Линейные уравнения с дробями | Алгебра
Линейные уравнения с дробями не содержат переменной в знаменателе. Чтобы решить линейное уравнение с дробями, удобно избавиться от знаменателей.
Для этого нужно найти наименьший общий знаменатель всех входящих в уравнение дробей и обе части уравнения умножить на это число.
Наименьший общий знаменатель данных дробей равен 6. Дополнительный множитель к первой дроби равен 2, ко второй — 3, к 5 — 6. Умножаем обе части уравнения на наименьший общий знаменатель:
В результате наименьший общий знаменатель и знаменатель каждой дроби сокращаются, и получаем линейное уравнение, не содержащее дробей.
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:
Из полученной неправильной дроби выделяем целую часть
Ответ: -4 6/7.
Наименьший общий знаменатель данных дробей равен 20. Найдем дополнительный множитель к каждой дроби и умножим обе части уравнения на 20:
Можно, конечно, сразу же умножить дополнительный множитель на числитель каждой дроби. Но, к сожалению, наибольшее количество ошибок при решении линейных уравнений с дробями допускается именно на этом шаге. Скобки — друзья ученика :). Поэтому лучше воспользоваться их помощью:
Особенно полезны скобки в случае, когда перед дробью стоит знак «минус».
После раскрытия скобок можно сразу же перенести неизвестные в одну сторону уравнения, известные — в другую (не забыв при переносе изменить их знаки), а можно сначала упростить каждую часть, приведя подобные слагаемые, а потом уже переносить.
Ответ: -34.
Здесь наименьший общий знаменатель дробей равен 12. Находим дополнительный множитель к каждой дроби и умножаем обе части уравнения на 12:
Раскрываем скобки и упрощаем
Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:
Ответ: -5.
Уравнения такого вида можно решить, использовать основное свойство пропорции (в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов):
при делении двух отрицательных чисел получается положительное число, поэтому минусы можно сразу же не писать.
Если это возможно, лучше ответ записать в виде десятичной дроби:
Ответ: 0,1875.
Уравнения с дробями | Математика
Линейные уравнения с дробями в 6 классе можно решать по обычной схеме: неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знак. Другой путь — предварительно упростить уравнение, превратив его из линейного уравнения с дробями в линейное уравнение с целыми числами.
Сначала на примере одного линейного уравнения с дробями рассмотрим оба способа решения.
1 способ: Это — линейное уравнение. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:
Приводим к общему знаменателю дроби в каждой части уравнения:
Это — простейшее линейное уравнение. Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:
При делении чисел с разными знаками получаем отрицательное число. По правилу деления дробей:
После сокращения имеем:
(В данном случае ответ можно записать и в виде десятичной дроби: х=-0,8).
2 способ:
Обе части уравнения умножим почленно на наименьший общий знаменатель всех входящих в него дробей, в данном случае он равен 24:
При умножении на знаменатель дроби сокращаются, в знаменателе остается единица, которую не пишем. От линейного уравнения с дробями перешли к линейному уравнению с целыми числами:
Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:
Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:
Ответ: -4/5.
Как видите, второй способ существенно упрощает решение линейного уравнения с дробями.
Обе части уравнения умножаем почленно на наименьший общий знаменатель всех входящих в него дробей. Здесь он равен 60:
Вместо линейного уравнения с дробями получили линейное уравнение с целыми числами. Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:
Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:
Сокращаем дробь на 3:
Ответ: 5/11.
Обе части уравнения умножаем почленно на наименьший общий знаменатель всех входящих в него дробей:
В результате линейное уравнение с дробями заменили на линейное уравнение с целыми числами:
Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:
Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:
Ответ: 2,9.
В следующий раз рассмотрим линейные уравнения с смешанными дробями.
Уравнения с дробями 7 класса онлайн
Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Линейные уравнения с дробями 7 класс решаются по стандартной схеме, когда производят перенос членов уравнения с неизвестной в одну сторону, а с известной — в другую, учитывая правила переноса. Если схема не подходит для вашего случая, тогда можно попробовать упростить уравнение, преобразовав его с линейного с дробями в линейное с целыми значениями.
Так же читайте нашу статью «Решить уравнения с дробями 8 класса онлайн решателем»
Допустим, дано следующее уравнение:
\[\frac {3}{8}x-\frac{5}{6}=\frac {7}{12}x-\frac {2}{3}\]
Решим его по стандартной схеме и выполним перенос членов уравнения:
\[\frac {3}{8}x-\frac{7}{12}x=-\frac{2}{3}+\frac{5}{6}\]
Далее выполним приведение каждой части уравнения к общему знаменателю:
\[\frac{9-14}{24}x=\frac{4-+5}{6}\]
\[-\frac{5}{25}x=\frac{1}{6}\]
Делим левую и правую часть на число правой части:
\[x=\frac{1}{6}:(-\frac{5}{24})\]
Выполняем деление:
\[x=-\frac {1 \cdot 24}{6 \cdot 5}\]
Есть возможность сократить:
\[x=-\frac{4}{5}\]
Чтобы наглядно увидеть другой способ решения, решим такое уравнение:
\[\frac{3}{8}x — \frac{5}{6}=\frac{7}{12}x-\frac{2}{3}\]
Произведем умножение и приведем к 24 (наименьший общий знаменатель) каждый знаменатель:
\[\frac{3}{8}x-\frac{5}{6}=\frac{7}{12}x — \frac{2}{3}\]
В знаменателе остается 1, который мы не пишем:
\[9x-20=14x-16\]
Осталось решить простое линейное уравнения:
\[9x-14x=-16+20\]
\[-5x=4\]
Делим левую и правую часть на \[-5:\]
\[x=-\frac{4}{5}\]
Где можно решить уравнение онлайн решателем?
Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
Как решать линейные уравнения? | О математике понятно
Линейные уравнения — довольно безобидная и понятная тема школьной математики. Но, как это ни странно, количество ошибок на ровном месте при решении линейных уравнений лишь немногим меньше, чем в других темах — квадратных уравнениях, логарифмах, тригонометрии и прочих. Причины большинства ошибок — банальные тождественные преобразования уравнений. В первую очередь, это путаница в знаках при переносе слагаемых из одной части уравнения в другую, а также ошибки при работе с дробями и дробными коэффициентами. Да-да! Дроби в линейных уравнениях тоже встречаются! Сплошь и рядом. Чуть ниже такие злые уравнения мы с вами тоже обязательно разберём.)
Ну что, не будем тянуть кота за хвост и начнём разбираться, пожалуй? Тогда читаем и вникаем.)
Что такое линейное уравнение? Примеры.
Обычно линейное уравнение имеет следующий вид:
ax + b = 0,
где a и b — любые числа. Какие угодно: целые, дробные, отрицательные, иррациональные — всякие могут быть!
Например:
7х + 1 = 0 (здесь a = 7, b = 1)
x — 3 = 0 (здесь a = 1, b = -3)
x/2 — 1,1 = 0 (здесь a = 1/2, b = -1,1)
В общем, вы поняли, я надеюсь.) Всё просто, как в сказке. До поры до времени… А если присмотреться к общей записи ax+b=0 более пристально, да немного призадуматься? Ведь a и b — любые числа! А если у нас, скажем, a = 0 и b = 0 (любые же числа можно брать!), то что у нас тогда получится?
0 = 0
Но и это ещё не все приколы! А если, допустим, a = 0, b = -10? Тогда уже совсем какая-то ахинея получается:
0 = 10.
Что весьма и весьма напрягает и подрывает завоёвываемое потом и кровью доверие к математике… Особенно на контрольных и экзаменах. А ведь из этих непонятных и странных равенств ещё и икс найти нужно! Которого нету вообще! И вот тут даже хорошо подготовленные ученики, порой, могут впасть, что называется, в ступор… Но не переживайте! В данном уроке все такие сюрпризы мы тоже рассмотрим. И икс из таких равенств тоже обязательно отыщем.) Причём этот самый икс ищется очень и очень просто. Да-да! Удивительно, но факт.)
Ну хорошо, это понятно. Но как же можно узнать по внешнему виду задания, что перед нами именно линейное уравнение, а не какое-либо ещё? К сожалению, только по внешнему виду распознать тип уравнения возможно далеко не всегда. Дело всё в том, что линейными называются не только уравнения вида ax+b=0, но и любые другие уравнения, которые тождественными преобразованиями, так или иначе, сводятся к такому виду. А как тут узнаешь, сводится оно или нет? Пока пример почти не решишь — почти никак. Это огорчает. Но для некоторых типов уравнений можно при одном беглом взгляде сразу с уверенностью сказать, линейное оно или нет.
