Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производной. Общий вид линейного д.у.1: непрерывные функции или постоянные. Если, то уравнениерешается как дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Рассмотрим уравнения:

1) Это уравнение является линейным по определению

,но лучше рассматривать его как уравнение с разделяющимися переменными:

2) Это уравнение не является линейным, т. к. функцияy в уравнении имеет не первую степень, а выше

3)

Уравнение является линейным по определению. Но проще рассматривать его как однородное д.у.1: где– однородная функция нулевого измерения.

4) Запишем уравнение в виде. Это линейное д.у.1.

Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

Общее решение ищется в виде гденекоторые функции.

Покажем на примере, что любую функцию можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых выбирается произвольно, а вторая зависит от этого выбора.

Пусть . Можно

представить в виде различных пар множителей:

где первый множитель выбирается произвольно.

Указанная подстановка приводит линейное д.у.1 к решению двух д.у. с разделяющимися переменными. Покажем это в общем виде. В линейное уравнениеподставимПолучим

или

. (4)

Выберем функцию u   такой, чтобы

(5)

Уравнение (5) – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируя, найдем функцию без

учета произвольной постоянной. Подставим найденную функцию в уравнение (4) и получим

дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными (3). Его общее решение позволит получить второй множитель

Тогда общее решение линейного д. у. 1.

Пример 1. Найти общее решение уравнения

Решаем подстановкой

(6)

подставим в (6).

Общее решение:

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения

Подстановка: .

(7)

Подставим найденную функцию u в уравнение (7):

Таким образом, общее решение данного уравнения будет иметь вид

или

Найдем частное решение дифференциального решения, удовлетворяющее начальному условию

Следовательно, искомое частное решение такое:

Уравнения, приводящиеся к линейным (уравнения Бернулли)

Уравнение вида называется уравнением Бернулли. Здесь n – действительное число, причем при n = 0 получим линейное уравнение; при получим уравнение с разделяющимися переменными. Приуравнение Бернулли приводится к линейному, поэтому решается подстановкой

Пример. Найти общее решение уравнения

Разделив левую и правую части уравнения на х, представим его в виде

. Можно утверждать, что это уравнение имеет общий вид

т. е. является уравнением Бернулли. Решаем его подстановкой

где – вспомогательные функции.

Подставим в исходное уравнение:

(8)

Для получения общего интеграла найдем

или

.

Замечание. Неопределенный интеграл найден с применением

формулы интегрирования по частям:

Производим подстановку

;.

Тогда

studfile.net

Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка

Линейные дифференциальные уравнения это вида , гдеP(x), Q(x) – непрерывные функции.

и входят в уравнение линейно, т.е не перемножаются между собой.

Сделаем замену:

Приравняем скобку к 0

подставим

— дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

константу интегрирования не прибавляем, т.к достаточно одного частного решения.

Выразим явно

Подставим в (*)

Выразим

Т.к , то проинтегрируем обе части последнего уравнения по х

Общее решение линейного уравнения:

— всегда получается в явном виде.

Пример:

1)

2)y(1)=2

Уравнения Бернулли

, где ;1

Решаются такие уравнения так же как и линейные

Замена

Явно

— дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

выразим явно u и найдём общее решение

Примеры:

1)

Дифференциальные уравнения высших порядков

Определение: Дифференциальное уравнение порядка n называется уравнение вида:

уравнение вида: – называется уравнением разрешенным относительно старшей производной. Для такого уравнения справедлива теорема Коши.

Теорема Коши.

Если функция в (*) непрерывна вместе с частными производными:

в области содержащей значения

, то существует единственное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям:

Замечание: для дифференциальных уравнений 2 порядка

начальные условия имеют вид:

Решить дифференциальное уравнение порядка n означает:

1)Найти общее решение (общий интеграл)

2)Найти частное решение (частный интеграл), удовлетворяющее заданным условиям.

Определение: Общим решением дифференциального уравнения 2 порядка

является функция , такая что:

1) при любых значениях с₁ и с₂ эта функция – решение.

2) каковы бы ни были начальные условия на области, в которой выполняется теорема Коши всегда можно подобрать значения с₁ и с₂ удовлетворяющие начальным условиям.

Определение: Частным решением дифференциального уравнения 2 порядка является решение, при конкретных значениях с₁ и с₂.

Замечание: общее решение дифференциального уравнения 2 порядка может быть получено в неявном виде:

Дифференциальные уравнения 2 порядка, допускающие понижение порядка

1) Уравнения вида:

уравнение решается двукратным интегрированием по переменной х.

Проинтегрируем 1 раз по х.

Проинтегрируем 2 раз по х

общее решение.

Замечание: для дифференциального уравнения порядка n: — интегрировать нужноn раз.

Примеры:

2) Дифференциальные уравнения не содержащие явно y.

— нет явно y

Замена

Подставим замену в дифференциальное уравнение, получим

получим дифференциальное уравнение 1 порядка.

Найдём решение этого уравнения:

сделаем обратную замену

проинтегрируем обе части по х— общее решение

Пример:

3) Дифференциальные уравнения 2 порядка не содержащие явно х.

— нет явно х.

