Линейные уравнения с модулем: Как решать уравнения с модулем

Содержание

Уравнения и неравенства с модулем

Эта статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.

Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,
вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,
занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.

Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.

Прежде всего вспомним, что

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем. (К неравенствам перейдём позже.)

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Решим уравнение

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:

или

Второе уравнение не имеет решений.

Решения первого: x = 0 и x = 5.

Ответ: 0; 5.

Переменная как под модулем, так и вне модуля

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

1.

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

   

Решение первой системы: . У второй системы решений нет.
Ответ: 1.

2.

Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:

Число , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число . Для этого составим разность и определим её знак:

Значит, больше трёх и потому является корнем исходного уравнения

Второй случай: x < 3. Снимаем модуль:

Число . больше, чем , и потому не удовлетворяет условию x < 3. Проверим :

Значит, . является корнем исходного уравнения.

Ответ:

3.

Снимать модуль по определению? Страшно даже подумать об этом, ведь дискриминант — не полный квадрат. Давайте лучше воспользуемся следующим соображением: уравнение вида |A| = B равносильно совокупности двух систем:

   

То же самое, но немного по-другому:

Иными словами, мы решаем два уравнения, A = B и A = −B, а потом отбираем корни, удовлетворяющие условию B ≥ 0.

Приступаем. Сначала решаем первое уравнение:



Затем решаем второе уравнение:

Теперь в каждом случае проверяем знак правой части:

Стало быть, годятся лишь и .

Ответ:

Квадратные уравнения с заменой |x| = t

Решим уравнение:

Поскольку , удобно сделать замену |x| = t. Получаем:

Ответ: ±1.

Модуль равен модулю

Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

Например, рассмотрим уравнение: . Оно равносильно следующей совокупности:

Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.

Два или несколько модулей

Решим уравнение:

Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.

Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении.)

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.

Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:

Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.

Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:

Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.

Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.

Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.

Ответ: [1; 2] ∪ {5}.

Модуль в модуле

Решим уравнение:

Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.

1) x ≤ 3. Получаем:

Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому

промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.

1.1) Получаем в этом случае:

Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.

1.2) . Тогда:

Это значение x также не годится.

Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.

2) x ≥ 3. Имеем:

Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается «с плюсом»:

Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.

Ответ: 4.

Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.

Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.

Презентация — Решение уравнения с модулем

Слайды и текст этой онлайн презентации

Слайд 1

Решение уравнения с модулем
Родионова Г. М., учитель математики МБУ «Школа №82» г.о.Тольятти

Слайд 2

Определение модуля

Слайд 3

Определение модуля

Слайд 4

Определение модуля

Слайд 5

График функции

Слайд 6

Решение уравнений с модулем

Слайд 7

Решение уравнений с модулем

Слайд 8

Уравнение с модулем
Решить уравнение
Решение:
Для раскрытия двух модулей рассмотрим следующие 4 случая:
Найдем нули подмодульных выражений
I способ.

Слайд 9

или
или
или

Слайд 10

Решений нет
Решений нет
Ответ: [-1;3]

Слайд 11

Решите уравнение
II способ.
Так как обе части уравнения неотрицательные, то при возведении их в квадрат получим уравнение равносильное данному.
Из определения модуля следует. Что последнее равенство выполнимо, если
т.е. когда
Ответ: [-1;3]

Слайд 12

III способ — графический
Перепишем данное уравнение в следующем виде:
Далее изобразим графики функций
И укажем абсциссы их общих точек. Графики совпадают при
Ответ:

Слайд 13

III способ — графический
Ответ: [-1;3]

Слайд 14

IVспособ — графический
Найдем абсциссы общих точек графика функции и прямой
Для построения первого графика достаточно взять несколько точки с абсциссами х 3, после чего последовательно соединить их до получения ломаной.

Слайд 15

Ответ: [-1;3]
IVспособ — графический

Слайд 16

V способ
Числа -1 и 3 разбивают числовую прямую на Три интервала, на каждом из которых подмодульные выражения имеют определенный знак.
Найдем решение уравнения в каждом из полученных промежутков:

Слайд 17

или
или

Слайд 18

Нет решения
Ответ: [-1;3]

Слайд 19

VIспособ
На числовой прямой найдем все точки с координатой (х) , сумма расстояний от которой до точек с координатами (-1) и (3) равна 4.

Слайд 20

Литература: Алгебра 9кл: учеб. для общеобразоват. учреждений/ Мордкович А.Г .– М.: Мнемозина, 2017. Журнал «Математика в школе» №3,2010 , стр.31. Алгебра: Нестандартные задачи: экспресс- репетитор для подготовки к ГИА: 9-й кл./Г.В. Сычева, Н.В. Гусева,В.А. Гусев,-М.:АСТ:Астрель ; Владимир: ВКТ, 2010

Урок математики в 6 классе на тему «Линейные уравнения с неизвестной под знаком модуля»

Межпредметные связи
Здоровье и безопасность
Связи с ИКТ
Связи с ценностями (воспитательный элемент)

Дифференциация осуществляется через задания подобранные по принципу от простого к сложному, через актуализацию знаний, позволяющую более сильным учащимся продемонстрировать свои знания и помочь понять материал менее успешным одноклассникам. Учащиеся будут делать выводы в соответствии со своими способностями.

На уроке проводится формативное оценивание в виде самооценивания, взаимооценивания

(по критериям оценивания, разработанными учащимися) и индивидуальное оценивание учителем письменных работ.

Материал урока Информация о правилах ТБ способствует осведомленности учащихся о том, как сохранить здоровье и позаботиться о безопасности окружающих.

Раздел долгосрочного плана: 6. 3А. Линейное уравнение с одной переменной

Школа:

Дата:

ФИО учителя:

Класс: 6

Количество присутствующих:

отсутствующих:

Тема урока

Линейное уравнение, содержащие переменную под знаком модуля;

Цели обучения, которые достигаются на данном уроке

6.2.2.4 решать уравнения вида |x ± a| = b, где a и b – рациональные числа;

Цели урока

Учащиеся будут:

— решать линейные уравнения с одной переменной, содержащие знак модуля.

Критерии оценивания

Учащийся:

— решает линейные уравнения с одной переменной, содержащего знак модуля;

Языковые цели

Учащиеся будут:

– комментировать решение уравнений, используя свойства уравнений;

– формулировать определение модуля;

Предметная лексика и терминология

— тождественное преобразование;

– линейное уравнение;

– уравнение с модулем;

– коэффициенты линейного уравнения;

Полезные выражения для диалогов и письма:

– зная, что …, составим и решим уравнение;

– известно, что …, тогда составим уравнение;

– решив уравнение, найдем значение переменной, которое является ответом на вопрос задачи.

Привитие ценностей

Формирование хороших отношений, уважение, ответственность, формирование образованных и сознательных граждан, повышение коммуникативных и активных навыков 21 века;

Межпредметные связи

Связь с реальной жизнью. Применение модуля в практической жизни человека.

Предварительные знания

Положительные числа и отрицательные числа. Координатная прямая. Противоположные числа. Рациональные числа. Определение модуля числа. Геометрический смысл модуля числа. Линейное уравнение. Решение уравнений вида , где a и b – рациональные числа.

Ход урока

Запланированные этапы урока

Запланированная деятельность на уроке

Ресурсы

Организация урока

0 -2 мин

Приветствие. Отметка отсутствующих. Проверка готовности учащихся к урок. Выборочная проверка домашнего задания. Совместно с учащимися определите цели урока, критерии оценивании, обсудите ход урока.

Начало урока

3 -8 мин

Для актуализации знании учащихся по теме «Линейное уравнение, содержащие переменную под знаком модуля» предложите учащимся задания для письменного формативного оценивания. Тестовая работа на проверку усвоения цели обучения. На данном этапе у учащихся развивается академическая честность Учащиеся выполняют тестовую работу и обмениваются друг с другом для проверки. Ценность: умение работать в сотрудничестве.

Приложение 1

Середина урока

9 -25 мин

Для закрепления темы предложите учащимся Игру «Аукцион»

На торги выносятся задания по теме «Линейное уравнение, содержащие переменную под знаком модуля».

Объедините учащихся в однородные группы по 2 — 3 ученика, согласно выбранному уровню. Задание у всех групп одинаковое, но совместная работа с одноклассниками одного уровня позволит раскрыться каждому ученику.

Предложите ученикам выбрать уровень сложности задания по закреплению теоретического материала на более высоком уровне. Им предлагаются задания. Группы покупают задания и если они выполнили его верно, то им начисляются потраченные баллы, а если – неверно, то снимаются.

Приложение 2

Середина урока

26-37 мин

Самостоятельная работа на проверку усвоения цели обучения. На данном этапе у учащихся развивается такая ценность академическая честность

После выполнения заданий, учащиеся проводят взаимопроверку правильности выполнения заданий по образцу, выданному учителем.

Приложение 3

Конец урока.

38-40 мин

Учитель возвращает учащихся к целям обучения, критериям оценивания.

  • Какова цель урока?

  • Достигли ли мы цели? (Учащимся предлагается заполнить лист рефлексии.

  • С какими трудностями вы столкнулись?

Учащиеся отвечают на вопросы рефлексии:

  • Что сегодня я узнал?

  • Мне было тяжело или нет?

