Линейная функция. Теория. Разбор задач.

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Для начала скажи мне, что такое функция?

Не знаешь? Тогда сперва прочитай тему «Функции» – она несложная, но очень важная.

Итак, ты усвоил что такое функция.

Повторим: функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции).

То есть, если у тебя есть функция  , это значит что каждому допустимому значению переменной   (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной   (называемой «функцией»).

Что значит «допустимому»?

Если не можешь ответить на этот вопрос, еще раз вернись к теме «Функции»!

Все дело в понятии «область определения»: для некоторых функций не все аргументы одинаково полезны можно подставить в зависимость. Например, для функции   отрицательные значения аргумента   – недопустимы.

Линейная функция

Вернемся, наконец, к теме данной статьи.

Линейной называется функция вида  , где   и   ­– любые числа (они называются коэффициентами).

Другими словами, линейная функция – это такая зависимость, что функция прямо пропорциональна аргументу.

Как думаешь, почему она называется линейной? Все просто: потому что графиком этой функции является прямая линия. Но об этом чуть позже.

Как уже говорилось в теме «Функции», важнейшими понятиями, связанными с любой функцией, являются ее область определения   и область значений  .

Какими могут быть значения аргумента линейной функции  ? Правильно, любыми. Это значит, что область определения – все действительные числа:

А множество значений? Тут тоже все просто: поскольку функция прямо пропорциональна аргументу, то чем больше аргумент  , тем больше значение функции  . Значит,   так же как и   может принимать все возможные значения, то есть  , верно?

Верно, да не всегда. Есть такие линейные функции, которые не могут принимать любые значения. Как думаешь, в каком случае возникают ограничения?

Вспомним формулу:  . Какие нужно выбрать коэффициенты   и  , чтобы значение функции y не зависело от аргумента  ? А вот какие:   – любое, но  . И правда, каким бы ни был аргумент  , при умножении на   получится  ! Тогда функция станет равна  , то есть она принимает одно и то же значение при всех  :

Теперь рассмотрим пару задач на линейную функцию.

1. При увеличении аргумента функции   на  , функция увеличилась на  . Найдите коэффициент  .
2. При увеличении аргумента функции   на  , функция уменьшилась на  . Найдите коэффициент  .
3. Дана функция  . При  , а при  . Определите коэффициенты   и   функции.

Решения:

1. Пусть начальное значение аргумента равно некому числу  . После увеличения на   аргумент стал равен:  .

Чему была равна функция до увеличения? Подставляем аргумент в формулу:

После увеличения:  .

Функция увеличилась на  . Как это записать на «математическом языке» (в виде уравнения)? Изменение – это разность конечного и начального значений. Значит, нужно из конечного значения функции   вычесть начальное:

Ответ:  .

2. Аналогично предыдущей задаче:

Начальное значение аргумента равно  , конечное –  .

Начальное значение функции:  ;

конечное значение функции:  .

В этот раз функция не увеличилась, а уменьшилась. Это значит, что конечное значение будет меньше начального, а значит, изменение (разность конечного и начального) будет отрицательным:

Ответ:  .

Если проанализировать решения этих двух задач, можно прийти к важному выводу:

По-сути это является определением прямой пропорциональной зависимости.

3. Подставим известные значения аргумента и функции в формулу  :

Получили два уравнения относительно   и  . Теперь достаточно решить систему этих двух уравнений:

Вычтем из первого уравнения второе:

Подставим найденное значение k в первое уравнение:

Вот и все.

Ответ:  

График линейной функции

Как я уже упоминал ранее, график такой функции – прямая линия. Как известно из геометрии, прямую можно провести через две точки (то есть, если известны две точки, принадлежащие прямой, этого достаточно, чтобы ее начертить).

Предположим, у нас есть функция линейная функция  . Чтобы построить ее график, нужно вычислить координаты любых двух точек. Т

о есть нужно взять любые два значения аргумента   и вычислить соответствующие два значения функции.

Затем для каждой пары   найдем точку в системе координат, и проведем прямую через эти две точки.

Проще всего найти функцию, если аргумент  .

