Функция КОРЕНЬ — Служба поддержки Office

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции КОРЕНЬ в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает положительное значение квадратного корня.

Синтаксис

КОРЕНЬ(число)

Аргументы функции КОРЕНЬ описаны ниже.

Замечание

Если число отрицательное, то SQRT возвращает #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Данные
-16
Формула	Описание	Результат
=КОРЕНЬ(16)	Квадратный корень числа 16.	4
=КОРЕНЬ(A2)	Квадратный корень из -16. Так как число отрицательное, #NUM! возвращается сообщение об ошибке.	#ЧИСЛО!
=КОРЕНЬ(ABS(A2))	Старайтесь не #NUM! сначала с помощью функции ABS найдите абсолютное значение -16, а затем — квадратный корень.	4

Три простых правила относительно квадратного корня. Часть 3

GRE Mathematics уделяет особое внимание заданиям на квадратный корень. В двух предыдущих частях статьи, мы рассматривали, что делать, если все числа в задании положительные. Если же это не так, то следует применять ещё 2 правила GRE Maths.

Правило №2: если x² = 9, то x = 3, x = -3

Эта ситуация отлична от описанных ранее . Мы больше не имеем знака квадратного корня, зато здесь есть показатель степени. Если 3 возвести в квадрат, то мы получим 9. Если мы возведем -3 в квадрат – мы также получим 9. Следовательно, оба числа являются возможным значением x, потому что оба делают равенство верным.

С математической точки зрения, мы бы сказали, что x = 3 или  x = -3. Если вы выполняете задание в разделе Quantitative Comparison, подумайте об этом следующим образом: если одно из них является возможным значением x, то оба варианта должны быть рассмотрены возможными значениями при сравнении Величины А и Величины В.

Правило №3: √(x)² = 3, если x = 3, x = -3

Итак, вернемся к знаку квадратного корня, но теперь у нас есть и показатель степени! Что дальше? Указывать только положительное число, потому что мы имеем знак корня? Или указывать оба значения, потому что есть показатель степени?

Сначала вычислите значение x: возведите в степень оба значения √(x)2 = 3, чтобы получить x² = 9. Вычислите квадратный корень, чтобы получить x = 3, x = -3 (как в правиле №2).

Подставьте оба числа в данное равенство,  √x² = 3, и посмотрите, делают ли они равенство верным.  Если мы подставим 3 в равенство √x

2 = 3, мы получим: √(3)2 = 3. Верно ли это? Да: √(3)2 = √9 и это действительно равняется 3.

Теперь подставьте в равенство -3: √(-3)2= 3. Под корнем у нас стоит отрицательное число, но также в скобках у нас есть квадратная степень. Следуйте установленному порядку действий: возведите число в квадрат, чтобы получить √9. Больше нет никаких отрицательных чисел под знаком корня! Заканчивая решение задачи, мы получаем √9, и снова это должно равняться 3, поэтому -3 тоже является возможным значением x. X может быть равен как 3, так и -3.

GRE Math Practice: Как это все не забыть?

Запомните: в первом примере представлено либо действительное число, либо очевидная переменная (не возведение в степень!) под знаком квадратного корня. В обоих случаях мы должны получить решение с положительными значениями  корня, но не отрицательными.

Второй и третий примеры имеют квадратную степень. Во втором правиле нет знака квадратного корня – в этом случае  мы можем получить и положительный, и отрицательный ответ. В нашем третьем правиле есть и знак квадратного корня, и степень в квадрате. В этой ситуации мы должны произвести расчеты, как показано в примере. Сначала мы решаем оба варианта, а затем подставляем их в исходное равенство. Если эти варианты делают равенство верным, то это и есть правильный  ответ.

Подготовка к GRE Test включает в себя штудирование не только официальных учебников, но также изучение советов и подсказок, которые представлены здесь. Возможно, на самом тесте вам пригодятся именно они! Успехов!

Пример несложного задания на квадратные корни в тесте GRE:

 

По материалам сайта: www.manhattanprep.com

Вычисление целочисленного квадратного корня / Хабр

Возникла нужда проверить, является ли целое число квадратом, и если да, то вычислить корень. Причем хочется сделать это в целочисленной арифметике. Понятно, что можно реализовать метод Ньютона в целых числах, но он требует деления на каждом шаге. А нельзя ли по другому? Найти квадратный корень по модулю степени двойки, и проверить, а не будет ли он обычным квадратным корнем.

Можно ограничиться нечетными числами: для четного числа, если количество нулевых младших разрядов нечетно, то корня нет, а если четно, то можно сдвинуть число вправо, посчитать корень от нечетного, и сдвинуть обратно влево на половину от первоначального количества нулевых бит.

Для нечетного N и 2^k, k > 3, если N ≡ 1 mod 8, то есть 4 разных корня по модулю 2^k, а иначе корней нет. Нам нужен наименьший из этих четырех корней x. При этом другие три корня это 2^k — x, 2^k-1 + x и 2^k — 2^k-1 — x

Хочется что-то подобное вычислению обратного по модулю 2^k — удваивая количество верных бит за итерацию.

Пусть у нас уже есть корень x₀ из N по модулю 2^k: N — x₀² = 2^ka
И мы хотим найти x₁ = x₀ + 2^k-1y, такое чтобы в N — x₁² было больше младших нулевых бит.
N — (x₀ + 2^k-1y)² = 2^ka — 2^kx₀ * y — 2^2k-2y²
Поделим на 2^k: a — x₀ * y — 2^k-2y²
И приравняем к 0 по модулю 2^k-2: y = a * x₀^-1 mod 2^k-2
Получилии x₁ = x₀ + 2^k-1a * (x₀^-1 mod 2^k-2)
И окончательно x₁ = x₀ + (N — x₀²)/2 * (x₀^-1 mod 2^k-2)

Из k бит на следующей итерации получится 2(k-1) бит.

Параллельно считаем на каждой итерации обратное к корню.

Тестовый код:

uint8_t sqr16(uint16_t n) {
  if (n % 8 != 1) return 0;
  uint16_t sqr = (n + 1) / 2;  //4 bit
  uint16_t inv = 2 - sqr;

  sqr += inv * (n-sqr*sqr)/2;   //6 bit
  inv *= 2 - sqr * inv;

  sqr += inv * (n-sqr*sqr)/2;  //10 bit
  //inv *= 2 - sqr * inv;

  if (sqr & 256)
    sqr = 0u - sqr;
  sqr = (uint8_t)sqr; // lowest root
  if (n == sqr*sqr) return sqr;
  return 0;
}

Добавив пару итераций, получим корень из uint_64

внесение и вынесение, примеры, определения

На первый взгляд может показаться, что процедура разложения квадратного корня на множители сложная и неприступная. Но это не так. В этой статье мы расскажем вам, как подступиться к квадратному корню и множителям, а также легко и просто разложить квадратный корень, воспользовавшись двумя проверенными методами.