  • Я понял материал или были затруднения?

  • Я научился чему-то новому?

  • Я смог добиться результата?

Домашняя работа:

875. Выберите равносильные уравнения::

  1. │у+2│=7 и (у-5)( у+9) =0;

  2. │2у+5│=3 и (у+1)(у+4) =0;

  3. │5х-11│=4 и (х-8)(х-3) =0;

4)│8-х│=2 и (х-6)(х-10) =0;

Алдамұратова Т.А.

Математика.

6 класс

Алматы: Атамұра,2011

Презентация урока «Решение простейших линейных уравнений с модулем, параметром»

Презентация может быть использована на уроке при изучении линейных уравнений разных типов.

Просмотр содержимого документа
«Презентация урока «Решение простейших линейных уравнений с модулем, параметром»»

Линейное уравнение с одной переменной ах = в

МБОУ «Гимназия №1», г .

Новосибирск,

Учитель математики, Ващенко Л.В.

Простейшие линейные уравнения ах=в

3х – 11 = 5х + 7 2(х +1)= 2х + 2 — 8у + 11 = 8(3 –у)

ах = в , а и в – числа, х – переменная 1) а ≠ 0, х = в: а 2) а = 0, в = 0, 0· х = 0, х — любое 3) а = 0, в ≠ 0, 0· х = в, Ø (корней нет)

а) 3х = 12, а = , в = , х =

б) — 3х = 18, а = , в = , х =

в) х = -14, а = , в = , х =

г) 0· х = 10, а = , в = , х =

д) 0· х = 0, а = , в = , х =

г) — 18х = — 2, а = , в = , х =

0 х = а или х = — а ׀ х — 6 ׀ = 3 ׀ х — 6 ׀ = 0 ׀ х — 6 ׀ =- 3″

Решение уравнений с модулем ׀ х ׀ = а

׀ 5 ׀ = ׀ — 5 ׀ = ׀ 9 ׀ = ׀ — 9 ׀ =

׀ х

׀ = а, а 0

х = а или х = — а

׀ х — 6 ׀ = 3

׀ х — 6 ׀ = 0

׀ х — 6 ׀ =- 3

׀ 2 + х ׀ = 4

׀ 2 + х ׀ = 0

׀ 2 + х ׀ = — 7

Решение уравнений с параметрами

6 +3х =2х + 1

в + ах =2х + 1

а, в – параметры

ах = 0

ах = а

Таблицу заполняем построчно

х +2 = ах

ах +4 = 3х+ 1

1 вариант 2 варант ׀ х -4 ׀ = 5 ׀ х — 2 ׀ = 8 5 + ах = 4х +2 4 + ах = 8х- 2

Домашняя работа

׀ 3 х -4 ׀ = 5 ׀ х — 2 ׀ = 16 15 + ах = 4х +2 8 + ах = 8х- 2

Презентация «Решение линейных уравнений с параметром и модулем»

Занятие «Решение линейных уравнений с параметром, содержащих модуль».

Цель: сформировать умение решать линейные уравнения с параметром, содержащие модуль; развивать логическое мышление и навыки самостоятельной работы.

Оборудование: презентация.

Ход урока.

1.Для актуализации знаний учащихся необходимо повторить понятие модуля и решить несколько уравнений с модулем: |х|=3; |х|= — 5; |х|=0.

Затем предложить учащимся ответить на вопрос: Сколько корней может иметь уравнение с модулем и от чего это зависит?

Вывод содержится на 2 слайде. Его записывают в тетради.

Разбор решения уравнения |х – 2 |= 3

    Фронтальная работа с классом: решение уравнения 1. |х + 4 |= 0.

    Самостоятельное решение уравнений:

    2. |х – 3 |= 5; 3. |4 – х |= 7; 4. |5 – х |= — 9. Проверка.

    Разбор решения задание 1:

      Определите число корней уравнения

      ||х| +5 – а |= 2. (слайд 3)

      Комментарии учителя: это уравнение с параметром, т.е. с переменной а. В зависимости от значения этой переменной будет изменяться вид уравнения. А значит, и число корней уравнения зависит от а.

      Предложить учащимся ответить на вопрос задания «Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение ||х| +5 – а |= 2 имеет ровно 3 корня. (Если значений а более одного, то в бланке ответов запишите их сумму). Ответ: 7. (слайд 4)

      Решить у доски задание 2: Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение ||х| – 3 + а |= 4 имеет ровно 3 корня. Ответ: — 1.

      Самостоятельная работа. Задание 3.Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение ||х| –4+ а |= 3 имеет ровно 1 корень. Ответ: 7.

        Задание 4. При каких значениях а уравнение

        |а – 5 – |х||= 3 имеет нечетное число корней (если значений а более одного, то в бланке ответов запишите их сумму). Ответ: 10.

        Предложить учащимся разобрать способ решения задания, используя свойство четности функции и графический способ.

          7. Итог урока. Над чем вы сегодня работали на уроке? Было ли для вас что-то нового и познавательного? Над чем бы вы хотели поработать на следующем уроке?

          Консультации для учителей математики 8 класса по учебнику Л. Г. Петерсон, Н. Х. Агаханова, А. Ю. Петровича, О. К. Подлипского, М. В. Рогатовой, Б. В. Трушина.

          1. Дидактической основой непрерывного курса математики «Учусь учиться» является дидактическая система деятельностного метода обучения «Школа 2000…». Ее главной особенностью является то, что знания не даются учащимся в готовом виде, а организуется их

          самостоятельное открытие детьми. Такой подход обеспечивает высокий уровень математической подготовки, развивает мышление учащихся, их способности, повышает интерес к изучению математики, обеспечивают личностные и метапредметные результаты образования, соответствующие ФГОС.

          2. В соответствии с планированием учебного материала по курсу математики «Учусь учиться» для 8 класса в октябре учащиеся продолжают изучать содержание второй главы «Системы линейных уравнений и неравенств».

          3. Тематическое планирование

          В соответствии с принципом минимакса дидактической системы деятельностного метода «Школа 2000…» организовать работу по данному учебнику возможно в условиях различных учебных планов образовательных учреждений.

          Программа 8 – 9 класса строится так, что она может быть использована для изучения школьного курса алгебры на основном и предпрофильном (углубленном) уровнях. Заметим, что предложенное учебное содержание обеспечивает возможность работы по курсу алгебры «Учусь учиться» для 8–9 классов учащихся разного уровня подготовки. Благодаря увлекающей форме подачи материала и нарастающей сложности задач, предлагаемых как для разбора в классе, так и для самостоятельной проработки дома, каждый учитель или сам ученик может выбрать тот уровень, который необходим и достаточен для достижения поставленных индивидуальных целей. Это может быть как довольно поверхностное понимание изучаемых вопросов математики, которое обеспечит лишь успешную сдачу государственной итоговой аттестации, так и более глубокая проработка, позволяющая заложить прочный фундамент для более глубокого понимания сложных разделов не только основной, но и старшей школы.

          Тематическое планирование по изучению курса 8 класса разработано в двух вариантах на 102 ч и на 170 ч. Вы можете скачать тематическое планирование на 3 ч в неделю и на 5 ч в неделю, обратившись к содержанию консультации на сентябрь.

          Отметим, что на сегодняшний момент этот учебник может стать дополнительным в работе учителя.

          4. Методические рекомендации к организации учебного процесса

          Глава 2. Системы линейных уравнений и неравенств

          Во второй главе рассматриваются системы линейных уравнений с двумя неизвестными, а также системы и совокупности линейных неравенств, как с одной, так и двумя неизвестными. В рамках углубленного изучения материала рассматриваемые темы дополняются изучением вопроса о количестве решений системы линейных уравнений, знакомством с системами линейных уравнений с тремя и более неизвестными, а также со способами решения систем неравенств с модулем. При этом способ решения систем уравнений с модулем рекомендуется разобрать и в общеобразовательных классах. При изучении данной главы понятийная база учащихся пополняется следующими понятиями: линейное уравнение с двумя неизвестными; система линейных уравнений с двумя (и более) неизвестными; система линейных неравенств, понятие совокупности вводится на примере совокупности линейных неравенств. Изучение каждого нового понятия начинается с рассмотрения практической задачи, математической моделью которой является вводимое соотношение, что мотивирует учащихся к рассмотрению вопроса об общем способе решения полученной модели.

          Изложение начинается с введения понятия «линейное уравнение с двумя неизвестными». У учащихся есть опыт составления и работы с подобными соотношениями на множестве натуральных и целых чисел. В 5 и 6 классе они находили значения неизвестных методом перебора, в 7 классе учащиеся знакомились со способом решения линейных диофантовых уравнений в целых числах. Теперь учащиеся уточняют свои представления о линейных уравнениях с двумя неизвестными и знакомятся с общим способом их решения. При изучении вопроса решения линейного уравнения с двумя неизвестными помимо традиционно рассматриваемого случая не равных нулю коэффициентов рассматриваются и случаи, когда один из коэффициентов либо оба коэффициента равны нулю. Умение выражать одно неизвестное через другое, построение графика линейного уравнения будет в дальнейшем применяться восьмиклассниками при решении систем линейных уравнений (метод подстановки, графический метод), поэтому поиску общего решения линейного уравнения следует уделить достаточно времени.