Итак, первая точка имеет координаты  .

Теперь возьмем любое другое число в качестве  , например,  .

Вторая точка имеет координаты  .

Ставим эти две точки на координатной плоскости:

Теперь прикладываем линейку, и проводим прямую через эти две точки:

Вот и все, график построен!

Давай теперь на этом же рисунке построим еще два графика:   и  . Построй их самостоятельно так же: посчитай значение y для любых двух значений  , отметь эти точки на рисунке и проведи через них прямую.

Должно получиться так:

Видно, что все три прямые по-разному наклонены и в разных точках пересекают координатные оси. Все дело тут в коэффициентах   и  .

Давай разберемся, на что они влияют.

Для начала выясним, что делает коэффициент  . Рассмотрим функцию  , то есть  .

Меняя   будем следить, что происходит с графиком.

Итак, начертим графики для разных значений  :

Что ты можешь сказать о них? Чем отличаются графики? Это сразу видно: чем больше  , тем выше располагается прямая.

Более того, заметь такую вещь: график пересекает ось   в точке с координатой, равной  !

И правда. Как найти точку пересечения графика с осью  ? Чему равен   в такой точке? В любой точке оси ординат (это название оси  , если ты забыл)  . Значит достаточно подставить   в функцию, и получим ординату пересечения графика с осью  :

Теперь по поводу  . Рассмотрим функцию   Будем менять   и смотреть, что происходит с графиком. Построим графики для  

Так, теперь ясно:   влияет на наклон графика. Чем больше   по модулю (то есть несмотря на знак), тем «круче» (под большим углом к оси абсцисс –  ) расположена прямая. Если  , график наклонен «вправо», при   – «влево». А когда  , прямая располагается вдоль оси абсциссс.

Давай разбираться. Начертим новый график  :

Выберем на графике две точки   и  . Для простоты выберем точку   на пересечении графика с осью ординат. Точка   – в произвольном месте прямой, пусть ее координаты равны  . Рассмотрим прямоугольный треугольник  , построенный на отрезке   как на гипотенузе. Из рисунка видно, что  ,  .

Подставим   в  .

Получается, что  .

Итак, коэффициент   равен тангенсу угла наклона графика, то есть угла между графиком и осью абсциссс. Именно поэтому его (коэффициент  ) обычно называют угловым коэффициентом.

В случае, когда   что соответствует тупому углу:

Если же  , тогда и   следовательно  , то есть прямая параллельна оси абсциссс.

Понимать геометрическое значение коэффициентов очень важно, оно часто используется в различных задачах на линейную функцию.

Например:

1. Найдите коэффициенты   и   линейной функции, график которой приведен на рисунке. Запишите уравнение этой функции.

2. Найдите коэффициенты   и   линейной функции, график которой приведен на рисунке. Запишите уравнение этой функции.

3. График какой из функций избражен на рисунке?

a)  

b)  

c)  

d)  

Решения:

1. Коэффициент   найти проще простого – это ведь точка пересечения графика с осью  :

Угловой коэффициент   – это тангенс угла наклона прямой. Для его нахождения выберем две точки   и   на графике и построим прямоугольный треугольник с гипотенузой  :

Теперь можно составить уравнение этой прямой:

2. Все аналогично предыдущей задаче.

Поскольку график наклонен «влево», угол межну ним и осью абсцисс тупой, а значит, угловой коэффициент отрицательный.

Чтобы было проще найти тангенс угла наклона  , рассмотрим смежный с ним угол  . Тангенсы смежных углов равны по модулю, и противоположны по знаку:

Уравнение этой прямой выглядит так:

3. И снова в первую очередь смотрим на  . Значит, есть смысл рассматривать только функции a), b) и d).

Теперь посмотрим, каким должен быть угловой коэффициент?

Во-первых, он должен быть отрицательным, значит, выбрасываем ответ b). Остается a) и d).

Чтобы выбрать из них, придется найти тангенс угла наклона графика:

Отлично, значит уравнение этой прямой выглядит так:

То есть правильный ответ: a.