Разложение корня на множители

Для начала определим цель процедуры разложения квадратного корня на множители. Цель — упростить квадратный корень и записать его в удобном для вычислений виде. 

Определение 1

Разложение квадратного корня на множители — нахождение двух или нескольких чисел, которые, при условии перемножения их друг на друга, дадут число равное исходному. Например: 4×4 = 16. 

Если вы найдете множители, то сможете легко упростить выражение с квадратным корнем или вовсе его упразднить:

Пример 1

Разделите подкоренное число на 2, если оно четное. 

Подкоренное число всегда следует делить на простые числа, поскольку любое значение простого числа можно разложить на простые множители. Если у вас нечетное число, то попробуйте разделить его на 3. Не делится на 3? Делите дальше на 5, 7, 9 и т.д.

Запишите выражение в виде корня произведения двух чисел.

Например, можно упростить таким способом 98:=98÷2=49.  Из этого следует, что 2×49=98, поэтому можно переписать задачу следующим образом: 98=(2×49).

Продолжите раскладывать числа, пока под корнем не останется произведение двух одинаковых чисел и других чисел.

Возьмем наш пример (2×49):

Поскольку 2 уже и так максимально упрощено, необходимо упростить 49. Ищем простое число, на которое можно разделить 49. Очевидно, что ни 3, ни 5 не подходят. Остается 7: 49÷7=7, поэтому 7×7=49.

Записываем пример в следующем виде: (2×49)=(2×7×7).

Упростите выражение с квадратным корнем.

Поскольку в скобках у нас произведение 2 и двух одинаковых чисел (7), то мы можем вынести за знак корня число 7.

Пример 2

(2×7×7)=(2)×(7×7)=(2)×7=7(2).

В тот момент, когда под корнем оказалось два одинаковых числа, останавливайтесь с разложением чисел на множители. Конечно, если вы использовали все возможности по максимуму.

Запомните: существуют корни, которые можно упрощать многократно.

В таком случае, числа, которые мы выносим из-под корня, и числа, которые стоят перед ним, перемножаются.

Пример 3

180=(2×90)180=(2×2×45)180=245

но 45 можно разложить на множители и еще раз упростить корень.

180=2(3×15)180=2(3×3×5)180=2×35180=65

Когда невозможно получить два одинаковых числа под знаком корня, это значит, что упростить такой корень нельзя. 

Если после разложения подкоренного выражения на произведение простых чисел, у вас не получилось получить два одинаковых числа, то такой корень упростить нельзя.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание Пример 4

70=35×2, поэтому 70=(35×2)

35=7×5, поэтому (35×2)=(7×5×2)

Как видим, все три множителя — простые числа, которые нельзя разложить на множители. Среди них нет одинаковых чисел, поэтому не представляется возможным вынести целое число из-под корня. Упростить 70нельзя.

Полный квадрат

Запомните несколько квадратов простых чисел.

Квадрат числа получается, если умножить его на самого себя, т.е. при возведении в квадрат. Если вы запомните десяток квадратов простых чисел, то это очень упростить вам жизнь в дальнейшем упрощении корней.

Пример 5

12=122=432=942=1652=2562=3672=4982=6492=81102=100

В случае если под знаком корня квадратного корня находится полный квадрат, то стоит убрать знак корня и записать квадратный корень данного полного квадрата. 

Сложно? Нет:

Пример 6

1=14=29=316=425=536=649=764=881=9100=10

Попробуйте разложить число под знаком корня на произведения полного квадрата и другого числа.

Если вы видите, что подкоренное выражение раскладывается на произведение полного квадрата и какого-либо числа, то, запомнив несколько примеров, вы существенно сэкономите время и нервы:

Пример 7

50=(25×2)=52. Если подкоренное число оканчивается на 25, 50 или 75, вы всегда можете разложить его на произведение 25 и какого-то числа.

1700=(100×17)=1017. Если подкоренное число оканчивается на 00, вы всегда можете разложить его на произведение 100 и какого-то числа.

72=(9×8)=38. Если сумма цифр подкоренного числа равна 9, вы всегда можете разложить его на произведение 9 и какого-то числа.

Попробуйте разложить подкоренное число на произведение нескольких полных квадратов: вынесите их из-под знака корня и перемножьте.

Пример 8

72=(9×8)72=(9×4×2)72=9×4×272=3×2×272=62

Сколько квадратный корень из 100

На нашем сайте мы разберемся, сколько получится, если извлечь квадратный корень из цифры 100. Выясним сколько будет квадратный корень из 100, потому как над таким вопросом многие годы ломали головы более 1 тысячи специалистов и многие пришли к такому возможному решению, что невозможно получить квадратный корень из 100. В подобном случае, будет очень важно знать верный вопрос, который касается особенностей получения квадратного корня из 100. Будем максимально точны, тогда мы начнем расчет арифметического корня из 100, потому как в обычном квадратном корне из этой цифры — получится два числа, одними из них являются: 10: -10.

Многие люди задают вопрос, квадратный корень из 100 как высчитать? Чтобы в этом разобраться, потребуется посчитать сумму необходимых нам чисел простым математическим способом при помощи применения вертикальной, стандартной чертой, корни и числа, которые нужно записывать справа вниз. Здесь мы сможем высчитать необходимый квадрат единиц определенного корня, а также умножать 10-ки и вычислять увеличенное на 2, а не утроенное число определенного десятка. Определенные цифры, чтобы ответить на вопрос — корень из 100 чему равен, нам потребуется возвестить в квадрат. У нас в таком случае получится двузначная цифра, когда вышло 10. Следовательно, в таком случае расчет мы выполнили верно.