          В первом параграфе данной главы учащиеся знакомятся с традиционными методами решения систем линейных уравнений с двумя неизвестными: графическим и аналитическим (рассматриваются способ подстановки и способ алгебраического сложения). Здесь рассматривается способ решения систем с модулем. При их решении учащиеся «раскрывают» модуль, используя знакомое им определение модуля. При решении таких систем особое внимание следует уделить шагу проверки найденных решений на соответствие рассматриваемому при раскрытии модуля случаю.

          Во втором параграфе данной главы учащиеся изучают не только системы неравенств, но и их совокупности. Эта работа поможет учащимся в дальнейшем работать и с другими совокупностями, например совокупностью линейных уравнений, на которые может распадаться уравнение второй и выше степени.

          Помимо традиционного изучения неравенств с одним неизвестным учащиеся получают возможность научиться решать неравенства с двумя неизвестными и их системы. Восьмиклассники знают, что графиком линейного уравнения с двумя неизвестными ах + + с = 0 является прямая и на интуитивном уровне им понятно, что графиком неравенства с двумя неизвестными ах + + с > 0 (ах + + с < 0, ах + + с > 0, ах + + с < 0) будет являться полуплоскость, ограниченная прямой. Эти представления при изучении пункта «Линейные неравенства с двумя неизвестными и их системы. Графическое изображение множества их решений» уточняются и вводится соответствующий алгоритм графического решения линейного неравенства с двумя неизвестными. Эти знания применяются при решении систем линейных неравенств с двумя неизвестными.

          Восьмиклассники осваивают методы решения простейших систем неравенств с модулями. При решении систем неравенств с одним неизвестным появляется возможность повторить способ решения неравенств с модулем, так как алгоритм решения их системы предполагает двукратное применение известного с 7 класса алгоритма решения неравенства с модулем. При этом более подготовленных учащихся можно познакомить с графическим способом решения подобных систем. При решении систем неравенств с двумя неизвестными учащиеся раскрывают модуль, используя его определение, и отрабатывают умение строить график неравенства с двумя неизвестными.

          5. Основные содержательные цели. Организация самостоятельной деятельности учащихся по открытию новых знаний.

          § 1. Системы линейных уравнений

          П.2.1.1. Линейное уравнение с двумя неизвестными и его график

          Основные содержательные цели:

          1) Сформировать понятие линейного уравнения с двумя неизвестными и о его графика.

          2) Сформировать представление об общем решении линейного уравнения с двумя неизвестными и умение находить его аналитически и графически.

          3) Повторить и закрепить: способы нахождения НОД двух чисел, условия взаимного расположения графиков линейной функции.

          Для организации самостоятельного открытия учащимися понятия общего решения линейного уравнения с двумя неизвестными рекомендуется использовать систему заданий № 128 – №130.

          П.2.1.2. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Графическое решение системы

          Основные содержательные цели:

          1) Сформировать понятие системы линейных уравнений с двумя неизвестными.

          2) Сформировать умение находить решение системы линейных уравнений с двумя неизвестными графическим способом.

          3) Сформировать представление об использовании теоремы о целочисленных точках графика уравнения для решения систем.

          4) Повторить и закрепить: свойство степени с отрицательным основанием; способ умножения многочлена на многочлен и нахождения значения многочлена при заданном значении переменной; условия взаимного расположения графиков линейной функции.

          Обратим внимание, что в предложенном в учебнике алгоритме решения линейных уравнений с двумя неизвестными графическим способом предлагается делать проверку найденного решения. Это приучает восьмиклассников к мысли, что применяемый ими способ решения не всегда приводит к нахождению точного решения и мотивирует к дальнейшему поиску способов решения систем линейных уравнений.

          Для самостоятельного открытия учащимися графического способа решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными рекомендуется использовать следующую систему заданий № 148 – 150:

          • В № 148 актуализируется способ графического решения линейного уравнения с двумя неизвестными, построения графиков на одной координатной плоскости подготавливает открытие нового способа;
          • для введения понятия системы линейных уравнений рекомендуется построить математическую модель задачи 1 из теоретической части пункта;
          • в № 149 закрепляется понятие решения системы линейных уравнений;
          • В № 150 проблематизируется способ решения систем линейных уравнений, выстаивается система вопросов для построения алгоритма решения систем линейных уравнений с двумя неизвестными графическим способом.

          П.2.1.3*. Количество решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

          Основные содержательные цели:

          1) Сформировать умение находить количество решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными с ненулевыми коэффициентами при неизвестных.

          2) Сформировать представление о способе нахождения количества решений системы, содержащей нулевые коэффициенты при неизвестных.

          3) Повторить и закрепить: способ перевода периодической десятичной дроби в обыкновенную; способ нахождения НОК чисел, преобразование выражений, содержащих степени с использованием свойств степеней с одинаковыми основаниями;.

          Для самостоятельного открытия способа находить количество решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными рекомендуется использовать систему заданий № 165 – 167.

          П.2.1.4. Алгебраические методы решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными: способ подстановки и способ сложения

          Основные содержательные цели:

          1) Сформировать умение решать системы линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки и способом алгебраического сложения.

          2) Повторить и закрепить: деление чисел с остатком; понятие простого числа; нахождение НОД чисел по их каноническому разложению на простые множители.

          Для самостоятельного открытия алгоритма решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки рекомендуется использовать № 180. Задание №179, в котором учащиеся должны подставить значение d = 3111 в данное выражение, готовит учащихся к открытию этого способа.

          Для самостоятельного открытия алгоритма решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными способом алгебраического сложения рекомендуется использовать № 182.

          П. 2.1.5. Математические модели задач и системы линейных уравнений с двумя неизвестными.

          Основные содержательные цели:

          1) Сформировать умение решать текстовые задачи с помощью систем линейных уравнений с двумя неизвестными.

          2) Повторить известный алгоритм решения текстовых задач методом моделирования; повторить понятие составного числа; повторить понятие модуля и закрепить умение применять его для вычислений и решения уравнений; повторить алгоритм решения уравнений с модулями путем выделения промежутков.

          В этом пункте учащиеся применяют известные им шаги алгоритма решения текстовых задач методом моделирования для решения задач, сводящихся к решению системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Они уже знают, что при необходимости две неизвестные величины обозначаются двумя переменными. Они уточняют для себя, что в этом случае на этапе построения математической модели ими может быть получена система линейных уравнений с двумя неизвестными, решать которую они уже научились. Для того, чтобы учащиеся самостоятельно сделали вывод, о том, что известный им алгоритм не меняется, рекомендуется использовать № 198.

          П. 2.1.6. Системы двух линейных уравнений с модулями

          Основные содержательные цели:

          1) Сформировать умение решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными с модулем.

          2) Повторить понятие кратного и закрепить умение находить НОК чисел, повторить и закрепить способ решения линейного неравенства с одним неизвестным, повторить понятие пересечения и объединения множеств.

          Для самостоятельного открытия алгоритма решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными с модулем рекомендуется использовать № 219 – 220. При решении уравнения, предложенного в №219, учащиеся актуализируют способ «раскрытия» модуля, который ляжет в основу составления нового алгоритма (№ 220).

          П.2.1.7.* Системы линейных уравнений с тремя и более неизвестными

          Основные содержательные цели:

          1) Сформировать умение решать системы с тремя неизвестными.

          2) Сформировать представление о решении систем из k линейных уравнений с n неизвестными.

          3) Закрепить умение применять свойства степени для упрощения числовых выражений; закрепить умение проводить равносильные преобразования целых алгебраических выражений.

          Для самостоятельного открытия алгоритма решения системы с тремя неизвестными рекомендуется использовать № 235. Предложенная система позволяет выявить возможность использования способа подстановки и способа алгебраического сложения для сведения системы с тремя неизвестными к уже известному случаю – системе из двух уравнений с двумя неизвестными.

          При решении системы учащиеся могут комбинировать известные им способы:

          Сначала сложить первые два уравнения. Получится 3x + 3y = 9, то есть y = 3 — x.

          Затем сложить первое и третье уравнения. Получится 3x + 3z = 9, то есть z = 3 — x. Подставить выражения для y и z в первое уравнение. Получится x + 2 (3 — x)  + 2(3 — x) = 9, откуда -3x = -3  или x= 1. Значит, y= 2, z= 2.

          Ответ к системе будет иметь вид: (1; 2; 2).

          После выполнения этого задания рекомендуется разобрать по тексту учебника решение примеров 1 и 2, в которых система не имеет решения и имеет бесконечно много решений. После чего следует обобщить случаи решения системы трех уравнений с тремя неизвестными для систем из n линейных уравнений сn неизвестными.

          В более подготовленных классах рекомендуется разобрать вопрос решения систем из k линейных уравнений с n неизвестными при k < n.

          Мы предлагаем скачать примеры решения заданий первого параграфа данной главы.

          § 2. Системы и совокупности линейных неравенств

          П 2.2.1. Системы и совокупности линейных неравенств с одним неизвестным

          Основные содержательные цели:

          1) Сформировать понятие системы и совокупности линейных неравенств с одним неизвестным.

          2) Сформировать умение решать системы и совокупности линейных неравенств с одним неизвестным.