Точка пересечения графика с осью ординат – это коэффициент  . А что можно сказать про точку пересечения с осью абсцисс?

В случае пересечения с осью   координата  . При пересечении оси   – аналогично, координата  :

Да это же простое линейное уравнение! И действительно, такое линейное уравнение говорит нам, при каких значениях аргумента   функция  , то есть корни такого уравнения – это координаты точек пересечения графика функции с осью абсцисс.

Это справедливо, кстати, для любой функции/уравнения.

Например, корни квадратного уравнения – это точки пересечения графика квадратичной функции – параболы – с осью  .

Но подробнее об этом ты узнаешь в темах «Квадратные уравнения» и «Квадратичная функция».

ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ.

Линейная функция — это функция вида  , где   и   ­– любые числа (коэффициенты).

Рассмотрим, как коэффициенты влияют на месторасположение графика:

•   — отвечает за угол наклона графика ( )
•   — точка пересечения с  .

Общие варианты представлены на рисунке:

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц», 

А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

можно кликнув по этой ссылке.

Линейная функция — Википедия

Линейная функция — функция вида

y = k x + b {\displaystyle y=kx+b} (для функций одной переменной).

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.

Графиком линейной функции является прямая, с чем и связано её название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.

• Частный случай b = 0 {\displaystyle b=0} линейной функции называется однородными линейными функциями (это в сущности синоним прямой пропорциональности), в отличие от b ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0}  — неоднородных линейных функций.

Свойства

Угол между двумя прямыми, задаваемыми уравнениями y = k 1 x + b 1 , {\displaystyle y=k_{1}x+b_{1},} и y = k 2 x + b 2 , {\displaystyle y=k_{2}x+b_{2},} определяется равенством: t g α = | k 1 − k 2 1 + k 1 k 2 | , {\displaystyle \mathrm {tg} \,\alpha =\left|{\frac {k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}}}\right|,} где k 1 k 2 ≠ − 1 , {\displaystyle k_{1}k_{2}\neq -1,} то есть прямые не являются взаимно перпендикулярными; при k 1 = k 2 ,   α = 0 {\displaystyle k_{1}=k_{2},~\alpha =0} и прямые параллельны.

• b {\displaystyle b} является показателем ординаты точки пересечения прямой с осью ординат.
• При b = 0 {\displaystyle b=0} , прямая проходит через начало координат.

Линейная функция нескольких переменных

Линейная функция n {\displaystyle n} переменных x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}  — функция вида

f ( x ) = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n {\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}}

где a 0 , a 1 , a 2 , … , a n {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}  — некоторые фиксированные числа. Областью определения линейной функции является всё n {\displaystyle n} -мерное пространство переменных x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} вещественных или комплексных. При a 0 = 0 {\displaystyle a_{0}=0} линейная функция называется однородной, или линейной формой.

Если все переменные x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} и коэффициенты a 0 , a 1 , a 2 , … , a n {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}  — вещественные числа, то графиком линейной функции в ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} -мерном пространстве переменных x 1 , x 2 , … , x n , y {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},y} является n {\displaystyle n} -мерная гиперплоскость

y = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n {\displaystyle y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}}

в частности при n = 1 {\displaystyle n=1}  — прямая линия на плоскости.

Абстрактная алгебра

Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства X {\displaystyle X} над некоторым полем k {\displaystyle k} в это поле, то есть для такого отображения f : X → k {\displaystyle f:X\to k} , что для любых элементов x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} и любых α , β ∈ k {\displaystyle \alpha ,\beta \in k} справедливо равенство

f ( α x + β y ) = α f ( x ) + β f ( y ) {\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)}

причём в этом случае вместо термина «линейная функция» используются также термины линейный функционал и линейная форма — также означающие линейную однородную функцию определённого класса.

