Линейные графики функций: График линейной функции. Свойства и Формулы

Содержание

Линейная функция 7 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Линейная функция и ее график

Линейная функция – это функция вида y = kx+b, где х – независимая переменная, k и b – некоторые числа.

Нетрудно заметить, что прямая пропорциональность – частный случай линейной функции. При b = 0 линейная функция принимает вид y = kx, а это и есть прямая пропорциональность.

Рассмотрим две функции: y=4x+3 и y=4x и построим их графики.

х

-2

-1

0

1

2

у=4х

-8

-4

0

4

8

у=4х+3

-5

-1

3

7

11

 

 

Мы видим, что график функции y = 4x+3 представляет собой прямую, параллельную графику функции у = 4х. Прямая смещена на 3 единицы вверх.

Таким образом, график функции у = kx+b, где k ≠ 0 – это прямая, параллельная прямой у = kx.

Для построения прямой нам достаточно знать координаты двух точек. Пусть это будут точки пересечения графика с осями координат.

То есть таблица для построения графика функции y=4x+3 будет иметь вид:

Так же, как и в случае с прямой пропорциональностью, при k>0 функция возрастает, а при k<0 – функция убывает.

Число b, как мы отметили выше, обозначает, на сколько график функции смещен вверх или вниз относительно начала координат.

Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками линейных функций, одинаковые, то прямые параллельны.

Если k = 0, то линейная функция приобретает вид y = b. Это прямая, параллельная оси х и проходящая через точку (0, b).

Например, построим график прямой у=5.

 

 

Область определения линейной функции такая же, как и у прямой пропорциональности – вся числовая прямая D(y) = (- ∞;∞). Область значений Е(у) = (- ∞;∞).

Линейная функция

Функция называется

линейной, если ее можно записать в виде \(y=kx+b\), где \(k\) и \(b\) -некоторые числа.

Примеры:

\(y=\frac{1}{3}x-5\)

  

\(k=\frac{1}{3}\), \(b=-5\)

\(y=2x\)

\(k=2\), \(b=0\)

\(y=8\)

\(k=0\), \(b=8\)

Функция не всегда сразу задана в виде \(y=kx+b\), иногда такой вид получится только после преобразований. Например, \(y=6(x-1)+10x\) — это линейная функция, потому что если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые мы получим \(y=16x-6\).

График линейной функции всегда представляет собой прямую линию – отсюда и название: «линейная функция».

Чтобы в этом убедиться построим графики функций \(y=2x\),     \(y=\frac{1}{3}x-5\),     \(y=8\).

        

Если вы вдруг забыли, как строить графики, можете прочитать об этом здесь.

Как меняется график при разных \(k\)?


Чтобы определить, как влияет на график коэффициент  \(k\), построим несколько функций разными \(k\):  \(\frac{1}{3}\),\(-\frac{1}{3}\),\(2\),\(-2\) и \(0\). При этом во всех функциях сделаем \(b\) одинаковым (равным нулю), чтобы убрать его влияние.
То есть, построим графики для функций: \(y=\frac{1}{3}x\),    \(y=-\frac{1}{3}x\),     \(y=2x\),      \(y=-2x\),      \(y=0\).

Заметьте, что при \(k=2\) и \(\frac{1}{3}\) — функция возрастает, а при \(k=-2\) и \(-\frac{1}{3}\) — убывает. На самом деле:

При любом \(k>0\) функция возрастает и при любом \(k<0\) — убывает. Когда же \(k=0\) — она не возрастает и не убывает, а идет параллельна оси \(x\) (или совпадает с ней).

Так же можно заметить, чем больше модуль \(k\), тем «круче» график.

Как по графику определить коэффициент k?

  1. Сначала определим, возрастает или убывает функция. Если возрастает – знак коэффициента \(k\) плюс, если убывает – минус.
  2. Дальше надо построить на прямой прямоугольный треугольник, так чтобы гипотенуза лежала на графике функции, а вершины треугольника совпадали с вершинами клеточек. Примерно вот так:


Чтобы определить значение \(k\) по модулю (то есть, без учета знака), надо вертикальную сторону треугольника поделить на горизонтальную. Можно использовать правило для запоминания: «стоячий бьет лежачего». В данных случаях \(|k|=\frac{AC}{BC}\). То есть на первом графике \(k=2\),а на втором \(k=-\frac{1}{4}\).