Для этого ещё разок обратимся к общей структуре любого линейного уравнения:
ax + b = 0
Обратите внимание: в линейном уравнении всегда присутствует только переменная икс в первой степени и какие-то числа! И всё! Больше ничего. При этом нету иксов в квадрате, в кубе, под корнем, под логарифмом и прочей экзотики. И (что особенно важно!) нет дробей с иксом в знаменателях! А вот дроби с числами в знаменателях или деление на число — запросто!
Например:
Это линейное уравнение. В уравнении присутствуют только иксы в первой степени да числа. И нету иксов в более высоких степенях — в квадрате, в кубе и так далее. Да, здесь есть дроби, но при этом в знаменателях дробей сидят только числа. А именно — двойка и тройка. Иными словами, в уравнении нету деления на икс.
А вот уравнение
уже нельзя назвать линейным, хотя здесь тоже присутствуют только числа и иксы в первой степени. Ибо, помимо всего прочего, здесь есть ещё и дроби с иксами в знаменателях. И после упрощений и преобразований такое уравнение может стать каким угодно: и линейным, и квадратным — всяким.
Как решать линейные уравнения? Примеры.
Так как же решать линейные уравнения? Читайте дальше и удивляйтесь.) Всё решение линейных уравнений базируется всего на двух основных вещах. Перечислим их.
1) Набор элементарных действий и правил математики.
Это использование скобок, раскрытие скобок, работа с дробями, работа с отрицательными числами, таблица умножения и так далее. Эти знания и умения необходимы не только для решения линейных уравнений, а для всей математики вообще. И, если с этим проблемы, вспоминайте младшие классы. Иначе несладко вам придётся…
2) Базовые тождественные преобразования уравнений.
Их всего два. Да-да! Более того, эти самые базовые тождественные преобразования лежат в основе решения не только линейных, а вообще любых уравнений математики! Одним словом, решение любого другого уравнения — квадратного, логарифмического, тригонометрического, иррационального и т.д. — как правило, начинается с этих самых базовых преобразований. А вот решение именно линейных уравнений, собственно, на них же (преобразованиях) и заканчивается. Готовым ответом.) Так что не поленитесь и прогуляетесь по ссылке.) Тем более, что там линейные уравнения тоже детально разбираются.
Что ж, я думаю, пора приступать к разбору примеров.
Для начала, в качестве разминки, рассмотрим какую-нибудь элементарщину. Безо всяких дробей и прочих наворотов. Например, такое уравнение:
х — 2 = 4 — 5х
Это классическое линейное уравнение. Все иксы максимум в первой степени и деления на икс нигде нету. Схема решения в таких уравнениях всегда едина и проста до ужаса: все члены с иксами надо собрать слева, а все члены без иксов (т.е. числа) собрать справа. Вот и приступаем к сбору.
Для этого запускаем в ход первое тождественное преобразование. Нам нужно перенести -5х влево, а -2 перенести вправо. Со сменой знака, ясное дело.) Вот и переносим:
х + 5х = 4 + 2
Ну вот. Полдела сделано: иксы собрали в кучку, числа — тоже. Теперь слева приводим подобные, а справа — считаем. Получаем:
6х = 6
Чего теперь нам не хватает для полного счастья? Да чтобы слева чистый икс остался! А шестёрка — мешает. Как от неё избавиться? Запускаем теперь второе тождественное преобразование — делим обе части уравнения на 6. И — вуаля! Ответ готов.)
х = 1
Разумеется, пример совсем примитивный. Чтобы общую идею уловить. Что ж, решим что-нибудь посущественнее. Например, разберём вот такое уравнение:
Детально разберём.) Это тоже линейное уравнение, хотя, казалось бы, тут есть дроби. Но в дробях есть деление на двойку и есть деление на тройку, а вот деления на выражение с иксом — нету! Так что — решаем. Используя всё те же тождественные преобразования, да.)
Что вначале делать будем? С иксами — влево, без иксов — вправо? В принципе, можно и так. Лететь в Сочи через Владивосток.) А можно пойти по кратчайшему пути, сразу воспользовавшись универсальным и мощным способом. Если знать тождественные преобразования, разумеется.)
Для начала задаю ключевой вопрос: что вам сильнее всего бросается в глаза и больше всего не нравится в этом уравнении? 99 человек из 100 скажут: дроби! И будут правы.) Вот и избавимся сначала от них. Безопасно для самого уравнения.) Поэтому начнём сразу со второго тождественного преобразования — с домножения. На что надо помножить левую часть, чтобы знаменатель благополучно сократился? Правильно, на двойку. А правую часть? На тройку! Но… Математика — дама капризная. Она, понимаешь, требует умножать обе части только на одно и то же число! Каждую часть помножать на своё число — не катит… Что делать будем? Что-что… Искать компромисс. Чтобы и наши хотелки удовлетворить (избавиться от дробей) и математику не обидеть.) А помножим-ка обе части на шестёрку!) То есть, на общий знаменатель всех дробей, входящих в уравнение. Тогда одним махом и двойка сократится, и тройка!)
Вот и домножаем. Всю левую часть и всю правую часть целиком! Посему используем скобочки. Вот так выглядит сама процедура:
Теперь раскрываем эти самые скобочки:
Теперь, представив 6 как 6/1, помножим шестёрку на каждую из дробей слева и справа. Это обычное умножение дробей, но, так уж и быть, распишу детально:
А вот здесь — внимание! Числитель (х-3) я взял в скобки! Это всё потому, что при умножении дробей числитель умножается весь, целиком и полностью! И с выражением х-3 надо работать как с одной цельной конструкцией. А вот если вы запишете числитель вот так:
6х — 3,
то это будет ошибкой. Дальше можно уже не решать, да…
Но у нас всё правильно и надо дорешивать. Что дальше делать? Раскрывать скобки в числителе слева? Ни в коем случае! Мы с вами домножали обе части на 6, чтобы от дробей избавиться, а не для того чтобы париться с раскрытием скобок. На данном этапе нам надо сократить наши дроби. С чувством глубокого удовлетворения сокращаем все знаменатели и получаем уравнение безо всяких дробей, в линеечку:
3(х-3) + 6х = 30 — 4х
А вот теперь и оставшиеся скобки можно раскрыть:
3х — 9 + 6х = 30 — 4х
Уравнение становится всё лучше и лучше! Вот теперь вновь вспоминаем про первое тождественное преобразование. С каменным лицом повторяем заклинание из младших классов: с иксами — влево, без иксов — вправо. И применяем это преобразование:
3х + 6х + 4х = 30 + 9
Приводим подобные слева и считаем справа:
13х = 39
Осталось поделить обе части на 13. То есть, вновь применить второе преобразование. Делим и получаем ответ:
х = 3
Готово дело. Как вы видите, в данном уравнении нам пришлось один раз применить первое преобразование (перенос слагаемых) и дважды — второе: в начале решения мы использовали домножение (на 6) с целью избавиться от дробей, а в конце решения использовали деление (на 13), чтобы избавиться от коэффициента перед иксом. И решение любого (да-да, любого!) линейного уравнения состоит из комбинации этих самых преобразований в той или иной последовательности. С чего именно начинать — от конкретного уравнения зависит. Где-то выгоднее начинать с переноса, а где-то (как в этом примере) — с домножения (или деления).
Работаем от простого — к сложному. Рассмотрим теперь откровенную жесть. С кучей дробей и скобок. А я уж подскажу, как не надорваться.)
Например, вот такое уравнение:
Минуту смотрим на уравнение, ужасаемся, но всё-таки берём себя в руки! Основная проблема — с чего начинать? Можно сложить дроби в правой части. Можно выполнить вычитание дробей в скобках. Можно обе части на что-нибудь домножить. Или поделить… Так что же всё-таки можно? Ответ: всё можно! Ни одно из перечисленных действий математика не запрещает. И какую бы последовательность действий и преобразований вы бы ни выбрали, ответ получится всегда один — правильный. Если, конечно, на каком-то шаге не нарушить тождественность ваших преобразований и, тем самым, не наляпать ошибок…
А, чтобы не наляпать ошибок, в таких навороченных примерах, как этот, всегда полезнее всего оценить его внешний вид и в уме прикинуть: что можно такое сделать в примере, чтобы максимально упростить его за один шаг?