Алгебра логики

Булева функция f ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})} называется линейной, если существуют такие a 0 , a 1 , a 2 , … , a n {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}} , где a i ∈ { 0 , 1 } , ∀ i = 1 , n ¯ {\displaystyle a_{i}\in \{0,1\},\forall i={\overline {1,n}}} , что для любых x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} имеет место равенство:

f ( x 1 , x 2 , … , x n ) = a 0 ⊕ a 1 ⋅ x 1 ⊕ a 2 ⋅ x 2 ⊕ ⋯ ⊕ a n ⋅ x n {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=a_{0}\oplus a_{1}\cdot x_{1}\oplus a_{2}\cdot x_{2}\oplus \dots \oplus a_{n}\cdot x_{n}} .

Нелинейные функции

Для функций, не являющихся линейными, употребляют термин нелинейные функции. То же относится и к употреблению слова нелинейные в отношении других объектов, не обладающих свойством линейности, например — нелинейные дифференциальные уравнения. Обычно термин используется, когда функциональную зависимость вначале приближают линейной, а потом переходят к изучению более общего случая, часто начиная с младших степеней, например рассматривая квадратичные поправки.

Нелинейные уравнения достаточно произвольны. К примеру, нелинейной является функция y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} .

В ряде случаев этот термин может применяться и к зависимостям f = k x + b {\displaystyle f=kx+b} , где b ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0} , то есть к неоднородным линейным функциям, поскольку они не обладают свойством линейности, а именно в этом случае f ( x 1 + x 2 ) ≠ f ( x 1 ) + f ( x 2 ) {\displaystyle f(x_{1}+x_{2})\neq f(x_{1})+f(x_{2})} и f ( c x ) ≠ c f ( x ) {\displaystyle f(cx)\neq cf(x)} . Например, нелинейной зависимостью считают σ ( τ ) {\displaystyle \sigma (\tau )} для материала с упрочнением (см. теория пластичности).

См. также

Ссылки

• Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А.- М.: Наука, 1981.- 720с., ил.

Линейная функция — подготовка к ЕГЭ по Математике

Линейная функция — функция вида График линейной функции — прямая.

Для построения графика линейной функции достаточно двух точек — потому что через две несовпадающие точки всегда можно провести прямую, причем единственную.

Угловой коэффициент прямой

Величина k в формуле линейной функции называется угловым коэффициентом прямой

Если , линейная функция возрастает. Чем больше х, тем больше у, то есть график идет вправо и вверх.

Если , линейная функция убывает. Чем больше х, тем меньше у, то есть график идет вправо и вниз.

Угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона графика линейной функции к положительному направлению оси Х.

Пусть Чем больше k, тем круче вверх идет график функции.

А что же будет, если ? Мы получим горизонтальную прямую На рисунке показан график функции

Заметим, что прямая (также изображенная на рисунке) не является графиком функции в нашем обычном, школьном смысле слова. В самом деле — мы помним, что функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу множества Х соответствует один и только один элемент множества Y.

Для прямой это не выполняется: значению соответствует бесконечно много значений у.

Если прямые параллельны.

При этом, чем больше b, тем выше расположен на координатной плоскости график функции.

Например, прямые и параллельны. Их угловые коэффициенты равны.

Если прямые перпендикулярны. Например, прямые и пересекаются под прямым углом. Произведение их угловых коэффициентов равно — 1.

Построение графика линейной функции 

График линейной функции построить легко — достаточно двух точек.

Оказывается, что привычный нам вид уравнения прямой — не единственно возможный.

Уравнение прямой можно записать также в виде

Построим, например, прямую, заданную уравнением

При получаем, что

При получаем, что

Значит, наша прямая проходит через точки и

Выразив у из уравнения , получим уравнение прямой вида

Если вы поступаете в вуз на специальность, связанную с математикой, — уже на первом курсе вы познакомитесь и с другими видами уравнения прямой.

Зачем изучать линейную функцию? 

Дело в том, что многие зависимости в природе и технике описываются формулой виде

Например, закон Ома для участка цепи: Напряжение U прямо пропорционально силе тока I.

Формула для равномерного прямолинейного движения: . Пройденное расстояние S прямо пропорционально времени.

Закон теплового расширения , который вам встретится в одной из задач под номером 10 варианта Профильного ЕГЭ по математике — тоже линейная функция. И таких примеров можно привести очень много.