Замена: у-новая переменная

— новая функция

— её производная

Подставим замену в исходное уравнение

получим дифференциальное уравнение 1 порядка:

— его решение

Сделаем обратную замену —

— дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные:

; — общее решение (вид неявный)

Примеры:

1.

2.

studfile.net

4.10 Линейное однородное дифференциальное уравнение высшего порядка с постоянными коэффициентами

Определение. Линейным однородным дифференциальным уравнением высшего (n-го) порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

,

где коэффициенты – заданные действительные числа.

Метод решения. Согласно теореме 4.3 общим решением на отрезке линейного однородного дифференциального уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами является линейная комбинация

– линейно независимых на том же отрезке частных решений этого уравнения .

Для их нахождения составляется и решается характеристическое уравнение

,

получаемое заменой в исходном дифференциальном уравнении производных искомой функции степенями, причем сама функциязаменяется единицей. Характеристическое уравнение – это алгебраическое уравнение степениn.

Каждому из n корней характеристического уравнения соответствует одно из n линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения, причем:

– каждому действительному простому корню k соответствует частное решение вида

;

– каждому действительному корню k кратности соответствуютчастных решений вида

;

– каждой паре комплексных сопряженных простых корней исоответствует два частных решения вида

;

– каждой паре комплексных сопряженных корней икратностисоответствуют 2частных решений вида

.

Составляя линейную комбинацию из найденных частных решений, получаем общее решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами.

Примеры

1) Найти общее решение однородного дифференциального уравнения .

Характеристическое уравнение и его решения:

–два действительных простых корня.

Частные решения однородного дифференциального уравнения:

.

Общее решение исходного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией полученных частных решений:

.

2) Найти общее решение однородного дифференциального уравнения

.

Характеристическое уравнение и его решения:

–двукратный действительный корень.

Частные решения однородного дифференциального уравнения:

.

Общее решение исходного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией полученных частных решений:

.

3) Найти общее решение однородного дифференциального уравнения

.

Характеристическое уравнение и его решения:

–пара комплексно сопряженных простых корней .

Частные решения однородного дифференциального уравнения:

.

Общее решение исходного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией полученных частных решений:

.

4) Найти общее решение однородного дифференциального уравнения

.

Характеристическое уравнение и его решения:

–двукратные комплексно сопряженные корни .

Частные решения однородного дифференциального уравнения:

.

Общее решение исходного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией полученных частных решений:

.

4.11 Линейное неоднородное дифференциальное уравнение высшего порядка с постоянными коэффициентами

Определение. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением высшего (n-го) порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

,

где коэффициенты – заданные действительные числа, а– заданная функция.

Метод решения. Согласно теореме 4.4 общим решением на отрезке линейного неоднородного дифференциального уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами и непрерывной правой частью является сумма общего решения

соответствующего однородного уравнения

и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения:

.

Общее решение однородного уравнения находить уже умеем, поэтому остается рассмотреть вопрос о нахождении частного решения неоднородного уравнения.

Если правая часть неоднородного уравнения, т.е. функция – многочлен, либо показательная функция, либо тригонометрические функции или, либо линейная комбинация перечисленных функций, то частное решениенеоднородного уравнения может быть найдено методом неопределенных коэффициентов.

Если же правая часть неоднородного уравнения есть произвольная непрерывная функция, то частное решение неоднородного уравнения может быть найдено методом вариации произвольных постоянных.

Рассмотрим оба перечисленных метода нахождения частного решения неоднородного уравнения.

Метод неопределенных коэффициентов

Пусть правая часть неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид

,

где и– действительные постоянные,и– многочлены от x соответственно l-й и m-й степени.

Тогда частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

.

Здесь равно показателю кратности корняв характеристическом уравнении

.

Если характеристическое уравнение такого корня не имеет, то следует положить .

и–полные (т.е. содержащие все степени x от 0 до s) многочлены от x степени s с неопределенными коэффициентами, причем s равно наибольшему из чисел l и m:

Если в выражение функции входит хотя бы одна из функцийили, то в решениенадо всегда вводитьобе эти функции.

Неопределенные коэффициенты находятсяиз системы линейных алгебраических уравнений, получаемых отождествлением коэффициентов подобных членов в правой и левой частях исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения после подстановки в него вместоy, вместо,вместои т.д.

Если правая часть исходного дифференциального уравнения есть сумма нескольких функций рассматриваемой структуры:

,

и – соответствующие решения уравнений

,

то сумма

,

как легко установить, является частным решением исходного уравнения (принцип наложения решений).

Пример. Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами

.

Решение данного неоднородного уравнения производится в три этапа.

1) Сначала находим общее решение соответствующего однородного уравнения:

Для этого составляем и решаем характеристическое уравнение:

– два действительных простых корня.

Частные решения однородного дифференциального уравнения:

.

Общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией полученных частных решений:

.

2) Далее ищем частное решение исходного неоднородного уравнения в виде

,

так как характеристическое уравнение имеет корень , а также согласно принципу наложения решений для правых частей.

Для определения коэффициентов находим производныеи:

и подставляем их в исходное неоднородное уравнение:

Раскроем скобки и приведем подобные в левой части равенства:

.