Вот и прикидываем. Слева стоят шестёрки в знаменателях. Лично мне они не нравятся, а убрать их очень легко. Домножу-ка я обе части уравнения на 6! Тогда шестёрки слева благополучно сократятся, дроби в скобках пока никуда не денутся. Ну и ничего страшного. С ними чуток позже расправимся.) А вот справа у нас сократятся знаменатели 2 и 3. Именно при этом действии (умножении на 6) у нас за один шаг достигаются максимальные упрощения!
После умножения всё наше злое уравнение станет вот таким:
Кто не понял, как именно получилось это уравнение, значит, вы плохо усвоили разбор предыдущего примера. А я старался, между прочим…
Что дальше можно сделать? Дальше удобнее всего раскрыть все скобки справа. Причём правильно раскрыть, соблюдая основы! В правой части перед обеими скобками стоит знак плюс, поэтому все знаки при раскрытии сохраняются.
Итак, раскрываем:
Теперь самым логичным шагом было бы уединить дроби слева, а 5х отправить в правую часть. Заодно и подобные в правой части приведём. Получим:
Уже гораздо лучше. Теперь левая часть сама собой подготовилась к умножению. На что надо домножить левую часть, чтобы сразу и пятёрка сократилась, и четвёрка? На 20! Но ещё у нас присутствуют минусы в обеих частях уравнения. Поэтому удобнее всего будет умножать обе части уравнения не на 20, а на -20. Тогда одним махом и минусы исчезнут, и дроби.
Вот и умножаем:
Кому до сих пор непонятен этот шаг — значит, проблемы не в уравнениях. Проблемы — в основах! Вновь вспоминаем золотое правило раскрытия скобок:
Если число умножается на какое-то выражение в скобках, то это число надо последовательно умножить на каждое слагаемое этого самого выражения. При этом если число положительно, то знаки выражений после раскрытия сохраняются. Если отрицательно — меняются на противоположные:
a(b+c) = ab+ac
-a(b+c) = -ab-ac
Минусы у нас исчезли после домножения обеих частей на -20. И теперь скобки с дробями слева мы умножаем на вполне себе положительное число 20. Стало быть, при раскрытии этих скобок все знаки, что были внутри них, сохраняются. А вот откуда взялись скобки в числителях дробей, я уже подробно объяснял в предыдущем примере.
А вот теперь дроби и сократить можно:
4(3-5х)-5(3х-2) = 20
Раскрываем оставшиеся скобки. Опять же, правильно раскрываем. Первые скобки умножаются на положительное число 4 и, стало быть, все знаки при их раскрытии сохраняются. А вот вторые скобки умножаются на отрицательное число -5 и, поэтому, все знаки меняются на противоположные:
12 — 20х — 15х + 10 = 20
Остались сущие пустяки. С иксами влево, без иксов — вправо:
-20х — 15х = 20 — 10 — 12
-35х = -2
Вот почти и всё. Слева нужен чистый икс, а число -35 мешает. Вот и делим обе части на (-35). Напоминаю, что второе тождественное преобразование разрешает нам умножать и делить обе части на какое угодно число. В том числе и на отрицательное.) Лишь бы не на ноль! Смело делим и получаем ответ:
x = 2/35
На сей раз икс получился дробным. Ничего страшного. Такой уж пример.)
Как мы видим, принцип решения линейных уравнений (даже самых накрученных) довольно простой: берём исходное уравнение и тождественными преобразованиями последовательно упрощаем его прямо до получения ответа. С соблюдением основ, разумеется! Главные проблемы здесь именно в несоблюдении основ (скажем, перед скобками стоит минус, а знаки при раскрытии поменять забыли), а также в банальной арифметике. Так что не пренебрегайте основами! Они — фундамент всей остальной математики!
Некоторые приколы при решении линейных уравнений. Или особые случаи.
Всё бы ничего. Однако… Попадаются среди линейных уравнений и такие забавные перлы, которые в процессе их решения могут и в сильный ступор вогнать. Даже отличника.)
Например, вот такое безобидное с виду уравнение:
7х + 3 = 4х + 5 + 3х — 2
Широко позёвывая и слегка скучая, собираем все иксы слева, а все числа справа:
7х-4х-3х = 5-2-3
Приводим подобные, считаем и получаем:
0 = 0
Вот-те раз! Выдал примерчик фокус! Само по себе это равенство возражений не вызывает: ноль действительно равен нулю. Но икс-то пропал! Бесследно! А мы обязаны записать в ответе, чему равен икс. Иначе решение не считается, да.) Что же делать?
Без паники! В таких нестандартных случаях спасают самые общие понятия и принципы математики. Что такое уравнение? Как решать уравнения? Что значит решить уравнение?
Решить уравнение — это значит, найти все значения переменной икс, которые при подстановке в исходное уравнение дадут нам верное равенство (тождество)!
Но верное равенство у нас уже получилось! 0=0, вернее некуда!) Остаётся догадаться, при каких именно иксах у нас получается это равенство. Какие же такие иксы можно подставлять в исходное уравнение, если при подстановке все они всё равно посокращаются в полный ноль? Неужели ещё не догадались?
Ну, конечно же! Иксы можно подставлять любые!!! Совершенно любые. Какие хотите, такие и подставляйте. Хоть 1, хоть -23, хоть 2,7 — какие угодно! Они всё равно сократятся и в результате останется чистая правда. Попробуйте, поподставляйте и убедитесь лично.)
Вот вам и ответ:
х — любое число.
В научной записи это равенство пишется так:
Читается эта запись так: «Икс — любое действительное число.»
Или в другой форме, через промежутки:
Как вам больше нравится, так и оформляйте. Это верный и совершенно полноценный ответ!
А теперь я изменю в нашем исходном уравнении всего одно число. Вот такое уравнение теперь решим:
7х + 2 = 4х + 5 + 3х — 2
Опять переносим слагаемые, считаем и получаем:
7х — 4х — 3х = 5 — 2 — 2
0 = 1
И как вам этот прикол? Было обычное линейное уравнение, а стало непонятное равенство
0 = 1…
Говоря научным языком, мы получили неверное равенство. А по-русски неправда это. Бред сивой кобылы. Ахинея.) Ибо ноль никак не равен единице!
А теперь опять соображаем, какие же иксы при подстановке в исходное уравнение дадут нам верное равенство? Какие? А никакие! Какой икс ни подставляй, всё равно всё посокращается и останется лажа.)
Вот и ответ: решений нет.
В математической записи такой ответ оформляется вот так:
Читается: «Икс принадлежит пустому множеству.»
Такие ответы в математике тоже встречаются довольно часто: далеко не всегда у какого-либо уравнения имеются корни в принципе. Какие-то уравнения могут и вовсе не иметь корней. Совсем.
Вот такие вот два сюрприза. Надеюсь, что теперь внезапная пропажа иксов в уравнении не поставит вас навечно в тупик. Дело вполне знакомое.)
И тут слышу закономерный вопрос: а в ОГЭ или ЕГЭ они будут? На ЕГЭ сами по себе в качестве задания — нет. Слишком уж простенькие. А вот в ОГЭ или в текстовых задачках — запросто! Так что теперь — тренируемся и решаем:
Ответы (в беспорядке): -2; -1; любое число; 2; нет решений; 7/13.
Всё получилось? Отлично! У вас неплохие шансы на экзамене.
Что-то не сходится? Гм… Печалька, конечно. Значит, где-то пока есть пробелы. Либо в основах, либо в тождественных преобразованиях. Либо же дело в банальной невнимательности. Перечитайте урок ещё раз. Ибо не та это тема, без которой можно вот так легко обойтись в математике…
Удачи! Она вам обязательно улыбнётся, поверьте!)
Как решать уравнения с дробями. Показательное решение уравнений с дробями.
Решение уравнений с дробями рассмотрим на примерах. Примеры простые и показательные. С их помощью вы наиболее понятным образом сможете усвоить, как решать уравнения с дробями.
Например, требуется решить простое уравнение x/b + c = d.