Как меняется график при разных значениях \(b\)?

Чтобы определить, как \(b\) влияет на график, построим несколько функций с разными \(b\): \(6\), \(2\), \(0\), \(-3\) и \(-8\). При этом \(k\) пусть во всех функциях будет равен \(2\).

Не сложно заметить, что прямая либо поднимается на \(b\) (если \(b>0\)) либо опускается на \(|b|\) если
(\(b<0\)).

Как по графику функции определить значение \(b\)?

Очень просто — прямая пересекает ось \(y\) всегда в точке \(b\). Вы можете это увидеть на предыдущем графике.

Пример (ОГЭ): На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций вида  \(y=kx+b\). Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и зна­ка­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов \(k\) и \(b\).

A. B.C.

Коэффициенты

1) \(k>0\),\(b>0\) 2) \(k<0\), \(b>0\) 3) \(k<0\), \(b<0\) 4) \(k>0\), \(b<0\)

Решение:
А.

– функция убывает, поэтому \(k<0\). Точка пересечения оси \(y\) и прямой находится выше нуля, значит \(b>0\). Подходит вариант под цифрой 2).

B. — функция возрастает — \(k>0\). Точка пересечения оси \(y\) и прямой находится выше нуля, значит \(b>0\). Подходит вариант под цифрой 1).

C. – функция убывает — \(k<0\). Точка пересечения оси \(y\) и прямой находится ниже нуля, значит \(b<0\). Подходит вариант под цифрой 3).
Ответ: 213.

«Читерский» способ строить график линейной функции

Можно конечно строить график линейной функции по точкам, как описано здесь, но можно и быстрее, буквально в три шага:
  1. Отмечаем точку \(b\) на оси игреков.

  2. От неё идем вправо на количество клеточек равное знаменателю \(k\), и вверх на количество клеточек равное числителю \(k\) (если \(k>0\)) или вниз на тоже количество (если \(k<0\)).

  3. Проводим через эти две точки прямую.

Пример: Построить график функции \(y=3x+1\).

 

Шаг 1.

\(b=1\), поэтому отмечаем точку с этим значением на оси \(y\)

 

Шаг 2.

\(k=3\), а тройка это тоже самое, что \(\frac{3}{1}\). При этом \(k>0\). Поэтому идем вправо на единицу и вверх на \(3\). Ставим точку.

Шаг 3.

Проводим через эти две точки прямую.

                    

Пример: Построить график функции \(y=-\frac{1}{4} x-3\).

Шаг 1.

\(b=-3\) отмечаем точку с этим значением на оси \(y\).

 

Шаг 2.

\(k=-\frac{1}{4}\), \(k<0\),  числитель \(1\), знаменатель \(4\). Значит, идем вправо на \(4\) и вниз на единицу.

Шаг 3.

Проводим через эти две точки прямую.

                           

Немного потренируйтесь и вы сами поймете, какой это классный способ строить линейную функцию.

Abitur

Линейная функция и ее график

   Область определения и область значений функции.
   Определение 1: Область определения функции — это множество всех значений Х, для которых функция имеет смысл.
   Определение 2: Область значений функции — это множество всех значений Y, которые принимает функция.

   Определение линейной функции.
   Определение 3: Функция вида y=kx+b, где k, b — любые числа, называется линейной функцией.
   Графиком линейной функции является прямая.

   Исследование линейной функции.
   Приведем схему исследование линейной функции:
   1) Возрастающая функция или убывающая.
   2) Точки пересечения линейной функции с осями координат.
   3) Промежутки на которых функция 0.

   Решение примеров.
   1. Исследуйте функцию и постройте ее график:

a).
1). Функция убывающая, так как коэффициент при x меньше нуля
2). Найдем точку пересечения с осью Х:
Т. е. функция пересекает ось Х в точке с координатами
3). Найдем точку пересечения с осью Y:
Т. е. функция пересекает ось Х в точке с координатами (0;2)
4). Построим через 2 найденные точки и (0:2) график функции:

   Задания.
   1. Исследуйте функцию и постройте ее график:

d). e).    