Приравнивая коэффициенты у подобных членов из обеих частей равенства, получим систему уравнений для определения коэффициентов и найдем их значения:

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения имеет вид:

.

3) Общее решение исходного неоднородного дифференциального уравнения найдем как сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

.

Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)

Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения

можно найти методом вариации произвольных постоянных, если известно общее решение

соответствующего однородного уравнения

.

Именно, будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде

,

где – неизвестные функции, для определения которых нужно составить n уравнений.

Найдем :

.

Положив

,

получим первое из n искомых уравнений.

Найдем :

.

Положив

,

получим второе из n искомых уравнений.

Продолжая аналогичным образом, найдем :

.

Положив

,

получим -е изn искомых уравнений.

Найдем :

и, подставив в исходное неоднородное уравнение вместоy, вместо ,вместо,…,вместо, получим последнееn-е из n искомых уравнений для определения n неизвестных функций :

или

,

или

,

так как – решения однородного уравнения

.

Таким образом, получили систему из n линейных неоднородных алгебраических уравнений для определения производных от n неизвестных функций :

Примем без доказательства, что определитель системы отличен от нуля. Тогда система имеет единственное решение . Определив все, после интегрирования получаем

,

Следовательно, частное решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид

,

где функции определяются полученными равенствами, а– известные линейно независимые частные решения соответствующего однородного уравнения.

Пример. Найти частное решение неоднородного дифференциального уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами

.

1) Сначала находим общее решение соответствующего однородного уравнения

.

Для этого составляем и решаем характеристическое уравнение:

– пара комплексно сопряженных простых корней .

Частные решения соответствующего однородного дифференциального уравнения:

.

Общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией полученных частных решений:

.

2) Далее ищем частное решение исходного неоднородного дифференциального уравнения в виде

.

Составляем и решаем систему неоднородных алгебраических уравнений для определения и:

или

откуда находим

Таким образом, частное решение исходного неоднородного дифференциального уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

.

studfile.net

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Метод решения

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:
(1)   .
Его решение можно получить следуя общему методу понижения порядка.

Однако проще сразу получить фундаментальную систему n линейно независимых решений и на ее основе составить общее решение. При этом вся процедура решения сводится к следующим шагам.

Ищем решение уравнения (1) в виде . Получаем характеристическое уравнение:
(2)   .
Оно имеет n корней. Решаем уравнение (2) и находим его корни . Тогда характеристическое уравнение (2) можно представить в следующем виде:
(3)   .
Каждому корню соответствует одно из линейно независимых решений фундаментальной системы решений уравнения (1). Тогда общее решение исходного уравнения (1) имеет вид:
(4)   .

Действительные корни

Рассмотрим действительные корни. Пусть корень однократный. То есть множитель входит в характеристическое уравнение (3) только один раз. Тогда этому корню соответствует решение
.

Пусть – кратный корень кратности p. То есть
. В этом случае множитель входит в характеристическое уравнение (3) ⇑ p раз:
.
Этим кратным (равным) корням соответствуют p линейно независимых решений исходного уравнения (1):
;   ;   ;   …;   .

Комплексные корни

Рассмотрим комплексные корни характеристического уравнения (3) ⇑. Выразим комплексный корень через действительную и мнимую части:
.
Поскольку коэффициенты исходного уравнения (1) ⇑ действительные, то кроме корня имеется комплексно сопряженный корень
.

Пусть комплексный корень однократный. Тогда паре корней соответствуют два линейно-независимых решения уравнения (1) ⇑:
;   .

Пусть – кратный комплексный корень кратности p. Тогда комплексно сопряженное значение также является корнем характеристического уравнения кратности p и множитель входит в разложение на множители (3) ⇑ p раз:
.
Этим 2p корням соответствуют 2p линейно независимых решений:
;   ;   ;   …   ;
;   ;   ;   …   .

После того как фундаментальная система линейно независимых решений найдена, по формуле (4) ⇑ получаем общее решение уравнения (1) ⇑.

Примеры решений задач

Пример 1

Решить уравнение:
.

Решение

Ищем решение в виде . Составляем характеристическое уравнение:
.
Преобразуем его:
;
;
.

Рассмотрим корни этого уравнения. Мы получили четыре комплексных корня кратности 2:
;   .
Им соответствуют четыре линейно-независимых решения исходного уравнения:
;   ;   ;   .

Также мы имеем три действительных корня кратности 3:
.
Им соответствуют три линейно-независимых решения:
;   ;   .

Общее решение исходного уравнения имеет вид:
.

Ответ

.

Пример 2

Решить уравнение

Решение

Ищем решение в виде . Составляем характеристическое уравнение:
.
Решаем квадратное уравнение.
.

Мы получили два комплексных корня:
.
Им соответствуют два линейно-независимых решения:
.
Общее решение уравнения:
.

Ответ

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 29-07-2013

1cov-edu.ru

7.ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ) n-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

y(n) + a1y(n-1) +….. + an-1y′ + any = f(x),

(7.1)

где a1, a2,a3 ….,an-1,an – действительные числа; y = f(x) – данная функция.