Уравнения такого типа называется линейным, т.к. в знаменателе находятся только числа.
Решение выполняется путем умножения обоих частей уравнения на b, тогда уравнение принимает вид x = b*(d – c), т.е. знаменатель дроби в левой части сокращается.
Например, как решить дробное уравнение:
x/5+4=9
Умножаем обе части на 5. Получаем:
х+20=45
x=45-20=25
Другой пример, когда неизвестное находится в знаменателе:
b/x + c = d
Уравнения такого типа называются дробно-рациональными или просто дробными.
Решать дробное уравнение бы будем путем избавления от дробей, после чего это уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное, которое решается обычным способом. Следует только учесть следующие моменты:
- значение переменной, обращающее в 0 знаменатель, корнем быть не может;
- нельзя делить или умножать уравнение на выражение =0.
Здесь вступает в силу такое понятие, как область допустимых значений (ОДЗ) – это такие значения корней уравнения, при которых уравнение имеет смысл.
Таким образом решая уравнение, необходимо найти корни, после чего проверить их на соответствие ОДЗ. Те корни, которые не соответствуют нашей ОДЗ, из ответа исключаются.
Например, требуется решить дробное уравнение:
1/x + 2 = 5
Исходя из вышеуказанного правила х не может быть = 0, т.е. ОДЗ в данном случае: х – любое значение, отличное от нуля.
Избавляемся от знаменателя путем умножения всех членов уравнения на х
1 + 2x = 5х
И решаем обычное уравнение
5x – 2х = 1
3x = 1
х = 1/3
Ответ: х = 1/3
Решим уравнение посложнее:
Здесь также присутствует ОДЗ: х -2.
Решая это уравнение, мы не станем переносить все в одну сторону и приводить дроби к общему знаменателю. Мы сразу умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит сразу все знаменатели.
Для сокращения знаменателей требуется левую часть умножить на х+2, а правую — на 2. Значит, обе части уравнения надо умножать на 2(х+2):
Это самое обычное умножение дробей, которое мы уже рассмотрели выше
Запишем это же уравнение, но несколько по-другому
Левая часть сокращается на (х+2), а правая на 2. После сокращения получаем обычное линейное уравнение:
4 = х + 2
х = 4 – 2 = 2, что соответствует нашей ОДЗ
Ответ: х = 2.
Для закрепления материала рекомендуем еще посмотреть видео.
Решение уравнений с дробями не так сложно, как может показаться. В этой статье мы на примерах это показали. Если у вас возникли какие то трудности с тем, как решать уравнения с дробями, то отписывайтесь в комментариях.
Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:
Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби
$\frac{2x+3}{2x-1}=\frac{x-5}{x+3}$
Решение:
1.Перенесем дробь из правой части уравнения в левую
\[\frac{2x+3}{2x-1}-\frac{x-5}{x+3}=0\]Для того чтобы правильно это сделать, вспомним, что при перенесении элементов в другую часть уравнения меняется знак перед выражениями на противоположный. Значит, если в правой части перед дробью был знак «+», то в левой перед ней будет знак «-».Тогда в левой части получим разность дробей.
2.Теперь отметим что у дробей разные знаменатели, значит для того, чтобы составить разность необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение многочленов, стоящих в знаменателях исходных дробей: $(2x-1)(x+3)$
Для того чтобы получить тождественное выражение, числитель и знаменатель первой дроби необходимо умножить на многочлен $(x+3)$, а второй на многочлен $(2x-1)$.
\[\frac{(2x+3)(х+3)}{(2x-1)(х+3)}-\frac{(x-5)(2х-1)}{(x+3)(2х-1)}=0\]Выполним преобразование в числителе первой дроби-произведем умножение многочленов. Вспомним , что для этого необходимо умножить первое слагаемое первого многочлена умножить на каждое слагаемое второго многочлена, затем второе слагаемое первого многочлена умножить на каждое слагаемое второго многочлена и результаты сложить
\[\left(2x+3\right)\left(х+3\right)=2х\cdot х+2х\cdot 3+3\cdot х+3\cdot 3={2х}^2+6х+3х+9\]Приведем подобные слагаемые в полученном выражении
\[\left(2x+3\right)\left(х+3\right)=2х\cdot х+2х\cdot 3+3\cdot х+3\cdot 3={2х}^2+6х+3х+9=\] \[{=2х}^2+9х+9\]Выполним аналогично преобразование в числителе второй дроби-произведем умножение многочленов
$\left(x-5\right)\left(2х-1\right)=х\cdot 2х-х\cdot 1-5\cdot 2х+5\cdot 1={2х}^2-х-10х+5={2х}^2-11х+5$
Тогда уравнение примет вид:
\[\frac{{2х}^2+9х+9}{(2x-1)(х+3)}-\frac{{2х}^2-11х+5}{(x+3)(2х-1)}=0\]Теперь дроби с одинаковым знаменателем, значит можно производить вычитание.2+11х-5=20х+4$
Тогда дробь примет вид
\[\frac{{\rm 20х+4}}{(2x-1)(х+3)}=0\]3.Дробь равна $0$, если ее числитель равен 0. Поэтому мы приравниваем числитель дроби к $0$.
\[{\rm 20х+4=0}\]Решим линейное уравнение:
$20x=-4$
$X=-0,2$
4.Проведем выборку корней. Это значит, что необходимо проверить, не обращаются ли знаменатели исходных дробей в $0$ при найденных корнях.
Поставим условие, что знаменатели не равны $0$
\[2x-1\ne 0 x+3\ne 0\]х$\ne 0,5$ х$\ne -3$
Значит допустимы все значения переменных, кроме $-3$ и $0,5$.
Найденный нами корень является допустимым значением, значит его смело можно считать корнем уравнения. Если бы найденный корень был бы не допустимым значением, то такой корень был бы посторонним и ,конечно, не был бы включен в ответ.
Ответ:$-0,2.$
Системы линейных уравнений [wiki.eduVdom.com]
Линейное уравнение с двумя переменными — это уравнение вида ах + by = с, где х и у — переменные, a, b и с — некоторые числа. Решение уравнения с двумя переменными (не обязательно линейного) — это пара значений переменных, при подстановке которых в уравнение оно обращается в верное равенство.
Общий вид системы линейных уравнений с двумя переменными: $$ \left\{\begin{matrix} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{matrix}\right. $$
Решение системы уравнений с двумя переменными (не обязательно линейных) — это пара значений переменных, при подстановке которых в уравнение системы каждое из них обращается в верное равенство.
Алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки:
выразить из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;
подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
решить полученное уравнение с одной переменной;
найти соответствующее значение второй переменной и выписать решение системы.
Алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя переменными методом сложения:
умножить почленно уравнения системы, подобрав множители таким образом, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположны;
сложить почленно левые и правые части уравнений системы;
решить полученное уравнение с одной переменной;
найти соответствующее значение второй переменной и выписать решение системы.
Пример 1. Решите систему уравнений $$ \left\{\begin{matrix} \frac{x}{2} — \frac{y}{3} = 1 \\ 2x — 3y = 2 \end{matrix}\right. $$
Решение: Из второго уравнения системы: $x = \frac{2+3y}{2}$
Подставим получившееся выражение в первое уравнение вместо х: $$ \frac{2+3y}{4} — \frac{y}{3} = 1 \\ \frac{6+9y-4y}{12} = 1 \\ 5y+6 = 12 \\ 5y = 6 \\ y = \frac{5}{6} $$
Найдём x: $$ x = \frac{2+3\cdot\frac{6}{5}}{2} \\ x = \frac{14}{5} $$
Ответ: (2,8; 1,2)
Пример 2. Решите систему уравнений $$ \left\{\begin{matrix} \frac{x}{2} — \frac{y}{4} = 2 \\ 2x + 3y = 5 \end{matrix}\right. $$
Решение: Умножив первое уравнение на (-4), получим систему: $$ \left\{\begin{matrix} -2x + y = -8 \\ 2x + 3y = 5 \end{matrix}\right. $$
Отсюда: $$ 4y = -3 \\ y = -\frac{3}{4} \\ x = \frac{5-3y}{2} \\ x = \frac{5 — 3\cdot(-\frac{3}{4})}{2} \\ x = \frac{29}{8} $$
Ответ: $(\frac{29}{8};-\frac{3}{4})$
subjects/mathematics/системы_линейных_уравнений.txt · Последние изменения: 2013/02/02 18:12 — ¶
Решение линейных уравнений с дробями
Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.
Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.
Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.
Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:
Вы должны включить следующее:
Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.
Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:
Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105
Или заполните форму ниже:
Уравнения с дробями — Полный курс алгебры
24
Очистка фракций
2-й уровень
Чтобы решить уравнение с дробями, мы преобразуем его в уравнение без дробей, которое мы умеем решать.Методика называется очисткой от фракций.
Пример 1. Решите для x :
| x 3 | + | x — 2 5 | = 6. |
Решение . Очистить следующие дроби:
Умножьте обе части уравнения — каждый член — на НОК знаменателей.Тогда каждый знаменатель разделит на кратное. Тогда у нас будет уравнение без дробей.
НОК 3 и 5 равно 15. Следовательно, умножьте обе части уравнения на 15.
| 15 · | x 3 | + | 15 · | x — 2 5 | = 15 · 6 |
Слева распределите по 15 на каждый член.Теперь каждый знаменатель разделится на 15 — вот в чем суть — и мы получим следующее простое уравнение, «очищенное» от дробей:
| 5 x + 3 ( x -2) | = | 90. |
| Легко решается следующим образом: | ||
| 5 x + 3 x — 6 | = | 90 |
| 8 x | = | 90 + 6 |
| x | = | 96 8 |
| = | 12. | |
Мы говорим «умножить» обе части уравнения, но мы пользуемся тем фактом, что порядок, в котором мы умножаем или делим, не имеет значения. (Урок 1.) Таким образом, мы сначала делим НОК на каждый знаменатель и, таким образом, очищаем его от дробей.
Мы выбираем кратных каждого знаменателя, потому что каждый знаменатель будет тогда его делителем.
Пример 2. Очистите дроби и решите относительно x :
.| x 2 | – | 5 x 6 | = | 1 9 |
Решение .НОК 2, 6 и 9 равно 18. (Урок 23 по арифметике). Умножьте обе части на 18 — и отмените.
9 x — 15 x = 2.
Нет необходимости писать 18. Ученик должен просто посмотреть на и увидеть, что 2 перейдет в 18 девять (9) раз. Таким образом, этот член становится 9 x .
Затем посмотрите и увидите, что 6 переходит в 18 три раза (3).Таким образом, этот член становится 3 · −5 x = −15 x .
Наконец, посмотрите и увидите, что 9 превратится в 18 два (2) раза. Таким образом, этот член становится 2 · 1 = 2.
Вот очищенное уравнение и его решение:
| 9 x -15 x | = | 2 | |
| −6 x | = | 2 | |
| x | = | 2 −6 | |
| x | = | – | 1 3 |
Пример 3.Решить для x :
½ (5 x — 2) = 2 x + 4.
Решение . Это уравнение с дробью. Удаление дробей путем умножения обеих сторон на 2:
| 5 x -2 | = | 4 x + 8 |
| 5 x — 4 x | = | 8 + 2 |
| x | = | 10. |
В следующих задачах очистить дроби и решить для x :
Чтобы увидеть каждый ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!
| Задача 1. | х 2 | – | х 5 | = | 3 |
| LCM — это 10.Вот очищенное уравнение и его решение: | |||||
| 5 х | — | 2 х | = | 30 | |
| 3 х | = | 30 | |||
| х | = | 10. | |||
При решении любого уравнения с дробями в следующей строке вы пишете —
5 x — 2 x = 30
— должно иметь без дробей.
| Задача 2. | x 6 | = | 1 12 | + | x 8 |
| LCM — это 24.Вот очищенное уравнение и его решение: | |||||
| 4 х | = | 2 + 3 х | |||
| 4 x — 3 x | = | 2 | |||
| х | = | 2 | |||
| Проблема 3. | x — 2 5 | + | x 3 | = | х 2 |
| LCM — это 30. Вот очищенное уравнение и его решение: | |||||
| 6 (x -2) + 10 x | = | 15 х | |||
| 6 x — 12 + 10 x | = | 15 х | |||
| 16 x -15 x | = | 12 | |||
| х | = | 12. | |||
Задача 4. Дробь равна дроби.
| x — 1 4 | = | x 7 | |
| LCM — это 28. Вот очищенное уравнение и его решение: | |||
| 7 ( x — 1) | = | 4 х | |
| 7 x — 7 | = | 4 х | |
| 7 x — 4 x | = | 7 | |
| 3 х | = | 7 | |
| х | = | 7 3 | |
Мы видим, что когда одна дробь равна одной дроби, то уравнение можно очистить с помощью «перекрестного умножения».«
| Если | ||||
| a b | = | c d | , | |
| , затем | ||||
| объявление | = | г. до н.э. . | ||
| Задача 5. | x — 3 3 | = | x — 5 2 |
| Вот очищенное уравнение и его решение: | |||
| 2 ( x — 3) | = | 3 ( x — 5) | |
| 2 x — 6 | = | 3 x — 15 | |
| 2 x — 3 x | = | — 15 + 6 | |
| — x | = | −9 | |
| х | = | 9 | |
| Проблема 6. | x — 3 x — 1 | = | x + 1 x + 2 | ||
| Вот очищенное уравнение и его решение: | |||||
| ( x — 3) ( x + 2) | = | ( x — 1) ( x + 1) | |||
| x ² — x — 6 | = | x ² — 1 | |||
| — x | = | −1 + 6 | |||
| — x | = | 5 | |||
| х | = | −5. | |||
| Проблема 7. | 2 x — 3 9 | + | x + 1 2 | = | x — 4 |
| LCM — это 18. Вот очищенное уравнение и его решение: | |||||
| 4 x — 6 + 9 x + 9 | = | 18 x — 72 | |||
| 13 x + 3 | = | 18 x — 72 | |||
| 13 x -18 x | = | — 72 — 3 | |||
| −5 х | = | −75 | |||
| х | = | 15. | |||
| Задача 8. | 2 x | – | 3 8 x | = | 1 4 |
| LCM — это 8 x . Вот очищенное уравнение и его решение: | |||||
| 16 — 3 | = | 2 x | |||
| 2 x | = | 13 | |||
| х | = | 13 2 | |||
2-й уровень
Следующий урок: Задачи со словами
Содержание | Дом
Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.
Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор
Вопросы или комментарии?
Эл. Почта: [email protected]
2.5 Решение уравнений с дробями или десятичными знаками — Элементарная алгебра 2e
Задачи обучения
К концу этого раздела вы сможете:
- Решите уравнения с дробными коэффициентами
- Решите уравнения с десятичными коэффициентами
Будьте готовы 2.13
Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.
Умножить: 8 · 38,8 · 38.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 1.69.
Будьте готовы 2.14
Найдите ЖК-дисплей 5656 и 1414.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 1.82.
Будьте готовы 2.15
Умножим 4,78 на 100.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 1.98.
Решение уравнений с дробными коэффициентами
Давайте воспользуемся общей стратегией решения линейных уравнений, введенной ранее для решения уравнения: 18x + 12 = 1418x + 12 = 14.
Этот метод работал нормально, но многие студенты не чувствуют себя уверенно, когда видят все эти дроби. Итак, мы собираемся показать альтернативный метод решения уравнений с дробями. Этот альтернативный метод исключает дроби.
Мы применим свойство равенства умножения и умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении. Результатом этой операции будет новое уравнение, эквивалентное первому, но без дробей.Этот процесс называется «очисткой» уравнения дробей.
Давайте решим аналогичное уравнение, но на этот раз воспользуемся методом исключения дробей.
Пример 2.48
Как решать уравнения с дробными коэффициентами
Решите: 16y − 13 = 5616y − 13 = 56.
Попробуйте 2.95
Решить: 14x + 12 = 5814x + 12 = 58.
Попробуйте 2.96
Решить: 18x + 12 = 1418x + 12 = 14.
Обратите внимание, что в примере 2.48, как только мы очистили уравнение дробей, оно было похоже на те, которые мы решали ранее в этой главе.Мы изменили проблему на ту, которую уже знали, как решить! Затем мы использовали общую стратегию решения линейных уравнений.
How To
Стратегия решения уравнений с дробными коэффициентами.
- Шаг 1. Найдите наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении.