Обратите внимание, что в формулу линейной функции аргумент х входит в первой степени. Мы просто умножаем х на угловой коэффициент k и прибавляем b.

Если в формулу функции входит аргумент в любой другой степени — например, в квадрате или в кубе, если мы делим на х, если в формуле присутствует или , или показательные или логарифмические выражения, зависящие от х, — график функции уже не будет прямой линией.

Линейная функция и ее график

Описание презентации по отдельным слайдам:

Линейная функция, её график, свойства.

Укажите линейные уравнения :

Функция вида у = kx + b называется линейной. Графиком функции вида у = kx +b является прямая. Для построения прямой необходимы только две точки, так как через две точки проходит единственная прямая.

Найти уравнения линейных функций y=-x+0,2; y=12,4x-5,7 ; y=-9x-18; y=5,04x; y=-5,04x; y=126,35+8,75x; y=x-0,2; y=x:8; y=0,005x; y=133,133133x; y=3-10, 01x; y=2:x; y=-0,0049; y=х:62.

y = kx + b – линейная функция х – аргумент (независимая переменная) у – функция (зависимая переменная) k, b – числа (коэффициенты) к ≠ 0

х Х1 Х2 Х3 у У1 У2 У3

у = — 2х + 3 – линейная функция. Графиком линейной функции является прямая, для построения прямой нужно иметь две точки х – независимая переменная, поэтому её значения выберем сами; У – зависимая переменная, её значение получится в результате подстановки выбранного значения х в функцию. Результаты запишем в таблицу: 0 2 Если х = 0, то у = — 2·0 + 3 = 3. 3 Если х=2, то у = -2·2+3 = — 4+3= -1. — 1 Точки (0;3) и (2; -1) отметим на координатной плоскости и проведем через них прямую. х у 0 1 1 У= — 2х+3 3 2 — 1 выбираем сами х у

Построить график линейной функции у = -2х +3 Составим таблицу: х у 03 1 1 Построим на координатной плоскости точки (0;3) и (1;5) и проведем через них прямую х 1 0 1 3 у

I вариант II вариант y=x-4 y=-x+4 Определить взаимосвязь коэффициентов k и b и расположения прямых Построить график линейной функции

y=x-4 y=-x+4 I вариант II вариант x y 1 2 0 -4 x 1 2 0 4 y

если k > 0, то линейная функция у = kx + b возрастает если k < 0, то линейная функция у = kx +b убывает х 0 у y = kx + m (k > 0) х 0 у y = kx + m (k < 0)

С помощью графика линейной функции у = 2х — 6 ответить на вопросы: а) при каком значении х будет у = 0 ? б) при каких значениях х будет у  0 ? в) при каких значениях х будет у  0 ? а) у = 0 при х = 3 б) у  0 при х  3 Если х  3 , то прямая расположена выше оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой положительны в) у  0 при х  3 Если х  3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны

Задания для самостоятельного решения: построить графики функций (выполнять в тетради) 1. у = 2х – 2 2. у = х + 2 3. у = 4 – х 4. у = 1 – 3х Обратите внимание: точки, выбранные вами для построения прямой, могут быть другими, но расположение графиков обязательно должно совпадать

Ответ к заданию 1

Ответ к заданию 2

Ответ к заданию 3

Ответ к заданию 4

На каком рисунке изображён график линейной функции y=kx? Ответ объяснить. 1 2 3 4 5 x y x y x y x y x y

Ученик допустил ошибку при построении графика функции. На каком рисунке? 1. y=х+2 2. y=1,5х 3. y=-х-1 x y 2 1 x y 3 1 x y 3 3

1 2 3 4 5 x y x y y x y x y На каком рисунке коэффициент k отрицателен? x

Назовите знак коэффициента k для каждой из линейных функций:

На каком рисунке свободный член b в уравнении линейной функции отрицателен? 1 2 3 4 5 х y x y x y x y x y

Выберите линейную функцию, график которой изображен на рисунке у = х — 2 у = х + 2 у = 2 – х у = х – 1 у = — х + 1 у = — х — 1 у = 0,5х у = х +2 у = 2х Молодец! Подумай!

