $y=±\sqrt{D}$

   Возвращаясь

   $2αx+β=±\sqrt{D}$

   $x=\frac{±\sqrt{D}-β}{2α}$

2. $D=0$

   Тогда, при той же замене

   $y^2=0$

   $y=0$

   Возвращаясь

   $2αx+β=0$

   $x=\frac{-β}{2α}$

3. $D

   В этом случае $y^2

Замечание 1

Данный способ также верен и для случаев, когда коэффициент при x или свободный коэффициент равняются нулю, то есть уравнение является неполным.

Пример 1

Решить

$2x^2+\sqrt{7} x-7=0$

Решение.

Найдем для начала для нашего уравнения значение дискриминанта.

$D=(\sqrt{7})^2-4\cdot 2\cdot (-7)=7+56=63$

Так как $63$ – положительное число, то мы приходим к первому случаю (два корня). Найдем их по выше найденным формулам.

Первый корень:

$x=\frac{\sqrt{63}-\sqrt{7}}{2\cdot 2}=\frac{2\sqrt{7}}{4}=0,5\sqrt{7}$

Второй корень:

$x=\frac{-\sqrt{63}-\sqrt{7}}{2\cdot 2}=\frac{-4\sqrt{7}}{4}=-\sqrt{7}$

Ответ: $0,5\sqrt{7} \ и \ -\sqrt{7}$.

Теорема Виета

Приведем и докажем здесь теорему Франсуа Виета.

Теорема 1

Для приведенного квадратного уравнения сумма его корней равняется числу, противоположному второму коэффициенту этого уравнения, а их произведение равняется свободному коэффициенту этого же уравнения.

Для уравнения (1) математически это можно записать так:

$α=1, x_1+x_2=-β, x_1 x_2=γ$

Доказательство.

Так как корней два, то они будут иметь следующий вид (выведенный нами ранее):

$x_1=\frac{\sqrt{D}-β}{2}$

$x_1=\frac{-\sqrt{D}-β}{2}$

с учетом того, что α равняется единице.

Найдем их сумму:

$x_1+x_2=\frac{\sqrt{D}-β}{2}+\frac{-\sqrt{D}-β}{2}=\frac{-2β}{2}=-β$

Теперь найдем их произведение:

$x_1 x_2=\frac{\sqrt{D}-β}{2} \frac{-\sqrt{D}-β}{2}=-\frac{(\sqrt{D}-β)(\sqrt{D}+β)}{4}=-\frac{D-β^2}{4}$

Введем значение дискриминанта

$x_1 x_2=-\frac{β^2-4γ-β^2}{4}=\frac{4γ}{4}=γ$ Теорема доказана.

Решение с помощью теоремы Виета

Для теоремы 1 также справедлива и обратная теорема. Введем ее (без доказательства).

Теорема 2

Если сумма двух чисел равняется $–β$, а их же произведение равняется γ, то они будут являться корнями уравнения, имеющего вид $x^2+βx+γ=0$

С помощью этой теоремы мы может решать квадратные уравнения, при условии, что первый коэффициент равняется 1.

Пример 2

Решить

$x^2+3x-4=0$

Решение.

Обозначим корни нашего уравнения через $x_1$ и $x_2$. Тогда для его решения нам нужно разрешить следующую систему:

$\cases{x_1+x_2=-3,\\x_1 x_2=-4.}$

Чаще всего решения таких систем находим в уме. В этом и смысл применения обратной теоремы Виета для разрешения таких уравнений – как более рационального способа, чем использование формул.

В нашем случае получаем

Ответ: $1$ и $-4$.

spravochnick.ru

Использование теоремы Виета.

Сегодня достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножил ты корни – и дробь уж готова
В числителе с, в знаменателе а.
И сумма корней тоже дроби равна
Хоть с минусом дробь эта
Что за беда
В числители в, в знаменателе а.
(Из школьного фольклора)

В эпиграфе замечательная теорема Франсуа Виета приведена не совсем точно. В самом деле,  мы можем записать квадратное уравнение, которое не имеет корней и записать их сумму и произведение. Например, уравнение х² + 2х + 12 = 0 не имеет действительных корней. Но, подойдя формально, мы можем записать их произведение (х₁ · х₂ = 12) и сумму (х₁ + х₂ = -2). Наши стихи будут соответствовать теореме с оговоркой: «если уравнение имеет корни», т.е. D ≥ 0.

Первое практическое применение этой теоремы – составление квадратного уравнения, имеющего заданные корни. Второе: она позволяет устно решать многие квадратные уравнения. На отработку этих навыков, прежде всего и обращается внимание в школьных учебниках.

Мы же здесь будем рассматривать  более сложные задачи, решаемые с помощью теоремы Виета.