Необходимо помнить очень важное правило: чтобы узнать сколько будет квадратный корень из 100, первым делом вычисляем извлекаемый любой корень и числа его всех сумм, а также сотен. Когда полученная цифра больше или же равняется 100, теперь требуется найти корень и 100-тен фактических чисел этих 100-тен. После этого из десятков тысяч (то есть фактического значения числа). Это правило будет очень актуально, когда число гораздо превышает 100, после этого нужно будет вычислить квадратный корень из сотен десятков тысяч. То есть, если быть более точными — это будет из миллиона определенного числа. Существует большое количество разнообразных правил, которые непосредственно касаются данного вопроса. Если заниматься прогрессом вычисления, тогда следует обратить повышенное внимание на такой важный факт, что в корне такое же количество цифр, сколько под завершающим количеством граней.

Каким образом вычислить корень определенного числа

Цель нахождения определенного корня состоит в том, что необходимо выполнить обратное действие возведения определенного числа в степень. Следует помнить, что корни могут значительно отличаться: корни II, III, а также IV-степени. Этот момент имеет очень важное значение и его следует понимать. Корень имеет определенный символ: √ – это корень из II-степени. Следует отметить такой момент, что, когда степень по значения выше, чем II-степень, тогда над ним необходимо будет прописать знак степени. Цифра, которая располагается под знаком корня – это называется подкоренное выражение. Выполняя процедуру поиска корня, нам потребуется знать несколько важных правил, которые касаются данного вопроса. Они окажут необходимую помощь и помогут не допустить ошибки выполняя расчеты:

Корень определенной четной степени (когда сама степень 2, 6, 8 и так дальше) из отрицательной цифры не существует. В возможных случаях, когда определенное выражение (подкоренное) является отрицательным, тогда поиск корня необходимо выполнять степени (нечетной) (к примеру: 3, 7 и так дальше). В итоге, результат, мы сможем получить отрицательный. Также, потребуется знать, что корень от 1 всегда будет выглядеть следующим образом: √1 = 1., а также: √0 = 0.

Как рассчитать корень из 100

Когда в поставленной задаче указано, какой степени корень нужно вычислить, тогда считают, что следует найти корень II-степени (то есть квадратный).

Ответим на такой вопрос: √100 = ? Потребуется найти цифру, при выполнении процедуры его возведения в II-степень, у нас будет 100. В таком случае становится понятно, что этим числом будет считаться цифра 10, потому как: 102 = 100. Поэтому, √100 = 10.

Рассчитаем представленное выражение. Чтобы достичь поставленной цели, требуется вынести имеющееся число из под корня. Это будет выглядеть следующим образом.

√100 = 100’1/2 = (10’2)’1/2 = 10′(2 * 1/2) = 10’2/2 = 10’1 = 10.

Также, это выглядит таким образом: √100 = √10’2 = 10.

В итоге у нас получится число 10. Теперь мы знаем, ответ на вопрос: квадратный корень из 100 сколько это будет?

Иррациональные числа: Корень из двух

Несложно заметить: число √2 встречается там, где речь идёт о квадратах или удвоении площади. И где же это происходит? Начнём, пожалуй, с вещей, которые ежедневно попадают нам в руки. Таких, как бумага в принтере.

Формат бумаги — стандартизованный размер бумажного листа. Все страны мира, кроме Канады и США, пользуются международным стандартом ISO 216. Все форматы бумаги ISO имеют одно и то же соотношение сторон, равное 1 ÷ √2, так называемому отношению Лихтенберга (немецкий учёный Георг Лихтенберг в 1768 году первый заметил преимущества использования бумажного листа с таким отношением сторон).

Интересно следующее: поскольку отношение большей стороны к меньшей постоянно, при последовательном разрезании листа А0 на меньшие форматы левый нижний край, правый верхний и точки, в которых сходятся три разреза, согласно теореме Фалеса, будут лежать на одной прямой.

Этот формат был создан в 1975 году на основе немецкого стандарта DIN 476 и отличается от него только бо́льшими допустимыми погрешностями. Базовый лист бумаги (А0) имеет площадь в 1 м² и соотношение сторон 1 ÷ √2. Все остальные размеры получаются разрезанием длинной стороны на две равные части, то есть площадь следующего листа равна половине площади предыдущего. Такое соотношение сторон сохраняется для всех последующих меньших форматов.

Арифметически это связано с равенством  . А именно: пусть стороны листа были x и √2x. Уменьшая вторую сторону в два раза и оставляя первую неизменной, мы уменьшаем площадь прямоугольника в два раза. Стороны стали x и . Найдём теперь отношение меньшей стороны к большей:

У фотографов тоже есть причина использовать число √2. Рассмотрим круг радиусом R. Его площадь равна πR². Если мы хотим построить круг вдвое большей площади, как вы думаете, на какое число необходимо умножить радиус? А если вдвое меньшей — на какое разделить? Опять нас ждёт встреча с числом √2.

Как это связано с фотографией? Когда мы снимаем в ручном режиме, то настраиваем фокус и экспозицию. Последняя определяется выдержкой и диафрагмой объектива — отверстием переменного радиуса, которое позволяет регулировать поток света, попадающего через объектив на плёнку или матрицу фотоаппарата. Если свет яркий, отверстие диафрагмы уменьшают, чтобы не засветить кадр. Если же света мало — пасмурный день или вообще ночное время, — отверстие диафрагмы увеличивают, иначе кадр получится слишком тёмным. Размеры диафрагмы имеют фиксированное значение: при закрытии на одно деление площадь отверстия уменьшается вдвое, ну а радиус, соответственно, в √2 раз. Делениям на шкале диафрагмы соответствуют так называемые диафрагменные числа: 2; 2,8; 4; 5,6; 8; 11; 16; 22 и так далее. Закономерность неочевидна, но на самом деле это не что иное, как приближённые значения степеней числа √2 (округлённые почему-то не по математическим законам):

Это связано с тем, что если мы хотим получить ряд кругов площадью каждый вдвое меньше предыдущего, то радиус исходного круга мы должны будем последовательно делить на √2. Таким образом, отношение радиусов двух произвольных кругов из этого ряда всегда будет равно степени числа √2.

Поиск гармонии

Пифагорейцы изучали связь между гармонией природы и математикой, поэтому они искали числовые пропорции во всех окружающих явлениях. И, надо сказать, преуспели в этом. Например, выяснилось, что гармонические соотношения между нотами соответствуют определённым отношениям целых чисел (стоит ли говорить, что частоту звука можно напрямую связать с длиной струны — геометрической величиной).

Число √2 как пропорциональное отношение часто встречается в архитектуре: оно есть во всех квадратах, которые только можно начертить. Поэтому корень из двух занимает почётное место в искусстве, прежде всего в архитектуре и дизайне.