x y 1 2 0 1 2 3 -1 -2 -1 -2 x y 1 2 0 1 2 3 -1 -2 -1 -2 y=2x y=2x+1 y=2x-1 y=-2x+1 y=-2x-1 y=-2x

y=-0,5x+2, y=-0,5x, y=-0,5x-2 x y 1 2 0 1 2 3 -1 -2 -1 -2 3 4 5 6 -3 x y 1 2 0 2 3 -1 -2 -1 -2 3 4 5 6 -3 1 y=0,5x+2 y=0,5x-2 y=0,5x y=-0,5x+2 y=-0,5x y=-0,5x-2

y=x+1 y=x-1 ,y=x y 1 2 0 1 2 3 -1 -2 -1 -2 3 4 5 6 -3 x y 1 2 0 1 2 3 -1 -2 -1 -2 3 4 5 6 -3 x y=-x y=-x+3 y=-x-3 y=x+1 y=x-1 y=x

Составить уравнение линейной функции по следующим условиям:

подведем итог

Выводы записать в тетрадь Мы узнали: *Функция вида у = kx + b называется линейной. *Графиком функции вида у = kx + b является прямая. *Для построения прямой необходимы только две точки, так как через две точки проходит единственная прямая. *Коэффициент k показывает возрастает или убывает прямая. *Коэффициент b показывает, в какой точке прямая пересекает ось OY. *Условие параллельности двух прямых.

Желаю успехов!

Алгебра – это слово произошло от названия сочинения Мухаммеда Аль-Хорезми «Аль-джебр и Аль-мукабала», в котором алгебра излагалась как самостоятельный предмет

Роберт Рекорд – это английский математик, который в 1556г. ввёл знак равенства и объяснил свой выбор тем, что ничто не может быть более равным, чем два параллельных отрезка.

Готфрид Лейбниц – немецкий математик (1646 – 1716г.г.), который первым ввёл термин «абсцисса» — в 1695г., «ордината» — в 1684г., «координаты» — в 1692г.

Рене Декарт – французский философ и математик (1596 – 1650г.г.), который первым ввёл понятие «функция»

Использованная литература   1.МордковичА.Г. и др. Алгебра: учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений – М.:Просвещение,2010. 2.Звавич Л.И. и др. Дидактические материалы по алгебре для 7 класса — М.:Просвещение,2010. 3.Алгебра 7 класс, под редакцией Макарычев Ю.Н. и др., Просвещение, 2010 г.  4.Интернетресурсы: www.symbolsbook.ru/Article.aspx%…id%3D222  

Курс повышения квалификации

Курс повышения квалификации

Курс профессиональной переподготовки

Учитель математики и информатики

Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

Выберите категорию: Все категорииАлгебраАнглийский языкАстрономияБиологияВнеурочная деятельностьВсеобщая историяГеографияГеометрияДиректору, завучуДоп. образованиеДошкольное образованиеЕстествознаниеИЗО, МХКИностранные языкиИнформатикаИстория РоссииКлассному руководителюКоррекционное обучениеЛитератураЛитературное чтениеЛогопедия, ДефектологияМатематикаМузыкаНачальные классыНемецкий языкОБЖОбществознаниеОкружающий мирПриродоведениеРелигиоведениеРодная литератураРодной языкРусский языкСоциальному педагогуТехнологияУкраинский языкФизикаФизическая культураФилософияФранцузский языкХимияЧерчениеШкольному психологуЭкологияДругое

Выберите класс: Все классыДошкольники1 класс2 класс3 класс4 класс5 класс6 класс7 класс8 класс9 класс10 класс11 класс

Выберите учебник: Все учебники

Выберите тему: Все темы

также Вы можете выбрать тип материала:

Общая информация

Номер материала: ДБ-331258

Похожие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

функций активации в нейронных сетях | by SAGAR SHARMA

Линейная или идентификационная функция активации

Как вы можете видеть, функция является линейной или линейной. Поэтому выходные данные функций не будут ограничиваться каким-либо диапазоном.

Уравнение: f (x) = x

Диапазон: (от бесконечности до бесконечности)

Это не помогает со сложностью или различными параметрами обычных данных, которые передаются в нейронных сетях.

Нелинейная функция активации

Нелинейные функции активации являются наиболее часто используемыми функциями активации. Нелинейность помогает заставить график выглядеть примерно так:

Это позволяет модели легко обобщать или адаптировать различные данные и различать выходные данные.

Основные термины, необходимые для понимания нелинейных функций:

Производная или дифференциальная: Изменение оси y w.к.т. изменение в оси X. Это также известно как наклон.

Монотонная функция: Функция, которая либо полностью не увеличивается, либо не уменьшается.

Нелинейные функции активации в основном делятся на основе их диапазона или кривых —

1. Функция сигмовидной или логистической активации

Кривая сигмоидальной функции имеет вид S-формы.

Основная причина, по которой мы используем сигмовидную функцию, заключается в том, что она существует между (от 0 до 1). Поэтому он особенно используется для моделей, в которых мы должны прогнозировать вероятность как выход. Поскольку вероятность чего-либо существует только между диапазоном 0 и 1, сигмоид является правильным выбором.

Функция дифференцируема . Это значит, что мы можем найти наклон сигмовидной кривой в любых двух точках.

Функция является монотонной , но не является производной функции.

Логистическая сигмоидная функция может вызвать застревание нейронной сети во время обучения.

Функция softmax является более обобщенной функцией логистической активации, которая используется для мультиклассовой классификации.

2. Функция активации Tanh или гиперболического тангенса

tanh также похожа на логистическую сигмоиду, но лучше. Диапазон функции tanh составляет от (-1 до 1). tanh также сигмоидальный (s-образный).

Преимущество состоит в том, что отрицательные входы будут отображаться строго отрицательно, а нулевые входы будут отображаться вблизи нуля на графике танха.

Функция дифференцируемая .

Функция является монотонной , а ее производная не является монотонной .

Функция tanh в основном используется для классификации между двумя классами.

Функции прямой связи и логистической сигмоидной активации используются в сетях прямой связи.

3. Функция активации ReLU (выпрямленный линейный модуль)

В настоящее время ReLU является наиболее используемой функцией активации в мире.Так как он используется практически во всех сверточных нейронных сетях или глубоком обучении.

Как вы можете видеть, ReLU наполовину выпрямлен (снизу). f (z) равно нулю, когда z меньше нуля, а f (z) равно z, когда z выше или равно нулю.

Диапазон: [от 0 до бесконечности)

Функция и ее производные являются монотонными .

Но проблема в том, что все отрицательные значения сразу становятся равными нулю, что снижает способность модели соответствовать или обучаться на основе данных должным образом.Это означает, что любой отрицательный входной сигнал, данный функции активации ReLU, немедленно превращает значение в ноль на графике, что, в свою очередь, влияет на результирующий график, не соответствующим образом отображая отрицательные значения.

4. Leaky ReLU

Это попытка решить проблему умирающего ReLU

Вы видите утечку? 000

Утечка помогает увеличить диапазон функции ReLU. Обычно значение a равно 0.01 или около того.

Когда a не равно 0,01 , то это называется рандомизированного ReLU .

Следовательно, диапазон Leaky ReLU равен (от бесконечности до бесконечности).

Функции утечки и рандомизированного ReLU являются монотонными по своей природе. Также их производные также монотонны по своей природе.

Почему используется производная / дифференцирование?

При обновлении кривой, чтобы узнать в , в каком направлении и , сколько , чтобы изменить или обновить кривую в зависимости от наклона.Вот почему мы используем дифференцирование практически во всех частях машинного обучения и глубокого обучения.

  model.add (Layers.Dense (64, активация = activations.relu))
  

  из tenorflow.keras импорт слоев
из tenorflow.keras импорт активаций

model.add (layers.Dense (64))
модель.добавить (layers.Activation (activations.relu))
  

  model.add (Layers.Dense (64, активация = 'relu'))
  

  tf.keras.activations.relu (x, альфа = 0.0, max_value = нет, порог = 0)
  