Пример 1.

Один из корней уравнения 5х² – 12х + с = 0 в три раза больше за второй. Найдите с.

Решение.

Пусть второй корень равен х₂.

Тогда первый корень х1 = 3х₂.

Согласно теореме Виета сумма корней равна 12/5 = 2,4.

Составим уравнение 3х₂ + х₂ = 2,4.

Отсюда х₂ = 0,6. Следовательно х₁ = 1,8.

Ответ: с = (х₁ · х₂) · а = 0,6 · 1,8 · 5 = 5,4.

Пример 2.

Известно, что х₁ и х₂ – корни уравнения х² – 8х + p = 0, причём 3х₁ + 4х₂ = 29. Найдите p.

Решение.

Согласно теореме Виета х₁ + х₂ = 8, а по условию 3х₁ + 4х₂ = 29.

Решив систему из этих двух уравнений найдём значение х₁ = 3, х₂ = 5.

А следовательно p = 15.

Ответ: p = 15.

Пример 3.

Не вычисляя корней уравнения 3х² + 8 х – 1 = 0, найдите  х₁⁴ + х₂⁴

Решение.

Заметим, что по теореме Виета х₁ + х₂ = -8/3 и х₁ · х₂ = -1/3 и преобразуем выражение

а) х₁⁴ + х₂⁴ = (х₁² + х₂²)² – 2х₁²х₂² = ((х₁ + х₂)² – 2х₁х₂)² – 2(х₁х₂)² = ((-8/3)² – 2 · (-1/3))² – 2 · (-1/3)² = 4898/9

Ответ: 4898/9.

Пример 4.

При каких значениях параметра а разность наибольшего и наименьшего корней уравнения
2х² – (а + 1)х + (а – 1) = 0 равна их произведению.

Решение.

Это квадратное уравнение. Оно будет иметь 2 разных корня, если D > 0. Иными словами (а + 1)² – 8(а – 1) > 0 или (а – 3)² > 0. Следовательно, мы имеем 2 корня при всех а, за исключением а = 3.

Для определенности будем считать, что х₁>х₂ и получим х₁ + х₂ = (а + 1)/2 и х₁ · х₂ = (а – 1)/2. Исходя из условия задачи х₁ – х₂ = (а – 1)/2. Все три условия должны выполняться одновременно. Рассмотрим первое и последнее уравнения как систему. Она легко решается методом алгебраического сложения.

Получаем х₁ = а/2, х₂ = 1/2. Проверим при каких а выполнится второе равенство: х₁ · х₂ = (а – 1)/2. Подставим полученные значения и будем иметь: а/4 = (а – 1)/2. Тогда,  а = 2. Очевидно, что если а = 2, то все условия выполнены.

Ответ: при а = 2.

Пример 5.

Чему равно наименьшее значение а, при котором сумма корней уравнения
х² – 2а(х – 1) – 1 = 0 равна сумме квадратов его корней.

Решение.

Прежде всего, приведем уравнение к каноническому виду: х² – 2ах + 2а – 1 = 0. Оно будет иметь корни, если D/4 ≥ 0. Следовательно: а² – (2а – 1) ≥ 0. Или (а – 1)² ≥ 0. А это условие справедливо при любом а.

Применим теорему Виета: х₁ + х₂ = 2а,  х₁ · х₂ = 2а – 1. Посчитаем 

х₁² + х₂² = (х₁ + х₂)² – 2х₁ · х₂. Или после подстановки х₁² + х₂² = (2а)² – 2 · (2а – 1) = 4а² – 4а + 2. Осталось составить равенство которое соответствует условию задачи: х₁ + х₂ = х₁² + х₂². Получим: 2а = 4а² – 4а + 2. Это квадратное уравнение имеет 2 корня: а₁ = 1 и а₂ = 1/2. Наименьший из них –1/2.

Ответ: 1/2.

Пример 6.

Найти зависимость между коэффициентами уравнения ах² + вх + с = 0 если сумма кубов его корней равна произведению квадратов этих корней.

Решение.

Будем исходить из того, что данное уравнение имеет корни и, поэтому, к нему можно применить теорему Виета.

Тогда условие задачи запишется так: х₁³ + х₂³ = х₁² · х₂². Или: (х₁ + х₂)(х₁² – х₁ · х₂ + х₂²) = (х₁х₂)².

Необходимо преобразовать второй множитель. х₁² – х₁ · х₂ + х₂² = ((х₁ + х₂)² – 2х₁х₂) – х₁х₂.

Получим (х₁ + х₂)((х₁ + х₂)² – 3х₁х₂) = (х₁х₂)². Осталось заменить суммы и произведения корней через коэффициенты.