В барселонском парке Гуэль, спроектированном великим Антонио Гауди, вместо чётких прямых линий мы наблюдаем очертания различной кривизны; центральным элементом паркового ансамбля является терраса, поддерживаемая греческими колоннами. Изогнутый потолок, причудливые формы постройки могут вызвать ложное ощущение, что архитектор не придерживался какой-либо рациональной системы. Однако если посмотреть план сооружения, сразу видно, что его стабильность обеспечена геометрией квадратов, в вершины которых Гауди поместил вершины колонн. Ещё на чертеже можно заметить правильные восьмиугольники (октагоны), в которых тоже скрыто наше любимое число √2, ведь в каждом октагоне есть как минимум три квадрата.

Слабость к правильному вось­миугольнику питали архитекторы разных эпох. Купол кафедрального флорентийского собора Санта-Мария-дель-­Фьоре, Башня Ветров в Афинах, замок ­Кастель-дель-Монте на юге Италии, Капелла Карла Великого в немецком Ахене и многие другие постройки, всех не перечислить, имеют форму октагона.

Возможно, корень из двух не самое примечательное иррациональное число. Есть множество иррациональных чисел (π, экспонента е) и соотношений (например, золотое сечение), о которых можно рассказать больше интересного. Но важно понимать, что изучение таких чисел началось именно с √2. Его открытие перевернуло представления человечества о числе, положило начало изучению чисел как непрерывного множества и расширило возможности познания мира. В результате идея, что числа лежат в основе всех проявлений науки и техники, сегодня уже не вызывает сомнений. 

Корень квадратный из числа

Мы с вами уже уяснили себе, что каждому математическому действию соответствует аналогичное, но обратное по направлению действие.

Для сложения таким обратным действием является вычитание, для умножения — деление. Теперь попробуем выяснить, какое действие является обратным для возведения в степень. Поскольку возведение в степень — это многократное умножение, то, очевидно, обратным действием будет многократное деление.

Например, 32 можно разделить на 2 и получить 16, затем 16 разделить на 2 и получить 8; затем 8 разделить на 2 и получить 4; затем 4 разделить на 2 и получить 2; наконец, затем 2 разделить на 2 и получить 1. 2$ — это $1\frac{24}{25}$, а нам нужно получить число $1\frac{25}{25}$, то есть 2.

Но можно получить и более точный ответ. Если помножить дробное число $1\frac{41}{100}$ на себя самое, мы получим $1\frac{9881}{10000}$, что гораздо ближе к 2. Может показаться, что, если делать более точные вычисления, мы рано или поздно найдем точное значение дробного числа, которое является корнем квадратным из 2, хотя, возможно, это будет очень сложное число.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

квадратов и квадратного корня

Сначала узнайте о квадратах, затем квадратные корни — это просто.

Как возвести в квадрат число

Чтобы возвести в квадрат число: , умножьте его на само .

Пример: Что такое 3 в квадрате?

3 Квадратный

=

= 3 × 3 = 9

«В квадрате» часто записывают как две маленькие цифры:

Это говорит о том, что «4 в квадрате равно 16»
(маленькая 2 говорит число появляется дважды при умножении)

квадратов от 0

² до 6 ²

0 Квадрат	=	0 2	=	0 × 0	=	0
1 квадрат	=	1 2	=	1 × 1	=	1
2 Квадрат	=	2 2	=	2 × 2	=	4
3 Квадратный	=	3 2	=	3 × 3	=	9
4 Квадрат	=	4 2	=	4 × 4	=	16
5 Квадрат	=	5 2	=	5 × 5	=	25
6 Квадрат	=	6 2	=	6 × 6	=	36

Отрицательные числа

Мы также можем возвести в квадрат отрицательных чисел .

Это было интересно!

Когда мы возводим в квадрат отрицательное число , мы получаем положительный результат .

То же, что и возведение положительного числа в квадрат:

(Подробнее см. Квадраты и квадратные корни в алгебре)

Квадратные корни

Квадратный корень идет в обратном направлении:

3 в квадрате равно 9, поэтому квадратный корень из 9 это 3

Квадратный корень числа равен…

… значение, которое можно умножить на само на себя , чтобы получить исходное число.

Квадратный корень из 9 равен …

… 3 , потому что , когда 3 умножается на себя , мы получаем 9 .

Это как спросить:

Что можно умножить само на себя, чтобы получить это?

Чтобы помочь вам вспомнить , подумайте о корне дерева: «Я знаю дерево , но какой корень его сделал? » В данном случае дерево — «9», а корень — «3».

Вот еще несколько квадратов и квадратных корней:

4		16
5		25
6		36
7		49

Десятичные числа

Также работает с десятичными числами.

Попробуйте использовать ползунки ниже (примечание: «…» означает, что десятичные дроби остаются неизменными):

Использование ползунков:

• Что такое квадратный корень из 8 ?
• Что такое квадратный корень из 9 ?
• Что такое квадратный корень из 10 ?
• Что такое 1 в квадрате?
• Что такое 1,1 в квадрате?
• Что такое 2,6 в квадрате?

Отрицательные

Ранее мы обнаружили, что можем возводить в квадрат отрицательные числа:

Пример: (−3) в квадрате

(−3) × (−3) = 9

И, конечно же, 3 × 3 = 9 тоже.

Таким образом, квадратный корень из 9 может быть −3 или +3

Пример: Каковы квадратные корни из 25?

(−5) × (−5) = 25

5 × 5 = 25

Таким образом, квадратные корни из 25 равны −5 и +5

.

Символ квадратного корня

Это специальный символ, означающий «квадратный корень», это что-то вроде галочки, и фактически началось сотни лет назад в виде точки с движением вверх. Он называется радикалом и всегда делает математику важной!

Мы используем его так:

, и мы говорим, что «корень квадратный из 9 равен 3»

Пример: Что такое √25?

25 = 5 × 5, другими словами, когда мы умножаем 5 сам по себе (5 × 5) получаем 25

Итак, ответ:

√25 = 5

Но подождите минутку! Разве квадратный корень не может быть −5 ? Потому что (−5) × (−5) = 25 тоже.

• Итак, квадратный корень из 25 может быть −5 или +5.
• Но когда мы используем радикальный символ √ , мы даем только положительный (или нулевой) результат .

Пример: Что такое √36?