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка
y′′+ a1 y′+ a2 y = f (x)	(7.2)
и соответствующее ему однородное уравнение (ЛОДУ)
y′′+ a1 y′+ a2 y = 0.	(7.3)

Пусть y1 и y2 – фундаментальная система решений уравнения (7.3), тогда

есть общее решение уравнения (7.3).

Теорема (о структуре общего решения ЛНДУ).

Общее решение неоднородного уравнения (7.2) равно сумме общего решения соответствующего однородного (7.3) и частного решения неоднородного уравнения (7.2):

yон = yоо + yчн .

Доказательство. Так как yоо- общее решение уравнения (7.3), то по определению решения эта функция обращает уравнение (7.3) в верное равенство. Так как учн- частное решение уравнения (7.2), то функция учн

также обращает это уравнение в тождество.				Имеем два тождества:
	′′	′
	уоо	+ a1 yоо + a2 yоо ≡ 0
				— найдем их сумму:
( yчн)′′+ a1( yчн)′+ a2 yчн ≡ f (x)
′′	′′	′	′
( yоо + yчн) + a1( yоо + yчн) + a2 ( yоо + yчн) ≡ f (x) или
( yоо + yчн)′′+ a1( yоо + yчн)′+ a2 ( yоо + yчн) ≡ f (x).
Следовательно,		yон = yоо + yчн является общим решением
уравнения (7.2).	#

7.1. Нахождение частного решения ЛНДУ со специальной правой частью

В том случае, когда правая часть дифференциальных уравнений (7.1) и (7.2) в общем случае имеет вид

f (x) = eαx [Pm (x) cos βx +Qn (x)sin βx],

где Pm(x) и	Qn(x) — многочлены переменной x степеней m и n;α, β —
действительные	числа,	используется	метод	неопределенных
коэффициентов (или метод подбора).
Частное решение yчн		дифференциального уравнения (7.2) зависит в

каждом конкретном случае от вида функции f(x) и от выражения α ±iβ

(где	i = −1 ),	которое	сравнивается	с	корнями характеристического
уравнения, составленного для соответствующего ЛОДУ (7.3).
Возможны случаи:						r
1.	Если	α ±iβ	является		корнем кратности
	характеристического уравнения
			k 2 + a k + a		= 0	(*)
			1	2

(r – означает сколько раз α ±iβ совпадет с корнями характеристического уравнения). Тогда частное решение находится в виде

y

= xreαx [M

l

(x)cos βx + N

(x)sin βx],

чн

l

где

Ml (x) и Nl (x) —

многочлены со

своими неопределенными

коэффициентами, при этом l = max{m, n}.

Например, если

l = 0,

то

M0 (x) = Ax0 = A

— многочлен нулевой степени,

l =1,

то

M1(x) = Ax + B

—

многочлен первой степени,

l = 2,

то

M 2 (x) = Ax2 + Bx +C —

многочлен второй степени,

l = 3,

то

M3 (x) = Ax3 + Bx2 +Cx + D —

многочлен 3-й степени,

l, то

M

l

(x) = A xl + A xl −1 +… + A

— многочлен степени l.

0

1

l

2.

Если

α ±iβ

не

является

корнем характеристического

уравнения

(*), то

r = 0

и

x0 =1,

тогда частное решение yчн имеет

вид

y

= eαx [M

l

(x)cos βx + N

(x)sin βx].

чн

l

Пример 1. Найти общее решение уравнения

y′′−6 y′+9 y = 5e3x

Решение. Находим общее решение соответствующего ЛОДУ:

y′′−6 y′+9 y = 0 .

Его характеристическое уравнение k 2 −6k +9 = 0 имеет корни k1 = k2 = 3. Общее решение однородного уравнения при равных корнях характеристического уравнения имеет вид

yоо = C1e3x +C2 xe3x = e3x (C1 +C2 x) .

Правая часть неоднородного уравнения имеет вид f (x) = 5e3x.

α = 3, β = 0 α ±iβ = 3 — является кратным корнем кратности r = 2

характеристического уравнения, l = max{0,0} = 0 , поэтому

yчн = x2e3x [M0 (x)cos0x + N0 (x)sin 0x] = Ax2e3x.

Дважды дифференцируем yчн:

( yчн)′ = 2Axe3x +3Ax2e3x

( yчн)′′ = 2Ae3x + 6Axe3x + 6Axe3x +9Ax2e3x =

=2Ae3x +12Axe3x +9Ax2e3x

иподставляем полученные выражения в данное уравнение:

2Ae3x +12Axe3x

+9Ax2e3x −12Axe3x −18Ax2e3x +9x2e3x = 5e3x.

В результате получим

2Ae3x

= 5e3x 2A = 5 A = 2,5.

Тогда y

= 2,5x2e3x. А общее решение неоднородного уравнения

чн

= e3x

x) + 2,5x2e3x.

y

он

= y

+ y

(C +C

2

оо

чн

1

Ответ: y = e3x (C +C

2

x) + 2,5x2e3x. ■

1

Пример 2. Решить задачу Коши для уравнения

′

y

′′

+ y

′

− 2 y = cos x −3sin x ,

если y(0) =1, y (0) = 2.