          3) Повторить понятие углового коэффициента линейной функции и значение его знака для расположения графика; закрепить умение находить НОД и НОК трех чисел и преобразовывать алгебраические выражения.

          Задания № 249 – 250 готовят учащихся к введению понятия системы и совокупности неравенств. Для самостоятельного открытия этих понятий рекомендуется использовать № 251. Для самостоятельного открытия алгоритма решения системы неравенств рекомендуется использовать № 252. Для самостоятельного открытия алгоритма решения совокупности неравенств рекомендуется использовать № 254. Учитель определяет, какое из этих новых знаний учащие будут открывать в ходе самостоятельной учебной деятельности. Например, урок можно организовать следующим образом: на этапе актуализации после выполнения учащимися № 250 учитель вводит понятие системы и совокупности систем, в подводящем диалоге знакомит учащихся с алгоритмом решения систем линейных неравенств, после чего учащиеся закрепляют умение решать простейшие системы (№ 253). Тогда проблематизация разворачивается вокруг способа решения совокупности неравенств (№ 254) – учащиеся с опорой на понятие совокупности неравенств и по аналогии с уже известным им алгоритмом решения систем неравенств самостоятельно строят алгоритм решения совокупности линейных неравенств с одним неизвестным.

          П. 2.2.2. * Системы линейных неравенств с одним неизвестным с модулями

          Основные содержательные цели:

          1) Сформировать умение решать системы линейных неравенств с одним неизвестным с модулями аналитическими и графическим способами.

          2) Повторить и закрепить способ решения текстовых задач на дроби; понятие рационального числа, закрепить умение переводить периодическую дробь в обыкновенную.

          Следует учесть, что данный пункт изучается с опорой на алгоритм решения неравенств с модулем, изученный в 7 классе. Если по тем или иным причинам этот материал не изучался в 7 классе, то необходимо восполнить этот пробел перед изучением данного пункта, вернувшись к п. 6.2.2 седьмого класса. Для самостоятельного открытия способов решения системы неравенств с модулями рекомендуется использовать № 278. Перед этим необходимо выполнить задание № 278, которое актуализирует способ решения неравенства с модулями. При решении неравенств учащиеся пользуются новыми понятиями системы и совокупности неравенств.

          П. 2.2.3. Линейные неравенства с двумя неизвестными и их системы. Графическое изображение множества их решений

          Основные содержательные цели:

          1) Сформировать понятие линейного неравенства с двумя неизвестными.

          2) Сформировать представление о системах неравенств с двумя неизвестными*.

          3) Сформировать умение находить графическое решение линейных неравенств с двумя неизвестными.

          4) Сформировать умение решать системы линейных неравенств с двумя неизвестными*.

          5) Повторить понятие круговой диаграммы, свойства делимости; закрепить умение решать текстовые задачи арифметическим способом.

          Для введения понятия линейного неравенства с двумя неизвестнымии понятия его решения рекомендуется разобрать решение Задачи 1 по тексту учебника.Для первичного закрепления этого понятия можно использовать № 295. Для самостоятельного открытия алгоритма графического решения линейного неравенства с двумя неизвестными рекомендуется использовать № 296 – 297.

          В более подготовленных классах рекомендуется познакомить учащихся с понятием системы линейных неравенств с двумя неизвестными и способом их решения. Можно развернуть проблематизацию вокруг этого вопроса, используя № 299.

          П.2.2.4.* Системы линейных неравенств c двумя неизвестными с модулями

          Основные содержательные цели:

          1) Сформировать умение изображать решение системы линейных неравенств c двумя неизвестными с модулями.

          2) Повторить понятие линейного неравенства и закрепить умение применять его; закрепить умение решать текстовые задачи арифметическим способом; закрепить умение переводить обыкновенную дробь в периодическую десятичную дробь.

          3) В рамках опережающего обучения сформировать умение упрощать простейшие дробные выражения.

          Для самостоятельного открытия алгоритма решения систем линейных неравенств c двумя неизвестными с модулями рекомендуется использовать № 315. Перед этим рекомендуется выполнить № 314, который готовит учащихся к открытию. Рассмотрим решение этих заданий.

          Мы предлагаем скачать примеры решения заданий второго параграфа данной главы.

          6. Методические рекомендации по планированию уроков

          При изучении второй главы (как и всех остальных глав учебника) планированием предусмотрены уроки открытия нового знания (ОНЗ), структура которых обеспечивает выполнение учащимися целого комплекса универсальных учебных действий. Рассмотрим способ организации урока ОНЗ на примере содержания пункта 2.1.1. «Линейное уравнение с двумя неизвестными и его график».

          В этом пункте учащиеся знакомятся с понятием линейного уравнения с двумя неизвестными, его решения, его общего решения, а также учатся строить его график.

          Урок открытия новых знаний выстраивается в соответствие с требованиями технологии деятельностного метода Л.Г. Петерсон. На этапе мотивации учитель может предложить учащимся обсудить эпиграф к первому пункту и высказать свои мысли по поводу высказывания российского математика Вентцель Елены Сергеевны.

          Для самостоятельного открытия рекомендуется использовать систему заданий № 128 – 130.

          Рассмотрим примерструктуры открытия нового знания:

          1. Новое знание: общее решение линейного уравнения с двумя неизвестными.

          2. Актуализация.

          Повторить: способ выражения из данного равенства одной переменной через другие (№128).

          Уточнить: понятие линейного уравнения с двумя неизвестными (№ 129) и известные способы его решения.

          3. Задание на пробное действие:

          Решите линейное уравнение с двумя неизвестными, полученное при решении задачи № 129, на множестве рациональных чисел.

          Можно использовать в качестве задания на пробное действие №130 (1).

          4. Фиксация затруднения:

          Я не могу решить линейное уравнение с двумя неизвестными.

          Я не могу обосновать свой способ решения линейного уравнения с двумя неизвестными.

          5. Фиксация причины затруднения:

          Не известен общий способ решения линейного уравнения с двумя неизвестными.

          6. Цель учебной деятельности:

          Найти способ решения линейного уравнения с двумя неизвестными.

          7. Фиксация нового знания:

          Учащимися должен быть получен первый шаг алгоритма решения линейного уравнения с двумя неизвестными.

          Открыть новое знание учащиеся могут с использованием текста задания № 130 (2 – 3). После чего в форме подводящего диалога с учащимися рассматриваются случаи решения линейного уравнения с двумя неизвестными с равным нулю коэффициентом (коэффициентами). Далее они систематизируются с помощью алгоритма решения линейного уравнения с двумя неизвестными, вариант которого представлен в учебнике.

          На этапе первичного закрепления рекомендуется выполнить несколько заданий из №131 – №134, для самостоятельной работы учащимся можно предложить № 133 (в), 134 (в). На этапе включения в систему знаний учащиеся знакомятся с понятием графика линейного уравнения. В более подготовленном классе на этом этапе можно выполнить № 138, при нехватке времени можно построить уравнения ко всем задачам, а решить только одну из них. Для повторения можно выполнить одну или несколько задач из раздела повторения, например, № 140 – 141, который готовит учащихся к изучению вопроса о количестве решений системы линейных уравнений. На этапе рефлексии можно вернуться к эпиграфу и предложить учащимся прокомментировать его с точки зрения знаний, полученных ими на уроке. После чего учащимся предлагается оценить процесс и результат своей работы на уроке. В качестве обязательной части домашнего задания учителем выбираются задания из раздела, отмеченного буквой «Д». С учетом возрастных особенностей учащихся рекомендуется привлекать к отбору домашнего задания самих учащихся. Задания раздела, отмеченного буквой «С» выполняются на уроке в более подготовленных классах или задаются на дом в качестве необязательной части домашнего задания (эти задания выполняются только по желанию учащихся, при их проверке оценивается только успех).

          Кроме урока открытия нового знания, основные структурные элементы которого рассмотрены выше, планированием предусмотрены и другие типы уроков: уроки рефлексии тренировочного и коррекционного типа, где учащиеся вырабатывают и закрепляют свое умение применять новые понятия и способы действий, учатся самостоятельно выявлять и исправлять свои ошибки, корректировать свою учебную деятельность. На рефлексивно-тренировочном уроке на первый план выходит отработка предметных умений, однако в соответствие со структурой этого урока отрабатывается и умение выполнять коррекцию результатов свей работы. На рефлексивно-коррекционном уроке на первый план выходит отработка метапредметных умений (способность к фиксации места и причины ошибки, строить план выхода из затруднения на основе рефлексивного самоанализа), однако все эти умения формируются за счет предметного содержания.

          В конце изучения каждого параграфа учащимся предлагается экспресс-тест, который можно использовать для урока рефлексии или в качестве домашней работы. Во второй главе их два.

          Планированием также предусмотрены и уроки обучающего контроля, на них выделяется два урока. На первом из них учащиеся пишут контрольную работу и выполняют самопроверку по образцу и проводят самооценку, а на втором (после проверки работы учителем) – учащиеся исправляют ошибки и выполняют работу над ошибками в соответствие со структурой урока обучающего контроля. Перед проведением контрольной работы рекомендуется провести урок рефлексии с использованием содержания соответствующего раздела «Задачи для самоконтроля».

          Уважаемые коллеги! Предлагаем вам скачать решение некоторых задач на смекалку, которые входят в данные параграфы. 