- Шаг 2. Умножьте обе части уравнения на этот ЖК-дисплей. Это очищает фракции.
- Шаг 3. Решите, используя общую стратегию решения линейных уравнений.
Пример 2.49
Решите: 6 = 12v + 25v − 34v6 = 12v + 25v − 34v.
Решение
Мы хотим очистить дроби, умножив обе части уравнения на ЖК-дисплей всех дробей в уравнении.
Попробуйте 2.97
Решите: 7 = 12x + 34x − 23×7 = 12x + 34x − 23x.
Попробуйте 2.98
Решите: −1 = 12u + 14u − 23u − 1 = 12u + 14u − 23u.
В следующем примере у нас снова есть переменные по обе стороны уравнения.
Пример 2,50
Решите: a + 34 = 38a − 12a + 34 = 38a − 12.
Попробуйте 2.99
Решите: x + 13 = 16x − 12x + 13 = 16x − 12.
Попробуйте 2.100
Решите: c + 34 = 12c − 14c + 34 = 12c − 14.
В следующем примере мы начнем с использования свойства распределения. Этот шаг сразу очищает дроби.
Пример 2.51
Решите: −5 = 14 (8x + 4) −5 = 14 (8x + 4).
Попробуйте 2.101
Решите: −11 = 12 (6p + 2) −11 = 12 (6p + 2).
Попробуйте 2.102
Решите: 8 = 13 (9q + 6) 8 = 13 (9q + 6).
В следующем примере, даже после распределения, у нас все еще есть дроби, которые нужно очистить.
Пример 2.52
Решите: 12 (y − 5) = 14 (y − 1) 12 (y − 5) = 14 (y − 1).
Попробуйте 2.103
Решите: 15 (n + 3) = 14 (n + 2) 15 (n + 3) = 14 (n + 2).
Попробуйте 2.104
Решите: 12 (м − 3) = 14 (м − 7) 12 (м − 3) = 14 (м − 7).
Пример 2.53
Решите: 5x − 34 = x25x − 34 = x2.
Попробуй 2.105
Решите: 4y − 73 = y64y − 73 = y6.
Попробуйте 2.106
Решите: −2z − 54 = z8−2z − 54 = z8.
Пример 2.54
Решите: a6 + 2 = a4 + 3a6 + 2 = a4 + 3.
Попробуйте 2.107
Решите: b10 + 2 = b4 + 5b10 + 2 = b4 + 5.
Попробуйте 2.108
Решите: c6 + 3 = c3 + 4c6 + 3 = c3 + 4.
Пример 2.55
Решите: 4q + 32 + 6 = 3q + 544q + 32 + 6 = 3q + 54.
Попробуйте 2.109
Решите: 3r + 56 + 1 = 4r + 333r + 56 + 1 = 4r + 33.
Попробуйте 2.110
Решить: 2s + 32 + 1 = 3s + 242s + 32 + 1 = 3s + 24.
Решение уравнений с десятичными коэффициентами
В некоторых уравнениях есть десятичные дроби. Такое уравнение возникает, когда мы решаем проблемы, связанные с деньгами или процентами. Но десятичные дроби также могут быть выражены дробями. Например, 0,3 = 3100,3 = 310 и 0,17 = 171000,17 = 17100. Итак, с уравнением с десятичными знаками мы можем использовать тот же метод, который мы использовали для очистки дробей, — умножить обе части уравнения на наименьший общий знаменатель.
Пример 2.56
Решить: 0,06x + 0,02 = 0,25x − 1,50,06x + 0,02 = 0,25x − 1,5.
Решение
Посмотрите на десятичные дроби и подумайте об эквивалентных дробях.
0,06 = 61000,02 = 21000,25 = 251001,5 = 15100,06 = 61000,02 = 21000,25 = 251001,5 = 1510Обратите внимание, ЖК-дисплей — 100.
Умножая на ЖК-дисплей, мы удалим десятичные дроби из уравнения.
Попробуйте 2.111
Решить: 0,14h + 0,12 = 0,35h − 2,40,14h + 0,12 = 0,35h − 2,4.
Попробуй 2.112
Решите: 0,65k − 0,1 = 0,4k − 0,350,65k − 0,1 = 0,4k − 0,35.
В следующем примере используется уравнение, которое типично для денежных приложений из следующей главы. Обратите внимание, что мы распределяем десятичную дробь до того, как очистим все десятичные дроби.
Пример 2.57
Решить: 0,25x + 0,05 (x + 3) = 2,850,25x + 0,05 (x + 3) = 2,85.
Попробуйте 2.113
Решите: 0,25n + 0,05 (n + 5) = 2,950,25n + 0,05 (n + 5) = 2,95.
Попробуйте 2.114
Решить: 0.10d + 0.05 (d-5) = 2,150,10d + 0,05 (d-5) = 2,15.
Раздел 2.5 Упражнения
Практика ведет к совершенству
Решение уравнений с дробными коэффициентами
В следующих упражнениях решите каждое уравнение с дробными коэффициентами.
318.14x − 12 = −3414x − 12 = −34
320.56y − 23 = −3256y − 23 = −32
321.56y − 13 = −7656y − 13 = −76
324.2 = 13x − 12x + 23×2 = 13x − 12x + 23x
325.2 = 35x − 13x + 25×2 = 35x − 13x + 25x
326.14m − 45m + 12m = −114m − 45m + 12m = −1
327.56n − 14n − 12n = −256n − 14n − 12n = −2
328.x + 12 = 23x − 12x + 12 = 23x − 12
329.x + 34 = 12x − 54x + 34 = 12x − 54
330.13w + 54 = w − 1413w + 54 = w − 14
331.32z + 13 = z − 2332z + 13 = z − 23
332.12x − 14 = 112x + 1612x − 14 = 112x + 16
333.12a − 14 = 16a + 11212a − 14 = 16a + 112
334.13b + 15 = 25b − 3513b + 15 = 25b − 35
335.13x + 25 = 15x − 25 13x + 25 = 15x − 25
336.1 = 16 (12x − 6) 1 = 16 (12x − 6)
337.1 = 15 (15x − 10) 1 = 15 (15x − 10)
338.14 (p − 7) = 13 (p + 5) 14 (p − 7) = 13 (p + 5)
339.15 (q + 3) = 12 (q − 3) 15 (q + 3) = 12 (q − 3)
346.u3−4 = u2−3u3−4 = u2−3
348.c15 + 1 = c10−1c15 + 1 = c10−1
350.3x + 42 + 1 = 5x + 1083x + 42 + 1 = 5x + 108
351.10y − 23 + 3 = 10y + 1910y − 23 + 3 = 10y + 19
352.7u − 14−1 = 4u + 857u − 14−1 = 4u + 85
353.3v − 62 + 5 = 11v − 453v − 62 + 5 = 11v − 45
Решение уравнений с десятичными коэффициентами
В следующих упражнениях решите каждое уравнение с десятичными коэффициентами.
358.0,4x + 0,6 = 0,5x − 1,20,4x + 0,6 = 0,5x − 1,2
359.0,7x + 0,4 = 0,6x + 2,40,7x + 0,4 = 0,6x + 2,4
360.0,23x + 1,47 = 0,37x − 1,050,23x + 1,47 = 0,37x − 1,05
361.0,48x + 1,56 = 0,58x − 0,640,48x + 1,56 = 0,58x − 0,64
362.0,9x − 1,25 = 0,75x + 1,750,9x − 1,25 = 0,75x + 1,75
363.1,2x − 0,91 = 0,8x + 2,2 91,2x − 0,91 = 0,8x + 2,29
364.0,05n + 0,10 (n + 8) = 2,150,05n + 0,10 (n + 8) = 2,15
365.0,05n + 0,10 (n + 7) = 3,550,05n + 0,10 (n + 7) = 3,55
366.0,10d + 0,25 (d + 5) = 4,050,10d + 0,25 (d + 5) = 4,05
367.0,10d + 0,25 (d + 7) = 5,250,10d + 0,25 (d + 7) = 5,25
368.0,05 (q − 5) + 0,25q = 3,0 50,05 (q − 5) + 0,25q = 3,05
369.0,05 (q − 8) + 0,25q = 4,100,05 (q − 8) + 0,25q = 4,10
Повседневная математика
370.Монеты У Тейлора 2 доллара в десять центов и пенни. Количество пенни на 2 больше, чем количество монет. Решите уравнение 0,10d + 0,01 (d + 2) = 20,10d + 0,01 (d + 2) = 2 для dd, количества десятицентовиков.