Решение. Находим общее решение соответствующего ЛОДУ

y′′+ y′− 2 y = 0.

Его характеристическое уравнение:

k 2 + k − 2 = 0,

k = −1 ±3;

k =1;k

2

= −2.

1,2

2

1

Общее решение ЛОДУ

при различных корнях характеристического

уравнения имеет вид

= C ek1x + C

ek2 x = C e x

e−2x .

y

оо

2

+ C

2

1

1

Правая часть данного уравнения:

f (x) = cos x −3sin x.

α = 0, β =1 α ±iβ = ±i

— не являются корнями характеристического

уравнения r = 0,

l = max{0,0} = 0 .

Тогда

yчн = x r eαx

[M l (x) cos βx + Nl (x) sin βx] = A cos x + B sin x.

Дифференцируя, получим

′

,

′′

= −A cos x − B sin x .

yчн = −Asin x + B cos x

yчн

′

′′

Подставим значения yчн , yчн , y

чн в данное уравнение, будем иметь

− Acos x − Bsin x − Asin x + B cos x −

− 2A cos x − 2B sin x ≡ cos x − 3sin x .

Приравнивая коэффициенты при сosx	и sinx в левой и правой частях,
получим систему
−3A + B =1		A = 0,
		B =1.
− A −3D = −3

Тогда

y

чн

= sin x, а

y

он

= y

оо

+ y

чн

= C e x +C

2

e−2x +sin x —

1

общее решение данного уравнения.

Найдем

′

= C1e

x

− 2C2e

−2x

+ cos x.

yон

y =1, y′ = 2 :

Используя начальные условия, найдем С1 и С2

при

x=0,

1 = C

+C

C

+C

=1

C

=1,

1

2

1

2

1

2

= C2 − 2C2 +1

C1 − 2C2 =1

C2 = 0.

Подставляя значения С1 и С2 в общее решение, получим частное

решение yчаст. = ex + sin x . Ответ: yчаст. = ex + sin x . ■

7.2. Принцип наложения (суперпозиции)

Этот метод основан на следующей теореме:

Теорема. Если правая часть f (x) ЛНДУ (7.1) представляет сумму двух функций, т.е. f (x) = f1(x) + f2 (x) , то частное решение такого ДУ можно получить как сумму частных решений аналогичных уравнений с правыми частями соответственно f1(x) и f2 (x) , т.е.

yчн = y1чн(x) + y2чн(x) .

Доказательство. Рассмотрим два уравнения:

y′′+ a1 y′+ a2 y = f1(x) и y′′+ a1 y′+ a2 y = f2 (x) .

Пусть y1чн(x) и y2чн(x) являются частными решениями этих уравнений соответственно, тогда имеем два тождества:

( y1чн)′′+ a1( y1чн)′+ a2 y1чн ≡ f1(x) — найдем их сумму:

( y2чн)′′+ a1( y2чн)′+ a2 y2чн ≡ f2 (x)

[( y1чн)′′+( y2чн)′′] + a1[( y1чн)′+( y2чн)′] +

+ a2 ( y1чн + y2чн) ≡ f1(x) + f2 (x)

или ( y1чн + y2чн)′′+ a1( y1чн + y2чн)′+ a2 ( y1чн + y2чн) ≡ f1(x) + f2 (x).

Следовательно, yчн = y1чн + y2чн является решением уравнения

y′′+ a1 y′+ a2 y = f1(x) + f2 (x) . #

Пример. Найти общее решение уравнения

y′′+ y′ = x + e2x .

Решение. Так как правая часть уравнения

f (x) = x + e2x = f (x) + f

2

(x) ,

то

по

теореме общее решение

1

данного уравнения будет иметь вид

yон = yоо + yчн1 + yчн2 .

Найдем

yоо. Для этого рассмотрим уравнение y′′+ y′ = 0, его

характеристическое уравнение

k 2 + k = 0 имеет корни k1=0; k2= -1.

Тогда

y

оо

= C ek1x

+C

2

ek2 x

= C e0x +C

2

e−x

= C +C

2

e−x

1

1

1

Найдем у1чн.

y′′+ y′ = x

Для этого рассмотрим уравнение

Правая часть

f1(x) = x α1 = 0; β1 = 0;l =1.

Так как

α1 ±iβ1 = 0 ± 0i = 0 — является простым корнем

характеристического уравнения r =1, тогда

y

= xr eα1x

[M

l

(x) cos β x + N

l

(x) sin β x] =

1чн

1

1

= x[(Ax + B)cos0x + (Cx + D)sin 0x] = x( Ax + B).

Подставим y1чн = Ax2 + Bx , ( y1чн)′ = 2Ax + B ,

( y1чн)′′ = 2A в

рассматриваемое уравнение

y′′+ y′ = x :

2A + 2Ax + B = x ,

используя условие равенства многочленов, получим

2A =1

1

A = 2 ,

2A + B = 0

B =1.

1 x2

Таким образом, получим

y

=

− x.

Найдем у2чн .

1чн

2

y′′+ y′ = e2x

Для этого рассмотрим уравнение

Правая часть

f2 (x) = e2x . Для

f2 (x) :α2 = 2; β2 = 0; l = 0 .