Линейная функция в Excel — Офис Ассист

Электронные таблицы MS Excel.

Построение графиков
  • Злыдова Ирина Леонидовна, учитель информатики

Разделы: Информатика

Цели:

Оборудование: доска, ПК, карточки с заданием практической работы.

Организационный момент (постановка целей).

Начинаем наш урок информатики. Сегодня у нас практическое занятие на тему: «MS Excel. Построение графиков», на котором мы будем строить графики функций и траекторию движения тел. А именно, рассмотрим задачу на построение графика линейной и квадратичной функций и задачу по физике на тему: «Криволинейное движение тел».

Актуализация знаний.

Скажите, что мы научились выполнять в программе MS Excel.

Фронтальный опрос:

Как составить последовательность чисел в отдельных ячейках? (Чтобы создать возрастающую последовательность с постоянным шагом, следует ввести в две соседние ячейки первые два значения последовательности. Excel использует эти два значения для определения шага и исходного значения последовательности. Затем, выделить эти две ячейки и перетащить маркер заполнения вниз (курсор при этом приобретает форму плюса).

Как ввести формулу в ячейку? (Формулу можно ввести в строке формул или в ячейке. Все формулы в Excel должны начинаться со знака равенства и не должны содержать пробелов. После завершения ввода формулы следует нажать клавишу Enter или щелкнуть по кнопке в строке формул.)

Как скопировать формулу в другие ячейки? (Для этого необходимо выделить ячейку и перетащить маркер заполнения вниз, курсор при этом приобретает форму плюса.)

Для записи формулы мы используем ссылки. А какие виды ссылок вы знаете? Приведите примеры. (Ссылки бывают относительные, абсолютные и смешанные. Ссылка $A$1 абсолютной. Ссылка A3 или B5 являются относительными.)

Назовите отличие относительной и абсолютной ссылок. (При копировании адрес относительной ячейки меняется в соответствии с новым положением ячейки, адрес абсолютной ячейки не изменяется. )

Формирование УН:

На прошлом уроке мы научились строить графики и диаграммы, редактировать их. А сейчас с помощью графиков найдем точку пересечения двух функций. Но сначала вспомним, какие функции являются линейными и квадратичными?

(Ответы учащихся).

Итак, линейную функцию можно записать в виде y=ax+b, где a и b — некоторые числа, а? 0. Квадратичная функция записывается в виде y=ax2+bx+c, где a, b, с — некоторые числа, а? 0.

Частный вид квадратичной функции y=x2.

Задача 1. Даны две функции y=x2 и y=ax+b. В формуле значения a и b задайте самостоятельно. Постройте графики этих функций и найдите точки пересечения графиков, если таковы имеются.

Рисунок 1.

Физкультминутка. Гимнастика для глаз.

Задача 2. Один мяч подбросили вертикально вверх с высоты 10 м. Второй мяч подбросили с земли со скоростью 10 м/с. Как будет изменяться значение высоты с изменением времени, если высота вычисляется по формуле: h=h0+v0t-gt2/2, где h0 — начальная высота, v0 — начальная скорость, g — ускорение свободного падения.

Рисунок 2.

Ответьте на вопросы:

Найдите, на какую максимальную высоту подбросили второй мяч?

Через сколько секунд два мяча будут на одной высоте и какое значение этой высоты?

Подберите свои начальные условия для задачи и постройте траектории движения тел при новых условиях.

Рефлексия и итог урока:

Сохраните свои работы.

Подведем итог.

Какие необходимы исходные данные для того, чтобы построить график функции в электронных таблицах?

Как осуществить быстрый переход от относительной ссылки к абсолютной или смешанным ссылкам. (Нажатием на клавишу F4).

Домашнее задание.

Повторить основные понятия темы: «Принцип адресации в электронных таблицах MS Excel».

2.

Линейная функция. Первый урок

Здравствуйте уважаемые родители и обучающиеся!