371.Марки Паула купила за 22 доллара.Марки стоимостью 49 центов и марки 21 цент номиналом 82. Марок номиналом 21 цент было на 8 меньше, чем марок стоимостью 49 центов. Решите уравнение 0,49 с + 0,21 (с-8) = 22,820,49 с + 0,21 (с-8) = 22,82 для с , чтобы найти количество марок за 49 центов, купленных Паулой.
Письменные упражнения
372.Объясните, как найти наименьший общий знаменатель для 3838, 1616 и 2323.
373.Если уравнение состоит из нескольких дробей, как умножение обеих частей на ЖК-дисплей упрощает решение?
374.Если в уравнении дроби только с одной стороны, зачем нужно умножать обе части уравнения на ЖК-дисплей?
375.В уравнении 0,35x + 2,1 = 3,850,35x + 2,1 = 3,85, что такое ЖК-дисплей? Откуда вы знаете?
Самопроверка
ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.
ⓑ В целом, после просмотра контрольного списка, думаете ли вы, что хорошо подготовились к следующему разделу? Почему или почему нет?
Одновременные уравнения с дробями — Math Central
Алика,
Я переписал ваш вопрос сюда:
Первое, что я сделал бы, это преобразовал любые смешанные дроби в неправильные дроби, а затем умножил одно из уравнений на некоторый коэффициент , чтобы один из членов был отрицательным по отношению к соответствующему члену в другом уравнении.В этом случае я бы умножил первое уравнение на -1/4, чтобы получить член — x /12, который является отрицательным значением члена x /12 во втором уравнении:
Теперь я могу исключить члены x , сложив соответствующие стороны уравнения вместе. Я складываю две левые и две правые стороны:
Когда я переставляю это, условия x отменяются.
Теперь я могу решить для и .Затем я могу использовать значение y , чтобы найти x , используя любое из исходных уравнений.
Надеюсь, это поможет,
Стивен Ла Рок.
Привет Алика,
Это система, которую вы хотите решить путем исключения:
Может быть сложно работать с уравнениями, в которых используются дроби, так почему бы нам не манипулировать ими, чтобы избавиться от дробей?
Из предыдущего опыта математики вы должны знать, что вы можете выполнять любую операцию с обеими сторонами уравнения, сохраняя при этом равенство.Например, я могу умножить обе части уравнения 5 = 5 на 2, чтобы получить 10 = 10.
Давайте воспользуемся этим свойством, чтобы упростить первое уравнение в вашей системе:
Чтобы исключить дроби, нам нужно умножить обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (3, 6 и 3) — в данном случае на 6.
Распределяя 6 и упрощая, получаем:
Как видите, с этим уравнением справиться намного проще, чем с исходным.
Выполните ту же процедуру для второго уравнения, только начните с преобразования смешанного числа в неправильную дробь:
Умножение на наименьшее общее кратное знаменателей, 12
Теперь система уравнений преобразована во что-то вроде этого:
2x — y = -4
х — 3y = 18
Вы сможете решить это отсюда.Просто примените метод исключения к новой системе, и вы получите свой ответ.
Примечание. Когда вы проверяете свой ответ в этом типе вопросов, используйте исходную систему, чтобы убедиться, что при исключении дробей не было допущено математических ошибок.
Эшли
Решение многоступенчатых линейных уравнений | Purplemath
Purplemath
На предыдущих двух страницах мы рассмотрели решение одношаговых линейных уравнений; то есть уравнения, которые требуют одного сложения или вычитания или требуют одного умножения или деления.Однако для решения большинства линейных уравнений требуется более одного шага. Какие шаги следует предпринять и в каком порядке?
Для многоступенчатых линейных уравнений мы будем использовать те же шаги, что и ранее; единственная разница в том, что мы не закончим после одного шага. Нам все равно придется сделать еще хотя бы один шаг. В каком порядке нужно делать эти шаги? Что ж, это будет меняться в зависимости от уравнения, но есть несколько общих рекомендаций, которые могут оказаться полезными.
MathHelp.com
Переменная находится в левой части (LHS) уравнения.Сейчас он умножается на семь, а затем к нему прибавляется два. Мне нужно отменить «семь раз» и «плюс два».
Нет правила о том, какую операцию «отменить» я должен выполнить в первую очередь. Однако, если я сначала разделю на 7, я определенно сделаю дроби. Лично я предпочитаю избегать дробей, если это возможно, поэтому я почти всегда делаю любой плюс / минус перед любым умножением / делением. В любом случае мне, возможно, придется иметь дело с дробями, но, по крайней мере, я могу отложить их до конца моей работы.
Начав с «плюс два», я вычту два из каждой части уравнения. Только тогда я разделю на семь. Моя работа выглядит так:
7x + 2 = -54
-2-2
————
7x = -56
— —
7 7
х = -8
Делая сначала плюс / минус, я избегал дробей.Как видите, в ответе не используются дроби, поэтому я сделал себе одолжение, сделав деление последним. Мое решение:
Форматирование вашего домашнего задания и демонстрация вашей работы способом, который я сделал выше, по моему опыту, достаточно универсально приемлемы. Однако (предупреждение!) Также неплохо переписать окончательный ответ в конце каждого упражнения, как показано (фиолетовым цветом) выше. Не ждите, что ваш оценщик потратит время на то, чтобы покопаться в вашей работе и попытаться понять, какой вы, вероятно, хотели ответить.Отформатируйте свою работу так, чтобы ее смысл был ясен.
В этом уравнении переменная (в левой части) умножается на минус пять, а затем из нее вычитается семерка. В надежде (как всегда!) Избежать дробей, я сначала добавлю семь к каждой стороне уравнения. Только тогда я разделю на минус пять. Моя работа выглядит так:
-5x — 7 = 108
+7 +7
————-
-5x = 115
— —
-5-5
х = -23
Я аккуратно показал свои работы.Сейчас чётко перепишу своё решение по окончании работы:
Переменная (в левой части уравнения) умножается на тройку, а затем из нее вычитается девятка. Сначала я позабочусь о девяти, а затем о трех:
3x — 9 = 33
+9 +9
————
3x = 42
— —
3 3
х = 14
В этом случае, опять же, в моем решении нет дробей:
В этом уравнении у меня есть два члена в левой части, которые содержат переменные.Итак, мой первый шаг — объединить эти «похожие термины» слева. Тогда я могу решить:
Итак, теперь мое уравнение:
Хотя поначалу это могло показаться более сложным, на самом деле это одношаговое уравнение. Я решу, разделив на двенадцать:
12x = 72
— —
12 12
х = 6
Мой ответ:
В этом уравнении у меня есть члены с переменными по обе стороны от уравнения.Чтобы решить, мне нужно получить все эти переменные члены на одной стороне уравнения.
Нет правила, определяющего, какой из двух элементов мне следует переместить: 4 x или 6 x . Однако из опыта я узнал, что, чтобы избежать отрицательных коэффициентов для моих переменных, я должен переместить член x с меньшим коэффициентом. Это означает, что в данном случае я вычту 4 x из левой части в правую:
4x — 6 = 6x
-4x -4x
————-
-6 = 2x
И теперь у меня есть одношаговое уравнение, которое я решу делением на два:
Мое решение:
В приведенном выше упражнении переменная (в моей работе) оказалась в правой части уравнения.Это нормально. Переменная не «обязательна», чтобы оказаться в левой части уравнения; мы просто привыкли видеть это там. Таким образом, результат «–3 = x » совершенно нормален и означает то же самое, что и « x = –3».
Однако (предупреждение!) Я слышал, что некоторые инструкторы настаивают на том, чтобы переменная помещалась в левую часть уравнения в окончательном ответе . (Нет, я не выдумываю.) Итак, даже если «–3 = x » совершенно верно в работе, эти инструкторы посчитают это «неправильным», если вы оставите ответ таким образом.Если у вас есть какие-либо сомнения относительно предпочтений вашего инструктора по форматированию, спросите сейчас.