α2 ± β2i = 2 ± 0i = 2 —

не

является

корнем

характеристического

уравнения r = 0, поэтому

y2чн = xr eα2 x [Ml (x) cos β2 x + Nl (x) sin β2 x]= = x0e2x [Acos 0x + B sin 0x]= Ae2x ;

studfile.net

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Уравнение вида: называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка, гдеa₀,а₁,…а_n-функции переменной х или константы, причём a₀,а₁,…а_n и f(x) считаются непрерывными.

Если a₀=1(если то на него можно разделить)уравнение примет вид:

Если уравнение неоднородное.

уравнение однородное.

Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка n

Уравнение вида: называются линейными однородными дифференциальными уравнениями порядкаn.

Для этих уравнений справедливы следующие теоремы:

Теорема 1: Если — решение , то сумма — тоже решение

Доказательство: подставим сумму в

Т.к производная любого порядка от суммы равна суме производных, то можно перегруппироватся , раскрыв скобки:

т.к y₁ и y₂ – решение.

0=0(верно)сумма тоже решение.

теорема доказана.

Теорема 2: Если y₀-решение , то — тоже решение.

Доказательство: Подставим в уравнение

т.к С выносится за знак производной, то

т.к решение, 0=0(верно)Сy₀-тоже решение.

теорема доказана.

Следствие из Т1 и Т2: если — решения (*)линейеая комбинация-тоже решение (*).

Линейно независимые и линейно зависимые системы функций. Определитель Вронского и его свойства

Определение: Система функций — называется линейно независимой , если линейная комбинациякоэффициенты.

Определение: Систему функций — называют линейно зависимой, еслии есть коэффициенты.

Возьмём систему двух линейно зависимых функцийт.кили— условие линейной независимости двух функций.

Примеры:

1)линейно независимы

2)линейно зависимы

3)линейно зависимы

Определение: Дана система функций — функций переменной х.

Определитель -определитель Вронского для системы функций.

Для системы двух функций определитель Вронского выглядит следующим образом:

Свойства определителя Вронского:

1. Если — линейно зависимы на [a;b]на этом отрезке.

2. Если — линейно независимые, решения дифференциального уравненияпри любых значениях х в области, где определены функции а₁…а_n

Теорема: Об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка.

Если y₁ и y₂ – линейно независимые решения линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка, то

общее решение имеет вид:

Доказательство: — решение по следствию из Т1 и Т2.

Если даны начальные условия то идолжны находится однозначно.

— начальные условия.

Составим систему для нахождения и. Для этого подставим начальные условия в общее решение.

определитель этой системы: — определитель Вронского, вычисленный в точке х₀

т.к илинейно независимы(по 2⁰)

т.к определитель системы не равен 0, то система имеет единственное решение и инаходятся из системы однозначно.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения порядка n

(*)

Можно показать что уравнение имеет n линейно независимых решений

Определение: n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения порядкаn называется фундаментальной системой решения.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения порядкаn , т.е (*) – линейная комбинация фундаментальной системы решений:

, где — фундаментальная система решения.

Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами

Это уравнения вида:, гдеp и g – числа(*)

Определение: Уравнение — называетсяхарактеристическим уравнением дифференциального уравнения (*) – обычное квадратное уравнение, решение которого зависит от D, возможны следующие случаи:

1)D>0 — два действительных различных решения.

2)D=0— один действительный корень кратности 2.

3)D<0— два комплексно сопряжённых корня.

Для каждого из этих случаев укажем фундаментальную систему решений, составленную из 2 функций и.

Будем показывать что:

1) и— ЛНЗ

2) и— решение (*)

Рассмотрим 1 случай D>0 — 2 действительных различных корня.

Характеристическое уравнение:

В качестве ФСР возьмём:

а) покажем ЛНЗ

б) покажем, что — решение (*), подставим

+p+g=0

верное равенстворешение (*)

аналогично показывается для y₂.

Вывод: — ФСР (*)общее решение

Рассмотрим 2случай: D=0— 1 действительный корень кратности 2.

В качестве ФСР возьмём:

ЛНЗ: ЛНЗ есть.

-решение уравнения (см. 1 случай). Покажем что — решение.

подставим в ДУ

-решение.

Вывод: ФСР

Пример:

3 случай: D<0— 2 комплексно сопряжённых корня.

подставим в характ. уравнение

комплексное число равно 0, когда действительная и мнимая часть равны 0.

— будем использовать.

Покажем, что — образуют ФСР.

А)ЛНЗ:

Б)-решение ДУ

верное равенство— решение ДУ.

Аналогично показывается, что тоже решение.

Вывод:ФСР:

Общее решение:

Пример:

Если заданы н.у.

— то сначала находят общее решение , его производную:, а потом в эту систему подставляют н.у и находяти.

Пример:

Н.у:

studfile.net

Дифференциальные уравнения n-го порядка

16

Дифференциальные уравнения n-ого порядка.

(1)

(2)

Если уравнение разрешимо относительно старшей производной то имеет вид (1). Так же уравнение n-го порядка можно представить в виде системы из n уравнений первого порядка.

(3)

Для уравнения n-ого порядка выполнены условия теоремы о существовании и единственности для системы так как (1)~(2)~(3).