          Линейное уравнение с двумя модулями worksheet

          Advanced search

          Content:

          Language: AfarAbkhazAvestanAfrikaansAkanAmharicAragoneseArabicAssameseAsturianuAvaricAymaraAzerbaijaniBashkirBelarusianBulgarianBihariBislamaBambaraBengali, BanglaTibetan Standard, Tibetan, CentralBretonBosnianCatalanChechenChamorroCorsicanCreeCzechOld Church Slavonic, Church Slavonic,Old BulgarianChuvashWelshDanishGermanDivehi, Dhivehi, MaldivianDzongkhaEweGreek (modern)EnglishEsperantoSpanishEstonianBasquePersian (Farsi)Fula, Fulah, Pulaar, PularFinnishFijianFaroeseFrenchWestern FrisianIrishScottish Gaelic, GaelicGalicianGuaraníGujaratiManxHausaHebrew (modern)HindiHiri MotuCroatianHaitian, Haitian CreoleHungarianArmenianHereroInterlinguaIndonesianInterlingueIgboNuosuInupiaqIdoIcelandicItalianInuktitutJapaneseJavaneseGeorgianKongoKikuyu, GikuyuKwanyama, KuanyamaKazakhKalaallisut, GreenlandicKhmerKannadaKoreanKanuriKashmiriKurdishKomiCornishKyrgyzLatinLuxembourgish, LetzeburgeschGandaLimburgish, Limburgan, LimburgerLingalaLaoLithuanianLuba-KatangaLatvianMalagasyMarshalleseMāoriMacedonianMalayalamMongolianMarathi (Marāṭhī)MalayMalteseBurmeseNauruanNorwegian BokmålNorthern NdebeleNepaliNdongaDutchNorwegian NynorskNorwegianSouthern NdebeleNavajo, NavahoChichewa, Chewa, NyanjaOccitanOjibwe, OjibwaOromoOriyaOssetian, OsseticEastern Punjabi, Eastern PanjabiPāliPolishPashto, PushtoPortugueseQuechuaRomanshKirundiRomanianRussianKinyarwandaSanskrit (Saṁskṛta)SardinianSindhiNorthern SamiSangoSinhalese, SinhalaSlovakSloveneSamoanShonaSomaliAlbanianSerbianSwatiSouthern SothoSundaneseSwedishSwahiliTamilTeluguTajikThaiTigrinyaTurkmenTagalogTswanaTonga (Tonga Islands)TurkishTsongaTatarTwiTahitianUyghurUkrainianUrduUzbekValencianVendaVietnameseVolapükWalloonWolofXhosaYiddishYorubaZhuang, ChuangChineseZulu    Subject:   

          Grade/level:    Age: 3456789101112131415161718+

          Search: All worksheetsOnly my followed usersOnly my favourite worksheetsOnly my own worksheets

          Решение уравнений абсолютных значений — ChiliMath

          Решение уравнений абсолютных значений так же просто, как работа с обычными линейными уравнениями. Единственный дополнительный ключевой шаг, который вам нужно запомнить, — это разделить исходное уравнение абсолютного значения на две части: положительную и отрицательную ( ± ) компоненты.

          Ниже представлен общий подход к тому, как разбить их на два уравнения:


          Кроме того, нам также необходимо иметь в виду следующие ключевые моменты, касающиеся вышеуказанной настройки:

          Ключевые моменты, которые следует помнить при решении уравнений абсолютных значений

          Ключевой момент №1: Знак \ left | х \ право | должен быть положительным.Для акцента \ left | х \ право | \ к + \ влево | х \ право |.

          Ключевой момент №2: x внутри символа абсолютного значения, \ left | {\, ​​\, \, \, \,} \ right | могут быть любыми выражениями.

          Ключевой момент № 3: Чтобы получить решение, в правой части уравнения должно быть либо положительное число , либо ноль .

          Ключевой момент №4: Если a справа — это отрицательное число , то у него нет решения.


          Примеры решения уравнений абсолютных значений

          Пример 1: Решите уравнение абсолютного значения \ left | х \ право | = \, — 5.

          Абсолютное значение любого числа либо положительно, либо равно нулю. Но это уравнение предполагает, что существует число, абсолютное значение которого отрицательно. Можете ли вы придумать какие-нибудь числа, которые сделают это уравнение верным? Ну нет.

          Поскольку не существует значения x, которое могло бы удовлетворить уравнение, мы говорим, что у него нет решения .

          На самом деле, следующие уравнения абсолютных значений также не имеют решений.


          Пример 2: Решите уравнение абсолютного значения — \ left | х \ право | = \, — 5.

          Не спешите прийти к выводу, что это уравнение не имеет решения. Хотя правая часть уравнения отрицательна, само выражение абсолютного значения должно быть положительным. Но это ведь не так?

          Ключевой момент № 1 : Знак \ left | х \ право | должен быть положительным. Для акцента \ left | х \ право | \ к + \ влево | х \ право |.

          Нам нужно сначала удалить отрицательный знак символа абсолютного значения, прежде чем мы сможем продолжить.

          Обратите внимание, что данное уравнение имеет коэффициент -1.Разделите обе части уравнения на это значение, чтобы избавиться от знака минус.

          Поскольку и выражение абсолютного значения, и число положительны, теперь мы можем применить процедуру, чтобы разбить его на два уравнения.

          Следовательно, решение проблемы становится

          Вы можете проверить наши ответы, подставив их обратно в исходное уравнение. Я оставлю это тебе.


          Пример 3: Решите уравнение абсолютного значения \ left | {x — 5} \ right | = 3.

          Эта проблема становится интересной, поскольку выражение внутри символа абсолютного значения больше не является простой переменной. Не волнуйтесь; настройка остается прежней. Просто будьте осторожны, когда вы разбиваете данное уравнение абсолютного значения на два более простых линейных уравнения, а затем продолжайте, как вы обычно решаете уравнения.

          Вы можете проверить ответы на исходное уравнение.


          Пример 4: Решите уравнение абсолютного значения \ left | {- 2x + 7} \ right | = 25.

          Вы можете подумать, что эта проблема сложна из-за –2 рядом с переменной x. Однако это не должно вас пугать, потому что ключевая идея остается той же. У нас есть символ абсолютного значения, изолированный с одной стороны, и положительное число — с другой. Решение этой проблемы — как еще один день в парке!

          Разбейте его на компоненты + и -, затем решите каждое уравнение.


          Пример 5 : Решите уравнение абсолютного значения \ left | {- 6x + 3} \ right | — 7 = 20.

          Это не готово еще предстоит разделить на два компонента. Почему? Это потому, что символ абсолютного значения сам по себе не находится на одной стороне уравнения. Если вы посмотрите на это, с левой стороны есть -7, которую нужно сначала устранить. Как только мы избавимся от этого, мы сможем продолжить как обычно.

          Удалите -7 с левой стороны, добавив обе стороны по \ color {blue} 7.

          Теперь у нас есть уравнение абсолютного значения, которое можно разбить на две части.2} + 2x — 4} \ right | = 4,

          Это интересная проблема, потому что у нас есть квадратное выражение внутри символа абсолютного значения. Надеюсь, вы не отвлеклись на то, как это выглядит! Если вы столкнулись с ситуацией, когда не знаете, как действовать, придерживайтесь основ и вещей, которые вы уже знаете.

          Нас не волнует «материал» внутри символа абсолютного значения. Пока оно изолировано, а другая сторона является положительным числом, мы определенно можем применить правило, чтобы разделить уравнение на два случая.

          Фактически, единственное отличие этой задачи от того, что вы делали до сих пор, состоит в том, что вы будете решать квадратные уравнения вместо линейных.

          Мы можем проверить, что наши четыре ответа или решения равны x = — \, 4, -2, 0 и 2, построив график этих двух функций и посмотрев на их точки пересечения.


          Рабочие листы для решения уравнений абсолютных значений


          Возможно, вас заинтересует:

          Графики функций абсолютных значений
          Устранение неравенств абсолютных значений

          Модульная арифметика

          — Как решить систему линейных уравнений по модулю n?

          Сначала вы можете умножить систему на любое число, у которого есть обратное, то есть $ \ gcd (x, 20) = 1 $.{-1} = 3 \ pmod {20} $, поэтому давайте умножим вторую строку на $ 9 $.

          $ \ begin {case} 4x-10y \ Equiv 8 \ pmod {20} \\ 7x + 2y \ Equiv 5 \ pmod {20} \ end {ases} \ iff \ begin {cases} 4x-10y \ Equiv 8 \ pmod {20} \\ 3x + 18y \ Equiv 5 \ pmod {20} \ end {case}

          долларов США

          Теперь мы можем вычесть две строки, как в обычных системах

          $ \ begin {case} 4x-10y \ Equiv 8 \ pmod {20} \\ x-28y \ Equiv 3 \ pmod {20} \ end {cases} \ iff \ begin {cases} 4x-10y \ Equiv 8 \ pmod {20} \\ x \ Equiv 8y + 3 \ pmod {20} \ end {cases}

          долларов США

          Теперь у нас есть $ x $, и мы можем сообщить в первом уравнении

          $ \ begin {case} 32y + 12-10y \ Equiv 8 \ pmod {20} \\ x \ Equiv 8y + 3 \ pmod {20} \ end {cases} \ iff \ begin {cases} 2y \ Equiv 16 \ pmod {20} \\ x \ Equiv 8y + 3 \ pmod {20} \ end {cases}

          долларов США

          $ 2 $ не обратимо по модулю 20 $, но поскольку все коэффициенты четные, мы можем разделить все на 2 $ , включая по модулю.