(-b/a)((b/a)² – 3 · c/a) = (c/a)². Это выражение легко преобразуется к виду b(3ac – b²)/a = c². Соотношение найдено.

Замечание. Следует учесть, что полученное соотношение имеет смысл рассматривать лишь после того, как выполнится другое: D ≥ 0.

Пример 7.

Найдите значение переменной а, для которого сумма квадратов корней уравнения х² + 2ах + 3а² – 6а – 2 = 0 есть величина наибольшая.

Решение.

Если у этого уравнения есть корни х₁ и х₂, то их сумма х_{1 +} х₂ = -2а, а произведение х_{1 ·} х_{2 =} 3а² – 6а – 2.

Вычисляем х₁² ₊ х₂² = (х_{1 +} х₂)² – 2х₁ · х₂ = (-2а)² – 2(3а² – 6а – 2) = -2а² + 12а + 4 = -2(а – 3)² + 22.

Теперь очевидно, что это выражение принимает наибольшее значение при а = 3.

Остается проверить, в самом ли деле у исходного квадратного уравнения существуют корни при а = 3. Проверяем подстановкой и получаем: х² + 6х + 7 = 0 и для него D = 36 – 28 > 0.

Следовательно, ответ: при а = 3.

Пример 8.

Уравнение 2х² – 7х – 3 = 0 имеет корни х₁ и х₂. Найти утроенную сумму коэффициентов приведенного квадратного уравнения, корнями которого являются числа Х₁ = 1/х₁ и Х₂ = 1/х₂. (*)

Решение.

Очевидно, что  х_{1 +} х₂ = 7/2 и х_{1 ·} х₂ = -3/2. Составим второе уравнение по его корням в виде х² + рх + q = 0. Для этого используем утверждение, обратное теореме Виета. Получим: р = -(Х₁ + Х₂) и q = Х₁ · Х₂.

Выполнив подстановку в эти формулы, исходя из (*), тогда:  р = -(х_{1 +} х₂)/(х₁ · х₂) =  7/3 и q = 1/(х_{1 ·} х₂) = -2/3.

Искомое уравнение примет вид: х² + 7/3 · х – 2/3 = 0. Теперь легко посчитаем утроенную сумму его коэффициентов:

3(1  + 7/3  – 2/3) = 8. Ответ получен.

Остались вопросы? Не знаете, как использовать теорему Виета?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Конспект урока по алгебре на тему «Квадратные уравнения. Теорема Виета.»

Конспект урока алгебры в 8 классе по теме «Квадратные уравнения. Теорема Виета».

Цели урока:

Образовательные — закрепить теорему Виета; научить решать квадратные уравнения, сумма коэффициентов которых равна нулю; отрабатывать навыки устного решения этих уравнений.

Развивающие — развивать общеучебные и специальные умения и навыки, познавательные процессы: память, мышление, внимание.

Воспитывающие – воспитание трудолюбия, желания добиться поставленной цели, сознательного отношения к учебе, развитие самостоятельности и творчества.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Ход урока

1. Организационный момент.

Сообщаются задачи и цели урока. Определяются группы сменного состава и порядок перехода из группы в группу при условии верного выполнения заданий.

II. Повторение пройденного материала

1. Тест по теме «Квадратные уравнения»

   1 вариант

   2 вариант

   1. Уравнения вида ax² + bx +c = 0, где a,b,c – заданные числа, а … 0, х – переменная, называется __________________ уравнением.

   2. Уравнение x² = a, где а > 0, имеет корни x₁ = ____ , x₂ = ____ .

   3. Уравнение ax² = 0, где а ≠ 0, называется _________________ квадратным уравнением.

   4. Уравнение ax² + bx = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0, называют ________________ квадратным уравнением.

   5. В уравнении ax² + bx +c = 0 число b называется ________________ коэффициентом.

   6. Корни квадратного уравнения ax² + bx + с = 0 вычисляются по формуле х_1,2 = … ± √…

   …

   7. Приведенное квадратное уравнение x² + px + q = 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором a =___, b = ___, c = ____ .

   8. Если х₁ и х₂ – корни уравнения x² + px + q = 0, то справедливы формулы х₁ + х₂ = ____, х₁ ∙ х₂ = ____.

   1. Если ax² + bx + с = 0 – квадратное уравнение, то а называют _______________ коэффициентом, с — ______________ членом.

   2. Уравнение x² = a, где а < 0, не имеет ______________ .

   3. Уравнение ax² + с = 0, где a ≠ 0, с ≠ 0, называют ________________ квадратным уравнением.

   4. Корни квадратного уравнения ax² + bx +c = 0 вычисляются по формулам

   _{; .}

   5. Квадратное уравнение ax² + bx +c = 0 имеет два различных действительных корня, если .

   6. Квадратное уравнение вида называют _____________.

   7. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна ________________коэффициенту, взятому с ______________ знаком, а произведение корней равно ____________________члену.

   8. Если числа таковы, что , то и ­– корни уравнения _______________________ .

2. Устно ответить на вопросы:

1) Ребята, здесь вы видите уравнения, определенные по какому-то признаку. Как вы думаете, какое из уравнений этой группы является лишним?

а) 1) x² – 3x = 0; б) 1) _4x² _{– x + 3 = 0;}

2) _x² _{-64 = 0}; 2) x² -5x + 6 = 0;

3) _4x² _{= 0}; 3) x² + 3x +1 = 0;

4) 2x² + x – 1 = 0. 4) _x² _{– 3x – 1 = 0}. Ответы: а) 4) – лишнее, так как это полное квадратное уравнение. 1), 2), 3) – неполные квадратные уравнения. б) 1) – лишнее, так как это уравнение общего вида. 2), 3), 4) – приведенные квадратные уравнения.

2) Как можно решить приведенное квадратное уравнение? (Ответ: по формуле корней квадратного уравнения и по теореме Виета.)

3) Сформулируйте теорему Виета.

4) Как используется теорема Виета при решении квадратного уравнения общего вида ? (Ответ: заменить это уравнение равносильным ему приведённым квадратным уравнением).

Один из учеников записывает равносильное уравнение: .

Использование таблицы:

III. Решение задач с использованием теоремы Виета .

1. Дано уравнение:

.

Не решая уравнения, найти:

1. Сумму корней …

2. Произведение корней…

3. Квадрат суммы корней…

4. Удвоенное произведение…

5. =

6. Подобрать корни… Класс выполняет задание в тетрадях. Учитель записывает ответы, полученными учащимися на доске.

2) Устно:

а) Найти сумму и произведение корней следующих уравнений:

1. ; ? ?

2. ? ?

3. ? ?

4. ? ?

б) Для уравнений 1), 2) найти подбором корни.

Ответ: 1) .

IV. Изучение нового свойства квадратных уравнений.

1. Учитель:

— Ребята, мы с вами решали квадратные уравнения различными способами: выделением квадрата двучлена, по формуле корней, с помощью теоремы Виета, и каждый раз убеждались в том, что уравнение можно решить легче и быстрее. Сегодня мы познакомимся с одним способом решения, который позволит устно и быстро находить корни квадратного уравнения.

2. Задание (устно)

Назовите коэффициенты в каждом уравнении и найдите сумму коэффициентов.

Сумма коэффициентов

Учитель:

— При решении некоторых квадратных уравнений, оказывается, немаловажную роль играет сумма коэффициентов! Рассмотрим это на уравнениях, которые вы решали дома. 1.Проверка домашнего задания. Применение решения к изучению нового свойства. (На доске записаны квадратные уравнения, решить которые нужно было дома.)

Сумма коэффициентов

0

0

0

0

Учащиеся отвечают, чему равны корни квадратного уравнения.

Учитель: — Ребята, а сейчас посмотрите на эти уравнения и их корни. Попробуйте найти какую-то закономерность:

1. В корнях этих уравнений;

2. В соответствии между отдельными коэффициентами и корнями;

3. В сумме коэффициентов.

4. Ученики отвечают то, что они здесь заметили:

1. Первый корень равен 1;

2. Второй корень равен или ;

3. Сумма коэффициентов равна 0.

— Ребята, к какому выводу вы пришли? Придумайте правило. (Учитель слушает ответы учеников и, если нужно. корректирует вывод.)

Если в уравнениях , то один из корней равен 1, а другой (по теореме Виета) равен .

Запись этого свойства в тетрадях имеет вид:

.

— Ребята! Это свойство применяют для устного решения квадратных уравнений. Рассмотрим это на следующих примерах.

V. Решение уравнений на закрепление свойства

x² + 4x – 5 = 0; x² — 6x + 5 = 0;

x² + x – 2 = 0; 3x² + x – 4 = 0;

x² + 6x – 7 = 0; 5x² — 6x + 1 = 0;

V. Самостоятельная работа (по карточкам в двух вариантах)

Задание. Решить уравнение:

Учитель проверяет задания учащихся, быстро справившихся с решением. Выставляется отметка. Остальные учащиеся сдают работы на проверку.

VII. Задание на дом

1. Придумать и решить три уравнения, в которых .

2. Решить номера с выбранных карточек (вариант соседа).

VIII. Итог урока

Выставление отметок учащимся за работу на уроке.

Орлова Светлана Евгеньевна,

учитель математики ГБОУ СОШ № 119

с углублённым изучением английского языка

Калининского района Санкт-Петербурга

infourok.ru