Простейшие случаи понижения порядка.

1. Уравнение не содержат искомой функции и ее производной до порядка k-1 включительно, то есть

. (4)

В этом случае порядок может быть понижен до заменой . Если из этого уравнения выразить тогда решение y можно определить k-кратным интегрируемым функции p.

Пример. .

2. Уравнение, не содержащие неизвестного переменного

(5)

В этом случае порядок можно понизить на единицу подстановкой .

Пример. .

3. Левая часть уравнения

(6)

есть производная некоторого дифференциального выражения (n-1)-го порядка. . Если — решение последнего уравнения, следовательно, существует . Мы получили первый интеграл уравнения (6) и понизили на единицу степень решаемого уравнения.

Замечание. Иногда левая часть (6) становится производной дифференциального уравнения (n-1)-го порядка только при умножении на поэтому здесь могут появиться лишнее решения (обращающие в ноль) или мы можем потерять решение, если разрывная функция.

Пример.

4. Уравнение

(7)

однородно относительно и его производных.

.

Или , где показатель определяется из условий однородности.

Порядок этого уравнения может быть понижен на единицу заменой: .

Если подставить эти соотношения в (7) и учесть однородность функции F , то в итоге в получим: .

Пример. .

Дифференциальные уравнения второго порядка,

допускающие понижение порядка.

1. Пусть дано уравнение . (8)

Подстановка .

Если уравнение (8) можно разрешить относительно старшей производной, то уравнение два раза интегрируется по переменной x.

Можно ввести параметр и заменить уравнение (8) его параметрическим представлением: . Воспользовавшись соотношением для дифференциалов: , получаем: и

II . (9)

Воспользуемся параметрическим представлением:

III. . (10)

Понизить порядок можно заменой: .

Если уравнение (10) разрешимо относительно старшей производной , то помножим правую и левую часть на . Получим: .Это уравнение с разделяющимися переменными:.

Можно уравнение (10) заменить его параметрическим представлением: . Воспользуемся свойствами дифференциала: .

Пример. .

Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка.

Определение. Линейными дифференциальными уравнениями n-го порядка называются уравнения вида: . (1)

Если коэффициенты непрерывны на , то в окрестности любых начальных значений вида: , где принадлежит интервалу, то в окрестности этих начальных значений удовлетворяются условия теоремы о существовании и единственности. Линейность и однородность уравнения (1) сохраняется при любом преобразовании , где — произвольная n раз дифференцируемая функция. Причем . Линейность и однородность сохраняется при линейном и однородном преобразовании неизвестной функции .

Введем линейный дифференциальный оператор: , тогда (1) можно записать так: . Определитель Вронского для будет иметь вид:

, где — линейно независимые решения уравнения (1).

Теорема 1. Если линейно независимые функции — это решение линейного однородного уравнения (1) с непрерывными на коэффициентами , то определитель Вронского не обращается в ноль ни в одной точке отрезка .

( доказывается аналогично случаю системы линейных дифференциальных уравнений)

Теорема 2. Общим решением линейного однородного уравнения (1) с непрерывными на коэффициентами будет линейная комбинация решений , то есть (2), где линейно независимые на отрезке частные решения (1).

( доказывается аналогично случаю системы линейных дифференциальных уравнений)

Следствие. Максимальное число линейно независимых решений (1) равно его порядку.

Зная одно нетривиальное частное решение уравнения (1) — , можно сделать подстановку и понизить порядок уравнения, сохранив его линейность и неоднородность. Обычно эту подстановку разбивают на две . Поскольку это линейно однородное представление, то оно сохраняет линейность и однородность (1), а значит (1) должно быть приведено к виду . Решению в силу соответствует решение , и, следовательно, . Сделав замену , получим уравнение с порядком .

Лемма. (3)

(4)

Два уравнения вида (3) и (4), где Q_iи P_i – непрерывные на [a,b] функции, имеющие общую фундаментальную систему решений, совпадают, т.е. Q_i(x)=P_i(x), i=1,2,…n,  x[a,b]

На основании леммы можно сделать вывод, что фундаментальная система решений y₁ y₂ …y_n полностью определяет линейное однородное уравнение (3).

Найдем вид уравнения (3), имеющего фундаментальную систему решений y₁ y₂ …y_n. Любой решение y(x) уравнения (3) линейно зависит от фундаментальной системы решений, а это значит, что W[y₁ y₂ …y_n y]=0. Разложим определитель Вронского W[y₁ y₂ …y_n y] по последнему столбцу.

Уравнение (5) является искомым линейным дифференциальным уравнением, имеющим данную систему фундаментальных решений. Мы можем (5) разделить на W[y₁ y₂ …y_n], т.к. он не равен нулю  x[a,b]. Тогда:

(*)

По правилу дифференцирования определителя, производная от определителя равна сумме по i=1,2…n определителей, i-ая строка каждого из которых равна производной от i –ой строки исходного определителя. В этой сумме все определители, кроме последнего, равны нулю (т.к. у них по две одинаковые строки), а последний равен (*). Таким образом, получим:

, тогда: (6)

(7)

Определение. Формулы (6) и (7) называются формулами Остроградского-Лиувиля.