Решить 8
x — 1 = 23-4 x
В этом уравнении у меня есть переменные по обе стороны от уравнения, а также свободные числа по обеим сторонам. Мне нужно получить переменные термины с одной стороны, а свободные числа — с другой.Поскольку я хотел бы избежать отрицательных коэффициентов для моих переменных, я перемещу меньшее из двух членов; а именно –4 x , которое в настоящее время находится справа. Чтобы получить нечеткие числа на стороне, противоположной переменным членам, я перемещу –1, который в настоящее время находится в левой части. Не существует определенного «правильного» порядка выполнения этих шагов; поскольку они оба являются предметом сложения, люди обычно делают их вместе за один шаг. Сначала я сделаю переменные термины, а затем свободные числа:
. 8x — 1 = 23 — 4x
+ 4x + 4x
——————
12x — 1 = 23
+1 +1
————
12x = 24
На данный момент у меня есть одношаговое уравнение, для решения которого требуется одно деление:
12x = 24
— —
12 12
х = 2
Тогда мой ответ:
Если бы в приведенном выше описании я сделал первые два шага за один раз, это выглядело бы так:
8x — 1 = 23 — 4x
+ 4x +1 +1 + 4x
——————
12x = 24
— —
12 12
х = 2
Вероятно, когда вы только начинаете, делать каждый шаг отдельно.Но как только вы освоитесь с процессом (и надежно придете к правильным значениям), не стесняйтесь начинать комбинировать некоторые шаги.
Решить 5 + 4
x — 7 = 4 x -2 — x
Это уравнение очень запутанное! Прежде чем я смогу решить, мне нужно объединить одинаковые члены по обе стороны уравнения:
5 + 4 x — 7 = 4 x -2 — x
(5-7) + 4 x = (4 x -1 x ) — 2
–2 + 4 x = 3 x — 2
Теперь, когда я упростил каждую часть уравнения, я могу решить.
-2 + 4x = 3x — 2
-3x -3x
——————
-2 + 1x = -2
+2 +2
——————
1x = 0
Я добавил (обычно неуказанный) 1 к члену переменной в правой части исходного уравнения, чтобы помочь мне отслеживать то, что я делал; это не «необходимо». И этого не ожидается в окончательном ответе, который правильно сформулирован как:
Для x вполне нормально иметь нулевое значение.Ноль — допустимое решение. Не говорите, что это уравнение «не имеет решения»; у него действительно есть решение, которое составляет x = 0.
Решить 0,2
x + 0,9 = 0,3 — 0,1 x
Это уравнение решает так же, как и все другие линейные уравнения, которые я сделал. Просто выглядит хуже из-за десятичных знаков.Но это легко исправить!
Какое бы ни было наибольшее количество десятичных знаков в любом из коэффициентов, я могу умножить с обеих сторон на «1», за которым следует это количество нулей. В этом случае у всех десятичных знаков есть один десятичный разряд, поэтому я умножу его на 10:
.10 (0,2 x + 0,9) = 10 (0,3 — 0,1 x )
10 (0,2 x ) + 10 (0,9) = 10 (0,3) — 10 (0,1 x )
2 x + 9 = 3 — 1 x
Теперь я могу решить как обычно:
2x + 9 = 3 — 1x
+ 1x + 1x
——————
3x + 9 = 3
-9-9
————
3x = -6
— —
3 3
х = -2
Тот факт, что в исходном уравнении были десятичные знаки, не означает, что я застрял с ними.Сохраните этот трюк на потом; это пригодится.
Кстати, если бы коэффициент с наибольшим количеством десятичных разрядов имел два десятичных разряда, то я бы умножил обе части уравнения на 100; для трех десятичных знаков я бы умножил на 1000; и так далее.
Решить
Крик! Дроби! Но, как и с десятичными знаками в предыдущем упражнении, мне не нужно зацикливаться на дробях.В этом случае я буду производить умножение, чтобы «очистить» знаменатели, что даст мне более удобное уравнение для решения.
Чтобы упростить вычисления для уравнений с дробями, я сначала умножу обе части на общий знаменатель различных дробей. Для этого уравнения общий знаменатель равен 12, поэтому я умножу все на 12 (или, при умножении на дробь, я умножу на
12/1):Теперь работать с этим уравнением стало гораздо удобнее.Я продолжу свое решение, вычтя меньшие 2 x с любой стороны:
3x + 12 = 2x + 6
-2x -2x
——————
1x + 12 = 6
-12-12
——————
1x = -6
Я удалю 1 из переменной, когда напишу свой окончательный ответ:
Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении многоступенчатого линейного уравнения.Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или пропустите виджет и продолжите урок.)
(Щелкнув «Нажмите, чтобы просмотреть шаги» на экране ответа виджета, вы перейдете на сайт Mathway для платного обновления.)
URL: https: //www.purplemath.com / modules / solvelin3.htm
Как решать одношаговые уравнения с дробями
Шаги для решения
Когда дело доходит до решения одношаговых уравнений, количество шагов, которые мы делаем, — это именно то число, которое следует из названия — один! Одноэтапные уравнения — это уравнения, которые включают сложение, вычитание, умножение или деление обеих сторон уравнения на одно и то же число, переменную или член для выделения и решения переменной.
Мы видим, что для решения одношаговых уравнений мы просто складываем, вычитаем, умножаем или делим одно и то же число с обеих сторон, чтобы найти неизвестную переменную. Поэтому, чтобы решить одношаговое уравнение с дробями, нам просто нужно знать, как складывать, вычитать, умножать и делить дроби, поэтому давайте быстро освежим правила этих операций с дробями.
Чтобы сложить или вычесть дроби, мы находим общий знаменатель, складываем или вычитаем числители, а затем упрощаем результат.Мы можем использовать следующее правило для сложения или вычитания дробей.
Удивительно, но умножение и деление дробей проще, чем сложение и вычитание дробей, особенно умножение дробей. Чтобы умножить дроби, мы просто умножаем числители, умножаем знаменатели, а затем упрощаем результат.
Довольно просто, не правда ли? Наконец, чтобы разделить дроби, мы просто превращаем это в задачу умножения, умножая числитель на обратную величину знаменателя, где , обратное значение дроби получается заменой числителя и знаменателя.
Хорошо, теперь, когда мы освежили в памяти выполнение арифметических операций с дробями, мы можем решить одношаговые уравнения, включающие дроби, за один шаг. То есть изолировать переменную с одной стороны уравнения, добавляя, вычитая, умножая или деля дробную часть с обеих сторон уравнения. Чтобы определить, какую операцию использовать, мы просто используем операцию, противоположную операции, которая используется в исходном уравнении.Следующая таблица иллюстрирует эту концепцию.
линейных уравнений с дробями — скачать ppt
Презентация на тему: «Линейные уравнения с дробями» — стенограмма презентации:
ins [data-ad-slot = «4502451947»] {display: none! important;}} @media (max-width: 800px) {# place_14> ins: not ([data-ad-slot = «4502451947»]) {display: none! important;}} @media (max-width: 800px) {# place_14 {width: 250px;}} @media (max-width: 500 пикселей) {# place_14 {width: 120px;}} ]]> 1 Линейные уравнения с дробями
Линейные уравнения с переменными с обеих сторон Литеральные уравнения (более одной переменной) Неравенства
2 Чтобы сократить дробь, умножьте обе части на обратную (переверните дробь)
3 Удалите символ «x» слева или справа
4 Обведите нужную переменную, выполните операцию, противоположную всем остальным переменным
5 Поменяйте знак при делении на отрицательное
Открытый круг <и> Замкнутый круг ≤ и ≥
6 Пример 1) Линейное уравнение
7 Пример 2) Линейное уравнение 3x — 7 = 2x — 4
8 Пр. 3) Решение буквального уравнения
9 Пр. 4) Неравенство -3x — 10 <2
10 -9x + 1 = -80 x = 9
11 5 — 3у = 2у у = 1
12 х = -16
13
14 -7x + 1> 15 x = -2
15 v = 15
16 4 + х <52 х <1
17 2 (4x + 3) = 30 x = 3
18 2 + 3x> -10 x> -4
19 3 (м + 1) + 2 м = 88 м = 17
20 13 ≥ 5x — 2 x ≤ 3
21 год 5х = 2х + 12 х = 4
22
23 5р — 14 = 8п + 4р = -6
24
25
26 год
27
28 год
29
30
31 год
32
33
34
35 год
36
37
38
39
40
41 год
42
43 год
44 год
45
.