          $ \ begin {case} y \ Equiv 8 \ pmod {10} \\ x \ Equiv 8y + 3 \ pmod {20} \ end {ases} $

          Наконец, войдите во второе уравнение, чтобы получить $ x $, введя фиктивную переменную $ k $ для выражения $ y $

          $ \ begin {case} y \ эквив 8 \ pmod {10} \\ x \ эквив 8 (10к + 8) +3 \ pmod {20} \ эквив 64 + 3 \ эквив 7 \ pmod {20} \ end { case} $

          Я подробно описал многое, так как, по всей видимости, вы решаете эту проблему впервые.


            Ответ на вопрос в комментарии
            

          $ \ begin {case} 2x-6y \ Equiv 11 \ pmod {20} \\ 4x + 8y \ Equiv 9 \ pmod {20} \ end {ases} $

          Rem: из соображений четности это не имеет решения, но давайте сделаем так, как мы проигнорируем это.

          Для этого $ 9 $ и $ 11 $ обратимы (и их собственные обратные), поэтому давайте умножим строки на $ 9 $ и $ 11 $.

          Получаете

          $ \ begin {case} 2x + 14y \ Equiv 1 \ pmod {20} \\ 16x + 12y \ Equiv 1 \ pmod {20} \ end {ases} \ iff \ begin {cases} 2x + 14y \ Equiv 1 \ pmod {20} \\ 14x-2y \ Equiv 0 \ pmod {20} \ end {case}

          долларов США

          Которые сводятся к $ y \ Equiv 7x \ pmod {10} $, и эта система не имеет решения ($ 2x + 14y $ делится на $ 20 $).

          Решение абсолютных уравнений и неравенств (Алгебра 1, Линейные неравенства) — Mathplanet

          Абсолютное число числа a записывается как

          $$ \ осталось | a \ right | $$

          And представляет собой расстояние между a и 0 на числовой прямой.

          Уравнение абсолютного значения — это уравнение, которое содержит выражение абсолютного значения. Уравнение

          $$ \ осталось | x \ right | = a $$

          Имеет два решения x = a и x = -a, потому что оба числа находятся на расстоянии a от 0.

          Чтобы решить уравнение абсолютного значения как

          $$ \ осталось | x + 7 \ вправо | = 14 $$

          Вы начинаете с того, что превращаете его в два отдельных уравнения, а затем решаете их по отдельности.

          $$ x + 7 = 14 $$

          $$ x + 7 \, {\ color {green} {- \, 7}} \, = 14 \, {\ color {green} {- \, 7}} $$

          $$ x = 7 $$

          или

          $$ x + 7 = -14 $$

          $$ x + 7 \, {\ color {green} {- \, 7}} \, = -14 \, {\ color {green} {- \, 7}} $$

          $$ x = -21 $$

          Уравнение абсолютного значения не имеет решения, если выражение абсолютного значения равно отрицательному числу, поскольку абсолютное значение никогда не может быть отрицательным.

          Неравенство

          $$ \ осталось | х \ право | <2 $$

          Представляет расстояние между x и 0, которое меньше 2

          Тогда как неравенство

          $$ \ осталось | x \ right |> 2 $$

          Представляет расстояние между x и 0, которое больше 2

          Вы можете записать неравенство по абсолютным значениям как составное неравенство.

          $$ \ осталось | x \ right | <2 \: или

          $$ — 2

          Это верно для всех неравенств по абсолютным значениям.

          $$ \ осталось | ax + b \ right | 0 $$

          $$ = — c

          $$ \ осталось | ax + b \ right |> c, \: где \: c> 0 $$

          $$ = ax + b <-c \: или \: ax + b> c $$

          Вы можете заменить> выше на ≥ и <на ≤.

          При решении неравенства абсолютного значения необходимо сначала выделить выражение абсолютного значения на одной стороне неравенства, прежде чем решать неравенство.


          Пример

          Решите неравенство абсолютных значений

          $$ 2 \ влево | 3x + 9 \ вправо | <36 $$

          $$ \ frac {2 \ left | 3x + 9 \ right |} {2} <\ frac {36} {2} $$

          $$ \ осталось | 3x + 9 \ вправо | <18 $$

          $$ — 18 <3x + 9 <18 $$

          $$ — 18 \, {\ color {green} {- \, 9}} <3x + 9 \, {\ color {green} {- \, 9}} <18 \, {\ color {green} { - \, 9}} $$

          $$ — 27 <3x <9 $$

          $$ \ frac {-27} {{\ color {green} 3}} <\ frac {3x} {{\ color {green} 3}} <\ frac {9} {{\ color {green} 3} } $$

          $$ — 9


          Видеоурок

          Решите уравнение абсолютного значения

          $$ 4 \ влево | 2x -1 \ вправо | -2 = 10 $$

          Решение уравнений с абсолютными значениями — методы и примеры

          Что такое абсолютное значение?

          Решить уравнения, содержащие абсолютное значение, так же просто, как работать с обычными линейными уравнениями .Прежде чем мы сможем приступить к решению уравнений абсолютного значения, давайте рассмотрим, что означает слово абсолютное значение.

          В математике абсолютное значение числа относится к расстоянию числа от нуля, независимо от направления. Абсолютное значение числа x обычно представляется как | х | = a, откуда следует, что x = + a и -a.

          Мы говорим, что абсолютное значение данного числа является положительной версией этого числа . Например, абсолютное значение отрицательного 5 равно положительному 5, и это можно записать как: | — 5 | = 5.

          Другие примеры абсолютных значений чисел включают: | — 9 | = 9, | 0 | = 0, — | −12 | = −12 и т. Д. Из этих примеров абсолютных значений мы просто определяем уравнения абсолютных значений как уравнения, содержащие выражения с функциями абсолютных значений.

          Как решать уравнения абсолютных значений?

          Ниже приведены общие шаги для решения уравнений, содержащих функции абсолютного значения:

          • Выделите выражение, содержащее функцию абсолютного значения.
          • Избавьтесь от записи абсолютных значений, задав два уравнения таким образом, чтобы в первом уравнении величина внутри абсолютной записи была положительной. Во втором уравнении он отрицательный. Вы удалите абсолютное обозначение и напишите количество подходящим знаком.
          • Вычислить неизвестное значение для положительной версии уравнения.
          • Решите отрицательную версию уравнения, в которой вы сначала умножите значение с другой стороны от знака равенства на -1, а затем решите.

          Помимо вышеперечисленных шагов, есть и другие важные правила, которые следует учитывать при решении уравнений абсолютных значений.

          • ∣x∣ всегда положительно: x∣ → + x.
          • В | х | = a, если a справа — положительное число или ноль, то решение существует.
          • В | х | = a, если a справа отрицательное, решения нет.

          Пример 1

          Решите уравнение для x: | 3 + x | — 5 = 4.

          Решение

          • Выделите выражение абсолютного значения, применив Закон уравнений. Это означает, что мы добавляем 5 к обеим частям уравнения, чтобы получить;

          | 3 + х | — 5 + 5 = 4 + 5

          | 3 + x | = 9

          • Вычислить для положительной версии уравнения. Решите уравнение, принимая символы абсолютного значения.

          | 3 + x | = 9 → 3 + x = 9

          Вычтем 3 из обеих частей уравнения.

          3 — 3 + x = 9-3

          x = 6

          • Теперь рассчитайте отрицательную версию уравнения, умножив 9 на -1.

          3 + x | = 9 → 3 + x = 9 × (−1)

          3 + x = -9

          Также вычтите 3 с обеих сторон, чтобы выделить x.

          3-3 + x = — 9-3

          x = -12

          Следовательно, 6 и -12 являются решениями.

          Пример 2

          Решите все действительные значения x, такие что | 3x — 4 | — 2 = 3.

          Решение

          • Выделите уравнение с абсолютной функцией, прибавив 2 к обеим сторонам.

          = | 3x — 4 | — 2 + 2 = 3 + 2

          = | 3x — 4 | = 5

          Предположим абсолютные знаки и решим положительную версию уравнения.

          | 3x — 4 | = 5 → 3x — 4 = 5

          Добавьте 4 к обеим частям уравнения.

          3x — 4 + 4 = 5 + 4

          3x = 9

          Деление: 3x / 3 = 9/3

          x = 3

          Теперь решите отрицательную версию, умножив 5 на -1.

          3x — 4 = 5 → 3x — 4 = -1 (5)

          3x — 4 = -5

          Добавьте 4 к обеим сторонам уравнения.

          3x — 4 + 4 = — 5 + 4

          3x = 1

          Разделить на 3 с обеих сторон.

          3x / 3 = 1/3

          x = 1/3

          Следовательно, 3 и 1/3 являются решениями.

          Пример 3

          Решить для всех действительных значений x: Решить | 2 x — 3 | — 4 = 3

          Решение

          Добавьте 4 к обеим сторонам.

          | 2 x — 3 | -4 = 3 → | 2 x — 3 | = 7

          Считайте абсолютные символы и решите положительную версию x.