Используем (7) для интегрирования линейного однородного уравнения второго порядка. И пусть нам известно одно из решений y₁ уравнения (8).

(8)

Согласно (7) любое решение (8) должно удовлетворять следующему соотношению:

(9)

Воспользуемся методом интегрирующего множителя.

Линейные однородные уравнения с

постоянными коэффициентами.

Если в линейном однородном уравнении все коэффициенты постоянны,

a₀y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+….+a_ny=0, (1)

L[y]=0, (2)

то частные решения (1) могут быть определены в виде: y=e^kx, где k — постоянная.

a₀kⁿe^kx+a₁k^n-1e^kx+….+a_n k⁰e^kx=0  a₀kⁿ+a₁k^n-1+….+a_n=0 (3)

Определение. (3) — характеристическое уравнение.

Вид решения (1) определяется корнями характеристического уравнения (3).

1). Все корни вещественные и различные, тогда:

2). Если все коэффициенты вещественные, то корни могут быть комплексно-сопряженные.

k₁=+i k₂=-i

Тогда решения имеют вид:

Согласно теореме: если оператор с вещественными коэффициентами имеет комплексно-сопряженные решения, то их действительная и мнимая части также являются решениями. Тогда:

Пример.

Решение представим в виде , тогда характеристическое уравнение имеет вид:

, получим два решения:

тогда искомая функция:

3). Имеются кратные корни: k_i с кратностью _i. В этом случае число различных решений будет меньше n, следовательно, нужно искать недостающие линейно-независимые решения в другом виде. Например:

Доказательство:

Допустим, k_i=0, если подставить его в (3), то получим, что , тогда:

(4)

(5)

— частные решения (3).

Пусть k_i0, сделаем замену (6)

Подставим (6) в (1), получим относительно z линейное однородное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами (7).

(7)

Корни (3) отличаются от корней характеристического уравнения (7) на слагаемое k_i.

(8)

Если k=k_i , то тогда этому k соответствует решение уравнения (7) с корнем p=0 , т.е. соответствуют решения вида z=, тогда y=— решение уравнения (1). А общее решение имеет вид:

решение для k_i



Уравнение Эйлера.

Определение. Уравнение вида:

, (1)

a_i-постоянные коэффициенты, называется уравнением Эйлера.

Уравнение Эйлера заменой x=e^t сводится к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами.

Можно искать решения в виде y=x^k, тогда они имеют вид:

Линейные неоднородные уравнения.

(1)

Если a₀(x)0, то разделив на этот коэффициент уравнение (1), получим:

. (2)

.

Если на [a,b] b_i и f непрерывны, то (2) имеет единственное решение, удовлетворяющее соответствующим начальным условиям . Если в явном виде выразить старшие производные из (2), то получим уравнение, правая часть которого удовлетворяет теореме о существовании и единственности. Так как оператор L линейный, значит, для (2) выполняется:

1). — решение (2), если — решение неоднородного уравнения (2), а — решение соответствующего однородного уравнения.

2). Если — решения , то решение уравнения .

Свойство 2 – принцип суперпозиции, он справедлив при , если ряд — сходится и допускает m-кратное почленное дифференцирование.

3) Пусть дано операторное уравнение , где L – это оператор с коэффициентами , все — вещественные. Функции U и V тоже вещественные. Тогда, если это уравнение имеет решение , то решением этого же уравнения будут и мнимая и вещественная части y: и . При чем каждый из них соответствует решению .

Теорема. Общее решение неоднородного уравнения n-порядка на отрезке [a,b] при условии, что все коэффициенты и правая часть — непрерывные функции, можно представить в виде суммы общего решения, соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной — .

Т.е. решение .

Если невозможно в явном виде подобрать частные решения неоднородной системы, то можно воспользоваться методом вариации постоянной. Решение будем искать в виде:

(3)

где решения однородной системы, — неизвестные функции.

Всего неизвестных функций — n. Они должны удовлетворять исходному уравнению (2).

Подставив в уравнение (2) выражение y(x), мы получим условия для определения только одной неизвестной функции. Чтобы определить остальные (n-1)-ну функции, необходимо еще (n-1)-но дополнительное условие, их можно выбрать произвольно. Выберем их так, чтобы решение (2) — y(x) имело вид такой же, как если бы были константами.

,

т.к. ведут себя как константы, то , значит, и .

…

Т.о. мы получим (n-1)-но условие дополнительно к уравнению (1). Если подставить выражение для производных в уравнение (1) и учесть все полученные условия и то, что y_i – решение соответствующей однородной системы, то мы получим последнее условие для .

Перейдем к системе:

(3)

Определитель системы (3) – это (W) определитель Вронского, а т.к. y_i – это решения однородной системы, то W0 на [a,b].

(4)

Пример. Неоднородное уравнение

, соответствующее ему однородное уравнение

Решение ищем в виде y=e^kx. Характеристическое уравнение k²+1=0, т.е. k_1,2=i

y=e^ix=cos x +i sin x, общее решение —

Воспользуемся методом вариации постоянной:

Условия для :

, что эквивалентно записи:

Отсюда:

studfile.net