Ответ: 6 × 6 = 36, поэтому √36 = 6

Идеальные квадраты

Совершенные квадраты (также называемые «квадратными числами») — это квадраты целых чисел:

	Perfect Квадраты
0	0
1	1
2	4
3	9
4	16
5	25
6	36
7	49
8	64
9	81
10	100
11	121
12	144
13	169
14	196
15	225
	и др. ..

Попытайтесь запомнить их до 12.

Вычисление квадратного корня

Легко вычислить квадратный корень из полного квадрата, но он действительно сложно вычислить другие квадратные корни.

Пример: что такое √10?

Итак, 3 × 3 = 9 и 4 × 4 = 16, поэтому мы можем угадать ответ от 3 до 4.

• Попробуем 3,5: 3,5 × 3,5 = 12,25
• Попробуем 3.2: 3,2 × 3,2 = 10,24
• Попробуем 3,1: 3,1 × 3,1 = 9,61
• …

Приближается к 10, но чтобы получить хороший ответ, потребуется много времени!

В этот момент я достаю свой калькулятор, и он говорит: 3,1622776601683793319988935444327 Но цифры могут продолжаться и продолжаться без какого-либо рисунка. Так даже ответ калькулятора — , только приближение !

Примечание: подобные числа называются иррациональными числами, если вы хотите узнать больше.

Самый простой способ вычислить квадратный корень

Используйте кнопку квадратного корня вашего калькулятора!

А также руководствуйтесь здравым смыслом, чтобы убедиться, что у вас есть правильный ответ.

Интересный способ вычисления квадратного корня

Есть забавный метод вычисления квадратного корня, который с каждым разом становится все точнее:

	a) начните с предположения (предположим, что 4 — это квадратный корень из 10)
	b) разделить на предположение (10/4 = 2.5) c) прибавьте это к предположению (4 + 2,5 = 6,5) d) затем разделите полученный результат на 2, другими словами, уменьшите его вдвое. (6,5 / 2 = 3,25) e) теперь установите это как новое предположение и начните с b) снова

• Наша первая попытка подняла нас с 4 до 3,25
• Возвращаясь снова ( b к e ), мы получаем: 3,163
• Возвращаясь снова ( b к e ), мы получаем: 3,1623

Итак, через 3 раза ответ будет 3. 1623, что неплохо, потому что:

3,1623 x 3,1623 = 10,00014

А теперь … почему бы вам не попробовать вычислить квадратный корень из 2 таким способом?

Как угадать

Что, если нам нужно угадать квадратный корень для такого сложного числа, как «82 163» …?

В этом случае мы могли бы подумать, что «82 163» состоит из 5 цифр, поэтому квадратный корень может состоять из 3 цифр (100×100 = 10 000), а квадратный корень из 8 (первая цифра) примерно равен 3 (3×3 = 9), поэтому 300 хорошее начало.

День квадратного корня

4 апреля 2016 г. — День квадратного корня, потому что дата выглядит так: 4/4/16

Следующее за этим 5 мая 2025 г. (05.05.25)

309 310 315, 1082, 1083, 2040, 3156, 2041, 2042, 3154

Таблица квадратов и квадратных корней

Используйте эту таблицу, чтобы найти квадраты и квадратные корни чисел от 1 до 100 .

Эту таблицу также можно использовать для вычисления квадратных корней из больших чисел.

• Например, если вы хотите найти квадратный корень из 2000 , посмотрите в средний столбец , пока не найдете число, наиболее близкое к 2000. Число в среднем столбце, которое ближе всего к 2000, — 2,025 .
• Теперь посмотрите на число слева от от 2,025 , чтобы найти его квадратный корень. Квадратный корень из 2025 равен 45 .
• Следовательно, приблизительный квадратный корень из 2000 составляет 45 .

Чтобы получить более точное число, вам нужно использовать калькулятор (44,721 — более точный квадратный корень из 2000).

Готовитесь к длительной учебной сессии? Возможно, вас заинтересует наш список лучших офисных стульев 2020 года.

45 5,4 9080 3916 908065 9002,11665 7,316 9,220 9,220 9,220

НОМЕР	КВАДРАТ	КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ
1	1
4	1. 414
3	9	1,732
4	16	2,000
5	25	2,236
6	36	7 2,4149 900 900	49	2,646
8	64	2,828
9	81	3.000
10	100	3.162
11	121	3,317
12	144	3,464
13	169	3,606
14	196	3,7	225	3,873
16	256	4.000
17	289	4,123
18	324	4. 243
19	361	4,359
20	400	4,472
21	441	4,583
22	484	9 4,6	529	4,796
24	576	4,899
25	625	5.000
26	676	5.099
27	729	5,196
28	784	5,292
29	841	5,385
30	961	5,568
32	1024	5,657
33	1,089	5,745
34	1,156	5. 831
35	1,225	5,916
36	1,296	6.000
37	1,369	6,083
38	1,444	1,444	1,521	6,245
40	1,600	6,325
41	1,681	6,403
42	1,764	6.481
43	1,849	6,557
44	1,936	6,633
45	2,025	6,708
46	2,209	6,856
48	2,304	6,928
49	2,401	7.000
50	2,500	7. 071
51	2,601	7,141
52	2,704	7,211
53	2,809	7,280
2,809	7,280
54
3,025	7,416
56	3,136	7,483
57	3,249	7,550
58	3,364	7.616
59	3,481	7,681
60	3,600	7,746
61	3,721	7,810
62,8447			3,969	7,937
64	4,096	8,000
65	4,225	8,062
66	4,356	8. 124
67	4,489	8,185
68	4,624	8,246
69	4,761	8,307
70
5,041	8,426
72	5,184	8,485
73	5,329	8,544
74	5,476	8.602
75	5,625	8,660
76	5,776	8,718
77	5,929	8,775
78			6,241	8,888
80	6,400	8,944
81	6,561	9.000
82	6,724	9. 055
83	6,889	9,110
84	7,056	9,165
85	7,225	9,220
87,396
87,396		7,569	9,327
88	7,744	9,381
89	7,921	9,434
90	8,100	9.487
91	8,281	9,539
92	8,464	9,592
93	8,649	9,644
94	9,644
94			9,025	9,747
96	9,216	9,798
97	9,409	9,849
98	9,604	9. 899
99	9,801	9,950
100	10,000	10.000

ПРИМЕЧАНИЕ. Квадратные корни в этой таблице округлены до ближайшей тысячной.