Откройте ваши тетради для классных работ и запишите тему урока: «Линейная функция, ее график и свойства»

Откройте страницу учебника 163, положите учебник перед собой. Приступим к изучению материала…

Сегодня мы поговорим о конкретных видах функции. Линейных функциях. Почему они называются линейными?

Обратимся к словарю:


Конечно, нас интересует геометрический смысл этого слова.

Линейная функция потому называется линейной, потому что ее график задает линию — одну сплошную прямую…

Давайте рассмотрим практический пример линейной функции.

Пример: Представим, что едет машина легковая с постоянной скоростью 100 км/ч.  а грузовая со скоростью 60 км/ч. Скорость машин не меняется, а время идет. Проходит час, два, три, четыре… Машины еще в пути…Сколько они проехали?. .. 

Давайте изобразим траекторию ее движения…

У нас есть две величины: Расстояние (S) и t (время). Зависимость очевидна. Дольше едешь — дальше будешь! Неправда ли?

Составим таблицу значений:

Мы получили значения по времени и расстоянию в течение 5 часов для легкового и грузового автомобилей.

Теперь можем перейти к графическому изображению, то есть графику функций:  S = 60t  и  S=100t. За ось y ( зависимые переменные) обозначаем значения расстояния, за ось x (независимые переменные) обозначим время t. И построим графики в координатной плоскости:

Что мы видим в качестве графика — прямую! А какие формулы нам дали график — прямую???  Формулы вида: S = 60t  и  S=100t!!!

Получается, что формулы определенного вида дают определенные функции. Да. И мы сейчас с этим разберемся! 

Записываем определение:

  



В колонке «Функция» (см рисунок выше) вы видите что они разные, но все они задают прямую, только под разным наклоном. Давайте убедимся, построим каждую функцию:

1 функция: у=5x+3.

  Рассмотрим алгоритм ( правило построения линейной функции):

1 шаг. Это линейная функция. Почему? Потому что она представляет собой формулу y=kx+b, где к=5, b=3.

2 шаг. Согласно правилу, для построения линейной функции нужны две точки. Где их взять? И как? Легко. Вам нужно составить таблицу значений из двух чисел, которые вы сами захотите, но так, чтобы легко было их высчитать для построения самого графика. 

Как видите, я взял независимые переменные x=0, x=1. Почему я так сделал? Я бы мог взять x=4334, но не стал…. Мне нужно получить всего лишь две точки, чтобы их соединить прямой. Зачем мне составлять сложные координаты. Я возьму такие, которые дают хорошие удобные числа.

3 шаг. Мы готовы построить график. Для этого обращаемся к координатной плоскости. Строим точки с координатами: (0; 3) и (3;8) и соединяем прямой. Получаем график линейной функции — прямую!!! Смотрите рисунок.

Давайте потренируемся в построении линейной функции. Я взял несколько линейных функций для эксперимента.

Давайте обсудим: Что в этих функциях одинакового? Мы видим, что у нее одинаковый коэффициент k=2. Значит графики одинаково будут построены? Как вы считаете? Смотрите на рисунок, на формулу и графики…

Что делает расположение графиков именно такими при одинаковом коэффициенте k=2?  Меняет дело другой коэффициент b.

Запомните: коэффициент b в функции y=кx+b отвечает за точку пересечения графика с осью y. Проверьте это утверждение, глядя на рисунок…

С коэффициентом b в функции вида y=kx+b разобрались.  Посмотрите на функцию, где коэффициент b отсутствует. То есть функция изменить немного вид: y=kx. Это не означает, что она перестала быть линейной, она просто будет проходить всегда через начало координат!!! Так как b отвечает за точку пересечения с осью y, а y =о! Давайте проиллюстрируем!!!

Слева функции, справа — их исполнение! Что их объединяет? Только то, что они линейные и проходят через одну точку — через начало координат, поскольку коэффициент b у них отсутствует, как видите сами. .. 

 

Запомните:  Если коэффициент b в функции y=кx+b отсутствует, то функция проходит через начало координат —  (0;0).  Функция  вида y=кx называется прямой пропорциональной зависимостью. (стр 165 читайте)!!!