  >>> foo = tf.constant ([- 10, -5, 0,0, 5, 10], dtype = tf.float32)
>>> tf.keras.activations.relu (foo) .numpy ()
массив ([0., 0., 0., 5., 10.], dtype = float32)
>>> tf.keras.activations.relu (foo, alpha = 0.5) .numpy ()
массив ([- 5., -2.5, 0., 5., 10.], dtype = float32)
>>> tf.keras.activations.relu (foo, max_value = 5) .numpy ()
массив ([0, 0, 0., 5., 5.], dtype = float32)
>>> tf.keras.activations.relu (foo, threshold = 5) .numpy ()
массив ([- 0., -0., 0., 0., 10.], dtype = float32)
  

  tf.keras.activations.sigmoid (x)
  

  >>> a = tf.constant ([- 20, -1,0, 0,0, 1,0, 20], dtype = tf.float32)
>>> b = tf.keras.activations.sigmoid (a)
>>> b.numpy ()
массив ([2.0611537e-09, 2.6894143e-01, 5.0000000e-01, 7.3105860e-01,
         1.0000000e + 00], dtype = float32)
  

  tf.keras.activations.softmax (x, ось = -1)
  

  tf.keras.activations.softplus (x)
  

  >>> a = tf.constant ([- 20, -1,0, 0,0, 1,0, 20], dtype = tf.float32)
>>> b = tf.keras.activations.softplus (a)
>>> б.NumPy ()
массив ([2.0611537e-09, 3.1326166e-01, 6.9314718e-01, 1.3132616e + 00,
         2.0000000e + 01], dtype = float32)
  

  tf.keras.activations.softsign (x)
  

  >>> a = tf.константа ([- 1,0, 0,0, 1,0], dtype = tf.float32)
>>> b = tf.keras.activations.softsign (a)
>>> b.numpy ()
массив ([- 0.5, 0., 0.5], dtype = float32)
  

  tf.keras.activations.tanh (x)
  

  >>> a = tf.константа ([- 3.0, -1.0, 0.0,1.0,3.0], dtype = tf.float32)
>>> b = tf.keras.activations.tanh (a)
>>> b.numpy ()
массив ([- 0.9950547, -0.7615942, 0., 0.7615942, 0.9950547], dtype = float32)
  

  тс.keras.activations.selu (х)
  

  >>> num_classes = 10 # 10-классная задача
>>> модель = тф.keras.Sequential ()
>>> model.add (tf.keras.layers.Dense (64, kernel_initializer = 'lecun_normal',
... активация = 'selu'))
>>> model.add (tf.keras.layers.Dense (32, kernel_initializer = 'lecun_normal',
... активация = 'selu'))
>>> model.add (tf.keras.layers.Dense (16, kernel_initializer = 'lecun_normal',
... активация = 'selu'))
>>> model.add (tf.keras.layers.Dense (num_classes, активация = 'softmax'))
  

  тс.keras.activations.elu (х, альфа = 1,0)
  

  >>> импорт тензор потока как тф
>>> модель = tf.keras.Sequential ()
>>> model.add (tf.keras.layers.Conv2D (32, (3, 3), активация = 'elu',
,.. input_shape = (28, 28, 1)))
>>> model.add (tf.keras.layers.MaxPooling2D ((2, 2)))
>>> model.add (tf.keras.layers.Conv2D (64, (3, 3), активация = 'elu'))
>>> model.add (tf.keras.layers.MaxPooling2D ((2, 2)))
>>> model.add (tf.keras.layers.Conv2D (64, (3, 3), активация = 'elu'))
  

  tf.keras.activations.exponential (x)
  

  >>> a = tf.constant ([- 3.0, -1.0, 0.0,1.0,3.0], dtype = tf.float32)
>>> b = tf.keras.activations.exponential (a)
>>> b.numpy ()
массив ([0.04978707, 0.36787945, 1., 2.7182817, 20.085537], dtype = float32)
  

 .добавить (layer.Dense (64, активация = tf.nn.tanh))
  

  х = слои. Плотность (10) (х)
x = layer.LeakyReLU () (x)