Средние и медианные числа и формулы Поиск квадратного корня

Упрощение квадратного корня — методы и примеры

Квадратный корень — это операция, обратная возведению в квадрат числа . Квадратный корень числа x обозначается знаком корня √x или x ^1/2 .Квадратный корень из числа x таков, что число y является квадратом x, упрощенно записывается как y ² = x.

Например, квадратный корень из 25 представлен как √25 = 5. Число, квадратный корень которого вычисляется, называется подкоренным выражением. В этом выражении √25 = 5, число 25 — подкоренное выражение.

Иногда вы получаете сложные выражения с несколькими радикалами, и вас просят упростить их.

Для этого существует множество методов, в зависимости от количества радикалов и значений под каждым радикалом.Мы увидим их одного за другим.

Как упростить квадратный корень?

Чтобы упростить выражение, содержащее квадратный корень, мы находим множители числа и группируем их в пары.

Например, число 16 имеет 4 копии множителей, поэтому мы берем число два из каждой пары и помещаем его перед радикалом, окончательно опущенным, т.е. √16 = √ (2 x 2 x 2 x 2) = 4.

Для упрощения извлечения квадратного корня из числа используются несколько методов. В этой статье описаны некоторые из этих методов.

Упрощение, когда радикалы одинаковы

Вы можете складывать или вычитать сами квадратные корни, только если значения под знаком радикала равны. Затем сложите или вычтите коэффициенты (числа перед знаком корня) и сохраните исходное число знака корня.

Пример 1

Выполните следующие операции

1. 2√3 + 3√3 = (2 +3) √3

= 5√3

1. 4√6 — 2√6 = (4 — 2) √6

= 2√6

• 5√2 + √2 = (5+ 1) √2

= 6√2

Упрощение под одним радикальным знаком

Можно упростить извлечение квадратного корня, когда целые числа находятся под одним знаком, путем сложения, вычитания и умножения целых чисел под знаком.

Пример 2

Упростите следующие выражения:

= √100

= 10

= √36

= 6

= √25

= 5

= √10 Simplification когда радикальные значения различаются

Если радикалы не совпадают, упростите квадрат числа путем сложения или вычитания различных квадратных корней.

Пример 3

Выполните следующие операции:

= √ (25 x 2) + 3√2

= 5√2 + 3√2

= 8√2

= √ (100 x 3) + √ (4 x 3)

= 10√3 + 2√3

= 12√3

Упрощение путем умножения неотрицательных корней

Пример 4

Умножение:

= 4

= √x ⁸ = x ⁴

Пример 5

Найдите значение числа n, если квадратный корень из суммы числа с 12 равен 5 .

Решение

Напишите выражение этой задачи, квадратный корень из суммы n и 12 равен 5
√ (n + 12) = квадратный корень из суммы.

√ (n + 12) = 5
Наше уравнение, которое теперь нужно решить:
√ (n + 12) = 5
Каждая сторона уравнения возводится в квадрат:
[√ (n + 12)] ² = 5²
[√ (n + 12)] x [√ (n + 12)] = 25
√ [(n + 12) x √ (n + 12)] = 25
√ (n + 12) ² = 25
n + 12 = 25
Вычтем 12 из обеих частей выражения
n + 12-12 = 25-12
n + 0 = 25-12
n = 13

Пример 6

Упростить

1. √4,500
2. √72

Решение

Аргумент 4500 имеет множители 5, 9 и 100. Теперь можно вычислить квадратный корень. Вычислите квадратный корень из полных квадратных чисел

√4500 = √ (5 x 9 x 100)

= 30√5

2.

Число 72 равно 2 x 36, а поскольку 36 — полный квадрат, вычислить его квадратный корень.

√ (2 x 36)

= 6√2

Практические вопросы

1. Упростите следующие выражения:

a) √5x ²

b) √18a

c) √12 ² y

d) √5y ³

e) √ x ⁷ y ²

2. Вычислите радикальное выражение ниже.

a) 2 + 9 –√15-2

b) 3 x 4 + √169

c) √25 x √16 + √36

d) √81 x 12 + 12

e) √36 + √47 — √16

f) 6 + √36 + 25−2

g) 4 (5) + √9-2

h) 15 + √16 + 5

i) 3 (2 ) + √25 + 10

j) 4 (7) + √49 — 12

k) 2 (4) + √9 — 8

l) 3 (7) + √25 + 21

m) 8 (3) — √27

3. Вычислите площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой длиной 100 см и шириной 6 см.

4. Ахмед и Том встретились для встречи. Ровно в 16:00 они разошлись: Том едет на юг со скоростью 60 миль в час, а Ахмед едет на восток со скоростью 30 миль в час. Как далеко был Том от Ахмеда в 16.30?

5. Вычислите длину куба с площадью грани x см ² .

6. Рассчитайте диаметр круга с площадью A = 300 см².

7. Квадратный школьный сад имеет длину 11 м.Допустим, каждая сторона сада увеличена на 5 м. Как увеличить площадь сада?

8. Прямоугольный мат имеет длину 4 метра и ширину √ (x + 2) метра. Вычислите значение x, если периметр равен 24 метрам.

9. Каждая сторона куба составляет 5 метров. Паук соединяется от вершины угла куба к противоположному нижнему углу. Рассчитайте общую длину паутины.

10. Квадратный сад площадью 144 м ² .Какова длина каждой стороны сада?

11. В городе будет построена большая детская площадка квадратной формы. Предположим, что игровая площадка имеет размер 400 и должна быть разделена на четыре равные зоны для различных занятий спортом. Сколько зон можно разместить в одном ряду детской площадки, не выходя за него?
12. Воздушный змей закреплен на земле веревкой. Ветер дует так, что тетива натянута, и кайт помещается прямо на 30-футовый флагшток.Найдите высоту флагштока, если длина веревки составляет 110 футов.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Основы квадратного корня (примеры и ответы)

Обновлено 8 декабря 2020 г.

Ли Джонсон

Квадратные корни часто встречаются в математических и естественных задачах, и любой ученик должен овладеть основами квадратные корни, чтобы ответить на эти вопросы. Квадратные корни спрашивают, «какое число при умножении само на себя дает следующий результат», и поэтому их вычисление требует, чтобы вы относились к числам немного по-другому.Однако вы можете легко понять правила извлечения квадратного корня и ответить на любые вопросы, связанные с ними, независимо от того, требуют ли они прямого вычисления или просто упрощения.