В линейной функции y=кx+b , коэффициент k тоже имеет свою роль. Его называют коэффициентом наклона. Запишем правило:

Другими словами: если прямая при пересечении с осью x образует:

——тупой угол: k<0

——острый угол: k>0

Проведем опыт: Рассмотрим несколько линейных функции: 

y=-2x+1;

y=5x+3;

Первая функция:

Вторая функция:

Вот мы и разобрали значение коэффициентов. Ну, а пара чисел x и y — переменные, независимая и зависимая. Это мы обсуждали с вами уже. 

Давайте посмотрим видео и подытожим все, что мы сказали выше:

Видео YouTube

№ 858 Смотрим решение и пробуем работать самостоятельно:

Видео YouTube

№ 862 Смотрим решение и пробуем работать самостоятельно:

Видео YouTube

линейных графиков — Базовые графики R — Понятные руководства — Wiki

Ранее мы описали основы программирования R и предоставили краткие руководства по импорту данных в R .

Здесь мы опишем, как создать линейных графиков в R. Функцию график () или линий () можно использовать для создания линейного графика.

Упрощенный формат графика () и строк () выглядит следующим образом.

  сюжет(х, у, тип = "л", лти = 1)
линии (х, у, тип = "л", lty = 1)  

  • x, y : векторы координат точек для соединения
  • тип : символ, указывающий тип построения.Допустимые значения:
    • «p» для точек
    • «л» для линий
    • «b» для точек и линий
    • «c» для пустых точек, соединенных линиями
    • «o» для точек и линий с наложением
    • «s» и «s» для ступенек
    • «n» не создает ни точек, ни линий
  • lty : типы линий. Типы линий могут быть указаны как целое число (0=пустое, 1=сплошное (по умолчанию), 2=штриховое, 3=пунктирное, 4=точка-тире, 5=длинное тире, 6=двойное тире) или как одна из строк символов «пусто». », «сплошной», «пунктирный», «точечный», «точечный», «длинный тире» или «двойной тире», где «пробел» использует «невидимые линии» (т.д., не рисует их).
  # Создать несколько переменных
х  

Мы построим график с двумя линиями: линий (x, y1) и линий (x, y2).

Обратите внимание, что функция строк () не может сама по себе построить график. Однако его можно использовать для добавления строк () на существующий график. Это означает, что сначала вы должны использовать функцию plot () для создания пустого графика, а затем использовать функцию lines () для добавления линий.

  # Создайте базовый график ступеней лестницы
сюжет (х, у1, тип = "S")
# Показать и точки, и линию
сюжет (x, y1, тип = "b", pch = 19,
     col = "красный", xlab = "x", ylab = "y")  

  # Создать первую строку
сюжет (x, y1, тип = "b", кадр = FALSE, pch = 19,
     col = "красный", xlab = "x", ylab = "y")
# Добавляем вторую строку
линии (x, y2, pch = 18, col = "синий", type = "b", lty = 2)
# Добавляем легенду к сюжету
легенда("сверху слева", legend=c("Строка 1", "Строка 2"),
       col=c("красный", "синий"), lty = 1:2, cex=0. 8)  

Этот анализ был выполнен с использованием статистического программного обеспечения R (версия 3.2.4).

Понравилась эта статья? Я был бы очень признателен, если бы вы помогли его распространению, отправив его по электронной почте другу или поделившись им в Twitter, Facebook или Linked In.

Подарите мне немного любви с помощью кнопок «Нравится» ниже… Спасибо и, пожалуйста, не забудьте поделиться и прокомментировать ниже!!

Avez vous aimé c этой статьей? Je vous serais très reconnaissant si vous aidiez à sa диффузия en l’envoyant par courriel à un ami ou en le partageant sur Twitter, Facebook или Linked In.

Montrez-moi un peu d’amour avec les like ci-dessous … Merci et n’oubliez pas, s’il vous plaît, de partager et de commenter ci-dessous!

Линейный график — определение и простые шаги для его создания

Определения статистики > Линейный график

В комплекте:

Линейный график показывает, как меняются значения. Например, вы можете построить график того, как ваш ребенок растет с течением времени. Линейные графики также можно использовать, чтобы показать, как изменяются функции. Функция — это просто уравнение, которое дает вам уникальный результат для каждого входа.Например, y = – 4/5x + 3 является функцией, потому что вы получите уникальное значение для y, если подставите любое число вместо x.