          2 x — 3 = 7

          Добавить 3;

          2x — 3 + 3 = 7 + 3

          2x = 10

          x = 5

          Теперь решите отрицательную версию x, умножив 7 на -1

          2 x — 3 = 7 → 2 x — 3 = -1 (7)

          2x -3 = -7

          Добавьте 3 к обеим сторонам.

          2x — 3 + 3 = — 7 + 3

          2x = -4

          x = — 2

          Следовательно, x = –2, 5

          Пример 4

          Решить для всех вещественных числа x: | х + 2 | = 7

          Решение

          Выражение абсолютного значения уже изолировано, поэтому примите абсолютные символы и решите.

          | х + 2 | = 7 → x + 2 = 7

          Вычтем 2 с обеих сторон.

          x + 2 — 2 = 7-2

          x = 5

          Умножьте 7 на -1, чтобы найти отрицательную версию уравнения.

          x + 2 = -1 (7) → x + 2 = -7

          Вычтем на 2 с обеих сторон.

          x + 2-2 = — 7-2

          x = -9

          Следовательно, x = -9, 5

          Практические вопросы

          Найдите действительные числа x в каждом из следующих уравнений:

          1. x ∣ = −5
          2. | 2x — 1 | + 3 = 6
          3. | 5x + 4 | + 10 = 2
          4. | 3x — 6 | — 9 = -3
          5. ∣9 — 2x∣ + 9 = −12
          6. ∣ − 6x + 3∣ − 7 = 20
          7. 25∣ — 2x + 7∣ = 25
          8. ∣x — 5∣ = 3
          9. 4 | 2 x — 3 | + 1 = 21
          10. | 5x + 9 | = −3
          11. | 5x + 9 | = −3
          Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

          Решение более простых абсолютных уравнений | Purplemath

          Purplemath

          Когда мы берем абсолютное значение числа, мы всегда получаем положительное число (или ноль).Независимо от того, был ли вход положительным или отрицательным (или нулевым), выход всегда положительный (или нулевой). Например, | 3 | = 3 и | –3 | = 3 тоже.

          Это свойство — положительное и отрицательное превращение в положительное — делает решение абсолютных уравнений немного сложным. Но как только вы научитесь «трюку», они не так уж и плохи. Начнем с простого:

          MathHelp.com

          Я уже решил эту проблему в своем обсуждении выше:

          Значит, x должно быть равно 3 или равно –3.

          Но как мне решить эту проблему, если я, , не знаю, уже ответ? Я буду использовать свойство положительного / отрицательного абсолютного значения, чтобы разделить уравнение на два случая, и я буду использовать тот факт, что знак «минус» в отрицательном случае означает «противоположный знак», а не «отрицательное число».

          Например, если у меня x = –6, то «- x » означает «противоположность x » или, в данном случае, — (- 6) = +6, положительное число. Знак «минус» в «- x » просто указывает на то, что я меняю знак на x . Это означает, что , а не , означает отрицательное число. Это различие очень важно!

          Каким бы ни было значение x , взятие абсолютного значения x делает его положительным.Поскольку x изначально могло быть положительным, а может быть отрицательным, я должен признать этот факт, когда удаляю столбцы абсолютных значений. Я делаю это, разбивая уравнение на два случая. Для этого упражнения это следующие случаи:

          а. Если значение x было неотрицательным (то есть, если оно было положительным или нулевым) для начала, то я могу вывести это значение из столбцов абсолютного значения, не меняя его знака, давая мне уравнение x = 3.

          г. Если значение x изначально было отрицательным, то я могу вывести это значение из столбцов абсолютного значения, изменив знак на x , получив уравнение — x = 3, которое решает как х = –3.

          Тогда мое решение —


          Мы, кстати, можем проверить это решение графически. Когда мы пытаемся решить уравнение абсолютных значений | x | = 3, мы, по сути, приравниваем два линейных уравнения друг другу и находим, где они пересекаются.Например:

          Выше я построил график y 1 = | x | (синяя линия, которая выглядит как «V») и y 2 = 3 (зеленая горизонтальная линия). Эти два графика пересекаются при x = –3 и x = +3 (две красные точки).

          Если вы хотите проверить свои ответы на тесте (перед тем, как сдать его), может быть полезно подключить каждую сторону исходного уравнения абсолютного значения в ваш калькулятор как их собственные функции; затем спросите у калькулятора точки пересечения.

          Конечно, любое решение также можно проверить, вставив его обратно в исходное упражнение и подтвердив, что левая часть (LHS) уравнения упрощается до того же значения, что и правая часть (RHS). уравнение. Вот мой чек для приведенного выше уравнения:

          .

          Если вы когда-нибудь сомневаетесь в своем решении уравнения, попробуйте построить график или попробуйте снова вставить свое решение в исходный вопрос. Проверяю свою работу всегда нормально!


          Шаг, описанный выше, где уравнение абсолютного значения было переформулировано в двух формах, одна со знаком «плюс», а другая со знаком «минус», дает нам удобный способ упростить ситуацию: когда мы изолировали абсолютное значение и перейти к снятию стержней, мы можем разделить уравнение на два случая; мы обозначим эти случаи, поставив «минус» на противоположной стороне уравнения (для одного случая) и «плюс» на противоположной стороне (для другого).Вот как это работает:

          • Решить |
            x + 2 | = 7, и проверьте свое решение (я).

          Абсолютное значение выделено в левой части уравнения, поэтому я уже настроил его, чтобы разделить уравнение на два случая. Чтобы очистить столбцы абсолютного значения, я должен разделить уравнение на два возможных случая, по одному для каждого случая, если содержимое столбцов абсолютного значения (то есть, если «аргумент» абсолютного значения) отрицательное, и если он неотрицательный (то есть положительный или нулевой).Для этого я создаю два новых уравнения, единственное различие между которыми — это знак в правой части. Сначала сделаю «минусовый» случай:

          x + 2 = –7

          x + 2 = –7

          x = –9

          Теперь я займусь неотрицательным случаем, когда я могу просто опустить столбцы и решить:

          Теперь мне нужно проверить свои решения.Я сделаю это, вставив их обратно в исходное уравнение, поскольку оценщик не видит, как я проверяю графики на моем графическом калькуляторе.

          Оба решения проверяют, поэтому мой ответ:


          • Решить | 2
            x — 3 | — 4 = 3

          Во-первых, я выделю часть уравнения, относящуюся к абсолютным значениям; то есть я получу само выражение абсолютного значения с одной стороны от знака «равно», а все остальное — с другой стороны:

          | 2 x — 3 | — 4 = 3

          | 2 x — 3 | = 7

          Теперь я очищу столбцы абсолютных значений, разделив уравнение на два случая, по одному для каждого знака аргумента.Сначала сделаю отрицательный случай:

          2 x — 3 = –7

          2 x = –4

          x = –2

          А затем сделаю неотрицательный случай:

          2 x — 3 = 7

          2 х = 10

          х = 5

          Это упражнение не говорит мне о проверке, поэтому я не буду.(Но, если бы я хотел, я мог бы вставить «abs (2X – 3) –4» и «3» в свой калькулятор (как Y1 и Y2, соответственно), и увидеть, что точки пересечения были на моем x -значения.) Мой ответ:


          URL: https://www.purplemath.com/modules/solveabs.htm

          Решение абсолютных уравнений: особый случай

          Purplemath

          В каждом уравнении абсолютного значения, которое мы видели до сих пор, было одно выражение абсолютного значения, и оно могло быть «изолированным»; то есть мы могли бы получить его отдельно по одну сторону от знака «равно».Что, если есть два выражения с абсолютным значением ? Можем ли мы использовать тот же метод? Да, но только если есть только два абсолютных значения, так что мы можем «изолировать» каждое из них, по одному с каждой стороны уравнения.

          Рассмотрим следующее уравнение:

          • Решить |
            x + 2 | = | 3 — x |.

          MathHelp.com

          Либо оба аргумента двух абсолютных значений равны «плюсу» (так что ничего не меняется, когда я опускаю полоски), либо они оба «минус» (так что они оба получают «минус», который можно разделить, поэтому ничего не меняется), или они имеют противоположные знаки (в этом случае один из них меняет знак, когда я опускаю столбики, а другой — нет).Так что я могу справиться со всеми тремя случаями, отбросив полосы с обеих сторон и рассмотрев «плюс» и «минус» для правой стороны. (Я мог бы поставить «плюс» и «минус» в левой части, но я человек привычки.) Сначала я сделаю «минус»:

          x + 2 = — (3- x )

          x + 2 = –3 + x

          2 = –3

          Понятно, что у этого дела нет решения.Так что сейчас попробую «плюс»:

          x + 2 = 3- x

          2 x = 1

          x = ½

          Этот кейс выполняет работу. Итак, мой ответ:

          (Если вы не уверены в этом решении, нанесите на график две связанные функции абсолютного значения и убедитесь, что две линии пересекаются при x = –½.Нет графического калькулятора под рукой? Попробуйте здесь.)


          Ну, уравнение выше решено хорошо. Но у него было ровно два выражения абсолютного значения и ничего больше, поэтому уравнение могло вместить изоляцию каждого из двух абсолютных значений. Другими словами, это уравнение было единственным «хорошим» случаем наличия двух или более абсолютных значений.