TL; DR (слишком долго; не читал)

Квадратный корень спрашивает вас, какое число при умножении на само себя дает результат после символа √. Итак, √9 = 3 и √16 = 4. Технически каждый корень имеет положительный и отрицательный ответ, но в большинстве случаев положительный ответ — это тот, который вас заинтересует.

Вы можете множить квадратные корни на множители, как и обычные числа , поэтому √ ab = √ a √ b , или √6 = √2√3.

Что такое квадратный корень?

Квадратные корни — это противоположность возведения числа в квадрат или его умножения на само себя. Например, три в квадрате равно девяти (3 ² = 9), поэтому квадратный корень из девяти равен трем. В символах это

\ sqrt {9} = 3

Символ «√» говорит вам извлекать квадратный корень из числа, и вы можете найти его на большинстве калькуляторов.

Помните, что у каждого числа два квадратных корня .2 = 9 \ text {и} \ sqrt {9} = ± 3

, где ± вместо «плюс или минус». Во многих случаях можно игнорировать отрицательные квадратные корни чисел, но иногда важно помнить, что каждое число имеет два корня.

Вас могут попросить извлечь «кубический корень» или «корень четвертой степени» из числа. Кубический корень — это число, которое при двойном умножении на себя равно исходному числу. Корень четвертой степени — это число, которое при трехкратном умножении на себя равно исходному числу.{1/3}

Упрощение квадратных корней

Одна из самых сложных задач, которые вам, возможно, придется выполнить с квадратными корнями, — это упрощение больших квадратных корней, но вам просто нужно следовать некоторым простым правилам, чтобы ответить на эти вопросы. Вы можете множить квадратные корни на множители так же, как множители обычных чисел. Так, например, 6 = 2 × 3, поэтому

\ sqrt {6} = \ sqrt {2} × \ sqrt {3}

Упрощение больших корней означает выполнение факторизации шаг за шагом и запоминание определения квадратного корня.Например, √132 — большой корень, и может быть трудно понять, что делать. Однако вы можете легко увидеть, что оно делится на 2, поэтому вы можете написать

\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {66}

Однако 66 также делится на 2, поэтому вы можете написать:

\ sqrt {2} \ sqrt {66} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33}

В этом случае квадратный корень из числа, умноженный на другой квадратный корень, просто дает исходное число ( из-за определения квадратного корня), поэтому

\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33} = 2 \ sqrt {33}

Короче говоря, вы можете упростить квадратные корни используя следующие правила

\ sqrt {a × b} = \ sqrt {a} × \ sqrt {b} \\ \ sqrt {a} × \ sqrt {a} = a

Что такое квадратный корень…

Используя приведенные выше определения и правила, вы можете найти квадратные корни из большинства чисел.Вот несколько примеров, которые стоит рассмотреть.

Квадратный корень из 8

Его нельзя найти напрямую, потому что это не квадратный корень из целого числа. Однако использование правил для упрощения дает:

\ sqrt {8} = \ sqrt {2} \ sqrt {4} = 2 \ sqrt {2}

Квадратный корень из 4

. простой квадратный корень из 4, который равен √4 = 2. Задачу можно точно решить с помощью калькулятора, а √8 = 2,8284 ….

Квадратный корень из 12

Используя тот же подход, попробуйте найдите квадратный корень из 12.Разделите корень на факторы, а затем посмотрите, сможете ли вы снова разделить его на факторы. Попробуйте это как практическую задачу, а затем посмотрите на решение ниже:

\ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {6} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {3} = 2 \ sqrt {3}

Опять же, это упрощенное выражение может либо использоваться в задачах по мере необходимости, либо точно рассчитываться с помощью калькулятора. Калькулятор показывает, что

\ sqrt {12} = 2 \ sqrt {3} = 3.4641….

Корень квадратный из 20

Корень квадратный из 20 можно найти таким же образом:

\ sqrt {20} = \ sqrt {2} \ sqrt {10} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 2 \ sqrt {5} = 4.4721….

Квадратный корень из 32

Наконец, возьмите квадратный корень из 32, используя тот же подход:

\ sqrt {32} = \ sqrt {4} \ sqrt {8}

Здесь, обратите внимание, что мы уже вычислил квадратный корень из 8 как 2√2, а √4 = 2, поэтому:

\ sqrt {32} = 2 × 2 \ sqrt {2} = 4 \ sqrt {2} = 5,657 ….

Квадратный корень отрицательного числа

Хотя определение квадратного корня означает, что отрицательные числа не должны иметь квадратного корня (поскольку любое число, умноженное само на себя, дает в результате положительное число), математики сталкивались с ними как с частью задач по алгебре и разработал решение.«Мнимое» число i используется для обозначения «квадратного корня из минус 1», а любые другие отрицательные корни выражаются как кратные i . Итак,

\ sqrt {-9} = \ sqrt {9} × i = ± 3i

Эти задачи более сложные, но вы можете научиться решать их, основываясь на определении i и стандартных правилах для корнеплоды.

Примеры вопросов и ответов

Проверьте свое понимание квадратных корней, упростив по мере необходимости, а затем вычислив следующие корни:

\ sqrt {50} \\ \ sqrt {36} \\ \ sqrt {70} \\ \ sqrt {24} \\ \ sqrt {27}

Попытайтесь решить их, прежде чем смотреть ответы ниже:

\ sqrt {50} = \ sqrt {2} \ sqrt {25} = 5 \ sqrt {2} = 7.{2} = 16 [/ latex], квадратный корень из [latex] 16 [/ latex] равен [latex] 4 [/ latex]. Функция квадратного корня является обратной функцией возведения в квадрат, так же как вычитание является обратным сложению. Чтобы отменить возведение в квадрат, мы извлекаем квадратный корень.

В общих чертах, если [latex] a [/ latex] является положительным вещественным числом, то квадратный корень из [latex] a [/ latex] — это число, которое при умножении на себя дает [latex] a [/ латекс]. Квадратный корень может быть положительным или отрицательным, потому что умножение двух отрицательных чисел дает положительное число.Главный квадратный корень — неотрицательное число, которое при умножении само на себя равно [латекс] а [/ латекс]. Квадратный корень, полученный с помощью калькулятора, является главным квадратным корнем.

Главный квадратный корень из [latex] a [/ latex] записывается как [latex] \ sqrt {a} [/ latex]. Символ называется корнем , термин под символом называется корнем и , а все выражение называется радикальным выражением .