Чаще всего на линейном графике можно найти данные о том, как что-то меняется с течением времени . Линейный график, показывающий изменения во времени, иногда называют временным графиком.

График Доу-Джонса из Wall Street Journal показывает, как фондовый рынок меняется с течением времени.

Линейные графики имеют горизонтальную ось (ось X) и вертикальную ось (ось Y).В большинстве случаев время откладывается по горизонтальной оси.

Зачем использовать один?

Характеристики линейного графика делают его полезным в некоторых ситуациях. Вы бы использовали линейный график, если:

  • У вас есть функция . Линейные графики хорошо отображают определенные значения данных, а это означает, что если у вас есть одна переменная (x), вы можете легко найти другую (y).
  • Вы хотите показать тренды. Например, как со временем меняются ваши инвестиции или как со временем выросли цены на продукты питания.
  • Вы хотите делать прогнозы. Линейный график можно экстраполировать за пределы имеющихся данных. Они позволяют вам делать прогнозы о результатах данных.

Части линейного графика.

Название Сообщает вам, о чем график.
Этикетки осей Сообщает вам, какие данные находятся на каждой оси.
Масштаб оси Показывает, сколько или сколько данных находится на каждой оси.
Точки Дайте вам конкретную точку данных на линейном графике со значениями x и y.
Линии Дает вам оценку значений между точками для дискретных функций (дискретные функции состоят из точек данных). В непрерывных функциях строка дает вам 90 223 фактических 90 224 данных, а не оценку.

Линейные графики очень легко рисовать на миллиметровой бумаге.
Первый шаг: нарисуйте линию для оси X и оси Y.
Второй шаг: добавьте метки оси и масштаб оси.
Третий шаг: после этого отметьте точки данных.
Четвертый шаг: Затем проведите линию через точки данных.
Пятый шаг: Наконец, добавьте заголовок диаграммы.

Проблемы с линейными графиками.

Линейные графики могут вводить в заблуждение. Например, на этом графике показаны данные о продажах за 4 дня. Что с этим не так?

График вводит в заблуждение из-за неравномерного масштаба по оси Y. Создается впечатление, что между 1 и 2 днями (8) произошел огромный скачок продаж, хотя на самом деле между 3 и 4 днями (11) скачок был еще больше.

А как насчет этого реального графика температур в Нью-Хейвене, Коннектикут? Это ясно показывает, что происходит глобальное потепление.


Изображение: Йельский университет

Присмотритесь, и вы увидите, что температуры показаны только для первой половины года. Это обычная тактика для введения зрителей в заблуждение.

Должен ли линейный график начинаться с начала координат?

График, начинающийся с нуля, легче понять и прочитать. Однако, в отличие от гистограмм, для линейных графиков не существует установленного правила, согласно которому вы должны начинать с исходной точки.С учетом сказанного, если вы решите начать с числа, отличного от нуля, будьте осторожны, чтобы не преувеличить бессмысленные небольшие различия (см. некоторые примеры вводящих в заблуждение графиков), например, этот из Fox News:

.

Этот график преднамеренно начат с 8%, чтобы очень небольшая разница (0,2%) выглядела большой. Источник изображения: http://cloudfront.mediamatters.org


После этого скачок на 0,2% может иметь большое значение в некоторых обстоятельствах, например, при росте числа излечимых заболеваний. В общем, вы можете запускать оси в любом месте по вашему выбору; Только будьте осторожны, чтобы не ввести читателя в заблуждение.

Посмотрите видео по шагам:


Видео не видно? Кликните сюда. ————————————————— ————————-

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в этой области. Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, оставьте комментарий на нашей странице Facebook .


Начало работы с анализом изображений

    Приборная доска

    Анализ изображений

    Построение линейных графиков

    Перейти к содержанию Приборная доска
    • Авторизоваться

    • Приборная панель

    • Календарь

    • Входящие

    • История

    • Помощь

    Закрывать