          Но что произойдет, если есть три (или более) выражения абсолютного значения, или если есть два таких выражения, и они также имеют свободные числа или переменные с ними, поэтому просто невозможно изолировать выражения, чтобы получить абсолютные значения сами по себе на одной (или на обеих сторонах) уравнения? Чтобы решить такое уравнение, нам понадобится другой метод решения.Чтобы понять, почему, давайте рассмотрим следующий пример:

          • Решить |
            x — 3 | = | 3 x + 2 | — 1

          Это уравнение похоже на то, что мы видели раньше; он не выглядит особенно сложным, чем другие.

          Но это совсем другой случай, поэтому я собираюсь немного обсудить его, прежде чем показывать необходимый метод решения.

          Если я разделю исходное уравнение выше на два случая для аргумента в левой части, переместу 1 из правой части влево и разделю каждый из результатов на еще два случая, я получу четыре решения: –3, –2, 0 и ½.

          Например, просто работая по ветвям «плюс» и начиная с левой части уравнения, моя работа будет выглядеть так:

          | x — 3 | = | 3 x + 2 | — 1

          x — 3 = | 3 x + 2 | — 1

          x — 3 = | 3 x + 2 | — 1

          x — 2 = | 3 x + 2 |

          x — 2 = 3 x + 2

          –4 = 2 x

          –2 = x

          Но из четырех решений, перечисленных в начале (а именно, –3, –2, 0 и ½), только два действительно верны.Как видно на графике ниже, решение, которое я только что «доказал» выше, явно неверно; две линии на самом деле не пересекаются при x = –2:

          Я получил слишком много ответов, используя предыдущий метод. Этот метод не работает для уравнений этого конкретного типа. Предыдущий метод позволил нам избежать очень неприятной алгебры, но для уравнения с двумя (или более) вложенными абсолютными значениями и , а также там, где есть неопределенное число (или какая-то другая переменная и т. Д.), У нас нет выбор, кроме как получить технический.

          Почему? Потому что каждый раз, когда мы рассматриваем случай «плюс» или «минус» при снятии полос с абсолютного значения, мы делаем предположение о том, что мы делаем; в частности, мы делаем неявное предположение о части (ах) числовой строки, для которой аргументом является тот или иной знак. Но когда мы пытаемся сделать предположения о двух отдельных аргументах (и, следовательно, о двух, вероятно, разных наборах интервалов) в одно и то же время (как и должно быть в случае текущего уравнения), тогда мы могли бы найти «решения» в интервалах которых на самом деле даже не существует.Вот почему я получил совершенно неправильный ответ в своей работе выше. Предыдущий метод работает только в том случае, если мы можем «изолировать» абсолютное значение (то есть, если мы можем получить абсолютное значение само по себе) с одной сущностью по другую сторону от знака «равно». Но мы не можем этого сделать с текущим уравнением.

          Чтобы обойти эту неудачу обычного метода решения, мы должны сделать явным то, что ранее было неявным; мы должны явно учитывать различные интервалы, созданные точками останова аргументов абсолютных значений.(«Точка останова» — это место, где аргумент меняет знак или где на графике связанной функции абсолютного значения мы получаем форму буквы «V».) И затем мы должны рассматривать каждый интервал отдельно. Возвращаясь к приведенному выше уравнению, вот как работает новый метод:

          • Решить |
            x — 3 | = | 3 x + 2 | — 1

          Первое выражение абсолютного значения в левой части уравнения положительно, если аргумент положительный.Я решу найти этот интервал:

          Аргумент этого абсолютного значения будет отрицательным перед точкой останова (при x = 3) и положительным после. (В точке останова он равен нулю.)

          Второе выражение абсолютного значения в правой части уравнения положительно для:

          3 x + 2> 0

          3 x > –2

          x > –2/3

          Аргумент этого абсолютного значения будет отрицательным до точки останова и положительным после.Но точка останова этого аргумента находится на

          x = –2/3, что не соответствует точке останова для предыдущего аргумента.

          Эти вычисления дают мне точки останова для каждого из двух выражений абсолютного значения. Эти точки останова являются конечными точками моих интервалов и находятся на

          x = –2/3, 3. Эти конечные точки разделяют числовую строку на следующие интервалы: (–Infinity, –2/3), (–2/3, 3), (3, + infinity)

          На первом интервале

          (–infinity, –2/3) я ниже самой левой точки останова, поэтому я знаю, что аргументы для каждого из абсолютных значений отрицательны.Это означает, что мне придется менять знак на каждом из них, когда я опускаю полоски абсолютного значения. Тогда я могу решить:

          | x — 3 | = | 3 x + 2 | — 1

          ( x — 3) = (3 x + 2) — 1

          x + 3 = –3 x — 2 — 1

          2 x = –6

          x = –3

          Поскольку это значение решения укладывается в текущий интервал

          (–infinity, –2/3), это решение действительно.

          Во втором интервале,

          (–2/3, 3), аргумент для абсолютного значения в левой части уравнения все еще отрицательный (потому что я ниже x = 3), поэтому я ‘ Придется перевернуть знак на этом выражении, когда я уроню решетку. Поскольку другой аргумент положителен на этом интервале (потому что я больше x = 2/3), я могу просто опустить полоски и продолжить.

          | x — 3 | = | 3 x + 2 | — 1

          ( x — 3) = 3 x + 2 — 1

          x + 3 = 3 x + 1

          2 = 4 x

          ½ = x

          Поскольку это значение находится в пределах текущего интервала

          (–2/3, 3), это решение действительно.

          На третьем и последнем интервале (3, + ∞) каждый из двух аргументов положителен, поэтому я могу опустить столбцы для решения:

          | x — 3 | = | 3 x + 2 | — 1

          x — 3 = 3 x + 2 — 1

          –4 = 2 x

          –2 = x

          И здесь я понимаю, почему мне нужно быть осторожным с интервалами.Это значение решения не соответствует , а не попадает в целевой интервал (3, + ∞). Таким образом, это значение не может быть действительным решением исходного уравнения .

          Но два других значения были действительными, поэтому мой окончательный ответ:


          Вы должны ожидать увидеть вложенные уравнения абсолютных значений и уравнения, аргументы которых не являются просто линейными (например, квадратный пример, который мы сделали на предыдущей странице).Если ваша книга не охватывает уравнения абсолютных значений, где абсолютные значения не могут быть изолированы (и не объясняет метод поиска интервалов и последующего решения для каждого из интервалов), то вам может не понадобиться метод этой страницы, пока вы не достигнете тригонометрия или исчисление.

          Однако ваш преподаватель в этом более позднем математическом классе может предположить, что ваш класс алгебры действительно охватил этот другой метод решения. Так что держите этот другой метод в затылке, на случай, если он вам понадобится позже.Вы всегда можете вернуться сюда и обновить, когда и если это станет необходимо.


          Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении уравнений с двумя или более выражениями абсолютного значения. Попробуйте указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или вернитесь к оглавлению.)

          (Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)



          URL: https://www.purplemath.com/modules/solveabs3.htm

          Решение уравнений, содержащих абсолютные значения

          Решение уравнений, содержащих абсолютные значения
          РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

          Примечание:

          • тогда и только тогда
          • тогда и только тогда, когда a + b = 3 или a + b = -3
          • Шаг 1. Выделите выражение абсолютного значения.
          • Шаг 2: Установите количество в обозначении абсолютного значения равно + и — количеству на другой стороне уравнения.
          • Шаг 3: Найдите неизвестное в обоих уравнениях.
          • Шаг 4. Проверьте свой ответ аналитически или графически.

          Решите относительно x в следующем уравнении.


          Пример 1:


          Шаг 1: Абсолютное значение уже выделено.

          Либо 2 x -1 = + 5, либо 2 x -1 = -5


          Шаг 2: Решите уравнение 2 x -1 = + 5


          Решите уравнение 2 x -1 = -5


          Ответы: 3 и -2.Эти ответы не могут быть решениями уравнение.


          Проверьте решение x = 3, подставив 3 в исходное уравнение для x. Если левая часть уравнения равна правой части уравнения после заменой, вы нашли правильный ответ.

          • Левая сторона:
          • Правая сторона:


          Проверьте решение x = -2, подставив -2 в исходное уравнение для x. Если левая часть уравнения равна правой части уравнение после подстановки, вы нашли правильный ответ.

          • Левая сторона:
          • Правая сторона:

          Решения: x = 3 и -2.


          Вы также можете проверить свой ответ, построив график ( левая часть исходного уравнения минус правая часть исходного уравнение). Вы заметите, что две точки пересечения по оси x на графике расположены на 3 и -2. Это проверяет наши решения графически.


          Если вы хотите проработать другой пример, нажмите «Пример».

          Если вы хотите проверить себя, решив некоторые задачи, подобные этой Например, нажмите на Задачу

          Если вы хотите вернуться к оглавлению уравнения, щелкните Содержание.

          [Алгебра] [Тригонометрия] [Геометрия] [Дифференциальные уравнения] [Исчисление] [Комплексные переменные] [Матричная алгебра] Домашняя страница S.O.S MATHematics

          Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.O.

          Добавить комментарий

          Ваш адрес email не будет опубликован.

          2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
          тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск