Решение линейных уравнений с параметрами. 8-й класс

Урок проводится после изучения темы: «Решение дробных рациональных уравнений».

«Решение и исследование уравнений с параметрами» является одной из самых трудных в курсе алгебры, но она постоянно присутствует в материалах Единого государственного экзамена. Это особо подчеркивает ее актуальность. Сложность параметрических задач состоит в том, что с изменением параметров не только меняются коэффициенты, но и происходят качественные изменения уравнения или неравенства, например, меняется его степень, область допустимых значений, свойства входящих в него функций.

Цели урока:

• Ввести понятие «Уравнения с параметром»
• Разобрать методы решения линейных уравнений с параметрами.

Ход урока

1. Объяснение учителя:

Исследовать и решить уравнение с параметром – это значит:

1. Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.
2. Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, т.е. для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

Уравнение вида:  Ах=В

Где А, B – выражения, зависящие от параметров, а х– неизвестное, называется линейным уравнением с параметрами.

Решить линейное уравнение с параметрами – значит, для всех значений параметров найти множество всех корней заданного уравнения.

Линейное уравнение исследуется по следующей схеме.

1) если А=0 , то имеет уравнение 0*х=В.

Тогда, если B≠0, то уравнение не имеет решений ( х є Ø), а если В=0, то уравнение имеет вид 0*х=0 и удовлетворяется при любом х, т.е. решением уравнения будет множество всех действительных чисел (х є R).

2) если A≠0, то уравнение не имеет единственное решение х=В/А.

Замечание. Если линейное уравнение или уравнение, сводящееся к линейному, не представлено в виде (1) , то сначала нужно привести его к стандартному виду (1) и только после этого проводить исследование.

Если для каких-нибудь значений параметров уравнение не имеет смысла, то для этих значений параметров оно не имеет решений. Кроме этого, уравнение может не иметь решений и при других значениях параметров.

Пример №1

(k+1)=2k+1

Исследование:

1) Если k+4=0

k=-4

x*0=-8+1

x*0=-7

xєØ

2) Если k≠-4, х=(2k+1)/(k+4)

Ответ: Если k=-4, то xєØ, если k≠-4, х=(2k+1)/(k+4).

Пример №2

(5р+1)х +25р²+10р+1=0

(5р+1)х =-25р²-10р-1

(5р+1)х =-(5р+1)²

Исследование:

1) Если 5р+1=0

5р=-1

р=-1/5

x*0=-(-1+1)²

x*0=0

xєR

2) Если  р ≠– 1/5,

х=-(5р+1)²/(5р+1)

x=-(5p+1)      

x=-5p-1

Ответ: Если  р=-1/5, то х є R, если  р ≠ -1/5, то х=-5р-1. 

Пример№3

ах-а =х-1,

ах-а-х+1=0,

х(а-1)=а-1.

Исследование:

1) Если а-1=0

а=1

х*0=1-1

х*0=0

хєR

2) Если a≠1 

х=(а-1)/(а-1)

х=1

Ответ: Если а=1,то х є R, если  a≠1,то х=1 

2. Работа с классом:

Устно: Выполнить № 640.

Письменно: № 641(а), 642.

3. Домашенее задание:

• п.27 (пример № 1; 2 читать)
• № 641(б), 643.

Презентация к уроку по алгебре (8 класс) по теме: Линейные уравнения

Слайд 1

Линейное уравнение с одной переменной ( повторение курса алгебры за 7 класс ) Первые уроки алгебры в 8 классе Учитель математики МБОУ СОШ п.Нивенское Калининградской области Долгополова Елена Васильевна

Слайд 2

Посчитаем устно: Решите уравнение: А) Учитель математики МБОУ СОШ п.Нивенское Калининградской области Долгополова Елена Васильевна

Слайд 3

Работа в тетрадях Решите уравнение: Учитель математики МБОУ СОШ п.Нивенское Калининградской области Долгополова Елена Васильевна Молодцы!

Слайд 4

Решите задачу с помощью уравнения: 1) Длина прямоугольника вдвое больше его ширины. Если каждую из сторон прямоугольника увеличить на 1 м, то его площадь увеличится на 16м².Найдите стороны прямоугольника . Учитель математики МБОУ СОШ п.Нивенское Калининградской области Долгополова Елена Васильевна длина ширина площадь было стало 2х 2х+1 х х+1 2х² (2х+ 1)(х+1) На 16м² больше Составьте уравнение ,решите его и ответьте на вопрос задачи.

Слайд 5

(2х+ 1)(х+1) — = 16 х=5 Ответ: 10 м , 5м Учитель математики МБОУ СОШ п.Нивенское Калининградской области Долгополова Елена Васильевна 2х²

Слайд 6

Учитель математики МБОУ СОШ п.Нивенское Калининградской области Долгополова Елена Васильевна 2) Путь от А до В автомобиль проезжает с определённой скоростью За 2,5 часа .Если он увеличит скорость на 20км/ч, то за 2 часа проедет путь на 15 км больший, чем расстояние от А до В. Найдите расстояние от А до В. скорость время расстояние было стало х Х+20 2,5 2 2,5х 2(х+20) На 15 км больше Составьте уравнение ,решите его и ответьте на вопрос задачи

Слайд 7

Учитель математики МБОУ СОШ п.Нивенское Калининградской области Долгополова Елена Васильевна 2(х+20) — 2,5х = 15 2х+40-2,5х = 15 -0,5х =15-40 -0,5х=-25 Х=50 (км/ч ) первоначальная скорость автомобиля 2) 50 · 2,5 = 125 км Ответ: 125 км расстояние между Аи В

Слайд 8

Учитель математики МБОУ СОШ п.Нивенское Калининградской области Долгополова Елена Васильевна Задание на дом: 1)Решите уравнение: а) –(4-х) – 4(х-5) = 5(1-х) б) 2) Решите задачу: Бригада рабочих должна была выполнить заказ за 5 дней. Ежедневно превышая норму на 18 деталей, она за 3,5 дня работы не только выполнила задание, но изготовила на 27 деталей сверх плана. Сколько деталей изготовила бригада?

Решение линейных неравенств. Алгебра, 8 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Решение строгого линейного неравенства Сложность: лёгкое	1
2.	Решение неравенства Сложность: лёгкое	1
3.	Положительные или отрицательные значения двучлена Сложность: лёгкое	3
4.	Неотрицательные или неположительные значения двучлена Сложность: лёгкое	3
5.	Дробное неравенство, сводимое к линейному (числитель — одночлен) Сложность: лёгкое	4
6.	Значения двучлена, большие или меньшие 2 Сложность: среднее	4
7.	Решение линейного неравенства Сложность: среднее	1
8.	Решение строгого, дробного линейного неравенства Сложность: среднее	1
9.	Тест по решению нестрогого неравенства Сложность: среднее	1
10.	Решение линейного неравенства Сложность: среднее	2
11.	Значение, которое является решением неравенства Сложность: среднее	5
12.	Значения двучлена, не меньшие или не большие значений другого двучлена Сложность: среднее	5
13.	Сумма дробей Сложность: среднее	5
14.	Линейное неравенство (распределительный закон умножения) Сложность: среднее	5
15.	Линейное неравенство (минус перед скобками) Сложность: среднее	6
16.	Наименьшее целое решение неравенства Сложность: среднее	5
17.	Решение линейного неравенства Сложность: среднее	3
18.	Выбор интервала как решения строгого неравенства Сложность: среднее	3
19.	Решение двойного неравенства Сложность: среднее	3
20.	Область допустимых значений выражения, линейное уравнение Сложность: сложное	4
21.	Область допустимых значений выражения, дробь Сложность: сложное	4
22.	Текстовая задача Сложность: сложное	6