A Общее примечание: основной квадратный корень

Главный квадратный корень из [латекса] a [/ latex] является неотрицательным числом, которое при умножении само на себя равно [latex] a [/ latex]. {2} = 81 [/ латекс]

Вопросы и ответы

Для [latex] \ sqrt {25 + 144} [/ latex], можем ли мы найти квадратные корни перед сложением?

№ [латекс] \ sqrt {25} + \ sqrt {144} = 5 + 12 = 17 [/ латекс]. Это не эквивалентно [латекс] \ sqrt {25 + 144} = 13 [/ латекс]. Порядок операций требует, чтобы мы добавили члены в подкоренном выражении перед нахождением квадратного корня.

Попробуй 1

Оцените каждое выражение.

а. [латекс] \ sqrt {225} [/ латекс]
б. [латекс] \ sqrt {\ sqrt {81}} [/ латекс]
c. [латекс] \ sqrt {25 — 9} [/ латекс]
d. [латекс] \ sqrt {36} + \ sqrt {121} [/ латекс]

Решение

Шлюз

Veuillez réessayer dans quelques instants.Si le problème persiste, veuillez communiquer avec le service de soutien Technique de Alberta Education (доступный en anglais seulement).

Телефон :		780-427-5318
		(Composer d’abord le 310-0000 pour obtenir une ligne sans frais)
Телекопье:		780-427-1179
Adresse de Courriel:		cshelpdesk @ gov.ab.ca

Функция квадратного корня Python — настоящий Python

Вы пытаетесь решить квадратное уравнение? Возможно, вам нужно рассчитать длину одной стороны прямоугольного треугольника. Для этих и других типов уравнений функция квадратного корня Python sqrt () может помочь вам быстро и точно рассчитать ваши решения.

К концу этой статьи вы узнаете:

• Что такое квадратный корень
• Как использовать функцию квадратного корня Python, sqrt ()
• Когда sqrt () может быть полезен в реальном мире

Давайте нырнем!

Python Pit Stop: Этот учебник представляет собой quick и практический способ найти нужную информацию, так что вы вернетесь к своему проекту в кратчайшие сроки!

Квадратные корни в математике

В алгебре квадрат , x , является результатом умножения числа n на само себя: x = n²

Вы можете вычислить квадраты с помощью Python:

>>>

  >>> п = 5
>>> х = п ** 2
>>> х
25
  

Оператор Python ** используется для вычисления степени числа.В этом случае 5 в квадрате или 5 в степени 2 равно 25.

Таким образом, квадратный корень — это число n , которое при умножении само на себя дает квадрат x .

В этом примере n , квадратный корень, равен 5.

25 — это пример полного квадрата . Совершенные квадраты — это квадраты целых значений:

>>>

  >>> 1 ** 2
1

>>> 2 ** 2
4

>>> 3 ** 2
9
  

Возможно, вы запомнили некоторые из этих совершенных квадратов, когда выучили свои таблицы умножения на уроках элементарной алгебры.

Если вам дан маленький точный квадрат, может быть достаточно просто вычислить или запомнить его квадратный корень. Но для большинства других квадратов это вычисление может быть немного более утомительным. Часто оценки бывает достаточно, когда у вас нет калькулятора.

К счастью, у вас, как у разработчика Python, есть калькулятор, а именно интерпретатор Python!

Функция квадратного корня Python

Модуль math

Python в стандартной библиотеке может помочь вам работать с математическими задачами в коде.Он содержит множество полезных функций, таких как restder () и factorial () . Он также включает функцию извлечения квадратного корня Python, sqrt () .

Вы начнете с импорта math :

Вот и все, что нужно! Теперь вы можете использовать math.sqrt () для вычисления квадратных корней.

sqrt () имеет простой интерфейс.

Требуется один параметр, x , который (как вы видели ранее) обозначает квадрат, для которого вы пытаетесь вычислить квадратный корень.В предыдущем примере это будет 25 .

Возвращаемое значение sqrt () — квадратный корень из x в виде числа с плавающей запятой. В примере это будет 5,0 .

Давайте рассмотрим несколько примеров того, как (и как не использовать) использовать sqrt () .

Квадратный корень положительного числа

Один из типов аргументов, который вы можете передать в sqrt () , — это положительное число. Сюда входят типы int и float .

Например, вы можете найти квадратный корень из 49 , используя sqrt () :

Возвращаемое значение — 7,0 (квадратный корень из 49 ) в виде числа с плавающей запятой.

Наряду с целыми числами вы также можете передать значений с плавающей запятой :

>>>

  >>> math.sqrt (70.5)
8,396427811873332
  

Вы можете проверить точность этого квадратного корня, вычислив его обратную величину:

>>>

  >>> 8.396427811873332 ** 2
70,5
  

Квадратный корень нуля

Даже 0 — правильный квадрат для передачи функции квадратного корня Python:

Хотя вам, вероятно, не нужно часто вычислять квадратный корень из нуля, вы можете передать переменную в sqrt () , значение которой вы на самом деле не знаете. Итак, хорошо знать, что в таких случаях он может обрабатывать ноль.

Квадратный корень отрицательных чисел

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.Это потому, что отрицательный результат возможен только в том случае, если один фактор положительный, а другой отрицательный. Квадрат по определению является произведением числа и самого себя, поэтому получить отрицательный действительный квадрат невозможно:

>>>

  >>> math.sqrt (-25)
Отслеживание (последний вызов последний):
  Файл "", строка 1, в 
ValueError: ошибка математического домена
  

Если вы попытаетесь передать отрицательное число в sqrt () , то получите ValueError , потому что отрицательные числа не входят в область возможных действительных квадратов.Вместо этого квадратный корень отрицательного числа должен быть сложным, что выходит за рамки функции квадратного корня Python.

квадратных корня в реальном мире

Чтобы увидеть реальное применение функции квадратного корня Python, давайте обратимся к теннису.

Представьте, что Рафаэль Надаль, один из самых быстрых игроков в мире, только что ударил справа из заднего угла, где базовая линия пересекается с боковой линией теннисного корта:

Теперь предположим, что его противник нанес контратакующий удар (тот, который закроет мяч с небольшим ускорением вперед) в противоположный угол, где другая боковая линия встречается с сеткой:

Как далеко Надаль должен бежать, чтобы дотянуться до мяча?

Из нормативных размеров теннисного корта можно определить, что длина базовой линии составляет 27 футов, а длина боковой линии (на одной стороне сетки) — 39 футов.